física-matemática basica alejandro hurtado

i

INDICE GENERAL

Prefacio

Agradecimientos vi

ix

PARTE I FÍSICA BÁSICA

Capítulo 1

Unidades y medidas 3

1.1. La física y el mundo natural 3

1.2. Cantidades Físicas Fundamentales 4

1.3. Conversión de unidades 11

Capítulo 2

Escalares y Vectores 2.1. Descomposición de un vector 23

2.2. Vectores Unitarios 25

2.3. Operaciones entre vectores 30

2.3.1. Suma de vectores 30

2.3.2. Multiplicación de un escalar por un vector 39

2.3.3. Producto escalar entre dos vectores 40

2.3.4. Producto vectorial entre dos vectores 44

Capítulo 3

Movimiento Unidimensional 56

3.1. Variables Cinemáticas 57

3.2. Clasificación de los movimientos rectilíneos 68

3.2.1. Movimiento Rectilíneo Uniforme 68

3.2.2. Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante 70

3.2.3. Caída Libre 80

3.2.4. Movimiento Rectilíneo con Aceleración Variable 85

ii

Capítulo 4

Movimiento Bidimensional 97

4.1.Variables Cinemáticas, Vectores: Posición, Desplazamiento, Velocidad y

Aceleración 97

4.2. Movimiento de Proyectiles 103

4.3. Partícula en movimiento circunferencial 110

4.4. Aceleraciones tangencial y radial 114

Capítulo 5

Leyes del Movimiento 123

5.1. Primera Ley de Newton: Ley de la Inercia 123

5.2. Segunda Ley de Newton: Concepto de Fuerza 125

5.3. Tercera Ley de Newton: Ley de Acción y reacción 127

5.4. Interacciones fundamentales en la Naturaleza 127

5.5. Diagramas de cuerpo libre 138

Capítulo 6

Introducción a los conceptos de Trabajo y Energía. 169

6.1. Concepto de trabajo 170

6.1.1.Trabajo debido a una fuerza constante 170

6.1.2.Trabajo debido a una fuerza variable en el caso unidimensional 175

6.2. Teorema del trabajo y la energía 180

6.3. Energía potencial 184

6.4. Fuerzas conservativas y no conservativas 187

6.5. Ley de Conservación de la Energía 188

PARTE II FÍSICA EXPERIMENTAL BÁSICA

Capítulo 7

Medición, incertidumbre y sus técnicas 205

7.1. Cifras significativas 205

7.2. Técnicas para expresar una medida y su incertidumbre 207

7.3. Cálculos de incertidumbre 211

Capítulo 8

Nociones de análisis gráfico y estadístico de datos 217

8.1. Prácticas de laboratorio en la enseñanza de la física 218

8.2. Análisis Gráfico 219

8.3. Salto tecnológico en el análisis gráfico 234

8.4. Análisis de regresión y líneas de tendencia 235

8.5. Prácticas de laboratorio con sistemas de adquisición de datos 242

8.5. Software de cálculo matemático y de simulación para la enseñanza de la física 245

iii

PARTE III MATEMÁTICA BÁSICA

Capítulo 9

Conjuntos numéricos 258

9.1. Números Reales 258

9.1.1. Representación gráfica de los números reales 264

9.1.2. Conjuntos e intervalos 264

9.1.3. Valor absoluto y distancia 266

9.2. Propiedades de los exponentes y radicales 269

Capítulo 10

Nociones de Algebra 282

10.1. Suma Algebraica 283

10.2. Multiplicación Algebraica 285

10.3. División Algebraica 288

10.4. Productos Notables 292

10.5. Otros productos notables 296

10.6. Factorización 298

10.7. Ecuaciones 311

10.8. Sistemas de Ecuaciones 321

10.9. Ecuaciones con expresiones algebraicas Racionales o Radicales 326

Capítulo 11

Elementos de Geometría 332

11.1. Conceptos primarios de la Geometría 332

11.2. Figuras geométricas 339

11.3. Segmentos proporcionales 355

11.4. Perímetro y Áreas de las figuras planas 357

11.5. Cuerpos geométricos 365

11.6. Software de cálculo algebraico y de simulación para la enseñanza de la

geometría

375

Capítulo 12

Función Matemática 377

12.1. Función lineal 381

12.2. Función cuadrática 387

12.3. Función Valor Absoluto 391

12.4. Función exponencial 395

12.5. Función Logaritmo 399

12.6. Función Polinómica 406

12.7. Función Racional 410

iv

Capítulo 13

Nociones de Trigonometría 423

13.1. Funciones trigonométricas 423

13.2. Representación gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas 431

13.3. Identidades trigonométricas 439

13.4. Ecuaciones trigonométricas 446

13.5. Otras relaciones entre funciones trigonométricas 450

13. 6. Resolución de triángulos 456

Apéndice A1

Alfabeto Griego 464

Apéndice A2

Factores de conversión de unidades 465

Apéndice A3

Constantes físicas fundamentales 469

Apéndice A4

Coeficientes de Rozamiento 470

Referencias Bibliográficas 471

v

PREFACIO

La enseñanza de la física o la matemática y las diferentes metodologías que pueden ser

utilizadas para que los alumnos logren aprendizajes en estas áreas del conocimiento, en la

mayoría de veces no es una tarea fácil. Por eso, es más difícil escribir un texto que permita

aproximarse a esos objetivos. Sin embargo, con el presente texto se pretende acercar a los

estudiantes a que adquieran una mayor conceptualización de los principios básicos de la

física y que con las herramientas que da la matemática, como lo son la geometría, el

álgebra, las funciones y la trigonometría entre otras, puedan consolidar el análisis de las

fenomenologías que desde la física hacen comprender un poco más nuestra naturaleza.

El escrito ha sido pensado para ser realizado con estudiantes que ingresan a los primeros

cursos de universidad en el área de física, como son Licenciados en Ciencias Naturales,

Ingenieros o Tecnólogos que estén involucrados con esta área del conocimiento. Hay que

precisar que el texto sale de una necesidad de tener un documento que diera soporte a los

primeros cursos de física, en especial el espacio académico Física y Matemática Básica,

para los alumnos de la Licenciatura en Física de la Universidad Distrital con sede en la

ciudad de Bogotá. Por eso, en gran parte del texto se recoge la experiencia que a lo largo de

los años, el autor ha tenido en éste curso u otros en el área de la mecánica clásica y con el

grupo de investigación que dirige en Física e informática-fisinfor. Soportado en lo anterior,

se plasman conceptos, ideas, ejemplos de aplicación, ejercicios de desafío, trucos, notas

didácticas, uso de software de simulación, entre muchas otras intencionalidades en la

enseñanza de la física, que aparecen inmersas en el escrito.

El libro se ha dividido en tres grandes temas: Física Básica, Física Experimental Básica y

Matemática Básica, que a su vez le dan solidez a las tres grandes partes con las cuales se

estructura el documento. En cada una de esas organizaciones temáticas, siempre se ha

enfatizado en ejemplos y ejercicios que dan soporte a conceptos físicos, incluso en los

capítulos dedicados exclusivamente a la matemática básica.

A continuación se explicitan dichas partes teniendo en cuenta su intencionalidad y su

alcance temático.

Parte I: Física Básica

Esta primera estructura temática intenta consolidar las herramientas fundamentales sobre

las cuales se fundamenta la física en general, pero teniendo prioridad en el área de la

vi

mecánica clásica sustentada en las leyes de Newton del movimiento. Para no perder la

conceptualización de los grandes principios que rigen la física, al final de esta primera parte

se dan las nociones de trabajo y energía. La parte I está dividida en seis capítulos que

contienen las temáticas: Unidades y Medidas, Escalares y Vectores, Movimiento

Unidimensional y Bidimensional, Leyes del Movimiento e Introducción a los conceptos de

Trabajo y Energía.

Parte II: Física Experimental Básica

Siendo la experimentación uno de los pilares para comprender, proponer y/o verificar las

leyes, modelos o teorías físicas, se han estructurado dos capítulos para tal efecto. Uno que

hace referencia a la medición, incertidumbre y sus técnicas, en las que se dan las nociones

básicas de las cifras significativas, la precisión, los cálculos de incertidumbre absoluta y

relativa, al igual que de las incertidumbre porcentuales. Todo lo anterior se hace, para que

el estudiante aprenda las técnicas básicas de cálculos de incertidumbre (mal llamados

cálculos de error) y así pueda expresar una medida o de un sinnúmero de datos tomados

experimentalmente con sus respectivos rangos de certeza en las prácticas realizadas.

Parte III: Matemática Básica

Una rigurosa conceptualización en física requiere de una fundamentación matemática muy

buena y por ello los cinco capítulos que constituyen la parte III del texto, están destinados a

dar ese soporte. Entre esos capítulos se cuenta con un repaso muy general de los conjuntos

numéricos haciendo énfasis en las propiedades de los números reales. Se amplían las bases

y aplicaciones de los números reales, extendiéndose a las expresiones algebraicas y sus

operaciones básicas.

Los fenómenos físicos requieren de una representación y visualización y por ello se dedica

un capítulo al repaso y conocimiento de elementos de geometría. La modelación y

teorización de las fenomenologías requiere de un control y relación entre variables, lo cual

necesita de una fundamentación de las funciones matemáticas, para hacer en un capítulo un

estudio básicos de las mismas. Por último se hace un capítulo sobre nociones de

trigonometría, para completar el soporte matemático.

Como ya se mencionó, en esta parte del texto se trató de insertar en cada capítulo y en cada

noción matemática explicada, una aplicación de la misma en una fenomenología, modelo

teórico o modelo físico.

vii

Por la estructura del libro, el docente que quiera seguir un primer curso de física, podría

empezar por cualquiera de las tres partes y encontrar entonces una posibilidad de trabajar

los temas de forma independiente o de manera simultánea.

Al final del texto se incluyen una serie de apéndices que contienen el alfabeto griego, tablas

con los factores de conversión de unidades, constantes físicas fundamentales y tablas de

coeficientes de rozamiento entre superficies. Estos complementos ayudaran a dar soporte a

algunas ideas básicas tratadas a lo largo del documento.

Otras características del texto

Se han introducido en el texto una serie de ayudas y complementos que permiten al

estudiante y al docente a motivarse a seguir no solo el libro, sino también a lograr una

motivación en los contenidos y estructuras de la física. A continuación se relacionan

algunas otras características que aparecen en la elaboración del presente manuscrito.

Frases Célebres: Al iniciar cada capítulo se ha colocado una frase célebre de un científico

que ha aportado al avance de la física, la ciencia o la matemática, según sea el caso y a su

vez se ha insertado en el encabezado del capítulo una foto representativa del mismo.

Ejemplos: En cada capítulo y en la mayoría de las secciones de las temáticas trabajadas, se

presentan ejemplos ilustrativos que ayudan a consolidar las ideas o conceptos sobre las

mismas. En algunos casos (sobre todo en las temáticas de la física básica), con unos pocos

ejemplos se pretende dar una generalización a algunos métodos de solución de problemas,

cuando en lugar de usar datos numéricos se usan parámetros o variables, lo que permite

hacer postulaciones, predicciones y/o corregir posibles soluciones. De igual manera, en

algunos apartados, se insertan ejercicios de aplicación a la temática vista o a otras áreas de

la misma física y a veces en distintas disciplinas.

Ejercicios: Se han introducido una cantidad apreciable de ejercicios que sirven para

fortalecer los conceptos y los modelos tanto físicos como matemáticos. Por la gran utilidad

que los ejercicios prestan en el desarrollo y habilidades cognitivas de los estudiantes, ellos

se han clasificado según su intencionalidad. Muchos de ellos se convierten en una conexión

con otras áreas de la física o de la matemática o en su defecto con otras fenomenologías y

por eso se consideran como Ejercicios de aplicación. De otro lado cuando el objetivo es

consolidar un concepto se recurre al tipo de Ejercicio de conceptualización. Para los

alumnos más versados y más inquietos se postulan los Ejercicios de desafío con el fin de

probar las habilidades y destrezas en la solución de problemas. En algunas pruebas o

exámenes, que se le realizan a los estudiantes, a veces se formula un enunciado básico de

alguna temática y sobre la base de éste se hacen varias preguntas de escogencia múltiple

con única respuesta, con el fin que el estudiante logre algunas habilidades; ese tipo de

viii

ejercicio se le conoce como Ejercicio de Contexto y algunos de ellos son presentados a lo

largo de los ejercicios de fin de sección o capítulo.

Preguntas de investigación: Muchos de los tópicos tratados a veces no son llevados u

orientados a una complejidad mayor o una mejor conceptualización y por ello se recurre a

este tipo de preguntas, con el fin que los estudiantes se interesen por temas más avanzados

o de interés en la idea o temática tratada.

Notas: De acuerdo a la experiencia y del trabajo en el aula surgen muchas inquietudes de

tipo pedagógico o académico y estas se traducen muchas veces en notas de algún interés o

de algún propósito. Es así, que cuando se refiere a una Nota Importante es porque la

temática así lo amerita. Muchas veces se requiere resaltar o hacer hincapié sobre una idea

fundamental y se recurre a una Nota Conceptual. Cuando la intencionalidad es dejar una

ayuda hacia la enseñanza de un concepto o una fenomenología se ha insertado alguna Nota

Didáctica, con el fin de dejar una seña de la importancia que debe tener dicho concepto en

el proceso de aprendizaje.

Complementos tecnológicos y uso de Software: Por estar inmersos en la era de las

tecnologías de la información y la comunicación, a través del grupo de investigación

fisinfor, se ha trabajado en el uso de dichas herramientas en los procesos de enseñanza

aprendizaje de la física y a su vez como soporte al trabajo tanto teórico como experimental

de la física. Por eso, en varios apartes del libro se hacen sugerencias sobre el uso de

software de simulación o cálculo, en la programación, en los sistemas de adquisición de

datos o el uso de hojas electrónicas.

Al final del texto se dan algunas referencias bibliográficas que se consideran de gran

utilidad y complemento a lo expuesto en el presente escrito. Dichas referencias se dan

teniendo en cuenta la estructura presentada en el libro en sus tres grandes partes y en las

ayudas tecnológicas que se pueden usar al respecto. De igual manera se presentan el

crédito a las imágenes utilizadas para ilustrar algunas de las ideas o temáticas expuestas.

Los comentarios u observaciones que se deseen hacer al respeto de lo presentado y

elaborado en el presente texto, se pueden enviar a: [email protected] o

[email protected].

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

ix

Agradecimientos

A cada uno de mis estudiantes con los cuales he compartido el espacio académico de Física

y Matemática Básica a lo largo de mi trayectoria en la Licenciatura en Física de la

Universidad Distrital. Gracias a su motivación y dedicación hicieron posible la inspiración

para escribir estas amplias notas de clase, que se convirtieron en un largo texto y que son

fruto de esa linda profesión: Maestro de Física.

A mis colegas profesores y estudiantes que han participado o participan del grupo de

investigación: Física e Informática (fisinfor) y del Semillero de Investigación: Simulación y

Laboratorios Virtuales (Silab), que con su apoyo y denodado entusiasmo han permitido que

muchos de los logros se hayan traducido en procesos de apoyo a la enseñanza de la física

con ayuda de las nuevas tecnologías, en los últimos años.

A mi querida institución, la Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”, que primero

me tuvo como estudiante y que luego me acogió como profesor. A cada una de las

instancias académico administrativas que han apoyado este tipo de proyecto educativo, en

especial a la: Facultad de Ciencias y Educación y al Proyecto Curricular de Licenciatura en

Física.

A todos, Infinitas Gracias.

Alejandro Hurtado Márquez | Física-Matemática Básica Pág.2


Capítulo 1 Unidades y medidas

“La imaginación es más importante que la sabiduría”

Albert Eisntein

Por naturaleza, el ser humano siempre ha tenido la curiosidad de interpretar, analizar y

estudiar el mundo que lo rodea y los fenómenos que allí suceden. Esas interpretaciones son

soportadas normalmente en la Ciencia, desde cuyo método se busca dar razón a los

principios y leyes fundamentales que rigen el comportamiento del universo, al igual que de

elaborar las predicciones necesarias para explicar la amplia gama de fenomenologías.

1.1. La física y el mundo natural

El estudio y el conocimiento sobre nuestro mundo están enmarcados dentro de las ciencias

naturales, siendo la física una de ellas. Cuando se analiza el mundo de las partículas

atómicas como los electrones, protones, neutrones, bosones (como el de Higgs), quarks

entre otras y todas las interacciones que allí se observan, la física empieza a dar razón de lo

que sucede a esa escala.

Por mostrar un ejemplo, en la figura 1.1,

se observa una imagen ilustrativa del

mundo nanoescalar, en donde los

científicos han y están aportando nuevas

formas de analizar y buscar las

aplicaciones en ese mundo microscópico

del orden de los nanómetros. Fig.1.1 Imagen representativa de la escala nanometrica

1

Pero también, cuando se habla de los planetas, del sistema solar, de nuestra galaxia, de la

expansión del universo, de la materia oscura del universo entre otras cosas, la física

empieza a dar explicación del macrocosmos, es decir la materia a gran escala. No contenta,

con esos eventos o fenomenologías, la física escudriña y examina lo que sucede con los

objetos que a diario observamos como el movimiento de los autos, la caída de los cuerpos,

el comportamiento del agua en una tubería, la atracción de objetos por efectos eléctricos

(atracción o repulsión entre objetos que están electrizados), o magnéticos (atracción o

repulsión entre los polos de dos imanes), entre muchos otros fenómenos, lo que podríamos

llamar el mundo de lo cotidiano.

1 http://www.nanoscience.cam.ac.uk/commercial/prototyping


El comportamiento de la materia a diferentes escalas trae consigo una serie de interacciones

entre las que podemos apreciar: materia-materia-energía (p.ej. objeto que se mueve sobre

una superficie horizontal en donde actúa el rozamiento), materia-energía (p.ej. efecto

Compton) y energía-materia (p.ej. efecto fotoeléctrico). Ahora bien, esas interacciones u

otras, pueden ser caracterizadas por variables físicas como la fuerza, la cantidad de

movimiento entre otras y a su vez por diferentes formas de energía.

Aunque no se pueden generalizar muchas de las fenomenologías aquí expuestas de manera

ligera, se asegura que la física sí se ocupa de darle explicación a las mismas y en su

mayoría basadas en las llamadas leyes o principios de conservación. Todas las teorías

físicas actuales están soportadas en estas leyes. Así, cuando se tiene un sistema (conjunto)

aislado de objetos que interactúa con otro, se encuentra que (sin importar el tipo o la forma

de interacción de los objetos) determinadas cantidades a las que se les denomina energía,

cantidad de movimiento lineal (momentum lineal) y cantidad de movimiento angular

(momentum angular) total del sistema se conservan, es decir que sus valores permanecen

constantes en el tiempo. Estas leyes son tan fundamentales para analizar un sistema de

objetos en la naturaleza sin tener que profundizar en cómo interactúan exactamente.

La ciencia y en especial la física se han estructurado sobre la base de diferentes teorías y

ellas a su vez en diferentes modelos. Actualmente en la física, la relatividad general abarca

la gravedad y otras fenomenologías a escalas de distancias más grandes que los átomos, y el

modelo estándar, que teóricamente funciona en general para todas las escalas de distancia

pero no abarca los efectos gravitacionales, permanecen como los dos modelos principales.

En la práctica estas dos teorías o modelos fundamentales no se utilizan para explicar

muchos de los fenómenos que observamos a diario y por lo general por eso se usan en

casos muy excepcionales o “exóticos” y no hacen parte de los primeros cursos de física. En

realidad, para dar explicaciones a distintas fenomenologías se utilizan teorías a veces más

básicas: Mecánica Newtoniana, Relatividad Especial, Teoría de Campo Electromagnético,

Mecánica Cuántica o Mecánica Estadística.

1.2.Cantidades Físicas Fundamentales

En esta sección se darán las nociones y herramientas básicas para distinguir las principales

cantidades físicas fundamentales y la forma de expresarlas en términos de unidades patrón.

De igual manera, se utilizará la técnica del análisis dimensional para la revisión de

ecuaciones y expresiones algebraicas que representan variables físicas que caracterizan los

diferentes fenómenos naturales Por último se hará una revisión de cantidades físicas que

permiten tener una idea del orden de magnitud de las mismas.


Un sin número de cantidades físicas se pueden expresar en términos de otras, llamadas

cantidades físicas fundamentales. Entre ellas contamos con las más comunes como lo son

longitud, masa y tiempo. Estas y sus unidades derivadas le han servido a la comunidad

científica para estandarizar los procesos y mecanismos de medición de variables que dan

razón de los fenómenos que suceden a nuestro alrededor, especialmente en el área de la

física llamada Mecánica. Sin embargo para dar mayor cobertura a otras áreas de la ciencias

naturales y en especial de la física como la termodinámica, la óptica, la electricidad y la

física atómica, se han establecido otras cantidades fundamentales tales como la

temperatura, la intensidad luminosa, la intensidad de corriente eléctrica y la cantidad de

sustancia, pues están dan soporte, explicitan y caracterizan otras fenomenologías.

Las cantidades explicitadas anteriormente constituyen lo que se conoce como Sistema

Internacional (SI) de unidades, el cual es el sistema que se viene usando actualmente por

toda la comunidad científica mundial.

Han existido otros sistemas de unidades como el sistema métrico cuyas unidades

fundamentales eran la Longitud, la masa y tiempo y que las unidades patrón de medida

eran respectivamente el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s) y por eso se

reconocía rápidamente por su abreviatura MKS. No olvidar que estas mismas unidades son

usadas por el SI y que sus abreviaturas son las que aparecen entre paréntesis.

El sistema sexagesimal o CGS mantenía en gran parte las mismas unidades fundamentales

del sistema MKS, pero sus unidades patrón eran el centímetro (cm), gramo (g) y segundo

(s); de ahí su abreviación de CGS.

Nótese las abreviaturas utilizadas (letras entre paréntesis) para las unidades patrón de los

respectivos sistemas mencionados, para que se tengan muy en cuenta para definir cualquier

cantidad física derivada de ellos, en el momento de hacer conversión de unidades o en la

manipulación con ellas.

Por razones más comerciales que científicas, se han mantenido algunos sistemas de

unidades, como es el caso del sistema británico o sistema inglés, en donde las unidades

patrón para la longitud, masa y tiempo son respectivamente: pie, slug y segundo.

La aplicación inmediata de las cantidades físicas longitud, masa y tiempo a través de sus

unidades patrón para obtener la medición y caracterización de variables, constantes o

parámetros en una fenomenología específica, parecen ser procesos evidentes e inmediatos.

Sin embargo, hay que hacer notar cosas demasiado importantes en la construcción

científica y epistemológica de los conceptos. De ahí, que hay que enfatizar que el proceso


de medición es de suprema importancia y además de delicado manejo y que nociones como

longitud, masa y tiempo requieren de una discusión que puede ameritar largos años y que

permiten dar con una mejor estructuración de los constructos sobre los cuales se

fundamenta la ciencia y en especial la física. Por eso, esa discusión esta fuera del alcance y

de la intención del presente escrito.

Unidades patrón

A continuación se darán las definiciones de las unidades patrón más utilizadas en éste texto

y que están establecidas en el sistema internacional. Adicionalmente se darán algunos

ejemplos que se corresponden con dicha unidad patrón.

Unidad de Longitud: Metro

El metro (1 m) se define como la longitud que recorre una onda de luz en el vacío en un

intervalo de 1/299792458 segundos.

Debe observarse que, como el metro se ajusta de modo que la luz viaja exactamente un

metro en 1/299792458 segundos, la rapidez c de la luz es precisamente:

c = 299792458 m/s.

En la tabla 1.1 se muestra una lista de distancias y tamaños, las cuales se relacionan de

escalas mayores a las escalas menores.

Tabla 1.1 Algunas distancias y tamaños

Distancia a la galaxia de Andrómeda a)

Diámetro de nuestra galaxia

Distancia de la tierra al sol

Radio de la tierra

Longitud de onda de radio (AM)

Diámetro de una moneda de 50 pesos

Colombianos b)

2,1x1022

m

7,6x1020

m

1,5x1011

m

6,4x106

m

≈3x102

m

≈1,7 x10-2

m

a) Galaxia de Andrómeda2

b) Moneda de Colombia

2 http://www.bibliotecapleyades.net/imagenes_ciencia/2012_67_03.jpg

http://www.bibliotecapleyades.net/imagenes_ciencia/2012_67_03.jpg


Diámetro de un glóbulo rojo sanguíneo c)

Diámetro del átomo

7,5x10-6

m

≈1x10-10

m

c) Glóbulo Rojo

3

Unidad de Tiempo: Segundo

El segundo (s) se define como el tiempo necesario para que se realicen 9.192.631.770

vibraciones en una transición de la radiación de un átomo de Cesio 133.

Dato técnico importante: Los buenos relojes de cesio, son muy precisos, se atrasan o se

adelantan no más allá de un segundo cada 20 millones de años.

En la tabla 1.2 se presenta una lista de algunos intervalos de tiempo típicos.

Tabla 1.2 Algunos datos de tiempo significativos

Edad del universo ≈ 4x1017

s

Edad de la especie humana 7,9x1012

s

Rotación de la tierra alrededor del sol (1 año). 3,2x107

s

Rotación de la tierra (1 día) 8,6x104

s

Tiempo de viaje de la luz desde la luna 1,3 s

Periodo del latido del corazón humano ≈ 0,9 s

Periodo de onda sonora (Nota Do) ≈ 3,8x10-3

s

Periodo de una onda de luz ≈ 2x10-15

s

Duración de la vida media de una partícula inestable ≈ 10-24

s

Unidad de Masa: Kilogramo

El Kilogramo (kg) se define de tal manera que se corresponde con la masa de un cilindro

de platino e iridio, con 3,9 cm de diámetro y 3,9 cm de altura, que se conserva en el

laboratorio de pesas y medidas en Sévres, Francia.

En la tabla 1.3 se presenta una lista de algunos valores típicos de la masa de objetos que

encontramos en la naturaleza y cuya medida ha podido ser obtenida.

3 http://es.123rf.com/imagenes-de-archivo/globulo_rojo.html


Tabla 1.3 Algunas masas de objetos en la naturaleza

Universo observable

Sol

Tierra a)

Avión de pasajeros (Airbus A320) b)

Persona (Hombre varón, promedio)

Gota de agua c)

Glóbulo rojo sanguíneo

Protón

Electrón

≈ 1053

kg

2,0x1030

kg

6,0x1024

kg

1,6x105

kg

≈ 70 kg

2,0x10-6

kg

9,0x10-14

kg

1,7x10-27

kg

9,1x10-31

kg

a) Planeta Tierra

4

b) Airbus A320

5

c) Gota de agua

6

Para no olvidar las otras unidades patrón del sistema SI, a continuación se darán las

definiciones que fueron adoptadas por la Conferencia General de Pesos y Medidas

(Conférence Genérale des Poids et Mesures).

Unidad de Corriente Eléctrica: Amperio

El Amperio o Ampere (A) se define como la corriente constante que, si se mantiene en

dos conductores rectos paralelos de longitud infinita, de sección circular insignificante, y

colocados entre sí a una distancia de un metro en el vacío, produce en estos conductores

una fuerza igual a 2x10-7

newton por metro de longitud.

Unidad de Temperatura: Kelvin

El Kelvin (K) se define como la fracción de 1/273.16 de la temperatura termodinámica del

punto triple del agua.

4 http://www.esa.int/For_Media/Photos 5 http://es.wikipedia.org/wiki/Airbus_A320 6 http://www.imagui.com/a/fotos-de-gotas-de-agua-iMdXodXEL

http://www.esa.int/For_Media/Photos


Unidad de Intensidad luminosa: Candela

La candela (cd) es la cantidad de intensidad luminosa, en una dirección dada, emitida por

una fuente de radiación monocromática de frecuencia 540 ×1012

Hz y que tiene una

intensidad en esa dirección de 1/683 vatios por estereorradián.

Unidad de Cantidad de Sustancia: Mol

El mol (mol) se define como la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas

entidades elementales como átomos hay en 0.012 kilogramos de carbono 12.

Como estas unidades no serán muy utilizadas en el presente texto, no se darán ejemplos

como se hicieron con las otras tres unidades patrón anteriores. Es posible, que ellas

aparezcan de manera aleatoria en los ejemplos realizados, ejercicios propuestos o en los

ejercicios de desafío.

Es útil para manejar los múltiplos y submúltiplos de las unidades anteriormente vistas, una

serie de prefijos establecidos en el sistema SI y que representan respectivamente potencias

de 10. Dichos prefijos y sus respectivas abreviaturas se representan en la tabla 1.4.

Tabla 1.4 Prefijos Sistema Internacional

Prefijo Factor de Multiplicación Símbolo

zetta 1021

Z

exa 1018

E

peta 1015

P

tera 1012

T

giga 109 G

mega 106 M

kilo 103 K

deca 101 D

deci 10-1

d

centi 10-2

c

mili 10-3

m

micro 10-6

µ

nano 10-9

n

pico 10-12

p

femto 10-15

f

atto 10-18

a

zepto 10-21

z


Ejemplo 1.1

Un registrador de tiempo de alta precisión muestra en su pantalla digital una medida de

0,375 µs (microsegundos). ¿A cuántos nanosegundos (ns) corresponde? y ¿A cuántos

gigasegundos (Gs)?.

Solución

Se hará en primera instancia el paso a nanosegundos teniendo en cuenta que:

1 ns = 10-9

s y 1 µs = 10-6

s

ns0,375x10s10

ns1s0,375x10s0,375 3

9

6

Ahora, se hará el paso a gigasegundos sabiendo que 1 Gs = 109 s, obteniéndose:

Gs0,375x10s10

Gs1s0,375x10s0,375 15

9

6

Nótese que en los pasos anteriores se ha utilizado un factor unidad (entre paréntesis), es

decir el módulo de la multiplicación (ver propiedades de los números reales, capítulo 9).

Adicionalmente la conveniencia de “crear dicho factor” se corresponde con el prefijo del

sistema internacional, al cual se desea realizar la conversión entre las mismas unidades.

Para resolver el ejemplo anterior hay que tener como soporte matemático la notación

científica y el manejo de las propiedades de los exponentes (ver capítulo 9).

Unidades Derivadas

Se entiende que las unidades derivadas son aquellas que se construyen mediante alguna

combinación de las unidades fundamentales.

Hay que hacer claridad en el sentido en que, no se debe confundir la idea de las unidades

derivadas con el concepto de los múltiplos y submúltiplos, que se utilizan tanto en las

unidades fundamentales como en las derivadas.

Si las unidades son longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura,

cantidad de sustancia o intensidad luminosa, se trata de una magnitud fundamental. Todas

las demás son derivadas.

Ejemplos de unidades derivadas

Volumen (m

3), es el resultado de la potencia cubica de la longitud.


Densidad (kg/m3), es el resultado de expresar la masa por unidad de volumen de un

objeto o sustancia, por tanto se combina la masa (magnitud fundamental) con

volumen (magnitud derivada). Se expresa en kilogramo por metro cúbico.

Fuerza, (1 newton, 1 N = 1 kg • m /s2), magnitud que se define a partir de un caso

particular de la segunda ley de Newton cuando la masa del objeto en estudio es

constante (fuerza = masa × aceleración). La masa es una de las magnitudes básicas

y la aceleración es una unidad derivada.

Energía, (1 julio = 1 J = N • m), es la energía necesaria para mover un objeto una

distancia de un metro aplicándole una fuerza de un newton.

En la tabla 1.5 se listan una serie de unidades derivadas (sin definición) para ampliar el

espectro de unidades usadas en muchas áreas de la física.

1.3. Conversión de unidades

En muchas operaciones aritméticas o algebraicas se requieren realizar diferentes cálculos

que depende del sistema de unidades utilizadas y en algunos de ellos se hace necesario

convertir unidades de un sistema de unidades a otro. Tales conversiones necesitan tan solo

de realizar unas sencillas sustituciones en los dos sistemas (una lista bastante amplia de

cantidades equivalentes en diferentes sistemas se pueden observar en el apéndice A.2).

Aunque muchas veces se dan procedimientos de ayuda para realizar el proceso de

conversión de unidades de un sistema a otro, es recomendable para el alumno ejercitarse

haciéndolo cuando sea necesario. La clave estará siempre en ir multiplicando por 1 (módulo

de la multiplicación, ver propiedades de los números reales en el capítulo 9) de acuerdo a la

conveniencia de la conversión, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Tabla 1.5. Unidades derivadas del Sistema Internacional

Magnitud física Nombre de la

unidad

Símbolo de

la unidad

Expresada en

unidades

derivadas

Expresada en

unidades

fundamentales

Área metro cuadrado m2 m

2

Volumen metro cúbico m3 m

3

Densidad kg·m-3

Frecuencia hertz Hz s-1

Velocidad Lineal,

Rapidez Lineal m·s

-1


Velocidad Angular,

Rapidez angular rad·s

-1 s

-1

Aceleración m·s-2

Fuerza newton N

m·kg·s-2

Momento de fuerza N·m m2·kg·s

-2

Presión pascal Pa N·m-2

m-1

·kg·s-2

Energía, trabajo,

calor julio J N·m m

2·kg·s

-2

Potencia vatio W J·s-1

m2·kg·s

-3

Carga eléctrica coulomb C

A·s

Diferencia de

Potencial eléctrico voltio V J·C

-1 m

2·kg·s

-3·A

-1

Resistencia

eléctrica ohmio Ω V·A

-1 m

2·kg·s

-3·A

-2

Conductividad

eléctrica siemens S A·V

-1 m

-2·kg

-1·s

3·A

2

Capacitancia

eléctrica faradio F C·V

-1 m

-2·kg

-1·s

4·A

2

Flujo magnético weber Wb V·s m2·kg·s

-2·A

-1

Inductancia henrio H V·A-1

·s m2·kg·s

-2·A

-2

Ángulo plano radián rad

Ángulo sólido estereorradián sr

Flujo luminoso lumen lm cd·sr

Luminosidad lux lx lm·m-2

cd·sr·m-2

Ejemplo 1.2

Una persona camina una distancia de 135 m. ¿Cuántos km recorrió?.

Solución

Las dos unidades que se desean transformar son m y km, la equivalencia (no olvidar

consultar la tabla del apéndice A.2) entre ellas es:

1000 m = 1 km

La unidad que se quiere convertir es m, por lo cual hacemos el siguiente despeje:

http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad_angular

http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Trabajo_%28f%C3%ADsica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Calor

http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico


m1000

km11

Al término encontrado se le conoce como factor de conversión. Dicho factor se usa para

obtener:

km0,135m1000

km1m1351m135m135

En general un factor de conversión es una operación matemática, para hacer los respectivos

cambios de unidades de la misma magnitud entre sistemas de unidades, o para calcular la

equivalencia entre los múltiplos y submúltiplos de una determinada unidad de medida.

Ejemplo 1.3

La densidad del agua es 1,0 g/cm3. ¿Cuál es la densidad del agua en kg/m

3?

Solución

Siguiendo un procedimiento como el del ejemplo anterior, pero teniendo presente que la

equivalencia es entre varias unidades, se tiene:

g10

kg1

g1000

kg11

3 y

36

3

32

3

3

3

m10

cm1

m)(10

cm1

m)(0,01

cm11

336

3

333 m

kg1000

m10

cm1

g10

kg1

cm

g1

cm

g1

Ejemplo 1.4

Los siguientes datos son tomados de un manual técnico de un equipo de bombeo de agua en

un carro de bomberos. La rapidez de salida del flujo de agua es de 95 litros/min en una

boquilla de 0,95 cm de diámetro y la presión en la boquilla es de 3,4 atm. ¿Cuáles son las

especificaciones técnicas de dicho equipo en unidades del sistema internacional?.

Solución

Primero se resolverá la conversión de unidades para la rapidez de flujo (también llamado

caudal), así:

s

m1,58x10

s60

min1

litros10

m1

min

litros95

min

litros95

33

3

3


Para el diámetro de la boquilla obtenemos:

m9,5x10cm100

m10,95cm0,95cm 3

Y para la presión expresada en pascales (Pa), se tiene:

Pa3,44x10atm1

Pa1,013x10atm3,4atm3,4 5

5

Análisis dimensional

Para referirse a una cantidad y el tipo de unidad para especificarla, en física se requiere

hablar de la dimensionalidad de dicha cantidad. En la tabla 1.6 se puede observar un listado

de diferentes cantidades físicas en términos de las unidades fundamentales del Sistema

Internacional y por ende en términos de tres (para el caso de las cantidades mostradas)

dimensiones fundamentales, Longitud (L), Masa (M) y tiempo (T).

Tabla 1.6. Unidades y dimensiones en el SI de magnitudes físicas

Magnitud física Nombre de la

unidad

Símbolo de la

unidad Unidades SI Dimensionalidad

Frecuencia hertz Hz T-1

Velocidad Lineal, m/s = m·s-1

L/T = L·T-1

Aceleración m/s2 = m·s

-2 L/T

2 = L·T

-2

Fuerza newton N kg m/s2 L·M·T

-2

Presión pascal Pa N·m-2

L-1

·M·T-2

Energía, trabajo, calor julio J N·m L2·M·T

-2

Potencia vatio W J/s = J·s-1

L2·M·T

-3

Ángulo plano radián* rad

*Aunque figura como unidad para los ángulos, no posee dimensionalidad y por eso se dice que el radián es

una unidad adimensional.

La iconología para indicar la dimensionalidad de una cantidad física es normalmente el

corchete [ ]. Por ejemplo v se entiende como la dimensionalidad de la cantidad física v

que para nuestro caso representa la rapidez y por tanto:

1 LTT

Lv


Sobre la base de lo dicho de las dimensiones, se puede decir que el análisis dimensional es

el proceso de manejo de las dimensiones de un parámetro, una constante, una ecuación, una

expresión o una cantidad física y es el resultado de una combinación algebraica de L, M y

T, para los casos desarrollados en el presente texto, en donde la mayoría de las cantidades

físicas tratadas están enmarcadas en el ámbito de una de las áreas de la física, como lo es la

mecánica.

Ejemplo 1.5

Supongamos que la posición (expresada en metros) de un objeto que se mueve en línea

recta en función del tiempo (expresado en segundos) viene dada por la expresión: 2)( ctbtatx , en donde ,, ba y c son constantes. ¿Cuáles son las dimensiones de

dichas constantes?.

Solución

La ecuación debe ser consistente en términos dimensionales, por lo tanto cada término debe

tener la misma dimensionalidad, de tal manera que:

2ctbtaLx

De manera inmediata se observa que La y que por tanto corresponde a una posición.

Tomando el término bt , se tiene que: Ltbbt de dónde se obtiene:

1 LTT

L

t

Lb

Por las unidades obtenidas b debe ser la magnitud de la velocidad (rapidez).

Finalmente, Ltctcct 222 , haciendo el despeje se llega a:

2

22

LTT

L

t

Lc

Es decir, que la constante c debe corresponder a la magnitud de una aceleración.


Ejemplo 1.6

La rapidez (v) de propagación de una onda

en una cuerda depende matemáticamente

de elevar a un cierto exponente la

magnitud de la tensión ( F ) en la cuerda y

de expresar con un exponente la densidad

lineal de masa (µ ) de la cuerda (masa por

unidad de longitud). Ver figura 1.2.

Fig.1.2. Ondas en una cuerda

Suponiendo que existe una constante de proporcionalidad k que es adimensional y que

relaciona las cantidades físicas, se pide encontrar por análisis dimensional una expresión

para la rapidez de la onda en términos de k, F y µ.

Solución

La relación matemática debe tener la forma: nmkFv y las dimensiones de cada una de

las variables son respectivamente:

1 LTv ; 2 MLTF ; 1 ML y k: Adimensional

Por lo tanto, se tiene que cumplir que:

nmMLMLTLT 121

Operando el lado derecho de la expresión anterior se obtiene:

mnmnm TLMLT 21

Para que el análisis dimensional sea coherente se debe cumplir que los exponentes de cada

una de las cantidades físicas sea igual, es decir que:

0 nm 1 nm y m21

De donde se deduce que 2

1m y

2

1n , lo cual se puede comprobar fácilmente.

Así, la expresión para la rapidez de la onda en una cuerda, de acuerdo al análisis

dimensional, debe ser de la forma:

2

1

2

1

kFv

La expresión anterior se puede escribir de la siguiente manera,


Fkv

En un curso formal de ondas se puede demostrar por métodos de dinámica que k=1 y que la

ecuación se corresponde con la obtenida por análisis dimensional. Esto muestra, lo

fundamental del análisis dimensional no solo en el balance de las dimensiones de las

cantidades físicas en una expresión, sino también la gran posibilidad de la construcción de

expresiones algebraicas que dan explicación a muchos fenómenos físicos.

Ejemplo 1.7

Los sistemas oscilantes son muy frecuentes

encontrarlos en nuestra cotidianidad. Uno

de los más tradicionales es el observado en

la Figura 1.3. Un objeto se adhiere a un

resorte y se le pone a oscilar en una

superficie en donde la interacción de dicho

objeto con la superficie no presenta fricción.

Fig.1.3. Oscilaciones sistema objeto - resorte

Bajo ciertas condiciones, el sistema oscila de manera armónica simple y la posición x del

objeto a partir de su posición de equilibrio en función del tiempo t viene dado por la

expresión: )()( tsenAtx . ¿Cuáles son las dimensiones de A, ω y φ?.

Solución

Por estar la posición x descrita por una función trigonométrica, hay que recordar que el

término t argumento (llamado así en el argot de la matemática) y fase angular (en el

argot de la física) debe ser adimensional, se tiene:

ALx

Nótese que A posee unidades de longitud y se le conoce como la amplitud de la oscilación.

El argumento de la función trigonométrica seno no tiene dimensiones y la forma de

representar este hecho es: 1 t . Hay que precisar que el utilizar el número 1

significa ser adimensional y no que sea igual a dicha cantidad.

Por tanto, 1t y 1 , debido a que cada uno de estos términos debe ser

adimensional, se llega a:


1t entonces

111 TTt

¡Cuidado¡ . La manipulación del argumento de la función trigonométrica para este caso es

demasiado importante. Aunque la dimensión de ω es 11 TT

, es decir contiene solo

dimensiones de tiempo, en física se suele expresar en rad/s y a ω se le conoce como

rapidez angular (en algunos casos, frecuencia angular). Adicionalmente φ es adimensional,

pero se suele expresar en rad por tratarse de lo que en física se llama ángulo de desfase. Es

decir la suma de los dos términos que componen la fase angular (argumento) se realiza en

radianes. Sin embargo es posible que la suma se realice en grados haciendo la respectiva

conversión.

Ejercicios

1. Convierta el volumen de 9,5 pulg3 a m3. Recuerde que 1 pulg = 2,54 cm y que

1 cm = 0,01m = 10−2 m.

2. La masa del sol es aproximadamente 1,99x1030

kg y la masa del hidrógeno, del cual

está compuesto principalmente el sol es de 1,67x10-27

kg.

¿Cuántos átomos de hidrógeno hay en el sol?.

3. ¿Cuántos segundos hay en un año?.

4. El radio promedio de la tierra es de 6,37x106 m y el de la luna es de 1,74x10

8 cm. Con

estos datos calcule:

a) La proporción entre el área de la tierra y la luna

b) La proporción entre los volúmenes de la tierra y la luna.

Suponga que los dos astros tienen forma esférica y recuerde que el área de la esfera

viene dado por la expresión24 rA y su volumen por 3

3

4rV .

5. Complete la siguiente tabla con el símbolo apropiado (<, >, = )

Símbolo

36 km/h 10000 cm/s

320 ps 32 ns

2700 kg/m3 27000 g/cm

3

80 Dinas 0,08 N

4,5MW 4500 W


6. Suponga que le dicen que un cilindro de radio r y altura h tiene un volumen dado por

πr3h. Explique por qué esta información no es correcta.

7. Una guía turística dice que la pendiente de una vereda en una montaña es de 120

metros por kilómetro. ¿Cómo podemos expresar esto con un número sin unidades?.

8. La componente en el eje x de la velocidad medida de un objeto es 2)( ttvx . Si la

componente de la velocidad tiene unidades de m/s y t es el tiempo el cual viene

expresado en s. ¿Cuáles deben ser las unidades de α y β.

Ejercicios de aplicación

1. Un objeto tiene una masa de 15 g y tiene la forma de un cono de 3 cm de radio y 6 cm

de altura. ¿Cuál es su densidad en kg/m3?.

2. La masa del planeta Saturno es de 5,64x1026

kg y su radio es 6x107 m.

a) Calcule la densidad de Saturno suponiendo que éste es totalmente esférico.

b) Si el planeta se colocara en un océano lo suficientemente grande, ¿flotaría?.

Explique.

3. Una estructura de concreto tiene la forma de un tronco de cono. Sus diámetros son

respectivamente 3,2 m y 2,8 m y la altura es de 4,2 m. ¿Cuál sería el radio y la altura de una

estructura en forma de cilindro, que tenga el mismo volumen que la del tronco de cono, a

sabiendas que el radio debe ser la cuarta parte de su altura?.

4. Un auto A se mueve con rapidez constante de 72 km/h. Otro auto B recorre una distancia

de 100 m en 5 minutos también con rapidez constante. ¿Cuál de los dos autos tiene más

rapidez?. Sustente numéricamente su respuesta.

5. La energía potencial asociada a un planeta que gira alrededor del sol se puede expresar

como:

r

mmGrU

planetasol)(

En donde r es la distancia del planeta al sol. Encontrar las dimensiones de la constante G a

sabiendas que las dimensiones de U son22 TML y que m representa a las respectivas

masas de los astros.


6. En la dinámica de fluidos se tiene una de las leyes fundamentales de conservación de una

cantidad física. La expresión siguiente representa la ecuación de Bernoulli,

kvgh 2

2

1 , con k una constante

siendo ρ la densidad del líquido, v su rapidez, g la aceleración gravitacional y h la altura de

referencia a la cual se encuentra el fluido. De acuerdo al análisis dimensional, obtenga las

unidades de k y especifique que cantidad física es la que se conserva.


Capítulo 2 Escalares y Vectores

“Si alguien no queda confundido por la física cuántica, es que no la ha entendido bien”

Niels Bohr

En el capítulo de unidades y medidas se especificó que en la física y en general en las

ciencias naturales, existen una serie de cantidades fundamentales que permiten dar

explicación a un sin número de fenomenologías. Esas cantidades o magnitudes físicas se

acostumbran a agrupar o clasificar en cantidades físicas escalares y cantidades físicas

vectoriales o simplemente en escalares y vectores.

A medida que se vayan trabajando y explicando diferentes fenomenologías, se hace

necesario ir definiendo cada una de las características y propiedades de las cantidades

escalares o vectoriales que dan razón a dichos fenómenos.

Las cantidades físicas escalares, son aquellas que requieren de solo la magnitud para

quedar completamente definidas. Entre ellas, podemos encontrar a la masa, el tiempo, la

longitud, la rapidez, la presión, la temperatura, la energía, la potencia, el momento de

inercia, la diferencia de potencial eléctrico, entre otras.

Estas cantidades físicas, llámense parámetros, variables, según sea el caso, su magnitud se

asocia con un número real y al mismo tiempo se le asigna una unidad fundamental o

derivada del sistema internacional de unidades SI.

Los escalares, operan bajo las propiedades y operaciones de los números reales. Sin

embargo, téngase en cuenta que sumar de manera aislada, por ejemplo una temperatura de

-10°C y 25°C daría 15°C. Si la misma operación se hace es a través de una fenomenología,

como es el caso de un pedazo de hielo que está a una temperatura de -10°C y que luego se

vierte en un vaso que contiene agua a una temperatura de 25°C, obviamente la “suma de

temperaturas”, sería muy poco probable que fuera 15°C.

Las cantidades físicas vectoriales, son aquellas que requieren además de su magnitud, de

una dirección para que ellas queden completamente determinadas. Entre ellas podemos

encontrar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el momento lineal


(cantidad de movimiento lineal), el momento de fuerza (torque), campo eléctrico, entre

otras.

En general un vector se define como un segmento de recta orientado, razón por la cual su

representación obedece a una flecha que tiene asociado un origen y un extremo. La

magnitud del vector se asume de acuerdo a alguna escala definida para tal efecto y

normalmente se corresponde con la distancia entre el origen y el extremo del vector.

Para resaltar estas propiedades de los vectores, existen diferentes formas de denotar un

vector, llamada normalmente Notación Vectorial. Se utiliza por lo general, una letra

mayúscula o minúscula acompañada de una flecha en la parte superior de la misma, por

ejemplo 𝐴, �⃗�, �⃗⃗�, �⃗⃗�, entre otras. En algunos casos se utilizan las letras en negrilla y en ese

caso se escribirían simplemente 𝑨, 𝒂, 𝑩, 𝒃. La notación que se seguirá en este texto es la de

la letra con la flecha en la parte superior y una representación de ellos se muestra en la

figura 2.1. Esta notación resulta pedagógicamente muy importante, pues con ella no se

pierde la idea de la representación de las cantidades vectoriales.

Fig.2.1. Representación de cantidades vectoriales

Como ya se ha dicho una cantidad física vectorial tiene una magnitud, que en el texto será

representada por la misma letra usada para denotar el vector pero sin la flecha encima (por

ejemplo vector 𝐴, magnitud A) y la dirección se dará con el ángulo que forma dicho vector

con los ejes acorde al sistema de coordenadas escogido. En este texto solo se utilizarán

coordenadas cartesianas.

Nota: Existen otras maneras de explicitar la magnitud del vector 𝐴 y las cuales pueden ser:

|𝐴|, ‖𝐴‖ o también |𝑨|, ‖𝑨‖, y que no serán utilizadas en el presente texto mientras la

notación no lo requiera.

Adicionalmente, los vectores al ser dibujados, su origen se hace coincidir con el origen del

sistema coordenado y desde allí se pueden especificar sus propiedades, como lo es su

magnitud y dirección. En la figura 2.2, se muestran tres vectores ubicados en el origen del

sistema cartesiano (x,y), en donde sobre la base de las cuadriculas dibujadas, se puede

calcular la magnitud de los vectores y en el caso de 𝐴 y �⃗⃗� los ángulos denotados como

AB

cd

Origen del vector (Cola)

Extremo del vector (Cabeza)


𝜃 y 𝛼. Adicionalmente se puede asumir que los vectores dibujados, son vectores

desplazamiento y que sus magnitudes vienen expresadas en metros. El resumen de las

características de los tres vectores se muestra a continuación.

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ {

𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝐴 = 4√2 m𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝜃 = 45°

∡45° 𝑐𝑜𝑛 + 𝑥𝑁𝑜𝑟𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑜 𝑁45°𝐸

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 �⃗⃗�

{

𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝐵 = 2√5 m𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: 𝛼 = 26,6° 𝑐𝑜𝑛 − 𝑥

∡153,4° 𝑐𝑜𝑛 + 𝑥 𝑁63,4°𝑂

𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐶 {𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝐶 = 4 m

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: ∡ 270° 𝑐𝑜𝑛 + 𝑥𝑆𝑢𝑟 (𝑆)

Fig.2.2. Representación de vectores en el sistema de coordenadas cartesiano

Nótese que para la dirección en dos dimensiones de los vectores 𝐴, 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐶, se han asumido

diferentes formas de expresarlas de la manera tradicional, incluso usando la notación

geográfica, en la que se escoge el eje vertical (eje y, en éste caso) como referencia. Para el

caso del vector 𝐶, se puede decir que está en una sola dimensión. La dirección en una

dimensión, para un vector se puede expresar simplemente diciendo: 0°, 90°, 180°, 270°

+x,-x, +y, -y, Norte (N), Sur (S), Este (E), Oeste(O), arriba, abajo, izquierda, derecha entre

muchas de las posibilidades.


2.1. Descomposición de un vector

Después de ubicar un vector en un sistema de ejes coordenados, éste se puede descomponer

en lo que se denominan sus componentes rectangulares, como es el caso de las

componentes de un vector en el sistema de coordenadas cartesiano, como se muestra en la

figura 2.3.

La descomposición consiste en trazar desde

la punta del vector 𝐴, líneas perpendiculares

(trazo punteado en la figura 2.3) a los ejes x

e y. Los segmentos dirigidos 𝐴𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗ y 𝐴𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ formados con cada uno de los ejes se les

denominan las componentes del vector.

Fig.2.3. Descomposición del vector 𝐴

Las magnitudes de estas componentes, se calculan valiéndose de las definiciones de las

funciones trigonométricas, seno y coseno (ver capítulo 13), para triángulos rectángulos, así:

𝐴𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜃 (2.1a) 𝐴𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛𝜃 (2.1b)

De la geometría de la figura, también se puede obtener:

𝐴 = √𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 (2.2a) 𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝐴𝑦

𝐴𝑥) (2.2b)

Como se verá más adelante, el vector 𝐴, no es más que la suma vectorial de los dos

vectores componentes, o sea:

𝐴 = 𝐴𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗ + 𝐴𝑦⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (2.3)

Ejemplo 2.1

Un objeto se desplaza 10 m en una dirección N50°E. ¿Cuál es el valor de sus componentes

rectangulares cartesianas?.

Solución

La dirección dada del vector permite establecer que si se escoge la coordenada geográfica

del Norte dirigida en el eje positivo del eje y, la coordenada geográfica Este dirigida en el

eje positivo de las x, el vector forma 50° con el eje positivo de las y o 40° con el eje

positivo de las x. Si se denomina 𝑑 al vector desplazamiento, entonces las componentes de

dicho vector son:


𝑑𝑥 = (10m)𝑐𝑜𝑠40° = (10m)(0.766) = 7,66m

𝑑𝑦 = (10m)𝑠𝑒𝑛40° = (10m)(0.643) = 6,43m

Ejemplo 2.2

Una fuerza �⃗� aplicada sobre un objeto tiene de componentes 𝐹𝑥 = 6 N y 𝐹𝑦 = 12 N

respectivamente. Hallar el valor de la magnitud y la dirección de �⃗�.

Solución

La magnitud de la fuerza �⃗� se obtiene:

𝐹 = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 = √(6)2 + (12)2 = √36 + 144 = √180 = 6√5 N → 𝐹 = 13,42𝑁

La dirección de �⃗� con relación al eje positivo de las x, se calcula así:

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝐹𝑦

𝐹𝑥) = 𝑡𝑔−1 (

12

6) = 𝑡𝑔−1(2) → 𝜃 = 63,4°

2.2. Vectores Unitarios

Una manera bien importante de representar cualquier vector en función de otro cuya

magnitud es la unidad, es utilizando la noción de vector unitario. Por ejemplo el vector 𝐴

puede expresarse como A (magnitud de A) veces un vector de tamaño uno, o sea 𝐴 = 𝐴�⃗⃗�,

en donde �⃗⃗� es el vector unitario, es decir que la magnitud es 𝑢 = 1 o |�⃗⃗�| = 1. Nótese, por

lo tanto que dicho vector se puede obtener de:

�⃗⃗� =𝐴

𝐴 (2.4)

La expresión 2.4 indica claramente que la dirección que tiene �⃗⃗�, es la misma que tiene 𝐴.

Por eso, los vectores unitarios son usados para dar la dirección de otros vectores, que serán

obviamente paralelos a dichos vectores unitarios.

Los vectores unitarios pueden ser representados de distintas maneras como: �⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗� y si se

corresponden algún sistema de coordenadas se pueden expresar como: (�⃗⃗�𝑥, �⃗⃗�𝑦, �⃗⃗�𝑧),

(�⃗�𝑥, �⃗�𝑦, �⃗�𝑧), (�⃗⃗�𝜌, �⃗⃗�∅, �⃗⃗�𝑧), (�⃗�𝜌, �⃗�∅, �⃗�𝑧). Las dos primeras notaciones se usan para vectores

unitarios que están dirigidos en los ejes positivos del sistema de coordenadas cartesiano y

las otras dos notaciones para vectores unitarios en coordenadas cilíndricas.


Sin embargo, por conveniencia, para el

sistema de coordenadas cartesiano (x,y,z),

se han establecido un conjunto de vectores

unitarios mutuamente perpendiculares que

se corresponden con las direcciones

positivas de los ejes y que se denotan por:

(𝑖̂, 𝑗̂, �̂�), como se muestra en la figura 2.4.

Usando esta notación el vector 𝐴 que fue

representado en la figura 2.3, en sistema

de coordenadas cartesiano bidimensional,

puede escribirse como:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂

y si el vector está en tres dimensiones se

expresa como:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐴𝑧 �̂�

y su representación gráfica puede verse en

la figura 2.5.

De la misma figura 2.5, se puede mostrar

que la magnitud del vector 𝐴, en tres

dimensiones, se puede obtener así:

𝐴 = √A𝑥2 + A𝑦2 + A𝑧2

Fig.2.4. Vectores unitarios cartesianos

Fig. 2.5. Vector en tres dimensiones

Las ideas expresadas anteriormente, son los principios básicos de la representación de un

vector en tres dimensiones y de la importancia de la noción de vector unitario en física.

Nota importante

La representación realizada del vector 𝐴, en un plano en dos dimensiones no se

corresponde a la que se vería en el mundo de las tres dimensiones, y por eso, según la

geometría descriptiva el vector 𝐴 no está en verdadera magnitud y de ahí es que “parece

verse de menor tamaño” que las componentes del mismo.

Habiendo abordado unos principios básicos de la representación de un vector en tres

dimensiones y sabiendo que se puede obtener la magnitud del mismo, es momento de

obtener la dirección de un vector en tres dimensiones.

x

y

z

x

y

z


En la figura 2.6, los ángulos 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 que forma el

vector 𝐴 con los ejes positivos del sistema de

coordenadas cartesiano, se le llaman los ángulos

directores. La forma de obtenerlos, se hace

calculando los cosenos directores, los cuales se

pueden calcular de la siguiente manera:

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥 =𝐴𝑥

𝐴,

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 =𝐴𝑦

𝐴,

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑧 =𝐴𝑧𝐴

Fig.2.6. Ángulos directores de un vector

en tres dimensiones

Ejemplo 2.3

Para el vector 𝐴 = −4 𝑖̂ + 2 𝑗̂ + 3 �̂�, expresado en términos de vectores unitarios

cartesianos:

a) Hacer una representación gráfica de 𝐴

b) Hallar la magnitud de 𝐴

c) Calcular un vector unitario a lo largo de 𝐴

d) Encontrar la dirección del vector 𝐴

Solución

a) La representación gráfica del vector 𝐴 en

tres dimensiones en el sistema cartesiano se

muestra en la figura 2.7.

b) La magnitud de 𝐴 es:

𝐴 = √(4)2 + (2)2 + (3)2 m

𝐴 = √16 + 4 + 9 m

𝐴 = √29 m

c) El vector unitario �̂� mostrado en la figura

2.7, se obtiene de:

�̂� =𝐴

𝐴=−4 𝑖̂ + 2 𝑗̂ + 3 �̂�

√29

�̂� = −0,74 𝑖̂ + 0,37 𝑗̂ + 0,56 �̂�

Fig.2.7. Representación gráfica del vector

𝐴 = −4 𝑖̂ + 2 𝑗̂ + 3 �̂� en coordenadas cartesianas.

x

yo

z


d) La dirección del vector 𝐴 se obtiene calculando los ángulos directores de la siguiente

manera:

𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐴𝑥𝐴) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

−4

√29) = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,74) → 𝜃𝑥 = 137°

𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐴𝑦

𝐴) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

2

√29) = 𝑐𝑜𝑠−1(0,37) → 𝜃𝑦 = 68,3°

𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐴𝑧𝐴) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

3

√29) = 𝑐𝑜𝑠−1(0,56) → 𝜃𝑦 = 55,9°

Ejemplo 2.4

El paralelepípedo rectangular mostrado en la figura 2.8, tiene de dimensiones: alto a, largo

b y ancho c y en él se han representado los vectores diagonales �⃗⃗�1(en el espacio) y �⃗⃗�2 (en la

base). a) Se pide obtener una expresión para dichos vectores en términos de vectores

unitarios cartesianos y a su vez una expresión para sus magnitudes y b) Para el caso en que

𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 𝑙 (es decir cuando la figura geométrica se convierte en un cubo) calcule las

magnitudes de dichos vectores.

Solución

a) Los vectores �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2 se pueden escribir

en términos de los vectores unitarios

cartesianos, de la siguiente manera:

�⃗⃗�1 = c 𝑖̂ + b 𝑗̂ + a �̂�

�⃗⃗�2 = c 𝑖̂ + b 𝑗̂

Sus correspondientes magnitudes son:

𝑉1 = √c2 + 𝑏2 + a2

𝑉2 = √c2 + 𝑏2

b) Cuando los lados son iguales entonces:

𝑉1 = √𝑙2 + 𝑙2 + 𝑙2 = √3𝑙2 = 𝑙√3

𝑉2 = √𝑙2 + 𝑙2 = √2𝑙2 = 𝑙√2

Fig.2.8. Vectores en un paralelepípedo

Nótese que las magnitudes de los vectores �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2 se corresponden con las longitudes de la

diagonal principal de un cubo y la diagonal de un cuadrado.

x

y

z

oa

b

c


Ejemplo 2.5

En la figura 2.9, se muestran tres cuerdas que

convergen al punto D de la base de la canasta

de un aerostato y que lo mantienen

suspendido a una altura de 8 m del piso. Cada

una de las cuerdas se encuentra amarrada al

piso en los puntos A, B y C, cuyas

coordenadas se muestran en la figura y las

cuales se dan en metros. Si la tensión de cada

cuerda se puede representar como un vector

de la forma: �⃗⃗� = 𝑇�⃗⃗�, a) Encontrar el vector

que se dirige a lo largo de la cuerda 1 de D a

A y denótelo como 𝐴, b) calcular la

magnitud del vector 𝐴, ¿coincide con la

longitud de la cuerda?, c) Halle un vector

unitario a lo largo del vector 𝐴 y denótelo

como �⃗⃗�1 y d) Si la magnitud de la tensión de

la cuerda 1 es 𝑇1 = 10000 N halle el vector

�⃗⃗�1 y determine las componentes de la misma.

Fig.2.9. Aerostato sostenido por cuerdas

Solución

a) El vector que se dirige de D a A es:

𝐴 = 2 𝑖̂ − 2 𝑗̂ − 8 �̂�

b) La magnitud del vector 𝐴 es:

𝐴 = √(2)2 + (−2)2 + (−8)2 m

𝐴 = √72 m → 𝐴 = 6√2 m

La magnitud del vector 𝐴 sí, coincide con la longitud de la cuerda.

c) El vector unitario �̂�1 se obtiene así:

�̂�1 =𝐴

𝐴=2 𝑖̂ − 2 𝑗̂ − 8 �̂�

6√2

�̂� = 0,236 𝑖̂ − 0,236 𝑗̂ − 0,94 �̂�

x

y

z

A(2,-2,0)

B(3,3,0)

C(-5,-1,0)

D(0,0,8)

1

2

3


d) El vector que representa la tensión de la cuerda 1 es:

�⃗⃗�1 = 𝑇1�̂�1

�⃗⃗�1 = (10000N)(0,236 𝑖̂ − 0,236 𝑗̂ − 0,94 �̂�)

�⃗⃗�1 = 2360 𝑖̂ − 2360 𝑗̂ − 9400 �̂�

2.3. Operaciones entre vectores

Teniendo presente la notación de los vectores y la manera en que se pueden representar sus

magnitudes y direcciones, se hace necesario establecer las operaciones matemáticas básicas

que entre ellos se pueden definir.

Entre vectores es posible establecer diferentes operaciones, tales como: Suma y resta de

vectores, multiplicación de un vector por un escalar, producto escalar o producto punto

entre vectores, producto vectorial o producto cruz entre vectores.

2.3.1. Suma de vectores

A continuación se presentan los dos métodos más frecuentes de sumar y restar vectores: a)

El método geométrico y b) El método analítico o de descomposición de vectores.

Método Geométrico

Se escoge un vector al azar como referencia de un conjunto de vectores arbitrario, a

continuación se pone el origen (cola) de un segundo vector sobre el extremo (cabeza) del

primer vector (vector de referencia) y así sucesivamente. El vector resultante de la suma de

los vectores se obtiene uniendo el origen (cola) del primer vector con el extremo (cabeza)

del último vector.

En la figura 2.10 se ha hecho la suma más sencilla, �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ , entre dos vectores por el

método geométrico, cuando ellos son paralelos.

Fig.2.10. Suma de dos vectores paralelos: �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗

1VV

2V

1V2V


Cuando los vectores no son paralelos, al realizar la suma de los dos vectores, �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ , la

geometría cambia automáticamente y la figura que resulta es un triángulo, como se muestra

en la figura 2.11. De ahí, que al método frecuentemente se le llame, método del triángulo.

Fig.2.11. Suma de dos vectores no paralelos: �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗

Existen momentos en que dos vectores, se encuentran ubicados de tal manera que los

orígenes de los dos vectores coinciden en un punto común. La suma se puede realizar

trazando por la cabeza de cada vector, líneas paralelas (líneas punteadas en la figura 2.12) a

cada vector y en la intersección de dichas paralelas se dibuja la cabeza del vector resultante

y el origen coincide con el de los dos vectores que se suman. Es decir, la resultante se

obtiene uniendo el punto común de los orígenes de los dos vectores, con el punto de

intersección de las líneas paralelas trazadas. Debido a que la figura que se forma es un

paralelogramo, se acostumbra a llamar el método del paralelogramo.

Fig.2.12. Suma de dos vectores no paralelos: �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗

Ahora bien, ¿Cómo se hace la resta de dos vectores, es decir �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ ?. La resta de dos

vectores es equivalente a realizar, �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + (−𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ ), es decir sumar 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ con el vector

opuesto de 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ , el cual se escribe −𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ y que simplemente es el mismo vector 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ pero con

dirección opuesta, sin cambiar su magnitud. En la figura 2.13, se ha hecho la diferencia de

los vectores que se sumaron en la figura 2.12.

1V

V

2V

1V

2V

1V V

2V

1V

2V


Fig.2.13. Resta de dos vectores: �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + (−𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ )

Cuando la suma a realizar es de más de dos vectores, se sigue el hecho de unir la cabeza del

primer vector con la cola del segundo y así sucesivamente, como ya se había dicho

anteriormente. En la figura 2.14, se muestra la suma de tres vectores por el método

geométrico, el cual genera como figura un polígono irregular. De ahí, que algunos autores

lo llamen el método del polígono.

Fig.2.14. Tres vectores no paralelos: �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉3⃗⃗ ⃗⃗

La suma de vectores, se aplica a muchos fenómenos de la física y debe usarse cuando se

requiera. No debe perderse la idea que la suma o diferencia de dos vectores es otro vector y

que por lo tanto la resultante debe caracterizarse por su magnitud y dirección y que por lo

tanto en cualquier procedimiento algebraico o analítico deben encontrase estos valores, para

explicitar correctamente a la cantidad física vectorial.

Notas Didácticas

a) No debe ponerse mucha atención a los nombres que algunos autores le ponen al método

de sumar vectores cuando la figura que se forma, tiene que ver con la de alguna figura

geométrica conocida. El método geométrico, simplemente consiste en ir uniendo uno a uno

los vectores, de tal manera que la cabeza del primero se una al origen del segundo y la

cabeza del segundo con la cola del tercero y así sucesivamente. Por eso, en la cotidianidad

se acostumbra a llamar al método geométrico, el método de colas y cabezas.

b) Debe de ponerse más atención a que la solución analítica de la suma o diferencia de dos

o más vectores requiere es de un conocimiento más riguroso de la geometría, la

1V V 1V

2V

2V

2V

1V

V

2V

3V

1V

2V

3V


trigonometría y el álgebra para hacer los cálculos respectivos. Por ejemplo, para un

triángulo (rectángulo) hay que conocer la forma de resolverlo y por ello se requiere de

conocer y manipular elementos matemáticos como el Teorema de Pitágoras y el uso de las

funciones trigonométricas y en el caso de los triángulos oblicuángulos, adicionalmente

manejar los Teoremas del Seno y del Coseno entre otros.

Ejemplo 2.6

Dos vectores tienen las siguientes características:

EN

VV

o40

201

1

y

ES

VV

o60

302

2

a) Encontrar la magnitud y dirección del vector resultante �⃗⃗� que se obtiene de:

�⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ y �⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + (−𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ ) y

b) Idearse una serie enunciados que sirvan de ejemplo, para encontrar algunas

aplicaciones físicas de la suma vectorial encontrada en el literal a), que den razón de

diferentes fenomenologías.

Solución

a) La gráfica mostrada en la figura 2.15, muestra la representación en el plano de los

vectores, 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ , 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ y 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ . Cada cuadrícula representa un cuadrado de 10 x 10

unidades.

Si se asume que 𝑆 = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ , La magnitud de

la suma S, se obtiene aplicando el teorema del

coseno al triángulo ∆OAB,

𝑆 = √𝑉12 + 𝑉2

2 − 2𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠(∡𝑂𝐴𝐵)

𝑆 = √(20)2 + (30)2 − 2(20)(30)𝑐𝑜𝑠(100°)

𝑆 = √400 + 900 + 208

𝑆 = √1508 → 𝑆 = 38,8

Fig.2.15. Suma y diferencia de dos vectores por

el método geométrico.

Para calcular la dirección del vector 𝑆, primero se requiere el cálculo del ángulo ∡𝐴𝑂𝐵

usando el teorema del seno, así:

𝑠𝑒𝑛(∡𝐴𝑂𝐵)

𝑉2=𝑠𝑒𝑛(∡𝑂𝐴𝐵)

𝑆 → ∡𝐴𝑂𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑉2𝑠𝑒𝑛(∡𝑂𝐴𝐵)

𝑆)


∡𝐴𝑂𝐵 = 𝑠𝑒𝑛−1 (30𝑠𝑒𝑛(100°)

38,8) = 𝑠𝑒𝑛−1(0,76) → ∡𝐴𝑂𝐵 = 49,5°

Como el ángulo que forma el vector 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ es 50° con la horizontal, el ángulo que forma la

suma 𝑆 = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ con dicha horizontal es: 50° − ∡𝐴𝑂𝐵 = 0,5° . Por lo tanto, la suma de

vectores propuesta tiene como solución:

𝑆 = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ {𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝑆 = 38,8

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: ∡ 0,5° 𝑐𝑜𝑛 + 𝑥𝑁89,5 𝐸

Ahora bien, si se asume que �⃗⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ + (−𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ ), o su equivalente �⃗⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ , la magnitud

de la diferencia D, se obtiene aplicando el teorema del coseno al triángulo ∆OED,

𝐷 = √𝑉12 + 𝑉2

2 − 2𝑉1𝑉2𝑐𝑜𝑠(∡𝐷𝐸𝑂)

𝐷 = √(20)2 + (30)2 − 2(20)(30)𝑐𝑜𝑠(100°)

𝐷 = 38,8

Las operaciones para el cálculo de la magnitud de �⃗⃗⃗� no son realizadas debido a que la

simetría de la figura garantiza que la magnitud del vector suma 𝑆 es igual a la magnitud del

vector diferencia �⃗⃗⃗�.

Para calcular la dirección del vector �⃗⃗⃗�, primero se requiere el cálculo del ángulo ∡𝐷𝑂𝐸

usando el teorema del seno, así:

𝑠𝑒𝑛(∡𝐷𝐸𝑂)

𝐷=𝑠𝑒𝑛(∡𝐷𝑂𝐸)

𝑉1 → ∡𝐷𝑂𝐸 = 𝑠𝑒𝑛−1 (

𝑉1𝑠𝑒𝑛(∡𝐷𝐸𝑂)

𝐷)

∡𝐷𝑂𝐸 = 𝑠𝑒𝑛−1 (20𝑠𝑒𝑛(100°)

38,8) = 𝑠𝑒𝑛−1(0,51) → ∡𝐷𝑂𝐸 = 30,5°

Este ángulo también hubiese podido ser obtenido sobre la base del ángulo calculado para la

suma de los dos vectores y con un poco de geometría que aparece en la figura 2.15.

Como el ángulo que forma el vector −𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ es 30° con la horizontal (eje negativo de las x), el

ángulo que forma la diferencia �⃗⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ con dicho eje es: 30° + ∡𝐷𝑂𝐸 = 60,5° . Por

lo tanto, la diferencia de vectores propuesta tiene como solución:


�⃗⃗⃗� = 𝑉1⃗⃗ ⃗⃗ − 𝑉2⃗⃗ ⃗⃗ {

𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝑆 = 38,8𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: ∡ 60,5° 𝑐𝑜𝑛 − 𝑥

∡119,5° 𝑐𝑜𝑛 + 𝑥𝑁29,5° 𝑂

b) A continuación, se muestran diferentes enunciados que involucran cantidades vectoriales

y dan explicación a diferentes fenomenologías explicadas desde la física y que sirven para

ilustrar la aplicabilidad de la suma de dos vectores como los propuestos en el literal a. Los

datos se mantienen idénticos, lo que cambia en su contexto de aplicación, con eso los

estudiantes comienzan a ver la potencialidad del uso de la suma de vectores. Las respuestas

de magnitud y dirección de la suma de los dos vectores, a todos los enunciados serían

iguales, solo cambian las unidades con las cuales se manejan los vectores a utilizar o su

escritura.

Aplicación 1, Vectores Velocidad: Un rio muy caudaloso se mueve de tal manera que su

velocidad es en magnitud 𝑉1 = 20 m/s y su dirección es N40°E. Una lancha con motor

fuera de borda quiere cruzar el rio con una velocidad de magnitud 𝑉2 = 20 m/s en una

dirección S60°E. ¿Cuál es la velocidad de la lancha para un observador que está quieto a la

orilla del rio?.

Aplicación 2, Vectores Fuerza: Sobre un objeto se aplican de manera simultánea dos

fuerzas cuyas magnitudes y direcciones son respectivamente 𝐹1 = 20 kN , N40°E y

𝐹2 = 30 kN , S60°E. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante o neta

aplicada sobre dicho objeto, debido a las dos fuerzas aplicadas?. Para el caso presente las

unidades de fuerza son kilonewton.

Aplicación 3, Vectores Campo Eléctrico. En una región del espacio existen dos objetos

cargados (que pueden ser modelados como cargas puntuales) que modifican el espacio

generando sus propios campos eléctricos �⃗⃗�. Si de manera simultánea dos campos eléctricos

cuyas magnitudes y direcciones son respectivamente 𝐸1 = 20 mN/C , N40°E y 𝐸2 =30 mN/C , S60°E actúan en un mismo punto del espacio ¿Cuál es la magnitud y dirección

del campo eléctrico resultante sobre una carga de prueba que se coloque en dicho punto del

espacio?. Para el caso presente las unidades del campo eléctrico son milinewton/coulomb.

Método Analítico (Descomposición de vectores)

El método geométrico de suma de vectores no es recomendable cuando se desean sumar

más de dos vectores o en problemas tridimensionales. La descomposición de un solo vector


se ilustró por completo en el apartado 2.1, para el caso de dos dimensiones y en el apartado

2.2 para el caso de las tres dimensiones.

En este apartado se describe un método de suma de vectores que utiliza las proyecciones de

los vectores a lo largo de los ejes coordenados y que se conoce como método analítico o de

descomposición de vectores, cuyas proyecciones se llaman componentes del vector o sus

componentes rectangulares.

Pues bien, ¿cómo usar las componentes de los vectores para sumar vectores cuando el

método geométrico no es suficientemente práctico?. Suponga que se quiere sumar el vector

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ con el vector �⃗⃗� = 𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂.

Debido a que se debe tener una resultante �⃗⃗�,

que se corresponda con los ejes cartesianos

y a su vez con los vectores unitarios, todo lo

que se hace es sumar las componentes x e y

por separado y por tanto el vector resultante

�⃗⃗� = 𝐴 + �⃗⃗� se obtiene así:

�⃗⃗� = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)𝑖̂ + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)𝑗 ̂

Puesto que se debe cumplir que:

�⃗⃗� = 𝑅𝑥𝑖̂ + 𝑅𝑦𝑗̂

Fig.2.16. Construcción geométrica para obtener la

suma de dos vectores por el método de

descomposición

Las componentes del vector resultante deben ser tal que:

𝑅𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑅𝑦 = 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦

Esta comprobación se muestra en la construcción geométrica mostrada en la figura 2.16.

La magnitud del vector resultante �⃗⃗� y el ángulo que forma con el eje x de sus componentes

se obtienen de la siguiente manera:

𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 = √(𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)2 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)2

𝑡𝑔𝜃 =𝑅𝑦𝑅𝑥

=𝐴𝑦 + 𝐵𝑦𝐴𝑥 + 𝐵𝑥


A veces, es necesario considerar situaciones que implican el tratamiento y manejo de los

vectores en tres dimensiones. La extensión del método de descomposición, para la suma

vectorial en el caso tridimensional es directa, por ello si:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐴𝑧 �̂� y �⃗⃗� = 𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ + 𝐵𝑧 �̂�

La suma de 𝐴 y �⃗⃗� es:

�⃗⃗� = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)𝑖̂ + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)𝑗̂ + (𝐴𝑧 + 𝐵𝑧)�̂�

La magnitud del vector resultante �⃗⃗� se obtiene de:

𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦2 + 𝑅𝑧2 = √(𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)2 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)2+ (𝐴𝑧 + 𝐵𝑧)2

Y la dirección del vector resultante se obtiene con los ángulos directores, los cuales se

calculan conociendo los cosenos directores, así:

𝜃𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝑅𝑥

𝑅), 𝜃𝑦 = 𝑐𝑜𝑠

−1 (𝑅𝑦

𝑅) y 𝜃𝑧 = 𝑐𝑜𝑠−1 (

𝑅𝑧

𝑅)

Ejemplo 2.7

Dados los vectores: 𝐴 = 3 𝑖̂ − 8 𝑗̂ + 2 �̂� y �⃗⃗� = 𝑖̂ + 6 𝑗̂ − 3 �̂�, hallar: a) 𝐴 + �⃗⃗� y b)

𝐴 − �⃗⃗�.

Solución

a) La suma de 𝐴 y �⃗⃗� no es más que la suma de las componentes en 𝑖̂, 𝑗̂, �̂� de los dos

vectores, así:

𝐴 = 3 𝑖̂ − 8 𝑗̂ + 2 �̂�

�⃗⃗� = 𝑖̂ + 6 𝑗̂ − 3 �̂�

𝐴 + �⃗⃗� = 4 𝑖̂ − 2 𝑗̂ − �̂�

b) La diferencia de 𝐴 y �⃗⃗� no es más que la diferencia de las componentes en 𝑖̂, 𝑗̂, �̂� de

los dos vectores, o simplemente al vector �⃗⃗� se le cambia de signo a cada uno de sus

términos y luego se suman, así:

𝐴 = 3 𝑖̂ − 8 𝑗̂ + 2 �̂�

−�⃗⃗� = −𝑖̂ − 6 𝑗̂ + 3 �̂�

𝐴 − �⃗⃗� = 2 𝑖̂ − 14 𝑗̂ + 5�̂�


Ejemplo 2.8

En la figura 2.17 se muestran tres vectores 𝐴, �⃗⃗� y 𝐶 localizados en el plano xy. Las

magnitudes correspondientes son 𝐴 = 10, 𝐵 = 30 y 𝐶 = 20, en unidades arbitrarias y con

las direcciones mostradas. Encontrar la magnitud y dirección, de la suma de los tres

vectores.

Solución

Sea �⃗⃗� la resultante de la suma de los tres

vectores, es decir que:

�⃗⃗� = 𝐴 + �⃗⃗� +𝐶

Primero se descomponen los vectores en sus

componentes rectangulares, como se

muestra en la figura 2.18, así:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂

�⃗⃗� = −𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗 ̂

𝐶 = −𝐶𝑦 𝑗̂

Ahora se procede a calcular los valores de

las magnitudes de cada uno de los

respectivos vectores, obteniéndose:

𝐴 = 10cos30° 𝑖̂ + 10sen30° 𝑗̂

𝐴 = 10(√3

2) 𝑖̂ + 10 (

1

2) 𝑗̂

𝐴 = 5√3 𝑖̂ + 5 𝑗̂

𝐴 = 8,66 𝑖̂ + 5,00 𝑗̂

Fig.2.17. Vectores en el plano xy

Fig.2.18. Descomposición de vectores

�⃗⃗� = −30cos60° 𝑖̂ + 30sen60° 𝑗̂

�⃗⃗� = −30 (1

2) 𝑖̂ + 30(

√3

2) 𝑗̂

�⃗⃗� = −15 𝑖̂ + 15√3𝑗̂

�⃗⃗� = 15,00 𝑖̂ + 25,98 𝑗̂

𝐶 = −20 𝑗̂

x

y

x

y


Por lo tanto,

�⃗⃗� = (8,66 − 15,00)𝑖̂ + (5,00 + 25,98 − 20)𝑗̂

�⃗⃗� = −6,34𝑖̂ + 10,98𝑗 ̂

La representación de éste vector resultante en el

plano 𝑥𝑦, se muestra en la figura 2.19, en donde

la ubicación de las componentes se hace

respecto a los signos obtenidos.

La magnitud del vector resultante es:

𝑅 = √(−6,34)2 + (10,98)2

𝑅 = √40,20 + 120,56

𝑅 = √160,76 → 𝑅 = 12,68

Fig.2.19. Obtención de vector resultante

teniendo componentes rectangulares

Y la dirección se obtiene calculando el ángulo 𝜃, así:

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑅𝑦

𝑅𝑥) = 𝑡𝑔−1 (

10,98

6,34)

𝜃 = 𝑡𝑔−1(1,73) → 𝜃 = 60°

Es decir, que el vector �⃗⃗� se puede escribir en su solución de cualquiera de las siguientes

maneras:

�⃗⃗� = −6,34𝑖̂ + (10,98)𝑗̂ 𝑜 �⃗⃗� = {

𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑: 𝑅 = 12,68𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛: ∡ 60° 𝑐𝑜𝑛 − 𝑥

∡120° 𝑐𝑜𝑛 + 𝑥𝑁30° 𝑂

La primera versión está expresada en términos de vectores unitarios y la segunda dando su

magnitud y dirección, es decir de manera geométrica.

2.3.2. Multiplicación de un escalar por un vector

Si se tiene un vector �⃗⃗� que se multiplica por una cantidad escalar positiva n (número real

positivo), el producto 𝑛�⃗⃗� es un vector que tiene la misma dirección que �⃗⃗� y magnitud 𝑛𝐴.

Pero, si el vector �⃗⃗� se multiplica por una cantidad escalar negativa −𝑛, el producto −𝑛�⃗⃗� es

un nuevo vector que tiene una dirección opuesta a �⃗⃗� y cuya magnitud es 𝑛𝐴.

x

y

q


Por ejemplo, el vector 3�⃗⃗� es tres veces más largo que �⃗⃗� y está en la misma dirección que �⃗⃗�;

el vector −1

2�⃗⃗� es la mitad de la longitud de �⃗⃗� y apunta en la dirección opuesta a �⃗⃗�.

Ejemplo 2.9

Si �⃗⃗� = 6 𝑖̂ − 8 𝑗̂ + 2 �̂�, encontrar el vector �⃗⃗� = −1

2�⃗⃗�.

Solución

�⃗⃗� =1

2�⃗⃗� = −

1

2(6 𝑖̂ − 8 𝑗̂ + 2 �̂�) = −3 𝑖̂ + 4 𝑗̂ − �̂�

2.3.3. Producto escalar entre dos vectores

Dados dos vectores cualesquiera 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ , se define el producto escalar (por el resultado que

se obtiene: un escalar) o producto punto (por la forma en que se denota la operación:

punto) entre ellos como:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 (2.5)

Donde A y B son respectivamente las magnitudes de los vectores y 𝜃 es el ángulo formado

entre los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ .

Como se ve en la figura 2.20, al unir los dos vectores por sus

orígenes (colas), 𝜃 es el menor de los ángulos formado por los

dos vectores.

Los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ dependiendo de la cantidad física que

representen, no necesariamente deben tener las mismas

unidades.

Fig.2.20. Representación del

Ángulo entre dos vectores

De la definición del producto escalar se desprende el hecho que:

a) El producto escalar cumple con la propiedad conmutativa del producto, es decir:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ . b) Si el ángulo formado entre los dos vectores es de 90°, el producto escalar es

numéricamente igual a cero. Es decir, que dos vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ son perpendiculares

(𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ) cuando su producto escalar es cero.

c) 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = (𝐴)(𝐴)𝑐𝑜𝑠0° → 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐴2

A

B

q


Nota Conceptual

La definición del producto escalar en física es supremamente trascendental y podría

decirse que: Dadas dos cantidades físicas vectoriales cualesquiera el realizar el producto

escalar entre ellas, permite encontrar una nueva variable física o cantidad física escalar

que proviene del producto de las magnitudes de los vectores por el coseno del ángulo que

forman dichos vectores. Por ejemplo, las nociones de trabajo, potencia, flujo y

divergencia de un campo vectorial, entre otras, provienen de dicha definición.

De igual manera en la geometría y la trigonometría, el producto escalar es usado para saber

cuándo dos vectores son mutuamente perpendiculares, para conocer la proyección de un

vector sobre otro, para definir o demostrar los teoremas de seno y coseno, entre otros.

Ejemplo 2.10

Dados los vectores:

EN

AA

o40

20 y

Este

BB

10

Calcular: 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗

Solución

Sin necesidad de hacer una representación gráfica de los dos vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ se puede

observar que el ángulo entre ellos es de 50°, por lo tanto por definición se tiene que:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (20)(10)𝑐𝑜𝑠50° = 128,56

El resultado de la operación puede llevar a conjeturas tales como: ¿Tiene alguna

representación el valor obtenido de la operación?, ¿puede tener algún significado físico?.

No olvidar que el resultado del producto escalar es un número y él estrictamente es un

indicador de una nueva magnitud física que puede ser positiva, negativa o cero. El concepto

de trabajo en física, precisamente es un indicador de si un objeto en la naturaleza pudo o no

haber ganado energía, en un proceso donde dicho objeto sufre un desplazamiento a lo largo

de una trayectoria determinada.

Ejemplo 2.11

Aplicar la definición de producto escalar para deducir el producto punto entre los vectores

unitarios cartesianos.

Solución


𝑖̂ 𝑖̂ = (1)(1)𝑐𝑜𝑠0° = 1

�̂� �̂� = 1

Por analogía:

𝑗̂ 𝑗̂ = 1

�̂� �̂� = 1

𝑖̂ 𝑗̂ = (1)(1)𝑐𝑜𝑠90° = 0

�̂� 𝑗̂ = 0

Por analogía:

𝑗̂ �̂� = 0

𝑖̂ �̂� = 0

Ejemplo 2.12

Dados los vectores 𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐴𝑧 �̂� y �⃗⃗� = 𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ + 𝐵𝑧 �̂� y valiéndose del

resultado del ejemplo anterior encontrar una expresión para 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ . Solución

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐴𝑧 �̂�) (𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ + 𝐵𝑧 �̂�)

Teniendo en cuenta que:

𝑖̂ 𝑖̂ = 𝑗̂ 𝑗̂ = �̂� �̂� = 1 y 𝑖̂ 𝑗̂ = 𝑗̂ �̂� = 𝑖̂ �̂� = 0

se realizar el producto entre los diferentes términos, teniendo presente que se multiplican

los escalares como números reales y los vectores (unitarios en este caso) como vectores a

través del producto escalar. Por ejemplo:

(𝐴𝑥𝑖 ̂𝐵𝑥𝑖 ̂) = 𝐴𝑥𝐵𝑥𝑖 ̂ 𝑖 ̂ = 𝐴𝑥𝐵𝑥 y (𝐴𝑥𝑖 ̂𝐵𝑦�̂�) = 𝐴𝑥𝐵𝑦𝑖 ̂ 𝑗 ̂ = 0

Siguiendo el mismo procedimiento con los demás productos, es fácil mostrar que:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝑥 𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 𝐵𝑦 + 𝐴𝑧 𝐵𝑧

En otras palabras, el producto escalar entre dos vectores que están expresados en términos

de vectores unitarios, es numéricamente igual a la suma del producto de sus componentes

que corresponden a los mismos ejes.

Ejemplo 2.13

Calcular el ángulo entre los vectores: 𝐴 = 3 𝑖̂ + 2 𝑗̂ − 5 �̂� y �⃗⃗� = −2 𝑖̂ + 𝑗̂ + �̂�

Solución


Por definición del producto escalar se tiene que:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵 → 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵)

En donde se sabe que 𝜃 es el ángulo formado por los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ . Ahora, se calcula

cada uno de los términos:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (3 𝑖̂ + 2 𝑗̂ − 5 �̂�) (−2 𝑖̂ + 𝑗̂ + �̂�) = −6 + 2 − 5 = −9 → 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = −9

𝐴 = √(3)2 + (2)2 + (−5)2 = √9 + 4 + 25 = √38

𝐵 = √(−2)2 + (1)2 + (1)2 = √4 + 1 + 1 = √6

Sustituyendo estos valores se tiene:

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (−9

√38√6) = 𝑐𝑜𝑠−1(−0,6) =→ 𝜃 = 126,87°

Ejemplo 2.14

En el ejemplo 2.5 del Aerostato se pide encontrar el ángulo entre las cuerdas 1 y 3.

Solución:

En el ejemplo 2.5 se halló el vector que se dirige a lo largo de la cuerda 1 de A a D y se le

denoto como 𝐴 y el cuál es 𝐴 = 2 𝑖̂ − 2 𝑗̂ + 8 �̂�. Si ahora, llamamos �⃗⃗� al vector que se

dirige a lo largo de la cuerda 2 de B a D, el cual resulta ser: �⃗⃗� = −3 𝑖̂ − 3 𝑗̂ + 8 �̂�.

Con la construcción de estos dos vectores, es posible calcular el ángulo entre dichos

vectores y ese valor se corresponde con el ángulo entre las cuerdas 1 y 3. Ahora, se

seguirán los mismos pasos seguidos en el ejemplo anterior para hallar el ángulo entre dos

vectores.

Las magnitudes de los vectores son respectivamente:

𝐴 = √(2)2 + (−2)2 + (8)2 m = √72 m → 𝐴 = 6√2 m

B = √(−3)2 + (−3)2 + (8)2 m = √82 m → 𝐵 = √82 m

El producto escalar entre los dos vectores es:


𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (2 𝑖̂ − 2 𝑗̂ + 8 �̂�) (−3 𝑖̂ − 3 𝑗̂ + 8 �̂�) = −6 + 6 + 64 = 64 → 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 64

Sustituyendo los valores encontrados, en la expresión:

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐴 ⃗⃗⃗⃗ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵)

el ángulo entre las cuerdas 1 y 3 es:

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠−1 (64

6√2 √82 ) = 𝑐𝑜𝑠−1(0,83) → 𝜃 = 33,9°

2.3.4. Producto vectorial entre dos vectores

Dados dos vectores cualesquiera 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ , se define el producto vectorial (por el resultado

que se obtiene, un nuevo vector: 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ ) o producto cruz (por la forma en que se denota la

operación: cruz) entre ellos como:

𝐶 ⃗⃗⃗⃗ = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ (2.6)

Siendo 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ un nuevo vector, su magnitud se calcula de:

𝐶 = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 (2.7a) 𝐶 = |𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ | = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 (2.7b)

Donde A y B son respectivamente las magnitudes de los vectores y 𝜃 es el ángulo formado

entre los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ .

La dirección de 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ es perpendicular al plano

formado por los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ y la forma

de determinar dicha dirección es usando la

regla de la mano derecha, como se ilustra en

la figura 2.21. Los cuatro dedos de la mano

derecha apuntan a lo largo de 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y luego “se

enrrollan” hacia 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ a través del ángulo 𝜃. La

dirección del pulgar recto hacia arriba es la

dirección de 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ .

Fig.2.21. Ilustración regla de la mano derecha

Si los vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ se dibujan en un plano en donde no es posible visualizar el vector 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ ,

debido a que este queda en un plano perpendicular a ellos dos, se acostumbra a seguir una

convención que tiene que ver con la naturaleza de la notación de los vectores con una

flecha. Al representar una flecha de la forma convencional, se cree que al verla de frente


por su extremo superior (cabeza) se vería un punto y si se le mira por su extremo inferior u

origen (cola) se vería una cruz, así: . Por eso, es frecuente encontrar frases:

el vector que resulta del producto vectorial está saliendo de la hoja, saliendo del tablero,

saliendo de la pared, entre otras, para significar que se estaría viendo la cabeza del vector y

su condición opuesta para decir que se estaría viendo la cola del vector.

Algunas propiedades del producto vectorial que provienen de su definición son:

a) El vector 𝐶 que resulta del producto vectorial está en un plano perpendicular al

plano que contiene a los dos vectores 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ y por tanto es perpendicular a cada uno

de ellos.

b) El producto vectorial no es conmutativo. El orden en que los dos vectores se

multiplican en un producto vectorial es importante, por eso 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = −𝐵 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ . Por lo tanto, si cambia el orden de los vectores en un producto vectorial, debe

cambiar el signo. Esta propiedad se verifica fácilmente con la regla de la mano

derecha.

c) Si 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ es paralelo a 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ (𝜃 = 0° 𝑜 180°) en tal caso 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗ y por tanto, también

se cumple 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ = 0⃗⃗.

d) Si 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ es perpendicular a 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ (𝐴 ⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ ) en tal caso 𝐶 = 𝐴𝐵 o también |𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ | = 𝐴𝐵

Nota Conceptual

La definición del producto vectorial en física es fundamental y podría decirse que: Dadas

dos cantidades físicas vectoriales cualesquiera el realizar el producto vectorial entre ellas,

permite encontrar una nueva variable física o cantidad física vectorial cuya magnitud

proviene del producto de las magnitudes de los vectores por el seno del ángulo que forman

dichos vectores y su dirección viene dada por la regla de la mano derecha. Por ejemplo, las

nociones de Momento de fuerza o torque, Momento angular, Fuerza magnética y

Rotacional de un campo vectorial, entre otras, provienen de dicha definición.

Ejemplo 2.15

Dados los vectores:

EN

AA

o60

5 y

Sureste

BB

4 Calcular: 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗

Solución


Si se asume que 𝐶 = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ , entonces la

magnitud de 𝐶 es:

𝐶 = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃

De la figura 2.22 puede observarse que el ángulo

entre los dos vectores es de 75° y por tanto:

𝐶 = (5)(4)𝑠𝑒𝑛(75°)

𝐶 = 19,32

Fig.2.22. Representación en el plano xy del

vector resultante del producto vectorial

Al aplicar la regla de la mano derecha se observa (ver figura) que la dirección del vector 𝐶

es entrando a la hoja y por eso aparece el símbolo .

Ejemplo 2.16

Aplicar la definición de producto vectorial para encontrar el producto vectorial entre los

vectores unitarios cartesianos.

Solución:

La figura 2.23 muestra las características

geométricas de los vectores unitarios

cartesianos.

Aplicando la definición de la magnitud del

producto vectorial, se tiene que para el caso:

|𝑖̂ × 𝑖̂| = (1)(1)𝑠𝑒𝑛0° = 0 |𝑖̂ × 𝑖̂| = 0

Por analogía:

|𝑗̂ × 𝑗̂| = 0

|�̂� × �̂�| = 0

Fig.2.23. Vectores unitarios cartesianos

Aplicando de nuevo la definición de la magnitud del producto vectorial para el caso:

|𝑖̂ × 𝑗̂| = (1)(1)𝑠𝑒𝑛90° = 1

|𝑖̂ × 𝑗̂| = 1

La dirección del vector que resulta de hacer 𝑖̂ × 𝑗̂ usando la regla de la mano derecha es �̂�.

B

A

N

S

O

o60

o45

y

z


Resumiendo, el producto vectorial entre dos vectores unitarios que son mutuamente

perpendiculares, da como resultado otro vector unitario cuya dirección sigue siendo dada

por la regla de la mano derecha. Para el caso analizado, 𝑖̂ × 𝑗̂ = �⃗⃗� .

A continuación, se resumen todas las combinaciones de los productos vectoriales entre

vectores unitarios cartesianos. Se deja que el lector compruebe las direcciones practicando

la regla de la mano derecha, basado en la figura 2.23.

𝑖̂ × 𝑗̂ = �⃗⃗� 𝑗̂ × 𝑖̂ = −�⃗⃗�

𝑗̂ × �̂� = 𝑖̂ �̂� × 𝑗̂ = −𝑖̂

�̂� × 𝑖̂ = 𝑗̂ 𝑖̂ × �̂� = −𝑗̂

Ejemplo 2.17

Realizar el producto vectorial entre los siguientes vectores:

𝐴 = −2 𝑗̂ + 3 �̂� y �⃗⃗� = 𝑖̂ − 2 𝑗̂ + �̂�

Solución:

𝐶 = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (−2 𝑗̂ + 3 �̂�) × (𝑖̂ − 2 𝑗̂ + �̂�)

𝐶 = (−2 𝑗̂) × (𝑖̂) + (−2 𝑗̂) × (−2 𝑗̂) + (−2 𝑗̂) × (�̂�) + (3 �̂�) × (𝑖̂) + (3 �̂�) × (−2 𝑗̂) + (3 �̂�) × (�̂�)

Teniendo en cuenta el resultado del ejemplo anterior, en donde los productos vectoriales

entre los vectores unitarios idénticos son cero y los demás cumplen con la tabla resumen

del mismo ejemplo, se tiene:

𝐶 = 2�̂� − 2𝑖̂ + 3𝑗̂ + 6𝑖̂ → 𝐶 = 4𝑖̂ + 3𝑗̂ + 2�̂�

Ejemplo 2.18

Para generalizar el producto vectorial entre dos vectores se hace necesario realizar unas

deducciones y luego de las simplificaciones necesarias, poder usar dichas expresiones en

diferentes aplicaciones. Por eso, se hace necesario:

a) Encontrar una expresión general para el producto vectorial de los vectores:

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐴𝑧 �̂� y �⃗⃗� = 𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ + 𝐵𝑧 �̂�

b) Aplicar las expresiones obtenidas para calcular el producto vectorial de los vectores


𝐴 = 3 𝑖̂ − 𝑗̂ + 2 �̂� y �⃗⃗� = 2 𝑗̂ − 5�̂�

c) Comprobar que el vector obtenido en el literal b) es perpendicular tanto a 𝐴 como a �⃗⃗�.

Solución

a) Se plantea el producto vectorial de la siguiente manera:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (𝐴𝑥 𝑖̂ + 𝐴𝑦 𝑗̂ + 𝐴𝑧 �̂�) × (𝐵𝑥 𝑖̂ + 𝐵𝑦 𝑗̂ + 𝐵𝑧 �̂�)

La multiplicación entre los dos vectores genera nueve (9) términos, sin embargo tres (3) de

ellos son numéricamente igual a cero (producto vectorial entre unitarios idénticos), por lo

tanto solo quedan seis (6) términos, así:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (𝐴𝑥𝐵𝑦)(𝑖̂ × 𝑗̂) + (𝐴𝑥𝐵𝑧)(𝑖̂ × �̂�) + (𝐴𝑦𝐵𝑥)(𝑗̂ × 𝑖)̂ + (𝐴𝑦𝐵𝑧)(𝑗̂̂ × �̂�) + (𝐴𝑧𝐵𝑥)(�̂� × 𝑖)̂ + (𝐴𝑧𝐵𝑦)(�̂� × 𝑗̂)

Aplicando el producto vectorial entre los vectores unitarios indicados se llega a:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (𝐴𝑥𝐵𝑦)�̂� − (𝐴𝑥𝐵𝑧)𝑗̂ − (𝐴𝑦𝐵𝑥)�̂� + (𝐴𝑦𝐵𝑧)𝑖̂ + (𝐴𝑧𝐵𝑥)𝑗̂ − (𝐴𝑧𝐵𝑦)𝑖̂

Agrupando términos se tiene:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (𝐴𝑦𝐵𝑧−𝐴𝑧𝐵𝑦)𝑖̂ − (𝐴𝑥𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑥)𝑗̂ + (𝐴𝑥𝐵𝑦−𝐴𝑦𝐵𝑥)�̂�

La expresión anterior puede agruparse de una manera más compacta en el siguiente

determinante7:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = |

𝑖̂ 𝑗̂ �̂�𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

|

La forma de resolver este determinante es muy sencilla y se hace de la siguiente manera:

|

𝑖̂ 𝑗̂ �̂�𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧

| = |𝐴𝑦 𝐴𝑧𝐵𝑦 𝐵𝑧

| 𝑖̂ − |𝐴𝑥 𝐴𝑧𝐵𝑥 𝐵𝑧

| 𝑗̂ + |𝐴𝑥 𝐴𝑦𝐵𝑥 𝐵𝑦

| �̂�

Recordando cómo se resuelve un determinante de dos por dos8 y resolviendo cada uno de

ellos en la expresión anterior, se llega a la igualdad obtenida anteriormente para 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ .

7 El procedimiento para llegar a este determinante, requiere conocer sobre el método de menores y cofactores que se

estudia en cursos de Algebra Lineal y por tanto aquí se muestra sin la demostración rigurosa.

8 Un determinante de dos por dos se resuelve de la siguiente manera: |𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐


c) Como aplicación del resultado anterior, se toman los dos vectores propuestos y de

acuerdo a sus componentes se plantea el determinante siguiente:

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = |𝑖̂ 𝑗̂ �̂�3 −1 20 2 −5

|

Se resuelve ahora el determinante

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = |𝑖̂ 𝑗̂ k̂3 −1 20 2 −5

| = |−1 2 2 −5

| 𝑖̂ − |3 20 −5

| 𝑗̂ + |3 −10 2

| �̂�

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = (5 − 4)𝑖̂ − (−15 − 0)𝑗̂ + (6 − 0)�̂�

𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑖̂ + 15𝑗̂ + 6�̂�

d) De la respuesta obtenida en el literal b) se sabe que 𝐶 = 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ × 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑖̂ + 15𝑗̂ + 6�̂�,

entonces para probar que 𝐶 es perpendicular a 𝐴 ⃗⃗⃗⃗ y 𝐵 ⃗⃗⃗⃗ , se realizan los siguientes

productos escalares:

𝐶 ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = (𝑖̂ + 15𝑗̂ + 6�̂�) (3 𝑖̂ − 𝑗̂ + 2 �̂� ) = 3 − 15 + 12 = 0 → 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ 𝐴 = 0

𝐶 ⃗⃗⃗⃗ �⃗⃗� = (𝑖̂ + 15𝑗̂ + 6�̂�) (0 𝑖̂ + 2 𝑗̂ − 5�̂� ) = 0 + 30 − 30 = 0 → 𝐶 ⃗⃗⃗⃗ �⃗⃗� = 0

Lo anterior comprueba que 𝐶 sí es perpendicular a los dos vectores, por el hecho que el

producto escalar de 𝐶 con cada uno de ellos es cero.

Preguntas de investigación

a) ¿En qué circunstancias un vector diferente de cero que está en el plano xy tendría

componentes de igual magnitud?. Explique y diga cuántas soluciones existen.

b) Si la expresión �⃗� = 𝑚�⃗�, es válida para objetos de masa constante y que se aceleran a

un valor �⃗� cuando sobre dichos objetos se aplica una fuerza neta �⃗�, ¿Es posible, la

expresión 𝑚 =�⃗�

�⃗⃗� ?. Explique.

c) ¿Es posible, escribir la energía cinética K de un objeto de masa m que se mueve con

cierta rapidez 𝑣, con la expresión 𝐾 =1

2𝑚�⃗�2?. Explique.

d) ¿Tiene algún significado geométrico |𝐴 × �⃗⃗�| = 𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 con un paralelogramo?


Ejercicios

1. Asumiendo que cada cuadricula, ver

figura 2.23, se corresponde con un valor de

2 m de longitud:

a) Determine usando geometría y

trigonometría las magnitudes y direcciones

de los vectores 𝐴, �⃗⃗� y 𝐶. Exprese las

direcciones de los vectores, por lo menos de

dos maneras diferentes.

b) Encuentre la magnitud y dirección de la

resultante de la suma de los tres vectores.

c) Idéese por lo menos un enunciado que se

pueda corresponder a una fenomenología

específica de la física, que de razón de la

suma de los tres vectores.

Fig.2.23. Vectores en el plano

2. Un vector en tres dimensiones viene dado por: 𝐴 = −3 𝑖̂ + 2 𝑗̂ + 3 �̂�. Para dicho vector:

a) Realice la representación gráfica

b) Halle la magnitud

c) Encuentre los ángulos directores

d) Consiga un vector unitario paralelo al mismo.

