fisica sears carga eléctrica y campo eléctrico nivel universitario

792

En el capítulo 5 del volumen 1 mencionamos brevemente los cuatro tipos defuerzas fundamentales. Hasta aquí la única de estas fuerzas que hemos exa-

minado con algún detenimiento es la fuerza de gravedad. Ahora que conocemosmejor los conceptos básicos de la física, entre ellos el comportamiento de las on-das y las reglas de transferencia de energía, estamos en condiciones de investigarlas propiedades de otras fuerzas. Con mucho, la más común de estas fuerzas ennuestra vida diaria es el electromagnetismo que abarca tanto la fuerza eléctrica co-mo la fuerza magnética. Nuestra exploración de los fenómenos electromagnéticosocupará nuestra atención durante la mayor parte de lo que resta de este libro.

En las interacciones electromagnéticas intervienen partículas que tienen unapropiedad conocida como carga eléctrica, un atributo tan fundamental como lamasa. Así como los objetos con masa son acelerados por las fuerzas gravitatorias,los objetos con carga eléctrica son acelerados por las fuerzas eléctricas. La moles-ta chispa eléctrica que sentimos cuando frotamos los zapatos sobre una alfombray luego tomamos la perilla metálica de una puerta se debe a que saltan partículascon carga entre los dedos y la perilla de la puerta. (Un rayo es un fenómeno simi-lar en una escala muchísimo mayor). Las corrientes eléctricas, como las que hayen una linterna de mano, un reproductor portátil de CD o un televisor, son simple-mente torrentes de partículas con carga que fluyen dentro de alambres en respues-ta a fuerzas eléctricas. Incluso las fuerzas que mantienen unidos los átomos paraformar materia sólida, y que impiden que los átomos de los objetos sólidos pasenunos a través de otros, se deben fundamentalmente a interacciones eléctricas entrelas partículas con carga del interior de los átomos.

21carga eléctricay campo eléctricO

Casi todas las fuerzas que actúan sobre es-te esquiador son eléctricas. Las interaccio-nes eléctricas entre moléculas adyacentesdan origen a la fuerza del agua sobre el es-quí, a la tensión de la cuerda de remolquey a la resistencia del aire sobre el cuerpodel esquiador. ¡Las interacciones eléctricastambién conservan la integridad del cuerpodel esquiador! Sólo una fuerza enteramen-te no eléctrica actúa sobre el esquiador: lafuerza de gravedad.

El agua hace posible la vida: las

células de nuestro cuerpo no podrían

funcionar sin las moléculas disueltas en

el agua del interior de las células. ¿Qué

propiedades eléctricas del agua hacen de

ella un disolvente tan bueno?

Iniciaremos el estudio del electromagnetismo en este capítulo examinando lanaturaleza de la carga eléctrica. Descubriremos que la carga eléctrica está cuanti-zada y que obedece un principio de conservación. Después analizaremos las inter-acciones de las cargas eléctricas que se hallan en reposo en nuestro marco de re-ferencia, conocidas como interacciones electrostáticas. Estas interacciones tienenuna importancia considerable en química y en biología, así como numerosas apli-caciones tecnológicas. Las interacciones electrostáticas están gobernadas por unasencilla relación que se conoce como la ley de Coulomb, y se describen del modomás conveniente mediante el concepto de campo eléctrico. Exploraremos todosestos conceptos en este capítulo, y abundaremos en ellos en los tres capítulos si-guientes. En los capítulos subsiguientes ampliaremos nuestro estudio a fin de in-cluir las cargas eléctricas en movimiento. Con esto podremos comprender elmagnetismo y, sorprendentemente, la naturaleza de la luz.

Si bien las ideas fundamentales del electromagnetismo son conceptualmentesimples, su aplicación a problemas prácticos exige recurrir a muchas de nuestrasdestrezas matemáticas, en especial a nuestros conocimientos de geometría y decálculo integral. Por esta razón, es probable que este capítulo, así como los que si-guen, resulten para usted más difíciles en términos matemáticos que los anterio-res. La recompensa por el esfuerzo adicional será una comprensión más profundade los principios que yacen en el corazón de la física y la tecnología modernas.

21.1 | Carga eléctricaLos antiguos griegos descubrieron, ya en 600 A.C., que cuando frotaban ámbarcon lana, el ámbar atraía otros objetos. Hoy en día decimos que el ámbar ha adqui-rido una carga eléctrica neta, esto es, que se ha cargado. La palabra “eléctrica”se deriva de la palabra griega elektron, que significa ámbar. Cuando frotamos loszapatos sobre una alfombra de nylon, adquirimos una carga eléctrica, y tambiénpodemos “cargar” un peine haciéndolo pasar a través de cabello seco.

Las barras de plástico y la piel (real o sintética) resultan particularmente eficacespara demostrar algunos fenómenos relacionados con la electrostática, esto es, lasinteracciones entre cargas eléctricas que están en reposo (o casi). La figura 21.1a

21.1 | Carga eléctrica 793

21.1 Experimentos de electrostática. (a, b)Las barras de plástico frotadas con piel ad-quieren carga negativa y se repelen mutua-mente. (c, d) Las barras de vidrio frotadascon seda adquieren carga positiva y se re-pelen mutuamente. (e, f) Los objetos concarga positiva y los objetos con carga ne-gativa se atraen mutuamente.

794 c a p í t u l o 21 | Carga eléctrica y campo eléctrico

muestra dos barras de plástico y un trozo de piel. Después de cargar cada barra fro-tándola contra el trozo de piel, encontramos que las barras se repelen mutuamente(Fig. 21.1b). Al frotar barras de vidrio (Fig. 21.1c) con seda, las barras de vidriotambién adquieren carga eléctrica y se repelen mutuamente (Fig. 21.1d). Pero unabarra de plástico con carga atrae a una barra de vidrio con carga (Fig. 21.1e). Másaún, la barra de plástico y la piel se atraen mutuamente, al igual que la barra de vi-drio y la seda (Fig. 21.1f).

Estos experimentos, y muchos otros parecidos a éstos, han mostrado que hayexactamente dos tipos de carga eléctrica: la que tiene la barra de plástico que se fro-tó contra la piel y la que hay en la barra de vidrio que se frotó contra la seda. Ben-jamín Franklin (1706–1790) sugirió llamar a estas dos clases de carga negativa ypositiva, respectivamente, y estos nombres se siguen empleando hoy en día. La ba-rra de plástico y la seda tienen carga negativa; la barra de vidrio y la piel tienen car-ga positiva. Dos cargas positivas o dos cargas negativas se repelen mutuamente.Una carga positiva y una carga negativa se atraen una a la otra.

La atracción y la repulsión de dos objetos con carga se resume enocasiones como “las cargas del mismo tipo se repelen, y las cargas opuestas seatraen”. Pero no debemos olvidar que la frase “cargas del mismo tipo” no sig-nifica que las dos cargas son exactamente idénticas, sino sólo que ambas tienenel mismo signo algebraico (ambas positivo o ambas negativo). “Cargas opues-tas” significa que los dos objetos tienen carga eléctrica, y que sus cargas tienensignos diferentes (uno positivo y el otro negativo).

Una aplicación tecnológica de las fuerzas entre cuerpos con carga eléctrica seda en la impresora láser (Fig. 21.2). Inicialmente, se proporciona carga positiva altambor formador de imágenes y sensible a la luz de la impresora. Conforme girael tambor, un rayo láser ilumina ciertas áreas del tambor y las deja con carga ne-

CUIDADO

21.2 Diagrama esquemático delfuncionamiento de una impresoraláser.

21.1 | Carga eléctrica 795

gativa. Las partículas con carga positiva del tóner se adhieren sólo a las áreas deltambor “escritas” por el láser. Cuando se pone una hoja de papel en contacto conel tambor, las partículas de tóner se adhieren al papel y forman una imagen.

Carga eléctrica y estructura de la materiaCuando se carga una barra frotándola con piel o con seda, como en la figura 21.1, nohay cambio visible alguno en la apariencia de la barra. ¿En consecuencia, qué es loque en realidad le ocurre a la barra cuando se carga? Para responder a esta pregunta,antes es necesario examinar con detenimiento la estructura y las propiedades eléctri-cas de los átomos, los componentes básicos de la materia ordinaria de toda clase.

La estructura de los átomos se puede describir en términos de tres partículas: elelectrón, con carga negativa (Fig. 21.3), el protón, con carga positiva, y el neutrónque no tiene carga. El protón y el neutrón son combinaciones de otras entidades lla-madas quarks, que tienen cargas equivalentes a y de la carga del electrón.No se han observado quarks aislados, y existen razones teóricas para pensar que,en principio, es imposible observar un quark solo.

Los protones y neutrones de un átomo constituyen un centro pequeño y muy den-so llamado núcleo, con dimensiones del orden de 10–15 m. Alrededor del núcleo es-tán los electrones, que se despliegan hasta distancias del orden de 10–10 m conrespecto al núcleo. Si un átomo tuviera un diámetro de unos pocos kilómetros, su nú-cleo sería del tamaño de una pelota de tenis. Los electrones con carga negativa son re-tenidos dentro del átomo por las fuerzas eléctricas de atracción que ejerce sobre ellosel núcleo con carga positiva. (Lo que mantiene a los protones y neutrones dentro delos núcleos atómicos estables es una interacción de atracción, denominada fuerza nu-clear fuerte, que vence la repulsión eléctrica de los protones. El alcance de la fuerzanuclear fuerte es corto y sus efectos no se extienden mucho más allá del núcleo).

Las masas respectivas de las partículas individuales, con la exactitud con la quese conocen hoy en día, son

Masa del electrón � me � 9.10938188(72) � 10–31 kg

Masa del protón � mp � 1.67262158(13) � 10–27 kg

Masa del neutrón � mn � 1.67492716(13) � 10–27 kg

Los números entre paréntesis son las incertidumbres de los últimos dos dígitos.Adviértase que las masas del protón y del neutrón son casi iguales y equivalentesa alrededor de 2000 veces la masa del electrón. Más del 99.9% de la masa de cual-quier átomo se concentra en su núcleo.

6236

13

21.3 El electrón, el primer componentedel átomo que se aisló, fue descubierto en1897 por el físico inglés J. J. Thomson. Es-te descubrimiento revolucionó nuestracomprensión de la estructura de la materia,y dio origen a los descubrimientos ulterio-res del protón y del neutrón. Thomson sehizo acreedor al Premio Nobel de Física de1906 y fue nombrado caballero en 1908.

21.4 (a) Un átomo neutro tiene el mismonúmero de electrones que de protones. (b)Un ion positivo tiene un déficit de electro-nes. (c) Un ion negativo tiene un exceso deelectrones. (Las “órbitas” de los electronesson una representación esquemática de ladistribución electrónica real, una nube di-fusa muchas veces más grande que el núcleo).


La carga negativa del electrón tiene (dentro de los límites de error experimen-tal) exactamente la misma magnitud que la carga positiva del protón. En un átomoneutro el número de electrones es igual al número de protones del núcleo, y la car-ga eléctrica neta (la suma algebraica de todas las cargas) es exactamente cero (Fig.21.4a). El número de protones o de electrones de un átomo neutro es el númeroatómico del elemento. Si se separa uno o más electrones, la estructura restantecon carga positiva es un ion positivo (Fig. 21.4b). Un ion negativo es un átomoque ha ganado uno o más electrones (Fig. 21.4c). Esta ganancia o pérdida de elec-trones se conoce como ionización.

Cuando el número total de protones de un cuerpo macroscópico es igual al nú-mero total de electrones, la carga total es cero y el cuerpo, en conjunto, es eléctri-camente neutro. Para proporcionar a un cuerpo una carga negativa en exceso, sepuede ya sea agregar cargas negativas a un cuerpo neutro o quitar cargas positi-vas a ese cuerpo. De manera análoga, se obtiene una carga positiva en exceso yasea agregando carga positiva o quitando carga negativa. En la mayor parte de loscasos se agregan o se retiran electrones con carga negativa (y de gran movilidad),y un “cuerpo con carga positiva” es aquel que ha perdido parte de su complemen-to normal de electrones. Cuando se habla de la carga de un cuerpo, siempre se tra-ta de su carga neta. La carga neta es en todos los casos una fracción muy pequeña(típicamente no mayor que 10–12) de la carga positiva o negativa total del cuerpo.

En lo antes expuesto están implícitos dos principios muy importantes. El pri-mero es el principio de conservación de la carga: La suma algebraica de todaslas cargas eléctricas de cualquier sistema cerrado es constante. Si se frotanuna barra de plástico y un pedazo de piel, ambos inicialmente sin carga, la barraadquiere una carga negativa (puesto que toma electrones de la piel) y ésta adquie-re una carga positiva de la misma magnitud (puesto que ha perdido tantos electro-nes como ha ganado la barra). Por consiguiente, no cambia la carga eléctrica totalde los dos cuerpos juntos. En todo proceso de carga, ésta no se crea ni se destru-ye; simplemente se transfiere de un cuerpo a otro.

Se considera que la conservación de la carga es una ley de conservación uni-versal. Jamás se ha observado indicio experimental alguno de una violación a es-te principio. Incluso en las interacciones de alta energía en las que se producen yse destruyen partículas, como la aparición de pares electrón-positrón, por ejem-plo, la carga total de cualquier sistema cerrado es exactamente constante.

El segundo principio importante es que la magnitud de la carga del electróno del protón es una unidad natural de carga. Toda cantidad observable de car-ga eléctrica es siempre un múltiplo entero de esta unidad básica y se dice que lacarga está cuantizada. Un ejemplo conocido de cuantización es el dinero. Cuandose paga en efectivo por un artículo en una tienda, es necesario hacerlo en incre-mentos de un centavo. El efectivo no se puede dividir en cantidades de menos deun centavo, y la carga eléctrica no es divisible en cantidades menores que la cargade un electrón o de un protón. (Las cargas de los quarks, y de la carga delelectrón, probablemente no sean observables como cargas aisladas.) Por tanto, lacarga de cualquier cuerpo macroscópico es siempre cero o un múltiplo entero (po-sitivo o negativo) de la carga del electrón.

La comprensión de la naturaleza eléctrica de la materia nos permite discernir mu-chos aspectos del mundo físico. Los enlaces químicos que mantienen unidos los áto-mos para formar moléculas se deben a interacciones eléctricas entre los átomos.Entre ellos se cuentan los fuertes enlaces iónicos que conservan unidos átomos de so-dio y de cloro para formar la sal de mesa, y los enlaces relativamente débiles entre lastrenzas de ADN que contienen el código genético de nuestro organismo. La fuerzanormal que ejerce en nosotros la silla en la que nos sentamos tiene su origen en las

6236

13

21.2 | Conductores, aisladores y cargas inducidas 797

fuerzas eléctricas entre las partículas con carga de los átomos de nuestras asentaderasy los átomos de la silla. La fuerza de tensión de un hilo estirado y la fuerza adhesivadel pegamento se deben igualmente a las interacciones eléctricas de los átomos.

Evalúe su comprensión

En términos estrictos, ¿pesa más, menos o lo mismo la barra de plástico de la fi-gura 21.1 después de frotarla con piel? ¿Y la barra de vidrio después de frotarlacon seda? ¿Y qué hay de la piel y la seda?

21.2 | Conductores, aisladores y cargas inducidasCiertos materiales permiten que la carga eléctrica se desplace con facilidad de unaregión del material a otra, pero otros no. Por ejemplo, la figura 21.5a muestra unalambre de cobre sostenido por una barra de vidrio. Suponga que toca un extremodel alambre con una barra de plástico con carga eléctrica y sujeta el otro extremo auna esfera metálica inicialmente sin carga, y luego retira la barra con carga y elalambre. Al acercar otro cuerpo con carga a la esfera (Figs. 21.5b y 21.5c), la esfe-ra es atraída o repelida, lo que indica que la esfera ha adquirido carga eléctrica. Lacarga eléctrica se ha transferido por medio del alambre de cobre entre la superficiede la barra de plástico y la esfera.

El alambre se describe como un conductor de electricidad. Si se repite el experi-mento con un elástico o un hilo de nylon en vez del alambre, se observa que no setransfiere carga eléctrica alguna a la esfera. Estos materiales se llaman aisladores.Los conductores permiten que la carga eléctrica se desplace fácilmente a través deellos; no así los aisladores. Como ejemplo, las fibras de una alfombra en un día secoson buenos aislantes. Al caminar sobre una alfombra, el roce de los zapatos contra lasfibras produce una acumulación de carga en nuestro cuerpo, y esta carga permaneceen él porque no puede fluir a través de las fibras aislantes. Si a continuación tocamosun objeto conductor, como la perilla de una puerta, ocurre una rápida transferencia decarga entre el dedo y la perilla, y sentimos una descarga. Una forma de evitar esto esenrollar algunas fibras de la alfombra en torno a centros conductores para que cual-quier carga que se acumule en nuestro cuerpo se transfiera sin causar daño a la alfom-bra. Otra solución consiste en recubrir las fibras de la alfombra con una capaantiestática que no transfiere electrones hacia o desde los zapatos con facilidad; enprimer lugar, esto impide que se acumule carga en el cuerpo.

Casi todos los metales son buenos conductores; en cambio, la mayor parte de losno metales son aisladores. Dentro de un metal sólido, como el cobre, por ejemplo,uno o más electrones externos de cada átomo se desprenden y pueden moverse li-bremente por todo el material, del mismo modo que las moléculas de un gas semueven a través de los espacios entre los granos de un cubo de arena. El movimien-to de estos electrones con carga negativa transporta carga a través del metal. Losdemás electrones permanecen ligados a los núcleos con carga positiva, los que, asu vez, están sujetos en posiciones prácticamente fijas dentro del material. En unaislador hay pocos electrones libres (o ninguno), y la carga eléctrica no se puededesplazar libremente por todo el material. Ciertos materiales llamados semicon-ductores tienen propiedades que son intermedias entre las de los buenos conducto-res y las de los buenos aisladores.

Se puede cargar una esfera metálica tocándola con una barra de plástico con car-ga eléctrica, como en la figura 21.5a. En este proceso, algunos de los electrones enexceso de la barra se transfieren de ésta a la esfera, lo que deja a la barra con unacarga negativa más pequeña. Existe otra técnica mediante la cual la barra de plásti-co puede orientar en otro cuerpo una carga de signo opuesto, sin perder algo de supropia carga. Este procedimiento se conoce como carga por inducción.

21.5 El cobre es buen conductor de laelectricidad; el vidrio y el nylon son bue-nos aisladores. (a) El alambre conduce car-ga entre la esfera metálica y la barra deplástico con carga para cargar negativa-mente la esfera. (b) Después, la esfera me-tálica es repelida por una barra de plásticocon carga negativa y (c) atraída hacia unabarra de vidrio con carga positiva.


La figura 21.6a muestra un ejemplo de carga por inducción. Se tiene una esfe-ra metálica apoyada en un soporte aislante. Cuando se le acerca una barra con car-ga negativa, sin llegar a tocarla (Fig. 21.6b), el exceso de electrones de la barrarepele los electrones libres de la esfera metálica, los cuales se desplazan hacia laderecha, alejándose de la barra. Estos electrones no pueden escapar de la esferaporque el soporte y el aire que la rodea son aisladores. Por consiguiente, se tieneun exceso de carga negativa en la superficie derecha de la esfera y una deficien-cia de carga negativa (es decir, una carga positiva neta) en la superficie izquierda.Estas cargas en exceso se conocen como cargas inducidas.

No todos los electrones libres se desplazan hacia la superficie derecha de la es-fera. Tan pronto como se crea una carga inducida, ésta ejerce fuerzas hacia la iz-quierda sobre los demás electrones libres. Estos electrones son repelidos por lacarga negativa inducida de la derecha y atraídos hacia la carga positiva inducida dela izquierda. El sistema alcanza un estado de equilibrio en el que la fuerza hacia laderecha que se ejerce sobre un electrón, debida a la barra con carga, está balancea-da exactamente por la fuerza hacia la izquierda debida a la carga inducida. Si se re-tira la barra con carga, los electrones libres se desplazan de nuevo a la izquierda, yse recupera la condición neutra original.

¿Qué ocurre si, mientras la barra de plástico está cerca, se pone en contacto unextremo de un alambre conductor con la superficie derecha de la esfera, y el otro ex-tremo en contacto con la tierra (Fig. 21.6c)? La tierra es conductora, y es tan gran-de que actúa como una fuente prácticamente infinita de electrones adicionales o unsumidero de electrones no deseados. Parte de la carga negativa fluye por el alambrea la tierra. Supóngase ahora que se desconecta el alambre (Fig. 21.6d) y luego se re-tira la barra (Fig. 21.6e); queda entonces una carga negativa neta en la esfera. La car-ga de la barra con carga negativa no ha cambiado durante este proceso. La tierraadquiere una carga negativa de igual magnitud que la carga positiva inducida quepermanece en la esfera.

La carga por inducción funcionaría de igual manera si las cargas móviles de lasesferas fueran cargas positivas en vez de electrones con carga negativa, o inclusosi estuviesen presentes cargas móviles tanto positivas como negativas. En un con-ductor metálico las cargas móviles son siempre electrones negativos, pero sueleser conveniente describir un proceso como si las cargas en movimiento fuesen po-sitivas. En las soluciones iónicas y en los gases ionizados, tanto las cargas positi-vas como las negativas son móviles.

21.6 Carga de una esfera metálicapor inducción.

21.2 | Conductores, aisladores y cargas inducidas 799

Por último, advertimos que un cuerpo con carga eléctrica ejerce fuerzas inclusosobre objetos que no tienen carga en sí. Si se frota un globo sobre el tapete y luegose sostiene el globo contra el techo de la habitación, permanece adherido, pese a queel techo no tiene una carga eléctrica neta. Después de electrificar un peine pasándo-lo por el cabello, podemos recoger con él pedacitos de papel sin carga. ¿Cómo es po-sible que esto ocurra?

Esta interacción es un efecto de carga inducida. En la figura 21.6b la barra deplástico ejerce una fuerza neta de atracción sobre la esfera conductora no obstanteque la carga total de la esfera es cero, porque las cargas positivas están más próxi-mas a la barra que las cargas negativas. Incluso en un aislador, las cargas eléctricaspueden desplazarse un poco en un sentido u otro cuando hay una carga cerca. Estose muestra en la figura 21.7a; el peine de plástico con carga negativa provoca un pe-queño desplazamiento de carga dentro de las moléculas del aislador neutro, efectoque se conoce como polarización. Las cargas positivas y negativas del material es-tán presentes en cantidades equivalentes, pero las cargas positivas están más próxi-mas al peine de plástico y, por tanto, experimentan una atracción más intensa que larepulsión experimentada por las cargas negativas, lo que da por resultado una fuer-za de atracción neta. (En la sección 21.3 estudiaremos cómo dependen las fuerzaseléctricas de la distancia.) Observe que un aislador neutro también es atraído haciaun peine con carga positiva (Fig. 21.7b). En este caso las cargas del aislador se des-plazan en sentido opuesto; las cargas negativas del aislador están más próximas alpeine y experimentan una fuerza de atracción más intensa que la repulsión que seejerce sobre las cargas positivas del aislador. Así pues, un objeto con carga de uno uotro signo ejerce una fuerza de atracción sobre un aislador sin carga.

La atracción entre un objeto con carga y uno sin carga tiene numerosas aplica-ciones prácticas importantes, entre ellas el proceso electrostático de pintado que seutiliza en la industria automovilística (Fig. 21.8). El objeto metálico por pintar se conecta a la tierra, y se proporciona una carga eléctrica a las gotitas de pintura amedida que éstas salen de la boquilla de la pistola rociadora. Cuando las gotitas seaproximan, en el objeto aparecen cargas inducidas del signo opuesto, como se muestra en la figura 21.6b, las cuales atraen las gotitas hacia la superficie. Esteprocedimiento reduce al máximo el rociado en exceso debido a nubes de partículasdispersas de pintura, proporcionando un acabado particularmente liso.


A partir de la situación que se muestra en la figura 21.6a, describa cómo utiliza-ría una barra con carga para dar una carga positiva a la esfera metálica.

21.7 Las cargas que están dentro de lasmoléculas de un material aislante se pue-den desplazar un poco. En consecuencia,un peine con carga de cualquier signo atraea un aislador neutro. Por la tercera ley deNewton, el aislador neutro ejerce una fuer-za de atracción de igual magnitud sobre elpeine.

