fisica ii (carga eléctrica - capacitancia)

7/25/2019 Fisica II (Carga eléctrica - Capacitancia)

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Física II UTN – Facultad Regional Santa Fe

LA CARGA ELÉCTRICA Y LA LEY DE COULOMB

LA CARGA ELECTRICACuando decimos que un cuerpo est cargado! queremos decir que tiene un des"alance de carga! auncuando la carga neta represente generalmente tan s#lo una peque$ísima %racci#n de la carga positi&a

o total contenida en el cuerpo'(ecimos que e)isten dos clases de carga! una de las cuales llamamos positi&a * la otra llamamosnegati&a! conclu*endo que las cargas del mismo signo se repelen! * las cargas del signo contrario seatraen'

C+N(UCT+RES , AISLANTESLas cargas pueden %luir %cilmente por ciertos materiales! llamados conductores' En otrosmateriales! llamados aislantes! las cargas no %lu*en en la ma*oría de los casos'En los metales! un e)perimento llamado e%ecto -all! demuestra que las cargas negati&as.electrones/ son las que pueden mo&erse li"remente' Cuando los tomos de co"re se unen para%ormar el co"re s#lido! sus electrones e)teriores no permanecen unidos a cada tomo! sino que

quedan en li"ertad de mo&erse dentro de la estructura reticular rígida %ormada por los centros de losiones cargados positi&amente' A estos electrones m#&iles se les llama electrones de conducci#n' Lascargas positi&as en una &arilla de co"re permanecen tan inm#&iles como lo estn en una &arilla de&idrio'En un punto intermedio entre los conductores * los aislantes estn los semiconductores como elsilicio o el germanio' Una de las propiedades de los semiconductores que lo 0ace tan 1tiles es que ladensidad de los electrones de conducci#n puede cam"iarse pronunciadamente mediante cam"ios

peque$os en las condiciones del material'

LA LE, (E C+UL+23C0arles Augustin Coulom" .4567 8 49:7/ midi# cuantitati&amente la atracci#n * repulsi#nel;ctricas * dedu<o la le* que las go"ierna' Su aparato! mostrado en la %ig' =! presente dos peque$ases%eras! a * b! a las cuales se les asocia cierta carga el;ctrica'Si a * b se carga! la %uer>a el;ctrica so"re a tiende a retorcer la %i"ra de suspensi#n! Coulom"cancel# este e%ecto de torsi#n al girar la ca"e>a de la suspensi#n en un ngulo θ necesario paramantener a las do cargas con determinada separaci#n' El ngulo θ es entonces una medida relati&ade la %uer>a el;ctrica que act1a so"re la carga a' El aparato de la %ig' = es una "alan>a de torsi#n'Los e)perimentos reali>ados por Coulom" * sus contemporneos demostraron que la %uer>ael;ctrica que un cuerpo cargado e<erce so"re otro depende directamente del producto de lasmagnitudes de las dos cargas e in&ersamente del cuadrado de su separaci#n' Esto es?

@

@4

r

qq F α

Aquí F es la magnitud de la %uer>a mutua que act1a so"re cada una de las dos cargas a * b 4q *

@q son las medidas relati&as de las cargas en las es%eras a * b! * r es la distancia entre sus centros'La %uer>a en cada carga de"ida a la otra act1a a lo largo de la línea que une a las cargas' Las dos%uer>as apuntan en sentidos opuestos pero tienen magnitudes iguales! aun cuando las cargas seandi%erentes'

-einlein! 2a)imiliano Germn 4




%ig' =Bara con&ertir la proporcionalidad anterior en una ecuaci#n! introdu>camos una constante de

proporcionalidad! la cual representaremos por a0ora como k. Así! o"tenemos! para la %uer>a entrelas cargas!

@

@4

r

qqk F = .4/

La ecuaci#n 4! que se llama le* de Coulom"! generalmente se cumple s#lo para o"<etos cargadoscu*as dimensiones sean muc0o menores que la distancia entre ellos' A menudo decimos que secumple s#lo para cargas puntuales'La unidad de carga en el SI es el coulom" .C/! el cual se de%ine como la cantidad de carga que %lu*een 4 segundo cuando e)iste una corriente constante de 4 ampere' Esto es!

dq = i dt !en donde dq .en coulom"s/ es la carga trans%erida por una corriente i .en amperes/ durante elinter&alo de tiempo dt .en segundos/'En el SI! la constante k se e)presa en la %orma siguiente?

:=

4

πε =k .6/

La constante :ε ! llamada constante de permitividad ! tiene un &alor de?

@

@4@

: '4:'9C!9

m N

C −

=ε

Entonces la constante k tiene un &alor de?

[ ]@

@D

:

'4:'DD!9=

4

C m N k ==

πε

Cuando k tiene el &alor de arri"a! al e)presar a q en coulom"s * a r en metros! la %uer>a estar en Newtons'

-einlein! 2a)imiliano Germn @




La ley de coulomb: forma vectoralLa %uer>a! por ser un &ector! tiene tam"i;n propiedades direccionales' En el caso de la le* deCoulom"! la direcci#n de la %uer>a queda determinada dependiendo del signo relati&o de las doscargas el;ctricas'

Como se ilustra en la %igura ! supongamos que tenemos dos cargas puntuales 4q * @q separadas por una distancia 4@

r ' Bor el momento! supongamos que las dos cargas tienen el mismo signo! demodo que se repelen entre sí' Consideremos la %uer>a so"re la partícula 4 e<ercida por la partícula @!lo que escri"imos en nuestra %orma usual como 4@

F ' El &ector de posici#n que u"ica a la partícula4 en relaci#n con la partícula @ es 4@

r esto es! si de%ini;ramos el origen de nuestro sistema decoordenadas en la u"icaci#n de la partícula @! entonces 4@

r sería el &ector de posici#n de la partícula 4'Si las dos cargas tienen el mismo signo! entonces la %uer>a es de repulsión *! como se muestra en la%ig' a! 4@

F de"e ser paralelo a 4@r ' Si las cargas tienen signos opuestos! como en la %ig' b!

entonces la %uer>a 4@ F es de atracción * antiparalela a 4@

r ' En cualquier caso! podemos

representar a la %uer>a como?

4@@

4@

@4

:

4@ E

=

4r

r

qq F

πε

=./

Fig'

Aquí 4@r representa la magnitud del &ector 4@

r ! *

4@Er indica al &ector unitario en la direcci#n de

4@r

' Es decir!

4@

4@4@E

r

r r =

La %orma &ectorial de la le* de Coulom" es 1til porque conlle&a la in%ormaci#n direccional acercade ! * de si la %uer>a es de atracci#n o de repulsi#n' El uso de la %orma &ectorial es de gran utilidadcuando consideramos que las %uer>as act1an so"re un con<unto de ms de dos cargas' En este caso!la ecuaci#n se cumpliría para cada par de cargas! * la %uer>a total de cada carga se determinaría alsumar &ectorialmente las %uer>as de"idas a cada una de las otras cargas' Bor e<emplo! la %uer>aso"re la partícula 4 en un con<unto sería?

''''4=464@4 +++= F F F F ! .9/en donde 4@

F es la %uer>a so"re la partícula 4 pro&ocada por la partícula @! * así sucesi&amente' Laecuaci#n 9 es la representaci#n matemtica del principio de superposición aplicado a %uer>asel;ctricas' Este principio nos permite calcular la %uer>a de"ida a cualquier par de cargas como si lasotras cargas no estu&ieran presentes'Este principio en muc0as situaciones no se cumple! en particular en el caso de %uer>as el;ctricasmu* intensas'





LA CARGA SE C+NSERACuando se %rota una &arilla de &idrio con seda! aparece en aqu;lla una carga positi&a' La medici#nnos muestra que en la seda aparece una consiguiente carga negati&a' Esto indica que la acci#n de%rotar no crea carga! sino que s#lo la trans%iere de un o"<eto a otro! alternando ligeramente laneutralidad el;ctrica de cada uno'

-einlein! 2a)imiliano Germn =




EL CAM"O ELÉCTRICO

CA2B+SE<emplos de campos escalares? La temperatura T * la presi#n p' Si la temperatura * la presi#n no&arían con el tiempo! son tam"i;n campos estticos de otro modo serían campos &aria"les con el

tiempo'E<emplos de campos &ectoriales? La &elocidad de %lu<o en un %luido puede representarse por uncampo de %lu<o! el cual es un e<emplo de campo &ectorial' Asociada con cada punto del %luido estuna cantidad &ectorial! la &elocidad v con la que %lu*e el %luido al pasar por ese punto' Si la&elocidad del %lu<o permanece constante en el tiempo! este campo &ectorial puede tam"i;ndescri"irse como un campo esttico' N#tese que! aun cuando el %luido est %lu*endo! el campo esesttico si los &alores en un punto no cam"ian con el tiempo'El campo gra&itatorio es tam"i;n un campo &ectorial *! adems! es usualmente esttico cuando ladistri"uci#n de la masa del cuerpo gra&itatorio! que es la %uente del campo! permanece constante'

EL CA2B+ ELCTRIC+ E

En analogía con la ecuaci#n para el campo gra&itatorio! de%inimos al campo el;ctrico E asociadocon un cierto con<unto de cargas en t;rminos de la %uer>a e<ercida so"re una carga de prue"a

positi&a :q en un punto en particular! o "ien?