3. Dados los vectores 𝐴 y �⃗⃗� cuyas magnitudes son respectivamente 𝐴 = 6 y 𝐵 = 8 en

unidades arbitrarias, se pide encontrar otro vector 𝐶, de tal manera que provenga de:

a) La suma o diferencia de 𝐴 y �⃗⃗� y cuya magnitud sea 𝐶 = 2 con la condición que 𝐴 y �⃗⃗�

sean paralelos.

b) La suma o diferencia de 𝐴 y �⃗⃗� y cuya magnitud sea 𝐶 = 14 con la condición que 𝐴 y �⃗⃗�

sean paralelos.

c) La suma o diferencia de 𝐴 y �⃗⃗� y cuya magnitud sea 𝐶 = 10 con la condición que 𝐴 y �⃗⃗�

no sean paralelos.

d) La suma o diferencia de 𝐴 y �⃗⃗� y cuya magnitud sea 𝐶 = 4 con la condición que 𝐴 y �⃗⃗�

no sean paralelos.

e) La suma o diferencia de 𝐴 y �⃗⃗� y cuya magnitud sea 𝐶 = 1 o 𝐶 = 15 con la condición

que 𝐴 y �⃗⃗� no sean paralelos. De no ser posible cumplir dicha condición, explique de

manera geométrica las razones por las cuales no se puede encontrar dicho resultado.

4. Dos fuerzas aplicadas sobre un objeto tienen las siguientes características:


EN

NFF

o45

201

1 y

ES

NFF

o53

102

2

Calcule la magnitud y dirección de la fuerza resultante (suma de las dos fuerzas) usando el

método:

a) Geométrico (Teoremas del Seno y Coseno)

b) Método Analítico (Descomposición de vectores)

5. Un barco zarpa de la isla de San Andrés y navega 185 km en una dirección N 50o

O.

¿Qué dirección deberá tomar y que distancia deberá navegar para que su desplazamiento

resultante sea de 130 km directamente al Este de San Andrés?.

6. Un estudiante de Ingeniería interesado en revisar un proceso de producción, necesita

programar un brazo de robot de una línea de montaje que se mueve en el plano xy. El

primer desplazamiento del robot es A

; el segundo es B

, de magnitud 15 cm y dirección de

53° en sentido horario desde el eje +x. La resultante BAC

también debe tener

magnitud de 6 cm pero una dirección de 60° en sentido antihorario desde el eje +x. a)

Obtenga las componentes de A

y b) Obtenga la magnitud y dirección de A

.

7. La figura 2.24 muestra las fuerzas que actúan sobre un objeto que está suspendido de dos

cuerdas y que permanece en equilibrio, es decir que la suma de las fuerzas que actúan sobre

él son cero. Las fuerzas �⃗�1 y �⃗�2 se corresponden con las reacciones a las tensiones de las

cuerdas y �⃗⃗⃗⃗� es el peso del objeto.

Si se asume que:

a) �⃗⃗⃗⃗� = −80𝑁𝑗̂, 𝜃 = 30° y 𝛼 = 45°, ¿Cuáles son las magnitudes de las

tensiones de las cuerdas?.

b) �⃗⃗⃗⃗� = −120𝑁𝑗̂, 𝜃 = 37° y la magnitud

de la tensión en la cuerda 1 es 𝐹1 = 70𝑁,

¿Cuál es la magnitud de la tensión en la

cuerda 2 y el valor del ángulo 𝛼?.

c) �⃗⃗⃗⃗� = −100𝑁𝑗̂ y que las magnitudes de

las tensiones son tales que 𝐹2 = √3𝐹1

siendo 𝐹1 = 50𝑁, ¿Cuáles son los valores

de los ángulos 𝜃 y 𝛼?.

Fig.2.24. Objeto en equilibrio

q


8. Ejercicio de Contexto: Tres cuerdas horizontales tiran de una piedra grande medio

enterrada en el suelo, produciendo los vectores de fuerza 321 ,, FFF

, cuyas magnitudes son

respectivamente 50, 50 y 25, como se muestran en la figura 2.25. De acuerdo al contexto se

deduce que:

Fig.2.25. Fuerzas en el plano xy

Pregunta 1

La magnitud de la resultante de las tres

fuerzas es

a) Inferior a la magnitud de �⃗�1

b) Igual a la magnitud de �⃗�1

c) Mayor a la magnitud de �⃗�1

d) Nula

Pregunta 2

Al aumentar en dos veces la magnitud de la

fuerza 2F

la magnitud de la resultante de

las tres fuerzas es:




d) Nula

Pregunta 3

Al agregar una cuarta fuerza 4F

sobre la

piedra que haga que dicha piedra quede en

equilibrio, la magnitud de 4F

es:




d) Nula

9. Los vectores A

y B

tienen magnitudes iguales de 5 unidades. La suma de A

y B

es el

vector j

6 . Determinar el ángulo entre A

y B

. Asuma que los vectores A

y B

están en el

plano xy.

9. Mostrar que los vectores �⃗⃗�1 = 8𝑖̂ − 3𝑗 ̂ + 4�̂� y �⃗⃗�2 = −3𝑖̂ + 4𝑗 ̂ + 9�̂�. (Sugerencia

pruebe que �⃗⃗�1 �⃗⃗�2 = 0.

10. Ejercicio de contexto. Un paralelepípedo tiene de largo 8 m, de ancho 4 m y de alto 6

m. El vector que representa a la diagonal principal se puede escribir como

8𝑖̂ + 4𝑗 ̂ + 6�̂�.

Pregunta 1: La magnitud en metros de la diagonal principal es:

i) Mayor a 20 ii) Inferior a 20 iii) Igual a 20 iv) Nula

Pregunta 2: El ángulo formado por el vector que representa dicha diagonal y el eje de las 𝑦

es:


i) Mayor al ángulo director en 𝑦

ii) Inferior al ángulo director en 𝑦

iii) Igual al ángulo director en 𝑦

iv) Nulo

Pregunta 3: El Coseno director del vector que representa dicha diagonal y el eje de las 𝑍

es:

i) Mayor a 4

1 ii) Inferior a

4

1 iii) Igual a

4

1 iv) Nulo

12. Dado el vector kjiA ˆˆˆ3

, kjiB ˆ2ˆˆ3

y kjiC ˆ3ˆˆ2

. Encontrar:

a) )( BAC

b) Un vector paralelo a 𝐴

c) Un vector perpendicular a �⃗⃗�

d) Un vector unitario perpendicular a �⃗⃗⃗� , siendo �⃗⃗⃗� =52

BC

e) El ángulo entre 2

A

y 3

C

13. Para el caso del ejemplo 2.5, en la figura 2.9 se mostraban tres cuerdas que sostenían un

aerostato. a) Si las magnitudes de las tensiones de las cuerdas 2 y 3 son respectivamente

𝑇2 = 15000 𝑁 y 𝑇3 = 12000 𝑁, encontrar expresiones para los vectores, 𝑇2⃗⃗ ⃗⃗ y 𝑇3⃗⃗ ⃗⃗ que

representan las tensiones de las cuerdas en términos de sus componentes en los ejes

cartesianos, siguiendo los pasos realizados en dicho ejemplo y b) Hallar, usando producto

escalar, el ángulo entre las cuerdas 2 y 3, siguiendo los pasos del ejemplo 2.14.

14. En la figura 2.26 se muestra un cubo de lado 𝑙, que es colocado de tal manera que una

esquina está en el origen y tres aristas están en los ejes x, y y z de un sistema de

coordenadas cartesiano.

a) Hallar El ángulo formado por los vectores �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2, usando:

i) Geometría y

ii) Producto escalar


b) Mostrar que el producto escalar entre �⃗⃗�1

y �⃗⃗�3 es numéricamente igual al área de una

de las caras del cubo.

c) Mostrar que la distancia más corta para ir

de O a P, moviéndose en las tres

dimensiones es igual en magnitud a la

longitud de una cualquiera de las diagonales

principales del cubo. Fig.2.26. Vectores en un cubo

d) Pregunta de desafío: Un caracol (animal muy lento que solo se arrastra, pero que es

muy “inteligente”), prueba que la distancia más corta para ir de O a P, “caminando” por las

paredes es numéricamente igual a 𝑙√5. ¿Está en lo cierto el caracol?. Compruébelo o

refútelo.

e) Usando geometría o producto escalar encuentre el ángulo entre las dos diagonales

principales (una de ellas es el segmento OP) de un cubo.

15. Compruebe que, si 𝜃𝑥, 𝜃𝑦 y 𝜃𝑧 son los ángulos directores para un vector cualquiera en

tres dimensiones y en un sistema de coordenados cartesiano, se cumple:

𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑦 + 𝑐𝑜𝑠

2𝜃𝑧 = 1

16. Sea 𝐴 = −2𝑖̂ + 5𝑗,̂ encuentre otro vector �⃗⃗� que esté en el plano xy que sea

perpendicular a 𝐴 y tenga una magnitud de 8 unidades. Resuelva el ejercicio de dos

maneras: a) Usando geometría y trigonometría básica y b) Usando la noción de producto

escalar, asumir que el vector �⃗⃗� = 𝐵𝑥𝑖̂ + 𝐵𝑦𝑗 ̂, para luego encontrar 𝐵𝑥 𝑦 𝐵𝑦, c) Compare los

dos procedimientos y detalle las diferencias de complejidad algebraica en las dos

soluciones.

17. Una variable que permite determinar si un objeto rígido puede o no rotar con relación a

algún eje, es el Momento de fuerza o torque (𝜏) . Si se asume que sobre un objeto rígido se

aplica una fuerza, que en coordenadas cartesianas viene dada por el vector �⃗� = 𝐹𝑥𝑖̂ + 𝐹𝑦𝑗̂ +

𝐹𝑧�̂�, que el vector de posición 𝑟 = 𝑟𝑥𝑖̂ + 𝑟𝑦𝑗̂ + 𝑟𝑧�̂� es el vector trazado desde el punto de

aplicación de la fuerza al eje de rotación y que por definición 𝜏 = 𝑟 × �⃗�:

a) Exprese el momento de fuerza o torque en forma de un determinante


b) Si 𝑟 = (−2𝑖̂ + 4𝑗̂)m y �⃗� = (100𝑖̂ + 120𝑗̂ − 150�̂�)N. Sabiendo que las magnitudes del

vector posición 𝑟 se expresa en metros (m) y la de la fuerza �⃗� en newton (N), encuentre la

magnitud (en N.m) y la dirección del momento de fuerza aplicado sobre el objeto.

18. El diagrama de la figura 2.27 muestra

dos vectores unitarios �̂�𝑟 , �̂�𝜃 que son

perpendiculares entre sí que corresponden a

las coordenadas polares (𝑟, 𝜃).

Muestre que �̂�𝑟 , �̂�𝜃 se pueden expresar en

función de los vectores unitarios 𝑖̂ y 𝑗̂ y del

ángulo 𝜃 de la siguiente manera:

�̂�𝑟 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑖̂ + 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑗̂ �̂�𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑖̂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑗̂

Fig.2.27. Gráfica ejercicio 18

19. Muchas aplicaciones de la física y sus áreas afines, utilizan otros sistemas de

coordenadas diferentes a las cartesianas, como lo son las coordenadas esféricas (𝑟, 𝜃, 𝜑). En ellas también existen los vectores unitarios que pueden ser denotados por: �̂�𝑟 , �̂�𝜃, �̂�𝜑 y

los cuales se obtienen de la siguiente manera:

�̂�𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑖 ̂ + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑗̂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃 �̂�

�̂�𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑖 ̂ + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑗̂ − 𝑠𝑒𝑛𝜃 �̂�

�̂�𝜑 = −𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑖 ̂ + 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑗̂

a) Muestre precisamente que ellos tienen como magnitud la unidad.

b) Verifique, usando el producto escalar entre cada dos de ellos, que son mutuamente

perpendiculares.

x

y

q

r


Capítulo 3

Movimiento Unidimensional “La humanidad también necesita soñadores, para quienes el desarrollo de una tarea sea tan cautivante

que les resulte imposible dedicar su atención a su propio beneficio.”

Marie Curie

Empezar a caracterizar algunas fenomenologías desde la física, requiere determinar los

modelos físicos y matemáticos desde los cuales se desean abordar dichas fenomenologías.

Adicionalmente, también se requiere de marcos históricos o epistemológicos, para

estudiarlas desde esos contextos. Sin embargo, desde estas miradas en el presente texto no

serán analizados, aunque implícitamente muchos de ellos su estudio se ha movido alrededor

de ellas.

Por ello, analizar el movimiento de un objeto se puede hacer desde los conceptos de la

mecánica clásica o desde conceptos más recientes, que pasan por la física cuántica, física

moderna, u otras áreas de la física, las cuales explican distintas clases o formas de

movimiento. En algunos casos, los movimientos son interpretados de acuerdo a las

interacciones entre pares de objetos o entre los objetos teniendo en cuenta los intercambios

de momentum y de las diferentes formas de energía.

Nos hemos acostumbrado a decir que la mecánica es el área de la física que analiza,

interpreta o estudia el movimiento o equilibrio de los objetos y que esas fenomenologías se

pueden abordar desde diferentes ramas como la cinemática, la dinámica o la estática.

Por tanto, en una primera etapa el estudio del movimiento será retomado desde los

fundamentos de la mecánica clásica y para el caso particular desde la cinemática, es decir

desde la mera descripción del movimiento sin detallar o escudriñar las interacciones que

aparecen entre los diferentes actores que participan en dicho movimiento, es decir sin tener

en cuenta las interacciones del objeto estudiado, con sus alrededores u agentes externos.

Es bien sabido, a partir de nuestro diario vivir, que el movimiento de un objeto representa

un cambio continuo en la posición de dicho objeto y dependiendo de estos cambios, en

física se puede se clasificar el movimiento en distintas categorías o tipos de movimiento

tales como: traslacional, rotacional u oscilatorio o vibracional. Un auto que se mueve en

una vía es un ejemplo de movimiento traslacional, el giro de un trompo sobre su eje es un

ejemplo de movimiento rotacional, y el movimiento de ida y vuelta de un sistema objeto

resorte es un ejemplo de movimiento oscilatorio. Por ser, el presente documento escrito


para orientar las nociones fundamentales de la física, en éste y los siguientes capítulos, se

tratara solo con el movimiento traslacional.

Existe un modelo físico para estudiar los objetos cuando ellos tienen sólo el movimiento de

traslación y es el modelo de partícula. Puede considerarse que una partícula (punto

material) es la representación de cualquier objeto en la naturaleza al cual le podemos

asociar propiedades como la masa o la carga, pero al cual no le asociamos dimensiones. En

otras palabras, una partícula es un objeto similar a un punto al que le asociamos

propiedades, pero su tamaño es infinitesimal y su único movimiento es el de traslación.

El modelo de partícula, es demasiado útil para explicar diferentes comportamientos de un

objeto en movimiento y a su vez simplifica mucho la interpretación del mismo.

Adicionalmente, la modelación matemática se hace relativamente sencilla. A manera de

ejemplo, para el caso del macrocosmos, describir el movimiento de la Tierra alrededor del

Sol, puede considerarse a la Tierra como partícula y así conseguir datos razonablemente

precisos acerca de su trayectoria orbital. La aproximación se justifica, por el hecho que el

radio de la órbita terrestre es demasiado grande en comparación con las dimensiones de la

Tierra y del Sol. Para el caso, del microcosmos, es posible explicar la presión que ejerce un

gas sobre las paredes de un recipiente al tratar las moléculas de gas como partículas, sin

importar su estructura interna o el caso de tratar objetos cargados como si fueran cargas

puntuales para analizar los efectos de atracción o repulsión entre ellos.

En este capítulo, se considera solo el movimiento en una dimensión, es decir, el

movimiento de un objeto a lo largo de una línea recta, y que por ahora, solo será descrito

desde la cinemática.

3.1. Variables Cinemáticas

Estudiar el movimiento en una dimensión, implica matemáticamente escoger una

coordenada espacial, por ejemplo x y colocar una partícula en alguna posición cualquiera x,

referida a un origen O, desde el cual un observador registra el tiempo t que va pasando a

medida que el objeto se mueve en una trayectoria recta a lo largo de dicho eje coordenado,

como se muestra en la figura 3.1. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la

derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

La posición x de la partícula se puede relacionar con el tiempo t mediante cualquier función

𝑥 = 𝑓(𝑡).


Fig.3.1. Posición de un objeto en una dimensión

Es importante generalizar el hecho, que un movimiento es rectilíneo, en la medida que

matemáticamente la posición del objeto (coordenada espacial) se pueda modelar y

representar como una función del tiempo (coordenada temporal).

Teniendo presente, la idea de la posición de una partícula que se mueve en línea recta, la

descripción del movimiento de la misma, por lo general, siempre se modela

matemáticamente con tres variables a saber que son: Desplazamiento (cambios de

posición), velocidad y aceleración.

Desplazamiento

Supongamos que una partícula se ubica en la posición inicial 𝑥0, en un tiempo 𝑡0 y que

luego se encuentra en la posición final 𝑥 en el tiempo 𝑡, como se muestra en la figura 3.2.

La variación de la posición de la partícula:

∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 (3.1)

se denomina desplazamiento.

Fig.3.2. Representación de un cambio de posición en un movimiento rectilíneo

Es necesario aclarar, que el símbolo delta ∆, es un operador matemático, que indica la

variación o incremento de una magnitud. Así, por ejemplo, la variación de x se escribe ∆𝑥 y

la variación del tiempo se escribe ∆𝑡.


Nota Conceptual

Siendo delta ∆ un operador, la notación ∆𝑥 (delta de x) corresponde a una sola operación,

el incremento de x (no al producto de ∆ por x, al igual que tampoco 𝑠𝑒𝑛𝜃 es el producto

del 𝑠𝑒𝑛 por 𝜃 o 𝑙𝑜𝑔 𝑥 al producto de log por x). Convencionalmente, la variación

experimentada por una variable es siempre su valor en condición final menos su valor en

condición inicial.

Es frecuente, confundir el concepto de desplazamiento, con el de distancia recorrida de una

partícula en un movimiento en una, dos o tres dimensiones. Esta confusión, se hace más

evidente cuando se trata de movimientos rectilíneos. Por eso, hay que hacer énfasis en que,

la distancia recorrida por una partícula es la longitud del camino seguido por ella desde su

posición inicial hasta su posición final y que por tanto es una magnitud escalar que siempre

es positiva. Mientras que el desplazamiento es el cambio de la posición de la partícula y por

tanto es una cantidad vectorial. Para el caso del movimiento en una dimensión, el

desplazamiento es positivo si la partícula va en la dirección positiva de x (+x) y negativo en

la dirección negativa de x (-x).

El desplazamiento es un vector y puede ser representado por las propiedades que ellos

tienen y que fueron vistas en el capítulo 2, pero dicha notación vectorial es utilizada de

manera más generalizada para describir y estudiar los movimientos en dos y tres

dimensiones, como se verá en el capítulo siguiente, para el caso de las dos dimensiones.

Ejemplo 3.1

Una partícula que se mueve en línea recta sobre el eje de las x, inicialmente está ubicada en

un punto A que está situado a 8 m a la derecha del origen O. Luego de cierto tiempo se le

ve a la partícula en un punto B situado a 6 m a la izquierda de O, para finalmente verla

regresar a un punto que está a 2 m a la izquierda del origen. a) Realizar un esquema

representativo de la situación, b) calcular la distancia recorrida, c) calcular el

desplazamiento resultante usando convención de signos de los vectores de posición y d)

encuentre una expresión para el desplazamiento resultante en términos de vectores unitarios

cartesianos.

Solución

a) Un esquema representativo de la situación se muestra en la figura 3.3. Se asume que cada

subdivisión en la escala del eje x corresponde a 2 m.


Fig. 3.3. Representación del desplazamiento de una partícula moviéndose en línea recta.

b) La distancia total 𝑑 recorrida por la partícula es la suma de la longitud del segmento de

recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ (𝑑𝐴𝐵) y la longitud del segmento de recta 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ (𝑑𝐵𝐶), es decir:

𝑑 = 𝑑𝐴𝐵 + 𝑑𝐵𝐶 = 14m + 4m = 16m → 𝑑 = 16m

c) Usando la definición de desplazamiento, ecuación 3.1, tendríamos que:

∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 = (−2m) − (8m) = −10m → ∆𝑥 = −10m

Obsérvese que los signos de la posición inicial y final de la partícula se han asumido de

acuerdo a la representación vectorial realizada en la figura 3.3. Por tanto, se puede decir

que la partícula se desplaza una magnitud de 10 m hacia el eje negativo de las x o

simplemente hacia la izquierda.

d) Usando de nuevo la definición de desplazamiento, pero empleando la escritura vectorial,

se tiene que:

∆�⃗� = �⃗� − �⃗�0 = (−2m𝑖̂) − (8m𝑖̂) = −10m𝑖̂ → ∆�⃗� = −10m𝑖̂

Las respuestas c y d obviamente son equivalentes, sino que la respuesta d tiene mucho más

formalismo matemático. La respuesta c es supremamente práctica en la medida en que,

como ya se dijo anteriormente, el movimiento sea en una sola dimensión y con un solo

signo se puede dar el carácter vectorial a las variables cinemáticas.

Ejemplo 3.2

Una partícula que describe una trayectoria en forma de circunferencia de radio 𝑟 = 10 m

inicia en punto A, cuando ella vuelve a pasar por el mismo punto A al dar una vuelta

completa, a) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento? y b) la distancia recorrida por

vuelta de la partícula?.

Solución:

a) La magnitud del desplazamiento es cero.

o xA

x0

B C

-x

x


b) La distancia recorrida por la partícula al volver al mismo punto, es decir por vuelta, es

equivalente a la longitud de la circunferencia, o sea:

𝑑 = 2𝜋𝑟 = 2𝜋(10m) = 62,83m → 𝑑 = 62,83m

Velocidad

En la cotidianidad los conceptos de rapidez y velocidad en la gran mayoría de veces

parecen intercambiables. Sin embargo en física, hay una distinción entre estas dos

cantidades, por eso se hace necesario que la conceptualización de estas variables se haga

con un cierto rigor, para que al ser aplicadas en la explicación de diferentes fenomenologías

que incluyan movimiento de partículas, no generen malas interpretaciones de las mismas. A

continuación se presentarán definiciones que pueden ayudar a éste propósito.

Velocidad media

Se define la velocidad media 𝑣𝑚 𝑥 de una partícula en la dirección del eje x, como el

cociente entre el desplazamiento sobre el eje x, ∆𝑥 y el intervalo de tiempo ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0, es

decir:

𝑣𝑚 𝑥 =∆𝑥

∆𝑡=𝑥 − 𝑥0𝑡 − 𝑡0

(3.2)

Es de anotar, que el desplazamiento y la velocidad media pueden ser positivos o negativos,

de tal manera, que un valor positivo indica que el movimiento de la partícula esta en la

dirección positiva de x. Esto implica que la definición de velocidad media da razón de la

magnitud y dirección de la velocidad y por eso la velocidad media es una cantidad

vectorial. Como cada variable en física, debe tener una unidad correspondiente en un

sistema de unidades, es bueno recordar que la unidad en el sistema internacional de

unidades SI, la velocidad tiene unidades de m/s.

La figura 3.4 muestra una gráfica de la posición x de una partícula en función del tiempo t.

Al unir con una línea recta los puntos P1 y P2, y construir un triángulo rectángulo cuyos

catetos son ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0 y ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0, el cociente ∆𝑥

∆𝑡 es la pendiente de la línea tangente

que une los dos puntos. Por eso, de acuerdo a esta interpretación geométrica se puede

asegurar, que la velocidad media en el intervalo de tiempo ∆𝑡 en un gráfico x vs t, es la

pendiente de la recta tangente que une dos puntos de la misma.


Por lo general, la velocidad

media depende del intervalo de

tiempo que se escoge para

realizar el cálculo. Como se

puede ver en la figura 3.4, si se

escoge un instante de tiempo tA

más próximo a t1, la velocidad

media tendrá un mayor valor,

por el hecho que la pendiente de

la recta que une P1 y PA, es

mayor que la que une P1 y P2.

Fig.3.4. Interpretación geométrica de la velocidad media

A veces, se define una variable que no incluye la dirección de la velocidad y que se vuelve

útil para describir el movimiento, como lo es la rapidez. Para inferir el concepto de rapidez,

veamos el siguiente ejemplo. Supongamos que en una competencia de autos de carreras uno

de ellos recorre una distancia d de más de 320 km (unas 200 millas) y aun así termina en su

punto de partida. Su desplazamiento es cero y por ende su velocidad media es cero. Sin

embargo es necesario asegurar que tan rápido viajaba el auto en la competencia. Una

relación ligeramente diferente permite observar esto. La rapidez media �̅� (cantidad escalar)

de una partícula, se define como la distancia total recorrida d dividida entre el intervalo de

tiempo total requerido ∆𝑡 para recorrer dicha distancia:

�̅� =𝑑

∆𝑡 (3.3)

La unidad en el SI de la rapidez media, es la misma que la unidad de velocidad media, es

decir, metros por segundo. Sin embargo, a diferencia de la velocidad media, la rapidez

media no tiene dirección y siempre se expresa como un número positivo. Por eso, obsérvese

claramente la diferencia entre las dos definiciones dadas anteriormente.

Al revisar las definiciones anteriores, calcular la velocidad media o la rapidez media de una

partícula, estas no proporcionan información acerca de los detalles del movimiento seguido

por la misma.

Ejemplo 3.3

Para el caso del ejemplo 3.1, si la partícula gasta un tiempo total de 2 s para ir desde el

punto A hasta el punto C (ver figura 3.3), sabiendo que ha pasado por B, calcular: a) La

rapidez media y b) la velocidad media entre dichos puntos A y C.


Solución

a) En el ejemplo 3.1 se mostró que la distancia total recorrida d por la partícula es de 14 m

y usando la expresión de la ecuación 3.3, la rapidez media que se obtiene es:

�̅� =𝑑

∆𝑡=14m

2s= 7 m/s

b) Usando el resultado obtenido en el ejemplo 3.1 para el desplazamiento y usando la

expresión de la ecuación 3.2 , la velocidad media es:

𝑣𝑚 𝑥 =∆𝑥

∆𝑡=−10m

2s= −5m/s

Si el cálculo anterior, fuera escrito en términos de vectores unitarios, la velocidad media se

escribe: �⃗�𝑚 𝑥 = −5m/s 𝑖̂.

Ejemplo 3.4

Para el caso del ejemplo 3.1, calcular la rapidez media y velocidad media cuando la

partícula da una vuelta completa, sabiendo que el tiempo que emplea en dar dicha vuelta es

de 3 s.

Solución:

a) La rapidez media se obtiene haciendo la división del valor obtenido para la longitud de la

circunferencia d y el intervalo de tiempo:

�̅� =𝑑

∆𝑡=62,83 m

3 𝑠= 20,94 m/s

b) Por ser el desplazamiento cero, la velocidad media también es cero.

Velocidad instantánea

Para explicitar un poco más el movimiento de una partícula en línea recta, se hace necesario

referirse a las variaciones de desplazamiento que tuvo la partícula en intervalos mucho más

cortos de tiempo, con el fin de precisar detalles de lo ocurrido en el viaje realizado por la

partícula. Es decir, conocer en cada instante de tiempo y en cada punto del espacio cual ha

sido la velocidad de la partícula. Esto podría llegar a incitar a las conjeturas tales como:


¿cómo puede estarse moviendo? o ¿cómo puede tener velocidad?, un objeto en la

naturaleza cuando se va a considerar un solo instante. Esto se puede resolver, cuando nos

damos cuenta que para observar el movimiento es imprescindible determinar la posición del

objeto en más de un instante. Para ello, observemos la gráfica 3.5, en donde se representa

una gráfica cualquiera, de la posición x en función del tiempo 𝑡. Cuando se van

considerando sucesivamente intervalos de tiempo cada vez más pequeños a partir de 𝑡1 y

acercándose a 𝑡𝑝, la velocidad media para cada intervalo se aproxima a la pendiente de la

recta tangente en dicho punto P. La pendiente de esta recta tangente es el límite de la

relación ∆𝑥

∆𝑡 cuando el intervalo de tiempo tiende a cero (∆𝑡 → 0) y dicha pendiente define

a la componente de la velocidad instantánea en el eje x, que de manera formal se escribe

así:

𝑣𝑥(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡 (3.4a)

Este límite en matemáticas se conoce como la derivada de x respecto a t. La notación

tradicional para la derivada9 es

𝑑𝑥

𝑑𝑡, por tanto la ecuación anterior se puede escribir así:

𝑣𝑥(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑥

∆𝑡=𝑑𝑥

𝑑𝑡 (3.4b)

Siendo la velocidad instantánea desde el punto de vista geométrico, una pendiente, esta

puede ser positiva, negativa o cero, por lo tanto, en un movimiento unidimensional la

velocidad instantánea puede ser positiva (con x creciente) o negativa (con x decreciente) o

cero (si no hay movimiento).

Fig.3.5 Interpretación geométrica de la velocidad instantánea.

9 Para mayor información del concepto de derivada, sus propiedades, sus técnicas y sus aplicaciones se sugiere consultar

textos de cálculo diferencial.

Tangente en el punto P


Desde una mirada de las cantidades físicas, la velocidad instantánea es un vector. A su

magnitud se le llama rapidez instantánea y su dirección para el caso del movimiento en una

dimensión, es positiva si la partícula va en la dirección positiva de x (+x) y negativa en la

dirección negativa de x (-x). Así, por ejemplo si una partícula se mueve con rapidez de 10

m/s en la dirección positiva de las x, podría ser escrito como: 𝑣𝑥 = 10𝑚

𝑠 y si fuera en la

dirección negativa de las x, se puede escribir como: 𝑣𝑥 = −10𝑚

𝑠.

Cuando se desea ser un poco más formal en la notación vectorial, la velocidad en una

dimensión, podría escribirse con notación de vectores unitarios, por ejemplo cartesianos.

Así, decir que un objeto se mueve con una velocidad tal que su rapidez es de 10 m/s en la

dirección positiva de las x, puede ser escrito como: �⃗� = 10𝑚

𝑠𝑖 ̂ y si fuera en la dirección

negativa de las x, se puede escribir como: �⃗� = −10𝑚

𝑠𝑖̂.

Nota: En el presente texto, mientras no se diga lo contrario, la palabra velocidad hará

referencia a la velocidad instantánea.

Aceleración

La aceleración es la razón de cambio o tasa de variación de la velocidad instantánea. Igual

que para el caso de velocidad se hace necesario establecer conceptos que den idea de lo que

sucede con los objetos en su movimiento y por eso la aceleración se tratará en intervalos

“largos de tiempo” (usando el operador delta) y en intervalos “muy cortos de tiempo”

(usando el concepto de límite y el operador derivada) para definirla.

Aceleración media

La aceleración media en un intervalo específico de tiempo ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0, de un objeto que se

mueve en el eje x, se define como el cociente ∆𝑣𝑥

∆𝑡 siendo ∆𝑣𝑥 = 𝑣𝑥 − 𝑣0𝑥, o sea:

𝑎𝑚 𝑥 =∆𝑣𝑥∆𝑡

=𝑣𝑥 − 𝑣0𝑥𝑡 − 𝑡0

(3.5)

De manera similar al desplazamiento y velocidad, la aceleración es una cantidad física

vectorial. Para el caso, del movimiento unidimensional se usan los signos + y – para indicar

la dirección de la aceleración. Según la definición, la aceleración será positiva cuando ∆𝑣𝑥

es positivo y viceversa. La aceleración tiene dimensiones de velocidad (L/T) dividida por

el tiempo (T), por lo tanto, tiene dimensiones de longitud dividida por tiempo al cuadrado

(L/T2) y así sus unidades en el sistema internacional SI son m/s2.


Cuando la velocidad instantánea 𝑣𝑥 se gráfica como una función del tiempo, la aceleración

media en un intervalo de tiempo particular ∆𝑡, es la pendiente de la recta tangente que une

los dos puntos de la curva.

Ejemplo 3.5

Si en la figura 3.5, se asume que en el punto A la partícula se mueve con una rapidez de 10

m/s moviéndose hacia la izquierda (-x) y cuando pasa por el punto C su rapidez es de 20

m/s hacia la derecha (+x), encontrar la aceleración media de la partícula a sabiendas que el

tiempo empleado entre estos dos puntos es de 2 s.

Solución:

Con las condiciones dadas en el enunciado del problema y usando la ecuación 3.5, la

aceleración media entre los puntos A y C es:



=(20m/s) − (−10m/s)

2s=20m/s + 10m/s

2s=30m/s

2s= 15m/s2

𝑎𝑚 𝑥 = 15m/s2

Obsérvese que se han tenido en cuenta las direcciones (asumiendo los respectivos signos)

de las velocidades en el punto A y en el punto C.

Ejemplo 3.6

Una motocicleta acelera de 0 a 20 m/s (72 km/h) en 4 s. ¿Cuál es la aceleración media de la

moto?.

Solución:

Usando la definición de aceleración media tenemos que:



=(20m/s) − (0m/s)

4s=20m/s

4s= 5m/s2

Ejemplo 3.7

Un auto de carreras que se mueve en línea recta por una pista, en un momento dado en que

se está moviendo hacia la izquierda (-x) su rapidez es de 20 m/s. En ese instante, el piloto

observa que otro auto que va delante se le atraviesa y el piloto entonces aplica los frenos y


reduce su rapidez a 10 m/s empleando en esta maniobra 2 ms (tiempo conocido

normalmente como tiempo de reacción), para no estrellarse. ¿Cuál fue la aceleración media

del auto?.

Solución:

Usando de nuevo la definición de aceleración media y teniendo en cuenta los signos de las

velocidades (direcciones en una dimensión), se tiene:

𝑎𝑚 𝑥 =𝑣𝑥 − 𝑣0𝑥𝑡 − 𝑡0

=(−10m/s) − (−20m/s)

2 ms=−10m/s + 20m/s

2 × 10−3s=

10m/s

2 × 10−3s

𝑎𝑚 𝑥 =10m/s

2 × 10−3s= 5 × 103m/s2

En el ejemplo anterior, se nota claramente el hecho que la velocidad en x tiene signo

opuesto a la aceleración y esto está sucediendo cuando el objeto pierde rapidez (magnitud

de la velocidad) y por tanto el hecho que el auto frene no significa que desacelera.

Nota conceptual

Las nociones de velocidad y aceleración, no deben perder su esencia vectorial y por ello la

dirección debe tenerse siempre presente cuando ellas son calculadas. Adicionalmente, si

los vectores de velocidad 𝑣𝑥 y aceleración 𝑎𝑥 tienen el mismo signo, la rapidez aumenta,

mientras que si tienen signos opuestos, la rapidez disminuye, eso permitirá asegurar si una

partícula acelera o desacelera.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea es el límite de la relación ∆𝑣𝑥

∆𝑡 cuando el intervalo de tiempo

tiende a cero (∆𝑡 → 0), que de manera formal se escribe así:

𝑎𝑥(𝑡) = lim∆𝑡→0

∆𝑣𝑥∆𝑡

(3.6a)

De manera análoga que con la velocidad instantánea, al representar la velocidad instantánea

𝑣𝑥 como una función del tiempo, la aceleración instantánea en un instante de tiempo

particular t, es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Por eso, en ese límite se habla de la derivada de 𝑣𝑥 respecto a t, que se escribe 𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 y que

gráficamente será representada como la pendiente de la recta tangente en ese instante.

Siguiendo la notación tradicional la aceleración instantánea se puede escribir así:


𝑎𝑥(𝑡) =𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

(3.6b)

Sabiendo que la velocidad instantánea es la derivada de la posición x en relación al tiempo

t, la aceleración se convierte en la segunda derivada de x respecto a t y siguiendo la

notación de las derivadas se escribe: 𝑑2𝑥

𝑑𝑡2. Esta notación puede verse que tiene su origen en

el hecho que:

𝑎𝑥(𝑡) =𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

=𝑑(𝑑𝑥/𝑑𝑡)

𝑑𝑡=𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 (3.6c)

Aunque, ya se han dado las características de los modelos matemáticos que dan razón de las

variables cinemáticas, es bueno también tener en cuenta sus posibles representaciones

gráficas y por eso se debe enfatizar la forma de hacerlo, pues algunas de ellas son

cantidades vectoriales. Por eso, hay que prestar mucha atención a la siguiente nota.

Nota Conceptual: Representación gráfica de las variables cinemáticas

Es supremamente importante, en la representación gráfica de las variables cinemáticas

como una función del tiempo, saber que aquellas en cuya definición dan razón de

cantidades físicas vectoriales, no pueden ser representadas como tales en ejes cartesianos

cuyas coordenadas son cantidades escalares. Por eso, se hace necesario enfatizar que

gráficas de desplazamiento, velocidad o aceleración en función del tiempo no pueden ser

graficadas y para poderlo hacer, sus representaciones se hacen en términos de sus

componentes, por ejemplo: Posición en 𝑥, 𝑥 = 𝑓(𝑡); velocidad en 𝑥, 𝑣𝑥 = 𝑓(𝑡) y

aceleración en 𝑥, 𝑎𝑥 = 𝑓(𝑡). Para el caso del movimiento en una dimensión, un valor

positivo de la variable cinemática asegura que el vector se dirige en el eje positivo de las x

(también por ejemplo, a la derecha) y un valor negativo de la variable cinemática asevera

que el vector va en el eje negativo de las x (también por ejemplo, a la izquierda).

3.2. Clasificación de los movimientos rectilíneos

Existen un sinnúmero de movimientos rectilíneos en la naturaleza y clasificarlos no podría

ser lo más apropiado. Sin embargo, de acuerdo al comportamiento de los objetos en dichos

movimientos, la forma de describirlos requiere de una modelación matemática que en

ocasiones podría ser o no compleja y que siempre dependerá de las definiciones dadas de

las variables cinemáticas definidas, en el apartado anterior. Existen movimientos para los

cuales se pueden construir una serie de ecuaciones cinemáticas y que sirven de ayuda

directa e inmediata para la modelación e interpretación de los mismos. Dichos modelos se

convierten en la base característica de movimientos, cuyos nombres toman nombres

especiales.


No se debe perder de vista que la modelación matemática de un movimiento rectilíneo,

siempre parte de tratar de conseguir la relación entre una coordenada espacial que

representa la posición del objeto en función de una coordenada temporal y de ellas

encontrar las variables cinemáticas respectivas: Desplazamiento, velocidad y aceleración o

en su defecto teniendo estas últimas encontrar la función que representa la posición en

función del tiempo.

3.2.1. Movimiento Rectilíneo Uniforme

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante (diferente de cero)

y consecuentemente, la aceleración es cero. Esto a su vez significa, que la velocidad media

coincide con la velocidad instantánea, es decir 𝑣𝑚 𝑥 = 𝑣𝑥. Por lo tanto, la modelación

matemática respectiva es tan sólo:

𝑣𝑥 =∆𝑥

∆𝑡=𝑥 − 𝑥0𝑡 − 𝑡0

(3.7a)

Haciendo despejes en la ecuación 3.7a, se tiene que:

∆𝑥 = 𝑣𝑥∆𝑡 (3.7b)

𝑥 − 𝑥0 = 𝑣𝑥(𝑡 − 𝑡0) (3.7c)

Normalmente, el instante inicial 𝑡0 se toma como cero (un observador que empieza a

describir el movimiento), por lo que la ecuación cinemática del movimiento rectilíneo

uniforme resulta:

𝑥 = 𝑥0+𝑣𝑥𝑡 (3.7d)

Si el observador que comienza a observar el movimiento (en su marco de referencia),

determina que 𝑥0 = 0

𝑥 = 𝑣𝑥𝑡 (3.7e)

Nótese en las ecuaciones 3.7d y 3.7e que la función matemática que describe el

comportamiento de la posición, de una partícula en línea recta en movimiento con

velocidad constante es una función lineal del tiempo y que la pendiente de dicha recta es la

componente de la velocidad.

En la tabla 3.1, se muestra la representación gráfica de la posición (𝑥) (figura 3.6) y la

componente de la velocidad (𝑣𝑥) (Figura 3.7) en función del tiempo para una partícula que


se mueve con rapidez constante y a su vez, se presenta un resumen de las ecuaciones

cinemáticas.

Tabla 3.1. Características de un Movimiento rectilíneo uniforme

Ecuaciones

cinemáticas Representación Gráfica

𝑎𝑥 = 0

𝑣𝑥 = 𝑐𝑡𝑒(≠ 0)

𝑥 = 𝑥0+𝑣𝑥𝑡

Fig.3.6. 𝑥 contra t Fig.3.7. 𝑣𝑥 contra t

En las figuras 3.6 y 3.7, se han señalado las características geométricas de las

representaciones gráficas para interpretar las variables cinemáticas. Cuando se realiza una

gráfica 𝑥 𝑣𝑠 𝑡: la pendiente es la velocidad y cuando se grafica 𝑣𝑥 𝑣𝑠 𝑡: el área bajo la

curva es el cambio en la posición, es decir, el desplazamiento.

3.2.2. Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante

En un movimiento rectilíneo con aceleración constante (diferente de cero), la aceleración

media coincide con la aceleración instantánea, es decir 𝑎𝑚 𝑥 = 𝑎𝑥. Por lo tanto, la

modelación matemática respectiva es:

𝑎𝑥 =∆𝑣𝑥∆𝑡

=𝑣𝑥 − 𝑣𝑜𝑥𝑡 − 𝑡0

(3.8a)

Haciendo los respectivos despejes en la ecuación 3.8a, se tiene que:

∆𝑣𝑥 = 𝑎𝑥∆𝑡 (3.8b)

𝑣𝑥 − 𝑣𝑜𝑥 = 𝑎𝑥(𝑡 − 𝑡0) (3.8c)

De igual manera que antes, el instante inicial 𝑡0 es asumido como cero, por lo que una de

las ecuaciones cinemáticas del movimiento uniformemente acelerado resulta ser:

𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 + 𝑎𝑥𝑡 (3.8d)


La expresión anterior garantiza que en éste tipo de movimiento, la velocidad es una función

lineal del tiempo. Debido a esto, se puede asumir que la velocidad media 𝑣𝑚 𝑥 resulta ser

constante y termina siendo numéricamente igual a la velocidad promedio 𝑣𝑝 entre la

velocidad final y la velocidad inicial, eso significa que el desplazamiento se puede calcular

como: ∆𝑥 = 𝑣𝑚 𝑥∆𝑡 o ∆𝑥 = 𝑣𝑝∆𝑡, siendo 𝑣𝑝 =𝑣𝑥+𝑣𝑜𝑥

2. De esta manera, el desplazamiento

tendría la siguiente expresión:

∆𝑥 = (𝑣𝑥 + 𝑣𝑜𝑥

2)∆𝑡 (3.9a)

La cual se convierte en:

𝑥 − 𝑥0 = (𝑣𝑥 + 𝑣𝑜𝑥

2) (𝑡 − 𝑡0) (3.9b)

Y si se asume de nuevo que 𝑡0 = 0, se obtiene una nueva expresión para el movimiento

rectilíneo acelerado constante, así:

𝑥 = 𝑥0 + (𝑣𝑥 + 𝑣𝑜𝑥

2) 𝑡 (3.9c)

Para los casos especiales en que 𝑡0 = 0 y 𝑥0 = 0, se tiene que:

𝑥 = (𝑣𝑥 + 𝑣𝑜𝑥

2) 𝑡 (3.9d)

Las ecuaciones 3.9c y 3.9d son muy útiles, en la medida en que sirven para hacer cálculos

en movimiento acelerados constantes, pero ellas no incluyen la variable cinemática que

caracteriza a dicho movimiento, como lo es la aceleración. Aunque hay que tener cuidado

con dichas ecuaciones, porque se pueden prestar a confusión y creer que desde las mismas

se puede encontrar la función matemática que nos diría como cambia la posición en función

del tiempo. En este caso, no se puede obtener simplemente, porque la velocidad final

también es función del tiempo.

Para encontrar la función matemática que relaciona la posición con el tiempo, hay que

recurrir a procesos algebraicos tradicionales. Si la componente de la velocidad final

expresada en la ecuación 3.12a, se sustituye en la ecuación 3.13c, obtenemos:

𝑥 = 𝑥0 + [(𝑣𝑜𝑥 + 𝑎𝑥𝑡) + 𝑣𝑜𝑥

2] 𝑡 → 𝑥 = 𝑥0 + [

2𝑣𝑜𝑥 + 𝑎𝑡

2] 𝑡


Separando en dos términos la fracción que aparece dentro del paréntesis y aplicando la ley

distributiva se llega a:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2 (3.10)

La expresión obtenida, es una ecuación cuadrática, de la cual se puede deducir que en un

movimiento con aceleración constante, la posición es una función cuadrática del tiempo.

Ahora bien, si de la ecuación 3.13a se despeja el tiempo t y luego éste se sustituye en la

ecuación 3.14c, con un poco de algebra se puede llegar a la expresión:

𝑣𝑥2 = 𝑣0𝑥

2 + 2𝑎𝑥(𝑥 − 𝑥0) (3.11)

La ecuación anterior se convierte en otra de las expresiones más utilizadas en los

movimientos con aceleración constante.

En la tabla 3.2, se muestra la representación gráfica de la posición (𝑥), la componente de la

velocidad (𝑣𝑥) y la componente de la aceleración (𝑎𝑥) cada una en función del tiempo,

como se observa en las figuras 3.8, 3.9 y 3.10, para un objeto que se mueve con aceleración

constante. Adicionalmente, se presenta un resumen de las ecuaciones cinemáticas para

dicho movimiento.

Tabla 3.2. Características de un Movimiento rectilíneo con aceleración constante

Ecuaciones cinemáticas Representación Gráfica

𝑎𝑥 = 𝑐𝑡𝑒(≠ 0)

𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 + 𝑎𝑥𝑡

𝑥 = 𝑥0 + (𝑣𝑥 + 𝑣𝑜𝑥

2) 𝑡

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2

𝑣𝑥2 = 𝑣0𝑥

2 + 2𝑎𝑥(𝑥 − 𝑥0)

Fig.3.8. 𝑥 contra t


Fig.3.9. 𝑣𝑥 contra t

Fig.3.10. 𝑎𝑥 contra t

Al igual que para el movimiento rectilíneo uniforme, en las figuras 3.8, 3.9 y 3.10, se han

señalado las características geométricas de las representaciones gráficas para interpretar las

variables cinemáticas. Cuando se realiza una gráfica 𝑥 𝑣𝑠 𝑡: la pendiente es la velocidad,

cuando se grafica 𝑣𝑥 𝑣𝑠 𝑡: el área bajo la curva es el cambio en la posición, es decir, el

desplazamiento y la pendiente es la aceleración. En la representación de 𝑎𝑥 𝑣𝑠 𝑡 el área

bajo la curva corresponde el cambio en la velocidad.

Con estas últimas observaciones, desde el punto de vista gráfico, es posible interpretar y

analizar el movimiento realizado por un objeto en diferentes intervalos de tiempo, en

instantes específicos de tiempo o durante todo el tiempo en que estuvo o no en movimiento

el objeto.

Ejemplo 3.8

En la figura 3.11, se muestra una gráfica de la posición x(m) en función del tiempo t(s) de

un objeto que se mueve en línea recta. Determine: a) los intervalos en donde el objeto

estuvo quieto, b) Los intervalos en donde el objeto se movió a la izquierda, c) la velocidad

media en los intervalos 0 s a 5 s, 5s a 10 s, 15 s a 20 s y 0 s a 20 s., d) la distancia total

recorrida hasta los 20 s, e) la rapidez media entre 0 y 20 s y f) la rapidez instantánea en los

tiempos 1 s, 7 s, 9 s, 12 s y 18 s.


a) El objeto estuvo quieto en el

intervalo 7,5 s a 10 s, ya que en ese

intervalo, el objeto no cambio de

posición.

b) En aquellos intervalos en donde la

pendiente de la gráfica es negativa, el

objeto se mueve a la izquierda. Esto

debido a que dicha pendiente nos da la

velocidad en x y su dirección está la da

el signo de dicha pendiente. Por lo

tanto, en los intervalos 5 s a 7,5 s y 10 s

a 15 s, el objeto se movió a la izquierda. Fig. 3.11. Gráfica posición vs tiempo

c) La velocidad media para cada intervalo se calcula con la expresión: 𝑣𝑥 𝑚 =∆𝑥

∆𝑡=

𝑥−𝑥0

𝑡−𝑡0 de

la siguiente manera:

Intervalo de tiempo Expresión con datos extraídos de la gráfica Valor obtenido

0 a 5 s 𝑣𝑥 𝑚 =16m − 0m

5s − 0s 𝑣𝑥 𝑚 = 3,2m/s

5 a 10 s 𝑣𝑥 𝑚 =6m − 16m

10s − 5s 𝑣𝑥 𝑚 = −2m/s

10 a 15 s 𝑣𝑥 𝑚 =−16m − 6m

15s − 10s 𝑣𝑥 𝑚 = −4,4m/s

15 a 20 s 𝑣𝑥 𝑚 =0m − (−16m)

20s − 15s 𝑣𝑥 𝑚 = 3,2m/s

0 a 20 s 𝑣𝑥 𝑚 =0m − 0m

20s − 0s 𝑣𝑥 𝑚 = 0m/s

d) La distancia total recorrida se calcula con la suma de las distancias (valor absoluto de los

desplazamientos parciales) en cada uno de los intervalos en los que la gráfica cambia de

comportamiento, así:

Intervalo de tiempo Desplazamiento Distancia

0 a 5 s ∆𝑥1 = 16m − 0m 𝑑1 = 16m 5 a 7,5 s ∆𝑥2 = 6m − 16m 𝑑2 = 6 m 7,5 a 10 s ∆𝑥3 = 6m − 6m 𝑑3 = 0 m 10 a 15 s ∆𝑥4 = −16m − 6m 𝑑4 = 22 m 15 a 20 s ∆𝑥5 = 0m − (−16m) 𝑑5 = 16 m

Por lo tanto, la distancia total se obtiene de sumar:

𝑑 = 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4 + 𝑑5 = 60m → 𝑑 = 60 m


e) La rapidez media en el intervalo de 0 a 20s se obtiene de dividir la distancia total

recorrida en el tiempo total, así:

�̅� =𝑑

∆𝑡=60m

20s= 3m/s

f) En la figura 3.11, los trazados que se han hecho en la gráfica son rectas constantes (no

hay velocidad) y rectas inclinadas (velocidad constante), por lo tanto la velocidad medía en

los intervalos coincide con la velocidad instantánea. Así, para los instantes solicitados la

velocidad instantánea coincide con el valor de la velocidad media que contemple ese

tiempo. Por ejemplo, para el instante de tiempo de 7 s en la tabla obtenida en el literal c) se

observa que en el intervalo entre 5 a 7,5 s la velocidad media es de -2 m/s y por ello, la

velocidad instantánea a los 7 segundos es igual a -2 m/s. Se deja como ejercicio, que el

lector resuelva las preguntas de velocidad instantánea para los otros tiempos.

Ejemplo 3.9

Una persona camina, primero, con rapidez constante de 6 m/s a lo largo de un camino recto

desde un punta A hasta el punto B y luego de regreso a lo largo de la vía pero de B a A con

una rapidez constante de 2 m/s. a)¿Cuál es su rapidez media durante el viaje? y b)¿Cuál es

su velocidad media durante todo el viaje?.

Solución:

a) Si se denomina d a la distancia en metros, entre el punto A y B, entonces para el caso en

que la persona viaja a 6 m/s el tiempo (t1) que emplea en recorrer esa distancia es 𝑡1 =𝑑

6 s y

para el caso en el cual se regresa, el tiempo (t2) que emplea en recorrer esa distancia es

𝑡2 =𝑑

2 s. Por lo tanto la distancia total recorrida que es 2d, dividida entre la suma de esos

dos tiempos, nos dará la rapidez media, es decir:

�̅� =2𝑑

𝑡1 + 𝑡2=

(2𝑑) m

𝑑6 s +

𝑑2 s

=(2𝑑) m

2𝑑3 𝑠

Simplificando el término 2d, se tiene que �̅� = 3 m/s.

b) Como la persona al caminar arranca y finaliza en el mismo punto, su desplazamiento es

cero y por ello la velocidad media también es cero.


Ejemplo 3.10

Una partícula parte del reposo (𝑣𝑜𝑥 = 0) en

𝑡0 = 0, 𝑥0 = 0, y se mueve en línea recta, de

tal manera que su gráfica de aceleración en

función del tiempo se muestra en la figura

3.12. Trace las gráficas correspondientes a la

velocidad y posición en función del tiempo.

Haga los cálculos necesarios y el uso de

herramientas gráficas o de ecuaciones para

obtener puntos que le ayuden a configurar las

gráficas. Usar las herramientas dadas en las

tablas 3.1 y 3.2. Fig. 3.12. Gráfica aceleración vs tiempo

Solución

Análisis de la gráfica de la componente de velocidad en x en función del tiempo

Como puede observarse de la figura 3.12, la aceleración es constante en los dos intervalos

de tiempo, de 0 a 10 s y de 15 a 20 s, luego la velocidad debe variar linealmente con el

tiempo de acuerdo a la ecuación: 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 + 𝑎𝑡 y en el intervalo de 10 a 15 s no existe

aceleración y por tanto la velocidad es constante.

En el intervalo 0 a 5 s, según la gráfica de la figura 3.12 la aceleración es de 2 m/s2 y como

según el enunciado 𝑣0𝑥 = 0 en 𝑡0 = 0 , por lo tanto, se obtiene que:

𝑣𝑥 = 2𝑡 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 s

La expresión anterior también se hubiese podido obtener del área de la gráfica de

aceleración en el intervalo en mención así: ∆𝑣𝑥 = 2∆𝑡 → 𝑣𝑥 − 𝑣0𝑥 = 5(𝑡 − 𝑡0) y como

según la condición inicial 𝑣0𝑥 = 0 en 𝑡0 = 0, entonces 𝑣𝑥 = 2𝑡. El alumno debe escoger

alguno de los dos mecanismos para resolver este tipo de problemas (gráfico o analítico) y

cualquiera se torna sencillo, cuando los movimientos son uniformes.

En el intervalo 10 a 15 s, según la gráfica de la figura 3.12 no existe aceleración. La

velocidad a los 10 s es de 50 m/s y esta se mantiene hasta los 15 s, por ello:

𝑣𝑥 = 20 m/s para 10 ≤ 𝑡 ≤ 15 s

En el intervalo 15 a 20 s, según la figura3.12, la aceleración es de −2 𝑚/𝑠2 y como ya se

calculó la velocidad a los 15 s, entonces ahora 𝑣0𝑥 = 20 m/s en 𝑡 = 15 s, por lo tanto, se

obtiene que:

𝑣𝑥 = 20 − 2𝑡 para 15 ≤ 𝑡 ≤ 20 s


Los resultados obtenidos para la componente de la velocidad en x son representados en la

gráfica de la figura 3.13.

Fig.3.13. Gráfica componente de la velocidad en x en función del tiempo

Análisis para la gráfica de la posición x en función del tiempo

En los movimientos con aceleración constante, la posición es función cuadrática del tiempo

y por ello la gráfica debe ser una parábola, de la forma: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2.

En el intervalo 0 a 5 s, se tiene que 𝑎𝑥 = 2 m/s2, 𝑣0𝑥 = 0, 𝑥0 = 0 en 𝑡0 = 0 por lo tanto,

se obtiene que:

𝑥 = 𝑡2 para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 s

En el intervalo 10 a 15 s, se tiene que 𝑎𝑥 = 0, 𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑥 = 20m

s 𝑦 𝑥0 = 100m, por lo

tanto, para la velocidad constante se tiene:

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡 → 𝑥 = 100 + 20𝑡 para 10 ≤ 𝑡 ≤ 15 s

En el intervalo 15 a 20 s, se tiene que 𝑎𝑥 = −2 m/s2, 𝑣0𝑥 = 20 m/s, 𝑥0 = 200 m en por

lo tanto, se obtiene que:

𝑥 = 200 + 20𝑡 − 𝑡2 para 15 ≤ 𝑡 ≤ 20 s

Es decir que cuando han transcurrido 20 s la posición del objeto es 𝑥 = 275m. ¡Cuidado!,

no sustituir por 𝑡 = 20 𝑠 en la ecuación obtenida anteriormente para el intervalo entre 15 y

20 s.

Pregunta: Para el caso del ejemplo 3.3, ¿Es la distancia total recorrida igual a la magnitud

del desplazamiento?. Explíquelo y realice los cálculos y análisis respectivos.


Con los resultados obtenidos para la posición en los tres intervalos se hace una

representación gráfica de la posición en función del tiempo, como se muestra en la

figura.xx3.

Fig.3.14. Gráfica posición en función del tiempo

En el trazado de la gráfica de la figura 3.14, las curvas oa y bc son parábolas que

representan movimientos uniformes acelerados. Nótese como en la curva oa las pendientes

(rectas tangentes) van aumentando positivamente lo que significa que la velocidad también

lo hace, mientras que en la curva bc las pendientes son positivas pero disminuyendo, lo que

implica que la velocidad también disminuye positivamente.

Ejemplo 3.11

Una partícula se mueve a lo largo del eje x y su posición en función del tiempo está dada

por la ecuación 𝑥 = −2𝑡2 + 3𝑡 + 2, con x en metros y t en segundos. Determine a) La

velocidad media en el intervalo 2 a 6 s, b) su posición cuando cambia de dirección y c) su

velocidad cuando regresa a la posición que tenía en 𝑡 = 0.

Solución:

a) Para calcular la velocidad media tenemos que hallar las posiciones final e inicial de la

partícula para los respectivos tiempos final e inicial, en el intervalo de tiempo indicado.

Para 𝑡 = 2 s → 𝑥 = [−2(2)2 + 3(2) + 2] m → 𝑥 = [−8 + 6 + 2] m → 𝑥 = 0 m Para 𝑡 = 6 s → 𝑥 = [−2(6)2 + 3(6) + 2] m → 𝑥 = [−72 + 18 + 2] m → 𝑥 = −52 m Por lo tanto la velocidad media es:


𝑣𝑥 𝑚 =∆𝑥

∆𝑡=(−52 m) − 0 m

6 s − 2 s=−52 m

4 s= −13m/s

b) Observe que la ecuación original dada para la posición de la partícula en función del

tiempo 𝑥 = −2𝑡2 + 3𝑡 + 2, es análoga a la ecuación de la posición en función del tiempo

para un movimiento con aceleración constante 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2, y por tanto se

puede establecer que:

𝑥0 = 2 m, 𝑣𝑜𝑥 = 3 m/s, y 𝑎𝑥 = −4 m/s2

y en consecuencia la expresión para la velocidad final se puede obtener así:

𝑣𝑥 = 𝑣𝑜𝑥 + 𝑎𝑥𝑡 → 𝑣𝑥 = 3 − 4𝑡 m/s

La partícula cambia de dirección, precisamente cuando su velocidad final 𝑣𝑥 = 0, es decir

cuando el tiempo toma un valor de: 𝑡 =3

4s. Sustituyendo este valor del tiempo en la

ecuación de la posición de la partícula, se obtiene la posición en la cual la partícula cambia

de dirección, así:

Para 𝑡 =3

4s → 𝑥 = [−2(

3

4)2+ 3(

3

4) + 2] m → 𝑥 = [−

9

8+9

4+ 2] m → 𝑥 =

25

8 m

c) El objeto vuelve a pasar por su posición inicial cuando 𝑥 = 𝑥0, y por tanto de la ecuación

𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑜𝑥𝑡 +1

2𝑎𝑥𝑡

2, se llega a que: 𝑡 = −2𝑣𝑜𝑥

𝑎𝑥 y sustituyendo valores se tiene que:

𝑡 = −2 (3

ms )

(−4 ms2) =

3

2 s → 𝑡 = 1,5 s

Para calcular la velocidad cuando el objeto pasa de nuevo por su sitio inicial, se inserta el

valor del tiempo encontrado, en la ecuación correspondiente:

𝑣𝑥 = 3 − 4𝑡 m/s → 𝑣𝑥 = [3 − 4(1,5)]m

s → 𝑣𝑥 = −3 m/s

Ejemplo 3.12

Un ingeniero compra un automóvil deportivo que puede acelerar a razón de 6 m/s2. Decide

probar el automóvil corriendo con otro conductor, un Licenciado en Física. Ambos parten

del reposo, pero el experimentado Licenciado deja la línea de partida 1 s antes que el

Ingeniero. El licenciado se mueve con una aceleración constante de 4 m/s2 y el Ingeniero

mantiene una aceleración de 6 m/s2. Encuentre a) el tiempo cuando el Ingeniero alcanza al


licenciado, b) la distancia que recorre precisamente cuando logra alcanzarlo y c) la rapidez

de ambos automóviles en el instante en que lo alcanza.

Solución

Los subíndices usados para resolver el ejercicio hacen referencia para los automóviles así:

I: Ingeniero y L: Licenciado.

a) Se requiere que se cumpla que 𝑥𝐿 = 𝑥𝐼 cuando 𝑡𝐼 = 𝑡𝐿 − 1.

La ecuación de la posición para cada automóvil sería respectivamente:

𝑥𝐿 = 𝑥0𝐿 + 𝑣𝑜𝐿𝑡𝐿 +1

2𝑎𝐿𝑡𝐿

2 𝑥𝐼 = 𝑥0𝐼 + 𝑣𝑜𝐼𝑡𝐼 +1

2𝑎𝐼𝑡𝐼

2

Aplicando las condiciones dadas en el enunciado del problema, dichas expresiones se

convierten en:

𝑥𝐿 = 2𝑡𝐿

2 𝑥𝐼 = 3(𝑡𝐿 − 1)2

Y como se debe cumplir que: 𝑥𝐿 = 𝑥𝐼, entonces:

2𝑡𝐿

2 = 3(𝑡𝐿 − 1)2 → 2𝑡𝐿

2 = 3(𝑡𝐿2 − 2𝑡𝐿 + 1) → 2𝑡𝐿

2 = 3𝑡𝐿2 − 6𝑡𝐿 + 3 → 𝑡𝐿

2 − 6𝑡𝐿 + 3 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática se llega a que las soluciones para 𝑡𝐿 son 3 ± √6, lo que

conducen a que:

𝑡𝐿 = (3 + √6)s → 𝑡𝐿 = 5,45 s y 𝑡𝐿 = (3 − √6)s → 𝑡𝐿 = 0,55 s.

Por tanto, la única solución física válida es la de 𝑡𝐿 = 5,45 s. No olvidar que el Licenciado

partió un segundo antes que el Ingeniero y la segunda solución para el tiempo empleado

para encontrase es incorrecta.

Así, el Ingeniero alcanza al licenciado en un tiempo de 𝑡𝐼 = 6,45 s.

b) Sustituyendo el valor correcto de 𝑡𝐿 en las ecuaciones planteadas para la posición de

cualquiera de los automóviles, se puede obtenerla distancia a la cual se encuentran:

𝑥𝐿 = 2(5,45)2 m → 𝑥𝐿 = 59,4 m

c) La rapidez de cada auto cuando se encuentran, son respectivamente:

𝑣𝐿 = 𝑣𝑜𝐿 + 𝑎𝐿𝑡𝐿 → 𝑣𝐿 = (4 m/s

2)(5,45 s) → 𝑣𝐿 = 21,8 m/s


𝑣𝐼 = 𝑣𝑜𝐼 + 𝑎𝐼𝑡𝐼 → 𝑣𝐼 = (6 m/s2)(6,45 s) → 𝑣𝐿 = 38,7 m/s

3.2.3. Caída Libre

En cursos básicos de ciencias naturales y de la experiencia cotidiana, parece que es bien

sabido que, en ausencia de resistencia del aire, todos los objetos que se dejan caer cerca de

la superficie de la Tierra caen hacia ella con la misma aceleración constante bajo la

influencia de la gravedad de la Tierra.

La mayoría recordamos, cuando el maestro de ciencias o Física de la escuela primaria o

secundaria dejaba caer simultáneamente, desde la misma altura, una moneda y un trozo de

papel arrugado y por lo general aseguraba, que si los efectos de la resistencia del aire eran

despreciables, ambos objetos tenían el mismo movimiento y golpeaban el suelo

prácticamente al mismo tiempo. Para terminar, su afirmación, aseguraba que en el caso

idealizado cuando no se tenía en cuenta la resistencia del aire, a tal movimiento lo refería

como un movimiento en caída libre.

Lo que se sabe ahora, es que si esta misma prueba se realiza experimentalmente, en

condiciones de laboratorio muy excepcionales con todas las técnicas e instrumentos

calibrados necesarios, en un dispositivo del cual se ha extraído todo el aire (considerado

una condición de vacío) en el que la resistencia del aire realmente es despreciable, el papel

y la moneda realmente caen con la misma aceleración, aun cuando el papel no este

arrugado.

Cuando se usa el lenguaje de la física, un objeto en caída libre, no precisamente hace

referencia a un objeto que se suelta desde el reposo. Por eso, se dice que un objeto está en

caída libre si se mueve libremente sólo bajo la influencia de la gravedad, sin importar su

movimiento inicial. De hecho, los objetos que se arrojan hacia arriba o abajo y los que se

libran desde el reposo están en caída libre una vez que se sueltan. Cualquier objeto en caída

libre experimenta una aceleración dirigida hacia abajo, sin importar su movimiento inicial.

La magnitud de la aceleración de caída libre se expresa mediante el símbolo 𝑔. Para el

caso de los objetos, que están cerca a la superficie de la tierra, el valor de 𝑔 disminuye

conforme aumenta la altitud y además pueden ocurrir pequeñas variaciones en 𝑔 con

cambios en latitud. El valor de 𝑔 es aproximadamente 9,80 m/s2, para todos los objetos que

están cercanos a la superficie de la tierra. A menos que se establezca de otro modo, se usara

este valor para 𝑔 cuando se realicen cálculos, pero para medidas experimentales hay que

asumir la aceleración gravitacional que se corresponde con el lugar y que para el caso de la

ciudad de Bogotá es aproximadamente de 9,76 m/s2.


Teniendo en cuenta las anteriores apreciaciones, el movimiento de un objeto en caída libre

que se mueve verticalmente es similar al movimiento de una partícula con aceleración

constante en una dimensión y por ello se pueden usar las ecuaciones cinemáticas

expresadas en la 3.2, para dichos movimientos. La única modificación que se necesita

hacer en estas ecuaciones para las partículas en caída libre es notar que el movimiento es en

la dirección vertical (se puede asumir en la dirección del eje coordenado y) y que la

aceleración es hacia abajo y tiene una magnitud de 9.80 m/s2. Lo anterior, debido al hecho

que la aceleración tiene un carácter vectorial y por ende, se elegirá 𝑎𝑦 = −𝑔 = −9,8 𝑚/𝑠2,

donde el signo negativo significa que la aceleración de una partícula en caída libre es hacia

abajo.

Para resolver ejercicios de caída libre, tenga en cuenta los siguientes esquemas y

sugerencias para el uso de las variables cinemáticas.

Signo de la aceleración

Si el eje y apunta hacia arriba la aceleración

de la gravedad siempre se asumirá como

𝑎𝑦 = −𝑔, 𝑔 = 9,8 m/s2

Signo de la velocidad inicial:

Si el eje y apunta hacia arriba y el cuerpo es

inicialmente lanzado hacia arriba el signo

de la velocidad inicial 𝑣𝑜𝑦 es positivo, en

caso de ser lanzado hacia abajo el signo es

negativo.

Referencia para la posición inicial

Se acostumbra a poner en el origen del eje

coordenado y, en el punto en el que es

lanzada la partícula en el instante inicial.

Esto no siempre es así, si una partícula es

lanzada desde el techo de un edificio se

puede situar el origen en el suelo, la

posición inicial de la partícula se

corresponde con la altura del edificio

𝑦0 = ℎ.

Si se ubica el origen en el techo del edificio

y se lanza el móvil desde el suelo, la

posición inicial sería 𝑦0 = −ℎ.

o

y

a=-g

o

y

o

y

o

y

o

y


Ejemplo 3.13

Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m/s

desde una altura de 30 m con respecto al piso. Calcular: a) El tiempo empleado por la

pelota en llegar a su altura máxima después de que fue lanzada, b) La altura máxima

alcanzada referida al piso, c) el tiempo desde que logra su altura máxima al piso, d) el

tiempo total de vuelo, e) La velocidad de la pelota precisamente antes de tocar el suelo y f)

Realice una representación gráfica de 𝑦 𝑣𝑠 𝑡, 𝑣𝑦 𝑣𝑠 𝑡 y 𝑎𝑦 𝑣𝑠 𝑡.

Solución

a) Usando la expresión: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡, y sabiendo que en la altura máxima la velocidad

final es cero, se tiene que el tiempo es:

𝑡 =𝑣0𝑦

𝑔=15 m/s

9,8 m/s2→ 𝑡 = 1,53 s

Este tiempo es el que emplea la pelota en subir la altura 𝑦1, ver figura 3.15.

b) Utilizando la expresión:

𝑣𝑦2 = 𝑣0𝑦

2 − 2𝑔(𝑦 − 𝑦0)

y sabiendo que en la altura máxima

𝑣𝑦 = 0, 𝑦 = 𝑦𝑚𝑎𝑥, entonces:

0 = 𝑣0𝑦

2 − 2𝑔(𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦0)

Despejando 𝑦𝑚𝑎𝑥, se tiene:

𝑦𝑚𝑎𝑥 =𝑣0𝑦2

2𝑔+ 𝑦0

Fig.3.15. Esquema objeto en caída libre

Sustituyendo valores se tiene:

𝑦𝑚𝑎𝑥 =(15 m/s)2

2(9,8 m/s2)+ 30 m =

225 𝑚2/𝑠2

19,6 m/s2+ 30m = 11,48 m + 30m = 41,48m → 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 41,48m

La altura máxima por lo tanto es de 41,48 m y la altura que subió la pelota desde el sitio en

que fue lanzada es de 11,48m (𝑦1 en la figura 3.15).

=0

Piso


c) Para obtener el tiempo que tarda en caer desde la altura máxima al piso usamos la

expresión: 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑜𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2. Para este caso, 𝑦0 = 𝑦𝑚𝑎𝑥, 𝑣0𝑦 = 0, por lo tanto la

expresión se convierte en:

0 = 𝑦𝑚𝑎𝑥 −1

2𝑔𝑡2 → 𝑡 = √

2𝑦𝑚𝑎𝑥𝑔

Sustituyendo valores se tiene que:

𝑡 = √2(41,48 m)

9,8 m/s2= √

82,96 m

9,8 m/s2= √8,47s2 = 2,91s → 𝑡 = 2,91s

d) El tiempo total de vuelo, es la suma de los tiempos obtenidos en el literal a), tiempo

hasta la altura máxima y el literal c), tiempo desde la altura máxima al piso, es decir:

𝑡 = 1,53 s + 2,91s = 4,44 s

Este tiempo total es el que se obtiene de la suma del tiempo subiendo, con el tiempo

bajando.

Otra forma de calcular el tiempo total:

Usando en forma directa la ecuación 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑜𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2, en donde 𝑦 = 0, 𝑦0 = 30m,

𝑣𝑜𝑦 = 15 m/s, se tiene que:

0 = 30 + 15𝑡 − 4,9𝑡2

Resolviendo esta ecuación cuadrática se llega a que las dos soluciones para el tiempo son:

𝑡 = 4,44 s y 𝑡 = −1,38 s

Obviamente, la segunda solución no es válida físicamente y por tanto la solución es

𝑡 = 4,44 s, la cual coincide con la calculada por el otro método. Aunque en el primer

método se requieren más pasos, se sigue la secuencia del movimiento y parece más

coherente con el aprendizaje. Sin embargo, con el segundo método se observa la potencia

que tiene el carácter vectorial en las ecuaciones, en donde importan son las posiciones

iniciales y finales para definir los desplazamiento y a su vez el carácter vectorial de la

velocidad y la aceleración, que con un simples signos le dan coherencia a la modelación

matemática, para luego hacer interpretaciones físicas.


Nota didáctica: Formas diferentes de resolver un problema

Los procedimientos anteriores para calcular (no solo el tiempo de vuelo), lo que muestran

son diferentes opciones didácticas para enseñar dos modelos matemáticos coherentes para

solucionar problemas de la caída libre. ¡Ahí es donde está la habilidad del maestro de

física¡.

e) Siguiendo la nota anterior el ejercicio se resolverá por un solo método y queda como

ejercicio resolverlo, por otro procedimiento.

Usando la expresión: 𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡, y usando el tiempo total de vuelo y teniendo en

cuenta el carácter vectorial de la velocidad y la aceleración se tiene que:

𝑣𝑦 = 15m

s− (9,8

m

s2) (4,44 s) = 15

𝑚

𝑠− 43,51

𝑚

𝑠= −28,51

m

s → 𝑣𝑦 = −28,51

m

s

El signo de la velocidad final en y implica que la bola llegando al piso simplemente va

cayendo en dirección negativa del eje coordenado escogido como referencia.

f) Las ecuaciones respectivas para la posición, la componente de la velocidad y la

aceleración en función del tiempo, aparecen en cada una de las figuras representadas en la

figura 3.16. Las gráficas han sido realizadas sabiendo que el tiempo de vuelo de la pelota es

de 4,44 s.

𝑦 = 30 − 15𝑡 − 4,9𝑡2 m

𝑣𝑦 = 15 − 9,8𝑡 m/s


𝑎𝑦 = −9,8 m/s2

Fig.3.16. Graficas representativas de las variables cinemáticas en un ejemplo de caída libre

3.2.4. Movimiento Rectilíneo con Aceleración Variable10

Por ser la aceleración un vector, de ella puede cambiar su magnitud o dirección. Pero si el

movimiento es rectilíneo, la aceleración tendría una dirección que puede ser asumida con

un signo + o – en referencia a algún eje coordenado predeterminado. Es decir, que la

variabilidad de la aceleración, estaría en la magnitud de la misma y éste tipo de movimiento

ya no es tan fácil modelarlo matemática y físicamente. Adicionalmente, son muchos los

movimientos con aceleración variable en una dimensión que se encuentran en la naturaleza,

pero su análisis requiere de haber adquirido una serie de conceptos claros de la física y unas

buenas habilidades matemáticas para modelarlos.

La modelación de movimientos rectilíneos con aceleración variable, requiere de varias

condiciones:

Desde la modelación física: Encontrar fenomenologías que permitan garantizarlo y ello

requiere de: a) manejo claro de leyes de la dinámica (por ejemplo leyes de Newton) y b)

conceptos de trabajo y energía, y Leyes de conservación: de la energía, del momento

lineal, entre otras.

Nota: Se pueden encontrar, en muchos textos de física, ejemplos de movimientos con

aceleración variable. Pero desde la cinemática sólo se expresan sus soluciones analíticas (en

la mayoría de veces) sin mostrar de donde provienen y cuáles son las razones que las hacen

válidas.

Desde la modelación matemática: a) Se requiere saber más allá de las funciones básicas

como son: Constante, Lineal o Cuadrática, para poder relacionar la posición en función del

tiempo y b) Se hacen necesarias herramientas básicas del cálculo diferencial, del cálculo

10 Aunque, no es la intención desde un curso básico insertar a los alumnos en movimientos con aceleración variable (por

los modelos físicos y matemáticos que ello implica), es bueno que conozcan las condiciones mínimas para involucrarse a

resolver ese tipo de fenomenologías. Sin embargo, de las intenciones que los docentes tengan para motivar a los alumnos

a estos temas, se pueden hacer muchos intentos para lograr el aprendizaje de los mismos.


integral y de las ecuaciones diferenciales, pues las expresiones algebraicas siempre tendrán

implícitas nociones de derivadas, como se mostró en las ecuaciones 3.4a,b y 3.5a,b,c.

¡Cuidado! No se pueden usar expresiones algebraicas de los movimientos rectilíneos

uniformes o con aceleración constante, en movimientos con aceleración variable. Elimine

de sus apuntes y de su mente ese tipo de ecuaciones cuando el movimiento tenga

aceleración variable, a no ser que se invente un truco o use propiedades que le permitan

acercarse a la solución de un problema de cinemática usando métodos de aproximación

(métodos numéricos).

Ejemplo 3.14

Cuando una partícula cae lentamente a través de un fluido (esferita que cae dentro de agua

o aceite) la fuerza resistiva que actúa sobre ella se puede asumir que es proporcional a la

rapidez, lo cual implica que la aceleración del mismo sea en magnitud variable. La rapidez

𝑣𝑦 de la partícula en función del tiempo 𝑡, puede mostrarse (la solución está fuera del

alcance de este libro) es:

𝑣𝑦 =𝑚𝑔

𝑏(1 − 𝑒−𝑏𝑡/𝑚)

donde m es la masa de la partícula, 𝑔 es la aceleración gravitacional y b es una constante

cuyo valor depende de las propiedades del medio y de la forma y dimensiones del objeto. Si

se asume que 𝑚 = 0,1 kg, 𝑔 = 9,76 m/s2 y 𝑏 = 0,2 kg/s, a) Calcule la rapidez de la

partícula al cabo de 2 s y b) Realice una gráfica de 𝑣𝑦 en el intervalo de tiempo 0 𝑠 ≤ 𝑡 ≤

8 𝑠 y haga una interpretación de la misma.

Solución

a) Al sustituir los valores dados en la expresión de la rapidez se tiene que:

𝑣𝑦 =(0,1 kg)(9,76 m/s2)

0,2 kg/s(1 − 𝑒

−(0,2kgs

)(2𝑠)/0,1kg) = (4,88𝑚/𝑠)(1 − 𝑒−4)

𝑣𝑦 = (4,88𝑚/𝑠)(1 − 0,018) → 𝑣𝑦 = (4,79𝑚/𝑠)

b) La gráfica de 𝑣𝑦 en función del tiempo, que se corresponde con la expresión:

𝑣𝑦 = (4,88𝑚/𝑠)(1 − 𝑒−2𝑡)


se muestra en la figura 3.17. (Para ver sobre las características de las funciones

exponenciales, se sugiere revisar el capítulo 12, sobre funciones)

Observe que cuando 𝑡 = 0, 𝑣𝑦 = 0 y

cuando 𝑡 → ∞, 𝑣𝑦 = 4,88 𝑚/𝑠. Sin

embargo, se puede observar que en el

intervalo graficado 0 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 8 𝑠, a

partir de un valor que está entre 3 s y 4

s, prácticamente se llega a un valor

límite. Por eso al valor 4,88 m/s se le

llama rapidez límite o rapidez terminal

y se corresponde con la expresión:

𝑣𝐿 =𝑚𝑔

𝑏

Que tan rápido se llega a esa rapidez,

depende del término 𝜏 = 𝑚/𝑏, (letra

griega tau), el cual es llamado la

constante de tiempo y corresponde al

tiempo que la partícula soltada desde el

reposo en 𝑡 = 0 alcanza el 63.2% de su

rapidez límite.

Fig. 3.17. Componente de la velocidad en y como una

función exponencial del tiempo

Ejemplo 3.15

Un sistema objeto resorte que oscila de manera armónica simple en un plano horizontal se

mueve en línea recta y la posición del objeto viene dada por la expresión:

𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

4𝑡 –

6)

estando11 x en mm y t en s, a) ¿En dónde se encuentra el objeto cuando han transcurrido: 0

s, 2 s y 6 s?, b) ¿Cuál es el primer valor del tiempo 𝑡 > 0 que hace que x sea 3 mm? y c)

Realice una gráfica de dicha función en el intervalo de tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2.

Solución

a) Para encontrar las posiciones del objeto en diferentes instantes de tiempo, simplemente

se sustituyen dichos valores en la expresión dada, así:

11 No olvidar del análisis dimensional, que el término que acompaña a la variable t, es decir 𝜋/4, debe expresarse en rad/s.


Para: 𝑡 = 0 s, 𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 [𝜋

4(0) –

𝜋

6] = 6𝑠𝑒𝑛 (−

𝜋

6) = 6 (−

1

2) = −3 → 𝑥 = −3mm

Para: 𝑡 = 2s,

𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 [𝜋

4(2) –

𝜋

6] = 6𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

2−𝜋

6) = 6𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

3) = 6 (

√3

2) = 3√3 → 𝑥 = 3√3mm

Para: 𝑡 = 6s,

𝑥 = 6 𝑠𝑒𝑛 [𝜋

4(6) –

𝜋

6] = 6𝑠𝑒𝑛 (

3𝜋

2−

𝜋

6) = 6𝑠𝑒𝑛 (

4𝜋

3) = 6 (−

√3

2) = −3√3 → 𝑥 = −3√3mm

b) Para obtener el primer valor del tiempo positivo, que hace que x sea 3 mm, hay que

despejar el tiempo de la expresión dada originalmente. Primero se sustituye el valor de x en

la ecuación y luego se procede a obtener t, así:

3 = 6 𝑠𝑒𝑛 (𝜋

4𝑡 –

6) →

3

6= 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

4𝑡 –

6) →

1

2= 𝑠𝑒𝑛 (

𝜋

4𝑡 –

6)

𝜋

4𝑡 –

6= 𝑠𝑒𝑛−1 (

1

2) →

𝜋

4𝑡 –

6=

6 →

𝜋

4𝑡 =

6+

6 →

𝜋

4𝑡 =

3

Despejando t se tiene que: 𝑡 = 4

3𝑠

El valor de 𝑡 obtenido, sería el primer valor positivo que hace que 𝑥 sea de 3 mm. Nótese

que el arcoseno de ½, también puede ser 5/6 y de ahí se puede despejar otro tiempo

positivo para el cual se cumple la misma condición, ¡hágalo!.

Como la función seno es periódica, existirían infinitas soluciones en el tiempo para las

cuales la posición de la partícula sería de 3 mm. Esto concuerda con el hecho, que si las

oscilaciones armónicas del objeto permanecen en el tiempo, la partícula pasaría por allí un

sinnúmero de veces.

c) La gráfica de la función propuesta aparece en la figura 3.18.


La función fue representada en el

intervalo propuesto de 0 a 2π (0 a

6,28). Nótese que en 𝑡 = 0 s, 𝑥 =

3 mm y que en 𝑡 =4

3s y 𝑡 = 4s, la

posición de la partícula es de 3 mm,

como se muestra en dicha figura.

También puede observarse que los

valores de x calculados para 2 s y 6 s,

se corresponden con los obtenidos en

el literal a).

Fig.3.18. Posición como una función armónica del tiempo

Ejercicios

1. Un móvil viaja en línea recta con una rapidez media de 1.200 𝑐𝑚/𝑠 durante 9𝑠, y luego

con rapidez media de 480 cm/s durante 7 s, siendo ambas rapideces del mismo sentido:

a) ¿cuál es el desplazamiento total en el viaje de 16𝑠?.

b) ¿cuál es la velocidad media del viaje completo?.

2. Un móvil se mueve en una trayectoria recta con velocidad constante. En los instantes

𝑡1 = 0 𝑠 y 𝑡2 = 4 𝑠, sus posiciones son 𝑥1 = 9,5 cm y 𝑥2 = 25,5 cm. Determinar: a)

Velocidad del móvil, b) la posición en 𝑡 = 1 𝑠, c) Las ecuaciones de movimiento y d) la

posición en el instante 𝑡 = 2,5 s.

3. La rapidez del sonido es de 330 m/s y la de la luz es de 300000 km/s. Se produce una

descarga eléctrica en la atmósfera a 50 km de un observador.

a) ¿Qué percibe primero el observador, la onda luz o la onda sonido, sabiendo que ambas

ondas viajan con rapidez constante?.

b) ¿Con qué diferencia de tiempo los registra?.

4. ¿Cuánto tarda en llegar la luz del sol a la Tierra?. El sol se encuentra aproximadamente a

150.000.000 𝑘𝑚 de distancia de la tierra.


5. La posición de un objeto en función del tiempo viene dado por la expresión:

123 ttx , en donde x está en m y t en s. Calcular la magnitud de la velocidad media

(m/s) del objeto entre t0 = 4 s y t = 9 s.

6. Un antílope con aceleración constante cubre la distancia de 70 m entre dos puntos en 7 s.

Su rapidez al pasar por el segundo punto es 15 m/s. ¿Qué rapidez tenía en el primero

punto?.

7. En una esquina, una persona ve como un joven pasa en su auto a una rapidez de 20 m/s. Diez segundos después, una patrulla pasa por la misma esquina persiguiéndolo a 30 m/s. Considerando que ambos autos mantienen su rapidez constante, resolver gráfica y

analíticamente:

a) ¿A qué distancia de la esquina, la patrulla alcanzará al auto del joven?

b) ¿En qué instante se produce el encuentro?.

8. Un móvil sale de una ciudad A hacia B con una rapidez constante de 80 km/h, en el

mismo instante sale de la ciudad B hacia A otro a 60 km/h , también con rapidez

constante. Las ciudades A y B se encuentran a 600 km. Calcular:

a) ¿A qué distancia de A se encuentran?.

b) ¿En qué instante se encuentran?.

9. Un cohete parte del reposo con aceleración constante y logra alcanzar en 25 s una

rapidez de 500 m/s. Calcular:

a) La aceleración del cohete

b) ¿Qué distancia recorrió en esos 25 s?.

10. Un ingeniero quiere diseñar una pista para aviones de manera que puedan despegar con

una rapidez de 60 m/s. Estos aviones pueden acelerar uniformemente a razón de 4 m/s2. Determine el tiempo que tardarán los aviones en adquirir la rapidez de despegue.

11. Un auto marcha a una rapidez de 72 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante

en que ve un pozo delante de él y reduce su rapidez hasta 1/4 de la inicial en los 5 𝑠 que

tarda en llegar al pozo. Determinar a qué distancia del obstáculo el conductor aplicó los

frenos, suponiendo que la aceleración fue constante.


12. Un vehículo se mueve en línea recta sobre el eje x partiendo desde el origen en la

dirección positiva de dicho eje. El gráfico 𝑣𝑥 𝑣𝑠 𝑡, correspondiente a su movimiento, es el

que se muestra en la figura 3.18.

a) Dibuje el gráfico de 𝑎𝑥 𝑣𝑠 𝑡 para dicho

movimiento.

b) ¿Cuál fue la rapidez máxima del

vehículo? Entre 𝑡 = 2 𝑠 y 𝑡 = 6 𝑠, ¿Cuál

fue la distancia recorrida?.

c) ¿Cuál fue la distancia total recorrida por

el vehículo?

d) ¿Se detiene el vehículo en algún instante?

Indique en que tiempo ocurre.

e) Realice una gráfica de x vs t.


13. Un tren parte de una estación acelerando uniformemente a 3 m/s2 durante 15 s hasta

que alcanza la rapidez máxima. Luego mantiene esa rapidez máxima por 15 s , tras lo cual

frena uniformemente a razón de 1,6 m/s2, hasta detenerse en la siguiente estación.

Determine la distancia recorrida por el tren.

14. La figura 3.19 muestra la gráfica de la

posición en función del tiempo de un objeto

que se mueve en línea recta sobre una

superficie horizontal. Sabiendo que en la

gráfica las curvas a, c y e son parábolas y

que b y d son rectas, a) Idéese un enunciado

que caracterice el movimiento realizado por

el objeto y b) Realice gráficas cualitativas

de la componente de la velocidad en x y de

la aceleración en función del tiempo.

Fig. 3.19. Gráfica ejercicio 14

15. Una pelota parte del reposo y baja rodando una loma con aceleración uniforme,

recorriendo 150 m durante los segundos 5 s de su movimiento. ¿Qué distancia cubrió

durante los primeros 5 s?.


16. Un estudiante ocioso suelta una sandía desde una azotea y oye que la sandía se estrella

3 s después. ¿Qué altura tiene el edificio?. La rapidez del sonido (supuesta constante) es de

340 m/s. Ignore la resistencia del aire.

17. Un florero cae del borde de una ventana y pasa frente a la ventana de abajo. Se puede

despreciar la resistencia del aire. El florero tarda 0.42 s en pasar por esta ventana, cuya

altura es de 1.90 m. ¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó el florero está el

borde superior de la ventana de abajo?.

18. Un balón es arrojado al aire verticalmente con una rapidez de 6 m/s. Después de 3 s, se

hace lo mismo con otro balón. ¿Qué rapidez inicial debe tener el segundo para alcanzar al

primero a 30 m del suelo?.

19. Ejercicio de Contexto: Desde la azotea de un edificio de altura h se deja caer sin

velocidad inicial una piedra, la cual llega al piso al cabo de cierto tiempo t. Sabiendo que la

piedra cae con una aceleración constante �⃗�, resuelva las siguientes preguntas (cada una de

ellas debe estar justificada):

Pregunta 1: El tiempo t que dura la piedra en el aire es:

a) Mayor a 2√ℎ

𝑔 b) Menor a 2√

ℎ

𝑔 c) Igual a 2√

ℎ

𝑔 d) Cero

Pregunta 2: La magnitud de la velocidad (rapidez) v con la que llega la piedra al piso es:

a) Mayor a gh2 b) Menor a gh2 c) Igual a gh2 d) Cero

Pregunta 3: Cuando la piedra ha bajado una altura h/2, el tiempo de caída es:

a) Mayor a g

h b) Menor a

g

h c) Igual a

g

h d) Cero

20. Un estudiante de licenciatura en física se encuentra en el edificio de la torre

administrativa de la universidad y precisamente en la azotea de dichas instalaciones. Su

profesor de física, que tiene una estatura de 1,60 m de estatura, camina junto al edificio y

acercándose al mismo a una rapidez constante de 1,20 m/s. Si el estudiante deja caer, desde

el borde de la azotea un objeto, ¿Cuál deberá ser la distancia mínima a la cual debe estar el

profesor para que el objeto soltado por el alumno no lo golpeé?. Suponga una caída libre

del objeto y que la altura que hay desde el borde de la azotea al piso es de 46 m.

21. Un paracaidista que se deja caer al vacío desde un avión. Antes de abrir el paracaídas, la

aceleración con que cae viene dada por la expresión:


𝑎𝑦 = 𝑔 − 𝑏𝑣𝑦2

Donde b es constante que depende del área transversal del paracaidista y de las

características de la atmósfera que lo rodea y viene dada en unidades de m-1

. La dirección

positiva del eje y está dirigida hacia abajo. a) Realice una gráfica de 𝑎𝑦 contra 𝑣𝑦, para

distintos valores de b y b) ¿Para qué valores de 𝑣𝑦 la aceleración es 0, 𝑔

2,𝑔

4 y

𝑔

10 ?, asuma

que 𝑏 = 0,4 m-1

.

22. Un sistema objeto resorte que oscila de manera armónica simple en un plano vertical se

mueve en línea recta y la posición del objeto viene dada por la expresión:

𝑦 = 2 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2𝑡 –

3)

estando y en mm y t en s, a) ¿En dónde se encuentra el objeto cuando han transcurrido: 0 s,

1 s y 4 s?, b) ¿Cuál es el primer valor del tiempo 𝑡 > 0 que hace que y sea 1 mm? y c)

Realice una gráfica de dicha función en el intervalo de tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 2.

Ejercicios de desafío

1. Dos autos A y B que se mueven por la misma vía en sentidos contrarios, en un instante

están separados una distancia 200 m. Cuando los dos conductores observan que se pueden

chocar, en ese mismo instante y de manera simultánea los dos aplican los frenos (son tan

ágiles que no necesitan tiempo de reacción para pasar del acelerador al freno) y cada auto

desacelera de tal forma que llegan exactamente al punto p y no chocan, es decir que sus

velocidades finales son cero, ver figura 3.20. Si el auto A desacelera a razón de 3 m/s2 y el

auto B lo hace a razón de 2 m/s2, a) ¿Cuál es la distancia x medida desde al auto A?, b)

¿Cuánto tiempo duran en encontrarse los dos autos sin chocar? y c) ¿Cuál era la rapidez de

cada auto en el instante en que se encontraban separados 200 m?.

Fig.3.20. Gráfica ejercicio desafío 1.


2. Un objeto se deja caer libremente desde el reposo y en el último segundo de su caída ha

recorrido la mitad de su altura total. Para que se cumpla esta condición, ¿Cuánto tiempo

total estará el objeto en el aire? y b) ¿Desde qué altura cae?.

3. Una persona que se encuentra en un ascensor ve un tornillo que cae del techo. La altura

del ascensor es de 2,6 m. ¿Cuánto tiempo tarda el tornillo en chocar contra la base del

ascensor, sabiendo que este asciende con una aceleración constante de 3 m/s2?

4. La aceleración gravitacional puede ser

calculada haciendo un análisis del

movimiento realizado por un cuerpo

lanzado verticalmente. Si se tiene una

altura ℎ, determinada por un intervalo de

tiempo como se muestra en la figura 3.21.

Mostrar que:

𝑔 =8ℎ

𝑇𝐴2 − 𝑇𝐵

2 Fig.3.21. Gráfica ejercicio desafío 4.

Complemento tecnológico

En el capítulo 8 sobre experimentación básica, se detallan una serie de herramientas

tecnológicas como complemento a los procesos de enseñanza y aprendizaje de la física y

que han sido utilizados por el grupo de investigación Física e informática – fisinfor,

adscrito a la Licenciatura en física de la Universidad Distrital.

Por ello, se sugiere que quien utilice este libro o documento como soporte a la enseñanza de

la física en diferentes niveles educativos, es necesario que motive a sus alumnos a que usen

de manera guiada (¡sin docentes ayudando al proceso, es poco probable buenos

aprendizajes¡) software de simulación y de cálculo numérico. Aquí, se propone usar

software comercial como el Interactive Physics y software libre como Modellus o STEP (de

coautoría del grupo de investigación) entre otros (ver bibliografía al final del libro), como

apoyo tecnológico a la enseñanza de la física.

A continuación se presenta una imagen (ver figura 3.22) obtenida de Interactive Physics, en

la cual se realiza la simulación del ejemplo 3.13.


Fig.3.22. Simulación en Interactive Physics del ejemplo 3.13

Cuando en el software se maneja una mejor precisión, se pueden llegar a valores muy

aproximados, con relación a los valores teóricos calculados. Nótese también, el grado de

similitud de las gráficas teóricas con el resultado de las gráficas que arroja dicha

simulación. Este tipo de apreciaciones y diferencias son las que después se tienen que

volver motivo de discusión en el trabajo de aula.


Capítulo 4

Movimiento Bidimensional

“La ciencia no puede resolver el último misterio de la naturaleza. Y eso se debe a que, en última instancia,

nosotros mismos somos una parte del misterio que estamos tratando de resolver.”

Max Planck

La cinemática de las partículas se hace extensible al estudio del movimiento en dos o tres

dimensiones. Sin embargo, en este capítulo solo se abordarán los conceptos y nociones

básicas del movimiento bidimensional, en donde de nuevo las variables cinemáticas juegan

un papel fundamental.

4.1.Variables Cinemáticas, Vectores: Posición, Desplazamiento, Velocidad y

Aceleración

En el capítulo anterior, en donde se realizó el estudio del movimiento de una partícula a lo

largo de una línea recta, se mostró que si se conoce su posición como función del tiempo,

la descripción del movimiento queda prácticamente determinada. Adicionalmente, con la

definición del desplazamiento, velocidad y aceleración dicho movimiento adquiere una

caracterización mucho más general. Ahora, estos conceptos, se amplían al movimiento

bidimensional de una partícula en el plano xy.

Posición

El vector posición s un vector que indica

la ubicación de la partícula en un sistema

coordenado (en el plano xy, para el caso

mostrado en la figura 4.1), el cual se

dibuja desde el origen hasta el punto

(𝑥, 𝑦)donde se encuentra la partícula y es

denotado por:

Fig.4.1. Representación de vector posición 𝑟 en

coordenadas cartesianas

𝑟 = 𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂ (4.1)

x

yPartícula


Desplazamiento

Una partícula se mueve por la trayectoria

curva (mostrada en la figura 4.2) en el

plano xy, desde el punto p1 en el tiempo t1

hasta el punto p2 en el tiempo t2. Si los

vectores de posición 𝑟1 y 𝑟2, representan la

ubicación respectiva de la partícula en la

condición inicial y final, el vector

desplazamiento se define como:

Fig.4.2. Representación del Vector

desplazamiento ∆𝑟 en el plano xy.

∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 (4.2)

Es decir que el vector desplazamiento, es la diferencia entre el vector posición final y el

vector posición inicial.

Si se utilizan vectores unitarios, el vector desplazamiento puede escribirse también de la

siguiente manera:

∆𝑟 = (𝑥2 − 𝑥1)𝑖̂ + (𝑦2 − 𝑦1)𝑗̂ (4.3)

En la figura 4.2 se puede observar claramente que la magnitud de ∆𝑟 es menor que la

distancia recorrida a lo largo de la trayectoria curva que sigue la partícula, entre los puntos

1 y 2. Regularmente es útil cuantificar el movimiento al obtener la relación de un

desplazamiento, dividido entre el intervalo de tiempo durante el que ocurre dicho

desplazamiento, lo cual permite encontrar la relación de cambio de posición.

La cinemática en dos o tres dimensiones es equivalente a la cinemática unidimensional,

pero se debe usar notación vectorial completa en lugar de signos positivos y negativos para

indicar la dirección del movimiento.

Velocidad media

La velocidad media de una partícula se define como el desplazamiento que experimenta la

partícula dividido entre el intervalo de tiempo, así:

�⃗�𝑚 =∆𝑟

∆𝑡=𝑟2 − 𝑟1𝑡2 − 𝑡1

(4.4)

Desde el punto de vista operativo, al multiplicar o dividir una cantidad vectorial por una

cantidad escalar positiva, como en el caso del intervalo de tiempo ∆𝑡, solo cambia la

magnitud del vector y no su dirección. A sabiendas, que el desplazamiento es una cantidad

x

y

Trayectoria

de la Partícula


vectorial y que ∆𝑡 es una cantidad escalar positiva, se infiere que la velocidad media

también es una cantidad vectorial la cual está dirigida a lo largo de ∆𝑟.

La velocidad media entre los dos puntos escogidos es independiente de la trayectoria;

porque la velocidad media resulta ser proporcional al desplazamiento el cual solo depende

de los vectores de posición inicial y final y no de la trayectoria seguida por la partícula. De

manera similar al movimiento unidimensional, si una partícula inicia su movimiento en

algún punto y regresa a dicho punto a través de cualquier trayectoria, su velocidad media es

cero para este viaje, porque su desplazamiento es cero.

Velocidad instantánea

Si de nuevo, se considera el movimiento

de una partícula entre dos puntos P1 y P2

en el plano xy como se muestra en la

figura 4.3, se puede observar que

conforme el intervalo de tiempo sobre el

que se observa el movimiento se vuelve

más y más pequeño (esto es, a medida que

la partícula estando en P2 se mueve a 𝑃2′ y

después a 𝑃2′′, y asi sucesivamente), la

direccion del desplazamiento tiende a la

línea tangente a la trayectoria en el punto

P1. Fig.4.3. Descripción geométrica de la velocidad

instantánea

De acuerdo a la descripción anterior, la velocidad instantánea �⃗� se define como el límite

de la velocidad media ∆𝑟

∆𝑡 a medida que ∆𝑡 tiende a cero, es decir:

�⃗� = lim∆𝑡→0

∆𝑟

∆𝑡=𝑑𝑟

𝑑𝑡 (4.5)

Es decir, la velocidad instantánea es igual a la derivada del vector posición respecto al

tiempo. La dirección del vector velocidad instantánea en cualquier punto de la trayectoria

seguida por la partícula es a lo largo de una línea tangente a la trayectoria en dicho punto y

en la dirección del movimiento. En términos más generales, la velocidad instantánea que

tiene una partícula en un momento determinado se dibuja tangente a la trayectoria.

No olvidar, que la magnitud del vector velocidad instantánea 𝑣 = |�⃗�| de una partícula se

llama rapidez de la partícula y que esta es una cantidad física escalar.

x

y Tangente en el punto P1


Expresar la velocidad en términos de sus componentes rectangulares cartesianas, requiere

de la sustitución del vector posición 𝑟 (ecuación 4.1) en la ecuación 4.5, de tal manera que:

�⃗� =𝑑𝑟

𝑑𝑡=𝑑(𝑥𝑖̂ + 𝑦𝑗̂)

𝑑𝑡=𝑑𝑥

𝑑𝑡𝑖̂ +

𝑑𝑦

𝑑𝑡𝑗̂

�⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ (4.6)

Donde 𝑣𝑥 =𝑑𝑥

𝑑𝑡 y 𝑣𝑦 =

𝑑𝑦

𝑑𝑡 son respectivamente las componentes de la velocidad en los ejes

x e y. Por lo tanto la magnitud del vector velocidad se obtiene de:

𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 (4.7)

y la dirección del vector velocidad está dada por:

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑣𝑦

𝑣𝑥) (4.8)

Aceleración media

La aceleración media de una partícula se define como el cambio del vector velocidad

instantánea dividido por el intervalo de tiempo ∆𝑡 en el que sucede dicho cambio:

�⃗�𝑚 =∆�⃗�

∆𝑡=�⃗� − �⃗�0𝑡 − 𝑡0

(4.9)

Siendo �⃗� y �⃗�0 las velocidades final e inicial, respectivamente. Sabiendo que �⃗�𝑚 es el

cociente entre una cantidad vectorial ∆�⃗� y una cantidad escalar positiva ∆𝑡, se infiere que la

aceleración media es una cantidad física vectorial dirigida a lo largo de ∆�⃗�.

En la figura 4.4, se indica la dirección

del cambio de velocidad instantánea ∆�⃗�

que se obtiene al sumar el vector −�⃗�0

(el negativo de �⃗�0) al vector �⃗�, ya que

por definición ∆�⃗� = �⃗� − �⃗�0. Nótese que

∆�⃗�, también se puede obtener

trasladando el vector �⃗�0 al punto final

P2 trazando un vector desde la

“cabeza” de éste vector a la “cabeza”

del vector velocidad final �⃗�, como se


Fig. 4.4. Representación gráfica de cambios de la

dirección de la velocidad.

x

y


A su vez, cuando la aceleración media de una partícula cambia en diferentes intervalos de

tiempo, se hace necesario definir su aceleración instantánea, cuando dichos intervalos se

hacen cada vez más pequeños. Así, la aceleración instantánea �⃗� se define como el valor

límite de la proporción ∆�⃗⃗�

∆𝑡 a medida que ∆𝑡 tiende a cero, o sea:

�⃗� = lim∆𝑡→0

∆�⃗�

∆𝑡=𝑑�⃗�

𝑑𝑡 (4.10a)

Es decir, la aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad respecto del

tiempo. Sabiendo que la velocidad es la variación de la posición en el tiempo, la ecuación

anterior se puede escribir de la siguiente manera:

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=𝑑(𝑑𝑟/𝑑𝑡)

𝑑𝑡=𝑑2𝑟

𝑑𝑡2 (4.10b)

Por eso, también se puede decir que la aceleración es la segunda derivada del vector

posición con respecto al tiempo.

Para expresar la aceleración en términos de sus componentes rectangulares cartesianas,

requiere de la sustitución del vector velocidad �⃗� (ecuación 4.6) en la ecuación 4.10b, de tal

manera que:

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡=𝑑(𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂)

𝑑𝑡=𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡

𝑖̂ +𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡𝑗̂

�⃗� = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗 ̂ (4.11)

Donde 𝑎𝑥 =𝑑𝑣𝑥

𝑑𝑡 y 𝑎𝑦 =

𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡 son respectivamente las componentes de la aceleración en los

ejes x e y

Un tratamiento más formal de la velocidad y aceleración vistas como variables vectoriales

y con todos los argumentos matemáticos, se realizan en cursos superiores de física general

en donde se necesitan nociones de cálculo diferencial, calculo integral, de ecuaciones

diferenciales o de análisis vectorial. De ahí, que en el presente texto no sean tratados con el

rigor que se pretende, lo cual no implica que se dejen de explicitar las nociones básicas de

conceptualización y análisis que se requieren de las variables cinemáticas para explicar el

movimiento de las partículas. Por ejemplo, en el caso en que las partículas se mueven con

velocidad constante, aceleración constante o combinaciones de ellas, en dos dimensiones se

recurre fácilmente a las ecuaciones de movimiento explicitadas en el capítulo del

movimiento unidimensional haciendo la composición respectiva de los dos movimientos,

como será más adelante en el movimiento de proyectiles.


Nota Conceptual: La aceleración como un cambio del vector velocidad

Sabiendo que el concepto de aceleración proviene de una variación o cambio del vector

velocidad hay que tener en cuenta las siguientes características. a) La magnitud del vector

velocidad (la rapidez) puede cambiar con el tiempo como en un movimiento en línea recta

(unidimensional), b) La dirección del vector velocidad puede cambiar con el tiempo

incluso si su magnitud (rapidez) permanece constante como puede suceder en un

movimiento bidimensional a lo largo de una trayectoria curva y c) Tanto la magnitud como

la dirección del vector velocidad pueden cambiar simultáneamente y de esta manera

generar distintas formas de aceleración, como sucede en los movimientos curvilíneos en

dos y tres dimensiones.

Como aplicación hasta lo expuesto aquí del movimiento en dos dimensiones y de las

variables cinemáticas que lo describen, se verán algunos casos de movimientos muy

particulares como lo son: El movimiento de proyectiles y el movimiento circunferencial.