21.8 Proceso electrostático de pintado (compare las figuras 21.6b y 21.6c)


21.3 | Ley de Coulomb

Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) estudió en detalle, en 1784, las fuer-zas de interacción de las partículas con carga eléctrica. Utilizó una balanza de tor-sión (Fig. 21.9a) similar a la que utilizara Cavendish 13 años después paraestudiar la interacción gravitatoria, mucho más débil, como se explicó en la sec-ción 12.1. En el caso de las cargas puntuales, esto es, de cuerpos con carga queson muy pequeños en comparación con la distancia r que los separa, Coulomb en-contró que la fuerza eléctrica es proporcional a 1/r2. Es decir, cuando se duplica ladistancia r, la fuerza disminuye a de su valor inicial; cuando la distancia se redu-ce a la mitad, la fuerza aumenta a cuatro veces su valor inicial.

La fuerza eléctrica sobre una carga, debida a la interacción entre dos cargas pun-tuales también depende de la cantidad de carga de cada cuerpo, la cual denotaremoscomo q o Q. Para estudiar esta dependencia, Coulomb dividió una carga en dos par-tes iguales poniendo un conductor esférico pequeño con carga en contacto con unaesfera idéntica, pero sin carga; por simetría, la carga se distribuye equitativamente en-tre las dos esferas. (Dése cuenta del papel fundamental del principio de conservaciónde la carga en este procedimiento.) De este modo, Coulomb podía obtener un medio,un cuarto, y así sucesivamente, de cualquier carga inicial. Descubrió que las fuerzasque dos cargas puntuales q1 y q2 ejercen una sobre la otra son proporcionales a cadacarga y, en consecuencia, proporcionales al producto q1q2 de las dos cargas.

Fue así que Coulomb estableció lo que ahora conocemos como la ley de Coulomb:

La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan doscargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas einversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

En términos matemáticos, la magnitud F de la fuerza que cada una de las dos cargaspuntuales q1 y q2 ejerce sobre la otra separadas por una distancia r se expresa como

(21.1)donde k es una constante de proporcionalidad cuyo valor numérico depende delsistema de unidades que se utilice. Se usan barras de valor absoluto en la ecuación(21.1) porque las cargas q1 y q2 pueden ser positivas o negativas, en tanto que lamagnitud de la fuerza F siempre es positiva.

La dirección de las fuerzas que las dos cargas ejercen una sobre la otra siguensiempre la línea que las une. Cuando las cargas q1 y q2 tienen ambas el mismo sig-no, ya sea positivo o negativo, las fuerzas son de repulsión (Fig. 21.9 b) cuando lascargas poseen signos opuestos las fuerzas son de atracción (Fig.21.9c). Las dosfuerzas obedecen la tercera ley de Newton; siempre son de igual magnitud y condirecciones opuestas, incluso cuando las cargas no son del mismo tipo.

La proporcionalidad de la fuerza eléctrica con respecto a 1/r2 se ha comprobadocon gran precisión. No hay razón alguna para sospechar que el exponente no sea exac-tamente 2. Por tanto, la ecuación (21.1) es de la misma forma que la de la ley de gra-vitación. Pero las interacciones eléctricas y las gravitatorias son fenómenos de dosclases distintas. Las interacciones eléctricas dependen de las cargas eléctricas, y pue-den ser ya sea de atracción o de repulsión, en tanto que las interacciones gravitatoriasdependen de la masa y son siempre de atracción (porque no existe la masa negativa).

El valor de la constante de proporcionalidad k de la ley de Coulomb depende delsistema de unidades que se utilice. En nuestro estudio de la electricidad y el magne-tismo usaremos exclusivamente unidades SI. Las unidades eléctricas SI incluyen ensu mayor parte las unidades que conocemos, como el volt, el ampere, el ohm y el

F 5 k0 q1 q2 0

r 2

14

21.9 Balanza de torsión del tipo que em-pleó Coulomb para medir la fuerza eléctri-ca. (b) Las cargas eléctricas del mismosigno se repelen unas a otras. (c) Las car-gas eléctricas de signos opuestos se atraenmutuamente. En ambos casos las fuerzasobedecen la tercera ley de Newton:Fr

1 sobre 2 5 2Fr

2 sobre 1 .

21.3 | Ley de Coulomb 801

watt. (No hay un sistema británico de unidades eléctricas.) La unidad SI de cargaeléctrica es un coulomb (1 C). En unidades SI, la constante k de la ecuación (21.1) es

El valor de k se conoce con un número tan grande de dígitos significativos porqueeste valor está estrechamente relacionado con la rapidez de la luz en el vacío. (De-mostraremos esto en el capítulo 32, cuando estudiemos la radiación electromag-nética.) Como se explicó en la sección 1.3, esta rapidez ha sido definida comoexactamente c � 2.99792458 � 108 m/s. El valor numérico de k se define pre-cisamente en términos de c

Le recomendamos revisar esta expresión para confirmar que k tiene las unidadescorrectas.

En principio, se puede medir la fuerza eléctrica F entre dos cargas iguales q a unadistancia medida r y aplicar la ley de Coulomb para calcular la carga. Por tanto, sepodría considerar el valor de k como una definición práctica del coulomb. En cam-bio, por razones de precisión experimental, es mejor definir el coulomb desde elpunto de vista de una unidad de corriente eléctrica (carga en cada unidad de tiem-po), el ampere, que es igual a un coulomb en cada segundo. Retornaremos a estadefinición en el capítulo 28.

En unidades SI, la constante k de la ecuación (21.1) se escribe por lo general co-mo 1/4��0, donde �0 (“épsilon cero”) es otra constante. Esto parece complicar las cosas, pero en realidad simplifica muchas fórmulas que encontraremos en capítulosposteriores. De aquí en adelante, usualmente escribiremos la ley de Coulomb como

(Ley de Coulomb: fuerza entre dos cargas puntuales)

(21.2)

Las constantes de la ecuación (21.2) son aproximadamente

y

En los ejemplos y problemas usaremos con frecuencia el valor aproximado

que difiere en no más de 0.1% aproximadamente del valor correcto.Como mencionamos en la sección 21.1, la unidad de carga más fundamental es

la magnitud de la carga de un electrón o de un protón, que se denota como e. Elvalor más exacto disponible al momento de redactar este libro es

Un coulomb representa el negativo de la carga total de aproximadamente 6 � 1018

electrones. En comparación, un cubo de cobre de 1 cm por lado contiene de ma-nera aproximada 2.4 � 1024 electrones. Por el filamento incandescente de una lin-terna de mano pasan aproximadamente 1019 electrones cada segundo.

En los problemas de electrostática, esto es, aquellos en los que intervienen cargasen reposo, es muy poco frecuente encontrar cargas tan grandes como de un coulomb.Dos cargas de 1 C separadas por 1 m ejercerían una sobre otra fuerzas con una mag-nitud de 9 � 109 N (¡cerca de 1 millón de toneladas!). La carga total de todos los elec-

e 5 1.602176462 163 2 3 10219 C

1

4pP05 9.0 3 109 N # m2/C2

1

4pP05 k 5 8.988 3 109 N # m2/C2P0 5 8.854 3 10212 C2/N # m2

F 51

4pP0 0 q1 q2 0

r 2

k 5 11027 N # s2/C2 2 c2

k 5 8.987551787 3 109 N # m2/C2 > 8.988 3 109 N # m2/C2

11.1 Fuerza eléctrica: ley de Coulomb

11.2 Fuerza eléctrica: principio de superposición

11.3 Fuerza eléctrica: superposición(cuantitativa)

O N L I N E


trones de una moneda pequeña de cobre es aún mayor, de aproximadamente 1.4 �105 C, lo cual demuestra que no podemos alterar mucho la neutralidad eléctrica sinutilizar fuerzas enormes. Los valores más representativos de carga fluctúan desdeaproximadamente 10–9 hasta 10–6 C. Con frecuencia se utiliza el microcoulomb (1�C � 10–6 C) y el nanocoulomb (1 nC � 10–9 C) como unidades prácticas de carga.

EJECUTAR: La proporción de la fuerza eléctrica con respecto a lafuerza gravitatoria es

EVALUAR: Este número sorprendentemente grande muestra que,en esta situación, la fuerza gravitatoria es por completo insignifi-cante en comparación con la fuerza eléctrica. Esto siempre se cum-ple en las interacciones de partículas atómicas y subatómicas. (Désecuenta que este resultado no depende de la distancia r que separalas dos partículas �). En cambio, dentro de objetos del tamaño deuna persona o un planeta, las cargas positivas y negativas tienen ca-si la misma magnitud y la fuerza eléctrica neta es por lo regular mu-cho menor que la fuerza gravitatoria.

5 3.1 3 1035

Fe

Fg5

1

4pP0 G q2

m2 59.0 3 109 N # m2/C2

6.67 3 10211 N # m2/kg2 13.2 3 10219 C 2 2

16.64 3 10227 kg 2 2

Fuerza eléctrica contra fuerza gravitatoriaEjemplo

21.1

Una partícula � (“alfa”) es el núcleo de un átomo de helio. Tieneuna masa m � 6.64 � 10–27 kg y una carga q � �2e � 3.2 � 10–19

C. Compare la fuerza de repulsión eléctrica entre dos partículas �con la fuerza de atracción gravitatoria entre ellas.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La magnitud Fe de la fuerza eléctricaestá dada por la ecuación (21.2),

La magnitud Fg de la fuerza gravitatoria está dada por la ecua-ción (12.1),

Se comparan estas dos magnitudes calculando su proporción.

Fg 5 G

m2

r 2

Fe 51

4pP0

q2

r 2

1. Haga un dibujo que muestre la ubicación de las partículascon carga y rotule cada partícula con su carga. Esta etapaes especialmente importante si están presentes más de dospartículas con carga.

Ley de CoulombEstrategia para

resolver problemas

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: La ley de Coulombentra en juego siempre que se necesita conocer la fuerza eléctri-ca que actúa entre partículas con carga.

PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes:

Superposición de fuerzas

La ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe sólo la interacción dedos cargas puntuales. Los experimentos muestran que, cuando dos cargas ejercenfuerzas simultáneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre esacarga es la suma vectorial de las fuerzas que las dos cargas ejercerían individual-mente. Esta importante propiedad, llamada principio de superposición de fuerzas,es válida para cualquier número de cargas. Con base en este principio, podemosaplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas. Varios de los ejemplos alfinal de esta sección muestran aplicaciones del principio de superposición.

En términos estrictos, la ley de Coulomb como la hemos expresado sólo debeaplicarse a cargas puntuales en un vacío. Si hay materia en el espacio que separalas cargas, la fuerza neta que actúa sobre cada carga se altera porque se inducencargas en las moléculas del material interpuesto. Más adelante describiremos esteefecto. Desde un punto de vista práctico, no obstante, podemos utilizar la ley deCoulomb sin cambios en el caso de cargas puntuales en el aire. A la presión at-mosférica normal, la presencia de aire altera la fuerza eléctrica con respecto a suvalor en el vacío en sólo aproximadamente una parte en 2000.

21.3 | Ley de Coulomb 803

Puesto que las dos cargas tienen signos opuestos, la fuerza es deatracción; es decir, la fuerza que actúa sobre q2 está dirigida haciaq1 a lo largo de la recta que une las dos cargas, como se muestra enla figura 21.10b.

Fuerza entre dos cargas puntualesEjemplo

21.2

Dos cargas puntuales, q1 � �25 nC y q2 � –75 nC, están separadaspor una distancia de 3.0 cm (Fig. 21.10a). Encuentre la magnitud yla dirección de a) la fuerza eléctrica que q1 ejerce sobre q2; b) lafuerza eléctrica que q2 ejerce sobre q1.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se aplica la ley de Coulomb, ecuación(21.1), para calcular la magnitud de la fuerza que cada partícula ejer-ce sobre la otra. El problema nos pide la fuerza sobre cada partículadebida a la otra partícula; por tanto, se aplica la tercera ley de Newton.

EJECUTAR: a) Convirtiendo la carga a coulomb y la distancia a me-tros, la magnitud de la fuerza que q1 ejerce sobre q2 es

5 0.019 N

5 19.0 3 109 N # m2/C2 2

0 1125 3 1029 C 2 1275 3 1029 C 2 010.030 m 2 2

F1 sobre 2 51

4pP0

0 q1q2 0

r2

+ –

(a)

r

q1 q2

21.10 ¿Qué fuerza ejerce q1 sobre q2, y qué fuerza ejerce q2 sobreq1? Las fuerzas gravitatorias son insignificantes. (a) Las dos car-gas. (b) Diagrama de cuerpo libre de la carga q2.

4. Como siempre, es indispensable usar unidades congruen-tes. Con el valor de k � 1/4��0 ya citado, las distanciasdeben estar en metros, la carga en coulomb y la fuerza ennewtons. Si se le dan distancias en centímetros, pulgadaso estadios, ¡no olvide hacer conversiones! Cuando unacarga esté dada en microcoulomb (�C) o nanocoulomb(nC), recuerde que 1 �C � 10–6 C y 1 nC � 10–9 C.

5. Algunos ejemplos de éste y de capítulos posteriores tienenque ver con una distribución continua de carga a lo largode una línea recta o sobre una superficie. En estos casos lasuma vectorial descrita en el paso 3 se convierte en una in-tegral vectorial, que por lo regular se efectúa utilizandocomponentes. Se divide la distribución de carga total enfragmentos infinitesimales, se aplica la ley de Coulomb acada fragmento y luego se integra para hallar la suma vec-torial. A veces se puede llevar a cabo este proceso sin eluso explícito de la integración.

6. En muchas situaciones la distribución de carga es simétri-ca. Por ejemplo, se le podría pedir que encuentre la fuerzasobre una carga Q en presencia de otras dos cargas idénti-cas q, una arriba y a la izquierda de Q y la otra abajo y a laizquierda de Q. Si las distancias de Q a cada una de lasotras cargas son iguales, la fuerza que cada carga ejercesobre Q tiene la misma magnitud; si cada vector de fuerzaforma el mismo ángulo con el eje horizontal, sumar estosvectores para hallar la fuerza neta resulta particularmentefácil. Siempre que sea posible, aproveche las simetrías pa-ra simplificar el proceso de resolución del problema.

EVALUAR la respuesta: Compruebe que sus resultados numéri-cos sean razonables, y confirme que la dirección de la fuerzaeléctrica neta concuerda con el principio de que las cargas delmismo tipo se repelen y las cargas opuestas se atraen.

2. Si están presentes tres o más cargas y no todas se encuen-tran sobre la misma recta, construya un sistema de coor-denadas xy.

3. Con frecuencia será necesario hallar la fuerza eléctricaque se ejerce sobre una sola partícula. En tal caso, identi-fique esa partícula.

EJECUTAR la solución como sigue:1. Con respecto a cada partícula que ejerza una fuerza sobre

la partícula de interés, calcule la magnitud de esa fuerzamediante la ecuación (21.2).

2. Trace los vectores de fuerza eléctrica que actúan sobrela(s) partícula(s) de interés debidos a cada una de las otraspartículas; (es decir, haga una diagrama de cuerpo libre).Recuerde que la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre lapartícula 2 apunta de la partícula 2 hacia la partícula 1 silas dos cargas tienen signos opuestos, pero apunta desdela partícula 2 directamente alejándose de la partícula 1 silas cargas tienen el mismo signo.

3. Calcule la fuerza eléctrica total sobre la(s) partícula(s) deinterés. Recuerde que la fuerza eléctrica, como todas lasfuerzas, se representa por un vector. Cuando las fuerzas queactúan sobre una carga se deben a otras dos cargas o más, lafuerza total sobre la carga es la suma vectorial de las fuer-zas individuales. Puede ser conveniente repasar el álgebravectorial en las secciones de la 1.7 a la 1.9 del vol. 1. Sueleser útil emplear componentes en un sistema de coordenadasxy. Asegúrese de utilizar la notación vectorial correcta; siun símbolo representa una cantidad vectorial, ponga unaflecha encima de él. Si no es cuidadoso con su notación,también será descuidado en sus razonamientos.


Esta fuerza tiene una componente x negativa porque q3 es repelida(esto es, empujada en la dirección x negativa) por q1.

La magnitud F2 sobre 3 de la fuerza de q2 sobre q3 es

Esta fuerza tiene una componente x positiva porque q2 atrae a q3

(esto es, jala de ella en la dirección x positiva). La suma de las com-ponentes x es

No hay componentes y ni z. Por tanto, la fuerza total sobre q3 está diri-gida hacia la izquierda y tiene una magnitud de 28 �N � 2.8 � 10–5 N.

EVALUAR: Para comprobar la magnitud de las fuerzas individuales,adviértase que q2 tiene tres veces más carga (en términos de magni-tud) que q1, pero está dos veces más lejos de q3. Con base en laecuación (21.2), esto significa que F2 sobre 3 debe ser vecesF1 sobre 3. En efecto, nuestros resultados muestran que esta propor-ción es (84 �N)/(112 �N) � 0.75. El sentido de la fuerza neta tam-bién es razonable: es opuesta a y tiene unamagnitud mayor, por lo que la fuerza neta tiene el sentido deFr

1 sobre 3.

Fr

2 sobre 3,Fr

1 sobre 3

3/22 534

Fx 5 2112 mN 1 84m N 5 228 mN

5 8.4 3 1025 N 5 84 mN

5 19.0 3 109 N # m2/C2 21 3.0 3 1029 C 2 15.0 3 1029 C 2

10.040 m 2 2

F2 sobre 3 51

4pP0

0 q2q3 0

r2

5 1.12 3 1024 N 5 112 mN

5 19.0 3 109 N # m2/C2 211.0 3 1029 C 2 1 5.0 3 1029 C 2

10.020 m 2 2

F1 sobre 3 51

4pP0

0 q1q3 0

r 2

Suma vectorial de fuerzas eléctricas sobre una líneaEjemplo

21.3

Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje positivo de las x de unsistema de coordenadas (Fig. 21.11a). La carga q1 � 1.0 nC está a 2.0cm del origen, y la carga q2 � –3.0 nC está a 4.0 cm del origen.¿Cuál es la fuerza total que ejercen estas dos cargas sobre una car-ga q3 � 5.0 nC situada en el origen? Las fuerzas gravitatorias soninsignificantes.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: En este caso se tienen dos fuerzas eléctricas que ac-túan sobre la carga q3, y es necesario sumar estas fuerzas para ha-llar la fuerza total.

PLANTEAR: La figura 21.11a muestra el sistema de coordenadas.La variable que se busca es la fuerza eléctrica neta que ejercen lasotras dos cargas sobre la carga q3, y es la suma vectorial de las fuer-zas debidas a q1 y q2 individualmente.

EJECUTAR: La figura 21.11b es un diagrama de cuerpo libre de lacarga q3. Dése cuenta que q3 es repelida por q1 (que tiene el mismosigno) y atraída hacia q2 (que tiene el signo opuesto). Convirtiendola carga a coulomb y la distancia a metros, se aplica la ecuación(21.2) para hallar la magnitud F1 sobre 3 de la fuerza de q1 sobre q3:

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Como en el ejemplo 21.3, debemoscalcular la fuerza que cada carga ejerce sobre Q y enseguida hallar

Suma vectorial de fuerzas eléctricas en un planoEjemplo

21.4

En la figura 21.12, dos cargas puntuales positivas iguales, q1 � q2 �

2.0 �C interactúan con una tercera carga puntual Q � 4.0 �C. En-

cuentre la magnitud y la dirección de la fuerza total (neta) sobre Q.

2.0 cm

4.0 cm

q3 q1 q2

x (cm)O

(a)

+ –+

21.11 ¿Cuál es la fuerza total que ejercen sobre la carga puntualq3 las otras dos cargas? a) Las tres cargas. b) Diagrama de cuerpolibre para la carga q3.

b) Recuerde que la tercera ley de Newton es aplicable a la fuerzaeléctrica. No obstante que las cargas tienen magnitudes diferentes,la magnitud de la fuerza que q2 ejerce sobre q1 es igual a la magni-tud de la fuerza que q1 ejerce sobre q2:

F2 sobre 1 5 0.019 N

La tercera ley de Newton también establece que el sentido de lafuerza que q2 ejerce sobre q1 es exactamente opuesto al sentido dela fuerza que q1 ejerce sobre q2; esto se muestra en la figura 21.10c.

EVALUAR: Dése cuenta que la fuerza sobre q1 está dirigida haciaq2, como debe ser, puesto que las cargas de signo opuesto se atraenmutuamente.

21.4 | Campo eléctrico y fuerzas eléctricas 805

21.12 es la fuerza sobre Q debida a la carga superior q1.Fr

1 sobre Q

EVALUAR: La fuerza total sobre Q está en una dirección que noapunta ni directamente alejándose de q1 ni directamente alejándosede q2, sino que esta dirección es un término medio que apunta ale-jándose del sistema de cargas q1 y q2. ¿Ve usted que la fuerza totalno estaría en la dirección �x si q1 y q2 no fuesen iguales o si la dis-posición geométrica de las cargas no fuera tan simétrica?

la suma vectorial de las fuerzas. La manera más fácil de hacerlo esusar componentes.

EJECUTAR: La figura 21.12 muestra la fuerza sobre Q debida a lacarga superior q1. Por la ley de Coulomb, la magnitud F de estafuerza es

El ángulo � está abajo del eje de las x; por tanto, las componentesde esta fuerza están dadas por

La carga inferior q2 ejerce una fuerza de la misma magnitud pero a un ángulo � arriba del eje de las x. Por simetría, vemos que sucomponente x es equivalente a la debida a la carga superior, pero su componente y tiene signo opuesto. Por tanto, las componentes dela fuerza total sobre Q son

La fuerza total sobre Q está en la dirección �x y su magnitud es de0.46 N.

Fy 5 20.17 N 1 0.17 N 5 0

Fx 5 0.23 N 1 0.23 N 5 0.46 N

Fr

1F1 sobre Q 2 y 5 2 1F1 sobre Q 2 sen a 5 2 10.29 N 20.30 m

0.50 m5 20.17 N

1F1 sobre Q 2 x 5 1F1 sobre Q 2 cos a 5 10.29 N 20.40 m

0.50 m5 0.23 N

5 0.29 N

F1 sobre Q 5 1 9.0 3 109 N # m2/C2 21 4.0 3 1026 C 2 1 2.0 3 1026 C 2

1 0.50 m 2 2


Suponga que la carga q2 del ejemplo 21.4 es igual a –2.0 �C. Demuestre que en este casola fuerza eléctrica total sobre Q tendría la dirección y negativa y una magnitud de 0.34 N.

21.4 | Campo eléctrico y fuerzas eléctricas

Cuando dos partículas con carga eléctrica en el espacio vacío interactúan, ¿cómosabe cada una que la otra está ahí? ¿Qué ocurre en el espacio entre ellas que co-munica el efecto de cada una a la otra? Podemos comenzar a responder estas pre-guntas, y al mismo tiempo formular de nuevo la ley de Coulomb de un modo muyútil, empleando el concepto de campo eléctrico.

A fin de presentar este concepto, examinemos la repulsión mutua de dos cuerposcon carga positiva A y B (Fig. 21.13a). Supóngase que B tiene una carga q0, y sea la fuerza eléctrica que A ejerce sobre B. Una manera de concebir esta fuerza es co-

Fr

0

21.13 Un cuerpo con carga produce uncampo eléctrico en el espacio que lo rodea.


mo una fuerza de “acción a distancia”; es decir, como una fuerza que actúa a travésdel espacio vacío sin necesitar materia alguna (como una varilla que la empuje o deuna cuerda) que la transmita a través de él. (También se puede pensar en la fuerzade gravedad como en una fuerza de “acción a distancia”.) Pero una manera másfructífera de visualizar la repulsión entre A y B es como un proceso de dos etapas.Primero imaginamos que el cuerpo A, como resultado de la carga que tiene, de al-gún modo modifica las propiedades del espacio que lo rodea. Por tanto, el cuerpoB, en virtud de su propia carga, percibe cómo se ha modificado el espacio donde élse encuentra. La respuesta del cuerpo B consiste en experimentar la fuerza .

