fisica

CECyTEM 22 Tangancicuaro. Antología de Física I. Elaboró: Ing. Omar Mayo Ventura

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL

ESTADO DE MICHOACÁN

PLANTEL 22, TANGANCÍCUARO

PROPUESTA DE ANTOLOGÍA

FISICA I

4° SEMESTRE

ELABORÓ: ING. OMAR MAYO VENTURA

FEBRERO DEL 2010


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CONCEPTOS INTRODUCTORIOS

GENERALIDADES E IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA FISIC A

Desde tiempos remotos, el progreso de la civilización ha avanzado en relación con los descubrimientos realizados por grandes científicos, como: Wilhem Roetgen que realizando experimentos en su laboratorio de la Universidad de Wurzburgo Baviera descubrió los Rayos X , Torricelli , continuando con los trabajos de Galileo , su maestro, supuso que el aire tenia peso y lo llamo presión atmosférica. Galileo Galilei , perfecciono el telescopio, demostró los principios en que se apoya la Mecánica , las leyes de los proyectiles y la caída de los cuerpos. Isaac Newton descubrió la descomposición de la Luz Blanca , concibió la Ley de la Gravitación Universal y las Leyes del Movimiento de los Cuerpos . El estudio de la Física es esencial para explicar los fenómenos que ocurren en el Universo, desde los mas sencillos hasta los más complejos, como: el movimiento del aire, la callad de los cuerpos, el movimiento de los planetas, etc. Muchos autores consideran a la Física como una ciencia básica, ya que la tecnología moderna no hubiera sido posible sin los descubrimientos de la Física. En este siglo, la ciencia ha avanzado vertiginosamente, nos asombramos ante la cantidad de inventos y nos maravillamos con los conocimientos que actualmente existen. La aplicación de los conocimientos de la Física en los diferentes campos de las actividades humanas ha originado una gran cantidad de inventos como:

• La TAC (Taxonomia axial computarizada) que nos da una información sobre el funcionamiento de los diferentes órganos del cuerpo humano.

• Los cohetes espaciales que nos pueden llevar a la luna, los satélites metereologicos que pueden predecir con gran exactitud el estado del tiempo y la existencia de tormentas y huracanes.

• Instrumentos de gran precisión que miden la masa o el tiempo. • Aparatos con los que podemos ver una partícula aumentada millones de veces. • Los teléfonos con video que transmiten y reciben al mismo tiempo audio e imagen en

tiempo real incluyendo el internet (3G). • El sistema de fax, los telefonos y micrófonos inalámbricos, el DVD(blue ray) y los sistemas

de televisión vía satélite. • Computadoras que facilitan el trabajo del hombre, incluyendo el internet inalámbrico. • Los Reactores Nucleares para la producción de energía y también otras fuentes de energía

alternativa(eólica) La Física constituye la base para lograr un mejor entendimiento del mundo que nos rodea y la aplicación de sus conocimientos, redundara en el beneficio social y económico para el progreso de los pueblos, y sobre todo de México. Pero no todo ha sido descubierto, siempre habrá enigmas, por resolver. Es indispensable el estudio de la Física en este nivel del Bachillerato , por que además de obtener los


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conocimientos básicos para decidir una vocación pro fesional, los alumnos deben pensar que el país necesita más técnicos e ingenieros capa citados para lograr la excelencia y poder competir con otros países con nuestros produc tos y nuestra propia tecnología.

LA FÍSICA Y SU RELACION CON OTRAS CIENCIAS La palabra Physike proviene del griego que significa naturaleza. Con los antiguos Griegos se inicia la historia de la Física, al tratar de explicar el origen del Universo y el movimiento de los planetas. FÍSICA. – Es la ciencia que estudia la Materia y la Energía. MATERIA. – Es todo lo que ocupa un lugar en el espacio, o sea todo lo que nos rodea, todo lo que existe en el universo. ENERGIA. – Se puede definir como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. Muchos consideran a la Física como una ciencia básica y por esto esta relacionada con otras ciencias.

� Con la Astronomía que estudia los astros, es una de las ciencias más antiguas y fue el comienzo del estudio de la física.

� Con la Geología que estudia la Tierra , en el conocimiento de instrumentos para estudiarla,

construidos debido a principios físicos. � Con la Química que estudia la materia y sus transformaciones, en el conocimiento de la

estructura atómica y las propiedades de la materia.

� Con las Matemáticas , en la cuantificación de los fenómenos, por medio de la Aritmética, Álgebra y Trigonometría.

� Con la Biología , en el conocimiento de aparatos que se utiliza para su estudio.

� Con la Metodología , para conocer los métodos de investigación y poder plantear y tratar

de darles solución a los problemas que se investigan, así como utilizar la investigación bibliografica.

� Con la Lectura y la Redacción , para comprender las lecturas y escribir los problemas y

fenómenos que se estudian.

DIVISIÓN DE LA FÍSICA PARA SU ESTUDIO


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La Física para su estudio se ha dividido en Física Moderna y Física Clásica . FÍSICA MODERNA. – Estudia la estructura y comportamiento de los cuerpos microscópicos y que tienen velocidades cercanas a las de la luz. FÍSICA CLÁSICA. – Estudia los cuerpos de dimensiones medias con velocidades normales. En este curso solo nos ocuparemos del estudio de la Física Clásica , la cual no necesita de grandes desarrollos matemáticos para su explicación. La Física para su estudio se divide en: MECANICA OPTICA ACUSTICA FISCA CLÁSICA CA LOR ELECTRICIDAD MAGNETISMO OPTICA. – Es la parte de la Física que estudia las propiedades de la luz y los cuerpos luminosos.


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ACUSTICA. – Es la parte de la Física que estudia los sonidos. CALOR. – Es la parte de la Física que estudia la medida de la temperatura y sus efectos.


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ELECTRICIDAD. – Es la parte de la Física que estudia los fenómenos eléctricos y magnéticos y las relaciones entre ellos. MAGNETISMO. – Parte de la Física que estudia la atracción y repulsión de los cuerpos, además de estudiar las propiedades de los imanes.


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MECANICA. – Es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen. La Mecánica para su estudio se divide en: CINEMATICA MECANICA DINAMICA ESTATICA CINEMATICA. – Es la parte de la Mecánica que estudia las diferentes clases de movimiento.


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DINAMICA. – Es la parte de la Mecánica que estudia las causas del movimiento de los cuerpos. ESTATICA. – Es la parte de la Mecánica que estudia el estado de equilibrio de los cuerpos.


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METODOLOGÍA DE LA FÍSICA La ciencia siempre ha sido una fuerza de progreso para los pueblos. CIENCIA. – Es el conocimiento cierto de las cosas por sus principios o causas. Según Einstein: “El objetivo de las ciencias es coordinar experiencias y aunarlas en un sistema lógico”. Los científicos para sus investigaciones utilizan el Método Científico . EL METODO CIENTIFICO. – Es un procedimiento planeado, ordenado y sistematizado que se sigue en una investigación científica y conduce al conocimiento de las cosas. El Método Científico consta de ciertos pasos o procedimientos que permiten al investigador la posibilidad de explicar los fenómenos o conocer mas acerca de ellos. La Física, La Química y la Biología, como son ciencias de carácter experimental que permiten la observación directa, la medición y control, para demostrar sus postulados, aplican el Método Científico Experimental. Como limitaciones que presenta el señalar una serie de pasos a seguir en el estudio de un fenómeno, empleando el Método Científico experimental, se tiene como una posible secuencia, los siguientes pasos.

1. Selección del fenómeno en estudio . 2. Observación del fenómeno. (Es la percepción clara y exacta del fenómeno en estudio). 3. Planteamiento del problema. (Definir clara y específicamente el fenómeno o problema

que se va a estudiar). 4. Formulación de Hipótesis. (Hipótesis es la suposición o explicación del fenómeno

observado). 5. Investigación Bibliografica. (Investigar en libros y revistas especializadas, para

aprovechar lo que esta escrito acerca del fenómeno o problema en estudio). 6. Experimentación. (Es la repetición provocada de los fenómenos o hechos observados

para darles una mejor explicación. Por lo general, la experimentación se realiza mediante el empleo de un modelo que representa el fenómeno).

7. Registro e Interpretación de Datos. (Se deben de hacer anotaciones del fenómeno que se estudia).

8. Enunciado de una Teoría. (Es la comprobación de la hipótesis que explica el por que del fenómeno, pero con ciertas limitaciones, ya que no se puede hacer una generalización para todos los casos semejantes al fenómeno en estudio).

9. Obtención de una Ley. (Cuando el investigador encuentra reglas invariables que dentro de ciertos limites, rigen el fenómeno en estudio. Hay que considerar que dicha Ley estará sujeta a nuevos descubrimientos o progresos del hombre y puede ser susceptible de cambiarse).

El Método Científico ha demostrado ser un medio útil para adquirir conocimientos científicos y aplicarlos a la solución de problemas del mundo que nos rodea.


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MEDICIONES Y SISTEMAS DE UNIDADES Desde tiempos remotos, el hombre ha tenido la necesidad de medir y para medir ha tenido que buscar un patrón de medida. MEDIR. – Es comparar una magnitud con otra de la misma especie que convencionalmente se ha tomado como unidad de medida. Puesto que la Física es una ciencia basada sobre mediciones exactas, es necesario conocer las unidades con las cuales se van a tomar esas medidas. Todas las mediciones, ya sea un intervalo de tiempo, de una distancia, de una superficie, etc ., se requieren de dos elementos: un numero y una unidad. Por ejemplo: 10 metros, 3 pies, 25 cm 2, 5 millas , 6 años, etc ., en cada caso la unidad es importante para conocer lo que estamos midiendo y el numero para expresar la cantidad de lo que medimos. Aunque hay numerosas unidades de medida diferente, en Física utilizamos las llamadas Unidades Fundamentales que son:

Unidades de Longitud, de Masa y de Tiempo.

LONGITUD. – Es la distancia entre dos puntos. MASA. – Es la cantidad de materia contenida en un cuerpo. TIEMPO. – Es el intervalo entre dos hechos transcurridos.


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Si estas unidades se multiplican o se dividen entre si , obtenemos las unidades llamadas Unidades Derivadas , como las unidades de aceleración, volumen, velocidad, potencia, energía, trabajo, etc. Dentro del mundo de la ciencia y de la técnica, se ha logrado un gran avance al aceptar un Sistema Internacional de Unidades en común. En la actualidad el mundo civilizado se rige por dos patrones de medida que son:

El Sistema Internacional de Unidades(SIU) y El Sist ema Ingles. El SIU fue ideado por los franceses en 1793 , es un sistema practico por que el patrón de medida de la longitud el Metro , puede dividirse o multiplicarse utilizando unidades que van de 10 en 10.

MAGNITUD FISICA SITEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES S.I.U. SISTEMA M.K.S. SISTEMA C.G.S.

UNIDAD SIMBOLO UNIDAD SIMBOLO LONGITUD Metro m Centímetro cm

MASA Kilogramo kg Gramo gr

TIEMPO Segundo seg Segundo seg

METRO. – (m) Es la unidad fundamental de longitud. Los múltiplos y submúltiplos del metro mas usuales son los siguientes. Kilómetro Km 1000m 1 x 103 m 1 Metro = .001 Km Decímetro dm 0.1m 1 x 10-1 m 1 Metro = 10 dm Centímetro cm 0.01m 1 x 10-2 m 1 Metro = 100 cm Milímetro mm 0.001m 1 x 10-3 m 1 Metro = 1000 mm Micra 0.000 001m 1 x 10-6 m 1 Metro = 1000 000 KILOGRAMO. – (kg) Es la unidad fundamental de la masa.


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1 kilogramo kg 1000 gr 1 gr .001 kg SEGUNDO. – (seg) Es la unidad fundamental de Tiempo. 1 Día solar (24 Horas) 86400 seg 1 seg 0.0000115740 Día solar 1 Hora (hra) 3600 seg 1 seg 0.000277 hra 1 Minuto (min) 60 seg 1 seg 0.01666 min METRO PATRON. – Se define como la distancia entre dos marcas hechas en una barra de platino e iridio a 273º K, que se encuentra en las oficinas de la Comisión Internacional de Pesas y Medidas en Paris, Francia . Actualmente, como se necesita mayor preescisión en las medidas, se define el Metro Patrón como la longitud que comprende 1650,763.73 ondas de radiación de la luz roja anara njada del gas Kriptón 86. KILOGRAMO PATRON. – Es un cilindro de platino e iridio que se encuentra en las oficinas de la Comisión Internacional de Pesas y Medidas en Paris, Francia . Para construir el Kilogramo Patrón , se tomo en cuenta el gramo de la masa de un centímetro cúbico (1 cm 3) de agua pura a la temperatura de 4º C. La tecnología actualmente cuenta con modernos instrumentos de medición de exactitud sorprendente. Al igual que los patrones de longitud y de masa, también los utilizados para medir el tiempo, son de importancia fundamental. El Tiempo se mide de acuerdo a un proceso natural que transcurre a una velocidad constante y que es el movimiento aparente del sol alrededor de la tierra. La rotación de la tierra, causa del aparente movimiento del sol es tan constante que se ha empleado durante muchos siglos para medir el Tiempo . Por eso en varios piases los centros de medición del tiempo se concentran en los observatorios astronómicos. La mayoría de los relojes que se utilizan en la vida diaria, registran el paso del tiempo en segundos. Actualmente con el reloj atómico se pueden medir intervalos de tiempo tan pequeños como millonésimas de segundo .


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Un día solar medio es la duración entre una puesta de sol y la siguiente ó entre una salida de sol y la siguiente.

EQUIVALENCIAS Un año solar medio = 365 días. Un día = 24 horas. Una hora = 60 minutos. Un segundo = 60 segundos.

