fisica general unidad i y ii
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAÉN LEY DE CREACIÓN N° 29304 - RESOLUCIÓN DE FUNCIONAMIENTO N° 647-2011 – CONAFU
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DOCENTE RESPONSABLE: JUAN ANTONIO BARDALES MIO.
UNIDAD I:
INTRODUCCION A LA FÍSICA
Valoración Significativa de la Importancia de la Física.
¿Cómo se formó el Universo? ¿De qué están hechas las cosas?
El Universo gigantesco muestra lo infinitamente gigantesco y lejano, como las
galaxias y los quasares, además de los miles de eventos siderales que vienen
ocurriendo desde hace miles de millones de años, que dieron origen a la
creación de nuestro universo y que representa todo los que nos rodea, El
Universo posee un tiempo de vida muy grande, si se compara con el tiempo de
vida del hombre, al relacionarlo la edad del universo es aproximadamente cien
mil millones de veces mayor, siendo el tiempo promedio de vida de un ser
humano muy corto, pero en ese periodo tratamos de comprenderla y mejorar
su forma de vida, de todo lo que nos rodea.
El hombre es capaz de diseñar y construir sofisticados instrumentos que sirven
para estudiar la expansión segundo a segundo del Universo, así como el
movimiento de las estrellas, la nebulosas, los quasares, los hoyos negros y
hasta el conjunto de todas las galaxias, incluyendo la que habitamos: La
hermosa VIA LÁCTEA, a la cual pertenecen el Sol y muchas estrellas. Nuestro
Sol que constituyen un Sistema que contiene a los planetas como: Mercurio,
Venus, Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón (hoy día es
considerado un planeta enano) y nuestra casa que es la Tierra, lugar donde
vivimos, en el cual se desarrollan una infinidad de fenómenos físicos como la
electricidad, el magnetismo, la radiación nuclear, la lluvia acida, los vientos, los
tsunamis, etc., para su estudio modelación, interpretación y análisis, que
constituya en beneficio de la humanidad y permita controlar sus impactos a las
comunidades y sociedades del mundo.
En el otro extremo, nos encontramos con lo infinitamente pequeño, como los
átomos, las partículas elementales, los cuarks y los fenómenos subatómicos
que ocurren en fracciones infinitesimales de segundos. En este contexto la vida
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media del ser humano es gigantesca al tiempo de duración de un eventos en
dimensiones nanométricas, el desarrollo de la nanotecnología es sin duda una
forma de entender el comportamiento de las partículas elementales y la
generación de energía. Para el estudio de estas partículas, los científicos han
creado instrumentos especializados como los aceleradores de partículas,
microscopios electrónicos, entre otros.
Muchas de las cosas que nos rodean están en continuo movimiento, los
átomos están formados por partículas llamadas electrones y por núcleos, los
cuales intercambian energía en paquetes: llamados quantos, los cuales son
infinitos y es materia de estudio de la Mecánica Cuántica.
Los núcleos subatómicos están compuestos por pequeñas partículas llamadas
los protones y neutrones, formando uniones de alta generación de energía.
Pero en el núcleo del átomo, los científicos han construido una teoría de
existencia de partículas subnucleares llamadas QUARKS, que junto con los
leptones (una clase de partículas de la que pertenece el electrón) constituyen
sistemas energéticos de las partículas elementales de la materia.
En este recuento del ámbito del estudio de la Física, el ser humano trata de
comprender el origen y la evolución del Universo teniendo como base
observaciones astronómicas, creación de un conocimiento físico que explique
los fenómenos macroscópicos y microscópicos, entender las características de
su estructura, la generación de formas de energía y la conservación del medio
ambiente.
Sin embargo, muchas de las situaciones que se vivencia en nuestro universo,
son explicadas por teorías científicas que con el desarrollo de la tecnología se
ven reducidas por nuevas teorías más complejas y que van a lograr entender
con mayor panorama el estudio de los fenómenos físicos.
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Físico Inglés Sir Isaac Newton, Padre de la Física, posee una serie de
contribuciones que desarrollaron la ciencia y la tecnología.
I. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA:
La Física es la ciencia fundamental que se ocupa de los principios básicos del
Universo, siendo el cimiento para el desarrollo de otras ciencias como la
astronomía, la Química y la Geología. La belleza de la Física radica en la
sencillez de sus teorías fundamentales y en la forma como un pequeño número
de conceptos, ecuaciones o suposiciones, pueden describir nuestra visión del
mundo.
La gran cantidad de fenómenos físicos de uno o más de los siguientes campos
de acción de la Física:
Mecánica que se ocupa de los efectos de las fuerzas en objetos
materiales.
Termodinámica que se refiere al calor, temperatura y los
comportamientos de grandes números de partículas.
Electromagnetismo que trata de cargas, corrientes y campos
electromagnéticos.
Relatividad, teoría que describe las partículas que se mueven a
cualquier rapidez, enlazando el espacio y el tiempo.
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Mecánica cuántica, que trata el comportamiento de las partículas a nivel
submicroscópica, así como el mundo macroscópico.
Desde sus orígenes, el hombre ha intentado dar una explicación a los
fenómenos naturales que lo rodean y encontrar una respuesta a la manera en
que se comporta la naturaleza. La ciencia surge miles de años después cuando
algunos hombres empezaron a registrar sus observaciones y a escribir las
causas y efectos bajos los cuales se reproducirían un fenómeno natural en
ciertas condiciones permitiendo la elaboración de ideas y teorías que
explicarán el mundo, posteriormente las ideas comprobadas o refutadas
sirvieron para elaborar nuevas teorías, leyes o principios, que rigen los
fenómenos naturales como: la caída de los cuerpos, las fuerzas de
interacciones eléctricas, la composición de la materia, los colores del arco iris,
etc. Dando el origen a los procesos de investigación que luego determinaría el
método científico.