Para explicar con más detalle cómo se lleva a cabo este proceso, consideremosprimero el cuerpo A solo: quitamos el cuerpo B y marcamos la posición que ocu-paba como el punto P (Fig. 21.13b). Decimos que el cuerpo con carga A produceo causa un campo eléctrico en el punto P (y en todos los demás puntos de las cer-canías). Este campo eléctrico está presente en P incluso cuando no hay otra cargaen P; es una consecuencia de la carga del cuerpo A, exclusivamente. Si a continua-ción se coloca una carga puntual q0 en el punto P, la carga experimenta la fuerza

. Adoptamos el punto de vista de que el campo en P ejerce esta fuerza sobre q0

(Fig. 21.13c). Así pues, el campo eléctrico es el intermediario a través del cual Acomunica su presencia a q0. Puesto que la carga puntual q0 experimentaría unafuerza en cualquier punto de las cercanías de A, el campo eléctrico que A produceen todos los puntos de la región alrededor de A.

De manera análoga, se puede afirmar que la carga puntual q0 produce un cam-po eléctrico en el espacio circundante, y que este campo eléctrico ejerce la fuerza

sobre el cuerpo A. Con respecto a cada fuerza (la fuerza de A sobre q0 y lafuerza de q0 sobre A), una carga establece un campo eléctrico que ejerce una fuer-za sobre la segunda carga. Conviene insistir en que ésta es una interacción entredos cuerpos con carga. Un cuerpo solo produce un campo eléctrico en el espaciocircundante, pero este campo eléctrico no puede ejercer una fuerza neta sobre lacarga que lo creó; éste es un ejemplo del principio general de que un cuerpo nopuede ejercer una fuerza neta sobre sí mismo, como se explicó en la sección 4.3.(Si este principio no fuera válido, ¡podríamos alzarnos hasta el cielo raso tirandode nuestro cinturón!) La fuerza eléctrica sobre un cuerpo con carga es ejerci-da por el campo eléctrico creado por otros cuerpos con carga.

Para averiguar de forma experimental si existe un campo eléctrico en un punto enparticular, se coloca un cuerpo pequeño con carga, llamado carga de prueba, en esepunto (Fig. 21.13c). Si la carga de prueba experimenta una fuerza eléctrica, enton-ces existe un campo eléctrico en ese punto. Este campo es producido por cargas dis-tintas de q0.

La fuerza es una magnitud vectorial; por tanto, el campo eléctrico también esuna magnitud vectorial. (Dése cuenta del uso de signos de vector, así como de le-tras en negritas y signos de más, menos e igual en la exposición que sigue). Se de-fine la intensidad del campo eléctrico en un punto como el cociente de la fuerzaeléctrica que experimenta una carga de prueba q0 en ese punto entre la carga q0.Es decir, el campo eléctrico en un punto determinado es igual a la fuerza eléctri-ca en cada unidad de carga que experimenta una carga en ese punto:

(definición del campo eléctrico como fuerza eléctrica en cada unidad de carga)

(21.3)

En unidades SI, en las que la unidad de fuerza es 1 N, y la unidad de carga, 1 C, launidad de la magnitud de campo eléctrico es 1 newton por coulomb (1 N/C).

Er

5Fr

0

q0

Fr

0

Er

2Fr

0

Fr

0

Fr

0

Si se conoce el campo en un punto determinado, reorganizando la ecuación(21.3) se obtiene la fuerza que experimenta una carga puntual q0 colocada enese punto. Esta fuerza es precisamente igual al campo eléctrico producido en esepunto por cargas distintas a q0, multiplicado por la carga q0:

(fuerza ejercida sobre una carga puntual q0 por un campo eléctrico )

(21.4)

La carga q0 puede ser positiva o negativa. Si q0 es positiva, la fuerza que la car-ga experimenta tiene el mismo sentido que ; si q0 es negativa, y tienen sen-tidos opuestos (Fig. 21.14).

Si bien el concepto de campo eléctrico puede resultar novedoso, la idea básica—de que un cuerpo establece un campo en el espacio que lo rodea, y un segundocuerpo responde a ese campo— ya la hemos utilizado. Compárese la ecuación(21.4) con la conocida expresión de la fuerza gravitatoria que la Tierra ejercesobre una masa m0:

(21.5)

En esta expresión, es la aceleración debida a la gravedad. Si se dividen amboslados de la ecuación (21.5) entre la masa m0, se obtiene

Por tanto, podemos considerar a como la fuerza gravitatoria en cada unidad demasa. Por analogía con la ecuación (21.3), podemos interpretar como el campogravitatorio. De este modo, tratamos la interacción gravitatoria entre la Tierra y lamasa m0 como un proceso de dos etapas: la Tierra establece un campo gravitato-rio en el espacio que la rodea, y este campo gravitatorio ejerce una fuerza, dadapor la ecuación (21.5), sobre la masa m0 (la cual podemos considerar como unamasa de prueba). En este sentido, hemos hecho uso del concepto de campo cadavez que utilizamos la ecuación (21.5) de la fuerza de gravedad. El campo gravita-torio , o fuerza gravitatoria en cada unidad de masa, es un concepto útil porqueno depende de la masa del cuerpo sobre la que se ejerce la fuerza gravitatoria; aná-logamente, el campo eléctrico , o fuerza eléctrica por unidad de carga, es útil por-que no depende de la carga del cuerpo sobre la que se ejerce la fuerza eléctrica.

La fuerza eléctrica que experimenta una carga de prueba puedevariar de un punto a otro, por lo que el campo eléctrico también puede ser dife-rente en puntos distintos. Por esta razón, la ecuación (21.4) se usa sólo para hallarla fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Si un cuerpo con carga tiene un tama-ño suficientemente grande, el campo eléctrico puede ser notoriamente dife-rente en términos de magnitud y dirección en distintos puntos del cuerpo, y elcálculo de la fuerza eléctrica sobre el cuerpo puede llegar a ser muy complicado.

Hasta ahora hemos pasado por alto una sutil pero importante dificultad queplantea nuestra definición de campo eléctrico: en la figura 21.13 la fuerza ejerci-da por la carga de prueba q0 sobre la distribución de carga en el cuerpo A puedeprovocar desplazamientos de esta distribución. Esto ocurre especialmente cuandoel cuerpo A es un conductor, en el que la carga tiene libertad de movimiento. Porconsiguiente, el campo eléctrico alrededor de A cuando q0 está presente puede noser el mismo que cuando q0 está ausente. No obstante, si q0 es muy pequeña la re-distribución de la carga del cuerpo A también es muy pequeña. De modo que, pa-

Er

q0CUIDADO

Er

gr

gr

grgr

gr 5Fr

g

m0

grFr

g 5 m0 gr

Fr

g

Er

Fr

0Er

Fr

0

Er

Fr

0 5 q0 Er

Er

Fr

0

Er


21.14 Fuerza que ejerce sobreuna carga puntual q0 un campo eléctrico E

r

.Fr

0 5 q0 Er

11.4 Campo eléctrico: carga puntual

11.9 Movimiento de una carga en uncampo eléctrico: introducción

11.10 Movimiento en un campo eléctrico: problemas

O N L I N E


ra tener una definición totalmente correcta del campo eléctrico, tomamos el lími-te de la ecuación (21.3) conforme la carga q0 se aproxima a cero y conforme elefecto perturbador de q0 sobre la distribución de carga se torna insignificante:

En los cálculos prácticos del campo eléctrico producido por una distribución decarga consideraremos esta distribución como fija; en consecuencia, no será nece-sario este procedimiento de tomar límites.

Si la distribución de la fuente es una carga puntual q, es fácil hallar el campoeléctrico que produce. Llamaremos punto de origen a la ubicación de la carga, ypunto de campo al punto P donde estamos determinando el campo. También es útilintroducir un vector unitario que apunta a lo largo de la recta que va del punto defuente al punto de campo (Fig. 21.15a). Este vector unitario es igual al cociente delvector de desplazamiento del punto de fuente al punto de campo entre la distancia

que separa estos dos puntos; es decir: Si se coloca una carga pe-queña de prueba q0 en el punto de campo P, a una distancia r del punto de origen, la magnitud F0 de la fuerza está dada por la ley de Coulomb [ecuación (21.2)]:

De la ecuación (21.3), la magnitud E del campo eléctrico en P es

(21.6)

Con base en el vector unitario , podemos escribir una ecuación vectorial que pro-porciona tanto la magnitud como la dirección del campo eléctrico :

(21.7)

Por definición, el campo eléctrico de una carga puntual siempre apunta alejándose dela carga positiva (es decir, en el mismo sentido que véase la Fig. 21.15b) pero ha-cia una carga negativa (es decir, en sentido opuesto a véase la Fig. 21.15c).

Hemos hecho hincapié en el cálculo del campo eléctrico en un punto determi-nado. Sin embargo, puesto que puede variar de un punto a otro, no es una solacantidad vectorial, sino más bien un conjunto infinito de cantidades vectoriales, unaasociada con cada punto del espacio. Éste es un ejemplo de campo vectorial. La fi-gura 21.16 muestra un cierto número de los vectores de campo que produce una car-ga puntual. Si utilizamos un sistema de coordenadas rectangulares (xyz), cadacomponente de en cualquier punto es, en general, una función de las coordenadas(x, y, z) del punto. Podemos representar las funciones como Ex(x, y, z), Ey(x, y, z) yEz(x, y, z). Los campos vectoriales son parte importante del lenguaje de la física, nosólo en la electricidad y el magnetismo. Un ejemplo ordinario de campo vectorial esla velocidad de las corrientes eólicas; la magnitud y dirección de y, por tanto, suscomponentes vectoriales, varían de un punto a otro en la atmósfera.

En ciertas situaciones la magnitud y dirección del campo (y, por tanto, sus com-ponentes vectoriales) tienen los mismos valores en todos los puntos de una región de-terminada; en tales casos se dice que el campo es uniforme en esta región. Unejemplo importante es el campo eléctrico en el interior de un conductor. Si hay uncampo eléctrico dentro de un conductor, el campo ejerce una fuerza sobre cada unade las cargas del conductor, e imparte a las cargas libres un movimiento neto. Por de-

vrvr

Er

Er

Er

r;r;

Er

51

4pP0

q

r2 r 1 campo eléctrico de una carga puntual 2

Er

r

E 51

4pP0

0 q 0r2 1magnitud del campo eléctrico de una carga puntual 2

F0 51

4pP0 0 qq0 0r 2

r 5 rr/r.r 5 0 rr 0rr

r

Er

Er

5 límq0S0

F0r

q0

21.15 El campo eléctrico que produceen el punto P una carga puntual aislada q en F. Dése cuenta que, tanto en (b) comoen (c), es producido por q [véase laecuación 21.7)] pero actúa sobre la cargaq0 en el punto P [véase la ecuación (21.4)].

Er

Er

q+

Er

21.16 Una carga puntual q establece uncampo eléctrico en todos los puntos delespacio. La intensidad del campo disminu-ye al aumentar la distancia. La distribuciónde campo que aquí se muestra correspondea una carga positiva; en la distribución co-rrespondiente a una carga negativa, losvectores de campo apuntan hacia la carga(véase la Fig. 21.15c).

Er


finición, una situación electrostática es aquella en la que las cargas no tienen un mo-vimiento neto. Se concluye que en electrostática el campo eléctrico en todos los pun-tos dentro del material de un conductor debe ser cero. (Dése cuenta que esto nosignifica que el campo sea necesariamente cero en un hueco dentro de un conductor).

Con el concepto de campo eléctrico, nuestra descripción de las interaccioneseléctricas consta de dos partes. Primero, una distribución de carga determinadaactúa como fuente de campo eléctrico. Segundo, el campo eléctrico ejerce unafuerza sobre toda carga que esté presente en el campo. Nuestro análisis suele te-ner dos etapas correspondientes: la primera consiste en calcular el campo creadopor una distribución de carga de fuente; la segunda, en examinar el efecto delcampo en términos de fuerza y movimiento. En la segunda etapa suelen intervenirlas leyes de Newton, así como los principios de las interacciones eléctricas. En lasección que sigue mostraremos cómo calcular campos creados por diversas distri-buciones de carga, pero antes presentaremos algunos ejemplos de cómo calcularel campo eléctrico debido a una carga puntual y cómo hallar la fuerza sobre la car-ga debida a un campo eléctrico dado .E

r

EVALUAR: Para comprobar el resultado, se emplea la definición decampo eléctrico como la fuerza eléctrica en cada unidad de carga. Pri-mero se aplica la ley de Coulomb [ecuación (21.2)] para hallar la mag-nitud F0 de la fuerza sobre una carga de prueba colocada a 2.0 m de q:

Entonces, por la ecuación (21.3), la magnitud de es

Ya que q es positiva, la dirección de en este punto sigue la líneaque va de q hacia q0, como se muestra en la figura 21.15b. No obs-tante, la magnitud y dirección de no dependen del signo de q0.¿Ve usted por qué no?

Er

Er

E 5F0

0 q0 05 9.0 N/C

Er

5 19.0 N/C 2 0 q0 0

F0 51

4pP0

0 qq0 0

r2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 24.0 3 1029 C 0 q0 0

12.0 m 2 2

Magnitud del campo eléctrico de una carga puntualEjemplo

21.5

¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en un punto del campo si-tuado a 2.0 m de una carga puntual q � 4.0 nC? (La carga puntualpodría representar cualquier objeto pequeño con carga con este va-lor de q, siempre y cuando las dimensiones del objeto sean muchomenores que la distancia del objeto al punto de campo).

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se da la magnitud de la carga y la dis-tancia del objeto al punto del campo; por tanto, se usa la ecuación(21.6) para calcular la magnitud del campo E.

EJECUTAR: De la ecuación (21.6),

5 9.0 N/C

E 51

4pP0

0 q 0r2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 4.0 3 1029 C

12.0 m 2 2

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El campo eléctrico está dado en formavectorial por la ecuación (21.17). Para emplear esta ecuación, se utili-za el sistema de coordenadas de la figura 21.17 para hallar la distan-cia del punto de origen F (la posición de la carga q) al punto de campoP, así como el vector unitario que apunta en la dirección de F a P.

EJECUTAR: La distancia de la carga al punto de origen F (que eneste ejemplo está en el origen O) al punto de campo P es

El vector unitario está orientado del punto de origen al punto decampo. Esto equivale al cociente del vector de desplazamiento delpunto de origen al punto de campo (que se muestra desplazado ha-

rrr

r 5 "x2 1 y2 5 "11.2 m 2 2 1 121.6 m 2 2

5 2.0 m

r

Vector de campo eléctrico de una carga puntualEjemplo

21.6

Una carga puntual q � –8.0 nC está situada en el origen. Encuentreel vector de campo eléctrico en el punto de campo x � 1.2 m, y �–1.6 m (Fig. 21.17).

21.17 Vectores y de una carga puntual.Er

r,rr,


Por tanto, el vector de campo eléctrico es

EVALUAR: Dado que q es negativa, se dirige del punto de campoa la carga (el punto de origen), en el sentido opuesto a (compáre-se con la Fig. 21.15c). Se deja el cálculo de la magnitud y direcciónde como ejercicio.E

r

rEr

5 1211 N/C 2 d 1 114 N/C 2e

5 19.0 3 109 N # m2/C2 2128.0 3 1029 C 2

12.0 m 2 210.60 d 2 0.80e 2

Er

51

4pP0

q

r2 r

cia un lado en la figura 21.17 para no ocultar los otros vectores) en-tre su magnitud r:

511.2 m 2 d 1 121.6 m 2 e

2.0 m5 0.60d 2 0.80e

r 5rr

r5

x d 1 y e

r

PLANTEAR: La figura 21.18 muestra un sistema de coordenadas. Seda el campo eléctrico; por tanto, se aplica la ecuación (21.4) para ha-llar la fuerza sobre el electrón y la segunda ley de Newton para en-contrar su aceleración. Puesto que el campo es uniforme entre lasplacas, la fuerza y la aceleración son constantes y se pueden aplicarlas fórmulas de aceleración constante del capítulo 3 para hallar lavelocidad y el tiempo de recorrido del electrón. La energía cinéticase encuentra por medio de la definición

EJECUTAR: a) Adviértase que es ascendente (en la dirección �y)pero es descendente porque la carga del electrón es negativa. Portanto, Fy es negativa.

Puesto que Fy es constante, el electrón se mueve con aceleraciónconstante ay, dada por

¡Se trata de una aceleración enorme! Para imprimirle esta acelera-ción a un automóvil de 1000 kg, se necesitaría una fuerza de alre-dedor de 2 � 1018 N (aproximadamente 2 � 1014 tons.). La fuerzagravitatoria sobre el electrón es por completo insignificante encomparación con la fuerza eléctrica.b) El electrón está inicialmente en reposo, por lo que su movimien-to es sólo en la dirección y (la dirección de la aceleración). Pode-mos hallar la rapidez del electrón en cualquier posición mediante lafórmula de aceleración constante vy

2 � v0y2 � 2ay(y – y0). Tenemos

v0y � 0 y y0 � 0; por tanto, la rapidez |vy| cuando y � –1.0 cm �–1.0 � 10–2 m es

La velocidad es descendente; por tanto, su componente y es vy �

–5.9 � 106 m/s. La energía cinética del electrón es

5 1.6 3 10217 J

K 51

2 mv2 5

1

219.11 3 10231 kg 2 1 5.9 3 106 m/s 2 2

5 5.9 3 106 m/s

0 vy 0 5 "2ay y 5 "2 121.76 3 1015 m/s2 2 121.0 3 1022 m 2

5 21.76 3 1015 m/s2

ay 5Fy

m5

2eE

m5

121.60 3 10219 C 2 1 1.00 3 104 N/C 29.11 3 10231 kg

Fr

Er

K 512mv2.

Electrón en un campo uniformeEjemplo

21.7

Cuando se conectan los bornes de una batería a dos placas conducto-ras grandes paralelas, las cargas resultantes en las placas originan, en la región comprendida entre las placas, un campo eléctrico que escasi uniforme. (Veremos la razón de esta uniformidad en la sección si-guiente. Las placas con carga de este tipo se usan en ciertos dispositi-vos eléctricos comunes llamados capacitores, los cuales se estudiaránen el capítulo 24). Si las placas son horizontales y están separadas 1.0cm y conectadas a una batería de 100 volt, la magnitud del campo esE � 1.00 � 104 N/C. Supóngase que la dirección de es vertical as-cendente, como lo muestran los vectores de la figura 21.18. a) Si se li-bera un electrón en reposo en la placa superior, ¿cuál es suaceleración? b) ¿Qué rapidez y qué energía cinética adquiere al reco-rrer 1.0 cm hacia la placa inferior? c) ¿Cuánto tiempo se requiere pa-ra que el electrón recorra esta distancia? Un electrón tiene una carga–e � –1.60 � 10–19 C y una masa m � 9.11 � 10–31 kg.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: En este ejemplo intervienen varios conceptos: la re-lación entre campo eléctrico y fuerza eléctrica, la relación entrefuerza y aceleración, la definición de energía cinética y las relacio-nes cinemáticas entre aceleración, distancia, velocidad y tiempo.

Er

Er

–+ O

100 V

y

1.0 cm

x–

Er

F � �eEr r

21.18 Campo eléctrico uniforme entre dos placas conductoras pa-ralelas conectadas a una batería de 100 volt. (En esta figura se haexagerado la separación de las placas en comparación con las di-mensiones de éstas).

21.5 | Cálculos de campos eléctricos 811

EVALUAR: Este ejemplo muestra que, cuando se resuelven problemasacerca de partículas subatómicas como los electrones, muchas magni-tudes, como la aceleración, la rapidez, la energía cinética y el tiempo,tienen valores muy diferentes de los que hemos observado en objetosordinarios como pelotas y automóviles.

c) Con base en la fórmula de aceleración constante vy � v0y � ayt,resulta que el tiempo necesario es muy breve:

(También se podría haber hallado el tiempo despejando t de la ecua-ción ).y 5 y0 1 v0y t 1

12 ay t 2

5 3.4 3 1029 s

t 5vy 2 v0y

ay5

125.9 3 106 m/s 2 2 10 m/s 221.76 3 1015 m/s2

tatorio de la Tierra (estudiada en la sección 3.3). Con una velocidadinicial dada del electrón, la curvatura de la trayectoria depende de lamagnitud del campo E. Si se invierten los signos de las cargas de las dos placas de la figura 21.19, se invierte la dirección de , yla trayectoria del electrón se curvará hacia arriba, no hacia abajo. Deeste modo se puede “dirigir” el electrón modificando las cargas de las placas. El campo eléctrico entre placas conductoras con cargase utiliza en esta forma para gobernar la trayectoria de los haces deelectrones en los osciloscopios.

Er

Trayectoria de un electrónEjemplo

21.8

Si se lanza un electrón dentro del campo eléctrico del ejemplo 21.7con una velocidad horizontal inicial v0 (Fig. 21.19), ¿cuál es laecuación de su trayectoria?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La fuerza y la aceleración son cons-tantes e iguales a las del ejemplo 21.7, y no hay aceleración en la di-rección x. Por consiguiente, se pueden utilizar las ecuacionescinemáticas del capítulo 3 que describen el movimiento bidimen-sional con aceleración constante.

EJECUTAR: Se tiene ax � 0 y ay � (–e)E/m. En t � 0, x0 � y0 � 0,v0x � v0 y v0y � 0; por tanto, en el tiempo t,

Eliminando t entre estas ecuaciones se obtiene

EVALUAR: Ésta es la ecuación de una parábola, como la de la tra-yectoria de un proyectil lanzado horizontalmente en el campo gravi-

y 5 2 1

2

eE

mv0

2 x 2

x 5 v0 t y y 51

2 ay t 2 5 2

1

2 eE

m t 2

–+

O100 V

y

v0x

–

– Er

F � �eEr r

21.19 Trayectoria parabólica de un electrón en un campo eléctri-co uniforme.


En el ejemplo 21.4 (sección 21.3), ¿cuál es el campo eléctrico debido a las cargasq1 y q2 en el punto x � 0.40 m, y � 0?

21.5 | Cálculos de campos eléctricos

La ecuación (21.7) proporciona el campo eléctrico originado por una sola carga pun-tual. Pero en casi todas las situaciones reales en las que intervienen campos eléc-tricos y fuerzas encontramos carga distribuida en el espacio. Las barras deplástico y de vidrio con carga de la figura 21.1 tienen carga eléctrica distribuidaen su superficie, como también la tiene el tambor formador de imágenes de unaimpresora láser (Fig. 21.2). En esta sección aprenderemos a calcular campos eléc-tricos creados por diversas distribuciones de carga eléctrica. Los cálculos de estaclase tienen una importancia enorme en las aplicaciones tecnológicas de fuerzaseléctricas. Para determinar trayectorias de electrones en un cinescopio, de núcleosatómicos en un acelerador para radioterapia de cáncer o de partículas con carga en


un dispositivo electrónico semiconductor, es necesario conocer la naturaleza por-menorizada del campo eléctrico que actúa sobre las cargas.

Para hallar el campo creado por una distribución de cargas, conviene considerarla distribución como compuesta de muchas cargas puntuales q1, q2, q3,.... (Ésta es enefecto una descripción bastante realista, pues hemos visto que la carga se encuentraen electrones y protones tan pequeños que son casi como puntos). En cualquier pun-to dado P, cada carga puntual produce su propio campo eléctrico . . . ,de modo que una carga de prueba q0 colocada en P experimenta una fuerza

ejercida por la carga q1, una fuerza ejercida por la carga q2,y así sucesivamente. Por el principio de superposición de fuerzas analizado en lasección 21.3, la fuerza total que la distribución de carga ejerce sobre q0 es la su-ma vectorial de estas fuerzas individuales:

El efecto combinado de todas las cargas de la distribución queda descrito por elcampo eléctrico total en el punto P. Con base en la definición de campo eléc-trico [ecuación (21.3)], esto es

El campo eléctrico total en P es la suma vectorial de los campos en P debidos acada carga puntual de la distribución de carga. Éste es el principio de superposi-ción de campos eléctricos.

Cuando la carga está distribuida a lo largo de una línea, sobre una superficie o enun volumen, algunos otros términos resultan útiles. En el caso de una distribución decarga lineal (como una barra de plástico larga y delgada con carga), se representa co-mo � (“lambda”) la densidad lineal de carga (carga en cada unidad de longitud, me-dida en C/m). Cuando la carga está distribuida sobre una superficie (como lasuperficie del tambor formador de imágenes de una impresora láser), se representa co-mo (“sigma”) la densidad superficial de carga (carga en cada unidad de área, me-dida en C/m2). Y cuando la carga está distribuida en un volumen, se representa como (“ro”) la densidad volumétrica de carga (carga en cada unidad de volumen, C/m3).