El SISTEMA INGLES fue introducido por los ingleses en los países que colonizaron, actualmente todavía estos países conservan este sistema como Estados Unidos, Canadá, Sudáfrica, Australia , etc., y se basa en las siguientes medidas. LONGITUD: 1 plg 2.54 cm 0.0254 m 0.0000254 km 1 pie 12 plg 30.48 cm 0.3048m 0.0003048 km 1 yrd 3 pie 36 plg 91.44 cm 0.9144 m 0.0009144 km 1 milla 1760 yrd 5280 pie 63,340 plg 1,609 m 1.609 km MASA:

1 lb = 454 gr. 1 lb = 0.454 kg. 1 lb = .000454 ton. Para la medida del tiempo los dos sistemas utilizan las mismas unidades.

UNIDADES DE CAPACIDAD. Las unidades de capacidad las ocupamos comúnmente para medir el Litro y sus unidades subderivadas como son. lt = litro, dl = decilitro, cl = centilitro, ml = m ililitro.

1 lt 10 dl 100 cl 1000 ml 1 ml 0.001 lt 0.01 dl 0.1 cl 1 cl 0.01lt 0.1dl 1 dl 0.1lt


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UNIDADES DE SUPERFICE. Las unidades se superficie las ocupamos como dice su nombre para medir superficies y estas son:

1 m2 100 dm 2 10,000 cm 2 1,000,000 mm 2

1 mm 2 0.000,001 m2 0.000,1 dm 2 0.01 cm 2

1 cm 2 0.000,1 m2 0.01dm 2 1 dm 2 0.01 m2

UNIDADES DE VOLUMEN. Las unidades de volumen nos sirven para medir el espacio que ocupa un cuerpo y estas son: Las unidades de volumen se relaciona con las unidades de capacidad , entonces tenemos que:

1 m3 1000 dm 3 1,000,000 cm 3 1 m3 1000 lt 1,000,000 ml 1 lt 1 dm 3 1000 cm 3 1000 ml

CONVERSION DE UNIDADES.

Existe una equivalencia entre múltiplos (Hacia arriba) y submúltiplos (Hacia abajo) de toda clase de medidas de las unidades fundamentales, por lo que se hace necesario transformar unas unidades a otras. Para transformar unas unidades en otras, utilizaremos las siguientes reglas:

1. En las unidades de longitud y capacidad , cuando se desea transformar una unidad mayor a una menor , deberá ser multiplicada la cantidad por 10, tantas veces como lugares separen a una unidad de otra.

En las medidas de superficie se multiplicara por 100 tantas veces como lugares haya de separación haya entre una unidad y otra.

1 m3 1,000 dm 3 1,000,000 cm 3

1 cm 3 0.000,001 m3 0.001dm 3

1 dm 3 0.001 m3


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En las medidas de volumen y masa se multiplicara por 1000 tantas veces como lugares haya de separación haya entre una unidad y otra.

UNIDADES DE LONGITUD.

Km Hm Dm m dm cm mm a) Transformar 15 Km a m. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay tres lugares hacia la derecha de Km a m por lo tanto hay que multiplicar 15 por 10 multiplicado tres veces , es decir. 15 Km x (10 x 10 x 10) = 15 x 1,000 m = 15,000 m. b) Transformar 12 dm a mm . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la derecha de dm a mm por lo tanto hay que multiplicar 12 por 10 multiplicado dos veces , es decir. 12 dm x (10 x 10) = 12 x 100 mm = 1200 mm . c) Transformar 2.5 Km a dm . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay cuatro lugares hacia la derecha de Km a dm por lo tanto hay que multiplicar 2.5 por 10 multiplicado cuatro veces , es decir. 2.5 Km x (10 x 10 x 10 x 10) = 2.5 x 10,000 dm = 25,000 dm .

UNIDADES DE CAPACIDAD.

l dl cl ml a) Transformar 13 l a ml . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay tres lugares hacia la derecha de l a ml por lo tanto hay que multiplicar 13 por 10 multiplicado tres veces , es decir. 13 l x (10 x 10 x 10) = 13 x 1,000 ml = 13,000 ml .


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b) Transformar 4 l a cl . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la derecha de l a cl por lo tanto hay que multiplicar 4 por 10 multiplicado dos veces , es decir. 4 l x (10 x 10) = 4 x 100 cl = 400 cl . UNIDADES DE SUPERFICIE.

m2 dm 2 cm 2 mm 2

a) Transformar 6 m2 a dm 2. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay un lugar hacia la derecha de m2 a dm 2 por lo tanto hay que multiplicar 6 por 100 es decir. 6 m2 x (100) = 6 x 100 dm2 = 600 dm 2. b) Transformar 3 m2 a cm 2. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la derecha de m2 a cm 2 por lo tanto hay que multiplicar 3 por 100 multiplicado dos veces , es decir. 3 m2 x (100 x 100) = 3 x 10,000 cm2 = 30,000 cm 2. c) Transformar 7 m2 a mm 2. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay tres lugares hacia la derecha de m2 a mm 2 por lo tanto hay que multiplicar 7 por 100 multiplicado tres veces , es decir. 7 m2 x (100 x 100 x 100) = 7 x 1,000,000 mm2 = 7,000,000 mm 2. UNIDADES DE VOLUMEN.

m3 dm 3 cm 3

a) Transformar 13 m3 a dm 3.


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En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay un lugar hacia la derecha de m3 dm 3 por lo tanto hay que multiplicar 13 por 1000, es decir. 13 m3 x (1,000) = 13 x 1,000 dm3 = 13,000 dm 3. b) Transformar 4 m3 a cm 3. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la derecha de m3 a cm 3 por lo tanto hay que multiplicar 4 por 1000 multiplicado dos veces , es decir. 4 m3 x (1000 x 1000) = 4 x 1,000,000 cm3 = 4,000,000 cm 3. UNIDADES DE MASA.

Ton Kg gr a) Transformar 5 Ton a Kg. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay un lugar hacia la derecha de Ton a Kg por lo tanto hay que multiplicar 5 por1000, es decir. 5 Ton x 1,000 = 5 x 1,000 Kg = 5,000 Kg. b) Transformar 9 Ton a gr . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la derecha de Ton a gr por lo tanto hay que multiplicar 9 por 1000 multiplicado dos veces , es decir.

9 Ton x (1,000 x 1,000) = 9 x 1,000,000 gr = 9,000,000 gr .

OBSERVACIONES En las unidades de longitud y capacidad , cuando se desea transformar una unidad menor a una mayor , deberá ser dividida la cantidad por 10, tantas veces como lugares separen a una unidad de otra. En las medidas de superficie, se dividirá por 100 tantas veces como lugares haya de separación haya entre una unidad y otra.

En las medidas de volumen y masa, se dividirá por 1000 tantas veces como lugares haya de separación haya entre una unidad y otra.


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UNIDADES DE LONGITUD.

Km Hm Dm m dm cm mm a) Transformar 12 m a Km . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay tres lugares hacia la izquierda de m a Km por lo tanto hay que dividir 12 entre 10 multiplicado tres veces , es decir. 12 m / (10 x 10 x 10) = (12 / 1,000) Km = 0.012 Km . b) Transformar 15 mm a dm . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la izquierda de mm a dm por lo tanto hay que dividir 15 entre 10 multiplicado dos veces , es decir. 15 mm / (10 x 10) = (15 / 100) dm = 0.15 dm . c) Transformar 5 dm a Km . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay cuatro lugares hacia la izquierda de dm a Km por lo tanto hay que dividir 4 entre 10 multiplicado cuatro veces , es decir. 4 dm / (10 x 10 x 10 x 10) = (4 / 10,000) Km = 0.0004 km . d)Transformar 25 mm a m. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay cuatro lugares hacia la izquierda de mm a m por lo tanto hay que dividir 25 entre 10 multiplicado cuatro veces , es decir. 25 mm x (10 x 10 x 10 x 10) = (25 x 10,000) m = 0.0025 m. UNIDADES DE CAPACIDAD.

l dl cl ml a) Transformar 7 cl a l. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la izquierda de cl a l por lo tanto hay que dividir 7 entre 10 multiplicado dos veces , es decir. 7 cl / (10 x 10) = (7 / 100) l = 0.07 l.


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b) Transformar 11 ml a l. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay tres lugares hacia la izquierda de ml a l por lo tanto hay que dividir 11 entre 10 multiplicado tres veces , es decir. 11 ml / (10 x 10 x 10) = (11 / 1,000) l = 0.011 l. UNIDADES DE SUPERFICIE.

m2 dm 2 cm 2 mm 2

a) Transformar 8 dm 2 a m2. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay un lugar hacia la izquierda de dm 2 a m2 por lo tanto hay que dividir 8 entre 100 es decir. 8 dm2 / (100) = (8 / 100) m2 = 0.08 m2. b) Transformar 5 cm 2 a m2. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la izquierda de cm 2 a m2 por lo tanto hay que dividir 5 entre 100 multiplicado dos veces , es decir. 5 cm2 / (100 x 100) = (5 / 10,000) m2 = 0.0005 m2. c) Transformar 12 mm 2 a m2. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay tres lugares hacia la izquierda de mm 2 a m2 por lo tanto hay que dividir 12 entre 100 multiplicado tres veces , es decir. 12 mm2 / (100 x 100 x 100) = (12 / 1,000,000) m2 = 0.000012 m2. UNIDADES DE VOLUMEN.

m3 dm 3 cm 3

a) Transformar 18 dm3 a m3. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay un lugar hacia la izquierda de dm 3 a m3 por lo tanto hay que dividir 18 entre 1000, es decir. 18 dm3 / (1,000) = (18 / 1,000) m3 = 0.018 m3.


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b) Transformar 9 cm 3 a m3. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la izquierda de cm 3 a m3 por lo tanto hay que dividir 9 entre 1000 multiplicado dos veces , es decir. 9 cm3 / (1000 x 1000) = (9 / 1,000,000) m3 = 0.000009 m3. UNIDADES DE MASA.

Ton Kg gr a) Transformar 8 Kg a Ton. En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay un lugar hacia la izquierda de Kg a Ton por lo tanto hay que dividir 8 entre 1000, es decir. 8 Kg / 1,000 = (8 / 1,000) Ton = 0.008 Ton. b) Transformar 4 gr a Ton . En la tabla que vimos anteriormente observamos que hay dos lugares hacia la izquierda de gr a Ton por lo tanto hay que dividir 4 entre 1000 multiplicado dos veces , es decir. 4 gr / (1,000 x 1,000) = (4 / 1,000,000) Ton = 0.000004 Ton . Ejercicios: Transformar las siguientes unidades.

1. 25 cm a m = 2. 7.8 dm a m = 3. 325 mm a m =

4. 645 Dm a m = 5. 12.3 Km a m = 6. 356 ml a l =

7. 26 cl a l =

8. 6 l a ml =


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9. 4.5 dl a l =

10. 8 l a cl =

11. 25 m2 a cm 2 =

12. 15 cm 2 a mm 2 =

13. 18700 cm 2 a m2 =

14. 12500 mm 2 a dm 2 =

15. 16 m2 a mm 2 =

16. 30 m3 a dm 3 =

17. 6 m3 a cm 3 =

18. 1200 cm 3 a m3 =

19. 38 dm 3 a m3 =

20. 22 dm 3 a cm 3 =

21. 3.5 Ton a Kg =

22. 1.2 Ton a gr =

23. 35000 gr a Kg =

24. 850000 gr a Ton = EQUIVALENCIAS DE UNIDADES (MAS USUALES) LONGITUD. SISTEMA INTERNACIONAL. 1 Km = 1093.61 yrd = 3280.83 pie = 39370.078 plg. 1 Km = 0.6215 milla. 1 Km = 1000 m = 100,000 cm = 1,000,000 mm. 1 m = 100 cm = 1,000 mm. 1 cm = 10 mm. 1 m = 0.1 Dm = 0.01 Hm = .001 Km. 1 m = 10 dm = 100 cm = 1,000 mm.


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SISTEMA INGLES: 1 Milla = 1609 m = 1.609 Km. 1 Milla = 63,340 plg = 5280pie = 1760 yrd. 1 yrd = 3 pie. 1 yrd = 36 plg. 1 pie = 12 plg. 1 plg = 2.54 cm. 1 plg = 2.54 cm = 0.0254 m = 0.0000254 Km. 1 pie = 30.48 cm = 0.3048 m = 0.0003048 Km. 1 yrd = 91.44 cm = 0.9144 m = 0.0009144 Km. MASA. SITEMA INTERNACIONAL. 1 Ton = 10 Quintal. 1 Quintal = 100 Kg. 1 Kg = 1,000 gr. 1 Ton = 10 Quintal = 1,000 Kg = 1,000,000 gr SITEMA INGLES. 1 lb = 454 gr. 1 lb = 0.454 Kg. 1 lb = 0.000454 Ton. 1 lb = 454 gr = 0.454 Kg = 0.000454 Ton. TIEMPO.(Igual en el Sistema Internacional y el Sist ema Ingles). 1 hra = 60 min. 1 hra = 3600 seg. 1 min = 60 seg. 1 hra = 60 min =3600 seg. 1 min = 0.0166 hra. 1 seg = 0.0166 min = .0002777 hra. UNIDADES DERIVADAS. Como se menciono anteriormente las Unidades Derivadas surgen de la multiplicación o división de las unidades fundamentales, según sea el caso. Los siguientes son ejemplos de cómo transformar unidades derivadas.

1. Transformar 60 milla / hra a Km / hra .

60 milla 1.609 Km 96.54 Km hra 1 milla hra


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2. Transformar 35 Km / hra a milla / hra .