:q

F E

= .@/

La direcci#n del &ector E es la misma que la direcci#n de !! porque :q es un escalar positi&o'(imensionalmente! el campo el;ctrico es la %uer>a por unidad de carga! * su unidad en el SI es elneHtoncoulom" .NC/'La %igura 4 ilustra el campo el;ctrico que act1a como intermediario en la interacci#n entre doscargas' En al %igura 4a! la carga 4q esta"lece un campo el;ctrico en el espacio que la rodea!

sugerido por un som"reado en la %igura' El campo act1a entonces so"re la carga @q ! dando porresultado la %uer>a @

F ' A partir de la perspecti&a de 4q ! como se muestra en la %igura 4b!

podríamos tam"i;n ase&erar que @q esta"lece un campo el;ctrico * que la %uer>a 4

F so"re 4q esel resultado de su interacci#n con el campo de @

q ' Las %uer>as son! por supuesto! iguales *opuestas . @4 F F −= /! aun cuando los dos campos el;ctricos de"an ser mu* di%erentes si las cargasson di%erentes'

%ig' 4

-einlein! 2a)imiliano Germn




EL CA2B+ ELCTRIC+ (E LAS CARGAS BUNTUALESSea que una carga de prue"a positi&a :q est; situada a una distancia r de una carga puntual q' Lamagnitud de la %uer>a que act1a so"re :q est dada por la le* de Coulom"!

@

:

:

=

4

r

qq F

πε

= '

La magnitud del campo el;ctrico en el lugar de la carga de prue"a es! seg1n la ecuaci#n @!

@

:: =

4

r

q

q

F E

πε ==

' .=/

La direcci#n de E es la misma que la direcci#n de !! a lo largo de una línea radial que parte de q!apuntando 0acia a%uera si q es positi&a * 0acia adentro si q es negati&a' La %igura @ muestra lamagnitud * la direcci#n del campo el;ctrico E en &arios puntos cercanos de una carga positi&a

puntual'

Fig' @

Bara 0allar E para un grupo de N cargas puntuales! el procedimiento es el siguiente?

4/ Calcule i E de"ido a cada carga i en el punto dado

como si ;sta %uera la 1nica carga presente'@/ Sume &ectorialmente estos campos calculados por

separado para 0allar el campo resultante E en el punto' En %orma de ecuaci#n!

∑=++++= ii E E E E E E '''6@4 ./La suma es una suma vectorial ! considerando todas las cargas' La ecuaci#n es un e<emplo de laaplicaci#n del principio de superposici#n! el cual a%irma! en este conte)to! que en un punto dado loscampos el;ctricos de"idos a distri"uciones de carga separadas simplemente se suman.&ectorialmente/ o se superponen de manera independiente'

El d#olo el$ctrcoLa %igura = muestra una carga positi&a * una carga negati&a de igual magnitud q situada a unadistancia d ! una con%iguraci#n llamada dipolo eléctrico' Jueremos calcular el campo el;ctrico E enun punto P ! a una distancia a lo largo de la "isectri> perpendicular de la línea que une a las cargas'Las cargas positi&a * negati&a esta"lecen los campos el;ctricos + E * − E ! respecti&amente' Lasmagnitudes de estos dos campos en P son iguales! porque P equidista de las cargas positi&a *negati&a' La %igura = muestra tam"i;n las direcciones de + E * − E ! determinadas por lasdirecciones de la %uer>a de"ida a cada carga por separado que actuaría so"re una carga de prue"a

positi&a en P ' El campo el;ctrico total en P se determina! de acuerdo con la ecuaci#n ! por la sumade los &ectores

−+ += E E E '

Fig' =





Bartiendo de la ecuaci#n =! las magnitudes de los campos de cada carga estn dadas por

@@

:

@

: /@I.=

4

=

4

d

q

r

q E E

+=≈= −+

πε πε .7/

A causa de que los campos + E * − E tienen magnitudes iguales * se encuentran en ngulos igualesθ con respecto a la direcci#n ! como se muestra! la componente del campo total es

:=− −+ θ θ sen E sen E ' El campo total E tiene por lo tanto una componente ! 1nicamente! demagnitud

θ θ θ cos@coscos +−+ =−= E E E E ' .5/(e la %igura &emos que el ngulo θ se determina de acuerdo con

@@ /@I.

@Icos

d

d

+=θ '

Al sustituir este resultado * la ecuaci#n 7 en la ecuaci#n 5! o"tenemos

@@@@: /@I.

@I

/@I.=

4/@.

d

d

d

q E

++=

πε

o sea

[ ] @I6@@: /@I.=

4/@.

d

qd E

+=

πε ' .9/

La ecuaci#n 9 da la magnitud del campo el;ctrico P de"ido al dipolo'El campo es proporcional al producto qd ! que comprende las magnitudes de las cargas del dipolo *su separaci#n' Esta esencial propiedad com"inada de un dipolo el;ctrico se llama momento dipolar

eléctrico p! de%inido por qd p = ' .D/

LINEAS (E FUERKALa %igura muestra las líneas de %uer>a que rodean a una carga puntual positi&a'

N#tense &arias cualidades de la %igura '4/ Las líneas de %uer>a dan la direcci#n del campo el;ctrico en cualquier punto' Una carga

de prue"a positi&a li"erada en cualquier punto en la &ecindad de la carga en la %igura e)perimentaría una %uer>a de repulsi#n que act1a Radialmente 0acia a%uera! * la carga de

prue"a se mo&ería en esa direcci#n' (e aquí que las líneas de %uer>a de una carga puntual positi&a est;n dirigidas Radialmente 0acia a%uera'

@/ Las líneas de %uer>a se originan en cargas positi&as * terminan en cargas negati&as! perode"emos imaginar que la carga positi&a est rodeada por paredes de carga negati&a! enlas cuales terminan las líneas de %uer>a'

6/ Las líneas de %uer>a se tra>an de tal modo que el n1mero de líneas por unidad de rea desecci#n tras&ersal .perpendicular a las líneas/ sea proporcional a la magnitud del campoel;ctrico'

Imaginemos un elemento de super%icie es%;rica de un rea determinada cerca de la carga puntual! endonde la penetrarían muc0as líneas de %uer>a' Con%orme desplacemos dic0a rea radialmente 0aciaa%uera! el n1mero de líneas de %uer>a que penetrarn el rea ser menor! porque las líneas de %uer>a

estn ms separadas a grandes distancias de la carga' Estocorresponde a la disminuci#n del campo el;ctrico * a unaumento de la distancia de la carga'Si la carga puntual de la %igura %uera negati&a! el patr#nde líneas de %uer>a sería el mismo! e)cepto que todas las%lec0as apuntarían a0ora 0acia adentro'





Fig' La %igura 7 muestra las líneas de %uer>a de dos cargas positi&as iguales' Se puede o"ser&ar que enlas regiones a la i>quierda * derec0a del centro de las cargas! las líneas de %uer>a son casi paralelasen el plano de la %igura' N#tese tam"i;n que la concentraci#n de líneas es menor en la regi#n

directamente entre las dos cargas'

Fig' 7





Imaginemos a0ora que el con<unto de dos cargas se e)tiende a una línea larga de cargas positi&asapenas separadas! * consideremos 1nicamente la regi#n cercana al centro de la línea * le<os decualquier e)tremo' La %igura 5 muestra las líneas de %uer>a resultantes' N#tese que son realmente

paralelas'

Fig' 5 Fig' 9

La %igura 9 muestra las líneas de %uer>a en el caso de un dipolo el;ctrico! dos cargas iguales designos opuestos' Aquí puede &erse c#mo terminan las líneas de %uer>a en la carga negati&a' En estecaso! la concentraci#n de líneas de campo es ms grande en la regi#n entre las cargas'

EL CA2B+ ELCTRIC+ (E LAS (ISTRI3UCI+NES (E CARGA C+NTINUAAun cuando la carga el;ctrica est cuanti>ada! una colecci#n de un gran n1mero de cargaselementales puede considerarse como una distri"uci#n de carga continua' El campo esta"lecido porla distri"uci#n de carga continua puede calcularse al di&idir la distri"uci#n en elementosin%initesimales dq' Cada elemento de carga esta"lece un campo d E en un punto P ! * el camporesultante en P se determina entonces a partir del principio de superposici#n al sumar .es decir!integrar/ las contri"uciones del campo de"idas a todos los elementos de carga! o sea?