Algunos de los cálculos de los ejemplos que siguen pueden parecer muy intrin-cados; en los cálculos de campos eléctricos es parte integral de su naturaleza uncierto grado de complejidad matemática. Después de haber resuelto por cuentapropia los ejemplos paso a paso, el procedimiento parecerá menos temible. En elcapítulo 28 haremos uso de muchas de las técnicas de cómputo de estos ejemplospara calcular los campos magnéticos creados por cargas en movimiento.

Er

5Fr

0

q05 E

r

1 1 Er

2 1 Er

3 1 %

Er

Fr

0 5 Fr

1 1 Fr

2 1 Fr

3 1 % 5 q0 Er

1 1 q0 Er

2 1 q0 Er

3 1 %

Fr

0

Fr

2 5 q0 Er

2Fr

1 5 q0 Er

1

Er

3 ,Er

2 ,Er

1 ,

veces el punto del campo estará en alguna posición arbi-traria a lo largo de una línea. Por ejemplo, se nos podríapedir hallar en cualquier punto sobre el eje de las x.

EJECUTAR la solución como sigue:1. Asegúrese de emplear un conjunto congruente de unida-

des. Las distancias deben estar en metros, y la carga, encoulomb. Si los datos están en centímetros o en nanocou-lomb, no olvide hacer las conversiones.

2. Al adicionar los campos eléctricos creados por diferentespartes de la distribución de carga, recuerde que el campo

Er

Cálculo del campo eléctricoEstrategia para

resolver problemas

IDENTIFICAR los conceptos pertinentes: Aplique el principiode superposición siempre que necesite calcular el campo eléc-trico debido a una distribución de carga (dos o más cargas pun-tuales, una distribución en una línea, superficie o volumen o unacombinación de éstos).

PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos:1. Haga un dibujo que muestre con claridad la ubicación de

las cargas y de los ejes de coordenadas elegidos.2. En su dibujo, indique la posición del punto del campo (el

punto en el que se desea calcular el campo eléctrico ). AEr

11.5 Campo eléctrico debido a un dipolo

11.6 Campo eléctrico: problemas

O N L I N E


pre apunta del punto de origen hacia el punto del campo sila carga es positiva, y apunta en el sentido opuesto si lacarga es negativa.

6. En ciertas situaciones se tiene una distribución continua decarga a lo largo de una línea, sobre una superficie o en un vo-lumen. En tales casos se debe definir un elemento pequeñode carga que se pueda considerar como un punto, hallar sucampo eléctrico en el punto P, y encontrar una forma de adi-cionar los campos de todos los elementos de carga. Por lo re-gular es más fácil hacer esto con respecto a cada componentede por separado, y en muchos casos será necesario evaluaruna o más integrales. Cerciórese de que los límites de sus in-tegrales sean correctos; en especial cuando la situación pre-sente simetría, asegúrese de no contar la carga dos veces.

EVALUAR la respuesta: Compruebe que la dirección de searazonable. Si su resultado de la magnitud del campo eléctrico Ees función de la posición (por ejemplo, la coordenada x), com-pruebe su resultado dentro de los límites entre los que sepa quela magnitud debe estar. Si es posible, compruebe su respuestacalculándola de otro modo.

Er

Er

eléctrico es una magnitud vectorial, por lo que es forzosocalcular la suma vectorial. No adicione de manera simple lasmagnitudes de los campos individuales; también las direc-ciones son importantes.

3. Aproveche toda simetría de la distribución de carga. Porejemplo, si una carga positiva y una carga negativa deigual magnitud se encuentran situadas simétricamente conrespecto al punto del campo, producen campos eléctricosde igual magnitud pero con direcciones que son comoimágenes en el espejo. El aprovechamiento de estas sime-trías simplificará los cálculos.

4. La mayoría de las veces utilizará componentes para calcu-lar sumas vectoriales. Aplique los métodos que aprendióen el capítulo 1; repáselos, si es necesario. Utilice la nota-ción vectorial correcta; distinga minuciosamente entre es-calares, vectores y componentes de vectores. Cercióresede que las componentes sean congruentes con los ejes decoordenadas elegidos.

5. Al calcular las direcciones de los vectores , tenga cuida-do de distinguir entre el punto de origen y el punto delcampo. El campo producido por una carga puntual siem-

Er

el campo eléctrico producido por q1, el campo originado por q2, y elcampo total a) en el punto a; b) en el punto b; y c) en el punto c.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 21.20 muestra el sistema decoordenadas y la ubicación de los tres puntos del campo a, b y c.

EJECUTAR: a) En el punto a el campo creado por la carga positi-va q1 y el campo creado por la carga negativa q2 están ambos di-rigidos hacia la derecha. Las magnitudes respectivas de y son

Las componentes de y son

Por tanto, en el punto a las componentes del campo eléctrico totalson

1Ea 2 y 5 E1y 1 E2y 5 0

1Ea 2 x 5 E1x 1 E2 x 5 13.0 1 6.8 2 3 104 N/C

Er

a 5 Er

1 1 Er

2

E2y 5 0 E2 x 5 6.8 3 104 N/C

E1y 5 0 E1x 5 3.0 3 104 N/C

Er

2Er

1

5 6.8 3 104 N/C

E2 51

4pP0 0 q2 0r 2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 12 3 1029 C

10.040 m 2 2

5 3.0 3 104 N/C

E1 51

4pP0 0 q1 0r 2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 12 3 1029 C

10.060 m 2 2

Er

2Er

1

Er

2

Er

1

Campo de un dipolo eléctricoEjemplo

21.9

Las cargas puntuales q1 y q2 de �12 nC y –12 nC, respectivamente,se encuentran separadas por una distancia de 0.10 m (Fig. 21.20).Esta combinación de dos cargas de igual magnitud y signo opuestose llama dipolo eléctrico. (Las combinaciones de este tipo se presen-tan con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, en la figura 21.7cada molécula del aislador neutro es un dipolo eléctrico. Estudiare-mos los dipolos con más detenimiento en la sección 21.7.) Calcule

q2q1 abx

y

c

4.0cm

6.0cm

4.0cm

+ –

13.0 cm 13.0 cm

a

a

aEar

Ebr

Ecr

E2r

E1r

21.20 Campo eléctrico en tres puntos, a, b y c, generado por lascargas q1 y q2, que forman un dipolo eléctrico.


En el punto a el campo total tiene una magnitud de 9.8 � 104 N/Cy está dirigido hacia la derecha; por tanto

b) En el punto b el campo debido a q1 está dirigido hacia la iz-quierda, en tanto que el campo debido a q2 está dirigido hacia laderecha. Las magnitudes respectivas de y son

Las componentes de y el campo total en el punto b son

Es decir, el campo eléctrico en b tiene una magnitud de 6.2 � 104

N/C y está dirigido hacia la izquierda; por tanto

c) En el punto c, tanto y tienen la misma magnitud, porqueeste punto equidista de ambas cargas y la magnitud de las cargas esla misma:

Las direcciones de y se muestran en la figura 21.20. Lascomponentes x de ambos vectores son iguales:

Por simetría, las componentes y E1y y E2y son iguales y opuestas y, portanto, su suma es cero. Por consiguiente, las componentes del campo total son

1Ec 2 y 5 E1y 1 E2y 5 0

1Ec 2 x 5 E1x 1 E2x 5 2 12.46 3 103 N/C 2 5 4.9 3 103 N/C

Er

c

5 2.46 3 103 N/C

E1x 5 E2x 5 E1 cos a 5 16.39 3 103 N/C 2 1 5

13 2

Er

2Er

1

5 6.39 3 103 N/C

E1 5 E2 51

4pP0

0 q 0r 2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 12 3 1029 C

10.13 m 2 2

Er

2Er

1

Er

b 5 126.2 3 104 N/C 2 d

1Eb 2 y 5 E1y 1 E2y 5 0

1Eb 2x 5 E1x 1 E2x 5 126.8 1 0.55 2 3 104 N/C

E2x 5 0.55 3 104 N/C E2y 5 0

E1x 5 26.8 3 104 N/C E1y 5 0

Er

bEr

2Er

1 ,

5 0.55 3 104 N/C

E2 51

4pP0 0 q2 0r 2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 12 3 1029 C

10.140 m 2 2

5 6.8 3 104 N/C

E1 51

4pP0 0 q1 0r 2 5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 12 3 1029 C

10.040 m 2 2

Er

2Er

1

Er

2

Er

1

Er

a 5 19.8 3 104 N/C 2 d

Así pues, en el punto c el campo eléctrico total tiene una magnitudde 4.9 � 103 N/C y está dirigido hacia la derecha; por tanto

¿Le resulta sorprendente que el campo en el punto c sea paralelo ala recta que une las dos cargas?

EVALUAR: Otra forma de hallar el campo eléctrico en c consiste enemplear la expresión vectorial del campo de una carga puntual[ecuación 21.7)]. El vector de desplazamiento de q1 al punto c, auna distancia de r � 13.0 cm, es

Por tanto, el vector unitario que apunta de q1 a c es

y el campo debido a q1 en el punto c es

Por simetría, el vector unitario que apunta de q2 al punto c tienela componente x opuesta pero la misma componente y; por tanto, elcampo en c debido a q2 es

Puesto que q2 � –q1, el campo total en c es

como antes.

5 14.9 3 103 N/C 2 d

5 19.0 3 109 N # m2/C2 2 12 3 1029 C

10.13 m 2 2 12 1 5

13 2 2 d 5

1

4pP0

q1

r 212 cos a d 2

1 1

4pP0

12q1 2

r 212cos a d 1 sen a e 2

51

4pP0

q1

r 21 cos a d 1 sen a e 2

Er

c 5 Er

1 1 Er

2

Er

2 51

4pP0

q2

r 2 r2 5

1

4pP0

q2

r 212cos a d 1 sen a e 2

r2

Er

1 51

4pP0

q1

r2 r1 5

1

4pP0

q1

r21 cos a d 1 sen a e 2

r1 5rr1

r5 cos a d 1 sen a e

rr1 5 r cos a d 1 r sen a e

rr1

Er

c 5 14.9 3 103 N/C 2 d

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: El punto del campo es un punto arbi-trario sobre el eje x en la figura 21.21. La variable que se busca esel campo eléctrico en ese punto en función de la coordenada x.

Campo de un anillo con cargaEjemplo 21.10

Un conductor de forma anular y cuyo radio es a tiene una carga to-tal Q distribuida uniformemente en toda su circunferencia (Fig.21.21). Encuentre el campo eléctrico en un punto P situado sobre eleje del anillo a una distancia x de su centro.


Para hallar la componente x total Ex del campo en P, se integra es-ta expresión con respecto a todos los segmentos del anillo:

Puesto que x no varía al pasar de un punto a otro alrededor del ani-llo, todos los factores del lado derecho, salvo dQ, son constantes yse pueden sacar de la integral. La integral de dQ es simplemente lacarga total Q, y finalmente se obtiene

(21.8)

EVALUAR: Nuestro resultado de muestra que en el centro del ani-llo (x = 0) el campo es cero. Esto es de esperar; las cargas situadas enlados opuestos del anillo empujarían en direcciones opuestas una car-ga de prueba situada en el centro, y la suma de las fuerzas sería cero.Cuando el punto de campo P está muy alejado del anillo en compa-ración con el tamaño de éste (es decir, ), el denominador dela ecuación (21.8) se hace aproximadamente igual a x3 y la expre-sión aproximada es entonces

En otras palabras, cuando estamos tan lejos del anillo que su radioa es insignificante en comparación con la distancia x, su campo esigual al de una carga puntual. Para un observador alejado del anillo,éste parecería un punto, y el campo eléctrico refleja este hecho.

En este ejemplo empleamos un argumento de simetría para con-cluir que tenía sólo una componente x en un punto del eje de simetría del anillo. En muchos casos emplearemos argumentos de simetría en éste y en subsiguientes capítulos. No obstante, con-viene tener en mente que los argumentos de este tipo se empleansólo en casos especiales. En un punto del plano xy que no está so-bre el eje de las x en la figura 21.21, el argumento de simetría no esaplicable, y el campo tiene en general componentes tanto x como y.

Er

Er

51

4pP0

Q

x2 d

x W a

Er

Er

5 Ex d 51

4pP0

Qx

1 x2 1 a2 2 3/2 d

Ex 5∫ 1

4pP0

x dQ

1 x2 1 a2 2 3/2

51

4pP0

x dQ

1 x2 1 a2 2 3/2

dEx 5 dE cos a 51

4pP0

dQ

x2 1 a2 x

"x2 1 a2

EJECUTAR: Como se muestra en la figura 21.21, imaginamos elanillo dividido en segmentos infinitesimales de longitud ds. Cadasegmento tiene una carga dQ y actúa como una fuente puntual decampo eléctrico. Sea el campo eléctrico de uno de estos seg-mentos; el campo eléctrico neto en P es entonces la suma de todaslas contribuciones de todos los segmentos que constituyen elanillo. (Esta misma técnica da buen resultado en cualquier situa-ción en que la carga está distribuida a lo largo de una recta o curva).

El cálculo de se simplifica considerablemente porque el puntodel campo P está sobre el eje de simetría del anillo. Considérensedos segmentos situados uno en la parte superior y en la inferior delanillo: las contribuciones al campo en P de estos segmentos tie-nen la misma componente x pero componentes y opuestas. Por con-siguiente, la componente y total de campo debida a este par desegmentos es cero. Al sumar las contribuciones de todos los paresde segmentos de este tipo, el campo total tendrá sólo una compo-nente a lo largo del eje de simetría del anillo (el eje de las x), sinninguna componente perpendicular a ese eje (esto es, ni componen-te y ni componente z). Por tanto, el campo en P queda descrito en sutotalidad por su componente x Ex.

Para calcular Ex, adviértase que el cuadrado de la distancia r de unsegmento de anillo al punto P es r2 � x2 � a2. Por tanto, la magnitudde la contribución de este segmento, , al campo eléctrico en P es

Dado que cos � � x/r � x/(x2 � a2)1/2, la componente x dEx de es-te campo es

dE 51

4pP0

dQ

x2 1 a2

dEr

Er

dEr

Er

dEr

dEr

x

Q

dExP

y

O

a

ds

dQ

dEyx

r � x 2 � a 2

dEr

a

a

21.21 Cálculo del campo eléctrico sobre el eje de un anillo concarga. En esta figura se supone que la carga es positiva.

Campo de una línea con cargaEjemplo 21.11

Una carga eléctrica positiva Q está distribuida uniformemente a lolargo de una línea de longitud 2a, que yace sobre el eje “y” entre y� –a y y � �a. (Esto podría representar una de las barras con car-ga de la figura 21.1). Halle el campo eléctrico en el punto P situa-do sobre el eje de las x a una distancia x del origen.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La figura 21.22 muestra la distribu-ción de carga y el eje de coordenadas. Al igual que en el ejemplo

21.10, la variable que se busca es el campo eléctrico en P en fun-ción de la coordenada x.

EJECUTAR: Se divide la carga lineal en segmentos infinitesimales,cada uno de los cuales actúa como una carga puntual; sea dy la lon-gitud de un segmento representativo a la altura y. Si la carga estádistribuida de modo uniforme, la densidad lineal de carga � encualquier punto de la recta es igual a Q/2a (la carga total divididaentre la longitud total). Por tanto, la carga dQ en un segmento delongitud dy es


EVALUAR: Empleando un argumento de simetría como en el ejem-plo 21.10, podríamos haber adivinado que Ey sería cero; si se colo-ca una carga positiva de prueba en P, la mitad superior de la rectade carga empuja hacia abajo sobre ella, y la mitad inferior empujahacia arriba con igual magnitud.

Para analizar nuestro resultado, veamos primero qué ocurre enel límite donde x es mucho mayor que a. Después, podremos des-preciar a en el denominador de la ecuación (21.9), y el resultado se-rá entonces

Esto significa que si el punto P está muy lejos de la carga lineal encomparación con la longitud de la recta, el campo en P es equiva-lente al de una carga puntual. Encontramos un resultado semejanteen el caso del anillo con carga del ejemplo 21.10.

Obtendremos un dividendo adicional de nuestro resultado exac-to de [ecuación (21.9)] si lo expresamos en términos de la den-sidad lineal de carga � � Q/2a. Sustituyendo Q � 2a� en laecuación (21.9) y simplificando, se obtiene

(21.10)

Ahora bien, ¿qué ocurre si alargamos más y más la recta con carga,agregando carga en proporción a la longitud total de modo que �, la car-ga en cada unidad de longitud, permanezca constante? ¿Y qué es auna distancia x desde una línea muy larga de carga? Para responder es-ta pregunta, tomamos el límite de la ecuación (21.10) conforme a se ha-ce muy grande. En este límite, el término x2/a2 del denominador se hace mucho menor que la unidad y se puede desechar. Lo que queda es

La magnitud del campo depende sólo de la distancia del punto Prespecto a la línea de carga. Por tanto, en cualquier punto P a unadistancia perpendicular r de la línea en cualquier dirección, la mag-nitud de es

(línea infinita con carga)

Así pues, el campo eléctrico debido a una línea con carga infinita-mente larga es proporcional a 1/r, no a 1/r2 como en el caso de unacarga puntual. La dirección de es radial hacia afuera con respectoa la recta si � es positiva, y radial hacia dentro si � es negativa.

Desde luego que en la naturaleza no existen líneas de carga in-finitas. Pero cuando el punto de campo está suficientemente próxi-mo a la línea, hay muy poca diferencia entre el resultado de unalínea recta infinita y el del caso finito de la vida real. Por ejemplo,si la distancia r del punto del campo al centro de la recta es el 1%de la longitud de la recta, el valor de E difiere del valor correspon-diente a una longitud infinita en menos del 0.02%.

Er

E 5l

2pP0r

Er

Er

5l

2pP0 xd

Er

Er

51

2pP0

l

x"1 x2/a2 2 1 1 d

Er

,

Er

51

4pP0

Q

x2 d

La distancia r de este segmento a P es (x2 � y2)1/2; por tanto, lamagnitud del campo dE en P debido a este segmento es

Representemos este campo en términos de sus componentes x y y:

Se advierte que sen � � y�(x2 � y2)1/2 y cos � � x�(x2 � y2)1/2; com-binando éstas con la expresión de dE resulta que

Para hallar las componentes Ex y Ey del campo total, se integran es-tas expresiones teniendo en cuenta que, para incluir Q en su totali-dad, es preciso integrar de y � –a hasta y � �a. Lo invitamos aresolver los detalles de la integración; una tabla de integrales le se-rá de utilidad. Los resultados finales son

o, en forma vectorial,

(21.9)Er

51

4pP0

Q

x"x 2 1 a 2 d ^

Ey 5 2 1

4pP0

Q

2a∫a

2a

y dy

1 x 2 1 y 2 2 3/2 5 0

Ex 51

4pP0

Qx

2a∫a

2a

dy

1 x 2 1 y 2 2 3/2 5Q

4pP0

1

x"x 2 1 a 2

dEy 5 2 Q

4pP0

y dy

2a 1 x 2 1 y 2 2 3/2

dEx 5Q

4pP0

x dy

2a 1 x2 1 y2 2 3/2

dEy 5 2dE sen adEx 5 dE cos a

dE 5Q

4pP0

dy

2a 1 x2 1 y2 2

dQ 5 ldy 5Qdy

2a

x

Q

dExP

y

O

a

dy dQ

dEy

�a

r

x

y

a

a

dEr

21.22 Determinación del campo eléctrico en el punto P sobre labisectriz perpendicular de una recta con carga de longitud 2a ycarga total Q. En esta figura se supone que la carga es positiva.

va , en un punto a lo largo del eje del disco situado a una distanciax respecto a su centro. Suponga que x es positiva.

Campo de un disco con carga uniformeEjemplo 21.12

Halle el campo eléctrico que produce un disco de radio R con unadensidad superficial de carga (carga en cada unidad de área) positi-


Recuérdese que x es una constante durante la integración, y que lavariable de integración es r. La integral se puede evaluar emplean-do la sustitución z � x2 � r2. Le dejamos a usted los detalles delprocedimiento; el resultado es

(21.11)

EVALUAR: Vimos en el ejemplo 21.10 que, en un punto sobre el ejede simetría de un anillo con carga uniforme, el campo eléctrico de-bido al anillo no tiene componentes perpendiculares al eje. Por tan-to, en el punto P de la figura 21.23, dEy � dEz � 0 para cada anilloy el campo total tiene Ey � E2 � 0.

Una vez más, conviene preguntar qué ocurre si la distribución decarga se hace muy grande. Supóngase que continuamos aumentandoel radio R del disco y agregando carga al mismo tiempo de modo quela densidad superficial de carga (carga por unidad de área) seaconstante. En el límite donde R es mucho mayor que la distancia x delpunto de campo al disco, el término en la ecuación(21.11) se hace tan pequeño que resulta insignificante, y se obtiene

(21.12)

El resultado final no contiene la distancia x respecto al plano. Estosignifica que el campo eléctrico producido por una lámina plana in-finita de carga es independiente de la distancia respecto a la lámi-na. La dirección del campo es en todas partes perpendicular a lalámina, alejándose de ella. Tampoco existen las láminas infinitas decarga, pero si las dimensiones de la lámina son mucho mayores quela distancia x del punto del campo P respecto a la lámina, el campoestá dado con gran aproximación por la ecuación (21.11).

Si P está a la izquierda del plano (x < 0) en vez de a la derecha,el resultado es el mismo, salvo que la dirección de es hacia la iz-quierda en vez de hacia la derecha. Asimismo, si la densidad super-ficial de carga es negativa, las direcciones de los campos a amboslados del plano son hacia éste, en lugar de alejarse de él.

Er

E 5s

2P0

1/"1R2/x2 2 1 1

5s

2P0�1 2

1

"1R 2/x 2 2 1 1 � Ex 5

sx

2P0� 2

1

"x 2 1 R 2 1

1x �

Ex 5∫R

0

1

4pP0

12psr dr 2 x1 x2 1 r 2 2 3/2 5

sx

2P0∫R

0

r dr

1 x2 1 r 2 2 3/2

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: La situación y el sistema de coorde-nadas se muestran en la figura 21.23. Este ejemplo se asemeja a losejemplos 21.10 y 21.11 en cuanto a que la variable que se busca esel campo eléctrico en función de la coordenada x a lo largo del ejede las x. Podemos representar la distribución de carga como un con-junto de anillos concéntricos de carga dQ, como se muestra en la fi-gura 21.23. El ejemplo 21.10 nos ha mostrado el campo de un soloanillo sobre su eje de simetría, de modo que lo único que falta porhacer es reunir las contribuciones de los anillos.

EJECUTAR: Un anillo representativo tiene una carga dQ, un radiointerno r y un radio externo r � dr (Fig. 21.23). Su área dA es apro-ximadamente igual al producto de su anchura dr por su circunferen-cia 2�r, o dA � 2�r dr. La carga en cada unidad de área es �dQ/dA; por tanto, la carga del anillo es dQ � dA � (2�r dr), o

Usemos esto en vez de Q en la expresión del campo debido a unanillo obtenida en el ejemplo 21.10 [ecuación (21.8)], y sustituya-mos también el radio a del anillo por r. La componente del campodEx en el punto P debida a la carga dQ es

Para hallar el campo total debido a todos los anillos, se integra dEx

con respecto a r de r � 0 a r � R (no de –R a R):

dEx 51

4pP0

12psr dr 2 x1 x2 1 r 2 2 3/2

dQ 5 2psr dr

x

Q

dExP

dr

dQrO

R

x

21.23 Determinación del campo eléctrico sobre el eje de un discocon carga uniforme. En esta figura se supone que la carga es positiva.

Campo de dos láminas infinitas con carga opuestaEjemplo 21.13

Se colocan dos láminas planas infinitas paralelas una a la otra, sepa-radas por una distancia d (Fig. 21.24). La lámina inferior tiene unadensidad superficial de carga positiva uniforme , y la lámina supe-rior tiene una densidad superficial de carga negativa uniforme – dela misma magnitud. Halle el campo eléctrico entre las dos láminas,arriba de la lámina superior y abajo de la lámina inferior.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: En el ejemplo 21.12 hallamos el cam-po eléctrico debido a una sola lámina plana infinita de carga. Este re-sultado, junto con el principio de superposición, nos permitirá hallarel campo total debido a los dos planos infinitos de la figura 21.24.

