fisica i

Excelencia Académica

5

INDICE

Presentación 3 Unidad Académica I Conceptos fundamentales 7 Unidades de medición 8 El sistema internacional de unidades 8 Unidad Académica II Vectores 13 Magnitud escalar y vectorial 13 Operaciones vectoriales 13 Suma vectorial de fuerzas 14 Suma de un sistema de fuerzas coplanares 15 Vectores cartesianos 19 Suma y resta de vectores cartesianos 21 Vectores de posición 23 Vector fuerza dirigido a lo largo de una línea 24 Producto punto 27 Unidad Académica III Equilibrio de una partícula 37 Condición para el equilibrio de una partícula 38 Diagrama de cuerpo libre 39 Sistema de fuerzas coplanares 40 Sistema de fuerzas tridimensionales 42 Unidad Académica IV Momento de una fuerza - expresión escalar 51 Magnitud 51 Dirección 52 Momentos Resultantes de un Sistema de Fuerzas Coplanares 52 Momento de una Fuerza con respecto a un Punto 52 Transmisibilidad de una Fuerza 53 Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas 54 Principios de los Momentos 55


6

Unidad Académica V Centro de Gravedad y Centroide 69 Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partículas 69 Centro de gravedad, centro de masa y centroide de un cuerpo 70 Problemas propuestos 72 Unidad Académica VI Cinemática 81 Cinemática de una partícula 81 Cinemática rectilínea: movimiento continuo 81 Movimiento curvilíneo: componentes rectangulares 86 Movimiento curvilíneo: componentes radial y transversal 91 Cinética de una Partícula 95 Aplicación en la Ingeniería 96 Unidad Académica VII Cinética de una partícula 101 Trabajo y energía 101 El trabajo de una fuerza 101 Principio del trabajo y la energía cinética 102 Principio de trabajo y la energía mecánica 103 Unidad Académica VIII Cinética de una partícula: impulso y cantidad de movimiento 111 Principio del impulso y el momento lineales 111 Conservación del momento lineal de un sistema de partículas 113 Impacto 114


7

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Es importante conocer algunos conceptos fundamentales

Cantidades básicas. Las cuatro cantidades siguientes se utiliza en la mecánica del

cuerpo rígido.

Longitud. Se define una unidad estándar de longitud, puede definirse

cuantitativamente distancias y propiedades geométricas de un cuerpo como múltiplo de

esa unidad de longitud

Tiempo. El tiempo se concibe como una sucesión de eventos.

Masa. La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos comparar la acción

de un cuerpo con otro.

Fuerza. En general, la fuerza es considerada como un “jalón o “tirón” ejercido por un

cuerpo sobre otro.

Idealizaciones. Los modelos o idealizaciones se utilizan en la mecánica con la finalidad

de simplificar la aplicación de la teoría.

Partícula. Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo.

Las tres leyes del movimiento de Newton.

Primera ley. Una partícula que originalmente se encuentra en reposo, o moviéndose en

línea recta con una velocidad constante.

Segunda ley. Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desbalanceada.

Tercera ley. Las fuerzas de acción y repulsión entre dos partículas son iguales en

intensidad, opuestas en sentido y colineales.

Ley de atracción gravitacional de Newton. Newton postuló una ley que gobierna la

atracción gravitacional entre cualquier par de partículas. Expresada matemáticamente.

donde F = fuerza de gravitación entre dos partículas

G = constante de gravitación universal; de acuerdo con la evidencia

experimental, G = 66.73(10-2) m3 / (kg.s2)

m1m2 = masa de cada una de las partículas

r = distancia entre las dos partículas


8

Peso. En consecuencia, está fuerza llamada peso será única fuerza gravitacional que

se considerará en nuestro estudio de la mecánica.

22

r

mmGW

Dejando que g = Gm2/r2 tenemos

mgW

1.1 Unidades de Medición

Nombre Longitud Tiempo Masa Fuerza

Sistema inglés

(FPS)

Pie

(ft)

Segundo

(s)

Slug*

pie

slb 2.

Libra

(lb)

1.2 Sistema internacional de unidades.

MAGNITUD FUNDAMENTAL SIMBOLO UNIDAD BASICA SIMBOLO

Longitud L metro m

Masa M kilogramos kg

Tiempo T tiempo s

Temperatura termodinámica θ kelvin K

Intensidad de corriente eléctrica I ampere A

Intensidad luminosa J candela cd

Cantidad de sustancia N mol mol

1.3 Magnitudes derivadas

MAGNITUD DERIVADA MAGNITUD DERIVADA

Area Peso específico

Volumen Presión

Velocidad lineal Frecuencia

Aceleración lineal Coeficiente de dilatación

Velocidad angular Capacidad calorífica específica

Fuerza Calor latente

Torque (momento de fuerza) Carga eléctrica


9

Trabajo o energía Intensidad de campo electrico

Potencia Potencial electrico

Cantidad de movimiento Resistencia eléctrica

Impulso Carga magnética

Densidad absoluta Inducción magnética

PREFIJO

Forma exponencial Tiempo Masa

múltiplo

1 000 000 000

1 000 000

1000

submúltiplo

0.001

0.000 001

0.000 000 001

109

106

103

10-3

10-6

10-9

giga

mega

kilo

mili

micro

nano

G

M

k

m

n

Reglas de Uso. Se proporcionan las siguientes reglas pares el uso apropiado de los

diferentes símbolos del sistema SI:

1. Nunca se escribe un símbolo pluralizado con “s”, puesto que se confundiría con la

unidad segundo (s)

2. Los símbolos siempre se escriben con letras minúsculas, con las siguientes

excepciones: los símbolos de dos prefijos más grandes mostrados en la tabla 1.2,

giga y mega, se escribe en mayúscula, G y M, respectivamente; y los símbolos que

corresponde a la inicial de una persona se escriben en mayúscula, por ejemplo N.

3. Las cantidades que se encuentran definidas por unidades que son múltiplos de otra

están separadas por un punto par evitar confusión con la notación de prefijos, como

se indica en N = kg . m . s-2. también, m . s (metro - segundo), mientras que ms (mili

-segundo).

4. El exponente representado por una unidad que tiene un prefijo se refiere tanto a la

unida como al prefijo. Por ejemplo, NNNN .)( 22 de la misma forma, mm2

representa (mm2) = mm . mm.

5. Las constantes físicas o números que tiene varios dígitos en cualquier lado del

punto decimal deberán escribirse con un espacio entre cada tres dígitos en lugar


10

de hacerlo con una coma; por ejemplo, 73 569.213 472. en el caso de cuatro dígitos

en cualquier lado del punto decimal, el espacio es opcional; por ejemplo, 8537 o 8

537. Además, se debe tratar siempre de usar decimales y evitar la fracciones, esto,

escribir 15.25, y no 15 41 .

6. Cuando se lleva a cavo cálculos, se debe representar los números en términos de

sus unidades base o derivadas convirtiendo todos los prefijos a potencias de 10. El

resultado final deberá entonces ser expresado utilizando un único prefijo. También,

después de realizar cálculos, en mejor conservar los valores numéricos entre 0.1 y

1000; de otra forma, se deberá escoger un prefijo apropiado. Por ejemplo,

m )60(10N )50(10nm) kN)(60 (50 93

3N.mN.m )3(10N.m )3000(10 -36

7. No se deberá usar prefijos compuestos; es decir, sk (kilo – micro –segundo)

deberá se expresado como ms (mili - segundo) puesto que 1 sk = 1(103)(10-6) s =

1 ms.

8. Con excepción de la unidad base kilogramo, se deberá evitara el uso de un prefijo

en el denominador de unidades compuestas. Por ejemplo, no se deberá escribir

N/mm, sino kN/m, también, m/mg se deberá escribir como Mm/kg.

9. Aunque no se expresa en múltiplos de 10, el minuto, la hora, etcétera, permanecen

como múltiplos del segundo para propósitos prácticos. Además la medición de

ángulos planos se realiza utilizando radianes (rad). en donde 180º = rad.

Actualmente los países en vía de desarrollo utilizan el S.I, mientras que en los países

desarrollados como EE.UU. e Inglaterra se sigue utilizando el sistema Ingles

Nº 1

1. Explique el origen de la definición de la unidad de medida “metro”

2. Cual es la diferencia de la magnitud masa y peso?


11

Los conceptos fundamentales son importantes de conocer al curso de física, las cuales en

base de la mecánica elemental.

El sistema “SI” de unidad se ha estandarizado en la mayoría de países del mundo, pero en

algunos países Desarrollados se usa el sistema Ingles.

El Sistema Internacional de Unidades, considera las Siguientes magnitudes

Fundamentales. Longitud (m), Masa (Ks), Tiempo (s), Temperatura (ºK), Intensidad de

corriente (Amp), Intensidad luminosa (cd), Cantidad de sustancia (mol).

R.C. HIBBELER, FÍSICA. Prentice Hall , 1998

David J. McGILL, Wilton W. King , ESTATICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991

Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, ESTATICA, McGrawHill, ,1997


12

Nº 1

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1. Escriba al frente de cada magnitud su unidad de medida correspondiente

Masa

Longitud

Tiempo

Temperatura termodinámica

Cantidad

Intensidad de corriente

Cantidad de sustancia.

2. Estados Unidos ¿Qué sistema de unidades utiliza?

Sistema Internacional

Sistema Práctico gravitacional

Sistema Ingles

3. Realice la conversión de la aceleración de la gravedad: 9, 81m/s2; la masa de una

persona: 50kg: la velocidad de un móvil: 800km/s y el peso de un cuerpo: 100N al

Sistema Ingles.


13

VECTORES

Algunas magnitudes fundamentales y derivadas se comportan como “vectores”, por lo cual

empezaremos nuestro estudio definiendo los conceptos de cantidad o magnitud escalar y

magnitud vectorial. Un poco más adelante definiremos algunas reglas del álgebra vectorial.

2.1 Magnitud Escalar y Vectorial

Magnitud Escalar.- Son cantidades que quedan expresadas por un número y especie,

ejemplo: La masa, el tiempo, la longitud. Es importante señalar que la magnitud escalar

también es denominada como: “módulo”, intensidad” o “magnitud”.

Magnitud Vectorial.- También se le denomina “vector” y es una cantidad que posee

magnitud, dirección y sentido, ejemplo: desplazamiento, velocidad, fuerza y peso.

2.2 Operaciones Vectoriales.

a. Suma de vectores

b. Resta de vectores

c. Multiplicación de un vector por un escalar. (Gráfico 2.1)

Gráfico 2.1.

d. Descomposición de un vector. (Gráfico 2.2)zz

yAxAA

21 AAA

Gráfico 2.2

A

3u

A

9u

(3x)


14

2.3 Suma Vectorial de Fuerzas

F1 + F2

FR

F1

F2

F3

o

321 )( FFFFR

Utilizando el método de ley de senos y cosenos puede determinarse aquellos

problemas que no contienen un ángulo de 90° . Del Gráfico 2.3 a

Ley de senos

csen

C

bsen

B

asen

A

...