Es indudable que el desarrollo de las ciencia y la tecnología se debe en gran
parte al estudio de las leyes que rigen los fenómenos naturales y de manera
particular a la Física y su relación con otras ciencias lo que ha permitido la
construcción de máquinas para facilitar el trabajo del hombre, el descubrimiento
de la electricidad, la invención del automóvil, la radio, la televisión, el teléfono
para comunicarnos y reducir las distancias, los circuitos integrados, el
funcionamiento de las computadoras a partir del desarrollo de la electrónica, las
aplicaciones del rayo láser en la medicina mediante el desarrollo de la técnica
denominada Laparoscopía, la astrofísica que ha generado los viajes
interplanetarios mediante transbordadores, sondas espaciales. Todos ello es
muestra clara del desarrollo científico y tecnológico del mundo de hoy.
1.1. CONCEPTO DE FÍSICA:
Desde que la palabra “Física” proviene del término “Physis”, que significa
“Naturaleza”, en sus inicios, más o menos hasta principios del siglo XIX, la
Física se consideró como una Ciencia que estudiaría todos los fenómenos
naturales. Pero a partir del siglo XIX, se redujo su campo, limitándola al estudio
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de los llamados “Fenómenos Físicos”, el resto de fenómenos pasaron a formar
parte de otras ciencias naturales.
La física es una ciencia natural encargada de estudiar los fenómenos físicos
que ocurren en la naturaleza, sistematizándolos a través de leyes físicas
determinadas.
1.2 ÁREA DE DESARROLLO DE LA FÍSICA
Las ramas de la física son:
1.2.1. Mecánica.- Estudia los fenómenos mecánicos producido por el
movimiento, la fuerza y la energía que se aplican a un cuerpo. La mecánica
se clasifica en: Mecánica de los Cuerpos Rígidos, Mecánica de los Cuerpos
Fluidos, Mecánica Cuántica.
1.2.2. Calor y Termodinámica.- Estudia los fenómenos producidos por el
calor y la temperatura en el interior de un cuerpo. La aplicación en procesos
termodinámicos y la conservación de energía interna.
1.2.3. Electricidad.- Analiza los fenómenos producidos por los cuerpos
cargados debido a la pérdida o ganancia de electrones.
Electromagnetismo.- Analiza los fenómenos producidos por la corriente
eléctrica en campos magnéticos y su aplicación en fenómenos
electromagnéticos.
1.2.4. Óptica.- Analiza y estudia los fenómenos producidos por la luz. La
óptica puede ser: geométrica y física.
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1.3. FENÓMENOS NATURALES.-
Todo cambio o fenómeno natural es aquella transformación que se produce en
la naturaleza, en los cuerpos macroscópicos, visibles y microscópicos.
El universo en que vivimos está determinado como una sucesión indefinida de
cambios que forman una nueva especie y generan energía y diversas formas
de productos.
El origen del universo se ha debido a una serie de transformaciones generado
por la liberación de energía, de acuerdo a la Teoría del Big-Ban propuesta por
Stephe Hawkings la gran explosión que expandió todo lo que conocemos
como COSMOS fue producto de una serie de reacciones intermoleculares,
generando las nuevas galaxias y las formas organizadas de planetas y del Sol (
En nuestra Vía-Láctea) los cuales generan energía luminosa cuyo origen está
determinado por múltiples cambios físicos – químicos nucleares que en él se
produce. Otro ejemplo de una transformación es el proceso de combustión de
un motor de automóvil está determinado por cambios químicos y
termodinámicos que generan energía mecánica. Así como todo lo que nos
rodea está supeditado a cambios y fenómenos naturales cuyo uso adecuado
generarán beneficio para el Hombre.
1.3.1. FENÓMENOS QUIMICOS: Es aquel cambio o transformación en la
cual el cuerpo varía su estructura y composición intima, la generación de un
cambio químico está dado por una aplicación de energía y en algunos
casos, emisión de energía. Los cambios químicos son irreversibles, es decir
el cuerpo no puede volver a tener la composición inicial. Ejemplo: La
combustión del alcohol, quemar una madera, la producción de Ozono, etc.
1.3.2. FENOMENOS FÍSICOS: Es aquel cambio o transformación en el cual
el cuerpo no cambia su estructura íntima, las características iniciales son
iguales a las finales; el cuerpo varía su posición, velocidad, sus
dimensiones, masas, etc. Los cambios físicos son reversibles, lo que
permite, la experimentación de los fenómenos físicos para encontrar una
respuesta adecuada a tal situación. Ejemplo: partir un bloque de madera,
caída de una piedra, desplazamiento de un carrito, etc.
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1.4. Método Científico.-
El método de investigación y su relevancia en el desarrollo de las ciencias,
tiene procedimientos o series de pasos que caracterizan a la Física por encima
de otras ciencias, éste es el método científico experimental, que consta de los
siguientes pasos:
1. Observación del fenómeno.
2. Planteamiento del problema.
3. Hipótesis.
4. Experimentación.
5. Análisis de resultados.
6. Conclusiones.
II. MAGNITUDES FÍSICAS:
Desde la antigüedad el hombre primitivo sintió la necesidad de cuantificar lo
que existía a su alrededor y observaba, empezando con las partes de su
cuerpo y la proporcionalidad que existía entre ellos. Posteriormente en la
recolección de alimentos, el cultivo, la caza, la domesticación de animales,
surgió en él la necesidad de tener una idea exacta de lo que le pertenecía.
Luego empezó a observar otros fenómenos de la naturaleza como el día y la
noche, la duración de las temporadas, la distancia entre dos lugares, la
cantidad de agua al llover, que tan frio o caliente se encuentra un objeto, etc. El
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hombre cada vez que estudia la naturaleza y sus fenómenos requiere de
métodos e instrumentos para medir con diversas intenciones como: observar la
variación de las magnitudes físicas con respecto a otras, comprobar las
hipótesis o teorías en forma experimental, hallar explicaciones sencillas y
claras a algunos fenómenos de la naturaleza.