21.24 Determinación del campo eléctrico debido a dos láminasinfinitas con carga opuesta. Las láminas se muestran vistas desdeel borde; ¡sólo se puede mostrar una parte de las láminas infinitas!


En los puntos entre las láminas, y se refuerzan mutua-mente; en los puntos situados arriba de la lámina superior o abajode la lámina inferior, y se cancelan uno al otro. Por tanto, elcampo total es

Puesto que hemos considerado las láminas como infinitas, el resul-tado no depende de la separación d.

EVALUAR: Dése cuenta que el campo entre las láminas con cargaopuesta es uniforme. Esto se aplicó en los ejemplos 21.7 y 21.8, enlos que dos placas conductoras grandes paralelas estaban conecta-das a los bornes de una batería. Ésta proporciona cargas opuestas alas dos láminas, lo cual origina un campo entre las placas que esprácticamente uniforme si la separación de las placas es mucho me-nor que las dimensiones de éstas. En el capítulo 23 examinaremoscómo produce una batería esta separación de carga positiva y nega-tiva. Un arreglo de dos placas conductoras con cargas opuestas re-cibe el nombre de capacitor; estos dispositivos son de enormeutilidad práctica, y constituyen el tema principal del capítulo 24.

0 above the upper sheet

s

P0 e between the sheets

0 below the lower sheet

Er

5 Er

1 1 Er

2 5 dEr

2Er

1

Er

2Er

1EJECUTAR: Sea la lámina 1 la lámina inferior con carga positiva, y lalámina 2 la lámina superior con carga negativa; los campos debidos acada lámina son y respectivamente. De la ecuación (21.12) delejemplo 21.12 se deduce que tanto y tienen la misma magni-tud en todos los puntos, sin importar la distancia a una u otra lámina:

En todos los puntos, la dirección de es alejándose de la carga po-sitiva de la lámina 1, y la dirección de es hacia la carga negativade la lámina 2. Estos campos, así como los ejes de las x y de las y,se muestran en la figura 21.24.

: Quizá le sorprenda que la presencia de la lámina 2no influya en y que la presencia de la lámina 1 no influya en .De hecho, es posible que haya pensado que el campo de una lámi-na es incapaz de “penetrar” la otra lámina. Se podría concluir estosi se piensa que el campo eléctrico es algún tipo de sustancia físicaque “fluye” hacia adentro de las cargas o desde ellas. Pero en reali-dad no existe tal sustancia, y los campos eléctricos y dependensólo de las distribuciones individuales de carga que los producen. Elcampo total es simplemente la suma vectorial de y .E

r

2Er

1

Er

2Er

1

Er

2Er

1

CUIDADO

Er

2

Er

1

E1 5 E2 5s

2P0

Er

2Er

1

Er

2,Er

1


Suponga que la línea con carga de la figura 21.22 (Ej. 21.11) tiene una carga �Qdistribuida uniformemente entre y � 0 y y � �a y una carga –Q distribuida unifor-memente entre y � 0 y y � –a. ¿Cuál sería la dirección del campo eléctrico en P?

21.6 | Líneas de campo eléctrico

El concepto de campo eléctrico puede ser un poco difícil de aprehender porque nopodemos ver un campo eléctrico directamente. Las líneas de campo eléctrico pue-den ser de gran ayuda para visualizar los campos eléctricos y hacer que parezcanmás reales. Una línea de campo eléctrico es una recta o curva imaginaria trazadaa través de una región del espacio, de modo tal que su tangente en cualquier pun-to tenga la dirección del vector de campo eléctrico en ese punto. En la figura21.25 se muestra la idea básica. (Hemos empleado un concepto análogo al anali-zar el flujo de fluidos en la sección 14.5. Una línea de corriente es una recta o cur-va cuya tangente en cualquier punto tiene la dirección de la velocidad del fluidoen ese punto. Sin embargo, la semejanza entre las líneas de campo eléctrico y laslíneas de corriente de los fluidos es sólo de carácter matemático; nada “fluye” enun campo eléctrico). El científico inglés Michael Faraday (1791–1867) fue el pri-mero en introducir el concepto de líneas de campo. Las llamó “líneas de fuerza”,pero es preferible el término “líneas de campo”.

Las líneas de campo eléctrico muestran la dirección de en cada punto, y suseparación da una idea general de la magnitud de en cada punto. Donde es in-tenso, se dibujan líneas estrechamente agrupadas; donde es más débil, las líneasestán más separadas. En cualquier punto en particular, el campo eléctrico tieneuna dirección única, por lo que sólo una línea de campo puede pasar por cada pun-to del campo. En otras palabras, las líneas de campo nunca se cruzan.

Er

Er

Er

Er

21.25 La dirección del campo eléctrico enun punto cualquiera es tangente a la líneade campo que pasa por ese punto.

arriba de la lámina superior

entre las láminas

abajo de la lámina inferior

21.6 | Líneas de campo eléctrico 819

La figura 21.26 muestra algunas de las líneas de campo de un plano que contie-ne (a) una sola carga positiva; (b) dos cargas de igual magnitud, una positiva y unanegativa (un dipolo); y (c) dos cargas positivas iguales. A los diagramas como és-tos se les llama a veces mapas o espectros de campo; son cortes transversales de lasdistribuciones tridimensionales reales. La dirección del campo eléctrico total en ca-da punto de cada diagrama sigue la tangente de la línea de campo eléctrico que pa-sa por el punto. Las puntas de las flechas indican la dirección del vector del campo

a lo largo de cada línea de campo. Se han dibujado los vectores de campo realesen varios puntos de cada distribución. Dése cuenta que, en general, la magnitud delcampo eléctrico es diferente en los distintos puntos de una línea de campo dada;¡una línea de campo no es una curva de magnitud de campo eléctrico constante!

La figura 21.26 muestra que las líneas de campo se dirigen alejándose de las car-gas positivas (puesto que, cerca de una carga puntual positiva, apunta alejándose dela carga) y hacia las cargas negativas (puesto que, cerca de una carga puntual negati-va, apunta hacia la carga). En las regiones donde la magnitud del campo es gran-de, como, por ejemplo, entre las cargas positiva y negativa de la figura 21.26b, laslíneas de campo se dibujan aproximándose entre sí. En las regiones donde la magni-tud del campo es pequeña, como, por ejemplo, entre las dos cargas positivas de la fi-gura 21.26c, las líneas están muy separadas. En un campo uniforme, las líneas decampo son rectas, paralelas y con una separación uniforme, como en la figura 21.18.

La figura 21.27a es una vista desde arriba de un montaje demostrativo para vi-sualizar las líneas de campo eléctrico. En el arreglo que aquí se muestra, las pun-tas de dos alambres con carga positiva se insertan en un recipiente de líquidoaislante y se ponen a flotar las semillas de pasto sobre el líquido. Las semillas depasto son aisladores eléctricamente neutros, pero el campo eléctrico de los dosalambres con carga provoca una polarización de la semilla; hay un leve desplaza-miento de las cargas positivas y negativas dentro de las moléculas de cada semi-lla, como en la que se muestra en la figura 21.7. El extremo con carga positiva decada semilla es atraído en la dirección de , y el extremo con carga negativa es atraí-do en dirección opuesta a . En consecuencia, el eje longitudinal de cada semilla depasto tiende a orientarse paralelamente al campo eléctrico, en la dirección de la lí-nea de campo que pasa por la posición que ocupa la semilla (Fig. 21.27b).

Es un error muy difundido pensar que, si una partícula con unacarga q está en movimiento donde hay un campo eléctrico, la partícula debedesplazarse a lo largo de una línea de campo eléctrico. Puesto que en cualquierpunto es tangente a la línea de campo que pasa por ese punto, es en efectoE

r

CUIDADO

Er

Er

Er

Er

Er

21.27 (a) Líneas de campo eléctrico pro-ducidas por dos cargas puntuales iguales.La distribución que se observa ha sido for-mada por semillas de pasto que flotan so-bre un líquido arriba de dos alambres concarga. Compárese esta distribución con lafigura 21.26c. (b) El campo eléctrico pola-riza las semillas, lo que, a su vez, provocaque las semillas se alineen con el campo.

(a)

21.26 Líneas de campo eléctrico de tres distribuciones de carga diferentes. En general, lamagnitud de es diferente en puntos distintos a lo largo de una línea de campo dada.E

r


cierto que la fuerza sobre la partícula y, por tanto, la aceleración de lapartícula, son tangentes a la línea de campo. Pero en el capítulo 3 aprendimosque, cuando una partícula se desplaza siguiendo una trayectoria curva, su ace-leración no puede ser tangente a la trayectoria. Así pues, en general, la trayec-toria de una partícula con carga no es lo mismo que una línea de campo.


Suponga que las líneas de campo eléctrico en una región del espacio son líneasrectas. Si se libera en esa región una partícula con carga inicialmente en reposo, latrayectoria de la partícula será una línea recta. Explique por qué.

21.7 | Dipolos eléctricosUn dipolo eléctrico es un par de cargas puntuales de igual magnitud y signos opues-tos (una carga positiva q y una carga negativa –q) separadas por una distancia d. Pre-sentamos los dipolos eléctricos en el ejemplo 21.9 (sección 21.5); vale la penaexaminar con más detenimiento el concepto porque muchos sistemas físicos, desdelas moléculas hasta las antenas de televisión, se pueden describir como dipolos eléc-tricos. También haremos extenso uso de este concepto al estudiar los dieléctricos enel capítulo 24.

La figura 21.28a muestra una molécula de agua (H2O), que en muchos sentidosse comporta como un dipolo eléctrico. La molécula de agua en conjunto es eléctri-camente neutra, pero los enlaces químicos presentes en su interior provocan un des-plazamiento de la carga; el resultado es una carga negativa neta en el extremo deoxígeno de la molécula y una carga positiva neta en el extremo de hidrógeno, lascuales forman un dipolo eléctrico. Este efecto es equivalente a desplazar un electróntan sólo alrededor de aproximadamente 4 � 10–11 m (aproximadamente casi el radiode un átomo de hidrógeno), pero las consecuencias de este desplazamiento son muyprofundas. El agua es un excelente disolvente de sustancias iónicas como la sal co-mún (cloruro de sodio, NaCl), precisamente porque la molécula de agua es un dipo-lo eléctrico (Fig. 21.28b). Cuando se disuelve en agua, la sal se disocia en un ionsodio positivo (Na�) y un ion cloro negativo (Cl–), que tienden a ser atraídos hacialos extremos negativo y positivo, respectivamente, de las moléculas de agua; estomantiene los iones en solución. Si las moléculas de agua no fueran dipolos eléctri-cos, el agua sería un mal disolvente, y casi toda la química que tiene lugar en solu-ciones acuosas sería imposible. Esto incluye todas las reacciones bioquímicas quese llevan a cabo en todos los seres vivos de la tierra. En un sentido muy real, ¡nues-tra existencia como seres vivos depende de los dipolos eléctricos!

Examinaremos dos preguntas acerca de los dipolos eléctricos. Primero, ¿quéfuerzas y momentos de torsión o torques experimenta un dipolo eléctrico cuando sele coloca en un campo eléctrico externo (esto es, un campo establecido por cargasfuera del dipolo)? Segundo, ¿qué campo eléctrico produce un dipolo eléctrico en sí?

Fuerza y momento de torsión en un dipolo eléctricoPara comenzar con la primera pregunta, coloquemos un dipolo eléctrico en uncampo eléctrico externo uniforme , como se muestra en la figura 21.29. Lasfuerzas y sobre las dos cargas tienen ambas la magnitud qE, pero sus di-recciones son opuestas y suman cero. La fuerza eléctrica neta sobre un dipoloeléctrico en un campo eléctrico externo uniforme es cero.

Sin embargo, las dos fuerzas no actúan a lo largo de la misma recta; por tanto, susmomentos de torsión no suman cero. Los momentos de torsión se calculan con res-pecto al centro del dipolo. Sea el ángulo entre el campo eléctrico y el eje del di-E

r

Fr

2Fr

1

Er

Fr

5 qEr

�

�

O HHpr

21.28 (a) Una molécula de agua es unejemplo de dipolo eléctrico. Véase en eltexto la definición del vector de momentodipolar eléctrico (b) Cada tubo de ensa-ye contiene una solución de una sustanciadiferente en agua. El momento dipolareléctrico del agua hace de ésta un excelen-te disolvente.

pr.

(a)

(b)

21.7 | Dipolos eléctricos 821

polo; entonces, el brazo de palanca tanto de como de es (d/2) sen . El mo-mento de torsión de y el momento de torsión de tienen ambos la misma mag-nitud de (qE)(d/2) sen , y ambos tienden a hacer girar el dipolo en el sentido de lasmanecillas del reloj (es decir, se dirige hacia la parte interna de la página en la fi-gura 21.29). Por tanto, la magnitud del momento de torsión neto es simplemente eldoble de la magnitud de cualquiera de los momentos de torsión individuales:

(21.13)donde d sen es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de las dosfuerzas.

El producto de la carga q por la separación d es la magnitud de una cantidad co-nocida como momento dipolar eléctrico, que se denota mediante p:

(21.14)

Las unidades de p son de carga por distancia (C • m). Por ejemplo, la magnitud delmomento dipolar eléctrico de una molécula de agua es p � 6.13 � 10–13 C • m.

Tenga cuidado de no confundir el momento dipolar con la cantidadde movimiento momentum o la presión. No hay tantas letras en el alfabeto comocantidades físicas; por esta razón, ciertas letras se usan varias veces. Por lo regular,el contexto ambiente deja en claro de qué se trata, pero es necesario estar alerta.

Definimos, asimismo, el momento dipolar eléctrico como una cantidad vectorialLa magnitud de está dada por la ecuación (21.14), y su dirección sigue el eje

del dipolo, de la carga negativa a la positiva, como se muestra en la figura 21.29.En términos de p, la ecuación (21.13) que expresa la magnitud � del momento

de torsión que ejerce el campo se convierte en

� � pE sen (magnitud del momento de torsión sobre un dipolo eléctrico) (21.15)

Puesto que el ángulo de la figura 21.29 es el ángulo entre las direcciones de losvectores y esto nos recuerda la expresión de la magnitud del producto vecto-rial analizado en la sección 1.10. (Conviene repasar ese análisis.) Por consiguien-te, se puede escribir el momento de torsión sobre el dipolo en forma vectorial como

(21.16)

Se puede aplicar la regla de la mano derecha para el producto vectorial con el fin deverificar que, en la situación que se muestra en la figura 21.29, se dirige hacia laparte interna de la página. El momento de torsión es máximo cuando y son per-pendiculares, y es cero cuando son paralelos o antiparalelos. El momento de torsiónsiempre tiende a hacer girar a modo de alinearlo con . La posición � 0, con paralelo a , es una posición de equilibrio estable, y la posición � �, con y antiparalelos, es una posición de equilibrio inestable. La polarización de una semi-lla de pasto en el aparato de la figura 21.27a le proporciona un momento dipolareléctrico; el momento de torsión ejercido por provoca entonces que la semilla sealinee con y, por tanto, con las líneas de campo.

Cuando un dipolo cambia de dirección en un campo eléctrico, el momento de torsión del campo eléctrico realiza trabajo sobre él, con un cambio correspon-diente de energía potencial. El trabajo dW realizado por un momento de torsión � durante un desplazamiento infinitesimal d está dado por la ecuación (10.22): dW � � d . Dado que el momento de torsión es en la dirección en que disminu-ye, es preciso escribir el momento de torsión como � � –pE sen , y

dW � � d � –pE sen d

Er

Er

Er

prEr

prEr

pr

Er

prtr

tr 5 pr 3 Er 1momento de torsión sobre un dipolo eléctrico, en forma vectorial 2

Er

,pr

prpr.

CUIDADO

p 5 qd 1magnitud del momento dipolar eléctrico 2

t 5 1qE 2 1d sen f 2

tr

Fr

2Fr

1

Fr

2Fr

1

21.29 La fuerza neta sobre este dipoloeléctrico es cero, pero hay un momento detorsión dirigido hacia la parte interna de lapágina, el cual tiende a hacer girar el dipo-lo en el sentido de las manecillas del reloj.


En un desplazamiento finito de 1 a 2, el trabajo total realizado sobre el dipolo es

El trabajo es el negativo del cambio de energía potencial, precisamente como enel capítulo 7: W � U1 – U2. Así pues, vemos que una definición idónea de la ener-gía potencial U de este sistema es

(21.17)En esta expresión reconocemos el producto escalar por tanto,podemos escribir también

(21.18)

La energía potencial tiene su valor mínimo U � –pE (es decir, su valor más nega-tivo) en la posición de equilibrio estable, donde � 0 y es paralelo a Laenergía potencial es máxima cuando � � y es antiparalelo a en estas con-diciones U � �pE. En � �/2, donde es perpendicular a U es cero. Desdeluego, podríamos definir U de otra manera, de modo que sea cero en alguna otraorientación de , pero nuestra definición es la más simple.

La ecuación (21.18) proporciona otra forma de ver el efecto que se muestra enla figura 21.27a. El campo eléctrico confiere a cada semilla de pasto un mo-mento dipolar eléctrico, y la semilla se alínea entonces con para reducir al má-ximo la energía potencial.

Er

Er

pr

Er

,prEr

;prEr

.pr

U 5 2pr # Er 1 energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico 2

pr # Er 5 pE cos f,

U 1f 2 5 2pE cos f

5 pE cos f2 2 pE cos f1

W 5∫f2

f1

12pE sen f 2 df

c) La magnitud del momento de torsión es

De acuerdo con la regla de la mano derecha para productos vecto-riales (sección 1.10), la dirección del momento de torsión

es hacia afuera de la página. Esto corresponde a un mo-mento de torsión en sentido contrario a las manecillas del reloj quetiende a alinear con d) La energía potencial es

5 8.2 3 10224 J

5 2 12.0 3 10229 C # m 2 1 5.0 3 105 N/C 2 1 cos 145° 2 U 5 2pE cos f

Er

.pr

tr 5 pr 3 Er

5 5.7 3 10224 N # m t 5 pE sen f 5 12.0 3 10229 C 2 15.0 3 105 N/C 2 1 sen 145° 2

Fuerza y momento de torsión sobre un dipolo eléctricoEjemplo 21.14

La figura 21.30a muestra un dipolo eléctrico en un campo eléctricouniforme cuya magnitud es de 5.0 � 105 N/C orientado de maneraparalela al plano de la figura. Las cargas son de �1.6 � 10–19 C;ambas se localizan en el plano y separadas por una distancia de0.125 nm � 0.125 � 10–9 m. (Tanto la magnitud de la carga comola distancia son representativas de cantidades moleculares). En-cuentre a) la fuerza neta que ejerce el campo sobre el dipolo; b) lamagnitud y la dirección del momento dipolar eléctrico; c) la mag-nitud y dirección del momento de torsión; d) la energía potencialdel sistema en la posición que se muestra.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se emplea la relación co-rrespondiente a cada carga puntual para hallar la fuerza sobre el di-polo en conjunto. La ecuación (21.14) indica el momento dipolar,la ecuación (21.16), el momento de torsión sobre el dipolo, y laecuación (21.18), la energía potencial del sistema.

EJECUTAR: a) Dado que el campo es uniforme, las fuerzas sobrelas dos cargas son iguales y opuestas, y la fuerza total es cero.b) La magnitud p del momento dipolar es

La dirección de va de la carga negativa a la positiva, a 145° en elsentido de las manecillas del reloj respecto a la dirección del cam-po eléctrico (Fig. 21.30b).

pr 5 2.0 3 10229 C # m

p 5 qd 5 11.6 3 10219 C 2 10.125 3 1029 m 2pr

Fr

5 qEr

35°

(a)

+

–

145°�q

�q

Er

(b)

145°

Er

prtr

21.30 (a) Dipolo eléctrico. (b) Direcciones del momento dipolareléctrico, el campo eléctrico y el momento de torsión.

21.7 | Dipolos eléctricos 823

En este análisis hemos supuesto que es uniforme así que no hay fuerza netasobre el dipolo. Si no es uniforme, es posible que las fuerzas en los extremos nose cancelen totalmente, y la fuerza neta puede no ser cero. Por tanto, un cuerpo sincarga neta pero con un momento dipolar eléctrico puede experimentar una fuerzaneta en un campo eléctrico no uniforme. Como se mencionó en la sección 21.1, uncampo eléctrico puede polarizar un cuerpo sin carga, lo que da origen a una sepa-ración de cargas y a un momento dipolar eléctrico. Es así como los cuerpos sincarga experimentan fuerzas electrostáticas (véase la Fig. 21.7).

Campo de un dipolo eléctricoPensemos ahora en un dipolo eléctrico como una fuente de campo eléctrico. ¿Quéaspecto tiene el campo? El espectro del campo de la figura 21.26b muestra la formageneral de este. En cada punto de la distribución el campo total es la suma vecto-rial de los campos debidos a las dos cargas individuales, como en el ejemplo 21.9(sección 21.5). Intente dibujar diagramas que muestren esta suma vectorial con res-pecto a varios puntos.

Para obtener información cuantitativa acerca del campo de un dipolo eléctricoes preciso hacer algunos cálculos, como se ilustra en el ejemplo 21.15. Adviérta-se el uso del principio de superposición de campos eléctricos para agregar las con-tribuciones de las cargas individuales al campo. También dése cuenta que esnecesario emplear técnicas de aproximación incluso en el caso relativamente sim-ple de un campo debido a dos cargas. Los cálculos de campos suelen llegar a sermuy complicados, y típicamente se utiliza el análisis por computadora para esta-blecer el campo debido a una distribución arbitraria de carga.

Er

Er

Er

y � d/2

y � d/2

d O x

y

+

–

�q

�q

E�r

E�r

pr

21.31 Determinación del campo eléctrico de un dipolo eléctricoen un punto situado sobre su eje.

EVALUAR: El momento dipolar, el momento de torsión y la energíapotencial son todos extraordinariamente pequeños. Este resultado

no es sorprendente: recuerde que estamos examinando una solamolécula, ¡que es un objeto muy pequeño en verdad!

Otro vistazo al campo de un dipolo eléctricoEjemplo 21.15

En la figura 21.31 un dipolo eléctrico está centrado en el origen, conen la dirección del eje de las �y. Deduzca una expresión aproxi-

mada del campo eléctrico en un punto sobre el eje de las y en el quey sea mucho más grande que d. Utilice el desarrollo binomial de (1 � x)n, esto es, (1 � x)n ≅ 1 � nx � n(n – 1)x2/2 � ···, para el ca-so |x| � 1. (Este problema ilustra una técnica de cómputo útil).

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR: Se aplica el principio de superposición: el campoeléctrico total es la suma vectorial del campo producido por la car-ga positiva y el campo producido por la carga negativa.

PLANTEAR: En el punto del campo que se muestra en la figura21.31, el campo de la carga positiva tiene una componente y positi-va (ascendente), y el campo de la carga negativa tiene una compo-nente y negativa (descendente). Se unen estas componentes parahallar el campo total y se aplica la aproximación de que y es muchomás grande que d.

pr


EVALUAR: Otro camino para llegar a esta expresión consiste en po-ner las fracciones de la expresión de Ey sobre un común denomina-dor y combinar, para luego hacer una aproximación del denominador(y – d/2)2(y � d/2)2 como y4. Le dejamos los detalles como problema.

Con respecto a los puntos P situados fuera de los ejes de coor-denadas, las expresiones son más complicadas, pero en todos lospuntos muy alejados del dipolo (en cualquier dirección), el campodecae con 1/r3. Se puede comparar esto con el decaimiento con 1/r2

de una carga puntual, el decaimiento con 1/r de una carga lineal lar-ga, y la independencia con respecto a r de una lámina de cargagrande. Existen distribuciones de carga con respecto a las cuales elcampo decae con rapidez aún mayor. Un cuadrupolo eléctrico con-siste en dos dipolos iguales con orientación opuesta, separados poruna distancia pequeña. El campo de un cuadrupolo a distanciasgrandes decae con 1/r4.