Ley de cosenos

cABBAC cos222

Ejemplo 1

Una fuerza vertical F = 60 lb. Actúa hacia abajo en el punto A de una estructura de 2

partes. Determinar el ángulo )900( , del miembro AB de tal forma que la

b a

c

BA

C

Gráfico 2.3

Gráfico 2.3a

6


15

componente de F que actúa a lo largo del eje AB de 80 lb. ¿Cuál es la magnitud de la

componente de la fuerza que actúa a lo largo del miembro AC?.

600

600F = 60 lb

FACF AB

C600F

AC

F = 60 lb

80 lb

1. por ley de senos

sensen

60

60

80

6495.080

6060

sensen 5.40

5,100180 5.79

60

5.7980

60

80

sen

senFac

sensen

Fac

.83,90 lbFac

2. Segundo método: por ley de cosenos

5,79cos)60)(80(26080 22ACF

46,174936006400 ACF

54,8250ACF

lbFAC 8,90

Suma de un Sistema de Fuerzas Coplanares

Cuando se va a determinar la fuerza resultante de más de dos fuerzas, es más fácil

determinar las componentes de las fuerzas a lo largo de los ejes específicos, sumar

estos componentes algebraicamente y después obtener la resultante. (Gráfico 2.4)

6


16

X

Y

F1

F2

F3

Gráfico 2.4

321 FFFFR

jFiFjFiFjFiF yxyxyx

332211

jFFFiFFF yyyxxx

)()( 321321

jFiF RyRx

)()(

xRx FF

yRy FF

Modulo de la fuerza resultante FR

22RYRXR FFF

Orientación de la fuerza (Dirección de la Fuerza Resultante)

RX

RY

F

F1tan


17

Ejemplo 1.

Tres fuerza actúan en la ménsula (Según el grafico mostrado arriba). Determine la

magnitud y dirección de de F1 de tal forma que la fuerza resultante se dirija a lo largo del

eje positivo de la x’ y tenga una magnitud de 800N

NFR 800 a lo largo de x

*) xx FFR

13

12180)30cos(30cos800 1 F

974.858)30cos(1 F (1)

*) yy FFR

13

5180200)30(30800 1 senFsen

77.130)30(1 senF (2)

Dividiendo 12

974,898

77,130

)30cos(

)30(

1

1

F

senF

656.8)30tan(

656.830

34,21 Rpta

en (1)

974,858656,8cos1 F

8691 F Rpta

Ejemplo 2


18

Exprese cada una de las tres fuerzas que actúan en la ménsula en la forma vectorial

cartesiana con respecto a los ejes X y Y. Determine la magnitud y dirección de de F1 de

tal forma que la Fuerza Resultante este dirigida a lo largo del eje positivo de la X’ y tenga

una magnitud de FR = 600N.

a) jsenFiFF xx

111 cos

jF

iF

100

350

3

2

b) FxFRx

xF cos35030cos600 1

xF cos615.169 1 (1

FyFRx

10030600 1 xsenFsen

xsenF 1400 (2

Dividiendo 12

358.2tancos615.169

400

1

1 xx

x

F

senF

67x Rpta.

En (1)


19

67cos615.169 1F

NF 4341 Rpta.

Vectores Cartesianos

Componentes Rectangulares de un vector( Gráfico 2.5a)

Axy

Ay

Az

A

Ax

Gráfico 2.5a

zAyAxAA (1)

Vector Unitario );( eu

Es aquel vector cuyo módulo es la unidad, se utiliza para determinar la dirección y

sentido de un vector. (Gráfico 2.5b)

A

A

A

AA

AAA

Vectores unitarios rectangulares (cartesiano) (Gráfico 2.5c)

Uz = k

Uy = j

Ux = i

y

z

x

Gráfico 2.5c

AA

u A

1

Gráfico 2.5b


20

Representación vectorial cartesiana

De la ecuación

kAjAiAA zyx

(2)

Módulo del vector cartesiana.

22ZXY AAA (*)

222YXXY AAA En (*)

222ZYX AAAA (3)

Dirección de un vector cartesiano

La orientación de un vector A se define por los ángulos directores coordenadas

Ángulos )( x

)( y

)( z

Cosenos directores

A

AzCos

A

AyCos

A

AxCos (4)

El vector unitario de A es:

A

Au A

kAjAiAA zyx

A

jA

A

jA

A

iAu A

coscoscos

kjiuA

coscoscos

por método del vector unitario


21

1coscoscos 222 u

1coscoscos 222 (5)

La suma y Resta de Vectores Cartesianos

La operaciones de una suma y resta se dos o más vectores son simplificadas en forma

significativa si se expresan en formas de sus componentes cartesianos. Consideramos

de esta maneta los vectores A y B. (Gráfico 2.6)

B

R

A

y

z

x

Gráfico 2.6

kAjAiAA zyx

kBjBiBB zyx

kABjABiABABRD

kBAjBAiBABAR

zzyyxx

zzyyxx

)()()(

)()()(

Sistema de Fuerzas Concurrentes

El concepto de suma de vectores descrito anteriormente puede generalizarse y

aplicarse a un sistema de varias fuerzas concurrentes. En este caso, la fuerza

resultante es la suma vectorial de todas las fuerzas en el sistema y puede escribirse

como

kFjFiFFF zyxR

donde:


22

FzyFyFx ,' , representan la suma algebraica de las componentes x,y,z o

kji

,, de cada fuerza en el sistema.

Ejemplo 1

Expresa cada fuerza como vector Cartesiano. Determine la magnitud y los ángulos

directores coordenados de la fuerza resultante.

a) kjiF 45cos35060cos35060cos3501

kjiF

49.2471751751

b) kjseniF

5

325030

5

4250

5

430cos2501

kjiF

1501001731

21 FFFR

*) kjiFR

49.977521.348

lbFR 30.369 Rpta.

Cálculo de los ángulos directores

R

R

F

F1cos

2.1994.0cos94.030.369

21.348cos 1

3.7820.0cos20.030.369

75cos 1

30º

5 3

4


23

3.105)26.0(cos26.030.369

49.97cos 1

Vectores de Posición:

El vector de posición es de gran importancia cuando se desea expresa un vector fuerza

cartesiano dirigido entre cualquier par de puntos del espacio.

Coordenadas X, Y, Z. Gráfico 2.7a

A(0,3,0)

B(4,3,0)

C(4,3,-5)

D(0,-2,0)

E(-6,-2,0)

F(-6,-2,5)

Vector de posición )(r

Se define como un vector fijo que ubica un punto en el espacio en relación con otro

punto.( Gráficos 2.7b, 2.7c)

(0,0,0)

(x,y,z)

zk y

yj

xi

r

z

x

Gráfico 2.7b

kzjyixr )0()0()0(

kzjyixr

z

y

x

y’

F

E

D

B

C

A

z'

x'

4

5

5

2

6

3

Gráfico 2.7a


24

A(XA,YA,ZA)

yrA

r

z

x

rB

B(XB,YB,ZB)

Gráfico 2.7c

AB rrr

)()( kzjyixkzjyixr AAABBB

kzzjyyixxr ABABAB

)()()(

Vector Fuerza Dirigido a lo Largo de una Línea (Gráfico 2.8)

DA

B

Fr

u

Gráfico 2.8

Procedimientos:

1° Vector de posición

Determinar el vector de posición dirigido de A hasta BA Y calcule su módulo.

2° Vector unitario

calcule el vector unitarior

ru

que define la dirección y sentido de r y F

3° Vector Fuerza

FF

Ejemplo 1


25

si F

= 200 N, A(0,0,0), B(2,-3,5) F

=?

1° Hallando el vector de Posición ( r )

r kji

532

r 25945)3(2 222

r 16,638

2° Hallando vector Unitario (u )

kjiu

kjiu

kji

r

ru

81,048,032,0

16,6

5

16,6

3

16,6

2

16,6

532

3° Hallando vector Fuerza F

= F u

F

)81,048,032,0(200 kji

Ejemplo 2

En un instante dado, las posiciones de un avión en A y un tren en B se miden en relación

con la antena radar en O. Determine la distancia entre A y B en ese instante. Para

resolver ese problema, exprese un vector de posición dirigido de A hasta B, después

determine su magnitud


26

)1554.858.654.6

)96.286.408.4(

25740cos25cos74025cos7(

)20.572.146.2(

)6063560cos635cos60cos6(

kjir

kjiB

ksenjisenB

kjiA

ksenjseniA

AB

ooooo

ooooo

Módulo o distancia

222 )2.8(58.654.6 D

.35.12D Rpta

Ejemplo 3

Determine la magnitud y los ángulos directores coordenadas de la fuerza resultante que

actúa en el punto A.

8 p ies

4 p ies

8 p ie s

5 p ie s

4 p ies

F 1= 12 lb

F 2 = 18 lb

1 2 p ie s

A

B

C

X

Y

Z

A (4,8,-12) B(0,8,0) C(-5,-8,4)


27

1° Expresando Cartesianamente 21 FyF

111 uFF

kjiF

kjiF

38.11079,3

160

120412

1

1

222 uFF

kjiF

kjiF

38.1183,1165,6

593

1616918

2

2

2° Hallando RF

kjiFFFR

12,2383,1144,1021

3° Hallando FR

2806,28

)21,23()83,11()44,10( 222

R

R

F

F

4° Hallando los ángulos directores

o

o

o

2,3428

21,23cos

11528

83,11cos

11228

44,10cos

Producto Punto.

Es utilizado para poder hallar el ángulo entre dos líneas los componentes de una fuerza

paralela o perpendicular a una línea. En un caso de dos dimensiones se utiliza la

trigonometría pero en el caso de tres dimensiones se utilizan métodos vectoriales para

encontrar su solución, y para esto el producto punto. (Gráfico 2.9a)


28

El producto punto de los vectores A y B se expresa como A

. B

Sean los vectores

kAjAiAA zyx

kBjBiBB zyx

A

L2

L1

B

Gráfico 2.9a

se lee BA

. A punto B

cos))((. BABA

cos))(( BA Es un escalar (valor numérico)

Ley de operación en producto punto

1. Ley conmutativa

ABBA

..

2. Multiplicación por un escalar

BAaBaABAa

)()().(

3. Ley distributiva

CABACBA

..).(

Forma de expresar un vector cartesiano

090cos)1)(1(cos)1)(1(.* ii

1. ii

0. ji

1. jj

0. kj


29

1. kk

0. kj

)).((. kBjBiBkAjAiABA zyxzyx

zzyyxx BABABABA

....

Aplicaciones:

El producto escalar de vectores presenta 2 aplicaciones importantes en la mecánica.

El ángulo que forma 2 vectores ó 2 líneas en referencia:

cos.. BABA

B

B

A

A

BA

BA

.cos))((

.cos

900

BA uuB

B

A

A

BA

BAar

..cos,))((

.cos

Los componentes de un vector paralelo y perpendicular a una línea. Se realiza

mediante dos métodos.