35 Km 0.6215 milla 21.7525 milla hra 1 Km hra

3. Transformar 90 Km / hra a m / seg .

90 Km 1000 m 1 hra = 90000m = 25 m hra 1 Km 3600 seg 3600seg seg

4. Transformar 12 m / seg a Km / hra .

12 m 0.001 Km 1 seg = 0.012Km = 43.32 Km seg 1 m 0.000277hra 0.000277hra hra

5. Transformar 20 Km / hra a pie / seg .

20 Km 3280.83 pie 1 hra = 65616.6 pie = 18.22 pie hra 1 Km 3600 seg 3600seg seg

6. Transformar 50 milla / hra a pie / min .

50 milla 5280 pie 1 hra = 264000pie = 73.33 pie hra 1 milla 60min 60min seg

7. Transformar 5 milla / hra a plg / seg .

5 milla 63,340 plg 1 hra = 316700plg = 87.97 plg hra 1 milla 3600 seg 3600seg seg


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HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS

MAGNITUDES FÍSICAS Dentro de la Física manejamos dos clases de Magnitudes, que son: Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales MAGNITUDES ESCALARES. – Son aquellas que para quedar representadas únicamente requieren del número y la unidad. Las cantidades escalares que contienen las mismas unidades pueden sumarse o restarse. Ejemplo: Longitud: 3 m, 5 Km, 40 cm. Masa: 500 gr, 58 Kg. Tiempo: 2 hra, 60 min, 25 seg. Temperatura: 90º F, 250º K, 28º C. Volumen: 5 cl, 20 ml, 280 l. MAGNITUDES VECTORIALES. – Son aquellas que para quedar representadas además del numero y la unidad, requieren de dirección y sentido. Las cantidades vectoriales que contienen unidades y direcciones iguales pueden sumarse o restarse. Ejemplo: Desplazamiento: Un hombre camina 100m al norte. Velocidad: Un avión viaja hacia el noreste a 900 Km / hra. Fuerza: Se ejerce una fuerza de 5200 Newtons hacia abajo sobre un cuerpo. Aceleración: Un camión lleva una aceleración de 5 m / seg2 hacia el este. Nota: Se acostumbra representar gráficamente las magnitudes vectoriales mediante un “VECTOR” .

DEFINICIÓN DE VECTOR VECTOR. – Es un segmento de recta con una punta de flecha que indica el sentido.


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Para que un Vector quede correctamente representado requiere de cuatro elementos fundamentales que son: PUNTO DE APLICACIÓN. – Es el punto de origen del vector y se representa por una “x” o por una letra. MAGNITUD. – Es la cantidad o longitud del vector de acuerdo con una escala que tomemos nosotros. DIRECCIÓN. – Es la línea sobre la cual actúa el vector, puede ser horizontal, vertical o inclinada. SENTIDO. – Indica el lugar hacia donde se dirige el vector se representa por una flecha. Nosotros utilizaremos la siguiente regla de signos para determinar el sentido de los vectores.

La dirección de un vector puede obtenerse utilizando la siguiente regla:

(+)

(+)

(-)

(-) � Hacia arriba (+). � Hacia la derecha (+). � Hacia abajo (-). � Hacia la izquierda (-).


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DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE UN VECTOR

En Física y en otras ciencias exactas es muy importante conocer este concepto, por que lo utilizamos durante toda la vida profesional. En este curso trataremos de describir el concepto la mas fácil posible. Por que descomposición rectangular, ustedes se preguntaran, bueno es que descomponemos un vector dado en dos componentes que siempre forman un rectángulo. Estas componentes se encuentran siempre formando un anulo de 90º, por lo que siempre serán perpendiculares entre sí , como se muestra a continuación Las llamamos componentes por que son precisamente las que componen un vector . Para obtener el valor numérico de las componentes, utilizamos las siguientes relaciones matemáticas.

� Para obtener el valor numérico de la componente en el eje de las “x” utilizamos las siguiente relación.

Vx = V x Cos 0

� Para obtener el valor numérico de la componente en el eje de las “y” utilizamos las

siguiente relación. Vy = V x Sen 0

Norte

Este

Sur

Oeste

Sureste

Noreste

Suroeste

Noroeste


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Ejemplo : Sumar los vectores de las figuras mediante el método de las componentes rectangulares. Lo primero que debemos hacer es llevarlos a un plano cartesiano para de esta forma orientarnos mejor. Esto se ilustra a continuación:


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Calculemos las componentes rectangulares: A continuación realizamos las sumas de las componentes en X y de las compnentes en Y: Representamos estos dos vectores en el plano cartesiano y de una vez compongamoslos (sumemoslos vectorialmente). Esto se muestra en la siguiente figura: Por último, se calcula el módulo de la resultante y su dirección:


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METODO ANALÍTICO Cuando se tienen tres o más vectores, para sumarlos seguiremos este procedimiento:

� Se representan todos los vectores en un sistema de ejes coordenados “x” y “y”, tomando en cuenta sus ángulos a partir de la horizontal positiva. ( + x)

� Se obtienen las componentes de “x” de cada uno de los vectores del sistema y se suman

todas estas componentes. � Se obtienen las componentes de “y” de cada uno de los vectores del sistema y se suman

todas estas componentes.

� Se obtiene la fuerza resultante.

� Se obtiene la dirección de la resultante.

Ejemplo:

Se puede pensar en el vetor (de dos dimensiones) como un triángulo. La hipotenusa es el vector. y sus catetos (en verde y azúl) serían las componentes x y y del vector.

Ya que se tiene un triángulo representando el vector, se pueden utilizar las herramientas de la geometría para obtener los componentes rectangulares.

Los ángulos internos de este triángulo son las son las direcciones de los vectores. y podemos obtener los tres ángulos internos con un proceso muy simple:

Nos dieron un vector a 44º con respecto al eje x. El primer ángulo interno es de 44º.

En un triángulo rectangulo el ángulo entre los catetos es de 90º.


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Y por último, sabemos que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo siempre va a ser igual a 180º. Así que podemos obtener el valor del tercer ángulo así 180º-(44º+90º) = 46º. Y así ya tenemos los tres ángulos internos del triángulo.

Para obtener las magnitudes de los componentes rectangulares, se traza un triángulo cuya hipotenusa va a tener la misma longitud e inclinación que el vector original. En este caso, el vector A tiene una magnitud de 23 newtons . Se traza un cateto paralelo al eje x desde el inicio del vector hasta el extremo final . Y se traza el otro cateto paralelo al eje y desde el final del primer cateto, hasta el final de la hipotenusa.

Ya teniendo un triángulo se puede utilizar cualquier método geométrico para encontrar la longitud de los lados. Y como la longitud de los lados es igual a la magnitud de los vectores. Al encontrar la longitud de los lados se obtiene la magnitud del vector y de sus componentes rectangulares. En realidad se podría utilizar cualquier método de resolución de triángulos para hallar la magnitud de los componentes rectangulares, pero como un vector con sus componentes siempre van a formar triángulos rectos se usa el teorema de pitágoras y las definiciones de las funciones trigonométricas en un método llamado descomposición rectangular de vectores.

Ejercicios: Calcular la fuerza resultante de los dos siguientes sistemas de fuerzas, por el Método Analítico 1) F1 = 30 Kg a 65º F2 = 40 Kg a 120º F3= 80 Kg a 210º 2) F1 = 50 N a 30º; F2 = 40 N a 150º; F3= 70 N a 230º; F3 = 12 N a 310º


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NOTACION CIENTIFICA (Sistema de números abreviados)

Si quisiéramos leer la siguiente cantidad: 23 896, 4372 894, 3021 145,692. Contamos tres cifras de derecha a izquierda y escribimos una coma, otras tres cifras y escribimos un uno arriba del numero que sigue, otras tres cifras y escribimos una coma, contamos otras tres cifras y escribimos un dos arriba del numero que sigue, contamos otras tres cifras y escribimos una coma, otras tres cifras y escribimos un tres arriba del numero que sigue. Nuestro número se leerá: Dos trillones, ochocientos noventa y seis mil cuatr ocientos treinta y siete billones, ochocientos noventa y cuatro mil trescientos dos mi llones, ciento cuarenta y cinco mil seiscientos noventa y dos . Las unidades de medida: metro , kilogramo y segundo , correspondientes a los conceptos de distancia, masa y tiempo, nos resultan muy familiares, ya que por ejemplo, un metro es aproximadamente la distancia entre las puntas de nuestros dedos con el brazo extendido hasta el hombro donde empieza el otro brazo; la masa de nuestro cuerpo es alrededor de 65 Kg y un segundo es mas o menos el tiempo transcurrido entre dos latidos consecutivos de nuestro corazón. La Física no se limita a estos intervalos, si no que trata en su estudio a todo el universo. Por ejemplo, te has preguntado ¿Cuál es la distancia, la masa y el tiempo más grandes que te puedas imaginar? ¿Cuáles son las más pequeñas?, en relación con distancias, tenemos que el radio de la tierra es de aproximadamente 61, 370 000 m, la distancia de la Tierra al Sol es de unos 150 0001, 000 000 m, pero existen otras cifras mas grandes como la distancia del sol al centro de la Galaxia que requiere de más de veinte cifras, o la distancia entre galaxias, que requieren de aún más. Por otra parte, tenemos distancias pequeñas, como el grueso de una hoja de papel 0.0003 m, el tamaño de una bacteria de 0.000 001 m, el diámetro de un átomo 0.000 000 000 1 m, el de un núcleo atómico 0.000 000 000 000 01 m. Todas ellas nos hacen sentir la necesidad de emplear una forma mas conveniente de expresar todas estas cantidades, lo cual se puede lograr utilizando la Notación Científica , que consiste básicamente en expresar un numero determinado en dos factores, el primero como un numero entre uno y diez, y el segundo como una potencia de diez. Así, el radio terrestre sería expresado como 6.37 x 106 m, la distancia del Sol al centro de la Galaxia como 1 x 1020 m, etc. Como puedes observar, esta forma de expresión resulta mucho más compacta y sencilla, en la que en lugar de escribir 1000 escribiremos 103, en lugar de 1000 000 escribiremos 106, donde el exponente colocado arriba y a la derecha nos indica el numero de ceros que debemos recorrer después de escribir el uno.


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Hay ocasiones que es conveniente expresar en forma abreviada los números muy grandes o muy pequeños por medio de potencias de 10. por ejemplo: La masa de la tierra es igual a: 5,980,000,000,000,000,000,000,000 Kg. Abreviando con potencias de 10 es: 5.98 x 10+24 Kg ó 598 x 10 +22 Kg . La masa de un electrón es igual a: 0.000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,91 Kg. Abreviando con potencias de 10 es: 9.1 x 10-31 Kg ó 91 x 10 -30 Kg. La Notación Científica se utiliza principalmente para ahorrar tiempo y espacio. Las abreviaturas de uso común se basan en potencias de 10 como siguen: Para potencias positivas de diez se escriben: 100 = 1 10+1 = 10 10+2 = 10 x 10 = 100 10+3 = 10 x 10 x 10 = 1000 10+4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000 10+5 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000 10+8 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 =100 000 000 Si observamos con detenimiento, nos daremos cuenta que la potencia o exponente indica el numero de ceros que se escriben después del uno. Para elevar el 10 a una potencia negativa, esto es a dividir 1 entre10 elevado a una potencia con signo positivo. Ejemplo: 10-1 = 1 / 10+1 = 0.1 10-2 = 1 / 10+2 = 1 / 100 = 0.01 10-3 = 1 / 10+3 = 1 / 1000 = 0.001 10-4 = 1 / 10+4 = 1 / 10 000 = 0.0001 10-5 = 1 / 10+5 = 1 / 100 000 = 0.000 01 10-8 = 1 / 10+8 = 1 / 100 000 000 = 0.000 000 01 Si observamos con detenimiento, nos daremos cuenta que la potencia o exponente indica el numero de ceros que se escriben antes del uno, siempre quitándole uno del exponente . O sea si es 10-7 se escribirán solo seis ceros antes del 1 .


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Para numero mas comunes lo haremos como en los siguientes ejemplos:

I. 5.36+14 = 5 3 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0

II. 4 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 = 4.25+19 ó = 42.5+18

III. 7.35-15 = 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 35

IV. 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 6 9 = 4.69 -11 ó 46.9 –12 Ejercicios:

I. 3.25+8 = II. 5.36+11 =

III. 752 000 000 000 000 000 000 000.0 = IV. 8 420 000 000 000 000.0 = V. 9.35 –7 =

VI. 4.63 –16 = VII. 0.000 000 000 000 000 000 756 =

VIII. 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 825 = SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS . Para sumar, restar, multiplicar y dividir potencias seguiremos las siguientes reglas: 1. - Para sumar o restar números escritos en notación de potencias de 10, estos deberán estar siempre a la misma potencia. Ejemplos: 5 x 10+2 + 3 x 10+3 = No se pueden sumar por no tener la misma potencia. 0.5 x 10+3 + 4.0 x 10+3 = 4.5 x 10+3 Si se pueden sumar por tener la misma potencia. 2. - Para multiplicar potencias, no interesa que los números estén elevados a diferentes potencias, para realizar la operación se multiplican los números comunes y se suman las potencias de las bases 10. Ejemplos: 3 x 10+2 x 4 x 10+3 x 2 x 10-1 = 3 x 4 x 2 x 102+3-1 = 24 x 10+4. 4.25 x 10-8 x 5.284 x 10+12 = 4.25 x 5.284 x 10-8+12 = 22.457 x 10+4. 0.0000000000455 x 8.52 x 10+8 = 4.55 x 10-11 x 8.52 x 10+8 = 4.55 x 8.52 x 10-11+8 = 38.766 x 10-3. 95400000000000000000.0 x 5.25 x 10-17 = 9.54 x 10+19 x 5.25 x 10-17 = = 9.54 x 5.25 x 10+19-17 = 50.085 x 10+2.


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3.- Para dividir potencias tampoco interesa que los números no ténganlas mismas potencias, para realizar la operación, siempre se restara la menor de dichas potencias a la mayor no importa si esta en el numerador o denominador de la división. Aclarando que si se quiere cambiar la posición de una potencia en la división esta desde cambiar de posición con el signo contrario al que tenia . Ejemplos.

8 x 10+6 = 8 x 10+6 x 10-2 = 4 x 10+6-2 = 4 x 10+4 2 x 10+2 2 5.25 x 10-4 = 5.25 x 10-4 x 10-3 = 0.8413 x 10-4-3 = 0.8413 x 10-7 6.24 x 10+3 6.24 0.0000000000835 = 8.35 x 10-11 = 8.35 x 10 -11 x 10 -9 = 1.091 x 10-11-9 =1.091 x 10-20

7650000000.0 7.65 x 10+9 7.65

OPERACIONES COMBINADAS.