∫ = E d E .44/La integraci#n es una operaci#n &ectorial' La ecuaci#n 44 es una notaci#n a"re&iada de integralesescalares separadas en una direcci#n por e<emplo! en coordenadas cartesianas tenemos?

∫ = dE E ! ∫ = " " dE E * ∫ = ! ! dE E '

Al calcular el campo el;ctrico de una distri"uci#n de carga continua! la estrategia general es elegirun elemento de carga ar"itrario dq! encontrar el campo el;ctrico d E en el punto de o"ser&aci#n P ! *luego integrar la distri"uci#n usando la ecuaci#n 44 para determinar el campo total E' En muc0oscasos! el elemento de carga dq se considera como una carga puntual * da una contri"uci#n al campod E de magnitud dada por la ecuaci#n =! o sea?

@:=

4

r

dqdE

πε = ! .4@/

donde r es la distancia desde el elemento de carga dq al punto P ' En otros casos! podemossimpli%icar los clculos eligiendo que dq sea un elemento en la %orma de una distri"uci#n de cargaque da un campo conocido d E'Una distri"uci#n de carga continua se descri"e por su densidad de carga' En una distri"uci#n lineal!como en un %ilamento delgado en el que se 0a colocado una carga! un elemento ar"itrario delongitud ds porta una carga dq dada por?

dsdq 'λ = ! .46/En donde es la densidad de carga lineal .o carga por unidad de longitud/ del o"<eto' Si el o"<eto

est cargado uni%ormemente! entonces es constante * es igual a la carga total q en el o"<etodi&idida entre su longitud total #' En este caso

ds #

qdq = .carga lineal uni%orme/' .4=/

-einlein! 2a)imiliano Germn D




Si la carga est distri"uida no en una línea sino en una super%icie! la carga dq so"re cualquierelemento de rea d A es?

d$dq 'σ = ! .4/donde M es la densidad de carga super%icial .o carga por unidad de rea/ del o"<eto' Si la carga estdistri"uida uni%ormemente en la super%icie! entonces M es constante * es igual a la carga total q

di&idida entre el rea total $ de la super%icie! o sea?d$

$

qdq = .carga super%icial uni%orme/' .47/

Bodemos tam"i;n considerar el caso en que una carga est; distri"uida por completo en un o"<etotridimensional! en cu*o caso la carga dq en un elemento de &olumen d es?

d% dq ' ρ = ! .45/donde es la densidad &olum;trica de carga .o carga por unidad de &olumen/' Si el o"<eto estuni%ormemente cargado! entonces es constante! * es igual a la carga total q di&idida entre el&olumen total % ! o sea?

d% %

qdq = .carga &olum;trica uni%orme/' .49/

UNA CARGA BUNTUAL EN UN CA2B+ ELCTRIC+OJu; sucede cuando ponemos una partícula cargada en un campo el;ctrico conocidoPBartiendo de la ecuaci#n @! sa"emos que una partícula de carga q en un campo el;ctrico E e)perimenta una %uer>a ! dada por?

! Q qE'Bara estudiar el mo&imiento de la partícula en el campo el;ctrico! todo lo que necesitamos esemplear la segunda le* de NeHton! ! Q ma! donde la %uer>a resultante so"re la partícula inclu*ela %uer>a el;ctrica * a cualquier otra %uer>a que pudiera actuar'Bodremos lograr una simpli%icaci#n si consideramos el caso en que la %uer>a sea constante' Bor lotanto! comen>aremos considerando los casos en que el campo el;ctrico * la %uer>a el;ctricacorrespondiente sean constantes'

UN (IB+L+ EN UN CA2B+ ELCTRIC+Cuando colocamos un dipolo en un campo el;ctrico e)terno! la %uer>a so"re la carga positi&a seren una direcci#n * la %uer>a so"re la carga negati&a en otra direcci#n' Bara tener en cuenta el e%ectoneto de estas %uer>as es con&eniente introducir el &ector # del momento dipolar' El &ector # tiene lamagnitud p = qd * la direcci#n a lo largo de la línea que une a las dos cargas apuntando desde lacarga negati&a 0acia la carga positi&a'La %igura 45a muestra un dipolo en un campo el;ctrico uni%orme E producido por un agente e)ternono mostrado' El momento dipolar # %orma un ngulo θ con la direcci#n del campo' Supongamos

que el campo sea uni%orme! de modo que E tenga la misma magnitud * direcci#n en la u"icaci#n de&q * 'q' Las %uer>as so"re &q * 'q tienen! por tanto! magnitudes iguales F = qE pero direccionesopuestas! como se muestra en la %igura 45a'La %uer>a neta so"re el dipolo de"ida al campo e)terno es! por tanto! cero! pero e)iste un momento

de torsión neto alrededor de su centro de masa el cual tiende a girar al dipolo para lle&ar a # alalineamiento con E' El momento de torsi#n neto alrededor del centro del dipolo de"ido a las dos%uer>as! tiene una magnitud de

θ θ θ τ send F send

F send

F ''@@

=+= .6/

-einlein! 2a)imiliano Germn 4:




Fig' D

, su direcci#n es perpendicular al plano de la pgina * 0acia adentro de la misma! como se indicaen la %igura 45b' Bodemos escri"ir la ecuaci#n 6 como

θ θ θ τ sen E p Esend q send E q ''/''.'/'. === .67/La ecuaci#n 67 puede escri"irse en %orma &ectorial como

% Q # ) E!que es consistente con las relaciones direccionales para el producto cru>! como se muestra por

medio de los tres &ectores en la %igura 45b'Utili>ando ecuaciones de fuerza o ecuaciones de energía! consideremos el tra"a<o reali>ado por elcampo el;ctrico al girar al dipolo en un ngulo θ ' El tra"a<o reali>ado por el campo e)terno paragirar al dipolo desde un ngulo inicial :

θ 0asta un ngulo θ es

∫ ∫ ∫ −=== θ

θ

θ

θ θ τ θ τ

::

'' d d ( d (

! .69/

donde ) es el momento de torsi#n e<ercido por el campo el;ctrico e)terno' El signo menos en laecuaci#n 69 es necesario porque el momento de torsi#n tiende a decrecer a θ ! en la terminología&ectorial! % * d& estn en direcciones opuestas! de modo que θ τ θ τ d d '' −= ' Al com"inar laecuaci#n 69 con la 67! o"tenemos

/cos.cos''' :: θ θ θ θ θ θ

θ

θ −=−=−= ∫ ∫ pE d sen pE d sen pE ( ' .6D/Buesto que el tra"a<o reali>ado por el agente que produce el campo e)terno es igual al negati&o delcam"io en la energía potencial del sistema de campo dipolo! tenemos

/cos.cos/./. :: θ θ θ θ −−=−=−≡∆ pE ( * * * ' .=:/

Ar"itrariamente de%inimos que el ngulo de re%erencia :θ sea de D: * elegimos que la energía

potencial U. :θ / sea cero para ese ngulo' Bara cualquier ngulo la energía potencia es entonces

* = + pE cosθ, .=4/la cual puede ser escrita en %orma &ectorial como

* = + # ' E' .=@/

Así pues! * es mínima cuando # * E son paralelos'El mo&imiento de un dipolo en un campo el;ctrico uni%orme puede! por tanto! interpretarse comouna %uer>a .el momento de torsi#n resultante so"re el dipolo trata de girarlo para alinearlo con ladirecci#n del campo el;ctrico e)terno/ o energía .la energía potencial del sistema tiende a unmínimo cuando el momento dipolar est alineado con el campo e)terno/'Si el campo el;ctrico no %uera uni%orme! el dipolo! adems de alinearse con el campo! se trasladaría'





LA LEY DE GAU''

EL FLUV+ (E UN CA2B+ ECT+RIALEl %lu<o es una propiedad de campo &ectorial'Resulta con&eniente considerar el %lu<o de un campo &ectorial determinado como si %uese una

medida del %lu<o o intensidad de penetraci#n de los &ectores de campo a tra&;s de una super%icie %i<aimaginaria en el campo'La le* de Gauss! como podremos &er! trata del %lu<o neto a tra&;s de una super%icie cerrada' Bor lotanto! de"emos distinguir entre un %lu<o negati&o * uno positi&o al penetrar una super%icie! entonces!si tenemos un cuerpo! el %lu<o que sale del &olumen encerrado por las super%icies que lo componense considera positi&o! * el %lu<o que entra al &olumen se considera negati&o' Con esta elecci#n!

podemos entonces escri"ir el %lu<o para una super%icie cerrada consistente en &arias super%iciesindi&iduales como?