De esta manera se debe reconocer la importancia de la medición en un
proceso de investigación científica, teniendo en cuenta la variedad de
fenómenos y procesos susceptibles de ser medidos, que con desarrollo de la
humanidad el hombre a desarrollo técnicas cada vez más complejas hasta
realizar mediciones de fenómenos naturales que van más allá de nuestros
sentidos.
Medir es el proceso de cuantificar las dimensiones o características de un
objeto mediante una comparación con una unidad o patrón de medida que se
toma como base. Desarrollamos un proceso que parte de saber que queremos
medir cuál es el método con el cual vamos a medir y que instrumentos
utilizaremos, registrando las mediciones y procesando sus valores para inducir
a establecer la medida precisa a la medición. En toda medición se producen
equivocaciones en su proceso experimental y operacional, lo cual trae consigo
a determinar que la existencia de la medida exacta es una utopía, se determina
un valor con un grado referencial de precisión, para lo cual el investigador
deberá establecer los errores cometidos en dicho proceso, como por ejemplos
los errores producidos por el calibramiento del instrumento de medición, en la
posición del experimentador, en el cálculo de la medida promedio y en la
determinación de la significatividad de las cifras que debe contener el valor
promedio por efecto de redondeo.
2.1. Magnitud Física
Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando
para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecidas. Las
magnitudes físicas, se clasifican en:
2.1.1. SEGÚN SU ORIGEN
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2.1.1.1. Magnitudes Fundamentales: Son aquellas magnitudes que sirven
de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las
demás magnitudes.
2.1.1.2. Magnitudes Derivadas: Son aquellas que pueden ser expresadas
en función de las magnitudes fundamentales.
2.1.2. SEGUN SU NATURALEZA
2.1.2.1. Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente
definidas mediante un número real y su correspondiente unidad de medida.
Ejemplo: -10ºC; 5kg; etc.
2.1.2.2. Magnitudes Vectoriales: Son aquellas que además de conocer su
valor, se requiere de su dirección y sentido para quedar perfectamente
definidas. Ejemplo:
La Velocidad
La Aceleración
La Fuerza, etc.
2.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)
2.2.1. ORIGEN DEL S.I.
Para descubrir las leyes que gobiernan los fenómenos naturales, los
científicos deben llevar a cabo mediciones de magnitudes relacionadas con
dichos fenómenos. La física, en particular, suele ser denominada “ciencia de
la medición”. Lord Kelvin, destacada física inglés del siglo pasado, destacó la
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importancia de las mediciones en el estudio de las ciencias, por medio de las
siguientes palabras:
“Siempre digo que es posible medir aquello de lo que se habla y se consigue
expresarlo en números, entonces puede saberse algo al respecto; pero
cuando no puede expresarse así, el conocimiento es deficiente e
insatisfactorio”.}
Como sabemos, para efectuar una medición es necesario escoger una
unidad para cada magnitud. El establecimiento de unidades, reconocidas
internacionalmente, también es imprescindible en el comercio y en el
intercambio entre los países.
Antes de que el Sistema Métrico Decimal fuese instituido (a fines del siglo
XVIII) las unidades de medida se definían muy arbitrariamente y variaban de
un país a otro, dificultando las transacciones comerciales y el intercambio
científico entre las naciones. Las unidades de longitud, por ejemplo, casi
siempre se derivan de las dimensiones de ciertas partes del cuerpo del
monarca de un país; por ejemplo, la yarda, el pie, la pulgada, etc. Aún en la
actualidad, en los países de habla inglesa se utilizan todavía unidades como
éstas, pero se definen modernamente con bases en patrones menos
arbitrarios. También podemos destacar otras inconveniencias de las
unidades antiguas; sus múltiplos y submúltiplos no eran decimales, lo cual
dificultaba enormemente la realización de las operaciones matemáticas con
dichas medidas. Hasta hace poco tiempo, los extranjeros en Inglaterra
tenían muchos problemas para efectuar operaciones con las monedas
inglesas, pues el sistema monetario británico no era decimal (1 libra esterlina
valía 12 chelines y 1 chelín, 20 peniques).
Las inconveniencias que acabamos de señalar llevaron a algunos científicos
de los siglos XVII y XVIII a proponer unidades de medida definitivas con
mayor rigor y que se adoptarían en forma universal. Las diversas
propuestas, aunque no tuvieron aceptación inmediata, acabaron por dar
lugar al establecimiento del llamado Sistema Métrico Decimal, en Francia. La
firma del decreto del 7 de abril de 1975, que instauró este sistema,
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constituyó una de las contribuciones más significativas de la Revolución
Francesa.
Por esa misma época, el Sistema Métrico Decimal ya se empezaba a
conocer en otros países y en París la célebre Convención de Metro, en la
que 18 de las naciones más importantes del mundo se comprometieron a
adoptarlo, Inglaterra no asistió a dicha reunión negándose a emplear las
unidades de este sistema.
Desde entonces, el uso del sistema métrico se fue extendiendo poco a poco
a todo el mundo. Nuevas unidades para medir otras magnitudes,
conservando las mismas características que se emplearon en la definición
del metro, fueron incorporándose al sistema. Por otra parte, la precisión de
los patrones establecidos en el siglo pasado no bastaba en el gran avance
científico del siglo XX. Así que los científicos advirtieron la necesidad de una
reestructuración del sistema métrico, y en 1960, durante la 11ava Conferencia
General de Pesas y Medidas, también llevada a cabo en París, se elaboró
un nuevo sistema denominado Sistema Internacional de Unidades (S. I.)