Ahora realizaremos operaciones combinadas con potencias. Ejemplos: 5.25 x 10+3 x 4.28 x 10 +5 = 22.47 x 10+3+5 = 22.47 x 10+8 = 22.47 x 10+8 x 10+9 = 2.56 x 10-9 2.56 x 10-9 2.56 x 10-9 2.56 8.77 x 10+8+9 = 8.77 x10+17. .........5.22 x 10-14............ = ...5.22 x 10-14... = 5.22 x 10-14 = 5.22 x 10-14 x 10-5 = 4.52 x 10-17 x 6.32 x 10+22 28.56 x 10-17+22 28.56 x 10+5 28.56 0.18277 x 10-14-5 = 0.18277 x10-19. ..( 9.52 x 10-12)(75600000.0). = 9.52 x 10-12 x 7.56 x 10+7 = 71.9127 x 10-12+7 (0.0000000054)(4.26 x 10+18) 5.4 x 10-9 x 4.26 x 10+18 23.004 x 10-9+18 = 71.9127 x 10-5 = 71.9127 x 10-5 x 10-9 = 3.126 x 10-5-9 = 3.126 x 10-14. 23.004 x 10+9 23.004 Para elevar una potencia a otra potencia y obtener la raíz de una potencia se tienen las siguientes apreciaciones. (5 x 10+3)+4 = 5 x 10 3 x 4 = 5 x 1012 Para elevar a una potencia a otra potencia.


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9 x 10+4 = 3 x 104/2 = 3 x 10+2 Para obtener la raíz de una potencia. Ejercicios: 4 x 10+4 x 3 x 10 -5 x 6 x 10 +3 = 5.36 x 10-12 x 3.52 x 10 +9 = 0.000000000000526 x 4.13 x 10+7 = 65400000000000000000.0 x 8.22 x 10 -13 = 5 x 10+8 = 4 x 10+3 8.24 x 10-7 = 4.12 x 10+5 0.000000000000945 =

47300000000.0 4.32 x 10+6 x 6.75 x 10 +7 = 9.88 x 10-15 .........6.34 x 10-17............ = 3.25 x 10-24 x 2.85 x 10+10 ...( 8.35 x 10-9)(524000000.0)... = (0.000000000963)(3.45 x 10+17)


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MECANICA (FUERZA) EQUILIBRIO DE UN SÓLIDO RIGIDO A nuestro alrededor muchas cosas permanecen invariables en el tiempo y en el espacio es decir están en constante equilibrio, como ocurre con un puente, con un edificio o una gran roca. En este curso de Física nos referiremos principalmente a lo que se denomina Cuerpo Rígido , que se caracteriza por que los efectos de deformación producidos por las fuerzas aplicadas a este, son a menudo tan pequeñas que pueden despreciarse, lo que permite hacer con mayor facilidad el análisis de las fuerzas que actúan sobre el.

La rama de la Física que se encarga de estudiar las condiciones de equilibrio de un Cuerpo Rígido o estructural, se le llama Estática la que definiremos nosotros de la siguiente manera. ESTATICA. – Es la rama de la Física que trata el balance de fuerzas que actúan sobre un cuerpo que permanece en reposo o en estado de movimiento uniforme. Debemos hacer notar que la Estática es un caso particular de la Mecánica , y su importancia es tal que los ingenieros y los arquitectos debe de estudiarla como parte importante de su formación , pues de otra manera no podrían conocer las fuerzas que conforman las distintas partes de las estructuras, construcciones y maquinas que diseñan.

DEFINICIÓN DE EQUILIBRIO. Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo pueden producir movimiento o en su caso impedir el movimiento, es decir pueden hacer que el cuerpo en el que actúan permanezca en estado de equilibrio(reposo) o inducir su movimiento. Por lo tanto definiremos Equilibrio de la siguiente manera: EQUILIBRIO. – Es el estado de un cuerpo en el cual no hay cambio en su movimiento. Si la suma de todo un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo es Cero , el cuerpo estará en Equilibrio y permanecerá en reposo . Si imaginamos una caja en reposo sobre la superficie de una mesa, sabemos que sobre la caja actúan cuatro fuerzas, las dos primeras que son el Peso , que es consecuencia de la atracción de la tierra sobre cualquier cuerpo, en este caso la caja, y la otra llamada Normal , esta fuerza la ejerce la mesa sobre la caja, es la fuerza que equilibra el peso de la caja y hace que la resultante en dirección vertical sea Cero . Las otras dos fuerzas están en equilibrio, estas se encuentran en dirección horizontal, y se anulan por que su sentido es contrario, o sea que una esta hacia la derecha y otra hacia la izquierda por lo cual todo el sistema esta en Equilibrio .


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CONDICIONES DE EQULIBRIO Un cuerpo puede estar en reposo (equilibrio estático) o en movimiento con velocidad constante (equilibrio traslacional). Para que un cuerpo permanezca en Reposo ó Equilibrio Estático debe cumplir con las siguientes condiciones:

� Para que cualquier cuerpo este en reposo o sea en equilibrio, la Resultante de todas las Fuerzas que actúan sobre el debe ser Cero .

FR = 0

� La suma algebraica de las componentes horizontales o sea sobre el eje de las “x” debe ser Cero. Fx = 0

� La suma algebraica de las componentes verticales o sea sobre el eje de las “y” debe ser

Cero. Fy = 0

Un sistema de fuerzas que no este en equilibrio, puede ser equilibrado colocando una fuerza de igual magnitud y dirección que la Fuerza Resultante pero en sentido contrario, a la que llamaremos Fuerza Equilibrante . Para resolver problemas de Equilibrio de Cuerpos Rígidos en el que intervienen fuerzas concurrentes, seguiremos los siguientes pasos:

� Primeramente dibujamos un diagrama de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, llamado Diagrama de Cuerpo Libre.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE. – Es un diagrama de vectores sobre un eje de


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coordenadas que describen todas y cada una de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.

� Se descomponen todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, en sus componentes rectangulares.

� Se hacen las sumas de las fuerzas en los ejes “x” y “y” , sabiendo de antemano que las

debemos igualar a cero.

Fx = 0 Fy = 0

� Por medio de las operaciones fundamentales de la aritmética (suma, resta , multiplicación y división) sencillas obtenemos los valores de las fuerzas desconocidas, aplicando las ecuaciones de Equilibrio.

Ejemplo: 1. Encontrar la tensión de las dos cuerdas que sostienen una caja que pesa 100 N, como se muestra en la figura.

� Se dibuja el Diagrama de Cuerpo Libre.

� Se calculan las componentes rectangulares de las fuerzas. T1x = T1 x Cos 0 T1y = T1 x Sen 0 T1x = T1 x Cos 25º T1y = T1 x Sen 25º T1x = (T1)(0.9063) T1y = (T1)(0.4226) T1x = - 0.9063T1 T1y = 0.4226T1 T2x = T2 x Cos 0 T2y = T2 x Sen 0 T2x = T2 x Cos 35º T2y = T2 x Sen 35º

25º 35º

T2 T1

100 N

25º 35º

P =100 N

T2 T1

Tx2 Tx1

Ty2 Ty1


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T2x = (T2)(0.8191) T2y = (T2)(0.5736) T2x = 0.8191T2 T2y = 0.5735T2 � Se hace la suma de las fuerzas en “x” y “y”.

Fx = 0 - 0.9063T1 + 0.8191T2 = 0

- 0.9063T1 = - 0.8191T2 T1 = - 0.8191T2 T1 =+ 0.9037T2 (ec. 1) - 0.9063

Fy = 0 -100 N + 0.4226T1 + 0.5735T2 = 0

-100 N + 0.4226(0.9037T2) + 0.5735T2 =0 -100 N + 0.3819T2 + 0.5735T2 =0 -100 N + 0.9554T2 = 0; 0.9554T2 = 100 N; T2 = 100 N T2 = 104.66 N 0.9554 Sustituyendo T2 en la ec. 1 tenemos: T1 = 0.9037T2; T1 = 0.9037(104.66 N); T1 = 94.58 N 2. Encontrar la tensión de las dos cuerdas que sostienen una caja que pesa 950 Kg , como se muestra en la figura.


� Se calculan las componentes rectangulares de las fuerzas. T1x = T1 x Cos 0 T1y = T1 x Sen 0 T1x = T1 x Cos 60º T1y = T1 x Sen 60º T1x = (T1)(0.5000) T1y = (T1)(0.8660) T1x = 0.5000T1 T1y = 0.8660T1 T2x = T2 x Cos 0 T2y = T2 x Sen 0

30º 50º

T2 T1

950 Kg

60º 40º

P = 950Kg

T2 T1

Tx2 Tx1

Ty2 Ty1


40

T2x = T2 x Cos 40º T2y = T2 x Sen 40º T2x = (T2)(0.7660) T2y = (T2)(0.6428) T2x = 0.7660T2 T2y = 0.6427T2 � Se hace la suma de las fuerzas en “x” y “y”.

Fx = 0 - 0.5000T1 + 0.7660T2 = 0

- 0.5000T1 = - 0.7660T2 T1 = - 0.7660T2 T1 = 1.5320T2 (ec. 1) - 0.5000

Fy = 0 -950 Kg + 0.8660T1 + 0.6427T2 = 0

-950 Kg + 0.8660(1.5320T2) + 0.6427T2 =0 -950 Kg + 1.3267T2 + 0.6427T2 =0 -950 Kg + 1.9694T2 = 0; 1.9694T2 = 950 Kg ; T2 = 950 Kg T2 = 482.38 Kg. 1.9694 Sustituyendo T2 en la ec. 1 tenemos: T1 = 1.5320T2; T1 = 1.5320(482.38 Kg); T1 = 739.00 Kg. 3. Encontrar la tensión de la cuerda que sostiene una caja que pesa 4900 N, como se muestra en la figura.


� Se calculan las componentes rectangulares de las fuerzas. T1x = T1 x Cos 0 T1y = T1 x Sen 0 T1x = T1 x Cos 0º T1y = T1 x Sen 0º T1x = (T1)(1) T1y = (T1)(0)

35º

T2

T1 4900 N

55º

P = 4900 N

T2

T1

55º

Ty2

Tx2


41

T1x = T1 T1y = 0 T2x = T2 x Cos 0 T2y = T2 x Sen 0 T2x = T2 x Cos 55º T2y = T2 x Sen 55º T2x = (T2)(0.5736) T2y = (T2)(0.8191) T2x = 0.5735T2 T2y = 0.8191T2 � Se hace la suma de las fuerzas en “x” y “y”.

Fx = 0 + T1 – 0.5736T2 = 0

T1 = + 0.5735T2 (ec. 1) Fy = 0 -4900 N + 0.8191T2 = 0

0.8191T2 = 4900 N T2 = 4900 N T2 = 5982.175 N 0.8191 Sustituyendo T2 en la ec. 1 tenemos: T1 = 0.5735T2; T1 = 0.5735(5982.175 N); T1 = 3430.77 N Ejercicios: 1. Encontrar la tensión de las dos cuerdas que sostienen una caja que pesa 750 N, como se muestra en la figura. 2. Encontrar la tensión de las dos cuerdas que sostienen una caja que pesa 1250 Kg , como se muestra en la figura.

30º 40º

T2 T1

750 N

40º T2 T1

1250 Kg

25º


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1. Encontrar la tensión de las dos cuerdas que sostienen una caja que pesa 2600 N, como se muestra en la figura.

MOMENTO DE UNA FUERZA (MOMENTO DE TORSIÓN)

Hay casos en que las fuerzas que actúan sobre un cuerpo no tienen un punto de aplicación común, tal es el caso de las fuerzas No Concurrentes . Al hacer girar el volante de un automóvil, al tratar de apretar una tuerca con una llave aplicamos el Momento de una Fuerza , para hacerlos girar. Es importante conocer los Momentos de una Fuerza producidos por las fuerzas, para obtener los efectos de rotación que queramos. Si no existe un Momento de una Fuerza Resultante quiere decir que el cuerpo no esta girando, esto quiere decir que esta en Equilibrio Rotacional , que es muy importante para los Ingenieros en sus aplicaciones profesionales. MOMENTO DE UNA FUERZA. – Se puede definir como la tendencia de una fuerza para hacer girar un cuerpo. Para poder determinar el Momento de una Fuerza , primeramente consideraremos que: en este movimiento rotacional siempre debemos tener dos componentes que son: Una Fuerza y Una distancia . Esta Fuerza siempre debe actuar en una dirección paralela al centro de giro del cuerpo (eje de rotación ). A la distancia que separa al eje de rotación con la línea de acción de la fuerza comúnmente se le conoce como Brazo de Palanca . BRAZO DE PALANCA. – Se define como la distancia perpendicular desde la línea de acción de la fuerza al eje de rotación. (formar un ángulo de 90º)

2600 N

27º

T2

T1


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Como la magnitud de una Fuerza “F” y su Brazo de Palanca “d” son las que determinan el movimiento de rotación, la ecuación matemática del momento de una fuerza es : Momento de una Fuerza = Fuerza x Brazo de Palanca. M = F x d Para determinar el sentido del giro que toma un cuerpo al aplicarle una fuerza, tomaremos la siguiente regla:

d = Brazo de Palanca

Dirección de la Fuerza ó Línea de Acción de la Fuerza .

Fuerza

Eje de Rotación o Centro de Giro

90º

+

-

Siempre se tomara positivo cuando la tendencia del giro sea en sentido contrario de las manecillas del reloj .

Siempre se tomara negativo cuando la tendencia del giro sea en sentido de las manecillas del reloj .