Ejemplo 4.1

Un automovilista se dirige al sur a 15.0 m/s durante 2.00 min, luego da vuelta al este y viaja

a 20.0 m/s durante 3.0 min y finalmente viaja al noreste a 25.0 m/s durante 1.5 min. Para

este viaje de 6.5 min, encuentre a) el vector desplazamiento total, b) la rapidez media y c) la

velocidad media. Asumir el eje x positivo apuntando hacia el este y que en cada trayecto

realizado por el automovilista lo hace con rapidez constante.

Solución

a) Usando el hecho que para la rapidez

constante 𝑣 se puede asumir la expresión

𝑣𝑡, las componentes rectangulares xy de

cada trayecto se muestran en la figura 4.5

y sus respectivos valores se presentan a

continuación:

x(m) y(m)

0 -1800

3600 0

1591 1591

-------------- --------------

5191 -209

La última fila de datos representa las

componentes del vector desplazamiento

resultante, el cual puede expresarse como:

Fig.4.5. Solución gráfica ejemplo 4.1

�⃗⃗� = (5191𝑖̂ − 209𝑗̂) m La magnitud de la resultante es:


𝑅 = √(5191)2 + (209)2 = 5195 m

Y la dirección es:

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑦

𝑥) = 𝑡𝑔−1 (

−210

5190) → 𝜃 = −2.32°

b) La rapidez media se obtiene de la distancia total recorrida dividida por el tiempo total

empleado, o sea:

𝑣𝑚 =(15 m/s)(120 s) + (20 m/s)(180 s) + (25 m/s)(90 s)

390 s

𝑣𝑚 = 19,62 m/s

c) La magnitud de la velocidad media se calcula así:

𝑣 =𝑅

∆𝑡=5195m

390s= 13,32 m/s

Y su dirección es a lo largo de �⃗⃗�, es decir: 𝜃 = −2.32°.

4.2. Movimiento de Proyectiles

Algunos de los movimientos que se presentan con gran frecuencia en nuestra vida cotidiana

y que permanentemente observamos son: un balón de futbol o de baloncesto, una pelota de

tenis o de béisbol, que describen trayectorias curvas a medida que los vemos moverse desde

sus puntos de lanzamiento hasta un objetivo determinado. Al modelar todos esos objetos

como partículas, sus movimientos bajo ciertas consideraciones se pueden asumir como un

movimiento de proyectiles.

El movimiento de proyectil de un objeto cerca a la superficie de la tierra se puede

caracterizar a partir de dos suposiciones: 1) la aceleración de caída libre es constante en el

intervalo de movimiento y se dirige hacia abajo y 2) el efecto de la resistencia del aire es

despreciable. Estas dos suposiciones, permiten asegurar que el movimiento de proyectiles

es la composición de dos movimientos:

Uniforme a lo largo del eje x

Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical y

Con estas condiciones, se encuentra que la trayectoria de un proyectil siempre es una

parábola, como se muestra en la figura 4.6. Con el manejo de las expresiones algebraicas


correspondientes para estos dos tipos de movimiento, se probará que la curva obedece

precisamente a una parábola.

Fig.4.6. Trayectoria seguida por un proyectil

En la figura 4.6 se tiene un proyectil que se ha disparado con una rapidez inicial 𝑣0,

formando un ángulo 𝜃 con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son:

𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 (4.11a)

𝑣0𝑦 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 (4.11b)

Las ecuaciones del movimiento de un proyectil para cada uno de los ejes son

respectivamente:

Eje x 𝑎𝑥 = 0 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 𝑥 = 𝑣0𝑥𝑡

Eje y 𝑎𝑦 = −𝑔

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡


2 − 2𝑔𝑦

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣0𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2

𝑦 = 𝑦𝑜 + (𝑣𝑦 + 𝑣0𝑦

2) 𝑡

Obsérvese que por la no existencia de la aceleración en el eje x, la componente de la

velocidad en ese eje, siempre será la componente de la velocidad inicial (𝑣0𝑥), tal como se

ha representado en la figura 4.6. Adicionalmente, puede verse como va cambiando la

componente del vector velocidad (tanto en dirección como en magnitud) en el eje y en la

subida y bajada de la partícula y en el caso particular de la altura máxima dicha

componente es cero.

Si la partícula es lanzada desde una altura inicial 𝑦0 y regresa a la misma altura (línea a

trazos en la figura 4.6) se cumple que los ángulos marcados como 𝜃 (ángulo de disparo)


son iguales y la magnitud de la velocidad final coincide con la magnitud de la velocidad

inicial, lo cual muestra la simetría del movimiento.

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son:

𝑥 = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡 (4.12)

𝑦 = 𝑦𝑜 + (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 −1

2𝑔𝑡2 (4.13)

Despejando el tiempo t de la ecuación 4.12 y sustituyéndolo en la ecuación 4.13, se obtiene

la ecuación de la trayectoria:

𝑦 = 𝑦𝑜 + (𝑡𝑔𝜃)𝑥 − (𝑔

2𝑣02𝑐𝑜𝑠2𝜃

) 𝑥2 (4.14)

La expresión anterior es la ecuación de la trayectoria, la cual tiene la forma 𝑦 = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥 + 𝑐, la que representa una parábola y así queda demostrado que el movimiento de los

proyectiles con las consideraciones expuestas anteriormente, es precisamente una parábola.

Es decir que el modelo matemático utilizado se corresponde a la representación de las

coordenadas espaciales física reales, o sea a las que precisamente un observador vería como

trayectoria. El signo menos de la ecuación cuadrática garantiza que la curva siempre abre

hacia abajo y esto físicamente es debido a la presencia de la fuerza gravitacional ejercida

por la tierra, que garantiza una aceleración aproximadamente constante hacia abajo.

Nota Conceptual: Generalización de un movimiento parabólico

Un movimiento en dos dimensiones realizado por una partícula tendrá siempre una

trayectoria en forma de parábola, cuando se pueda mostrar que es la superposición de dos

movimientos: Uno con velocidad constante y otro con aceleración constante.

Si se desea tener una expresión vectorial para la posición del movimiento de un proyectil,

se pueden usar las ecuaciones 4.11, 4.12 y 4.13, obteniéndose:

𝑟 = [(𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡]𝑖̂ + [𝑦𝑜 + (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 −1

2𝑔𝑡2] 𝑗̂ (4.15)

La ecuación 4.15 es una manera general de describir el vector posición de una partícula que

se mueve en una trayectoria parabólica en función del tiempo y en términos de los vectores

unitarios cartesianos.


De la misma manera se desea obtener una expresión vectorial para la velocidad de la

partícula en cualquier instante, la expresión correspondiente sería:

�⃗� = 𝑣𝑥𝑖̂ + 𝑣𝑦𝑗̂ = 𝑣0𝑥𝑖̂ + (𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡)𝑗̂

Y de manera más general, como:

�⃗� = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑖̂ + [(𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝑔𝑡]𝑗 ̂ (4.16)

Ejemplo 4.2

Un proyectil es lanzado desde el origen en 𝑡0 = 0 con una velocidad �⃗�0 como se muestra

en la figura 4.7, para luego regresar al mismo nivel horizontal. Para el movimiento de un

proyectil, como el descrito en dicha figura, encontrar una expresión para la altura máxima h

y el alcance horizontal x.

Solución

Para obtener la expresión de la

Altura Máxima, se utiliza la

expresión:


2 − 2𝑔𝑦

Haciendo 𝑣𝑦 = 0 e 𝑦 = ℎ, se tiene

que:

Fig.4.7.Alcance horizontal y altura máxima en un

movimiento parabólico

ℎ =𝑣0𝑦2

2𝑔 o también ℎ =

𝑣02𝑠𝑒𝑛2𝜃

2𝑔

Para el caso del alcance horizontal x se hace necesario obtener el tiempo de subida hasta la

altura máxima y dicho tiempo hacerlo igual al tiempo de bajada, para así obtener el tiempo

total del movimiento del proyectil. Por lo tanto, usando la expresión:

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡

Haciendo que 𝑣𝑦 = 0 y llamando 𝑡𝑠 al tiempo de subida hasta la altura máxima, se obtiene:

𝑡𝑠 =𝑣0𝑦

𝑔=𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑔

y

x

q

h

x


Por tanto el tiempo total es:

𝑡 = 2𝑡𝑠 =2𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑔

Sustituyendo en la ecuación: 𝑥 = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡 la expresión del tiempo total, se tiene que:

𝑥 = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃) (2𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑔) =

𝑣02

𝑔(2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃)

Recordando que la expresión del seno del ángulo doble es: 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃, se llega a

la expresión para el alcance horizontal, así:

𝑥 =𝑣02𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑔

Ejemplo 4.3

Una piedra es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio, a un ángulo de 37° con la

horizontal, y con una rapidez inicial de 15.0 m/s, como se muestra en la figura 4.8. La

altura desde la cual se lanza la piedra es de 50.0 m con relación a la base del edificio, a)

¿Cuánto tarda la piedra en llegar al suelo?, b) calcular la distancia x a la que toca la piedra

el piso con relación a la base del edificio y c)¿Cuál es la rapidez de la piedra justo antes de

golpear el suelo?.

Solución:

a) Para calcular el tiempo que dura la

piedra desde el momento que sale hasta

un instante antes de tocar el piso, se usa la

expresión:

𝑦 = 𝑦𝑜 + 𝑣0𝑦𝑡 −1

2𝑔𝑡2

Sustituyendo los valores se tiene que:

−50 = 0 + (15𝑠𝑒𝑛37°)𝑡 −1

2(9,8)𝑡2

Fig. 4.8. Gráfica ejemplo 4.3

Reorganizando términos y realizando las operaciones respectivas, se tiene:

4,9𝑡2 − 9𝑡 − 50 = 0


Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que las soluciones del tiempo son

respectivamente, 𝑡 = 4,25 s y 𝑡 = − 2,41 s . Es obvio que la segunda solución no es

solución física al problema planteado, por lo tanto el tiempo que dura el proyectil en el aire

hasta un instante antes de tocar el piso es: 𝑡 = 4,25 s.

b) Con el valor del tiempo obtenido y usando la ecuación 𝑥 = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡, se puede obtener

la distancia a la cual la piedra golpea el piso con relación a la base del edificio, es decir:

𝑥 = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡 = (15 m/s)cos37° (4,25 𝑠) → 𝑥 = 51 m

Este valor también pudo haberse obtenido usando la ecuación:

𝑦 = 𝑦𝑜 + (𝑡𝑔𝜃)𝑥 − (𝑔

2𝑣02𝑐𝑜𝑠2𝜃

) 𝑥2

sin necesidad de haber calculado el tiempo de la piedra en el aire.

Haciendo 𝑦 = −50 𝑚, 𝑦𝑜 = 0 m, 𝜃 = 37° y 𝑣0 = 15 m/s, se obtiene la siguiente

ecuación cuadrática:

0,034𝑥2 − 0,75𝑥 − 50 = 0

Al resolver la ecuación cuadrática se puede comprobar que una solución aproximada es

𝑥 = 51 𝑚 y que la otra solución de la ecuación cuadrática no satisface las condiciones

físicas del problema.

c) La rapidez de la piedra antes de tocar el piso, se puede calcular sabiendo las

componentes de la velocidad final de la misma. Como la componente de la velocidad en x

no cambia ella siempre tiene como valor numérico, el valor de la componente inicial de la

velocidad:

𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥 = 𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃 = (15m/s)𝑐𝑜𝑠37° → 𝑣𝑥 = 12 m/s

La componente en el eje y de la velocidad de la piedra se calcula con la expresión:

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑔𝑡 = (15 m/s)𝑠𝑒𝑛37° − (9,8𝑚/𝑠2)(4,25 s)

𝑣𝑦 = −32,65 m/s

El resultado anterior es razonable, puesto que esto muestra que la piedra al tener una

componente negativa de la velocidad implica que va hacia abajo en ese momento.

Ahora, si se puede calcular la magnitud de la rapidez final de la piedra justo antes de tocar

el piso, así:


𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2 = √(12 m/s)2 + (32,65 m/s)2 → 𝑣 = 34,8 m/s

Ejemplo 4.4

Se lanza un proyectil con rapidez inicial vo y ángulo q sobre la horizontal desde una altura h

sobre el suelo. Mostrar que si no se considera la resistencia del aire, la distancia horizontal

que recorre el proyectil antes de tocar el suelo es:

)2(cos 22

000 ghsenvsenv

g

vx qq

q.

Solución

La distancia horizontal x se obtiene de la expresión 4.12:

𝑥 = (𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑡

Según el enunciado del problema, la magnitud de la velocidad inicial 𝑣0 (rapidez inicial) y

el ángulo 𝜃 de disparo son datos conocidos. Por lo tanto, habría que encontrar una

expresión para el tiempo total t de vuelo del proyectil y reemplazarlo en la ecuación

anterior. Para ello se recurre a la expresión 4.13,

𝑦 = 𝑦𝑜 + (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 −1

2𝑔𝑡2

en donde se debe sustituir 𝑦 = 0 e 𝑦𝑜 = ℎ, quedando la expresión

0 = ℎ + (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 −1

2𝑔𝑡2

o también, multiplicando por −1

1

2𝑔𝑡2 − (𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑡 − ℎ = 0

la cual es una ecuación cuadrática en el tiempo. Resolviendo dicha ecuación para t se tiene:

𝑡 =−(−𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃) ± √(−𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃)2 − 4(

𝑔2)(−ℎ)

2 (𝑔2)

y haciendo las respectivas operaciones se tiene:


𝑡 =𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 ± √𝑣0

2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝑔ℎ

𝑔

Sabiendo que al extraer la raíz cuadrada de la cantidad subradical está siempre será mayor

que 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃, sólo se toma como solución en el tiempo la expresión:

𝑡 =𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 + √𝑣0

2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝑔ℎ

𝑔

Ahora bien, si el tiempo t se sustituye en la ecuación 4.12, se llega a la expresión:

𝑥 =𝑣0𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑔(𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 + √𝑣0

2𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 2𝑔ℎ)

que era lo que se quería demostrar.

4.3. Partícula en movimiento circunferencial

Cuando la trayectoria seguida por una partícula contiene un arco de circunferencia (por

ejemplo, el movimiento de un péndulo simple) o una circunferencia completa (un punto

sobre el borde de un disco o aspa que gira en torno a un eje fijo de rotación), se dice que la

partícula describe un movimiento circunferencial. Algunos de estos movimientos pueden

realizarse con la rapidez de la partícula constante o variable y esto hace que el movimiento

circunferencial pueda recibir diferentes nombres. A continuación se presentan, dos de

dichos movimientos.

Movimiento circunferencial uniforme

El movimiento de una partícula, se dice que es circunferencial uniforme cuando la

trayectoria de la partícula es o hace parte de una circunferencia y la rapidez 𝑣 con que se

mueve es constante.

Desde el punto de vista conceptual, a los estudiantes les sorprende encontrar que una

partícula que se mueve con rapidez constante pueda estar acelerada, como es el caso de un

movimiento circunferencial uniforme. Esto requiere de una fundamentación física bien

importante, la cual proviene del concepto de aceleración, ya que esta depende del cambio

del vector velocidad. Puesto que la velocidad es una cantidad vectorial, una aceleración

puede ocurrir en dos formas, como se mencionó anteriormente: por un cambio en la

magnitud de la velocidad o por un cambio en la dirección de la velocidad. La segunda


situación ocurre para una partícula que se mueve con rapidez constante en una trayectoria

circular, en donde el vector velocidad siempre es tangente a la trayectoria del objeto y

perpendicular al radio de la trayectoria circular.

Para observar como esos cambios de dirección en un movimiento circunferencial

uniforme, el vector aceleración en dicho movimiento siempre es perpendicular a la

trayectoria y siempre apunta hacia el centro de la circunferencia. Si lo anterior no fuera

cierto, habría una componente de la aceleración paralela a la trayectoria y, debido a eso,

paralela al vector velocidad y por lo tanto, dicha componente de aceleración implicaría un

cambio en la rapidez de la partícula a lo largo de la trayectoria. Por lo tanto, para un

movimiento circunferencial uniforme, el vector aceleración solo puede tener una

componente perpendicular a la trayectoria, que es hacia el centro de la circunferencia. Si se

observa el vector ∆�⃗� el cual va dirigido (de manera aproximada) hacia el centro de la

circunferencia en la figura 4.9, este tiene la misma dirección del vector aceleración que

proviene del cambio en la dirección de la velocidad.

Para encontrar la magnitud de la

aceleración de la partícula, obsérvese en

la figura 4.9 el vector desplazamiento ∆𝑟

entre los puntos 1 y 2 y el diagrama de

velocidades representadas en el punto 2.

Nótese que tanto en el punto 1 y 2 las

magnitudes de los vectores de posición

inicial y final se corresponden con el

radio 𝑟 de la circunferencia que describe

la partícula y que se han dibujado los

vectores de velocidad en los dos puntos e

identificándolas con la misma variable 𝑣,

pues en magnitud ambas son iguales. Fig.4.9. Cambio de velocidad en un movimiento

circunferencial

En la misma figura 4.9 se identifican dos triángulos que sirven de ayuda para interpretar el

movimiento. El ángulo ∆𝜃 que se subtiende entre los dos radios que representan las

magnitudes de los vectores de posición inicial y final es el mismo que el ángulo entre los

vectores velocidad representados en el punto 2 de la figura 4.9. Esto ángulos son iguales

porque el vector velocidad �⃗� que es tangente a la circunferencia en todos los puntos es

siempre perpendicular a cualquier línea trazada hacia el centro de la misma. Los dos

triángulos resultan ser semejantes (dos triángulos son semejantes si el ángulo entre

cualquiera de los dos lados es el mismo para ambos triángulos y si la relación de las

longitudes de dichos lados es la misma) y por eso, se puede escribir una correspondencia

entre las longitudes de los lados para los dos triángulos, así:


∆𝑣

𝑣=∆𝑟

𝑟

Sabiendo que en el mismo intervalo de tiempo ∆𝑡 suceden los cambios de las magnitudes

de ∆𝑣 y de ∆𝑟, la expresión anterior se puede transformar en:

∆𝑣

∆𝑡=𝑣

𝑟(∆𝑟

∆𝑡)

Si ahora, se considera que los puntos 1 y 2 en la figura 4.9 se acercan considerablemente

entre si aproximándose el uno al otro a medida que ∆𝑡 → 0, ∆𝑟 se aproxima a la distancia

recorrida por la partícula a lo largo de la trayectoria circular y la relación ∆𝑟

∆𝑡 se aproxima a

la rapidez 𝑣 de dicha partícula. Además, la aceleración media ∆𝑣

∆𝑡 se convierte en la

aceleración instantánea en el punto 1. Por tanto, en el límite ∆𝑡 → 0, la magnitud de la

aceleración es:

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟 (4.16)

A este tipo de aceleración se le conoce con el nombre de aceleración centrípeta (en donde

la palabra centrípeta significa hacia el centro). El subíndice en la notación de la aceleración

permite recordar que la aceleración se le denomina centrípeta, central o radial. También,

en algunas ocasiones, se le denomina aceleración radial.

Muchas veces es bueno describir el movimiento de una partícula que se mueve con rapidez

constante en una circunferencia de radio 𝑟 en términos de una nueva variable denominada

periodo 𝑇, el cual es definido como el intervalo de tiempo requerido para que la partícula

describa una vuelta completa.

Como en el intervalo de tiempo T, la partícula recorre una distancia equivalente a la

longitud de la circunferencia 2𝜋𝑟, en consecuencia, la rapidez es igual a:

𝑣 =2𝜋𝑟

𝑇 (4.17)

de donde se puede obtener una expresión para el período como sigue:

𝑇 =2𝜋𝑟

𝑣 (4.18)


El periodo 𝑇 también se puede calcular como el tiempo t que se requiere para dar un

determinado número n de vueltas, o sea que: 𝑇 =𝑡

𝑛. Al inverso multiplicativo del periodo

se le conoce como frecuencia 𝑓 =1

𝑇=

𝑛

𝑡 y la cual viene expresada en Hertz (1 Hz =

1

𝑠 =

𝑠−1).

Ejemplo 4.5

Una partícula se mueve a lo largo de una circunferencia de radio 𝑟 = 0,2 m a razón de 5

vueltas por segundo. Calcular: a) El periodo, b) la rapidez tangencial y c) la aceleración

centrípeta.

Solución:

a) De los datos suministrados la frecuencia tiene un valor 𝑓 = 5 Hz y por lo tanto el

período sería:

𝑇 =1

𝑓=

1

5𝑠−1= 0,2 s

b) De la ecuación 4.17, se puede obtener el valor de la rapidez tangencial, así:

𝑣 =2𝜋𝑟

𝑇 → 𝑣 =

2𝜋(0,2m)

0,2s → 𝑣 = 6,28 m/s

c) La aceleración centrípeta se obtiene de la expresión 4.16

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟 → 𝑎𝑐 =

(6,28 m/s)2

0,2m → 𝑎𝑐 = 31,4 m/s2

Ejemplo 4.6

Dos satélites giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios R y 2R,

respectivamente como se muestra en la figura 4.10. Si los dos satélites tiene el mismo

periodo, ¿Cuál es la relación entre las rapideces tangenciales? y ¿Cuál es la relación entre

las aceleraciones centrípetas? entre dichos satélites.

Solución:


Usando la expresión 4.18 para el periodo

de cada satélite se tiene:

𝑇1 =2𝜋𝑅

𝑣1

𝑇2 =4𝜋𝑅

𝑣2

Como los dos satélites tienen el mismo

periodo, se tiene que: 𝑇1 = 𝑇2 y por tanto:

2𝜋𝑅

𝑣1=4𝜋𝑅

𝑣2

Fig.4.10. Dos Satélites alrededor de un planeta

de donde se consigue que la relación entre las dos rapideces es:

𝑣2𝑣1= 2

Ahora bien, usando la expresión 4.16 de la aceleración centrípeta para cada satélite, se tiene

que:

𝑎𝑐1 =𝑣12

𝑅 y 𝑎𝑐2 =

𝑣22

2𝑅

Realizando el cociente entre las dos aceleraciones centrípetas se tiene que:

𝑎𝑐2𝑎𝑐1

=

𝑣22

2𝑅𝑣12

𝑅

=1

2(𝑣2𝑣1)2

=1

2(2)2 = 2 →

𝑎𝑐2𝑎𝑐1

= 2

Nótese la importancia de los resultados anteriores. Cuando los dos satélites tienen el mismo

periodo, la relación entre sus rapideces tangenciales y las aceleraciones centrípetas es la

misma.

4.4. Aceleraciones tangencial y radial

Cuando una partícula describe una trayectoria curvilínea en donde la velocidad cambia

tanto en dirección como en magnitud, aparecen formas de aceleración como consecuencia

de dichos cambios, como se muestra en la figura 4.11. Como ya se sabe en cada uno de los

puntos señalados en la trayectoria de la partícula y marcados como P1, P2 y P3 la velocidad

se debe dibujar tangente a la trayectoria, sin embargo la aceleración total �⃗� de la partícula

en cada uno de esos puntos forma un cierto ángulo con la trayectoria. En los puntos P1, P2 y

P3 de la figura 4.11 se han dibujado circunferencias a trazos discontinuos que representan la

R

2R

PlanetaSatélite 1

Satélite 2


curvatura de la trayectoria real en cada punto y el radio de las circunferencias es igual al

radio de curvatura de la trayectoria en cada punto.

Fig.4.11. Componentes tangencial y radial de la aceleración en un movimiento curvilíneo

A medida que la partícula se mueve a lo largo de la trayectoria curva, en cualquier instante

el vector aceleración se puede descomponer en dos componentes respecto a un origen en el

centro de la circunferencia dibujada a trazos discontinuos como son: una componente radial

�⃗�𝑟 a lo largo del radio de la circunferencia y una componente tangencial �⃗�𝑡 perpendicular a

este radio. El vector aceleración total �⃗� se obtiene como la suma vectorial de las

componentes de los vectores:

�⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑟 (4.19)

En este momento hay que precisar que la componente de aceleración tangencial proviene

de un cambio en la rapidez 𝑣 de la partícula y se dibuja de manera paralela a la velocidad

instantánea y su magnitud se puede encontrar con la expresión:

𝑎 =𝑑𝑣

𝑑𝑡(4.20)

Adicionalmente, la componente de aceleración radial o centrípeta proviene de un cambio

en la dirección del vector velocidad y se obtiene así:

𝑎𝑟 = 𝑎𝑐 = −𝑣2

𝑟(4.21)

en donde 𝑟 es el radio de curvatura de la trayectoria en el punto determinado. El signo

negativo en la ecuación 4.21 indica que la dirección de la aceleración centrípeta es hacia el

centro de la circunferencia que está representada por el radio de curvatura.

A sabiendas que, �⃗�𝑡 y �⃗�𝑟 son vectores componentes perpendiculares entre sí, la magnitud

de la aceleración total 𝑎 se puede obtener de:


𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑟2 (4.22)

Para el caso particular de un movimiento curvilíneo en el que se conoce la rapidez de la

partícula, la magnitud de la aceleración radial 𝑎𝑟 aumenta cuando el radio de curvatura es

pequeño (como en los puntos P1 y P2 en la figura 4.11) y disminuye cuando 𝑟 aumenta

(punto P3). La aceleración tangencial �⃗�𝑡 tiene la misma dirección que �⃗� (si la magnitud 𝑣

aumenta) y tendrá dirección contraria a �⃗� (si la magnitud 𝑣 disminuye).

Ejemplo 4.7

Un auto frena mientras entra a una curva horizontal cerrada de radio 120 m, pasando de 72

km/h (20 m/s) a 36 km/h (10 m/s) en los 16 s que le tarda cubrir la curva. Calcule la

aceleración total en el momento en que la rapidez del auto alcanza 36 km/h. Suponga que

continua frenando durante este tiempo con la misma relación.

Solución:

En la figura 4.13 se han representado los

vectores de aceleración radial o centrípeta �⃗�𝑟,

aceleración tangencial �⃗�𝑡 y aceleración total �⃗�

un instante antes que el auto cubra toda la

curva.

Las magnitudes de dichas aceleraciones son

respectivamente:

Fig. 4.13. Vectores de aceleración en un

movimiento circunferencial

𝑎𝑟 =𝑣2

𝑅=(10 m/s)2

120m= 0,83 m/s2

𝑎𝑡 =|∆𝑣|

∆𝑡=10 m/s

16m= 0,63 m/s2

𝑎 = √𝑎𝑡2 + 𝑎𝑟2

𝑎 = √(0,63 m/s2)2 + (0,83 m/s2)2 = 1,04 m/s2

x

q

R


Nótese que en la figura 4.13 el vector aceleración tangencial se ha dibujado en sentido

contrario a la dirección del movimiento del auto, puesto que el cambio en la rapidez

tangencial es negativo y la aceleración radial se ha dibujado hacia el centro de curvatura.

El vector aceleración total forma un ángulo 𝜃 respecto al eje central, como se muestra en la

4.13, y el cual se calcula así:

𝜃 = 𝑡𝑔−1 (𝑎𝑡𝑎𝑟) = 𝑡𝑔−1 (

0,63 m/s2

0,83 m/s2) = 𝑡𝑔−1(0,76) = 37,2° → 𝜃 = 37,2°

Ejercicios

1. Evaluación de conceptos: La cinemática es el área de la mecánica que describe el

movimiento de los cuerpos en una, dos o tres dimensiones. Dicha descripción, se hace

usando diferentes variables escalares y/o vectoriales. De acuerdo al contexto se deduce que:

Pregunta 1: Un movimiento es uniformemente acelerado cuando la rapidez en promedio

es:

a) Variable y positiva b)Variable y negativa c) Constante d)Nula

Pregunta 2: Un objeto describe una trayectoria parabólica cerca de la superficie terrestre. La

aceleración del objeto en su altura máxima es:

a) Inferior a la aceleración gravitacional b) Igual a la aceleración gravitacional

c) Mayor a la aceleración gravitacional d) Nula

Pregunta 3: En un movimiento circunferencial la aceleración tangencial es resultado de la

variación de la:

a) Dirección de la velocidad lineal b) Magnitud de la velocidad lineal

c) Magnitud de la velocidad angular d) Aceleración centrípeta

2. Un motociclista se dirige al norte a 25,0 m/s durante 1,0 min, luego da vuelta al este y

viaja a 15,0 m/s durante 2.0 min y finalmente viaja al sureste a 25,0 m/s durante 3,0 min.

Para este viaje de 6,0 min, se pide encontrar a) el vector desplazamiento total, b) la rapidez

media y c) la velocidad media. Considere que el eje x positivo apuntando hacia el este y que

en cada trayecto realizado por el motociclista lo hace con rapidez constante.

3. En el instante 𝑡 = 0, una partícula situada en el origen tiene una velocidad de 30 m/s con

𝜃 = 45°. En un tiempo de 3 s después, la partícula está en 𝑥 = 80m, 𝑦 = 60m con una


velocidad de 20 m/s y 𝜃 = 60°. Calcular a) la velocidad media y b) la aceleración media de

la partícula durante este intervalo.

4. Una partícula se mueve en el plano xy con aceleración constante. En el instante 𝑡 = 0, la

partícula se encuentra en la posición 𝑥 = 6m, 𝑦 = 5m y tiene una velocidad �⃗� =(4 m/s)𝑖̂ + (3 m/s)𝑗.̂ Adicionalmente, la aceleración viene dada por �⃗� = (2 m/s2)𝑖̂ +(1 m/s2)𝑗̂, a) Determinar el vector velocidad y el vector posición en el instante 𝑡 = 5 𝑠 en

términos de los vectores unitarios 𝑖̂ y 𝑗̂ y b) Calcular la magnitud y dirección de dichos

vectores en ese instante.

5.Una pelota de béisbol es lanzada con una velocidad de 30 m/s y 37º por encima de la

horizontal, a) ¿Qué altura alcanzo la pelota? y b) ¿Cuál fue su alcance horizontal?.

6. Un balón de futbol es lanzado a 60º por encima de la horizontal. a) ¿Con qué velocidad

abandonó la punta del guayo si su alcance horizontal sobre el campo fue de 50 m? y b) ¿A

qué altura máxima se elevó?..

7. Un avión bombardero viaja a una rapidez de 200 m/s; estando a una altura de 1000 m

sobre el suelo, suelta una bomba. a) ¿Qué tiempo tardará en llegar al suelo? y b) ¿Qué

distancia horizontal alcanzara la bomba cuando esta choque contra la tierra?.

8. Desde la azotea de un edificio se lanza una piedra hacia arriba a un ángulo de 30° con la

horizontal y con una rapidez inicial de 20 m/s, como se muestra en la figura. Si la altura del

edificio es 45 m. a) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en golpear el piso?. b) ¿Cuál es la

velocidad de la piedra justo antes de golpear el suelo? y c) ¿A qué distancia de la base del

edificio golpea la piedra el suelo?.

9. Un futbolista patea el balón, éste sale con una velocidad de 10 m/s y con un ángulo de

37º sobre la horizontal. Si el jugador se encuentra a 8 m de la portería, la cual tiene 2,5 m

de alto; ¿habrá posibilidad de gol? ¿Por qué?, explique usando un razonamiento

matemático.


10. Un esquiador se despega del suelo

moviéndose en dirección horizontal con una

rapidez 𝑣0 = 15 m/s, como se muestra en la

figura 4.14. La pendiente de aterrizaje bajo el

esquiador tiene una inclinación de 𝜃 = 37°, a) ¿A qué distancia horizontal x desde el

punto de despegue el esquiador vuelve a hacer

contacto con el suelo?, b) En el momento del

impacto con el piso, ¿Qué altura y ha caído?,

c) Determine cuanto tiempo permanece el

esquiador en el aire y d) calcule la

componente vertical de la velocidad justo

antes de aterrizar.


11. Una botella se deja caer desde el reposo en la posición 𝑥 = 20 m e 𝑦 = 30 m. Al

mismo tiempo se lanza desde el origen una piedra con una rapidez de 15 m/s. Determinar el

ángulo con el que se tiene que lanzar la piedra para que rompa la botella, calcular la altura a

la que ha ocurrido el choque.

12. Se dispara un proyectil desde lo alto de una colina de 300 m de altura, haciendo un

ángulo de 30º por debajo de la horizontal. Determinar la rapidez inicial del disparo para que

el proyectil impacte sobre un blanco situado a una distancia horizontal de 119 m, medida a

partir de la base de la colina.

13. Un niño hace rodar una pelota de modo horizontal desde la orilla de una mesa. ¿Para

qué rapidez inicial tocará el piso a una distancia horizontal de la orilla de la mesa igual a la

altura de ésta?.

14. Un pelotero de grandes ligas batea una pelota de modo que sale con una rapidez de 30

m/s y un ángulo de 37º sobre la horizontal. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) En

cuáles dos instantes estuvo la bola 10 m sobre el punto en que se separó del bate? y b)

Calcule las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la bola en esos instantes.

15. Un jugador de fútbol ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30° con

respecto a la horizontal y con una velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para

alcanzar la pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que ella desde

20 m más delante de la posición de disparo. Despreciando el tiempo que necesita para

arrancar, calcular con qué velocidad debe correr para alcanzar la pelota cuando ésta llegue

al suelo.

q

x

y


16. Se lanza una piedra de una azotea con rapidez 𝑣𝑜 y ángulo θ respecto a la horizontal. La

altura del edificio es h. Puede despreciarse la resistencia del aire. Calcule la magnitud de la

velocidad de la piedra justo antes de tocar el suelo y muestre que es independiente de θ.

17. Se lanza una piedra con una rapidez 𝑣 (20 m/s) formando cierto ángulo 𝜃 (53°) con la

horizontal. ¿Dentro de cuánto tiempo la velocidad formará el ángulo 𝛽 (37°) con la

horizontal?.

18. Un proyectil se dispara de tal forma que su alcance horizontal es igual a tres veces su

altura máxima. ¿Cuál es el ángulo de disparo?. Suponga que el proyectil sale y llega al

mismo nivel de referencia y que no hay fricción con el aire.

19. Imagine que está jugando con un amigo a atrapar una pelota en el pasillo de su

dormitorio. La distancia del piso al cielo raso es D, y la pelota se lanza con una rapidez

inicial 𝑣0 = √6𝑔𝐷. Determine la máxima distancia horizontal (en términos de D) que la

pelota puede recorrer sin rebotar. (Suponga que la pelota se lanza desde el piso).

20. Un cazador apunta su arma en

dirección a un simio que se halla en la

parte alta de un árbol, ignorando que el

proyectil seguirá una trayectoria

curvilínea. El simio, también ignora este

hecho, y muy astutamente decide soltarse

del árbol en caída libre en el preciso

instante en que el cazador hace el disparo.

¿Le servirá esta estrategia al simio para

salvar su vida? (ver figura 4.15). Fig.4.15. Imagen ejercicio 20

21. Un auto frena mientras entra a una curva horizontal cerrada de tal manera que reduce su

rapidez de 20 m/s a 15 m/s en los 12 s que tarda en cubrir la curva. Si el radio de la curva

es de 120 m, encontrar la aceleración del auto en el momento en que la rapidez del auto

alcanza 15 m/s. Suponer que el auto continua frenando a este tiempo con la misma relación.

22. Una partícula se balancea en un circunferencia vertical en el extremo de una cuerda de

1,30 m de largo, haciendo las veces de un péndulo simple. Cuando la bola está a 37° del

punto más bajo en su movimiento hacia arriba, su aceleración total es �⃗� = (15𝑖̂ + 20𝑗̂) m/s2. En ese momento, a) realice un bosquejo de un diagrama vectorial en donde se observen

las componentes de su aceleración, b) determine la magnitud de su aceleración radial y c) la

velocidad de la partícula.


23. La figura 4.16 muestra la aceleración total �⃗� de una

partícula que se mueve en el sentido de las manecillas

del reloj en un circunferencia de radio 𝑟 = 1,5 m, en

un instante de tiempo. Si la magnitud de la aceleración

total es 𝑎 = 10 m/s2 y el ángulo 𝜃 = 57°, en ese

momento, encuentre: a) la aceleración tangencial, b) la

aceleración radial y c) la rapidez de la partícula.



1. Un cuerpo es lanzado con una

rapidez inicial 𝑣0 formando un

ángulo θ con la horizontal. A su

vez, el plano inclinado forma un

ángulo ϕ con el eje horizontal.

Encontrar la distancia 𝑑 desde el

punto de lanzamiento hasta el

punto donde cae el cuerpo, (ver.

Fig. 4.17). Fig.4.17. Gráfica ejercicio de desafío 1

2. Un jugador de futbol patea un balón (ver figura 4.18) a una altura 𝑦0 = 0,45 m del piso,

imprimiéndole una rapidez de 30 𝑚/𝑠. Un arco de futbol que se encuentra a una distancia

𝑥 = 28 m desde el punto en que fue pateado el balón, permite determinar si el jugador

puede hacer o no un determinado gol. Sin embargo, el disparo realizado por el jugador es

tal que el balón golpea en el larguero transversal que se encuentra a una altura 𝑦 = 2,45 m

del piso. ¿Encontrar los posibles valores del ángulo de disparo 𝜃 que hacen que el balón

pegue en el “palo”?. Sugerencia: Utilice la ecuación 4.14 y recuerde las siguientes

identidades: 𝑠𝑒𝑐2𝜃 =1

𝑐𝑜𝑠2𝜃 y 𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 1 + 𝑡𝑔2𝜃. Luego resuelva una ecuación cuadrática

de tipo trigonométrico en 𝑡𝑔𝜃.

Fig.4,18. Imagen ejercicio de desafio 2

f

v0

q

d


3. Un jugador de futbol (un poco extrovertido) está parado en lo alto de una roca

hemisférica de radio R y luego patea un balón que permanece al inicio en reposo en lo alto

de la roca, para después darle rapidez inicial 𝑣0, y el balón sale disparado horizontalmente

como se muestra en la figura 4.19. a) ¿Cuál debe ser la rapidez inicial mínima si el balón

nunca debe golpear la roca después que se patea? b) Con esta rapidez inicial, ¿A qué

distancia x de la base de la roca la bola golpea el suelo?.

Fig.4.19. Gráfica ejercicio de desafío 3.

4. La posición (en metros) de una partícula en el plano xy en función del tiempo (en

segundos) viene expresada por:

𝑟 = 3𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)𝑖̂ + 3𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)𝑗 ̂

Sabiendo que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son respectivamente:

𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡) 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑡)

Elimine el parámetro t de las dos ecuaciones anteriores y muestre que la ecuación de la

trayectoria seguida por la partícula es una circunferencia de radio 𝑟 = 3 m. Recuerde que la

ecuación de una circunferencia con centro en el origen viene dada por: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2.


Capítulo 5

Leyes del Movimiento

“Si he logrado ver más lejos, ha sido porque he subido a hombros de gigantes”

Isaac Newton

Hasta ahora, se ha venido describiendo el movimiento de los objetos a través de lo que se

denomina la cinemática. Sin embargo, cuando se desean estudiar las interacciones entre los

objetos y sus alrededores se debe recurrir a un área de la Mecánica, conocida como la

Dinámica. Por eso, la dinámica se encarga de dar razón de los movimientos con sus

diferentes propiedades y características, es decir de las fenomenologías que en ellos

ocurren. El estudio de la dinámica puede hacerse desde diferentes constructos físicos,

matemáticos y epistemológicos, pero en el presente texto sólo será abordada desde las

Leyes de Newton que constituyen los principios básicos que explican el movimiento de los

cuerpos, desde una visión que aparece inmersa dentro de lo que se denomina la Mecánica

Clásica. Estas leyes relacionan conceptos como los de masa, fuerza, aceleración y cantidad

de movimiento lineal (momento o momentum lineal), entre otros.

En este capítulo, se enuncian las tres leyes del movimiento de Newton y se muestra como

pueden ser utilizadas para interpretar distintas fenomenologías que implica el estudio y

análisis de problemas de objetos en movimiento o en reposo. Las leyes de Newton aquí

expuestas no se corresponden en su totalidad con las expuestas originalmente por Isaac

Newton y son adaptadas a otros conceptos e ideas que surgieron posteriormente.

5.1. Primera Ley de Newton: Ley de la Inercia

En la cotidianidad permanentemente se escuchan frases como: “No se pudo mover ese auto

que estaba en reposo porque tiene mucha inercia”, “cuando frenó ese autobús las personas

que estaban de pie se fueron hacia adelante”, “en el hielo un patinador que se mueve el

línea recta parece conservar su rapidez”, “el trompo que está girando sobre su propio eje

apoyado sobre un vidrio se demora mucho en detenerse”, entre otras. Estas ideas,

empiezan a tener un fundamento físico, en lo que se conoce como la primera ley de

Newton. Aunque existen diferentes versiones en la manera en que se enuncia, por lo

general conllevan siempre a la misma interpretación.


Primera Ley de Newton

Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo con velocidad

constante cuando sobre dicho objeto la fuerza neta* es cero.

*Entiéndase fuerza neta como aquella que es el resultado de la suma de todas las fuerzas externas que actúan

sobre el objeto debido a cada una de sus interacciones.

Esta ley explica que para modificar el estado de movimiento de un cuerpo es necesario

actuar sobre él aplicando fuerzas externas. De ahí la idea, que la inercia es la propiedad que

tienen todos los objetos de permanecer en su estado de reposo o movimiento, mientras no

se le aplique sobre ellos alguna fuerza, o también la oposición que ejercen dichos objetos a

que les cambien el estado en que se encuentran: reposo o movimiento. Por lo tanto, se

puede inferir que un objeto conserva su estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme

si no hay una fuerza neta actuando sobre él.

El concepto de inercia viene asociado al concepto de masa y en ocasiones se dice que la

masa es la cuantificación de la Inercia y de ahí la afirmaciones que si un objeto tiene más

masa tiene más inercia y si tiene menos masa menos inercia. Sin embargo, el concepto de

masa tiene diferentes connotaciones en la medida de su contexto dentro de la física: masa

inercial, masa gravitacional, masa relativista. Tal es el caso que en el modelo estándar de la

física de partículas, estas no tienen masa y por lo tanto no tendrían inercia.

En el presente capítulo, la masa se asociara con la oposición que ejercen los objetos a que

les cambien su estado de movimiento.

De la primera ley se puede desprender también el hecho que no existe ninguna distinción

entre un objeto en reposo y un objeto que se mueve con velocidad constante diferente de

cero. Así pues, un objeto que permanece en reposo o en movimiento con velocidad

constante depende del sistema de referencia desde el cual se éste observando. Por ejemplo,

una persona que va sentada en un autobús que viaja en un línea recta, en un sistema de

referencia ligado al autobús (es decir, en el mismo referencial del autobús) ella se ve en

reposo relativo al autobús, pero con relación a un observador que se encuentra parado al

borde de la vía verá que tiene una velocidad relativa a dicho referencial. Por ello, se da la

siguiente definición:

Sistema de referencia inercial

Si sobre un objeto no actúan fuerzas externas, cualquier marco de referencia con respecto

al cual la aceleración del objeto es cero, se le considera un sistema de referencia inercial.

Nota Conceptual: ¿En qué sistema de referencia se cumplen las leyes de Newton?

La noción de sistema de referencia inercial basado en la primera ley de Newton es

fundamental, pues solo en esos marcos de referencias dichas leyes tienen validez.

http://www.monografias.com/trabajos28/propiedad-intelectual-comentarios-tendencias-recientes/propiedad-intelectual-comentarios-tendencias-recientes.shtml


Aunque implícitamente, la primera ley de Newton hace más referencia a una

conceptualización fenomenológica y por tanto no hace uso de alguna modelación

matemática, se puede dar una definición operacional de una variable física que da razón de

la cuantificación del movimiento. Por tanto, se define una nueva magnitud vectorial

llamada cantidad de movimiento lineal (momentum lineal) �⃗� de una partícula así:

�⃗� = 𝑚�⃗� (5.1)

donde 𝑚 es la masa en kilogramos (kg) y �⃗� la velocidad en metros por segundo (m/s) del

objeto. Así, las unidades de �⃗� son respectivamente kg.m/s

Entonces la primera ley es equivalente a decir que un cuerpo libre o aislado tiene una

cantidad de movimiento lineal �⃗� constante.

5.2. Segunda Ley de Newton: Concepto de Fuerza

El concepto de fuerza se ha presentado para muchas interpretaciones desde la cotidianidad

y por ello hay que prestar mucha atención a la conceptualización de la misma desde un

punto de vista físico, ya que desde esta mirada es completamente diferente.

Cambiar el estado de un objeto de reposo o de movimiento con velocidad constante

requiere que sobre el objeto aparezcan efectos que permitan lograr variar dicha condición,

en otras palabras variar su cantidad de movimiento. Por lo tanto, se define la fuerza neta

(fuerza resultante) �⃗� que actúa sobre un cuerpo como aquella que produce la variación

instantánea de su cantidad de movimiento lineal, que expresado matemáticamente es:

�⃗� =𝑑�⃗�

𝑑𝑡 (5.2)

En la dirección en que sucede la variación de la cantidad de movimiento, en esa misma

dirección aparece la fuerza neta y ello se debe explicar de acuerdo a las interacciones del

objeto con su alrededor, de ahí que la fuerza también sea una cantidad física vectorial.

Adicionalmente, de la ecuación 5.2, se puede observar que cuando una partícula no está

sometida a ninguna fuerza neta, su cantidad de movimiento lineal permanece constante

(Primera Ley), es decir que �⃗� se conserva.

Sustituyendo la definición de la cantidad de movimiento lineal (ecuación 5.1) en la

ecuación 5.2 y suponiendo para la partícula masa constante, se llega a otra expresión para

la Segunda Ley:


�⃗� =𝑑(𝑚�⃗�)

𝑑𝑡= 𝑚

𝑑�⃗�

𝑑𝑡= 𝑚�⃗�

�⃗� = 𝑚�⃗� (5.3)

En donde �⃗� es la fuerza neta o resultante, m es la masa del objeto analizado y �⃗� es la

aceleración del mismo. Obviamente si la fuerza neta es cero, el objeto no se acelera y éste

puede estar en reposo o moverse en línea recta con velocidad constante.

La ecuación 5.3, tiene unos aspectos relevantes para ser considerados, tales como:

i) La aceleración adquirida por el objeto es proporcional a la fuerza neta aplicada

(suma vectorial de todas las fuerzas externas), y la constante de proporcionalidad es

la masa del cuerpo.

ii) Es una ecuación de tipo vectorial, por lo que se debe cumplir la igualdad

componente a componente, dependiendo del sistema de coordenadas utilizado. Para

el caso del sistema cartesiano:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧 Si la trayectoria no es rectilínea debe existir una aceleración centrípeta o radial,

luego habrá también una fuerza resultante hacia el centro y se llama fuerza

centrípeta o radial; si adicionalmente la magnitud de velocidad cambia, es porque

hay una aceleración tangencial, luego habrá una fuerza resultante denominada

fuerza tangencial y las expresiones respectivas serían:

𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 𝐹𝑇 = 𝑚𝑎𝑇

iii) La fuerza neta y la aceleración resultante son vectores paralelos, pero no significa

que el vector velocidad sea paralelo a la fuerza. En otras palabras, la trayectoria no

tiene por qué ser tangente a la fuerza neta aplicada.

iv) La ecuación debe cumplirse para cada uno de los cuerpos analizados. Cuando se

estudia un problema compuesto por un sistema de objetos, se deben entonces tener

en cuenta las interacciones sobre cada uno de ellos para identificar cada una de las

fuerzas que actúan sobre cada objeto, para luego aplicar la ecuación por separado.

Nota conceptual: Diferencia entre Masa y Peso

Por ser la fuerza un resultado de las interacciones entre objetos, “la fuerza no la tienen los

objetos”, las fuerzas se aplican o se ejercen sobre ellos. Lo que “si poseen los objetos es la

masa”, ya que es una propiedad intrínseca de los mismos. Esto ayuda a precisar que los

conceptos de peso (fuerza) y masa son diferentes. La masa de un objeto en cualquier

planeta o parte del universo es la misma, pero el peso depende de la aceleración


gravitacional propia de cada planeta o sitio del universo en que se considere está ubicado

el objeto.

La unidad de fuerza en el sistema internacional SI es el newton (N), como se especificó en

el capítulo 1, 1 N = 1 kg.m/s2.

5.3. Tercera Ley de Newton: Ley de Acción y reacción

Uno de los principios básicos para entender lo que sucede en las interacciones entre

objetos, es la tercera ley de Newton, conocida como Ley de acción y reacción y la cual se

enuncia a continuación.

Tercera ley de Newton

Si un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro, este último ejerce sobre el primero una

fuerza (reacción) igual en magnitud y de sentido contrario a la primera.

Un ejemplo ilustrativo de la tercera ley de Newton se muestra en la figura 5.1

La fuerza que realiza el caballo

sobre la carreta es

�⃗�12 (Acción) y la que hace la

carreta sobre el caballo es

�⃗�21(reacción), son iguales en

magnitud es decir:

𝐹12 = 𝐹21 vectorialmente no son iguales,

puesto que:

�⃗�12 = −�⃗�21 es decir son de sentidos contrarios.

Fig. 5.1. Representación de pareja de acción y reacción

Nótese en la figura 5.1 que la fuerza de acción se ha dibujado sobre la carreta y la fuerza de

reacción en el caballo, es decir en objetos diferentes. En la misma figura, el par de fuerzas

se ha dibujado a lo largo de la línea de acción de la fuerza que las une (línea a trazos).

Dicha línea se debe dibujar de acuerdo a las características de la interacción entre los

objetos y es supremamente importante para definir la dirección de la fuerza.

Un error muy frecuente cuando se usa la tercera ley de Newton, es eliminar las fuerzas que

constituyen un par acción-reacción al estudiar el comportamiento de un objeto. Hay que


tener en cuenta que las fuerzas de acción y reacción se ejercen sobre cuerpos diferentes,

por lo tanto sólo se anularán entre sí cuando se considere el sistema formado por los dos

cuerpos en su conjunto.

5.4. Interacciones fundamentales en la Naturaleza

Como ya se ha mencionado a lo largo del capítulo, un objeto o sistema está sometido a una

cierta cantidad de interacciones con su alrededor y de ellas pueden aparecer una o varias

fuerzas (debido a los intercambios de cantidad de movimiento o momentum), al igual

pueden aparecer diferentes formas de energía y que dan razón de lo que le sucede al objeto

o a un determinado sistema.

Pero, ¿cómo puede ser la interacción entre dos objetos o sistemas?. Para entender la

respuesta actualmente se debe analizar de manera breve cual es la estructura profunda de la

materia, de acuerdo con el modelo estándar de la física de partículas. De acuerdo con dicho

modelo, el electrón es un ejemplo de un tipo más general de seis partículas llamadas

leptones, en tanto que los protones y neutrones están constituidos de partículas elementales

llamadas Quarks, de las cuales también existen seis clases. Cada una de éstas partículas

tiene asociada su correspondiente antipartícula, la cual tiene la misma masa y la mayoría

de las otras propiedades, excepto porque la carga eléctrica es opuesta a la de la partícula

original. Por ahora, hasta aquí se desea es hacer referencia, es que en la actualidad dicho

modelo es la mejor teoría disponible de la física de partículas estable para toda la materia,

que garantiza que el mundo está formado por partículas elementales interactuantes que no

tienen una estructura conocida y que por lo tanto pueden ser consideradas como puntos

matemáticos.

Entonces, la visión contemporánea de las interacciones fundamentales está regida bajo el

modelo estándar y las partículas pueden participar en cuatro tipos de interacciones distintas,

que son:

§ Interacción Fuerte: Proveniente de la interacción entre partículas subatómicas y

actúa solo entre Quarks. Esta interacción, mantiene juntas a las partículas para

formar protones, neutrones y a su vez liga a los protones y neutrones a los núcleos.

§ Interacción Electromagnética: Proveniente de la interacción mutua entre objetos

cuya propiedad es la carga y de ella aparecen las Fuerzas Electromagnéticas. Es la

segunda interacción más fuerte.

§ Interacción Débil: Proveniente de la interacción entre partículas subatómicas en

ciertos procesos de decaimiento radiactivo. Es una interacción que actúa entre todos

los quarks y los leptones y desempeña un papel fundamental en la estructura

nuclear.


§ Interacción Gravitacional: Proveniente de la interacción mutua entre objetos cuya

propiedad es la masa y de ella aparece la Fuerza Gravitacional. Ella actúa entre

todas las partículas, pero es la más débil de las cuatro interacciones.

De las anteriores interacciones, son las gravitacionales y las electromagnéticas las que

habitualmente observamos en fenomenologías de tipo cotidiano y es desde allí de donde se

establecen algunas fuerzas en particular, como las llamadas fuerzas a distancia y fuerzas de

contacto. Algunas de ellas serán explicadas a continuación.

Fuerzas a Distancia

Dentro de las interacciones fundamentales en la naturaleza, existen dos de ellas que actúan

entre objetos que están separados en el espacio como son la: Fuerza gravitacional y la

fuerza electromagnética y por eso se les conoce como fuerzas cuya acción es a distancia.

Dicha acción es explicada sobre la base de lo que se conoce como teoría de campos, en un

caso el campo gravitacional y en otro caso el campo electromagnético (a veces explicitado

en campo eléctrico y campo magnético). Por ejemplo, la atracción que ejerce la tierra hacia

el sol gracias a la creación de un campo gravitacional alrededor de ella y a su vez el sol crea

su propio campo gravitacional alrededor de él y en esa interacción aparece la fuerza

gravitacional entre ambos astros. Para el caso de los seres humanos, nuestro peso, no es

más que la fuerza ejercida por el campo gravitacional de la tierra y el cual se explicará más

adelante.

Las interacciones de tipo electromagnético no serán tratadas en este texto, puesto que ello

requiere un estudio sobre la electricidad y el magnetismo y es desde esas áreas de la física

en donde se analizan los campos eléctricos generados por cargas eléctricas y los campos

magnéticos que son producidos por cargas eléctricas en movimiento. Sin embargo, se sabe

que cuando se acercan dos objetos cargados eléctricamente, entre ellos aparece una fuerza

de atracción o repulsión según sea la carga de cada uno de ellos. De la misma manera, si se

acercan dos imanes entre sí, entre ellos aparece una fuerza de atracción o repulsión debido a

la polaridad que tenga cada imán.

Fuerza debida al campo gravitacional: Concepto de Peso

Al dejar caer un objeto cerca a la superficie de la tierra, éste acelera cayendo hacia la tierra.

Cuando se desprecia, la resistencia del aire, todos los objetos poseen aproximadamente la

misma aceleración en cualquier punto del espacio que rodea a la tierra y es llamada

aceleración gravitacional, la cual se denota como �⃗�. La fuerza de acción ejercida por la

tierra sobre el objeto, es la que genera dicha aceleración y a esta fuerza se le denomina el

peso W⃗⃗⃗⃗. Cuando sobre un objeto de masa m, actúa solo la fuerza gravitacional, se dice que

el objeto está en caída libre y la segunda ley de Newton (ecuación 5.3) para masa constante,

define entonces el peso de la siguiente manera:


�⃗⃗⃗⃗� = 𝑚�⃗� (5.4)

Sabiendo que para todos los casos �⃗� es prácticamente igual en todos los puntos del espacio

cercanos a la tierra, el peso es proporcional a la masa de los objetos. Al vector �⃗� se le

acostumbra a denominar campo gravitacional terrestre y es la fuerza de acción que por

unidad de masa ejerce la tierra sobre cualquier objeto. Cerca a la superficie de la tierra la

magnitud de �⃗� tiene el valor:

𝑔 = 9,81 m/s2

A sabiendas, que la tierra no es un objeto cuya masa esta distribuida uniformente y que su

configuración geométrica no es completamente esferica, medidas experimentales más

precisas, muestran que �⃗� varia con cada lugar de la tierra. Aunque para efectos prácticos se

puede asumir que la magnitud de la aceleración gravitacional es practicamente constante.

Con lo anterior puede verse claramente que el peso, a diferencia de la masa no es una

propiedad intrinseca del cuerpo. Si se supone que en la luna se tiene un objeto, su peso es la

fuerza de atracción gravitacional que ejerce la luna sobre él y por eso su valor es una sexta

parte de la fuerza que se ejerce cuando el objeto está en la tierra.

De manera específica, en cada punto por encima de la superficie de la tierra, �⃗� se dirige

hacia el centro de la tierra y esta varía en proporción inversa con el cuadrado de la distancia

al centro de la misma.

Basados en la dirección que se tiene para �⃗�, en esa misma dirección debe dibujarse W⃗⃗⃗⃗. Si se

asume un punto A sobre la tierra (visto por un observador fuera de la tierra) como se

muestra en la figura 5.2.a) la línea tangente PP/ que pasa por A es perpendicular a la línea

que une el punto A con el centro de la tierra y a lo largo de esta linea se dibuja �⃗�. Para un

observador que esta en el punto A y no fuera de la tierra, la representación de �⃗� sería hacia

abajo y perpendicular a una recta horizontal (regularmente el piso) y en esa misma

dirección se dibuja W⃗⃗⃗⃗, (figura 5.2.b).

Fig.5.2. Diagrama vectorial de la fuerza gravitacional - peso

x

x

a) b)

P

P/

P P/

Tierra

A

A


Ejercicio conceptual: Encontrar algunas hechos o fenómenos en donde se pueda

determinar que un objeto esta en condición de ingravidez.

Fuerzas de Contacto

Cuando dos objetos tienen una interacción en donde existe el contacto macroscópico,

aparecen este tipo de fuerzas llamadas, Fuerzas de Contacto. En la naturaleza pueden

existir muchas interacciones de este tipo y que por el tipo de contacto entre objetos

aparecen algunas fuerzas tales como: Fuerza Normal (entre superficies), Fuerza de Tensión

(p.ej. en cuerdas), Fuerza Elástica (Resortes), Rozamiento o fricción (entre dos superficies),

Fuerza debido a Ligaduras (p.ej. sistema de poleas), entre otras.

Fuerza Normal: Cuando un objeto se encuentra apoyado sobre una superficie, esta

ejerce una fuerza de reacción llamada fuerza Normal (denota por N⃗⃗⃗) sobre el objeto y ella

se dibuja de tal manera que es perpendicular a la superficie y saliendo de la misma, como se

observa en la figura 5.3. Para una superficie horizontal, figura a), para un plano inclinado

figura b) y para una superficie curva figura c). No olvidar que según la tercera ley de

Newton existe una acción sobre la superficie de igual magnitud a la normal y de sentido

contrario a la misma.

Fig.5.3.Representación de la fuerza normal en distintas superficies

Tensión en Cuerdas: Un objeto mediante el uso de una cuerda puede ser halado,

movido o sujetado. Una cuerda podría pensarse como un sistema muy poco elástico de

forma que la deformación que sufre al aplicársele una fuerza externa, es despreciable. Sin

embargo, las cuerdas no son completamente rígidas, ya que se flexionan y se tuercen y por

ello no pueden usarse para empujar objetos sino para tirar de ellos. De ahí, que se pueda

decir que someter una cuerda a una tensión equivale a la acción externa que se debe hacer

sobre ella tratando de estirarla. La magnitud de la fuerza que un pedazo de una cuerda

ejerce sobre otro adyacente se denomina Tensión. Así, por ejemplo si se jala un objeto con

una cuerda, la magnitud de la fuerza coincide con la magnitud de la tensión.

La tensión en una cuerda puede ir variando de un pedazo de la cuerda a otro, como es el

caso de un lazo que cuelga de un techo. El pedazo de cuerda que está más cerca al techo

tiene más tensión que aquel que está más lejos del mismo, debido a que un pedazo de

cuerda que está más arriba “carga más peso de la misma cuerda”. Eso demuestra que la

a) b) c)


magnitud de la tensión de la cuerda es variable. En lo que sigue del capítulo y mientras no

se diga lo contrario, por lo general se considera que las cuerdas son ligeras (masa

despreciable e inextensibles) y por ende las variaciones de la tensión debida al peso de la

misma son muy pequeñas. De la misma manera se desprecian por lo tanto las variaciones

de tensión debidas a alguna aceleración que experimente la cuerda.

Para observar algunas de las características de una cuerda cuando es sometida a una

tensión, en la figura 5.4, se ha escogido un pedazo de cuerda de masa ∆𝑚 que está siendo

estirada a lo largo del eje x. En el extremo derecho del pedazo de cuerda se ha dibujado la

tensión T⃗⃗⃗1 y en el extremo izquierdo del mismo pedazo de cuerda se ha representado la

tensión T⃗⃗⃗2.

Fig.5.4. Diagrama vectorial de la tensión en una cuerda

Aplicando la segunda ley de Newton al pedazo de cuerda ∆𝑚 se obtiene que:

𝑇1 − 𝑇2 = ∆𝑚𝑎𝑥

Si la masa del pedazo de cuerda se considera despreciable, entonces las magnitudes de las

tensiones se vuelven iguales, es decir que: 𝑇1 = 𝑇2 y por lo tanto no se necesita una fuerza

neta para darle una aceleración. En otras palabras, sólo se requiere de una diferencia en la

magnitud de la tensión despreciable para dar al pedazo de cuerda de masa despreciable una

aceleración de valor finito.

Adicionalmente, en el diagrama mostrado en la figura 5.4, en el pedazo de cuerda no se ha

dibujado el peso de dicho trozo de cuerda ya que según la ecuación 5.4, el peso de la misma

sería despreciable, así la cuerda este sometida a la acción gravitacional. Es decir, que la

magnitud de la tensión a lo largo de toda la cuerda es la misma.

¿Qué sucede si la cuerda se hace pasar por una superficie, por ejemplo una polea o el borde

de una mesa?. Siguiendo un poco la conceptualización dada en el párrafo anterior y

suponiendo que la cuerda se apoya sobre una superficie y si a la vez se asume que entre

dicha cuerda y la superficie no aparecen fuerzas de fricción, ésta experimentaría una fuerza

normal a ella en cada punto de contacto. Sin embargo, dicha fuerza normal nunca tendría

una componente a lo largo de la cuerda, por lo que no podría generar ningún cambio en la

magnitud de la tensión de la misma. Por eso, se puede asegurar con las condiciones ideales

anteriores que: Si una cuerda de masa despreciable cambia de dirección pasando por una

superficie que carece de fricción, la magnitud de la tensión es la misma en toda la cuerda.

x


Como en la mecánica es muy frecuente el uso de cuerdas, en la figura 5.5 se muestran dos

representaciones de la tensión en una cuerda para diferentes fenomenologías. En la figura

5.5 a), se observa para el caso en que la polea no rota (no existe fricción entre cuerda y

polea) las representaciones de la tensión en los puntos extremos de la cuerda. Nótese que la

dirección del vector tensión T⃗⃗⃗ se ha realizado tangente a dicha polea, en cada punto

extremo de la cuerda. Es decir que cuando se asume una polea ideal ella lo único que hace

es cambiar la dirección de la tensión de la cuerda. Para el caso de la figura 5.5 b) se

muestra una onda transversal viajando a lo largo de la cuerda. Cuando se escoge un pedazo

de cuerda, la magnitud de la tensión en los dos extremos es la misma, pero la dirección es

tal que en cada punto extremo del segmento escogido, el vector se dibuja tangente a la

forma de la onda en cada punto y saliendo del punto.

Fig.5.5. Representación de la tensión en una cuerda en dos condiciones distintas

Fuerza Elástica

Para ciertos sistemas elásticos, por ejemplo un resorte, se le comprime o se alarga una

cierta cantidad 𝑥, la fuerza que ejerce, puede o no ser proporcional a esa cantidad.

Experimentalmente, se puede demostrar que algunos de esos sistemas elásticos obedecen a

la expresión:

𝑓 = −𝑘�⃗� (5.5)

En donde 𝑘 es llamada la constante de elasticidad (constante de fuerza), la cual es una

medida de la rigidez del sistema elástico y sus unidades son newton/metro (N/m). A los

sistemas físicos que cumplen con la ecuación 5.5 se dice que obedecen a la Ley de Hooke,

es decir a aquellos que cumplen con garantizar que la fuerza 𝑓 que ellos ejercen sobre los

otros objetos es tal que es proporcional a su desplazamiento �⃗� (visto como una deformación

a partir de su posición de equilibrio y que se denotan con los nombre de compresión o

elongación) y de sentido opuesto a dicho desplazamiento.

a) b)


El signo menos que aparece en la ecuación 5.5

hace referencia al hecho que cuando a un

resorte por ejemplo, se le comprime o se le

estira la fuerza que este ejerce es de sentido

contrario y por eso se le acostumbra a llamar

fuerza recuperadora o restauradora.

En la figura 5.6a, se muestra un resorte en su

condición sin deformar, es decir cuando

𝑥 = 𝑥0, el resorte no ejerce fuerza sobre el

bloque. Para el caso de la figura 5.6b al resorte

se le ha comprimido a partir de su posición de

equilibrio y en la figura 5.6c se le ha estirado

con relación a dicha posición de equilibrio.

Fig.5.6. Comportamiento de un resorte a

compresión y extensión.

En estos dos últimos casos el resorte ejerce una fuerza sobre el bloque, la cual es contraria

al sentido de la compresión o al del estiramiento (elongación).

Fuerza de fricción o rozamiento:

Cuando un objeto está en reposo o movimiento sobre una superficie o en un medio viscoso

como aire o agua, dependiendo de las condiciones del objeto con sus alrededores, aparecen

fuerzas que hacen que los objetos cambien sus condiciones de reposo a movimiento o

viceversa del movimiento hacia el reposo. En algunas de esas interacciones entre objetos,

aparece una fuerza de resistencia denominada, fuerza de fricción o rozamiento, la cual es

muy importante en la vida cotidiana, pues ella permite que los seres humanos caminemos o

corramos, que un auto se pueda desplazar por una determinada vía o que una esfera ruede

sin resbalar a lo largo de un plano inclinado.

En algunos casos, cuando los objetos se mueven dentro de los fluidos como en los

lubricantes o el líquido sinovial en nuestro cuerpo, estas son sustancias que disminuyen

notablemente la fricción, sin embargo en otros casos lo que hacen es detener a los objetos

de manera rápida (p.ej. una esfera que cae en glicerina). Siendo la fricción muy importante,

algunas veces no es deseable su existencia.

Aunque la fuerza de fricción, aparece en muchas interacciones entre objetos, su estudio y

análisis a veces se vuelve complejo, puesto que requiere de una conceptualización muy

coherente de la fenomenología de la interacción. Por ello, en los siguientes párrafos solo se

pretende mostrar un acercamiento a dicha conceptualización.

x

x

x

x

x

a)

b)

c)


Fuerza de fricción Estática

Suponga que se tiene un objeto que

descansa sobre el piso, como se muestra en

la figura xxx, al cual se le aplica una

pequeña fuerza horizontal �⃗�𝑎. El objeto no

se mueve debido a la existencia de la fuerza

de fricción estática 𝑓𝑠 ejercida por el piso

sobre el objeto que equilibra la fuerza que

se está aplicando.

Fig.5.7. Diagrama esquemático de la fuerza de

fricción

La fuerza de fricción estática que se opone (en este caso al movimiento de traslación del

objeto) puede variar desde cero hasta un cierto valor máximo 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 dependiendo del valor

de la fuerza aplicada �⃗�𝑎. Desde el punto de vista experimental y desde hace mucho tiempo

se ha podido mostrar empíricamente que dicho valor máximo de la fricción estática es

directamente proporcional a la magnitud de la fuerza normal ejercida por una superficie

sobre la otra y por tanto:

𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠𝑁 (5.6)

En donde la constante de proporcionalidad 𝜇𝑠 es una constante adimensional que se le

conoce con el nombre de coeficiente de fricción estático y su valor depende de las

características de las dos superficies en contacto. En general, si la fuerza aplicada es

inferior a 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 el objeto no se moverá debido a que la fuerza de rozamiento se equilibra

con la fuerza aplicada y por tanto, se tiene que:

𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑠𝑁 (5.7)

La ecuación 5.6, sera usada solamente en el caso límite en el cual el objeto en un

determinado instante pasa de su condición de equilibrio a movimiento, es decir cuando se

sabe que el movimiento se hace inminente.

Fuerza de fricción Cinética

Volviendo a la figura 5.7, si se empuja el objeto con una fuerza suficiente, éste se deslizará

sobre el piso. Cuando dicho objeto se desliza, el suelo ejerce una fuerza de fricción cinética,

𝑓𝑘, (que en este caso) se opone al movimiento de traslación. Así pues, para que el objeto se

deslice con rapidez constante es necesario que se ejerza una fuerza sobre el objeto igual en

magnitud y de sentido contrario a la fuerza de fricción cinética ejercida por el piso.

a


De la misma manera que con la fuerza de fricción estática, se puede establecer una relación

empírica entre la magnitud de la fuerza de fricción cinética y la magnitud de la fuerza

normal, así:

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁 (5.8)

Siendo 𝜇𝑘 la constante de proporcionalidad, también adimensional, que se le conoce con el

nombre de coeficiente de fricción cinético (dinámico o cinemático) y su valor, de igual

manera, depende de las características de las dos superficies en contacto.

De los estudios y análisis experimentales, se ha logrado comprobar que el coeficiente de

fricción estático es mayor que el coeficiente de fricción cinético y es constante para

velocidades entre 0.01 m/s y varios metros por segundo. Mientras las consideraciones del

estudio del movimiento relativo entre las dos superficies en contacto, se hagan teniendo en

cuenta estas circunstancias se asumirá constante dicho coeficiente cinético.

Para tener una mejor referencia de algunos de los valores de coeficientes de fricción entre

diferentes superficies, se sugiere ver la tabla del apéndice A4. Aunque en su mayoría varían

entre 0,03 y 1,0, existen casos en que son superiores a la unidad.

Nota: Normalmente las ecuaciones 5.6, 5.7 y 5.8 que se pueden considerar como las leyes

empíricas de la fuerza de fricción entre dos superficies, se convierten en los modelos

matemáticos más sencillos para explicar fenómenos en donde intervienen dichas fuerzas y

son utilizadas mucho en la solución de problemas de texto. Por eso, cuando se quieren

abordar fenómenos en donde se requieren interpretaciones más coherentes y más cercanas a

la realidad, dichas expresiones tan solo son un modelo orientativo de cálculo.

Para resumir un poco, lo visto hasta ahora

con los conceptos de fuerza de fricción

estática y cinética, obsérvese que en la

figura 5.8, se ha realizado un gráfico de la

magnitud de la fuerza de fricción ejercida

sobre el objeto por el piso en función de la

fuerza aplicada. La fuerza de fricción va

equilibrando la fuerza aplicada hasta que

alcanza su valor máximo 𝑓𝑠 = 𝜇𝑠𝑁, que es cuando el objeto adquiere

el movimiento inminente. A partir de ese

momento, la fuerza de fricción entre las

superficies se vuelve cinética 𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁.

Fig.5.8. Fuerza de fricción en función de la fuerza

aplicada

Fa

= N

= N

= Fa

Región

Estática

Región

Cinética


En la figura 5.8, se ha graficado entre dos líneas punteadas verticales, una pequeña curva

para indicar que el paso de un objeto de la condición estática a condición dinámica, no es

un paso obvio y que requiere de estudios más complejos y de instrumentos de laboratorio

de mayor precisión y calibración.

Cuando la llanta de un carro o un balón se mueven por una superficie, de tal manera que

deslizan sin resbalar, la fuerza de fricción requiere de una nueva interpretación y se hace

necesario conceptualizar sobre la fuerza de fricción por rodadura y que en el presente texto

no se tendrá en cuenta por estar referido solo al movimiento de traslación de las partículas.

Por lo dicho hasta ahora, saber cómo es el comportamiento del movimiento relativo de dos

superficies, una superficie y un fluido o dos superficies fluidas, entre otras posibilidades, ha

conllevado a que se generen nuevas versiones del estudio de la fricción a otros niveles y en

otras áreas de la física como lo es la nanotribología (estudio de la fricción a escala

nanométrica).

¿De dónde proviene la fuerza de fricción por contacto entre superficies?

La fuerza de fricción o rozamiento desde el punto de vista fenomenológico es muy

complejo e insuficientemente estudiado, pues se considera que surge de la atracción entre

las moléculas que forman las dos superficies que están en contacto y la interacción es de

tipo electromagnético, que es la misma que da razón de los enlaces moleculares que

mantiene unida la materia. Esta interacción es de corto alcance y prácticamente

imperceptible a distancias de algunos diámetros atómicos.

Los objetos que a diario observamos,

casi siempre, tienen superficies muy

pulidas, de aspecto suave o relativamente

lisas, pero a escala atómica son ásperas y

rugosas y cuando entran en contacto dos

de ellas, sólo se tocan por aquellos sitios

o puntos más prominentes como se

muestran en la figura 5.9. Fig.5.9. Ilustración fricción a escala atómica

La fuerza normal que ejerce la superficie sobre el objeto que está apoyado en la misma, es

producida por esas asperezas, en donde la fuerza por unidad de superficie se hace grande,

suficiente como para “aplanar” esas protuberancias. Por eso, a medida que la fuerza normal

aumenta, también lo hace este aplanado, lo que implica a asegurar que el área de contacto

microscópica (la cual es tan solo una fracción del área macroscópica) también se

incrementa, es decir que la fuerza de fricción se hace proporcional a dicha área y por lo

tanto se hace proporcional a la fuerza normal. Sin embargo, si el objeto descansa sobre una

a

a


base mayor, el área macroscópica de contacto aumenta, pero la fuerza por unidad de área

disminuye prácticamente en el mismo factor y por ende el área de contacto microscópica no

se modifica. Como conclusión se puede decir, que si el objeto se coloca por una base u otra,

la fuerza horizontal aplicada �⃗�𝑎 para mantener el objeto en movimiento con rapidez

constante debe ser la misma.

Nota conceptual: Interpretaciones erróneas de la fricción

1. ¿La fricción siempre se opone al movimiento?. Esto no es cierto, depende de: a) si la

fuerza de fricción es cinética o estática, es decir del movimiento relativo entre las

superficies de contacto, b) si el objeto rota o se traslada , c) cantidad de objetos que están

en contacto y la forma en que lo hacen y d) sistema de referencia escogido.

2. ¿Una superficie lisa carece de fricción?. No es cierto. El hecho que la superficie sea lisa

no garantiza baja fricción en la interacción, pues la fuerza de fricción depende de la

interacción electromagnética a nivel atómico de las superficies. Por ejemplo, intentar

trasladar o mover un vidrio que posa sobre otro vidrio es muy difícil por la fuerza de

adhesión y cohesión que aparecen. Sin embargo, la superficie del vidrio es lisa. Mejor es

decir que, el coeficiente de fricción entre las dos superficies es prácticamente cero.

3. ¿Los coeficientes de rozamiento son menores de la unidad?. Es cierto para algunos

casos y sobre todo cuando las superficies en contacto son secas. En caso de existir

humedades altas el concepto del coeficiente de fricción podría ser revalidado.

4. ¿Una superficie tiene un coeficiente de fricción?. No es cierto. Los coeficientes son el

resultado de la interacción entre dos superficies en contacto. Así, por ejemplo, se habla del

coeficiente entre madera-madera, madera-acrílico, madera-agua, entre otros.

Fuerza debido a Ligaduras

En el área de la mecánica y en general en la física, se denomina ligadura a las condiciones

sobre coordenadas de un sistema que están sujetas a restricciones o constricciones

independientes de las fuerzas que aparecen en las diferentes interacciones entre objetos. En

cualquier sistema dinámico surgen algunos tipos de ligaduras que restringen el movimiento,

adicionalmente de fuerzas que definen su evolución, es decir que debido o no la

complejidad de sistemas físicos que son susceptibles de estudio se debe a que los

movimientos de las partes que lo componen están restringidos de cualquier forma.

En la formulación clásica de la física, uno de los problemas es poder expresar

matemáticamente un fenómeno de modo que las fuerzas que surgen de las interacciones no

se visualizan explícitamente debido a que muchas veces aparte de las condiciones iniciales

de un determinado movimiento, lo que no se conoce precisamente es cuales son todas las


fuerzas que actúan sobre el sistema. Precisamente es de ahí, que surgen las fuerzas de

ligadura, o simplemente ligaduras, cuando por ejemplo se tiene que algún objeto tenga que

moverse por una trayectoria determinada, como es el caso de: un tren que se mueve a lo

largo de sus rieles, un conjunto de cuerdas que pasan por poleas (sistemas de polipastos),

entre otras.

5.5. Diagramas de cuerpo libre

Conceptualizar y resolver un problema basado en las Leyes de Newton, es un proceso de

mucha importancia, que requiere de una herramienta fundamental conocida como diagrama

de cuerpo libre (DCL), el cual es una representación gráfica de todas las fuerzas externas

que actúan sobre un objeto (o un sistema de objetos) debido a sus interacciones con el

medio que lo rodea. De la habilidad que se tenga para dicha representación, que debe

provenir de una conceptualización muy excelente de las interacciones que tiene el objeto, se

tendrá un gran éxito en la solución e interpretación de distintas fenomenologías vistas desde

la mecánica clásica.

Propuesta de secuencia de pasos para aplicar las leyes de Newton

No existe un procedimiento pedagógico o didáctico que indique como se resuelven

problemas que involucran leyes de Newton, sin embargo a través de la experiencia docente,

del trabajo de aula y a la participación activa con los estudiantes, se plantea una

aproximación didáctica al respecto. Aquí se esbozara una propuesta básica de cómo podría

hacerse y que puede ser de gran utilidad. El procedimiento contaría con las siguientes

secuencias:

1. Realice un esquema o diagrama que represente a un objeto o al sistema y con éste

trate de construir una representación mental de la fenomenología que se plantea.

2. Recurra al uso de la primera ley de Newton para asignarle a cada objeto o al sistema

un valor de masa y represéntelo con una letra, la cual le servirá para saber si se

asume como constante o variable en el problema. El concepto de inercia se hace

fundamental con el fin de entender si el objeto permanecerá en reposo o en

movimiento de acuerdo a la fenomenología planteada. Adicionalmente, indique

desde que sistema de referencia un observador caracteriza el estudio del objeto o del

sistema. No olvidar que si el sistema es inercial, las leyes de Newton tienen su

rango de validez y el análisis se hará no sólo sobre la base de fuerzas reales

(provenientes de la interacción entre objetos), sino también con la inclusión de

fuerzas ficticias o seudofuerzas provenientes de interpretaciones matemáticas o

físicas en sistemas de referencia no inerciales. Estas últimas interpretaciones no

serán tratadas en el presente texto.


3. Aísle cada objeto o sistema escogido y realice un diagrama de cuerpo libre (DCL)

para cada uno o del sistema. De acuerdo a las interacciones que el objeto o sistema

tenga con su entorno, represente cada una de las fuerzas que se ejercen sobre ellos y

no incluya en el diagrama las fuerzas que los mismos hacen sobre otros objetos del

entorno, ni otra variable de tipo vectorial como la velocidad o la aceleración. Si el

ejercicio lo amerita utilice la tercera ley de Newton de manera completa y realice

los diagramas de cuerpo libre correspondientes a los otros objetos estableciendo de

manera clara y precisa el conjunto de las parejas acción y reacción que se deben

dibujar en cuerpos diferentes. Una buena interpretación de la fenomenología, en

conjunto con un diagrama de cuerpo libre bien claro, sólido y preciso del objeto o

del sistema, harán que la solución del problema sea altamente comprensible y

contemple un profundo grado de validez tanto en el modelo físico como

matemático.

4. Basado en el análisis del comportamiento del objeto o el sistema en relación a su

condición de equilibrio o movimiento, escoja un buen sistema de coordenadas que

le permita interpretar dicha condición. No siempre hacia donde los objetos se

mueven, es decir su trayectoria, se deben escoger los sistemas de coordenadas y no

siempre a lo largo de ellas se deben hacer representaciones vectoriales de las fuerzas

(p.ej. en un movimiento parabólico o circunferencial).

5. Escogido bien el sistema de coordenadas, se encuentran las componentes de las

fuerzas a lo largo de dichos ejes, para luego proceder a establecer el modelo

matemático para cada dirección establecida. Para todos los casos la ecuación de

movimiento o de equilibrio viene dada por la segunda ley de Newton, aunque aquí

sólo se aplicará para el caso en que el objeto o sistema sean de masa constante, es

decir �⃗� = 𝑚�⃗�.

6. Los modelos matemáticos de algunas interacciones se han presentado en los

párrafos anteriores y solo algunas de ellas tienen alguna expresión algebraica. No se

deben manejar expresiones que se obtengan de la manipulación algebraica de las

ecuaciones, porque ellas son válidas para ejercicios particulares. Por ejemplo,

expresiones que se encuentren para la magnitud de la fuerza normal, la magnitud de

la tensión entre otras, son específicas de ese ejercicio o fenomenología planteada.

7. Para cada ecuación planteada se debe corroborar que al hacer la sumatoria de

fuerzas las unidades de cada término se corresponda con el sistema de unidades

utilizado. Para cada ecuación identifique cuales se corresponden con datos

numéricos o valores constantes y cuales se constituyen en incógnitas. Verifique que

se deben tener tantas ecuaciones como incógnitas para obtener una solución única.

Sin embargo, hay sistemas mecánicos que tienen más de una solución, pero no

hacen parte del objetivo de los análisis aquí presentados.


8. Terminar confirmando si los resultados obtenidos son consistentes con los

diagramas de cuerpo libre estudiados y que den razón de las fenomenologías

estudiadas. Adicionalmente, realizar predicciones con las soluciones obtenidas

usando diferentes valores en las variables y preferiblemente con valores extremos,

puede garantizar muchas veces a ayudar a detectar errores en la solución y a

obtener otros análisis del problema.

Ejemplo 5.1

Un objeto de masa m se mantiene en equilibrio mediante una

cuerda a lo largo de un plano inclinado que forma un ángulo 𝜃

con la horizontal, como se muestra en la figura 5.10.

Determinar las magnitudes de la tensión de la cuerda y de la

fuerza normal en función de m y 𝜃. Luego, calcule los valores

de las magnitudes de la tensión de la cuerda y de la fuerza

normal cuando m = 10 kg y 𝜃 = 37°.

Fig.5.10. Imagen ejemplo 5.1

Solución:

Al realizar el diagrama de cuerpo libre sobre el

objeto de masa m, se observa que las fuerzas que

actúan son tres:

El peso 𝑚�⃗�

La normal �⃗⃗⃗�

La reacción a la tensión �⃗⃗� de la cuerda.

Asumiendo el sistema de coordenadas xy como se

muestra en la figura 5.11, las componentes del

peso son respectivamente:

Fig.5.11. DCL objeto ejemplo 5.1

𝑊𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 en la dirección x negativa y 𝑊𝑦 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 en la dirección y negativa.

En el capítulo de geometría, se explica porque el ángulo del plano inclinado es igual al que

aparece en la figura 5.11 en el diagrama de cuerpo libre y la razón es porque sus lados son

respectivamente perpendiculares.

Las ecuaciones del movimiento del objeto para cada uno de los ejes son respectivamente:

q

m


Eje paralelo al plano Eje perpendicular al plano

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦

𝑇 −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑁 −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝑇 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑁 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃

Interpretación de los resultados obtenidos:

Tanto los valores de la tensión y la normal quedaron en función del ángulo. Un análisis

dimensional muestra que las unidades de las dos fuerzas encontradas son newton. Para el

caso extremo en donde el ángulo 𝜃 = 0°, (cuando el plano inclinado se vuelve un plano

horizontal) la magnitud de la tensión es 𝑇 = 0 y la magnitud de la normal es

numéricamente igual al peso del objeto 𝑁 = 𝑚𝑔. El otro caso, extremo cuando 𝜃 = 90°, (cuando el objeto queda vertical y prácticamente desaparece el plano), la magnitud de la

tensión coincide con el peso del objeto 𝑇 = 𝑚𝑔 y la normal se hace cero 𝑁 = 0.

Para el caso en que m = 10 kg y 𝜃 = 37°, se obtiene que:

𝑇 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑇 = (10𝑘𝑔) (9,8𝑚

𝑠2) 𝑠𝑒𝑛(37°) → 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑇𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑇 = 59𝑁

𝑁 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 → 𝑁 = (10𝑘𝑔) (9,8𝑚

𝑠2) 𝑐𝑜𝑠(37°) → 𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁 = 78𝑁

Muchas veces para resolver este mismo problema, se encuentra planteada la ecuación en

forma vectorial, de la siguiente manera:

�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� + �⃗⃗� = 𝑚�⃗�

Por estar el objeto en equilibrio se reescribe así:

�⃗⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� + �⃗⃗� = 0⃗⃗

Descomponiendo las fuerzas necesarias en cada eje (en este caso solo el peso del objeto) y

escribiendo en términos de vectores unitarios cartesianos, la suma vectorial anterior se

expresa como:

(𝑇 − 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑖̂ + (𝑁 −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑗̂ = 0𝑖̂ + 0𝑗̂

Haciendo la igualdad vectorial de la suma de las componentes en cada eje, se llega a las dos

ecuaciones escalares:

𝑇 −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝑁 −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0


Las dos expresiones anteriores, son idénticas a las planteadas en la solución anterior, de las

cuales se pueden inferir de manera similar los análisis hechos anteriormente.

Dependiendo de la intención didáctica y sin perder mucho rigor o formalismo matemático

se puede seguir cualquiera de las dos alternativas, vistas anteriores para la solución del

problema. Es una habilidad del docente o del alumno seguir cualquiera de las dos maneras,

sin embargo, la idea no es perder el rigor en la conceptualización y modelización del

problema planteado.

En el presente texto se harán los diagramas de cuerpo libre, como es obvio, con el rigor

vectorial que se requiere de las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema para identificar

las interacciones de los mismos con sus alrededores. Después de la escogencia del sistema

de coordenadas, se hacen las respectivas descomposiciones de los vectores de fuerza a que

haya lugar y después se hará una suma escalar por cada eje escogido, teniendo en cuenta el

signo de cada componente. Por eso, se sugiere leer cuidadosamente los pasos establecidos

en la propuesta de resolución de problemas siguiendo las leyes de Newton.

Ejemplo 5.2

Dos bloques de masa 𝑚1 y 𝑚2 están conectados entre sí por medio de una cuerda de masa

despreciable, ver figura 5.12. Los bloques se aceleran de manera uniforme sobre una

superficie horizontal debido a la aplicación de una fuerza externa �⃗�, aplicada sobre 𝑚1.

Sabiendo que entre los bloques y la superficie no existe rozamiento, se pide encontrar la

aceleración del sistema y la magnitud de la tensión de la cuerda que une los dos bloques.

Realice un cálculo para el caso en que 𝑚1 = 3 kg, 𝑚2 = 2 kg y 𝐹 = 10N.



Solución

La solución de este problema puede simplificarse un poco haciendo un diagrama del

sistema y uno de los diagramas de cuerpo libre de alguno de los objetos, con el fin de

reducir el número de incógnitas que salen de las ecuaciones planteadas. En la figura 5.13 se

muestran los tres diagramas correspondientes: el del sistema y el de los dos bloques de

manera independiente.

Las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos, son respectivamente:

Sistema de los dos bloques Bloque de masa 𝑚1 Bloque de masa 𝑚2

Fuerza aplicada �⃗�

Normal del sistema

�⃗⃗⃗�𝑠 Peso del sistema

�⃗⃗⃗⃗�𝑠 = (𝑚1 +𝑚2)�⃗�


Normal �⃗⃗⃗�1

Peso del objeto

�⃗⃗⃗⃗�1 = 𝑚1�⃗�

Reacción a la tensión

de la cuerda �⃗⃗�

Normal �⃗⃗⃗�2

Peso del objeto

�⃗⃗⃗⃗�2 = 𝑚2�⃗�

Reacción a la tensión

de la cuerda �⃗⃗�

Las anteriores fuerzas se ven representadas en los diagramas de cuerpo libre en la figura

5.13.

a) DCL del sistema

b) DCL del bloque 𝑚1

c) DCL del bloque 𝑚2 Fig.5.13. DCL objetos del ejemplo 5.2

Las ecuaciones de movimiento que se obtienen de los DCL son las siguientes:


Sistema formado por 𝑚1 y 𝑚2

Eje Horizontal Eje vertical


𝐹 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎 𝑁𝑠 − (𝑚1 +𝑚2)𝑔 = 0

Despejando 𝑎 se tiene: Despejando la normal del sistema se tiene:

𝑎 =𝐹

(𝑚1 +𝑚2) (I) 𝑁𝑠 = (𝑚1 +𝑚2)𝑔

Obsérvese que escogiendo los dos objetos como un solo sistema y sabiendo que la

magnitud de la aceleración 𝑎 para ambos es idéntica, se encuentra de manera directa la

expresión de la misma sin tener que resolver algún sistema de ecuaciones.

Objeto 𝑚1



𝐹 − 𝑇 = 𝑚1𝑎 (1) 𝑁1 −𝑚1𝑔 = 0 → 𝑁1 = 𝑚1𝑔

En la ecuación 1 se puede ver que si no se conoce la aceleración 𝑎 la ecuación tendría dos

incognitas: 𝑎 y 𝑇.

Objeto 𝑚2



𝑇 = 𝑚2𝑎 (2) 𝑁2 −𝑚2𝑔 = 0 → 𝑁2 = 𝑚2𝑔

Sabiendo que del DCL del sistema se obtuvo la aceleración, ecuación (I) y se sustituye en

la ecuación (2), se obtendría el valor de la magnitud de la tensión 𝑇, así:

𝑇 = 𝑚2 (𝐹

𝑚1 +𝑚2) (II)

Resolviendo el ejercicio de la manera tradicional, se debe resolver el sistema de ecuaciones

(1) y (2). Si se suman dichas ecuaciones miembro a miembro de la igualdad y haciendo las

operaciones y factorizaciones respectivas se llega a:

𝐹 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎 → 𝑎 =𝐹

𝑚1 +𝑚2

La cual coincide con la ecuación (I). De nuevo, sustituyendo en la ecuación (2) el valor de

𝑎 se llega a obtener una expresión para la magnitud de la tensión T, idéntica a la obtenida

en la ecuación (II). Si se realiza un análisis dimensional en las ecuaciones (I) y (II), se

obtiene para 𝑎 unidades de m/s2 y para 𝑇 newton (N).


Si se sustituyen los valores dados en el enunciado del ejercicio, 𝑚1 = 3 kg,

𝑚2 = 2 kg y 𝐹 = 10N, en las ecuaciones (I) y (II), se tiene que:

𝑎 =𝐹

𝑚1 +𝑚2

𝑎 =10 N

3kg + 2kg

𝑎 = 2 𝑚/𝑠2

𝑇 = 𝑚2 (𝐹

𝑚1 +𝑚2)

𝑇 = 2kg (10N

3kg + 2kg)

𝑇 = 4N

Ejemplo 5.3.

Máquina de Atwood. El sistema mostrado en la figura 5.14, se conoce como la Máquina de

Atwood la cual consta de una polea por la cual se hace pasar una cuerda de la cual se

suspende en cada extremo un objeto. Si las masas de los objetos suspendidos son

respectivamente 𝑚1 y 𝑚2 y suponiendo que la polea y la cuerda son ideales, se pide

encontrar expresiones para la magnitud de la aceleración del sistema y la magnitud de la

tensión de la cuerda.

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre el objeto 𝑚1 son dos:

El peso 𝑚1�⃗�


Las fuerzas que actúan sobre el objeto 𝑚2 son dos:



Fig.5.14. Máquina de Atwood

Las anteriores interacciones aparecen representadas en los

respectivos DCL de los dos objetos y que aparecen en la

figura 5.15 a) y b).

Nótese que para el objeto 1 se ha asumido la dirección

positiva del eje y hacia abajo en la dirección del

movimiento que se supone realiza dicho objeto. De igual

manera, para el objeto 2 se ha asumido el eje y positivo en

la misma dirección en que se supone se mueve el objeto, es

decir hacia arriba.

Fig.5.15. DCL de los objetos que

forman la Máquina de Atwood


Las ecuaciones del movimiento para los objetos 𝑚1 y 𝑚2 , para solo el eje vertical (en el

eje horizontal no existen interacciones) son respectivamente:

Eje vertical Objeto 1 Eje vertical Objeto 2

𝐹𝑦 = 𝑚1𝑎𝑦 𝐹𝑦 = 𝑚1𝑎𝑦

𝑚1𝑔 − 𝑇 = 𝑚1𝑎 (1) 𝑇 −𝑚2𝑔 = 𝑚2𝑎 (2)

Como el sistema tiene un mismo valor en la magnitud de la aceleración, por eso a cada

objeto se le asignó el mismo valor 𝑎. Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2)

y realizando las respectivas factorizaciones se llega a:

(𝑚1 −𝑚2)𝑔 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎

Despejando la aceleración se obtiene:

𝑎 = (𝑚1 −𝑚2

𝑚1 +𝑚2) 𝑔 (I)

De la expresión (I) obtenida para la aceleración se pueden obtener las siguientes

conclusiones:

Dimensionalmente es correcta y las unidades en el sistema SI son m/s2.

Si 𝑚1 = 𝑚2 → 𝑎 = 0, el sistema estaría en reposo o moviéndose con rapidez

constante hacia arriba o hacia abajo.

Si 𝑚1 > 𝑚2 → 𝑎 > 0, el objeto 𝑚1 se dirige hacia abajo (como se había

supuesto en la solución del problema) y 𝑚2 sube.

Si 𝑚1 < 𝑚2 → 𝑎 < 0, el objeto 𝑚1 se dirige hacia arriba (contrario a lo que

había supuesto en la solución del problema) y 𝑚2 baja.

Despejando T de la ecuación (2) se tiene:

𝑇 = 𝑚2(𝑎 + 𝑔).

Sustituyendo ahora el valor de la aceleración 𝑎 obtenida en la ecuación (I) en la expresión

anterior se tiene para la magnitud de la tensión:

𝑇 = 𝑚2 [(𝑚1 −𝑚2

𝑚1 +𝑚2) 𝑔 + 𝑔]

Realizando las operaciones y factorizando los términos apropiados se llega a:


𝑇 =2𝑚1𝑚2𝑔

𝑚1 +𝑚2 (II)

Como puede observarse en la expresión (II) la unidad, de la magnitud de la tensión, el

sistema SI es el newton, N.

Ejemplo 5.4

Una partícula de masa 𝑚 se encuentra suspendida de una cuerda ligera y a su vez esta

soportada por un resorte de constante elástica 𝑘 colocado horizontalmente, que la

mantienen en equilibrio, como se muestra en la figura 5.16.

El resorte esta estirado una distancia 𝑥 a

partir de su longitud normal y la cuerda

forma un ángulo 𝜃 con relación a la

vertical. Hallar una expresión para la

constante elástica del resorte en

términos de 𝑚, 𝜃, 𝑔 y x.


Solución:

El diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 5.17, muestra las fuerzas que actúan

sobre el objeto de masa m, las cuales son:


La fuerza elástica 𝑓 ejercida por el resorte.


Escogiendo el sistema de coordenadas xy como se

muestra en la misma figura 5.17, las componentes de

la magnitud de la reacción a la tensión de la cuerda

son respectivamente: Fig.5.17. DCL objeto del ejemplo 5.4

q

k

x


𝑇𝑥 = 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 en la dirección x negativa y 𝑇𝑦 = 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 en la dirección y positiva.

Las ecuaciones para el objeto de masa m para que permanezca en equilibrio, son

respectivamente:

Eje horizontal Eje vertical

𝐹𝑥 = 𝑚1𝑎𝑥 𝐹𝑦 = 𝑚1𝑎𝑦

𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑚𝑔 = 0 𝑓 − 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0

𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑔 (1) 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑘𝑥 (2)

Dividiendo miembro a miembro la ecuación (2) y la ecuación (1), simplificando y usando

las relaciones entre funciones trigonométricas se tiene que:

𝑡𝑔𝜃 =𝑘𝑥

𝑚𝑔

de donde despejando x se obtiene:

𝑘 =𝑚𝑔 𝑡𝑔𝜃

𝑥

La expresión anterior da respuesta al ejercicio planteado. Si se verifican las unidades de

cada uno de los parámetros conocidos 𝑚, 𝜃, 𝑔 y x, se observa que las unidades en el

sistema SI para la constante 𝑘 son N/m.

Ejemplo 5.5

Dos partículas de masas 𝑚1 y 𝑚2 respectivamente, como se muestra en la figura 5.18, se

mueven de tal manera que el objeto 1 cae verticalmente haciendo que a través de la cuerda

esté halando al objeto 2 obligándolo a bajar por el plano inclinado cuyo ángulo de

inclinación con relación a la horizontal es 𝜃. Entre el objeto 2 y el plano inclinado

existe una fuerza de rozamiento tal que el coeficiente entre ambas es 𝜇. La

cuerda y la polea son ideales.


Encontrar una expresión para: a) la magnitud de la

aceleración del sistema y b) la magnitud de la

tensión en la cuerda.

Solución

El diagrama de cuerpo libre sobre el objeto 𝑚1, se muestra

en la figura 5.19, en donde se han representado las fuerzas

que sobre éste actúan, las cuales son:


La reacción a la tensión �⃗⃗� de la cuerda

La ecuación de movimiento para éste objeto en el eje y es:

𝑚1𝑔 − 𝑇 = 𝑚1𝑎 (1)

Nótese que se asume el eje y positivo hacia abajo, es decir

en el sentido del movimiento del objeto 1. Adicionalmente,

no se ha escrito el subíndice en la aceleración del mismo,

puesto que va a tener la misma magnitud de la aceleración

del objeto 2.


Fig.5.19. DCL de 𝑚1, ejemplo 5.5

Al realizar el diagrama de cuerpo libre sobre el objeto de masa 𝑚2, se observa que las

fuerzas que actúan son cuatro:


La normal �⃗⃗⃗�2

La reacción a la tensión �⃗⃗� de la

cuerda.

La fuerza de fricción cinética 𝑓𝑘

Asumiendo el sistema de coordenadas xy

como se muestra en la figura 5.20, las

componentes del peso son respectivamente:

𝑊𝑥 = 𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 en la dirección x positiva y

𝑊𝑦 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 en la dirección y negativa.

Fig.5.20. DCL de 𝑚2, ejemplo 5.5

Las ecuaciones del movimiento para el objeto 𝑚2 para cada uno de los ejes son

respectivamente:

q


Eje paralelo al plano Eje perpendicular al plano


𝑇 +𝑚2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑓𝑘 = 𝑚2𝑎 𝑁2 −𝑚2𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0

𝑇 +𝑚2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑁2 = 𝑚2𝑎 (2) 𝑁2 = 𝑚2𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 (3)

Sustituyendo el valor de la magnitud de la normal N2 de la ecuación (3) en la ecuación (2)

se tiene que:

𝑇 +𝑚2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑚2𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚2𝑎 (4)

Sumando miembro a miembro las ecuaciones 1 y 4, agrupando términos y haciendo las

factorizaciones adecuadas se tiene:

[𝑚1 +𝑚2(𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)]𝑔 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎

De donde se obtiene un valor para la magnitud de la aceleración del sistema,

𝑎 =[𝑚1 +𝑚2(𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)]𝑔

(𝑚1 +𝑚2) (5)

Ahora bien, despejando de la ecuación (1) la magnitud de la tensión, se tiene

𝑇 = 𝑚1(𝑔 − 𝑎)

Y sustituyendo la expresión obtenida en la ecuación (5) para la magnitud de la aceleración

en la expresión anterior obtenida para la magnitud de la tensión, se tiene:

𝑇 = 𝑚1 (𝑔 −[𝑚1 +𝑚2(𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)]𝑔

(𝑚1 +𝑚2))

Realizando las operaciones respectivas se llega a:

𝑇 =𝑚1𝑚2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝜇𝑐𝑜𝑠𝜃)

(𝑚1 +𝑚2)𝑔 (6)

Interpretación de los resultados obtenidos:

Un análisis cuidadoso de las expresiones obtenidas para la magnitud de la aceleración,

ecuación 5 y para la magnitud de la tensión ecuación 6, se puede probar que las unidades

respectivas son m/s2 y newton (N), dando consistencia a las expresiones obtenidas.


Ahora bien, si se asumen algunas condiciones extremas se pueden observar diferentes

comportamientos del sistema y los valores obtenidos anteriormente de las magnitudes de 𝑇

y 𝑎, se pueden obtener de la siguiente tabla.

Magnitud de la tensión Magnitud de la aceleración

Coeficiente de fricción 𝜇 = 0

𝑇 =𝑚1𝑚2(1 − 𝑠𝑒𝑛𝜃)

(𝑚1 +𝑚2)𝑔 𝑎 =

[𝑚1 +𝑚2𝑠𝑒𝑛𝜃]𝑔

(𝑚1 +𝑚2)

Ejemplo 5.6

¡Cuidado con la fuerza de fricción.!. Un objeto de masa 𝑚2 se encuentra ubicado encima

de otro de masa 𝑚1, que a su vez descansa sobre un plano horizontal, ver figura 5.21. El

coeficiente de fricción estático entre los dos objetos es 𝜇𝑠 y el coeficiente de fricción

cinético entre el objeto 2 y la superficie es 𝜇𝑘. Realizar de manera cuidadosa un diagrama

de cuerpo libre para cada objeto con el fin de encontrar la magnitud del máximo valor de la

aceleración del sistema y el valor máximo de la magnitud de la fuerza �⃗� que permite que el

objeto 2 no se deslice con respecto al objeto 1.

Solución 1:

Cuando dos o más objetos tienen en común superficies en contacto, hay que tener mucho

cuidado con la forma en que se deben dibujar las fuerzas de fricción que aparecen por las

interacciones entre las diferentes superficies en contacto, en los respectivos diagramas de

cuerpo libre. Dependiendo de si hay o no hay movimiento relativo entre las dos superficies

en contacto, se deben representar claramente dichas fuerzas de rozamiento teniendo en

cuenta si es fricción estática o fricción cinética y como ellas juegan un papel importante en

las parejas de acción y reacción.

Coeficiente de fricción 𝜇 = 0 y ángulo de inclinación del plano 𝜃 = 0°

𝑇 =𝑚1𝑚2

(𝑚1 +𝑚2)𝑔 𝑎 =

𝑚1𝑔

(𝑚1 +𝑚2)

Coeficiente de fricción 𝜇 = 0 y ángulo de inclinación del plano 𝜃 = 90

𝑇 = 0 𝑎 = 𝑔


Considerando que el objeto 2 no debe deslizarse con relación al objeto 1, es decir debe

permanecer en reposo en relación a la superficie del objeto 1 (no con relación a un

observador que esta fuera del sistema que se mueve) y que el objeto 1 si se desliza con

relación al plano horizontal, los DCL de cada uno de los objetos se muestran en la figura

5.21.

Fig.5.21. DCL objetos ejemplo 5.6

Las fuerzas que actúan sobre cada objeto se relacionan a continuación:

Objeto de masa 𝑚1 Objeto de masa 𝑚2

La Fuerza aplicada �⃗�


La normal que hace el objeto 2 al

objeto 1, �⃗⃗⃗�21

La normal que hace el plano

horizontal sobre el objeto 1 �⃗⃗⃗�𝑃1

La fuerza de fricción cinética 𝑓𝑘,𝑃1

que aparece entre el plano horizontal

y el objeto 1

La fuerza de fricción estática

𝑓𝑠,21 entre el objeto 2 y el objeto 1


La normal que hace el objeto 1 al

objeto 2, �⃗⃗⃗�12

La fuerza de fricción estática

𝑓𝑠,12entre el objeto 1 y el objeto 2

Las parejas de acción y reacción, según tercera ley de Newton, en este problema se hacen

relevantes, como es el caso de las fuerzas normales (N⃗⃗⃗12 = −N⃗⃗⃗21) y las fuerzas de fricción

estático (f⃗𝑠,12 = −f⃗𝑠,21) que aparecen entre los objetos 1 y 2. Adicionalmente, como el

objeto 1 está en contacto con dos superficies (superficie horizontal y objeto 2) y como con

ambas superficies existe fricción, se han dibujado los dos efectos, lo que implica que al

plantear las ecuaciones de movimiento hay que ser coherente con la fuerza normal que se

va a utilizar en las expresiones matemáticas para cada objeto.

Teniendo en cuenta las anteriores observaciones, las ecuaciones de movimiento para el

objeto 𝑚1 son las siguientes:

Eje paralelo al plano horizontal Eje perpendicular al plano


𝐹 − 𝑓𝑠,21 − 𝑓𝑘𝑃1 = 𝑚1𝑎 𝑁𝑃1 − 𝑁21 −𝑚1𝑔 = 0


𝐹 − 𝜇𝑠𝑁21 − 𝜇𝑘𝑁𝑃1 = 𝑚1𝑎 (1) 𝑁𝑃1 − 𝑁21 = 𝑚1𝑔 (2)

y las ecuaciones de movimiento para el objeto 𝑚2 son:



𝑓𝑠,12 = 𝑚1𝑎 𝑁12 −𝑚2𝑔 = 0

𝜇𝑠𝑁12 = 𝑚2𝑎 (3) 𝑁12 = 𝑚2𝑔 (4)

Las ecuaciones (1) y (3) se han obtenido, partiendo del hecho que se ha usado la expresión

𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝑠𝑁 para la fricción estática, para indicar que el movimiento entre el objeto 1 y 2

sería inminente y que por tanto la magnitud de la fuerza aplicada F sería el valor máximo,

para mantener al objeto 2 en reposo relativo a la superficie del objeto 1. Adicionalmente, en

las ecuaciones (1) y (3) se asume que la magnitud de la aceleración 𝑎 del sistema es la

misma para ambos objetos.