EJECUTAR: La componente y total Ey de campo eléctrico debida alas dos cargas es

Se utilizó este método en el ejemplo 21.9 (sección 21.5). Ahora vea-mos la aproximación. Cuando y es mucho más grande que d, es de-cir, cuando estamos muy lejos del dipolo en comparación con sutamaño, la cantidad d/2y es mucho menor que 1. Con n � –2 y d/2ydesempeñando el papel de x en el desarrollo binomial, conservamossólo los dos primeros términos. Los términos que se desechan sonmucho más pequeños que los que se conservan y se tiene

Por consiguiente, Ey está dada aproximadamente por

5p

2pP0 y3

5qd

2pP0 y3

E >q

4pP0 y2 �1 1d

y2 11 2

d

y 2 �

11 2d

2y 222

> 1 1d

y y 11 1

d

2y 222

> 1 2d

y

5q

4pP0 y2 � 11 2d

2y 222

2 11 1d

2y 222 �

Ey 5q

4pP0

� 1

1 y 2 d/2 2 2 21

1 y 1 d/2 2 2 �


Con base en la información que se da en esta sección, calcule el momento dipolareléctrico de una molécula de agua. Si una molécula de agua está orientada con sumomento dipolar formando un ángulo de 90° con respecto a un campo eléctricocuya magnitud es de 2.5 � 104 N/C, ¿cuál es el momento de torsión sobre la mo-lécula?

Resumen 825

R E S U M E N

La magnitud fundamental en electrostática es la carga eléctrica. Hay dosclases de carga: positiva y negativa. Las cargas del mismo signo se repe-len mutuamente; las cargas de signo opuesto se atraen. La carga se con-serva; la carga total de un sistema aislado es constante.

Toda la materia ordinaria se compone de protones, neutrones y electro-nes. La fuerza nuclear mantiene unidos los protones positivos y los neu-trones eléctricamente neutros del núcleo de un átomo; los electronesnegativos rodean el núcleo a distancias mucho mayores que el tamañonuclear. La estructura de los átomos, moléculas y sólidos se debe princi-palmente a interacciones eléctricas.

Los conductores son materiales que permiten que la carga se desplace libremente en su interior. Losaisladores permiten que la carga se desplace con dificultad mucho mayor. Casi todos los metalesson buenos conductores; la mayor parte de los no metales son aisladores.

La ley de Coulomb es la ley básica que rige la interacciónde cargas puntuales. En el caso de dos cargas q1 y q2 sepa-radas por una distancia r, la magnitud de la fuerza sobrecualquiera de las cargas es proporcional al producto q1q2 einversamente proporcional a r2. La fuerza sobre cada cargaactúa a lo largo de la recta que une las dos cargas: es de re-pulsión si q1 y q2 tienen el mismo signo, y de atracción sitienen signos opuestos. Las fuerzas forman un par de ac-ción/reacción y obedecen la tercera ley de Newton. Enunidades SI la unidad de carga eléctrica es el coulomb,que se abrevia C. (Véanse los ejemplos 21.1 y 21.2).

(21.2)

1

4pP0 5 8.988 3 109 N # m2/C2

F 51

4pP0 q1q2

r 2

El principio de superposición de fuerzas establece que, cuando dos o más cargasejercen cada cual una fuerza sobre una carga, la fuerza total sobre esa carga es lasuma vectorial de las fuerzas que ejercen las cargas individuales. (Véanse losejemplos 21.3 y 21.4).

El campo eléctrico es una magnitud vectorial, es la fuerza encada unidad de carga que se ejerce sobre una carga de prueba en cualquier punto, siempre y cuando la carga de prueba sea losuficientemente pequeña para no perturbar las cargas que crean elcampo. El campo eléctrico producido por una carga puntual tieneuna dirección radial hacia la carga o en sentido contrario a ésta.(Véanse los ejemplos del 21.5 al 21.8).

Er

,(21.3)

(21.7)Er

51

4pP0 q

r 2 r

Er

5Fr

0

q0

q+

Er

El principio de superposición de campos eléctricos establece que el campo eléctrico de cualquiercombinación de cargas es la suma vectorial de los campos producidos por las cargas individuales. Paracalcular el campo eléctrico producido por una distribución continua de carga, se divide la distribuciónen elementos pequeños, se calcula el campo originado por cada elemento, y luego se lleva a cabo lasuma vectorial o la suma de cada componente, por lo regular integrando. Las distribuciones de cargase describen mediante la densidad lineal de carga �, la densidad superficial de carga y la densidadvolumétrica de carga . (Véanse los ejemplos del 21.9 al 21.13).

Er

x

Q

dExP

y

O

a

dsdQ

dEyx

r � x 2 � a 2

dEr

aa


Las líneas de campo ofrecen una representación gráfica de los campos eléctricos. En cualquier pun-to de una línea de campo, la tangente a la línea tiene la dirección de en ese punto. El número delíneas en la unidad de área (perpendicular a su dirección) es proporcional a la magnitud de en elpunto.

Er

Er

– +

Er

Er

Er

Un dipolo eléctrico es un par de cargas eléctricas de igual magnitudq pero de signo opuesto, separadas por una distancia d. La magni-tud del momento dipolar eléctrico se define como p � qd. La di-rección de es de la carga negativa hacia la positiva. Un dipoloeléctrico en un campo eléctrico experimenta un momento de tor-sión igual al producto vectorial de por . La magnitud del mo-mento de torsión depende del ángulo entre y . La energíapotencial U de un dipolo eléctrico en un campo eléctrico dependeasimismo de la orientación relativa de y . (Véanse los ejemplos21.14 y 21.15).

Er

pr

Er

prEr

prtrEr

prpr

(21.15)

(21.16)

(21.18)U 5 2pr # Ertr 5 pr 3 E

r

t 5 pE sen f

Términos clave

aislador, 797campo eléctrico, 806campo vectorial, 808carga de prueba, 806carga eléctrica, 793carga inducida, 798carga puntual, 800conductor, 797coulomb, 801densidad lineal de carga, 812densidad superficial de carga, 812

densidad volumétrica de carga, 812dipolo eléctrico, 820electrón, 795electrostática, 793inducción, 797ion negativo, 796ion positivo, 796ionización, 796ley de Coulomb, 800línea de campo eléctrico, 818momento dipolar eléctrico, 821

neutrón, 795núcleo, 795número atómico, 796principio de conservación de la carga, 796principio de superposición de campos

eléctricos, 812principio de superposición de fuerzas, 802protón, 795punto del campo, 808punto de origen, o fuente puntual, 808

Notas

Preguntas para análisis 827

Respuesta a la pregunta inicial del capítulo

Las moléculas de agua tienen un momento dipolar eléctrico perma-nente: un extremo de la molécula tiene carga positiva y el otro extremotiene carga negativa. Estos extremos atraen iones negativos y positivos,respectivamente, y mantienen separados los iones en solución. El aguaes menos eficaz como disolvente de materiales cuyas moléculas no seionizan (llamadas sustancias no iónicas), como los aceites.

Respuestas a las preguntas de Evalúe su comprensión

Sección 21.1 La barra de plástico adquiere carga negativa tomandoelectrones de la piel; por tanto, la barra pesa un poco más y la piel unpoco menos después de frotar. En cambio, la barra de vidrio adquie-re carga positiva cediendo electrones a la seda. Por consiguiente, des-pués de frotarlas, la barra de vidrio pesa un poco menos, y la seda, unpoco más. El cambio de peso es muy pequeño: el número de electro-nes que se transfiere es una pequeña fracción de mol, y un mol deelectrones tiene una masa de sólo (6.02 � 1023 electrones)(9.11 �10–31 kg/electrón) � 5.48 � 10–7 kg � ¡0.548 miligramos!Sección 21.2 Seguiría la misma serie de pasos que se muestra en lafigura 21.6, pero acercaría una barra con carga positiva a la esfera (porejemplo, una barra de vidrio frotada con seda; véase la Fig. 21.1).Sección 21.3 La fuerza que q1 ejerce sobre Q sigue siendo comoen el ejemplo 21.4. La magnitud de la fuerza que q2 ejerce sobre Qsigue siendo igual a F1 sobre Q, pero la dirección de la fuerza es aho-ra hacia q2 a un ángulo α por debajo del eje de las x. Por tanto, lasdos componentes de esta fuerza son negativas:

(F2 sobre Q)x � –(F2 sobre Q) cos � � –0.23 N(F2 sobre Q)y � –(F2 sobre Q) sen � � –0.17 N

En este caso las componentes x de las dos fuerzas se cancelan, entanto que las componentes y se suman; por tanto, las componentesde la fuerza total sobre Q son

Fx � 0.23 N � (–0.23 N) � 0Fy � (–0.17 N) � (–0.17 N) � –0.34 N

La fuerza total está en la dirección –y y su magnitud es de 0.34 N.Sección 21.4 En el ejemplo 21.4 encontramos que la fuerza eléc-trica sobre una tercera carga Q � 4.0 �C en este punto es

Con base en la ecuación (21.3), en este punto elcampo eléctrico debido a las dos primeras cargas es el cociente dela fuerza sobre Q entre Q misma, o

Sección 21.5 En este caso apuntaría en la dirección y negativa.Suponga un par de segmentos de longitud dy, uno en la coordenaday � 0 y el otro en la coordenada –y � 0. El segmento superior tienecarga positiva y produce un campo eléctrico en P que apunta ale-jándose del segmento, por lo que este tiene una componente xpositiva y una componente y negativa, como el vector de la figu-ra 21.22. El segmento inferior tiene la misma cantidad de carga ne-gativa. Produce un que tiene la misma magnitud pero apuntahacia el segmento inferior, por lo que tiene una componente x nega-tiva y una componente y positiva. Por simetría, las dos componentesx son iguales pero opuestas, de modo que se cancelan. Por tanto, elcampo eléctrico total tiene sólo una componente y negativa.

dEr

dEr

dEr

dEr

Er

14.0 3 1026 C 2 4 d 5 11.2 3 105 N/C 2 d.3 10.46 N 2 /E

r

5 Fr

/Q 5

Fr

5 10.46 N 2 d.

Sección 21.6 Si las líneas de campo son rectas, debe apuntar en lamisma dirección en toda la región. Por tanto, la fuerza sobreuna partícula de carga q tiene siempre la misma dirección. Una par-tícula liberada desde una posición de reposo se acelera en línea rectaen la dirección de por lo que su trayectoria es una línea recta.Sección 21.7 En una molécula de agua, se desplaza una cantidad decarga q igual a e � 1.60 � 10–19 C (la magnitud de la carga de unelectrón) una distancia d � 4 � 10–11 m. Por tanto, la magnitud delmomento dipolar eléctrico es p � qd � (4 � 10–11 m)(1.60 � 10–19

C) � 6.4 � 10–30 C • m. La dirección es la que se muestra en la figu-ra 21.28a. El ángulo entre y es 90°; por tanto, la magnitud delmomento de torsión es τ = pE sen 90° � pE � (6.4 � 10–30 C • m)(2.5� 104 N/C) � 1.6 � 10–26 N • m. La dirección del momento de torsiónes tal que se alínea con

Preguntas para análisis

P21.1 Dos esferas metálicas cuelgan de hilos de nylon. Cuando secolocan próximas entre sí tienden a atraerse. Con base sólo en estainformación, analice los modos posibles en que podrían estar car-gadas las esferas. ¿Es posible que, luego de tocarse, las esferas per-manezcan adheridas una a la otra? Explique su respuesta.P21.2 La fuerza eléctrica entre dos partículas con carga se debilitaal aumentar la distancia. Ahora suponga que la fuerza eléctrica fue-ra independiente de la distancia. En este caso, ¿un peine con cargacausaría que un aislador neutro se polarizara como en la figura21.7? ¿Por qué? ¿El aislador neutro sería atraído hacia el peine?Nuevamente, ¿por qué?P21.3 Las prendas de ropa tienden a adherirse unas a otras despuésde pasar por la secadora. ¿Por qué? ¿Esperaría usted más (o menos)adhesión si toda la ropa fuese del mismo material (algodón, por ejem-plo) que si se secara ropa de diferentes tipos? Nuevamente, ¿por qué?(Si lo desea, experimente con su próxima carga de lavadora.)P21.4 Una esfera metálica sin carga cuelga de un hilo de nylon.Cuando se acerca a la esfera metálica una barra de vidrio con cargapositiva, la esfera es atraída hacia la barra. Pero si la esfera toca la ba-rra, de pronto se aleja violentamente de ella. Explique por qué la es-fera es atraída primero y luego repelida.P21.5 Los electrones libres de un metal experimentan atraccióngravitatoria hacia la Tierra. ¿Por qué, entonces, no se depositan to-dos en el fondo del conductor, como un sedimento que se asienta enel fondo de un río?P21.6 Algunos de los electrones libres de un buen conductor (como untrozo de cobre, por ejemplo) se desplazan con una rapidez de 106 m/s omás. ¿Por qué estos electrones no escapan volando del conductor?P21.7 Los buenos conductores eléctricos, como los metales, sontípicamente buenos conductores del calor; los aisladores eléctricos,como la madera, son típicamente malos conductores del calor. Ex-plique por qué tendría que haber una relación entre la conduccióneléctrica y la conducción térmica en estos materiales.P21.8 Defienda la aseveración siguiente: “Si hubiese una sola par-tícula con carga eléctrica en todo el universo, el concepto de cargaeléctrica carecería de significado”.P21.9 Dos objetos metálicos idénticos están montados en soportesaislantes. Describa cómo podría depositar cargas de signo opuestopero de magnitud exactamente igual en los dos objetos.P21.10 Se puede cubrir un recipiente con película de plástico paraalimentos estirando el material sobre la parte superior y presionar

Er

.pr

Er

pr

Fr

,

Fr

5 qEr

Er

el material colgante contra los costados. ¿Qué es lo que hace que seadhiera? (Sugerencia: La respuesta tiene que ver con la fuerza eléc-trica.) ¿Se adhiere la película de plástico a sí misma con la misma te-nacidad? ¿Por qué? ¿Se obtiene el mismo resultado con recipientesmetálicos? Nuevamente, ¿por qué?P21.11 Si uno camina sobre un tapete de nylon y luego toca un obje-to metálico grande, como la perilla de una puerta, puede recibir unachispa y una sacudida. ¿Por qué tiende esto a ocurrir con más frecuen-cia en los días secos que en los húmedos? (Pista: Véase la Fig. 21.28.)¿Por qué es menos probable recibir una sacudida si se toca un objetometálico pequeño, como un sujetador de papeles, por ejemplo?P21.12 Usted tiene un objeto con carga negativa. ¿Cómo puededepositar una carga negativa neta en una esfera metálica aislada pormedio del objeto? ¿Y una carga positiva neta?P21.13 Si se toca con una barra con carga positiva una esfera me-tálica aislada inicialmente sin carga, la esfera adquiere una cargapositiva neta y la barra pierde parte de su carga. ¿Significa esto quese transfirieron protones de la barra a la esfera?P21.14 Dos cargas puntuales iguales ejercen fuerzas iguales unasobre la otra. Pero si una carga es el doble de la otra, ¿siguen ejer-ciendo fuerzas iguales una sobre la otra, o una ejerce dos veces másfuerza que la otra?P21.15 Se coloca un protón en un campo eléctrico uniforme y luegose libera. Después se coloca un electrón en el mismo punto y se libe-ra. ¿Experimentan estas dos partículas la misma fuerza? ¿Y la mismaaceleración? ¿Se desplazan en la misma dirección al ser liberadas?P21.16 La fuerza eléctrica entre un electrón y un protón, entre doselectrones o entre dos protones es mucho más intensa que la fuerzagravitatoria entre cualquiera de estos pares de partículas. Sin em-bargo, pese a que el Sol y los planetas contienen electrones y proto-nes, es la fuerza gravitatoria lo que mantiene a los planetas en susórbitas alrededor del Sol. Explique esta aparente contradicción.P21.17 ¿Qué semejanzas presentan las fuerzas eléctricas con lasfuerzas gravitatorias? ¿Cuáles son las diferencias más significativas?P21.18 Los núcleos atómicos se componen de protones y neutro-nes. Esto demuestra que debe existir otro tipo de interacción ade-más de las fuerzas gravitatorias y eléctricas. Explique este hecho.P21.19 Los campos eléctricos suficientemente intensos pueden pro-vocar que los átomos se ionicen positivamente, esto es, que pierdanuno o más electrones. Explique cómo ocurre esto. ¿Qué es lo que de-termina la intensidad que el campo debe tener para que esto ocurra?P21.20 Cuando uno saca cinta de plástico transparente de un rolloe intenta colocarla con precisiónen una hoja de papel, la cintasuele saltar y adherirse donde nose desea. ¿Por qué?P21.21 Se mantiene fija en elorigen una partícula con cargapositiva Q. Se dispara una se-gunda partícula con carga positi-va q hacia la primera partícula, ysigue la trayectoria que se mues-tra en la figura 21.32. ¿Es constante la cantidad de movimiento an-gular de la segunda partícula? ¿Por qué? (Sugerencia: ¿Cuántomomento de torsión ejerce la primera partícula sobre la segunda?)P21.22 La temperatura y la velocidad del aire tienen valores dife-rentes en distintos lugares de la atmósfera terrestre. ¿Es la veloci-


dad del aire un campo vectorial? ¿Por qué? ¿Es la temperatura delaire un campo vectorial? Nuevamente, ¿por qué?P21.23 Suponga que la carga que se muestra en la figura 21.26a estáen una posición fija. Se coloca entonces una partícula pequeña concarga positiva en algún punto de la figura y se deja libre. ¿Seguirá latrayectoria de la partícula una línea de campo eléctrico? ¿Por qué? Su-ponga ahora que se coloca la partícula en algún punto de la figura21.26b y se deja en libertad (las cargas positiva y negativa que semuestran en la figura ocupan posiciones fijas). ¿Seguirá su trayecto-ria una línea de campo eléctrico? Nuevamente, ¿por qué? Explique lasdiferencias entre sus respuestas con respecto a las dos situaciones.P21.24 La molécula de agua (H2O) tiene un momento dipolargrande; en cambio, la molécula de benceno (C6H6) no tiene mo-mento dipolar. Con base en estos hechos, explique por qué la sal co-mún (NaCl, cloruro de sodio) se disuelve con gran facilidad enagua, pero muy poco en benceno.

Ejercicios

Sección 21.3 Ley de Coulomb21.1 Se deposita un exceso de electrones sobre una esfera pequeña deplomo con una masa de 8.00 g, de modo que su carga neta es de –3.20� 10–9 C. a) Halle el número de electrones en exceso en la esfera. b)¿Cuántos electrones en exceso hay en cada átomo de plomo? El nú-mero atómico del plomo es 82 y su masa atómica es de 207 g/mol.21.2 Se produce un rayo cuando hay un flujo de carga eléctrica (prin-cipalmente electrones) entre el suelo y un nubarrón. La proporciónmáxima de flujo de carga al caer un rayo es de alrededor de 20 000C/s; esto dura 100 �s o menos. ¿Cuánta carga fluye entre el suelo y lanube en este tiempo? ¿Cuántos electrones fluyen durante este tiempo?21.3 Estime cuántos electrones hay en su cuerpo. Haga las suposi-ciones que considere necesarias, pero indique claramente cuálesson. (Sugerencia: Casi todos los átomos de su cuerpo tienen núme-ros iguales de electrones, protones y neutrones.) ¿Cuál es la cargacombinada de todos estos electrones?21.4 Partículas en un anillo de oro. Se tiene un anillo de oro pu-ro (de 24 kilates) con una masa de 17.7 g. El oro tiene una masa ató-mica de 197 g/mol y un número atómico de 79. a) ¿Cuántosprotones hay en el anillo, y cuál es su carga positiva total? b) Si elanillo no tiene una carga neta, ¿cuántos electrones hay en él?21.5 ¿Cuál es la carga total, en coulomb, de todos los electrones de1.80 mol de átomos de hidrógeno?21.6 Dos esferas pequeñas separadas por una distancia de 20.0 cmtienen cargas iguales. ¿Cuántos electrones en exceso hay en cadaesfera si la magnitud de la fuerza de repulsión entre ellas es de 4.57� 10–21 N?21.7 A dos esferas pequeñas de plástico se les proporciona una car-ga eléctrica positiva. Cuando están a 15.0 cm de distancia una de laotra, la fuerza de repulsión entre ellas tiene una magnitud de 0.220N. ¿Qué carga tiene cada esfera a) si las dos cargas son iguales? b)si una esfera tiene cuatro veces más carga que la otra?21.8 Dos esferas pequeñas de aluminio, cada una con una masa de0.0250 kg, están separadas por una distancia de 80.0 cm. a) ¿Cuán-tos electrones contiene cada esfera? (La masa atómica del aluminioes de 26.982 g/mol, y su número atómico es 13). b) ¿Cuántos elec-trones habría que quitar a una esfera y agregar a la otra para crearuna fuerza de atracción entre las esferas con una magnitud de 1.00

Qq

Figura 21.32 Pregunta P21.21.

� 104 N (aproximadamente 1 t)? Suponga que las esferas se puedentratar como cargas puntuales. c) ¿Qué fracción de cada esfera repre-sentan estos electrones?21.9 ¿A qué distancia es necesario alejar del núcleo el electrón deun átomo de hidrógeno para que la fuerza de atracción sea igual alpeso del electrón en la superficie terrestre?21.10 a) Al frotar con seda una barra de vidrio, ésta adquiere una car-ga cuya magnitud es de 7.50 nC. ¿Cuál es el cambio de masa de la ba-rra? b) Al frotar con piel una barra de plástico, ésta adquiere una cargacuya magnitud es de 7.50 nC. ¿Cuál es el cambio de masa de la barra?21.11 Tres cargas puntuales están dispuestas en línea. La carga q3

� �5.00 nC está en el origen. La carga q2 � �3.00 nC está en x ��4.00 cm. La carga q1 está en x � �2.00 cm. ¿Cuál es la magnitudy el signo de q1 si la fuerza neta sobre q3 es cero?21.12 Una carga negativa de –0.550 �C ejerce una fuerza haciaarriba de 0.200 N sobre una carga desconocida que está a 0.300 mdirectamente abajo de ella. a) ¿Cuáles son la magnitud y el signo dela carga desconocida? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de lafuerza que la carga desconocida ejerce sobre la carga de –0.550 �C?21.13 Se coloca una carga puntual de �3.50 �C 0.800 m a la izquier-da de una segunda carga puntual idéntica. ¿Cuáles son las magnitudesy direcciones de las fuerzas que cada carga ejerce sobre la otra?21.14 Suponga que en el ejemplo 21.4 (sección 21.3) la carga pun-tual que está sobre el eje de las y en y � –0.30 m tiene una carga ne-gativa de –2.0 �C, y que las otras cargas no han cambiado. Halle lamagnitud y dirección de la fuerza neta sobre Q. ¿Cuál es la diferen-cia entre su respuesta y la del ejemplo 21.3? Explique las diferencias.21.15 En el ejemplo 21.3 (sección 21.3), calcule la fuerza neta so-bre la carga q1.21.16 En el ejemplo 21.4 (sección 21.3), ¿cuál es la fuerza neta(magnitud y dirección) que ejercen las otras cargas sobre la carga q1?21.17 Tres cargas puntuales están ordenadas a lo largo del eje de lasx. La carga q1 � �3.00 µC está en el origen, y la carga q2 � –5.00�C está en x � 0.200 m. La carga q3 � –8.00 �C. ¿Dónde está si-tuada q3 si la fuerza neta sobre q1 es 7.00 N en la dirección –x?21.18 Repita el ejercicio 21.17 con q3 � �8.00 �C.21.19 Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje de las y co-mo sigue: la carga q1 � –1.50 nC en y � –0.600 m, y la carga q2 ��3.20 nC en el origen (y � 0). ¿Cuál es la fuerza total (magnitud ydirección) que estas dos cargas ejercen sobre una tercera carga q3 ��5.00 nC que se encuentra en y � –0.400 m?21.20 Dos cargas puntuales están situadas sobre el eje de las x co-mo sigue: la carga q1 � �4.00 nC está en x � 0.200 m, y la carga q2

� �5.00 nC está en x � –0.300 m. ¿Cuáles son la magnitud y direc-ción de la fuerza total que estas dos cargas ejercen sobre una cargapuntual negativa q3 � –6.00 nC que se encuentra en el origen?21.21 Se coloca una carga puntual positiva q sobre el eje de las �yen y � a, y una carga puntual negativa –q sobre el eje de las –y en y � –a. Una carga negativa puntual –Q se encuentra en algún puntosobre el eje de las �x. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestrelas fuerzas que actúan sobre la carga –Q. b) Halle las componentesx y y de la fuerza neta que las dos cargas q y –q ejercen sobre –Q.(En su respuesta sólo deben intervenir k, q, Q, a y la coordenada xde la tercera carga). c) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga –Qcuando ésta se encuentra en el origen (x � 0)? d) Grafique la com-ponente y de la fuerza neta sobre la carga –Q en función de x con va-lores de x entre –4a y �4a.