1er método (Gráfico 2.9b)

A

L2

L1

B

B

B

u

Gráfico 2.9b

B = B cos = componente de B paralelo a L1

B = B sen = componente de B perpendicular a L1

cos. ABBA

AuB . = B cos = B


30

B = ||22 B B

))(cos(B|| AuB

2do método (Gráfico 2.9c)

A

L1

A

A = sen

= cos

Gráfico 2.9c

||Acos. AuA

))(cos(A|| uA

))(.(A|| uuA

||

||

A-AA

A AA

Ejemplo 1

Determine el ángulo entre los segmentos de la tubería BA y BC.

Hallando coordenadas

)12,0,0(

)0,0,0(

)0,4,0(

)2,7,6(

D

C

B

A

r

r

r

r

Hallando de BA y BC

)4()236( jrkjir BCBA

cos.. BCBABCBA rrrr

429.07

3

4

)4(.

49

)236(2

jjkji


31

429.0cos

115

Hallando UAD

kjikji

817.58172.4129.35185

107680

F’’=FADUBA

)286.0429.0857.0).(817.58172.4129.35( kjikji

NFF 085.30"822.16663.17244.30" Rpta

F 2222 (-30.085) 80"F" FF

F =73.714N Rpta

Un vector (magnitud vectorial), indica con claridad hacia donde se “Desplaza” un móvil

determinar la velocidad, aceleración y cantidad de movimiento.

Nº 2

Problema 1

Si F = 300N y = 20°. Determine la magnitud y la dirección medido en sentido contrario a

las manecillas del reloj con respecto al eje x’ de la fuerza resultante de las tres que actúan

en la ménsula.


32

Problema 2

Determine la dirección del cable y la tensión que se requiere de F1 de tal forma que la

fuerza resultante esté dirigida verticalmente hacia arriba y tenga una magnitud de 800N.

Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud y dirección,

las cuales se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan

por medio de flechas en las ilustraciones y, en este, folleto serán distinguido de las

cantidades escalares a través del uso de letras en negrillo (P). en la escritura a mano, un

vector puede ser denotado dibujando una pequeña flecha arriba de la letra utilizada para

representarlo )(P

o subrayado a dicha letra ( P ). El último método puede ser el preferido

puesto que también se puede utilizar en una maquina de escribir o en la computadora. La

magnitud de un vector define la longitud de la flecha utilizada para representarlo. En este

folleto, se utilizan letras cursivas P será denotado por P





33

Nº 2

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1. Resolver los problemas indicados.

Problema 1.

En una ménsula están actuando tres fuerzas. Determine la magnitud y la dirección de F1

de tal forma que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje positivo x’ y tenga una

magnitud de 1KN

Rpta. 37.0o. 88 N

Problema 2

La fuerza que actúa sobre el diente de un engranaje es F = 20 libras. Descomponga esta

fuerza en dos componentes que actúen a lo largo de la líneas aa y bb.

Problema 3.

Se requiere que la componente de la fuerza F que actúa a lo largo de la línea aa tenga una

magnitud de 30 libras. Determine la magnitud de F y sus componentes a lo largo de la línea

bb.

okNRpta 08.6,03.1.


34

Problema 4.

Exprese el vector de poción r en forma vectorial cartesiana, después, determine su

magnitud y sus ángulos directores coordenados.

Rpta.

o

oopiespieskji

0.51

,2.48,113,89.5,71.393.335.2

Problema 5.

Determine la magnitud y los ángulos

directores coordenados de la fuerza

resultante que actúa en el punto A.

Rpta.

oooN 146,6.74,1.60,316

Problema 6.

lbFlbFRpta ba 4.026,6.19


35

Exprese la fuerza F en forma vectorial cartesiana si esta actúa en el punto de B de la varilla

delgada.

Problema 7

Determinar los ángulos directores coordenados de la fuerza F1 e indíquelos en la figura.

Rpta. ooo 140,3.71,124


36

Problema 8

Determine la magnitud de la componente proyectada de la fuerza de 100 libras que actúe a

lo largo del eje BC de la tubería.

Rpta.146o


37

EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

En esta parte utilizaremos todos los métodos de descomposición de fuerzas en todos sus

componentes, y expresar una fuerza en sus componentes y expresar una fuerza como un

vector cartesiano para resolver problemas que involucren el equilibrio de una partícula.

Fuerza – equilibrio a = 0

Fuerza F

Es una magnitud vectorial cuyo módulo determina la interacción entre los cuerpos que

puedan actuar a distancia microscópica o microscópica mediante el contacto.

Fuerzas especiales

1. Peso gmPWP .),(

2. Normal )(N

3. Tensión o tracción )(T

hilos, cables, cuerdas.

4. Compresión )(C

viga, puntal, tubos, columnas.

5. Fuerzas Elástica

6. Fuerza de Fricción

7. Fuerzas Concentradas

8. Fuerzas Distributivas

Gráfico 3.1a


38

Por la ley de Hooke

F = Fuerza deformadora lbN ,

T = Fuerza elástica de tensión lbN ,

C = Fuerza elástica de compresión lbN ,

K = Constante de elasticidad

pie

lb

pu

lb

m

N

m

N,

lg;,

S = Deformación del resorte

piepummcmm lg,,,,

3.1 Condiciones para el equilibrio de una partícula

Una partícula se encuentra en equilibrio

siempre y cuando permanezca en reposo si así

se encontraba, el termino “equilibrio” o mas

especificado “equilibrio estático”, sin embargo

para mantener en equilibrio debe de cumplir la

primera ley de newton la cual se refiere que si

la fuerza resultante que actúa sobre una

partícula es igual a cero.

0.

0

amF

F

3.2 Equilibrio de una Partícula

Condiciones para el equilibrio de una partícula

0F

1° Ley de Newton

- Reposo v = 0 a = 0

- M.R.U. v = cte a = 0


39

2° Ley de Newton

0 maF 0F

4.3 Diagrama del cuerpo libre (D.C.L)

Es aislada o presentada libremente a una

partícula o cuerpo para luego indicar las fuerzas

que actúa en la partícula.

Ejemplo: Realizar el diagrama de cuerpo libre

del siguiente sistema.

a) D. C. L de 1

b) D.C.L. de argolla B


40

c) D. C. L. del punto D.

Cable y polea

4.4 Sistema de fuerzas coplanares (Gráfico 4.4 a)

Gráfico 4.4ª

04321 FFFF

0F

0 xF 0 yF

Ejemplo 1.


41

La cuerda AB tiene una longitud de 5 pies y esta unidad al extremo B del resorte cuyo valor

de rigidez K = 10 libras/pie, el otro extremo del resorte esta unida a la rueda en C de tal

forma que el resorte permanece en posición horizontal conforme se estira. Si un peso de

10 libras se suspende en el punto B. Determine la longitud indeformable del resorte para el

ángulo = 40° a fin de lograr el equilibrio.

Ecuaciones de equilibrio

0 xF

40cos040cos BABCABBC FFFF (1

0 yF

557.1540

101040

senFsenF ABAB

18.1140cos557.15 xyFBC

La fuerza FBC, es la fuerza en el resorte, entonces el estiramiento del resorte B es por lo

tanto:

1918.110

918.11

BC

BCBCBCBCBC K

FSSKF Rpta.


42

Cálculo de la longitud indeformable

5́´(40´cos5

40cos

BCAD

BCABAD

LL

LLL

.977.4´1418.1´40510 piesLLsen BCBC Rpta.

Sistema de fuerzas Tridimensionales (Gráfico 4.4b)

Gráfico 4.4b

0321 FFF

0F

0F

0F

Problema 1.

Determine la tensión que se requiere en los tres cables para soportar el semáforo, el cual

tiene una masa de 15 Kg. Tome el valor de h = 4m.

0F


43

Problema 2.

Determinar la tensión que se requiere en los tres cables para soportar el semáforo, el cual

tiene una masa de 20 Kg. Tome el valor de h 3.5m.

)4,3,4(

)6,3,6(

)4,4,3(

)4,0,0(

B

C

B

A

ADAB

ABAB

Tjikjiu

Tjikjiu

)6.08.0()034(

)6.08.0()043(

AC

AC

Tkji

kjiu

)286.0429.0857.0(

)236(

015.147286.0

0429.08.06.0

0857.06.08.0

ADz

ACABADy

ACABADx

TF

TTTF

TTTF

NT

T

AC

AC

515

51.514

Para 0xF


44

0)515.0(837.06.08.0 ABAD TT ADAB TT 33.1532.7356.0 (1)

Para 0YF

0)515.0(429.08.06.0 ABAD TT (2)

Resolviendo (1) y (2)

NT

NT

AD

AD

441

221

Para el ejemplo 2

A(0,0,3.5) 20.25/)5.043( kjiuAB

B(3,4,4) 25.51/)5.236( kjiuAC

C(-6,-3,6) 20.25/)5.044( kjiuAD

zW 2.196)81.9(20

Para 0xF

0796.0838.0597.0 ADACAB TTT (1)

Para 0yF

0597.0419.0796.0 ADACAB TTT (2)

Para 0zF

02.1961.0349.01.0 ADDCAB TT (3)

Resolviendo (1), (2) y (3)

NT

NT

NT

AD

AC

AB

7.173

7.431

48


45

Una partícula no posee equilibrio a la rotación ( 00 M ) porque sobre ella no se puede

determinar momento de fuerza.

Nº 3

Problema 1

Las tuberías de 200mm de diámetro representados en la figura tiene cada una, de ellas

una masa de 200 Kg. Determinar las fuerzas que ejercen los apoyos sobre las tuberías en

los contactos A, B y C supóngase lizas todas la superficies.

Problema 2 Un cilindro de 15 KN pende de un sistema de cables según se indica en la figura.

Determinar las tensiones de los cables A, B, y C.

Equilibrio indica ausencia de aceleración en una partícula. El equilibrio de una partícula se

fundamente en la primera ley de Newton: si sobre un cuerpo o partícula actúa una fuerza


46

resultante nula la partícula permanecerá en reposo o con velocidad constante” . esto indica

que la partícula posee equilibrio a la traslación donde se cumple:

0Fx 0Fy 0Fz Análisis Escalar

0F

Análisis Vectorial.





47

Nº 3

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1. Resolver los problemas indicados.

Problema 1

Un arreglo de lámpara de 10 libras esta suspendido con dos resortes, cada uno de los

cuales tiene una longitud de estiramiento de 4 pies y una rigidez de K = 5 libras/pie.

Determine el ángulo para el equilibrio.

Problema 2

Determine la longitud sin estirar del resorte AC si una fuerza P=80 libras causa un ángulo

= 60° para el equilibrio. La cuerda AB tiene una longitud de 2 pies. Tomar el valor de K =

50 libras/pie.