Sustituyendo el valor de la magnitud de la normal 𝑁12 de la ecuación (4) en la ecuación (3)

y realizando las respectivas simplificaciones se puede obtener la magnitud de la aceleración

del sistema, así:

𝑎 = 𝜇𝑠𝑔 (I)

Este valor obtenido para la aceleración del sistema, es el valor máximo que puede tener el

sistema para que el objeto 2 no se mueva con relación al objeto 1 y que sería el valor de la

aceleración máxima referida a un sistema de referencial inercial fijo a la superficie

horizontal. Obsérvese adicionalmente que la magnitud de la aceleración no depende sino

del coeficiente de fricción estático entre las superficies del objeto 1 y 2 y de la magnitud de

la aceleración gravitacional, lo que a su vez hacer ver que en términos de unidades la

expresión (I) es consistente.

Sustituyendo ahora la magnitud de la normal 𝑁12 de la ecuación (4) que es igual a la

magnitud de la normal 𝑁21en la ecuación (2) se obtiene que:

𝑁𝑃1 = (𝑚1 +𝑚2)𝑔

Que al ser reemplazada en la ecuación (1), junto con 𝑁21se tiene que:

𝐹 − 𝜇𝑠𝑚2𝑔 − 𝜇𝑘(𝑚1 +𝑚2)𝑔 = 𝑚1𝑎


Insertando la expresión (I) de la magnitud de la aceleración en la expresión anterior esta se

convierte en:

𝐹 − 𝜇𝑠𝑚2𝑔 − 𝜇𝑘(𝑚1 +𝑚2)𝑔 = 𝑚1𝜇𝑠𝑔

Despejando F y realizando las factorizaciones, se tiene:

𝐹 = (𝑚1 +𝑚2)(𝜇𝑘 + 𝜇𝑠 )𝑔 (II)

La expresión obtenida en (II) nos da el máximo valor de la magnitud de la fuerza F para la

condición dada en el problema. Un análisis sencillo muestra que la unidad en el SI de la

magnitud de la fuerza F es el newton.

Solución 2:

Por el hecho que los dos objetos se mueven

como un solo sistema con la misma

aceleración, se puede realizar un DCL (ver

figura 5.22) del sistema, para reducir el número

de ecuaciones y simplificar el modelo

matemático.

Las ecuaciones del movimiento para cada uno

de los respectivos ejes se tiene:

Fig.5.22. DCL sistema del ejemplo 5.6



𝐹 − 𝑓𝑘,𝑃1 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎 𝑁𝑠 − (𝑚1 +𝑚2)𝑔 = 0

𝐹 − 𝜇𝑘𝑁𝑠 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎 (5) 𝑁𝑠 = (𝑚1 +𝑚2)𝑔 (6)

Sustituyendo de la ecuación (6), la normal del sistema en la ecuación (5) y despejando F, se

obtiene:

𝐹 = (𝑚1 +𝑚2)𝑎 + 𝜇𝑘(𝑚1 +𝑚2)𝑔

Si se recoge el resultado obtenido para la aceleración máxima, expresión (I) que se obtiene

del DCL de sólo el objeto 𝑚2 y se sustituye en la ecuación anterior para F, se tiene:

𝐹 = (𝑚1 +𝑚2)𝜇𝑠𝑔 + 𝜇𝑘(𝑚1 +𝑚2)𝑔

Factorizando se llega a la magnitud de F, así:


𝐹 = (𝑚1 +𝑚2)(𝜇𝑘 + 𝜇𝑠 )𝑔

que coincide con la expresión (II), lo cual garantiza que este procedimiento también es

correcto.

Ejemplo 5.7

Péndulo Cónico. Un péndulo cónico es un sistema físico que consta de una partícula de

masa m y una cuerda inextensible de longitud l que se suspende de un punto O que hace las

veces de eje de rotación, ver figura 5.23. En ese punto O el extremo superior de la cuerda

está sujeta al eje de un motor (no mostrado en la figura y que gira de manera uniforme) el

cual hace girar a la cuerda y a la partícula que está unida al extremo inferior de la misma.

La partícula se la pasa rotando con relación al punto O y describiendo una trayectoria en

forma de circunferencia. Encontrar una expresión para la rapidez tangencial 𝑣 de la

partícula.

Solución

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m

son dos:



Las componentes de la tensión son respectivamente,

𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 en la dirección vertical y 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 en la

dirección radial, siendo 𝜃 el ángulo que forma la

cuerda con la vertical, como se ven en la figura 5.23.

Fig.5.23. Representación péndulo cónico

El radio de la circunferencia que describe la partícula es: 𝑅 = 𝑙 𝑠𝑒𝑛𝜃. Las ecuaciones del

movimiento para la partícula para cada uno de los ejes son respectivamente:

Eje Tangencial Eje radial Eje vertical

𝐹𝑇 = 𝑚𝑎𝑇 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 𝐹𝑣 = 𝑚𝑎𝑣 0 = 𝑚𝑎𝑇 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑎𝑐 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚𝑔 = 0

𝑎𝑇 = 0 𝑇𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑣2

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑇𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑔

De las ecuaciones obtenidas se puede afirmar que:

En el eje tangencial como no existe ninguna componente de fuerza, implica que la

magnitud de la aceleración tangencial es cero, lo que a su vez garantiza que la rapidez


tangencial de la partícula a lo largo de la trayectoria en forma de circunferencia es una

constante. En conclusión el movimiento es circunferencial uniforme.

Las expresiones encontradas en la dirección radial y vertical muestran que existen dos

incógnitas: La magnitud de la tensión 𝑇 y la rapidez tangencial 𝑣 y a su vez existen dos

ecuaciones, por lo tanto el sistema tiene una única solución. Despejando T de la ecuación

del vertical se tiene que:

𝑇 =𝑚𝑔

𝑠𝑒𝑛𝜃

y sustituyéndola en la ecuación obtenida del eje radial, resulta la expresión:

(𝑚𝑔

𝑠𝑒𝑛𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚

𝑣2

𝑙𝑠𝑒𝑛𝜃

Simplificando los términos comunes y despejando 𝑣 se llega a:

𝑣 = √𝑙𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃

El resultado muestra que los parámetros de los cuales la rapidez tangencial está

dependiendo son constantes, lo que muestra por tanto que dicha rapidez es constante y así

el movimiento es circunferencial uniforme. Un análisis dimensional sencillo muestra que

las unidades de la rapidez son m/s.

Ejemplo 5.8

Cuando se coloca la ropa en la lavadora, se observa que al cabo de un rato una prenda de

vestir (modelada como una partícula) se mantiene quieta con respecto a la pared del tambor

giratorio de radio R de dicha lavadora, ver figura 5.24. En ese momento se considera que el

tambor gira de manera uniforme. Si el coeficiente de fricción estático entre la prenda de

vestir y la pared del tambor es 𝜇𝑠, ¿Cuál es el máximo valor de la frecuencia 𝑓 con que

debe girar el tambor, de tal manera la prenda de vestir no escurra hacia abajo de la pared

del tambor?. Expresar la respuesta en términos de 𝑅, 𝑔 y 𝜇𝑠.


Solución

Las fuerzas que actúan sobre

la partícula de masa m son

tres:

El peso de la prenda

de vestir 𝑚�⃗�

La fuerza normal �⃗⃗⃗�

La fuerza de fricción

estática 𝑓𝑠.


.


En el DCL, figura 5.25, se representan las fuerzas especificadas. Las ecuaciones del

movimiento para la prenda de vestir en cada uno de los ejes, son respectivamente:

Eje Tangencial Eje radial Eje vertical

𝐹𝑇 = 𝑚𝑎𝑇 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 𝐹𝑣 = 𝑚𝑎𝑣 0 = 𝑚𝑎𝑇 𝑁 = 𝑚𝑎𝑐 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 −𝑚𝑔 = 0

𝑎𝑇 = 0 𝑁 = 𝑚𝑣2

𝑅 (1) 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑔 (2)

Se puede observar, que en el eje tangencial no existe ninguna componente de fuerza, lo cual

garantiza que la magnitud de la aceleración tangencial es cero y a su vez muestra que el

movimiento es circunferencial uniforme.

De la ecuación (2) obtenida en el eje vertical se tiene que: 𝜇𝑠𝑁 = 𝑚𝑔, al despejar N e

insertarla en la ecuación (1) y simplificando m se tiene:

𝑔

𝜇𝑠=𝑣2

𝑅

Usando el hecho que 𝑣 =2𝜋𝑅

𝑇 (ecuación 5.17) del movimiento circunferencial uniforme y

que 𝑓 =1

𝑇, la expresión anterior se convierte en:

𝑔

𝜇𝑠=(2𝜋𝑅𝑓)2

𝑅

De la cual se puede despejar la frecuencia de rotación. Haciendo los respectivos despejes y

simplificaciones se llega a:

R


𝑓 =1

2𝜋√𝑔

𝜇𝑠𝑅

Un análisis dimensional, de la expresión anterior sería:

[𝑔] = [𝐿𝑇−2] ; [𝑅] = [𝐿]; 𝜇𝑠: Adimensional

Si se realiza la división: [𝑔]

[𝑅]=

[𝐿𝑇−2]

[𝐿] →

[𝑔]

[𝑅]= [𝑇−2] . Al extraer la raíz cuadrada

puede observarse que las dimensiones serían [𝑇−1], lo que significa que la unidad en el

sistema SI, es 𝑠−1 =1

𝑠= 𝐻𝑧, que corresponde con la frecuencia.

Ejemplo 5.9

Péndulo simple: El péndulo simple es un sistema físico que consta de una partícula de masa

m suspendida del punto O por una cuerda inextensible de longitud l y de masa despreciable,

ver figura 5.26. Cuando el péndulo se encuentra oscilando describiendo una trayectoria

circunferencial, se pide analizar el comportamiento del mismo usando como sistema de

coordenadas los ejes tangencial y radial o central.

Solución

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa

m son dos:


La reacción a la tensión �⃗⃗� de la cuerda

Las componentes del peso son respectivamente,

𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 en la dirección tangencial y 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 en

la dirección radial, siendo 𝜃 el ángulo que forma

la cuerda con la vertical, como se ven en la figura

5.26.

Fig.5.26. Imagen y representación de fuerzas

en un péndulo simple

Las ecuaciones del movimiento para la partícula para cada uno de los ejes son

respectivamente:

Eje Tangencial Eje radial

𝐹𝑇 = 𝑚𝑎𝑇 𝐹𝑐 = 𝑚𝑎𝑐 −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑇 𝑇 −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑎𝑐

𝑎𝑇 = −𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑇 −𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑚𝑣2

𝑙


Analizando las ecuaciones obtenidas se tiene que:

En el eje tangencial se puede observar que la aceleración es contraria a la dirección de la

velocidad tangencial, pues el péndulo se desacelera a lo largo de la tangente a la trayectoria.

A su vez la magnitud de la misma es función del ángulo 𝜃, lo cual significa que la

aceleración tangencial es variable y que por lo tanto las ecuaciones cinemáticas del

movimiento no son sencillas de conseguir y habría que recurrir a métodos que involucran

ecuaciones diferenciales.

Por otro lado en el eje radial o central se puede observar que al despejar la tensión de la

cuerda se tiene: 𝑇 = 𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑚𝑣2

𝑙, lo que muestra que la magnitud de la tensión se hace

variable a medida que va cambiando el ángulo 𝜃. Conocido el valor de la rapidez tangencial

𝑣 en la posición angular 𝜃 podemos determinar la magnitud de la tensión T de la cuerda.

Así es que, la magnitud de la tensión T de la cuerda es máxima, cuando el péndulo pasa por

la posición de equilibrio, puesto que si 𝜃 = 0° el 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 y adicionalmente la rapidez

tangencial es máxima. De igual manera, la magnitud de la tensión es mínima en los puntos

extremos de la trayectoria, pues allí, la rapidez es cero y el 𝑐𝑜𝑠𝜃 va disminuyendo hasta

dicha posición. Como conclusión, se puede afirmar que si no se conoce el valor simultáneo

del ángulo y la rapidez tangencial, matemáticamente no se puede calcular el valor de la

magnitud de la tensión, lo cual haría tener una ecuación en donde las variables son

dependientes entre si y por lo tanto habrían muchas soluciones.

Nótese que, no es posible construir un sistema de ecuaciones entre los dos ejes analizados.

Cada eje en particular, tangencial o radial, nos involucra una interpretación física y un

modelo matemático muy diferentes, de por si más complejo de lo que parece. Por lo

anterior, “el péndulo simple no es tan simple”.

Ejemplo 5.10

Ejemplo de ligadura. Un bloque de masa m se

encuentra apoyado sobre una superficie

horizontal y entre las dos superficies no existe

fuerza de fricción, ver figura 5.10.


El bloque está unido por una cuerda ideal a través de una polea, también ideal. El otro

extremo de la cuerda está unido a una pared y a la polea se le aplica una fuerza horizontal

�⃗�, como se observa en la misma figura.

Se pide encontrar: a) La tensión en la cuerda, b) la magnitud de la aceleración del bloque y

c) la aceleración de la polea. Realice un cálculo con las expresiones halladas en los literales

a),b) y c) para el caso en que 𝑚 = 2 kg y la magnitud de la fuerza horizontal 𝐹 = 30 N.


Solución:

a) El diagrama de cuerpo libre para la polea ideal se

muestra en la figura 5.28, siendo las fuerzas que actúan,

la fuerza aplicada �⃗� y la reacción a la tensión de la

cuerda �⃗⃗�. La ecuación de movimiento es:

𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥

𝐹 − 2𝑇 = 𝑚𝑝𝑎𝑝

Siendo la masa de la polea, 𝑚𝑝 = 0 y la aceleración de

la polea 𝑎𝑝 ≠ 0, loa cual se traduce en que:

𝑇 =𝐹

2 (1)

b) El diagrama de cuerpo libre para el bloque de masa 𝑚,

se muestra en la figura 5.29, en donde se han dibujado las

tres fuerzas: El peso del bloque 𝑚�⃗�, La fuerza normal

N⃗⃗⃗ 𝑦 La reacción a la tensión de la cuerda T⃗⃗⃗.

Fig.5,28. DCL sobre polea


La ecuación de movimiento del objeto de masa 𝑚 en el eje horizontal es el que se tiene en

cuenta, ya que en el eje vertical no se mueve y la magnitud de la normal se vuelve igual a la

magnitud del peso. Por tanto:

𝑇 = 𝑚𝑎 → 𝑎 = 𝑇

𝑚

Y sustituyendo el valor de 𝑇 encontrado en la ecuación (1), se tiene que la magnitud de la

aceleración del bloque es:

𝑎 =𝐹

2𝑚 (2)

c) Debido a que usando la sumatoria de fuerzas para la polea, no se puede encontrar la

aceleración de la misma, se hace necesario usar el concepto de ligadura. Como ya se había

dicho, las ligaduras son condiciones que debe cumplir el objeto en movimiento a seguir una

trayectoria por ejemplo. En el presente caso, la cuerda obliga a que el objeto siga un

comportamiento a medida que se mueve en línea recta.


En la figura 5.30, se han establecido los

siguientes parámetros:

𝑥: Posición del bloque con respecto

al origen de coordenadas O.

𝑥𝑝: Posición de la polea con respecto

al origen de coordenadas.

𝑙: longitud de la cuerda, que resulta

ser constante.

Fig.5.30. Condiciones de ligadura ejemplo 5.10

La porción de cuerda que rodea la polea tiene una longitud también constante, 𝑙𝑝 = 𝜋𝑅,

siendo 𝑅 el radio de la misma. Entonces, con las especificaciones dadas se establece que la

longitud de la cuerda es:

𝑙 = 𝑥𝑝 + (𝑥𝑝 − 𝑥) + 𝜋𝑅 o

𝑙 = 2𝑥𝑝 − 𝑥 + 𝜋𝑅

La expresión anterior se convierte en la expresión o condición de ligadura. Al poner a

variar de manera instantánea en el tiempo la expresión anterior se llega a que:

0 = 2𝑣𝑝 − 𝑣

En donde 𝑣𝑝 y 𝑣 son respectivamente las magnitudes de la velocidad de la polea y la

velocidad del bloque. Ahora bien, si dicha expresión se hace variar de nuevo en función del

tiempo, se obtiene que:

0 = 2𝑎𝑝 − 𝑎

siendo 𝑎𝑝 y 𝑎 son respectivamente las magnitudes de la aceleración de la polea y la

aceleración del bloque y por tanto se llega a una relación entre estas aceleraciones, así:

𝑎𝑝 =𝑎

2 (3)

d) Si se sustituyen los valores dados en el ejercicio, es decir cuando 𝑚 = 2 kg y la

magnitud de la fuerza horizontal es 𝐹 = 40 N, en la ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene:

𝑇 =𝐹

2→ 𝑇 = 15N 𝑎 =

𝐹

2𝑚 → 𝑎 = 10 𝑚/𝑠2 𝑎𝑝 =

𝑎

2→ 𝑎𝑝 = 5 𝑚/𝑠2

m

y

xo

x

xp


Ejercicios

1. Ejercicio conceptual: Una caja de peso W⃗⃗⃗⃗ es empujada horizontalmente sobre una

superficie horizontal por una persona con una fuerza F⃗⃗ como se muestra en la figura 5.31,

de tal manera que la caja se mueve a velocidad constante. Explique cuál de los siguientes

diagramas de cuerpo libre, representa mejor esta situación.

Fig.5.31. Representaciones vectoriales ejercicio 1

2. Ejercicio de contexto: Un objeto de masa m (10 kg) es halado partiendo del reposo sobre

una superficie con una fuerza de magnitud F (300 N) que forma un ángulo 𝜃 (37º) con la

horizontal, como se muestra en la figura 5.32. Suponiendo que entre el objeto y la

superficie no existe fuerza de fricción, responda cada una de las siguientes preguntas, las

cuales deben estar debidamente justificadas.

Fig.5.32. Imagen ejercicio 2

Pregunta 1

La aceleración del objeto en m/s2 es:

e) Mayor a 30

f) Menor a 30

g) Igual a 30

h) Cero

Pregunta 2

La rapidez en m/s del objeto al recorrer una

distancia de 3 m es:

a) Mayor a 12

b) Menor a 12

c) Igual a 12

d) Cero

Pregunta 3

En tiempo en segundos empleado por el

objeto en recorrer 3 m es:

a) Mayor a 3

b) Menor a 3

c) Igual a 3

d) Cero

3. Un trabajador de bodega empuja una caja de 11,2 kg en una superficie horizontal con

rapidez constante de 3,5 m/s. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie

es de 0,20. a) ¿Qué fuerza horizontal debe aplicar el trabajador para mantener el

movimiento?, b) Si se elimina esa fuerza, ¿qué distancia recorre la caja antes de parar?.

a) b) c) d)

qm


4. Una cubeta de pintura de peso W⃗⃗⃗⃗ cuelga de una cuerda ligera de otra cubeta (con una

agarradera en la base) del mismo peso W⃗⃗⃗⃗. Las dos cubetas son jaladas hacia arriba con una

aceleración �⃗� por otra cuerda ligera amarrada a la cubeta de arriba. Realice a) Un diagrama

de cuerpo libre para el sistema y para cada una de las cubetas, b) Plantee las respectivas

ecuaciones y c) Halle las magnitudes de las tensiones de las cuerdas.

5. En el sistema mostrado en la figura 5.33, el

coeficiente de fricción cinético entre el bloque 𝑚2

y la superficie es μk. El sistema parte del reposo

de tal manera que la esfera maciza de masa 𝑚1

baja. a) Realice los diagramas de cuerpo libre para

cada objeto y b) Calcular la rapidez de la bola 𝑚1

cuando ha caído una altura h?.


6. El sistema mostrado en la figura 5.34

permanece en equilibrio. Encontrar una expresión

para la masa m del objeto que hace que el resorte

de constante elástica k se estire una longitud x a

partir de su posición sin deformar. La cuerda que

une al resorte y al objeto es de masa despreciable.

¿Tiene alguna incidencia el ángulo de inclinación

del plano, en la expresión obtenida?


7. Un camión con plataforma carga una caja de masa m que contiene maquinaria pesada. Si

el coeficiente de fricción estática entre la caja y la plataforma del camión es , ¿Cuál es la

aceleración máxima con que puede desacelerar el conductor cuando se aproxima a un alto

con el fin de evitar una colisión de la caja con la cabina?. Realice el diagrama de cuerpo y

plantee las ecuaciones correspondientes.

8. Un bloque de 4,5 kg de masa es empujado contra

una pared por una fuerza P⃗⃗⃗ que forma un ángulo de

50° con la horizontal, como se muestra en la figura

5.35. El coeficiente de fricción estática entre el

bloque y la pared es 0,2. Determine los posibles

valores para la magnitud de P⃗⃗⃗ que permiten que el

bloque permanezca estacionario con relación a la

pared. Fig.5.35. Imagen ejercicio 8

q

q

k


9. En el sistema mostrado en la figura 5.36, El

coeficiente de fricción cinético entre el bloque de 3 kg

y la superficie es 0,5. El sistema parte del reposo.

¿Cuál es la rapidez de la bola de 5 kg cuando ha caído

1.50m? .

Fig.5.36. Imagen Ejercicio 9

10. Los dos bloques, m = 12 kg y M = 24 kg,

mostrados en la figura 5.37 pueden moverse

libremente. El coeficiente de fricción estática entre los

bloques es s = 0,4, pero la superficie bajo M carece

de fricción. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza

horizontal mínima �⃗� necesaria para mantener a m

contra M? y b)¿Cuál es la magnitud de la aceleración

del sistema?.


11. El objeto de masa m se encuentra suspendido de

dos resortes idénticos de constante elástica k los cuales

forman un ángulo 𝜃 con la vertical, como se muestra

en la figura 5.38. Hallar una expresión para la

elongación x de cada resorte, a sabiendas que en la

condición inicial estaban sin deformar.

Realice luego un cálculo para la elongación de uno

cualquiera de los resortes, si 𝑚 = 2 kg, 𝑘 = 500 N/m

y 𝜃 = 53°.


12. Una piedra de 0,90 kg se ata a un cordel de 0,80 m. El cordel se rompe si su tensión

excede los 500 N. (esta es la resistencia de ruptura del cordel). La piedra gira en un círculo

horizontal sobre una mesa sin fricción; el otro extremo del cordel está fijo. Calcule la

máxima rapidez que puede alcanzar la piedra sin romper el cordel.

13. Tarzán (m = 85 kg ) trata de cruzar un río balanceándose en una liana (cuerda) de 10 m

de largo. La rapidez cuando Tarzán apenas libra el agua es de 8 m/s, es decir en la parte

baja del movimiento. Tarzán no sabe que la resistencia de la liana a la ruptura es de 980 N.

¿Cruzará con seguridad el río?.

14. Una persona hace girar una piedra en un plano vertical, la piedra se encuentra

suspendida del extremo de un hilo y la circunferencia que describe tiene un radio de 1m,

haciéndola dar 1 vuelta cada segundo, calcular:

5 kg

3 kg

m M

k k

q q


a) La magnitud de la tensión de la cuerda cuando la piedra está en la parte de

arriba.

b) La magnitud de la tensión en la cuerda cuando la piedra está en la parte de

abajo.

c) ¿Cuál es la rapidez tangencial mínima para que la piedra pueda girar sin que la

cuerda se afloje?. Asumir que la masa de la piedra es de 0,1 kg.

15. Un disco rugoso puede girar con rapidez

constante en un plano horizontal, ver figura 5.39.

Sobre un punto de la superficie que se encuentra a

una distancia R del eje de giro, se posa un bloque

de masa m. ¿Cuál es la máxima rapidez con que

puede girar el disco, para que el bloque no deslice?


16. Un objeto de masa m sobre una mesa sin

fricción está sujeta a otro objeto de masa M que

cuelga por medio de una cuerda a través de un

orificio en la mesa, como se muestra en la figura

5.40. El cuerpo de masa m puede girar en un

círculo de radio r, siempre y cuando el cuerpo de

masa M quede en reposo. Realice a) Un diagrama

de cuerpo libre para cada cuerpo, b) Plantee las

respectivas ecuaciones y c) Encontrar una

expresión para la rapidez tangencial del objeto de

masa m.



1. Dos bloques de masas m1 y m2 se apilan

(ver figura 5.41) y se colocan en una

superficie horizontal sin fricción. Hay

fricción entre los bloques. Se aplica una

fuerza externa de magnitud F al bloque

superior con un ángulo bajo la horizontal.

Muestre que los bloques se mueven juntos

sólo si:

F≤μ

sm1(m1+m2)g

m2cosα-μs(m1+m2)senα

Fig.5.41. Imagen ejercicio de desafío 1

R

m

q


2. Una bola se sostiene en reposo en la

posición A (ver figura 5.42) con dos hilos

ligeros. Se corta el hilo horizontal y la bola

comienza a oscilar como un péndulo. B es el

punto más a la derecha que la bola alcanza

al oscilar. ¿Qué relación hay entre la tensión

del hilo de soporte en la posición B y su

valor en A antes de cortarse el hilo

horizontal? Fig.5.42. Imagen ejercicio de desafío 2

3. El bloque A, de peso 2W⃗⃗⃗⃗, resbala con una

rapidez constante por un plano inclinado P

de inclinación q. Mientras la tabla B, de

peso W⃗⃗⃗⃗, descansa sobre A, estando sujeta

con un hilo a la pared (ver figura 5.43). a)

Dibuje un diagrama de cuerpo libre para el

bloque A y la tabla B y b) Sabiendo que el

coeficiente de fricción entre A y B y entre P

y A son iguales, encuentre una expresión

para dicho coeficiente en función del ángulo

q.


4. Halle la aceleración de los objetos de

masas 𝑚1, 𝑚2 y de la polea.

Adicionalmente se pide encontrar las

magnitudes de las tensiones en las cuerdas

A y B. Suponga que entre el objeto de masa

𝑚1 y la superficie no existe fricción y que

las poleas y cuerdas son ideales.

(Sugerencia, tiene que usar una condición de

ligadura para relacionar las aceleraciones de

los dos objetos y la polea).


Preguntas de investigación

1. ¿Qué es un sistema de referencia no inercial?.

A

B


2. ¿Qué diferencia existe entre fuerzas reales y fuerzas ficticias o seudofuerzas?.

Muestre algunos ejemplos de fuerzas ficticias y su representación en los diagramas

de cuerpo libre.

3. ¿En qué consiste el efecto Coriolis?. Mostrar algunos fenómenos en donde aparece

dicho efecto.

4. Si usted es un aficionado al tenis de campo, tenis de mesa, futbol, basquetbol u otro

deporte en donde una pelota, un balón entre otros, son los objetos que se mueven en

fluidos como el aire, debería interesarse por el efecto Magnus. Pues es hora que lo

haga y consulte en que consiste y cuáles son sus aplicaciones.

5. La mecánica clásica no sólo se basa en las Leyes de Newton. Es bueno que consulte

los aportes hechos por Galileo, Copérnico, Kepler, Hamilton y Lagrange entre otros.

Complemento Tecnológico

A continuación, en la imagen de la figura 5.45, se presenta una simulación hecha en el

software Interactive Physics IP del ejemplo 5.1 realizado.

En el diagrama de cuerpo libre que

muestra el simulador, se pueden

observar las siguientes características:

FN: Representa la fuerza normal sobre

el objeto, realiza dos dibujos de la

misma porque en la simulación “se

cree que el objeto mínimo toca dos

puntos de contactos, los extremos”. El

IP No arroja medidor para dicha

fuerza.

FT: Representa la tensión en la

cuerda, realiza dos dibujos de la

misma en los extremos y en sentidos

opuestos.

FG: Representa la fuerza

gravitacional, es decir el peso del

objeto

Fig.5.45. Imagen simulación en IP del ejemplo 5.1


Para que el diagrama de cuerpo libre aparezca, el usuario en el simulador debe escoger en

el Menú: Definir-Vectores, Submenú: Fuerza de Contacto (FN), Fuerza Gravitatoria (FG),

siempre y cuando el objeto haya sido seleccionado. Para el caso de la cuerda, se selecciona

la misma y luego en el Menú Definir-Vectores, submenú Fuerza total (FT).

Si se quiere observar el resultado numérico de las simulaciones, en el menú Medir, después

de haber seleccionado el objeto o la cuerda, se escogen los medidores respectivos de:

Tensión, Fuerza Gravitatoria, Fuerza total (Fuerza neta). En la figura xxx, se muestran los

medidores de dichas fuerzas y puede observarse la clara correspondencia con los valores

teóricos calculados.


Capítulo 6

Introducción a los conceptos

de Trabajo y Energía

“Inteligencia es la habilidad de adaptarse a los cambios”

Stephen Hawking

El estudio de la mecánica puede abordarse desde distintas ópticas o áreas de la física, como

ya se hizo en los capítulos anteriores. El movimiento o equilibrio de los cuerpos fue

estudiado desde la cinemática y la dinámica y todo ello soportado en las Leyes del

Movimiento de Newton. Sin embargo, dicho análisis puede verse desde una visión más

amplia y general, usando cantidades físicas escalares como lo son el trabajo y la energía.

Se puede decir entonces, que una fenomenología puede abordarse desde conceptos

cinemáticos, dinámicos o energéticos.

La potencialidad de los conceptos de trabajo y energía en la interpretación y análisis del

comportamiento de los objetos en la naturaleza, hace de estas variables un método de

estudio supremamente importante. Siendo variables escalares, desde la visión matemática

reducen los modelos vectoriales y operaciones algebraicas, haciendo de la

conceptualización un proceso más interesante y serio en los procesos de solución de

problemas.

Trabajo y energía son conceptos que van íntimamente ligados. Cuando un sistema efectúa

un trabajo sobre otro, debido a la interacción se transfiere energía entre los dos sistemas, la

cual puede manifestarse de diferentes maneras. Por ejemplo, la energía cinética la

asociamos al movimiento de una partícula. De igual manera, la energía potencial la

relacionamos con la configuración de un sistema y en general es función de la posición del

objeto referido a un referencial, a la distancia de separación con otro objeto o a la distancia

de separación en estructuras atómicas o moleculares. También, se puede asociar una

energía interna a los medios y sistemas materiales, debido al movimiento aleatorio de las

moléculas que lo conforman y la cual está relacionada íntimamente con la temperatura,

como lo es la energía térmica. Estas son tan solo unas de las cuantas formas de energía, que

existen en la naturaleza.

La ley de conservación de la energía, es un principio tan fundamental en la física, que no

deja de haber una interacción en la naturaleza en donde no permanezca constante y en


donde los procesos no sean de transferencia de la misma entre los sistemas físicos que

interactúan. Aunque la energía, es un término que nos aparece mucho en la cotidianidad, su

noción no es tan sencilla y por lo general requiere de conceptos abstractos para

aproximarnos a la noción de la misma, pues no es un concepto que claramente sea

definible.

Por tratarse de un curso básico, en éste capítulo se estudiaran los conceptos de trabajo,

energía cinética y energía potencial, no olvidando que estos surgen del estudio de las leyes

de Newton en objetos vistos como partículas y que por lo tanto el referente para dichos

conceptos son una secuencia de los manejados en los capítulos anteriores. Sin embargo, el

método de energía es “tan elegante y potente” que en muchos casos no se requieren de las

leyes del movimiento de Newton, para entender una fenomenología específica, como es el

caso de los efectos eléctricos, térmicos u ópticos, entre otros.

6.1. Concepto de trabajo

Las definiciones dadas hasta ahora de las variables o magnitudes físicas como velocidad,

aceleración, fuerza entre otras, tienen un significado bastante similar al que usamos en

nuestra vida diaria. Sin embargo, la noción de trabajo desde la visión de la física, nada tiene

que ver con el que usamos en la cotidianidad.

En física el concepto de trabajo viene asociado a la fuerza y al desplazamiento. Una fuerza

realiza un trabajo en la medida en que cuando actúa sobre una partícula, esta se mueve a lo

largo de una trayectoria y una componente de dicha fuerza actúa sobre la partícula en la

misma dirección de la trayectoria. Adicionalmente, la definición o noción de trabajo

dependerá del tipo de fuerza que se aplique a la partícula. Debido a que por ser la fuerza

una cantidad vectorial, la fuerza aplicada sobre la partícula puede ser constante o variable,

es decir que puede cambiar la magnitud, la dirección o ambas, sobre el objeto que se

mueve.

6.1.1.Trabajo debido a una fuerza constante

Para entender cómo se expresa la noción de trabajo en física, considere el esquema que se

observa en la figura 6.1. Se aplica una fuerza �⃗� constante a un bloque (considerado como el

sistema), la cual ayuda a que se mueva sobre una superficie horizontal, desplazando al

objeto de la posición A a la posición B, es decir que el bloque sufre un desplazamiento ∆�⃗�.

Como la magnitud y la dirección de la fuerza son constantes el ángulo 𝜃 formado por la

fuerza �⃗� y el desplazamiento ∆�⃗�, siempre es el mismo desde A hasta B.


Fig.6.1. Partícula que se mueve en linea recta debido al trabajo de una fuerza constante

Si el bloque se mueve en linea recta de A a B, solo la componente horizontal de la fuerza

𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 es la que ayuda a que éste se mueva en esa dirección y avance una distancia,

equivalente a la magnitud del desplazamiento ∆𝑥.

Así, se puede definir el trabajo 𝑊𝐴𝐵 sobre un sistema debido a un agente externo que ejerce

una fuerza constante entre el punto inicial A y un punto final B, como el producto de la

magnitud de la fuerza 𝐹, la magnitud del desplazamiento ∆𝑥 y por 𝑐𝑜𝑠𝜃, donde 𝜃 es el

ángulo formado entre los vectores fuerza y desplazamiento, así:

𝑊𝐴𝐵 = 𝐹∆𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 (6.1)

Se ha enfatizado en el subíndice AB en la definición para indicar que el trabajo es una

variable del proceso y que por lo tanto depende de lo que suceda en la trayectoria. Esto

asegura, que el trabajo no lo tienen los objetos o sistemas y que depende de las

interacciones que se tengan entre la condición inicial y final del proceso.

Obsérvese de la figura 6.1, que la Fuerza �⃗� tiene dos componentes, la que es paralela al

desplazamiento es la que aporta trabajo y la que es perpendicular a dicho desplazamiento

no realiza trabajo.

Recordando la definición de producto escalar entre dos vectores 𝐴 y �⃗⃗�, relacionada en el

capítulo 2 y la cual es: 𝐴 ⋅ �⃗⃗� = 𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝜃 y contrastándola con la ecuación 6.1, la definición

de trabajo se puede transformar en:

𝑊𝐴𝐵 = �⃗� ⋅ ∆�⃗� (6.2)

La ecuación 6.2 formaliza el hecho que el trabajo proviene del producto escalar entre la

fuerza y el desplazamiento. Por ser el resultado de la operación un escalar, se garantiza que

el trabajo es una magnitud física escalar.

Si se usa la ecuación 6.1 o 6.2 para una fuerza cualquiera se pueden tener las siguientes

condiciones particulares: a) Si 𝜃 = 0°, la fuerza es paralela al desplazamiento y la


expresión se convierte en 𝑊𝐴𝐵 = 𝐹∆𝑥 y el trabajo es positivo, b) Si 𝜃 = 90°, la fuerza es

perpendicular al desplazamiento y 𝑊𝐴𝐵 = 0 y c) Si 𝜃 = 180°, la fuerza es contraria al

desplazamiento (por ejemplo, en algunos casos la fuerza de rozamiento), 𝑊𝐴𝐵 = −𝐹∆𝑥 y

el trabajo es negativo.

Nota conceptual

Se puede generalizar el hecho, que toda fuerza aplicada sobre un sistema físico que sea

perpendicular a la trayectoria que siga dicho sistema en su movimiento, no realiza

trabajo.

Las dimensiones del trabajo son las de fuerza por una distancia y por lo tanto la unidad de

trabajo y energía en el sistema SI es el julio o joule (J), el cual es igual al producto de un

newton por un metro: 1 J = 1 N.m.

En la física atómica y nuclear se usa bastante una unidad denominada el electronvoltio

(eV), en donde 1 𝑒𝑉 = 1,6x10−19 J. El trabajo requerido para extraer un electrón de un

átomo es del orden de los eV y para extraer un protón o neutrón de un núcleo atómico es

del orden de los MeV (Mega electronvoltio).

Cuando sobre un sistema físico actúa más de una fuerza, el trabajo resultante es la suma

escalar de los trabajos individuales de cada una de ellas. Hay que recordar que la definición

de trabajo implica conocer cada una de las interacciones del sistema con su alrededor y por

eso se requiere en la mayoría de los casos realizar el diagrama de cuerpo libre y de ahí

calcular el trabajo individual de cada fuerza, para luego si evaluar la suma respectiva y

obtener el trabajo resultante o neto. Por eso, si en la ecuación 6.1, 𝐹 llegase a representar la

magnitud de la fuerza neta y ella fuera cero, el trabajo neto sería cero y el objeto debería

estar moviéndose con rapidez constante.

Ejemplo 6.1.

Calcular el trabajo que realiza una fuerza de magnitud constante de 15 N, si el objeto se

traslada a la derecha una distancia de 6 m, como se muestra en la figura 6.1. Realizar el

cálculo, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y del desplazamiento son

respectivamente: 0°, 60°, 90°, 120°, 180°.

Solución:

Utilizando la ecuación 6.1, para cada caso se tiene:

𝑊𝐴𝐵 = (15N)(6m)𝑐𝑜𝑠0° = 90 J


𝑊𝐴𝐵 = (15N)(6m)𝑐𝑜𝑠60° = 45 J

𝑊𝐴𝐵 = (15N)(6m)𝑐𝑜𝑠90° = 0 J

𝑊𝐴𝐵 = (15N)(6m)𝑐𝑜𝑠120° = −45 J

𝑊𝐴𝐵 = (15N)(6m)𝑐𝑜𝑠120° = −90 J

La figura 6.1, puede representar las siguientes situaciones; a) Un trineo (bloque) que es

jalado con una fuerza (�⃗�) por unos perros, b) Un caballo que jala una carroza y c) un niño

que jala un juguete por medio de una cuerda o con su mano, entre otros. Todos se mueven

sobre una superficie horizontal, que puede o no presentar fricción. Si se completa el DCL

para el bloque (partícula, trineo, caballo, juguete) con otras interacciones, nótese como la

representación y la solución al problema sería idéntica. Por eso, en el ejemplo siguiente

cualquiera de dichas situaciones sería equivalente.

Ejemplo 6.2.

Sobre un bloque de masa m actúa una fuerza de magnitud 𝐹 que forma un ángulo 𝜃 con la

horizontal, como se muestra en la figura 6.1. La fuerza aplicada es tal que hace que el

bloque se desplace una distancia d sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de

fricción entre la superficie y el bloque es 𝜇𝑘, encontrar a) una expresión para el trabajo neto

hecho sobre el bloque y b) una expresión para la aceleración que adquiere el bloque. Si se

asume que: 𝐹 = 200 N, 𝑚 = 5 kg, 𝑑 = 10 m, 𝜇𝑘 = 0,5 𝑦 𝜃 = 37°, halle los valores

numéricos para el trabajo neto y la aceleración.

Solución:

a) Para calcular el trabajo neto sobre el bloque, es

necesario realizar el diagrama de cuerpo libre DCL

para dicho bloque, el cual se muestra en la figura

6.2. Puede observarse que las fuerzas que actúan

sobre el bloque son:

Fuerza normal �⃗⃗⃗�

Peso del bloque 𝑚�⃗�


Fuerza cinética de rozamiento 𝑓𝑘 Fig.6.2. DCL para el bloque del ejemplo 6.2

El trabajo neto 𝑊𝐴𝐵 sobre el bloque es por lo tanto, la suma de los trabajos individuales,

realizados por cada una de las fuerzas que actúan, así:


𝑊𝐴𝐵 = 𝑊𝑁 +𝑊𝑚𝑔 +𝑊𝐹 +𝑊𝑓𝑘

Como la fuerza normal y el peso son perpendiculares al desplazamiento su trabajo es cero.

Por tanto, queda solo el trabajo de la fuerza aplicada y la fuerza de fricción,

Trabajo de la fuerza aplicada: 𝑊𝐹 = 𝐹𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃

Trabajo de la fuerza de fricción: 𝑊𝑓𝑘 = 𝑓𝑘𝑑 = 𝜇𝑘𝑁𝑑 𝑊𝑓𝑘 = 𝜇𝑘(𝑚𝑔 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑

Trabajo de la fuerza neta: 𝑊𝐴𝐵 = 𝐹𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝜇𝑘(𝑚𝑔 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑑

𝑊𝐴𝐵 = [𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝜇𝑘𝑚𝑔]𝑑 (1)

De la sumatoria de fuerzas en el eje y se obtiene el hecho que: 𝑁 + 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑚𝑔 = 0 y de

ahí que la fuerza normal en magnitud sea: 𝑁 = 𝑚𝑔 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃, la cual se ha sustituido en el

cálculo del trabajo de la fuerza de fricción.

b) Para hallar la aceleración del bloque recurrimos a la ecuación de movimiento en el eje de

las x, la cual es: 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥, obteniéndose:

𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑓𝑘 = 𝑚𝑎 → 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇𝑘𝑁 = 𝑚𝑎 → 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇𝑘(𝑚𝑔 − 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑚𝑎

Despejando se tiene, que la expresión para la aceleración es:

𝑎 =𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃) − 𝜇𝑘𝑚𝑔

𝑚 (2)

Si se asumen los valores dados, se tiene que sustituyendo en la expresión (1), el valor del

trabajo neto es:

𝑊𝐴𝐵 = [200N(𝑐𝑜𝑠37° − 0,5𝑠𝑒𝑛37) + 0,5(5kg)(9,8 𝑚/𝑠2)](10m)

𝑊𝐴𝐵 = 755 J

Y sustituyendo en la expresión (2), el valor de la aceleración es:

𝑎 =200N(𝑐𝑜𝑠37° − 0,5𝑠𝑒𝑛37°) − 0,5(5kg)(9,8 m/s2)

5kg

𝑎 = 15,1 m/s2


6.1.2.Trabajo debido a una fuerza variable en el caso unidimensional

Para introducir el concepto del trabajo

debido a una fuerza variable, primero

observese como en la figura 6.3, se ha

representado graficamente el trabajo de una

fuerza constante 𝐹𝑥 en función de la

posición, como el área bajo la curva de

dicha gráfica(región sombreada).

El trabajo se corresponde con el área del

rectángulo, es decir el producto de la altura

(magnitud de la fuerza 𝐹𝑥) por la base

(magnitud del desplazamiento de la

partícula ∆𝑥) entre los puntos inicial 𝑥1 y

punto final 𝑥2.

Fig.6.3. Representación gráfica del trabajo de una

fuerza constante.

En distintas interacciones en la naturaleza, las fuerzas que actúan sobre los objetos son

función de la posición o de la distancia. Es el caso de un resorte, en donde la fuerza que

éste realiza sobre los objetos que se atan a él son proporcionales a lo que se estira o se

comprime, en muchas ocasiones obedeciendo a la ley de Hooke, como se analizó en el

capítulo 5 en la sección de fuerzas de contacto. Otro ejemplo, es el caso de un objeto que se

sumerge lentamente en un fluido (como el agua), en donde el empuje realizado por dicho

fluido sobre el objeto es función de la profundidad. Estos son tan solo dos ejemplos de

interacciones en donde las fuerzas que actúan resultan ser funcion de la posición.

Es posible aproximar una fuerza variable,

para el caso en que la magnitud de la

fuerza varie en una sola dimensión (por

ejemplo,en el eje x), por una serie de

fuerzas constantes, como se ve en la

figura 6.4.

Por tanto el trabajo realizado, por una

fuerza variable en el caso unidimensional,

puede calcularse, por el área bajo la curva

de 𝐹𝑥 en función de la posición x,

haciendo: Fig.6.4. Representación de una fuerza variable en una

dimensión.

𝑊𝐴𝐵 = lim∆𝑥𝑖→0

∑𝐹𝑥∆𝑥𝑖𝑖

(6.3)

x


Este proceso al límite en donde los rectángulos se hacen cada vez mas pequeños y por ende

se aproximan más a la curva, se convierte en el cálculo integral en lo que se conoce como la

integral de 𝐹𝑥𝑑𝑥. Así, el trabajo efectuado por una fuerza variable en magnitud 𝐹𝑥, que

actúa sobre una partícula cuando se desplaza desde la posición 𝑥𝐴 a 𝑥𝐵 es:

𝑊𝐴𝐵 = ∫ 𝐹𝑥𝑑𝑥𝑥𝐵

𝑥𝐴

(6.4)

En cualquier intervalo de desplazamiento ∆𝑥𝑖, la fuerza puede asumirse constante y por esta

razón, el trabajo realizado es igual al área del rectángulo de altura 𝐹𝑥 y anchura ∆𝑥𝑖. De esta

manera, el trabajo total es la suma de las áreas para todos los intervalos de desplazamiento.

Nota Conceptual

En el presente texto, el concepto de integral solo se asume como el concepto geométrico

del área bajo la curva y para el caso de la aplicación física de la noción de trabajo de fuerza

variable, como el area bajo la curva de la gráfica de la fuerza que cambia en magnitud y no

en dirección (caso unidimensional) en función de la posición. Las técnicas y demas

interpretaciones de la integral, al igual que la noción de trabajo de fuerza variable en el

caso general, están fuera del alcance de éste texto y por eso sólo se mira su interpretación

geométrica como concepto a una aplicación física.

Ejemplo 6.3.

Usando el concepto geométrico del trabajo (área bajo la curva) de una fuerza variable en

una dimensión y sabiendo que un sistema elástico (como el caso del resorte) obedece a la

ley de Hooke, encontrar una expresión para el trabajo realizado por dicho sistema elástico.

Utilice la expresión encontrada para calcular el trabajo realizado por un resorte cuando su

elongación es de 𝑥 = 0,25m a partir de su posición sin deformar, sabiendo que su constante

de elasticidad es 𝑘 = 300 N/m.

Solución

Si el sistema elástico, caso resorte, obedece a la Ley de Hooke, entonces la fuerza realizada

por éste cumple con la relación

𝑓𝑥 = −𝑘𝑥

Y por tanto su representación gráfica es una línea recta de pendiente negativa, como se



Siendo la fuerza ejercida por el resorte

una fuerza variable en magnitud, el

área del trapecio mostrada en la figura

6.5, corresponde al trabajo realizado

por el mismo entre la posición inicial

deformada 𝑥𝐴 y la posición final

deformada 𝑥𝐵.

Recordando, ver capítulo de

geometría, que el área de un trapecio

es: 𝐴 =(𝐵+𝑏)

2ℎ, siendo 𝐵: la base

mayor, 𝑏:la base menor y ℎ: la altura.

Para el caso de la figura 6.5 se tiene:

Fig.6.5. Sistema elástico que obedece a la Ley de Hooke.

Base mayor: 𝐵 = −𝑘𝑥𝐵

Base menor: 𝑏 = −𝑘𝑥𝐴

Altura: ℎ = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴

Por lo tanto, como el área es el trabajo realizado por el resorte, entonces:

𝑊𝐴𝐵 = (−𝑘𝑥𝐵 − 𝑘𝑥𝐵

2) (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴) → 𝑊𝐴𝐵 = −𝑘 (

𝑥𝐵 + 𝑥𝐵2

) (𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)

𝑊𝐴𝐵 = − 1

2𝑘(𝑥𝐵

2 − 𝑥𝐴2) (6.5)

La ecuación 6.5 da el trabajo realizado por el resorte cuando al comienzo y al final, dicho

resorte se encuentra en estado de deformación. Sin embargo, si se asume que en la

condición inicial el resorte esta sin deformar se tendría que 𝑥𝐴 = 0 y la deformación en

cualquier otra condición final sería 𝑥𝐵 = 𝑥. Con estas condiciones, la ecuación 6.5 se

convierte en:

𝑊𝐴𝐵 = − 1

2𝑘𝑥2 (6.6)

La ecuación 6.6, es una de las expresiones que con mucha frecuencia se utiliza para el

trabajo que realiza el resorte a partir de su posición sin deformar y a su vez muestra que

dicho trabajo es negativo, pues la fuerza que éste hace es contraria al desplazamiento.

Usando los valores dados en el enunciado y usando la ecuación 6.6 se tiene que:

𝑊𝐴𝐵 = − 1

2(300 N/m)(0,25 m)2

x


𝑊𝐴𝐵 = − 9,4 J

Ejemplo 6.4.

Un objeto es lanzado cerca a la superficie de la tierra de dos maneras distintas. Una es

imprimiéndole una rapidez inicial 𝑣0 hacia arriba que lo hace describir una trayectoria recta

(movimiento rectilíneo) y otra dándole una rapidez inicial 𝑣0 la cual forma un ángulo con la

horizontal (movimiento curvilíneo). Si para ambos casos el objeto parte del punto A y llega

al punto B subiendo una altura ℎ, medida desde el punto A como se muestra en la figura

6.6, ¿Cuál es el trabajo hecho por la fuerza gravitacional en las dos trayectorias?. No

considerar efectos resistivos del objeto con el aire.

Fig.6.6. Gráfica ejemplo 6.3

Solución:

Para los dos casos, como no existe fricción con el aire, la única fuerza que actúa es la

debida a la acción gravitacional como se muestra en la misma figura 6.6.

En el caso en que el objeto sube de manera vertical el trabajo realizado por la gravedad es

simplemente:

𝑊𝐴𝐵 = −𝑚𝑔(𝑦 − 𝑦0) (6.7)

y escrito un poco más simple:

𝑊𝐴𝐵 = −𝑚𝑔ℎ (6.8)

Es decir, que la expresión anterior se obtuvo aplicando la versión matemática, para el caso

del trabajo de una fuerza constante. El signo menos, es debido a que el peso (hacia abajo)

es contrario al desplazamiento (hacia arriba) y por ello el trabajo debido a la gravedad es

negativo.


Para resolver el caso en donde la

trayectoria es una parábola, el cálculo del

trabajo se hace basado en un análisis de

la gráfica presentada en la figura 6.7. Si

el objeto siguiera la trayectoria curva la

dirección de la fuerza gravitacional (peso

del objeto) forma en cada instante un

ángulo diferente con relación a la

dirección que toma el objeto en su

trayectoria, por lo tanto no se puede

aplicar el concepto del trabajo de fuerza

constante, así la fuerza sea constante.

Fig.6.7. Trabajo realizado por la gravedad

Por tanto, se debe usar el concepto del trabajo de una fuerza variable. Sin embargo, para no

tener que hacer modelos matemáticos del cálculo integral, se recurre a la interpretación del

concepto de integral. Sí el objeto siguiera la “trayectoria en forma de escalones” y estos

fueran tan pequeños como se quiera, entre más de ellos más nos acercamos a la curva y

cualquier calculo que se hiciera a lo largo de los “escalones”, es como si se hiciera a lo

largo de la curva.

De hecho, en la figura 6.7 se muestra la trayectoria 𝑎𝑏 en donde se nota que los

desplazamientos pequeños ∆�⃗� son perpendiculares a 𝑚�⃗� y por lo tanto en los trayectos

horizontales el trabajo debido a la gravedad son cero. En cambio en los trayectos como 𝑐𝑑

los desplazamientos pequeños ∆�⃗� son opuestos a 𝑚�⃗� y por ende en los trayectos verticales

los “pequeños trabajos” son equivalentes a −𝑚𝑔∆𝑦. Si ahora, se suman todas las

contribuciones verticales desde A hasta B, el trabajo total es:

𝑊𝐴𝐵 =∑(−𝑚𝑔∆𝑦)

𝐵

𝐴

= −𝑚𝑔∑∆𝑦 = −𝑚𝑔ℎ → 𝑊𝐴𝐵 = −𝑚𝑔ℎ

𝐵

𝐴

Nótese el resultado tan importante. Si se observa, el trabajo realizado por la gravedad en

ambas trayectorias es idéntico. Esto se puede generalizar diciendo: El trabajo realizado por

la fuerza gravitacional es independiente de la trayectoria seguida por el objeto.

La anterior conclusión es supremamente importante para entender los conceptos de unas

nuevas formas de energía, como son las energías potenciales y a comprender una de las

características que tienen las fuerzas conservativas, como se verá más adelante.


6.2. Teorema del trabajo y la energía

Una relación fundamental de la física tiene que ver con la manera en que se asocia el

trabajo hecho por la fuerza resultante o trabajo neto realizado sobre una partícula y la

velocidad que ésta posee en sus posiciones inicial y final de su trayectoria. Si �⃗� es la fuerza

neta que actúa sobre una partícula de masa constante, por la segunda ley de Newton se tiene

que: �⃗� = 𝑚�⃗�. Pero si la fuerza es constante, la aceleración también lo será y el movimiento

será rectilíneo y por tanto la ecuación de movimiento podría expresarse como: 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥.

Adicionalmente, el trabajo sobre un sistema físico hecho por la fuerza resultante, siendo

esta constante, puede escribirse como:

𝑊𝐴𝐵 = 𝐹∆𝑥 → 𝑊𝐴𝐵 = 𝑚𝑎𝑥∆𝑥

Para el caso en que una partícula o sistema se mueva con aceleración constante las

siguientes expresiones son válidas para dicho movimiento:

∆𝑥 = (𝑣+𝑣0

2) 𝑡 y 𝑎𝑥 =

𝑣−𝑣0

𝑡

Sustituyendo estas dos expresiones en la expresión del trabajo obtenida anteriormente, se

llega a:

𝑊𝐴𝐵 = 𝑚(𝑣 − 𝑣0𝑡

) (𝑣 + 𝑣02

) 𝑡

Realizando las respectivas operaciones algebraicas, se logra:

𝑊𝐴𝐵 =1

2𝑚(𝑣2 − 𝑣0

2) → 𝑊𝐴𝐵 =1

2𝑚𝑣2 −

1

2𝑚𝑣0

2

Si se define:

𝐾 = 1

2𝑚𝑣2 (6.9)

En donde 𝐾 recibe el nombre de Energía Cinética. Por su definición, la energía cinética es

aquella forma de energía que poseen todos los objetos en la naturaleza en virtud de su

movimiento y sus unidades son equivalentes a las del trabajo, es decir el julio (J).

Así, es que la expresión del trabajo neto se puede expresar como:

𝑊𝐴𝐵 = 𝐾 − 𝐾0 (6.10)


O simplemente,

𝑊𝐴𝐵 = ∆𝐾 (6.11)

El segundo término de la ecuación 6.11, no es más que la variación de energía cinética

experimentada por la partícula o sistema. La lectura que se debe hacer a la ecuación 6.11,

se le conoce como Teorema del trabajo y la energía, que se constituye en uno de los

principios fundamentales de la física: El trabajo hecho por la fuerza resultante (trabajo

neto) sobre una partícula o sistema físico es equivalente a la variación de energía cinética

que experimenta dicha partícula o sistema físico.

Aunque la deducción fue hecha para el caso del movimiento de traslación en donde el

trabajo neto es realizado por fuerzas constantes, también es válido para el caso de fuerzas

variables, movimientos rotacionales y trayectorias curvas. En otras palabras, si un objeto o

sistema en la naturaleza cambia su rapidez es gracias a que en sus interacciones una fuerza

neta ocasionó un cambio en la energía cinética de dicha partícula o sistema.

Ejemplo 6.4.

Para el caso del ejemplo 6.2, si el bloque parte del reposo, encontrar una expresión para la

rapidez final 𝑣 del objeto cuando pasa por el punto final, es decir cuando ha recorrido una

distancia d (10m).

Solución

Aplicando el teorema del trabajo y la energía se tiene que: 𝑊𝐴𝐵 = ∆𝐾 = 𝐾 − 𝐾0, pero

como la rapidez inicial es cero, entonces: 𝐾0 = 0 y la expresión se convierte en:

𝑊𝐴𝐵 =1

2𝑚𝑣2

Despejando la rapidez final se tiene que:

𝑣 = √2𝑊𝐴𝐵𝑚

Y sustituyendo la expresión obtenida de 𝑊𝐴𝐵 en el ejemplo 6.2, se llega a la expresión

general, así:


𝑣 = √2[𝐹(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝜇𝑘𝑠𝑒𝑛𝜃) + 𝜇𝑘𝑚𝑔]𝑑

𝑚

Reemplazando los valores obtenidos en el ejemplo 6.2, la rapidez final tendría un valor de:

𝑣 = √2(755 J)

5 kg → 𝑣 = 17,4 m/s

Ejemplo 6.5.

Determinar la rapidez con la que sale una bala después de atravesar una tabla de 0,08 m de

espesor y que opone una fuerza de resistencia de magnitud constante de valor 𝐹 = 2500 N.

La rapidez inicial de la bala es de 420 m/s y su masa es de 0,020 kg.

Solución

Primero se obtiene el trabajo realizado por las fuerzas resistivas internas que ayudan a

disminuir la rapidez inicial de la bala. El trabajo debido a la fuerza constante resistiva, se

calcula con la operación simple:

𝑊𝑓 = −𝐹𝑑

El trabajo es negativo porque la bala va perdiendo rapidez. En el intervalo de tiempo que la

bala atraviesa a la tabla, prácticamente la fuerza resultante sobre ésta es la de la fuerza

resistiva.

La variación de energía cinética de la bala es:

∆𝐾 =1

2𝑚𝑣2 −

1

2𝑚𝑣0

2 =1

2𝑚(𝑣2 − 𝑣0

2)

Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética, 𝑊𝐴𝐵 = ∆𝐾, se llega a:

−𝐹𝑑 =1

2𝑚(𝑣2 − 𝑣0

2)

Despejando la rapidez final 𝑣 se tiene:

𝑣 = √𝑣02 −

2𝐹𝑑

𝑚


Sustituyendo los valores dados, la rapidez de la bala al salir de la tabla es:

𝑣 = √(420 m/s)2 −2(2500 N)(0,08 m)

0,020 kg → 𝑣 = 395,5 m/s

Ejemplo 6.6.

Un sistema objeto-resorte se encuentra en reposo sobre un plan inclinado que forma un

ángulo 𝜃(37°) con la horizontal como se muestra en la figura adjunta. Entre el objeto y la

superficie inclinada no existe fricción y el objeto unido al resorte tiene una masa 𝑚.

Hallar una expresión algebraica para

la masa m que hace que la máxima

elongación del resorte sea 𝑥 (0,2 m)

sabiendo que la constante de

elasticidad es 𝑘( 500 N/m). Luego

obtenga un valor de 𝑚 con los

valores numéricos que aparecen

entre paréntesis de cada parámetro.

Solución

Observando el DCL que aparece en la

figura adyacente, se sabe que las fuerzas

que actúan sobre el bloque de masa m son:

Fuerza Normal �⃗⃗⃗�

Peso del objeto �⃗⃗⃗⃗� = 𝑚�⃗�

Fuerza ejercida por el resorte: 𝑓

El trabajo neto por lo tanto seria:

𝑊𝐴𝐵 = 𝑊𝑁 +𝑊𝑚𝑔 +𝑊𝑓

q

k

x

A

B


Calculando el trabajo realizado por cada una de las fuerzas y aplicando el teorema del

trabajo y la energía se tiene:

𝑊𝐴𝐵 = ∆𝐾 → 0 + (𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃)𝑥 −1

2𝑘𝑥2 = 0

Se puede observar que el trabajo de la normal es cero y que solo una componente del peso

produce trabajo el cual es positivo porque esa componente está en la misma dirección en

que desplaza el objeto. El trabajo hecho por el resorte es negativo y se usa la expresión

para el resorte en condición inicial sin deformar. Como el objeto parte del reposo en el

punto A y llega al reposo en el punto B en donde el resorte sufre su máxima elongación, no

existe variación de energía cinética.

Despejando m de la expresión anterior y simplificando los términos necesarios, se tiene

que:

𝑚 =𝑘𝑥

2𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃

Si se reemplazan los valores numéricos dados en el enunciado del problema, el valor de la

masa del objeto es:

𝑚 =(500 N/m)(0,2m)

2(9,8 m/s2)𝑠𝑒𝑛37° → 𝑚 = 8,5 kg

6.3. Energía potencial

El teorema del trabajo y la energía, nos mostró que el trabajo resultante realizado sobre una

partícula es numéricamente igual a la variación de su energía cinética. Pero a veces, es

necesario conocer el trabajo realizado por un sistema de dos o más partículas. En general, el

trabajo realizado por las fuerzas externas sobre un sistema no aumenta o disminuye su

energía cinética, sino que se almacena en forma de energía potencial, en otras palabras, es

una energía que es asociada a la configuración del sistema.


Imagínese el sistema de la figura 6.8,

conformado por un libro y la tierra, en

donde la interacción es puramente

gravitacional. Sobre el sistema se realiza

trabajo aplicando una fuerza externa �⃗� para

levantar lentamente el libro desde el reposo

en la posición 𝑦0 hasta la posición final 𝑦

en donde el libro de nuevo se mantiene en

reposo. Al objeto se le ha desplazado en

magnitud una cantidad ∆𝑦 = 𝑦 − 𝑦0 = ℎ,

como se ve en la figura.

Fig. 6.8. Energía potencial de un objeto

Sabiendo que el trabajo es una forma de trasferir energía al sistema y que no hubo una

variación de energía cinética del sistema, debe surgir como alguna otra forma de

almacenamiento de energía. Este hecho, muestra que después de levantar el libro, se le

podría soltar y dejar que cayera de vuelta a su posición inicial 𝑦0. Así, es de que el libro (y

por ende, el sistema) ahora adquiere energía cinética y su fuente de origen está en el trabajo

que se realizó al subir el libro. Es decir, que mientras el libro estaba en el punto más alto, la

energía del sistema logra obtener una energía que depende de la posición hasta la cual sube

el libro para luego convertirse en energía cinética, pero esto no sucede hasta que al libro se

le permita caer. Como resultado ese almacenamiento de energía antes que el libro se le deje

caer se le conoce como energía potencial gravitacional. De lo anterior, también se infiere

que la cantidad de energía potencial ganada o cedida en un sistema se establece mediante la

configuración del mismo. Desplazar los constituyentes de un sistema a diferentes

posiciones o el solo hecho de girarlos modifica su configuración y por lo tanto su energía

potencial.

Ahora, es fácil deducir una expresión para la energía potencial gravitacional, por el hecho

que basados en el ejemplo 6.4, el trabajo realizado por la fuerza gravitacional es según la

ecuación 6.7, 𝑊𝐴𝐵 = −𝑚𝑔ℎ. Esto implica que el agente externo debe hacer un trabajo

opuesto al realizado por la fuerza gravitacional y la energía potencial gravitacional

entonces es definida matemáticamente como:

𝑈𝑔 = 𝑚𝑔ℎ (6.12)

En términos de análisis dimensional, hay que observar que las unidades para la energía

potencial gravitacional son los julios, es decir las mismas unidades del trabajo y la energía

cinética y que de igual manera es una cantidad física escalar.


Al tener presente la definición de la energía potencial gravitacional, la ecuación 6.9 ahora

se puede rescribir como:

𝑊𝐴𝐵 = ∆𝑈𝑔 (6.13)

que desde el punto de vista matemático representa el hecho que el trabajo neto invertido en

el sistema en estas condiciones surge de un cambio en la energía potencial gravitacional del

sistema. Como se demostró en el ejemplo 6.4 el trabajo debido a la fuerza gravitacional es

independiente de la trayectoria y por similitud la energía potencial gravitacional solo

dependerá entonces de la altura vertical que el objeto suba o baje respecto a alguna

referencia.

Cuando se solucionan problemas que involucran objetos u objetos a los cuales se les debe

asociar energía potencial gravitacional, es necesario definir la referencia o referencias para

cada uno y en lo posible el valor se haga cero, es decir referencias en donde la altura sea

cero. La elección cuando se configuran las referencias es completamente arbitraria porque

lo importante es la diferencia en energía potencial. Es costumbre elegir la referencia para la

energía potencial gravitacional la superficie de la Tierra (recta horizontal o piso), pero esta

elección no siempre es la más acertada. Ordinariamente el enunciado del ejercicio sugiere

aplicar una referencia conveniente.

Se puede explorar ahora un segundo tipo

de energía potencial que puede tener un

sistema, como es el caso de un bloque y

un resorte que obedece a la ley de Hooke

y que se muestra en la figura 6.9 a). En el

ejemplo 6.3 se mostró que el trabajo

realizado por un resorte es:

𝑊𝐴𝐵 = − 1

2𝑘(𝑥𝐵

2 − 𝑥𝐴2)

Fig.6.9. Energía potencial elástica de un resorte

Y por tanto el trabajo realizado por una fuerza externa para comprimir al resorte se

convierte en una forma de energía, llamada energía potencial elástica que es igual al

trabajo realizado por el resorte pero de signo opuesto, es decir:

𝑈𝑒 = 1

2𝑘(𝑥𝐵

2 − 𝑥𝐴2) (6.14)

x

a)

b)

c)

m

m

m

= 0


Pero, si la condición inicial del resorte es que no se encuentra deformado (ver figura 6.8.b),

la expresión se convierte en:

𝑈𝑒 = 1

2𝑘𝑥2 (6.15)

Ese trabajo hecho sobre el resorte es lo que hace que éste gane esa nueva forma de energía,

de tal manera que cuando cesa la fuerza externa el resorte vuelve a su estado natural y el

objeto gana energía cinética, ver figura 6.9c).

La energía potencial elástica del sistema se puede asumir como la energía almacenada en el

resorte deformado, sea porque este comprimido o estirado a partir de su posición de

equilibrio). La energía potencial elástica que se acumula en un resorte es cero siempre que

no dicho resorte no este deformado (𝑥 = 0), en caso contrario siempre será positiva puesto

que dicha energía es proporcional al cuadrado de la deformación que tenga el resorte bajo

compresión o estiramiento.

6.4. Fuerzas conservativas y no conservativas

En el capítulo anterior se clasificaron las interacciones en la naturaleza en cuatro grandes

grupos y se dieron sus características básicas. No sería entonces necesario realizar otro tipo

de clasificación. Sin embargo, cuando se tocan temas relacionados con las nociones de

trabajo y energía, se acostumbra a clasificar las fuerzas de la naturaleza en fuerzas

conservativas y no conservativas cuyas características dependen de la forma en que estas

hacen trabajo sobre una partícula, las cuales se presentan a continuación.

Fuerzas conservativas

Las fuerzas conservativas cumplen con las dos condiciones siguientes:

I) El trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una partícula que se mueve

entre dos puntos cualesquiera es independiente de la trayectoria seguida por la

partícula.

II) El trabajo realizado por una fuerza conservativa en una partícula que se mueve a lo

largo de cualquier trayectoria cerrada es cero. Entiéndase como trayectoria cerrada

aquella en la que el punto inicial y el punto final son el mismo.

Revisando lo conceptualizado en los ejemplos 6.3 y 6.4 la fuerza que un resorte ideal ejerce

en cualquier objeto unido al resorte y la fuerza gravitacional son ejemplos de fuerzas


conservativas. Para el caso del sistema objeto-resorte el trabajo efectuado por la fuerza del

resorte es conservativa porque solo depende de las coordenadas 𝑥, inicial y final del objeto

y es cero cuando 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵, es decir cuando completa una trayectoria cerrada. De la misma

manera el trabajo hecho por la fuerza gravitacional a un objeto que se mueve a lo largo de

una trayectoria cualquiera es independiente de la trayectoria, puesto que solo depende de

las coordenadas verticales inicial 𝑦0 y final 𝑦 como se indica en la ecuación 6.7,

𝑊𝐴𝐵 = 𝑚𝑔(𝑦 − 𝑦0). Si el objeto parte del punto inicial A y sube hasta el punto B y regresa

de nuevo al punto A 𝑦 = 𝑦0 o ℎ = 0, el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional es

cero.

Fuerzas no conservativas

Una fuerza es no conservativa si no cumple las condiciones I y II de las fuerzas

conservativas. El ejemplo más sobresaliente de una fuerza no conservativa es la fuerza de

fricción. Un objeto que se desliza sobre una superficie horizontal que presenta fricción, a

medida que avanza va perdiendo rapidez hasta que se detiene. El trabajo que hace dicha

fuerza no permite que la energía cinética permanezca constante y parte de dicha energía se

transforma en calor transferido a las dos superficies que están en contacto.

Por lo general hacer el cálculo del trabajo de las fuerzas no conservativas, no es un proceso

sencillo y por ello se requieren de métodos matemáticos más sofisticados para demostrar o

no el carácter conservativo de las fuerzas.

6.5. Ley de Conservación de la Energía

Como se ha venido mencionando a lo largo del presente capítulo existen diferentes formas

de energía que dan razón de muchas explicaciones fenomenológicas de lo que vemos u

observamos en la naturaleza. Ya se han nombrado la energía cinética, la energía potencial

sea gravitacional o elástica, pero existen otras como la energía química, la energía

proveniente de las ondas, la energía electromagnética, la energía nuclear, las energía

renovables, entre muchas otras.

Pero siempre que se escoge un sistema para ser analizado, debido a sus interacciones con el

medio circundante o alrededores, se observan diferentes cambios en algunas de estas

formas de energía y sin embargo el sistema conserva en su totalidad una cantidad constante

de energía. Esta observación de comprobación experimental se conoce como ley de

conservación de la energía, siendo una de las más fundamentales e importantes leyes de

toda la ciencia. Es decir, que la energía ni se crea ni se destruye sólo se transforma de una

forma otra, permaneciendo constante para un sistema que se ha escogido para estudio.


En los siguientes apartados solo se explicitaran los cambios o transformaciones que tiene

una forma muy especial de energía, llamada energía mecánica.

Conservación de la Energía Mecánica

Dentro de las diferentes formas de energía, existe una que hace referencia de manera

simultánea al movimiento y a la configuración espacial de las partículas, es decir a la

energía cinética y a la energía potencial, llamada energía mecánica y que es dentada por la

letra E. En otras palabras, la energía mecánica es la suma de las energías cinética y

potencial de un sistema, que escrita matemáticamente es:

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 (6.16)

Donde K incluye la energía cinética de todos los objetos que se mueven en el sistema (por

ejemplo movimientos de traslación o rotación) y U incluye todas las formas de energía

potencial (gravitacional, elástica, entre otras) en el sistema.

Cuando la suma de la ecuación 6.16 permanece constante, se dice que la energía mecánica

se conserva y por lo tanto dicha expresión representa lo que en física se llama principio de

conservación de la energía mecánica. Si un sistema físico cumple con éste principio,

significa que sobre el sistema actúan solo fuerzas conservativas y que por ello la energía

mecánica total en cualquier sitio y en cualquier instante es la misma para cualquiera de los

estados en los que se encuentre o pase un sistema. De esta manera, si se escogen dos

estados particulares del sistema, se puede asegurar que la energía mecánica inicial 𝐸0 es

igual a la energía mecánica final 𝐸,

𝐸 = 𝐸0 (6.17)

O también.

𝐸 − 𝐸0 = 0 → ∆𝐸 = 0 (6.18)

Si se expande la expresión 6.17 se podría escribir de la siguiente manera:

𝐾 + 𝑈 = 𝐾0 + 𝑈0 (6.19)

Conservación de la energía cuando existen fuerzas no conservativas

En la sección anterior se estableció el principio de conservación de la energía mecánica, la

cual tiene validez si las fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas.


Establecer una ecuación que contemple el trabajo de las fuerzas no conservativas 𝑊𝑛𝑐, es

fácil en la medida en que se haga cumplir la ley de conservación de la energía.

Por tanto, para el caso en que en un sistema existan fuerzas no conservativas, además de la

energía mecánica, la ecuación que permite el balance energético es:

𝐸 − 𝐸0 = 𝑊𝑛𝑐 (6.20)

Que se puede escribir de otra manera, así:

∆𝐸 = 𝑊𝑛𝑐 (6.20)

Dentro del rango de las fuerzas que se pueden clasificar como no conservativas, pueden

aparecer algunas versiones de ellas, dependiendo del tipo de interacción. Pero cuando se

trabajan fenomenologías en el área de la mecánica, solo se tiene en cuenta las fuerzas de

fricción o rozamiento y estas son las únicas que se tendrán en cuenta en el resto de éste

capítulo como fuerzas no conservativas.

Notas Didácticas:

Procedimiento para resolver ejercicios usando Ley de Conservación de Energía.

Solucionar problemas por métodos energéticos es bastante sencillo, pero a la vez de

cuidado. Se requiere tener habilidad para escoger el punto inicial y final para realizar el

análisis de la conservación de la energía. Tenga en cuenta:

a) Cuando sólo existen fuerzas conservativas no hay que fijarse en la trayectoria y definir

bien las condiciones iniciales y asumir para las energías potenciales los referenciales

apropiados.

b) En el caso de existencia de fuerzas no conservativas, que por lo general es la fuerza de

fricción, hay que hacer el cálculo de la misma teniendo en cuenta la trayectoria, si está es

recta es probable no tener inconvenientes en la solución. Si la trayectoria es curva hay que

conceptualizar bien la fenomenología, poner condiciones al problema para poder realizar

el cálculo del trabajo de la fuerza de fricción o en su defecto usar métodos matemáticos

avanzados para obtenerlo ya que se convierte en el trabajo de una fuerza variable, lo que

no está al alcance del presente texto.

c) En general el método permite plantear una sola ecuación después de haber definido las

referencias de las energías potenciales y los puntos inicial y final para estudio. Si dentro de

la ecuación no aparece sino una sola incógnita, ¡listo¡ procesos algebraicos y despejar la

variable. De lo contrario hay que soportarse en las leyes del movimiento de Newton y sí el

movimiento tiene una componente radial o central, es inevitable en la mayoría de veces

(depende de la pregunta) plantear la ecuación de movimiento en el eje radial.


Ejemplo 6.6

Desde la base de un plano inclinado que

forma un ángulo 𝜃 con la horizontal, es

lanzado hacia arriba del mismo un bloque

de masa 𝑚 con una rapidez inicial 𝑣0, ver

figura 6.10. ¿Hasta qué altura sube el

bloque?, Si: a) No existe rozamiento entre

el bloque y la superficie y b) Existe

rozamiento entre las superficies y el

coeficiente de fricción cinético es 𝜇𝑘.

Fig. 6.10. Ejemplo 6.6

Solución

a) Para el caso en que no existe fricción se utiliza la ecuación 6.17, en donde la energía

mecánica se conserva es decir: 𝐸𝐵 = 𝐸𝐴. De acuerdo a la referencia la energía gravitacional

en A es cero y por el bloque detenerse en B la energía cinética en ese punto es cero. De esta

manera igualando las dos formas de energía, eliminando términos y despejando ℎ se

obtiene una expresión muy sencilla, así:

𝑚𝑔ℎ =1

2𝑚𝑣0

2 → ℎ =𝑣02

2𝑔

b) Para el caso en que existe fricción se utiliza la ecuación

6.20, en donde la energía se conserva, es decir:

𝐸𝐵 − 𝐸𝐴 = 𝑊𝑓𝑘

Para hacer el cálculo del trabajo de la fricción obsérvese el

DCL que se muestra en la figura adjunta y sabiendo que

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁, dicho trabajo sería:

𝑊𝑓𝑘 = −𝜇𝑘(𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑

Como d es la distancia que sube el objeto por el plano, usando trigonometría se obtiene que

𝑑 =ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃, obteniéndose:

𝑊𝑓𝑘 = −𝜇𝑘(𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃) (ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃) → 𝑊𝑓𝑘 = −𝜇𝑘𝑚𝑔ℎ𝑐𝑡𝑔𝜃

Ahora, sustituyendo esta expresión en la ecuación inicial se tiene:

𝑚𝑔ℎ −1

2𝑚𝑣0

2 = −𝜇𝑘𝑚𝑔ℎ𝑐𝑡𝑔𝜃

q

h

A

B

h = 0


Después de eliminar m y factorizar h se tiene:

ℎ =𝑣02

2𝑔(1 + 𝜇𝑘𝑐𝑡𝑔𝜃)

Obsérvese de la expresión anterior que, el término entre paréntesis del denominador es

adimensional y que cuando 𝜇𝑘 = 0, se coincide con la solución obtenida en el literal a). Se

puede comprobar fácilmente que las unidades de h resultan ser metros (m).

Ejemplo 6.7

Un partícula de masa m se suelta desde el punto A y desliza por una superficie curva en

forma de un cuarto de circunferencia de radio R, para luego seguirse moviendo a lo largo de

una superficie horizontal como se muestra en la figura 6.11, hasta detenerse en punto B

después de comprimir al resorte cuya constante elástica es k. Dicho resorte se encuentra sin

deformar a una distancia d de la base de la curva. Sabiendo que cuando el objeto toca el

resorte lo comprime una distancia máxima x, se pide encontrar una expresión para la masa

m en función de los demás parámetros sabiendo que: a) En ninguna parte de la trayectoria

existe fricción entre las superficies de contacto y b) En la superficie horizontal existe

fricción entre la partícula y dicha superficie, siendo 𝜇𝑘 el coeficiente de fricción cinético.

Si en la trayectoria curva se asume que existe una fuerza de rozamiento de magnitud

constante 𝑓𝑐, c) ¿Cuál es el trabajo hecho por la fricción a lo largo de dicha trayectoria

curva?.

Fig.6.11.Gráfica ejemplo 6.7

Solución

a) Cuando no existe fuerza de fricción entre las superficies, la energía mecánica se conserva

y por lo tanto igualando las energías en los puntos A y B se obtiene de forma directa la

expresión:

R

m

d x

k

RA

B

h = 0

x = 0


1

2𝑘𝑥2 = 𝑚𝑔𝑅

La ecuación anterior se ha obtenido sabiendo que la energía cinética de la partícula en A y

en B es cero. En A parte del reposo y en B la partícula llega al reposo comprimiendo al

máximo el resorte. En la figura 6.11, se muestra la referencia ℎ = 0 para la energía

potencial gravitacional y 𝑥 = 0 para la energía potencial elástica.

Despejando m de la ecuación obtenida anteriormente, se llega a:

𝑚 =𝑘𝑥2

2𝑔𝑅

b) Cuando la partícula se mueve horizontalmente y existe fricción entre las dos superficies,

para realizar el cálculo del trabajo de la fricción obsérvese los DCL que se muestran en la

figura de abajo. En el caso de la figura a) la partícula no ha hecho contacto con el resorte y

en la figura b), ya lo ha hecho. Nótese que en ambos caso sólo interesa lo que sucede con la

fricción para hacer el cálculo de la misma usando 𝑓𝑘 = 𝜇𝑘𝑁, en donde se observa que la

magnitud de la fuerza normal es: 𝑁 = 𝑚𝑔. Por ser la fuerza 𝑓 del resorte conservativa, no

se tiene en cuenta el trabajo que el resorte hace, sino la energía potencial elástica que él

almacena.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, el trabajo realizado por la fricción en la

superficie horizontal, incluyendo hasta la máxima compresión del resorte, es:

𝑊𝑓𝑘 = −𝜇𝑘𝑚𝑔(𝑑 + 𝑥)

Por lo tanto, aplicando la ley de conservación de la energía, se tiene:

1

2𝑘𝑥2 −𝑚𝑔𝑅 = −𝜇𝑘𝑚𝑔(𝑑 + 𝑥)

Agrupando términos y despejando m se tiene que:


𝑚 =𝑘𝑥2

2𝑔[𝑅 − 𝜇𝑘(𝑑 + 𝑥)]

Si 𝜇𝑘 = 0, se puede mostrar que se llega a la misma solución obtenida en la primera

pregunta.

Haciendo un análisis dimensional y teniendo en cuenta que las unidades en el SI son

respectivamente, 𝑘:N

m(𝑘𝑔/s2), 𝑔:m/s2 y que 𝑅, 𝑑, 𝑥 están en metros (m), se obtiene que

la masa 𝑚 viene dada en kg.

c) En el DCL mostrado en la figura adjunta se observa que en cada punto 𝑝 de la trayectoria

la fuerza de fricción 𝑓𝑐 cambia en dirección y por lo tanto el trabajo realizado por ésta se

debe calcular como la del trabajo de una fuerza variable.

Sin embargo como la magnitud de

dicha fuerza es constante y que en cada

punto tiene dirección opuesta a los

pequeños desplazamientos de arco ∆𝑆,

el “pequeño trabajo” se podría calcular

como: −𝑓𝑐∆𝑆.

De tal manera que el trabajo total

realizado por la fuerza de rozamiento se

podría calcular de la siguiente forma:

𝑊𝑓𝑘 =∑(−𝑓𝑐∆𝑆)

𝐶

𝐴

= −𝑓𝑐∑∆𝑆 = −𝑓𝑐 (𝜋𝑅

2) → 𝑊𝑓𝑘 = −

𝜋𝑅𝑓𝑐2

𝐶

𝐴

Obsérvese en la solución de esta pregunta, que no se han usado técnicas formales del

cálculo integral, para realizar el cálculo del trabajo de la fricción (fuerza variable), sino el

concepto de la misma. ¡Buen truco¡ o más bien, una buena conceptualización de la

fenomenología.

Ejemplo 6.8

Un carrito de masa m parte del reposo en el punto A desde una altura h y se mueve a lo

largo de una superficie curva (equivalente a una montaña rusa) que no presenta fricción,

como la mostrada en la figura 6.12. En el punto B hace contacto con la superficie, en cuyo

momento dicha curva tiene la forma de una circunferencia de radio R. a) Si ℎ = 7𝑅, hallar


la rapidez de la partícula en el punto B y b) La altura mínima h que hace que el carrito no se

desprenda en el punto B.

Fig.6.12.Gráfica ejemplo 6.8

a) Sabiendo que entre el carrito y la superficie curva no se presenta fricción, que la

referencia para la energía potencial gravitacional (ℎ = 0, ver gráfica 6.12), usando

conservación de energía entre los puntos A y B, se tiene en forma directa que:

𝑚𝑔(2𝑅) +1

2𝑚𝑣𝐵

2 = 𝑚𝑔ℎ

Pero como ℎ = 7𝑅, agrupando, simplificando y despejando 𝑣𝐵 se tiene:

2𝑚𝑔𝑅 +1

2𝑚𝑣𝐵

2 = 7𝑚𝑔𝑅 → 1

2𝑚𝑣𝐵

2 = 5𝑚𝑔𝑅 → 𝑣𝐵 = √10𝑔𝑅

b) Planteando de nuevo conservación de energía

entre A y B, se tiene:

2𝑚𝑔𝑅 +1

2𝑚𝑣𝐵

2 = 𝑚𝑔ℎ

La ecuación anterior tiene dos incógnitas, 𝑣𝐵 y ℎ.

Por tanto se requiere obtener otra ecuación, la cual se

obtiene de la ecuación de movimiento en el eje

radial. Del DCL del carrito en el punto B, ver figura

adyacente, se tiene:

𝑚𝑔 − 𝑁 = 𝑚𝑣𝐵2

𝑅

h

h = 0R

A

B


Para que el carrito por lo menos se mantenga sobre la curva en el punto B, es necesario que

la rapidez en ese punto sea mínima y eso sucede según la ecuación anterior cuando 𝑁 → 0,

de donde se despeja 𝑣𝐵2 , así: 𝑣𝐵

2 = 𝑔𝑅.

Por tanto, la primera expresión queda:

2𝑚𝑔𝑅 +1

2𝑚𝑔𝑅 = 𝑚𝑔ℎ𝑚𝑖𝑛

Se ha colocado ℎ𝑚𝑖𝑛 puesto que es la altura más pequeña que hace que en el punto B la

rapidez sea la mínima para que el carrito siga describiendo la trayectoria curva.

Simplificando y sumando términos semejantes, se tiene:

ℎ𝑚𝑖𝑛 =5

2𝑅

Nótese en los resultados a las dos preguntas propuestas, que la solución a las mismas son

independientes de la masa del carrito.

6.7. Potencia

La potencia se define como la rapidez con la cual se transfiere trabajo o energía a un

sistema. Dependiendo del tiempo en el cual se hace dicha transferencia la potencia puede

definírsele de dos maneras.

Potencia promedio

La rapidez con que se transfiere trabajo por una fuerza sobre una partícula o sistema, se

define matemáticamente así:

𝑃 =𝑊𝐴𝐵∆𝑡

(6.21)

La unidad en el SI de potencia es el vatio (W), que equivale al trabajo de 1 julio realizado

en 1 segundo, es decir: 1 W = 1 J/s.

Potencia Instantánea

La potencia instantánea se define como el límite de la potencia promedio cuando ∆𝑡 → 0,

es decir:


𝑃 = lim∆𝑡→0

𝑊𝐴𝐵∆𝑡

=𝑑𝑊𝐴𝐵𝑑𝑡

(6.22)

Ejemplo 6.9

Una grúa eleva una estructura metálica de 680 kg desde el piso hasta una altura de 6,5 m.

¿Cuál es la menor potencia suministrada por el motor de la grúa para elevar la estructura a

una rapidez constante de 0,2 m/s verticalmente hacia arriba?.

Solución:

La potencia promedio se calcula según la ecuación 6.16, sin embargo la expresión se puede

transformar así:

𝑃 =𝑊𝐴𝐵∆𝑡

=𝐹∆𝑥

∆𝑡= 𝐹𝑣

La menor potencia para elevar la estructura siempre debe ser a rapidez constante, por lo

tanto la sumatoria de fuerzas sobre la estructura debe ser cero. Así, la magnitud de la

tensión del cable que sostiene a la estructura debe ser numéricamente igual al peso de la

estructura, es decir 𝑇 = 𝑚𝑔. Pero a su vez la fuerza 𝐹 que tiene que transferir el motor es

igual a la magnitud de la tensión, 𝐹 = 𝑇 = 𝑚𝑔.

Por lo tanto la potencia será:

𝑃 = 𝑚𝑔𝑣

Sustituyendo los valores dados, se tiene:

𝑃 = (640 kg)(9,8 𝑚/𝑠2)(0,2 m/s) → 𝑃 = 1254 𝑊

Ejercicios

1. Ejercicio de contexto: Un objeto de masa m (25 kg) es halado partiendo del reposo sobre

una superficie con una fuerza horizontal de magnitud F (200 N) como se muestra en la

figura mostrada en la parte de abajo. Suponiendo que entre el objeto y la superficie existe

fuerza de fricción y que el coeficiente entre dichas superficies es µk (0,25), responda cada

una de las siguientes preguntas las cuales deben estar debidamente justificadas.

Pregunta 1

La aceleración del objeto en m/s2 es:

a) Mayor a 5

b) Menor a 5

c) Igual a 5

d) Cero

m


Pregunta 2

La rapidez en m/s del objeto al recorrer una

distancia de 1 m es:

a) Mayor a 4

b) Menor a 4

c) Igual a 4

d) Cero

Pregunta 3

La energía cinética en Julios (J) del

objeto cuando ha recorrido 2 m es:

a) Mayor a 250

b) Menor a 250

c) Igual a 250

d) Cero

2. Un objeto de 0,20 kg de masa cae de una altura de 3 m sobre un montón de arena. Si el

cuerpo penetra 0,05 m antes de detenerse, ¿Qué fuerza constante ejerció la arena sobre

dicho objeto?.

3. Una pelota de béisbol sale de la mano del lanzador con rapidez de 28 m/s. La masa de la

pelota es de 0,15 kg. Haga caso omiso de la resistencia del aire. ¿Cuánto trabajo efectúa el

lanzador sobre la bola?.

4. Una caja de 10 kg se mueve a 5 m/s sobre una superficie horizontal sin fricción choca

con un resorte ligero cuya constante de fuerza es de 6500 N/m. Determine la compresión

máxima del resorte.

5. Un cuerpo comienza a subir por un plano inclinado a 53o, con 120 J de energía cinética.

Si la distancia que recorre sobre el plano es de 5 m y el coeficiente de fricción cinético es

de 0,4. ¿Cuál es la masa del cuerpo?.

6. Un cuerpo de masa m (40 kg) de masa

cae por un plano inclinado sin rozamiento

que forma con la horizontal un ángulo de

𝜃(37°). ¿Cuál será su energía cinética luego

de recorrer una distancia d (18 m) sobre el

plano si partió del reposo? ¿Con qué

velocidad llega a la base del plano?.

7. En el dispositivo de la figura, el resorte

tiene una constante elástica 𝑘 (500 N/m) y el

coeficiente de rozamiento del objeto de masa

𝑚2(6 kg) con la superficie de la mesa es

𝜇𝑘(0,2 ). Si inicialmente el resorte se

encuentra sin alargar, calcula su alargamiento

máximo cuando se deja libre el objeto de

masa 𝑚1(5 kg).

h

d

m

q


8. Ejercicio de contexto: Un objeto de masa 2 kg que está atado a una cuerda de longitud

0,6 m y hace las veces de un péndulo simple, se deja caer desde la posición horizontal

(punto A, ver figura) para después de cierto tiempo pasar por la posición vertical (punto B).

Responda cada una de las siguientes preguntas las cuales deben estar debidamente

justificadas.

Pregunta 1

La aceleración centrípeta o radial en m/s2

del objeto en el punto B es:

a) Mayor a 25

b) Menor a 25

c) Igual a 25

d) Cero

Pregunta 2

La aceleración tangencial en m/s2 en el

punto A es:

a) Mayor a la aceleración

gravitacional

b) Menor a la aceleración

gravitacional

c) Igual a la aceleración gravitacional

d) Cero

Pregunta 3

La magnitud de la tensión en Newton (N) de

la cuerda en el punto B es:

a) Mayor a tres veces el peso del objeto

b) Menor a tres veces el peso del objeto

c) Igual a tres veces el peso del objeto

d) Cero

9. En la figura adjunta se muestra una Máquina

de Atwood. El sistema parte del reposo cuando el

objeto de masa 𝑚1 está a una altura ℎ del piso y el

objeto 𝑚2 apenas toca a ras dicho piso. Hallar la

rapidez con que llega el objeto 𝑚1 al piso,

sabiendo que la cuerda y la polea son ideales.

Resuelva el problema por dos métodos:

a) Usando ecuaciones de movimiento

basados en Leyes de Newton y

b) Usando Métodos de conservación de la

energía.

A

B

h


10. En el enunciado del ejemplo 6.7 y basado en la figura 6.11, asuma que en la superficie

curva no hay fricción entre la partícula y dicha superficie y que se tienen los valores de los

siguientes parámetros:

Rapidez inicial de la partícula en el punto A 𝑣0 = 5 m/s Rapidez final de la partícula en el punto B 𝑣 = 0,2 m/s Constante elástica del resorte: 𝑘 = 500 N/m Coeficiente de rozamiento entre la superficie horizontal y la partícula 𝜇𝑘 = 0,2 Masa de la partícula 𝑚 = 5 kg Distancia de la base de la curva a la posición sin deformar del resorte 𝑑 = 1,8 m Radio de la superficie curva 𝑅 = 0,2 m

a) ¿Cuál es la compresión del resorte en el punto B? (Sugerencia: se debe plantear una

ecuación cuadrática para hallar 𝑥 basado en el procedimiento del literal b del ejemplo 6.7) y

b) En caso de no existir solución real para x, es decir lo que se ha comprimido el resorte

cuando la partícula todavía se mueve, ¿cuál sería su explicación?.


1. Una barra rígida ligera (masa despreciable), de longitud L, tiene un objeto de masa m fija

en su extremo, formando un péndulo simple. Se invierte y se le suelta después.

(a) Cuál es la magnitud de la tensión T en la barra cuando el objeto ha girado un

ángulo de 2/3?.

(b) El mismo péndulo se coloca ahora en una posición horizontal y se le suelta

partiendo del reposo. ¿A qué ángulo respecto de la vertical será la magnitud de

la tensión en el punto de suspensión igual en magnitud al peso? .

2. Un objeto de peso W está suspendido de un resorte

vertical cuya constante elástica es k. El objeto se jala

hacia abajo una distancia x a partir de su posición de

equilibrio y luego se suelta. Muestre que la rapidez del

objeto cuando vuelve a pasar por la posición de equilibrio

viene dada por:

𝑣 = 𝑥√𝑘𝑔

𝑊


3. Una piedra está atada a un cordón de longitud R. Una persona la hace girar en un

circunferencia vertical. Suponga que la energía de la piedra permanece constante al

moverse en su trayectoria circunferencial. Demuestre que para que la cuerda siga tensa en

la parte más alta del círculo, la rapidez de la piedra en la parte más baja debe ser por lo

menos √5gR.


Capítulo 7 Medición, incertidumbre

y sus técnicas “Ciencia es creer en la ignorancia de los científicos”

Richard Feynman

La medición es un proceso de cuantificar nuestra experiencia y lo es de manera tan habitual

que parece pasar desapercibida. Sabemos nuestra altura, nuestra masa, la hora a la cual

hacemos alguna actividad en particular entre muchas otras cosas, en donde la medición se

hace presente. Sin embargo, podemos olvidar, que la medición está íntimamente ligada a la

experimentación científica y de hecho, con el perfeccionamiento de la medición, se

desarrolla el método experimental, que tanto incide en el desarrollo de nuestra sociedad.

Las mediciones constituyen por lo tanto, uno de los componentes esenciales de la

experimentación en física y las ciencias de la naturaleza. No se obtiene un nivel

satisfactorio de competencia en la experimentación sin un debido conocimiento de la

naturaleza de la medición y lo que significa analizar una serie de mediciones o toma de

datos.

Por eso en las siguientes líneas de texto, se pretende proporcionar una introducción al tema

de la medida y al proceso de medición, así como, a la experimentación en general. De la

misma manera, se desea mostrar las técnicas y métodos que generalmente son utilizados

para expresar una medida experimental con sus respectivas cifras significativas y su

correspondiente incertidumbre.

7.1. Cifras significativas

Toda medida es representada por un dato, el cual se corresponde con un determinado

número que a su vez debe ser expresado con un determinado número de cifras decimales.

Puede considerarse que las cifras significativas de un número son aquellas que poseen

significado real o contribuyen a dar alguna información. Las cifras no significativas surgen

como resultado de los cálculos y por lo general no tienen ningún significado. En general,

las cifras significativas de un número vienen determinadas por su incertidumbre o margen

de error y por tanto, son aquellas cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o

posición de la incertidumbre o error.


Si se considera que una medida de longitud arroja un valor de 1285,2341 cm con una

incertidumbre de 0,7 cm, la incertidumbre en la medición es por tanto del orden de las

décimas de centímetro. Es claro que todas las cifras del número que ocupan una posición

menor que las centésimas no aportan ninguna información. Por tanto, no tiene sentido

presentar la medida con un número cuya precisión es de las diezmilésimas de centímetro y

así, las cifras significativas en el número serán por tanto aquellas que ocupan el lugar de las

décimas, unidades, decenas, pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

Las cifras no significativas deben evitarse, pues por lo general generan confusión y en el

caso de los datos pueden convertirse en una fuente de error muy considerable. Es de ahí,

que a dichos números o datos hay que aplicarles la técnica del redondeo, que es un proceso

que consiste en la eliminación de cifras no significativas de un número.

El redondeo cumple generalmente con unas pequeñas reglas para su escritura. Así, si la

cifra:

Que se omite es menor que 5, simplemente se elimina.

Eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.

Eliminada es 5, se asume como última cifra el número par más próximo; o sea, si la

cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

Así por ejemplo, si se redondea 2,876 a tres cifras significativas, el resultado es 2,88, que es

el número que está más cerca del original que 2,87. En cambio si el número a redondear,

también a tres cifras, fuera 2,873, quedaría 2,87 que es más próximo al original que 2,88.

Para redondear 2,875, según la tercera regla, se debe dejar 2,88.

Como puede observarse en el ejemplo anterior, las dos primeras reglas son de sentido

común. La tercera es un acuerdo razonable porque, si se sigue continuamente, es como si la

mitad de las veces redondeamos por defecto y otras veces la mitad por exceso.

Aunque, cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen

por ceros. Por ejemplo, el número 4876 redondeado a una cifra significativa resulta 5000.

Para este caso suele preferirse la notación exponencial (preferiblemente en notación

científica, como se explicó en el capítulo 2), puesto que si escribimos 5000 puede no estar

claro si los ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir 5103 queda claro que

sólo la cifra 5 es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran se escribiría como

5,000103.


Cuando se hacen operaciones entre distintos números existen algunas reglas para las cifras

significativas, las cuales se enuncian a continuación.

Regla 1: Los resultados que se obtienen de medidas experimentales se expresan con sólo

una cifra dudosa, e indicando con ± la incertidumbre en la medida.

Regla 2: Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer

dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.

Regla 3: Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del

resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

Nota importante: Es de vital interés el caso de la diferencia de dos números. Considérese

que se tiene la siguiente resta 8,1248 – 8,1246 = 0,0002

Como puede observarse cada una de las cantidades tiene cinco cifras significativas y el

resultado posee tan solo una. Al realizar la diferencia, se han perdido cifras significativas.

Lo anterior, es demasiado importante tenerlo en cuenta cuando se realiza la operación con

equipos tecnológico como calculadoras o computadores en donde existan cifras que se

sumen y/o se resten. Por eso, se sugiere realizar primero las sumas y luego las diferencias

para que solo se pierda el menor número de cifras significativas posible.

Regla 4: Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del

resultado es igual al del factor con menos cifras.

7.2. Técnicas para expresar una medida y su incertidumbre

Como se explicitó en el capítulo 1, en física se requieren de cantidades o magnitudes para

dar explicación a las leyes y fenómenos. Algunas de esas cantidades pueden ser:

Densidad

Fuerza

Presión

Temperatura

Velocidad

Campo Magnético

Carga Eléctrica

entre muchas otras. Estas cantidades físicas requieren de una definición clara, y de un

método para medirlas. La medición, es por tanto una técnica por medio de la cual se asigna

un número a una cantidad física, a través de la comparación entre la cantidad considerada,

y otra de las mismas características que ha sido elegida como unidad de medida o, patrón.


En el presente texto, se asume que toda medida va seguida por la unidad, obligatoriamente

del sistema internacional de unidades.

Cuando se hace una medida en física o en una ciencia de la naturaleza, se debe tener gran

cuidado para no generar una perturbación en el sistema que está bajo observación. Así por

ejemplo, cuando se va a medir la temperatura de un objeto es necesario ponerlo en

contacto con el termómetro. Pero cuando por ejemplo, el objeto éste cerca de una fuente de

calor o radiación, existe un intercambio de energía entre el cuerpo, la fuente y el

termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que se

desea medir. Nótese en este caso, como el instrumento de medida afecta de manera directa

a la cantidad que se desea medir.

Existen diferentes métodos de medición cuando se realiza una práctica experimental. En el

laboratorio se suele clasificar los métodos de medición en tres tipos:

Método directo: En forma directa se compara la cantidad a medir con la unidad patrón.

Ejemplo: la medida de la masa de un objeto se realiza con una balanza. En este caso se

compara la masa que se quiere medir con una masa conocida.

Método de calibración: Usando dispositivos o equipos previamente calibrados.

Generalmente se establece, por calibración, una correspondencia entre una escala graduada

y un patrón de medida. Para comparar se mide la posición en la escala. Así por ejemplo: al

medir la temperatura de un objeto con un termómetro, se lee directamente en la escala

graduada del termómetro de tal manera que éste indica la temperatura del cuerpo que se

encuentra en contacto con él.

Cuando se usan sistemas de adquisición de datos didácticos o de alta tecnología la

calibración se puede hacer bajo software. Otros aspectos de estos sistemas en el capítulo

siguiente.

Método indirecto: el valor de la cantidad a medir se obtiene, mediante la medida de otras

cantidades, las cuales están en correspondencia con ella mediante una definición o una

teoría. Tal es el caso, de la densidad de un cuerpo que para “medirla”, se mide su masa y su

volumen y calculando matemáticamente la división entre estas dos cantidades.

Hay que tener en cuenta que toda toma de datos o la medida de una cantidad física se ve

afectada por algún grado de error experimental debido a las imperfecciones ineludibles del

instrumento de medida, o las limitaciones atribuidas a nuestros sentidos que son los que

deben de registrar la información.


Algunos de los errores obtenidos en la medición por diferentes medios, se pueden clasificar

en alguno de los siguientes tipos.

Errores de lectura por apreciación

Puede entenderse la apreciación de un instrumento como la menor medida que se puede

registrar con él, es decir el mínimo valor de una división de la escala de medición que tenga

dicho instrumento.

Las reglas graduadas, cintas métricas, escuadras de dibujo técnico tienen como apreciación

1 mm (la menor división es de 1 mm). Al medir con uno de estos instrumentos, el

experimentador puede visualizar con certeza hasta 1 mm. Por eso, al registrar una longitud

medida, tendría que hacerlo con una incertidumbre de fracciones de milímetro, que son las

longitudes que no logra apreciar con ese instrumento.

El error en la medida de una variable física debido a la apreciación del instrumento, es el

menor intervalo que el experimentador puede distinguir en la escala de ese instrumento, y

se denomina estimación de una lectura o error de apreciación del instrumento. En muchas

ocasiones, se toma como tamaño de este intervalo, la apreciación, de esta manera la

estimación o incertidumbre de apreciación, es calculada como:

±𝑎𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛

2 (7.1)

A manera de ejemplo, si se mide con una regla graduada una longitud L de 57 mm se debe

registrar una medida de:

57 ± 0,5 mm

Errores de lectura sistemáticos

Estos errores son ocasionados en la observación y son producidos por imperfecciones en

los instrumentos de medida o por deficiencia en el método experimental y los cuales

pueden ser constantes o cambiar en forma regular. Todo error sistemático, tiende a desviar

el valor de la medida en una sola dirección, es decir, dan valores siempre mayores o

siempre menores que el valor verdadero y son difíciles de excluir porque no se pueden

divisar por observaciones repetidas. Provienen principalmente de calibraciones erróneas o

de los defectos internos de los equipos de medición. Por ejemplo, si las escalas de un reloj,

cronómetro o de un sensor de tiempo son demasiado grandes o demasiado pequeñas, los


tiempos que se midan con ellos, tendrán sus valores numéricos mayores o menores que el

valor verdadero.

Otra causa de posibles errores sistemáticos, son los defectos usuales en el proceso de

medición, como por ejemplo, la tendencia del experimentador u observador al ubicarse mal

frente al instrumento (llamado error de paralaje), lo que ocasiona que siempre tome la

medida por exceso o por defecto.

Este tipo de errores se pueden minimizar, calibrando de manera muy precisa los

instrumentos de medición y corrigiendo debidamente el método empleado para medir cada

cantidad física.

Errores casuales

Son todos aquellos errores que se producen en una práctica experimental producidos por

efectos no controlados o desconocidos, siendo el propio experimentador la causa más

determinante. Por lo general, son cometidos por la limitada capacidad de discriminación de

visión del observador, al leer los datos y eventualmente, a la poca destreza al efectuar la

medida.

En los anteriores párrafos se pudo explicitar que toda medición tiene un grado de

incertidumbre o error y para ellos existen técnicas matemáticas y estadísticas para expresar

dichos márgenes de incertidumbre. En los párrafos siguientes se dan las ideas

fundamentales sobre la forma de realizar estos cálculos, siguiendo unos determinados

procedimientos y técnicas, que se van enumerando como ciertas reglas a tener en cuenta.

1.-Toda toma de datos, un resultado experimental o una medida realizada en una práctica de

laboratorio debe ir acompañada del valor estimado de la incertidumbre en la medida y con

las respectivas unidades utilizadas.

Si se mide con, una escuadra, una regla o una cinta métrica una cierta longitud y se ha

escrito, por ejemplo:

796±2 mm.

se entiende que la medida de dicha longitud está en alguna parte entre 794 mm y 798 mm,

lo cual no significa en realidad que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los


límites indicados, sino que exista una cierta probabilidad que dicho valor esté en ese

intervalo.

Para registrar los datos de las medidas, es necesario recordar las reglas de las cifras

significativas y redondeo explicadas en éste mismo capítulo.

2.- Los cálculos de las incertidumbres deben darse exclusivamente con una única cifra

significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la

segunda cifra 5 ó 0).

3.-La última cifra significativa en la medida de una magnitud física y su incertidumbre,

deben ser expresadas en las mismas unidades, deben relacionarse al mismo orden de

magnitud (decenas, unidades, décimas, centésimas, entre otras).