2.2.2. MAGNITUDES FUNDAMENTALES DEL SI
Magnitud Símb. Unidad Abreviatura
Longitud L Metro m
Masa M Kilogramo Kg
Tiempo T Segundo s
Intensidad de Corriente
Eléctrica
I Amperio A
Temperatura Kelvin K
Intensidad Luminosa J Candela cd
Cantidad de Sustancia N Mol mol
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2.3. Ecuación Dimensional
Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de
las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas
y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física, es
o no correcta, dimensionalmente.
Notación: Se usa un par de corchetes, así:
: se lee “Ecuación Dimensional de …”
Ejemplo: B : Ecuación dimensional de la magnitud física B
2.3.1. ECUACIONES DIMENSIONALES MAS CONOCIDAS
1. AREA = L². 2.VOLUMEN= L3
3. VELOCIDAD= LT-1. 4.ACELERACION= LT-2
5. FUERZA = MLT-2. 6.TRABAJO= ML²T-2
7. POTENCIA = ML2T-3. 8.PRESION= ML-1T-2
9. CALOR = ML²T-2. 10ENERGIA= ML²T-2
11. TORQUE = ML²T-2. 12.MOMENTUM LINEAL= MLT-1
13. IMPULSO = MLT-1. 14.CAUDAL= L3T-1
15. VELOCIDAD ANGULAR = T-1 16.ACELERACION ANGULAR = T-2
17. CARGA ELECTRICA = IT
18.RESISTENCIA ELECTRICA =ML²T-3I-2
19. POTENCIAL ELÉCTRICO = ML²T-3I-1
20. CAPACIDAD ELÉCTRICA =M-1L-2T4I²
2.3.2. PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES
1º Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como
dimensión a la unidad. Ejemplo:
Cos 74º = 1 5 = 1
2 = 1 12
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2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el
resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud. Ejemplo:
3m + 2m = 5m 3m + 2m = 5m
L + L = L
8S – 5S = 3S 85 - 5S = 3S
T – T = T
3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea, todos
los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales. Así:
sea la fórmula física:
P + Q = R – S
P = Q = R = S
2.4. PREFIJOS Y SUBFIJOS DE UNA UNIDAD DE MEDIDA
Toda unidad de medida patrón de una magnitud física, posee elementos
numéricos de multiplicidad y submultiplicidad, los cuales en base a potencia de
base diez, relacionan medidas de la magnitud en casos de valores
significativos.
Múltiplos Submúltiplos
Deca (da) 10 deci (d) 10-1
Hecto (h) 102 centi (c) 10-2
kilo (K) 103 mili (m) 10-3
Mega (M) 106 micro () 10-6
Giga (G) 109 nano (n) 10-9
Tera (T) 1012 pico (p) 10-12
Peta (P) 1015 femto (f) 10-15
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Exa (E) 1018 atto (a) 10-18
Zetta (Z) 1021 zepto (z) 10-21
Yotta (Y) 1024 yocto (y) 10-24
2.5. ALGUNAS EQUIVALENCIAS ENTRE UNIDADES
Longitud Masa Fuerza Volumen
1 m = 100 cm 1 kg = 1000 g 1 N = 105 Dinas 1 l = 1 dm3
1 km = 1000 m 1 kg 2,2 lb 1 kgf 2,2 lbf 1 ml = 1 cm3
1 pulg = 2,54 cm 1 utm = 9,8 Kg 1 kgf = 9,8 N 1m3=103dm3 =103l
1 pie = 12 pulg 1 slug 1,49 utm 1 N 1,49 P 1 m3 = 106 cm3
1 pie 0,305 m 1 slug 32,12 lb 1 lbf 32,12 P
Área Carga eléctrica Trabajo Tiempo
1 m2= 104 cm2 1 C = 3 x 109 stc 1 Kgm = 9,8 J 1 h= 60 min= 3 600 s
1 Hectárea= 104 1 J = 107 Ergios 1dia = 24 h = 86 400 s
1 Km2 = 106 m2
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ACTIVIDADES ACADÉMICAS DE EXTENSIÓN:
1. Redacta un ensayo argumentativo sobre los errores de medición y explica su
importancia en el proceso experimental.
2. Elabora un cuadro comparativo entre exactitud y precisión de una medición.
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1. En un intento desesperado por proponer una ecuación durante un examen,
un estudiante expreso la siguiente ecuación: axv 2 . Utilizando el análisis
dimensional para demostrar que la ecuación podría ser válida.
2. El radio r de un círculo inscrito en cualquier triángulo, cuyos lados sean
cba ,, está dado por 21
/ scsbsasr donde s s la abreviatura de
2/cba . Verifique la consistencia dimensional de dicha ecuación física.
3. La ley de la gravitación universal está representado por:2r
mMGFG . Donde
FG representa la fuerza de atracción gravitatoria, M y m son las masas de los
cuerpos, r es la longitud entre los cuerpos. Si la en el sistema internacional se
mide en Kg.m/s2. ¿Cuál es la unidad de la constante de gravitación universal G
en el sistema internacional?
4. Una braza es un método para medir longitudes, por lo general reservada
para medir la profundidad de las aguas. Una braza mide aproximadamente
6pies de longitud. Tome la distancia a la Luna como de 250 000 millas, usando
la aproximación citada para hallar la distancia a la Luna en brazas.
5. Una aspirina contiene 325mg de ácido acetilsalicílico. Expresar esta masa en
Kg y en Lb.
6. Un aula del Instituto Superior Tecnológico de Jaén, tiene por medidas los
siguientes datos, 50ft(pie) de largo, 26ft(pie) de ancho y 8ftpie) de ancho.
¿Calcular su volumen en m3 y cm
3?.
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7. Sobre una plataforma circular de 4 cm de radio, se aplica una carga de
30000 mg. Calcular el valor de la presión mecánica producido por el peso de la
carga sobre la superficie de la plataforma, en Pa (Pascal). (Sugerencia utilizar
el factor =3,14 y g = 9,8 m/s2.