Ejercicios 829

21.22 Dos cargas puntuales positivas q se encuentran sobre el ejede las y en y � a y y � –a. Una carga puntual negativa –Q se encuentra en algún punto sobre el eje de las �x. a) En un diagramade cuerpo libre, muestre las fuerzas que actúan sobre la carga –Q.b) Halle las componentes x y y de la fuerza neta que las dos cargaspositivas ejercen sobre –Q. (En su respuesta sólo deben intervenirk, q, Q, a y la coordenada x de la tercera carga). c) ¿Cuál es la fuer-za neta sobre la carga –Q cuando ésta se encuentra en el origen (x� 0)? d) Grafique la componente x de la fuerza neta sobre la carga–Q en función de x con valores de x entre –4a y �4a.21.23 Se colocan cuatro cargas idénticas q en los vértices de un cua-drado de lado L. a) En un diagrama de cuerpo libre, muestre todas lasfuerzas que actúan sobre una de las cargas. b) Halle la magnitud y di-rección de la fuerza total que ejercen sobre una carga las otras tres.

Sección 21.4 Campo eléctrico y fuerzas eléctricas21.24 Cierta partícula tiene una carga de –3.00 nC. a) Halle la mag-nitud y dirección del campo eléctrico debido a esta partícula en unpunto situado 0.250 m directamente arriba de ella. b) ¿A qué distanciade esta partícula tiene su campo eléctrico una magnitud de 12.0 N/C?21.25 Una partícula alfa (carga �2e y masa 6.64 � 10–27 kg) via-ja hacia la derecha a 1.50 km/s. ¿Qué campo eléctrico uniforme(magnitud y dirección) se necesita para hacer que viaje hacia la iz-quierda con la misma rapidez al cabo de 2.65 �s?21.26 Un electrón inicialmente en reposo se deja libre en un cam-po eléctrico uniforme. El electrón se acelera verticalmente haciaarriba, recorriendo 4.50 m en los primeros 3.00 �s después de serliberado. a) ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctri-co? b) ¿Se justifica no tener en cuenta los efectos de la gravedad?Justifique su respuesta cuantitativamente.21.27 a) ¿Cuál debe ser la carga (signo y magnitud) de una partícu-la de 1.45 g para que ésta permanezca inmóvil al colocarla en uncampo eléctrico dirigido hacia abajo y cuya magnitud es 650 N/C? b) ¿Cuál es la magnitud de un campo eléctrico en el que la fuerzaeléctrica sobre un protón tiene la misma magnitud que su peso?21.28 ¿Cuál es el campo eléctrico de un núcleo de hierro a una dis-tancia de 6.00 � 10–10 m del núcleo? El número atómico del hierroes 26. Suponga que se puede tratar el núcleo como una carga pun-tual. b) ¿Cuál es el campo eléctrico de un protón a una distancia de5.29 � 10–11 del protón? (Éste es el radio de la órbita del electrón enel modelo de Bohr del estado fundamental del átomo de hidrógeno).21.29 Un objeto pequeño que tiene una carga de –55.0 �C experi-menta una fuerza hacia abajo de 6.20 � 10–9 N cuando se coloca encierto punto de un campo eléctrico. a) ¿Cuáles son la magnitud ydirección del campo eléctrico en este punto? b) ¿Cuáles serían lamagnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre un núcleo de co-bre (número atómico � 29), masa atómica � 63.5 g/mol) situadoen este mismo punto del campo eléctrico?21.30 Campo eléctrico de la Tierra. La Tierra tiene una cargaeléctrica neta que crea en los puntos cercanos a su superficie uncampo igual a 150 N/C y dirigido hacia su centro. a) ¿De qué mag-nitud y signo debe ser la carga que un ser humano de 60 kg tendríaque adquirir para compensar su peso con la fuerza que ejerce el cam-po eléctrico terrestre? b) ¿Cuál sería la fuerza de repulsión entre dospersonas que tuviesen cada una la carga calculada en el inciso (a) yestuviesen separadas por una distancia de 100 m? ¿Es el uso delcampo eléctrico terrestre un medio viable para volar? ¿Por qué?

21.31 Se proyecta un electróncon una rapidez inicial v0 � 1.60� 106 m/s hacia el interior de uncampo eléctrico uniforme entrelas placas paralelas de la figura21.33. Suponga que el campo en-tre las placas es uniforme y su di-rección es vertical descendente, y que el campo afuera de las placas escero. El electrón entra en el campo en un punto equidistante de las dosplacas. a) Si el electrón pasa casi rozando la placa superior al salir delcampo, halle la magnitud del campo eléctrico. b) Suponga que el elec-trón de la figura 21.33 se sustituye por un protón con la misma rapi-dez inicial v0. ¿Golpearía el protón en una de las placas? Si el protónno golpeara una de las placas, ¿cuál sería la magnitud y dirección desu desplazamiento vertical al salir de la región comprendida entre lasplacas? c) Compare las trayectorias recorridas por el electrón y el pro-tón y explique las diferencias. d) Comente si es razonable pasar por al-to los efectos de la gravedad en cada partícula.21.32 La carga puntual q1 � –5.00 nC está en el origen y la carga pun-tual q2 � �3.00 nC está sobre el eje de las x en x � 3.00 cm. El puntoP está sobre el eje de las y en y � 4.00 cm. a) Calcule los campos eléc-tricos y en el punto P debidos a las cargas q1 y q2. Exprese susresultados en términos de vectores unitarios (véase el ejemplo 21.6). b)Con base en los resultados del inciso (a), obtenga el campo eléctricoresultante en P, expresado en forma de vectores unitarios.21.33 En el ejercicio 21.31, ¿cuál es la rapidez del electrón al salirdel campo eléctrico?21.34 a) Calcule la magnitud y dirección (respecto al eje de las x)del campo eléctrico del ejemplo 21.6 (sección 21.4). b) Se colocauna carga puntual de –2.5 nC en el punto P de la figura 21.17. Ha-lle la magnitud y dirección de i) la fuerza que la carga de –8.0 nCsituada en el origen ejerce sobre esta carga y ii) la fuerza que estacarga ejerce sobre la carga de –8.0 nC situada en el origen.21.35 a) Con respecto al electrón de los ejemplos 21.7 y 21.8 (sección21.4), compare el peso del electrón con la magnitud de la fuerza eléc-trica sobre el electrón. ¿Es correcto pasar por alto la fuerza gravitato-ria sobre el electrón en estos ejemplos? Explique su respuesta. b) Secoloca una partícula con carga �e en reposo entre las placas con car-ga de la figura 21.18. ¿Cuál debe ser la masa de este objeto para quepermanezca en reposo? Exprese su respuesta en kilogramos y en múl-tiplos de la masa del electrón. c) ¿Depende la respuesta del inciso (b)de la posición donde se coloque el objeto entre las placas? ¿Por qué?21.36 Hay un campo eléctrico uniforme en la región comprendidaentre dos placas planas paralelas con carga opuesta. Se deja libre unprotón inicialmente en reposo en la superficie de la placa con cargapositiva, el cual golpea la superficie de la placa opuesta, distante1.60 cm de la primera, al cabo de un intervalo de tiempo de 1.50 �10–6 s. a) Halle la magnitud del campo eléctrico. b) Halle la rapidezdel protón cuando incide en la placa con carga negativa.21.37 Una carga puntual se encuentra en el origen. Con esta cargapuntual como punto de origen, ¿cuál es el vector unitario en la direc-ción de a) el punto del campo situado en x � 0, y � –1.35 m; b) el pun-to del campo situado en x � 12.0 cm, y � 12.0 cm; c) el punto delcampo situado en x � –1.10 m, y � 2.60 m? (Exprese sus resultadosen términos de los vectores unitarios y ).21.38 De acuerdo con las normas de seguridad del Instituto de Inge-nieros Electricistas y Electrónicos (IEEE, por sus siglas en inglés), los

ed

r

Er

2Er

1


seres humanos deben evitar la exposición prolongada a campos eléc-tricos de magnitudes mayores que 614 N/C. a) En un punto donde E� 614 N/C, ¿cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica sobre un elec-trón individual? b) Las dimensiones atómicas y moleculares son delorden de 10–10 m. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica sobre unelectrón que está a 1.0 � 10–10 m de un protón? c) ¿Cómo son las res-puestas de los incisos (a) y (b) en comparación una con la otra? ¿Quépiensa usted que le ocurriría a una persona situada en un campo eléc-trico que produjese una fuerza igual a la calculada en el inciso (b)?21.39 a) Un electrón se desplaza hacia el este en un campo eléctricouniforme de 1.50 V/m dirigido hacia el oeste. En el punto A, la velo-cidad del electrón es de 4.50 � 105 m/s hacia el este. ¿Cuál es la ra-pidez del electrón cuando alcanza el punto B, 0.375 m al este delpunto A? b) Un protón se desplaza en el campo eléctrico uniformedel inciso (a). En el punto A, la velocidad del protón es de 1.90 � 104

m/s hacia el este. ¿Cuál es la rapidez del protón en el punto B?

Sección 21.5 Cálculos de campos eléctricos21.40 Dos partículas con cargas q1 � 0.500 nC y q2 � 8.00 nC es-tán separadas por una distancia de 1.20 m. ¿En qué punto a lo largode la recta que une las dos cargas es igual a cero el campo eléctricototal debido a ambas cargas?21.41 Se colocan dos cargas puntuales positivas sobre el eje de lasx, una en x � a y la otra en x � –a. a) Halle la magnitud y direccióndel campo eléctrico en x � 0. b) Deduzca una expresión del campoeléctrico en puntos sobre el eje de las x. Con base en su resultado,grafique la componente x del campo eléctrico en función de x conrespecto a valores de x entre –4a y 4a.21.42 Repita el ejercicio 21.40, pero ahora con q1 � –4.00 nC.21.43 Una carga puntual de �2.00 nC está en el origen, y una segun-da carga puntual de –5.00 nC está sobre el eje de las x en x � 0.800 m.a) Halle el campo eléctrico (magnitud y dirección) en cada uno de lospuntos siguientes sobre el eje de las x: i) x � 0.200 m; ii) x � 1.20 m;iii) x � –0.200 m. b) Halle la fuerza eléctrica neta que las dos cargasejercerían sobre un electrón colocado en cada punto del inciso (a).21.44 Se coloca una carga positiva puntual q en x � a, y una carganegativa puntual –q en x � –a. a) Halle la magnitud y dirección delcampo eléctrico en x � 0. b) Deduzca una expresión para el campoeléctrico en los puntos sobre el eje de las x. Con base en su resulta-do, grafique la componente x del campo eléctrico en función de xcon respecto a valores de x entre –4a y 4a.21.45 En un sistema de coordenadas rectangulares se coloca unacarga positiva puntual q � 6.00 � 10–9 C en el punto x � �0.150 m,y � 0, y una carga puntual idéntica en x � –0.150 m, y � 0. Hallelas componentes x y y, así como la magnitud y la dirección del cam-po eléctrico en los puntos siguientes: a) el origen; b) x � 0.300 m, y� 0; c) x � 0.150 m, y � –0.400 m; d) x � 0, y � 0.200 m.21.46 Una carga puntual q1 � –4.00 nC está en el punto x � 0.600 m,y � 0.800 m, y una segunda carga puntual q2 � �6.00 nC está en elpunto x � 0.600 m, y � 0. Calcule la magnitud y dirección del cam-po eléctrico neto debido a estas dos cargas puntuales en el origen.21.47 Repita el ejercicio 21.45 aplicado al caso en el que la cargapuntual que está en x � �0.150 m, y � 0 es positiva y la otra es ne-gativa, cada una con una magnitud de 6.00 � 10–9 C.21.48 Un alambre recto muy largo tiene una carga en cada unidadde longitud de 1.50 � 10–10 C/m. ¿A qué distancia del alambre es lamagnitud del campo eléctrico igual a 2.50 N/C?

1.00 cm

2.00 cm

v0–

Er

Figura 21.33 Ejercicio 21.31.

21.49 Se tiene carga positiva distribuida a lo largo del eje de las ycon una carga en cada unidad de longitud �. a) Considere el caso enel que la carga está distribuida sólo entre los puntos y � a y y � –a.Con respecto a puntos sobre el eje de las �x, grafique la compo-nente x del campo eléctrico en función de x para valores de x entrex � a/2 y x � 4a. b) Considere ahora el caso en el que la carga es-tá distribuida a lo largo de la totalidad del eje de las y con la mismacarga en cada unidad de longitud �. Con base en la misma gráficadel inciso (a), grafique la componente x del campo eléctrico en fun-ción de x con respecto a valores de x entre x � a/2 y x � 4a. Indi-que cuál gráfica se refiere a cuál situación.21.50 Un conductor de forma anular con radio a � 2.50 cm tieneuna carga positiva total Q � �0.125 nC distribuida uniformementeen toda su circunferencia, como se muestra en la figura 21.21. Elcentro del anillo está en el origen de coordenadas O. a) ¿Cuál es elcampo eléctrico (magnitud y dirección) en el punto P, que está sobreel eje de las x en x � 40.0 cm? b) Se coloca una carga puntual q �–2.50 �C en el punto P descrito en el inciso (a). ¿Cuáles son la mag-nitud y dirección de la fuerza que ejerce la carga q sobre el anillo?21.51 Un disco con carga uniforme y de radio R tiene una carga po-sitiva en cada unidad de área , como en la figura 21.23. Con respec-to a puntos sobre el eje de las �x, grafique la componente x del campoeléctrico con respecto a x para valores de x entre x � 0 y x � 4R.21.52 Cerca de la superficie terrestre, el campo eléctrico al aire li-bre tiene una magnitud de 150 N/C y está dirigido hacia abajo, ha-cia el suelo. Si se considera que esto se debe a una lámina grandede carga que yace sobre la superficie terrestre, calcule la carga encada unidad de área de la lámina. ¿Cuál es el signo de la carga?21.53 Cada centímetro cuadrado de la superficie de una hoja pla-na infinita de papel tiene 2.50 � 106 electrones en exceso. Halle lamagnitud y dirección del campo eléctrico en un punto situado a5.00 cm de la superficie de la hoja, si la hoja es lo suficientementegrande para considerarla como un plano infinito.21.54 Dos láminas planas horizontales e infinitas de carga están se-paradas por una distancia d. La lámina inferior tiene carga negativa,con una densidad superficial uniforme de carga – � 0. La láminasuperior tiene carga positiva, con una densidad superficial uniformede carga � 0. ¿Cuál es el campo eléctrico (magnitud, y dirección siel campo es diferente de cero) a) arriba de la lámina superior? b) aba-jo de la lámina inferior? c) entre las láminas?

Sección 21.6 Líneas de campo eléctrico21.55 Dos láminas grandes paralelas de carga están separadas poruna distancia d. Una de ellas tiene una densidad superficial de cargapositiva � 0, y la otra tiene una densidad superficial de carga ne-gativa – � 0. Dibuje las líneas de campo eléctrico en puntos cerca-nos al centro de las láminas y, por tanto, muy alejados de los bordes.21.56 Dibuje las líneas de campo eléctrico de un disco de radio Rcon una densidad superficial uniforme de carga positiva . Apliquelo que sabe acerca del campo eléctrico muy cerca del disco y muylejos de él para hacer su dibujo.21.57 a) Dibuje las líneas de campo eléctrico de una recta infinitacon carga. Puede ser útil mostrar las líneas de campo en un planoque contenga la recta con carga en un dibujo, y las líneas de campoen un plano perpendicular a la recta con carga en un segundo dibu-jo. b) Explique de qué modo sus dibujos muestran i) que la magni-tud E del campo eléctrico depende sólo de la distancia r respecto ala recta con carga y ii) que E disminuye con 1/r.

Ejercicios 831

21.58 La figura 21.34 muestraalgunas de las líneas de campoeléctrico debidas a tres cargaspuntuales dispuestas a lo largodel eje vertical. Las tres cargastienen la misma magnitud. a) ¿Cuáles son los signos de cadauna de las tres cargas? Expliquesu razonamiento. b) ¿En qué pun-to o puntos es mínima la magni-tud del campo eléctrico? Expliquesu razonamiento. Explique cómose combinan los campos produci-dos por cada carga puntual individual para dar un pequeño camponeto en este punto o puntos.

Sección 21.7 Dipolos eléctricos21.59 Hay una distancia de 3.1 mm entre las cargas puntuales q1 �–4.5 nC y q2 � �4.5 nC, que forman un dipolo eléctrico. a) Halleel momento dipolar eléctrico (magnitud y dirección). b) Las cargasestán en un campo eléctrico uniforme cuya dirección forma un án-gulo de 36.9° con la recta que une a las cargas. ¿Cuál es la magni-tud de este campo si el momento de torsión que se ejerce sobre eldipolo tiene una magnitud de 7.2 � 10–9 N • m?21.60 La molécula de cloruro de potasio (KCl) tiene un momento di-polar de 8.9 � 10–30 C • m. a) Suponiendo que este momento dipolarse debe a dos cargas de �1.6 � 10–19 C separadas por una distancia d,calcule d. b) ¿Cuál es la magnitud máxima del momento de torsiónque un campo eléctrico uniforme de magnitud igual a 6.0 � 105 N/Cpuede ejercer sobre una molécula de KCl? Dibuje las orientacionesrelativas del momento dipolar eléctrico y del campo eléctrico cuando el momento de torsión es máximo.21.61 La molécula de amoniaco (NH3) tiene un momento dipolarde 5.0 � 10–30 C • m. Se introducen moléculas de amoniaco en fasegaseosa en un campo eléctrico con una magnitud de 1.6 � 106

N/C. a) ¿Cuál es el cambio de energía potencial eléctrica cuando elmomento dipolar de una molécula cambia de orientación con res-pecto a , de paralela a perpendicular? b) ¿A qué temperatura ab-soluta T es la energía cinética media de traslación de unamolécula igual al cambio de energía potencial calculado en el inci-so (a)? (Por encima de esta temperatura, la agitación térmica impi-de que los dipolos se alineen con el campo eléctrico.)21.62 El momento dipolar de la molécula de agua (H2O) es de 6.17� 10–30 C • m. Considere una molécula de agua situada en el origen,cuyo momento dipolar apunta en la dirección �x. Un ion cloruro(Cl–), de carga –1.60 � 10–19 C, está situado en x � 3.00 � 10–9 m.Halle la magnitud y dirección de la fuerza eléctrica que la molécu-la de agua ejerce sobre el ion cloruro. ¿Es esta fuerza de atraccióno de repulsión? Suponga que x es mucho mayor que la separación dentre las cargas del dipolo, por lo que se puede emplear la aproxi-mación del campo eléctrico a lo largo del eje del dipolo deducida enel ejemplo 21.15 (sección 21.7).21.63 En el ejemplo 21.15 (sección 21.7), se dedujo el resultadoaproximado del campo eléctrico de un dipolo enpuntos situados sobre el eje del dipolo. a) Deduzca de nuevo esteresultado poniendo las fracciones de la expresión de Ey sobre un de-nominador común, como se describe en el ejemplo 21.15. b) Expli-

E > p/2pP0 y3

pr

32 kT

Er

Er

Er

pr


que por qué el resultado aproximado también da la expresión apro-ximada correcta de Ey para y � 0.21.64 Considere el dipolo eléctrico del ejemplo 21.15 (sección21.7). a) Deduzca una expresión de la magnitud del campo eléctri-co producido por el dipolo en un punto sobre el eje de las x de la fi-gura 21.31. ¿Cuál es la dirección de este campo eléctrico? ¿Cómodepende de x el campo eléctrico en puntos sobre el eje de las xcuando x es muy grande?21.65 Tensión superficial. La superficie de un líquido polar, co-mo el agua, por ejemplo, se puede ver como una serie de dipolosencadenados en un arreglo estable en el que los vectores de mo-mento dipolar son paralelos a la superficie y todos apuntan en lamisma dirección. Suponga ahora que algo presiona la superficiehacia dentro, deformando los dipolos como se muestra en la figura21.35. a) Muestre que los dos dipolos inclinados ejercen una fuerzaneta hacia arriba sobre el dipolo que está entre ellos y, por tanto, seoponen a la fuerza externa hacia abajo. Muestre además que los di-polos se atraen mutuamente y, por consiguiente, oponen resistenciaa ser separados. La fuerza entre los dipolos se opone a la penetra-ción de la superficie del líquido, y es un modelo sencillo de la ten-sión superficial (sección. 14.3 y Fig. 14.15).

21.66 Momento de torsión sobre un dipolo. Un dipolo eléctricocon un momento dipolar está en un campo eléctrico uniforme . a)Halle las orientaciones del dipolo en las que el momento de torsióndel dipolo es cero. b) ¿Cuál de las orientaciones del inciso (a) es esta-ble, y cuál es inestable? (Sugerencia: Considere un desplazamientopequeño respecto a la posición de equilibrio y vea lo que ocurre.) c) Muestre que, en el caso de la orientación estable de (b), el propiocampo eléctrico del dipolo tiende a oponerse al campo externo.21.67 Hay tres cargas en los vér-tices de un triángulo isósceles, co-mo se muestra en la figura 21.36.Las cargas de �5.00 �C formanun dipolo. a) Halle la fuerza(magnitud y dirección) que la car-ga de –10.00 �C ejerce sobre eldipolo. b) Con respecto a un ejeperpendicular a la recta que unelas cargas de �5.00 �C en el pun-to medio de esta recta, halle elmomento de torsión (magnitud ydirección) que ejerce sobre el dipolo la carga de –10.00 �C.

Problemas

21.68 Se coloca una carga q1 � �5.00 nC en el origen de un siste-ma de coordenadas xy, y una carga q2 � –2.00 nC sobre el eje x po-sitivo en x � 4.00 cm. a) Si ahora se coloca una tercera carga q3 ��6.00 nC en el punto x � 4.00 cm, y � 3.00 cm, halle las compo-nentes x y y de la fuerza total que ejercen sobre esta carga las otrasdos. b) Halle la magnitud y dirección de esta fuerza.