En el siguiente ejemplo, se muestra una tabla con algunas cantidades físicas que son

expresiones escritas de manera incorrecta o correcta y que muestran el uso de las reglas

vistas anteriormente.

Incorrectas por la regla 2 Incorrectas por la regla 3 Correctas

44569±1928 m 44569±2000 cm 42000±2000 m

23,463±0,165 cm 13±0,06 m 13,4±0,2 cm

145,20±4,10 mm 145,2±4 m 145±4 m

43,00±0,4 m 43,00±0,062 m 43,00±0,06 m

7.3. Cálculos de incertidumbre

No es posible que un experimentador que haga la misma medida varias veces obtenga el

mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las

condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, entre otras, sino también, por las

variaciones en las condiciones de observación del experimentador.

Si se desea determinar una cantidad física por medida directa, se deben realizan varias

medidas con el fin de corregir los errores aleatorios. Así, si los datos obtenidos de una

variable física x son x1, x2, ... xn se escoge como mejor estimación del valor verdadero, el

promedio �̅�, que viene dado por:

�̅� = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ 𝑥𝑛

𝑛=

∑ 𝑥𝑖𝑛1

𝑛 (7.2)


El promedio, se aproxima más al valor verdadero de la cantidad física en cuanto mayor sea

el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medición se van compensando

unos con otros. Sin embargo, en una práctica experimental cotidiana, no debe pasarse de un

cierto número de medidas, aunque se considera en general que es suficiente con 10, e

incluso podría serlo con 4 ó 5.

Hay momentos en que puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al

mismo resultado, lo cual sucede normalmente cuando la sensibilidad del método o de los

equipos usados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios. Esto

implicaría que el valor promedio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no

se obtendría nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del promedio, por lo

que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

Siguiendo la teoría de Gauss de los cálculos de incertidumbre (usualmente llamados,

cálculos de error), que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la

mejor estimación de la incertidumbre, la llamada incertidumbre cuadrática media definida

por:

∆𝑥 = √∑ (�̅� − 𝑥𝑖)2𝑛

1

𝑛(𝑛 − 1) (7.3)

El resultado del dato experimental de la variable medida x se expresa como:

𝑥 = �̅� ± ∆𝑥 y la unidad respectiva (7.4)

Al valor absoluto de la diferencia del valor promedio �̅� con cada uno de los valores

registrados o leídos 𝑥𝑖 , es decir los términos |�̅� − 𝑥𝑖| se les conoce como incertidumbre

absoluta (a veces llamado error absoluto) o desviaciones con relación al valor promedio.

A una expresión más reducida de la ecuación (7.3), como lo es:

∆𝑥 = √∑ (�̅�−𝑥𝑖)2𝑛

1

(𝑛−1) (7.5)

se le conoce en estadística como desviación estándar. Aunque es una variable importante,

su estudio se deja para cursos más avanzados de instrumentación y cuyo objetivo sea el uso

de técnicas y modelos tanto matemáticos, probabilísticos y estadísticos.


4.-La caracterización de la incertidumbre de un valor experimental con la incertidumbre

cuadrática media obtenida de n medidas directas consecutivas, solamente es válida en el

caso de que la incertidumbre cuadrática media sea mayor que la incertidumbre

instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la apreciación del instrumento de

medida.

Es bueno aclarar, que si se toma como caso extremo, que el registro de las n medidas ha

sido idéntico, la incertidumbre cuadrática media, de acuerdo con la ecuación 3 será cero,

pero eso no significa que la incertidumbre de la medida sea nula. Es más bien, que el error

instrumental es tan grande, que no permite diferenciar entre las distintas medidas, y por

tanto, el error instrumental será la incertidumbre de la medida.

Ejemplo 7.1

Se realiza una medida del espesor de una pieza sólida con un tornillo micrométrico o

Palmer cuya división o cifra significativa más pequeña es 0,01 mm, la lectura es 1,42 mm,

y esta lectura es igual (es decir que no se observan variaciones al medir en diferentes

instantes), se tomará 1,42 como el valor de la medida y 0,01 mm como su incertidumbre, de

tal manera que la medida se expresará así:

1,42 ± 0,01 mm

Ejemplo 7.2

Supóngase que se ha medido un determinado tiempo t de un objeto que cae desde cierta

altura fija. Al registrar cuatro veces el tiempo con un dispositivo que permite conocer hasta

las milésimas de segundo, los datos han sido: 0,472, 0,473, 0,475 y 0,469 s. De acuerdo a lo

expresado anteriormente, se tomará como valor verdadero el valor promedio:

𝑡̅ = 0,472 + 0,473 + 0,475 + 0,469

4= 0,472 s

La incertidumbre cuadrática media será:

∆𝑡 = √(0,472 − 0,472)2 + (0,472 − 0,473)2 + (0,472 − 0,475)2 + (0,472 − 0,469)2

4(3)= 0,001414 s

La incertidumbre se expresa con una sola cifra significativa, es decir t = 0.001 s. Pero la

incertidumbre cuadrática media en el redondeo coincide con la precisión del instrumento,


que es 0.001 s. Por lo tanto se puede tomar como incertidumbre en la medición cualquiera

de los datos, pues para el caso presente coinciden, es decir, la medida se expresaría como:

t = 0,472 ± 0,001 s

Ejemplo 7.3

Ahora considérese un ejemplo idéntico al anterior, pero en que los valores obtenidos para el

tiempo están más dispersos: 0,452, 0,481, 0,473 y 0,467 s. Se encuentra que el valor medio

es 0,468 (redondeado) y la incertidumbre cuadrática media es de t = 0,006 s (redondeada

a una cifra significativa). La incertidumbre cuadrática media es en este caso mayor que el

error instrumental, por lo que se debe asumir como la incertidumbre de la medida. Así, el

registro final de la medida debe ser:

t = 0,468 ± 0,006 s

Incertidumbre absoluta, Incertidumbre relativa e Incertidumbre Porcentual

Hasta ahora las incertidumbres que se han venido tomando son las absolutas. La

incertidumbre relativa (llamado en algunos caos error relativo) se define como el cociente

entre la incertidumbre absoluta y el valor promedio. Es decir:

𝑒𝑟 = ∆𝑥

�̅� (7.6)

donde �̅� se toma en valor absoluto, de forma que er es siempre positivo.

Al multiplicar la ecuación (7.6) por 100, se puede obtener la denominada incertidumbre

porcentual (error porcentual), o sea:

e(%) = ∆x

x̅∗ 100 (7.7)

el cual es un indicador de la precisión de la medida. Para efectos prácticos, es normal que la

medida directa o indirecta de una cantidad física con equipos tradicionales (generalmente

en su estructura tienen pocos dispositivos electrónicos), tenga una incertidumbre porcentual

del orden del uno por ciento o mayor.

Se puede verificar fácilmente, que las incertidumbres porcentuales en los ejemplos

realizados son respectivamente: 1) 0,70%, 2) 0,21% y 3) 1,28%.

Otra forma de usar la ecuación (7.7), es escribiéndola de la siguiente manera:


e(%) = |𝑉𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜−𝑉𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙|

𝑉𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜∗ 100 (7.8)

en donde se asume que el valor más preciso o verdadero es el teórico y el valor

experimental es un dato registrado o leído. Se utiliza bastante la ecuación (7.8) para

comparar las expresiones teóricas con las expresiones obtenidas experimentalmente del

análisis de gráficos (ver capítulo siguiente), con el fin de saber los márgenes de

incertidumbre entre los modelos experimentales y los modelos teóricos.

Para cada uno de los siguientes ejercicios planteados a continuación, emplear las reglas de

las cifras significativas y del cálculo de las incertidumbres de acuerdo a las reglas en la

toma de datos experimentales.

Ejercicios

1. En la siguiente tabla marque si es verdadero (V) o falso (F), si las expresiones

numéricas se corresponden con las reglas de las cifras significativas.

Expresión V F Expresión V F

569 ± 21 m 42000 ± 1000 m

541 ± 0,6 mA 27,00 ± 0,06 s

13,4 ± 0,2 V 145,2± 4 m

2. Al usar una cinta métrica para medir la longitud de un escritorio, el profesor de

física está seguro que es no menos de 132,4 cm y no mayor a 136,8 cm. Enuncie

estas medidas como un valor promedio ± incertidumbre. ¿Cuál es la incertidumbre

en la medición?.

3. Cuando se lee un voltímetro y un amperímetro que están conectados a un circuito de

corriente continua, sus lecturas están en ciertos intervalos. Para el voltímetro entre

2,4 V y 2,5 V y para el amperímetro entre 1,12 A y 1,14 A. Exprese cada medición

como un valor promedio ± incertidumbre.

4. Se usa un termómetro graduado en 0,25 grados Celsius para medir la temperatura de

aire exterior. Medida con una aproximación de 0,25 de grado, la temperatura

medida por un alumno el día de ayer fue de 17,4 ºC. El mismo alumno toma el día

de hoy la temperatura exterior y lee un valor de 17,8 ºC. El alumno asegura que su

cálculo estimado le dice que la incertidumbre relativa en la diferencia de

temperatura entre los dos días debe ser inferior a 0,14. ¿Estará en lo cierto?. Realice


los cálculos correspondientes para contradecir la estimación realizada por el

alumno.

5. Cinco alumnos de la licenciatura en Física al tomar la medida del ancho de un

paralelepípedo, usando un calibrador cuya precisión es de 0,01 mm, obtuvieron las

medidas: 2,52 cm, 2,54 cm, 2,57 cm, 2,55 cm y 2,54 cm, respectivamente. Un

ingeniero asegura que el porcentaje de error obtenido de esas mediciones, supera el

2%. ¿Tiene razón el Ingeniero?. Explique su respuesta, haciendo los respectivos

cálculos.

6. Unos estudiantes en su primer curso de prácticas experimentales de física,

realizaron una práctica de laboratorio en donde deseaban encontrar la relación entre

el periodo de oscilación (T) en segundos y la longitud de la cuerda (L) en metros, de

un péndulo simple. Un análisis gráfico arrojo que la relación era 𝑇 = 1.98 𝐿0,48

entre las dos variables, con un alto grado de correlación entre los datos originales y

la curva encontrada. Al revisar, la expresión teórica encontraron que la relación es:

𝑇 = 2𝜋√𝐿

𝑔 , siendo 𝑔 la aceleración de la gravedad. a) ¿Cuál es el valor de la

incertidumbre porcentual entre los exponentes de los modelos matemáticos, el

teórico y el experimental en relación a la variable L?, b) Si en la ciudad de Bogotá el

valor más preciso de 𝑔 es de 9,76 m/s2, ¿Cuál es el valor de la incertidumbre

porcentual entre el valor más preciso y el obtenido de la relación experimental?.


Capítulo 8

Nociones de Análisis gráfico

y estadístico de datos

"Mide lo que se pueda medir; y lo que no, hazlo medible."

Galileo Galilei

Teniendo en cuenta que las prácticas o experiencias de laboratorio en la enseñanza de la física

tienen un alto significado, en una primera parte de este capítulo se ilustrará la importancia que

ellas tienen en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la física.

En una segunda y en buena parte de éste capítulo se enfatiza en la importancia de

representar gráficamente los datos que se obtienen experimentalmente, lo que

cotidianamente se llama análisis gráfico. Primero se analizan relaciones lineales que se

obtienen al graficar directamente los valores experimentales y después se examinan los

cambios que pueden ocurrir cuando entre las variables se establecen relaciones potenciales

o exponenciales u otras que permiten obtener un proceso de linealización. Lo anterior

significa obtener como modelo la ecuación de una recta, con el fin de determinar los

parámetros que caracterizan a dicha recta para finalmente escribir la relación matemática

que cumplen los datos originales.

De otro lado, los análisis estadísticos permitirán en una tercera parte del capítulo acercarse

a la modelación de los datos obtenidos por medio de estructuras matemáticas más formales

que conllevan a las llamadas líneas de tendencia y al análisis de regresión y en las que se

hace necesario el uso del recurso tecnológico, como es el caso de las hojas electrónicas.

Si se desea ampliar un poco el alcance de la práctica experimental se pueden usar

herramientas de software de simulación, sistemas de adquisición de datos entre otros.

Terminando el capítulo se presentan algunas consideraciones al respecto de las prácticas

experimentales desarrolladas con esas herramientas.

Para reforzar e interiorizar los procesos vistos en el capítulo, al final se presentan unos

pocos ejercicios de aplicación a lo visto en el capítulo y se espera que se elaboren en su

totalidad. Lo anterior, con el fin de afianzar los conocimientos que dan una primera


aproximación bastante sólida a lo que es el análisis matemático, gráfico y estadístico de

datos tomados en una práctica de laboratorio.

8.1. Prácticas de laboratorio en la enseñanza de la física

La importancia que tienen las prácticas de laboratorio en la formación de los estudiantes,

los cuales toman espacios académicos o asignaturas que contienen tópicos de la física, se

evidencia generalmente por el hecho que ellas permiten a los alumnos: a) verificar las leyes

físicas, b) conocer la estructura metodológica que se utiliza en las investigaciones en esta

área y c) desarrollar habilidades en el proceso de medición de las magnitudes y uso

adecuado de la instrumentación. El manejo de los instrumentos y equipos propios de

laboratorio ayuda al desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos y los prepara para

adentrarse más ampliamente en las diferentes fenomenologías.

El quehacer en las prácticas de laboratorio y en especial las actividades que allí se

desarrollan constituyen un hecho que diferencia la enseñanza de las ciencias de otras áreas

del conocimiento. Aunque, se cree que la educación científica se queda incompleta cuando

no se ha obtenido alguna experiencia en el laboratorio, no es del todo cierto que el trabajo

experimental sea el remedio universal para conseguir los diferentes objetivos educativos en

la enseñanza de las ciencias naturales, en especial de la física.

Ahora bien, de la práctica experimental se pueden esperar muchas cosas, pero no existe una

aceptación generalizada sobre los objetivos del trabajo del laboratorio, ni sobre lo que

aporta concretamente a la educación científica. Desde algunas visiones, en especial la

constructivista, un papel transcendental de las prácticas de laboratorio es su capacidad de

suscitar cambios conceptuales en los alumnos, ya que estos les proporciona la oportunidad

de modificar sus concepciones erróneas, interpretaciones equívocas, por orientaciones hacia

lo científico de forma más coherente y estructurada sobre los fenómenos naturales.

Desde la experiencia del grupo de investigación física e informática (fisinfor), en diferentes

cursos impartidos, como los de Física y Matemáticas Básicas y Mecánica entre otros,

desarrollados para estudiantes de la Licenciatura en Física (Hurtado et al, 2006), se han

registrado algunos aspectos que se consideran esenciales desde una mirada pedagógica,

didáctica y educativa, que pueden aportar al trabajo elaborado en las prácticas de

laboratorio, como son:

“• El laboratorio es cualquier espacio físico en donde el(los) estudiante(s) y/o docente(s) se

reúnen a realizar, examinar e intentar proporcionar una descripción y explicación a las

diferentes fenomenologías objeto de estudio. Desde las discusiones y puestas en común, ese

espacio físico se transforma en un espacio académico de formación y desarrollo tanto para

estudiantes, como para los mismos docentes.


• El trabajo de “aula experimental” se constituye en una oportunidad de desarrollar nuevas

formas de razonar de manera sistemática, que en general se pueden transferir a otras

situaciones problémicas experimentales o cotidianas. Esto permitirá a los alumnos, en

algunos casos, confrontar sus errores conceptuales.

• La experimentación genera en los estudiantes una actitud positiva hacia la física y la

ciencia en general y hacia los procesos de investigación.

• Permite además contrastar modelos teóricos y/o simulados de diferentes fenomenologías,

ayudados o no con nuevas tecnologías.

• El trabajo en el laboratorio motiva a todos los involucrados en dicho proceso hacia el

manejo y manipulación de datos, en el presente soportado en la ayuda que prestan los

computadores, diferentes programas y hojas electrónicas.

• Ayuda también a desarrollar y comunicar diferentes valores tanto humanos como a la

naturaleza de la física misma.

• Permite diseñar y confrontar diferentes estrategias para solucionar los problemas objeto

de estudio.

• Posibilita la evaluación y valoración de las diferentes alternativas de trabajo propuestas y

exige argumentar y fundamentar las decisiones.

• Desde la perspectiva de las competencias, la experimentación se constituye en una

herramienta para desarrollar toda clase de habilidades y competencias, en particular

científicas, investigativas, para interpretar situaciones, establecer condiciones y plantear

hipótesis, competencias cognitivas, argumentativas, lingüísticas, de lectura, escritura,

comunicación, discursivas, de interrelaciones personales y socioafectivas”.

8.2. Análisis Gráfico

Los resultados y análisis de un experimento básico en física y en general en las ciencias

experimentales, están enmarcados en el análisis de las gráficas que se obtienen de los datos

de las medidas tomadas en dicho experimento y a su vez de las expresiones matemáticas

que de ellos se derivan. Todo esto conlleva a una serie de técnicas que permiten analizar las

gráficas y las funciones matemáticas que pueden dar razón de un modelo explicativo a la

fenomenología estudiada.

En el área de las ciencias experimentales, cada experimento proporciona una serie o

conjunto de datos que, que son de gran utilidad, en la medida que sean analizados para

obtener la información que se busca o la interpretación de los mismos. Por eso, los datos

numéricos que están entre sí relacionados se presentan de tal modo que cada par de estos


valores pueden tomarse como coordenadas de un punto y por lo tanto el resultado de unir

estos puntos mediante una curva, es lo que se conoce como la gráfica de los datos. En

general, se busca la relación matemática que los datos guardan entre sí Una vez que se ha

realizado un experimento y se tiene una tabla de datos, se puede hacer una gráfica con ellos,

la cual facilitará la interpretación de los resultados.

Elaboración de gráficas

En general las gráficas se construyen usando un sistema de ejes cartesianos. Se acostumbra

que el eje de las abscisas (eje x) represente a la variable independiente o la variable

controlada y en el eje de las ordenadas (eje y) la variable dependiente, aunque en algunos

casos se puede convenir lo contrario. Se hace referencia a la gráfica de distintas maneras,

como son los casos: y en función de x, y contra x, y versus x o y vs. x. Las cantidades que

representan los ejes se escriben, preferentemente, con símbolos seguidos de las unidades

(esto en física es supremamente importante) entre paréntesis.

Si las gráficas han de realizarse con métodos tradicionales, usando tableros, hojas de papel

especial (milimetrado, semilogarítmico, logarítmico u otro), las escalas se deben escoger de

modo que se utilice eficientemente el espacio destinado a la gráfica, y que permitan una

lectura fácil de los puntos experimentales; en lo posible, la mínima división de la escala

debe ser en números sencillos y que permitan incluir la mayoría de los datos obtenidos.

Estas técnicas, son muy importantes aplicarlas cuando se están buscando habilidades y

procesos de formación en los estudiantes que tan sólo empiezan sus cursos en ciencias

experimentales.1

La técnica de realización de la gráfica consiste en ubicar los puntos obtenidos de los datos

obtenidos experimentalmente, en un sistema cartesiano y en lo posible unirlos con una

curva suave (posible línea de tendencia) sin discontinuidades lo más elemental posible. Esta

curva en primera aproximación representa una predicción acerca de posibles valores de la

variable dependiente para valores intermedios de la variable independiente que no fueron

tomados experimentalmente o, de manera inversa, para predecir valores de la variable

independiente que corresponderían a valores de la variable dependiente. Esta predicción en

la gráfica, dentro del intervalo de valores medidos experimentalmente, se le conoce como

interpolación. Por otra parte, el proceso de prolongar la tendencia de la curva más allá de

los puntos experimentales, es decir, fuera del intervalo en que se realizó el experimento, se

llama extrapolación; es una suposición acerca del comportamiento del fenómeno

1 Nota Didáctica: El uso de herramientas tecnológicas, como lo son la hoja electrónica y software de análisis

estadístico o de simulación, se sugieren después de haber pasado por estos procesos de aprendizaje.


observado, sugerida por la tendencia de la curva hacia zonas antes o después del intervalo

de los datos tomados experimentalmente.

La representación gráfica de los puntos obtenidos con los datos experimentales es de suma

importancia porque con una sola mirada se puede tener rápidamente una visión clara sobre

la validez del experimento en la medida en que se observa:

a. La escala del intervalo seleccionado de la variable independiente.

b. El número tomado de puntos experimentales.

c. La forma en que se distribuyen los puntos experimentales y la magnitud de la

incertidumbre (error) experimental, si esta se ha de considerar dentro de la gráfica.

d. La necesidad de establecer criterios de interpolación.

e. Una aproximación a la curva de tendencia que siguen los puntos experimentales.

f. La posible relación entre las variables que rigen la fenomenología estudiada.

Con un análisis gráfico es posible establecer una comparación de los resultados

experimentales con las predicciones o marcos teóricos, si éstos existen. Adicionalmente,

una gráfica permite y facilita la interpretación de la información obtenida desde el

experimento y se puede usar para proponer conclusiones, replantear hipótesis cuando es

del caso. En lo posible, el docente siempre debe incitar y motivar a los estudiantes a

plantear sus hipótesis y luego del proceso de experimentación establecer una relación

matemática entre las variables que dan razón de la fenomenología y que provienen de datos

obtenidos. Un buen análisis gráfico, puede conllevar a que los alumnos desde sus inicios en

la actividad científica, sean capaces de estructurar y justificar los modelos matemáticos que

surgen de los datos obtenidos de la experimentación, para luego aplicarlos en su entorno

profesional.

A continuación, se explicarán una serie de técnicas que sirven para encontrar la función

matemática que relaciona los datos experimentales y por ende las variables o magnitudes

físicas que describen la fenomenología estudiada. Se analizan sólo los tres tipos de

relaciones matemáticas más comunes, por tratarse de las técnicas de análisis de

experimentación más básicas, como son: lineal, de potencia y exponencial. Para cada caso,

se asume un ejemplo una fenomenología específica que puede ser explicada desde la física

como mecanismo de ilustración de la técnica utilizada y para todos los casos se omite la

incertidumbre en los datos experimentales.


Relaciones lineales

Muchos fenómenos físicos pueden ser expresados mediante modelos que obedecen a un

gráfico cuya representación es una línea recta. Sin embargo, por tratarse de un primer

acercamiento a diferentes fenomenologías se tratarán algunas de las más conocidas en el

área de la mecánica y la termodinámica, siguiendo diferentes ejemplos.

Ejemplo 8.1

Práctica experimental de un Movimiento rectilíneo Uniforme

Supóngase que una práctica de laboratorio consiste en establecer la relación de una

“partícula”, como por ejemplo un móvil en un carril (Figura 8.1) o una burbuja de aire

dentro de un tubo de vidrio lleno de agua (Figura 8.2), que se mueve en línea recta con

rapidez constante v, es decir aquel movimiento en donde la distancia x recorrida es

proporcional al tiempo t transcurrido.2

Fig.8.1. Carril de aire Pasco3

Fig. 8.2. Burbuja de aire moviéndose en tubo de vidrio lleno con agua.

Asegurar que los valores x y t son proporcionales es equivalente a decir que los puntos (x, t)

están sobre una línea recta. Ahora bien, suponiendo que se haya obtenido que los datos

experimentales (x, t) se encuentren a lo largo de una línea recta, significa que hay que

encontrar la expresión analítica que los relaciona; es decir, la ecuación que satisfacen. En

otras palabras, es necesario determinar los valores de los parámetros m y b en la ecuación

general de una recta.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (8.1)

que para el caso en cuestión se convertiría en:

𝑥 = 𝑣𝑡 + 𝑥0 (8.2)

2 Esta es una condición teórica y será el análisis gráfico y el análisis de datos que determinará si endicho experimento se

cumple con dicha condición fenomenológica. 3 www.pasco.com

Soporte

Burbuja

Tubo de

vidrio

Aguax


En donde el parámetro m se le llama la pendiente de la recta (para el caso analizado la

rapidez v) y a 𝑏 se le llama la ordenada al origen o punto de corte con el eje y (es el valor de

la ordenada cuando t = 0, es decir 𝑥0) para el cado experimental. Si 𝑥0 = 0, entonces la

recta pasa por el origen. Si v = 0, entonces x no depende de t y la recta es paralela al eje de

las abscisas, lo que significaría que la partícula nunca cambio de posición, es decir estuvo

quieta. A partir de la expresión (8.2) es claro que 𝑥0 tiene las mismas unidades de x, es

decir metros (m), y que v tiene unidades de x entre unidades de t, es decir metros/segundo

(m/s).

Al trazar la recta de manera manual, se sugiere que pase por todos los puntos

experimentales, de no ser así, se traza la recta de tal manera que los datos tomados, estén

simétricamente distribuidos a lo largo de la recta tanto por arriba como por debajo de la

misma y tanto en la mitad derecha como en la mitad izquierda; ésta será la mejor recta que

se pueda “ajustar visualmente”.

Para encontrar el valor de 𝑥0 sólo se necesita leer de la gráfica el valor de la ordenada al

origen (cuando t = 0); es el punto (0, 𝑏) donde la recta (o su prolongación) se interseca con

el eje de las ordenadas.

Para encontrar el valor de la pendiente se utilizan los valores de las coordenadas de dos

puntos (𝑡1, 𝑥1) 𝑦 (𝑡2, 𝑥2) sobre la recta, no experimentales, tan separados como se pueda

para que no se afecte la precisión en la determinación de la pendiente, estas coordenadas se

sustituyen en la expresión analítica de la pendiente:

𝑣 =𝑥2−𝑥1

𝑡2−𝑡1 (8.3)

A continuación, en la tabla 8.1 se muestran los datos obtenidos al registrar el tiempo t en

segundos, empleado por la burbuja al recorrer diferentes distancias x en metros (ver figura

8.2) en el tubo de vidrio para un ángulo de inclinación constante.

Tabla 8.1 Posición de la burbuja en función del tiempo

𝑡(𝑠) 𝑥 (𝑚)

2,14 0,1

4,69 0,2

6,02 0,3

9,14 0,4

11,36 0,5

13,15 0,6


La recta correspondiente a los datos de la tabla 8.1 trazada de manera manual (escuadra o

regla y haciendo pasar la recta por la mayor cantidad de puntos) en papel milimetrado es la

mostrada en la figura 8.3 y como una gráfica de datos dispersos o gráfica de dispersión

(figura 8,4) elaborada en hoja electrónica Excel (La forma de obtener la gráfica y la

ecuación serán explicadas más adelante en la sección de análisis de regresión).

Para el caso de la gráfica obtenida en papel milimetrado, nótese que al tomar los puntos 𝑃1

y 𝑃2 y usar la ecuación (8.3) se obtiene que la rapidez de la burbuja de manera aproximada

es:

𝑣 =(0,550 − 0,275)m

(12 − 6)s= 0,046 m/s

y que el punto de corte está cercano a 𝑥0 = 0.005m. Puede observarse la similitud con la

ecuación obtenida por medios informáticos y que es mostrada en la figura 8.4.,

Fig.8.3. Gráfica en papel milimetrado, experimento Movimiento de la Burbuja


Fig.8.4. Gráfica en Excel, experimento Movimiento de la Burbuja

Proceso de linealización de curvas

Existen muchas prácticas de laboratorio (no siempre) en donde la intencionalidad es que

exista acuerdo entre la teoría y el experimento, es decir cuando la curva teórica coincide en

gran medida con la curva trazada a través de los puntos determinados experimentalmente.

En esos casos, el trazo de la curva teórica se simplifica si se efectúan los cambios de

variable necesarios para que sea una recta, pues ésta es fácilmente distinguible de cualquier

otra curva. La situación es muy simple cuando en la práctica experimental solamente se

miden los valores de dos variables que están relacionadas de forma sencilla. Considérese la

expresión general representada por:

𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 (8.4)

Si la teoría predice el valor del exponente, entonces un análisis gráfico puede usarse para

verificar dicha predicción. Haciendo el siguiente cambio de variables: X = xn y Y = y, con

lo que se obtiene:

𝑌 = 𝑎𝑋 (8.5)

la cual es la ecuación de una línea recta en las nuevas variables X y Y. La gráfica de Y vs.

X es una línea recta siempre y cuando la teoría describa adecuadamente al fenómeno, a

dicho proceso se le llama linealización. En otras palabras, dichas gráficas son posibles

solamente si el análisis teórico asegura qué se puede graficar.

x = 0,0444t + 0,0056

R² = 0,9928

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 2 4 6 8 10 12 14

x (m

)

t (s)

Posición vs. tiempo


Ejemplo 8.2

Oscilaciones de un Péndulo simple

Un sistema físico compuesto por una “partícula” que se suspende de un hilo ideal

(inextensible y de masa ligera) y luego se pone a oscilar, se le conoce como un péndulo

simple. La teoría establece que el período de oscilación T(s) está dado por:

𝑇 = 2𝜋√𝐿

𝑔 (8.6)

Donde, L(m) es la longitud del hilo y 𝑔 (m/s2) es la magnitud de la aceleración de la

gravedad. Cuando el experimento se realiza para determinar el valor de 𝑔, se usan

diferentes valores de L (que es la variable controlada) y se miden los correspondientes

valores de T, la gráfica es la curva de la figura 8.5. Si se grafica 𝑇𝑣𝑠√𝐿 se obtiene una recta

de pendiente 2𝜋

√𝑔, y la gráfica es la figura 8.6. Otro cambio de variables para obtener una

recta es graficar T2 vs. L, en donde la pendiente es

4𝜋2

𝑔 y la gráfica se representa en la figura

8.7. En ambos casos el valor de g se determina a partir del valor de la pendiente.

Fig.8.5. Periodo de oscilación de un péndulo simple en función de la longitud de la cuerda

Fig.8.6. Periodo de un péndulo simple en función de la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda

0,00

1,00

2,00

3,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00Per

iodo T

(s)

Longitud L(m)

T vs L

0,00

1,00

2,00

3,00

0,00 0,50 1,00 1,50

Per

iod

o T

(s)

Raíz cuadrada de la longitud L (m1/2)

T vs L


Fig.8.7. Cuadrado del Periodo de oscilación de un péndulo simple en función de la longitud de la cuerda

Las gráficas anteriores se han obtenido de la tabla 8.2, que se construyó asumiendo que

experimentalmente la longitud del péndulo oscila entre 0,20 m a 1,60 m (valores que se

pueden tomar en una práctica de laboratorio cotidiana) y que los correspondientes periodos

teóricos son los que aparecen en la columna dos.

Tabla 8.2. Datos Longitud, periodo y modificaciones de escala

L(m) T(s) √𝐿 (𝑚1/2) T2(s

2)

0,20 0,89 0,45 0,80

0,40 1,26 0,63 1,60

0,60 1,55 0,77 2,40

0,80 1,79 0,89 3,20

1,00 2,00 1,00 4,00

1,20 2,19 1,10 4,80

1,40 2,37 1,18 5,60

1,60 2,53 1,26 6,40

Ejemplo 8.3

Relación entre las variables de un Gas Ideal

Bajo ciertas condiciones específicas de presión 𝑝 (en unidades de pascal) y densidad baja

los gases reales se asemejan a un gas ideal y cuyo comportamiento se describe por medio

de la expresión algebraica:

𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝑇 (8.7)

o en forma equivalente como,

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (8.8)

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00P

erio

do

al

Cuad

rad

o 𝑇

2 (

𝑠2)

Longitud L(m)

𝑇2 𝑣𝑠 𝐿


En donde 𝑉 representa el volumen en m3, 𝑇 la temperatura en grados kelvin (𝐾), 𝑁 el

número de moléculas, 𝑘 la constante de Boltzmann en J/K, 𝑛 el número de moles y 𝑅 la

constante universal de los gases, en J/(K·mol). Suponiendo que en el laboratorio se pueden

controlar las variables de presión, volumen, temperatura y cantidad de gas, se quiere

encontrar las relaciones entre algunas de estas variables. Para ello se escoge la relación que

existiría solo entre la presión y el volumen, manteniendo los demás parámetros constantes.

Despejando 𝑝 de la ecuación (8,8) se tiene:

𝑝 =𝑛𝑅𝑇

𝑉 (8.9)

La cual se puede expresar de la forma:

𝑝 =𝑚

𝑉 (8.10)

Siendo m la constante equivalente a 𝑛𝑅𝑇.

La representación gráfica de la expresión (8.10) es la curva que se muestra en la figura 8.8

y la cual se le conoce con el nombre de hipérbola. Para la construcción de la misma, se ha

asumido que m tenga un valor de 1 para efectos prácticos y los valores de 𝑉 se han asumido

al azar entre 0,01 𝑚3 y hasta 1 𝑚3, como se muestra en la tabla 8.3.

Fig.8.8. Presión vs. volumen para un gas ideal

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20

Pre

sión p

(P

a)

Volumen V(m3)

p vs V


Tabla.8.3. Datos volumen, presión y sus modificaciones de escala

𝑉(𝑚3) 𝑝(𝑃𝑎) 𝑉−1(𝑚−3)

0,01 200,00 100,00

0,05 40,00 20,00

0,12 16,67 8,33

0,46 4,35 2,17

0,58 3,45 1,72

0,74 2,70 1,35

0,96 2,08 1,04

1,00 2,00 1,00

Ahora bien, si se grafica 𝑝 𝑣𝑠 𝑉−1, partiendo de la tabla 8.3, se obtendrá una recta que pasa

por el origen (ver figura 8.9) y cuya pendiente es m. Lo anterior se acostumbra a enunciar

diciendo que la presión del gas es inversamente proporcional al volumen que ocupa y que

por tanto el gas obedece a una de las leyes de los gases, conocida como Ley de Boyle.

Fig.8.9. Presión de un gas en función del inverso del volumen

Ejercicio Conceptual 1 ¿Qué datos pueden ser extrapolados de las funciones graficadas en las figuras 8.5, 8.8?. y

¿Qué interpretación se puede hacer de acuerdo a las fenomenologías analizadas?.

Ejercicio conceptual 2

¿Haciendo un análisis dimensional, qué unidades debe tener la constante m en la ecuación

8.10?.

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00

Pre

sión P

(P

a)

1/V (m-3)

p vs V -1


Relaciones de la forma: 𝒚 = 𝒂𝒙𝒏

En la sección anterior se pudo mostrar, bajo el proceso de linealización, cómo se puede

obtener la relación entre las dos variables que representan la curva que obedece a la

ecuación (8.4). Allí, se especificó claramente, que dicho procedimiento es aceptable cuando

existe una fundamentación teórica coherente en relación a la fenomenología estudiada y

que por ende desde un marco teórico ya establecido se conocen las expresiones analíticas

de las variables que son controladas en un experimento. Pero en general, con sólo ver la

curva no es fácil identificar una relación analítica entre las variables, excepto cuando es

evidente como en el caso de una relación lineal. La figura 8.10 muestra algunas

representaciones gráficas de varias curvas de la forma 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 en donde se ve claramente

que es difícil distinguir las que corresponden a las funciones cuyos exponentes son

cercanos entre sí, por ejemplo 2, 3,1

2,

1

3, −1 y − 2 entre otros.

Fig.8.10. representación de diferentes funciones de la forma: 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛

Ahora bien, la identificación de una posible curva que se ajuste a una determinada cantidad

de datos obtenidos experimentalmente, se puede complicar aún más cuando solamente se

observa un pedazo de curva. Aunque en algunas ocasiones se tiene una idea de qué tipo de

curva es, ya sea porque existe un modelo teórico que predice cierta curva o porque la

gráfica directa tiene cierto parecido con alguna conocida. Claro está, que si se hace algún

cambio de variable y se logra que la gráfica sea una recta, entonces se podrá identificar la

relación analítica correspondiente de manera sencilla, como se explicó en la sección

anterior.


Existe un mecanismo matemático muy importante para hacer que todas las curvas de la

figura 8.10 se conviertan en líneas rectas usando escalas logarítmicas. La deducción se

muestra a continuación.

Al calcular el logaritmo de ambos miembros en la expresión (8.4) se obtiene:

𝐿𝑜𝑔 𝑦 = 𝐿𝑜𝑔 𝑎 + 𝑛 log 𝑥 (8.11)

Si se asume que 𝑋 = 𝐿𝑜𝑔 𝑥, 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 y 𝑌 = 𝐿𝑜𝑔 𝑦, esta ecuación se convierte en,

𝑌 = 𝐴 + 𝑛𝑋 (8.12)

La expresión matemática dada por la ecuación (8.12), por analogía se corresponde a la

ecuación de una recta, ecuación (8.1), en las nuevas variables X y Y, con punto de corte A

en el origen igual a 𝐿𝑜𝑔 𝑎 (en escala logarítmica si 𝑥 = 1, 𝐿𝑜𝑔 1 = 0), y con pendiente

igual a n, es decir que, estos parámetros se obtienen directamente de la recta.

El proceso algebraico anterior significa que si, en vez de graficar los puntos (x, y) en

escalas lineales, se grafican los puntos (log x, log y) en escalas logarítmicas se obtiene una

recta. Una manera práctica de obtener la recta, es realizando la gráfica en papel log–log , el

cual es un papel especial que tiene escalas logarítmicas en los ejes horizontal y vertical. Las

gráficas de las funciones que cumplen con la ecuación (8.4) serán líneas rectas, y el valor

de la pendiente de esa recta y el valor de la ordenada al origen proporcionan los parámetros

necesarios para escribir la ecuación que satisfacen los datos.

Es importante mencionar las diferencias que se presentan al determinar la pendiente y la

ordenada al origen cuando las escalas son lineales o cuando son logarítmicas. Cuando se

calculan los logaritmos de todos los datos y se grafican usando escalas lineales en ambos

ejes, para determinar la pendiente se escogen dos puntos en la recta y se usa la expresión

dada por la ecuación (8.1).

En cambio, cuando se grafican los datos originales (sin calcular sus logaritmos) en escalas

logarítmicas en ambos ejes, para determinar la pendiente es necesario calcular los

logaritmos de los dos puntos escogidos sobre la recta y usar la fórmula siguiente:

𝑛 =𝑙𝑜𝑔 𝑦2−𝑙𝑜𝑔 𝑦1

𝑙𝑜𝑔𝑥2−𝑙𝑜𝑔𝑥1 (8.13)


¿Cómo graficar en papel log- log?.

El procedimiento para graficar consiste en tener en cuenta que a partir de la intersección de

los ejes coordenados, origen en (1, 1), cada década es mayor que la anterior por un factor de

10. Así, la primera década simboliza los logaritmos de los números del 1 al 10, la segunda

constituye a los logaritmos del 10 al 100 y así sucesivamente; la primera década a la

izquierda del origen representa los logaritmos de los números del 1 al 0.1, la siguiente

década a la izquierda representa a los logaritmos de los números del 0.1 al 0.01 y así

secuencialmente. Por ejemplo, para graficar el logaritmo de 4 en uno de los ejes, en la

primera década se escoge el 4; la posición del logaritmo de 40 seria en el 4 de la década

siguiente; la posición del logaritmo de 0.4 seria en el 4 de la primera década a la izquierda

del origen.

En la figura 8.11 se muestra la representación gráfica de la función 𝑦 = 3√𝑥 en papel

logarítmico, como un ejemplo de una función conocida y como procedimiento para que el

estudiante afiance y consolide la técnica de la obtención de la ecuación de una curva de la

forma dada en la ecuación (8.4) a través del proceso de linealización usando papel log-log

(Escala logarítmica por cada eje). La tabulación de la función graficada no se muestra aquí,

con el fin que el estudiante la realice y pueda practicar el uso de la herramienta.

Fig.8.11. Gráfica en papel logarítmico de la función: 𝑦 = 3√𝑥


Truco Importantísimo: Si se hace el trazado de la recta con los datos originales en el

papel log–log, existe una forma muy interesante de obtener n. Se construye un triángulo

(como el mostrado en la figura 8.11) del tamaño que se desee, sin importar si son o no datos

obtenidos experimentalmente, y se realiza la división de las medidas tomadas en

centímetros con una regla o escuadra de los catetos de dicho triángulo (tangente de la

recta), es decir:

𝑛 =∆𝑦

∆𝑥 (8.14)

Para obtener la información requerida de la curva original, en la figura 8.11, las

coordenadas de los dos puntos son respectivamente 𝑃1(4,6) y 𝑃2(25,15) y usando la

ecuación 8.13 el valor de la pendiente es:

𝑛 =log 15 − log 6

𝑙𝑜𝑔25 − 𝑙𝑜𝑔4=

0,3979

0,7959≈ 0.5 → 𝑛 = 0.5

En la misma figura 8.11se observa que 𝑛 se puede encontrar usando la relación 8.14, es

decir:

𝑛 =∆𝑦

∆𝑥=

3,4

6,8= 0.5 → 𝑛 = 0.5

También en la figura 8.11, para hallar el punto de corte simplemente se observa que cuando

𝑋 = 1, 𝑌 = 3.

Con los parámetros obtenidos de la gráfica en papel log-log, es decir que con: 𝑎 = 3 (punto

de corte) y 𝑛 = 0,5 (pendiente), se puede determinar que la curva 𝑦 = 3√𝑥 es una recta en

dicho papel.

¡Compruébelo usted mismo¡. Haga la gráfica mostrada en la figura 8.11 y calcule la

pendiente de la recta usando las ecuaciones 8.13 y 8.14 con cualesquiera dos puntos y

verifique que el valor numérico es idéntico. ¿Puede dar una explicación a ello?.

Nota didáctica: Linealización en papel Logarítmico

La técnica de linealización de curvas usando papel log-log, le permitirá al alumno con un

alto grado de seguridad representar datos obtenidos experimentalmente y establecer de

manera rápida el modelo matemático que rige el comportamiento de los datos, siempre y

cuando el ajuste de la curva obedezca a la expresión: 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛. Esta “técnica manual o de

a pie” (lápiz y papel) es indispensable en la formación de los alumnos y conlleva a mejores

aprendizajes en los análisis de experimentos, ya que con ella se logran mostrar habilidades

y competencias obtenidas en el proceso, por parte de los mismos estudiantes.


8.3. Salto tecnológico en el análisis gráfico

Cuando no se quiere usar papel log–log se puede proceder a realizar las gráficas usando

herramientas tecnológicas y así dar uso a las TIC en la enseñanza de la física. Sin embargo,

como se digo anteriormente es bueno pasar por los procesos de lápiz y papel para

consolidar mejores aprendizajes en el análisis experimental.

Si se dispone de una computadora que posea hojas electrónicas (Excel, open office) por

ejemplo) o software de matemática (Mathcad, Matlab, Mathematica, Máxima, entre otros)

que tenga soporte gráfico, se pueden hacer las representaciones de manera más rápida y

ágil. En estas hojas o programas se pueden hacer las gráficas de los datos originales para

ver la tendencia de la curva y luego se cambian las escalas lineales a escalas logarítmicas u

otras y obtener desde allí las ecuaciones de las curvas o líneas de tendencia. Así por

ejemplo, la figura 8.12 a) muestra la curva 𝑦 = 3𝑥2 en escala lineal y la figura 8.12 b) en

escalas logarítmicas, obtenidas con Excel (se utilizó esta hoja electrónica, por ser un

programa de uso cotidiano). Este ejemplo se hace a manera de “adiestramiento” en la

manipulación de herramientas tecnológicas sin contar con fenomenologías explicadas desde

la física.

a) Escala Decimal

b) Escala Logarítmica

Fig.8.12. Representación de la función 𝑦 = 3𝑥2 en la hoja electrónica Excel

Para retomar un aplicación desde la física misma, se recurre a realizar las gráficas en Excel,

ver figuras 8.13 a) y b), del ejemplo 8.2 (péndulo simple) y del ejemplo 8.3 (gas ideal) con

los datos originales tomados de la tablas 8.2 y 8.3, en escalas logarítmicas.

Fig. 8.13 a). Periodo vs. Longitud para un péndulo

simple, en escalas logarítmicas

Fig.8.13 b). Presión vs. volumen para un gas ideal en

escalas logarítmicas.

y = 3x2

0

500

1000

1500

2000

0 10 20 30

y

x

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

0,1 1 10 100

log y

log x

0,10

1,00

10,00

0,10 1,00 10,00

Per

iodo

T

Longitud L

1,00

10,00

100,00

1000,00

0,01 0,10 1,00

Pre

sión P

Volumen V


8.4. Análisis de regresión y líneas de tendencia

El análisis de regresión es una técnica estadística muy utilizada para estudiar la relación

entre variables y se adapta a una gran cantidad de situaciones. Por ejemplo, en física se

utiliza para caracterizar la relación entre distintas variables que caracterizan un fenómeno o

para calibrar medidas. Dependiendo del modelo matemático que más se aproxima a los

datos se le puede denominar regresión: lineal, potencial, polinómica, logarítmica o

exponencial entre otras y la gráfica obtenida del modelo matemático corresponde a la curva

ajustada a los mismos datos. En algunos programas (como es el caso de las hojas

electrónicas o software de cálculo), a la técnica se le conoce como análisis de líneas de

tendencia.

Regresión Lineal

En este apartado, se describe el procedimiento de ajuste de los datos experimentales a una

línea recta denominado regresión lineal, que se usa frecuentemente para el análisis de datos

de las prácticas realizadas en el laboratorio en varias situaciones, como es el caso de: a)

cálculo de la rapidez en una experiencia de movimiento rectilíneo y b) Conseguir la

constante elástica de un resorte, entre muchas otras opciones.

Retomemos, el ejemplo 8.1 (movimiento rectilíneo uniforme), en donde se han registrado

los datos de la posición de una burbuja en función del tiempo y en el que se espera que la

relación entre la posición de la burbuja y el tiempo sea lineal, es decir, 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑡. Donde

𝑥0 (b para el caso tradicional de la ecuación de una recta) es la posición del móvil en el

instante 𝑡 = 0.

Ahora bien, si se considera que se han tomado 𝑛 medidas de la posición de un objeto en

función del tiempo (burbuja del ejemplo 8.1), el aspecto de la representación gráfica de las

medidas puede ser parecido al de la figura 8.14, en donde con el símbolo + se representan

los datos experimentales. La relación entre las ordenadas 𝑥 y las abscisas 𝑡 de dichos

puntos es solamente aproximada, debido a los errores de cada una de las medidas.

Fig.8.14. Posible representación de la posición vs tiempo para el movimiento rectilíneo de un objeto.

x (m

)

t (s)

Posición vs tiempo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/practica/practica.htm#Descripci%C3%B3n


Si se repite el hecho de tomar únicamente dos puntos para definir la pendiente de la recta y

visualizar el punto de corte, como se hizo de manera manual en el ejemplo 8.1, el resultado

posee un gran margen de incertidumbre o error. Para una mejor estimación de la recta y por

tanto, de las magnitudes investigadas, se deberán utilizar las 𝑛 medidas tomadas.

Para generalizar el hecho anterior, se supone una magnitud física y de la cual se han

obtenido 𝑦𝑖 datos que dependen de otra variable 𝑥 de la cual se han registrados 𝑥𝑖 datos,

mediante la función 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, es decir la línea que mejor se ajusta a los datos es llamada

recta de regresión, como se observa en la figura 8.15.

Existen diferentes procedimientos para obtener una función simple que se ajuste a los datos

registrados y en cada uno de los casos se intenta minimizar una medida diferente del grado

de ajuste. Sin embargo, la elección utilizada comúnmente es la recta que hace mínima la

suma de los cuadrados de las distancias verticales entre cada punto y la recta (representada

por el símbolo ∆ en la figura 8.15), procedimiento llamado método de los mínimos

cuadrados. Lo anterior significa que, de todas las posibles rectas existe una y sólo una que

consigue que las distancias verticales entre cada punto y la recta sean mínimas. El hecho

que esas distancias se eleven al cuadrado es porque, al ser unas positivas y otras negativas

se podrían presentar casos en que se anularan unas con otras al ser sumadas.

Fig 8.15. Recta de mínimos cuadrados

El valor de a (pendiente de la recta) y b (punto de corte con la ordenada) se obtienen,

utilizando el método de mínimos cuadrados, de la siguiente manera:4

𝑎 =𝑛 ∑ 𝑥𝑖

𝑛1 𝑦𝑖 − (∑ 𝑥𝑖

𝑛1 )(∑ 𝑦𝑖

𝑛1 )

𝑛 ∑ 𝑥𝑖2𝑛

1 − (∑ 𝑥𝑖𝑛1 )2

(8.15)

4 La demostración de las expresiones para a y b están fuera del alcance del presente texto y lo que se desea es explicitar el

método de los mínimos cuadrados.

Diagrama de dispersión y recta de regresión

+ +

++++

+

+


𝑏 =(∑ 𝑥𝑖

2𝑛1 )(∑ 𝑦𝑖

𝑛1 ) − (∑ 𝑥𝑖

𝑛1 )(∑ 𝑥𝑖

𝑛1 𝑦𝑖)


1 − (∑ 𝑥𝑖𝑛1 )2

(8.16)

Ahora bien, aunque siempre resulta posible, sin importar cuales sea el gráfico de dispersión

de los datos tomados obtener la línea de regresión, se necesita información adicional para

determinar el grado de confiabilidad con que esa recta describe la relación existente en los

datos.

La forma de cuantificar ese mejor o peor ajuste de la recta se hace utilizando una medida de

ajuste que ha recibido una gran aceptación en el análisis de regresión, como lo es el

coeficiente de determinación 𝑅2, que no es más que el cuadrado del coeficiente de

correlación 𝑟 y que de alguna manera asegura la bondad de ajuste. Se trata de una medida

estandarizada cuyos valores oscilan entre 0 y 1 (0 cuando las variables son independientes

unas de otras de manera lineal y 1 cuando entre ellas existe una relación perfecta). Este

coeficiente, posee una interpretación muy intuitiva, porque representa el grado de

efectividad que podemos obtener al predecir una variable basándose en el conocimiento de

otra u otras variables. Si por ejemplo, se desea predecir o pronosticar la posición de la

burbuja para un cierto valor de tiempo, se estaría con alto grado de certidumbre que así

sucederá.

El valor de 𝑟 se puede obtener de la expresión5:

𝑟 =𝑛(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛1 ) − (∑ 𝑥𝑖

𝑛1 )(∑ 𝑦𝑖

𝑛1 )

(√𝑛 ∑ 𝑥𝑖2𝑛

1 − (∑ 𝑥𝑖𝑛1 )2) (√𝑛 ∑ 𝑦𝑖

2𝑛1 − (∑ 𝑦𝑖

𝑛1 )2)

(8.17)

Para mostrar la aplicación directa de las expresiones 8.15, 8.16 y 8.17, se usarán los datos

de la tabla 8.1 y con ellos se construye la tabla 8.4.

Tabla 8.4. Datos proceso de Regresión Lineal

t(s) x(m)

n 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑥𝑖

2 𝑦𝑖2 𝑥𝑖𝑦𝑖

1 2,14 0,10 4,58 0,01 0,21

2 4,69 0,20 22,00 0,04 0,94

3 6,02 0,30 36,24 0,09 1,81

4 9,14 0,40 83,54 0,16 3,66

5 11,36 0,50 129,05 0,25 5,68

6 13,15 0,60 172,92 0,36 7,89

∑ 𝑥𝑖 = 46,50 ∑ 𝑦𝑖 = 2,10 ∑ 𝑥𝑖2 = 448,33 ∑ 𝑦𝑖

2 = 0,91 ∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖 =20,18

5 Aquí tampoco se muestra como se obtiene esta expresión.


Usando la ecuación 8.15 se tiene que el valor de 𝑎 es:

𝑎 =6(20,18) − (46,50)(2,10)

6(448,33) − (46,50)2=

23,43

527,73= 0,0444 → 𝑎 = 0,0444

Para hallar el valor de 𝑏 se usa la ecuación 8.16, así:

𝑏 =(∑ 𝑥𝑖

2𝑛1 )(∑ 𝑦𝑖

𝑛1 ) − (∑ 𝑥𝑖

𝑛1 )(∑ 𝑥𝑖

𝑛1 𝑦𝑖)


1 − (∑ 𝑥𝑖𝑛1 )2

𝑏 =(448,33)(2,10) − (46,50)(20,18)

6(448,33) − (46,50)2=

3,12

527,73= 0,0059 → 𝑏 = 0,0059

Y el coeficiente de correlación 𝑟 se halla con la ecuación 8.17, obteniéndose:

𝑟 =6(20,18) − (46,50)(2,10)

(√6(448,33) − (46,50)2) (√6(0,91) − (2,10)2)

𝑟 =23,43

(√527,73) (√1,05)=

23,43

3,33= 0,9953 → 𝑟 = 0,9953

Por lo tanto la ecuación de la recta que relaciona la posición en función del tiempo para la

burbuja que se mueve a lo largo del tubo es:

𝑥 = 0,0444 m/s + 0,0059 m

La ecuación ajustada o de mínimos cuadrados nos asegura que la rapidez constante de la

burbuja, tiene como valor más preciso 0,0444 m/s y que en principio cuando 𝑡 = 0,

𝑥0 = 0,0059 m. Si se desea, según lo que se observa en el fenómeno, que en 𝑡 = 0,

𝑥0 = 0 este dato se puede incluir por extrapolación en la tabla original y obviamente la

ecuación ajustada cambia muy poco. ¡Hágalo! y ¡ Además se ahorraría el cálculo de b ¡.

El coeficiente de correlación r obtenido nos asegura que la recta ajustada es muy buena y

que el 99,53% de los datos pasan por dicha recta.

Ahora bien, si se observa la figura 8,4, allí aparece registrada la ecuación obtenida de la

línea de tendencia lineal usando la hoja electrónica Excel. Nótese la similitud entre los

datos calculados para a y b usando las ecuaciones 8.15 y 8.16 y los registrados en dicha

gráfica. Adicionalmente en la gráfica se muestra que el coeficiente 𝑅2 = 0,9928 y que por

lo tanto:

𝑟 = √𝑅2 = √0,9928 = 0,9964 → 𝑟 = 0,9964


que es un valor muy similar al calculado por la ecuación 8.17, mostrando las bondades de

los modelos matemáticos usados.

Nota Didáctica: Ejercicio Inicial de Regresión Lineal

Se sugiere que antes de realizar el proceso de ajuste de mínimos cuadrados a una recta con

datos experimentales, se elabore una tabla teórica de una recta conocida por ejemplo,

𝑦 = 3𝑥 − 2 y se sigan los siguientes pasos sencillos, a) Hacer una tabulación dando

algunos valores de x y con ellos obtener los de y, b) Realizar los cálculos y elaborar una

tabla similar a la tabla 8.4, c) Obtener las sumas por columnas con los datos obtenidos, d)

Sustituir los valores de las sumas en las ecuaciones 8.15, 8.16 y 8.17, e) Mostrar que los

cálculos obtenidos son respectivamente: 𝑎 = 3, 𝑏 = −2 y 𝑟 = 1 y f) Si los valores

obtenidos no se corresponden con las calculados en el literal e), revíselos y vuelva a

realizar los cálculos. Este proceso le dará confianza al alumno y que por tanto el modelo

matemático y las ecuaciones son correctas.

Se sugiere que antes de realizar el proceso de ajuste de mínimos cuadrados a una recta con

datos experimentales, se elabore una tabla teórica de una recta conocida por ejemplo,

𝑦 = 3𝑥 − 2 y se sigan los siguientes pasos sencillos. 1) Hacer una tabulación dando

Para ver como se obtiene la ecuación dada por la hoja electrónica, no solo de una recta, sino

también de otras funciones, es indispensable revisar y comprender el apartado siguiente.

Otros análisis de regresión

Cuando los datos que han sido tomados no se ajustan a una recta de mínimos cuadrados, los

métodos matemáticos de ajustes a otras líneas de tendencia se tornan más complejos y más

difíciles de analizar. Sin embargo, las nuevas tecnologías a través de las hojas electrónicas,

las calculadoras, las tabletas, celulares, entre otros y los programas de estadística o de

matemáticas permiten hacerlo. En la tabla 8.5, que se observa a continuación se muestran

algunas de las posibilidades de líneas de tendencia que se pueden obtener a través de la hoja

electrónica (para el caso presente, Excel) y en otros instrumentos tecnológicos, como la

calculadora científica.

Tabla 8.5. Líneas de tendencia tradicionales en hoja electrónica

Línea de tendencia Expresión analítica Parámetros a encontrar

Lineal 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 a, b y r

Potencial 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 a, n y r

Logarítmica 𝑦 = 𝑎 𝑙𝑛(𝑥) + 𝑏 a, b y r


Exponencial 𝑦 = 𝑎 𝑒𝑏𝑥 a, b y r

Polinómica* 𝑦 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 𝑎2, 𝑎1, 𝑎0 y r

*La hoja electrónica soporta ajuste de polinomios de hasta grado seis.

En la figura 8.16, se observa una imagen del cuadro de dialogo mostrado en Excel para la

escogencia del tipo de línea de tendencia y en donde a su vez se puede seleccionar la

ecuación de la gráfica y el coeficiente de determinación R2 (con éste valor, luego se puede

calcular el coeficiente de correlación r).

Fig. 8.16. Cuadro de dialogo en Excel para dar formato a las líneas de tendencia.

Para que el cuadro de dialogo mostrado en la figura 8.16 pueda ser visualizado, es

necesario realizar los siguientes pasos: 1) Seleccionar los datos digitados en las respectivas

columnas y escoger la opción de insertar gráfico en modo dispersión, 2) Al picar con el

ratón en dispersión se escoge alguna de las opciones de dibujo de gráfica representadas en

la figura 8.17.


Fig.8.17. Cuadro de dialogo para escoger la gráfica

en modo dispersión

Fig.8.18. Cuadro de dialogo para seleccionar línea de

tendencia

Para mantener la gráfica de los datos dispersos (datos originales tomados en la práctica

experimental), se sugiere seleccionar el primer icono, 3) luego que Excel muestre un dibujo

de la gráfica, se debe posicionar el cursor en uno cualquiera de los puntos de la gráfica y

pulsar el botón derecho del ratón y 4) en el submenú desplegado escoger la opción agregar

línea de tendencia, como se muestra en la figura 8.18.

Aplique la técnica anterior con los datos de la tabla 8.1 y obtenga la gráfica y la ecuación

mostrada en la figura 8.4, para corroborar el procedimiento.

Notas conceptuales: Acerca de la línea de tendencia en la conceptualización física

1. La escogencia de la línea de tendencia debe hacerse en primera instancia revisando y

conceptualizando la fenomenología estudiada y en lo posible sí existe un modelo teórico

ya establecido para las variables que se están midiendo, escoger una tendencia que se

ajuste a dicho modelo teórico, lo que a su vez permitirá el contraste con lo encontrado

experimentalmente.

2. De la expresión obtenida por análisis de regresión, es decir, al escoger una línea de

tendencia, desde la conceptualización física se debe dar explicación a las constantes y

exponentes obtenidos. Saber cuál es el significado que tiene una constante en un modelo

experimental en física, es de suma importancia pues ella relaciona las variables que se

están controlando o midiendo y da razón de la fenomenología estudiada. Así por ejemplo,

para el caso de la ecuación de la recta obtenida como línea de tendencia en el movimiento

de la burbuja, la pendiente nos da una característica como lo es, la rapidez constante que

dicha burbuja tuvo durante su recorrido y el punto de corte nos da las características

iniciales de la medida de la posición por un observador o nos da la idea de las posibles

errores cometidos en dicha medición. El hecho de hacer una regresión lineal ya implica el

tipo de proporcionalidad que se espera entre los parámetros medidos, al igual que se podría

esperar al analizar cualquier línea de tendencia escogida.


3. Cuando el modelo teórico no se tiene, sobre la base de los datos y la conceptualización

fenomenológica se puede recurrir estadísticamente al coeficiente de correlación más alto y

así establecer la mejor línea de tendencia. No olvidar que además del coeficiente de

correlación se debe dar explicación a las constantes y exponentes encontrados. En otras

palabras, el “experimentador” puede aproximarse a sus primeros modelos, los cuales

relacionan parámetros experimentales y ponerlos en consideración y debate, ya sea para

ser contrastados con los modelos teóricos o para postular la aproximación a un

determinado modelo.

Nota Didáctica: La “caja negra” de las ayudas tecnológicas

Obtener la curva que mejor se ajusta a los datos tomados experimentalmente con ayudas

tecnológicas sería una técnica muy sencilla y rápida. Sin embargo, se convierte en una

“caja negra” para el estudiante, en donde los procedimientos y modelos matemáticos para

obtener las expresiones algebraicas, que dan razón de la relación entre las variables o

magnitudes físicas medidas, no son identificados y analizados por quienes recurren a este

tipo de ayuda.

8.5. Prácticas de laboratorio con sistemas de adquisición de datos

En los actuales momentos, los equipos y dispositivos de laboratorio han venido

progresando al mismo tiempo que lo hacen los desarrollos tecnológicos, pero el proceso ha

sido mucho más lento para las tendencias didácticas y de procesos de aprendizaje en las

prácticas de laboratorio que llevan a cabo en las instituciones educativas. Estos desarrollos

han generado una serie de espacios académicos en donde los docentes invierten poco

tiempo en montar y desarrollar las prácticas, ya que los materiales son más confiables y los

aparatos de medida tienen más alto grado de precisión, exactitud, rapidez y versatilidad en

la toma de datos. A su vez, estos dispositivos y equipamiento de laboratorio moderno de

laboratorio son en su mayoría de carácter modular, lo cual puede permitir de cierta manera

un tiempo para desarrollar algunas actividades de tipo pedagógico que sirven para hacer

discusiones, análisis y así estimular la conceptualización de las fenomenologías y el espíritu

investigativo en los estudiantes.

Los equipos actuales, por lo general, son sistemas que transmiten los datos a un

computador a través del puerto serial y es aquí donde dicho computador tiene un rol

primordial, pues además de capturar los datos, los procesa mediante un software de

tratamiento de datos, para luego mostrar los resultados de forma gráfica o numérica.

EXPERIMENTO Y SIMULACION

La estructura general de un sistema de adquisición de datos consta de algunos elementos

como el sensor o transductor, la interfaz y un sistema de monitoreo, visualización o

manipulación de datos que normalmente es un display digital o el mismo computador.

Algunos de los componentes que constituyen estos sistemas, se observan en la figura 8.19.


El sensor o transductor, es un dispositivo que convierte las variaciones de una magnitud

medible no eléctrica en una señal eléctrica analógica, o sea, en una variación de diferencia

de potencial (voltaje) que es almacenada por la Interfaz y desde ésta se transfieren los datos

al computador para ser manipulados desde allí, como se observa en la figura 8.19 a).

Fig.8.19.a) Sistema de adquisición de datos usando

la interfaz Cassy Lab6

Fig 8.19.b) Sistema de adquisición de datos

inalámbrico COBRA 4, de PHYWE7.

El equipo que por lo general procesa, manipula y/o muestra los datos almacenados por la

interfaz, es el computador, el cual tiene un microprocesador con una secuencia temporal

que es programable y puede, en principio, almacenar registros digitales bajo el control

programado de interruptores y dispositivos eléctricos y electrónicos.

Por lo general existe un software que acompaña al sistema de adquisición de datos, el cual

es instalado en el computador y es una herramienta eficaz para el usuario en lo referente al

calibrado, realización de medidas, almacenaje y análisis de datos obtenidos. Este software o

programa de control sirve normalmente para controlar las funciones de la interfaz, que

permita configurarla, elegir la rapidez con que se adquieren datos, los rangos permisibles de

las variables a medir, la finalización de la adquisición de datos, entre otras.

Cuando se hacen las mediciones de variables físicas, algunas de ellas son en el mundo real,

señales discretas, por ejemplo, aquellas que vienen de un fotointerruptor o del mouse de un

computador. En el caso que esto suceda, no es necesario utilizar un convertidor análogo-

digital y la señal se puede adquirir de manera directa por algunos de los puertos seriales,

paralelos u otras compuertas que traen los computadores. Por eso, algunos modelos de

interfaces disponen de un cierto número de entradas digitales que, si bien no requieren un

convertidor análogo-digital, aparecen integradas en el mismo sistema de adquisición para

unificar el control y manipulación de los datos.

En los momentos actuales, muchos de los sistemas de adquisición de datos de carácter

didáctico, traen integrado en un solo dispositivo el sensor y la interfaz con un sistema de

comunicación vía inalámbrica, ver figura 8.19.b), se envían directamente los datos al

6 http://www.icl-didactica.com 7 http://www.phywe-es.com


computador para ser procesados y analizados con el software que previamente ha sido

instalado.

La medición es un proceso que requiere saber cuál es la precisión y exactitud con la que se

obtiene cada medida, lo cual depende esencialmente del instrumento utilizado para tomar el

valor correspondiente a una variable Física y del proceso mismo de medición. La medida

debe estar dentro de los rangos definidos por el instrumento y para ello es necesario realizar

un proceso de calibración del mismo. Cuando se trata de un sensor, la llamada calibración

estática determina algunas de las características que determinan la confiabilidad de la

medida tomada como son: Exactitud, sensibilidad y precisión. Por eso, cuando un

instrumento de medida tiene la cualidad de tomar datos que se aproximen al valor ideal o

verdadero de la magnitud medida, se dice que mide con gran exactitud.

Cuando se tiene la curva de calibración del sensor, es posible determinar la sensibilidad del

mismo, calculando la pendiente en cualquier punto de la curva. Lo anterior, implica que la

sensibilidad puede ser o no constante a lo largo de la escala de medida, por ello en los

sensores se busca que tengan una sensibilidad alta y, si es posible, constante.

A su vez, la precisión es la propiedad que identifica la capacidad de un instrumento de

medida de dar el mismo valor de la magnitud medida. Es decir, que al medir varias veces

en las mismas condiciones, se tiene un valor idéntico entre mediciones de la misma

magnitud física sin tener en cuenta si concuerda o no con el valor real de dicha magnitud.

Se puede resaltar, que en algunos sistemas de adquisición de datos el procedimiento de

calibración se realiza por software y por eso la calibración la hace directamente el sistema

de manera automática.

Nota Importante: No hay que olvidar que la diferencia entre la medición tomada con el

instrumento y el verdadero valor de la magnitud medida, es lo que se denomina

incertidumbre o error en la medición.

Como puede haberse observado en los anteriores apartados, el proceso de medición y

calibración en las prácticas experimentales, sin importar el uso de instrumentos de alta o

baja generación tecnológica, requieren de una conceptualización física de la medición muy

exigente. Sin embargo, esta fuera del alcance de este texto hacer más énfasis en estos

procesos, que se van afianzando y consolidando cuando se adquieren mayores

conocimientos sobre la instrumentación, los modelos matemáticos y estadísticos que dan

soporte y una mejor estructura para hacer los análisis de datos que deben hacerse en una

práctica de laboratorio.


Ahora bien, mientras no exista un conocimiento de los sistemas de captura y adquisición de

datos, este tipo de experiencias en el laboratorio de física, son en un comienzo sólo buenas

para el investigador, pero no para el estudiante que está aprendiendo.

En los trabajos y prácticas desarrolladas por el grupo de investigación física e informática

(fisinfor), en diferentes cursos en donde se han aplicado algunas metodologías de

enseñanza, se ha notado que cuando las prácticas de laboratorio en exceso son

automatizadas, en los alumnos se pierde la oportunidad de aprender a:

Aumentar el grado de habilidades y destrezas de tipo manual.

Manejar y controlar los dispositivos y equipos, a la vez que no se identifican los

pasos realizados.

Recolectar y registrar los datos que permiten realizar un análisis de ellos para saber

pormenorizadamente los diferentes criterios a emplear.

Distinguir entre el sistema real e ideal.

Fundamentar las incertidumbres en la medición de manera clara y el porcentaje que

ellas implican en los resultados obtenidos.

Elaborar un trabajo cooperativo entre docente y alumno que implique mejores

aprendizajes.

8.6. Software de cálculo matemático y de simulación para la enseñanza de la física

El proceso de enseñanza y aprendizaje de la física se puede favorecer del uso del

computador o de otros dispositivos electrónicos (tabletas, celulares móviles, entre otros) a

través de varias opciones, como lo son: el cálculo numérico, el cálculo simbólico, la

simulación, la programación, la utilización de programas interactivos, y últimamente, las

perspectivas que ha abierto la misma Internet.

Un problema o fenomenología que se desea explicar o resolver desde la física, no siempre

puede ser simple, así su formulación sea o no sencilla. Algunos fenómenos no son

susceptibles de hacerles un tratamiento analítico elemental para lograr su comprensión, y

por eso se excluyen normalmente en los espacios académicos o asignaturas. Una gran

mayoría de situaciones problémicas o problemas planteados en la física y en general en las

ciencias pueden resolverse con ayuda del computador o con un dispositivo que realice


operaciones similares; por eso, se hace vital conocer una serie de herramientas de cálculo

matemático y de simulación.

Desde un punto de vista educativo, la utilización de los laboratorios interactivos de

simulación o laboratorios virtuales con los alumnos permite ampliar el número de

fenómenos estudiados, ya que no tienen que limitarse a los que se resuelven con la

matemática que dominan los estudiantes. Por ejemplo, mediante simulación el movimiento

de los proyectiles en medios viscosos son tan fáciles de analizar como el movimiento de un

proyectil en un medio ideal, movimiento que es un caso de estudio muy usual en los

primeros cursos de mecánica.

Ahora bien, muchos de los resultados obtenidos en la enseñanza de la física usando nuevas

tecnologías, se pueden observar en los libros producto de investigaciones desarrolladas por

el grupo de investigación física e informática (fisinfor) adscrito a la Licenciatura en física

de la Universidad Distrital y que se encuentran referenciadas al final del presente texto.

El grupo de investigación, a través de sus proyectos y resultados ha llegado a considerar

que las simulaciones pueden conllevar a generar algunas actividades de aprendizaje en la

física, como las siguientes:

Permiten auxiliar a los estudiantes a encontrar una razón a las relaciones entre

diferentes representaciones.

Pueden ayudar a los estudiantes a entender las expresiones algebraicas o ecuaciones

como relaciones físicas entre variables o magnitudes físicas medidas.

Permiten ayudar a los alumnos a construir modelos mentales de sistemas físicos.

Proporcionan a los alumnos experiencias de aprendizaje más dinámico y

estimulante, a su vez que ayudan a desarrollar en ellos diferentes competencias.

Permiten que los alumnos contrasten los modelos teóricos, los modelos

experimentales y los que se obtienen de las mismas simulaciones.

EXPERIMENTO Y

Existe una inmensa variedad de software de tipo utilitario y de aplicación que son de uso

habitual como soporte a las disciplinas de las matemáticas y las ciencias naturales, en

especial de la física. Sin embargo, a continuación se referencian algunos que el grupo de

investigación, fisinfor, ha venido utilizando en sus investigaciones, en los trabajos de aula,

en diferentes intervenciones didácticas y en distintos cursos y que aquí se presentan a

manera de herramientas de apoyo a la enseñanza de la física y a la vez de la matemática.


Es así, como en el área de las matemáticas se utilizan paquetes comerciales como

MATHCAD y MATHEMATICA (ver imágenes en la figura 8.20 ), aunque en algunos

trabajos se puede experimentar con DERIVE, MATLAB, entre otros. Los programas

mencionados funcionan bajo plataforma WINDOWS.

Fig,8.20. Imágenes representativas de software comercial de Matemática

A nivel de software libre de matemáticas se pueden utilizar, WXMAXIMA,

GNUOCTAVE, WINPLOT entre otros. Algunas imágenes de dichos programas, se pueden

observar en la figura 8.21, los cuales funcionan bajo plataforma LINUX especialmente.

a) WXMAXIMA b) GNUOCTAVE c) WINPLOT

Fig.8.21 Imágenes representativas de software libre de Matemáticas

Prácticamente todos estos aplicativos de matemáticas poseen las siguientes características:

Poseen un ambiente para la solución de problemas, con una amplia variedad de

herramientas y soporta diversas técnicas de análisis y visualización.

Son de amplio uso en diferentes áreas del conocimiento: física, matemáticas,

química ingeniería, arquitectura, entre otras.

Son la combinación de un poderoso ambiente computacional centrado en la

notación matemática real.

Y adicionalmente poseen las siguientes ventajas, cuando se abordan situaciones didácticas

de enseñanza de la física, siempre y cuando se tenga la adecuada orientación pedagógica.


Son programas sencillos de manejar, con notación matemática real, que permite

hacer una gran cantidad de operaciones matemáticas y gráficas con exactitud,

precisión y rapidez, propicia en el estudiante mayor concentración en la situación

física que le interesa sin desviar su atención hacia las manipulaciones matemáticas.

La visualización gráfica potencia el análisis y la comprensión de los fenómenos.

Poseen una serie de paquetes individuales que involucran temas específicos en

álgebra, cálculo, estadística, gráficos y análisis de gráficos, matemática numérica,

entre muchas de las tareas que puede desarrollar.

Presentan un módulo básico que permite el desarrollo de algoritmos a través de un

lenguaje interno de programación que resulta ser abierto (integrable con C, C++,

Excel y bases de datos), extensible (a través de las funcionalidades que aportan las

librerías especializadas) y de sintaxis similar al C, C++ (pero sin las dificultades

técnicas que presenta C, C++).

XPERIMENTO Y SIMULACION-

De igual manera para el área de la física, se puede utilizar software de simulación como el

Modellus (versión gratuita) e Interactive Physics (versión comercial), cuyas imágenes se

muestran en la figura 8.22.

Fig.8.22. Imágenes de software de simulación de física

Modellus es un software de libre distribución, el cual está encaminado al establecimiento

de modelos temporales de diferentes fenomenologías de tal manera que con él se puede

estudiar el comportamiento dinámico de los distintos sistemas, obviamente muy útil para el

estudio en diversos campos de la física. Dichos fenomenologías se podrán analizar

mediante la simulación en distintos escenarios, “casos”, en donde uno o varios parámetros

o constantes del modelo pueden modificarse.

De la experiencia en el manejo del Modellus, se pueden observar las siguientes

características, especiales para la enseñanza de la física:

Permite simular fenómenos físicos a partir del modelo matemático.


La simulación es mostrada con representaciones gráficas que muestran la evolución

de las magnitudes físicas o mediante animaciones de los fenómenos.

Los alumnos pueden examinar diversos modelos de situaciones físicas que les

facilita permita comprender el significado de algunas nociones básicas del cálculo y

su rol en la estructura del modelo de dichas situaciones.

Dependiendo del trabajo del aula entre docente y estudiante se puede usar

didácticamente en la enseñanza de la física.

De otro lado, Interactive Physics es un software que admite realizar simulaciones en

diferentes áreas de la física y puede considerarse que es un laboratorio en movimiento

elaborado desde el computador, en donde la animación le da existencia a los fenómenos

simulados que se pueden realizar y que en cantidad sólo está limitado a la imaginación del

usuario. Para una ampliación del uso de software se puede consultar el texto Física con

Interactive Physics (Hurtado & Fonseca, 2002).

En los últimos años se ha venido incursionando en el desarrollo de software y aplicativos

menos comerciales y utilizados por comunidades científicas en el área de la física, como es

el caso de ROOT y TRACKER. Una imagen representativa de los dos software anteriores

se muestra en la figura 8.24.

Fig.8.24. Imágenes de software utilizado en física de uso libre: Root y Tracker

Desde hace unos pocos años, ROOT, se ha establecido como el software de referencia

basado en la programación orientada a objetos, desarrollado en C++, para el procesamiento

y análisis de datos científicos a gran escala. Es un programa elaborado por investigadores

del CERN (nombre en francés Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire, Consejo

Europeo para la Investigación Nuclear). El software, ya superó el millón de líneas de

código y tiene características importantes como son: el usuario puede definir clases

interactivamente, el código interpretado puede invocar o hacer llamados a código

compilado, y luego nuevamente interpretado.

http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_franc%C3%A9s


Mientras que, TRACKER es un software de análisis de imagen y vídeo y a su vez es una

herramienta de modelado basada en una biblioteca de código abierto (Open Source Physics

Java). Las particularidades del software incluyen el seguimiento del movimiento de objetos

en donde se pueden determinar la posición, velocidad y aceleración con sus respectivas

gráficas. Aunque incluye otras características, cabe resaltar que está diseñado para ser

utilizado en laboratorios de física básicos universitarios. En una captura típica de un

fenómeno a través de un video, los estudiantes podrán simular un modelo de movimiento y

compararlo con el movimiento sucedido en el mundo real.

Para mostrar algunos adelantos de desarrollo de software, el grupo de investigación logró

establecer contactos internacionalmente y conjuntamente con el Grupo KDE Education

Project (KDE-EDU) ayudo a modificar y editar unas cuantas rutinas y aplicaciones del

software STEP, desarrollado por el Físico Vladimir Kuznetsov. Una buena parte de lo

realizado allí, se encuentra publicado en el libro Simulando Física pasa a paso con STEP,

del cual se hace referencia en el presente documento. Una imagen tomada de una

simulación realizada en STEP se muestra en la figura 8.25.

Fig.8.25. Simulación de oscilaciones en STEP.

Para mostrar el uso y un mayor potencial de STEP se puede consultar el libro, Simulando

Física paso a paso con STEP (Orjuela & Hurtado, 2012).

En la actualidad han aparecido una serie de aplicaciones de simulaciones y animaciones de

representaciones físicas desarrolladas en diferentes plataformas tecnológicas y que son

publicadas en la red de internet. Una de tantas aplicaciones, son los llamados FISLETS

(physlet) que no son más que applets de java y los cuales se diseñan para mostrar diferentes

fenómenos en prácticamente todas las áreas de la física. Desde el punto de vista práctico,

son fáciles de descargar a través de conexiones no muy potentes en la internet, pues los


fislet no son archivos “pesados” y sólo se requiere tener una máquina virtual de java para

ser ejecutados. En la bibliografía recomendada al final de este texto, se dan algunas

direcciones electrónicas en donde se pueden consultar páginas que contienen fislets e

incluso cursos completos de física usando estas herramientas de simulación o animación.

Ejercicios

1. En una práctica realizada en el laboratorio con el tubo de vidrio que contenía agua y en el

cual se había dejado una burbuja, se tomaron dos puntos y se mostró que a los 0,53 s la

burbuja había subido 30 cm y que a los 0,74 s la burbuja había avanzado 60 cm.

Suponiendo que la gráfica de posición contra tiempo es una línea recta. ¿En qué instante la

burbuja pasó por 48 cm?.

2. Suponga que se ha utilizado un carril de aire (ver figura 8.26) para tomar los datos de la

posición en función del tiempo de un carrito que se mueve de manera uniforme y que son

registrados en la tabla 8.6.

Tabla.8.6. Datos ejercicio 2

t(s) x(m)

3,15 0,1

6,75 0,2

9,83 0,3

12,53 0,4

16,45 0,5

19,43 0,6

24,01 0,7

27,92 0,8 Fig. 8.26. Esquema representativo carril de aire

a) Realice una gráfica en papel milimetrado de los datos de la tabla

b) Elabore una tabla y realice los cálculos suficientes para obtener la recta de

mínimos cuadrados tal y como se realizó en el ejemplo de la burbuja de aire.

c) Inserte los datos en la hoja electrónica y siguiendo los pasos establecidos en el

apartado 8.3, realice la gráfica de la posición en función del tiempo y obtenga la

línea de tendencia correspondiente.

d) Compare los resultados obtenidos en a) y b) con los conseguidos en el literal c).


3. En un experimento de laboratorio se

registraron los datos del tiempo en segundos,

empleado por un balín que se ha dejado caer

desde diferentes alturas medidas en metros. El

dispositivo usado para realizar la práctica

experimental es el mostrado en la figura 8.27

y los datos obtenidos se muestran en la tabla

8.7.

Fig. 8.27 Equipo de caída libre de PHYWE

Tabla 8.7. Datos para ejercicio 3

t(s) 0,202 0,288 0,348 0,403 0,452 0,491 0,534

h(m) 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

a) Revise el modelo teórico que establece la relación de la altura en función del

tiempo, es decir h vs t, para un objeto que cae libremente. ¿Cuál podría ser el

cambio de variable en el eje del tiempo, para obtener una línea recta?. De

acuerdo a ello, siguiendo el método de linealización explicado en el apartado

8.2, elabore una nueva tabla de datos en donde incluya una serie de datos y

realice la gráfica correspondiente.

b) Use los datos que permitieron linealizar la relación de altura y tiempo para

realizar una gráfica en papel milimetrado y luego con las tablas obtenidas

conseguir los parámetros de la recta que mejor se ajusta a los datos.

c) Realice una gráfica en papel log-log con los datos originales dados en la tabla

8.7 y realice el siguiente proceso: i) encuentre la expresión algebraica que

relaciona la altura en función del tiempo de manera aproximada, ii) calcule los

logaritmos de los datos del tiempo y de la altura registrados en la tabla 8.7 y

construya una nueva tabla con el resultado de los mismos, c) elabore una gráfica

en papel milimetrado con los nuevos datos. La gráfica ¿Es una recta?, de ser así

aplique el método de mínimos cuadrados para obtener la ecuación que mejor

relaciona a la altura en función del tiempo.

d) Tome los datos de la tabla 8.7 e insértelos directamente en la hoja electrónica,

elabore la respectiva gráfica y agregue la línea de tendencia que mejor se puede

ajustar a los datos. ¿Es bueno el coeficiente R2, para su curva ajustada?.

e) Compare los resultados obtenidos de las ecuaciones que relacionan a la altura y

el tiempo de caída con los diferentes procedimientos.


f) La constante de proporcionalidad que liga a la altura y el tiempo, ¿qué

significado físico puede tener?.

g) Realice un cálculo de la incertidumbre porcentual que existe entre la ecuación

teórica y la experimental, en los parámetros de la ecuación que relaciona la

altura y el tiempo de caída de un objeto.

h) Con ayuda de Interactive physics, de Step u otro software de física realice una

simulación de la caída libre. Obtenga algunos resultados y compárelos con los

obtenidos experimentalmente.8

Ejercicios de Investigación

1. Lea cuidadosamente los siguientes tres párrafos y resuelva las preguntas que se proponen

al final.

Diversos fenómenos físicos están regidos por una ley de tipo exponencial; es decir, una

variable que caracteriza al fenómeno se puede expresar como otra cantidad constante,

llamada base, elevada a un exponente representado por otra cantidad variable que describe

el mismo fenómeno. Por ejemplo, fenómenos como el decaimiento de una sustancia

radiactiva, la carga y la descarga de capacitores y la temperatura de un objeto que se enfría

bajo ciertas condiciones, entre otros, todos ellos como función del tiempo satisfacen

relaciones matemáticas de carácter exponencial, que pueden tener la forma 𝑦 = 𝑎𝑏𝑐𝑥.

La otra familia de curvas que pueden ser convertidas en rectas son las que precisamente

tienen la forma analítica 𝑦 = 𝑎𝑏𝑐𝑥. Es usual que el parámetro b (base) sea sustituido por el

número 10 o por el número e; en el primer caso el cálculo se facilita usando logaritmos

decimales y en el segundo al usar logaritmos naturales. El proceso de linealización, se

obtiene al graficar con escala logarítmica en uno de los ejes coordenados y en el otro una

escala decimal. En el trabajo de lápiz y papel se recurre al uso del papel semi – logarítmico

y de manera tecnológica con la ayuda de hoja electrónica o programas con la escogencia de

las escalas según sea el caso.

8 Este procedimiento requiere del acompañamiento de un docente que conozca del uso de las tic en la enseñanza de la

física y por tanto se debe realizar un trabajo de alfabetización en uno cualquiera de los software de simulación.


La tabla 8.9 muestra una serie de datos de la

intensidad de corriente (en miliamperios) en función

del tiempo (en segundos), para un circuito en serie

como el mostrado en la figura 8.28. Inicialmente el

capacitor C (en faradios) está descargado. Si se

cierra el interruptor s la carga empieza a fluir

produciendo corriente en el circuito formado por la

fuente de voltaje V (voltios), el resistor R (en

ohmios) y el capacitor se empieza a cargar. Una vez

que el capacitor adquiere la carga máxima, la

corriente cesa en el circuito. Es decir, la intensidad

disminuye exponencialmente con el tiempo, hasta

que se hace cero cuando el capacitor adquiere la

carga máxima.

Fig.8.28. Circuito RC en serie

Tabla 8.9. Datos para el ejercicio de investigación 1

t(s) 0 20 40 80 100 160 200

i(mA) 100,000 36,788 13,534 1,832 0,674 0,034 0,005

a) Realice una gráfica en papel milimetrado de la intensidad de corriente eléctrica en

función del tiempo. Luego de obtenida la gráfica, ¿puede hacer un cambio de

variable para linealizar la curva?, de ser así, ¿cómo sería?.

b) Realice una gráfica en papel semilogarítmico con los datos de la tabla 8.9,

escogiendo la escala decimal para el tiempo y la escala logarítmica para la corriente

eléctrica. ¿Obtiene una línea recta?. De ser así, ¿obtenga una expresión aproximada

que relacione las dos magnitudes físicas?.

c) Elabore una nueva tabla que contenga el log i y grafique el tiempo en función de los

datos obtenidos del log i. ¿Es una recta la gráfica?. De ser así, obtenga la recta de

mínimos cuadrados.

d) Usando hoja electrónica inserte los datos de la tabla xxx y siguiendo de nuevo los

pasos seguidos en el apartado xxx, realice la gráfica y encuentre la mejor línea de

tendencia.9

e) Compare los resultados obtenidos en a), b) y c) con los obtenidos en d).

2. Elabore en algún software de matemática presentado en la sección 8.5, o en su defecto

otro que se obtenga a través de internet, para realizar las gráficas de las funciones obtenidas

9 Se insiste desde el punto de vista del aprendizaje de los estudiantes, que este paso se realice después de haber abordado

el proceso de “lápiz y papel”, sobre todo en estudiantes que hasta ahora están comenzando sus primeros cursos de física y

que se están acomodando al análisis de datos experimentales.


entre las variables físicas relacionadas en los ejemplos y en los ejercicios postulados.

Aproveche, este tipo de herramientas y grafique un sin número de funciones para ir

afianzando los comportamientos y características de las mismas lo cual le permitirá

identificar a futuro relaciones entre distintas magnitudes físicas.


Capítulo 9 Conjuntos Numéricos

"La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos,

todos sencillos y fáciles."

René Descartes

En física y en todas las ciencias naturales, muchas de las cantidades con que representamos

o caracterizamos un parámetro o una variable que dan razón de una cierta fenomenología se

determinan por valores numéricos que deben estar acorde con algunos conjuntos de

números que en su mayoría pertenecen al conjunto de los números reales. Por eso, el

presente capítulo hace referencia a ese tipo de campo numérico y sus propiedades.

9.1. Números Reales

Los números reales es un conjunto ordenado de números que tiene una cantidad de

propiedades, las cuales se van entendiendo y manipulando en la medida que se conocen

otros conjuntos numéricos que están contenidos dentro de los reales. A continuación, se

hace una descripción general de los conjuntos numéricos: Naturales, Enteros, Racionales e

Irracionales que son subconjuntos de los números reales.

El conjunto numérico que se encuentra con más frecuencia y que aparece en los primeros

procesos de aprendizaje y a tempranas edades del ser humano, prácticamente desde la

cotidianidad son los números naturales 𝑁

𝑁 = 1,2,3,4, … . .

se necesitan para contar y en el caso de la física pueden ser utilizados para cuantificar la

carga eléctrica o los diferentes niveles energéticos de la composición atómica de la materia.

Los números enteros Z conformados por los números naturales junto con los negativos y el

0, se acostumbra a escribir

𝑍 = ……… ,−3,−2,−1,0,1,2,3, ……


Los cuales pueden ayudar a representar, por ejemplo las temperaturas (valores positivos o

negativos) que aparecen en los cambios de estado o cambios de fase de algunas sustancias

como el agua.

Al construir cocientes con los enteros, se forman los números racionales Q. Por lo tanto,

cualquier número racional se puede expresar como:

qp

Q

Donde p y q son enteros y q≠0. Algunos ejemplos son:

4

1 7

5 1

5959

20

315,0

Recuerde: La división por cero no es posible, por lo que las expresiones 0

7

y 0

0

no están

definidas.

De acuerdo a la definición de los números racionales, se puede inferir que los números

enteros son un subconjunto o están contenidos dentro de los racionales, es decir 𝑧 ⊆ 𝑄.

Algunos números reales, no pueden ser expresados como un cociente de dos números

enteros, como es el caso de 2 y se le llaman números irracionales I. Otros ejemplos de

estos números son:

𝐼 = 5 ; ...71,2e ; ...14,3 ; 32Log

El conjunto de los números reales normalmente es denotado por el símbolo R y es el

resultado de la unión de los números racional y los números irracionales, es decir 𝑅 = 𝑄U𝐼. Todos los números reales pueden ser representados en forma decimal. Cuando el número es

racional, entonces su decimal correspondiente es periódico. Por ejemplo,

0025250004

1 ...,

3033330

3

1,...,

4512154542330

711,,

82417557142812857142857141

7

11,,

La barra encima de las cifras significa que la sucesión de las mismas se repite siempre. En

cambio, si el número es irracional, la representación decimal no es periódica, así por

ejemplo,


.......,7320508013 .......,141592653 Al interrumpir la expansión decimal de un número cualquiera en un cierta cifra, se tiene

una aproximación del número. Por ejemplo, se puede escribir

...,7182812e

donde el símbolo significa “es aproximadamente igual a”. Por tanto, a medida que se

tienen más decimales la aproximación es cada vez mejor.

En la tabla 9.1, se muestran algunas de las propiedades básicas del campo de los números

reales.

Tabla 9.1. Propiedades básicas de los números reales

Propiedad Ejemplo Conmutativa

Suma: abba

Multiplicación: baab

5+7 = 7 + 5

5 7 = 7 5

Asociativa

)()( cbacba )()( bcacab

(5+7)+3 = 5+(7+3)

(5 7) 3 = 5 (7 3)

Distributiva

acabcba )( acabacb )(

5 (7+3) = 5 7 + 5 3

(7+3) 5 = 5 7 + 5 3

Ejemplo 9.1

Uso de la propiedad distributiva en expresión algebraicas

a) 533)5(3 xx

153 x

b) zyxwyxzwyx )()())((

)()( yzxzywxw

yzywxzxw

Uso de la propiedad distributiva en una expresión que contiene variables físicas como masa

m y rapidez v, que pueden ser utilizadas en la variación de energía cinética de un sistema.

c) 2

0

22

0

2

2

1

2

1)(

2

1mvmvvvm

En el conjunto de los números reales hay que resaltar que el número cero 0 es especial en la

adición o suma y se le llama el elemento idéntico o módulo de la suma, porque


aaa 00 para cualquier número real a . De igual manera, todo número real a tiene

su inverso aditivo (cotidianamente llamado el negativo), a , que cumple con la propiedad

0)()( aaaa . Ahora bien, la sustracción o resta es la operación inversa a la

adición, de tal manera que para restar un número de otro simplemente se suma el negativo

de ese número. Es así, que por definición

)( baba En la tabla 9.2 se muestran algunas de las propiedades del inverso aditivo en los números

reales.

Tabla 9.2. Propiedades del inverso aditivo

Propiedad Ejemplo

1. aa )1( 33)1(

2. aa )( 3)3(

3. )()()( abbaba 21)73()7(37)3(

4. abba ))(( 2173)7)(3(

5. baba )( 1073)73(

6. abba )( 437)73(

Nótese que la propiedad 6 permite observar la idea intuitiva que ba es el inverso aditivo

de ab .

Muchas otras propiedades de los números reales pueden derivarse de las propiedades antes

descritas (Tablas 9.1 y 9.2), sin embargo existen otras propiedades como:

Cancelativa o anulativa

(i) Si cbca , entonces ba

(ii) Si bcac y 0c , entonces ba

Multiplicación por cero

i) 000 aa

ii) Si 0ba , entonces 0a ó 0b (o ambas)

Expresiones Algebraicas

a) 5)5( xx

b) zyxzyx )()(

zyx

Las expresiones algebraicas en física aparecen en muchísimas ocasiones cuando se están

interpretando fenomenologías que se representan en formalismos matemáticos, sean

variables, ecuaciones entre otras. Es así, como en la mecánica clásica tradicional hablamos


de las magnitudes de fuerzas como la tensión de una cuerda o el peso de un objeto y allí un

signo negativo puede representarnos la dirección de dichas fuerzas. Cuando se hace el

tratamiento matemático pueden aparecer expresiones como:

c) )()( mgTmgT

mgT

Tmg

Las anteriores expresiones muestran como algunas de las propiedades (¿Especifique

cuáles? de los números reales pueden ser utilizadas en el quehacer de la física.

La geometría es una herramienta matemática que se utiliza a diario y que permite, entre

algunas de sus aplicaciones, obtener cálculos de perímetros, áreas, volúmenes de diferentes

figuras geométricas. Así por ejemplo, consideremos que una lámina de cobre, usada para

diseñar un electrolito, tiene 12 cm de largo y 2 cm de ancho, por lo que el área A de la

lámina es 12 x 2 = 24 centímetros cuadrados. Un estudiante decide acortar la lámina en una

longitud x de modo que el área se disminuye a

)12(2 xA donde se obtiene que xA 224

Nótese como la propiedad distributiva y las propiedades del inverso aditivo son utilizadas

en la expresión obtenida para el área de la lámina.

Existe otro número real muy importante que tiene que ver con las operaciones de la

multiplicación, éste es el número uno 1, también llamado el elemento idéntico o el módulo

de la multiplicación porque 𝑎. 1 = 1. 𝑎 para cualquier número real 0a .

De igual manera, todo número real 𝑎 tiene su inverso multiplicativo a

1, que cumple con la

propiedad 1.11

. aaa

a . Se considera que la división es la operación inversa de la

multiplicación, así para dividir un número se multiplica por el inverso multiplicativo de ese

número. Por definición, si 0b ,

b

a

baba

1.

Con esta escritura, la simbología b

a, se refiere al cociente 𝑎 y 𝑏, o bien la fracción 𝑎 entre

𝑏 en donde 𝑎 es el numerador y 𝑏 es el denominador (o divisor).


En la tabla 9.3 se muestran algunas de las propiedades de las fracciones.

Tabla 9.3. Propiedades básicas de las fracciones

Propiedad Ejemplo

1. bd

ac

d

c

b

a

20

21

45

73

4

7

5

3

2. c

d

b

a

d

c

b

a

35

12

7

4

5

3

4

7

5

3

3. c

ba

c

b

c

a

7

5

7

23

7

2

7

3

4. bd

bcad

d

c

b

a

20

47

20

3512

4.5

7543

4

7

5

3

5. b

a

bc

ac

5

3

75

73

6. Si d

c

b

a entonces bcad

10

6

5

3 , por lo que 3065103

7. b

a

b

a

b

a

5

2

5

2

5

2

8. b

a

b

a

)(

)(

4

7

)4(

)7(

No olvidar que en la tabla anterior todos los denominadores tienen que ser diferentes de

cero, para que se puedan realizar las operaciones indicadas.

Normalmente cuando se suman fracciones cuyos denominadores son diferentes, la

propiedad 4 de la tabla anterior no se usa de esa manera. De ser así, las fracciones tienen

que reducirse de tal manera que tengan un denominador común y se recurre entonces a

obtener un Mínimo Común Denominador (MCD), como se observa en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 9.2

Calcular: 240

7

18

5

Al descomponer cada denominador en sus factores primos se obtiene:

23218 y 532240 4

El MCD se consigue efectuando el producto de todos los factores usando la potencia más

alta de cada factor, es decir el MCD es 720532 24 . Se tiene, entonces:


3240

37

4018

405

240

7

18

5

720

221

720

21

720

200

9.1.1. Representación gráfica de los números reales

Los números reales pueden ser representados mediante puntos sobre una recta, que se

conoce como recta numérica, ver figura 9.1. La dirección positiva es asumida por medio de

una flecha orientada hacia la derecha, la cual tiene su origen o punto de referencia O

arbitrario el cual corresponde al número real 0. Escogida una unidad de medida

conveniente, cada número positivo x se representa por un punto en la recta a una distancia

de x unidades a la derecha de O, y cada número negativo –x se representa mediante un

punto a x unidades a la izquierda de O. El número que se asocia al punto P se le llama

coordenada de P y la recta recibe el nombre de eje coordenado o de la recta de los números

reales o comúnmente llamada recta real.

Fig..9.1. Representación de números en la recta real.

La anterior representación geométrica da la idea intuitiva que los números reales es un

conjunto ordenado, ya que se puede asegurar que 𝑎 es menor que 𝑏 y se escribe 𝑎 < 𝑏 si

𝑏 − 𝑎 es un número positivo de tal manera que 𝑎 queda a la izquierda de 𝑏. La anterior

afirmación sería equivalente a decir que 𝑏 es mayor que 𝑎. La simbología 𝑎 ≤ 𝑏 (o 𝑏 ≥ 𝑎),

significa que 𝑎 < 𝑏 o 𝑎 = 𝑏 y se lee “𝑎 es menor que o igual que 𝑏”. A manera de ejemplo

las siguientes desigualdades son ciertas:

9,36.33 4 12 55

9.1.2. Conjuntos e intervalos

Una colección de objetos es lo que acostumbramos llamar conjunto y a estos objetos los

denominamos elementos del conjunto. Si C es un conjunto, la escritura Ca significa que


𝑎 es un elemento que pertenece a C, y 𝑏 ∉ 𝐶 significa que 𝑏 no pertenece a C. Así por

ejemplo, Z5 y Z2 .

Algunas veces los conjuntos se pueden enunciar acomodando los elementos entre

corchetes. Por ejemplo, un conjunto S que considere a todos los números enteros positivos

comprendidos en el intervalo 2 al 9 se puede expresar como

9,8,7,6,5,4,3,2S

El conjunto S también puede ser escrito en la notación de conjuntos:

92 xyZxxS

el cual se lee “S es el conjunto de todas las x tales que x es un entero entre 2 y 9”.

Cuando se escoge un grupo de números reales que cumplen algunas condiciones los

podemos asociar a un conjunto de dichos números. Es así, que los llamados intervalos

representan un conjunto de números reales, que se usan con frecuencia en el cálculo y la

física y corresponden geométricamente a segmentos lineales. Si 𝑎 < 𝑏, entonces el

intervalo abierto desde 𝑎 hasta 𝑏 consta de todos los números entre 𝑏 y se denota por

(𝑎, 𝑏). El intervalo cerrado desde 𝑎 hasta 𝑏 incluye los extremos y se escribe como [𝑎, 𝑏].

Ejemplo 9.3

Los siguientes intervalos están expresados en términos de desigualdades y a su vez aparece

su representación gráfica en la recta real.

323,2 xx

5.35.15.3,5.1 xx

xx 5,5


Ejemplo 9.4

Aplicaciones a la física

En física encontramos diferentes aplicaciones, en donde las variables que determinan una

fenomenología requieren manejarse en intervalos determinados. Así por ejemplo, cuando

un objeto se encuentra apoyado en una superficie horizontal (como se estudió en el capítulo

5 sobre leyes de movimiento) para sacarlo de su condición de equilibrio se requiere vencer

la fuerza de rozamiento estático sf , la cual puede variar entre 0 y un valor máximo, y por

eso esa condición se escribe de la siguiente manera:

smáxs ff 0

De igual manera, cuando en física se desea explicar y manejar el rango de frecuencias f

(expresada en Hertz: Hz) de los sonidos que pueden ser percibidos por el ser humano,

llamado rango audible, dicho rango puede ser descrito por el intervalo

HzfHz 2000020

En donde los valores inferiores a 20 Hz se le llaman infrasonidos y los mayores a 20000 Hz

se le conocen como ultrasonidos.

9.1.3. Valor absoluto y distancia

Una definición importante en matemáticas es la de valor absoluto, la cual tiene muchas

aplicaciones en diferentes variables en física.

Si Ra , entonces el valor absoluto de a es:

0

0

asia

asiaa

Así por ejemplo:

77 44 2)2(2

El valor absoluto cumple con diferentes propiedades como se muestra en la tabla 9.4.


Tabla 9.4. Propiedades básicas del valor absoluto

Propiedad Ejemplo

1. 0a 5

3

5

3

2. aa 99

3. baab 73)73 (

4. b

a

b

a

5

13

5

13

Ahora bien, la definición de valor absoluto es utilizada para evaluar la distancia entre dos

puntos de la recta real.

Si 𝑎 y 𝑏 ∈ 𝑅 , entonces la distancia entre los puntos 𝑎 y 𝑏, en la recta real es:

baabbad ),(

A manera de ejemplo la distancia entre los números -12 y 4 es:

1616412)4,12( d

Ejercicios

1. Del conjunto T de números reales dado a continuación, especifique en un listado

cuales son naturales, enteros, racionales e irracionales.

9,66.2,81,777.0,0,5,4

3,2 3T

2. Establezca en cada una de las operaciones planteadas la propiedad o propiedades de

los números reales.

a) 511115

b) 4)73()73(4

c) yxyx 33)(3

d) 14287)24( xx

e) bayyaybyay )()())((

f) )())(( yxayxa


3. Realice las operaciones indicadas a continuación.

a) 7

3

5

8 b)

7

3

4

11 c)

7

3

6

7

d)

4

36

3

2

e)

10

58

2

13

5

2

f)

10

52

2

7

5

1 xx

g) 5

7

3

5

4

2 h)

12

1

8

116

7

4

31

i)

12

1

8

1164

1

yy

4. ¿Cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas?

a) 157 b) 73.13 c) 3.23.2

d) 16

14

17

15 e) 1

3

2 f) 4

5. Exprese el intervalo indicado en forma de desigualdad y luego grafíquelo.

a) )2,5( b) 3,4 c) 9,3

d) ,1 e)

2

1, f)

2,

2

6. Calcule la distancia entre los punto indicados a continuación

a) )15,4(d b) )5,3(d c) )2

,4

(

d


7. Los funcionarios del almacén de

laboratorio de la Universidad sólo aceptan

reponer bloques de madera (que los

estudiantes han perdido o dañado) en forma

de paralelepípedo rectangular, ver figura

adjunta, para los cuales la medida del largo

más la medida del perímetro de su sección

transversal no sea mayor a 120 cm.

L

xy


Es decir, que para el bloque de madera de la figura, se debe tener que:

120)(2 yxL

a) ¿Se podrá aceptar un bloque que mide 7 cm de ancho, 3 cm de alto y 10 cm de

largo? y ¿un bloque que mide 4 por 4 por 6 cm?.

b) ¿Cuál sería el mayor valor del largo aceptable de un bloque que tiene base cuadrada

y su ancho y alto miden 8 cm?.

Ejercicio de conceptualización.

8. ¡Cuidado con las operaciones y propiedades de los números reales!.

Revisa los siguientes pasos y encuentre en dónde está el error.

Sea ba , entonces:

aba 2 222 babba

)())(( babbaba

bba )(

bb 2 12

Preguntas de consulta

a) ¿Es 33

1 un número racional o irracional? Es 3

3

1 un número racional o

irracional?. En general que puede decirse con respecto a la suma de un número

racional y un número irracional? y ¿ del producto?.

b) Es conmutativa la ¿diferencia de dos números reales? y ¿la división de dos números

reales diferentes de cero?.

c) ¿Cuántos números hay entre 0 y 1?. Averigua ¿En qué consiste el axioma de

completitud (completez) de los números reales? Y además pregúntale a un profesor

de informática ¿para qué sirve la función random o randomize en los lenguajes de

programación?.

9.2. Propiedades de los exponentes y radicales

Siguiendo con las propiedades de los números reales, ahora se observará el significado de

expresiones como nma / en las cuales el exponente es un número racional. Esto requiere,


manejar algunas propiedades con respecto a los exponentes, radicales y raíces n – ésimas de

números enteros.

En general, la multiplicación de números idénticos se expresa mediante la llamada notación

exponencial. Así por ejemplo, 5333333 . Es decir, si Ra y n es un entero

positivo, la potencia n - ésima de 𝑎 es:

factoresn

aaaa n

El número 𝑎 se denomina base y n es el exponente. Sin embargo, hay que aclarar que:

Si 0a es un número real y n es un entero positivo, se tiene que:

10 a y n

n

aa

1

Para manejar o trabajar con los exponentes y las bases es necesario conocer una serie de

propiedades. En la tabla 9.5 se relacionan algunas de esas propiedades, en donde las bases

𝑎 y 𝑏 ∈ 𝑅 y los exponentes 𝑚 y 𝑛 ∈ 𝑍.