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Ejemplos: 1. – Cual será el momento de torsión resultante alrededor del centro de una polea que tiene un diámetro exterior de 12 cm y un diámetro interior de 8 cm . M = (F1 x d1) + ( F2 x d2) M = -(8 Kg x 6 cm) + (13 Kg x 4 cm) M = - 48 Kg.cm + 52 Kg.cm M = + 4 Kg.cm . 2. – Cual será el momento de torsión resultante alrededor del centro de una polea que tiene un diámetro exterior de 36 cm y un diámetro interior de 20 cm . M = (F1 x d1) + ( F2 x d2) M = - (15 N x 18 cm) + (25 N x 10 cm) M = - 270 N.cm + 250 N.cm M = - 20 N.cm . Pero no siempre la línea de acción de la fuerza esta en forma perpendicular al brazo de palanca , en este caso para obtener el Momento de una Fuerza se tomara la componente rectangular que sea perpendicular al brazo de palan ca de la fuerza , para lo cual mostramos la siguiente figura y la expresión matemática para resolver estos casos.

8 Kg 13 Kg

15 N 25 N


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En este caso la formula para obtener el Momento de una Fuerza será: M = F Cos 0 x d. Ejemplos: 1. – Encontrar el Momento de Torsión Resultante de la siguiente figura. M = F Cos 0 x d M = (250 N)(Cos 55º) x 12 m M = (250 N)(0.5736) X 12 m

Eje de Rotación o Centro de Giro

B R A Z O D E P A L A N C A

Componente Rectangular Perpendicular al Brazo de Palanca. Fx = F x Cos 0 90º

0

Fuerza

Componente Rectangular. Fy = F x Sen 0

d

F = 250 N

12 m

145º

F = 250 N

12 m 90º

55º

Diagrama de Cuerpo Libre


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M = +143.40 N x 12 m M = + 1720.80 N.m 2. – Encontrar el Momento de Torsión Resultante de la siguiente figura. M = (F1 Sen 0 x d1) + (F2 Sen 0 x d2)

M = [(80 N)(Sen 45º) x 10 m] + [(50 N)(Sen 35º) x 8 m] M = [(80 N)(0.7071) X 10 m] + [(50 N)(0.5736) X 8 m] M = (56.568 N x 10 m) + (28.68 N x 8 m); M = - 565.68 N.m + 229.44 N.m M = - 336.24 N.m Ejercicios: 1. – Encontrar el Momento de Torsión Resultante de la siguiente figura.

F2 = 50 N

45º

F2 = 50 N

45º

35º


F1 = 80 N

35º

8 m

10 m

F1 = 80 N

8 m

10 m

F = 120 N

18 m

157º

F = 120 N

18 m 90º



47

2. – Encontrar el Momento de Torsión Resultante de la siguiente figura.

EQUILIBRIO DE FUERZAS PARALELAS

Este tipo de equilibrio es muy utilizado en la Ingeniería, a continuación enunciaremos las condiciones de equilibrio para fuerzas paralelas.

� Suma de fuerzas en el eje de las “x” igual a Cero. Fx = 0 � Suma de fuerzas en el eje de las “y” igual a Cero. Fy = 0 � Suma algebraica de todos los momentos en el cuerpo igual a cero. M = 0

Recordemos que las fuerzas paralelas son fuerzas que actúan sobre un cuerpo y no tienen un punto común de aplicación. Con el ejemplo siguiente enumeraremos los pasos a seguir para su resolución. Ejemplo 1 : Encontrar lo que cargan los soportes A y B de una barra que pesa 300 N, como se muestra en la figura.

F2 = 50 N

75º

F2 = 50 N


F1 = 80 N

30º 9 m

14 m

F1 = 80 N

9 m

14 m


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� Primeramente dibujamos el Diagrama de Cuerpo Libre de la Figura, incluimos en este diagrama el peso de la barra que siempre ira a la m itad de la barra .

� Se hace la suma de fuerzas en “x”, como no hay fuerzas en “x”, Fx = 0. � Se hace la suma de fuerzas en “y”.

Fy = 0. FA + FB – 200 N – 300 N – 300 N = 0 FA + FB – 800 N = 0 FA + FB = 800 N (ec. 1)

� Si se observa, tenemos dos incógnitas, para poder resolver alguna de ellas (FA ó FB) necesariamente tenemos que hacer suma de momentos en alguno de los dos puntos ya sea A ó B , para poder anular alguna de ellas. Observando que al hacer suma de momentos en alguno de estos puntos el brazo de palanca de la fuerza con respecto al centro de giro será cero, por lo que se anulara automaticamente.

MA = 0.

- (200 N x 4 m) – (300 N x 7 m) + (FB x 10 m) – (300 N x 14 m) = 0 - 800 N.m – 2100 N.m + 10 m FB – 4200 N.m = 0 - 7100 N.m + 10 m.FB = 0

A B

200 N 300 N

4.00 m 6.00 m 4.00 m

14.00 m

FA FB

200 N 300 N

14.00 m

300 N

3.00 m 3.00 m 4.00 m 4.00 m


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+ 10 m.FB = 7100 N.m FB = 7100 N.m ; FB = 710 N 10 m

� Sustituyendo FB en la ecuación 1 tenemos que:

FA + FB = 800 N (ec. 1) FA + 710 N = 800 N FA = 800 N – 710 N FA = 90 N Ejemplo 2 : Encontrar lo que cargan los soportes A y B de una barra que pesa 250 Kg , como se muestra en la figura.

� Diagrama de cuerpo libre.

� Se hace la suma de fuerzas en “y”. Fy = 0. FA + FB – 400 Kg – 250 Kg – 300 Kg – 100Kg = 0 FA + FB – 1050 Kg = 0

A B

400 Kg 100 Kg

24.00 m

300 Kg

10.00 m 6.00 m 4.00 m 4.00 m

FA FB

400 Kg 100 Kg

24.00 m

300 Kg

6.00 m 4.00 m

250 Kg

4.00 m 4.00 m 6.00 m


50

FA + FB = 1050 Kg (ec. 1)

� Se hace suma de momentos en A y B. (Para comprobar que nos da lo mismo)

MA = 0. (400 Kg x 6 m) – (250 Kg x 6 m) + (FB x 10 m) – (300 Kg x 14 m) – (100 Kg x 18 m) = 0 + 2400 Kg.m – 1500 Kg.m + 10 m.FB – 4200 Kg.m – 1800 Kg.m = 0 - 5100 Kg.m + 10 m.FB = 0 + 10 m.FB = 5100 Kg.m FB = 5100 Kg.m ; FB = 510 Kg 10 m


FA + FB = 1050 Kg (ec. 1) FA + 510 Kg = 1050 Kg; FA = 1050 Kg – 510 Kg; FA = 540 Kg

MB = 0. (400 Kg x 16 m) – (FA x 10 m) + (250 Kg x 4 m) – (300 Kg x 4 m) – (100 Kg x 8 m) = 0 + 6400 Kg.m – 10 m.FA + 1000 Kg.m – 1200 Kg.m – 800 Kg.m = 0 + 5400 Kg.m - 10 m.FA = 0 - 10 m.FA = - 5400 Kg.m FA = - 5400 Kg.m ; FA = 540 Kg -10 m


FA + FB = 1050 Kg (ec. 1) 540 Kg + FB = 1050 Kg; FB = 1050 Kg – 540 Kg, FA = 510 Kg Ejemplo 3 : Encontrar lo que cargan los soportes A y B de una barra que pesa 800 Kg , como se muestra en la figura.

A B

500 Kg 400 Kg

25.00 m

100 Kg

12.00 m 5.00 m 8.00 m


51

� Diagrama de cuerpo libre.

� Se hace la suma de fuerzas en “y”. Fy = 0. FA + FB – 500 Kg – 800 Kg – 100 Kg – 400Kg = 0 FA + FB – 1800 Kg = 0 FA + FB = 1800 Kg (ec. 1)

� Se hace suma de momentos en A y B. (Para comprobar que nos da lo mismo)

MA = 0. (500 Kg x 5 m) – (800 Kg x 7.5m) + (FB x 12 m) – (100 Kg x 12 m) – (400 Kg x 20 m) = 0 + 2500 Kg.m – 6000 Kg.m + 12 m.FB – 1200 Kg.m – 8000 Kg.m = 0 - 12700 Kg.m + 12 m.FB = 0 + 12 m.FB = 12700 Kg.m FB = 12700 Kg.m ; FB = 1058.33 Kg 12 m


FA + FB = 1800 Kg (ec. 1) FA + 1058.33 Kg = 1800 Kg FA = 1800 Kg – 1058.33 Kg FA = 741.67 Kg

� Haciendo suma de Momentos en B .

MB = 0. +(500 Kg x 17 m) – (FA x 12 m) + (800 Kg x 4.5 m) – (400 Kg x 8 m) = 0 + 8500 Kg.m – 12 m.FA + 3600 Kg.m – 3200 Kg.m = 0 + 8900 Kg.m - 12 m.FA = 0

FA FB

500 Kg 400 Kg

25.00 m

100 Kg

5.00 m

800 Kg

4.50 m 7.50 m 8.00 m


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- 12 m.FA = - 8900 Kg.m FA = - 8900 Kg.m ; FA = 741.67 Kg -12 m


FA + FB = 1800 Kg (ec. 1) 741.67 Kg + FB = 1800 Kg FB = 1800 Kg – 741.67 Kg FA = 1058.33 Kg Ejercicios : 1.- Encontrar lo que cargan los soportes A y B de una barra que pesa 100 N, como se muestra en la figura. 2. -Encontrar lo que cargan los soportes A y B de una barra que pesa 400 Kg , como se muestra en la figura.

A B

200 N 400 N

5.00 m 8.00 m 4.00 m

17.00 m

A B

600 Kg 300 Kg

24.00 m

100 Kg

12.00 m 4.00 m 4.00 m 4.00 m


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3. - Encontrar lo que cargan los soportes A y B de una barra que pesa 500 Kg , como se muestra en la figura.

A B

900 Kg 300 Kg

25.00 m

150 Kg

14.00 m 5.00 m 6.00 m


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FRICCIÓN

Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción entre dos superficies en contacto a la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo φ con la normal (el ángulo de rozamiento). Por tanto, esta fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.

Rozamiento entre superficies de sólidos

En el rozamiento entre cuerpos sólidos se ha observado que son válidos de forma aproximada a los siguientes hechos empíricos: • La fuerza de rozamiento se encuentra en la dirección de la superficie de apoyo. • El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de la superficie de contacto. • El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies. • La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de contacto. • Para un mismo par de cuerpos, el rozamiento es mayor un instante antes del movimiento que cuando se está en movimiento. La segunda ley puede ilustrarse arrastrando un bloque o ladrillo sobre una superficie plana. La fuerza de arrastre será la misma aunque el bloque descanse sobre una cara o sobre un borde. Estas leyes fueron establecidas primeramente por Leonardo da Vinci al final del siglo XV, olvidándose después durante largo tiempo y fueron posteriormente redescubiertas por el ingeniero frances Amontons en 1699. Frecuentemente se les denomina también leyes de Amontons.

Tipos de rozamiento Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática y la fricción dinámica. El primero es una resistencia, la cual se debe superar para poner movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. El segundo, es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro es que el estático actúa cuando el cuerpo está en reposo y el dinámico cuando está en movimiento. El roce estático es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento entre los dos objetos (número que se mide experimentalmente y está tabulado) multiplicado por la fuerza normal. El roce cinético, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento, denotado por la letra griega µ, por la normal en todo instante.


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No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es mayor que el dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies, pueden aparecer enlaces iónicos, o incluso microsoldaduras entre las superficies. Éste fenómeno es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del gripaje de un motor por estar mucho tiempo parado (no sólo se arruina por una temperatura muy elevada), ya que al permanecer las superficies del pistón y la camisa durante largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse entre sí. Un ejemplo bastante simple de fricción dinámica es la ocurrida con los neumáticos de un auto al frenar. Por lo anterior, se puede concluir que la fuerza máxima estática (Fme) es directamente proporcional a la fuerza normal(N) que tiende a mantener unidas ambas superficies debido al peso donde: Fme α N. Transformando esta proporcionalidad al incluir una constante, tenemos que: Fme = µeN. Donde: Fme: fuerza máxima de fricción estática (N) N: valor de la fuerza normal (N) µe: constante de proporcionalidad o coeficiente de fricción estático Para la furza de fricción dinámica, esta actua siempre en la misma dirección, pero de sentido contrario al movimiento del cuerpo. Una vez iniciado el movimiento, la fuerza de fricción dinámica se mantiene constante, independientemente de que la velocidad sea grande o pequeña, por lo que: Fd = µdN. Donde: Fd: fuerza máxima de fricción dinámica (N) N: valor de la fuerza normal (N) µd: constante de proporcionalidad o coeficiente de fricción dinámico


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Ejemplos resueltos: 1.- Un instante antes de que una viga de madera de 490 N comience a deslizarse sobre una superficie horizontal de cemento, se aplica una fuerza de fricción estática cuyo valor es de 392 N. Calcular el coeficiente de fricción estático entre la madera y el cemento. Datos: Fórmula: Sustitución: P = N = 490 N Fme = µeN µe = Fme / N Fme = 392 N µe = ¿? µe = 392 N / 490 N µe = 0.8 2.- Para que un bloque de madera de 60 N iniciara su desplazamiento con una velocidad constante sobre una mesa de madera, se aplicó una fuerza cuyo valor es de 21 N. Calcular el coeficiente de fricción dinámico entre las dos superficies. Datos: Fórmula: Sustitución: P = N = 60 N Fd = µdN µd = Fd / N Fd = 21 N µd = ¿? µd = 21 N / 60 N µd = 0.35 3.- Calcular el valor de la fuerza que se necesita aplicar a un cuerpo de 500 N para deslizarlo horizontalmente con una velocidad constante sobre una superficie cuyo coeficiente de fricción dinámico es de 0.4. Datos: Fórmula: Sustitución: P = 500 N Fd = µdN Fd = (0.4)(500 N) F = ¿? µd = 0.4 Fd = 200 N 4.- Calcular el valor de la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque como se muestra en la figura a velocidad constante, si tiene un peso de 150 N y el coeficiente de fricción dinámico es de 0.3.