Problema 3

Tres cilindros homogéneos lisos A, B y C están apilados en un cangilon en forma de V, tal

como se muestra en la figura, cada cilindro pesa 500 N y un diámetro de 125mm.

Determinar el mínimo valor que puede tener para que haya equilibrio.


48

Problema 4

Dos cuerpos que pesan 750N y 1000N, respectivamente se apoyan sobre un cilindro y

están unidos por una cuerda según se indica en la figura. Hallar las reacciones del cilindro

sobre los cuerpos, la tensión de la cuerda y el ángulo . Suponer ausencia de rozamiento

en todas las superficies.

Problema 5.

Si la cubeta y su contenido tiene un peso total de 20 libras. Determine la fuerza de los

cables de soporte DA, DB y DC.


49

Problema 6.

Si cada cable soporta una tensión máxima de 600 libras. Determine el peso máximo de la

cubeta y su contenido que podría ser tolerado por los cables.

Problema 7

El semáforo representado en la figura pende de un sistema de cables. Determinar las

tensiones de los cables A, B y C si el semáforo tiene una masa de 75 kg.

Problema 8

La fuerza F necesaria para mantener la placa de hormigón de 25 KN en el plano XY, tal

como se indica en la figura es igual a su peso. Determinar las tensiones de los cables A, B,

y C utilizados para soportar dicha placa.


50

Problema 9

Tres cables sea utilizan para soportar la lámpara de 800N. Determine la fuerza

desarrollada en cada una de ellos para lograr el equilibrio.


51

MOMENTO DE UNA FUERZA – EXPRESIÓN ESCALAR

El momento de una fuerza con respecto a un punto o eje da conocer a que medida existe

tendencia en una fuerza a causar la rotación de un cuerpo con respecto a un punto o eje.

Ver gráfico 4(a), (b) y (c).

Gráfico 4a Gráfico 4b

Gráfico 4c

Magnitud.

La magnitud de Mo es:

Donde “d” hace referencia al brazo de palanca o a la distancia perpendicular desde el eje

en el punto O hasta la línea de acción de la fuerza.

FdM 0


52

Gráfico 4d

Dirección

La dirección de oM

se especifica utilizando la “regla de la mano derecha” ( Gráfico 4d). Para hacer esto, los dedos de la mano derecha se flexionan de acuerdo con el sentido que seguirá la fuerza si girará con respecto al punto O. El dedo pulgar entonces apuntara a lo largo del eje de momentos proporcionando la dirección y el sentido del vector momento. Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares

Un sistema de fuerzas se encuentra contendido en el plano x-y, entonces el momento

producido por cada fuerza con respecto al punto O esta dirigido a lo largo del eje .

M0(-) M0(+)

Gráfico 4e

Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto:

se expresa utilizando el producto cruz y se puede representar mediante el siguiente grafico

4f

FdM RO

FxrMO


53

Gráfico 4f

Magnitud.

FdrsenFrFsenM )(0

Dirección

M0 es perpendicular el plano que forma Fyr cumplen regla de la mano derecha.

Gráfico 4g

Transmisibilidad de una Fuerza ( Gráfico 4h)

Considerando una fuerza aplicada en el punto A; eL momento que produce dicha fuerza

con respeto al punto O es:

Gráfico 4h

FxrM AO


54

Sin embargo el vector de posición r puede entenderse desde 0 a cualquier punto sobre la

línea de acción de F, en consecuencia F puede aplicar al punto B, C, o cualquier otro punto

sobre dicha línea y siempre se obtiene el mismo momento:

xFrxFrxFrM nCB ...0

Donde F actúa como vector deslizante, entonces toma el nombre de fuerza transmisible.

Expresión Vectorial Cartesiana

xFrM 0

kryFxrxFyjrzFxrxFzirzFyryFz

FzFyFx

rzryrx

kji

M

)()()(

0

Momento Resultante de un Sistema de Fuerzas

Gráfico 4I

3330

2220

1110

FxrM

FxrM

FxrM


55

nnxFrM 0

Donde: nR MMMMM )(...)()()( 03020100

n

nnn

n

nR xFrMM

1100 )(

Principios de l os Momentos (Teorema de Varignon)

Este teorema establece que el momento de una fuerza con respecto a un punto es igual a

la suma de los momentos de los componentes de la fuerza con respeto al mismo punto y

en ello se comprueba la ley distributiva del producto cruz entre dos sectores. (Gráfico 4J)

0

A

Z

Y

X

F

F2F1

Gráfico 4J

)( 210

210

21

FFxrM

FxrFxrM

FFF

Ejemplo 1.

La fuerza NkjiF )1086(

crea una fuerza con respecto al punto O de

mNkjiM )2814(0

si la fuerza pasa por un punto que tiene x = 1 determine las

coordenadas “y” y “z” del punto.

)( FxrM RO

FxrM O


56

También tomando en cuenta que ..0 dFM Determine la distancia perpendicular “d”

desde el

Gráfico 4k

Punto O hasta la línea de acción F

grafico 4k

1. Hallando M0

..25,162)8()14( 2220 mNM

2. Hallando F

.14,141006436 NF

dFM .0

16,25=14,14.d

Nd 15,1


57

3. Hallando “y” y “z”

1086

10 zy

kji

rxFM

kyjzizyM

)68()610()810(0

kyjzizkji

)68()610()810(2814

myy

mzz

1682

36108

Problema 1.

La barra curvada recae en el plano “XY” y tiene un radio de 3m. si una fuerza de F = 80 N

actúa en su extremo como se muestra, determine el momento de esta fuerza con respecto

al punto B. Así mismo respecto al punto O.

Hallando coordenadas


58

ABAB rrr

kjirBA

088.012,2

Expresando – cartesianamente - F

ACuFF

kjiFkji

F

76.424.644.2114

2380

)76,42.12,2()76,42.88,0( jiM

FxrM

B

B

)4,21.88,0()14,64.12,2( k

NkjiMB )8,15465,9062,37(

Rpta

Momento de una fuerza respecto a un punto específico(Gráfico 4L)

)2,0,4();0;12.2;88.0();0,3.3( CBA


59

Gráfico 4L

Procedimiento Vectorial

1. Determinar el momento que produce una fuerza F con respecto a un punto eje.

FxrM

0

2. Determinar el vector unitario del eje u

eje = kujuiuu azayaxa

3. Realizar el producto punto entre el vector momento y el vector unitario del punto

eje, obteniéndose así el momento de la fuerza al eje.

).(. 0

0

rxFuMuM

uyM

aaa

a

FzFyFx

rzryrx

uuu

FzFyFx

rzryrx

kji

kujuiuMazayax

azayaxa

).(

Vectorialmente

Para obtener el momento resultante de una serie de fuerzas con respecto a un eje se

puede expresar.

aaaaa uFxruuuMM ).()..( 0

)(. FxruM aa

a

aa

MMM

uMM

0

0.


60

Momento de un Par. ),( CM

CUPLA (Gráfico 4LL)

Un par se define como dos fuerzas paralelas que poseen la misma magnitud direcciones

opuestas y están separadas por una distancia perpendicular d.

F

-F

Gráfico 4LL

El momento de un par

Gráfico 4M

AB rrr

Este resultado indica que el momento de un par es un vector libre, es decir que puede

actuar punto del espacio, puesto que M

depende solamente del vector de posición dirigido

entre dos fuerzas.

FxrFxrM

FxrFxrM

AB

AB

)(

FrrM AB

)( ; AB rrr ; FxrM

Expresión Escalar: El momento de un par M

se define como aquel que posee una

magnitud


61

F

-F

-F

Gráfico 4N

FrsenM

rFsenM

Expresión Vectorial:

El momento de un par M

puede también expresarse por el producto cruz vectorial

utilizando la ecuación

Pares equivalentes: Si producen el mismo momento. (Gráfico 4P)

Resultante del momento del par (Gráfico 4Q)

M = F. d

Gráfico 4P


62

Gráfico 4Q

)(21

FxrM

MMMM

R

R

Cuando las fuerzas actuantes sobre una partícula son paralelas se puede determinar la

resultante realizando una suma escalar de sus magnitudes, pero si las fuerzas forman

ángulos agudos u obtusos, la resultante se determina con mayor facilidad utilizando la

forma vectorial.

Nº 4

Problema 1

Una barra curva está sometida a una fuerza de 3300N en la forma que se indica en la

figura. Determinar el momento de la fuerza respecto al eje BC. Expresar el resultado en

forma vectorial cartesiana.


63

Problema 2

Determine el momento del Par, exprese el resultado como un vector cartesiano.

La determinación de la resultante de fuerzas que actúan sobre una partícula nos permite

determinar hacia donde se dirigirá la partícula (sentido y dirección) y el cálculo de su

magnitud respectiva.





64

Nº 4

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

Resolver los siguientes problemas.

Problema 1

Determine la magnitud y la dirección del momento resultante de las fuerzas con respecto al

Problema 2

La pluma tiene longitud de 30pies, un peso de 800 libras y un centro de masa en el punto

G. Determine el Momento máximo que puede desarrollar el motor en el punto A es de M =

20 (103) libras. Pie, determinar la carga máxima W que puede ser levantada teniendo un

centro de masa en el punto G. el valor de 030


65

Problema 3

Determine el momento de la fuerza en el punto A con respecto al punto P. Exprese el

resultado como un vector cartesiano.

Problema 4

Determine la magnitud de la fuerza horizontal de iFF

que actúa en el mango de la

llave para que esta fuerza produzca una componente de momento a lo largo del eje OA

(eje z) del segmento de tubería de mNkMz .4

tanto la llave como el segmento tubería

OABC están en plano Y-Z.

Sugerencia utilice el análisis escalar.


66

Problema 5

Una fuerza horizontal NiF )50(

se aplica en dirección perpendicular al mango de la

llave de tubería. Determine el momento que esta fuerza ejerce a lo largo del eje OA(eje z)

del segmento de tubería, tanto la llave como el segmento de tubería OABC están en el

plano Y- Z.

Sugerencia utilice el análisis escalar

Problema 6

Determine la magnitud de la fuerza vertical F que actúa sobre el mango de la llave para

que esta fuerza produzca una componente de momento a lo largo de AB (eje X) del

segmento de tubería de mNixM A .5)(

, tanto el segmento de tubería ABC como la

llave reencuentra en el plano X-Y

Sugerencia utilice el análisis escalar.


67

Problema 7

Se aplica una fuerza de 534N al conjunto palanca – árbol según se indica en la figura.

Determinar la componente escalar del momento en punto O respecto al eje OB.

Problema 8

Si el momento del par que actúa sobre la tubería tiene una magnitud de 400N.m.

Determine la magnitud F de la fuerza vertical aplicada a cada llave.


68

Problema 10

Determine el momento resultante de los dos pares que actúan sobre el segmento. La parte

OB recae en el punto X – Z.