Tabla 9.5. Propiedades de los exponentes

Propiedad Ejemplo

1. nmnm aaa 972 444

2. nm

n

m

aa

a 225555

5 426

2

6

3. mnnm aa )( 6422)2( 62323

4. nnn baab )( 1296)81)(16(32)32( 444

5. n

nn

b

a

b

a

81

16

3

2

3

24

44

6. n

nn

a

b

b

a

8

125

2

5

5

23

33

7. n

m

m

n

a

b

b

a

27

25

3

5

5

33

2

2

3

Ejemplo 9.5

A continuación se presentan seis ejemplos de operaciones con propiedades de los

exponentes, basados en las establecidas en la tabla 9.5.


a) 927 xxx b) 5

5116116 1

zzzzz

c) 437

3

7

yyy

y

d) 204545 )( mmm

e) 3333 1255)5( xxx f) 8133

4

4

44yyy

Ejemplo 9.6

A continuación se mostrarán una serie de ejemplos de simplificación de expresiones que

contienen exponentes.

a) 2232 )2)(3( abba 42232 2)3( baba

4232 4)3( baba

432212 bbaa

1412 ba

b

a 412

b)

322

z

xy

y

xz

322

z

xy

y

xz

3

63

2

22

z

yx

y

zx

322632 zzyyxx

145 zyx

z

yx 45

c)

2

22

2

3

9

pr

pr 22223

pprr

2143 pr

2823 pr

82

2

3 r

p

8

2

9r

p


Nótese que en los ejemplos anteriores las propiedades de la tabla 4 fueron utilizadas de

manera indiscriminada, pero siempre se busca que las cantidades numéricas se simplifiquen

si es del caso y las expresiones algebraicas se dejen con exponentes positivos. ¡Sí tienes la

habilidad con las propiedades de los exponentes, algunos de estos ejercicios se pueden

hacer por simple inspección!.

Notación Científica

Muchos de los fenómenos naturales que son explicados por la física requieren de

cantidades muy pequeñas o muy grandes que pueden ser muy extensas al escribirlas. Por

ejemplo:

a) La distancia de la tierra al sol es 150000000000 m

b) El radio de la tierra sobre el ecuador es igual a 6378000 m

c) La rapidez de la luz es aproximadamente 300000000 m/s

d) La permitividad eléctrica en el vacío es 0,00000000000885 C2/Nm

2.

e) La carga de un electrón es del orden 0,00000000000000000016 C

Los anteriores datos que son importantes en medidas astronómicas, atómicas entre otras se

pueden expresar de una manera más compacta llamada notación científica, la cual es basada

en las potencias de 10.

Un número positivo x se dice que está escrito en notación científica si se expresa como

sigue: nax 10 donde 101 a y n es un entero

Las cantidades antes escritas, quedarían en notación científica de la siguiente manera

a) La distancia de la tierra al sol es 1,5 x 1011

m

b) El radio de la tierra sobre el ecuador es igual a 6,378 x 106 m

c) La rapidez de la luz es aproximadamente 3 x 108 m/s

d) La permitividad eléctrica en el vacío es 8,85 x 10-12

C2/Nm

2.

e) La carga de un electrón es del orden 1,6 x 10-19

C.

Propiedades de los radicales

En los apartes anteriores se trabajó el caso de 3n cuando n es un entero. Para comprender el

significado de una potencia de la forma 34/5

, cuyo exponente es un número racional, se

requiere un análisis de los radicales.


La simbología utilizada para significar el hecho de “la raíz cuadrada de” es . Así, se

sabe que:

ba significa ab 2 y 0b

Puesto que 02 ba , la simbología a sólo tiene sentido cuando 0a . Por ejemplo,

416 porque 1642 y 04

La raíz cuadrada es tan sólo un caso particular de la raíz n – ésima de un número real. La

raíz n – ésima de x es precisamente el número que se obtiene al elevar la potencia n – ésima

para que dé como resultado x. Es decir:

Si n es un entero positivo, la raíz n – ésima de a se define de la siguiente manera:

ban significa que abn

Si n es par, se debe cumplir que 0a y 0b .

A manera de ejemplo,

32435 porque 24335 y 03

3273 porque 27)3( 3

No olvidar que por ejemplo, 64 27,27,27 no están definidas. Como es el caso de

27 no existe solución en los números reales, porque el cuadrado de todo número real es

positivo.

En la tabla 9.6 se muestran las propiedades utilizadas al manejar raíces n-ésimas.

Tabla 9.6. Propiedades de las raíces

Propiedad Ejemplo

1. nnn baab 10)5)(2(312532312532 555

2. n

n

n

b

a

b

a

3

5

27

125

27

1253

3

3

3. mnm n aa 2256256 84

4. imparesnsiaan n 2232,5)5()125( 5 553

33

5. paresnsiaan n 55)5(4 4


Ejemplo 9.7

a) 5 1510243 yx 5 155 105 243 yx

5 535 525 5 )()(3 yx

323 yx

b) 7 1512 yx

7 727 57 )(yyxx

))(( 727 5 yyxx

7 52 yxxy

c) 8016 544 22

544

)51(4

d) 381 xx xxx 281

xxx 9

xx)9(

Exponentes racionales

Una de las aplicaciones de los radicales se puede observar en lo que se conoce como

exponente racional o exponente fraccionario, como es el caso de 𝑎1/3. A fin de dar

significado al símbolo 𝑎1/𝑛 de manera que sea coherente con las propiedades de los

exponentes, se debe cumplir el hecho que:

aaaa nnnn 1)/1(/1 )(

Por lo tanto, de acuerdo a la definición de la raíz n-ésima se tiene que:

nn aa /1

Para el caso general, los exponentes racionales pueden definirse de la siguiente manera:

aaaa nnnn 1)/1(/1 )(


Si m/n representa cualquier exponente racional donde Znm , y 0n entonces

mnnm aa )(/ o en forma equivalente n mnm aa /

Si n es par, se hace necesario que 0a

Ejemplo 9.8

Los ejercicios resueltos a continuación, muestran el uso básico de la definición de los

exponentes racionales.

a) 41616 2/1 b) 932727 22

33/2

c) 7

1

343

1

343

1343

33/1

3/1 d) 3/5

3/53 5

11 yyy

Una serie de ejemplos en donde se aplican las propiedades de los exponentes, siendo estos

racionales, se muestran a continuación.

a) 2/3632 yx 2/362/332/3 )()(2 yx

)2/3(6)2/3(33)2( yx

92/9)2(2 yx

b)

2/1

32

3/2

7/23

a

b

b

a 32/1

23/2

27/22

)(

)(3ba

b

a

32/1

3/4

7/49ba

b

a

3

43

2

1

7

4

9 ba

3

5

14

15

9 ba

c) 3 xx 3/12/1 )(xx 3/12/3 )(x 2/1x x


Proceso de racionalización de radicales

Es muy frecuente y útil eliminar los radicales del numerador o denominador de una

fracción, procedimiento que es llamado racionalización. En algebra se acostumbra a

racionalizar el denominador, pero en el cálculo, a veces es importante racionalizar el

numerador. El proceso de racionalización en los números reales implica multiplicar la

fracción por el módulo de la multiplicación que es el número 1, pero escrito de manera

especial. Por ejemplo:

a) 3

3

3

3

3

1

3

1 b)

2

6

2

2

2

3

2

3 c)

x

x

x

x

xx

3

3

3

3 23 2

11

En el ejemplo c) la racionalización puede hacerse de manera rápida si se tiene en cuenta la

siguiente regla. Si el denominador es de la forma n ma con nm , entonces es necesario

multiplicar el numerador y el denominador por n mna . De esta manera se puede

racionalizar el denominador, porque, en el caso de 0a se tiene que:

aaaaa n nn mnmn mnn m

Si es el caso, cuando la fracción contiene expresiones como yx , se puede usar el

hecho de que el producto de yx y su conjugada yx no contiene radicales:

yxyx yxyyxx

yyxyyxxx

22 )()( yxyxyx

yx

Ejemplo 9.9

La racionalización de la expresión algebraica

ℎ

zhz

Se puede efectuar multiplicando por zhz que es la conjugada del denominador, de

tal manera que:


zhz

zhz

zhz

h

zhz

zhzh

)(

h

zhzh

)( zhz

Ejemplos de aplicación

Para los ejercicios abajo resueltos se requiere el uso de calculadora o un software de cálculo

numérico.

a) Péndulo Simple. El tiempo que requiere una partícula que se suspende de una cuerda

ligera para dar una oscilación completa viene dado teóricamente por la expresión

g

LT 2 , donde L es la longitud de la cuerda y g es la magnitud de la aceleración

gravitacional.

Calcular el periodo de oscilación de un péndulo que

tiene una cuerda de longitud 1,2 m y que está ubicado en

el laboratorio de física de la universidad, en donde el

valor de la magnitud de la aceleración gravitacional es

9,76 m/s2 (Valor aproximado en la ciudad de Bogotá).

Solución:

Insertando los datos dados en la expresión del periodo de oscilación del péndulo simple se

tiene:

276,9

20,12

s

m

mT

213,028,6 sT

sT 26,2

b) Masa relativista. La teoría de la relatividad de Einstein, predice que la masa m de un

objeto que se mueve a una rapidez v está dada por,


2

2

0

1c

v

mm

Donde 𝑚0 es la masa del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Se pide calcular la

masa de un electrón que viaja a la rapidez de 0,6c si su masa en reposo es 9,1x10-31

kg.

Solución

Sustituyendo los datos suministrados en la expresión de la masa relativista se tiene:

2

2

31

6,01

101,9

c

c

kgm

2

2

31

36,01

101,9

c

c

kgm

36,01

101,9 31

kgm

kgm 311034,1

Obsérvese como de acuerdo a la teoría de la relatividad, la masa del electrón aumenta

cuando éste se mueve con una rapidez cercana a la rapidez de la luz.

c) Distancia de la tierra al sol. La tercera Ley de Kepler del movimiento de los planetas

predice que la distancia promedio de un planeta al sol, en metros, es:

3/2

3/1

24T

GMd

Donde M = 1,99x10

30 kg es la masa del sol, G = 6,67x10

-11 N.m

2/kg

2 es la constante de

gravitación y T es el periodo de la órbita del planeta, en segundos. Sabiendo que el periodo

de la órbita de la tierra es de casi 365,25 días, se desea encontrar de manera aproximada la

distancia de la tierra al sol.


Al sustituir los datos en la expresión anterior se obtiene:

3/2

3/1

2

302211

36002425,3654

1099,1/.1067,6s

kgkgmNd

3/27

3/1

2

319 10156,310366,0 s

s

md

md 11105,1

Ejercicio: Realice un análisis dimensional para mostrar que las unidades de d son metros

(m).

Ejercicios Complementarios

1. En cada una de las siguientes expresiones escriba las que son radicales usando

exponentes y las que son exponentes usando radicales.

Expresión con radicales Expresión con exponentes

7

1

3 25

3/24

5/3x

3 52

1

2. Evalué cada una de las siguientes expresiones

a) 03 b) 5

2

7

17

c)

3

4

5

5

d) 3 64 e) 5 32 f) 4 81

g) 3

27

64 h) 5

243

32 i)

3

48

3. Evalué cada una de las siguientes expresiones sabiendo que a=3, b=4 y c=-1.

a) 22 ba b) 4 3 214 cba c) 3/23/23/229 cba


4. Simplifique cada una de las siguientes expresiones

a) 3250 b) 48147 c) 55 963

5. Simplifique la expresión y exprese la respuesta sólo con exponentes positivos

a) 55

43

yx

yx

b) 735 364

1

mmm c)

3

342

3/23/1

x

y

yx

yx

6. Escriba en notación científica cada una de las siguientes cantidades.

a) El diámetro de un electrón, el cual es de aproximadamente 0.0000000000004 m.

b) El número de moléculas que contiene un gota de agua es de aproximadamente

33 trillones.

c) La masa de la tierra es de casi 5970 000 000 000 000 000 000 000 kg

d) Un año luz es la distancia recorrida por la luz en un año. Exprese su resultado en

km y recuerde que la rapidez de la luz es aproximadamente de 300000 km/s.

7. Racionalizar el denominador en las siguientes expresiones.

a) 20

1 b)

6

x c)

x

y

2

d) 3

2

x e)

4 3

1

x f)

7/4

1

y


1. Péndulo Físico: El tiempo que requiere un cuerpo rígido que se pone a oscilar con

relación a un eje de rotación fijo para dar una oscilación completa (Periodo de oscilación,

T) viene dado teóricamente por la expresión mgd

IT 2 , donde I es el momento de

inercia del objeto referido al eje de rotación, m la masa del mismo, g la aceleración

gravitacional y d la distancia del centroide del objeto al eje de rotación. Calcular el valor

del periodo de oscilación de una varilla homogénea de 4 kg de masa y cuyo momento de

inercia es de 8 kg.m2, sabiendo que la distancia del centroide al eje de rotación es de 0,5 m

y la aceleración gravitacional es de 9,76 m/s2 (Valor aproximado en la ciudad de Bogotá).


2. Volumen de una esfera: Para toda esfera puede calcularse su volumen V por la expresión

3

3

4rV , siendo r el radio de la misma. Cuál es el valor del volumen de una esfera cuyo

radio es 0,2 m.?

Ejercicio de conceptualización.

1. Compruebe que la racionalización de la expresión algebraica xhx

h

2

es

ℎ(√𝑥 + ℎ − √𝑥)

2. Comparación de raíces: Sin usar calculadora, determine qué número es mayor en cada

par de valores:

a) 3/12/1 22 o b)

3/12/1

2

1

2

1

o c) 363 o

Preguntas de Consulta

Observe cómo se comportan las siguientes potencias y complete las tablas. ¿Qué sucede

con la raíz n-ésima de 3 cuando n se incrementa?, ¿Qué sucede con la raíz n-ésima de 3

1

cuando n se incrementa?.

n n/13 n

n/1

3

1

1 1

2 2

5 5

10 10

100 100

Elabore una tabla equivalente para nn

/1 . ¿Qué sucede con la raíz n-ésima de n cuando n se

incrementa?.


Capítulo 10 Nociones de Algebra

"El álgebra es generosa: a menudo da más de lo que se le pide."

Jean le Rond D´Alembert

Una importante área de la matemática es el Algebra, la cual podría considerarse como una

extensión de la aritmética que se encarga del estudio de ciertas estructuras, relaciones y

cantidades. Se puede decir, que el Algebra trabaja con las mismas reglas que la aritmética

pero en las cuales se insertan algunos conceptos en los que intervienen las formulas y las

ecuaciones, lo cual permite considerar que ésta área de la matemática amplia el campo de

estudio de los números de un modo más general posible. De ahí, es que en el álgebra los

números pueden ser representados por símbolos tales como a,b,x,y, entre otros, y es lo que

se constituye en el lenguaje algebraico o notación algebraica.

Aunque en el capítulo 9 ya fueron utilizados una serie de signos aritméticos para

representar ciertas operaciones básicas, en la tabla 10.1 se muestran la mayoría de signos

algebraicos más comunes y la operación algebraica que representan.

Tabla 10.1. Signos aritméticos y algebraicos de operaciones básicas

Operación algebraica Símbolo (s)

Suma +

Resta -

Multiplicación x ( ) ( ) •

División ÷ /

Radicación √

Agrupación ( ) { } [ ]

Es igual a =

Es mayor que >

Es menor que <

Es mayor o igual que ≥

Es menor o igual que ≤

Así por ejemplo, en el caso de la multiplicación cuando se escriben dos letras se asume que

se está multiplicando si se escribe 𝑎𝑏, (𝑎)(𝑏), 𝑎 • 𝑏 o 𝑎 × 𝑏.

Se considera que una variable es una letra que representa a cualquier número de un

conjunto dado de números y por lo general se representa por las letras x, y y z. Si se hace la

combinación de signos, símbolos, constantes y variables se consigue lo que se llama una

expresión algebraica. Una expresión algebraica consta de uno o varios términos los cuales


se combinan usando las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación o

radicación y en donde cada término consta de un signo, un coeficiente y una parte literal.

Ejemplo 9.1

La expresión algebraica: 8𝑎𝑥𝑦2 + 124𝑎𝑏𝑥 − 25√𝑏𝑦 posee tres (3) términos y sus

características se expresan en la tabla siguiente.

Término Signo coeficiente literal

8𝑎𝑥𝑦2 + 8 𝑎𝑥𝑦2

124𝑎𝑏𝑥 + 124 𝑎𝑏𝑥

−25𝑏𝑦 - 25 √𝑏𝑦

Dentro de los términos de una expresión algebraica, existen unos llamados términos

semejantes y son aquellos que tienen la misma parte literal, o sea las mismas letras y cada

letra con el mismo exponente.

Ejemplos de expresiones algebraicas

a) 8𝑥𝑦2; −5𝑥𝑦2; √2𝑥𝑦2 ; 2

5𝑥𝑦2

b) 3𝑚3𝑛5: −𝑚3𝑛5; 1

2𝑚3𝑛5: √3𝑚3𝑛5

c) −21√𝑚𝑛53

4√𝑚𝑛53

; 3

5√𝑚𝑛53

; 6

11√𝑚𝑛53

10.1. Suma Algebraica

Solamente los términos semejantes se pueden sumar o restar y en muchos casos abreviar en

expresiones más sencillas. Para realizar dichas operaciones se puede recurrir al siguiente

procedimiento:

1. Se agrupan los términos semejantes

2. Se suman o restan los coeficientes (parte numérica)

3. Luego se escribe la parte literal, anteponiendo el signo resultante.

4. Cuando en la expresión no todos los términos sean semejantes se suman solo los

términos semejantes y se deja indicado el resto.


Uso del paréntesis en expresiones algebraicas

Al igual que en la aritmética, en álgebra el uso de los paréntesis sirve para indicar que las

operaciones que en ellos se contiene tienen prioridad ante las demás, o bien para indicar lo

que está dentro de ellos debe ser considerado como toda una expresión.

La técnica para suprimir los paréntesis en una expresión algebraica consiste en que, si un

paréntesis es precedido por un signo positivo entonces se puede suprimir sin cambiar los

signos de los términos que están dentro de ellos y en caso contrario, esto es si un paréntesis

es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el paréntesis los términos que están

dentro de él cambian de signo. Para suprimir o cambiar signos deben usarse las reglas

basadas en las propiedades del inverso aditivo mostradas en la tabla 9.2. Para el caso que a

un paréntesis no le preceda ningún signo, entonces se sobreentiende que el paréntesis viene

precedido de un signo positivo.

Normalmente cuando se tiene una expresión algebraica muy extensa un procedimiento para

eliminar paréntesis consiste en reducir los términos semejantes dentro del paréntesis y

luego eliminar los paréntesis, y nuevamente reducir términos semejantes.

Ejemplo 10.2

Reducir a una expresión algebraica lo siguiente:

8𝑥2 − (7𝑦 + 3𝑥2) + (−2𝑥2 + 5𝑦 + 4𝑥2) − 2𝑦

Solución:

Eliminando los paréntesis se obtiene:

8𝑥2 − 7𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑥2 + 5𝑦 + 4𝑥2 − 2𝑦

Sumando términos semejantes se llega a:

7𝑥2 − 4𝑦

Para el caso de expresiones algebraicas que contienen más de un paréntesis, para eliminar

los paréntesis, se suprime primero los paréntesis que están al interior de otro y así

sucesivamente.

Ejemplo 10.3

La siguiente expresión algebraica contiene más de un paréntesis en su estructura, se pide

reducir dicha expresión a una equivalente eliminado paréntesis y operándolos términos

semejantes.


−{−0.6𝑥𝑦 + [1.4𝑧2 − (3.6𝑥𝑦 + 2.4𝑧2 − 0.7𝑥𝑦) + 1.6𝑥𝑦] + 0.5𝑧2}

Solución:

−{−0.6𝑥𝑦 + [1.4𝑧2 − 3.6𝑥𝑦 − 2.4𝑧2 + 0.7𝑥𝑦 + 1.6𝑥𝑦] + 0.5𝑧2}

−{−0.6𝑥𝑦 + 1.4𝑧2 − 3.6𝑥𝑦 − 2.4𝑧2 + 0.7𝑥𝑦 + 1.6𝑥𝑦 + 0.5𝑧2}

0.6𝑥𝑦 − 1.4𝑧2 + 3.6𝑥𝑦 + 2.4𝑧2 − 0.7𝑥𝑦 − 1.6𝑥𝑦 − 0.5𝑧2

0.6𝑥𝑦 − 1.4𝑧2 + 3.6𝑥𝑦 + 2.4𝑧2 − 0.7𝑥𝑦 − 1.6𝑥𝑦 − 0.5𝑧2

1.9𝑥𝑦 + 0.5𝑧2

10.2. Multiplicación Algebraica

La multiplicación algebraica mantiene las mismas leyes que para la multiplicación

aritmética y que fueron explicitadas en el capítulo 9. Sin embargo, en el álgebra se debe

tener en cuenta la ley de los coeficientes, el cual no es más que el coeficiente del producto

de dos o más expresiones algebraicas es igual al producto de los coeficientes de los

factores. Así por ejemplo, (5𝑥)(−3𝑦) = −15𝑥𝑦.

Multiplicación de monomios

Un monomio es una expresión de la forma 𝑎𝑥𝑛 , donde 𝑎 es un número real y n es un

número entero no negativo. El resultado de la multiplicación entre monomios se obtiene de

manejar las siguientes reglas:

Se multiplica el coeficiente del multiplicando por el coeficiente del multiplicador.

Se suman los exponentes de los literales iguales.

Se escriben los literales diferentes en un solo término resultado.

Se coloca el signo de acuerdo con las reglas de los signos.

Cuando existe multiplicación de más de dos monomios se multiplica uno a uno los

factores para obtener el resultado.


Ejemplo 10.4

Las operaciones que se muestran a continuación, son ejemplos de multiplicación de

monomios.

a) (5)(−3𝑦) = −15𝑦

b) (3𝑥)(7𝑦) = 21𝑥𝑦

c) (2𝑥2) (1

4𝑥3) =

1

2𝑥5

d) (−𝑥3) (1

5𝑦) (10𝑥−1) = −2𝑥2𝑦

e) (6𝑥3𝑦𝑧2) (1

3𝑦𝑧) (

1

2𝑥−2𝑦2𝑧) = 𝑥𝑦3𝑧4

Multiplicación de polinomios

Puede entenderse que un polinomio es la suma de monomios. Pero para generalizar su

estructura y su escritura se da la siguiente definición.

Un polinomio en la variable x es una expresión algebraica de la forma

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥

1 + 𝑎0

Donde 𝑎0,𝑎1,… , 𝑎𝑛, son números reales y n es un número entero no negativo. Si 𝑎𝑛 ≠ 0, se

dice que el polinomio es de grado n. Los polinomios 𝑎𝑘𝑥𝑘 que conforman el polinomio

son los términos del polinomio.

La multiplicación de polinomios es la versión más general de la multiplicación algebraica y

la forma de hacerla se corresponde simplemente con la propiedad distributiva de los

números reales. Cuando se multiplica un polinomio con otro polinomio su resultado puede

ser un polinomio, un número o cero y las reglas para hacer las operaciones son:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo

polinomio, multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de los literales

iguales, colocando en el resultado de cada término el signo respectivo de acuerdo a

la regla que para ellos existe.

Se realiza la suma algebraica (términos semejantes) de los productos parciales y al

final se deja indicado el resultado numérico obtenido o la expresión algebraica

resultante.


Ejemplo 10.5

A continuación se muestran una serie de ejemplos de multiplicación de polinomios.

a) (5𝑥)(2𝑥 − 3𝑥𝑦 + 𝑦) = (5𝑥)(2𝑥) + (5𝑥)(−3𝑥𝑦) + (5𝑥)(𝑦)

= 10𝑥2 − 15𝑥2𝑦 + 5𝑥𝑦

b) (6𝑥 + 2𝑦) (1

2𝑥 − 2𝑦) = (6𝑥) (

1

2𝑥) + (6𝑥)(−2𝑦) + (2𝑦) (

1

2𝑥) + (2𝑦)(−2𝑦)

= 3𝑥2 − 12𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 4𝑦2

= 3𝑥2 − 11𝑥𝑦 − 4𝑦2

c) (2𝑥𝑦2 + 3𝑥𝑧) (1

3𝑥𝑧 − 3𝑦𝑧 +

1

4𝑥𝑦𝑧) =

= (2𝑥𝑦2) (1

3𝑥𝑧) + (2𝑥𝑦2)(−3𝑦𝑧) + (2𝑥𝑦2) (

1

4𝑥𝑦𝑧) +

(3𝑥𝑧) (1

3𝑥𝑧) + (3𝑥𝑧)(−3𝑦𝑧) + (3𝑥𝑧) (

1

4𝑥𝑦𝑧)

= 2

3𝑥2𝑦2𝑧 − 6𝑥𝑦3𝑧 +

1

2𝑥2𝑦3𝑧 + 𝑥2𝑧2 − 9𝑥𝑦𝑧2 +

3

4𝑥2𝑦𝑧2

d) (𝑎𝑥𝑚+1 + 𝑏𝑦𝑛+1)(𝑎𝑥𝑚 − 𝑏𝑦𝑛) =

= (𝑎𝑥𝑚+1)(𝑎𝑥𝑚) + (𝑎𝑥𝑚+1)(−𝑏𝑦𝑛) + (𝑏𝑦𝑛+1)(𝑎𝑥𝑚) + (𝑏𝑦𝑛+1)(−𝑏𝑦𝑛)

= 𝑎2𝑥2𝑚+1 − 𝑎𝑏𝑥𝑚+1𝑦𝑛 + 𝑎𝑏𝑥𝑚𝑦𝑛+1 − (𝑏𝑦𝑛+1)(−𝑏𝑦𝑛) + 𝑏2𝑦2𝑛+1

e) (1 + √𝑥)(3 − 2√𝑥) = (1)(3) + (1)(−2√𝑥) + (√𝑥)(3) + (√𝑥)(−2√𝑥)

= 3 − 2√𝑥 + 3√𝑥 − 2𝑥

= 3 + √𝑥 − 2𝑥

¡Tenga cuidado con los errores en las operaciones básicas¡. Cuando se empiezan a

manipular expresiones algebraicas normalmente se requiere del manejo de las propiedades


básicas de la suma y la multiplicación, por eso revise la siguiente tabla 10.2 en donde se

muestran algunos de los errores más frecuentes que se cometen.

Tabla 10.2. Errores frecuentes en las operaciones algebraicas

Propiedad correcta de la multiplicación Error común en la suma

(𝑎𝑏)2 = 𝑎2𝑏2 (𝑎 + 𝑏)2 ≠ 𝑎2+𝑏2

√𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 (𝑎, 𝑏 ≥ 0) √𝑎 + 𝑏 ≠ √𝑎 + √𝑏

√𝑎2𝑏2 = 𝑎𝑏 (𝑎, 𝑏 ≥ 0) √𝑎2 + 𝑏2 ≠ 𝑎 + 𝑏

1

𝑎∙1

𝑏=

1

𝑎𝑏

1

𝑎+1

𝑏 ≠

1

𝑎 + 𝑏

𝑎𝑏

𝑎= 𝑏

𝑎 + 𝑏

𝑎≠ 𝑏

𝑎−1𝑏−1 = (𝑎𝑏)−1 𝑎−1 + 𝑏−1 ≠ (𝑎 + 𝑏)−1

10.3. División Algebraica

Se puede considerar que la división algebraica, es la operación que tiene por objeto, dado el

producto de dos factores dividendo (D) y uno de los factores divisor (d) encontrar otro

factor llamado cociente (C), es decir: D = d · C. Los factores D, d y C pueden ser números,

monomios o polinomios.

División de monomios

Consiste simplemente en la división de un monomio entre otro y la forma de resolver dicha

operación consiste en: a) Aplicar la ley de los signos, b) Dividir el coeficiente del dividendo

entre el coeficiente del divisor y c) Aplicar la ley de los exponentes y escribir la expresión

en orden alfabético.

Ejemplo 10.6

Solución de diferentes divisiones entre monomios

a) 8𝑥2𝑦3 ÷ 4𝑥𝑦 =8𝑥2𝑦3

4𝑥𝑦= 2𝑥𝑦2


b) −27𝑚2𝑛 ÷ 3𝑚𝑛4 =−27𝑚2𝑛

3𝑚𝑛= −

9𝑚

𝑛3

c) −13𝑥2𝑦 ÷ 26𝑥4𝑦3 =−13𝑥2𝑦

26𝑥4𝑦3= −

1

2𝑥2𝑦2

d) (−121𝑥𝑚+2𝑦𝑛−1) ÷ (−11𝑥2𝑦2) =−121𝑥𝑚+2𝑦𝑛−1

−11𝑥2𝑦2= 11𝑥𝑚𝑦𝑛−3

División entre fracciones algebraicas

Para este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y

las reglas de división de las fracciones de la aritmética. Se aplican las mismas reglas que

para división de monomios vista anteriormente. Adicionalmente, se multiplica el dividendo

del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el

divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división, lo cual

es llamado división cruzada.

Ejemplo 10.7

Muestra de ejemplos de simplificación de fracciones algebraicas.

a) 5𝑥3

𝑦÷20𝑥𝑦

𝑦2=

(5𝑥3)(𝑦2)

(𝑦)(20𝑥𝑦)=𝑥2

4

b) 5𝑚4𝑛

3𝑛÷10𝑚𝑛

9𝑚𝑛2=5𝑚4

3÷10

9𝑛=(5𝑚4)(9𝑛)

(3)(10)=3𝑚4𝑛

2

c) 25𝑚5

7𝑛÷

15𝑛

21𝑚2=(25𝑚5)(21𝑚2)

(7𝑛)(15𝑛)=5𝑚7

𝑛2

d) 33𝑥𝑦2

5𝑧÷121𝑥2𝑦2

15=

(33𝑥𝑦2)(15)

(5𝑧)(121𝑥2𝑦2)=

9

11𝑥𝑧

División de polinomios entre monomios

Este tipo de división consiste en tomar el polinomio y distribuirlo sobre el monomio, esto

se realiza convirtiéndolos en fracciones de monomios y luego se realizan las reducciones

que sean necesarias.

Ejemplo 10.8

Solución de problemas de división de polinomios entre monomios.


a) (12𝑥5 + 6𝑥3 + 18𝑥) ÷ (3𝑥) =12𝑥5+6𝑥3+18𝑥

3𝑥

=12𝑥5

3𝑥+6𝑥3

3𝑥+18𝑥

3𝑥

= 4𝑥4 + 2𝑥2 + 6

b) (25𝑥2𝑦 − 30𝑥𝑧3 + 5𝑦𝑧) ÷ (5𝑥𝑦𝑧) = 25𝑥2𝑦−30𝑥𝑧3+5𝑦𝑧

5𝑥𝑦𝑧

=25𝑥2𝑦

5𝑥𝑦𝑧−30𝑥𝑧3

5𝑥𝑦𝑧+5𝑦𝑧

5𝑥𝑦𝑧

=5𝑥

𝑧−6𝑧2

𝑦+1

5𝑥

División entre polinomios.

Para ejecutar este tipo de división se procede de manera equivalente a la división aritmética

tradicional. A continuación, se presentan los pasos algebraicos a seguir.

En primera instancia, se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra en

orden ascendente u orden descendente, si el polinomio no está completo se dejan los

espacios de los términos que faltan.

El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del

dividendo entre el primer término del divisor.

Luego se procede a multiplicar el primer término del cociente por todos los

términos del divisor y el resultado de este producto se coloca debajo del dividendo y

se hace la respectiva diferencia de loa términos.

Después, el segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término

del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer término

del divisor.

Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo del dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.

Se continua de esta manera hasta la diferencia sea cero o un dividendo parcial cuyo

primer término no pueda ser dividido por el primer término del divisor. Cuando esto

ocurre el resultado de la diferencia será el residuo de la división.


El anterior procedimiento, muestra que el propósito con este método de división es que con

cada resta o diferencia se deben ir eliminando los términos que se encuentra más a la

izquierda en el dividendo o dividendo parcial.

Ejemplos 10.9

a) Dividir: (𝑥4 − 9𝑥2 + 𝑥 + 3) ÷ (𝑥 + 3)

𝑥4 + 0𝑥3 − 9𝑥2 + 𝑥 + 3 𝑥 + 3

−𝑥4 − 3𝑥3 𝑥3 − 3𝑥2 + 1

−3𝑥3 − 9𝑥2 + 𝑥 + 3 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒⏞

↑

3𝑥3 + 9𝑥2

𝑥 + 3

− 𝑥 − 3

0 + 0 ← 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜

La anterior división da como resultado el cociente: 𝑥3 − 3𝑥2 + 1 y como residuo cero (0),

lo cual garantiza que la división es exacta.

b) Dividir: (8𝑎3 − 6𝑎2𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3) ÷ (2𝑎 − 3𝑏)

8𝑎3 − 6𝑎2𝑏 + 5𝑎𝑏2 − 9𝑏3 2𝑎 − 3𝑏

−8𝑎3 + 12𝑎2𝑏 4𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 7𝑏2

6𝑎2𝑏 + 5𝑎𝑏2 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒⏞

↑

6𝑎2𝑏 + 9𝑎𝑏2 14𝑎𝑏2 − 9𝑏3

−14𝑎𝑏2 + 21𝑏3

12𝑏3 ← 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜

En el ejemplo anterior la división da como resultado: el cociente es 4𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 7𝑏2 y el residuo es 12𝑏3, lo cual garantiza que la división no es exacta.

Pregunta de Investigación: Existe un procedimiento para realizar la división entre dos

polinomios que tienen algunas características particulares y su proceso conlleva a una

técnica muy elemental para resolverla, el cual es llamado División sintética. Averigua en

que consiste la técnica y aplícala a una cualquiera de las divisiones aquí realizadas como

ejemplo.


10.4. Productos Notables

En el estudio de la matemática y su aplicación en diferentes áreas de las ciencias,

continuamente se encuentran expresiones que mantienen la misma secuencia y/o coherencia

que se tornan repetitivas y que por tanto no se requiere realizar la operación para conocer su

respuesta, puesto que a ella se puede llegar por simple inspección. A este tipo de

operaciones se les llama notables y continuación se mostrarán algunos de los más

conocidos y utilizados, como lo son los productos notables.

Cuadrado de un binomio

Es una expresión algebraica que se escribe básicamente así:

(𝑥 + 𝑦)2 la cual se lee “el cuadrado de la suma de dos cantidades algebraicas”

(𝑥 − 𝑦)2 la cual se lee “el cuadrado de la diferencia de dos cantidades algebraicas”

Al efectuar las operaciones respectivas se tiene:

(𝑥 + 𝑦)2 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

(𝑥 − 𝑦)2 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2

Aunque la experiencia dice, que las expresiones anteriores son fáciles de aprender y

memorizar, cuando se cambia 𝑥 o 𝑦 por expresiones algebraicas diferentes o más

complejas, parece no seguirse la mecánica de la expresión resultante, por eso se sugiere

usar la siguiente iconología.

Si los símbolos ∆ y ⊡ representan cada uno una expresión algebraica cualquiera, se puede

generalizar el hecho que:

(∆ ± ⊡)2 = ∆2±2∆⊡+⊡2

La anterior expresión se puede leer de la siguiente manera:

El cuadrado de la suma de dos términos algebraicos (∆ ± ⊡)2 es igual al cuadrado

del primero (∆2) más o menos el doble producto de ellos (±2∆⊡) más el

cuadrado del segundo (⊡2).

Ejemplo 10.10

a) (4𝑦 − 1 )2 = (4𝑦)2−2(4𝑦)(1) + (1)2 = 16𝑦2 − 8𝑦 + 1


b) (2𝑥 + 3𝑦 )2 = (2𝑥)2+2(2𝑥)(3𝑦) + (3𝑦)2 = 4𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2

c) (𝑥

4+𝑦

2 )2= (

𝑥

4)2+2(

𝑥

4) (

𝑦

2) + (

𝑦

2)2=𝑥2

16+𝑥𝑦

4+𝑦2

16

d) (𝑥𝑚−2 + 𝑦𝑛−2)2 = (𝑥𝑚−2)2+2(𝑥𝑚−2)(𝑦𝑛−2) + (𝑦𝑛−2)2

= 𝑥2𝑚−4 + 2𝑥𝑚−2𝑦𝑛−2 + 𝑦2𝑛−4

Cubo de un Binomio

Es una expresión algebraica que se escribe básicamente así:

(𝑥 + 𝑦)3 la cual se lee “el cubo de la suma de dos cantidades algebraicas”

(𝑥 − 𝑦)3 la cual se lee “el cubo de la diferencia de dos cantidades algebraicas”

Al efectuar las operaciones respectivas se tiene:

(𝑥 + 𝑦)3 = (𝑥 + 𝑦)2(𝑥 + 𝑦) = (𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2)(𝑥 + 𝑦)

= 𝑥3 + 𝑥2𝑦 + 2𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦2 + 𝑦3

= 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3

(𝑥 − 𝑦)3 = (𝑥 − 𝑦)2(𝑥 − 𝑦) = (𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2)(𝑥 − 𝑦)

= 𝑥3 − 𝑥2𝑦 − 2𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦2 − 𝑦3

= 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3



(∆ ± ⊡)3 = ∆3±3∆2⊡+3∆⊡2±⊡3

La anterior expresión se puede leer de la siguiente manera:

El cubo de la suma de dos términos algebraicos (∆ ± ⊡)3 es igual al cubo del

primero (∆3) más o menos el triple producto del cuadrado del primero por el

segundo (±3∆2⊡), más el triple producto del primero por el cuadrado del

segundo 3∆⊡2 más el cubo del segundo (⊡3).


Ejemplo 10.11

a) (𝑦 − 2 )3 = (𝑦)3−3(𝑦)2(2) + 3(𝑦)(2)2 − (2)3 = 𝑦3 − 6𝑦2 + 12𝑦 − 8

b) (3𝑚 + 2𝑛 )2 = (3𝑚)3−3(3𝑚)2(2𝑛) + 3(3𝑚)(2𝑛)2 − (2𝑛)3

= 27𝑚3−54𝑚2𝑛 + 36𝑚𝑛2 − 8𝑛3

c) (𝑎

3+𝑏

5 )2

= (𝑎

3)3

+ 3(𝑎

3)2

(𝑏

5) + 3 (

𝑎

3) (

𝑏

5)2

+ (𝑏

5 )3

= 𝑎3

27+𝑎2𝑏

15+𝑎𝑏2

25+𝑏3

125

d) (𝑥𝑚−2 + 𝑦𝑛−2)2 = (𝑥𝑚−2)2+2(𝑥𝑚−2)(𝑦𝑛−2) + (𝑦𝑛−2)2

= 𝑥2𝑚−4 + 2𝑥𝑚−2𝑦𝑛−2 + 𝑦2𝑛−4

Potencia de Binomios

Para generalizar el hecho de elevar cualquier binomio a un exponente se pueden seguir las

siguientes recomendaciones:

El resultado de operar un binomio elevado a una cierta potencia nos devuelve un

polinomio con una cantidad de factores igual al exponente más 1, si el exponente es

3 tendrá 4 factores, si el exponente es 6 tendrá 7 factores, y así sucesivamente.

El primer término (factor de la izquierda) aparece en el polinomio una cantidad de

veces igual al exponente y su exponente varia de manera decreciente en el

polinomio a partir del exponente del binomio hasta cero.

El segundo término (factor de la derecha) aparece en el polinomio una cantidad de

veces igual al exponente y su exponente varia de manera creciente en el polinomio a

partir de cero hasta alcanzar al exponente del binomio.

En cualquier factor del polinomio se puede sumar el exponente del primer término

con el del segundo término y eso dará igual al exponente del binomio.

El factor numérico por el cual se multiplica cada factor del polinomio se define

siguiendo la técnica expresada en el llamado triángulo de Pascal, como sigue:


1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Dicho triángulo puede seguirse hasta la potencia n. La forma de construir dicho triángulo

cumple con los siguientes pasos:

1. Añadir un uno al inicio y al final de cada renglón.

2. Sumar los dos números consecutivos que se encuentran justamente arriba en

el renglón inmediatamente superior.

3. El segundo número que aparece en cada fila del triángulo se corresponde

con el exponente del binomio, y es este renglón el que se debe escoger para

tomar los coeficientes respectivos del producto notable.

4.

Ejemplos 10.12

a) Encontrar el resultado de desarrollar: (2𝑥 + 3𝑦)4

Solución

Observando el triángulo de Pascal la fila que hay que escoger es: 1 4 6 4 1, por lo

tanto:

(2𝑥 + 3𝑦)4 = (2𝑥)4 + 4(2𝑥)3(3𝑦) + 6(2𝑥)2(3𝑦)2 + 4(2𝑥)(3𝑦)3 + (3𝑦)4

(2𝑥 + 3𝑦)4 = 16𝑥4 + 96𝑥3𝑦 + 216𝑥2𝑦2 + 216𝑥𝑦3 + 81𝑦4

b) Encontrar el resultado de desarrollar: (𝑥 − 2𝑦)5

Solución

Observando el triángulo de Pascal la fila que hay que escoger es: 1 5 10 10 5 1, por lo

tanto:

(𝑥 − 2𝑦)5 = (𝑥)5 + 5(𝑥)4(−2𝑦) + 10(𝑥)3(−2𝑦)2 + 10(𝑥)2(−2𝑦)3 + 5(𝑥)(−2𝑦)4 + (−2𝑦)5


Pregunta de Investigación: Existe un procedimiento más general que conlleva a la

solución de la potencia de un binomio, conocido como el Teorema del Binomio. Consulta

en que consiste dicho teorema, analiza la expresión matemática que la sustenta y resuelve

algunos ejemplos y compáralos con los resueltos usando el triángulo de Pascal.

10.5. Otros productos notables

A continuación se explicitaran otros productos notables que son de frecuente

utilización.

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Básicamente se escribe así:

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) , al realizar la multiplicación se obtiene que: 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2

Entonces el producto notable es:

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2



(∆ + ⊡)(∆ − ⊡) = ∆2 − ⊡2

La anterior expresión se puede leer de la siguiente manera: la suma de dos cantidades

multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.

Ejemplo 10.13

a) (𝑣 − 𝑣0)( 𝑣 − 𝑣0) = 𝑣2 − 𝑣0

2

b) (3𝑚2 + 5𝑛2)(3𝑚2 − 5𝑛2) = (3𝑚2)2 − (5𝑛2)2 = 9𝑚4 − 25𝑛4

c) (√𝑥 + 4)√𝑥 − 4) = (√𝑥)2− (4)2 = 𝑥 − 16

d) (𝑥 + 𝑦 + 1)(𝑥 + 𝑦 − 1) = (𝑥 + 𝑦)2 − (1)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 1

Producto de dos binomios que poseen un término común

Si se tienen los binomios (𝑥 + 𝑎)( 𝑥 + 𝑏), donde x es el término común, al realizar la

multiplicación se tiene:


(𝑥 + 𝑎)( 𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Como notable queda:

(𝑥 + 𝑎)( 𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Si los símbolos ∆, ⊡, y ⌂ representa cada uno una expresión algebraica cualquiera, se

puede generalizar el hecho que:

(∆ + ⊡)(∆ + ⌂) = ∆2 + (⊡+⌂)∆ +⊡⌂

Lo anterior se puede leer: El producto de dos binomios con un término en común es igual

al cuadrado de ese término, más el producto de éste por la suma algebraica de los otros

dos, más el producto de estos.

Ejemplo 10.14

Solución de productos de binomios que contienen un término en común.

a) (𝑚 − 5)( 𝑚 + 3) = 𝑚2 + (−5 + 3)𝑚 − (5)(3) = 𝑚2 − 2𝑚 − 15

b) (3𝑥 + 5𝑦)(3𝑥 − 7𝑦) = (3𝑥)2 + (5𝑦 − 7𝑦)(3𝑥) + (5𝑦)(−7𝑦) = 9𝑥2 − 6𝑥𝑦 − 35𝑦2

c) (3𝑎 + 5)(7𝑎 − 3) = 21𝑎2 + 26𝑎 − 15

d) (𝑥 + 2𝑦)(3𝑥 − 5𝑦) = 3𝑥2 + 𝑥𝑦 − 10𝑦2

Ejercicio de desafío: Comprobar que:

(x − y + w − z)2 = x2 + y2 +w2 + z2 − 2wz + 2xw − 2yw − 2xz + 2yz − 2xy

¿Podría generalizarse el anterior resultado como un producto notable y decir que se

corresponde con el cuadrado de un polinomio?.

10.6. Factorización

Puede considerarse la Factorización como el proceso por el cual se expresa un polinomio

como un producto de diferentes expresiones algebraicas, siendo cada término del producto

denominado factor.


La factorización juega un papel importante en una gran cantidad de aplicaciones de la

matemática, ya que permite convertir expresiones algebraicas muy complicadas en

expresiones más simples.

Para el caso en el que un polinomio no puede escribirse como producto de dos polinomios

de grado positivo, se le denomina primo y se considera que es irreducible. A continuación

se mostrarán algunos de los procedimientos más comunes para obtener la factorización de

diferentes expresiones algebraicas.

Factor común

Un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se

encuentra en todos los términos del polinomio. Si en todos los términos de un polinomio

figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio

que resulta al dividir cada término por ese factor.

Ejemplo 10.15

En las siguientes expresiones encontrar el factor común y reescribir la expresión algebraica.

a) 15𝑥3𝑦 + 30𝑥2𝑦3 − 5𝑥4𝑦2 = 5𝑥2𝑦(3𝑥2 + 6𝑦2 − 𝑥2𝑦) b) 4𝑚𝑥 + 12𝑥2𝑦 − 36𝑥3𝑦2 = 4𝑥(𝑚 + 3𝑥𝑦 − 9𝑥2𝑦2) c) 121𝑚4𝑛4 + 44𝑚2𝑛2 + 88𝑚𝑛 = 11𝑚𝑛(𝑚3𝑛3 + 4𝑚𝑛 + 8)

d) 1

4𝑥𝑚+3𝑦𝑛+3 +

7

4𝑥𝑚𝑦𝑛 =

1

4𝑥𝑚𝑦𝑛(𝑥3𝑦3 + 7)

Factor común por agrupación de términos

Al proceso en el los términos de un polinomio puedan reunirse en grupos de términos con

un factor común diferente en cada grupo se le denomina factor común por agrupación de

términos. Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se obtiene en

cada uno de ellos el factor común.

Ejemplo 10.16

Agrupar en factores la siguiente expresión algebraica:

4𝑎𝑥 + 4𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 − 𝑏𝑦 + 5𝑏


Solución

Se agrupan los términos que tienen un factor común, así:

(4𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎) + (4𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 + 5𝑏)

Se saca el factor común de cada grupo

𝑎(4𝑥 − 𝑦 + 5) + 𝑏(4𝑥 − 𝑦 + 5)

Como las expresiones entre paréntesis son iguales, se obtiene un nuevo factor común

quedando la expresión factorizada de la siguiente manera:

(𝑎 + 𝑏)(4𝑥 − 𝑦 + 5)

Ejemplo 10.17

Factorizar la siguiente expresión algebraica:

11𝑎𝑥 − 11𝑚𝑥 + 9𝑎𝑦 − 9𝑚𝑦 + 17𝑎𝑧 − 17𝑚𝑧

Solución:

11𝑎𝑥 − 11𝑚𝑥 + 9𝑎𝑦 − 9𝑚𝑦 + 17𝑎𝑧 − 17𝑚𝑧 =

= 𝑎(11𝑥 + 9𝑦 + 17𝑧) − 𝑚(11𝑥 + 9𝑦 + 17𝑧)

= (𝑎 − 𝑚)(11𝑥 + 9𝑦 + 17𝑧)

Ejemplo 10.19

Agrupar la siguiente expresión algebraica:

(5𝑥 − 4)(𝑥 − 2) + 6(𝑥 − 2)

Solución

(5𝑥 − 4)(𝑥 − 2) + 6(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)[(5𝑥 − 4) + 6] = (𝑥 − 2)(5𝑥 + 2)


Factorización de Expresiones Algebraicas con Exponentes Racionales

Para este caso se escogen los factores que son comunes y que tienen el exponente más

pequeño y se agrupan en los factores restantes, según sea el caso.

Ejemplo:

3𝑥3/2 − 9𝑥1/2 + 12𝑥−1/2 = 3𝑥−1/2(𝑥2 − 3𝑥 + 4)

= 3𝑥−1/2(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)

Trinomio Cuadrado Perfecto

Se llama trinomio cuadrado perfecto al polinomio de tres términos que cumple con el

hecho, que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble

producto de las bases de esos cuadrados.

Sí, por ejemplo:

16𝑥2 + 24𝑥𝑦 + 9𝑦2

El primer término es el cuadrado perfecto de 4𝑥, pues (4𝑥)2 = 16𝑥2.

El tercer término es el cuadrado de 3𝑦, pues (3𝑦)2 = 9𝑦2.

El segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, ya que:

2(4𝑥)(3𝑦) = 24𝑥𝑦.


generalizar el hecho que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto se obtiene:

∆2 ± 2∆⊡+⊡2= (∆ ± ⊡)2

Una forma fácil de obtener la factorización de un trinomio cuadrado perfecto es siguiendo

el siguiente esquema:

Trinomio → ∆2 ±2∆⊡ ⊡2 Se extrae la raíz cuadrada ↓ ↓ Se extrae la raíz cuadrada

∆ ⊡

Se verifica el doble

producto

Resultado → (∆ ± ⊡)2


Modelo ilustrativo: El esquema se le aplica al ejemplo planteado inicialmente

Trinomio → 16𝑥4 +24𝑥2𝑦2 9𝑦4 Se extrae la raíz

cuadrada ↓ ↓ Se extrae la raíz

cuadrada

4𝑥2 3𝑦2

+2(4𝑥2)( 3𝑦2)

Se verifica el doble producto

Resultado → (4𝑥2 − 3𝑦2)2

Ejemplo 10.20

En los ejemplos siguientes se ha aplicado el esquema anterior y la solución se da por simple

inspección.

a) 25 + 10𝑚𝑛 +𝑚2𝑛2 = (5 +𝑚𝑛)2 b) 𝑎12 − 2𝑎6 + 1 = (𝑎6 − 1)2

c) 121𝑥4 + 25𝑚2𝑛4 − 110𝑥2𝑚𝑛2 = (11𝑥2 − 5𝑚𝑛2)2

d) 𝑧2 + 2𝑧(𝑧 − 𝑦) + (𝑧 − 𝑦)2 = [𝑧 + (𝑧 − 𝑦)]2 = (2𝑧 − 𝑦)2

Trinomio Cuadrado de la forma: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Para factorizar este trinomio se procede de la siguiente manera:

1. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término será la

raíz cuadrada del término 𝑥2

2. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término 𝑏𝑥el signo

del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de 𝑏𝑥 y de c.

3. Si los dos factores tienen los mismo signos, se buscan entonces dos números cuya

suma sea igual que el valor absoluto del factor b de 𝑏𝑥 y cuyo producto sea igual al

valor absoluto del factor c, estos números son los segundos términos de los factores

binomios.

4. Si los dos factores tienen signos diferentes entonces se buscan dos números cuya

diferencia sea igual que el valor absoluto del factor b de 𝑏𝑥 y cuyo producto sea

igual al valor absoluto del factor c, el mayor de estos números será el segundo

término del primer factor binomio, y el menor de estos números será el segundo

término del segundo factor binomio.


Modelo explicativo:

Factorizar el trinomio: 𝑥2 + 8𝑥 + 15

Solución:

Primer paso: (𝑥 )(𝑥 )

Segundo paso: (𝑥+ )(𝑥+ )

Tercer y cuarto pasos: (𝑥 + 5)(𝑥 + 3)

Ejemplo 10.21

Problemas de factorización resueltos por simple inspección.

a) 𝑦2 + 10𝑦 + 24 = (𝑦 + 6)(𝑦 + 4) b) 𝑎2 − 4𝑎 − 5 = (𝑎 − 5)(𝑎 + 1) c) 𝑥2𝑦4 + 𝑥𝑦2 − 380 = (𝑥𝑦2 + 20)(𝑥𝑦2 − 19) d) 𝑧2𝑚 − 21𝑧𝑚 + 98 = (𝑧𝑚 − 7)(𝑧𝑚 − 14)

Nota importante: En los ejemplos c) y d) se hace necesario saber descomponer un número

en sus factores primos, como se muestra a continuación. Las combinaciones entre ellos nos

generan la solución a las factorizaciones planteadas.

Factores Primos Factores Primos

380 2 98 2

190 2 49 7

95 5 7 7

19 19 1

1

Adicionalmente, en los ejemplos c) y d) se puede ver que lo que se ha llamado x no es una

sola letra, pero aun así se utiliza el mismo procedimiento, esto es porque x es un factor lo

que implica que no necesariamente será una simple letra, este factor puede ser también una

expresión algebraica ∆ cualquiera. En otras palabras podríamos expresar el trinomio en la

forma:

∆2 + 𝑏∆ + 𝑐


Y resolverlo usando los pasos enunciados anteriormente. En el modelo siguiente se

mostrarán esos pasos e incluso se verá que el término c puede estar acompañado de una

expresión algebraica que también es un cuadrado perfecto.

Modelo ilustrativo

Factorizar el trinomio: 𝑥2 − 5𝑥𝑦 + 6𝑦2

Solución:

Primer paso: (𝑥 )(𝑥 )

Segundo paso: (𝑥− )(𝑥− )

Tercer y cuarto pasos: (𝑥 − 3𝑦)(𝑥 − 2𝑦)

Trinomio de la forma: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

En éste tipo de trinomio aparece un coeficiente adicional que acompaña al término 𝑥2 el

cual debe ser un entero positivo diferente de uno. La forma de factorizar dicho trinomio se

realiza siguiendo los siguientes pasos:

1. Se multiplica el coeficiente 𝑎 del factor 𝑎𝑥2 por cada término del trinomio, dejando

esta multiplicación indicada en el término 𝑏𝑥 de la manera 𝑏(𝑎𝑥) y en el término

𝑎𝑥2 de la manera (𝑎𝑥)2.

2. Se descompone el trinomio en dos binomios cuyo primer término es la raíz

cuadrada del término (𝑎𝑥)2la cual es 𝑎𝑥.

3. El producto resultante se divide entre el coeficiente 𝑎 de manera tal que no se

cambie polinomio original.

4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término 𝑏𝑥 el signo

del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de 𝑏𝑥 y de 𝑐.

5. Se buscan los segundos términos de los binomios siguiendo los pasos tres y cuatro

del caso del trinomio anterior.

Modelo explicativo:

Factorizar el trinomio 3𝑦2 + 8𝑥 + 5


Solución:

Primer paso: 3(3𝑦2 + 8𝑥 + 5) = (3𝑦)2 + 8(3𝑦) + 15)

Segundo paso: (3𝑦 )(3𝑦 )

Tercer paso: (3𝑦 )(3𝑦 )

3

Cuarto paso: (3𝑦+ )(3𝑦+ )

3

Quinto paso: (3𝑦 + 5 )(3𝑦 + 3 )

3

Simplificar: (3𝑦 + 5)(𝑦 + 1)

Nota importante: Si asumimos que ∆ es una expresión algebraica cualquiera el trinomio

anterior lo podríamos escribir de la siguiente manera:

𝑎∆2 + 𝑏∆ + 𝑐

y su solución se hace de manera idéntica a la explicada en los pasos anteriores. En algunos

de los ejemplos siguientes se mostrarán esos pasos e incluso se verán algunos de ellos en

los que el término c puede estar acompañado de una expresión algebraica que también es

un cuadrado perfecto.

Ejemplo 10.22

Problemas resueltos de factorizaciones de trinomios

a) 13𝑎2 − 7𝑎 − 6 = (13𝑎)2 − 7(13𝑎) − 78 =(13𝑎−13)(13𝑎+6)

13= (𝑎 − 1)(13𝑎 + 6)

b) 30𝑥2 + 17𝑥𝑦2 − 21𝑦4 = (30𝑥)2 + 17(30𝑥𝑦2) − 630𝑦4

= (30𝑥 + 35𝑦2)(30𝑥 − 18𝑦2)

30

= [5(6𝑥 + 7𝑦2)][6(5𝑥 − 3𝑦2)]

(5)(6)

= (6𝑥 + 7𝑦2)(5𝑥 − 3𝑦2)


Diferencia de Cuadrados

La diferencia de cuadrados simplemente es un binomio de dos términos a los que se les

puede sacar la raíz cuadrada exacta.

Hay que recordar que en los productos notables se tenía el hecho que:

(𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2

En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, es decir que en este caso es un

proceso contrario, o sea:

𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦)

Una forma fácil de obtener la factorización una diferencia de cuadrados, cuyos términos

son dos expresiones algebraicas cualesquiera que son cuadrados perfectos, se puede realizar

siguiendo el siguiente esquema:

Diferencia de Cuadrados → ∆2 − ⊡2

Se extraen la raíces

cuadradas de cada término ↓ ↓

∆ ⊡

Resultado → (∆ −⊡)(∆ +⊡)

Modelo explicativo:

Diferencia de Cuadrados → (𝑥 + 𝑦)2 − 9

Se extraen la raíces

cuadradas de cada término ↓ ↓

(𝑥 + 𝑦) 3

Resultado → [(𝑥 + 𝑦) − 3] [(𝑥 + 𝑦) + 3]

Ejemplo 10.23

Los siguientes ejemplos muestran factorizaciones de diferencia de cuadrados

a) 𝑦2 − 1 = (𝑦 − 1)(𝑦 + 1) b) 4𝑎2 − 16𝑏2 = (2𝑎 − 4𝑏)(2𝑎 + 4𝑏) c) 𝑥2𝑦4 − 144 = (𝑥𝑦2 − 12)(𝑥𝑦2 + 12) d) 𝑎2𝑚 − 121𝑏2𝑚 = (𝑎𝑚 − 11𝑏𝑚)(𝑎𝑚 + 11𝑏𝑚)

Cubo Perfecto de Binomios

Recordando de los productos notables el caso general del binomio al cubo, en donde cada

uno de los términos es una expresión algebraica y en donde se tenía que:


(∆ ± ⊡)3 = ∆3±3∆2⊡+3∆⊡2±⊡3

Para el caso de la factorización es realizar la operación inversa, es decir:

∆3±3∆2⊡+3∆⊡2±⊡3= (∆ ± ⊡)3

Para reconocer el cubo perfecto de un binomio se deben tomar en cuenta los siguientes

puntos.

Debe tener cuatro términos, y estar ordenado con respecto a una letra, que

dependerá de la expresión algebraica correspondiente, ∆ o ⊡.

Dos de sus términos, el 1º ∆3 y el 4º ⊡3 deben poseer raíz cúbica exacta.

El segundo término debe ser igual al triple producto del cuadrado de la raíz cúbica

del primer término por la raíz cúbica del cuarto termino [3∆2⊡].

El tercer término debe ser igual al triple producto de la raíz cúbica del primer

término por el cuadrado la raíz cúbica del cuarto termino [3∆⊡2].

El segundo y el cuarto término deben tener el mismo signo y puede ser positivo o

negativo, el primer y tercer término siempre son positivos.

Si todos los términos son positivos el resultado es el cubo de la suma de dos

cantidades (∆ + ⊡)3 , si hay términos negativos el resultado es el cubo de la

diferencia de dos cantidades (∆ − ⊡)3.

Modelo explicativo:

Factorizar la expresión algebraica: 27𝑚3 − 8𝑛3 − 54𝑚2𝑛 + 36𝑚𝑛2

Solución:

Primero se ordena el polinomio: 27𝑚3 − 54𝑚2𝑛 + 36𝑚𝑛2 − 8𝑛3

A continuación se muestra un esquema para obtener la factorización:

27𝑚3 − 54𝑚2𝑛 36𝑚𝑛2 − 8𝑛3

↓ ↓ Se extraen

las raíces

cubicas

3𝑚 2𝑛


3(3𝑚)2(2𝑛) =

3(9𝑚2)(2𝑛) = 54𝑚2𝑛

3(3𝑚)(2𝑛)2 =

3(3m)( 4𝑛2) = 36𝑚𝑛2

Se

verifican

los

productos

Resultado → (3𝑚 − 2𝑛)3

Ejemplo 10.24

Se presentan a continuación ejemplos de las factorizaciones de expresiones algebraicas que

se corresponden con un cubo perfecto. Se requiere que se comprueben los productos que

dan razón de ser a los segundos y terceros términos de los polinomios.

a) 𝑥3 + 15𝑥2 + 75𝑥 + 125 = (𝑥 + 5)3

b) −8 𝑚3 + 36𝑚2𝑛 − 54𝑚𝑛2 + 27𝑛3 = −(8 𝑚3 − 36𝑚2𝑛 + 54𝑚𝑛2 − 27𝑛3) = −(2𝑚 − 3𝑛)3

Suma o Diferencia de Cubos Perfectos

La diferencia de cubos perfectos es un binomio que proviene de la resta de dos términos a

los que se les puede extraer la raíz cubica de manera exacta y cuya factorización se puede

obtener de la siguiente manera:

𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2)

La comprobación es muy sencilla y simplemente se obtiene multiplicando los términos

contenidos en el producto y luego sumando términos semejantes.

La suma de cubos perfectos es un binomio que tiene en su solución una estructura muy

similar a la diferencia y su factorización se obtiene así:

𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2)

Ahora bien,



generalizar la diferencia de cubos

∆3 − ⊡3= (∆ − ⊡)(∆2 + ∆⊡+ ⊡2)

Es decir, la diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es

la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone del cuadrado de la primera

raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Y la suma de cubos,

∆3 + ⊡3= (∆ + ⊡)(∆2 − ∆⊡+ ⊡2)

se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo

se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el

cuadrado de la segunda raíz.

Modelo Explicativo:

Factorizar la expresión algebraica: 8𝑚3 − 64𝑛3

Solución

A continuación se muestra un esquema para obtener la factorización:

8𝑚3 64𝑛3

↓ ↓ Se extraen las raíces cubicas

2𝑚 4𝑛

(2𝑚 − 4𝑛) ← Construcción de primer factor

(2𝑚)2 +(2𝑚)(4𝑛) + (4𝑛)2

= (4𝑚2 + 8𝑚𝑛 + 16𝑛2)

← Construcción de segundo factor

Resultado → (2𝑚 − 4𝑛) (4𝑚2 + 8𝑚𝑛 + 16𝑛2)

Ejemplo 10.25

Muestra de factorizaciones de suma y diferencia de cubos

a) 8𝑥3 − 1 = (2𝑥 − 1)[(2𝑥)2 + (2𝑥)(1) + 12] = (2𝑥 − 1)(4𝑥2 + 2𝑥 + 1)


b) 27𝑎3 + 125𝑏3 = (3𝑎 + 5𝑏)[(3𝑎)2 − (3𝑎)(5𝑏) + (5𝑏)2] = (3𝑎 + 5𝑏)(9𝑎2 − 15𝑎𝑏 + 25𝑏2)

c) 𝑎6𝑚 + 342𝑏6𝑚 = (𝑎2𝑚 + 7𝑏2𝑚)[(𝑎2𝑚)2 − (𝑎2𝑚)(7𝑏2𝑚) + (7𝑏2𝑚)2]

= (𝑎2𝑚 + 7𝑏2𝑚)(𝑎4𝑚 − 7𝑎2𝑚𝑏2𝑚 + 49𝑏4𝑚)

La tabla 10.3 muestra un resumen de las expresiones algebraicas más comunes y que

poseen una factorización especial en donde los símbolos ∆ y ⊡ representan cada uno una

expresión algebraica cualquiera.

Tabla 10.3 Expresiones algebraicas de factorización especial

Expresión Algebraica Nombre

∆2 −⊡2= (∆ −⊡)(∆ +⊡) Diferencia de cuadrados

∆2 + 2∆⊡+⊡2= (∆ +⊡)2 Trinomio cuadrado Perfecto

∆2 − 2∆⊡+⊡2= (∆ −⊡)2 Trinomio cuadrado Perfecto

∆3 + 3∆2⊡+3∆⊡2+⊡3= (∆ +⊡)3 Cubo perfecto de Binomios

∆3 − 3∆2⊡+3∆⊡2−⊡3= (∆ −⊡)3 Cubo perfecto de Binomios

∆3 −⊡3= (∆ −⊡)(∆2 + ∆⊡+⊡2) Diferencia de cubos

∆3 +⊡3= (∆ +⊡)(∆2 − ∆⊡+⊡2) Suma de Cubos

Nota Importante: La tabla 10.3 puede ayudar a resumir los productos notables, que

corresponden a los resultados de las factorizaciones de los términos escritos a la izquierda.

Esto puede servir de ayuda para observar que estas operaciones forman un todo y no un

caso separado. Es decir, los productos notables y las factorizaciones especiales pueden ser

enseñados como un solo proceso que va de izquierda a derecha o viceversa, como se

muestra en dicha tabla.

Factorización de Expresiones Algebraicas con Exponentes Racionales

Para este caso se escogen los factores que son comunes y que tienen el exponente más

pequeño y se agrupan en los factores restantes, según sea el caso.

Ejemplo 10.26

Factorizar la siguiente expresión con exponentes racionales

3𝑥3/2 − 9𝑥1/2 + 12𝑥−1/2

Solución


3𝑥3/2 − 9𝑥1/2 + 12𝑥−1/2 = 3𝑥−1/2(𝑥2 − 3𝑥 + 4)

= 3𝑥−1/2(𝑥 − 4)(𝑥 + 1)

Ejercicios

1. Realice las siguientes operaciones

𝑎) 3𝑥𝑦 − 8𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦 b) (𝑥 − 2𝑦)(𝑥2 + 4𝑦2) c) 𝑎3−3𝑎2+3𝑎−1

𝑎−1

2. Desarrollar los siguientes binomios:

a) (𝑥 + 4)2 b) (2𝑥 − 5)2 c) (3𝑥 − 2)3

d) (2𝑥 + 3𝑦)3 e) (𝑎 − 3𝑏)4

f) (4𝑎 − 2𝑏)5

3. Desarrollar:

a) (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2) b) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) c) (𝑥2 − 𝑥 + 1)2

4. Factorizar:

a) 9𝑎2 − 16𝑏2 b) 25𝑥2 − 81 c) 18𝑚2 − 32𝑛2 d) 9𝑚4 − 40𝑛4

e) 1

2𝑚𝑣2 −

1

2𝑚𝑣0

2 f) 𝑅4 − 𝑟4 g) 5 − 180𝑡2 h) 3𝑥3 − 27𝑥

i) 45𝑎3𝑏 − 15𝑎𝑏 j) 2𝑥5 − 162𝑥3 k) 𝑥2 − 12𝑥 + 36 l) 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2

m) 25𝑎2𝑐2 + 20𝑎𝑐𝑑 + 4𝑑2 n) 289𝑥2 + 68𝑥𝑦𝑧 + 4𝑦2𝑧2 o) 7𝑥2 − 16𝑥 + 9

5. Simplificar las siguientes expresiones

a) 𝑥2−3𝑥

𝑥2+3𝑥 b)

𝑥2−3𝑥

3−𝑥 c)

𝑥2+10𝑥+25

𝑥+5 d)

𝑥2−6𝑥+9

𝑥2−9

e) 𝑥2−5𝑥+6

𝑥2−7𝑥+13 f)

𝑥2−2𝑥−3

𝑥2−𝑥−2 g)

𝑥3−9𝑥2

𝑥(𝑥+3) h)

27𝑚3−54𝑚2+36𝑚−8

(3𝑚−2)2

6. Sumar las fracciones algebraicas:

𝑎) 1

𝑥+1+

2𝑥

𝑥2−1−

1

𝑥−1 b)

𝑥+2

𝑥3−1−

1

𝑥−1 c)

3𝑥

𝑥3−1−

1

𝑥2+𝑥+1


7. Efectuar las siguientes operaciones:

𝑎) (𝑥 +𝑥

𝑥−1) (𝑥 −

𝑥

𝑥−1) b) (𝑥 +

𝑥

𝑥−1) ÷ (𝑥 −

𝑥

𝑥−1) c)

𝑥

1+1

1+1𝑥

Preguntas de Investigación

1. Es factorizable el término x-y como:

a) Una diferencia de cuadrados

b) Una diferencia de cubos

2. Es factorizable la suma de cuadrados 𝑥2 + 𝑦2 ?. De ser posible, cómo se hace?. ¡Esta es

una buena pregunta de Investigación¡.

3. ¿Cómo se puede factorizar: √𝑥3

− √𝑥𝑦3

?.

4. ¿Cómo se puede factorizar la suma de dos potencias iguales, es decir 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛

o la diferencia 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ?.

10.7. Ecuaciones

Dentro de las operaciones y procesos algebraicos, las ecuaciones juegan un papel

fundamental en las matemáticas y en la explicación de muchas fenomenologías encontradas

a menudo en el mundo real. Desde una visión matemática, la ecuación es tan sólo un

procedimiento que pretende encontrar los valores que dan solución a la misma y que son

llamadas las raíces o soluciones de la misma.

Para establecer la noción de ecuación, se hace necesario dar unos conceptos previos que

sirven para formalizar su definición. Adicionalmente a continuación de cada definición se

muestra un ejemplo.

Igualdad: Es una expresión matemática en la cual se muestra que una expresión tiene

el mismo valor que otra. La igualdad sólo se verifica para determinados valores de la

expresión.

2 + 10 = 3 ∗ 4 2𝑛 + 6 = 10

Identidad: Es una expresión matemática en la cual se muestra que dos expresiones son

iguales para cualquier valor que se coloque en lugar de las cantidades (constantes,

variables, letras entre otras) que figuran en la expresión. Casos como las factorizaciones y


los productos notables son ejemplos de identidades. También en nociones de trigonometría

se encuentran muchas de ellas.

𝑥2 − 𝑦2 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1

Ecuación: Es una expresión matemática de igualdad condicionada por cantidades

conocidas y cantidades desconocidas o incógnitas, que se cumplen únicamente para

determinados valores. Nunca se debe olvidar que las ecuaciones son igualdades.

𝑥 − 7 = 13 se cumple si 𝑥 = 20

2𝑎 + 7𝑏 = 19𝑏 se cumple si 𝑎 = 6𝑏

Miembros: Se denominan miembros de una ecuación a las expresiones matemáticas

colocadas a la derecha y a la izquierda del signo igual (=).

5𝑚 + 1 = 4𝑚2 + 7𝑛

donde 5𝑚 + 1 es el primer miembro y 4𝑚2 + 7𝑛 es el segundo miembro.

Términos: Son términos de una ecuación, cada una de las expresiones algebraicas que

están vinculadas con otra por los signos de suma y resta (+, –).

3𝑧2 − 2𝑧 + 6 = 4

En la ecuación anterior "3𝑧2" , "2𝑧", "6" son los términos del primer miembro

Grado: El grado de una ecuación con una sola incógnita es el mayor exponente de

esa incógnita.

𝑦 − 4 = 5 + 6𝑦 → 1er

grado en y (Ecuación Lineal)

3𝑥2 − 5𝑥 = 8 + 7𝑥 → 2o grado en x (Ecuación Cuadrática)

𝑧2 − 4𝑧 = 𝑧4 + 4 → 4o

grado en z

Raíz: Se denomina raíz de una ecuación a cualquier valor numérico que al reemplazarse

por la incógnita satisfaga la ecuación.

4𝑥 = 28 la raíz es 7 pues se cumple que 4(7) = 28

Conjunto solución: Es el conjunto de todos aquellos números que cumplen la igualdad en

una ecuación. Es el conjunto de todas las raíces de la ecuación.

3𝑥2 = 12 el conjunto solución es {2, −2}, ambos valores cumplen la condición.


Nota Conceptual: Diferencia entre identidad y ecuación

1. Si dos expresiones matemáticas son iguales para cualesquiera valores que se pongan en

lugar de las cantidades que figuran en la expresión matemática es una identidad. Si la

igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión matemática es una

ecuación.

2. La comprobación de una ecuación se realiza reemplazando la raíz obtenida en la

ecuación original, si ambos miembros dan el mismo resultado se confirma la respuesta.

Clasificación de las ecuaciones

De acuerdo a la forma como son escritas sus incógnitas y los términos en las ecuaciones,

ellas pueden clasificarse de varias formas, como se mostrará a continuación.

a) Número de incógnitas

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas de acuerdo a los términos que en ella

aparecen. La ecuación 5𝑥 − 3 = 12 sólo tiene una incógnita, la ecuación 7𝑥 + 𝑦 = 2,

tiene dos incógnitas y 9𝑥𝑦 + 4𝑥2 − 𝑧 = 8 tiene tres incógnitas.

Si se quisiera pensar que las ecuaciones con una sola incógnita tienen alguna representación

gráfica, se pueden imaginar cómo puntos sobre el eje x. Las de dos incógnitas como curvas

en un plano y las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones.

b) Grado de la incógnita

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita, como ya

se mencionó anteriormente. El grado es el exponente más alto de la incógnita, así si el

exponente más alto es uno la ecuación es de primer grado o ecuación lineal, si es dos

ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, si es tres ecuación de tercer grado o

ecuación cúbica y así sucesivamente.

A continuación se mostraran los métodos para resolver algunos tipos de ecuaciones.

Ecuaciones lineales

Una ecuación se llama lineal si tiene la forma ax + b = 0, siempre que 𝑎 ≠ 0 . Estas

ecuaciones son muy sencillas de resolver, basta con hacer el despeje de la incógnita x.

Despejar la x significa dejarla sola a un lado del signo igual. Para trasladar o pasar un

número, o una variable, al otro lado del signo igual se siguen las reglas:


Si el término que contiene a la incógnita x está sumando pasa a restar y si el término

está restando pasa a sumar. Para el caso presente, queda que 𝑎𝑥 = −𝑏.

Si el coeficiente que acompaña a x está multiplicando pasa a dividir y si está

dividiendo pasa a multiplicar. Es decir, x = -b/a.

Las reglas anteriores son el resultado de aplicar a ambos lados de la ecuación las

propiedades de la existencia del inverso aditivo y el inverso multiplicativo de los números

reales, vistas en el capítulo anterior.

Cuando los términos de la ecuación lineal no tienen la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, sino que

contiene más términos a lado y lado de la ecuación, se sugiere seguir los siguientes pasos:

1. Se realizan las operaciones que se puedan resolver en cada miembro, si las hay.

2. Se trasladan a un solo lado de la ecuación todos los términos que contengan la

incógnita y al otro lado se trasladan todos los valores conocidos o constantes.

3. Se reducen los términos semejantes.

4. Se despeja la incógnita pasando a dividir el coeficiente de la incógnita al otro lado

de la ecuación.

5. Se comprueba que el resultado obtenido sea correcto sustituyéndolo en la ecuación

original.

Ejemplo 10.27

Resolver la ecuación: 4(𝑥 − 2) = 3(8 − 2𝑥)

Solución:

Se aplica la ley distributiva a cada lado de la ecuación obteniéndose:

4𝑥 − 8 = 24 − 6𝑥

Se dejan a cada lado de la ecuación los términos que contienen a la incógnita x y al otro

lado los valores conocidos, así:

6𝑥 + 4𝑥 = 24 + 8

Se suman términos semejantes quedando,


10𝑥 = 32

Al despejar x se obtiene

𝑥 =32

10 y simplificando por 2 se tiene que 𝑥 =

16

5

Comprobación: Se sustituye el valor 𝑥 =16

5 en la ecuación original, quedando la expresión:

4 (16

5− 2) = 3 (8 − 2 ∗

16

5)

4 (16 − 10

5) = 3 (8 −

32

5)

4 (6

5) = 3 (

40 − 32

5)

4 (6

5) = 3 (

8

5)

24

5=24

5

El hecho que en algunas ecuaciones aparezcan términos de orden superior, es decir que se

supone que son ecuaciones no lineales, es posible que se puedan reducir a ecuaciones de

primer grado bajo procesos algebraicos, como la factorización o el de añadir términos que

hacen que al realizar las diferentes operaciones desaparezcan los términos de orden

superior.

Ejemplo 10.28

Resolver la ecuación: 4(𝑥2 − 5) = (2𝑥 − 1)2

Solución

Al primer término de la ecuación se le aplica la ley distributiva y el segundo término se

desarrolla con el cuadrado de un binomio, quedando:

4𝑥2 − 20 = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1

Trasladando términos a lado y lado de la ecuación, se tiene:

4𝑥2 − 4𝑥2 + 4𝑥 = 20 + 1


Reduciendo términos semejantes

4𝑥 = 21 Entonces 𝑥 =21

4

Comprobación: Introduciendo el valor de x en la ecuación original tenemos:

4 [(21

4)2

− 5] = [2 (21

4) − 1]

2

4 (441

16− 5) = (

21

2− 1)

2

4 (441 − 80

16) = (

21 − 4

4)2

4 (361

16) = (

17

4)2

361

4 =

361

4

Como ya se ha dicho en algunos apartes de éste capítulo, el álgebra es útil para solucionar

muchos problemas prácticos que incluyen fenomenologías de la física, análisis en

ingeniería, estudios económicos entre otros. Puesto que este tipo de problemas se plantean

como enunciados en palabras, oraciones, frases, diferentes iconologías, se podrían llamar

problemas en variables que no siempre se corresponden con las palabras o letras

tradicionales usadas en el álgebra. Por eso, existen algunos retos de los problemas en

palabras o similares y es traducir dichas palabras en ecuaciones o expresiones algebraicas

adecuadas. Ya que no existe una metodología para hacer esa trasposición, se requiere de

trabajo, paciencia y práctica para volverse un experto en la solución de problemas en

palabras, que no son más que ejercicios o problemas de aplicación. Al final del capítulo se

plantean algunos ejercicios de ese tipo de aplicaciones y a continuación se mostrará un

pequeño ejemplo.

Ejemplo 10.29

Hace diez años Angie tenía dos veces la edad de Alejandra, ahora es 6 años mayor que

Alejandra. Se pide encontrar las edades actuales de Angie y Alejandra.

Solución: La cantidad que se quiere determinar es la edad actual de Angie, entonces se

asigna:

x = edad actual de Angie


Ahora podemos representar las otras cantidades del problema en términos de x, así:

𝑥 − 6 = edad actual de Alejandra

𝑥 − 10 = edad de Angie hace diez años

(𝑥 − 6) − 10 = 𝑥 – 16 = edad de Alejandra hace diez años

Puede verse de manera útil escribir la información en forma de tabla, como se muestra a

continuación:

Edad Actual Edad hace diez años

Angie 𝑥 𝑥 − 10

Alejandra 𝑥 − 6 𝑥 − 16

Una ecuación que expresa la relación entre sus edades hace diez años es por lo tanto:

𝑥– 10 = 2(𝑥 − 16)

Resolviendo la ecuación se tiene:

𝑥 – 10 = 2𝑥 − 32

32 – 10 = 2𝑥 − 𝑥

𝑥 = 22

Entonces la edad actual de Angie es 22 años y la de Alejandra 16 años.

Prueba: Si Angie tiene ahora 22 años, Alejandra debe tener actualmente 16 años. Hace diez

años Angie tenía 12 años y Alejandra 6 años y por tanto hace diez años la edad de Angie

era el doble la de Alejandra.

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación se llama cuadrática si tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, (Ecuación estándar

o canónica) siempre que 𝑎 ≠ 0 y en donde a, b y c son números reales.

Existen algunos métodos para resolver la ecuación cuadrática y encontrar entonces las

raices de la ecuación. A continuación se muestra el método de factorización y luego usando

el método de la fórmula cuadrática.


Método de factorización

Un método o técnica para resolver ecuaciones cuadráticas tiene como fundamento el hecho

que si “𝑝” y “𝑞” son factores reales, tales que 𝑝𝑞 = 0, entonces 𝑝 = 0 ó 𝑞 = 0. Es por

eso, que 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 puede expresarse como un producto de polinomios de primer

grado y por ende encontrar las soluciones igualando cada factor a cero. Lo anterior implica,

que si una ecuación cuadrática puede ser factorizada en un producto de factores lineales,

entonces puede asegurarse que es una ecuación factorizable.

Ejemplo 10.29

Hallar las raíces de la ecuación: 2𝑥2 + 7𝑥 − 4 = 0

Solución 1: Factorización por inspección

La ecuación es factorizable porque puede expresarse como el producto de los factores

lineales (2𝑥 + 1)(𝑥 − 4). Es decir que:

2𝑥2 − 7𝑥 − 4 = (2𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0

Por lo tanto: (2𝑥 + 1) = 0 o (𝑥 − 4) = 0

es decir, que las dos raíces de la ecuación son:

𝑥 = −1

2 y 𝑥 = 4

Este método no es nada práctico, cuando no se tiene la habilidad para conseguir los dos

factores lineales de manera inmediata o cuando la expresión de la ecuación cuadrática sea

más compleja. Por eso, se sugiere generalizar usando el método de la segunda solución y

siempre y cuando las raíces de la ecuación sean números reales.

Solución 2: Factorización del trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

Se deben seguir los pasos explicados para la factorización del trinomio de la forma

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 que fueron explicados en este mismo capítulo, es decir

Se multiplica y se divide la ecuación original por el coeficiente 𝑎, es decir 2, quedando la

ecuación (después de reagrupar términos) de la siguiente manera:

(2𝑥)2 − 7(2𝑥) − 8

2= 0


Se buscan números que sumados den -7 y multiplicados 8, obteniéndose la factorización:

(2𝑥 − 8)(2𝑥 + 1)

2= 0

Factorizando el 2 del primer término, se tiene:

2(𝑥 − 4)(2𝑥 + 1)

2= 0

Simplificando por 2 se llega a:

(𝑥 − 4)(2𝑥 + 1) = 0

De donde se obtiene que: 2𝑥 + 1 = 0 o 𝑥 − 4 = 0

Despejando x para cada caso, se obtienen las dos raíces de la ecuación de manera idéntica

como se realizó en la primera solución, así:

𝑥 = −1

2 y 𝑥 = 4

Fórmula de la Ecuación Cuadrática

No siempre es fácil encontrar las raíces de una ecuación cuadrática por medio de

factorizaciones. Por eso existe una expresión algebraica, llamada fórmula de la ecuación

cuadrática, con la cual se pueden encontrar de manera muy rápida las dos raíces de la

ecuación, incluso cuando ellas no son números reales, sino números complejos. Por tanto,

es una expresión algebraica que generaliza la solución de la ecuación cuadrática. La

fórmula cuadrática es obtenida de procesos de factorización que requieren de cierta destreza

y habilidad algebraica para obtenerla y por eso su demostración no se realiza, dentro del

texto. Sin embargo, es un buen ejercicio la obtención de la misma y puede ser un trabajo de

discusión e investigación.

La fórmula de la ecuación cuadrática es:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Para el uso de la expresión anterior y conseguir las raíces de la ecuación, se pueden seguir

los pasos sencillos siguientes:


1. Escribir la ecuación en su forma estándar

2. Determinar los valores de las constantes a, b y c.

3. Usar la fórmula cuadrática sustituyendo los valores a, b y c donde corresponden.

Realizar las operaciones o cálculos necesarios y luego halla el valor de x primero

con el signo “+” para encontrar una raíz y luego con el signo “-” para encontrar la

segunda raíz.

Ejemplo 10.30

Hallar las raíces de la ecuación: 2𝑥2 = 3 − 𝑥

Solución:

La ecuación se lleva a su forma estándar, es decir: 2𝑥2 + 𝑥 − 3 = 0

Los valores de las constantes son: 𝑎 = 2; 𝑏 = 1; 𝑐 = −3

Usando la fórmula cuadrática y sustituyendo los valores se tiene:

𝑥 =−1 ± √12 − 4(2)(−3)

2(2)

𝑥 =−1 ± √1 + 24

4

𝑥 =−1 ± √25

4

𝑥 =−1 ± 5

4

𝑥 =−1+5

4=4

4= 1 y 𝑥 =

−1−5

4=−6

4= −

3

2

Por tanto, las dos raíces son: 𝑥 = 1 y 𝑥 = −3

2

En el ejemplo anterior las raíces de la ecuación cuadrática fueron dos números reales. La

generalización de las características de las dos soluciones o raíces de la ecuación cuadrática


se obtiene conociendo el valor de la expresión 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐, conocida como el

Discriminante (cantidad subradical), de la siguiente forma:

Si D = 0, las raíces son números reales iguales.

Si D > 0, las raíces son números reales diferentes.

Si D < 0, las raíces NO son números reales, sino Números Complejos.1

Preguntas de Investigación

1. Consulte en un libro de algebra o en un tutorial de algebra (vía internet) un método para

obtener las soluciones de la ecuación cuadrática y así obtener la fórmula de dicha ecuación

que permite hallar las dos raíces. Discútala, revise los pasos de la solución y diga que trucos

o habilidades algebraicas le parecieron interesantes.

2. Toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos

una raíz real o compleja. Este enunciado es el teorema fundamental del álgebra y

constituye uno de los enunciados más relevantes en la matemática. Averigua en que

consiste dicho teorema sin preocuparse por su demostración, sino por la importancia que

tiene.

10.8. Sistemas de Ecuaciones

Hasta ahora se han venido resolviendo ecuaciones lineales o ecuaciones cuadráticas en

forma individual. Sin embargo, existen distintos sistemas de ecuaciones, las cuales son

todo un conjunto de ecuaciones diferentes que tiene una o más soluciones comunes.

Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es encontrar el conjunto de valores que

satisfacen simultáneamente cada una de dichas ecuaciones.

Ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas

Las características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (variables)

es que los resultados al resolver dichos sistemas cumplen con alguna de las siguientes

condiciones:

Existe únicamente una solución y por tanto es consistente.

Existe una cantidad infinita de soluciones y entonces es dependiente y consistente.

1 Un número complejo tiene la forma 𝐶 = 𝑎 + 𝑏𝑖 en donde 𝑎 y 𝑏 son números reales e i se conoce como la unidad imaginaria o número

imaginario, que por definición es 𝑖 = √−1.


No existe solución y por ello es inconsistente.

Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Sin embargo, a

continuación se mostrarán algunos de los más comunes y que se convierten en herramientas

fáciles y ligeras para obtener los valores de las respectivas incógnitas o variables. Esos

métodos se conocen como: Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas

podemos utilizar uno de los siguientes métodos: a) Sustitución, b) Igualación y c)

Reducción (eliminación por suma y resta).

Ejemplo 10.31

Encontrar los valores de x e y en el siguiente sistema:

{2𝑥 + 𝑦 = 45𝑥 − 3𝑦 = 21

Solución:

a) Método de sustitución

De una cualquiera de las ecuaciones se despeja una de las incógnitas, por ejemplo y en la

primera, obteniéndose:

𝑦 = 4 − 2𝑥

La expresión anterior se sustituye en la otra ecuación, de tal manera que se tiene:

5𝑥 − 3(4 − 2𝑥) = 21

Luego se resuelve la ecuación lineal, quedando que:

5𝑥 − 12 + 6𝑥 = 21 → 11𝑥 = 33 → 𝑥 =33

11 → 𝑥 = 3

Ahora el valor de x se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar el

valor de la otra incógnita, es este caso y. Aunque, para agilizar el proceso se sugiere

sustituir el valor de x en la expresión en donde ya se había despejado y. Es decir,

𝑦 = 4 − 2(3) → 𝑦 = 4 − 6 → 𝑦 = −2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto es 𝑥 = 3 e 𝑦 = −2.

http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-43.html#sustitucion

http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-43.html#sustitucion

http://www.aulafacil.com/algebra/curso/Lecc-43.html#reduccion


b) Método de igualación

De las dos ecuaciones se procede a despejar la misma incógnita (se sugiere que se realicen

los pasos para obtener y de la segunda ecuación), quedando:

{

𝑦 = 4 − 2𝑥

𝑦 =5𝑥 − 21

3

Luego se igualan las dos expresiones, obteniéndose:

4 − 2𝑥 =5𝑥 − 21

3

Pasando a multiplicar 3 al lado izquierdo y realizando la operación respectiva, se tiene:

12 − 6𝑥 = 5𝑥 − 21 → 33 = 11𝑥 → 𝑥 =33

11 → 𝑥 = 3

Sustituyendo el valor de x en cualquiera de las dos expresiones en donde se había despejado

y, en este caso la primera, se obtiene 𝑦 = −2.

c) Método de Reducción

En este método la intención es eliminar una variable multiplicando ambas ecuaciones por

los coeficientes de la incógnita a eliminar, con la condición que el coeficiente en la primera

ecuación se multiplica a los términos de la segunda y viceversa. Lo anterior, con el fin que

alguno de los términos sea idéntico para después pasar a sumar o restar (según sea el caso)

miembro a miembro de la ecuación, y así eliminar una incógnita para luego despejar la otra.

Para este ejemplo eliminamos y. Se multiplica la primera ecuación por 3 (coeficiente de y

en la ecuación 2) y la segunda no es necesario multiplicarla por algún número puesto que el

coeficiente de y en la 1ª ecuación es 1.

2𝑥 + 𝑦 = 4 → 3(2𝑥 + 𝑦) = 3(4) → 6𝑥 + 3𝑦 = 12

5𝑥 − 3𝑦 = 21 → 5𝑥 − 3𝑦 = 21 → 5𝑥 − 3𝑦 = 21

11𝑥 + 0𝑦 = 33 11𝑥 = 33

𝑥 =33

11

𝑥 = 3

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene 𝑦 = −2.


Este último método es muy práctico y utilizado porque sirve para cualquier cantidad de

ecuaciones con la única condición que el número de incógnitas no sea mayor a la cantidad

de ecuaciones.

Como pudo observarse, el sistema de ecuaciones fue resuelto por los tres métodos

punteados y por tanto los tres métodos conducen a la misma solución del sistema de

ecuaciones. Sin embargo, depende de las habilidades que se tengan y de los procesos

algebraicos que conllevan a la solución del sistema de ecuaciones, es que se lleva a cabo la

escogencia del método.

Ejercicios

1. Hallar los valores de la incógnita x en las siguientes ecuaciones lineales. Asuma que

cualquier otra letra se asume como constante.

a) 2𝑥 = 14 b) 5𝑥 − 14 = 7 + 𝑥 c) 4(2𝑥 − 3) = 3 + 7𝑥

d) 𝑥−1

5−𝑥−7

10 e)

5𝑥−2

3−3

4(𝑥 − 4) =

1

2 f)

5

𝑥−3=

4

𝑥−1

g) 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 − 3𝑎𝑥 h) 6𝑏𝑥 + 3𝑎 = 3𝑐 + 6𝑎𝑥 i) 𝑣 =𝑥−𝑥0

𝑡−𝑡0

2. Los siguientes son problemas de aplicación de las ecuaciones lineales.

a) Una madre tiene 25 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad de la madre

tres veces mayor que la edad del hijo?.

b) Si al triplo de un número se le resta su mitad resulta 13. ¿Cuál es el número?

c) La base de un rectángulo es el doble de su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el

perímetro mide 60 cm?

d) Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 30° más que C y

que A mide 60° más que B.

3. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

a) {𝑧 + 4𝑥 = −15𝑧 − 4𝑥 = 2

b) {−13𝑧 + 10𝑦 = 18𝑧 − 4𝑦 = −2

c) {𝑚𝑥 − 𝑛𝑦 = 𝑚2 + 𝑛2

𝑛𝑥 +𝑚𝑦 = 𝑚2 + 𝑛2

4. Encontrar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

a) 𝑥2 + 9𝑥 = −8 b) 2 𝑥2 − 7𝑥 + 5 = 0 c) −𝑡2 + 2𝑡 − 1 = 0


d) 𝑧2 − 𝑧 + 1 = −2𝑧 e) 2𝑦 − 3 = 1 − 2𝑦 + 𝑦2 f) 𝑥2 −7

6𝑥 +

1

3= 0

g) 𝑧2 = 25 − (7 − 𝑧)2 h) 18 − 6𝑥 = 𝑥(𝑥 − 13) i) 𝑦2 + (𝑦 + 2)2 = 580

5. A continuación se plantean una serie de ejercicios de aplicación de la ecuación

cuadrática.

a) Escriba una ecuación de segundo grado cuyas raíces son: 4 y −1.

b) Determinar el valor b de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − bx + 36 = 0 sean

iguales.

c) La suma de dos números es 7 y su producto es −60. Halle dichos números.

d) Dentro de 11 años la edad de Alejandra será la mitad del cuadrado de la edad que tenía

hace 13 años. Calcula la edad de Alejandra.

e) Para encerrar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcule

las dimensiones de la finca.

f) Los catetos de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3 y 4. Halle la

longitud de la hipotenusa sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

g) Hallar un número entero sabiendo que la suma de dicho número con su inverso

multiplicado da por resultado 26

5.

Ejercicios de aplicación a la física

1. Un auto que tiene una rapidez inicial v0 recorre una distancia x en un cierto tiempo t.

Suponiendo que el auto acelera de manera uniforme, se puede asegurar que la expresión

que relaciona estas variables viene dada por:

𝑥 = 𝑣𝑜𝑡 +1

2𝑎𝑡2

Si la variable a despejar fuera t, a) Utilice la fórmula de la ecuación cuadrática para hallar el

tiempo t en función de las otras variables (que en ese momento son asumidas como

constantes), b) Analice el discriminante que obtiene en la solución y decida bajo qué

condiciones, la ecuación tiene solución real y c) resuelva la ecuación para el caso en que

x = 50 m, a = 2 m/s2 y vo = 5 m/s.


2. Si se lanza un objeto hacia arriba desde el

suelo con un ángulo de 𝜃 = 45° arriba de la

horizontal (ver figura adjunta) con una

rapidez inicial v0 (m/s), se puede obtener la

altura y en metros arriba del suelo a una

distancia horizontal x del punto de

lanzamiento por medio de la expresión:

𝑦 = 𝑥 −9.8

2𝑣02 𝑥

2

Si un objeto es lanzado con un ángulo de 45º con una rapidez de 15 m/s. a) ¿A qué

distancia del punto de lanzamiento golpeará el piso por primera vez? y b) ¿A qué distancia

o distancias del punto de lanzamiento el objeto se encontrará a una altura de 3 m?.

10.9. Ecuaciones con expresiones algebraicas Racionales o Radicales

A continuación, se definen unos tipos especiales de ecuaciones y se solucionan unos

ejemplos en donde se muestran posibles formas de resolverlas.

Ecuaciones con expresiones algebraicas racionales

Son expresiones algebraicas cuyos denominadores pueden contener la incógnita a encontrar

y la forma de resolverlas requiere de saber las operaciones entre fracciones y aplicaciones

de factorizaciones u otras propiedades, vistas con anterioridad.

Ejemplo 10.31

Resolver la ecuación: 1

𝑥−2+

1

𝑥+2=

1

𝑥2−4

Solución:

Se factoriza el denominador del segundo término, obteniéndose que 𝑥2 − 4 =(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) y luego esta expresión se multiplica por cada uno de los términos de la

ecuación y se obtiene:

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 − 2+(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)

𝑥 + 2=𝑥2 − 4

𝑥2 − 4

q

y

x


Simplificando términos semejantes se tiene que:

𝑥 + 2 + 𝑥 − 2 = 1

Sumando términos semejantes se llega a:

2𝑥 = 1 es decir que 𝑥 =1

2

El anterior procedimiento es una forma de resolver la ecuación, sin embargo se hubiese

podido obtener un factor que haga las veces de común denominador y proceder luego a la

suma de fracciones algebraicas.

Prueba: Se deja como ejercicio sustituir el valor obtenido de x en la ecuación original para

mostrar que esa solución es cierta.

No olvidar que en la ecuación original se debe cumplir que 𝑥 ≠ 2 𝑦 𝑥 ≠ −2

Ejercicios

1. Resolver las siguiente ecuaciones:

a) 3

𝑥−4+

4

𝑥+4=

3

𝑥2−16 b)

3

𝑥= 1 +

𝑥−5

4 c)

3−𝑥

𝑥+1= 1 −

2𝑥−1

𝑥

2. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación.

a) Halle un número sabiendo que la suma de éste con nueve veces su inverso multiplicativo

es menos seis veces dicho número.

b) Aplicación a la física: En un circuito en paralelo se puede mostrar que al conectar dos

resistores, el inverso de la resistencia equivalente Req es la suma de los inversos de las

resistencias R1 y R2 de los dos resistores. a) Pruebe que el valor de la resistencia

equivalente viene dada por la expresión: 𝑅𝑒𝑞 =𝑅1𝑅2

𝑅1+𝑅2 y b) Compruebe que si R1 y R2 son

iguales 𝑅𝑒𝑞 =𝑅

2, siendo R el valor de una cualquiera de las resistencias.

Ecuaciones con expresiones algebraicas radicales

Una ecuación con radicales o irracionales puede ser considerada como aquella que tiene la

incógnita bajo el signo radical, como es el caso de la expresión algebraica:


√3𝑥 − 2 − 𝑥 = −4

Ejemplo 10.32

Resolver la ecuación: √3𝑥 − 2 − 𝑥 = −4

Solución:

Para resolver este tipo de ecuaciones, se sugieren los siguientes pasos:

i) Dejar la expresión que contiene el radical en uno de los dos miembros de la

igualdad, pasando al otro miembro todos los demás términos, aunque tengan

también radicales. Por tanto, la expresión anterior queda:

√3𝑥 − 2 = 𝑥 − 4

ii) Elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad,

(√3𝑥 − 2)2= (𝑥 − 4)2

3𝑥 − 2 = 𝑥2 − 8𝑥 + 16

iii) Resolver la ecuación obtenida,

𝑥2 − 11𝑥 + 18 = 0

(𝑥 − 9)(𝑥 − 2) = 0

𝑥 = 9 y 𝑥 = 2

iv) Comprobar si las soluciones obtenidas satisfacen la ecuación inicial. No olvidar,

que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas

soluciones que la original y las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de

uno de los miembros de la ecuación.

Sustituyendo el valor de 𝑥 = 9, se tiene:

√3(9) − 2 − 9 = √27 − 2 − 9 = √25 − 9 = 5 − 9 = −4

y sustituyendo el valor de 𝑥 = 2 y antecediendo de un signo menos a la expresión

que contiene el radical se tiene:

−√3(2) − 2 − 2 = −√6 − 2 − 2 = −√4 − 2 = −2 − 2 = −4


v) Repetir los pasos anteriores si la ecuación tiene varios radicales, hasta eliminarlos

por completo.

Ejercicios

1. Hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones que contienen radicales.

a) √3𝑥 + 2 − 𝑥 = 1 b) 3√𝑥 − 3 + 2 = 𝑥 + 1 c) √2𝑥 − 4 + √𝑥 − 1 = 7

2. Aplicación a la física: El periodo T en segundos de un disco uniforme de radio R, que

oscila como un péndulo físico a una distancia x del centro de masa, viene dado por la

expresión:

𝑇 = 2𝜋√𝑅2 + 2𝑥2

2𝑔𝑥

Suponiendo que el disco se ha puesto a oscilar en una de las aulas de laboratorio de física

de la Universidad Distrital (en donde se supone que el valor de la aceleración gravitacional

g es en magnitud 9,76 m/s2) y que se ha obtenido un periodo de 1,2 s con un disco de radio

0,1 m. ¿A qué distancia x del centro de masa se debe ubicar el eje de rotación en el disco

para que se obtenga dicho periodo de oscilación?. De no estar el eje de rotación situado, por

ejemplo en un orificio hecho dentro del disco, ¿Cómo se podría lograr obtener ese periodo

de oscilación?.

Sistema de Ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones se considera que es no lineal, cuando al menos una de sus

ecuaciones no es de primer grado.

No existe un método para resolver el sistema de ecuaciones, aunque casi siempre se pueden

usar los utilizados para los sistemas lineales (sustitución, igualación y reducción). Sin

embargo, los procesos para resolver estos sistemas requieren de las propiedades de las

operaciones básicas (potenciación, radicación y exponenciación) y de la experticia en el

manejo de procesos algebraicos, la mayoría expuestos en éste capítulo.

Ejemplo 10.33

Resolver el sistema de ecuaciones siguiente:


{𝑥2 + 𝑦2 = 25𝑥 + 𝑦 = 7

Solución

Para el caso de este sistema se sugiere despejar una incógnita de las ecuaciones,

preferencialmente la de primer grado, así de la segunda ecuación se obtiene que:

𝑦 = 7 − 𝑥

Luego se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación.

𝑥2 + (7 − 𝑥)2 = 25

Se resuelve la ecuación anterior, de tal manera que:

𝑥2 + 49 − 14𝑥 + 𝑥2 = 25

2𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0

Dividiendo por 2 toda la ecuación se tiene:

𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0

(𝑥 − 4)(𝑥 − 3) = 0

Por tanto, las soluciones son: 𝑥 = 4 y 𝑥 = 3

Sustituyendo estos valores se obtiene que para y los valores son respectivamente

𝑦 = 3 e 𝑦 = 4. En otras palabras las soluciones son 𝑦 = 3 y 𝑥 = 4 o 𝑦 = 4 y 𝑥 = 3.

Ejercicios

1.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales


a) {𝑥. 𝑦 = 12𝑥 + 𝑦 = 7

b) {𝑦2 − 2𝑦 + 1 = 𝑥

√𝑥 + 𝑦 = 5 c) {

1

𝑥2+

1

𝑦2= 13

1

𝑥−1

𝑦= 1

2. Aplicación a la física: Un auto A se mueve con rapidez constante y en línea recta, la

ecuación de la posición del mismo en función del tiempo viene dada por la ecuación

𝑥 = 3𝑡. Otro auto B que se mueve en la misma dirección que el auto A pero con

aceleración constante, su ecuación de la posición en función del tiempo viene dada por la

ecuación: 𝑥 = 5𝑡 + 2𝑡2. Si en t = 0 el auto A sobrepasa al Auto B, ¿En qué instante o

instantes de tiempo se vuelven a encontrar los dos autos? y b) ¿A qué distancia del sitio en

donde el auto A sobrepaso a B por primera vez, se vuelven a encontrar?.


Capítulo 11 Elementos de Geometría

“Lo que es afirmado sin prueba es negado sin prueba”

Euclides

La palabra Geometría, etimológicamente proviene de dos palabras griegas que son: geo que

significa tierra y metron que significa medida. La asociación de ambas palabras, expresa la

medida de la tierra.

Siendo la geometría un área del conocimiento muy antigua, todavía se sigue utilizando en

la actualidad, pues sus orígenes se remontan a lo que era el Antiguo Egipto. Por eso, gran

parte de lo que se esbozará en este capítulo hace referencia a los trabajos importantes sabios

de esa época, como Heródoto o Euclides.

La Geometría como una rama de las Matemáticas se encarga de estudiar las propiedades y

las medidas de una figura en el plano (Geometría plana) o en el espacio (Geometría del

espacio). Existen otros tipos de geometría como la Analítica, la descriptiva, la proyectiva,

la esférica y en general las Geometrías llamadas no Euclidianas (Geometría de

Lobachevski, Geometría de Riemann) entre otras, pero que no se serán abordadas en este

contexto.

11.1. Conceptos primarios de la Geometría

Muchos aspectos de la realidad, son representados e interpretados desde la geometría que

normalmente requiere de los denominados sistemas formales o axiomáticos y a nociones

como al de puntos geométricos, rectas, planos, curvas, polígonos, poliedros, superficies,

volúmenes, entre otros. Varios de estos conceptos no tienen definición, pero hacen parte

directa de la interpretación de lo que vemos, medimos y representamos y que en las líneas

siguientes se explicitan.

Punto geométrico

El punto geométrico es concebir un objeto de la manera más simple que a su vez se

convierte en uno de las ideas más importantes de la Geometría. Aunque el punto no tiene

una definición formal, la idea intuitiva de un punto geométrico es considerarlo como aquel

que no tiene medidas, es decir carece de dimensión, no se puede medir su ancho o alto, por

tanto solo se puede apreciar el lugar donde se encuentra.


Desde la física un uso importante del punto geométrico es asumir a los objetos como

puntos, es decir aquellos que no les asociamos características geométricas, pero si

propiedades físicas como la masa o la carga. De ahí que exista la mecánica de partículas o

de masas puntuales o la electrostática de cargas puntuales.

Es costumbre representar un punto por una cruz (a veces otro

símbolo, por ejemplo: ∙,+, /) y a un lado la letra con la cual se

identifica.

Recta

La recta no es más que un conjunto de puntos colocados unos detrás de otros en la misma

dirección lo que conlleva a inferir que la línea recta no tiene principio ni fin. Cuando se

dibuja una línea recta, en realidad, se representa una parte de ella.

En la mayoría de las ocasiones, la recta se

representa con dos letras mayúsculas (o

minúsculas) que hacen referencia a dos de

sus puntos (Por ejemplo A y B, como en la

figura). Cuando en una determinada

representación se considera que dos de

rectas se interceptan o cruzan, lo hacen en

un punto geométrico.

Semirrecta

Cuando en una recta se señala un punto, a cada uno de los tramos que quedan a lado y lado

de la misma se le llama semirrecta.

Obsérvese en la figura adjunta, que la recta

que pasa por el punto O ha quedado

dividida en dos partes representadas por las

semirrectas a y b.

Es decir que una semirrecta es parte de una recta que tiene principio u origen y no tiene

fin, por ello las semirrectas a y b, tienen origen en O.

Segmento

Si sobre una recta se señalan dos puntos, el

tramo de esa recta se le llama segmento. En

la figura adjunta si se tiene una recta sobre

la que se han señalado dos puntos M y N,

al trozo de recta entre M y N representa el

segmento y se escribe como: 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅.