8. La base de una pirámide cubre un área de 13 acres ( 1 acre = 43 569ft) y
tiene una altura de 481 ft. Si el volumen de la pirámide está dado por la
expresión: bhV
3
1, donde b es el área de la base y h es la altura de la
pirámide. Encontrar el volumen de la pirámide en m3.
9. La velocidad de la luz es alrededor de 3,0 x108
m/s. Convierta dicho dato en
millas/hora.
10. Encuentre la edad de la Tierra en años, si la edad de la Tierra es 1x1017
s,
11. La energía E de un objeto en reposo, con masa m, están dado por la
Ecuación de Einstein: 2mcE , donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
Calcule la energía en reposo E de un electrón (me=9,11x10-31
Kg).
12. Una célula del tejido humano tiene un diámetro del orden de 1m. Estime el
número de células en un tejido de 1cm3.
13. El radio del planeta Saturno es 5,85x107m y su masa es de 5,68x10
26 Kg.
Encuentre la densidad de Saturno ( su masa dividida entre su volumen) en
g/cm3(Recuerde que Saturno tiene el volumen de una esfera dado por 3
3
4r
)
14. El desplazamiento de un objeto en movimiento con aceleración uniforme es
alguna función del tiempo y la aceleración. Suponga que escribimos este
desplazamiento como nmtKax , donde K es una constante sin dimensiones.
Demuestre por análisis dimensional que esta expresión se satisface por m=1 y
n=2. ¿Puede ese análisis dar el valor de k?
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15. Un billete de S/10 tiene las siguientes dimensiones 13,5 cm de largo y 6,5
cm de ancho. Si deseamos medir la línea ecuatorial terrestre utilizando estos
billetes. ¿Cuál es la cantidad de billetes que se necesitarán?, sabiendo que la
longitud del radio terrestre es de 6 378 Km. Expresar la longitud de la línea
ecuatorial como la longitud de la circunferencia dado por Tc rl 2 .
16. La esfera 1 tiene un área A1 y un volumen V1. Una esfera 2 tiene un área
A2 y un volumen V2. Si el radio de la esfera 2 es el doble del radio de la esfera
1. ¿Cuál es la proporción entre las áreas A1/A2?, ¿Cuál es la relación entre los
volúmenes V1/V2?
17. El tiempo que emplea la luz en llegar a la estrella más cercana a la Tierra,
Proxima Centauri (4x1018
m), es proporcional a la distancia que emplea la luz
en ir a la Luna (4x108m), en: ………………………..
18. En un proceso físico químico la temperatura inicial era de 27°C y su
temperatura final es de 67°C. ¿Cuál es la variación de temperatura en la escala
Kelvin y Fahrenheit?
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UNIDAD II:
MAGNITUDES VECTORIALES –
ANÁLISIS VECTORIAL
1. INTRODUCCIÓN:
Es frecuente en las magnitudes físicas, encontrar cantidades físicas que tienen
dirección y magnitud, tales como el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, etc.
El vector es un objeto físico matemático invariante, es decir absolutamente
independiente de los ejes coordenados. Estos ejes pueden estar sometidos a
traslaciones o rotaciones, la magnitud de un vector y su orientación en el
espacio permanecerán invariables.
Si un fenómeno físico puede ser expresado en forma vectorial, esto nos
asegura que este fenómeno es completamente independiente del sistema de
referencia al cual se relaciona.
2. MAGNITUDES FÍSICAS POR SU NATURALEZA: ESCALARES Y
VECTORIALES.
Las magnitudes físicas por su naturaleza, pueden aparecer como escalares,
vectoriales y tensoriales.
a) Magnitudes Escalares: requiere solamente de un valor numérico y unidad
de medida, la cual representa el módulo o magnitud de una característica
física. Ejemplos:
- La longitud de una pizarra es de 3m.
- La temperatura de una persona sana es de 37°C.
- La masa permitida de una mujer gestante promedio es de 58Kg.
- La intensidad luminosa de un fluorescente es de 25kcd.
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b) Magnitudes Vectoriales: son magnitudes físicas de mayor diversidad en la
naturaleza, requiere complementar al módulo, la dirección y el sentido. La
dirección que tiene que ver con la linealidad sobre la cual se referencia la línea
de acción. El sentido establece la orientación, desde donde inicia su aparición
el vector hasta donde se aplica o donde se dirige. Ejemplos:
- La velocidad de un automóvil, tiene que ser expresada completamente
partiendo de su rapidez como el módulo de 80 km/h, su desplazamiento
permitirá identificar su dirección y sentido.
- La fuerza generada por el peso de una persona, cuya masa promedio es de
60 Kg, al multiplicarlo por el facto de la aceleración de la gravedad
obtendremos el módulo del peso, sin embargo su dirección estarán en la línea
perpendicular a la superficie terrestre y su sentido orientado hacia el centro de
la tierra.
3. VECTOR, TIPOLOGÍA Y EL ANÁLISIS VECTORIAL.
La idea aproximada de vector, parte de precisar dos puntos geométricos sobre
una línea recta, a lo que comúnmente se le llama segmento, si a uno de los
puntos le asignamos una orientación mediante una cabeza de flecha,
podremos definir el concepto matemático de VECTOR, el cual cumple un papel
importante en la formación del pensamiento físico del científico, ingeniero,
técnico, etc. La representación gráfica de un vector, permite modelar
magnitudes físicas cuya concepción teórica – filosófica se consolida por la
concepción grafico mental, pues de mucho en el proceso analítico de
situaciones físicas abstractas que son de gran importancia para el desarrollo de
la mecánica, los fluidos, la electricidad, el magnetismo, etc.