F =¿? 20°

Solución: ∑Fx = Fx – Fd = 0 ∑Fy = N + (-P) + Fy = 0

Fx = Fd = µdN…(1) N = P - Fy …(2)

W =150 N


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Por lo tanto, de las ecuaciones 1 y 2, tenemos: Fx = µd(P - Fy)…(3) Como se mencionó anteriormente, Fx = Fcosθ y Fy = Fsenθ, entonces: Fx = Fcos20° = F0.9397 Fy = Fsen20° = F0.3420, sustituyendo estos valores en la ecuación 3, tenemos: F0.9397 = 0.3(150 N - F0.3420) F0.9397 = 45 N – F0.1 F0.9397 + F0.1 = 45 N F1.0397 = 45 N F = 45 N / 1.0397 = 43.28 N Ejercicios propuestos: 1.- Un instante antes de que una viga de madera de 540 N comience a deslizarse sobre una superficie horizontal de cemento, se aplica una fuerza de fricción estática cuyo valor es de 428 N. Calcular el coeficiente de fricción estático entre la madera y el cemento. 2.- Para que un bloque de madera de 78 N iniciara su desplazamiento con una velocidad constante sobre una mesa de madera, se aplicó una fuerza cuyo valor es de 35 N. Calcular el coeficiente de fricción dinámico entre las dos superficies. 3.- Calcular el valor de la fuerza que se necesita aplicar a un cuerpo de 625 N para deslizarlo horizontalmente con una velocidad constante sobre una superficie cuyo coeficiente de fricción dinámico es de 0.33. 4.- Calcular el valor de la fuerza que se debe aplicar para deslizar un bloque como se muestra en la figura a velocidad constante, si tiene un peso de 355 N y el coeficiente de fricción dinámico es de 0.43.

F =¿? 38°

W =355 N


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LEYES DE NEWTON DESCRIPCIÓN DE LAS CAUSAS QUE PROVOCAN EL MOVIMIENT O Para completar el estudio del movimiento en esta unidad, abordaremos las causas que lo producen. Fue el físico Isaac Newton quien en 1687 publicó sustrabajos bajo el nombre de Principios Matemáticos de la Filosofía Natural (Nombre original: Philosophiae Naturalis Principia Matemática ), frecuentemente llamados Principia . En ellos relacionó los fenómenos del movimiento de los cuerpos sobre la Tierra y el movimiento de nuestro sistema solar, es decir, el de los planetas alrededor del Sol. Para explicar el movimiento empleó los conceptos de velocidad, aceleración, fuerza y masa. Para propósitos de estudio, consideraremos, en primer lugar, la parte que se refiere al comportamiento de los cuerpos cuando estan sujetos a fuerzas, así como tambien en ausencia de estas. A Newton se le deben grandes descubrimientos como la composición de la luz blanca, la Ley de la Gravitación Universal , y las Leyes que llevan su nombre que nos explican el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen. Las causas que producen el movimiento de los cuerpos, se estudian en la parte de la Mecánica que se llama Dinámica . DINAMICA. – Es la parte de la Mecánica que estudia las causas que producen el movimiento de los cuerpos. Los principios fundamentales de la Dinámica se resumen en tres Leyes conocidas como Leyes de Newton del Movimiento”. MOVIMIENTO. – Se define mivimiento como el cambio de posición de un cuerpo. Tambien definiremos lo que que es Posición: POSICIÓN. – Se define como un punto arbitrario que se caracteriza por tener unas coordenadas especificas, medidas con respecto a un sistemas de referencia en cualquier instante de tiempo.


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RELACION ENTRE FUERZA, PESO Y MASA. Es tan importante hacer la relación de los Terminos Fuerza , Peso y Masa, por que de no hacer una correcta diferenciación de tales terminos se corre el peligro de confundirlas en toda la vida profesional. El peso y la masa son dos conceptos muy distintos . Un ejemplo de la diferencia entre masa y peso seria: Un cuerpo en el espacio libre, es decir sin que se ejerciera sobre el ninguna fuerza de atracción gravitacional, el cuerpo tendría masa, pero no tendría peso. Es por eso que cualquier objeto que salga del margen de influencia de la acción de la gravedad terrestre flota en el espacio, como los astronautas. Otro ejemplo seria: Un astronauta en la tierra tendría la misma masa que uno que estuviera sobre la luna, pero tendrían diferente peso, por que la fuerza de atracción de la tierra y la de la luna son diferentes. La fuerza de atracción de la tierra es 6 veces mayor que la de la luna. MASA. – Es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. PESO. – Es la fuerza gravitacional que ejerce un cuerpo sobre otro mas pequeño. Ejemplo: Si una persona pesa 80 N. quiere decir que la tierra ejerce sobre ella una fuerza de atracción de 80 N. Siendo el peso una fuerza, es una cantidad vectorial, que tiene la dirección hacia el centro de la Tierra. La fuerza no es un concepto sencillo de definir, ya que incluye las tres unidadaes fundamentales: Longitud, masa y tiempo. La fuerza en función de su efecto, podemos definirla como: FUERZA. – Es aquel agente externo capaz de variar el movimiento de un cuerpo, o modificar su forma física, es decir capaz de producir movimiento o deformar un cuerpo. UNIDADES DE FUERZA. La unidad que nos permite establecer una unidad de fuerza en función de la atracción que sufre un cuerpo de masa igual aun kilogramo, la definimos como: KILOGRAMO-FUERZA. – Es el peso de un cuerpo cuya masa es de un kilogramo. NEWTON. – Es la fuerza que al actuar sobre una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m / seg2.


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DINA. – Es la fuerza que al actuar sobre una masa de un gramo le produce una aceleración de 1 cm / seg2 . La masa solo tiene magnitud, por lo que es una cantidad escalar. El Peso y la Fuerza tienen magnitud, dirección y sentido, por lo que son cantidades vectoriales. NOTA: Cuando una fuerza tiene la misma dirección y sentid o que el peso, estas se pueden sustituir una en la otra . La magnitud del peso se expresa en unidades de fuerza.

LEY DE INERCIA (1ra Ley de Newton). Hay ejemplos en la vida diaria de la 1ra Ley de Newton, por ejemplo: Si un pasajero va de pié en un camión y el chofer frena bruscamente, el pasajero tiende a proyectarse hacia delante. Si el pasajero va sentado y el chofer arranca bruscamente, pasajero sentira que se pega en el asiento en el que va sentado. Otro jemplo: Si tuviéramos apiladas unas 12 cajas, una sobre otra y de repente quitaramos bruscamente una de las primeras, al quitar la caja ésta saldria de su lugar y las de arriba caerian sobre las demas. Todo esto es por que los cuerpos tienden a permanecer en reposo o en movimiento uniforme, mientras no haya una fuerza que las haga variar su estado, debido a una propiedad que tiene los cuerpos llamada Inercia . LEY DE INERCIA (1ra Ley de Newton). – Un cuerpo en reposo o en movimiento uniforme, permanecera en reposo o en movimiento uniforme, a menos que se le aplique alguna fuerza exterior. La inercia es una propiedad que tienen los cuerpos de oponerse a variar sun estado de reposo o de movimiento. Como la inercia es una medida cuantitativa de la masa, puede medirse con las unidades de masa que son: Gramos (gr), Kilogramos (Kg), y en el sistema inglé s en Slug .


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Gramo (gr) Kilogra mo (Kg) Slug La primera Ley de Newton está contenida en la segunda Ley de Newton como un caso especial, ya que si no actúa ninguna fuerza sobre un cuerpo (Fuerza = cero), tampoco habrá aceleración (aceleración = cero). La primera parte de la 1ra Ley de Newton trata sobre los cuerpos que estan en reposo. Y dice lo siguiente: Si la fuerza resultante que actua sobre un cuerpo e s cero, el cuerpo estara en reposo (velocidad = cero) a menos que sel aplique una fuer za exterior. En la segunda parte de la 1ra Ley de Newton trata sobre los cuerpos que estan en movimiento y que dice que: Un cuerpo en movimiento uniforme, permanecera en mo vimiento uniforme a menos que se le aplique una fuerza exterior. Esta ley hace caso omiso (no importa en el analisis) de la fricción, ya que sabemos que la fricción llevara finalmente al cuerpo al reposo. Entre mayor sea la fricción más pronto se detendra el cuerpo y cuanto menor sea la fricción más se movera el cuerpo.


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Si se pudiera eliminar totalmente la fricción, la i nercia del cuerpo haria que este se mantuviera indefinidamente en movimiento con veloci dad constante.

LEY DE FUERZA Y MASA (2da Ley de Newton).

Una determinada fuerza acelerará más a un cuerpo pequeño, que a uno de mayor tamaño. Si uno desea empujar un carro, entre mayor sea la fuerza que se aplique, mayor sera la aceleración del carro. Mientras menor masa tenga un cuerpo, mayor aceleración tendrá cuando una fuerza actue sobre él. Newton encontró la relación entre Fuerza, Masa Y Aceleración, y enunció su segunda Ley del Movimiento que dice: LEY DE FUERZA Y MASA (2da Ley de Newton). – Cuando un cuerpo está bajo la acción de una fuerza constante, la aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa. La expresión matemática de esta ley es:

F = m . a Donde: F = Fuerza. m = Masa. a = Aceleración. Las unidades para representar la Fuerza son una combinación de las unidades de masa y las unidades de aceleración, por lo tanto todas las unidades de fuerza estaran dadas por alguna de las siguientes combinaciones. Masa x Aceleración = Fuerza.

1 gr x cm / seg2 = Dina. 1 Kg x m / seg2 = Newton 1 slug x pie / seg2 = Lb-fuerza. DINA. – Es la fuerza que al actuar sobre una masa de un Gramo le produce una aceleración de 1 cm / seg2 . NEWTON. – Es la fuerza que al actuar sobre una masa de un Kilogramo le produce una aceleración de 1 m / seg2.


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LB-FUERZA. – Es la fuerza al actuar sobre una masa de un Slug le produce una aceleración de 1 pie / seg2. EQUIVALENCIAS 1 Newton (N) = 1 x 10 +5 Dinas. 1 Newton (N) = 0.225 lb -fuerza. 1 Dina = 1x 10 -5 Newton. 1 Dina = 2.25 x 10 +6 lb-fuerza. 1 Slug = 14.6 Kg. 1 Kilogramo peso ó Kilogramo fuerza (Kgf) = 9.81 Ne wton. 1 Gramo peso o Gramo fuerza (gf) = 981 Dinas. 1 Tonelada métrica (Tm) = 1000 Kg. KILOGRAMO-FUERZA(Kgf). – Es el peso de un cuerpo cuya masa es de un kilogramo. Como la fuerza se relaciona con el peso cuando la fuerza tiene la misma dirección y sentido del peso entonces podemos definir al peso como:

P = m . g Donde P = Peso del cuerpo ( en gr. cm / seg2, Kg . m / seg2, lb. pie / seg2) m = Masa del cuerpo (en gr, Kg, lb, etc.). g = Aceleración de la gravedad ( en cm / seg2, m / seg2, pie / seg2) Cuando se deja caer una masa libremente, y se aplica la 2da Ley de Newton a este movimiento, la fuerza es equivalente al peso, como lo habiamos señalado anteriormente.


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Unificando el significado de peso, con el de Fuerza obtenemos la siguiente expresión matemática: P = m . g ; m = P g F = m . a ; entonces F = P. a g Ejemplos: 1. – Un carro que pesa 80 Kg esta en reposo sobre una carretera. ¿Cuál sera la fuerza necesaria para comunicarle una aceleración de 2.5 m / seg 2? DATOS FORMULA SUSTITUCION P = 80 Kg. F = P. a F = (80 Kg)(2.5 m / seg2) a = 2.5 m / seg2 g (9.81 m / seg2) g = 9.81 m / seg2 F = ? F = 20.387 Kgf. 2. – ¿Qué fuerza constante dará a una masa de 150 gr una aceleración de 5 cm / seg 2 despreciando la fricción. DATOS FORMULA SUSTITUCION m = 150 gr. F = m . a F = (150 gr)(5 cm / seg2) a = 5 cm / seg2 F = ? F = 750 gr. cm / seg 2 . F = 750 Dinas. 3. – Un carro que pesa 580 lb esta en reposo sobre una carretera. ¿Cuál sera la fuerza necesaria para comunicarle una aceleración de 3 pie / seg 2? DATOS FORMULA SUSTITUCION P = 580 lb. F = P. a F = (580 lb)(3 pie / seg2) a = 3 pie / seg2 g (32 pie / seg2) g = 32 pie/ seg2 F = ? F = 54.375 lb-fuerza. 4. – Una fuerza de 45 N actua sobre una masa de 120 Kg . Encontrar la aceleración. DATOS FORMULA SUSTITUCION F= 45 N. F = m. a a = 45 Kg.m / seg2 m= 120 Kg. 120 Kg a = ? a = F m a = 0.375 m / seg 2.


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Ejercicios: 1. – Un carro que pesa 120 Kg esta en reposo sobre una carretera. ¿Cuál sera la fuerza necesaria para comunicarle una aceleración de 6.7 m / seg 2? 2. – ¿Qué fuerza constante dará a una masa de 1300 gr una aceleración de 25 cm / seg 2 despreciando la fricción. 3. – Un carro que pesa 1250 lb esta en reposo sobre una carretera. ¿Cuál sera la fuerza necesaria para comunicarle una aceleración de 18 pie / seg 2? 4. – Una fuerza de 156 N actua sobre una masa de 13 Kg. Encontrar la aceleración. 5. – Una fuerza de 156 N actua sobre un cuerpo con una aceleración de 122 m / seg 2. Encontrar la masa del cuerpo.

LEY DE ACCION Y REACCION (3ra Ley de Newton). Una fuerza aislada no es posible. Una fuerza es únicamente un efecto de la interacción mutua entre dos cuerpos. En un elevador, de acuerdo con la tercera Ley de Newton, la fuerza ejercida por el pasajero sobre el piso del ascensor sera igual pero de sentido contrario a la fuerza ejercida por el piso sobre el pasajero. Experimentalmente encontramos que un cuerpo al ejercer una fuerza sobre un segundo cuerpo, éste ejercera una fuerza sobre el primero de igual magnitud. Estas fuerzas son de igual magnitud pero de sentido contrario.