Problema 11

Se carga una placa con un sistema de fuerzas, según se indica en la figura. Expresar la

resultante del sistema de fuerzas en forma vectorial cartesiana


69

CENTRO DE GRAVEDAD Y CENTROIDE

En este capítulo se estudiara el método para determinar la ubicación del centro de

gravedad y el centro de masa de un sistema de partículas discretas, para luego aplicar a un

cuerpo de forma arbitraria el mismo método de análisis se empleará para determinar el

centro geométrico o Centroide de líneas, áreas y volúmenes.

Centro de gravedad y centro de masa de un sistema de partículas. (Gráfico 5a)

Centro de Gravedad (G) .- Es aquel punto donde se ubica la resultante (equivalente) del

sistema de fuerzas paralelas (pesos).

Para determinar: zyx ,, se recordara el teorema de Varignon: Para determinar la

coordenada x de G, podemos sumar momentos, con respecto a y.

wy

wy MRM

znR wxwxwxXW ~...~.~2211

R

zn

w

wxwxwxx

~...~.~2211

w

wzz

w

wyy

w

wxx

~

,~

,~

(1)

Gráfico 5a


70

Donde :

zyx ,, = Coordenadas de cada partícula en el sistema.

zyx ,, = Coordenadas del Centro de Gravedad (G) del sistema de partículas.

WWR suma total de los pesos del S. Partículas.

Centro de Masa (C. M.)

Su aplicación se genera en el movimiento de las partículas teniendo en cuenta las fuerzas

que los originan (cinética de la partícula).

gm

mgxx

,

~

“g” se simplifica si las partículas se encuentran cercanos.

m

mzz

m

myy

m

mxx

~

,~

,~

(2)

Centro de Gravedad, Centro de Masa y Centroide de un Cuerpo. (Gráfico 5b)

Centro de Gravedad (G):

Se considera un peso total W y cada partícula en ( zyx ,, ) tiene un diferencial “dw”; es un

diferencial de Volumen “dv” por lo tanto se requiere de una integración más que una suma

discreta de los términos. Las ecuaciones son:

dw

dwzz

dw

dwyy

dw

dwxx

~,

~,

~ (3)

Donde v

wpeso especifico

Gráfico 5b


71

dvdwdv

dw (3)

v

v

v

v

v

v

dv

vdzz

dv

dvyy

dv

dvxx

~~~ (4)

Si es constante para todo el cuerpo se simplifica en el numerador y denominador.

Centro de Masa (C.M.)

: densidad de material.

g

v

gm

v

w.

.

En (6.4) cancelando g tanto de los numeradores y denominadores se obtiene:

v

v

v

v

v

v

dv

dvzz

dv

dvyy

dv

dvxx

.

.~

.

.~

.

.~

(5)

CENTROIDE (C)

El centroide constituye el centro geométrico de un objeto. Su ubicación puede

determinarse. Por medio de formulas similares a las utilizadas para determinar el centro de

gravedad o centro de mada del cuerpo

Centroide de un Volumen:

* Considerando constante para cuerpos homogéneos:

v

v

v

v

v

v

dv

dvzz

dv

dvyy

dv

dvxx

~~~

volumen

Gráfico 5c


72

Centroide de un área. (Gráfico 5d)

dA

dAzz

dA

dAyy

dA

dAxx

~;

~;

~

Centroide de una línea. (Gráfico 5e)

L

L

L

L

L

L

dL

dLzz

dL

dLyy

dL

dLxx

~;

~;

~

Problema 1

Calcular el centroide del área plana correspondiente a la figura:

.927,013,533

4

18

24tan rad

Gráfico 5d

Gráfico 5e


73

)(3/64)32(3

2~

0~

7682

32.48

1

1

)1(y

xA

3832)18(3

1~

0~

4322

)18(48

2

2

)2( y

xA

565,834)30)(9273,0(. 22)3( rA

sen

ry

3

250~

3

25437,175013,53)9273,0(3

)30(250~

3

seny

745,32~3 y

Figura iA ix~ iy~ iA ix~ iA iy~

AOC 768 0,0 -64/3 0,0 -16384

ACB 432 0,0 -38 0,0 -16416

Sector

circular

-

834,565 0,0

-

32,7450,0 27327,83

365,435 -5472,17

* Hallando C. G. Del arco sombreado:

0x

cmA

yAy 97,14

435,365

17,5472~

1

11

cmy 97,14

Problema 2

Cuáles son las coordenadas centroidales de la superficie que se muestra en la fig.


74

1) Hallando ;; 11 yx área del elemento diferencial es

ydxdA 1 y su centroide 311 8

1;2

~;~ xyyyxx

*) 6

0

6

0

43

1 4.

8

1

8

1 xdxxydxydxA

A

21 5,40

32

)36(36pieA Rpta.

*) 6

0

6

0

53

11 5.

8

1

8

1..~ x

dxxxydxxdAxA

311 4,194

40

6)36(36~ piedAxA

Rpta

*) 6

0

6

0

76

0

6

11 7.

128

1

642

1.

2~ x

dxx

ydxy

dAyA

37

11 428.312)7(128

6~ piedAyA

luego:5.40

4.194~

1

11

11

A

Ay

dA

dAx

A

Mx = piesx 8,41

5.40

428.312~

1

11

11

A

Ax

dA

dAy

A

My piesy 714,71


75

Figura A x~ y~ A x~ A y~

1 40,5 4,8 7,714 194,4 312,428

2 18,0 4= 632 - 23

6 72,0 -36,00

3 -2,0 5,5 -1,0 -11.0 2,00

4 - 4,0 1,0 -4 -

53,36 242,83 275,286

Luego:

36,53

83,242~

A

xAx piesx 55,4

36,53

286,275~

A

yAx piesy 16,5 Rpta.

Problema 3

Determinar el centroide en YX , del área sombreada de la figura

1) Determinando las constantes m y k

22

2

11

XL

HkasikxY

L

HmHYLxsimxY

XL

HY 1 ; 2

2 XL

HY


76

2) Cálculo del diferencial de área (dA)

22~;)( 2121

22

221

yyyyyyX

L

HX

L

HdxyydA

Cálculo de X

LL

LL

L

L

x

L

Hx

L

H

x

L

Hx

L

H

dxXL

HX

L

H

dxXL

HX

L

H

dA

xdAX

0

3

20

2

0

4

20

3

0

22

0

32

2

32

43

26

12

33

43

22

LL

L

HLHL

HLHL

2

LX Rpta.

LL

LL

L

L

x

L

Hx

L

H

x

L

Hx

L

H

dxXL

HX

L

H

dxXL

HX

L

H

dA

dAyX

0

3

20

2

0

5

4

2

0

3

2

2

0

22

0

22

2

2

32

1062

1~

HHL

LH

5

2

6

115

1 2

HY5

2

El centro de gravedad de un cuerpo no varia cuando se le cambio de posición, pero si

cuando se altera la forma del cuerpo. En algunos cuerpos el centro de gravedad puede

estar fuera de ella (caso de un aro circular).

Nº 5

Problema 1

Ubique el centroide del área sombreada


77

Problema 2

Localiza el centro de gravedad de una placa triangular delgada homogénea limitada por el

eje y las líneas y = 10cm y 5x – 3y =15, donde x, y se expresan en centímetros.

Todos los cuerpos o sistemas tienen su centro e gravedad en cual se origina debido a la

acción de la fuerza gravitacional de la tierra sobre todos los cuerpos, a esta fuerza

gravitacional se le denomina peso del cuerpo o del sistema, el cual se sitúan en el centro

de gravedad del cuerpo.

El centroide se determina figuras y cuerpos de formas irregulares.





78

Nº 5

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1. Resolver los siguientes problemas.

Problema 1

Ubique el centroide del área sombreada

Problema 2

Ubique el centroide del área parabólica

Problema 3

Localice el centroide del área sombreada de la fig. la ecuación de la curva es y3 = 2x,

donde x, y se expresan en centímetros.


79

Problema 4

Calcule las coordenadas y del centroide del arco de la parábola y = x2 (x y y se mide en

metros)comprendido entre el origen y el punto (1.1). la longitud del arco es

m)52ln(5225,0

Problema 4

Calcule con respecto al eje y el momento de primer orden del area sombreada de la figura.

La ecuación de la curva es y = x2 – 2x, x y y se expresan en metros.

Problema 6

Localiza el centroide del área limitada por la parábola bx=2by – y2 y el eje y.

Problema 7

En la figura se representa la línea 2y = 4a- x y la parábola 4ay = x2 localice el centroide de

la región sombreada.

a) I

b) II

c) III


80


81

CINEMÁTICA

Cinemática de una Partícula.

Estudia los aspectos geométricos del movimiento de una partícula, que se mide de acuerdo

con marcos de referencia fijos y variables.

Partícula

Es un cuerpo que tiene masa aunque no se toma en consideración, se desprecia su

tamaño y forma.

Cinemática rectilínea: movimiento continuo. Es preciso recordar que una partícula tiene

una masa aunque no se toma en consideración, es decir, se desprecia su tamaño y su

forma. Por lo tanto, es preciso limitarse a aquellos objetos cuyas dimensiones no modifican

el análisis del movimiento.

Cinemática rectilínea. Una partícula puede desplazarse sobre una trayectoria recta o

curva.

Posición. Es posible definir la trayectoria en línea recta de una partícula utilizando un

solo eje d coordenadas.

Desplazamiento. El desplazamiento de una partícula se define cambio en la posición.

Velocidad. La velocidad instantánea se define como 0)/( rlímv

Aceleración. Es el intervalo de tiempo t se define como:

t

vamedia

v Representa la variación de velocidad

Aceleración constante. a = acº Cuando la aceleración es constante, es posible

integrar cada una de las tres ecuaciones cinemáticas: ,/ dtdvac dtdsv / y

;vdvdsac Para obtener formulas que relacionen svac ,, y t.

Velocidad como una función de tiempo. Integre ,/ dtdvac suponiendo que

inicialmente v = vo cuanto t = 0


82

)0(0

00

tavv

dtadv

c

s

c

v

v

tavv c 0

Aceleración constante.

Posición como una función de tiempo. Integre dtdsv / = tav c0 , suponiendo que

en un principio s = so cuando t = 0.

)0()0(

)(

221

00

0 00

tatvss

dttavds

c

t

c

s

s

221

00 tatvss c

Aceleración constante

Velocidad como una función de posición. Integre ,dsavdv c suponiendo que

inicialmente 0vv en 0ss

)( 0202

1221

00

ssavv

dsavdv

c

s

s c

v

v

)(2 020

2 ssavv c

Aceleración constante

Un ejemplo común del movimiento de aceleración constante ocurre cuerpo cae

libremente a la tierra.

Se dispara verticalmente un pequeño proyectil hacia abajo dentro de un fluido con una

velocidad inicial de 60 m/s. si el proyectil sufre una desaceleración equivalente a

,/)4.0( 23 smva donde v se mide en m/s determine la velocidad y la posición del

proyectil cuatro segundos después del disparo.