∑=Φ $v' ! .4/donde A es un &ector cu*a magnitud es el rea de la super%icie * cu*a direcci#n es perpendicular ala super%icie! * v es el &ector de &elocidad! en la super%icie' La suma se reali>a so"re todas lassuper%icies indi&iduales que %orman una super%icie cerrada' El %lu<o es una cantidad escalar! porquese de%ine en t;rminos del producto punto de dos &ectores'Bodemos a%irmar que! para una super%icie cerrada en la cual no e)isten dentro -uentes o sumideros de %lu<o! la cantidad neta de %lu<o que entra al &olumen encerrado por la super%icie es igual a lacantidad neta de %lu<o que sale del &olumen'Bodemos %cilmente generali>ar estos conceptos a un campo no uni%orme * a super%icies de %orma *orientaci#n ar"itrarias' Cualquier super%icie ar"itraria puede di&idirse en elementos in%initesimalesde rea d$ que son apro)imadamente super%icies plana' La direcci#n del &ector d A es la de lanormal 0acia a%uera de este elemento in%initesimal' El campo tiene un &alor v en la u"icaci#n deeste elemento! * el %lu<o neto se encuentra al sumar las contri"uciones de todos los elementos! esto

es! integrando para toda la super%icie? ∫ =Φ $d v' ' .@/Si la ecuaci#n @ se e&al1a para una super%icie cerrada! entonces el %lu<o es?

4/ cero si la super%icie no inclu*e %uentes o sumideros!@/ positivo * de igual magnitud a su intensidad si la super%icie contiene s#lo %uentes!6/ neativo * de igual magnitud a su intensidad si la super%icie contiene 1nicamente sumideros'

Si la super%icie inclu*e %uentes * sumideros! el %lu<o neto puede ser cero! positi&o! o negati&o!dependiendo de la intensidad relati&a de las %uentes * de los sumideros'

EL FLUV+ (EL CA2B+ ELCTRIC+La de%inici#n del %lu<o el;ctrico es seme<ante a la del %lu<o de &elocidad! reempla>ando E por v

siempre que apare>ca' Bor analogía con la ecuaci#n 4! de%inimos al %lu<o del campo el;ctrico E Φ como

∑=Φ $ E E

' .6/

el -lu/o E Φ puede considerarse como una medida del n0mero de l1neas del campo eléctrico que

atraviesan la super-icie.

La ecuaci#n 6 se aplica s#lo en aquellos casos en que E es constante en magnitud * direcci#n encada rea A incluida en la suma'El %lu<o del campo el;ctrico es un escalar ' Sus unidades son C m N I'

@

La le* de Gauss trata del %lu<o del campo el;ctrico a tra&;s de una super%icie cerrada' Bara de%inir

E Φ de modo ms general! particularmente en los casos en que E no sea uni%orme! consideremos la

%igura 4! la cual muestra una super%icie cerrada ar"itraria inmersa en un campo el;ctrico nouni%orme' (i&idamos la super%icie en peque$os cuadrados de pared $∆ ' Cada elemento de rea

puede representarse como un &ector WA! * cu*a magnitud es el rea $∆ ' La direcci#n de WA es la

-einlein! 2a)imiliano Germn 4@




normal a la super%icie * dirigida 0acia a%uera' Buesto que los cuadrados %ueron 0ec0os mu* peque$os! E puede considerarse como constante en todos los puntos de un cuadrado determinado'Los &ectores E * WA que caracteri>an a cada cuadrado %orman un ngulo θ entre sí'Bara puntos como a en la %igura 4 la contri"uci#n al %lu<o es negati&a en b es cero! * en c es

positi&a'

Fig' 4

La de%inici#n e)acta del %lu<oel;ctrico es

∫ =Φ $d E E ' '.=/

Esta integral de la super%icie indicaque la super%icie en cuesti#n de"edi&idirse en elementosin%initesimales de rea d A * que lacantidad escalar E'd A tiene quecalcularse para cada elemento *sumarse so"re toda la super%icie' El%lu<o puede calcularse paracualquier super%icie! *a sea a"ierta ocerrada'

Problema de muestra P. 23

LA LE, (E GAUSSSupongamos que tenemos una colecci#n de cargas positi&as * negati&as! que crean un campoel;ctrico E en una cierta regi#n del espacio' Construimos! en ese espacio! una super%icie cerradaimaginaria! llamada super%icie gaussiana! la cual puede o no encerrar alguna de las cargas' La le* deGauss! que relaciona el %lu<o total E Φ a tra&;s de esta super%icie con la caga neta q encerrada por lasuper%icie! puede escri"irse como

q E =Φ:ε ./o sea

∫ = q $d E ':ε ' .7/La integral en la ecuaci#n 7 cuenta esencialmente el n1mero de líneas de campo que pasan a tra&;sde la super%icie' Es totalmente ra>ona"le suponer que el n1mero de líneas de campo que pasan atra&;s de una super%icie de"e ser proporcional a la carga neta encerrada por la super%icie! como lorequiere la ecuaci#n 7'La %igura @ muestra las líneas de %uer>a de un dipolo' Se 0an tra>ado cuatro super%icies gaussianas!* sus secciones tras&ersales se muestran en la %igura' En la super%icie 44 ! el campo el;ctrico es! entodas partes! 0acia a%uera de la super%icie * entonces cuando e&aluamos la integral de la ecuaci#n 7en toda la super%icie cerrada! o"tenemos un resultado positi&o' La ecuaci#n 7 e)ige entonces que lasuper%icie encierre una carga positi&a neta'





Fig' @

En la super%icie @4 de la %igura @!en cam"io! el campo el;ctrico est

penetrando por todas partes en lasuper%icie! entonces! la integral dela ecuaci#n 7 da un &alornegati&o! lo cual indica que lasuper%icie encierra una carganegati&a neta'La super%icie 64 no encierraninguna carga! de modo que el%lu<o total a tra&;s de la super%icie

de"e ser cero' Esto concuerda con la %igura! la cual muestra que salen tantas líneas de %uer>a de lasuper%icie como las que entran'La super%icie =4 tampoco encierra ninguna carga neta! puesto que 0emos supuesto que lasmagnitudes de las dos cargas son iguales' Una &e> ms! el %lu<o total a tra&;s de la super%icie de"eser cero' Algunas de las líneas de campo estn contenidas! por completo! dentro de la super%icie *!

por tanto! no contri"u*en al %lu<o a tra&;s de la super%icie' Sin em"argo! puesto que cada línea decampo que sale de la carga positi&a termina en la carga negati&a! cada línea que parte de la carga

positi&a * atra&iesa la super%icie en direcci#n 0acia a%uera tiene una línea correspondiente queatra&iesa la super%icie en direcci#n 0acia adentro cuando "usca a la carga negati&a' Bor tanto! el%lu<o total es cero'

La ley de Gau(( y la ley de CoulombLa le* de Coulom" puede deducirse de la le* de Gauss * de ciertas consideraciones de simetría'Bara ello! apliquemos la le* de Gauss a una carga puntual positi&a q aislada como se muestra en la%igura 6' La &enta<a de esta super%icie es que! por simetría! E de"e ser perpendicular a la super%icie!de modo que el ngulo θ entre E * dA es cero en todas las partes de la super%icie' Adems! E esconstante en todas las partes de la super%icie'

Fig' 6

En la %igura 6! tanto E como dA estn dirigidas radialmente0acia a%uera en cualquier punto de la super%icie gaussiana! demodo que la cantidad $d E ' se con&ierte simplemente en E

d$! la le* de Gauss se reduce entonces a

∫ ∫ == q Ed$ $d E :: ' ε ε '

Buesto que E es constante en todos los puntos de la es%era! entonces E puede ponerse %uera del signode la integral! lo cual da

∫ = qd$ E :

ε '

-einlein! 2a)imiliano Germn 4=




La integral es simplemente el rea total de la super%icie de la es%era! @= r π ' Bor lo tanto o"tenemos

qr E =/=. @

: π ε

o sea

@:=

4

r

q E

πε = '

Así pues! al escoger una super%icie gaussiana con la simetría apropiada! o"tenemos la le* deCoulom" a partir de la le* de Gauss'

UN C+N(UCT+R CARGA(+ AISLA(+La le* de Gauss nos permite pro"ar el siguiente teorema?

*na cara en eceso en un conductor aislado se traslada por completo a la super-icie

eterior del conductor. Ninuna de las caras en eceso se encuentra en el interior del

cuerpo del conductor.