Punto de aplicación (Sentido)
Eje horizontal de referencia angular
Punto de Inicio
Línea de acción L
(Dirección)
Ángulo de inclinación
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3.1. DIRECCIÓN: Es la recta orientada
L que contiene al vector y nos podemos
referir a ella a través del ángulo, (Contendría al sentido), medido en sentido
antihorario a partir del eje x positivo.
3.2. MÓDULO: Se denomina Norma o Intensidad de un vector, es el valor de la
magnitud física, representada por el vector y siempre es positiva, se denota por
VV
, se lee “módulo del vector V”
3.3. TIPOS DE VECTORES:
Existe una amplia tipología en la clasificación de vectores, por ejemplo algunas
formas de clasificación tenemos:
- Desde el marco referencial geométrico, tenemos a los vectores colineales,
paralelos, coplanares y coespaciales.
- Desde el marco referencial del punto de origen, tenemos los vectores
concurrentes y no concurrentes.
- Desde el marco referencial de la direccionalidad, tenemos los vectores
codirigidos, contrariamente dirigidos, direccionalidad variable.
3.4. VECTORES LIBRES:
Son aquellos vectores que no tienen una posición fija en el espacio, tal
cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma
dirección y sentido. Por ejemplo: la velocidad de un móvil que desarrolla un
MRU en una trayectoria infinita.
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3.5. VECTORES DESLIZANTES:
Son aquellos vectores que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual
actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres
elementos iguales ubicado en la misma recta. Ejemplo el peso de un cuerpo,
posee una dirección fija pero deslizante como el de la línea vertical a la
superficie.
3.6. VECTORES FIJOS.
Son aquellos vectores que tienen uno y solo un punto de aplicación. Ejemplo la
tensión de una cuerda, se aplica sobre el punto de corte imaginario de la
cuerda, evitando su ruptura.
3.7. VECTORES IGUALES.
Son aquellos vectores que poseen igual módulo y son codirigidos, es decir
poseen igual dirección y sentido.
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3.8. VECTORES OPUESTOS.
Son aquellos vectores que poseen igual módulo y son contrariamente dirigidos,
es decir poseen igual dirección pero sus sentidos son opuestos.
3.9. SUMA DE VECTORES:
Como las expresiones vectoriales son entes matemáticos, requiere cumplir con
axiomas básicos de la teoría matemática y uno de esos axiomas es el de
clausura, por lo cual podemos afirmar que:
Sean
A y
B dos vectores, la suma de
SBA , será por tanto otro vector,
por consiguiente el vector suma o resultante debe poseer un módulo, una
dirección y un sentido, lo cual vamos a explicarlo con determinación.
Expresando la suma vectorial por el método gráfico:
Dados dos vectores cualesquiera
A y
B , el vector suma o resultante
BAS , se puede construir gráficamente mediante el uso de los
métodos del paralelogramo y del triángulo.
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De tal manera que el vector suma o resultante puede ser identificado
gráficamente por los métodos del paralelogramo o del triángulo, se puede
establecer una escala para poder precisar su módulo de forma aproximada.
a. Método del Paralelogramo: implica primero
hacer concurrir a los vectores cualesquiera
A y
B , trazar líneas paralelas a cada vector en los
puntos de aplicación de los vectores iniciales, el
vector suma o resultante
BAS , se
identificará gráficamente al unir mediante un
vector el punto de concurrencia con el punto de
intersección de las paralelas.
b. Método del Triángulo: representa una
extensión especial del método gráfico del
paralelogramo, implica colocar un vector a
continuación del anterior sin variar su módulo,
dirección y sentido, el vector suma o resultante
BAS , se identificará gráficamente al unir
mediante un vector el punto de inicio del primer
vector con el punto de aplicación del segundo
vector.
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c. Métodos Analíticos para calcular el Módulo y la Dirección del vector
Suma o Resultante: Implicará hacer uso de modelos matemáticos que nos
permitan precisar sus elementos básicos de los vectores:
3.10. DIFERENCIA DE VECTORES:
Al igual que la suma vectorial, la diferencia de vectores requiere cumplir con
axiomas básicos de la teoría matemática y uno de esos axiomas es el de
clausura, por lo cual podemos afirmar que:
Sean
A y
B dos vectores, la diferencia de
DBA , será por tanto otro
vector, por consiguiente el vector diferencia debe poseer un módulo, una
dirección y un sentido, lo cual vamos a explicarlo con determinación.
Expresando la diferencia vectorial por el método gráfico:
El módulo del vector resultante se calcula
utilizando la siguiente relación:
cos222 ABBAS
La dirección del vector resultante se
calcula utilizando la siguiente relación:
Sen
S
Sen
B
Sen
A
Dados dos vectores cualesquiera
A y
B , se expresa el
vector diferencia
BAD y se puede construir
gráficamente mediante el uso de los métodos del
paralelogramo y del triángulo.
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De tal manera que el vector diferencia puede ser identificado gráficamente por
los métodos del paralelogramo o del triángulo, se puede establecer una escala
para poder precisar su módulo de forma aproximada.
c. Métodos Analíticos para calcular el Módulo y la Dirección del vector
Diferencia: Implicará hacer uso de modelos matemáticos que nos permitan
precisar sus elementos básicos de los vectores:
b. Método del Triángulo: representa
una extensión especial del método
gráfico del paralelogramo, implica
colocar un vector a continuación del
anterior sin variar su módulo, dirección y
sentido, el vector diferencia
BAD ,
se identificará gráficamente al unir
mediante un vector el punto de inicio del
primer vector con el punto de aplicación
del segundo vector.
a. Método del Paralelogramo: implica
primero hacer concurrir a los vectores
cualesquiera
A y
B , identificar el vector
B y ubicarlos en el diagrama, luego
trazar líneas paralelas a cada vector en
los puntos de aplicación de los vectores
iniciales, el vector diferencia
BAD , se
identificará gráficamente al unir mediante
un vector el punto de concurrencia con el
punto de intersección de las paralelas.