Solución:

Sistema de coordenadas es descendente.

Velocidad, la aceleración se da como una función de la velocidad.

34.0 vdt

dva

tsdt

v

dv060 34.0


83

01

2

1

4.0

1

602

tv

v

tv

22 )60(

11

8.0

1

smtv /8.0)60(

12/1

2

smv /559.0 Rpta.

Posición Considerando a la velocidad como una función de tiempo

2/1

28.0

)60(

1

t

dt

dsv

s tdttds

0 0

2/1

28.0

)60(

1

0

2/1

28.0

)60(

1

8.0

2 t

ts

mts

60

18.0

)60(

1

4.0

12/1

2

Cuando t = 4 segundos,

ms 43.4 Rpta.

Desplazamiento de la Partícula

El desplazamiento es el cambio de posición de un cuerpo o medida que trascurre el tiempo,

con respecto a un sistema de referencia.

Posición de una Partícula

Es la ubicación de un cuerpo idealizado en un determinado sistema de referencia.

La posición de una partícula se puede determinar de diferentes formas, tales como:

a) Mediante sus componentes rectangulares


84

Z

X

Y

y

x

z

P(x,y,z)

Fig. 6.1 Posición de una partícula mediante componentes rectangulares

x = x (t); y = y (t); z = z (t);

b) Mediante un vector de posición

Z

X

Y

Pr

r = f(t)

Fig. 6.2 Ubicación de un partícula mediante un vector de posición

c) Mediante la ecuación horario del movimiento

Z

X

Y

P0 PS

S = f(t)

Fig. 6.3 ubicación de un partícula mediante la ley horaria

Posición, Velocidad y Aceleración de la Partícula Mediante el Análisis Escalar

Considérese el movimiento mostrado en la Fig. 1.4 supóngase que una partícula se

encuentren en el punto A en el tiempo t = 0. la partícula se encuentra en la posición B en el

tiempo t y en la posición C en el tiempo t + Δt.

A

X X

B C (x)

t=0x=0

t + t (tiempo)t

+

Fig. 6.4 Movimiento rectilíneo de una partícula sobre el eje x.


85

Velocidad promedio

t

xvpro

Velocidad instantánea

xdt

dx

t

xlimv 0t

1

Aceleración promedio

t

va pro

Aceleración instantánea

xvdt

dv

t

vlima 0t

2

En muchos problemas es conveniente eliminar el tiempo dt de las ecuaciones. Para esto,

usamos la regla de la cadena,

dx

dvv

dt

dx

dx

dv

dt

dva

Se obtiene

v dv = a dx 3

Posición, Velocidad y Aceleración de la Partícula Mediante el Análisis Vectorial.

Considérese una partícula que se encuentra en la posición P en el tiempo t y en la posición

P´ en el tiempo t +Δt. Estas dos posiciones están definidas, con respecto al origen de un

sistema de referencia fijo, por los vectores r

y r mientras que Δs representa el

desplazamiento real de la partícula a lo largo de la trayectoria de su movimiento.

r '

Z

X

Y

s = r

P

P'

r

Fig. 6.5 vector posición de una partícula

Velocidad promedio

t

rvm

Velocidad instantánea


86

dt

rd

t

rlimv 0t

Aceleración promedio

t

vam

Aceleración instantánea

rdt

rdv

dt

vd

t

va t

2

2

0lim

Z

X

Y

V = drdt

a = dvdt

r

Fig. 6.6 Vector velocidad y aceleración

Derivada de Vectores

En todo Movimiento, excepto en el rectilíneo, las cantidades vectoriales cambian en

magnitud y dirección.

dt

Bd

dt

AdBA

dt

d

dt

Bd.AB.

dt

AdB.A

dt

d

dt

BdxABx

dt

AdBxA

dt

d

Movimiento curvilíneo: componentes rectangulares

Coordenadas Rectangulares

Estas coordenadas se utilizan cuando es posible descomponer el movimiento en

componentes horizontales y verticales, además cuando se conoce la geometría del

movimiento.


87

Posición velocidad aceleración

x xvx xax

y yvy yay

z zvz zaz

Caso (1): si el movimiento es en el plano

z = 0; 0z ; 0z

Caso (2): si el movimiento es rectilíneo

y = 0; 0y ; 0y

z = 0; 0z ; 0z

Es decir se toma al eje x como la trayectoria, donde

a dx = v dv

Fig. 6.7 Vector posición

kzjyixr

kzjyixrv

kzjyixrva

Z

X

Y

r

P

dxdv

vdtdx

dxdv

dtdv

a


88

PROB. 1 (Bedford)

si y = 150 mm, dy/dt = 300 mm/s y d2y/dt2 = 0 ¿cuales son las magnitudes de la velocidad y

aceleración del punto P?

300 mm

P

y

Solución

Análisis: El punto P describe una trayectoria circular y lineal

Posición del punto P

Se puede determinar a partir de la ecuación de la circunferencia

x2 + y2 = r2 (1)

Para y = 150 mm => x = 259.81 mm

Cálculo de la componente de la velocidad en x , derivando la ecuación (1)

respecto al tiempo

0yy2xx2

yyxx (2)

81.259

300*150

x

yyx

s/mm20.173x

Por dato: s/mm300y

La magnitud de v

2222 )300()20.173( yxv

v = 346.4 mm/s

Cálculo de la aceleración en x

Derivando nuevamente la ecuación (2) respecto al tiempo

22 yyyxxx , por dato 0y

81.259

20.173300 2222

x

xyx


89

2s/mm87.461x

a = 461.87 mm/s2

PROB. 2

En la ecuación que se muestra se tiene que la aceleración es siempre proporcional a la

distancia entre la partícula y un punto fijo situado sobre la trayectoria y dirigida siempre

hacia el punto fijo. Se pide determinar el desplazamiento en función al tiempo.

a = -kx

Solución

Se sabe dx

vdv

dx

dxx

dt

dva

a dx = vdv

v dv = -kx dx

Integrando kxdxvdv

c

2

xk

2

v 22

ckxv 22

También:

2kxcdt

dx

dt

dxv

Separando variables

Integrando

2

1

2

II

dtkxc

dx

* Trabajando con I1

Haciendo cambio de variable

22

1

xkc

dxI

dxxd

xk

Se tiene

dtkxc

dx

2


90

2222

1c

d

k

1

xkck

dxkI

Por tabla

k

c

xsen

kc

xksen

kcsenx

k111 111

1

11 c

xsen

k

1I

En (α)

21

1 ctc

xsen

k

1

21 ctksencx

Interpretación del resultado:

- esta función, en la que a = -kx, resulta que x es una función senoidal de t, se define

como movimiento armónico simple

- las dos constantes c1 y c2 se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales

Movimiento curvilíneo: componentes intrínsecas.

Coordenadas Intrínsecas

- Está formada por las coordenadas normal, tangencial y binormal

- Se utiliza para estudiar la velocidad y aceleración de una partícula que se mueve en el

espacio y describe una curva que se desarrolla en tres dimensiones.

Z

X

Y

eneb et

PS

Fig. 6.8 Coordenadas n-t-b

Posición: S

Velocidad sv

aceleración

a) aceleración tangencial


91

sds

dvvvat

b) aceleración normal

2van

Donde ρ = radio de curvatura

En forma vectorial

nt ev

esa

2

- el radio de curvatura se determina por:

2

2

2/32

1

dxyd

dxdy

2/322

1

yx

xyyx

3

1

v

axv

- Expresión importante para determinar (at)

Utilizando el producto punto

v

vaat

.

22 atana

Movimiento curvilíneo: componentes radial y transversal


92

Coordenadas Polares

Estas coordenadas se utilizan cuando se conocen los datos del movimiento angular de la

coordenada radial para describir el movimiento de la partícula.

eje polar

r

u

(+) r (+)

ur

Fig. 6.10 Posición r,

1. Posición

rurr

2. Velocidad

rr ururrV

uVuVV rr

Donde:

Velocidad radial

rVr Velocidad

transversal

rV

el módulo de la velocidad

22

VVV r

3. Aceleración

uauara rr

Donde:

Aceleración radial

2 rrar

Aceleración transversal

rra 2

Módulo de la aceleración


93

22

aaa r

Coordenadas Cilíndricas Z

X

Y

rp ur

u

uz

Fig. 6.11 Posición zr ,,

Posición

zrp uzurr

Velocidad

zr uzururV

Aceleración

zr uzurrurra

)2()( 2

PROB. 3

La barra indicada está girando en el plano x-y de tal manera que en cualquier instante

radt 3/2 al mismo tiempo el collarín B está deslizándose hacia afuera a lo largo de OA

de modo que r = 100t2 mm. Si en ambos casos t se mide en segundos, determine la

velocidad y la aceleración del collarín cuando t = 1s.

B

O

A

X

Y

Solución

De los datos del problema se tiene

X

O

V

VVr

Trayectoria delmovimiento


94

1001001

2 t

tr

2002001

ttr

2002001

tr

3.5711

3/2 radtt

sradtt

/667.03

21

3/1

2

1

3/2 /222.09

2sradt

Cálculo de la velocidad del collarín

ururrV r

uurV r

7.66200

smmV /8.2107.66200 22

El ángulo que forma la velocidad con el eje X

)200/7.66arctan(

= 55.7°

Cálculo de la aceleración del collarín

urrurra r )2()( 2

uua r )667.0)(200(2)222.0(100)667.0(100200 2

2/6.2445.155 smmuua r

la magnitud de la aceleración

222 /74.2896.2445.155 smma

Determinando el ángulo que forma

la aceleración con el eje X

3.57)5.155/6.244arctan(

o25.121

X

O

a

aar

Trayectoria delmovimiento


95

Cinética de una Partícula

La cinética estudia los efectos de las fuerzas que tiene sobre la masa de un cuerpo.

- Ecuaciones del Movimiento: coordenadas rectangulares.

F = ma

Z

X

YzFx

Fy

Fz

yx

P

Fig. 6.12 Coordenadas rectangulares.

)kajaim(akFjFiF zyxzyx

Fx = max

Fy = may

Fz = maz

Ecuaciones de la cinemática

dt

dsv

dt

dva ;

a ds = v dv

Si la aceleración es constante

v = v0 +act

s = s0+v0t+2

1act2

v2 =v02 +2ac (s-s0)

-Ecuaciones del Movimiento: coordenadas intrínsecas


96

Ob

t

P

Fb

Ft

Fn

F = ma Fig. 6.13 Coordenadas intrínsecas

anatubbunnutt mmFFF

smvmmaF tt

22 sm

vmmaF nn

0b

Ecuaciones de la Cinemática

2van

svat

2

2/32

2

1

dxyd

dxdy

Aplicación a la Ingeniería

El diseño preliminar de una rampa de autopista es circular con radio R =100.m. si se

supone que el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es de μs =

0.4 ¿cuál es la velocidad máxima a la que los vehículos puedan entrar a la rampa sin

perder tracción?