Er

pr


21.69 Dos cargas puntuales positivas Q se mantienen fijas sobre eleje de las x en x � a y x � –a. Se coloca una tercera carga puntualpositiva de carga q y masa m sobre el eje de las x (fuera) del origen,en una coordenada x tal que |x| �� a. En seguida se deja libre la car-ga q, que puede moverse libremente a lo largo del eje de las x. a) Halle la frecuencia de oscilación de la carga q. (Sugerencia: Re-pase la definición del movimiento armónico simple en la sección13.2. Utilice el desarrollo binomial (1 � z)n � 1 � nz � n(n – 1)z2/2� ···, válido para el caso |z| � 1.) b) Suponga ahora que la carga q secoloca sobre el eje de las y en una coordenada y tal que |y| �� a, yluego se deja libre. Si esta carga puede moverse libremente a cual-quier punto del plano xy, ¿qué le ocurrirá? Explique su respuesta.21.70 Dos esferas idénticas de masa m se cuelgan de hilos de seda delongitud L, como se muestra en la figura 21.37. Cada esfera tiene lamisma carga; por tanto, q1 � q2 � q. El radio de cada esfera es muy pe-queño en comparación con la distancia entre las esferas, por lo que és-tas se pueden tratar como cargas puntuales. Demuestre que, si el ángulo� es pequeño, la separación de equilibrio d entre las esferas es d � (q2L-/2��0mg)1/3. (Sugerencia: Si � es pequeño, entonces tan � ≅ sen �).21.71 Dos esferas pequeñas de masa m � 15.0 g cuelgan de hilos deseda de longitud L � 1.20 m de un punto común (Fig. 21.37). Cuan-do se les proporciona a las esferas cantidades iguales de carga nega-tiva, de modo que q1 � q2 � q, cada hilo cuelga a � � 25.0° respectoa la vertical. a) Dibuje un diagra-ma que muestre las fuerzas sobrecada esfera. Trate las esferas co-mo cargas puntuales. b) Halle lamagnitud de q. c) Ahora se acor-tan los dos hilos a una longitud L� 0.600 m, en tanto que las car-gas q1 y q2 permanecen sin cam-bio. ¿Cuál es el nuevo ángulo quecada hilo forma con la vertical?(Sugerencia: Esta parte del pro-blema se puede resolver numéri-camente empleando valores deprueba de � y ajustando estos va-lores hasta obtener una respuesta congruente consigo misma).21.72 Dos esferas idénticas se sujetan a hilos de seda de longitudL � 0.500 m y se cuelgan de un punto común (Fig. 21.37). La ma-sa de cada esfera es m � 8.00 g. El radio de las esferas es muy pe-queño en comparación con la distancia entre ellas, por lo que se lespuede tratar como cargas puntuales. A una esfera se le proporcionauna carga positiva q1, y a la otra una carga positiva diferente q2; es-to provoca que las esferas se separen de tal modo que, cuando estánen equilibrio, cada hilo forma un ángulo � � 20.0° con la vertical.a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de cada esfera en equilibrio,e identifique todas las fuerzas que actúan sobre cada esfera. b) Ha-lle la magnitud de la fuerza electrostática que actúa sobre cada esfe-ra, así como la tensión en cada hilo. c) Con base en la informacióndada, ¿qué se puede afirmar acerca de las magnitudes respectivas deq1 y q2? Explique sus respuestas. d) Ahora se conectan las esferasmediante un alambre pequeño, lo que permite que se transfiera car-ga de una esfera a la otra hasta que ambas tienen la misma carga;después se retira el alambre. Cada hilo forma ahora un ángulo de30.0° con la vertical. Halle las cargas originales. (Sugerencia: Lacarga total del par de esferas se conserva).

�5.00 mC

3.00 cm

�5.00 mC

�10.00 mC

2.00 cm

2.00 cm

Figura 21.36 Problema 21.67.

F� � � � � � � �

� ��

��

�


Figura 21.37 Problemas21.70, 21.71 y 21.72.

21.73 El cloruro de sodio (NaCl, sal común) se compone de ionessodio positivos (Na�) y iones cloruro negativos (Cl–). a) Si una cargapuntual con la misma carga y masa que todos los iones Na� de 0.100mol de NaCl está a 2.00 cm de una carga puntual con la misma cargay masa que todos los iones Cl–, ¿cuál es la magnitud de la fuerza deatracción entre estas dos cargas puntuales? b) Si se mantiene fija lacarga positiva puntual del inciso (a) y se deja libre la carga puntual ne-gativa, inicialmente en reposo, ¿cuál es su aceleración inicial? (Véan-se las masas atómicas en el apéndice D). c) ¿Parece razonable laposibilidad de separar los iones del NaCl de este modo? ¿Por qué? (Dehecho, cuando el cloruro de sodio se disuelve en agua se separa en io-nes Na� y Cl–. Sin embargo, en esta situación existen fuerzas eléctri-cas adicionales ejercidas por las moléculas de agua sobre los iones).21.74 Se ordenan tres cargas puntuales a lo largo del eje de las x.La carga q1 � –4.50 nC está en x � 0.200 m, y la carga q2 � �2.50nC, en x � –0.300 m. Hay una carga puntual positiva q3 en el ori-gen. a) ¿Cuál debe ser el valor de q3 para que la fuerza neta sobreesta carga puntual tenga una magnitud de 4.00 � 10–6 N? b) ¿Cuáles la dirección de la fuerza neta sobre q3? c) ¿En qué punto del ejede las x se puede colocar q3 de modo que la fuerza neta sobre ellasea cero, que no sean las respuestas triviales de x � �∞?21.75 Se colocan tres cargas puntuales idénticas q en tres vérticesde un cuadrado de lado L. Halle la magnitud y dirección de la fuer-za neta sobre una carga puntual –3q situada a) en el centro del cua-drado; b) en el vértice vacío del cuadrado. En cada caso, dibuje undiagrama de cuerpo libre que muestre las fuerzas que ejercen sobrela carga –3q las otras tres cargas.21.76 Se colocan tres cargas puntuales sobre el eje de las y: unacarga q en y � a, una carga –2q en el origen, y una carga q en y �–a. Los arreglos de este tipo reciben el nombre de cuadrupoloseléctricos. a) Halle la magnitud y dirección del campo eléctrico enlos puntos sobre el eje de las y en los que y � a. b) Utilice un desa-rrollo binomial para mostrar que, a una distancia muy grande delcuadrupolo, tal que y �� a, el campo eléctrico es proporcional a y–4.Contraste este comportamiento con el del campo eléctrico de unacarga puntual y el del campo eléctrico de un dipolo.21.77 a) Con respecto a la disposición de cargas que se describe en elproblema 21.76, halle la magnitud y dirección del campo eléctrico enlos puntos situados sobre el eje positivo de las x. b) Con ayuda del de-sarrollo binomial, halle la expresión aproximada del campo eléctricoválida para x �� a. Contraste este comportamiento con el del campoeléctrico de una carga puntual y el del campo eléctrico de un dipolo.21.78 a) Suponga que todos los electrones de 20.0 g de átomos decarbono están en el polo norte de la Tierra y todos los protones enel polo sur. ¿Cuál sería la fuerza total de atracción que cada grupode cargas ejerce sobre el otro? El número atómico del carbono es 6,y su masa atómica es de 12.0 g/mol. b) ¿Cuál sería la magnitud ydirección de la fuerza que ejercen las cargas del inciso (a) sobre unatercera carga igual a la del polo sur, situada en un punto de la super-ficie terrestre en el ecuador? Dibuje un diagrama que muestre laubicación de las cargas y las fuerzas sobre la carga del ecuador.21.79 Si los átomos no fueran neutros... Debido a que las cargasdel electrón y del protón tienen el mismo valor absoluto, los átomosson eléctricamente neutros. Suponga que esto no fuera exactamen-te cierto, y que el valor absoluto de la carga del electrón fuese me-nor que la carga del protón en un 0.00100%. a) Estime cuál sería lacarga neta de este libro en esas circunstancias. Haga las suposicio-

Problemas 833

nes que considere justificadas, pero indique claramente cuáles son.(Sugerencia: Casi todos los átomos de este libro tienen el mismo nú-mero de electrones que de protones y de neutrones). b) ¿Cuál seríala magnitud de la fuerza eléctrica entre dos libros separados por unadistancia de 5.0 m? ¿Sería esta fuerza de atracción, o de repulsión?Estime cuál sería la aceleración de cada libro si estuviesen a 5.0 mde distancia uno del otro y no hubiese fuerzas eléctricas sobre ellos.c) Comente de qué modo el hecho de que la materia ordinaria es es-table demuestra que los valores absolutos de las cargas del electróny del protón deben ser idénticas con un nivel muy alto de exactitud.21.80 Vibraciones en cristales. Como un modelo simplificado deun cristal, considere tres átomos que yacen sobre una recta, con unadistancia b entre átomos adyacentes. Cada átomo tiene una carga netaq y una masa m. Suponga que se desplaza la carga de en medio unadistancia x muy pequeña respecto a su posición de equilibrio y luegose deja libre. Demuestre que la fuerza eléctrica neta sobre la carga des-plazada está dada aproximadamente por F � (q2/b3��0)x, donde x ��b. ¿Cuál es la dirección de esta fuerza? b) Halle la frecuencia de vibra-ción de la carga desplazada después de quedar libre, en términos delos parámetros del cristal (q, b y m). c) Si los átomos son de carbonomonoionizado y están separados por una distancia de equilibrio de 4.0� 10–10 m, ¿cuál es el valor numérico de su frecuencia de vibración?21.81 Dos esferas pequeñas de cobre tienen cada una un radio de1.00 mm. a) ¿Cuántos átomos contiene cada esfera? b) Suponga quecada átomo de cobre contiene 29 protones y 29 electrones. Sabemosque las cargas del electrón y del protón son exactamente de la mis-ma magnitud; no obstante, examinemos el efecto de diferencias pe-queñas (véase también el problema 21.79). Si la carga de un protónes �e y la magnitud de la carga de un electrón es 0.100% menor,¿cuál es la carga neta de cada esfera, y qué fuerza ejercería una esfe-ra sobre la otra si estuviesen separadas por una distancia de 1.00 m?21.82 Funcionamiento de una impresora de inyección de tinta.En una impresora de inyección de tinta, se forman letras rociandogotas de tinta en el papel desde una boquilla que se desplaza con ra-pidez. El dibujo en el papel está gobernado por una válvula elec-trostática que determina en cada posición de la boquilla si se rocíatinta sobre el papel o no. Las gotas de tinta, de 15 �m de radio, sa-len de la boquilla y viajan hacia el papel a 20 m/s. Las gotas pasana través de una unidad de carga que proporciona a cada gota unacarga positiva q cuando la gota pierde algunos electrones. Las gotaspasan luego entre placas deflectoras paralelas de 2.0 cm de longi-tud, donde hay un campo eléctrico vertical uniforme con una mag-nitud de 8.0 � 104 N/C. Si una gota se debe haber desviado 0.30mm al momento de alcanzar el extremo de la placa deflectora, ¿cuáldebe ser la magnitud de la carga impartida a la gota? (Suponga quela densidad de la gota de tinta es igual a la del agua: 1000 kg/m3).21.83 Se proyecta un protón en un campo eléctrico uniforme queapunta verticalmente hacia arriba y tiene una magnitud E. La veloci-dad inicial del protón tiene una magnitud v0 y está dirigida formandoun ángulo � abajo de la horizontal. a) Halle la distancia máxima hmáx

que el protón desciende verticalmente por debajo de su elevación ini-cial. Se pueden pasar por alto las fuerzas gravitatorias. b) ¿Después dequé distancia horizontal d regresa el protón a su elevación original? c)Dibuje la trayectoria del protón. d) Halle los valores numéricos de hmáx

y d si E � 500 N/C, v0 � 4.00 � 105 m/s y � � 30.0°.21.84 Una carga puntual negativa q1 � –4.00 nC está sobre el ejede las x en x � 0.60 m. Una segunda carga puntual q2 está sobre el

eje de las x en x � –1.20 m. ¿Cuál debe ser el signo y la magnitudde q2 para que el campo eléctrico neto en el origen sea de a) 50.0N/C en la dirección �x? b) 50.0 N/C en la dirección –x?21.85 Una carga de 12.0 nC está en el origen; una segunda carga,desconocida, está en x � 3.00 m, y � 0; y una tercera carga de–16.0 nC está en x � 5.00 m, y � 0. ¿Cuáles son el signo y la mag-nitud de la carga desconocida si el campo neto en x � 8.00 m, y �0 tiene una magnitud de 12.0 N/C y la dirección �x?21.86 La carga positiva Q estádistribuida uniformemente a lo lar-go del eje de las x de x � 0 a x � a.Hay una carga puntual q situadasobre el eje de las x en x � a � r,una distancia r a la derecha del ex-tremo de Q (Fig. 21.38). a) Calculelas componentes x y y del campoeléctrico producido por la distribución de carga Q en puntos sobre el ejepositivo de las x donde x � a. b) Calcule la fuerza (magnitud y direc-ción) que la distribución de carga Q ejerce sobre q. c) Demuestre que sir �� a, la magnitud de la fuerza del inciso (b) es aproximadamente Qq/4��0r

2. Explique por qué se obtiene este resultado.21.87 La carga positiva Q estádistribuida uniformemente a lolargo del eje positivo de las y entrey � 0 y y � a. Hay una carga pun-tual negativa –q sobre el eje posi-tivo de las x, a una distancia x delorigen (Fig. 21.39). a) Calcule lascomponentes x y y del campoeléctrico producido por la distri-bución de carga Q en puntos sobre el eje positivo de las x. b) Calculelas componentes x y y de la fuerza que la distribución de carga Q ejer-ce sobre q. c) Demuestre que si x �� a, Fx ≅ –Qq/4��0x

2 y Fy ≅ �Qqa/8��0x

3. Explique por qué se obtiene este resultado.21.88 Una línea con carga como la que se muestra en la figura21.22 se extiende de y � 2.50 cm a y � –2.50 cm. La carga totaldistribuida uniformemente a lo largo de la línea es –9.00 nC. a) Ha-lle el campo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x enx � 0.25 cm. b) ¿Es la magnitud del campo eléctrico calculada en el inciso (a) mayor o menor que el campo eléctrico a 0.25 cm deuna línea infinita con carga con la misma carga en cada unidad de longitud que esta línea finita con carga? En términos de la apro-ximación empleada para deducir E = �/2��0r de una línea infinitaa partir de la ecuación (21.9), explique por qué esto es así. c) ¿Aqué distancia x difiere en 1.0% el resultado correspondiente a la lí-nea infinita con carga del correspondiente a la línea finita?21.89 Una línea con carga como la que se muestra en la figura 21.22se extiende de y � 2.50 cm a y � –2.50 cm. La carga total distribuidauniformemente a lo largo de la línea es de –9.00 nC. a) Halle el campoeléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x en x � 10.0 cm.b) ¿Es la magnitud del campo eléctrico calculada en el inciso (a) ma-yor o menor que el campo eléctrico a 10.0 cm de una carga puntual quetiene la misma carga total que esta línea finita con carga? En términosde la aproximación empleada para deducir E � Q/4��0x

2 de una cargapuntual a partir de la ecuación (21.9), explique por qué esto es así. c)¿A qué distancia x difiere en 1.0% el resultado correspondiente a la lí-nea infinita con carga del correspondiente a la carga puntual?


21.90 Un disco con carga uniforme como el de la figura 21.23 tieneun radio de 2.50 cm y una carga total de 4.0 � 10–12 C. a) Halle elcampo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x en x �0.20 cm. b) ¿Es la magnitud del campo eléctrico calculada en el inci-so (a) mayor o menor que el campo eléctrico a 0.20 cm de una láminainfinita de carga con la misma carga por unidad de área que el disco?En términos de la aproximación empleada para deducir la ecuación(21.12) a partir de la ecuación (21.11), explique por qué esto es así. c) ¿Cuál es la diferencia porcentual entre los campos eléctricos produ-cidos por el disco finito y por una lámina infinita con la misma cargaen cada unidad de área en i) x � 0.20 cm?, ¿ ii) x � 0.40 cm?21.91 Un disco con carga uniforme como el de la figura 21.23 tie-ne un radio de 2.50 cm y una carga total de 4.0 � 10–12 C. a) Halleel campo eléctrico (magnitud y dirección) sobre el eje de las x en x� 0.20 cm. b) Demuestre que, cuando x �� R, la ecuación (21.11)se convierte en E = Q/4��0x

2, donde Q es la carga total del disco. c) ¿Es la magnitud del campo eléctrico calculada en el inciso (a)mayor o menor que el campo eléctrico a 0.20 cm de una carga pun-tual que tiene la misma carga total que este disco? En términos dela aproximación empleada en el inciso (b) para deducir E =Q/4��0x

2 de una carga puntual a partir de la ecuación (21.11), ex-plique por qué esto es así. d) ¿Cuál es la diferencia porcentual entrelos campos eléctricos producidos por el disco finito con carga y poruna carga puntual con la misma carga en x = 20.0 cm y x = 10.0 cm?21.92 a) Sea f(x) una función par de x tal que f(x) � f(–x). Demues-tre que (Sugerencia: escriba la integralde –a a a como la suma de la integral de –a a 0 y la integral de 0 a a.En la primera integral, realice el cambio de variable x' � –x). b) Seag(x) una función impar de x tal que g(x) � –g(–x). Aplique el méto-do señalado en la pista del inciso (a) para demostrar que

c) Con base en el resultado del inciso (b), muestrepor qué Ey del ejemplo 21.11 (sección 21.5) es cero.21.93 La carga positiva �Q está distribuida uniformemente a lo lar-go del eje de las �x de x � 0 a x � a. La carga negativa –Q está dis-tribuida uniformemente a lo largo del eje de las –x de x � 0 a x � –a.Hay una carga puntual positiva q sobre el eje positivo de las y, a unadistancia y del origen. a) Halle la fuerza (magnitud y dirección) quelas distribuciones de carga positiva y negativa ejercen en conjunto so-bre q. Muestre que esta fuerza es proporcional a y–3 cuando y �� a. b) Suponga ahora que la carga puntual positiva q está sobre el eje positivo de las x, a una distancia x � a del origen. Halle la fuerza(magnitud y dirección) que la distribución de carga ejerce sobre q.Muestre que esta fuerza es proporcional a x–3 cuando x �� a.21.94 La carga positiva Q estádistribuida uniformemente alre-dedor de un semicírculo de radioa (Fig. 21.40). Halle el campoeléctrico (magnitud y dirección)en el centro de curvatura P.21.95 La carga negativa –Q estádistribuida uniformemente alre-dedor de un cuarto de círculo de radio a que se encuentra en el pri-mer cuadrante, con el centro de curvatura en el origen. Halle lascomponentes x y y del campo eléctrico neto en el origen.21.96 Una esfera pequeña de masa m tiene una carga positiva q yestá sujeta a un extremo de una fibra de seda de longitud L. El otroextremo de la fibra está sujeto a una gran lámina aislante vertical

∫a2a g 1 x 2dx 5 0.

∫a2a

f 1 x 2dx 5 2∫a0

f 1 x 2dx.

x

y

Oa

Q

r

q+


x–q

y

O

a

Q

–


P

Q

a

x

y


con una densidad superficial de carga positiva . Muestre que,cuando la esfera está en equilibrio, la fibra forma un ángulo igual aangtan (q/2mg�0) con la lámina vertical.21.97 El tambor formador de imágenes de una máquina fotocopia-dora tiene carga positiva a fin de atraer partículas de tóner con carganegativa. Cerca de la superficie del tambor, su campo eléctrico tieneuna magnitud de 1.40 � 105 N/C. Una partícula de tóner debe seratraída al tambor con una fuerza equivalente a diez veces el peso dela partícula. a) ¿Cuál debe ser la relación de la masa de una partículade tóner respecto a la magnitud de su carga neta? b) Si las partícu-las de tóner son de carbono (número atómico 6, masa atómica 12.0g/mol), ¿cuántos átomos de carbono hay por cada electrón en excesode una partícula de tóner?21.98 Se tiene carga eléctricadistribuida uniformemente a lolargo de los lados de un cuadrado.Dos lados adyacentes tienen car-ga positiva con una carga total�Q en cada uno. a) Si los otrosdos lados tienen carga negativacon una carga total –Q en cadauno (Fig. 21.41), ¿cuáles son lascomponentes x y y del campo eléctrico neto en el centro del cuadrado?La longitud de cada lado del cuadrado es a. b) Repita el cálculo del in-ciso (a) suponiendo ahora que los cuatro lados tienen cada uno unacarga positiva �Q.21.99 Tres láminas aislantesgrandes paralelas tienen densi-dades superficiales de carga de�0.0200 C/m2, �0.0100 C/m2 y–0.0200 C/m2, respectivamente(Fig. 21.42). Las láminas adya-centes están a una distancia de0.300 m una de la otra. Calculeel campo eléctrico neto (magni-tud y dirección) debido a las tresláminas en a) el punto P (0.150 m a la izquierda de la lámina I); b)el punto R (equidistante de las láminas I y II); c) el punto S (equidis-tante de las láminas II y III); d) el punto T (0.150 m a la derecha dela lámina III).21.100 Con respecto a la situación descrita en el problema 21.99 (Fig.21.42), halle la fuerza en cada unidad de área (magnitud y dirección) queejercen sobre cada una de las láminas I, II y III las otras dos láminas.21.101 Una lámina infinita con carga positiva en cada unidad de área yace en el plano xy. Una segunda lámina infinita con carga negativapor unidad de área – yace en el plano yz. Halle el campo eléctrico ne-to en todos los puntos que no se encuentran en alguno de estos planos.Exprese su respuesta en términosde los vectores unitarios y 21.102 Un disco delgado con unorificio circular en su centro, co-nocido como corona circular,tiene un radio interno R1 y un ra-dio externo R2 (Fig. 21.43). Eldisco tiene una densidad superfi-cial uniforme de carga positiva en su superficie. a) Halle la

k.ed,

Problemas de desafío 835

carga total de la corona circular. b) La corona circular yace en el pla-no yz, con su centro en el origen. Con respecto a un punto arbitrariosobre el eje de las x (el eje de la corona circular), halle la magnitud ydirección del campo eléctrico Considere puntos situados tanto arri-ba como abajo de la corona circular de la figura 21.42. c) Muestreque, en los puntos sobre el eje de las x que están suficientemente pró-ximos al origen, la magnitud del campo eléctrico es aproximadamen-te proporcional a la distancia entre el centro de la corona circular y elpunto. ¿Cuánto es “suficientemente próximos”? d) Una partícula pun-tual de masa m y carga negativa –q puede moverse libremente a lo lar-go del eje de las x (pero no puede apartarse del eje). La partícula estáoriginalmente en reposo en x � 0.01R1 y luego se deja en libertad. Ha-lle la frecuencia de oscilación de la partícula. (Sugerencia: Repase lasección 13.2. La corona circular se mantiene inmóvil).

Problemas de desafío

21.103 Se colocan tres cargascomo se muestra en la f igura21.44. La magnitud de q1 es de2.00 �C, pero su signo y el valorde la carga q2 se desconocen. Lacarga q3 es de +4.00 �C, y la fuer-za neta sobre q3 está enteramente en la dirección x negativa. a) Con-siderando los diferentes signos posibles de q1 y q2, hay cuatro posiblesdiagramas de fuerzas que representan las fuerzas y que q1 y q2

ejercen sobre q3. Dibuje estas cuatro configuraciones posibles de fuer-zas. b) Con base en los dibujos del inciso (a) y la dirección de de-duzca los signos de las cargas q1 y q2. c) Calcule la magnitud de q2. d)Halle F, la magnitud de la fuerza neta sobre q3.21.104 Se colocan dos cargas como se muestra en la figura 21.45.La magnitud de q1 es de 3.00 �C, pero se desconocen su signo y elvalor de la carga q2. La dirección del campo eléctrico neto en elpunto P es enteramente en la di-rección y negativa. a) Conside-rando los diferentes signosposibles de q1 y q2, hay cuatrodiagramas que podrían represen-tar los campos eléctricos y producidos por q1 y q2. Dibujelas cuatro configuraciones posi-bles de los campos eléctricos. b)Con base en los dibujos del inciso (a) y la dirección de , deduzcalos signos de q1 y q2. c) Halle la magnitud de .21.105 Dos barras delgadas de longitud L yacen a lo largo del ejede las x, una entre x � a/2 y x � a/2 � L y la otra entre x � –a/2 yx � –a/2 – L. Cada barra tiene una carga positiva Q distribuida uni-formemente en toda su longitud. a) Calcule el campo eléctrico pro-ducido por la segunda barra en puntos situados a lo largo del ejepositivo de las x. b) Demuestre que la magnitud de la fuerza queuna barra ejerce sobre la otra es

c) Muestre que, si a �� L, la magnitud de esta fuerza se reduce a F� Q2/4��0a

2. (Sugerencia: Use el desarrollo ln(1 � z) � z – z2/2 �z3/3 – ···, válida con |z| �� 1. Lleve todos los desarrollos hasta almenos el orden L2/a2). Interprete este resultado.

F 5Q2

4pP0 L2 ln � 1a 1 L 2 2

a 1a 1 2L 2 �

Er

Er

Er

2Er

1

Er

Fr

,

Fr

2Fr

1

Fr

Er

.

y

x

�Q

�Q

�Q

�Q


O

R1

R2

y

z

x

s


�0.0200 C/m2

�0.0100 C/m2

�0.0200 C/m2

I II III

S

0.150 m

R

0.150 m

P

0.150 m

T

0.150 m

Figura 21.42 Problemas21.99 y 21.100.

4.00 cm

5.00 cm

3.00 cm

q3

q2q1

Fr

Figura 21.44 Problema dedesafío 21.103.

13.0 cm

5.0 cm 12.0 cm

q2q1

P

Er

Figura 21.45 Problema dedesafío 21.104.

fisica sears carga eléctrica y campo eléctrico nivel universitario

Documents