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c. Propiedades Básicas de la Suma Vectorial.
- Propiedad Conmutativa:
ABBA
- Propiedad Asociativa:
CBACBA
El módulo del vector diferencia se calcula utilizando la siguiente relación:
cos2
cos2
22
22
ABBAD
ABBAD
La dirección del vector diferencia se calcula utilizando la siguiente relación:
Sen
D
Sen
B
Sen
A
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d. Producto de un Escalar por un Vector.
- La multiplicación de un escalar “c” por un vector
A da como resultado otro
vector
Ac , el cual posee igual dirección al vector inicial, pero su módulo y
sentido tendría modificaciones que pasaremos a analizar.
- Si el escalar c>o el sentido será igual al vector
A .
- Si el escalar c<o el sentido será opuesto al vector
A .
3.11. VECTOR UNITARIO:
Es un vector colineal en la dirección del vector original o base, tiene como
módulo la unidad y tiene por objetivo interpretar la dirección del vector original
de acuerdo a un sistema de referencia.
Se define al vector unitario como el cociente entre el vector original y su
módulo, expresado por la siguiente relación:
A
10
cAc
1
cAc
A
01
cAc
1
cAc
A
AeA
Despejando el vector A,
obtendríamos:
AeAA
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a. Los Vectores Unitarios Direccionales en los Ejes Coordenados:
En el sistema de coordenadas rectangulares, tenemos los vectores unitarios
referenciales, los cuales tiene por objeto direccionar cada vector en función de
sus proyecciones en cada sistema de referencia. Por ejemplo en el eje x su
vector unitario es el
i , en el eje y su vector unitario es el
j y en el eje z su
vector unitario es el
k .
3.12. Proyección Ortogonal de un Vector
Se define como proyección ortogonal de una vector sobre una línea, al vector
resultado de la intersección de las líneas pie punteadas trazadas de los puntos
origen y de aplicación del vector original sobre la línea sobre la cual se
proyecta.
A
LL
AAoy
Pr
L
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La proyección del sobre la línea recta
L , es la proyección del vector sobre
dicha línea, si trazamos un vector paralelo con el objetivo de forma un triángulo
rectángulo, podemos precisar el módulo de la proyección vectorial.
El módulo del vector proyección ortogonal está dado por cos
AAL .
3.13. Proyección Ortogonal de un Vector en el Plano Cartesiano.
Un vector cualesquiera puede expresares en el plano cartesiano en función de
la descomposición del vector original en cada eje cartesiano.
L
LL
AAoy
Pr
A
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De tal manera que el vector original puede expresarse de la siguiente manera:
jseniAjAseniAjAiAAAA yxyx coscos .
Donde el vector unitario en la dirección del vector A será:
jseniuA cos .
3.13. Proyección Ortogonal de un Vector en el Espacio Tridimensional.
Un vector cualesquiera puede expresares en el espacio tridimensional en
función de la descomposición del vector original en cada eje coordenado.
.
De tal manera que el vector original puede expresarse de la siguiente manera:
kAjAiAkAjAiAAAAA ZyxZyx coscoscos .
kjiAA coscoscos .
Donde el vector unitario en la dirección del vector A será:
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kjiuA coscoscos .
3.14. Resultante de un Sistema Vectorial.
- La resultante de un sistema vectorial es aquel vector representativo que
genera los efectos físicos de los vectores iniciales. El vector resultante es la
representación vectorial de los sistemas físicos vectoriales, por lo tanto debe
tener un módulo, su dirección y sentido.
...
EDCBAR
-El método del polígono es uno de los métodos gráficos para determinar la
resultante de un sistema vectorial, implica la ubicación de un vector a
continuación del anterior, si variar su módulo, su dirección y sentido. El vector
resultante será representado por el vector que una el punto de origen del
primer vector con el punto de aplicación del último de los vectores. Es una
ampliación del método gráfico del triángulo.
Dados los vectores mostrados en el
gráfico, el método del polígono implicara
formar un polígono con los módulos,
dirección y sentido de los vectores
iniciales.
El vector resultante, representará
gráficamente a los vectores que
intervienen.
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3.15. Método Analítico para la Resultante de un Sistema Vectorial.
- La Resultante de un Sistema Vectorial, puede ser determinada y calculada
mediante los métodos analíticos. Los cuales pueden darse de las siguientes
formas:
a. Descomposición Vectorial en el Plano.
El proceso determina proyectar cada uno de los vectores sobre los ejes “X” e
“Y”. Desarrollar la suma vectorial en cada eje y la obtención de la Resultante es
el vector que estará compuesto por sus componentes en cada eje con su
respectivo vector direccional.
x
y
B
C D
A
Los módulos de las componentes serán:
xxxxx CBDAV
yyyyy DCBAV
El Vector Resultante será:
jViVR yx
El módulo del Vector Resultante será:
22
yx VVR
La dirección del vector resultante será:
x
y
V
Varctan
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b. Descomposición Vectorial en el Espacio.
En el espacio tridimensional, el proceso de determinar y calcular el vector
resultante es similar al del plano, con la inclusión de la componente Z. La única
variante implica en la dirección pues tenemos que determinar los ángulos
directores con cada eje.
c. Descomposición Vectorial en función de sus Vectores Unitarios.
Si en un sistema vectorial, al trazar los sistemas coordenadas rectangulares ya
sea en el plano o en el espacio, no se logra identificar las coordenadas de los
puntos de origen o de posición, se procede a identificar dos puntos de su línea
de acción para calcular su vector unitario que permita expresar el cada vector
en función de su módulo por su vector unitario.
El Vector Resultante será:
kVjViVR zyx
El módulo del Vector Resultante será:
222
zyx VVVR
La dirección del vector resultante será:
R
V
R
V
R
V
z
y
x
arccos
arccos
arccos
X
Y
X
YF
YO
XF
XO
A
u Po
PF
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Para determinar el vector unitario aplicamos el siguiente modelo operacional
vectorial:
22
ofof
ofof
Fo
Fo
yyxx
jyyixx
PP
PPu
De tal manera que podemos expresar el vector
uAA .