R

centro

Solución:


97

Paso 1: elegir un sistema de coordenada

Coordenada intrínseca (n-t)

Paso 2: DCL. Movimiento (vista superior)

eten

f

Vista frontal

mg

f N

an(centro)

Paso 3: aplicación de la segunda ley de Newton

Fn = man

R

vmf

2

R

vmNS

2

R

vmmg

2

S

gRv s

100*81.9*4.0v

h/km25.68v

Consideraciones del Diseño. (Bedford)

Los ingenieros que diseñan carreteras y los ingenieros que estudian los accidentes de

transito y su prevención deben analizar y medir los movimientos de los vehículos en

diferentes condiciones. Usando los métodos estudiados anteriormente se pueden estudiar

los efectos de peralte y curvatura sobre la velocidad con que se pueda guiar un vehículo

sobre un camino en curva. El ejemplo anterior, indican que los vehículos perderán tracción


98

si entran a la rampa con velocidad superior a 68.25 km/h. esto da la idea de la velocidad

límite que se debe señalar para que los vehículos entren a la rampa con seguridad, o bien

la rampa se podría diseñar para una velocidad mayor incrementando su radio de curvatura.

Sin embargo, si se desea una mayor velocidad segura las limitaciones de espacios impiden

usar un mayor radio de curvatura

La rampa se podría diseñar con un peralte adecuado.

- La velocidad constante máxima en este caso esta determinada por.

sen

sengRv

s

s

cos

cos

La cantidad de movimiento de las partícula o cuerpos nos permite visualizar lo que se

suscita durante y después de la colisión de estos (ejemplo lo que se origina dentro de una

masa gaseosa encerrada en un recipiente, donde se observa que las moléculas del gas

están en constante colisión con intercambio de cantidad de movimiento)

Nº 6

Resolver los siguientes problemas

PROB. 1

Un automóvil se encuentra originalmente en el reposo en s = 0. Si después se incrementa

su rapidez a 22 s/pies)t05.0(v , donde t se expresa en segundos, determinar las

magnitudes de la velocidad y la aceleración en s = 550 pies


99

300'S

240'

PROB. 2

Dada la siguiente función )cos( tXx .

Trazar las curvas x contra t, v contra t y a contra t

x,v,a

x a

v

t

El Impulso “ I

” que posee una partícula se origina debido a una fuearza resultante que

actua sobre ella, considerando el tiempo en que se aplica dicha fuerza, este impulso se

convierte en cantidad de movimiento, “G

” en el instante en que adquiere una velocidad “v ”

complementado con la masa de la partícula


David J. McGILL, Wilton W. King , DINAMICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991

Ferdinand p. BERR, E. Russell JOHNSTON, DINAMICA, McGrawHill, ,1997


100

Nº 6

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1. Resolver los siguientes problemas.

PROB. 1

En la posición de la fig. mostrada, el bloque se desliza hacia afuera a lo largo de la varilla recta con

los valores dados de velocidad y aceleración respecto a la varilla. Simultáneamente, la varilla tiene

los valores dados de velocidad angular w y aceleración angular . Determinar la aceleración total del

bloque. ¿Cuál es la componente de esta aceleración normal a la trayectoria descrita por el bloque?

10 cm

30º w = 3rad/s

= 1rad/s2

a = 15cm/s2

v = 22.5cm/s

B

O

PROB. 2

La aceleración de una partícula, esta dada por:

kjtita

232 2

En donde a esta en m/s2, y t en segundos. Cuando t = 0, v = 0.

A partir de la componente normal de la aceleración, hallar el radio de curvatura de la partícula en el

instante t = 1 segundo

PROB. 3

Un auto viaja a 100 km/h cuesta arriba por un camino cuyo perfil vertical se puede determinar con la

ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del auto es x = 400 m ¿Cuáles son la

componentes normales y tangenciales de la aceleración?

X

Y

y = 0.0003 x2


101

CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA

Trabajo Y Energía

Trabajo de una Fuerza

2

1

. rdFU

Trabajo de un Peso

)( 1221 zzU

)(U si la partícula baja

)(U si la partícula sube

Trabajo efectuado por la fuerza de un resorte lineal sin Masa (Fig. 7.1)

F = KS = K(L .L )F O

LO SLF

)(0 Fs estirado

)(0 Fs comprimido

2

1

21

2221 )(

2

1sskksdsU

Si Una Partícula Se Encuentra Unido Al Resorte (Fig. 7.2), La Fuerza que sobre ella se

ejerce tiene igual modulo pero de sentido contrario

S1

1

FS

2

ds

Fig. 7.1

Fig. 7.2


102

)(2

1 21

2221 ssKU

Observación

U(+): si el sentido de la fuerza y el desplazamiento son iguales

U(-) : si el sentido de la fuerza y el desplazamiento se oponen

Principio de trabajo y energía cinética

* ecuación del trabajo y la energía cinética

dt

dvmmaF

el trabajo efectuado por la fuerza resultante

B

A

BA rdFU .

22

2

1

2

1ABA mvmvU B

Fuerzas conservatorias

Se llaman así porque cuando realizan trabajo solo dependen de la posición inicial y final no

interesado la trayectoria, estas fuerzas en general son el peso y la fuerza elástica.

* Peso

yU

Fuerza elástica.

)(2

1 21

22 sskU


103

Fuerza no conservativa

En este caso es considerado la fuerza de fricción, porque depende de la trayectoria

cuando realiza trabajo.

Principio de trabajo y la energía mecánica

MAMBMBA EEEU )(

Donde

VVTEM

luego

BBFCNBAAA TTUVT )(

Conservación de la energía mecánica

0)( FCNBAV ; 0U

cteEMEM ...21

T1 + V1 = T2 + V2

Energía potencial (Vg ; EPg) (Fig 7.3)

+yVg = wy

w

(Vg = 0)w-y

Fig. 7.3

Energía potencial elástica (V e ) (Fig 7.4)


104

KV = +e

12 ks2

Ve Ve

Fig. 7.4

2

2

1ksVe

En este caso Ve siempre es (+), tanto cuando se estire o comprime el resorte.

Función potencial

Si una partícula está sujeta a las fuerzas gravitacional y elástica, es posible expresar su

energía potencial como una función potencial.

VeVgV

La medida de V despende de la ubicación de la partícula con respecto a un punto de

referencia para ello es necesario la teoría de campos escalares, vectorial, rotacional de un

campo vectorial )( FxV

cuya rot 0F , determinan campos vectoriales conservativos.

PROB. 1 (BRAJA DASS)

Una fuerza F dada por sus coordenadas cartesianas

,3 2tFyytFx en donde F esta en lb. y t es el parámetro tiempo en s, actúa sobre

un partícula durante el periodo de t = 2s a t = 10s. Determine el trabajo efectuado por la

fuerza sobre la partícula al moverse a lo largo de una trayectoria dada por las ecuaciones

paramétricas x=2t2 y y = t, en donde x y y están en pies.

Solución

B

A

BA rdFU .


105

B

A

kdzjdyidxkFzjFyiFx )).((

B

A

B

A

B

A

zdzFydyFFxdx

por dato ;3tFx 2tFy ; tdtdxtx 42 2

dtdyty

102

3102

32

0 033

12)4)(3(

tB

tA

tB

tA

BA

ttdttdtttU piebU BA 7.4298 Rpta

PROB. 2 (Hibbeler)

La fuerza F, que actúa en una dirección constante sobre el bloque de 20kg., tiene una

magnitud que varia de acuerdo con la posición S del bloque. Determine la rapidez del

bloque después de deslizarse 3m. Cuando S = 0, el bloque se mueve hacia la derecha a

2m/s. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es Uk = 0,3

Solución


106

F W

N

= u Nk

Aplicando el principio de y energía cinética

21

2221 2

1

2

1mvmvEcU (1)

donde:

221 cos fdsdsFU

reemplazando en 1

21

22

2

1

2

23

1

2

15/4 mvmvdsNudsF

s

s

s

s

k (2)

Cálculo de la normal:

05

30

FNFy

2505

381.920

5

3sxFN

2302.196 sN (3)

reemplazando la ecuación 3 en 2

23

0

22

3

0

22 )2(202

120

2

1)302.196(3.050

5

42

1

2

2

s

s

s

s

vdssdss

smV /77.32 ®


107

Cuando la fuerza actuante sobre un cuerpo, forma un ángulo de 180º, con el vector

desplazamiento, el trabajo se considera negativo; pero si forma un ángulo de 90º el trabajo

es nulo

Nº 7


PROB. 1 (13.80 Beer Johnston)

Sobre la partícula P(x,y,z)que se mueve en el espacio actúa la fuerza

xyzkxyjzxiyzF /)(

- Demostrar que es una fuerza conservativa

- Hallar la función potencial asociada a F

PROB. 2

Dado el campo kxyzjxziyzF

)1(2)1( 22

a) Demostrar que es un campo conservativo

b) Hallar la función

c) Hallar el trabajo al desplazar una partícula del punto (1,1,1) al punto (3,2,0)

El trabajo “ ” se realiza cuando actúa sobre una partícula una fuerza, el cual origina el

desplazamiento de ella. Cuando se realiza trabajo, se desgasta energía, por lo que según

el Principio de la Conservación de la Energía se cumple: pk EE

La energía cinética de una partícula se origina durante su movimiento (de acuerdo al

velocidad instantánea “v” que posee).


108

La energía potencial es una energía almacenada por la partícula y depende de su

posición respecto a un nivel de referencia.


David J. McGILL, Wilton W. King DINAMICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991



109

Nº 7

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1 Resolver los siguientes problemas

PROB. 1

Resolver el ejemplo 2 mediante el principio de la conservación de energía.

PROB. 2

La corredora de masa m = 30kg se mueve a lo largo de una ranura lisa. En la posición A mostrada el resorte se muestra comprimiendo en 0,30m y la corredora posee una velocidad de 3m/s en la dirección de ascenso en la ranura. Después de recorrer 1,5m (posición B) la velocidad de la corredora se reduce a 2,4m/s. La fuerza de 520N se mantiene constante tanto en dirección como en sentido y magnitud. El movimiento ocurre en un plano vertical y el resorte está fijo a la corredora y al punto C. se pide:

a) Calcular la constante del resorte

PROB 3

Un bloque que de 5 kg. de masa, inicialmente en reposo, se suelta en la configuración mostrada en la que los muelles que actúan sobre el mismo están horizontalmente y tiene una fuerza de tracción de 50N c/u. ¿Cual es la velocidad del bloque después de haber descendido 100mm. Si cada muelle tiene una constante K = 1N/mm?

250mm 250mm

5 Kg

100mm

1

2


110


111

Cinética de una Partícula: Impulso y Cantidad de

Movimiento

En este capítulo se integrará la ecuación del movimiento con respeto del tiempo.