Curva (o línea curva)

Una curva es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente.

Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse, la circunferencia, la lemniscata y de

curvas abiertas la parábola, la hipérbola, la cicloide o la catenaria.

El plano

La noción de plano no es definible, pero también es muy intuitivo adquirir el concepto del

mismo. Por ejemplo, en la cotidianidad lo usamos a diario, es así como en este preciso

momento en el que se lee lo que está escrito en la página, se observa una superficie lisa,

llana, plana,…al igual que el tablero donde se recibe clase, la pantalla del computador o de

la tableta, el piso de la casa, entre muchas otras cosas. Todos estos son ideas de cosas que a

diario representan el plano y que confirman que su estructura geométrica debe contener dos

dimensiones a las que se acostumbra a llamar largo y ancho. Sobre el plano se pueden

dibujar puntos geométricos, rectas entre otros, como se hizo con las figuras que hasta ahora

se han mostrado en éste y otros capítulos.

Un plano puede ser determinado por diferentes formas, como se muestra en la figura 11.1

a) Tres puntos no alineados b) Dos rectas que se cortan

c) Dos rectas paralelas d) Una recta y un punto

Fig. 11.1. Formas de determinar un plano

Hasta lo que se ha tratado (basados en la Geometría de Euclides) se debe tener presente

que:

a) Por dos puntos sólo pasa una recta,

b) Por un punto pueden pasar infinitas rectas,

C

BA

r2

r1

r2r1 Pr1


c) Si sobre un plano se dibuja una recta, todos sus puntos están contenidos en dicho

plano o superficie plana,

d) Un plano puede contener infinitas rectas,

e) Por una recta pueden pasar infinitos planos,

f) La intersección de dos planos es una recta y

g) Tres puntos no situados en la misma línea recta (no colineales) determinan un plano

o de las otras formas mostradas en la figura 11.1.

Semiplano

Al trazar una recta r en un plano, como en

la figura 11.2, esta lo divide en dos

semiplanos. A cada zona en la que se ha

dividido el plano se le puede llamar región,

porción de plano, banda, cuadrante y

obviamente semiplano.

Fig.11.2. Gráfica de un Semiplano

Ángulo

Se considera que es la abertura formada por dos semirrectas (llamadas lados) que tienen el

mismo origen, el cual es llamado vértice. Normalmente se denotan por una letra (casi

siempre mayúscula) colocada en el vértice o por una letra griega ubicada dentro del ángulo.

Aunque a veces se usan tres letras de manera que queda en el medio la letra que está situada

en el vértice del ángulo. Estas diferentes representaciones se muestran en la figura 11.3.

Fig.11.3 Notación para ángulos

La medida de los ángulos en el sistema internacional se da en radianes (capítulo 1).

Aunque es corriente usar también el sistema sexagesimal, en donde se considera que la

circunferencia está dividida en 360 partes iguales y cada una se considera un grado

sexagesimal. Hay que recordar que 1 radián es aproximadamente igual a 57.3º y que 2π

radianes son equivalentes a 360º.

Nota Importante

Las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre ángulos obedecen a

las mismas de los números reales.

r

Semiplano

Semiplano


Tipos de ángulos y sus propiedades

A continuación se muestran algunas definiciones y propiedades de los ángulos.

Si el ángulo que forman dos semirrectas es:

a) Igual a 90º , se llama Ángulo Recto,

b) Inferior a 90º, se llama Ángulo Agudo,

c) Superior a 90º, se llama Ángulo Obtuso y

d) Igual a 180º , se llama Ángulo Llano.

Se dice que dos ángulos son complementarios, cuando la suma es equivalente a un ángulo

recto o 90º y son suplementarios cuando su suma es equivalente a dos ángulos rectos, es

decir 180º.

Ángulos adyacentes

Son aquellos dos ángulos que están situados, uno a

continuación del otro de manera que un lado es común

para los dos ángulos y los otros dos lados

corresponden a una misma recta y la suma de sus

ángulos vale 180º, como es el caso de 𝜃 y 𝛽 en la

figura adjunta.

Ángulos opuestos por el vértice

Son dos ángulos tales que cuando los lados de uno

de ellos son semirrectas de los lados del otro, en

otras palabras simplemente son las prolongaciones

de los lados del otro. En la figura se observa que los

ángulos que han sido escritos con la misma letra

griega son opuestos por el vértice.

Ángulos determinados por rectas cortadas por una secante

Cuando dos rectas AB y CD son cortadas por una tercera SS′, llamada recta secante, se

forman ocho (8) ángulos, cuatro en cada intersección (ver figura 11.4), los cuales reciben

nombre especiales.


Los ángulos internos son: q,

ϕ, ′ y β′; los ángulos

externos son: , β,q′ y ϕ′; los

ángulos alternos internos son

los pares de ángulos qy β′, ϕ

y ′; los ángulos alternos

externos son los pares y ϕ′,

β y q′; y son ángulos

correspondientes los pares de

ángulos y ′, qy q′, β y β′

y ϕ y ϕ′.

Fig.11.4. Ángulos formados por el corte de una recta secante

Si las rectas AB y CD son paralelas (AB ∥ 𝐶𝐷) cortadas por la recta secante SS′, se cumple

que:

a) Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

b) Los ángulos alternos internos son iguales entre si

c) Los ángulos alternos externos son iguales entre si

Ángulos de lados paralelos

Existen algunas propiedades cuando dos ángulos son formados por líneas que son paralelas

entre sí. 1) Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el

mismo sentido son iguales, (ver figura 11.5 a). Dos ángulos que tienen sus lados

respectivamente paralelos y dirigidos en el sentido contrario son iguales, (ver figura11.5 b).

Fig.11.5. Ángulos entre líneas paralelas


Ángulos de lados perpendiculares

Si dos ángulos agudos tienen sus lados respectivamente

perpendiculares entre sí, son iguales, como se muestra en la

figura adjunta.

Obsérvese que los lados de ambos ángulos q son

perpendiculares entre sí; el lado OA es perpendicular al lado

O′A′ (𝑂𝐴 ⊥ 𝑂′𝐴′) y el OB es perpendicular al lado O′B′.

Vemos que cuando se dan las condiciones anteriores, los

ángulos son IGUALES (en el ejemplo, 30º).

Ejercicios

1. Expresar los siguientes ángulos en radianes y dejarlos en términos de π. (Por ejemplo,

45° =𝜋

4 ).

a) 30° b) 60° c)135° d)240° e)270° f)315°

2.Expresar los siguientes ángulos en grados sexagesimales. (Por ejemplo, 𝜋

15= 12°).

a) 𝜋

5 b)

9𝜋

3 c)

𝜋

2 d)

3𝜋

12 e)

7𝜋

3 f)

2𝜋

3

3. Dos ángulos están en una relación de 2 a 3 y su suma es un ángulo llano. ¿Qué valores

tienen los ángulos?.

4. Si ∡𝑀𝑂𝑁 = 2𝑥, ∡𝑁𝑂𝑃 = 3𝑥 y ∡𝑃𝑂𝑄 = 7𝑥, hallar cuánto mide cada ángulo si la suma

de ellos es 3𝜋

2.

5. El complemento de un ángulo es 25º, ¿Cuál es el ángulo? y ¿Cuál es su suplemento?.

6. Hallar el ángulo que es igual al doble de su complemento.

7. Un ángulo y su suplemento están en relación de 5 a 1. Hallar dichos ángulos.

8. Dadas las figuras siguientes, hallar el valor de los ángulos señalados como Ө y β en cada

una de ellas. Los segmentos o las rectas AB y CD son paralelos entre sí, al igual que las

rectas MN y OP.


9. Aplicación a la física. Un objeto visto como un punto material, desliza por un plano

inclinado que forma un ángulo 𝜃 con la horizontal.

Cuando entre el objeto y la superficie por donde baja

el objeto no existe fricción, el diagrama de cuerpo

libre (diagrama de fuerzas) que da la explicación de

las interacciones que tiene el objeto, se muestra en la

figura. El peso �⃗⃗⃗� se dibuja perpendicular al piso

(línea OA) y la fuerza Normal �⃗⃗� se dibuja

perpendicular al plano (línea OB). Basado en esta

información explique desde un punto de vista

geométrico, por qué los ángulos 𝜃 señalados son

iguales. ¿Qué otras ideas expuestas hasta ahora

podrían incluirse en la construcción geométrica

realizada?.

11. 2. Figuras geométricas

Desde el punto de vista de la geometría, la forma de un objeto real situado en una región

del espacio, no es más que una descripción geométrica de la parte del espacio ocupado por

dicho objeto, según lo determinen sus contornos, bordes o limites exteriores y sin tener en

cuenta su ubicación y orientación en el espacio, la dimensión u otras propiedades como el

color, el contenido y la composición del material.

Sin embargo, las formas simples se pueden describir mediante elementos básicos de

geometría tales como los trabajados hasta ahora en éste capítulo como son: un conjunto de

dos o más puntos, líneas rectas, curvas, planos. También, pueden abordarse desde la

elaboración o construcción de figuras planas (por ejemplo, un cuadrado o un círculo),

figuras sólidas (por ejemplo, el cubo o la esfera). Aunque hay que anotar que la mayoría de

las formas que se hallan en la cotidianidad, de por sí son muy complejas y algunas formas


son tan extrañas, como las estructuras de las plantas, que deben ser estudiadas con modelos

matemáticos más formales como lo son la geometría diferencial o los fractales.

Ahora bien, si se desea dar un intento de conceptualización de figura geométrica, podría

expresarse con la noción que es un conjunto no vacío cuyos elementos son puntos

geométricos. Las figuras geométricas, se convierten en una parte del objeto de estudio de la

geometría y por ende se hace necesario analizar las propiedades y medidas de las figuras en

el espacio o en el plano.

Clasificación de las figuras geométricas

Para definir y clasificar las figuras geométricas, usualmente se debe acudir a conceptos

primarios, como ya se ha dicho anteriormente, tales como el de punto, recta, plano y

espacio, que en sí mismas también son consideradas figuras geométricas. En la tabla xxx se

presenta de manera generalizada una clasificación de las figuras geométricas de acuerdo a

las dimensiones espaciales.

Las figuras geométricas dadas en la tabla 11.1, que aparecen como dimensión 0 y 1 ya

fueron consideradas anteriormente y se convirtieron con la idea de plano (dimensión 2) en

las nociones primarias de la geometría. Por eso, a partir de ahora, en una forma muy global

se trataran de abordar las propiedades y características principales de las figuras en dos y

tres dimensiones.

Por tratarse, el presente capítulo del texto, de nociones básicas de geometría no se

abordaran las cónicas de manera generalizada, aunque ya en el capítulo de funciones ya se

trabajaron de manera fundamental las nociones de parábola, circunferencia e hipérbola.

Aquí, sólo se abordarán algunas características típicas de la circunferencia y el círculo.

Tampoco, se abordará el hecho de figuras geométricas en el espacio n – dimensional.

Por lo anterior, lo que se pretende con el especificado en la tabla 11.1, es que se tenga una

idea global de las figuras geométricas que se encontraran a lo largo de diferentes cursos de

matemáticas y física y que serán el soporte de la modelación de muchas estructuras de

conocimiento en estas áreas.

Tabla 11.1. Figuras geométricas de acuerdo con sus dimensiones

Dimensión 0 (Sin dimensiones) Punto

Dimensión 1 (Unidimensional – lineal)

Recta

o Semirrecta

o Segmento

Curva


Dimensión 2 (Bidimensional – Superficial)

Plano

Especifican superficies (figuras

geométricas en sentido preciso):

Polígono

o triángulo

o cuadrilátero

Sección cónica

o elipse

o circunferencia

o parábola

o hipérbola

Dimensión 3 (Tridimensional– volumétricas)

Especifican volúmenes (cuerpos

geométricos):

Poliedro

Describen volúmenes:

Sólido de revolución

o cilindro

o cono

o esfera

Dimensión n (n-dimensionales) Politopo

Figuras Planas

Las figuras planas o figuras en el caso bidimensional son las que están limitadas por líneas

rectas o curvas y todos sus puntos están contenidos en un solo plano. Las figuras planas

limitadas por segmentos, se denominan polígonos y entre ellos encontramos a los

triángulos y a los cuadriláteros.

Se puede considerar que un polígono regular (lados iguales) de infinitos lados (que no

estén sobre la misma línea) conduce a la noción de una línea curva denominada

circunferencia, la cual es una curva que delimita a una superficie llamada círculo. Es decir,

que con segmentos de recta (que no estén sobre la misma recta) demasiado pequeños se

puede construir cualquier curva y se estaría hablando de polígonos curvos. Algunas líneas

curvas se cierran formando diferentes superficies que tienen características muy

particulares como lo son la circunferencia y la elipse. Mientras que hay algunas que no se

cierran y al ser dibujadas en el plano tienen también características especiales, como por

ejemplo la parábola y la hipérbola.


Polígonos

Como ya se mencionó, un polígono es una figura plana limitada o cerrada por segmentos de

recta (que no estén situados en línea recta) o curvas. En la figura 11.6 se muestran algunos

polígonos.

Triángulo Trapecio Hexágono Polígono Curvo

Fig 11.6. Representación de diferentes Polígonos

Cuando los polígonos son construidos con solo segmentos rectos, se pueden caracterizar

por tener las siguientes partes: a) Los Lados que son los segmentos que lo limitan, b) Los

Ángulos interiores que son los que forman dos lados contiguos, c)

Los Vértices que son los puntos donde coinciden dos lados y d) Las

Diagonales que son las rectas que unen dos vértices que no sean consecutivos. Por ejemplo,

el trapecio mostrado en la figura11.6, tiene cuatro (4) lados, cuatro (4) ángulos interiores

cuatro (4) vértices y dos (2) diagonales.

Clases de polígonos

Los polígonos se pueden clasificar teniendo en cuenta:

a) Los lados: Los polígonos según la cantidad de lados que tienen reciben nombres

diferentes. En la tabla 11.2 aparecen los nombres de algunos polígonos según el

número de lados:

Tabla11.2, Nombre de los polígonos según la cantidad de lados

Número de lados Nombre del polígono 3 Triángulo

4 Cuadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Endecágono

12 Dodecágono


b) Los ángulos: Pueden ser cóncavos y convexos. Un ángulo es convexo cuando su

valor numérico es menor de 180º y es cóncavo cuando su valor numérico es mayor

a 180º. Por tanto, un polígono es convexo cuando todos sus ángulos valen menos de

180º y será cóncavo cuando tiene, por lo menos, un ángulo cóncavo o mayor que

180º.

Poligono Convexo Poligono Concávo

Fig.11.7 Polígonos según sus ángulos

c) Igualdad de lados y ángulos: Cuando un polígono tiene todos sus lados y ángulos

iguales se llama polígono regular, de lo contrario se llama polígono irregular. En la

figura 11.6, el triángulo y el hexágono mostrado son polígonos regulares y en la

figura 11.7 los dos polígonos son irregulares.

Relaciones métricas en los polígonos regulares

A continuación, se enuncian una serie de propiedades métricas que pueden dar razón de las

características geométricas de los polígonos. Ninguna de dichas propiedades tendrán unas

demostración formal, sin embargo algunas de ellas pueden obtenerse de un proceso

intuitivo o de un razonamiento lógico coherente y de una modelación matemática sencilla.

Si n es el número de lados de un polígono regular:

a) La suma de ángulos interiores se puede obtener de:

𝑆∡𝑖 = 180° (𝑛 − 2) (11.1)

b) El valor de un ángulo interior ∡𝑖, se puede obtener dividiendo la suma de los

ángulos interiores entre el número de lados, así:

∡𝑖 =𝑆∡𝑖𝑛=180° (𝑛 − 2)

𝑛 (11.2)

c) La suma de ángulos exteriores es de 360º, sin importar el número de lados y


d) El valor de un ángulo exterior ∡𝑒, se obtiene de dividir la suma de los ángulos

exteriores sobre el número de lados, o sea:

∡𝑒 =360°

𝑛 (11.3)

e) El perímetro de un polígono es la suma de la longitud de sus lados. Si el polígono es

regular y el valor del lado es l, el perímetro P se obtiene como:

𝑃 = 𝑛𝑙 (11.4)

Algunos de los polígonos relacionados en la tabla 11.2, son usados muy frecuentemente

para caracterizar y modelar los objetos que a diario nos rodean. El triángulo y algunos

cuadriláteros nos aparecen de manera continua en el quehacer matemático y en las

representaciones físicas y por eso a continuación, se dedican unas cuantas líneas a estos dos

polígonos, sin desconocer que los otros son motivo de análisis e investigación por parte del

lector.

El triángulo y sus características geométricas

Siendo el triángulo un polígono de tres lados, ellos se acostumbran a clasificar de acuerdo a

diferentes razones:

a) Características de los lados

i) Triángulo equilátero: Es aquel en donde la medida de los tres lados son

iguales.

ii) Triángulo isósceles: Es aquel en donde la medida de dos de los tres lados

son iguales.

iii) Triángulos escalenos: Es aquel en donde la medida de los tres lados es

diferente.

b) Características de los Ángulos

i) Triángulo rectángulo: Es aquel que tiene un ángulo recto (90º)

ii) Triángulo acutángulo: Es aquel que tiene los tres ángulos agudos (menores

de 90º).

iii) Triángulo obtusángulo: Es aquel que tiene los tres ángulos agudos (menores

de 90º).


Características del triángulo rectángulo

Es bien conocido que en un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama

hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos, ver

figura. En este tipo de triángulo se cumple uno de los más famosos modelos matemáticos

de la geometría, como lo es el Teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es numéricamente

igual al cuadrado de la hipotenusa.

Matemáticamente se escribe de la forma:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 (11.5)

Las letras aquí referenciadas, son sólo una forma de

asignar a cada cateto y a la hipotenusa un nombre

para dar sentido a la medida de los lados, es decir que

cuando se desee se pueden asumir las letras que a

bien se convenga para su aplicación algebraica o

física.

Nota Importante: El teorema de Pitágoras, si se

observa desde la expresión anteriormente escrita, no

tendrá ningún sentido geométrico en la medida que

no exista un triángulo rectángulo.

Segmentos notables en un triángulo

a) Mediana: Es el segmento de recta trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado

opuesto, ver figura 11.7 a). El punto de intersección G de las tres medianas se conoce

como baricentro. En Física, el baricentro normalmente coincide con el centro de

gravedad de un objeto que tiene la forma de un triángulo y cuya distribución de masa es

homogénea.

Si a cada mediana se le divide en tres partes iguales, cada trozo, será la tercera parte de

su longitud y es importante saber que la distancia del baricentro a cada uno de sus

vértices es igual a 2

3 de la longitud y que por tanto se halla a

1

3 del lado. Esto se puede

generalizar diciendo, que la distancia del baricentro (centro de gravedad) a cada vértice

es el doble de la distancia al punto medio del lado opuesto correspondiente.

a

bc


b) Altura: Es el segmento de recta trazado perpendicularmente desde un vértice al lado

opuesto o a su prolongación, ver figura 11.7 b). El punto de intersección O donde

concurren las tres alturas se llama ortocentro.

c) Bisectriz: Es el segmento de recta que divide al ángulo interior en dos partes iguales. Por

tanto, en un triángulo hay tres bisectrices, una para cada ángulo, ver figura 11.7 c). El

punto de intersección I de las tres bisectrices se conoce como incentro.

d) Mediatriz: Es el segmento de recta trazado de manera perpendicular al punto medio de

cada lado del triángulo, ver figura 11.7 d). El punto M donde se cortan las tres

mediatrices se le denomina circuncentro.

a) Medianas b) Alturas c) Bisectrices d) Mediatrices

Fig.11.7. Representación de segmentos notables en un triángulo

El Cuadrilátero y sus características geométricas

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados en donde la suma de todos los ángulos

interiores es igual a 360º.

Un cuadrilátero cóncavo es aquel que tiene un ángulo interno cóncavo (mayor que 180º) y

un cuadrilátero convexo es aquel en donde cada uno de sus ángulos interiores es menor que

180º. En la figura 11.8, se muestra un ejemplo de cada uno.

Cuadrilátero cóncavo Cuadrilátero convexo

Fig.11.8. Tipos de cuadriláteros según sus ángulos


Los cuadriláteros se agrupan de tres maneras teniendo en cuenta el paralelismo de sus

lados.

a) Paralelogramos: Son aquellos en los que sus lados opuestos son paralelos, tales como:

Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide, ver figura 11.9.

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Fig.11.9. Tipos de paralelogramos

b) Trapecios: Son aquellos que tienen dos (2) lados opuestos paralelos, tales como:

Trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno, ver figura 11.9.

Trapecio Rectángulo Trapecio Isósceles Trapecio Escaleno

Figura 11.10 Tipos de Trapecios

c) Trapezoides: Son aquellos que no tienen ningún par de lados paralelos. Trapezoide

simétrico es el que tiene los lados consecutivos de igual medida, sus diagonales son

perpendiculares y posee un eje de simetría y el Trapezoide asimétrico es un cuadrilátero

que no tiene lados paralelos ni eje de simetría. Ejemplos gráficos de los dos trapezoides se

pueden ver en la figura 11.10.

Trapezoide simétrico Trapezoide asimétrico Figura 11.11 Tipos de Trapezoides


Ejercicios

1. El lado de un hexágono regular tiene 6 cm de longitud. Calcular: a) La suma de los

ángulos interiores del polígono, b) El valor del ángulo interior, c) El valor de un ángulo

exterior y d) el perímetro del hexágono.

2. ¿Qué polígono regular tiene por ángulo interior 135º?.

3. Construir un triángulo que tenga un ángulo de 60º y los lados que lo conforman tengan

una longitud de 8 cm y 10 cm. Trazar las tres medianas y señalar el baricentro.

4. Elabore un triángulo equilátero de 8 cm de lado, trace las mediatrices y señale el

circuncentro.

5. Dibuje un triángulo obtusángulo que tenga un ángulo de 120º. Trace las alturas y

encuentre el ortocentro.

6. Un ángulo agudo de un trapecio isósceles mide 50º. ¿Cuál es el valor de cada uno de los

otros tres ángulos?.

7. Un romboide tiene un ángulo de 36º.¿Cual es el valor de los otros tres ángulos?.

8. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de sus catetos mide 6 cm.

¿Cuál es el valor del otro cateto?.

9. Calcular el valor de la altura de un triángulo equilátero sabiendo que el lado mide 16 cm.

9. ¿Cuál es el valor de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm?.

10. Una escalera de 12 m de largo puede colocarse de tal manera que alcanza el borde

inferior de una ventana que está a 10 m del piso de la calle. Si se hace girar la escalera sin

mover la base de la escalera, esta alcanza el borde inferior de otra ventana que está a 8 m

del piso del otro lado de la calle. ¿Cuál es el ancho de la calle?.

Ejercicio de desafío

En la figura se observa el triángulo rectángulo

∆ABC. Al realizar una construcción auxiliar, se

forma otro triángulo rectángulo ∆ABD. Usando el

teorema de Pitágoras y algunas operaciones

algebraicas muestre que el valor de x se puede

obtener de la expresión:


𝑥 =𝑏2 + 𝑎2 − 𝑐2

2𝑎

Calcule el valor de x, cuando 𝑎 = 5 cm, 𝑏 = 3 cm y 𝑐 = 4 cm. Elabore un triángulo con las

medidas dadas y verifique su respuesta.

Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico en la que todos los puntos que conforman la

misma, equidistan (están a igual distancia) de otro punto interior llamado centro. Por su

naturaleza la circunferencia es una curva cerrada

Elementos de una circunferencia

Los elementos de una circunferencia (ver figura 11.12) son los siguientes:

a) Centro (c): El punto del cual equidistan los demás puntos de la circunferencia.

b) Radio (r): Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia

c) Cuerda (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ): Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia sin

que dicho segmento pase por el centro.

d) Sagita (𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ): Segmento que une el centro de un arco de circunferencia con el

punto medio de la cuerda que le corresponde.

e) Diámetro (d): Segmento o cuerda que une dos puntos cualesquiera de una

circunferencia que pase por el centro de la misma.

f) Ángulo central (α): Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la

circunferencia y sus lados son radios de la misma.

g) Arco (𝑎𝑏): Es la parte comprendida entre dos puntos de la circunferencia, en otras

palabras es la curva comprendida entre estos dos puntos.


Fig.11.11. Representación de los elementos de una circunferencia

Posiciones relativas de una recta respecto a una circunferencia

Una recta respecto a una circunferencia puede ocupar distintas posiciones (figura 11.13),

las cuales pueden ser:

a) Recta exterior (AB): Es la recta que no tiene ningún punto en común con la

circunferencia.

b) Recta tangente (CD): Es la recta que tiene un punto en común con la

circunferencia. El punto P de la recta es también un punto de la circunferencia,

es decir, que el punto es común para la recta y para la circunferencia y se le

llama punto de tangencia. También se puede decir, que una recta es tangente a

una circunferencia cuando la distancia entre el centro de la circunferencia al

punto común es igual a la longitud del radio.

c) Recta Secante (EF): Es la recta que tiene dos puntos (P1 y P2) comunes con la

circunferencia. También, se puede decir que una recta es secante a la

circunferencia si la corta por dos puntos.

Fig.11.13 Posiciones relativas de una recta en relación a una circunferencia


Longitud de la circunferencia

Al coger una circunferencia, romperla por un punto y luego extender la curva de manera

que se obtenga un segmento de recta, la medida de este segmento nos dará la longitud L de

la circunferencia o perímetro de la circunferencia. Lo anterior sería similar a coger una

cinta métrica y bordear toda la circunferencia, la lectura obtenida en la cinta métrica sería la

medida de la longitud de la circunferencia. Si este proceso se repite para varias

circunferencias de diferentes diámetros D y luego se realiza el cociente entre L y D,

siempre se obtiene una cantidad constante, la cual se corresponde con el número pi (π), es

decir que:

𝐿

𝐷= 𝜋

(11.6)

De donde la longitud de la circunferencia se puede obtener de:

𝐿 = 𝜋𝐷 (11.7)

O también con la expresión

𝐿 = 2𝜋𝑟 (11.8)

A sabiendas que el diámetro es dos veces el radio de la circunferencia, es decir 𝐷 = 2𝑟.

Si se desea obtener la longitud de un arco (l) de circunferencia que subtiende un ángulo α

(en grados), se podrá hacerlo con la expresión:

𝑙 =𝜋𝑟𝛼

180° (11.9)

Si se desea obtener la longitud del arco que subtiende un ángulo 𝜃 (en radianes), se podrá

hacerlo con:

𝑙 = 𝑟𝜃 (11.10)

Ejercicios

1. Calcular la longitud de una circunferencia de diámetro 6 cm.

2. La longitud de una circunferencia es de 13,4 cm. ¿Cuál es la longitud del radio?


3.¿Cuál es la longitud del arco de circunferencia, subtendido por cada uno de los ángulos

siguientes: 60º, 150º, 225º, 270º y 330º?. El diámetro de la circunferencia es de 0,15m.

4.¿Cuál es la longitud del arco de circunferencia, subtendido por cada uno de los ángulos

siguientes: 𝜋

3 , 7𝜋

6, 11𝜋

12 , 3𝜋

2 y

10𝜋

3?. El radio de la circunferencia es de 0,2 m.

5. Cuál es el ángulo en grados y radianes que subtiende un arco de longitud 5𝜋

6 m, sabiendo

que el radio de la circunferencia es de 4

5 m?.

6. Un punto dista 2 cm del centro de una circunferencia de 7 cm de diámetro. ¿Cuáles son

la menor y mayor distancia de dicho punto a la circunferencia?

7. Si usted construye una figura geométrica que tiene la forma de un ocho con dos

circunferencias una tangente a la otra y cuyos radios son respectivamente 5 cm y 6 cm.

¿Cuál es el perímetro del “ocho”?.

Otras características de los polígonos regulares

De acuerdo a como los polígonos ocupan posiciones relativas en relación a una

circunferencia o viceversa, adquieren unas características y propiedades geométricas bien

interesantes. Por ejemplo, un polígono inscrito es aquel que tiene todos sus vértices sobre

una circunferencia. Cuando el polígono está inscrito, se dice que la circunferencia está

circunscrita al polígono, estas dos características se ven en la figura11.14 a). También se da

el caso en que es el polígono el que está circunscrito, o sea cuando todo los lados del

polígono son tangentes a la circunferencia. Para este caso, entonces la circunferencia está

inscrita dentro del polígono, ver figura 11.14 b).

a) Polígono inscrito y circunferencia

circunscrita

b) Polígono circunscrito y

circunferencia inscrita c) Elementos de un polígono inscrito

Fig.11.13. Polígonos y circunferencias inscritos y circunscritos


Existen algunos elementos de un polígono inscrito en una circunferencia, ver figura 11.14

c), como son: a) Radio de un polígono regular es el radio r de la circunferencia

circunscrita, b) Angulo Central, de un polígono regular es el ángulo α formado por dos

radios que corresponden a los extremos de un mismo lado y c) Apotema, es el segmento de

recta a, trazado perpendicularmente desde el centro O del polígono a uno cualquiera de sus

lados.

Hasta ahora, no se han abordado ejemplos en este capítulo, solamente se han planteado

ejercicios que son aplicaciones directas de las temáticas que han sido abordadas en varios

de los apartados. A continuación, se mostrará una demostración del cálculo de la apotema

como una función del lado y del radio de un polígono. Esto con el fin de inmiscuir al

estudiante y al lector a procesos un poco más formales de la geometría y la matemática.

Ejemplo 11.1

Cálculo de la apotema en función del lado y del radio

Sean los segmentos de recta:

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝑙𝑛 (lado del polígono regular de n

lados)

𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑎𝑛 (apotema)

𝑂𝐵̅̅ ̅̅ = 𝑟 (radio)

como se muestra en la figura 11.15. Mostrar

que

𝑎𝑛 =1

2√4𝑟2 − 𝑙𝑛2

Fig. 11.15. Construcción Geométrica Apotema

Solución

En el ∆𝑂𝐵𝑀 se tiene que:

𝑟2 = 𝑎𝑛2 + (

𝑙𝑛

2)2

(Teorema de Pitágoras)

Nótese que por ser un polígono regular 𝐵𝑀̅̅ ̅̅̅ =𝐵𝐶̅̅ ̅̅

2=𝑙𝑛

2,

La expresión de r2 queda por lo tanto:


𝑟2 = 𝑎𝑛2 +

𝑙𝑛2

4

Despejando 𝑎𝑛2 se tiene que:

𝑎𝑛2 = 𝑟2 −

𝑙𝑛2

4

Sacando un denominador común y realizando las operaciones se llega a:

𝑎𝑛2 =

4𝑟2 − 𝑙𝑛2

4

Extrayendo la raíz cuadrada se obtiene:

𝑎𝑛 = √4𝑟2 − 𝑙𝑛2

4

que es lo mismo expresarla como:

𝑎𝑛 =1

2√4𝑟2 − 𝑙𝑛2

Por tanto, se comprueba lo solicitado.

Ejercicios

1. Calcular la apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 4 m de radio, si el

lado del cuadrado mide √3 m.

2. Calcular la apotema de un octágono regular inscrito en una circunferencia de 7 m de

radio, si el lado del octágono es 7√3 m.

3. El lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia es desconocido. Si el

radio de la circunferencia es 6 m. ¿Cuál es el valor del lado del triángulo equilátero?.

4. Calcular el lado de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 15 cm de

radio.

5. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 10√2 m. Hallar el

diámetro de la circunferencia.


11.3. Segmentos proporcionales

Cuando se desean establecer relaciones de proporcionalidad o de semejanza entre figuras

geométricas, se recurre a los conceptos de razones y proporciones.

Pero, ¿Qué se entiende por razón de dos segmentos?.

Simplemente se trata del cociente indicado de sus medidas con la misma unidad. Por

ejemplo la razón de 4 cm y 3 m es: 4

300.

Y ¿Qué se entiende por proporción?

Una proporción no es más que la igualdad de dos razones:

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑 (11.11)

Por ejemplo,

2

7=18

63

El primero y último término de una proporción (𝑎 y 𝑑), (2 y 63) se le conocen como los

extremos y los términos (𝑏 y 𝑐), (7 y 18) se les denomina medios. En toda proporción se

cumple el hecho que, el producto de los valores de los términos extremos es igual al

producto de las medidas de los términos medios. Es decir que 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, o sea que

(2)(63) = (7)(18). En palabras más simples se acostumbra a decir: Producto de medios

igual al producto de extremos.

Una forma de establecer una serie de propiedades entre las proporciones surge de

representaciones gráficas entre diferentes segmentos de recta que aparecen cuando hay

cierta distribución espacial entre las rectas que los generan. Esto se puede observar

claramente usando el teorema que se verá a continuación.

Teorema de Thales

Si varias rectas son paralelas y estas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos

determinados sobre las secantes son proporcionales.

El enunciado anterior se puede ver detenidamente observando la figura 11.16. Si las rectas

MN y OP son rectas secantes que cortan a las rectas paralelas AA′, BB′ y CC′, se tiene que

se cumplen las siguientes proporciones:


𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅=𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅

𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅=𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐴′𝐶′

Fig.11.16. Representación geométrica Teorema de Thales

Lo anterior significa, que los segmentos creados en una recta son proporcionales a los

correspondientes formados en la otra. Por eso, también son válidas las siguientes

proporciones:

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅=𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅=𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐴′𝐶′

Usando de manera transitiva el Teorema de Thales, cada una de las razones anteriores, es

decir, cada uno de los cocientes indicados tiene el mismo valor. A este valor se le conoce

con el nombre de razón de semejanza. El teorema de Thales, es totalmente general y se

verifica para cualquier número de rectas paralelas y para cualquier posición de las rectas

secantes.

Semejanza de polígonos

Basados en las propiedades de las razones y las proporciones, se puede generalizar el hecho

que, son polígonos semejantes aquellos que tienen iguales ángulos y sus lados

correspondientes son proporcionales, como se muestra en la figura11.17.


Fig. 11.17. Polígonos semejantes

Ejemplo 11.2

Sea el triángulo ∆AOB, como se muestra en la figura

11.18 a), cuyos ángulos interiores son respectivamente

α, β y 𝜃.

Si se traza el segmento 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ se obtiene un nuevo

triángulo ∆A’OB’ , como se muestra en la figura 11.18

b).

Los ángulos que se forman con lados comunes y lados

paralelos son iguales, es decir 𝛼 = 𝛼’, y 𝛽 = 𝛽′, por

lo tanto, los ángulos de los dos triángulos son iguales

y las relaciones de los lados:

𝑂𝐴̅̅ ̅̅

𝑂𝐴′̅̅ ̅̅ ̅=𝑂𝐵̅̅ ̅̅

𝑂𝐵′̅̅ ̅̅ ̅=𝐴′𝐴̅̅ ̅̅ ̅

𝐵′𝐵

son proporcionales entre sí.

a)

b)

Fig.11.18. Semejanza de Triángulos

11.4. Perímetro y Áreas de las figuras planas

Anteriormente ya se había dado la noción de perímetro para un polígono, como era la suma

de las longitudes de sus lados y el caso particular de la longitud de la circunferencia. Por

ello, más adelante se dará un listado de algunas expresiones para la obtención del mismo

para distintas figuras geométricas. La unidad escogida para el perímetro según el sistema

internacional de unidades, es la unidad de longitud, es decir el metro, mientras no se diga

otra cosa.


Ahora bien, en muchas ocasiones la noción de área se asocia al de superficie. Sin embargo,

la superficie se refiere a la forma y el área a la medida de una superficie, es decir que el

área hace énfasis es al tamaño de la superficie.

Para realizar la medida de una superficie se toma como unidad un cuadrado que tenga por

lado la unidad de longitud que se haya escogido. Por eso en el sistema internacional de

unidades se asume como unidad el metro cuadrado (m2). En general y en la práctica el

cálculo del área de una figura se efectúa indirectamente, por ejemplo midiendo la longitud

de uno de sus elementos (lado, base, altura, longitud de arco entre otros) y luego realizando

ciertas operaciones con dichas medidas.

A continuación, se presenta un listado que resume las principales expresiones algebraicas

que sirven para determinar tanto el perímetro P como el área A de diferentes superficies

planas y los parámetros que se requieren para obtenerlas. En algunos libros de geometría, se

realizan las demostraciones al respecto, pero aquí sólo se dan como herramientas necesarias

para obtener el cálculo de los perímetros y las áreas de diferentes figuras geométricas que

son de gran utilidad.

Figura Geométrica Nombre Parámetros Perímetro Área

Triángulo

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 {𝑎

𝑏: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑐

Altura: h

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝐴 =𝑏ℎ

2

Cuadrado Lado: 𝑙 𝑃 = 4𝑙 𝐴 = 𝑙2

Rectángulo

Altura (ancho): a

Base (largo): b 𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) 𝐴 = 𝑎𝑏

Rombo

lado: l

Diagonales: 𝑑1 y 𝑑2 𝑃 = 4𝑙 𝐴 =

𝑑1 𝑑2 2

Paralelogramo

Cualquiera

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 {𝑎𝑏

Altura: h

𝑃 = 2(𝑎 + 𝑏) 𝐴 = 𝑏ℎ


Trapecio

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 {

𝑎𝑏𝑐𝐵

Lados

paralelos{𝐵: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑏: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟

Altura: h

𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝐵 𝐴 =(𝑏 + 𝐵)ℎ

2

Polígono

Regular

lado: l

apotema: a

número de lados: n 𝑃 = 𝑛𝑙 𝐴 =

𝑃𝑎

2

Polígono

Irregular

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠: 𝑙𝑛

n: número de lados

(por lo menos uno de los

lados de longitud

diferente a los demás)

Longitud del

lado

i-ésimo:𝑙𝑖

𝑃 =∑𝑙𝑖

𝑛

𝑖=1

Área del

triángulo

i-ésimo 𝐴𝑖

𝐴 =∑𝐴𝑖

𝑛

𝑖=1

Circunferencia Diámetro: D

Radio: r

𝑃 = 2𝜋𝑟

𝑃 = 𝜋𝐷

Círculo Diámetro: D

Radio: r

𝐴 =𝜋𝐷2

4

𝐴 = 𝜋𝑟2

Corona

Circular

Diámetro externo: 𝐷2

Diámetro interno: 𝐷1

Radio externo: 𝑟2

Radio interno: 𝑟1

𝐴 =

𝜋(𝐷22 −𝐷1

2)

4

𝐴 = 𝜋(𝑟22 − 𝑟1

2)


Sector

Circular

Longitud de arco: l

Radio: r

Ángulo en grados: 𝛼

Ángulo en radianes: 𝜃

𝑙 =𝜋𝑟𝛼

180°

𝑙 = 𝑟𝜃

𝐴 =𝜋𝑟2𝛼

360°

𝐴 =𝑙𝑟

2

Segmento

Circular

Cuerda: c

Radio: r

Altura: h

Ángulo en grados: 𝛼

Ángulo en radianes: 𝜃

𝑃 =𝜋𝑟𝛼

180°+ 𝑐

𝑃 = 𝑟𝜃 + 𝑐

𝐴 =𝜋𝑟2𝛼

360°−𝑐(𝑟 − ℎ)

2

𝐴 =𝑙𝑟

2−𝑐(𝑟 − ℎ)

2

Ejemplo 11.3

1. Calcular el área de un rectángulo cuya diagonal mide 10 m y su altura 8 m.

Solución

Si se asuma que la base es b y la altura a (8 m), la diagonal

d (10 m) del rectángulo, ver figura, se puede obtener

usando el teorema de Pitágoras, así:

𝑑2 = 𝑎2 + 𝑏2

Como se desconoce la base b, se despeja y se obtiene que:

𝑏 = √𝑑2 − 𝑎2

Sustituyendo los valores conocidos se llega a:

𝑏 = √(10𝑚)2 − (8𝑚)2 = √100𝑚2 − 64𝑚2 = √36𝑚2 = 6 𝑚

Así, el área del rectángulo es:

𝐴 = 𝑏𝑎 = (6𝑚)(8𝑚) = 48 𝑚2

Ejemplo 11.4

Si se aumentan 2 m al lado de un cuadrado, su área aumenta en 36 m2. ¿Cuál es el valor del

lado?.

Solución


Sea l el lado original del cuadrado, en metros. Por lo tanto el área original es 𝐴 = 𝑙2 (m2).

Si el lado se aumenta en 2 m, se tiene que el nuevo lado es 𝑙 + 2 y el área del nuevo

cuadrado sería (𝑙 + 2)2.

Es decir que:

(𝑙 + 2)2 = 𝑙2 + 36 Resolviendo se tiene:

𝑙2 + 4𝑙 + 4 = 𝑙2 + 36 Simplificando queda

4𝑙 + 4 = 36

Solucionando la ecuación lineal para l, se tiene que:

4𝑙 = 36 − 4 → 4𝑙 = 32 → 𝑙 =32

4= 8

Por lo tanto el valor del lado es l=8 m. Nótese que las unidades deben ser consistentes con

las originalmente establecidas.

Ejemplo 11.5

En la figura adjunta, las magnitudes de los segmentos indicados son respectivamente

𝑑 = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 50m, ℎ = 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ = 30m y 𝑎 = 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = 35m. ¿Cuál es el área del paralelogramo

ABCD?.

Solución:

Sabiendo que el área del paralelogramo se

obtiene de: 𝐴 = 𝑏ℎ, el valor de b es

desconocido.

Del triángulo rectángulo ∆DCE, usando el

teorema de Pitágoras se puede encontrar el

valor del cateto x, así:

𝑥 = √𝑎2 − ℎ2 = √352 − 302 = √1225 − 900 = √325 = 5√13 m

Del triángulo rectángulo ∆ACE y de nuevo usando el teorema de Pitágoras se obtiene que:

𝑏 + 𝑥 = √𝑑2 − ℎ2 → 𝑏 + 5√13 = √502 − 302 → 𝑏 + 5√13 = √502 − 302 →

𝑏 + 5√13 = √2500 − 900 → 𝑏 + 5√13 = √1600 → 𝑏 + 5√13 = 40 → 𝑏 = 40 − 5√13


𝑏 ≅ 22 m

Por tanto el área del paralelogramo es:

𝐴 = 𝑏ℎ = (22 m)(30 m) = 660 m2.

Ejemplo 11.6

Hallar una expresión para el área de un triángulo equilátero en función del lado del mismo.

Luego utilice dicha expresión para calcular el área de un triángulo equilátero de lado 2 m.

Solución:

Sea el triángulo equilátero ∆ABC de lado l mostrado en la figura. El valor de h debe dejarse

en términos de l, que se considera el parámetro del cual debe quedar dependiendo el área

del triángulo.

La perpendicular trazada desde el vértice C al

lado opuesto 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es la altura del triángulo y

esta a su vez divide el lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en dos partes

iguales de longitud 𝑙

2. Como el triángulo CDB

es rectángulo, la altura h se puede encontrar

utilizando el teorema de Pitágoras para hallar

un cateto, o sea:

ℎ = √𝑙2 − (𝑙

2)2

→ ℎ = √𝑙2 −𝑙2

4 → ℎ = √

3𝑙2

4 → ℎ =

𝑙

2√3

Ahora bien, el área se puede calcular de:

𝐴 =𝑏ℎ

2=(𝑙) (

𝑙2√3)

2 → 𝐴 =

𝑙2

4√3

Para el caso que 𝑙 = 2 m, el área sería de: 𝐴 = √3 m2.


Ejemplo 11.7

Para la figura mostrada, calcular el área de la

parte sombreada como una función del lado

del polígono regular, sabiendo que ABCD es

un cuadrado de lado l. Utilice la expresión,

para calcular el área de la región sombreada,

si el valor del lado del cuadrado es 𝑙 = 2 m.

Solución:

Por ser la figura ABCD un cuadrado, los

radios de todos los sectores circulares son

iguales y adicionalmente cada uno subtiende

un ángulo recto.

Es decir que los cuatro sectores circulares conforman un círculo de radio 𝑟 =𝑙

2. Por tanto

el área de la parte rayada se puede obtener de restar el área de un cuadrado al área de un

círculo, o sea:

𝐴𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑎𝑦𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 − 𝐴𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

𝐴𝑃𝑅 = 𝑙2 − 𝜋 (

𝑙

2)2

→ 𝐴𝑃𝑅 = 𝑙2 − 𝜋

𝑙2

4→ 𝐴𝑃𝑅 = 𝑙

2 (1 −𝜋

4)

Para el caso particular en donde 𝑙 = 2 m, entonces el área de la región sombreada es:

𝐴𝑃𝑅 = 𝑙2 (1 −

𝜋

4) → 𝐴 = (2 m)2 (1 −

𝜋

4) → 𝐴 ≅ 0,86 m

2.

Ejemplo 11.8

Calcular el área de la región sombreada mostrada en la

figura. El polígono inscrito ABCDEF en la

circunferencia es un hexágono regular y el radio de la

circunferencia es 𝑟 = 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ = 3m. Encuentre primero

una expresión para el área de la región sombreada en

función del radio y luego sustituya el valor dado en el

ejercicio.

Solución


Por ser el polígono un hexágono regular, este está conformado por seis triángulos

equiláteros iguales. Si se halla el área de uno de ellos el área total del polígono sería seis (6)

veces uno de ellos. Por tanto, el área de la parte rayada se obtendría como:

𝐴𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑅𝑎𝑦𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 − 𝐴𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜

En el ejemplo 11.4 se encontró una expresión general para el área de un triángulo equilátero

y por tanto el área del hexágono regular es:

𝐴𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 = 6(𝑙2

4√3) → 𝐴𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜 =

3√3

2𝑙2

Pero por la simetría de la figura el lado del triángulo coincide con el radio de la

circunferencia es decir que 𝑟 = 𝑙. La expresión algebraica para el área de la región

sombreada sería:

𝐴𝑃𝑅 = 𝜋𝑟2 −

3√3

2𝑟2

Factorizando se obtiene una expresión del área rayada en función del radio, así:

𝐴𝑃𝑅 = (𝜋 −3√3

2) 𝑟2

Si ahora se sustituye el valor 𝑟 = 2 m, se tiene que:

𝐴𝑃𝑅 = (𝜋 −3√3

2) (3m)2 → 𝐴𝑃𝑅 ≅ 4,9 m

2.

Ejercicios

1. La base de un rectángulo es el doble de su altura y su área es de 128 m2. ¿Cuáles son los

valores de la base y la altura de dicho rectángulo?.

2. Encontrar el área de un cuadrado cuya diagonal tiene una medida de 6√2 m.

3. Los lados de un triángulo miden 3, 6 y 8 m respectivamente. ¿Cuál es el área de dicho

triangulo?.

4. Un cuadrado está inscrito en un círculo de radio r. Encuentre una expresión para el área

de la región comprendida entre el circulo y el cuadrado en función de r. Luego aplique la

expresión obtenida para el caso en que r = 4 m.


5. Encontrar el área de la región sombreada

de la figura , sabiendo que el triángulo

∆ABC es equilátero cuyo lado mide 5 m.

Los puntos MNP son los puntos medios de

los lados del triángulo.

11.5. Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos, a veces denominados cuerpos sólidos, corresponde a una figura

geométrica tridimensional, es decir aquel que se considera que espacialmente se puede

representar en tres dimensiones y que se hallan limitados por una o varias superficies. Para

algunos casos especiales esas dimensiones podrían ser: largo, ancho y alto.

Si todas las superficies que lo limitan son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un

poliedro. Los principales elementos de un poliedro se muestran a continuación.

Caras: Son los polígonos planos que limitan el poliedro. Hay

caras basales (referentes a la cara en la cual se soportaría el

poliedro en una superficie horizontal) y caras laterales.

Las caras laterales son superficies rectangulares (Por ejemplo,

AEHC y BFGD) y las caras basales son polígonos

cualesquiera (ABDC y EFGH), es decir, pueden ser un

cuadrado, un rectángulo, un triángulo, un pentágono, entre

otros.

Aristas: Son las intersecciones de dos caras. Se puede decir

también que son los lados de los polígonos que forman las

caras del poliedro. El poliedro tiene aristas laterales y aristas

basales.

Aristas laterales: AE, BF, DG, CH; Aristas basales: AB, BD,

DC, DC y EF, FG, GH, HE

Vértices: Son las intersecciones de tres o más caras. También se definen como los puntos

en que se cortan las aristas. Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H


Ángulos diedros: Es la abertura

comprendida entre dos caras que se cortan.

Ángulos poliedros: Es la abertura que se

forma en la intersección dos a dos de varias

caras, el vértice del ángulo poliedro es A.

Los poliedros se acostumbran a clasificar en regulares e irregulares. Poliedros regulares,

son aquellos cuyas caras son todos polígonos regulares, congruentes entre sí (de igual

medida) y cuyos ángulos poliedros son iguales. Existen solamente 5 poliedros regulares:

Tetraedro, Hexaedro, Octaedro, Dodecaedro, Icosaedro y son llamados Sólidos

Platónicos. Las características de estos poliedros se observan en la tabla siguiente.

Nombre del

Poliedro Tetraedro

Hexaedro

(cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Representación

Geométrica

N° de caras

4 caras

(triángulos

equiláteros)

6 caras

(cuadrados)

8 caras

(triángulos

equiláteros)

12 caras

(pentágonos

regulares)

20 caras

(triángulos

equiláteros)

N° de vértices 4 8 6 20 12

N° de aristas 6 12 12 30 30

N° de lados de

cada cara 3 4 3 5 3

N° aristas

concurrentes

en un vértice

3 3 4 3 5

Los Poliedros irregulares son aquellos que sus caras no son polígonos regulares ni sus

ángulos poliedros son iguales.

Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos

polígonos iguales denominados bases, cuyos planos son paralelos.


Pirámide: Poliedro que tiene como base a un polígono cualquiera y

las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común

llamado vértice.

Existen otros cuerpos, como la esfera, el cilindro, el cono o el toroide que no están

limitados por polígonos, sino por superficies curvas y se les llaman cuerpos redondos. A

continuación se dan las definiciones básicas respectivas de estos cuerpos redondos.

Esfera: Es el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan

de otro interior llamado centro o también es la superficie de revolución

que se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su

diámetro.

Cilindro: Es una superficie formada por el desplazamiento paralelo de

una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana (cerrada o

abierta), denominada directriz del cilindro.

Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces

la superficie obtenida, es llamada cilindro circular recto, será de

revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos equidistan de una línea

recta, el eje del cilindro.

Cono: Un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de

un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo

formado se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se

llama vértice.

Toroide: Es la superficie de revolución generada por una

curva plana cerrada que gira alrededor de una recta exterior

coplanaria (el eje de rotación está situada en su mismo plano)

con la que no se interseca. En la cotidianidad se asemejan a

objetos como: argollas, anillos, aros, donuts o roscas. Cuando

la curva cerrada es una circunferencia, la superficie se

denomina toro.

Los sólidos tienen propiedades que los hacen especiales, como el área de la superficie y

su volumen. A continuación, se encuentra un listado de gran parte de los cuerpos

geométricos, relacionados en esta sección, con su respectivo nombre y en donde se

relacionan cada uno de los parámetros que son necesarios para los cálculos de sus áreas y


volúmenes. Adicionalmente, se muestran las respectivas expresiones algebraicas para

obtener dichos valores.

Figura Geométrica Nombre Parámetros Área Volumen

Cubo

arista: a

𝐴 = 6𝑎2

𝑉 = 𝑎3

Paralelepíped

o

𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 {𝑎𝑏𝑐

𝐴 = 2(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐)

𝑉 = 𝑎𝑏𝑐

Tetraedro arista: a

𝐴 = √3𝑎2

𝑉 =√2

12𝑎3

Octaedro

arista: a 𝐴 = 2√3𝑎2 𝑉 =√2

3𝑎3

Dodecaedro

arista: a 𝐴 = 20,65𝑎2 𝑉 =1

4(15 + 7√5) 𝑎3

Icosaedro

arista: a 𝐴 = 5√3𝑎2

𝑉 =5

12(3 + √5) 𝑎3


Prisma

Perímetro de la

base: PB

Área Lateral: AL

Área Base: AB

Área Total: AT

Altura: h

𝐴𝐿 = 𝑃𝐵ℎ

𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵

𝑉 = 𝐴𝐵ℎ

Pirámide

Perímetro

de la base: PB

Área Lateral: AL

Área Base: AB

Área Total: AT

Altura: h

Apotema: a

𝐴𝐿 =𝑃𝐵𝑎

2

𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 𝐴𝐵

𝑉 =1

3𝐴𝐵ℎ

Cilindro

Área Lateral: AL

Área Total: AT

Radio: r

Altura: h

𝐴𝐿 = 2𝜋𝑟

𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟)

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ

Cono

Circular

Recto

Área Lateral: AL

Área Total: AT

Altura: h

Radio: r

Generatriz: g

𝑔2 = 𝑟2 + ℎ2

𝐴𝐿 = 𝜋𝑟𝑔

𝐴𝑇 = 𝜋𝑟(𝑔 + 𝑟) 𝑉 =

1

3𝜋𝑟2ℎ

Tronco de

Cono

Área Lateral: AL

Área Total: AT

Altura: h

Radio: r

Generatriz: g

𝐴𝐿 = 𝜋(𝑅 + 𝑟)𝑔

𝐴𝐿 = 𝜋[𝑔(𝑅 + 𝑟) + 𝑅2 + 𝑟2]

𝑉 =1

3𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟)


Esfera

Radio: r

𝐴𝐿 = 4𝜋𝑟2

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

Toroide de

sección

transversal

circular

Radio de la sección

transversal: r

Distancia del eje del

toroide al centro del

círculo: R

𝐴 = 4𝜋2𝑅𝑟

𝑉 = 2𝜋2𝑅𝑟2

Ejemplo 11.9

Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un pentágono

regular de 3 cm de lado y de apotema 2,2 cm. Asumir que la altura del prisma mide 8 cm.

Solución

El cálculo del área lateral se obtiene de multiplicar el perímetro de la base por la altura:

𝐴𝐿 = 𝑃𝐵ℎ = 5(3 cm)(8 cm) = 120 cm2

Como la base del prisma es un pentágono regular formado por cinco triángulos iguales,

dichos triángulos tienen por base el lado del pentágono y como altura su apotema. Por

tanto, el área total del prisma se calcula así:

𝐴𝑇 = 𝐴𝐿 + 2𝐴𝐵 = 120cm2 + 2{5 [

(3cm) (2,2cm)

2]} = 120 cm2 + 33cm2 = 153cm2

y el volumen es:

𝑉 = 𝐴𝐵ℎ = 5 [(3cm) (2,2cm)

2] (8 cm) = 132cm3

Ejemplo 11.10

Calcular el área lateral, área total y volumen de un cilindro de 2,8 cm de radio y 6,8 cm de

altura.

Solución

El área lateral del cilindro se obtiene de:


𝐴𝐿 = 2𝜋𝑟 = 2π(2,8 cm) = 17,6 cm2

El área total se calcula así:

𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟) = 2π(2,8 cm)(6,8 cm + 2,8cm) = 168,9 cm2

y el volumen es:

𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋(2,8 cm)2(6,8 cm) = 167,5 cm3

Ejemplo 11.11

Calcular el área lateral, total y el volumen de un cono de 8 m de radio de la base y de 6 m

de altura.

Solución

Se requiere conocer el valor de la generatriz 𝑔 y para su cálculo se hace del teorema de

Pitágoras, así:

𝑔 = √ℎ2 + 𝑟2 = √(6m)2 + (8m)2 = √36m2 + 64m2 = √100m2 = 10 m

El área lateral se calcula así:

𝐴𝐿 = 𝜋𝑟𝑔 = π(8m)(10m) = 251,3 cm2

El área total del cono es:

𝐴𝑇 = 𝜋𝑟(𝑔 + 𝑟) = π(8m)(10m+8m) = 452,4cm2}

y el volumen del cono es:

𝑉 =1

3𝜋𝑟2ℎ =

1

3π(8m)2(6m) = 402,1 cm3

Ejemplo 11.12

Sabiendo que la volumen de una esfera es 1280 cm3, ¿Cuál es el radio de la esfera?.

Solución

El volumen de una esfera bien dado por la expresión:


𝑉 =4

3𝜋𝑟3

Despejando el radio se obtiene:

𝑟 = (3𝑉

4𝜋)

13→ 𝑟 = [

3(1280 cm3)

4π]

13

→ 𝑟 = 6,74 m

Ejemplo 11.13

Deducción del volumen de un tronco de cono. Mostrar que el volumen de un tronco de

cono recto tiene por volumen:

𝑉 =1

3𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟)

Solución:

Se supone que se tiene un cono recto de

altura H y radio R, denominado cono 2 en la

figura. Se hace un corte en la parte superior

del cono 2 de tal manera que se obtiene otro

cono recto, de altura H-h y radio r

denominado cono 1. El nuevo cuerpo

formado es un tronco de cono de altura h

cuyo radio de la base mayor es R y el radio

de la base menor es r. Por tanto, el volumen

del tronco de cono se puede obtener de la

diferencia entre el volumen del cono 2 (V2)

y el volumen del cono 1 (V1), es decir:

𝑉 = 𝑉2 − 𝑉1 De donde:

𝑉 =1

3𝜋𝑅2𝐻 −

1

3𝜋𝑟2(𝐻 − ℎ)

El parámetro H no hace parte de las variables del volumen del tronco de cono, por eso re

requiere “eliminarlo” de la expresión anterior. Para ello, se recurre a realizar un corte

transversal del cono original (cono 2) por su eje de simetría. Teniendo en cuenta que si se

ha quitado el cono 1, se forman los dos triángulos rectángulos ∆ABC y ∆ADE mostrados

en la figura, los cuales son semejantes. Por eso, se puede obtener la proporción siguiente:

𝐻

𝐻 − ℎ=𝑅

𝑟


Realizando operaciones y factorizando,

𝑟𝐻 = 𝑅𝐻 − 𝑅ℎ → 𝑅ℎ = 𝑅𝐻 − 𝑟𝐻 → 𝑅ℎ = (𝑅 − 𝑟)𝐻

Despejando H se tiene que:

𝐻 =𝑅ℎ

𝑅 − 𝑟

Ahora se sustituyen el valor de H en la expresión

para el volumen V del tronco de cono, así:

𝑉 =1

3𝜋𝑅2 (

𝑅ℎ

𝑅 − 𝑟) −

1

3𝜋𝑟2 (

𝑅ℎ

𝑅 − 𝑟− ℎ)

Realizando algunas operaciones algebraicas se tiene:

𝑉 =1

3𝜋 [(

𝑅3ℎ

𝑅 − 𝑟) − (

𝑟3ℎ

𝑅 − 𝑟)]

Factorizando ℎ

𝑅−𝑟 se tiene que:

𝑉 =1

3𝜋

ℎ

(𝑅 − 𝑟)[𝑅3 − 𝑟3]

Resolviendo la diferencia de cubos del paréntesis cuadrado se llega a:

𝑉 =1

3𝜋

ℎ

(𝑅 − 𝑟)[(𝑅 − 𝑟)(𝑅2 + 𝑅𝑟 + 𝑟2)]

Cancelando el factor (𝑅 − 𝑟), se obtiene que:

𝑉 =1

3𝜋ℎ(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅𝑟)

Por lo tanto queda demostrada la expresión del volumen de un tronco de cono.


Ejercicios

1. Calcular el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo,

4 de ancho y 3 m de alto.

2. Una piscina tiene 12 m de largo, 5 m de ancho y 2,5 m de profundidad. Un pintor cobra a

$5000 el m2. a)¿Cuánto costará pintarla? y b) ¿Cuántos m

3 de agua serán necesarios para

llenarla?.

3. Determinar el área y el volumen de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de

arista.

4. Calcular la altura de un prisma que tiene como área de la base 12 cm2 y 48000 cm

3 de

capacidad.

5. Calcular la cantidad de lámina de aluminio que se necesitará para hacer 10 tolvas en

forma de troncos de cono cuyos diámetros respectivos son de 0,1 m y 1,2 m, sabiendo que

la altura de la tolva es de 3 m. Si dentro de la tolva se van a depositar granos de arveja

¿Haga una estimación de cuántos de estos podrían caber dentro de la tolva, de manera

aproximada, a sabiendas que la arveja tiene forma esférica de radio 2 mm?

6. En una probeta de 12 cm de radio se echan 15 cubitos de hielo de 3 cm de arista. ¿A qué

altura llegará el agua cuando se derritan?.

7. Suponiendo que una de las cúpulas de una catedral tiene forma semiesférica de radio

externo 27 m, ¿Cuánto costaría restaurarla en su parte externa si el valor por m2 es de

$825000?.

8. Un ingeniero necesita 1 cm3 de oro para dorar la superficie lateral de un cilindro de 75

cm de altura y 20 cm de radio, ¿cuál será el espesor de la capa de oro?. Suponga que la capa

se distribuye uniformemente en toda la cara lateral del cilindro.

9. Dos esferas de metal se radios r y 2r, se funden juntas para hacer una esfera más grande.

Calcular el radio de la nueva esfera en función de r.

9. Se funde un cilindro de metal de radio r y altura h. Dicho metal se depositará en unos

recipientes en forma de cono cuyo radio es la mitad del radio del cilindro, pero de doble

altura. ¿Cuántos recipientes se pueden llenar, si no se desperdicia material?.

10. Una estructura de concreto tiene la forma de un cilindro. El diámetro de la base es D y

la altura es 4D. Encontrar el volumen del cilindro como una función del diámetro, V = f(D)

y grafique dicha función. Si el volumen es de 1000 cm3, Cuál es el radio de dicho cilindro?.


11.6. Software de cálculo algebraico y de simulación para la enseñanza

de la geometría

Al igual que existe software para el proceso de enseñanza y aprendizaje de la física (como

se mostró en el capítulo 9), se pueden encontrar una serie de paquetes que ayudan a las

representaciones y cálculos de las figuras geométricas al igual que la visualización de todas

las propiedades y elementos de dichos objetos geométricos.

Es así, como el caso de GeoGebra2, que se convierte en un programa interactivo

especialmente diseñado para la enseñanza y aprendizaje de álgebra y geometría a nivel

secundario y universitario. De una parte, GeoGebra es un sistema de geometría dinámica

que permite elaborar construcciones tanto con puntos, vectores, segmentos, rectas,

secciones cónicas como con funciones que luego se pueden modificar de manera muy

versátil.

De otro lado, en Geogebra se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente, por

ello, GeoGebra tiene la opción de manejar variables vinculadas a números, vectores y

puntos, al igual que permite hallar derivadas e integrales de funciones y ofrece una

colección de comandos propios del análisis matemático, para identificar raíces, mínimos,

máximos y singularidades de una función.

Otro software ya reconocido como apoyo al aprendizaje de la geometría es el Cabri3. En

sus últimas versiones ya permite adentrarse al mundo de la geometría en el espacio y de

poseer más herramientas interactivas en matemáticas, pues el proyecto original inicia con el

objetivo de facilitar el aprendizaje y la enseñanza de la geometría en dos dimensiones.

La elaboración de figuras geométricas en computador permite ahora nuevas perspectivas

con respecto a las construcciones clásicas que utilizan papel, lápiz, regla y compás (aunque

en lo posible no hay que dejarlas de lado, en los primeros aprendizajes de la geometría).

Con Cabri se puede aprender de manera ágil a construir, visualizar y manipular en tres

dimensiones toda clase de objetos: rectas, planos, cuerpos redondos, poliedros.

Adicionalmente se pueden medir objetos, incorporar datos numéricos, revisar la secuencia

de realización de sus construcciones y verificar los cálculos obtenidos.

En la figura 11.19.a) 11.19.b) se muestran imágenes representativas de los programas

mencionados.

2 http://www.geogebra.org/cms/es/download/ 3 http://www.cabri.com/es/descargar-cabri-3d.html


a)

b)

Fig.11.19. Imágenes de software de simulación en Geometría

Nota didáctica

El uso de estas herramientas tecnológicas siempre requiere de un proceso de alfabetización

informático o computacional por parte de quien desea emplearlo. Adicionalmente el

dominio de la disciplina, en este caso de la geometría, es importante en el proceso y por

eso el docente que guie este proceso debe ser consciente del mismo y debe orientarlo

adecuadamente. Estas herramientas requieren aprendizajes coherentes, bien organizados y

bien dirigidos, no sólo para para quienes recibirán ese apoyo, sino también del que los

imparte. La motivación al uso de las tecnologías no debe ser lo único que prime en estos

procesos de conocimiento.


Capítulo 12

Función Matemática

“Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico”

Leonhard Euler

Uno de los conceptos más importantes en la matemática es el de función. Aunque sobre las

funciones existe un amplio contenido temático desde su usos, aplicaciones, definiciones,

métodos de análisis y demás, aquí solo se expondrán las ideas básicas al respecto de la

noción de función y el uso de algunas de ellas que son de uso generalizado y que sirven de

apoyo a la explicación de distintos fenómenos físicos.

Puede considerarse que una función matemática es la correspondencia o relación de los

elementos de un primer conjunto con los elementos de otro u otros conjuntos. En general

una función cumple con dos condiciones: 1) La condición de existencia que consiste en que

todos los elementos del primer conjunto están relacionados con los elementos del segundo

y 2) la condición de unicidad, que radica en que cada elemento del primer conjunto está

relacionado con un único (o ninguno) elemento del segundo conjunto.

Un ejemplo ilustrativo de función se muestra en la figura 12.1, en donde se considera que el

primer conjunto es el de algunos polígonos y el segundo conjunto es el de los números

asociados al número de lados de dichos polígonos. Es decir, que a cada polígono se le

asigna un único número de lados.

Fig.12.1. Representación gráfica de una función

Nótese que, si fuese el caso al revés, es decir en donde a los números se les asocia un

polígono no sería una función, pues no cumpliría la condición de unicidad pues el

12

3

4

5

68


cuadrado, el rectángulo, el rombo, el trapecio y en general cualquier cuadrilátero tienen

cuatro lados.

En las áreas de las ciencias naturales, las matemáticas, la ingeniería, la economía entre otras

es muy frecuente escuchar la dependencia entre dos cantidades, magnitudes o variables

para acotar el término de función.

En matemáticas, es muy normal decir que la variable y es función lineal o una función

cuadrática o función de la raíz cuadrada de la variable x, el volumen de una esfera es

función del cubo del radio, por nombrar algunas pocas.

Si estos modelos matemáticos se transfieren a la física se puede decir por ejemplo, que la

posición de un objeto es función lineal o cuadrática del tiempo, la presión atmosférica es

función de la altura con relación al nivel del mar, el volumen de un gas es función de la

temperatura, el periodo de oscilación de un péndulo es función del inverso del cuadrado de

la aceleración gravitacional, entre muchas otras.

Como puede notarse, en matemáticas y sus áreas de aplicación se dice que una magnitud,

variable o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del

valor de la segunda, cumpliendo con las condiciones de existencia y de unicidad,

mencionadas anteriormente. A la primera variable se le denomina variable independiente y

a la segunda variable dependiente.

La forma tradicional de denotar una función f es:

f : A → B

x → f(x)

en donde A es el dominio de la función f, es decir el primer conjunto o conjunto de partida

y B es el codominio de f, o sea el segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(x) se

denota la regla, el algoritmo o la correspondencia para obtener la imagen de un cierto

elemento arbitrario x del dominio A, es decir, el (único) elemento de B que le corresponde.

En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo,

deduciendo el dominio y codominio por el contexto. Así por ejemplo,

f: Z → N

x → y

x → x2, sencillamente y = x

2 o f(x) = x

2,

Significa que a todo número entero Z, se le puede asignar un único número natural N el cual

es el cuadrado de dicho número entero.

Toda función puede ser objeto de representación y puede hacerse de diversas formas:

mediante la regla o correspondencia como la mostrada en la figura xxx, o como el

http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Codominio

http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_%28matem%C3%A1ticas%29


algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento o mediante una tabla de

valores (proceso llamado normalmente de tabulación) que asigna cada valor de la variable

independiente con su imagen o como una gráfica que dé una dibujo de la función.

Para representar gráficamente una función de dos o más variables se recurre al uso de los

sistemas de coordenadas. Existen distintos sistemas como el cartesiano (también llamado

rectangular), el cilíndrico, el esférico, el elíptico, el hiperbólico que obedecen a que sus

ejes son respectivamente perpendiculares y por eso son llamados sistemas de coordenadas

ortogonales. Existen sistemas no ortogonales, pero son de uso muy restringido y por lo

general de alta complejidad en su uso. En el presente texto se limitará el uso de los sistemas

ortogonales sólo al sistema cartesiano.

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo de coordenadas

ortogonales usadas en la representación gráfica de una función matemática o de la

representación de funciones que caracterizan por ejemplo el movimiento en física y que

usan como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las

coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones

ortogonales de un punto dado sobre cada uno de los ejes.

Las coordenadas cartesianas son usadas para definir el sistema cartesiano o sistema de

referencia. Si es respecto solo a un eje (línea recta, sistema unidimensional), cuando se

refiere a dos ejes (un plano llamado plano cartesiano, sistema bidimensional) o el caso de

tres ejes (en el espacio, sistema tridimensional), perpendiculares entre sí (plano y espacio),

que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas

cartesianas se denominan abscisa y ordenada. La abscisa es la coordenada horizontal y se

representa habitualmente por la letra 𝑥, mientras que la ordenada es la coordenada vertical

y se representa por la 𝑦, ver figura 12.2.

Fig.12.2.Representación de puntos en coordenadas cartesianas

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1fica_de_una_funci%C3%B3n


El corte de los dos ejes divide el plano en diferentes regiones las cuales se denominan

cuadrantes: a) Primer cuadrante "I", región superior derecha, b) Segundo cuadrante "II",

región superior izquierda, c) Tercer cuadrante "III", región inferior izquierda y d) Cuarto

cuadrante "IV", región inferior derecha.

En el plano cartesiano se ubican los respectivos puntos en forma de parejas ordenadas o

par ordenado (𝑥 , 𝑦). En la figura 12.2 se indica el punto +3 en las abscisas y +2 en las

ordenadas y de igual manera se ubican los pares ordenados (−3, 5/2) 𝑦 (−2,−7/2).

Ejemplo 12.1

Aplicación a la física

En los movimientos rectilíneos hay diferentes formas de expresar el comportamiento entre

la posición del objeto y el tiempo que transcurre a medida que el objeto se mueve. Uno de

tantos es el movimiento uniformemente acelerado. Puede demostrarse (ver capítulo xxx)

que la función matemática que relaciona el tiempo t (variable independiente, eje de las

abscisas) y la posición x (variable dependiente, eje de las ordenadas) del objeto viene dado

por la expresión (regla, algoritmo o ecuación):

𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑣0𝑡 +1

2𝑎𝑡2

Siendo 𝑥0 la posición del objeto en 𝑡 = 0, 𝑣0 la rapidez inicial y 𝑎 la aceleración constante

del objeto. Sí se asume que 𝑥0 = 0 m, 𝑣0 = 0 𝑚/𝑠 y 𝑎 = 1 𝑚/𝑠2, entonces la expresión se

convierte en:

𝑥(𝑡) =1

2𝑡2

Los valores de las variables pueden asumirse de manera arbitraria aceptando la expresión

teórica o pueden ser recogidos de una práctica experimental para luego hacer un análisis

gráfico de los mismos (ver capítulo 9). Por ahora, se van asumir de manera arbitraria una

serie de datos para el tiempo y así elaborar la tabla 12.1, anotando la posición x en un cierto

instante t, para varios instantes. La gráfica que representa la posición en función del tiempo

y que se corresponde a los datos de la tabla 12.1, se muestra en la figura 12.3.

Hay que aclarar que cuando se escribe 𝑥(𝑡 = 4 s) = 0,8 m o simplemente 𝑥(4) = 0,8 m

significa que cuando el tiempo t es de 4 s la posición x es de 0,8 m, es decir que en la

función se sustituye el valor de dicho tiempo y luego se realizan las operaciones indicadas,

o sea que:

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tabla_%28informaci%C3%B3n%29&action=edit&redlink=1


𝑥(2) =1

2(4)2 = 8 𝑚

Tabla 12.1. Datos Movimiento

Rectilíneo

Tiempo t (s) Posición x (m)

0,00 0,00

2,00 0,80

4,00 3,20

6,00 7,20

8,00 12,80

10,00 20,00

12,00 28,80

14,00 39,20

16,00 51,20

18,00 64,80

20,00 80,00

Fig. 12.3. Posición en función del tiempo para un movimiento

uniformemente acelerado

De esa manera se construyó toda la tabla 12.1.

Nota Importante: No olvidar que al sustituir en la función original, las variables o

constantes por sus respectivos números o datos estos deben haber sido asumidos en un

sistema de unidades, que para éste caso es el sistema internacional de unidades SI. En el

capítulo 1, se estableció no solo que se debe usar el SI, sino también que se debe ser

consistente con el análisis dimensional. Por eso, los cálculos obtenidos y registrados en la

tabla 12.1 han sido realizados teniendo en cuenta estas consideraciones, que desde el punto

de vista de la física son muy importantes. Se sugiere por tanto, que cuando se haga una

modelación matemática para explicar una fenomenología en particular se tengan presentes

dichas consideraciones.

A continuación se explican y analizan algunas de las funciones más utilizadas y que

servirán de soporte a contextualizar diferentes modelos físicos. También se darán ejemplos

de algunas funciones para caracterizarlas e intentar mostrar una metodología aproximada al

estudio de las mismas, no sin antes aclarar que el presente documento se queda corto para

un estudio serio y profundo de las mismas.

12.1. Función lineal

Desde una visión matemática simple, es decir desde una mirada de la geometría y el álgebra

elemental, una función lineal no es más que una función polinómica de primer grado; o sea,

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00

Po

sici

ón

x(m

)

tiempo t (s)

Posición en función del tiempo

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica


una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta y la cual se puede

escribir de la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏

donde m y b son constantes que pertenecen a los números reales y x es una variable real. La

constante m es conocida como la pendiente de la recta, y b como el punto de corte de la

recta con el eje y. Al modificar m entonces se cambia la inclinación de la recta, y si se varía

b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo 12.2

En la figura 12.4, se ven las dos gráficas de las rectas cuyas ecuaciones son

respectivamente:

{ 𝑦 =

1

2𝑥 + 1

𝑦 = −𝑥 + 3

Fig. 12.4. Grafica de dos funciones lineales

en la primera ecuación la pendiente de la recta es 𝑚 = 1/2, por tanto cuando se aumenta x

en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad. Adicionalmente el valor de b es 1, así la

recta corta el eje vertical en el punto 𝑦 = 1.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_cartesiano

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea_recta

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_la_recta


Mientras que en la segunda ecuación la pendiente de la recta la pendiente es 𝑚 = −1, es

decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y también disminuye en una

unidad. El valor de b es 3 y por tanto la recta corta al eje y es en 𝑦 = 3.

La pendiente de una recta matemáticamente se corresponde con al ángulo de inclinación de

la misma con relación al eje horizontal (x para el caso de las matemáticas, pero puede ser

otra variable en el caso de la física). Si a dicho ángulo se le asigna la letra griega ө entonces

la pendiente se puede obtener de:

𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃 (12.1)

O también haciendo

𝑚 =𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1

(12.2)

Si se supone que x e y son las coordenadas de cualquier punto sobre la recta y (𝑥0, 𝑦0) es

un punto cualquiera que pasa por la recta, la expresión anterior se puede transformar en:

𝑚 =𝑦 − 𝑦0𝑥 − 𝑥0

La cual se convierte en:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) (12.3)

Que representa otra manera de expresar la ecuación de una recta cuando se conoce la

pendiente de la misma y un punto que pasa por ella.

Otra forma de concebir la ecuación de una recta, es escribiendo la fórmula general:

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 (12.4)

En donde, se puede mostrar con un despeje sencillo de la variable y, que la pendiente m, se

puede calcular así:

𝑚 = − 𝐴

𝐵 (12.5)

y el punto de corte b por:

𝑏 = −𝐶

𝐵 (12.6)


Cuando se observan las gráficas de dos rectas en un plano cartesiano, ellas

geométricamente en algunas ocasiones pueden ser paralelas o perpendiculares entre sí. Al

representar las pendientes de dichas rectas por 𝑚1 y 𝑚2 se dice que ellas son paralelas

cuando los valores de sus pendientes son iguales es decir: 𝑚1 = 𝑚2. Cuando las rectas son

perpendiculares se cumple que el producto de las dos pendientes es -1, o sea 𝑚1𝑚2 = −1 o

también que 𝑚2 = −1

𝑚1 (una pendiente es numéricamente igual al negativo del inverso

multiplicativo o reciproco de la otra).

Notas Importantes

i) La versión matemática de la pendiente, es decir la tangente del ángulo que la recta forma

con la horizontal, presume que dicha pendiente es una cantidad adimensional. Sin

embargo, en física la relación de un cateto opuesto (diferencia de las dos ordenadas) a un

cateto adyacente (diferencia de las dos abscisas) en una recta no garantiza que las dos

variables tratadas en la representación gráfica tengan las mismas unidades. En física la

pendiente de una recta por lo general tiene unidades.

ii) Por dos puntos dibujados en un plano cartesiano siempre pasará una recta. Por eso, una

forma fácil de dibujar una recta es definir dos puntos que pasen por la misma y luego

realizar el trazado.

Ejemplo 12.3

Sea la ecuación de la línea recta 𝐿1: 3𝑥 − 5𝑦 − 5 = 0. a) Encontrar la pendiente y el punto

de corte con el eje y, b) Encontrar la ecuación de una recta 𝐿2 paralela a 𝐿1 y que pase por

el punto 𝑃(2,−1), c) Encontrar la ecuación de una recta 𝐿3 que sea perpendicular a 𝐿1 y

que pase por el punto 𝑄(1,1) y d) Hacer una representación de las tres líneas en un mismo

plano y verificar las respuestas a los ítems anteriores.

Solución:

a) Sabiendo que 𝐴 = 3, 𝐵 = −5 y 𝐶 = −5, se tiene que:

𝑚1 = − 3

(−5)=3

5 y 𝑏 = −

(−5)

(−5)= −1

Es decir que 𝐿1 tiene la forma 𝑦 =3

5𝑥 − 1.

b) La recta 𝐿2 debe tener una pendiente 𝑚2 = 𝑚1 =3

5 y como debe pasar por el punto

(𝑥0, 𝑦0) = (2,−1) , se tiene que:


𝑦 − (−1) =3

5(𝑥 − 2) → 𝑦 + 1 =

3

5(𝑥 − 2)

5𝑦 + 5 = 3𝑥 − 6 → 5𝑦 = 3𝑥 − 11

𝑦 =3

5𝑥 −

11

5

La anterior es la ecuación de la recta 𝐿2.

c) La recta 𝐿3 debe tener una pendiente 𝑚3 = −1

𝑚1= −

5

3 y como debe pasar por el

punto (𝑥0, 𝑦0) = (1,1) , se tiene que:

𝑦 − 1 = −5

3(𝑥 − 1) → 3𝑦 − 3 = −5𝑥 + 5 → 3𝑦 = −5𝑥 + 8

𝑦 = −5

3𝑥 +

8

3

La anterior es la ecuación de la recta 𝐿3.

d) La representación de las tres líneas en un mismo plano se muestra en la figura 12.5.

Nótese que L1 y L2 son paralelas y a su vez estas dos son perpendiculares a L3.

Obsérvese además que los puntos P y Q obedecen a las condiciones planteadas.

Fig.12.5. Solución gráfica al ejemplo 12.3


Ejercicios

1. Probar solucionando el sistema de ecuaciones simultáneas, que las dos rectas de la figura

12.4, se cortan en el punto (4/3 , 5/3).

2. Escriba de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por los puntos

𝐴(2, 1) y 𝐵(−1, 3).

3. Hallar la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 7 = 0

4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, −2) y es paralela a la recta

𝑥 + 2 𝑦 − 3 = 0.

5. Calcular una recta perpendicular a la recta 𝑦 = 3𝑥 − 5 que pase por el punto (1, −3)

6. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales { 𝑦 = −

1

4𝑥 + 5

𝑦 = 2𝑥 −4

5

a) Realice una representación gráfica de las dos líneas rectas, y

b) Encuentre el punto de intersección resolviendo el sistema de ecuaciones lineales

y contraste la respuesta con la obtenida gráficamente.

7. Aplicación a la física: Un auto A se mueve con rapidez constante y en línea recta, la

ecuación de la posición del mismo en función del tiempo viene dada por la ecuación

𝑥 = 4𝑡, estando 𝑥 en metros (m) y 𝑡 en segundos (s). Otro auto B que se mueve en la

misma dirección que el auto A pero la ecuación de la posición en función del tiempo viene

dada por la ecuación 𝑥 = 30 + 2𝑡. Si en t = 0 el auto B esta 30 m delante de A, ¿En qué

instante de tiempo se vuelven a encontrar los dos autos? y b) ¿A qué distancia del sitio

donde originalmente estaba el auto A se vuelven a encontrar?. Resuelva el problema

analítica y gráficamente.

8. Aplicación a la física: Experimentalmente se ha encontrado que el punto de fusión del

hielo medido con un termómetro cuya escala está en grados Celsius es 0 °𝐶. La misma

medida obtenida con un termómetro en escala Fahrenheit es 32 °𝐹. De igual manera el

punto de ebullición del agua son respectivamente 100 °𝐶 y 212 °𝐹. Sabiendo que la

relación entre las dos variables obedece a la ecuación de una recta, a) Encuentre la

expresión algebraica que relaciona las dos escalas termométricas y b) ¿Cuál es el valor en

°𝐹 cuando un termómetro marca la temperatura ambiente de 20 °𝐶.


12.2. Función cuadrática

Una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida

por:

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (12.7)

que también puede escribirse de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 donde a, b y c son

números reales cualquiera, con la condición que 𝑎 ≠ 0. A la curva que se obtiene de

graficar esta función se le conoce como una parábola. Este tipo de funciones tiene como

característica que cuando 𝑎 >0 el vértice de la parábola aparece dibujado en la parte inferior

de la misma y cuando 𝑎 <0 el vértice se encuentra en la parte superior.

Cuando la función cuadrática se hace numéricamente igual a cero, se convierte en la

ecuación cuadrática y por tanto usando cualquiera de los métodos vistos en el capítulo 12,

se pueden encontrar las raíces o ceros de la función. Los valores obtenidos al solucionar la

ecuación cuadrática nos darían aquellos sitios en donde la parábola corte el eje horizontal,

es decir las intersecciones de la parábola con dicho eje. Si las raíces de la ecuación no

tienen solución dentro del campo de los números reales, sino dentro del campo de los

números complejos, la parábola no corta al eje horizontal.

Para graficar la función cuadrática se puede seguir los siguientes pasos:

1) Se establece si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, observando el signo del

coeficiente a.

2) Se procede a conseguir los puntos de intersección con el eje horizontal, es decir las

raíces de la ecuación.

3) Se obtiene el valor de la coordenada del eje horizontal donde se encuentra el vértice de

la parábola4, utilizando la fórmula 𝑥 = −𝑏

2𝑎 . La obtención de éste punto no es más que el

sitio donde la parábola tiene un máximo o mínimo, es decir donde la curva cambia de

concavidad.

4) Representar los puntos obtenidos en los puntos 2 y 3 y luego graficar la curva. No

olvidar que si la curva es 𝑦 = 𝑓(𝑥) = ± 𝑥2, la curva siempre pasa por el origen y ese es el

punto de corte con el eje x.

4 Este valor es obtenido usando las técnicas de las derivadas sobre la función cuadrática y verificando cuales valores de x

hacen que la curva tenga un máximo o mínimo.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_polin%C3%B3mica

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29


Ejemplo 12.4

Sea la función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 − 6, a) Encontrar los valores de x que hacen que

la curva intercepte con el eje horizontal, b) Hallar las coordenadas del vértice de la parábola

y c) Representar gráficamente la función.

Solución

a) Haciendo 𝑥2 + 5𝑥 − 6 = 0 y factorizando se obtiene que (𝑥 + 6)(𝑥 − 1) = 0, por

tanto las raíces de la ecuación son respectivamente 𝑥 = −6 y 𝑥 = 1. Estos valores

son los puntos de intersección de la curva con el eje x.

b) El vértice de la parábola es 𝑥 = −5

2(1)= −

5

2 , para el cual la función tiene un valor

de:

𝑓 (5

2) = (−

5

2)2

+ 5(−5

2) − 6 =

25

4−25

2 − 6 =

25 − 50 − 24

4= −

49

4

𝑓 (5

2) = −

49

4= −12,25

Por lo tanto la coordenada del vértice es 𝑉 (−5

2, −

49

4).

c) Sabiendo que a = 1, la parábola abre hacia arriba y la gráfica de la función se


Fig. 12.6. Gráfica de la función cuadrática del ejemplo 12.4


Ejemplo 12.5

Representar gráficamente las funciones usando un software de matemáticas y verifique los

valores de x que hacen que la parábola corte el eje horizontal (en los casos que esto sucede),

las coordenadas del vértice y el hecho que la curva abre hacia arriba o hacia abajo.

a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 8 c) 𝑓(𝑥) = 2 + 3𝑥 −1

2𝑥2

Solución

Se puede usar cualquiera de los programas que se ilustran en el capítulo 8 u otro. Algunos

de ellos se pueden descargar a través de Internet.Usando software libre como Winplot 5, se

obtienen las siguientes parábolas, ver figura 12.7.

Análisis curva a): Se observa que sólo existe un punto de corte con el eje x el cual es 𝑥 = 1.

Si éste valor se sustituye en la función se obtiene que 𝑓(𝑥) = 0, por lo tanto cumple con la

condición. Adicionalmente si se hace que −𝑥2 + 2𝑥 − 1 = 0, o sea 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 0, se

puede ver que 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)2 = 0, lo que demuestra que la raíz de la ecuación es

igual y repetida, la cual se corresponde con 𝑥 = 1.

De otro lado se observa que el vértice también se sitúa en 𝑥 = 1. Recuerde que la

coordenada de x del vértice se obtiene en: 𝑥 = −2

2(−1)= −1. Lo cual asegura lo

anteriormente dicho. Si éste valor se sustituye en la función original, como ya se hizo la

función vale 0. Por lo tanto las coordenadas del vértice son V(1,0).

a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 b)𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 8 c) 𝑓(𝑥) = 2 + 3𝑥 −1

2𝑥2

Fig.12.7. Representación gráfica de tres funciones cuadráticas

Análisis curva b): Puede deducirse de la gráfica que la parábola no tiene puntos de corte

con el eje x. Si se hace que 𝑥2 − 4𝑥 + 8 = 0, éste polinomio no es factorizable por

5 Puede descargarse de manera gratuita en http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html


métodos tradicionales y por tanto hay que recurrir a la fórmula de la ecuación cuadrática. El

discriminante de la ecuación es 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−4)2 − 4(1)(8) = 16 − 32 = −16.

Como puede observarse 𝐷 < 0 entonces no existe solución en los números reales y de ahí

se garantiza que la curva no corte el eje x.

De otro la coordenada x del vértice de la parábola observando la figura se corresponde con

el punto 𝑉(2 , 4). Para comprobar éste hecho, se obtiene que 𝑥 = −(−4)

2(1)= 2 y sustituyendo

este valor en la función original obtenemos que: 𝑓(2) = (2)2 − 4(2) + 8 = 4 − 8 + 8 =4. Es decir que cuando 𝑥 = 2, 𝑦 = 4.

Análisis curva c): Este análisis se deja como ejercicio.

Ejercicios

1. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 4 b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 8𝑥 − 16 c) 𝑓(𝑡) = −5 + 10𝑡 +1

8𝑡2

i) Hallar las coordenadas del vértice de la parábola y los puntos de corte de la

misma (si los hay) con el eje horizontal.

ii) Realizar una gráfica de cada una de las curvas. Inténtelo primero con técnicas de

lápiz y papel y luego utilice un software de matemática para contrastar su

solución.

2. Sobre la base de la figura (abajo mostrada), encuentre la ecuación de la parábola sobre la

base de las coordenadas del vértice y las raíces de la función.


3. Estando haciendo fila en un centro comercial usted se encuentra con un paso restringido

como el que se observa en la figura adyacente. No obstante usted tiene un poco de tiempo y

pide prestada una cinta métrica y se dedica a tomar medidas. La distancia entre las dos

barandas que sostiene la cuerda es 𝑑 = 2 m, la altura desde el punto más bajo de la curva

al piso es 𝑙 = 1

2 m y la altura de donde esta atada la cuerda a las barandas y el piso es

ℎ = 3

2 m.

Usted supone que la curva que hace la

cuerda es una parábola (normalmente no es

cierto y la curva se llama catenaria). En ese

momento se encuentra con un colega de su

universidad, el cual estudia matemática, y

usted le pide que por favor encuentre la

ecuación de la supuesta curva. Si los ejes

coordenados se asumen como los mostrados

en la figura (así los asumió el estudiante de

matemáticas, aunque hubiese podido ser

otro), ¿Cuál es la ecuación de la parábola

encontrada por su amigo, con esas

condiciones?. (Sugerencia: Por tres puntos

no colineales (estar en la misma línea)

siempre pasa una parábola).

4. Aplicación a la física: Un objeto se lanza hacia arriba desde la azotea de un edificio de

50 m de altura (medidos desde la acera de la calle) con una rapidez inicial de 10 m/s. Un

estudiante de la Licenciatura en Física logra mostrar que la ecuación de la altura y en

función del tiempo t, viene dado por la función: 𝑦 = 50 + 10𝑡 − 4.9𝑡2. a) ¿Para qué

instante o instantes de tiempo el objeto está a 60 m de altura respecto a la acera?, b)

encuentre el vértice de la parábola y con ello determine la altura máxima a la cual sube el

objeto?, c) ¿Para qué instante o instantes de tiempo el objeto pega en la acera por primera

vez?, y d) realice una gráfica de altura en función del tiempo ( y vs t) .

12.3. Función Valor Absoluto

En primera instancia, hay que recordar la noción de valor absoluto o módulo de un número

real, que fue dada en el capítulo 9. El valor absoluto de un número real es su valor

numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo,

5 es el valor absoluto de 5 y de -5. El valor absoluto normalmente está asociado con las

nociones de magnitud y la norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

Explícitamente, el valor absoluto o módulo de todo número real x está definido por:


|𝑥| = { 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0

(12.8)

Por definición, el valor absoluto de x siempre será mayor o igual ( ≥ 0 ), es decir nunca será

un número negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es

la distancia entre ellos. Las propiedades del valor absoluto fueron explicitadas en el

capítulo 10 y por ello deben tenerse en cuenta en esta sección.

La función valor absoluto es una función continua definida a trozos, por el hecho que la

variable x está definida para diferentes intervalos y por la definición de valor absoluto se

escribe:

𝑓(𝑥) = |𝑥| (12.9)

La representación gráfica de la función valor absoluto, se muestra en la figura 12.8.

Fig. 12.8. Gráfica de la función valor absoluto

Ejemplo 12.6

Explicar las gráficas de las funciones representadas en la figura 12.9, que incluyen la

noción de valor absoluto.


a) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| b) 𝑓(𝑥) =

1

|𝑥| c)𝑓(𝑥) = |𝑥2 − 4|

Fig.12.9. Representación gráfica de tres funciones con valor absoluto

Solución:

Antes de realizar una interpretación de las gráficas, se sugiere, como se hará durante todo el

capítulo, realizar un esquema de la representación gráfica de cada función con técnicas de

lápiz y papel, para luego hacer la gráfica usando algún software. Las tabulaciones de los

valores de x y f(x) a veces son necesarias y en otras es mejor conocer algunas de las

propiedades de la función para ser graficadas.

Por ejemplo, conociendo de antemano la gráfica de la función valor absoluto, obsérvese

como la gráfica a) de la figura 12.8, es la misma que la de valor absoluto desplazada 3

unidades a la derecha y por eso la tabulación no sería necesaria. De esta manera, se pueden

ir mostrando ciertos trucos algebraicos, que permiten una forma rápida de obtener

representaciones gráficas de algunas funciones.

Ahora bien, en la gráfica b) figura 12.9, se observa que cuando x=0, la función no es

continua en ese punto y el eje y se convierte en una asíntota vertical para dicha función, es

decir que cuando 𝑥 → 0, 𝑦 → ∞. Las asíntotas no son más que rectas a las cuales la función

se aproxima de manera indefinida, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden

al infinito. A las curvas que tienen esta forma se les conoce con el nombre de hipérbola.

Nótese en la figura 12.9, para la construcción de la gráfica c), que el término 𝑥2 − 4 =(𝑥 − 2)(𝑥 + 2), permite observar que cuando 𝑥 = ±2, la función toma el valor cero y esos

puntos se convierten en pieza clave para asignar valores a la función para valores de

𝑥 > 2, 𝑥 < 2 y valores de x que están en el intervalo −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. A continuación se

muestra la tabla de datos de dicha función, para tener una idea de los mismos y contrastar

con lo observado en la figura.

x -3,00 -2,50 -2,00 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

y 5,00 2,25 0,00 1,75 3,00 3,75 4,00 3,75 3,00 1,75 0,00 2,25 5,00

En la tabla, como se debería esperar por la definición del valor absoluto, todos los valores

de 𝑦 = 𝑓(𝑥) son positivos y la curva siempre está por arriba del eje x.


En la figura 12.10, se muestran en una sola

gráfica la representación de las dos

funciones:

𝑦 = |𝑥2 − 4| e 𝑦 = 𝑥2 − 4

con el fin de verlas superpuestas, pues esto

permite observar que sí se conoce la gráfica

de la parábola 𝑦 = 𝑥2 − 4, la construcción

de la gráfica del valor absoluto de la

misma, sólo sería “invertir el pedazo” de la

gráfica que está por debajo del eje

horizontal. Es decir, que los valores

negativos de 𝑦 tomen ahora valores

positivos, para los correspondientes valores

de x de la curva original.

Fig.12.9. Representación simultánea de las funciones:

𝑦 = |𝑥2 − 4| e 𝑦 = 𝑥2 − 4.

Ejercicios

1. Se tiene la función 𝑓(𝑥) = 3|4 − 𝑥2|

Evalué la función en los siguientes puntos:

a) 𝑓(0) b) 𝑓 (−1

4) c) 𝑓(−5) d) 𝑓 (

1

8) e) 𝑓(√2) f) 𝑓(−∞)

2. Represente gráficamente las siguientes funciones que contienen valor absoluto. Si no se

conoce muy bien la herramienta tecnológica (calculadora graficadora, hoja electrónica o

software de matemáticas, resulta más fácil haciéndolas con lápiz y papel.

3. ¿A qué función de la izquierda le corresponde una gráfica en la derecha?

a) 𝑓(𝑥) =1

4|2 − 𝑥| b) 𝑓(𝑥) =

|𝑥|

𝑥 c) 𝑓(𝑥) =

1

4|1 − 2𝑥2|


i) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 4|

ii) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3|2

iii) 𝑓(𝑥) = |𝑥2 + 4𝑥 − 1|

12.4. Función exponencial

La función exponencial, es conocida explícitamente como la función real 𝑒𝑥, donde e es el

número de Euler, aproximadamente 2.71828...., esta función tiene por dominio el conjunto

de los números reales. La manera de escribirla es como 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 o 𝑒𝑥𝑝(𝑥), donde

𝑒 es la base de los logaritmos naturales y por tanto corresponde a la función inversa del

logaritmo natural.

En general, una función real 𝐸(𝑥) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la

forma:

𝐸(𝑥) = 𝑘𝑎𝑥 (12.10)

Donde a y k ∈ R, con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1. De esta manera, se obtienen una serie de funciones

exponenciales, todas ellas muy parecidas y su diferencia sólo radica que dependen de la

base a que utilicen.

Ejemplo 12.7

En la figura 12.11, se muestran diferentes gráficas de funciones exponenciales. Realizar un

análisis de las mismas.

Solución


En la gráfica a) la función exponencial tiende a cero (𝑥 → 0) cuando x tiene valores

negativos muy grandes (𝑥 tiende a menos infinito, 𝑥 → −∞). Cuando 𝑥 = 0 , 𝑦 = 3 y

cuando 𝑥 → ∞, la coordenada 𝑦 → ∞. En las otras dos funciones b) y c) si se asumen estos

mismos criterios de escoger valores cuando 𝑥 → ±∞ y cuando 𝑥 = 0, se puede tener una

idea rápida de la curva. Nótese precisamente que cuando 𝑥 = 0, el punto de corte con el eje

y es el valor del coeficiente k.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑒𝑥 b)𝑓(𝑥) = 4𝑒−2𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥

Fig.12.11 Representación gráfica de tres funciones exponenciales

Nota importante

En funciones especiales como las exponenciales no se recomienda seguir mucho el criterio

de realizar una tabla de datos o tabulación para obtener la gráfica. Se debe seguir mejor la

tendencia de la curva y escoger unos pocos datos para graficarla. Además debe observarse

que las escalas en x e y pueden cambiar bruscamente y hacer las curvas con lápiz y papel

se torna más complejo.

Ejemplo 12.8

Ejemplo de Aplicación a la Física: Proceso de carga de un capacitor

Inicialmente en un circuito en serie como el

mostrado en la figura 12.12, el capacitor C

(en faradios:F) está descargado. Cuando se

cierra el interruptor s la carga eléctrica

empieza a fluir produciendo corriente

eléctrica (en Amperios:A) en el circuito

formado por la fuente de diferencia de

potencial constante V (en voltios:V), el

resistor R (en ohmios:) y el capacitor se

empieza a cargar. Figura 12.12. Circuito RC en corriente continua


La expresión matemática que rige el comportamiento de la intensidad de corriente eléctrica

en función del tiempo viene dada por:

𝑖 =𝑉

𝑅𝑒−

𝑡

𝑅𝐶 o 𝑖 = 𝑖0𝑒−𝑡

𝑅𝐶

Siendo la corriente inicial en el circuito 𝑖0 =𝑉

𝑅, es decir apenas se cierra el circuito

oprimiendo el interruptor en 𝑡 = 0.

Nótese de la expresión que, la corriente eléctrica disminuye exponencialmente con el

tiempo, hasta que se hace cero cuando el capacitor adquiere la carga máxima y por lo tanto

en el circuito no circula corriente. En el momento en que el tiempo es numéricamente igual

al producto RC, 𝑖 = 𝑖0𝑒−1 ≈ 0,37𝑖0 la corriente ha disminuido hasta un 63% de su valor

inicial. La constante RC se le denomina constante de tiempo y se simboliza con la letra

griega 𝜏 (tau) y con ella se puede ir detectando en cuantos intervalos de tiempo el capacitor

se va cargando o descargando según sea el caso.

Si se asume que V=10 V, R = 10 K y C=300µF, la gráfica de la intensidad de corriente

en función del tiempo se muestra en la figura 12.13. La corriente inicial en miliamperios

(mA) tiene un valor de:

𝑖0 =𝑉

𝑅=

10 𝑉

5 ∗ 103Ω= 2 𝑚𝐴

El valor de la constante de tiempo es:

𝜏 = 𝑅𝐶 = 10 ∗ 103Ω ∗ 300 ∗ 10−6𝐹 = 3 𝑠

La gráfica de la figura se ha hecho para el caso en que 𝑡 = 4 𝜏.

Fig.12.13. Gráfica de la descarga de un capacitor


Ejercicios

1. Se tiene la función 𝑓(𝑥) = 3𝑒−𝑥

Evalué la función en los siguientes valores (use calculadora en los casos que lo requiera).

a) 𝑓(0) b) 𝑓 (1

2) c) 𝑓(−2) d) 𝑓 (

1

𝑒) e) 𝑓(𝜋) f) 𝑓(∞)

2. Represente gráficamente las siguientes funciones exponenciales. (Haga un intento

usando lápiz y papel), luego hágalo usando instrumentos tecnológicos (calculadoras o

software)


I) 𝑓(𝑥) = 2(3𝑥)

II) 𝑓(𝑥) = 3(2−𝑥)

III) 𝑓(𝑥) =1

2𝑒−4𝑥

4. Aplicación en física: Para el ejemplo de carga del capacitor, la variable a graficar es la

carga eléctrica q (en Coulomb: C) en función del tiempo t (en segundos: s). Si la expresión

que gobierna esa relación es:

𝑞 = 𝐶𝑉 (1 − 𝑒−𝑡𝑅𝐶)

a) 𝑓(𝑥) =1

2𝑒−𝑥 b)𝑓(𝑥) = 5𝑒2𝑥 c) 𝑓(𝑥) =

1

4(3𝑥)


a) Cuando 𝑡 = 𝜏 = 𝑅𝐶, ¿ Qué porcentaje de carga inicial 𝑞0 = 𝐶𝑉 ha adquirido el

capacitor?.

b) Realice una gráfica de q vs t, para valores de tiempo comprendidos entre 𝑡 = 0 y

𝑡 = 3𝜏.

5. Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se definen mediante las

expresiones:

𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2 y 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2

Bosqueje y represente las funciones: 𝑦 =𝑒𝑥

2 , 𝑦 = −

𝑒−𝑥

2 en los mismos ejes (graficas

simultáneamente en el mismo plano cartesiano) para luego realizar la suma de las dos

funciones y observar que sucede. Esta es una manera de construir rápidamente la gráfica de

seno hiperbólico. Realice un procedimiento similar para construir una representación rápida

del coseno hiperbólico.

12.5. Función Logaritmo

Supongamos la existencia de un número real x (denominado argumento), la función

logaritmo le asigna el exponente y (denominado potencia) a la que un número fijo a

(denominado base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de

a elevado la potencia y. Esta función se escribe como: 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥, y es la que permite

obtener y, algebraicamente así:

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 es equivalente a 𝑥 = 𝑎𝑦 (12.11)

Y se lee como: logaritmo en base a de x es igual a y; si y sólo si a elevado a la y da por

resultado a x.

La definición no es válida para todas las bases. La base a tiene que ser positiva y distinta de

1, luego 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1, x tiene que ser un número positivo 𝑥 > 0 e 𝑦 puede ser

cualquier número real (𝑦 ∈ 𝑅).

Así por ejemplo, en la igualdad 103 = 1000, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, y se

escribe como 𝑙𝑜𝑔10 1000 = 3.

En general, el logaritmo de un número, en una base de logaritmo determinada, es el

exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por esto, el logaritmo

de 8 en base 2 es 3, porque 8 es igual a 2 a la potencia 3: 8 = 23 = 2×2×2, que escrito en

forma abreviada es:

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inversa

http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n


𝑙𝑜𝑔28 = 3 porque 8 = 23

De la definición anterior y con los ejemplos mostrados se puede inferir que el cálculo de

logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo. De la

misma manera en que se considera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la

multiplicación la división, con las consideraciones algebraicas respectivas y atendiendo a

las propiedades de los números reales.

Ahora bien, independientemente de la base elegida, los logaritmos, cumplen una serie de

propiedades que los identifican. Por ejemplo, el logaritmo de su base es siempre 1, es decir

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1 ya que a1 = a. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base) o sea

que 𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0 puesto que a0 = 1.

Cuando existe un número real b que se encuentra dentro en el intervalo 0 < b < 1 entonces

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 da un valor negativo o simplemente se asegura que el resultado de dicho logaritmo

es un número negativo. Lo anterior, es evidente, ya que si el logaritmo de 1 es cero,

entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica

rigurosamente creciente y cuyo codominio es (-∞, +∞).

Ejemplo 12.9

Cálculos de algunos logaritmos en diferentes bases.

𝑙𝑜𝑔4(64) = 𝑙𝑜𝑔4(4)3 = 3

𝑙𝑜𝑔(0.01) = 𝑙𝑜𝑔 (1

100) = 𝑙𝑜𝑔 (

1

102) = 𝑙𝑜𝑔(10−2) = −2

𝑙𝑜𝑔3 (1

√27) = 𝑙𝑜𝑔3 (

1

332

) = 𝑙𝑜𝑔3 (3−32) = −

3

2

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, 𝑙𝑛(𝑥), cuya base es

el número 𝑒, el logaritmo decimal, 𝑙𝑜𝑔(𝑥) cuya base es 10, el logaritmo binario, 𝑙𝑜𝑔2(𝑥) cuya base es 2, o en general en cualquier base a, 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥). De los anteriores, los logaritmos

más ampliamente utilizados son el natural y el decimal, ya que tienen multitud de

aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en otras áreas del conocimiento, ciencias

en general.


Nota Conceptual: Los números negativos no tienen logaritmo

Los números negativos no tienen logaritmo dentro de los números reales, ya que

cualquiera que sea el exponente 𝑦, siempre sucederá que 𝑎𝑦 será mayor que cero, 𝑎𝑦 > 0

y por tanto, no hay un número real y que pueda satisfacer 𝑎𝑦 = 𝑥 cuando 𝑥 < 0.

¡Cuidado¡. El logaritmo de los números que están en el intervalo (0, 1] son negativos.