U) co)ductor a(lado co) u)a cavdadSe conclu*e que no e)iste una carga en las paredes de la ca&idad! sino que permanece en lasuper%icie e)terior del conductor! como se muestra en la %igura =a'

El cam#o el$ctrco e*ter)oSi "ien la carga en e)ceso en un conductor aislado se mue&e por completo a su super%icie! ladensidad de carga super%icial /I. d$dq=σ &aría de punto a punto so"re la super%icie'Bodemos empelar la le* de Gauss para 0allar una relaci#n! en cualquier punto de la super%icie! entrela densidad de carga super%icial 5 en ese punto * el campo el;ctrico E a%uera de la super%icie enese mismo punto'Teniendo en cuenta la %igura =e! tenemos que E es perpendicular a la super%icie del conductor! * el

%lu<o que pasa por la tapa de a%uera de la super%icie gaussiana de la %igura =e es E.$' El %lu<o atra&;s de la tapa de dentro es cero! porque E Q : para todos los puntos interiores del conductor' El%lu<o a tra&;s de las paredes cilíndricas es tam"i;n cero porque las líneas de E son paralelas a lasuper%icie! de modo que no pueden atra&esarla' La carga q encerrada por la super%icie gaussiana es $σ '

Fig' =

El %lu<o total puede! entonces! calcularse así?T$- = Tapa de a-uera

T$d = Tapa de adentro

P# = Paredes laterales

A0ora puede calcularse el campo el;ctrico usandola le* de Gauss

q E =Φ:ε !

* al sustituir los &alores para el %lu<o * la cargaencerrada /. $q σ = ! o"tenemos?

$ E$ σ ε =:





o sea?

:ε

σ = E ' .5/

Comparando esto con los resultados o"tenidos en el capitulo anterior para una lmina in%inita!tenemos que para el campo el;ctrico cercano a una lmina de carga? :@I ε σ = E ' El campo el;ctrico

cerca de un conductor es el do"le del campo que esperaríamos si considersemos que el conductores una lmina de carga! aun para puntos mu* pr#)imos a la super%icie! en donde la &ecindadinmediata se parece a una lmina de carga'En e%ecto! se requiere el do"le de carga para dar a una lmina conductora una determinada densidadde carga super%icial de la que se requiere para dar a una lmina aislante la misma densidad de cargasuper%icial'





ABLICACI+NES (E LA LE, (E GAUSS

L+)ea )f)ta de car,aEn la %igura o"ser&arse un cilindro circular de radio r * longitud 6 .super%icie gaussiana desimetría cilíndrica/! cerrado en cada e)tremo por tapas planas perpendiculares al e<e' E es constante

so"re la super%icie cilíndrica * perpendicular a la super%icie' El %lu<o de E a tra&;s de estasuper%icie es /@. r6 E π ! donde r6π @ es el rea de la super%icie' No 0a* %lu<o a tra&;s de las tapascirculares porque E es aquí paralelo a la super%icie en cada punto'

Figura

La carga q encerrada por la super%icie gaussiana de la %igura es 6λ ' Lale* de Gauss da entonces?

q $d E =∫ ':ε

6r6 E λ π ε =/@.: !o sea

r E

:@πε

λ =

.9/Ad&i;rtase que la soluci#n usando la le* de Gauss es posi"le s#lo si

elegimos la super%icie gaussiana para lograr plena &enta<a de la simetría cilíndrica del campoel;ctrico creado por una línea de carga larga'

L-m)a )f)ta car,adaLa %igura 7 muestra una porci#n de una lmina in%inita! delgada! no conductora! cargada! de unadensidad super%icial de carga 5 .carga por unidad de rea/'Una super%icie gaussiana con&eniente es un cilindro cerrado de rea de secci#n trans&ersal A!dispuesta de tal modo que penetre el plano como se muestra' Se conclu*e que E es perpendicular enlas tapas * cero en la super%icie cilíndrica' Suponemos que las tapas equidistan de la lmina *! porsimetría! el campo tiene la misma magnitud en las tapas' El %lu<o que atra&iesa a cada tapa es E$ *es positi&o para am"as' La le* de Gauss da

q $d E =∫ ':ε

$ E$ E$ σ ε =+ /.: !donde $σ es la carga encerrada' Al despe<ar E ! o"tenemos

:@ε

σ = E

.D/ N#tese que E es el mismo para todos los puntos en cada ladode la lmina .* así no necesitamos realmente suponer que lastapas eran equidistantes de la lmina/'





Figura 7

U) ca(car.) e(f$rco car,adoLa %igura 5 muestra una secci#n trans&ersal de un cascar#n uni%ormemente cargado * es%;rico quetiene una densidad de carga super%icial 5 constante * una carga total /=. @σ π 7q = ' Usamos la le* deGauss para demostrar dos propiedades 1tiles de esta distri"uci#n! lo cual podemos resumir en losdos teoremas del cascarón que siguen?

48 *n cascarón es-érico uni-orme carado se comporta, en los puntos eternos, como si

toda la cara estuviese concentrada en su centro.

@8 *n cascarón es-érico uni-orme carado no e/erce ninuna -uer!a electrost8tica sobre

una part1cula carada situada dentro del cascarón.

El cascar#n es%;rico de la %igura 5 est rodeado por dos super%icies gaussianas es%;ricas *conc;ntricas! 44 * @

4 ' Bartiendo de un argumento de simetría! concluimos que el campo puedetener 1nicamente una componente radial'

Fig' 5

Aplicando la le* de Gauss a la super%icie 44 ! en la cual r 9 7!

daqr E =/=.

@

: π ε !o sea

@:=

4

r

q E

πε = .cascar#n es%;rico! r 9 7/ .4:/

Así pues! el cascarón carado uni-ormemente se comporta como una cara puntual en todos los

puntos a-uera del cascarón. Esto demuestra el primer teorema del cascar#n'

Si se aplica la le* de Gauss a la super%icie @4 ! para la cual r : 7! nos conduce directamente a

E = ; .cascar#n es%;rico! r 9 7/! .44/

porque esta super%icie gaussiana no encierra ninguna carga * porque E .seg1n otro argumento desimetría/ tiene el mismo &alor en todas las partes de la super%icie' Bor lo tanto el campo eléctrico es

cero dentro de un cascarón uni-orme carado! una carga de prue"a situada en cualquier parte en elinterior no sentiría ninguna %uer>a electrosttica' Esto demuestra el segundo teorema del cascar#n'Estos dos teoremas se aplican s#lo en el caso de un cascar#n cargado uni-ormemente'

D(trbuc.) de la car,a e(f$rcame)te (m$trcaLa %igura 9 muestra una secci#n tras&ersal de una distri"uci#n es%;rica de carga de radio 7' La cargaest distri"uida so"re todo el &olumen es%;rico' -acemos la restricci#n de que la densidad

&olum;trica de carga <! en cualquier punto!depende 1nicamente de la distancia del punto

desde el centro! condici#n denominada simetr1aes-érica'





Fig' 9

Calculemos el campo el;ctrico en puntos que est;n a una distancia radial r ma*or que el radio 7 dela es%era! como se muestra en la %igura 9a' Como cualquier distri"uci#n de carga es%;ricamente

sim;trica puede &erse como un grupo de cascarones delgados conc;ntricos! tenemos que cadacascar#n! con una carga dq contri"u*e con una componente radia dE al campo el;ctrico' El campototal! es el total de todas esas componentes *! puesto que todas las componentes del campo sonradiales! de"emos calcular s#lo la suma alge"raica ms "ien que una suma &ectorial' La suma so"retodos los cascarones da! entonces!

@

:=

4

r

dqdE E ∫ ∫ ==

πε

o! puesto que r es constante en la integral para q!

@:=

4

r

q E

πε = ! .4@/

donde q es la carga total de la es%era' Entonces! para los puntos a%uera de una distri"uci#n de cargaes%;ricamente sim;trica! el campo el;ctrico tiene el &alor que tendría si la carga estu&ieseconcentrada en su centro'Consideremos a0ora el campo el;ctrico para los puntos dentro de la distri"uci#n de carga' La %igura9b muestra una super%icie gaussiana es%;rica de radio r : 7' La le* de Gauss da

X/=.' @

:: qr E $d E ==∫ π ε ε

o sea

@

:

X

=

4

r

q E

πε = .46/

en donde qY es aquella parte de q contenida dentro de la es%era de radio r 'Bara continuar este clculo! de"emos conocer la carga q que est dentro del radio r esto es!de"emos conocer <>r?' Consideremos el caso especial en que la es%era est; cargada uni%ormemente!de modo que la densidad de carga < tiene el mismo &alor para todos los puntos dentro de una es%erade radio 7 * es cero para todos los puntos a%uera de esta es%era' Bara los puntos dentro de tal es%erauni%orme de carga! la %racci#n de la carga dentro de r es igual a la %racci#n del &olumen dentro de r !* así

6

6

=

6

6

=X

7

r

q

q

π

π

=

o sea6

X

= 7

r qq !

donde 6

6= 7π es el &olumen de la distri"uci#n de carga es%;rica' La e)presi#n para E resulta

entonces

6

:=

4

7

qr E

πε = .es%era uni%orme! r : 7/'.4=/

Esta ecuaci#n da cero! como de"ería! para r Q :' La ecuaci#n 4= se aplica 1nicamente cuando ladensidad de carga es uni%orme! independiente de r '

-einlein! 2a)imiliano Germn 4D




EL "OTE/CIAL ELÉCTRICO

ENERGZA B+TENCIAL ELCTRICA .79/,a 0emos argumentado que la %uer>a electrosttica es conser&ati&a! *! por lo tanto! podemos asociar una energía potencial a todo sistema en el que una partícula cargada est; situada en un campo

el;ctrico * reci"a la acci#n de una %uer>a electrosttica' El cam"io en la energía potencialelectrosttica! cuando una partícula de carga q se mue&e en un campo el;ctrico E! est dado por laecuaci#n?