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A una de las fuerzas que interviene se le llama Fuerza de Acción y a la otra Fuerza de Reacción . Aclaramos que no es un fenómeno de causa y efecto, si no que es un fenómeno de la interacción de dos cuerpos. Las fuerzas de acción y reacción nunca se equilibran por que no actúan sobre el mismo cuerpo, si no que actúan sobre cuerpos diferentes. La tercera Ley de Newton, llamada de Acción y Reacción, se usa poco para resolver problemas. Se definira la Tercera Ley de Newton como: LEY DE ACCION Y REACCION (3ra Ley de Newton). – A cada fuerza de acción corresponde una fuerza de reacción igual y sentido contarrio, es decir cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre todo, este último ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el primero.


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LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL Y LEYES DE KEPLER LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL Isaac Newton, un día mientras estaba sentado bajo un arbol le cayó una manzana en la cabeza, esto lo hizo reflexionar sobre la fuerza de atracción de los cuerpos. Si la tierra atrae a la manzana, la manzana atrae a la tierra, a su vez todos los cuerpos se atraen entre sí. Newton concluyo que existe una fuerza que expeimentan los planetas que los mantiene en su trayectorias, casi circulares, alrededor del sol. Newton concibió la idea de que el Sol tambien ejerce algún tipo de fuerza de atracción sobre los planetas. Si la luna gira alrededor de la Tierra, debe existir alguna atracción de la tierra sobre la luna, que es la que la mantiene en su orbita alrededor de la tierra. Existen otras lunas girando alrededor de otros planetas y por consiguiente, esta atracción de un cuerpo sobre todo aparece como fenómeno general. Cada masa del Universo atrae a cualquier otra, con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Lo que Newton descubrió fue la Ley de la Gravitación Universal que dice: LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL. – Dos cuerpos cualesquiera se atraen uno a otro directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. La ecuación matemática es: F = α . m1.m2 d2 Incluyendo la constante de proporcionalidad, la ecuación se convierte en: F = G.m1.m2 Donde: d2 F = Fuerza. m = masa de los cuerpos. d = Distancia entre los cuerpos. G = Constante de la Gravitación Universal.


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P.R. Heyl Y P. Chizanowski , en el National Bureu of Standard de los Estados Unidos , obtuvieron en 1942 el valor de “G” actualmente aceptado. Si la Fuerza se da en Newtons, la Masa en Kilogramos y la Distancia en Metros, el valor de “G” es: G = 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2. Si la Fuerza se da en Dinas, la Masa en Gramos y la Distancia en Centimetros, el valor de “G” es: G = 6.673 x 10-8 cm3 / gr x seg2. Si la Fuerza se da en Lb-fuerza, la Masa en Slug y la Distancia en Pies, el valor de “G” es: G = 6.673 x 10-11 pies3 / slug x seg2. Ejemplos: 1.- Encontrar la fuerza de atracción entre la luna y la tierra, si la masa de la luna es de 7.3 x 1022 Kg y la masa de la tierra es de 6 x 1024 Kg y la separación entre sus centros es de 3.9 x 108 m. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN. m1 = 7.3 x 1022 Kg F = G.m1.m2 F = ( 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2)( 7.3 x 1022 Kg)( 6 x 1024 Kg) m2 = 6 x 1024 Kg d2 15.21 x 1016 m2 d = 3.9 x 108 m. d2 = 15.21 x 1016 m2 F = (292.2774 x 10+35 Kg.m3 / seg2) G = 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2 15.21 x 10+16 m2 F? F = 19.216 X 10+19 Kg.m / seg 2. F = 19.216 X 10+19 Newtons.


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2. – Encontrar la masa de la tierra, utilizando la ecuación de la Gravitación Universal, si se sabe que la fuerza ejercida por la tierra sobre cualquier cuerpo de masa igual a 1 gr que se encuentra sobre su superficie es de 981 Dinas y ademas sabiendo ademas que el radio de la tierra es de 6370 Km . DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN. m1 = 1 gr F = G.m1.m2 m2 = (981gr.cm / seg2)( 40.577 x 1016 cm2) m2 = ? d2 (6.673 x 10-8 cm3 / gr x seg2)(1 gr) d = 6.37 x 108 cm. m2 = ..F.d2.. d2 = 40.577 x 1016 cm2 G.m1 m2 = (39806.037 x 10+16 gr.cm3 / seg2) G = 6.673 x 10-8 cm3 / gr x seg2 (6.673 x 10-8 cm3 / seg2) F = 981 gr x cm / seg2 m2 = 5965.239 x 10+24 gr. 3. – Dos esferas de metal con una masa de 5 Kg cada una, estan colocadas a 1.2 m centro a centro. Calcular la fuerza de atracción entre ellas. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN M1 = 5 Kg F = G.m1.m2 F = (6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2)(5 Kg)(5 Kg) M2 = 5 Kg d2 (1.44 m2) d = 1.2 m. d2 = 1.44 m2 F = (1.66825 x 10-9 Kg. m3 / seg2)

G = 6.673 x 10-11 m3 / Kg x seg2 (1.44 m2) F=? F = 1.158 x 10-9 Kg.m / seg 2. Ejercicios: 1.- Encontrar la fuerza de atracción entre Júpiter una de sus lunas, si la masa de la luna es de 8.9 x 10+23 Kg y la masa de Júpiter es de 9 x 10+32 Kg y la separación entre sus centros es de 5.9 x 10+11 m. 2. – Encontrar la masa de Marte, utilizando la ecuación de la Gravitación Universal, si se sabe que la fuerza ejercida por Marte sobre cualquier cuerpo de masa igual a 1 Kg que se encuentra sobre su superficie es de 1210 Newtons y ademas sabiendo ademas que el radio de Marte es de 9850 Km . 3. – Dos esferas de metal con una masa de 350 gr cada una, estan cocolcadas a 800 cm centro a centro. Calcular la fuerza de atracción entre ellas.


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LEYES DE KEPLER

INTRODUCCIÓN Mucho antes que Newton, los astrónomos habian descubierto que los Planetas giraban en orbitas alrededor del Sol. Aristóteles y Ptolomeo describian las orbitas de los Planetas mediante movimientos de circulos dentro de circulos. Nicolas Copernico sostenía que los Planetas giraban alrededor del Sol y no alrededor de la Tierra. John Kepler, astrónomo y filósofo alemán, encontró que era posible describir los movimientos del sistema Solar mediante tres Leyes simples. Las Leyes de Kepler vinieron a reforzar la hipótesis de Copérnico que sostenía que los Planetas giraban alrededor del Sol y no alrededor de la Tierra. Las Leyes de Kepler se aplican a satélites que se mueven en torno a un planeta. John Kepler presentó en su libro las pruebas, por observación y matemáticas, de que todos los planetas se mueven en orbitas elípticas y elaboró sus Leyes conocidas como Leyes de Kepler del Movimiento Planetario y son: PRIMERA LEY DE KEPLER. – Cada planeta describe una órbita elíptica, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. SEGUNDA LEY DE KEPLER. – La linea recta que une al Sol, con cualquiera de los planetas describe áreas iguales en intervalos iguales de tiempo. Una consecuencia de esta segunda Ley de Kepler, es que el invierno en el hemisferio norte es mas corto que en el hemisferio sur, donde el invierno es en julio cuando la tierra esta mas lejos del sol.

Eje mayor Eje mayor

Sol

Planeta

f1

f2


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Según la primera Ley de Kepler los planetas recorren orbitas elípticas y en uno de sus focos esta el Sol de acuerdo con la segunda Ley de Kepler los planetas recorren distancias iguales en intervalos de tiempo iguales. “ Un planeta se trasladara de A a B en el mismo t iempo empleado de ir de C a D”. TERCERA LEY DE KEPLER. – Los cubos de las distancias del sol a dos planestas cualesquiera, están en la misma relación que los cuadrados de sus periodos correspondientes. La expresión matematica de la Tercera Ley de Kepler es: R1

3. = T12. Donde:

R23 T2

2 R1 = Distancia del planeta 1 hasta el sol. T1 = Periodo del planeta 1. R2 = Distancia del planeta 2 hasta el sol. T2 = Periodo del planeta 2. Kepler especificó que la distancia R debe tomarse como la mitad del diámetro mayor de la elipse. Los satelites dan vueltas indefinidamente sobre el mismo punto del ecuador terrestre. Eso se debe a que tienen el mismo periodo que el periodo de rotación de la tierra.

Sol

C B

A D

Julio Enero


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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DESCRIPCIÓN CINEMATICA DE MOVIMIENTO. ¿Qué es el movimiento? Seguramente habrás tenido la oportunidad de ver en la pantalla de un cine o televisión, movimientos en cámara lenta; por ejemplo, el vuelo de un colibrí o en cámara rápida el nacimiento y desarrollo de una flor. El movimiento en ambos casos a simple vista es prácticamente imposible obsérvalos con precisión. En nuestra vida cotidiana hemos visto un objeto que cae, el caminar o correr de una persona, la rápida marcha de un ciclista o de un avión, así como el agua de un río que fluye libremente; decimos que estos objetos están en movimiento, pero ¿Cómo definimos al movimiento? MOVIMIENTO. – Se dice que un movimiento ocurre cuando un objeto cambia de posición en el transcurso del tiempo. Si conocemos y controlamos el movimiento de los cuerpos, podemos utilizarlo en nuestro beneficio. Recordemos que la Mecánica es la parte de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos y las causas que lo producen . Cuando un objeto se pone en movimiento es necesario referirnos con respecto a que lo efectúa, pues carecemos de un sentido de velocidad absoluta. Pongamos por caso el siguiente ejemplo: una persona (un observador) se encuentra en el interior de un tren cerrado que se mueve con velocidad constante en línea recta y sin fricción; ésta (la persona dentro del tren) no puede determinar si se encuentra en reposo o en movimiento, a menos que mire hacia el exterior y fije un punto en el horizonte, pues solo tendrá la sensación de movimiento cuando compare su posición con respecto un punto fijo. Un ejemplo claro de este hecho lo experimentamos día con día al no tener la sensación de movimiento, aun cuando estemos girando alrededor del eje terrestre y nos movamos alrededor del sol también. Cuando se habla de un sistema de referencia, asociamos a éste un sistema de coordenadas cartesiano y un reloj que permiten determinar la posición (o localización) de los cuerpos y partículas, para determinar si se encuentran en reposo.


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DEFINICIÓN DE TRAYECTORIA, DISTANCIA Y DESPLAZAMIEN TO. Antes de definir Trayectoria definiremos otro concepto de suma importancia para estudiar el movimiento, que es el concepto de Posición. Analicemos el siguiente caso: un ave en pleno vuelo parece sin movimiento para un observador que viaja en un automóvil con la misma v elocidad y dirección que el ave, mientras que para otro observador que se encuentra fijo sobre la tierra, el ave se aleja conforme transcurre el tiempo . De lo anterior, podemos definir posición como: POSICIÓN. – Se define como un punto arbitrario que se caracteriza por tener unas coordenadas especificas, medidas con respecto a un sistema de referencia en cualquier instante de tiempo. En consecuencia de lo anterior, el movimiento de cualquier objeto esta determinado por una sucesión de puntos en el espacio que especifican la variación de la posición del cuerpo en cada instante. Por lo anterior definimos por trayectoria como: TRAYECTORIA. – Línea (conjunto de puntos) que describe un cuerpo en su movimiento, como consecuencia de los cambios de su posición en el espacio.


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Del ejemplo anterior, podemos concluir que el movimiento de un cuerpo es relativo; ya que depende del sistema de referencia que se elija, siendo esto lo que determina la posición y la forma de la Trayectoria que siga el cuerpo. El movimiento de los cuerpos, puede ser Rectilíneo o Circular según la trayectoria que siga dicho cuerpo . Al describir un movimiento usamos frecuentemente el término Distancia Recorrida, por lo que es necesario definirla como: DISTANCIA RECORRIDA. – La suma de todas las longitudes de todos los segmentos que conforman la trayectoria. (Es una magnitud escalar ) Muchas veces confundimos lo que es Distancia Recorrida por lo que es Desplazamiento, en este curso se hará la diferenciación para que no haya equivocaciones en lo que resta de su vida profesional. Por lo que definiremos desplazamiento como. DESPLAZAMIENTO. – Cantidad vectorial que describe el cambio neto de posición de un cuerpo en determinada dirección (Si la Trayectoria de la distancia es en línea recta se puede sustituir la palabra Desplazamiento por Distancia ). (Es una magnitud vectorial ) La Distancia y el Desplazamiento se expresan en unidades de longitud . (cm, m, Km, etc.) DEFINICION DE RAPIDEZ y VELOCIDAD. ¿Qué es rapidez?, ¿Qué es velocidad? Decimos que un objeto se mueve cuando cambia su posición con respecto a algún punto de referencia. Iniciamos nuestro estudio con los movimientos más simples de la naturaleza (cuya

E

N Distancia Recorrida

Desplazamiento


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característica es su desplazamiento en línea recta); tal como ocurre con un competidor de una carrera de 100 metros planos; un automóvil que recorre el tramo recto de una carretera sin variar su dirección o el vuelo del águila que surca nuestro cielo en línea recta, etc. ¿Podemos comparar estos movimientos? Comparar significa en nuestro caso, no solo indicar cuál de ellos es más rápido o más lento, si no también especificar, cuántas veces lo es; esto nos induce a definir una variable cuyo valor sirve para nuestros propósitos. Esta variable es la Rapidez. Cabe señalar que no es lo mismo Rapidez que Velocid ad. RAPIDEZ. – Expresa la distancia que realiza un cuerpo en una unidad de tiempo. (Es una magnitud escalar ) VELOCIDAD. – Expresa el desplazamiento que realiza un cuerpo en una unidad de tiempo. (Es una magnitud vectorial )