Propiedades de las operaciones entre logaritmos

Los logaritmos mantienen ciertas identidades algebraicas muy importantes en el momento

de realizar cálculos o manejar expresiones algebraicas entre ellos y que se enuncian a

continuación.

i) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de los

factores.

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 (12.12)

ii) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo

del denominador.

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑦

𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 (12.13)

iii) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de

la base de la potencia.

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑛) = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 (12.14)

Ejemplo 12.9

Demostrar la primera propiedad de los logaritmos: 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

Solución:

Dicha propiedad puede ser demostrable de la siguiente manera:

Sean:

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑤 y 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 = 𝑧


o lo que es lo mismo:

𝑎𝑧 = 𝑦 y 𝑎𝑤 = 𝑥

Multiplicando miembro a miembro las dos expresiones anteriores tenemos

𝑎𝑤𝑎𝑧 = 𝑥𝑦

𝑎𝑤+𝑧 = 𝑥𝑦

Por tanto, aplicando la definición de logaritmo se tiene que:

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) = 𝑤 + 𝑧

Y sustituyendo las expresiones de w y z, se llega a:

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦

que era lo que se quería mostrar.

Ejercicio de Conceptualización

Usando propiedades de los logaritmos y algunas de sus características, en la en la figura

12.14, se muestran gráficas típicas de la función logarítmica. Realizar un análisis de las

gráficas presentadas.

a) 𝑓(𝑥) = 2ln (𝑥) b) 𝑓(𝑥) = 3log (𝑥) c) 𝑓(𝑥) = 4𝑙𝑜𝑔2(𝑥)

Fig.12.14. Representación gráfica de tres funciones logarítmicas

Sugerencia: Al igual que con la función exponencial se hace necesario conocer las

propiedades de los logaritmos y los valores más importantes que estos pueden tomar y la

tendencia que siguen, pues serán el soporte para realizar las respectivas gráficas. En el caso,


en que para efectuar las gráficas de funciones logarítmicas, se requieran hacer tabulaciones

es bueno tener presente esos valores característicos lo cual permitirán hacer una

representación rápida y descriptiva usando lápiz y papel, de lo contrario es bueno el uso de

ayudas informáticas.

Ejemplo 12.10

Aplicación a la física, Escala de Richter

Usted ha escuchado con frecuencia en las noticias que sucedió un terremoto en alguna

ciudad del mundo y que la intensidad del mismo está en la escala de Richter. Púes bien,

existe una función que predice de manera aproximada la magnitud de dicho sismo y es

conocida como la Ley de Gutenberg- Richter.

La ley de Gutenberg-Ritcher es una expresión matemática que permite cuantificar la

relación Frecuencia - Magnitud de la actividad sísmica de una determinada zona o región.

Dicha cuantificación se relaciona de la siguiente manera:

𝑙𝑜𝑔10𝑁 = 𝑎 − 𝑏𝑀

Siendo N la ocurrencia sísmica anual de magnitud mayor o igual a M, y en donde a y b son

constantes que se consiguen de acuerdo a la naturaleza sísmica de la zona. Estas constantes

(calculadas de acuerdo al método de mínimos cuadrados, ver capítulo 8) precisan ser

renovadas frecuentemente, con base en información elaborada por organizaciones e

institutos para tal fin, como lo es para el caso de Colombia el IDEAM (Instituto de

Hidrología, Meteorología y Estudios Ambientales).

En la figura 12.15, puede observarse un gráfico en donde se relaciona el número de

ocurrencias N en función de la magnitud del sismo. Para el caso, se ha asumido que la

constante 𝑎 = 0,8 y se han hecho cuatro gráficas variando el parámetro b.

Fig. 12.15. Ley de Gutenberg-Richter para distintos valores de b


Si el número de ocurrencias es 4, ¿Cuál es el valor de la magnitud del sismo, si 𝑎 = 0,8 y

𝑏 = 0,5?. De la ley de Richter, podemos despejar M obteniendo:

𝑀 =𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑁

𝑏

Sustituyendo los valores obtenemos:

𝑀 =0,8 − 𝑙𝑜𝑔 4

0,5= 0,396 ≈ 0,4

Este valor se puede apreciar en la figura 12.15, proyectando una línea vertical al eje

horizontal, desde el punto de corte de la curva de valor 𝑏 = 0,5 y la ordenada 𝑁 = 4.

Si el valor de la magnitud del sismo es 𝑀 = 0,5 , y las constantes tiene un valor de

𝑎 = 0,8 y 𝑏 = 1, ¿Cuál es el valor de N?. De nuevo usando la ley de Richter, despejamos

N obteniendo:

𝑁 = 10(𝑎−𝑏𝑀)

Al sustituir los datos, se tiene:

𝑁 = 10(0,8−0,5) = 100,3 = 1,995 ≈ 2

Nótese que este valor calculado se puede observar perfectamente en la figura 12.15.

Ejercicios

1. Calcular

a) 𝑙𝑜𝑔2 (1

√8) b) 𝑙𝑜𝑔5 (

1

625) c) 𝑙𝑜𝑔4(√128) d) 𝑙𝑜𝑔2 (

1

4)−𝑙𝑜𝑔3 (

1

√27)

2. Probar que:

a) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑦

𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑦 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥

b) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥𝑛) = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 . (Sugerencia haga 𝑥𝑛 = 𝑥. 𝑥. 𝑥. 𝑥 ……𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠) y luego

aplique la propiedad del logaritmo de un producto.


3. Se tiene la función 𝑓(𝑥) =1

5log (𝑥)

Evalué la función en los siguientes valores (use calculadora en los casos que lo requiera).

a) 𝑓(0.1) b) 𝑓 (1

√10) c) 𝑓(100) d) 𝑓(10−100) e) 𝑓(𝜋) f) 𝑓(∞)

4. Represente gráficamente las siguientes funciones exponenciales. (Haga un intento

usando lápiz y papel), luego hágalo usando instrumentos tecnológicos (calculadoras o

software)


I) 𝑓(𝑥) =2

5𝑙𝑛 (𝑥2)

II) 𝑓(𝑥) = −2𝑙𝑜𝑔 (𝑥)

III) 𝑓(𝑥) = 5𝑙𝑜𝑔 (√𝑥)

6. Ejercicio de conceptualización. ¡De nuevo, cuidado con las operaciones y propiedades

de los números reales!.

Revise los siguientes pasos y encuentre en dónde está el error.

𝑙𝑜𝑔 (0,01) < 2 𝑙𝑜𝑔(0,01) = 𝑙𝑜𝑔 (0,01)2 = 𝑙𝑜𝑔 (0,001)

𝑙𝑜𝑔 (0,01) < 𝑙𝑜𝑔 (0,001) 0.01 < 0.001

7. Mostrar que:

a) 𝑓(𝑥) =1

2𝑙𝑛 (

𝑥

4) b)𝑓(𝑥) = 8𝑙𝑜𝑔 (√𝑥) c) 𝑓(𝑥) =

1

9𝑙𝑜𝑔3(𝑥)


𝑙𝑜𝑔 (11

112

2

n

n) = 2 [𝑙𝑜𝑔 (√1 + 𝑛2 − 1) − 𝑙𝑜𝑔 𝑛]

8. Aplicación en física: El nivel de intensidad acústica β (en decibeles, dB), que también

recibe el nombre de intensidad relativa o sensación sonora, se define usando una escala

logarítmica debido a que el intervalo de intensidades sonoras (que dependen de la

frecuencia de los sonidos emitidos por las distintas fuentes) a las que resulta sensible el

oído es inmenso (rango de frecuencia audible aproximado entre 20 Hz y 20000 Hz). La

expresión algebraica para el nivel de intensidad sonora viene definida por: definición de

nivel de intensidad acústica es:

𝛽 = 10𝑙𝑜𝑔 (𝐼

𝐼0)

En donde: 𝐼 = intensidad del sonido (W/m²), 𝐼𝑜 = umbral de audición (es el nivel de

referencia: 10-12

W/m²). Como el argumento de la función logarítmica no debe tener

unidades, los dB son una unidad adimensional.

a) Calcular el valor de 𝛽 cuando 𝐼 = 10−10 W/m².

b) Cuando 𝐼 = 𝐼𝑜 (el oído no percibe ningún sonido, ¿Cuál es el valor de 𝛽 para este

caso?.

c) Si un observador percibe un sonido cuyo nivel de intensidad 𝛽 = 120 𝑑𝐵 (umbral

del dolor), ¿Cuál es el valor de I ? y

d) Realizar una gráfica de β vs I, (asuma valores de I en potencias de 10 en un

intervalo entre 10−10 y 102 W/m²).

12.6. Función Polinómica

En el capítulo 11, se dio la definición de un polinomio. Basados en esa definición, la

función polinómica no es más que aquella que viene definida por un polinomio, de la

forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² + 𝑎3𝑥³ +··· + 𝑎𝑛𝑥𝑛 (12.15)

Su dominio son todos los números reales, es decir, cualquier número real tiene imagen.


En el caso en que: 𝑓(𝑥) = 𝑎0 o también 𝑓(𝑥) = 𝑘, siendo 𝑎0 o k, una constante, se le

conoce como la función constante y su representación gráfica es una recta horizontal

paralela al eje x. Es decir que para todo valor de x el valor de y siempre será el mismo.

Si la función es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥, se denomina función lineal y su gráfica es

una línea recta. Al igual, si la función es de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² , se

denomina función cuadrática y su gráfica es siempre una parábola.

Las anteriores funciones ya fueron tratadas muy detalladamente en este capítulo, sin

embargo nótese que son un caso particular de las funciones polinómicas. Por eso, a

continuación se darán unos ejemplos de funciones polinómicas de orden superior a dos con

sus respectivas gráficas. Mientras el grado del polinomio, más complicada será su gráfica.

Sin embargo, la gráfica de una función polinómica es siempre una curva lisa, es decir que

no tiene discontinuidades en las esquinas. Un estudio bien profundo de ellas requiere de

mejores herramientas matemáticas (cálculo diferencial, cálculo integral y análisis

matemático, entre otros), y por ello se escapa del objetivo del presente texto.

A continuación se enuncian unas ideas básicas, que sirven para realizar la gráfica de una

función polinómica.

a) Ceros de la función: Factorizar el polinomio para obtener los raíces o ceros

(números reales) de la función, es decir los puntos donde la curva intercepta al eje

horizontal.

b) Puntos de prueba: Elaborar una tabla de valores para la función polinómica. Incluir

los puntos de prueba para determinar si la gráfica del polinomio está por arriba o

abajo del eje horizontal x en los intervalos determinados por las raíces. Se puede

incluir la intersección con el eje vertical y en la tabla, o sea haga 𝑥 = 0 y calcule la

función en ese punto.

c) Comportamiento extremo: Establecer el comportamiento extremo del polinomio, el

cual hace referencia a obtener los valores de la función en los casos en que

𝑥 → ±∞.

d) Elaboración de la gráfica: Representar las intersecciones con los ejes y otros puntos

encontrados relacionados en la tabla. Esbozar una curva lisa que pase por estos

puntos y muestre el comportamiento extremo requerido.


Ejemplo12.11

Ilustración de una función polinómica

Realizar un bosquejo de la función polinómica: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6.

Solución

La factorización del polinomio6 conduce a:

𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)

Por lo tanto los ceros de la función son: 𝑥 = 1, 𝑥 = −2 y 𝑥 = −3.

Las intersecciones con el eje x son 𝑥 = 1, 𝑥 = −2 y 𝑥 = −3. La intersección con el eje y

es, 𝑓(0) = −6.

En relación al comportamiento extremo se observa que:

Cuando 𝑥 → ∞ entonces 𝑦 → ∞ y cuando 𝑥 → −∞ entonces 𝑦 → −∞.

La tabla de valores se muestra a continuación y adjunto a ella, figura 12.16, se muestra la

representación gráfica de la función. x f(x)

-3,5 -3,38

-3,0 0,00

-2,5 0,88

-2,0 0,00

-1,5 -1,88

-1,0 -4,00

-0,5 -5,63

0,0 -6,00

0,5 -4,38

1,0 0,00

1,5 7,88

2,0 20,00

2,5 37,13

3,0 60,00

3,5 89,38

Tabla de datos para la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6

Fig. 12.16. Gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6

6 Se sugiere averiguar sobre el proceso de división sintética para obtener las raíces de un polinomio.


Ejemplo12.11

A continuación se muestra la representación gráfica de tres funciones polinómicas, ver

figura 12.17, realizadas con software libre, de tres funciones polinómicas.

a) 𝑓(𝑥) = −𝑥4 + 8𝑥2 − 1 b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 c)𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥

Fig.12.17. Representación gráfica de tres funciones polinómicas

La complejidad del trazo y la forma de las curvas anteriores, no puede ser obtenida por una

tabulación básica, por eso se deben encontrar los ceros de la función y alrededor de dichos

valores y de valores extremos realizar la tabulación. Este tipo de funciones se traen en este

contexto para que el estudiante las conozca y las interprete. Un análisis bien detallado de

este tipo de función, esta fuera del alcance y propósito del presente texto.

Ejercicios

1. Sea la función polinómica 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥 − 1


a) 𝑓(−1) b) 𝑓 (−1

2) c) 𝑓(5) d) 𝑓(−3) e) 𝑓(∞)

2. Represente gráficamente las siguientes funciones polinómicas. Intente seguir las ideas

básicas para representar este tipo de funciones.

3. Una función de la izquierda se corresponde a una gráfica en la derecha. Identifique a que

función corresponde cada gráfica.

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 𝑥 − 4 c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 7𝑥3 − 4𝑥2


I) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥

II) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2

III) 𝑓(𝑥) = 2𝑥4 − 𝑥3 − 𝑥

4. Encuentre las raíces de las siguientes funciones polinómicas:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 − 3𝑥 − 2 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4𝑥2 + 3

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 12 d) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 4𝑥4 − 𝑥3 + 10𝑥2 + 2𝑥 − 4

5. Un polinomio tiene como raíces a los números 𝑥 = −1, 𝑥 = −3 y 𝑥 = 2. Encuentre una

expresión para una función polinómica que cumpla con esa condición y realice la

respectiva gráfica.

12.7. Función Racional

Una función racional puede considerarse como el cociente entre dos polinomios. Es decir si

𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son polinomios la función racional 𝑟(𝑥) está definida por:

𝑟(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

Se supone que 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) no tienen ningún factor en común. Adicionalmente, 𝑄(𝑥) ≠ 0,

lo cual implica que la función racional no estaría definida para las raíces de 𝑄(𝑥). En otras

palabras las funciones racionales tienen como dominio todos los números reales excepto

aquéllos en donde el denominador es cero.


Por lo anterior, para hacer la gráfica de las funciones racionales se debe tener muy en

cuenta estos valores donde el denominador es cero y el comportamiento de las mismas

cerca a dichos valores. Precisamente en esos puntos donde suceden estas

indeterminaciones, es que surge la noción de asíntota, la cual ya fue definida en el presente

capítulo, en el ejemplo de la función 𝑓(𝑥) =1

|𝑥|.

Aunque las gráficas de funciones racionales provienen de la división de dos polinomios, sus

representaciones gráficas por lo general están muy lejos de parecerse a las gráficas de las

funciones polinómicas individuales. A continuación se presentarán algunos ejemplos

sencillos de funciones racionales.

Ejemplo12.11

Ilustración de una función racional

Sea la función racional 𝑓(𝑥) = 2

𝑥3−4𝑥. Realizar un análisis de la función.

Solución:

Nótese que el denominador se puede factorizar de la siguiente manera 𝑥3 − 𝑥 =𝑥(𝑥2 − 4) = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 2), por lo tanto el denominador se vuelve cero para los valores

de 𝑥 = 0, 𝑥 = 2 y 𝑥 = −2 , es decir que por estos puntos deben trazarse asíntotas

verticales. Estas asíntotas “rompen el gráfico” para su análisis y trazado. Para la

representación de la función, figura 12.18, hay que tomar valores cercanos a estos puntos

de discontinuidad. Si se desea hacer una tabla de datos es bueno tomar valores cercanos a

estos puntos como sería el caso de 𝑥 = ±0.1, 𝑥 = 1.9 y 2.1, 𝑥 = −1.9 , −2.1 para

observar la tendencia de los valores de la función alrededor de los mismos. También se

hace necesario ver el comportamiento extremo, como es el caso que cuando 𝑥 → −∞, 𝑦 →0 y cuando 𝑥 → ∞, 𝑦 → 0.

Fig.12.18. Gráfica de la función: 𝑓(𝑥) = 2

𝑥3−4𝑥


Ejemplo12.12

Para ver el comportamiento de otras funciones racionales, a continuación se presentan las

gráficas de tres de ellas, realizadas con software libre de matemáticas. Se sugiere que el

lector siga de cerca las gráficas de la figura 12.19 para mirar su comportamiento, realizar

las factorizaciones de los denominadores para encontrar las asíntotas y así determinar las

“rupturas” de las curvas y alrededor de dichos valores establecer unos valores para seguir

trazando la gráfica. No olvidar los puntos extremos cuando 𝑥 = 0 y 𝑥 → ±∞.

a) 𝑓(𝑥) =1

𝑥2 b) 𝑓(𝑥) =

𝑥

𝑥2−4𝑥+3 c)𝑓(𝑥) =

1

𝑥3−𝑥2+𝑥−1

Fig.12.19. Representación gráfica de tres funciones racionales

Ejercicios

1. Sea la función racional: 𝑓(𝑥) =3𝑥−1

𝑥2−4

a) Evalué la función en los siguientes puntos:

a) 𝑓(−1) b) 𝑓(1) c) 𝑓 (1

3) d) 𝑓(0) e) 𝑓(∞) f) 𝑓(−∞)

b) Para que valores de x, existen asíntotas

2. Represente gráficamente las siguientes funciones racionales.

3. Una función de la izquierda se corresponde a una gráfica en la derecha. Identifique a que

función corresponde cada gráfica.

a) 𝑓(𝑥) =4

𝑥(𝑥−3) b) 𝑓(𝑥) =

𝑥

𝑥2−4 c) 𝑓(𝑥) =

𝑥

𝑥2+4


I) 𝑓(𝑥) =4

𝑥2+1

II) 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

𝑥2+3𝑥

III) 𝑓(𝑥) = −3

𝑥3−1

5. Aplicación a la física. Suponga que se lanza un cohete con una rapidez inicial v (m/s)

desde la superficie de la tierra. La altura máxima h (m) que alcanza el cohete en función de

la rapidez inicial se expresa como:

ℎ(𝑣) =𝑅𝑣2

2𝑔𝑅 − 𝑣2

en donde R= 6.4x106 m es el radio de la tierra y g = 9,8 m/s

2 es la magnitud de la

aceleración gravitacional. Realice un bosquejo de la gráfica correspondiente a la altura en

función de la rapidez, usando técnicas de lápiz y papel y luego use una herramienta

informática para el trazado. No olvidar que no se pueden asumir valores negativos para h ni

para v. Cuando 𝑣2 = 2𝑔𝑅 se obtiene una asíntota vertical, ¿Qué significado físico, tiene ese

valor?

Concepto Importante: Prueba de la línea vertical para una función

Cuando se realizan gráficas de funciones en dos dimensiones, es decir de curvas que se

pueden dibujar en el plano xy, surge la inquietud ¿Qué curvas en el plano xy son gráficas

de funciones?. Esta se resuelve mediante la prueba de la línea vertical que consiste, en que

una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y sólo si ninguna línea

vertical corta la curva más de una vez.


En la figura 12.20 se puede observar por qué se cumple la prueba de la línea vertical. Si

cada línea vertical 𝑥 = 𝑎 corta una curva una sola vez en la coordenada (𝑎, 𝑏), entonces

𝑓(𝑎) = 𝑏 , es decir que existe un único valor de x en este caso a, que hace que la función

tenga un valor, en este caso b, ver 12.20 a). Eso cumple con la noción de función dada al

comienzo de éste capítulo. Pero si una línea 𝑥 = 𝑎 corta la curva dos veces, por ejemplo

en las coordenadas (𝑎, 𝑏) y (𝑎, 𝑐) entonces la curva no puede representar una función

porque una función no puede asignar dos valores diferentes para a, como sería el caso:

𝑓(𝑎) = 𝑏 y 𝑓(𝑎) = 𝑐, ver figura12.20b).

a) Gráfica de una función b) No es una gráfica de una función

Fig.12.20. Prueba de línea vertical para las funciones


Ejercicios de recapitulación

1. Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 7, calcular

la Imagen de 12 .

2. En la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 – 1, calcule las

imágenes de 𝑓(𝑥) de 16

5 ; −1,5;

5

3;

3

5, y

represente gráficamente la función 𝑓(𝑥).

3. Para 𝑓(𝑥) = 7

2

5

1x , calcular el número 𝑛 para

el cual 𝑓(𝑛) = 1

35

4. Representa gráficamente la recta cuya es

ecuación 𝑦 = 2𝑥– 9

a) Sí el punto 𝑃 de la recta tiene abscisa 3, ¿cuál

es su ordenada?

b) Sí el punto 𝑄 de la recta tiene ordenada – 5,

¿cuál es su abscisa?

5. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el

punto (−1, 4) y es paralela a: 3𝑥 – 2𝑦 = −1.

6. Encontrar la ecuación de la recta

que corta a los ejes en (1/5, 0) y

(0, -2).

7. La parábola que representa a la

función 𝑦 = −𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, tiene

el vértice sobre el eje OX, en el

punto de abscisa 2. Hallar tal

función.

8. Dada la parábola que representa a

la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, y

pasa por los puntos 𝐴(0,1) y

𝐵(2,−1), siendo este último, su

vértice. Encontrar tal función.

9. Determinar el dominio de las siguientes funciones y graficarlas:

a) x

xf4

)( b) x

xf3

)(

c) 2

1)(

xxf d)

x

xxf )(

e) x

xf1

2)( f) 1

4)(

2

xxf g)

1

4)(

2

xxf g) 1)( 2 xxf

10. Representar gráficamente las siguientes funciones exponenciales:

a) xxf 3)( b)x

xf

2

1)( c)

x

xf

3

4)( d) xxf 2,1)(

11. Representar sobre los mismos ejes cartesianos las funciones:

xxf 3)( y x

xg

3

1)( ¿Qué se observa?.

12. Representar gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:

a)𝑓(𝑥) = 5𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 2) b) 𝑓(𝑥) = 3𝑙𝑛 (𝑒2𝑥) c) 𝑓(𝑥) = 2𝑙𝑜𝑔 (𝑥

4)

13. Asociar cada función con su gráfica:


a) 𝑦 = −𝑥2 + 5 b) 𝑦 = 3

2𝑥 + 3 c) 𝑦 =

1

2𝑒𝑥 d) 𝑦 = 4−𝑥

e) 𝑦 = √ 𝑥2 − 4 f) 𝑦 = √ 4 − 𝑥2 g) 𝑦 = 4

√𝑥 h) 𝑦 = |𝑥2 − 6|


15. ¿Cuáles de las siguientes gráficas no representa una función?. Explicar por qué.


16. Elabore una gráfica de las siguientes funciones a trozos (o por partes) para los

intervalos indicados.

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 < 2

𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 34 𝑠𝑖 𝑥 > 3

𝑓(𝑥) = {|𝑥2 − 2| 𝑠𝑖 𝑥 < 1ln(𝑥) 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑓(𝑥) = {2𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 49 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 4

17. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales

a) 22𝑥−1 = 4 b) √2𝑥−32𝑥−1

= 8 c) 2𝑥+1 + 2𝑥 + 2𝑥−1 = 56

d) 24𝑥 − 22𝑥 − 12 = 0 e) 3𝑥2+1 = 243 f) 4√𝑥+1 − 22+√𝑥+1 = 0

g) 43𝑥 = 8𝑥 + 3 h) 31−𝑥2=

1

27 i) 𝑒𝑥 − 5𝑒−𝑥 + 4𝑒−3𝑥 = 0

18. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a) 4 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 5 + 𝑙𝑜𝑔 (𝑥

10) b) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 + 12) = 2log (𝑥 + 3)

c) 4𝑙𝑜𝑔 (𝑥

5) + 𝑙𝑜𝑔 (

625

4) = 3𝑙𝑜𝑔 𝑥 d) 𝑙𝑜𝑔𝑥 =

2−𝑙𝑜𝑔 𝑥

𝑙𝑜𝑔 𝑥

e) 𝑙𝑜𝑔(11 − 𝑥2) + 𝑙𝑜𝑔 2 = 2𝑙𝑜𝑔(5 − 𝑥) f) 𝑙𝑜𝑔5625

𝑙𝑜𝑔5𝑥+ 𝑙𝑜𝑔5𝑥 =

7

2

Ejercicios de Aplicación

1. Movimiento Rectilíneo Uniforme. Un auto (visto como un punto material) se mueve en

línea recta con rapidez constante, de acuerdo a la expresión: 𝑥 = 10 − 5𝑡, siendo x (m)

la posición y t(s) el tiempo a) ¿Cuál era la posición del objeto en el momento en que un

observador lo ve por primera vez?, ¿En ese instante el auto esta delante o detrás del

observador? b) ¿En qué instante el auto pasa frente al observador?, c) ¿En qué instante

está el auto 100 m delante del observador? y d) Realice una gráfica de x vs. t

2. Caída libre. Representar gráficamente la caída de un cuerpo, inicialmente en reposo,

desde 10m, que se rige por la expresión 𝑦 = 10 − 5𝑡2.

3. Caída libre. En un lanzamiento de una pelota de tenis verticalmente hacia arriba, se sabe

que la altura 𝑦(m) alcanzada por la bola en función del tiempo 𝑡(s) es:

𝑦 = −5𝑡2 + 30𝑡. ¿En qué momento alcanza el punto más alto? ¿a qué altura está este

punto?.


4. Geometría. La altura de un cilindro es cuatro veces su radio. Encuentre una expresión

para el volumen del cilindro V en función del radio r. Realice una gráfica de V vs. r.

5. Geometría. El volumen de un cono es 100 cm3. Encuentre una función que modele la

relación entre la altura del cono h (cm) y el radio r (cm) de la base.

6. Relatividad. De acuerdo a la teoría de la relatividad la longitud L de un objeto es función

de la rapidez v con respecto a un observador. Para un objeto cuya longitud en reposo es

𝐿0, la función viene dada por:

𝐿(𝑣) = 𝐿0√1 −𝑣2

𝑐2

Donde c es la rapidez de la luz. Asumiendo que 𝐿0 = 15𝑚,

a) Determine 𝐿(0,5𝑐), 𝐿(0,8𝑐) y 𝐿(0,9𝑐).

b) Realice una gráfica de 𝐿 contra 𝑣. No olvidar tomar valores de 𝑣 en el intervalo

0 ≤ 𝑣 < 𝑐.

7. Ingeniería Eléctrica. Supóngase que la

figura adjunta representa el consumo de

energía eléctrica diaria para un día típico

en una determinada región de Colombia.

En el eje vertical se representa la

potencia eléctrica P consumida en

megavatios (MW) y en el eje horizontal

se mide el tiempo t en horas a partir de la

medianoche.

a) ¿Cuál es la potencia consumida a las 10 A.M y 10 P.M.?,

b) ¿A qué hora fue el mínimo consumo de energía? y ¿A qué hora el máximo? y

c) ¿Cuál fue el máximo valor de potencia consumida?.

8. Diseño e ingeniería industrial. Una caja es construida de una lámina rectangular de

cartón de 20 cm de largo y 12 cm de ancho, cortando de las esquinas de lámina una

pieza cuadrada de lado x y luego doblando los lados hacia arriba, como se ve en la

figura.


a) Encontrar una función que modele el volumen de la caja en términos de x.

b) Halle los valores de x que hacen que el volumen de la caja sea superior a 180 cm3.

c) Realice una gráfica del volumen en función de x y determine de manera aproximada

el volumen máximo que puede tener la caja. ¿Cuál es el valor aproximado de x, para

ese volumen máximo?.

9. Aplicación a circuitos eléctricos. Cuando dos resistores de resistencias R1 y R2 son

conectados en paralelo su resistencia equivalente viene dada por:

𝑅 =𝑅1𝑅2𝑅1 + 𝑅2

Suponga que un resistor fijo de 10 se conecta

en paralelo con un reóstato (resistor variable), de

resistencia x como se muestra en la figura.

Entonces la resistencia equivalente del circuito

es una función de x, como se muestra en la

figura adjunta, a) Escriba dicha función, b)

Grafique esta función y de una interpretación

física a la misma (Sugerencia: los valores de R

deben ser positivos) y c) ¿Qué sucede cuando

𝑥 → ∞?.

10. Aplicación a óptica geométrica. Una cámara fotográfica está diseñada con una lente

convergente de distancia focal f. Un objeto se encuentra a una distancia x de dicha lente

y la cámara genera una imagen del objeto a una distancia y (donde se debe colocar la

película) más allá de la lente.

x

x

x

20 cm

12 cm


La relación entre estas variables viene

dada por la expresión:

1

𝑥+1

𝑦=1

𝑓

Siendo las respectivas distancias, las

ilustradas en la figura de la derecha.

a) Encuentre y como una función de x y grafique dicha función.

b) ¿Qué puede asegurarse de la distancia de enfoque y, cuando el objeto se acerca o se

aleja de la lente?

Suponga que la cámara tiene una lente de distancia focal 𝑓 = 30 mm.

11. Aplicación física nuclear. Una sustancia radiactiva se desintegra de tal manera que

la cantidad de masa m (kg) que permanece en el tiempo t (en días) se expresa mediante

la función:

𝑚 = 𝑚0𝑒−0,012𝑡

En donde 𝑚0 es la masa inicial (t=0) de sustancia radiactiva. Asumiendo que

𝑚0 = 2 kg.

a) Determine cuanta sustancia radiactiva permanece después de 25 días.

b) Si la masa de sustancia radiactiva que permanece en un momento dado es de 0,8 kg

¿Cuántos días han pasado?.

c) ¿Qué porcentaje de la masa inicial se ha desintegrado cuando el tiempo es de 250

3

días?.

12. Aplicación a la química. La edad de un objeto muy antiguo se puede obtener

mediante la cantidad de carbono 14 radiactivo presente en la muestra. Si 𝐶0 es la

cantidad original de carbono 14 y C es la cantidad restante, la edad E del objeto en años,

se puede obtener mediante la función:

𝐸 = −8267ln (𝐶

𝐶0)

a) Encontrar la edad de la muestra original, es decir cuando 𝐶 = 𝐶0.

b) ¿En cuántos años la muestra llego a la cuarta parte de la original?.


c) ¿Cuál es la edad del objeto cuando la cantidad de carbono que permanece en el objeto

es el 53% de la cantidad inicial?.

d) Realice una gráfica de 𝐸 𝑣𝑠 𝐶. Para hacer la representación utilice valores de 𝐶 desde

𝐶0 hasta 0,1 𝐶𝑜.

e) ¿Tiene algún significado físico, hacer 𝐶 → 0?.


Capítulo 13

Nociones de Trigonometría

“La experiencia del mundo no consiste en el número de cosas que se han visto, sino en el número de cosas

sobre las que se ha reflexionado con fruto”

Gottfried Wilhelm Leibniz

La trigonometría desde el punto de vista etimológico deriva de los términos griegos,

trigono que significa triángulo y metron que significa medida. Por eso, se considera que la

trigonometría es el área de las matemáticas que se encarga del estudio y análisis de la

medición de triángulos.

Aunque en general, desde visiones más recientes, la trigonometría se encarga del estudio de

las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, que

no son más que la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y su

ubicación o medida en referencia a una circunferencia. Por eso, el estudio de la

trigonometría en la actualidad se centra sobre el estudio y análisis de una serie de

funciones especiales llamadas funciones trigonométricas o funciones angulares, por su

dependencia con los ángulos.

13.1. Funciones trigonométricas

El triángulo ∆ABC mostrado en la figura 13.1,

es un triángulo rectángulo, ya que en el vértice

C se forma un ángulo recto.

El triángulo ∆ABC será usado para definir las

funciones trigonométricas del ángulo 𝜃,

correspondiente al vértice A, situado en el

centro de la circunferencia O.

Fig.13.1. Construcción geométrica para la

definición de las funciones trigonométricas

El seno (abreviado como sen, o sin) es la razón entre el cateto opuesto sobre la

hipotenusa.

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐶̅̅ ̅̅=𝑎

𝑐 (13.1)

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la

hipotenusa,


𝑐𝑜𝑠 𝜃 =𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐴𝐶̅̅ ̅̅=𝑏

𝑐 (13.2)

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el

cateto adyacente,

𝑡𝑔 𝜃 =𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅=𝑎

𝑏 (13.3)

Nótese que si se realiza la siguiente relación:

𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos𝜃=

𝑎

𝑐𝑏

𝑐

=𝑎𝑐

𝑏𝑐=𝑎

𝑏 por eso, se puede decir también que:

𝑡𝑔𝜃 =𝑠𝑒𝑛 𝜃

cos 𝜃 (13.4)

La Cosecante: (abreviado como csc) es la razón inversa de seno, es decir su inverso

multiplicativo:

𝑐𝑠𝑐 𝜃 =1

𝑠𝑒𝑛 𝜃=𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅=𝑐

𝑎 (13.5)

La Secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, es decir su inverso

multiplicativo:

𝑠𝑒𝑐 𝜃 =1

𝑐𝑜𝑠 𝜃=𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝐴𝐵̅̅ ̅̅=𝑐

𝑏 (13.6)

La Cotangente: (abreviado como cot o ctg) es la razón inversa de la tangente, o sea

su inverso multiplicativo:

𝑐𝑜𝑡 𝜃 =1

𝑡𝑔 𝜃=𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐵𝐶̅̅ ̅̅=𝑏

𝑎 (13.7)

También puede decirse que:

𝑐𝑜𝑡 𝜃 =cos 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 (13.8)

Por lo general, se cree que usando las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente,

los razones trigonométricas cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse, por que

serían una aplicación directa de las anteriores. Sin embargo, a veces suele haber un interés

específico en usarlas o porque las expresiones matemáticas o los procesos algebraicos con

ellas se simplifican considerablemente.

Si se asume en la figura 13.1, que el segmento 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ es el radio r de la circunferencia que

coincide con la hipotenusa del triángulo ∆ABC y se decide asumir para la medida de dicho


radio la unidad (𝑟 = 1), dicha circunferencia recibe el nombre de la circunferencia

trigonométrica.

Nótese que de acuerdo a la definición de las funciones coseno y seno, en la circunferencia

trigonométrica, ellas se corresponderían a los segmentos: 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ (coseno = cateto adyacente) y

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ (seno = cateto opuesto) es decir a los valores de las coordenadas del punto, es decir que

un punto representado en dicha circunferencia sería equivalente a:

𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃(cos 𝜃, 𝑠𝑒𝑛 𝜃) Esto sólo tiene validez en una

circunferencia de radio unidad.

Tomando como referencia la definición de la circunferencia trigonométrica, a las funciones

trigonométricas les podemos asociar un signo, de acuerdo a la posición de un punto

cualquiera en el plano cartesiano y acorde al cuadrante en el cual se encuentre (I, II, III o

IV). Primero se definen los signos respectivos para las funciones seno y coseno y luego

usando estos y su relación con las otras funciones, tangente, cotangente, secante y

cosecante, se definen los signos para estas. Ver tabla 13.1 y figura 13.2.

Tabla 13.1.

Signos de las funciones trigonométricas

Cuadrante

Función I II III IV

Seno + + - -

Coseno + - - +

Tangente + - - -

Cotangente + - - -

Secante + - - +

Cosecante + + - -

Fig.13.2. Representación gráfica de los signos de las

funciones trigonométricas.

Siguiendo con las propiedades que adquieren las funciones usando la circunferencia

trigonométrica, se puede asegurar, que los codominios o rangos, de las funciones seno y

coseno de un ángulo, están definidos en el intervalo:

−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ≤ 1 y −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 ≤ 1

Esto a su vez nos permite determinar de forma muy rápida los valores de las funciones

trigonométricas para los ángulos que limitan los cuadrantes y que se pueden ver en la tabla

13.2. No olvidar que primero se consiguen los de las funciones seno y coseno y luego las

demás.


Tabla 13.2. Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos que limitan los cuadrantes.

Angulo

Función

0º

(0)

90º

(𝜋

2)

180º

(𝜋)

270º

(3𝜋

2)

360º

(2𝜋)

Seno 0 1 0 -1 0

Coseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 ∞ 0 ∞ 0

Cotangente ∞ 0 ∞ 0 ∞

Secante 1 ∞ -1 ∞ 1

Cosecante ∞ 1 ∞ -1 ∞

Valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables

Se considera que existen algunos ángulos que son muy frecuentes encontrar en muchas

aplicaciones y por eso se les conoce como ángulos notables y entre ellos se encuentran

30º (𝜋

6) , 45° (

𝜋

4) y 60° (

𝜋

3). A continuación se mostrará cómo se obtiene el valor de las

funciones trigonométricas para estos ángulos.

En la figura 13.3, se muestra un triángulo

equilátero ∆ABC de lado l, del que se

conoce que sus ángulos interiores todos son

iguales a 60º. Si se traza una línea

perpendicular del vértice C al lado opuesto

(segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = ℎ), esta línea divide al

lado opuesto en dos partes iguales al lado l.

Adicionalmente, dicho segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ hace

las veces de una bisectriz y por esto divide

al ángulo interno en dos partes iguales, es

decir cada uno de 30º.

El valor de h usando el teorema de

Pitágoras da por resultado ℎ =√3

2𝑙.

Fig.13.3. Construcción geométrica para funciones

trigonométricas de ángulos 30º y 60º

Aplicando la definición de las funciones trigonométricas para el ángulo de 30º, en la figura

13.3 se tiene:

𝑠𝑒𝑛 30° =

𝑙2𝑙=1

2 𝑐𝑜𝑠 30° =

√32 𝑙

𝑙=√3

2

𝑡𝑔 30° =

𝑙2

√32 𝑙

=1

√3=√3

3


𝑐𝑠𝑐 30° =1

12

= 2 𝑠𝑒𝑐 30° =1

√32

=2

√3=2√3

3 𝑐𝑜𝑡 30° =

1

1

√3

= √3

Usando el mismo procedimiento anterior, se tiene que de acuerdo a la figura xxx, para el

ángulo de 60º los valores de las funciones son:

𝑠𝑒𝑛 60° =

√32 𝑙

𝑙=√3

2 𝑐𝑜𝑠 60° =

𝑙2𝑙=1

2 𝑡𝑔 60° =

√32 𝑙

𝑙2

= √3

𝑐𝑠𝑐 60° =1

√32

=2

√3=2√3

3 𝑠𝑒𝑐 60° =

1

12

= 2 𝑐𝑜𝑡 30° =1

√3=√3

3

Ahora, se hará la deducción de los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo

de 45º.

En la figura 13.4, se muestra un triángulo

rectángulo isósceles ∆ACB. Los lados

iguales (catetos) tienen de lado un valor l y

los ángulos iguales tienen un valor de 45º.

El valor de la hipotenusa se obtiene usando

el teorema de Pitágoras y equivale a la

diagonal de un cuadrado, la cual tiene un

valor de 𝑙√2.

Fig.13.4. Construcción geométrica para funciones

trigonométricas del ángulo de 45º

Empleando la definición de las funciones trigonométricas para el ángulo de 45º, en la figura

13.4 se tiene:

𝑠𝑒𝑛 45° =𝑙

𝑙√2=1

√2=√2

2 𝑐𝑜𝑠 45° =

𝑙

𝑙√2=1

√2=√2

2 𝑡𝑔 45° =

𝑙

𝑙= 1

𝑐𝑠𝑐 45° =1

√22

=2

√2= √2 𝑠𝑒𝑐 45° =

1

√22

=2

√2= √2

𝑐𝑜𝑡 45° =1

1= 1

A continuación se muestra un resumen (tabla 13.3) para las funciones seno, coseno y

tangente de los tres ángulos notables vistos.


Tabla 13.3. Valores de las funciones trigonométricas para los ángulos 30º, 45º y 60º

Ángulo

Función

30º

(𝜋

6)

45º

(𝜋

4)

60º

(𝜋

3)

seno 1

2

√2

2

√3

2

Coseno √3

2

√2

2

1

2

Tangente √3

2 1 √3

Ejemplo 13.1

Si en la figura 13.1 los valores de los catetos son 𝑎 = 2 y 𝑏 = 3, encontrar los valores de

todas las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃.

Solución

Primero obtenemos el valor de la hipotenusa del triángulo ∆ABC, así:

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 = √(2)2 + (3)2 = √4 + 9 = √13

Utilizando las definiciones de las funciones trigonométricas se obtiene:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =2

√13=2√13

13 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =

3

√13=3√13

13 𝑡𝑔 𝜃 =

2

3

𝑐𝑠𝑐 𝜃 =1

2

√13

=√13

2 𝑠𝑒𝑐 𝜃 =

1

3

√13

=√13

3 𝑐𝑜𝑡 𝜃 =

1

23

=3

2

Ejemplo 13.2

Calcular el valor de la siguiente expresión:

𝑠𝑒𝑛245° + √3𝑡𝑔30°

𝑐𝑜𝑠230° + 𝑠𝑒𝑐260°


Solución

Primero hay que hacer claridad en la siguiente notación:

𝑠𝑒𝑛2𝑥 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)2

Ahora sí, tomando los valores de las funciones trigonométricas de acuerdo a los ángulos en

cada una de ellas se tiene (ayudarse de las tablas para ángulos especiales):

(√22 )

2

+ √3(√33 )

(√32 )

2

+ (2)2

=

24 + (

33)

34 + 4

=

12 + 1

34 + 4

=

32194

=(3)(4)

(19)(2)=6

19

Por lo tanto el valor numérico de la expresión es de 6

19.

Ejemplo 13.3

Una escalera de 3 m de longitud se encuentra apoyada sobre una pared, ver figura 13.4. Si

el ángulo que forma el extremo inferior de la escalera con el piso es de 52º (ángulo de

elevación), calcular: a) La distancia x que hay desde el borde inferior de la escalera a la

pared y b) La distancia y que hay desde el extremo superior de la escalera que está apoyada

en la pared y el piso.

Solución

La longitud de la escalera se asume que es la hipotenusa de

un triángulo rectángulo, por tanto para hallar los valores de x

e y se pueden usar las definiciones de las funciones

trigonométricas.

Así:

𝑠𝑒𝑛 52° =𝑦

3→ 𝑦 = (3 m)(𝑠𝑒𝑛 52°) → 𝑦 = 2,36 m

De la misma manera:

𝑐𝑜𝑠 52° =𝑥

3→ 𝑥 = (3 m)(𝑐𝑜𝑠 52°) → 𝑦 = 1,85 m

Fig.13.5. Gráfica ejemplo 13.3


Ejercicios

1. Usando la figura 13.1 y asumiendo que el valor del cateto es 𝑎 = 2 y el de la hipotenusa

es c = 6, encontrar los valores de todas las funciones trigonométricas para el ángulo 𝜃.

2. Señale cuales de los siguientes valores de las funciones indicadas tienen signos correctos

para los ángulos dados (No utilice ayudas tecnológicos).

𝑠𝑒𝑛 30° = −1

2 𝑠𝑒𝑐 300° = −2 𝑐𝑜𝑡 210° = √3

𝑡𝑔 120° =√3

3 𝑐𝑠𝑐 225° = −√2 𝑐𝑜𝑠 135° = −

√2

2

3. ¿Cuáles de los valores de las siguientes funciones son o no posibles?. (No utilice

elementos tecnológicos).

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =3

2 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = −

√2

2 𝑠𝑒𝑐 𝜑 = 0,2

𝑐𝑜𝑡 𝛿 = −3 𝑡𝑔 𝛾 = 7,8 𝑐𝑠𝑐 𝜔 =3

100

4. Calcular los valores de las siguientes expresiones (No use ayudas tecnológicas y utilice

las tablas de las funciones para ángulos conocidos).

a) 4𝑐𝑜𝑠245° + 3𝑠𝑒𝑛30° b) 6𝑡𝑔260° − 3𝑠𝑒𝑐230°

c) 3𝑐𝑜𝑠60°−2𝑐𝑜𝑠30°

𝑠𝑒𝑛245°−1 d)

𝑐𝑜𝑡230°+√3𝑐𝑜𝑠230°

𝑠𝑒𝑛45°+𝑐𝑜𝑠45°

5. Determine el valor de la (s) incógnita(s) en los siguientes triángulos:


6. Desde un faro se divisa un velero que necesita

ayuda y es indispensable saber a qué distancia de la

costa se encuentra. El guarda costa que tiene un

sistema de observación de características ópticas,

apunta dicho dispositivo hacia la base del velero y

detecta que el ángulo de depresión es de 37º.

Sabiendo que el faro tiene una altura de 458 m,

Ver figura adyacente. ¿A qué distancia se encuentra

el barco de la base del faro?.

7. Problema de desafío. Con el fin de medir la altura h de un objeto se mide la distancia

entre dos puntos A y B, a lo largo de una recta que pasa por su base en un plano horizontal

y la cual resulta ser l. Los ángulos de elevación desde A y B son α y β respectivamente. Sí

A es el punto más cercano a la base, demostrar que si A y B están de lados opuestos de la

base del objeto, la altura del mismo viene dada por: h =l

cot α+cotβ .

13.2. Representación gráfica de las funciones trigonométricas y sus inversas

Conocer el comportamiento gráfico de las funciones trigonométricas y sus funciones

inversas, es supremamente importante en las áreas de la matemática, la física, las ciencias

naturales y las ciencias aplicadas como la ingeniería. Por eso, en las siguientes líneas se

darán algunas propiedades de las gráficas de dichas funciones.

Gráfica de las Funciones trigonométricas

Para trazar la gráfica de una función trigonométrica se deben dar valores a diferentes

ángulos (radianes o grados, según sea el caso) y dichos valores se toman como abscisas (eje

x) y los valores correspondientes de la función se toman como ordenadas (eje y) de los

puntos de la gráfica. La escritura correspondiente para estas funciones es de la forma:

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 o 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y para las otras funciones se hace de manera análoga.

Se sugiere para los cálculos numéricos de las funciones trigonométricas, sea que los

ángulos estén en grados o radianes, utilizar las tablas obtenidas en el apartado anterior y sus

equivalencias en cuadrantes diferentes al primero o en su defecto usar calculadoras o

programas de computador. Es preferible usar las tablas, no solo por recordar los valores de

las funciones para los diferentes ángulos, sino también para mantener la exactitud en la

medida.


En la figura 13.6, se representan las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y).

Los valores en el eje x están expresados en radianes y todas las funciones están graficadas

en el intervalo, −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 (−6,28 ≤ 𝑥 ≤ 6,28).

a) Función 𝑠𝑒𝑛 𝑥 b) Función 𝑐𝑜𝑠 𝑥

c) Función 𝑡g 𝑥 d) Función 𝑐𝑜𝑡 𝑥

e) Función 𝑠𝑒𝑐 𝑥 f) Función 𝑐𝑠𝑐 𝑥

Fig.13.6. Gráficas de las funciones trigonométricas


Obsérvese que todas las funciones trigonométricas en sus representaciones, dan una idea

precisa de la periodicidad de las mismas. En la figura 13.6, se observa claramente como las

funciones seno, coseno, secante y cosecante se repiten cada 2π, es decir que ese es su

periodo. Mientras tanto, el periodo de las funciones tangente y cotangente es π.

De igual manera se puede observar, que las funciones seno y coseno son continuas y su

dominio son todos los números reales. Como ya se había dicho, su codominio está

restringido al intervalo [−1,1].

Si la función seno se desplaza hacia la izquierda un valor de 𝜋

2= 1,57 𝑟𝑎𝑑 su gráfica

coincide con la de la función coseno o si la función coseno se desplaza hacia la derecha 𝜋

2

su gráfica coincide con la de la función seno. La condición anterior se expresa diciendo que

las funciones están desfasadas entre sí 𝜋

2. Esa relación entre las dos funciones, es muy

importante cuando se trabajan movimientos armónicos u ondas armónicas en física.

Puede observarse que la función seno, en el intervalo 0 a 2π, tiene un valor de 0 (mínimos)

en 0, π y 2π. De igual manera se puede decir que tiene valores máximos de +1 en 𝜋

2 y de

−1 en 3𝜋

2. Si lo anterior se le aplica a la función coseno, ella tiene mínimos en

𝜋

2 y

3𝜋

2 , con

máximos en 0, π y 2π.

Por otro lado, las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante presentan

discontinuidades en diferentes puntos sobre el eje de las x y dependen de la periodicidad de

las mismas. Es decir, que el dominio de esas funciones son todos los números reales

quitando esos puntos donde existe discontinuidad. En la figura 13.6, se han presentado

dichas discontinuidades en líneas punteadas (asíntotas), para el intervalo dibujado. Por

ejemplo para la función tangente existe una discontinuidad en 𝜋

2 y se dice que la función

tiende a infinito (→ ∞) en ese punto.

Las funciones tangente y cotangente tiene como codominio todos los números reales,

mientras que las funciones secante y cosecante, su codominio son todos los números reales

menos los valores que están en el intervalo [−1,1].

Por tener una gran importancia la representación gráfica las funciones senoidales o

sinusoidales, es decir aquellas que provienen de la función seno como función primitiva, a

continuación en la figura 13.7 se muestran tres representaciones de variaciones de esta

función. Para la elaboración de la gráfica, se han utilizado valores de los ángulos en el

intervalo −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 (−6,28 ≤ 𝑥 ≤ 6,28).


Ejemplo 13.4

En la figura 13.7 se han representado tres diferentes funciones que incluyen a la función

trigonométrica 𝑠𝑒𝑛𝑥. Realizar un análisis de las tres funciones.

Solución

En la figura 13.7, gráfica a), nótese que dicha gráfica es la misma gráfica de la función

𝑠𝑒𝑛 𝑥 desplazada hacia la derecha 𝜋

4= 0,78 y el valor de los máximos no es 1 sino 3

(amplitud), es decir que ese factor es la amplificación de la función. Por tanto, el proceso de

tabulación no sería necesario para el dibujo de esta gráfica, si ya se conoce la función

original o primitiva.

Para el caso de la gráfica b) de la figura 13.7, se puede observar que si la función original

fuese 𝑠𝑒𝑛𝑥, el factor 4 (amplitud) ampliaría la función en ese valor. Por otro lado, la

función 𝑠𝑒𝑛𝑥 tiene intervalos en donde su valor es negativo, pero como el valor que se

desea es su cuadrado, es decir 𝑠𝑒𝑛2𝑥 , la función toma un valor positivo. Lo anterior

significa que se “invierte” ese tramo de la función de abajo hacia arriba y la gráfica

quedaría lista sin realizar ninguna tabulación y sin necesidad de recurrir a una herramienta

tecnológica para conocer la forma de la curva. Solo cuando se requiere un trazado muy

preciso se debe recurrir a dichas herramientas, de lo contrario un buen bosquejo de la

gráfica, puede ayudar a interpretar la misma.

En la gráfica c) de la figura 13.7, se puede observar de nuevo que el factor 1

3 reduce la

amplitud de la función 𝑠𝑒𝑛𝑥 a la tercera parte, pero la función ya no se repite cada 2π, sino

cada π. Es decir, que el factor 2 reduce a la mitad el periodo de la función 𝑠𝑒𝑛𝑥 original. Si

esto se aplicara a un fenómeno físico de ondas armónicas, se estaría diciendo que el periodo

se baja a la mitad y la frecuencia se va al doble y en la gráfica significaría “acortar” la

señal.

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −𝜋

4) b)𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛2𝑥 c) 𝑓(𝑥) =

1

3𝑠𝑒𝑛2𝑥

Fig.13.7. Representación gráfica de tres funciones senoidales


Gráfica de las Funciones trigonométricas inversas

Se ha visto que el ángulo se puede expresar en radianes (un radián es el arco de

circunferencia de longitud igual al radio) y por ello se puede denominar arco a cualquier

cantidad expresada en radianes. De ahí que a las funciones inversas se les denomine con el

prefijo arco y por tanto, para cada función trigonométrica existe su propia función inversa.

Si se dice que y es igual al seno de x, es decir 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥, su función inversa es:

𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑦 (13.9)

Es decir, que x es el valor del ángulo para el cual el seno de x es y o simplemente x es el

arcoseno de y.

De la misma manera para las otras funciones:

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑥 = arccos 𝑦 (x es el arcocoseno de y) (13.10)

𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 (x es la arcotangente de y) (13.11)

Por ejemplo si:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =1

2→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

1

2) → 𝜃 =

𝜋

6= 30°

𝑐𝑜𝑠𝜃 =√2

2→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (

√2

2) → 𝜃 =

𝜋

4= 45°

𝑡𝑔𝜃 = ∞ → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(∞) → 𝜃 =𝜋

2= 90°

Recuerde que las funciones trigonométricas son periódicas y por lo tanto pueden existir

otros ángulos para los cuales se cumplen esos valores, por ejemplo:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =1

2→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

1

2) → 𝜃 =

5𝜋

6= 150°

¡Cuidado!: Casi todas las calculadoras devuelven el valor de la función trigonométrica

inversa para ángulos agudos (menores de 𝜋

2= 90°).

Nota Importante

Es común, que las funciones inversas sean escritas de esta manera:

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 (versión muy usada en las calculadoras)


pero se debe tener cuidado de no confundirlas con:

𝑦 =1

𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑦 = 𝑐𝑠𝑐𝑥

Teniendo en cuenta lo explicitado hasta ahora, se procede a realizar la gráfica de las

funciones inversas de las funciones trigonométricas. En la figura 13.8, se muestra las

características principales de las funciones 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 y 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥, como son el

dominio, codominio e intervalos en donde la función es continua, creciente o decreciente y

su representación gráfica.

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥

Dominio: [-1, 1]

Recorrido: [−𝜋

2,𝜋

2 ]

Continua: (-1, 1)

Decreciente: (-1, 1)

Gráfica función 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥

Dominio: [-1, 1]

Recorrido: [0, π]

Continua: (-1, 1)

Decreciente: (-1, 1)

Gráfica función 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

Dominio: R

Recorrido: [−𝝅

𝟐,𝝅

𝟐 ]

Continua en: R

Creciente en : R

Gráfica función 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

Fig.13.8. Gráficas de las funciones inversas trigonométricas


Ejercicios

1. Se tiene la función 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +𝜋

6)


a) 𝑓(0) b) 𝑓 (−𝜋

4) c) 𝑓(−5𝜋) d) 𝑓 (

𝜋

8) e) 𝑓 (

3𝜋

4) f) 𝑓(−2𝜋)2.

Complete con el valor correspondiente el espacio en blanco.

𝑐𝑜𝑠𝜃 = −√3

2→ 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (−

√3

2) → 𝛽 = ____

𝑡𝑔𝜃 = √3 → 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3) → 𝛽 = ____

𝑠𝑒𝑛𝛽 =√2

2→ 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

√2

2) → 𝛽 = ____

𝑐𝑜𝑡𝛽 = ∞ → 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡(∞) → 𝛽 = ____

𝑠𝑒𝑐𝛽 = −2 → 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(−2) → 𝛽 = ____

𝑡𝑔𝛽 = −1 → 𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(−1) → 𝛽 = ____

3. Represente gráficamente las siguientes funciones trigonométricas.


I) 𝑓(𝑥) = 3 |𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2)|

II) 𝑓(𝑥) = 3cos2 (𝑥 +𝜋

4)

a) 𝑓(𝑥) =1

4𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −

𝜋

3) b) 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 c) 𝑓(𝑥) = 2𝑡𝑔 (𝑥−

𝜋

2)


5. Graficar las funciones inversas 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑠𝑐𝑥 y 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡 𝑥

6. Explicar que le sucede a la función 𝑐𝑜𝑠𝑥 en la siguiente secuencia de gráficas.

𝑦 = cos (𝑥) 𝑦 = 1.5𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

𝑦 = 1.5𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝜋/4) 𝑦 = 1.5𝑐𝑜𝑠2 (𝑥 + 𝜋/4)

𝑦 = 1.5𝑐𝑜 𝑠 (𝑥 +𝜋

4) − 2 𝑦 = 1.5 𝑐𝑜𝑠2 (𝑥 +

𝜋

4) − 2


7. Aplicación a la física 1: Un objeto (visto como una partícula) se mueve en dos

dimensiones describiendo una trayectoria parabólica, en cercanías de la tierra la cual actúa

sobre dicho objeto con una aceleración gravitacional g cuya magnitud es 9.8 m/s2. La

velocidad con que es lanzado el objeto tiene una magnitud 𝑣0 la cual forma un ángulo 𝜃

con la horizontal. Si no se tiene en cuenta la fricción del objeto con el aire, la altura máxima

h que sube el objeto viene dada por:

ℎ =𝑣02𝑠𝑒𝑛2𝜃

2𝑔

a) ¿Cuál es el valor de h para el caso en que 𝑣0 = 10 m/s y 𝜃 = 37°?

b) ¿Para qué valor de 𝜃 la altura máxima es de 25 m, si 𝑣0 = 15 m/s?

b) Asuma un valor de 𝑣0 y luego elabore una gráfica de la altura h en función de 𝜃.

Tome valores de 𝜃 entre 0 y 𝜋

2 .

8. Aplicación a la física 2: Un objeto se mueve en línea recta, de tal manera que oscila de

forma armónica simple. Si la posición del objeto x en función del tiempo t viene dado por la

función: 𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2𝑡 –

3), en donde x está en mm y t en s.

a) Realice una gráfica de dicha función en el intervalo de tiempo entre 0 y 2.

b) ¿En dónde se encuentra el objeto cuando han transcurrido: 0 s, 1 s y 4 s?

b) ¿Cuál es el primer valor del tiempo (𝑡 > 0) que hace que el valor de x sea de 2

mm?

13.3. Identidades trigonométricas

En el capítulo 11 sobre nociones de algebra, en la sección y análisis de las ecuaciones, se

explicitó que una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores

permisibles de la variable, que para el caso de las funciones trigonométricas tiene que ver

con el ángulo. Por eso, una identidad trigonométrica, no es más que una igualdad entre

expresiones algebraicas que contienen funciones trigonométricas y la cual es solo válida

para todos los valores del ángulo en los que estas funciones estén definidas.

De las definiciones de las funciones trigonométricas ya se han establecido algunas

identidades como son:

𝑡𝑔𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑐𝑜𝑡𝜃 =

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃; 𝑐𝑠𝑐𝜃 =

1

𝑠𝑒𝑛𝜃; 𝑠𝑒𝑐𝜃 =

1

𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑐𝑜𝑡𝜃 =

1

𝑡𝑔𝜃

De las tres últimas expresiones se sigue que:


𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑠𝑐𝜃 = 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 = 1 𝑡𝑔𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 1

De la figura 13.1, usando el teorema de Pitágoras se tiene que:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

Y de la definición de las funciones se sabe que:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑎

𝑐 y 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑏

𝑐

por tanto:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = (𝑎

𝑐)2

+ (𝑏

𝑐)2

=𝑎2 + 𝑏2

𝑐2=𝑐2

𝑐2= 1

Es decir, que para todo ángulo 𝜃, se cumple la identidad Pitagórica:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 (13.12)

La expresión anterior es conocida como identidad fundamental.

Si a cada miembro de la identidad fundamental se le divide por el término 𝑐𝑜𝑠2𝜃, se

obtiene una nueva identidad, así:

𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃=

1

𝑐𝑜𝑠2𝜃 → 𝑡𝑔2𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 (13.13)

Si se utiliza el mismo criterio anterior, pero dividiendo cada miembro de la identidad

fundamental por el término 𝑠𝑒𝑛2𝜃, se llega a una nueva identidad,

𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑠𝑒𝑛2𝜃=

1

𝑠𝑒𝑛2𝜃 → 1+𝑐𝑜𝑡2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃 (13.14)

De las anteriores identidades y realizando algunos procesos algebraicos, se puede obtener la

tabla 13.4, que permite relacionar cada una de las funciones trigonométricas con las demás.

Aunque, hay que tener la precaución que en estas relaciones de conversión se debe revisar

el signo correcto (+ ó −) que pueden devolver. Para conseguir la respuesta correcta se

necesita saber en qué cuadrante está el ángulo θ.


Tabla 13.4. Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑡𝑔 𝜃 𝑐𝑜𝑡 𝜃 𝑠𝑒𝑐 𝜃 𝑐𝑠𝑐 𝜃

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑡𝑔𝜃

√1 + 𝑡𝑔2𝜃

1

√1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃

√𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1

𝑠𝑒𝑐𝜃

1

𝑐𝑠𝑐 𝜃

𝑐𝑜𝑠 𝜃 √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

1

√1 + 𝑡𝑔2𝜃

𝑐𝑜𝑡𝜃


1

𝑠𝑒𝑐 𝜃

√𝑐𝑠𝑐2𝜃 − 1

𝑐𝑠𝑐𝜃

𝑡𝑔 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃

√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃 √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔 𝜃

1

𝑐𝑜𝑡 𝜃 √𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1

1


𝑐𝑜𝑡 𝜃 √1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

1

𝑡𝑔 𝜃 𝑐𝑜𝑡 𝜃

1

√𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1 √𝑐𝑠𝑐2𝜃 − 1

𝑠𝑒𝑐 𝜃 1

√1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃

1

𝑐𝑜𝑠 𝜃 √1 + 𝑡𝑔2𝜃


𝑐𝑜𝑡 𝜃 𝑠𝑒𝑐 𝜃

𝑐𝑠𝑐𝜃


𝑐𝑠𝑐 𝜃 1

𝑠𝑒𝑛 𝜃

1

√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 √1 + 𝑡𝑔2𝜃

𝑡𝑔𝜃 √1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃

𝑠𝑒𝑐𝜃

√𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1 𝑐𝑠𝑐 𝜃

Ejemplo 13.5

Relación entre las funciones trigonométricas

Mostrar las expresiones que relacionan la función 𝑠𝑒𝑛𝜃 con las otras funciones

trigonométricas. Primera fila de la tabla 13.4.

Solución

Seno en función de coseno:

Despejando 𝑠𝑒𝑛2𝜃 de la identidad fundamental se tiene:

𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 → 𝑠𝑒𝑛𝜃 = √1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

Seno en función de tangente:

Sabiendo que 𝑡𝑔𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃, se despeja la función 𝑠𝑒𝑛𝜃, es decir que:

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑡𝑔𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃


Pero se sabe que,

1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 → 1 + 𝑡𝑔2𝜃 =1

𝑐𝑜𝑠2𝜃 → 𝑐𝑜𝑠2𝜃 =

1

1+𝑡𝑔2𝜃 → 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

1

√1+𝑡𝑔2𝜃

Si esta expresión se sustituye en la obtenida anteriormente para la función 𝑠𝑒𝑛𝜃 se llega a:

𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑡𝑔𝜃 (1

√1+𝑡𝑔2𝜃) la cual es equivalente a:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑡𝑔𝜃

√1 + 𝑡𝑔2𝜃

Seno en función de cotangente:

La identidad: 1 + 𝑐𝑡𝑔2𝜃 = 𝑐𝑠𝑐2𝜃, se puede escribir de la siguiente manera:

1 + 𝑐𝑡𝑔2𝜃 =1

𝑠𝑒𝑛2𝜃 → 𝑠𝑒𝑛2𝜃 =

1

1 + 𝑐𝑡𝑔2𝜃

Y despejando se tiene que:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =1

√1 + 𝑐𝑡𝑔2𝜃

Seno en función de secante:

Partiendo del hecho que:

1 + 𝑡𝑔2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 → 1 +𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃= 𝑠𝑒𝑐2𝜃 → 1 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 →

𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑠𝑒𝑐2𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1 → 𝑠𝑒𝑛2𝜃 =𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1

𝑠𝑒𝑐2𝜃

Por lo tanto, despejando la función 𝑠𝑒𝑛𝜃, se llega a:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =√ 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1

𝑠𝑒𝑐𝜃

Seno en función de cosecante:

Es evidente que: 𝑠𝑒𝑛𝜃 =1

𝑐𝑠𝑐𝜃


Algunos de los procedimientos utilizados aquí para lograr las relaciones mostradas, no son

los únicos. De la habilidad que se tenga con las identidades básicas, se pueden seguir

diferentes caminos para comprobar esas relaciones.

A continuación se mostrarán una serie de ejemplos de identidades trigonométricas con los

cuales se pretende evidenciar procedimientos algebraicos para su comprobación. Por ser la

identidad una igualdad, para comprobar que dicha igualdad es una identidad trigonométrica

se parte de escoger alguno de los términos de la misma (el de la izquierda o el de la

derecha) y usando las identidades básicas y la manipulación algebraica de las mismas llegar

a determinar que los dos términos son iguales. No se permite pasar expresiones o términos

al otro lado de la igualdad, ni operar entre ellos.

Ejemplo 13.6

Comprobar la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

Solución

Primer Término Segundo Término 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑡𝑔𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥

Ejemplo 13.7

Comprobar la siguiente identidad: (𝑐𝑠𝑐2𝑧 − 1)𝑠𝑒𝑛2𝑧 = 𝑐𝑜𝑠2𝑧

Solución

Primer Término Segundo Término (𝑐𝑠𝑐2𝑧 − 1)𝑠𝑒𝑛2𝑧

[(1 + 𝑐𝑡𝑔2𝑧) − 1](𝑠𝑒𝑛2𝑧)

(𝑐𝑡𝑔2𝑧)(𝑠𝑒𝑛2𝑧)

(𝑐𝑜𝑠2𝑧

𝑠𝑒𝑛2𝑧) (𝑠𝑒𝑛2𝑧)

𝑐𝑜𝑠2𝑧

𝑐𝑜𝑠2𝑧 = 𝑐𝑜𝑠2𝑧


Ejemplo 13.8

Comprobar la siguiente identidad: (𝑐𝑜𝑠4𝑦 − 𝑠𝑒𝑛4𝑦) + 1 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑦

Solución

Primer Término Segundo Término (𝑐𝑜𝑠4𝑦 − 𝑠𝑒𝑛4𝑦) + 1

(𝑐𝑜𝑠2𝑦 − 𝑠𝑒𝑛2𝑦)(𝑐𝑜𝑠2𝑦 + 𝑠𝑒𝑛2𝑦) + 1

[𝑐𝑜𝑠2𝑦 − (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑦)](1) + 1

[𝑐𝑜𝑠2𝑦 − 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑦] + 1

2𝑐𝑜𝑠2𝑦 − 1+1

2𝑐𝑜𝑠2𝑦

2𝑐𝑜𝑠2𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑦

Ejemplo 13.9

Comprobar la siguiente identidad: 1−𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥=

𝑐𝑜𝑠𝑥

1+𝑠𝑒𝑛𝑥

Solución

Primer Término Segundo Término 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥

1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥

(𝑐𝑜𝑠𝑥

1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥) (𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑐𝑜𝑠2𝑥

(1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)

1−𝑠𝑒𝑛2𝑥

(1+𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)

(1−𝑠𝑒𝑛𝑥) (1+𝑠𝑒𝑛𝑥)

(1+𝑠𝑒𝑛𝑥) (𝑐𝑜𝑠𝑥)

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 =

1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥


Ejemplo 13.10

Comprobar la siguiente identidad: 𝑠𝑒𝑛𝑥

1+𝑐𝑜𝑠𝑥+1+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥= 2𝑐𝑠𝑐𝑥

Solución

Primer Término Segundo Término

𝑠𝑒𝑛𝑥

1+𝑐𝑜𝑠𝑥+1+𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥

(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥) + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2


𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥


1 + 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥


2 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥


2(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)

(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑠𝑒𝑛𝑥

2

𝑠𝑒𝑛𝑥

2𝑐𝑠𝑐𝑥

2𝑐𝑠𝑐𝑥 = 2𝑐𝑠𝑐𝑥

Ejercicios

1. Calcular las otras funciones sabiendo que:

a) 𝑠𝑒𝑛𝜃 =√3

2 b) 𝑐𝑜𝑡𝑥 =

4

3

c) 𝑐𝑜𝑠𝛿 =4

5 d) sec 𝑥 =

2√3

5

2. Pruebe que las siguientes igualdades son identidades trigonométricas. Justifique cada

paso.


a) cot𝛽

𝑐𝑜𝑠𝛽= 𝑐𝑠𝑐𝛽 b) (sec 𝑥 − 1)(sec 𝑥 + 1) = 𝑡𝑎𝑛2𝑥

c) sen𝛼+cos𝛼

sen𝛼= 1 +

1

𝑡𝑔𝛼 d)

sec𝑦

cot𝑦+𝑡𝑔𝑦= 𝑠𝑒𝑛𝑦

e) tan2 𝑥

sec𝑥+1=1−cos𝑥

cos𝑥 f) sec 𝑥 − tan 𝑥 =

cos𝑥

1+sen𝑥

g) 1 −cos2 𝑥

1+sen𝑥= sen 𝑥 h)

cot𝑧−1

cot𝑧+1=1−tan𝑧

1+tan𝑧

i) 2𝑡𝑔𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 =cos2 𝑥+2𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥 j) tg4 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐4𝑥 =1 − 2𝑠𝑒𝑐2𝑥

13.4. Ecuaciones trigonométricas

Se considera que una ecuación trigonométrica, es aquella en la cual la incógnita que

aparece es un ángulo que está incluido en igualdades que contienen funciones

trigonométricas.

Hay que aclarar, que no existe un método específico para resolver una ecuación

trigonométrica. Sin embargo, se busca en la medida de lo posible (no siempre) y cuando

aparecen diferentes funciones trigonométricas en la misma expresión, expresar todos los

términos en función de una única función trigonométrica. Para ello, se requiere tener

habilidad en la relación que existe entre las funciones trigonométricas y sus respectivas

identidades, al igual que en todos los procesos algebraicos frecuentes (por ejemplo

factorizaciones) y otros que sirven para resolver ecuaciones o sistemas de ecuaciones

lineales, cuadráticas u otras.

Los valores de los ángulos, pueden haber sido obtenidos de la solución de una ecuación

cuadrática u otra que tenga distintas soluciones. Por ello, se debe comprobar si estas

soluciones son o no coherentes con los valores que las funciones pueden tomar.

Adicionalmente, por ser las funciones trigonométricas periódicas, se hace necesario

encontrar la solución de la ecuación en intervalos definidos, para restringir el conjunto

solución. Es decir, que puede haber ángulos para los cuales la función puede tomar el

mismo valor y signo.

Ejemplo 13.11

Encontrar el valor de x, en el intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋

2 , que satisface la ecuación:

𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔(𝜋

4− 2𝑥)


Solución

Por simple inspección se debe cumplir que:

𝑥 =𝜋

4− 2𝑥 → 3𝑥 =

𝜋

4 → 𝑥 =

𝜋

12 𝑜 𝑥 = 15°

Ejemplo 13.12

Encontrar los valores de x, en el intervalo −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋 , que satisfacen la ecuación:

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥)

Solución

Se realizan las operaciones inmediatas,

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥

Ahora, se deja la igualdad en términos de una sola función, en este caso en función de

𝑠𝑒𝑛𝑥, así:

2(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) = 3 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥

Realizando la multiplicación básica (ley distributiva de los números reales) se tiene:

2 − 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 3 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥

Reorganizando términos, realizando las operaciones básicas y expresando la igualdad como

una ecuación cuadrática en la función 𝑠𝑒𝑛𝑥, se llega a:

2𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1 = 0

La anterior expresión se puede resolver usando la ecuación cuadrática en 𝑠𝑒𝑛𝑥, así

𝑠𝑒𝑛𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4(2)(1)

2(2) → 𝑠𝑒𝑛𝑥 =

3 ± √9 − 8

4 → 𝑠𝑒𝑛𝑥 =

3 ± 1

4

Como existe dos soluciones para 𝑠𝑒𝑛𝑥, se tiene que:

{𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(1) → 𝑥 =

𝜋

2 (90°)

𝑠𝑒𝑛𝑥 =1

2 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

1

2) → 𝑥 =

𝜋

6,5𝜋

6 (30°, 150°)


La solución para 𝑥 se ha expresado en radianes y grados sexagesimales (entre paréntesis).

Nótese, que aunque se resuelve una ecuación cuadrática, la solución para la función sí son

dos valores. Pero para el ángulo que es la incógnita, existen tres soluciones en el intervalo

solicitado.

Los valores encontrados del ángulo 𝑥, deben ser sustituidos en la ecuación original, para

comprobar que son o no solución. ¡Hágalo¡.

Ejemplo 13.13


𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥 Solución

Expresando la igualdad en términos de solo la función 𝑐𝑜𝑠 𝑥, se tiene:

𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 2(1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)

Aplicando la ley distributiva de los números reales, se tiene:

𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 2 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥

Reagrupando términos se llega a:

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3 = 0

En éste caso, no se resolverá la ecuación anterior usando la ecuación cuadrática, sino

usando métodos de factorización. Por tanto, si se multiplica y se divide por 2 la ecuación

anterior, tenemos:

(2𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + 1(2𝑐𝑜𝑠𝑥) − 6

2= 0

Factorizando,

(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3)(2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2)

2= 0

Sacando como factor el número 2 del segundo paréntesis y luego simplificándolo con el

denominador, se tiene:

(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3)(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1) = 0


Ahora bien,

{2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3 = 0 → 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = −3 → 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −

3

2 → 𝑥 = arccos (−

3

2) → 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝑜𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 → 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 → 𝑥 = arccos(1) → 𝑥 = 0, 2𝜋 (0, 360°)

Se sugiere comprobar que los valores encontrados para el ángulo x, satisfacen la ecuación

propuesta. !Hágalo¡

Ejemplo 13.14


√3𝑠𝑒𝑛𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝑥 Solución

Aquí, no es necesario expresar una función en términos de la otra y simplemente se hace:

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥=3

√3 → 𝑡𝑔𝑥 =

3

√3(√3

√3) → 𝑡𝑔𝑥 = √3

𝑡𝑔𝑥 = √3 → 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√3) → 𝑥 =𝜋

3,𝜋

3 (60°, 240°)

Ejercicios

Resolver las siguientes ecuaciones. Las soluciones para el valor de los ángulos deben

obtenerse en el intervalo −2𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.

a) 𝑡𝑔𝑥 = 1 b) 2𝑠𝑒𝑛𝑥 = √3

c) 3 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 − 4 = 0 d) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +𝜋

4) =

√3

2

e) 3𝑡𝑔2𝑥 − 5𝑡𝑔𝑥 + 2 = 0 f) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 0

g) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =1

2 h) 𝑠𝑒𝑛𝑥 + √3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2

i) (2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1)(1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) = 0 j) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛3𝑥 = 1

k) 3𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 l) sen2 𝑦 + √2 sen 𝑦 − sen 𝑦 − √2 = 0


13. 5. Otras relaciones entre funciones trigonométricas

Existen una serie de propiedades y relaciones muy importantes, que permiten establecer

correspondencia entre diferentes funciones y que son frecuentemente utilizadas en procesos

algebraicos y aplicaciones a diferentes áreas de la física y la ingeniería. A continuación, se

presentan algunas de ellas y en su mayoría se formalizan sin la demostración rigurosa que

requieren.

Funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.

Estas expresiones son las siguientes:

𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 ± 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 (13.15)

𝑐𝑜𝑠(𝛼 ± 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 (13.16)

𝑡𝑔(𝛼 ± 𝛽) =𝑡𝑔𝛼 ± 𝑡𝑔𝛽

1 ∓ 𝑡𝑔𝛼 𝑡𝑔𝛽 (13.17)

Al aplicar la primera expresión para ángulos suplementarios se tiene:

𝑠𝑒𝑛(𝜋 ± 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛𝜋 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± 𝑐𝑜𝑠𝜋 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑠𝑒𝑛(𝜋 ± 𝛼) = ∓𝑠𝑒𝑛𝛼

Si se realiza lo mismo con las otras dos funciones se llega a:

𝑐𝑜𝑠(𝜋 ± 𝛼) = −𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑔(𝜋 ± 𝛼) = ±𝑠𝑒𝑛𝛼

Para el caso de ángulos complementarios se tiene:

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛

𝜋

2 𝑐𝑜𝑠𝛼 ± 𝑐𝑜𝑠

𝜋

2 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑠𝑒𝑛 (𝜋

2− 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼

Al efectuar lo mismo con las otras dos funciones se llega a:

𝑐𝑜𝑠 (𝜋

2− 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛𝛼


𝑡𝑔 (𝜋

2− 𝛼) = 𝑐𝑜𝑡𝛼

Para el caso de ángulos opuestos se puede mostrar que se cumplen las siguientes

relaciones:

𝑠𝑒𝑛(−𝛼) = −𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑡𝑔(−𝛼) = −𝑡𝑔𝛼

Identidades trigonométricas del ángulo doble, triple y medio

Estas identidades pueden ser obtenidas usando las expresiones establecidas para las

funciones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos.

Así por ejemplo, para el caso del ángulo doble:

𝑠𝑒𝑛(2𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± 𝛽) = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 ± 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 (13.18)

De igual forma para 𝑐𝑜𝑠2𝛼, se tiene:

𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛼) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 (13.19)

O también, usando la identidad fundamental se llega a:

𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 2𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 1 o 𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝛼 (13.20)

De la misma manera se puede mostrar que:


𝑡𝑔2𝛼 =2𝑡𝑔𝛼

1 − 𝑡𝑔2𝛼

Para el caso del ángulo triple:

𝑠𝑒𝑛(3𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(2𝛼 + 𝛼) = 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑠𝑒𝑛(3𝛼) = (2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼)𝑐𝑜𝑠𝛼 + (1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝛼)𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑠𝑒𝑛(3𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 2𝑠𝑒𝑛3𝛼

𝑠𝑒𝑛(3𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼 (1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼) + 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 2𝑠𝑒𝑛3𝛼

𝑠𝑒𝑛(3𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛𝛼−2𝑠𝑒𝑛3𝛼 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 2𝑠𝑒𝑛3𝛼

𝑠𝑒𝑛(3𝛼) = 3𝑠𝑒𝑛𝛼−4𝑠𝑒𝑛3𝛼

En el caso de 𝑐𝑜𝑠3𝛼 y 𝑡𝑔3𝛼 se puede comprobar que:

𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 4𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑡𝑔3𝛼 =3𝑡𝑔𝛼 − 𝑡𝑔3𝛼

1 − 3𝑡𝑔2𝛼

Ahora bien, para el caso del ángulo medio:

Sabiendo que: 𝑐𝑜𝑠(2𝛼) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2𝛼 y haciendo que 𝜃 = 2𝛼, se llega a:

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2 (𝜃

2)

Transponiendo términos se tiene que:

2𝑠𝑒𝑛2 (𝜃

2) = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

y despejando se llega a:

𝑠𝑒𝑛 (𝜃

2) = √

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

2 (13.21)

Por un proceso similar se puede llegar a 𝑐𝑜𝑠 (𝜃

2) y obtener:


𝑐𝑜𝑠 (𝜃

2) = √

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃

2 (13.22)

Haciendo que: 𝑡𝑔 (𝜃

2) =

𝑠𝑒𝑛(𝜃

2)

𝑐𝑜𝑠(𝜃

2) , se llega directamente a que:

𝑡𝑔 (𝜃

2) = √

1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃

1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 (13.23)

Conversión de producto de funciones trigonométricas a suma de funciones

trigonométricas y viceversa.

Las siguientes identidades, pueden comprobarse utilizando de nuevo las funciones

trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos, en el lado derecho de las igualdades.

𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 =𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽) − 𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽)

2

𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑐𝑜𝑠(𝛼 + 𝛽) + 𝑐𝑜𝑠(𝛼 − 𝛽)

2

𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 =𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)

2

𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 =𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) − 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)

2

A cualquiera de las expresiones anteriores se les puede hacer su comprobación, sin

embargo por su aplicabilidad en algunas áreas de la física (ondas estacionarias) se deducirá

la tercera identidad.

Desarrollando los dos términos de la derecha se tiene:

𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)

2


𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽

2

2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽

2

𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽

Por lo tanto se comprueba la identidad.

Es obvio que la tercera expresión puede ser reescrita de la siguiente manera:

2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼 − 𝛽)

Si en esta última expresión se hacen las siguientes sustituciones: 𝑥 = 𝛼 + 𝛽 e 𝑦 = 𝛼 − 𝛽 y

a la vez de éste sistema de ecuaciones lineales sencillas se despeja 𝛼 y 𝛽, y se sustituyen en

la ecuación precedente, se tiene:

𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦

2) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑥 − 𝑦

2) (13.24)

La ecuación anterior muestra cómo se puede pasar de la suma de las dos funciones seno

para distintos ángulos, al producto de otras dos funciones que contienen los dos mismos

ángulos.

Así se puede hacer con las otras propiedades mencionadas más arriba y las cuales pueden

ser comprobadas por procedimientos similares.

Como se ha visto hasta ahora, existen un sin número de identidades, muchas de las cuales

van siendo obtenidas con otras que previamente han sido demostradas. Eso hace ver, que se

podrían construir muchas más. Sin embargo, si se desean aplicar u obtener muchas otras, es

necesario un trabajo académico serio y consecuente para ampliar otras propiedades y reglas

entre funciones trigonométricas, que se pueden escapar del alcance del presente texto.


Ejercicios

1. Pruebe las siguientes identidades.

a) 𝑡𝑔𝜃 𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 b) 𝑠𝑒𝑛2𝜃

1+𝑐𝑜𝑠2𝜃= 𝑡𝑔𝜃

c) 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 4𝑐𝑜𝑠3𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠𝛼 d) 𝑐𝑜𝑠2𝑥

1−𝑠𝑒𝑛2𝑥=1+𝑡𝑔𝑥

1−𝑡𝑔𝑥

e) 𝑡𝑔3𝛼 =3𝑡𝑔𝛼−𝑡𝑔3𝛼

1−3𝑡𝑔2𝛼 f) 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 =

𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝛽)−𝑐𝑜𝑠(𝛼+𝛽)

2

2. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas

a) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

3) b) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥

c) 4𝑠𝑒𝑛 (𝑥

2) d) 4𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −

𝜋

6) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −

𝜋

6) = √3

e) 𝑡𝑔𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 f) 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛3𝑥

3. Utilizando las fórmulas trigonométricas para el ángulo medio, doble, de la suma o

diferencia de los ángulos, complete la siguiente tabla (No usar ayudas tecnológicas).

𝛼 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 𝑡𝑔(𝛼)

(𝜋

6+𝜋

4)

(𝜋

12)

(𝜋

8−𝜋

3)

4. Aplicación a la física: El desplazamiento 𝑦 de las partículas de una cuerda por la que

viaja una onda armónica hacia la derecha viene dada por la expresión:

𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

Y si viaja a la izquierda viene dada por:

𝑦 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

En donde A es la amplitud de la señal, k es el número de onda, ω es su frecuencia angular y

x es la posición en el espacio de la partícula de la cuerda en un tiempo t. La superposición

(suma) de dos ondas que viajan en sentido contrario y que tienen iguales su amplitud A, su

frecuencia angular y su número de onda k, generan en la cuerda ondas estacionarias.


Valiéndose de la identidad de 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 compruebe que el desplazamiento resultante

𝑦𝑅 de las partículas de la cuerda cuando se generan ondas estacionarias viene dada por:

𝑦𝑅 = 2𝐴𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑥)cos (𝜔𝑡)

13. 6. Resolución de triángulos

Una de las aplicaciones directas de la trigonometría (partiendo de su definición) es el

cálculo de los parámetros que conforman los triángulos, como lo son sus lados y sus

ángulos. En esa medida, los triángulos solo se dividen en rectángulos y oblicuángulos

(acutángulos y obtusángulos) y para resolverlos se requiere de algunas expresiones y

técnicas algebraicas, al igual que del uso de las funciones trigonométricas.

Triángulos rectángulos

Estos triángulos se resuelven usando el teorema de Pitágoras y las definiciones de las

funciones trigonométricas. Estos ya han sido trabajados en gran parte de este capítulo, por

eso acá solo se darán unos pocos ejemplos.

Ejemplo 13.15

¿Cuál es el ángulo de elevación de un plano inclinado (por ejemplo una tabla) si se eleva

0,5 m y la longitud de la tabla es de 2 m?.

Solución

Sean: (ver figura adjunta)

h: Valor que se eleva el plano de la

horizontal

l: Longitud del plano

𝜃: Ángulo de elevación

Aplicando la definición de la función seno para el ángulo 𝜃, se tiene:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =ℎ

𝑙 → 𝑠𝑒𝑛𝜃 =

0,5m

2m → 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,25 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,25) → 𝜃 = 14,5°


Por tanto, el ángulo de elevación del plano inclinado es 𝜃 = 14,5°

Ejemplo 13.16

¿Qué ángulo forma la diagonal de un cubo con la diagonal de una cara del mismo cubo,

cuando ambas son trazadas desde el mismo vértice?.

Solución

Sean: (ver figura adyacente)

d2: Diagonal principal del cubo

d1: Diagonal de una cara del cubo

l: Lado del cubo

A: Vértice común de las diagonales d1 y d2

∡𝐵𝐴𝐶 = 𝜃: Ángulo entre las diagonales d1 y d2.

La diagonal de la cara del cubo, es la diagonal de un cuadrado, es decir: 𝑑1 = 𝑙√2

La diagonal del cubo es: 𝑑2 = √𝑙2+𝑑12 = √𝑙2 + 2𝑙2 = √3𝑙2 = 𝑙√3 → 𝑑2 = 𝑙√3

Para calcular el ángulo 𝜃 se usa la función coseno, así:

𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑑1𝑑2= 𝑙√2

𝑙√3=√2

√3= 0,816 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(0,816) → 𝜃 = 35,26°

Nótese que independiente del valor del lado del cubo el ángulo entre las diagonales d1 y d2

siempre será 𝜃 = 35,26°.

Triángulos oblicuángulos

Como ya se dijo los triángulos que no sean rectángulos se llaman oblicuángulos y la

resolución de ellos se obtiene aplicando el teorema del seno y el teorema del coseno, los

cuales se verán a continuación.


Teorema del seno

“Los lados de un triángulo son proporcionales

a los senos de los ángulos opuestos”.

En la figura, se cumple que:

𝑎

𝑠𝑒𝑛𝛼=

𝑏

𝑠𝑒𝑛𝛽=

𝑐

𝑠𝑒𝑛𝜃

También se puede enunciar de la siguiente

manera: “En todo triángulo la relación de un

lado entre el valor del seno del ángulo opuesto

se mantiene constante”.

El teorema tiene una importancia alta en la determinación de las características y medida

geométricas de las figuras planas o cuerpos sólidos que contengan triángulos en su

estructura. De la misma manera, se debe resaltar la importancia que tiene el teorema del

coseno. En muchas áreas de la física y de las ciencias naturales y su aplicación en la

ingeniería, es muy notable la utilización de dichos teoremas.

Teorema del coseno

“El cuadrado de un lado de un triángulo es

igual a la suma de los cuadrados de los otros

dos lados, menso el doble producto de dichos

lados, por el coseno del ángulo que forman”.

En la figura, se cumple que:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝛽

Ejemplo 13.17

En la figura mostrada calcular los valores de los datos desconocidos.


Solución

El valor del ángulo 𝜃 es 40°, puesto que la

suma de ángulos interiores debe ser de

180º.

Aplicando el teorema del seno se tiene que:

𝑏

𝑠𝑒𝑛 30°=

8

𝑠𝑒𝑛 40° → 𝑏 =

8𝑠𝑒𝑛30°

𝑠𝑒𝑛40° → 𝑏 = 6,22 m

𝑐

𝑠𝑒𝑛 110°=

8

𝑠𝑒𝑛 40° → 𝑐 =

8𝑠𝑒𝑛110°

𝑠𝑒𝑛40° → 𝑐 = 11,69 m

Teniendo el valor de b (6,22 m) también se puede calcular el valor de c usando el teorema

del coseno y asumiendo que 𝑎 = 8 m como sigue:

𝑐 = √(8)2 + (6,22)2 − 2(8)(6,22)𝑐𝑜𝑠110° → 𝑐 = √64 + 38,69 + 34,04

𝑐 = √136,73 → 𝑐 = 11,69 m

Ejemplo 13.18

Aplicación a la física, suma de vectores por el método del paralelogramo

Dos fuerzas cuyas magnitudes son 180 N y 320 N, respectivamente, actúan sobre un cuerpo

formando entre sí un ángulo de 72º. Hallar la magnitud y dirección de la fuerza resultante.

Solución

Para resolver la pregunta, se aplica el

principio físico de suma de vectores y se usa

el método del paralelogramo. Considérese

que una de las fuerzas tiene magnitud

𝐹1 = 280 𝑁 y la segunda una magnitud

𝐹2 = 320 𝑁. La magnitud de la resultante

de las dos fuerzas está representada por 𝐹.

El diagrama de la suma de las fuerzas se

muestra en la figura.

b

c

8 m

q

q


Para hallar la magnitud F de la fuerza resultante, se aplica el teorema del coseno. Hay que

precisar que el ángulo entre los vectores es de 72°, pero el ángulo entre los lados del

triángulo es de 108°, el cual es el que se va a utilizar para el cálculo. (No olvidar que la

suma de ángulos interiores de un paralelogramo es de 360°). Por tanto,

𝐹 = √𝐹12 + 𝐹2

2 − 2𝐹1𝐹2𝑐𝑜𝑠𝛼

Siendo 𝛼 = 108°. Sustituyendo los valores respectivos se obtiene:

𝐹 = √(280)2 + (320)2 − 2(280)(320)𝑐𝑜𝑠108°

𝐹 = √78400 + 102400 + 55376

𝐹 = √236176

𝐹 = 486 N

Por lo tanto la magnitud de la fuerza resultante es 𝐹 = 486 N.

Para hallar la dirección utilizamos el teorema del seno. En la figura se puede observar que:

𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝐹2=𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐹

Despejando se tiene que:

𝑠𝑒𝑛 𝜃 =𝐹2𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐹 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (

𝐹2𝑠𝑒𝑛 𝛼

𝐹)

Sustituyendo valores,

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (320 𝑠𝑒𝑛 108

486) → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(0,63) → 𝜃 = 39°

Por lo tanto la dirección es de 𝜃 = 39° con el eje positivo de las x o también N51°E.

Ejemplo 13.19

La base de un triángulo isósceles es de 20 m y su área total es de 100

3√3 m2. a) ¿Qué valor

tienen sus ángulos? y b) ¿cuál es el valor de uno de los lados iguales?.


Solución

Suponga que el triángulo ∆ABC mostrado

en la figura es isósceles, que b (20 m) es la

longitud de la base, h su altura y l la

longitud de los otros dos lados.

El área del triángulo viene dada por la expresión: 𝐴 =𝑏ℎ

2, de donde se sabe que el único

valor que no se conoce en dicha expresión es la altura, por tanto despejando h y

sustituyendo valores, se tiene:

ℎ =2𝐴

𝑏 → ℎ =

2(100√33 𝑚2)

20 𝑚 → ℎ =

10√3

3m

Aplicando la definición de la función tangente para el ángulo 𝜃 en la figura, y sustituyendo

valores, se tiene:

𝑡𝑔𝜃 =ℎ

𝑏2

→ 𝑡𝑔𝜃 =

10√33 m

10 m → 𝑡𝑔𝜃 =

√3

3 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (

√3

3) → 𝜃 = 30°

Por ser el triángulo ∆ABC isósceles, entonces los ángulos internos son 30°, 30° y 120°

El valor del lado l se puede calcular por Pitágoras o usando las funciones seno o coseno,

por el hecho que el triángulo ∆CDB es rectángulo, o sea que:

𝑠𝑒𝑛𝜃 =ℎ

𝑙 → 𝑙 =

ℎ

𝑠𝑒𝑛𝜃 → 𝑙 =

10√33 m

12

→ 𝑙 =20√3

3m

Obsérvese que para resolver las preguntas planteadas no se utilizaron los teoremas de seno

o coseno. Esto se debe, a que dichas expresiones son obtenidas de procesos algebraicos y

del uso de las funciones trigonométricas. Esto sugiere, que el problema se puede abordar

desde diferentes procesos geométricos y matemáticos, pero los resultados serán

equivalentes.


Ejercicios

1. Determina el valor de 𝑥 en los siguientes triángulos:

a) b)

c) d)

2. ¿Cuáles son los ángulos de un triángulo rectángulo si la diferencia de los cuadrados de

los catetos es igual al doble de su producto?.

3. Un observador mira hacia delante, y detecta un árbol cuya parte más alta tiene un ángulo

de elevación de 35°, y que se encuentra a 8 m de distancia él. Si ahora, mira hacia atrás,

observa un poste cuya parte más alta tiene un ángulo de elevación de 55°, y se encuentra a

3 m de distancia de él. Determina la distancia entra las partes más altas de ambos objetos.

(No tenga en cuenta la altura del observador)

4. El ángulo de elevación desde el cual se divisa (punto A) el tope de un edificio es de 40°.

Desde ese mismo punto, el ángulo de elevación hasta el tope de una antena que esta puesta

sobre el edificio es de 50°. Si la distancia desde el punto A hasta el tope de la antena es de

85 m,

a) ¿Cuánto mide la antena?

b) ¿Cuál es la altura del edificio?

c) ¿Cuál es la distancia desde A, a la base del edificio?

Realice todos los cálculos con medidas aproximadas al metro


5. Aplicación a la física 1: Vector desplazamiento. Una persona camina de tal manera que

su desplazamiento inicial es de 200 m en una dirección N60°O. Luego realiza un segundo

desplazamiento de magnitud 150 m en una dirección S20°E. ¿Cuál es la magnitud y

dirección del desplazamiento resultante?. Asuma como origen del sistema de coordenadas

para dibujar los desplazamientos, el sitio inicial donde empezó a caminar la persona.

6. Aplicación Física 2: Vector Fuerza: Sobre un objeto se aplican de manera simultánea

dos fuerzas cuyas magnitudes son 450 N y 340 N. Si la fuerza resultante ha de tener una

magnitud de 230 N. a) ¿Cuál debe ser el valor del ángulo que forman las dos fuerzas

aplicadas? y b) ¿Qué dirección tiene la fuerza resultante?.

7. Ejercicio de desafío. Mostrar que el área de un cuadrilátero es igual a la mitad del

producto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.


Apéndice A1 Alfabeto Griego

alfa nu

beta xi

gamma ómicron

delta pi

épsilon rho

zeta sigma

eta tau

q theta ipsilon

iota fi

kappa chi

lambda psi

mu omega


Apéndice A2 Factores de Conversión de Unidades

Ángulo plano

º ' " radián rev

1 grado 1 60 3600 1,745x10-2

2,778x10-3

1 minuto 1,667x10-2

1 60 2,909x10-4

4,630x10-5

1 segundo 2,778x10-4

1,667x10-2

1 4,848x10-6

7,716x10-7

1 radián 57,3 3438 2,063x105 1 0,1592

1 revolución 360 2,16x104 1,296x10

6 6,283 1

Ángulo sólido 1 esfera = 4p estereorradianes = 12,57 estereorradianes

Longitud

cm metro km in ft mi

1 centímetro 1 10-2

10-5

0,3937 3,281x10-2

6,214x10-6

1 metro 100 1 10-3

39,37 3,281 6,214x10-4

1 kilómetro 105 1000 1 3,937x10

4 3281 0,6214

1 pulgada (in) 2,540 2,540x10-2

2,540x10-5

1 8,333x10-2

1,578x10-5

1 pie (ft) 30,48 0,3048 3,048x10-4

12 1 1,894x10-4

1 milla (mi) 1,609x105 1609 1,609 6,336x10

4 5280 1

Existen algunas unidades de longitud no relacionadas en la tabla anterior pero que son muy

utilizadas en medidas astronómicas, cuya definición y equivalencia en metros se muestra a

continuación,

Unidad Astronómica (1 UA = 1,496x1011

m), es la distancia media entre la tierra y el sol y

es usada para medidas en el sistema solar, p,ej, Mercurio está a 0,387 UA,

Parsec (3,09x1016

m), es la distancia desde la cual el radio medio de la tierra subtiende un

ángulo de 1” (1 segundo de arco),

Año luz (9,46x1015

m), es la distancia que recorre la luz durante un año, en el vacío


Área

metro2 cm

2 ft

2 in

2

1 metro cuadrado 1 104 10,76 1550

1 centímetro cuadrado 10-4

1 1,076x10-3

0,1550

1 pie cuadrado 9,290x10-2

929,0 1 144

1 pulgada cuadrada 6,452x10-4

6,452 6,994x10-3

1

Volumen

m3 cm

3 L ft

3 in

3

1 metro cúbico 1 106 1000 35,31 6,102x10

4

1 centímetro cúbico 10-6

1 1,000x10-3

3,351x10-5

6,102x10-2

1 litro 1,000x10-3

1000 1 3,351x10-2

61,02

1 pie cúbico 2,832x10-2

2,832x10-4

28,32 1 1728

1 pulgada cúbica 1,639x10-5

16,39 1,639x10-2

5,787x10-4

1

Masa

g kilogramo slug u oz lb ton

1 gramo 1 0,001 6,852x10-5

6,022x1023

3,527x10-2

2,205x10-3

1,102x10-6

1 kilogramo 1000 1 6,852x10-2

6,022x1026

35,27 2,205 1,1022x10-3

1 slug 1,459x104 14,59 1 8,786x10

27 514,8 32,07 1,609x10

-2

1 u 1,661x10-24

1,661x10-27

1,138x10-28

1 5,857x10-26

3,662x10-27

1,830x10-30

1 onza 28,35 2,835x10-2

1,943x10-3

1,718x1025

1 6,250x10-2

3,125x10-5

1 libra 453,6 0,4536 3,108x10-2

2,732x1026

16 1 0,0005

1 ton 9,072x105 907,2 62,16 5,463x10

29 3,2x10

4 2000 1

Nota: Las cantidades sombreadas no son unidades de masa pero a menudo se usan como tales, Por ejemplo,

cuando se escribe 1 kg=2,205lb significa que un kilogramo es la masa de un objeto que pesa 2,205 libras en

condiciones de gravedad estándar (g=9,80665m/s2),

Densidad

slug/ft3 kilogramo/metro

3 g/cm

3

1slug por pie cúbico 1 515,4 0,5154

1 kilogramo por metro cúbico 1,940x10-3

1 0,001

1 gramo por centímetro cúbico 1,940 1000 1


Tiempo

año día h min segundo

1 año 1 365,25 8,766x103 5,259x10

5 3,156x10

7

1 día 2,738x10-3

1 24 1440 8,640x104

1 hora 1,141x10-4

4,167x10-2

1 60 3600

1 minuto 1,901x10-6

6,944x10-4

1,667x10-2

1 60

1 segundo 3,169x10-8

1,157x10-5

2,778x10-4

1,667x10-2

1

Velocidad

ft/s km/s m/s mi/h cm/s

1 pie por segundo 1 1,097 0,3048 0,6818 30,48

1 kilómetro por hora 0,9113 1 0,2778 0,6214 27,78

1 metro por segundo 3,821 3,6 1 2,237 100

1 milla por hora 1,467 1,609 0,447 1 44,70

1 centímetro por segundo 3,281x10-2

3,6x10-2

0,01 2,237x10-2

1

1 nudo =1milla náutica por hora=1,668ft/s = 14mi/min=60mi/h

Fuerza

dina newton lb gf kgf

1 dina 1 10-5

2,248x10-6

1,020x10-3

1,020x10-6

1 newton 105 1 0,2248 102,0 0,1020

1 libra 4,448x105 4,448 1 453,6 0,4536

1 gramo fuerza 980,7 9,807x10-3

2,205x10-3

1

1 kilogramo fuerza 9,807x105 9,807 2,205 1000 0,001

Nota: Las cantidades sombreadas no son unidades de fuerza pero a menudo se utilizan como tales, Por

ejemplo, si escribimos 1 kilogramo fuerza, se quiere decir que un kilogramo masa experimenta una fuerza de

9,807 newton en condiciones de gravedad estándar,


Energía, trabajo y calor

erg lb,ft joule cal kWh eV

1 ergio 1 7,376x10-8

10-7

2,389x10-8

2,778x10-14

6,242x1011

1 libra pie 1,356x107 1 1,356 0,3238 3,766x10

-7 8,464x10

18

1 joule 107 0,7376 1 0,2389 2,778x10

-7 6,242x10

18

1caloría 4,186x107 3,088 4,186 1 1,163x10

-6 2,613x10

19

1 kilovatio hora 3,6x1013

2,655x106 3,6x10

6 8,6x10

5 1 2,247x10

25

1 electrón volt 1,602x10-12

1,182x10-19

1,602x10-19

3,827x10-20

4,450x10-26

1

Presión

atm dina/cm2 cm Hg pascal lb/pulg

2

1 atmósfera 1 1,013x106 76 1,013x10

5 14,7

1 dina por cm2 9,869x10

7 1 7,501x10

-5 0,1 1,405x10

-5

1 cm Hg a 0ºC 1,316x10-2

1,333x104 1 13333 0,1934

1 pascal 9,869x10-6

10 7,501x10-4

1 1,450x10-4

1 libra por pulg2 6,805x10

-2 6,985x10

4 5,171 6,985x10

3 1

1bar=106dinas/cm

2=0,1MPa 1torr = 1mmHg

Potencia

lb ft/s hp cal/s W

1 libra pie por segundo 1 1,818x10-3

0,3239 1,356

1 caballo de fuerza 550 1 178,1 745,7

1 caloría por segundo 3,088 5,615x10-3

1 4,186

1 watt 0,7376 1,341x10-3

0,2389 1

Flujo magnético

maxwell weber

1 maxwell 1 10-8

1 weber 108 1

Campo magnético

gauss tesla miligauss

1 gauss 1 10-4

1000

1 tesla 104 1 10

7

1 miligauss 0,001 10-7

1


Apéndice A3 Constantes Físicas Fundamentales

Rapidez de la luz c ≈3,00 x 108 m/s

Constante de permeabilidad magnética en el

vacío μo 4π x 10

-7 H/m

Constante de permitividad eléctrica en el vacío εo 8,85 x 10-12

F/m

Carga elemental e 1,6021 x 10-19

C

Número de Avogadro NA 6,022 x 1023

mol-1

Masa electrón en reposo me 9,1091 x 10-31

kg

Masa del protón en reposo mp 1,6725 x 10-27

kg

Masa del neutrón en reposo mn 1,6748 x 10-27

kg

Constante de Faraday F 9,6496 x 104 C/eq-gramo

Constante de Planck h 6,63 x 10-34

J·s

Constante de estructura fina α 7,30 x 10-3

Relación entre carga y masa del electrón e/me 1,76 x 1011

C/kg

Relación del quantum a la carga h/e 4,14 x 10-15

J·s/C

Longitud de onda del electrón de Compton λc 2,43 x 10-12

m

Longitud de onda del protón de Compton λcp 1,32 x 10-15

m

Constante de Rydberg Roo 1,10 x 107 m

-1

Radio de Bohr ao 5,29 x 10-11

m

Magnetón de Bohr μB 9,27 x 10-24

J/T

Magnetón nuclear μN 5,05 x 10-27

J/T

Momento magnético del protón μP 1,41 x 10-26

J/T

Constante universal de los gases R 8,31 J/(K·mol)

Volumen normal del gas ideal Vo 22,41x 10-3

m3/mol

Constante de Boltzmann k 1,38 x 10-23

J/K

Constante de desplazamiento de Wien b 2,90 x 10-3

m·K

Constante de Stefan-Boltzmann σ 5,67 x 10-8

W/(m2·K

4)

Constante de gravitación G 6,67 x 10-11

N·m2/kg

2

Primera constante de radiación 2πhc2 3,74 x 10

-16 W/m

2

Segunda constante de radiación hc/k 1,44 x 10-2

m·K


Apéndice A4 Coeficientes de rozamiento

Coeficientes de fricción por deslizamiento 7

Superficies en contacto µk

Acero sobre acero 0,18

Acero sobre hielo (patines) 0,02-0,03

Acero sobre hierro 0,19

Hielo sobre hielo 0,028

Patines de madera sobre hielo y nieve 0,035

Goma (neumático) sobre terreno firme 0,4-0,6

Correa de cuero (seca) sobre metal 0,56

Bronce sobre bronce 0,2

Bronce sobre acero 0,18

Roble sobre roble en la dirección de la fibra 0,48

Coeficientes de fricción estático y cinético8

Superficies en contacto µs µk

Cobre sobre acero 0,53 0,36

Acero sobre acero 0,74 0,57

Aluminio sobre acero 0,61 0,47

Caucho sobre concreto 1,0 0,8

Madera sobre madera 0,25-0,5 0,2

Madera encerada sobre nieve húmeda 0,14 0,1

Teflón sobre teflón 0,04 0,04

Articulaciones sinoviales en humanos 0,01 0,003

7 Tomado de: Koshkin N, I,, Shirkévich M, G,, Manual de Física Elemental, Editorial Mir 1975, 8 Tomado de: Serway R, A,, Física para Ciencias e Ingeniería, Editorial McGraw-Hill, 7ª, Edición, 2008


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