∫ −=−b

a

ab sd F * *

' !

que al sustituir la %uer>a ! por la %uer>a el;ctrica qE?

∫ −=−b

a

ab sd E q* *

' ! .4/

donde la integral se reali>a para la tra*ectoria de la partícula desde el punto inicial a 0asta el punto%inal b' Buesto que la %uer>a el;ctrica es conser&ati&a! la integral es independiente de la tra*ectoria *depende s#lo de los puntos inicial * %inal a * b'Calculemos a0ora la e)presi#n para la energía potencial del sistema de dos cargas puntualesmostrado en la %igura 4' Usamos la ecuaci#n 4! * suponemos que @

q se mue&e 0acia 4q oale<ndose de ;ste a lo largo de la línea que une a las dos cargas! la cual tomamos como el e<e ' Lacomponente E del campo el;ctrico de"ido a 4q a lo largo de esta línea es @

:4 = r q πε ' Esta

componente es positi&a o negati&a! seg1n sea el signo de 4q '

Fig' 4 Fig' @

La %igura @ muestra las relaciones &ectoriales correspondientes' El &ector r .Q r ! donde es el&ector unitario en la direcci#n / sit1a a @q en relaci#n con 4q ! * el &ector d ( .Q dr / indica eldespla>amiento de @

q ' Entonces! E'd ( Q E dr ! por lo que! si mo&emos a @q de la separaci#n ar

a br ! el cam"io en la energía potencial est dado por la ecuaci#n 4 como

−=−=−=− ∫ ∫

ab

r

r

r

r

abr r

qqr

dr qqdr E q* *

b

a

b

a

44

=

4

=

4@4

:

@@4

:

@πε πε

' .@/

La ecuaci#n @ se cumple *a sea que @q se mue&a 0acia 4q o se ale<e de ella en el primer caso! b

r

[ ar ! * en el segundo caso! br \ ar ' La ecuaci#n tam"i;n se cumple para cualquier com"inaci#n

de los signos de 4q * @q '

Bodemos elegir un punto de re%erencia a tal que ar corresponda a una separaci#n in%inita de las partículas! * de%inimos a la energía potencial a* como cero' (e<emos que r sea la separaci#n en el punto %inal b! de modo que la ecuaci#n @ se redu>ca a

r

qqr * @4

:=

4/.

πε = ' .6/

Si la %uer>a el;ctrica es de atracci#n! 4q * @q tienen signos opuestos! * el producto 4q @q es por

consiguiente negati&o' En este caso! la energía potencial el;ctrica dada por la ecuaci#n 6 esnegati&a'

-einlein! 2a)imiliano Germn @:




Si la %uer>a el;ctrica es de repulsi#n! 4q * @q tienen el mismo signo! * el producto 4q @

q es positi&o' En este caso la energía potencial es positi&a' Si mo&emos @q 0acia 4q desde unaseparaci#n inicialmente in%inita! la energía potencial aumente desde su &alor inicial .el cual 0emosde%inido como :/' Si luego soltamos a @

q desde el reposo! se mue&e en una separaci#n ma*or!adquiriendo energía cin;tica al mismo tiempo que el sistema pierde energía potencial'

B+TENCIAL ELCTRIC+Se de%ine al potencial el;ctrico como la ener1a potencial por unidad de cara de prueba' Este

potencial el;ctrico es un escalar'Supongamos que tenemos un con<unto de cargas * deseamos determinar su potencial el;ctrico en un

punto P en particular' Situamos una carga de prue"a :q positi&a a una distancia in%inita delcon<unto de cargas! en donde el campo el;ctrico es cero' Luego despla>amos una carga de prue"adesde esa separaci#n in%inita 0asta P ! * en el proceso la energía potencial cam"ia de : a p* ' El

potencial el;ctrico p% en P de"ido al con<unto de cargas se de%ine entonces como

:q

* %

p

p = ' .=/

Entonces! tenemos que el potencial es independiente de la magnitud de la carga de prue"a.suponemos que :q es una carga mu* peque$a! de modo que tiene un e%ecto insigni%icante so"re elcon<unto de cargas cu*o potencial deseamos medir/'(ependiendo de la distri"uci#n de cargas! el potencial puede ser positi&o! negati&o! o cero'Entonces! se tiene que el potencial cerca de una cara positiva aislada es positivo, el potencial

cerca de una cara neativa aislada es neativo, " un potencial de cero en un punto no

necesariamente sini-ica que el campo eléctrico sea cero en dic6o punto.

En lugar de 0acer re%erencia a un punto en el in%inito! a menudo deseamos determinar la di-erencia

de potencial eléctrico entre dos puntos a * b en un campo el;ctrico' Bara 0acerlo! mo&emos unacarga de prue"a :q desde a 0asta b' La di%erencia de potencial el;ctrico se de%ine

:q

* * % % % abab

−=−=∆ ' ./

El potencial en b puede ser ma*or que! menor que! o igual que el potencial en a! dependiendo de ladi%erencia en la energía potencial entre los dos puntos o! equi&alentemente! del negati&o del tra"a<oreali>ado por el campo el;ctrico con%orme una carga de prue"a positi&a se mue&e entre los puntos'La unidad del potencial en el SI es el <oulecoulom"! teniendo que?

4 &olt Q 4 <oulecoulom"La ecuaci#n puede escri"irse así

% q* ∆=∆ ! .7/lo que a%irma que cuando cualquier carga q se mue&e entre dos puntos cu*a di%erencia de potencialsea % ∆ ! el sistema e)perimenta un cam"io de energía potencial * ∆ dado por la ecuaci#n 7'La di%erencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un campo el;ctrico es independiente dela tra*ectoria por la que se mue&e la carga de prue"a al &ia<ar de un punto al otro'

-einlein! 2a)imiliano Germn @4




C]LCUL+ (EL B+TENCIAL A BARTIR (EL CA2B+(igamos que a * b son en la %igura 6 dos puntos en un campo el;ctrico uni%orme E! creado por unadisposici#n de cargas no mostradas! * de<emos que a sea una distancia # en la direcci#n del campodesde b' Suponga que una carga de prue"a positi&a :q se mue&e desde a 0asta b a lo largo de lalínea recta que las une'

La %uer>a el;ctrica so"re la carga es :q E * apunta en la direcci#n negati&a' Cuando una carga de prue"a se mue&e desde a 0asta b

en la direcci#n de d (! el tra"a<o reali>ado por el campo el;ctrico.constante/ est dado por

E#q # E q F ( ab :: //.. −=−=∆= ' .5/Usando la de%inici#n de la di%erencia en la energía potencial!

( * −=∆ ! podemos com"inar las ecuaciones * 5 para o"tener

E#q

(

q

* * % % abab

ab =−

=−

=−::

' .9/

Esta ecuaci#n muestra la relaci#n entre la di%erencia de potencial *la intensidad del campo para un simple caso especial'En la %igura =! b tiene un potencial ms ele&ado que a' Esto esra>ona"le! pues el campo el;ctrico reali>a un tra"a<o negati&oso"re la carga de prue"a positi&a al mo&erse desde a 0asta b'

Fig' 6

La relaci#n entre % * E en el caso ms com1n en que el campo no es uni%orme * en que el cuerpo de prue"a se mue&e a lo largo de una tra*ectoria que no es una recta! se &e en la %igura ='

El campo el;ctrico e<erce una %uer>a :q E so"re la carga de prue"a! como se muestra' Un despla>amiento in%initesimal a lolargo de la tra*ectoria se representa por d (' Bara encontrar eltra"a<o total ab( reali>ado por el campo el;ctrico cuando lacarga de prue"a se mue&e desde a 0asta b! integramos lascontri"uciones del tra"a<o para todos los segmentosin%initesimales en que est di&idida la tra*ectoria' Esto

conduce a

∫ ∫ ==b

a

b

a

ab sd E q sd F (

'' : ' .D/

Con::

/.

q

(

q

* * % % ababab

−=

−=− !

la ecuaci#n D da Fig' =

sd E % % b

a

ab

'∫ −=− ' .4:/

Frecuentemente con&iene elegir que el punto a sea el punto de re%erencia en ^! en donde a% seconsidera que es cero' Bodemos entonces determinar el potencial en cualquier punto ar"itrario P usando la ecuaci#n 4:?