Igual sucede en el espacio donde el vector unitario se le agrega la componente
z:
222
ofofof
ofofof
Fo
Fo
zzyyxx
kzzjyyixx
PP
PPu
3.16. Producto Escalar.
Dados los vectores
A y
B , se define el producto escalar como
BA. al escalar
resultado del producto de las componentes de los vectores.
cos... BABA
Es el modelo matemático para calcular el escalar.
Propiedades Básicas del Producto Escalar:
1. El producto escalar es conmutativo:
ABBA ..
2. El producto escalar es distributivo:
CABACBA ...
3. Se aplica el producto de un escalar por un producto escalar resultando un
escalar:
BAcBAc ...
A
B
cos
B
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4. Se aplica la suma de dos vectores por el producto escalar de otro vector:
CBCACBA ...
5. El producto escalar de dos vectores colineales es igual al producto de los
módulos de los vectores:
ABBABA ..
6. El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a cero:
ABBA 0.
7. El producto escalar de dos vectores unitarios iguales es igual a uno.
1...
kkjjii
8. El producto escalar de dos vectores unitarios distintos es igual a cero.
0...
ikkjji
9. El producto escalar de dos vectores en función de sus unitarios es igual al
producto de sus componentes:
zzyyxxzyxzyx BABABABAkBjBiBBkAjAiAA
.
10. El producto escalar se puede interpretar como la proyección de un vector
en función de dicho producto.
AA
BAu
A
BAuBBoy
A2
..
.cosPr
3.17. Producto Vectorial.
Dado dos vectores
A y
B , se define producto vectorial o producto cruz
BxA , al
vector perpendicular a la superficie sobre la cual se ubican los vectores
iniciales. Se define como el vector perpendicular al plano referencial donde se
lleva a cabo el producto vectorial.
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El vector resultado del producto vectorial tiene como módulo la siguiente
relación matemática: senBABXA ..
.
La dirección del vector producto vectorial es el resultado de la rotación del
vector inicial hacia el vector final, si el giro es en sentido antihorario el vector
sale del plano de rotación, si el giro es en sentido horario el vector ingresa al
plano de rotación.
Propiedades del Producto Vectorial.
1. El producto vectorial es anticonmutativo:
AxBBxA
2. El producto vectorial es distributivo:
CxABxACBxA
3. Se aplica el producto de un escalar por un producto vectorial:
cBxABxcABxAcBxAc .
4. En el producto vectorial de dos vectores colineales, su módulo es cero:
BABxA //0
5. En el producto vectorial de dos vectores ortogonales, su módulo es igual al
producto de los módulos de los vectores:
BABABxA
6. El producto vectorial de dos vectores unitarios iguales es cero:
0
kxkjxjixi
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7. El producto vectorial de dos vectores unitarios iguales cumple las siguientes
condiciones:
kjxi ,
kixj ,
jkxi ,
jixk ,
ikxj ,
kjxk
8. El producto vectorial de dos vectores cualesquiera se resolverá
analíticamente utilizando el desarrollo de la matriz:
kBjBiBBkAjAiAA zyxzyx
kBABAjBABAiBABA
BBB
AAA
kji
BxA xzyxxzzxyzzy
zyx
zyx
9. La magnitud del producto vectorial interpreta el área del paralelogramo de
los vectores originales que la forma: senBABXAÁrea ramoParale ..)log(
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
1. Sobre un punto de una pared se aplican 2 fuerzas de 2N y 5N de módulo.
Determinar el módulo de la fuerza resultante efectiva que se aplica sobre dicho
punto.
2. Según la figura hallar |A – B|, si |A|= 12 y |B|= 9
F1
F2
19°
18°
A B
60º 30º
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3. Sabiendo que |A + 2B|= 7 y |2A + 3B|= 15 ¿Cual es le módulo de las
resultantes de A y B?
4. Determinar el vector resultante, si el lado del cubo es “3m”.
5. Determinar el vector resultante de los vectores mostrados en la figura, “4u” es el lado del cubo.
6. Dados tres vectores: a = 6i + 3j – 4k, b = 6i + 3j + k, c = 8i + 5j – 2k. Determinar el ángulo que está formando R con la parte positiva del eje Z; si: R = 3 a + 4 b – 4 c. 7. Expresar la fuerza de magnitud P =26, mostrada en la figura, en términos de los vectores unitarios i, j, k.
53
º
2 A + 3 B
A + 2 B
x
y
A
B
z
x
y
z
4m 3m
y
x
P 12m
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9. El módulo de la componente en la dirección x de A + B; cuando = 30° es 7
+ ((6 3 +6)/ 3 ); cuando =135° es (2- 2 )(- 2 )+11. ¿Cuál es el valor de A?
10. A propósito del gráfico que se muestra a continuación. El punto M biseca la
arista EF, a = 70Lb y b = 65Lb. Determinar si es posible, el ángulo “” que
podrían estar formando las direcciones de los vectores indicados.
11. En relación a la figura adjunta, se pide determinar la expresión vectorial del
vector diferencia: D = b – a , utilizando los vectores unitarios i , j, k, si a = 52N
y b = 15N.
y B
A x
12 a
3
z
y b
4
x
2 A
3
y 6
B
F
E
M
C
b
z
G
a
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12. Del sistema de fuerza que se muestra a continuación, se conoce que los
vectores F1 = 20N, F2 = 30N, F3=40N, F4=35N, F5= 15N, F6=24N, F7=28N,
F8=18N donde L1 = 10 cm, L2 = 12 cm, L3 = 20 cm.
Calcular:
87654321 FxFFxFFxFFxF .