Obteniendo así el principio del impulso y del momento. La ecuación resultante será útil para

resolver los problemas que involucran Fuerza, Velocidad y Trabajo.

Principio Del Impulso Y Momento Lineales

La ecuación del movimiento para una partícula de masa m esta dada por la siguiente

ecuación:

amF .

dt

vdmF

2

1

2

1.

v

v

t

tvdmdtF

12

2

1. VmVmdtF

t

t

(L=mv)

impulso cantidad de mov.

Impulso Lineal (I).- Llamado también ímpetu ó impulsión.

Fuerza variable

dtFI .

Unidades: N,S; libras.s


112

Graficando:

Si F = cte

)( 12 ttFI C

tFI C

Fuerza variable Fuerza constante.

Fig. 8.1 Fuerza variable, fuerza constante

Momento lineal o cantidad de movimiento ( PoL

)

VmL

s

pieslug

s

mKg .;.

Además se sabe

)( 12 VVmI

2VmI

LI

1vm + 2

1.

t

tdtF

2vm

principio del impulso y el momento lineal.

2

1 21

t

tVmdtFVm

Ecuaciones esclares

2

1 21

2

1 21

2

1 21

)()(

)()(

)()(

t

t zzz

t

t yyy

t

t xxx

VmdtFVm

VmdtFVm

VmdtFVm

Diagrama del momento inicial

Diagrama del impulso

Diagrama del momento


113

Principio del Impulso Lineal y Momento para un Sistema de Partículas

El principio del impulso y el momento lineales para un sistema de partículas que se mueve

en relación con una frecuencia inercial, se obtiene a partir de la ecuación de movimiento

iii amF que es posible escribir como:

dt

vdmF i

ii

Fig. 8.2 Fuerza variable, fuerza constante

iii amF

di

vdmF i

ii

iii vdmdtF

)( 1

2

1 2 i

t

t ii VVmdtF

2

2

11 )()( t

tiVmiidtFiVim

Además: iiG rmrm en donde imm

Por medio de la derivadas temporales, se obtiene:

iiG VmVm

2

1 21 )()(t

t GG VmiidtFVm

Conservación De Momentos Lineales


114

Existe conservación del momento lineales si el impulso en cero (no existe fuerzas

exteriores)

Si: )0( I

Entonces se tiene:

finalinicial LL

21 )()( iiiiVmVm

; iiG VmVm

21 GG VmVm

21 GG VV

Choque, Colisión o Impacto

Impulso ocurre cuando 2 cuerpos se colisionan durante un intervalo muy breve de tiempo

provocando que se ejerza relativamente grande entre ambos cuerpos. El impacto entre un

martillo y un clavo o de una raqueta y la bola de tenis o pimpón

En general existen 2 tipos de impacto, que puede ser el frontal (central) y el oblicuo.

Impacto Frontal

Fig. 8.3 impacto frontal

2211 )()()()( BBAABBAA vmvmvmvm

Impacto Oblicuo:

Fig. 8.4 Impacto oblicuo


115

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN (e): Es un factor adimensional que nos define la

relación entre la velocidad relativa de alejamiento después del choque y la velocidad

relativa de acercamiento antes del choque.

Este coeficiente es muy usual para los análisis de choques frontales, puesto que nos va a

permitir distinguir los choques mediante una análisis cuantitativo de su valor comprendido

entre cero y la unidad.

Antes del choque: (V1>V2)

Definimos: Velocidad Relativa de acercamiento = V1 -V2 antes de choque

Después de choque

Definimos: Velocidad Relativa de Alejamiento =

12 UU ó )( 12 UU después del choque.

Por definición: CHAoAlejamientlVeloc

CHDoAlejamientlVeloce

...Re.

...Re.

Para los casos anteriores descritos; reemplazando tenemos:

21

12

VV

UUe

ó 21

12

VV

UUe

Donde: 10 e

b) Por disipación de energía.- los choques se suelen clasificar:

Choque elástico.- Es una colisión ideal entre la cual los cuerpos ó partículas no

experimentan ninguna deformación permanente, ni tampoco liberan energía (calor).

Las características esenciales de este choque son:

Coeficiente de restitución 1e

No existe deformación permanente de los cuerpo que colisionan.

0Q

CHDMCHAM EE ..


116

CHDCHA PP ..

Choque Inelástico.- Es aquella colisión durante las cuales se transmiten cantidad de

movimiento y se disipa calor, pudiendo los cuerpos deformarse

permanentemente. Las características esenciales son:

1e ; donde: 0e ó (0 < e<1)

Puede haber deformación permanente

0Q

QEE CHDMCHAM ..

CHDCHA PP ..

Choque Absolutamente Inelástico.- Denominado también Choque Plástico o

completamente Inelástico, se caracteriza porque durante su realización se libera de calor

deformándonos permanentemente los cuerpos tal que después del choque los cuerpos

avanzan juntos con la misma velocidad. En consecuencia, las características de este

choque son:

A.CH.

Para que exista choque: V1 V2

D. CH. VUU

12

Siendo: 021

12

VV

UUe

Luego entonces

0e

De todas maneras los cuerpos se deforman permanente.

0Q

CHDMCHAM EE ..

CHDCHA PP ..


117

Problema 1

El coeficiente de fricción entre el bloque de 100Kg. representado en la figura y el plano es

de 0,5, la magnitud de la fuerza Pv en función del tiempo y su valor instantáneo es 50t +

500 donde Pv y t se expresan en Newton y segundos después el cuerpo esta en reposo

cuando t = 0, calcule la velocidad cuando t = 15s

m = 100Kg.

u = 0,5

Pv = 50t + 500

Donde: Pv...N

t...s

D. C. L. del bloque:

El bloque comienza a deslizarse cuando Pv es mayor que

.640y 1280,0. NNfNNentf CsCs

Simultáneamente la componente horizontal de Pv es: NPP vvh 400)500(8,0cos por lo

tanto el bloque no se desliza: svh fP ó 400 < 640.

Hallando el valor de “t” correspondiente para iniciar el movimiento.

svh fP


118

)301280(5,0)50050(8,0 tNt C

250t = 2400

t =9,6s

Aplicando el principio del impulso y constante de movimiento entre 9,6s st 15

15

6.9 21 xx VmdtFVm

; tf

tNf C

15640'

)31280(5,0'

15

6.9 2.'cos mVdtfPV

15

6.9 2.)64015()40040( mVdttt

15

6.9 2.100).24025( Vdtt

15

6.9

222

2 100).6,915(240)6,9()15(2

25100240

2

25Vtt 645,32 fVV

smV /645,32 Rpta.

Problema 2

Una esfera de acero de 0, 5kg, suspendida de una cuerda de 75 cm, fijo en el otro extremo,

abandonada bajo la acción de su peso cuando la cuerda esta horizontal. La esfera choca

elásticamente contra un bloque de acero de 3 kg. Univalente en reposo, sobre una mesa

horizontal ¿Cuál es la velocidad de la

A

A B 2

1

L = 75 cm

Solución

Paso 1: calculo de la velocidad de A inmediatamente antes del choque con B.

Por el principio de la conservación de la energía.

21

2211 VTVT

02

1 2 AAVmmgL


119

gLVA 2 ; para L = 0.75 m

smVA /84.375.081.92

es la velocidad de A, antes del choque con B

Paso 2: Calculo de la velocidad final después del choque

Principio de conservación de la cantidad de movimiento, a tiene:

despuestotalantetotal LsL )()(

BBAABBAA VmVmVmVm ´´

BAAA mVVmm ´´ (1)

por el coeficiente de restitución

BA

AB

VV

VVe

´´

; donde 1e (elástico)

AAB VVV ´´

o también

AAB VVV ´´ (2)

Reemplazando (2) en (1)

)´(´ ABABAAAA VmVmVmVm

BBABAAAA VmVmVmVm ´´

ABABAA VmmmmV ´)()(

84.335.0

35.0´´ xVV

mm

mmV AA

BA

BAA

smV

smV

A

A

/75.2´

/75.2´

ó

en (2)

smV

V

B

B

/09.1´

75.284.3´


120

Paso 1: por principio de trabajo y energía mecánica

MAMBMIIIV

VeVgTM

BBFNCABAA VTVVT )(

02

14.0 2 AmVmgR

2)6.0(2

14.0)6.0)(81.9)(6.0( AV

786.22 AV es la velocidad de A antes del choque con B

Paso 2: Inmediatamente después del choque:

despuestotalantetotal LsL )()(

BBAABBAA VmVmVmVm ´´

BAAA mVVmm ´´

del coeficiente de restitución

BA

AB

VV

VVe

´´

8,0

ABA

BAA V

mm

mmV

)8.0(

´

)786.2(3.02.0

))3.0(8.02.0(´

AV

smV A /223,0´ Rpta

smV B /006.2´

0cos0 mgRFy

cos

mgR 1

NN maRsenmaFn 2

(2) en (1)

ggVV

msenmg 22

2

cos


121

El movimiento de caída libre de los cuerpos o partículas es un movimiento rectilíneo, en

donde interviene la aceleración de la gravedad cuyo valor promedio a nivel del mar y a

60km. Hacia arriba es equivalente a 9,81 m/s2 o 32,2pies/s2

Nº 8


Problema 1

Se deja en libertad un bloque de masa de 200 g en la posición (I), desliza hasta chocar con

la esfera B de 300g, sabiendo que 8,0e y el trabajo de fricción entre (I) y (II) es 0,4 J.

Hallar la velocidad de B inmediatamente después del choque.

La cinemática estudia el movimiento de la partícula sin considerar la causas y efectos que

se originan durante esté estado. El movimiento de una partícula puede ser a través de una

línea, de una parábola, de una curva o de una trayectoria circular, por lo que a estos

movimientos se le denominan movimiento rectilíneo movimiento curvilíneo movimiento

parabólico y movimiento circular.


David J. McGILL, Wilton W. King , DINAMICA, Grupo editorial iberoamericana, 1991


A

BA

L = 90 cm

R = 60 cm

R


122

Nº 8

Nombre:

Apellidos: Fecha:

Ciudad: Semestre:

1. Resolver los siguientes problemas Indicados

Problema 1

El bloque tiene una masa de 50 kg descansa en la superficie de un carro que posee una

masa de 75kg. si el resorte al que esta unido al carro, esta comprimido 0,2m y el sistema

se suelta desde el reposo. Determine: a) la rapidez del bloque después de que el resorte

pierde la deformación. b) la rapidez del bloque con respecto del carro después de que el

resorte pierde su deformación. Desprecie las masas de las ruedas del carro y del resorte

en el cálculo. También desprecie la fricción tomar K = 300/m.

Problema 2

El tuvo A expulsa una bola de 0.5kg con una velocidad horizontal VA = 2m/s. Determine la

distancia horizontal R a la que golpea el plano inclinado liso, si el coeficiente de restitución

es de e =0,6. determine con que velocidad rebota del plano.

fisica i

Documents