-einlein! 2a)imiliano Germn @@




∫ ∞

−= P

P sd E %

' ' .44/

Estas dos ecuaciones nos permiten calcular la di%erencia de potencial entre dos puntos cualesquierao el potencial en cualquier punto de un campo el;ctrico conocido E'

EL B+TENCIAL (E3I(+ A UNA CARGA BUNTUALLa %igura 5a muestra dos puntos a * b cerca de una carga puntual q positi&a * aislada' Suponemosque a, b, * q se encuentran so"re una línea recta'Calculemos la di%erencia de potencial entre los puntos a * b! suponiendo que una carga de prue"a

positi&a :q se mue&e a lo largo de una línea radial desde a 0asta b'Al tener que tanto E como d ( .Q d r/ tienen 1nicamente una componente radial! tenemos que E'd r Q

E.dr ! * al sustituir este resultado en la 4: nos da

∫ ∫ −=−=−

b

a

r

r

b

a

ab dr E sd E % % ''

'

Reempla>ando @

:= r

q E

πε = ! o"tenemos

−=−=− ∫

ab

r

r

abr r

q

r

dr q% %

b

a

44

== :

@

: πε πε ' .4@/

La 4@ da la di%erencia de potencial entre los puntos a * b' Como el potencial es independiente de latra*ectoria! la 4@ se cumple para cualquier tra*ectoria entre a * b'

Fig'

Tam"i;n la 4@ se cumple para la di%erencia de potencial entre dos puntos aun cuando no se

encuentren so"re la misma línea radial'Si deseamos calcular el potencial en cualquier punto! elegimos que a est; en el in%inito .0acemosque ∞→ar / * de%inimos a a% como : en esta posici#n' Al reali>ar estas sustituciones en la 4@ * aleliminar el su"índice b! nos da

r

q%

:=

4

πε = ' .46/

La 46 es tam"i;n &lida para cualquier distri"uci#n es%;ricamente sim;trica de la carga total q!siempre * cuando r sea ma*or que el radio de la distri"uci#n'La 46 muestra que a grandes distancias el potencial de"ido a una carga puntual positi&a es cero *

crece 0acia &alores positi&os grandes con%orme nos apro)imamos a la carga' Si q es negati&a! el potencial tiende a &alores negati&os grandes cerca de la carga'





B+TENCIAL (E3I(+ A UN C+NVUNT+ (E CARGAS BUNTUALESEl potencial en un punto de"ido a una de las cargas no se a%ecta por la presencia de las otras cargas'Bara 0allar el potencial total! sumamos los potenciales de"idos a cada una de las cargas como si%uese la 1nica presente' ste es el principio de superposici#n! que se aplica al potencial * al campoel;ctrico'

Entonces tenemos N % % % % +++= '''@4 !

o usando la 46

∑∑ === i i

i N

i

ir

q% %

:4 =

4

πε ! .4=/

donde iq es el &alor .en magnitud * signo/ de la carga i;sima * ir es la distancia de esta carga al punto en cuesti#n'

EL B+TENCIAL ELCTRIC+ (E LAS (ISTRI3UCI+NES (E CARGA C+NTINUASuponemos que tenemos *a sea una línea de carga con densidad lineal de carga ! o una super%icie

de carga con densidad super%icial de carga M! o un &olumen de carga con densidad &olum;trica decarga ' (i&idimos al o"<eto en peque$os elementos de carga dq! en dondedq = @ ds, dq = 5 d$, o dq = < dv,

de acuerdo con la geometría del pro"lema'Cada elemento dq puede considerarse como una carga puntual! con una contri"uci#n d% al potencialcalculada de acuerdo con la ecuaci#n 46! o"teni;ndose

r

dqd%

:=

4

πε = ' .4/

Bara determinar el potencial de"ido a toda la distri"uci#n! es necesario integrar! o sea

∫ ∫ ==r

dqd% %

:

=

4

πε ' .47/

Si el o"<eto est cargado uni%ormemente! la densidad de carga es uni%orme * sale de la integral'

A)llo de car,a-allemos el potencial el;ctrico en el punto P ! a una distancia ! a lo largo del e<e de un anillouni%orme de radio 7 * carga total q .%igura 7/' Consideremos unelemento de carga dq so"re el anillo' El potencial d% de"ido a esteelemento est dado por la ecuaci#n 4' Sin em"argo! todos estoselementos del anillo estn a la misma distancia r del punto P ! * así!cuando integramos so"re el anillo! r permanece constante * se puedesacar de la integral' La integral restante ∫ dq ! da simplemente la carga

total q en el anillo' El potencial en el punto P puede! entonces!e)presarse así

@@:=

4

! 7

q%

+=

πε .anillo de carga/! .45/

puesto que @@ ! 7r += '

Fig' 7

-einlein! 2a)imiliano Germn @=




SUBERFICIES EJUIB+TENCIALESLas líneas de %uer>a proporcionan una manera apropiada de &isuali>ar el campo de"ido a cualquierdistri"uci#n de carga' Bodemos reali>ar una representaci#n gr%ica similar "asados en el potencialel;ctrico' En este m;todo! tra>amos una %amilia de super%icies que unan puntos que tengan el mismo&alor del potencial el;ctrico' Estas super%icies se llaman super-icies equipotenciales'

Tenemos?4/ en un campo eléctrico uni-orme, las super-icies equipotenciales son planos. La %igura 5a

muestra .en secci#n trans&ersal/ una %amilia de super%icies equipotenciales planas' Lamagnitud de la di%erencia de potencial entre cualquier punto en el plano * cualquier punto enun plano &ecino es E#! en donde # es el espaciamiento .constante/ entre los planos'

@/ El potencial de una carga puntual depende de la distancia radial desde la carga' Así pues!todos los puntos en un radio dado tienen el mismo potencial! * las super-icies

equipotenciales de una cara puntual -orman una -amilia de es-eras concéntricas, que semuestran en secci#n trans&ersal en la %igura 5b' Las super%icies equipotenciales de una carga

puntual no estn espaciadas igualmente! al contrario de la %igura 5a'

Fig' 5

UN C+N(UCT+R AISLA(+Al emplear la le* de Gaussdeducíamos que una carga ene)ceso colocada en un conductoraislado se mue&e por completo a la

super%icie e)terna del conductor' En el equili"rio! nada de la carga se encuentra dentro del cuerpodel conductor o en ninguna de las super%icies interiores! aun cuando el conductor tenga ca&idadesinternas .siempre * cuando no e)ista una carga neta dentro de alguna de las ca&idades/'Esta propiedad de los conductores puede enunciarse equi&alente en el lengua<e de potencial?*na cara en eceso colocada en un conductor aislado se distribu"e a s1 misma en la super-icie de

modo que todos los puntos del conductor ' "a sea que estén en la super-icie o dentro ' llean al

mismo potencial.

Esta propiedad se cumple aun cuando el conductor tenga ca&idades internas! tanto si contienen o no

una carga neta'Bodemos demostrar este enunciado! "asados en la ecuaci#n 4: . sd E % %

b

a

ab

'∫ −=− /'

Anteriormente aprendimos que el campo el;ctrico es cero en un conductor' Si E Q : en todas partes

dentro de un conductor! entonces la integral sd E

b

a

'∫ − en cualquier tra*ectoria entre cualquier par

de puntos e)tremos a * b dentro del conductor' Así pues! ab % % − Q : para todos los posi"les paresde puntos! * el potencial tiene un &alor constante'La %igura 9 muestra la &ariaci#n del potencial con la distancia radial en una es%era 0ueca conductora* aislada de 4 m de radio que contiene una carga d 4 AC ' Bara los puntos %uera de la es%era 0ueca!%>r? puede calcularse a partir de la ecuaci#n 44 porque la carga q se comporta! en los puntose)ternos! como si estu&iese concentrada en el centro de la es%era' La ecuaci#n 44 da el potencial

-einlein! 2a)imiliano Germn @




con%orme nos acercamos desde a%uera! 0asta la super%icie de la es%era' Como lo muestra la %igura 9a! el potencial en todo el interior de la es%era es igual al de la super%icie'La %igura 9 b muestra el campo el;ctrico para esta misma es%era 0ueca' N#tese que E Q : en todo elinterior' Bodemos o"tener la %igura 9 a de la %igura 9 b integrando! seg1n la ecuaci#n 44'

Fig' 9

La %igura 9 no cam"iaría si el conductor %uese unaes%era conductora s#lida en lugar de 0ueca' Sinem"argo! si %uese una es%era s#lida no conductora! nosería lo mismo! *a que la di%erencia surge en que lacarga en la es%era conductora! 0ueca o s#lida! seencuentra por completo en la super%icie! pero para la

es%era no conductora ;sta se distri"u*e en todo su&olumen'





CA"ACITORE' Y CA"ACITA/CIA'

La %igura 4 muestra un capacitor generali>ado! que consta de dos conductores a * b de %ormaar"itraria' Sin importar cual sea su geometría! a estos conductores se les llama placas'

Fig' 4

(ecimos que el capacitor est cargado si sus placas contienen cargas &q * 'q iguales *opuestas! respecti&amente' N#tese que q no esla carga neta en el capacitor! la cual es cero'

Bor lo tanto q representa una magnitud 1nicamente! * el signo de la carga de la placa dada de"eespeci%icarse'Al cargar un capacitor con una "atería! puesto que las placas son conductoras! lo que signi%ica quetam"i;n son equipotenciales! o"ser&aremos que la di%erencia de potencial de la "atería aparecer enlas placas'Bor con&eniencia! a la magnitud de la di%erencia de potencial entre las placas la representamos por% 'E)iste una proporcionalidad directa entre la magnitud de la carga q en un capacitor * la di%erenciade potencial % entre sus placas' Esto es

q = C.% .4/donde C ! la constante de proporcionalidad! se llama capacitancia del capacitor'La unidad de la capacitancia en el SI es el coulom"&olt! * se le da el nom"re de -arad .F/?

4 %arad Q 4coulom"&olt'

CALCUL+ (E LA CABACITANCIABara calcular la capacitancia de un capacitor procederemos de la siguiente manera?

4/ Suponemos una carga q en las placas@/ Calculamos el campo el;ctrico E entre las placas en t;rminos de la carga! usando la le* de

Gauss6/ Conociendo E! calculamos la di%erencia de potencial % entre las placas=/ Calculamos C de C = qB%

C-lculo del cam#o el$ctrcoEl campo el;ctrico se relaciona con la carga en las placas seg1n la le* de Gauss! o sea

q $d E =∫ ':ε .@/Aquí q es la carga contenida dentro de la super%icie gaussiana! * la integral se e%ect1a so"re esasuper%icie' Consideraremos s#lo los casos en que! cuando el %lu<o pase a tra&;s de la super%iciegaussiana! el campo el;ctrico E tenga una magnitud contante E ! * los &ectores E * d A sean

paralelos' La ecuaci#n @ se reduce entonces aq E$ =:ε ! .6/

donde $ es el rea de esa parte de la super%icie gaussiana a tra&;s de la cual pasa el %lu<o' Borcon&eniencia! di"u<amos la super%icie gaussiana de modo que encierre por completo a la carga

so"re la placa positi&a! comose muestra en la %igura @





Fig' @

C-lculo de la dfere)ca de #ote)cal

La di%erencia de potencial entre las placas se relaciona con el campo el;ctrico E por la ecuaci#n

∫ −=− -

ii - sd E % %

' ! .=/

en la cual la integral se e&al1a a lo largo de cualquier tra*ectoria que comience en una placa *termine en la otra' Siempre elegimos una tra*ectoria que siga a la línea del campo el;ctrico desde la

placa positi&a 0asta la placa negati&a! como se muestra en la %igura @' Bara esta tra*ectoria! los&ectores E * d ( apuntan en la misma direcci#n! de modo que la cantidad i - % % − es negati&a'

Buesto que estamos "uscando a % ! &alor a"soluto de la di%erencia de potencial entre las placas! podemos esta"lecer que % % % i - −=− ' Bodemos &ol&er a escri"ir la ecuaci#n = como

∫ −

+= ds E % ' ./

donde los signos * – nos recuerdan que nuestra tra*ectoria de la integraci#n comien>a en la placa positi&a * termina en la placa negati&a'El campo el;ctrico entre las placas de un capacitor es la suma de los campos de"idos a las dos

placas' Seg1n la le* de Gauss! E es proporcional a q! * seg1n la ecuaci#n ! % es tam"i;n proporcional a q' Buesto que % es proporcional a q! la ra>#n qB% es una constante * es independientede q' (e%inimos esta ra>#n como la capacitancia C ! de acuerdo con la ecuaci#n 4'

CABACIT+RES EN SERIE , EN BARALEL+Ca#actore( co)ectado( e) #araleloLa %igura 6a muestra dos capacitores conectados en paralelo' E)isten tres propiedades quecaracteri>an a una cone)i#n en paralelo de los elementos de un circuito'

4/ Al &ia<ar de a a b! podemos tomar cualquiera de &arias tra*ectorias paralelas .dos! en estecaso/ cada una de las cuales pasa por s#lo uno de los elementos en paralelo'

@/ Cuando se conecta una "atería de di%erencia de potencial % entre las terminales de lacom"inaci#n! en cada elemento de la cone)i#n en paralelo aparece la misma di%erencia de

potencial % '6/ Los elementos comparten la carga total que la "atería proporciona a la com"inaci#n'

Fig' 6

Bodemos a0ora 0allar la capacitancia equi&alenteeq

C que da la misma capacitancia total entre los puntos a * b! como se indica en la %igura 6b'Suponga una "atería de di%erencia de potencial % conectada entre los puntos a * b' Bara cadacapacitor! podemos escri"ir

% C q 44 = * % C q @@ = ' .7/La "atería e)trae la carga q de un lado del circuito * la mue&e 0acia el otro lado' Esta carga lacomparten los dos elementos de acuerdo con la tercera característica! de modo que la suma de lascargas de los dos capacitores es igual a la carga total





@4 qqq += .5/Si la com"inaci#n en paralelo %uese reempla>ada por un solo capacitor eq

C * conectada a la misma "atería! el requisito de que el circuito opere de un modo id;ntico signi%icaría que la "atería de"etrans%erir la misma carga q' + sea! para el capacitor equi&alente!

% C qeq

= .9/

Al sustituir la ecuaci#n 5 en la 9! incorporando luego las ecuaciones 7 dentro del resultado!o"tenemos

% C % C % C eq @4

+= !o sea

@4 C C C eq += .D/Si se tiene ms de dos capacitores en paralelo! podemos primero reempla>ar a 4

C * @C por su

equi&alente * luego 0allamos la capacitancia equi&alente de 4@C * el siguiente capacitor en paralelo! * así 0asta n capacitores! teniendo

∑=n

neq C C .com"inaci#n en paralelo/' .4:/

N#tese que la capacitancia equi&alente es siempre ma*or que la m)ima capacitancia en lacom"inaci#n en paralelo'

Ca#actore( co)ectado( e) (ereLa %igura = muestra dos capacitores conectados en serie' E)isten tres propiedades que distinguen auna cone)i#n en serie de los elementos de un circuito'

4/ Si intentamos &ia<ar de a a b! de"emos pasar por todos los elementos del circuito ensucesi#n'

@/ Cuando se conecta una "atería entre la com"inaci#n! la di%erencia de potencial % de la "atería es igual a la suma de las di%erencias de potencial entre cada uno de los elementos'

6/ La carga q entregada a cada elemento de la com"inaci#n en serie tiene el mismo &alor'

Fig' =

Al o"ser&ar la %igura =! puede %ormularse un argumento paran cantidad de capacitores! el cual nos dice que la placa de la i>quierda en cada capacitor de lacone)i#n en serie contendr una carga q de un signo! * que la placa derec0a de cada capacitor de lacone)i#n en serie contendr una carga de igual magnitud q * de signo opuesto'Bodemos escri"ir para los capacitores indi&iduales! usando la ecuaci#n 4!

4

4C

q% = *

@

@C

q% = ! .44/

con la misma carga q en cada capacitor! pero distintas di%erencias de potencial entre cada uno' (eacuerdo con la segunda propiedad de una cone)i#n en serie! tenemos

@4 % % % += .4@/3uscamos la capacitancia equi&alente eq

C que pueda reempla>ar a la com"inaci#n! de modo que la "atería proporcionaría la misma cantidad de carga

eqC

q% = .46/

Si se sustitu*e la ecuaci#n 4@ en la 46 e incluimos luego las ecuaciones 44! o"tenemos

@4 C

q

C

q

C

q

eq+= !

o sea

-einlein! 2a)imiliano Germn @D




@4

444

C C C eq+= .4=/

Bara 0allar la capacitancia equi&alente de cualquier n1mero de capacitores en serie

∑=n neq C C

44.com"inaci#n en serie/ .4/

N#tese que la capacitancia equi&alente de la com"inaci#n en serie es siempre menor que la ms peque$a de las capacitancias indi&iduales en la serie'

fisica ii (carga eléctrica - capacitancia)

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