� Tanto la Rapidez como la Velocidad siempre se va a expresar en las siguientes unidades (cm / seg, m / seg, Km / hra, plg / seg, pie / seg, yrd / seg, milla / hra, etc. )


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INTERPRETACIÓN GRAFICA DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U)

Si al moverse un cuerpo no varía su velocidad ni su dirección y además su trayectoria es una línea recta, decimos que se trata de un Movimiento Rectilíneo Uniforme. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.). – Cuando el cuerpo recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales y la trayectoria es una línea recta se dice que es un Movimiento Rectilineo Uniforme. Frecuentemente se utilizan graficas para analizar las relaciones entre cantidades. Si un cuerpo se mueve con velocidad constante y recorre distancias iguales en tiempos iguales, la distancia recorrida será directamente proporcional al tiempo transcurrido, es decir describirá una trayectoria en línea recta. Para describir mas concretamente este movimiento, consideraremos un móvil que lleva una velocidad uniforme de 5 m / seg . Representando en un eje de coordenadas de las “x” el tiempo y en el eje de la “y” las distancias tenemos que: Tiempo (seg) Distancia (m)

1 5 2 10 3 15 4 20 5 25

0 1 2 3 4 5 6 TIEMPO EN SEGUNDOS

30 25

20 15 10

5

D I S T A N C I A E N M E T R O S


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Si las distancias que recorre un automóvil son iguales en tiempos iguales, se dice que se mueve con velocidad constante. La velocidad constante o velocidad media de un cuerpo en movimiento, se define como la distancia recorrida en la unidad de tiempo. VELOCIDAD MEDIA. – Se define como el cambio de distancia en el tiempo transcurrido. La formula matemática para expresar la velocidad media es:

V = d Donde:

t V = Velocidad media. d = Distancia. t = Tiempo. Significa que la velocidad es un valor promedio para un determinado intervalo de tiempo. Las unidades en las que se expresa la Velocidad Media son: cm / seg, m / seg, Km / hra, plg / seg, pie / seg, yrd / seg, milla / hra, etc Ejemplos: 1. – Un automóvil recorrió 2560 m en un viaje que duro 1 hora y 20 minutos . Encontrar la Velocidad Media en m / seg. DATOS FORMULA SUSTITUCION d = 2560 m V = d V = 2560 m t = 1 hra 20 min t 4800 seg t = 80 min = 4800 seg V = ? V = 0.5333 m / seg. 2. – Un ciclista recorrió una distancia de 6.5 Km a una velocidad de 10 m / seg . Encontrar el tiempo (en segundos) que duro en recorrer esa distancia. DATOS FORMULA SUSTITUCION d = 6.5 Km V = d t = 6500 m


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d = 6.5 x 1000 m = 6500 m t 10 m / seg V = 10 m / seg t = d t = ? V t = 650 seg. 3. – Un automóvil ocupo un tiempo de 6 horas para recorrer una distancia a una velocidad 4 m / seg . Encontrar el total de la distancia (en metros) que recorrió. DATOS FORMULA SUSTITUCION t = 6 horas V = d d = (4 m / seg) x (21600 seg) t = 6 x 3600 seg = 21600 seg t V = 4 m / seg d = V x t d = 86400 m. d = ? Ejercicios: 1. – Un automóvil recorrió 18520 m en un viaje que duro 2 horas y 40 minutos . Encontrar la Velocidad Media en m / seg. 2. – Un ciclista recorrió una distancia de 12 Km a una velocidad de 25 m / seg . Encontrar el tiempo (en segundos) que duro en recorrer esa distancia. 3. – Un automóvil ocupo un tiempo de 1 hora y 15 minutos para recorrer una distancia a una velocidad 2.5 m / seg . Encontrar el total de la distancia (en metros) que recorrió. 4. – Un automóvil ocupo un tiempo de 260 minutos para recorrer una distancia a una velocidad 3 m / seg . Encontrar el total de la distancia (en metros) que recorrió.


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DEFINICIÓN DE VELOCIDAD INSTANTÁNEA, ACELERACIÓN Y ACELERACIÓN MEDIA

Hasta ahora hemos visto cuerpos que se mueven con velocidades constantes en unidades de tiempo iguales, el tema que ahora nos ocupa se refiere a cuerpos que no se mueven con velocidades constantes, y para su análisis tenemos la necesidad de definir que: VELOCIDAD INSTANTÁNEA. – Es la velocidad de un cuerpo en determinado instante. Cuando viajamos en un automóvil, cuya velocidad va cambiando y observamos que en el velocímetro la velocidad va aumentando desde que parte del reposo, decimos que el movimiento no es uniforme. Como el movimiento de un cuerpo no siempre es uniforme, y esto se debe a que las fuerzas que producen el movimiento pueden ser diferentes. Cuando un cuerpo se mueve con velocidad variable, se dice que esta acelerando, esta definición puede darse como: ACELERACIÓN. – Es el cambio de Velocidad (vector) que sufre un cuerpo en la unidad de tiempo (escalar). Se dice que un sistema cambia de velocidad cuando modifica alguna de sus características vectoriales, es decir, cuando hay cambios en la magnitud, en la dirección o en ambas simultáneamente. Así, un automóvil que viaja en línea recta, acelera uniformemente si la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye de la misma manera en cada instante de tiempo. Por otra parte, si el mismo automóvil mantiene constante la velocidad, pero recorre una pista circular, entonces la velocidad cambia de dirección en cada punto de la trayectoria, variando en consecuencia el vector velocidad; en este caso la aceleración es radial y apunta hacia el centro del circulo. De los ejemplos anteriores se deduce que si la velocidad no es constante en el tiempo (es decir que cambia su magnitud o su dirección, o ambas) entonces su variación en cualquier intervalo de tiempo está representada por la Aceleración Media, cuya definición se da a continuación: ACELERACIÓN MEDIA. – Es el cociente del cambio de velocidad (velocidad final menos velocidad inicial) entre el intervalo de tiempo que transcurre para efectuar el cambio. Las unidades de la aceleración se obtienen al dividir las unidades de la velocidad entre las del tiempo. Ejemplo: cm m plg pie ..seg.. = cm ; ..seg.. = m ; ..seg.. = plg ; ..seg.. = pie seg seg2 seg seg2 seg seg2 seg seg2


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INTERPRETACION GRAFICA DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

Si un cuerpo se mueve con aceleración constante, la distancia recorrida es inversamente proporcional al tiempo transcurrido, esto quiere decir que si expresaramos este movimiento graficamente, este nunca nos daría una línea recta, si no que una linea curva. Consideremos el siguiente ejemplo, un cuerpo con aceleración constante y que recorre las distancias indicadas en la tabla siguiente durante los primeros 5 segundos, obtenemos que: Si trazamos en una grafica las cantidades de tiempo en el eje de las “x” , y las distancias en el eje de las “y” , obtenemos: Tiempo (seg) Distancia (m)

1 2 2 4 3 8 4 14 5 22

Nota: recordar los intervalos. (Solo para el maestro) 0 1 2 3 4 5 TIEMPO EN SEGUNDOS Haciendo el análisis de la grafica observamos que el cuerpo sufre una aceleración constante de 2 m / seg. Por lo que siempre debemos de tener presentes las siguientes precisiones:

� Si la velocidad aumenta , la aceleración es positiva . � Si la velocidad disminuye , la aceleración es negativa . � Cuando el cuerpo esta parado o se mueve con velocidad constante no existe

aceleración . Cuando las velocidades, final e inicial son iguales en cualquier intervalo de tiempo, La Aceleración es Cero , como en el movimiento rectilíneo uniforme.

30 25

20 15 10

5

D I S T A N C I A E N M E T R O S


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Como la aceleración es el cambio de la velocidad en la unidad de tiempo la fórmula matemática de la aceleración será:

a = Vf – Vo Donde: t a = Aceleración. Vf = Velocidad final. Vo = Velocidad inicial. t = Tiempo.

Recordemos que las unidades de la aceleración se obtienen al dividir las unidades de la velocidad entre las del tiempo. Ejemplo: cm m plg pie ..seg.. = cm ; ..seg.. = m ; ..seg.. = plg ; ..seg.. = pie seg seg2 seg seg2 seg seg2 seg seg2

1 cm significa que el cuerpo tiene una aceleración de 1 cm / seg cada segundo. seg2

Las ecuaciones matemáticas del movimiento acelerado son:


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Si el cuerpo parte con velocidad inicial.

Si el cue rpo parte del reposo, sin velocidad inicial (Vo = 0)

a = Vf – Vo t

a = Vf t

Vf = Vo + a.t Vf = a.t d = (Vf – Vo).t

2 d = (Vf).t

2 d = Vo.t + a.t2 2

d= a.t2 2

2.a.d = Vf2 – Vo2 2.a.d = Vf2

Ejemplos: 1. – La velocidad inicial de un automóvil es de 20 m / seg y la aumenta hasta los 35 m / seg en 4 segundos . Encontrar la aceleración. DATOS FORMULA SUSTITUCION Vo = 20 m / seg a = Vf- Vo a = (35 m / seg – 20 m / seg) Vf = 35 m / seg t 4 seg t = 4 seg a = 15 m / seg a = ? 4 seg a = 3.75 m / seg2. 2. – Encontrar la velocidad final de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 45 m / seg y sufre una aceleración de 5 m / seg 2 en 8 seg. DATOS FORMULA SUSTITUCION Vo = 45 m / seg Vf = Vo + a.t Vf = (45 m / seg) + [(5 m / seg 2)(8 seg)] a = 5 m / seg2 t = 8 seg Vf = (45 m / seg) + (40 m / seg) Vf = ? Vf = 85 m / seg. 3. – Encontrar la velocidad inicial de un ciclista que finalizó su recorrido con una velocidad 92 m / seg que sufrió una aceleración de 6 m / seg 2 en 12 seg.


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DATOS FORMULA SUSTITUCION Vf = 92 m / seg Vf = Vo + a.t Vo = (92 m / seg) - [(6 m / seg 2)(12 seg)] a = 6 m / seg2 Vo = Vf – a.t t = 12 seg Vo = (92 m / seg) - (72 m / seg) Vo = ? Vo = 20 m / seg. 4. – Encontrar la distancia recorrida por un cuerpo que partió con una velocidad inicial de 8 m / seg y obtuvo una aceleración de 2 m /seg2 en un lapso de 16 segundos. DATOS FORMULA SUSTITUCION Vo = 8 m / seg d = Vo.t + a.t2 d = [(8 m / seg)(16 seg)] + [(2 m / seg 2)(16 seg)2] a = 2 m / seg2 2 2 t = 16 seg d = 128 m + 256 m d = ? d = 384 m. 5. – Encontrar la aceleración de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 5 m / seg , su velocidad final es de 15 m / seg después de haber recorrido 80 m. DATOS FORMULA SUSTITUCION Vo = 5 m / seg 2.a.d = Vf2 – Vo2 a = (15 m / seg)2 - (5 m / seg)2 Vf = 15 m / seg 2(80m) d = 80 m a = Vf2 – Vo2 a = 200 m2 / seg2

a = ? 2.d 160 m a = 1.250 m / seg2. Ejercicios: 1. – La velocidad inicial de un automóvil es de 12 m / seg y la aumenta hasta los 72 m / seg en 5 segundos. Encontrar la aceleración. 2. – Encontrar la velocidad final de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 25 m / seg y sufre una aceleración de 10 m / seg2 en 4 seg. 3. – Encontrar la velocidad inicial de un ciclista que finalizó su recorrido con una velocidad 111 m / seg que sufrió una aceleración de 11 m / seg2 en 11 seg. 4. – Encontrar la distancia recorrida por un cuerpo que partió con una velocidad inicial de 32 m / seg y obtuvo una aceleración de 6 m /seg2 en un lapso de 8 segundos.


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5. – Encontrar la aceleración de un ciclista que inició su recorrido con una velocidad 8 m / seg , su velocidad final es de 64 m / seg después de haber recorrido .25 Km. 6. – Un automóvil parte del reposo y recorre una distancia de 8000 cm en 6 seg, al terminar su velocidad final es de 12 m / seg. Encontrar la aceleración. 7. – Encontrar la velocidad final de un ciclista que partió del reposo, que sufrió una aceleración de 12 m / seg2 en 0.35 min. 8. – Encontrar la velocidad inicial de un ciclista que finalizó su recorrido con una velocidad 126 m / seg que sufrió una aceleración de 3 m / seg2 en 0.30min.


85

DEFINICIÓN DE GRAVEDAD Aceleración debida a la Gravedad. La experiencia cotidiana, nos permite afirmar que, cualquier objeto a cierta altura, cae, con un movimiento acelerado y en línea recta, cuando se le deja de sostener. Esta aceleración que denotaremos (señalaremos siempre) por la letra g, tiene un valor constante de 9.80665 m / seg 2 (sistema M.K.S.) y de 32.174 pie / seg 2 (en el sistema ingles). Galileo Galilei, astrónomo, matemático y físico, italiano, concluyo, a partir de observaciones experimentales, que: “Todos los cuerpos cercanos a la superficie terrest re son atraídos con la misma aceleración g”, esta afirmación es una idealización de la realidad, pues las características del movimiento dependen principalmente de la forma, tamaño y densidad del objeto, y en orden secundario, del lugar donde se realice el experimento y de las condiciones atmosféricas del mismo. Los experimentos realizados en diferentes puntos de la tierra demuestran que la aceleración debida a la gravedad no es la misma en todas partes, sino que hay pequeñas variaciones, pero son tan pequeñas que no tienen ninguna consecuencia. Tomando en cuenta las observaciones anteriores, puede afirmarse que:

� aceleración debida a la gravedad es vertical y dirigida hacia abajo. � Siempre utilizaremos los siguientes valores constantes para la Aceleración de la

Gravedad, que son:


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g = 981 cm / seg 2. g = 9.81 m / seg 2. g = 386.22 plg / seg 2. g = 32 pie / seg 2.

� Siempre se tomara la aceleración de la gravedad como negativa cuando va hacia abajo . � Si dos objetos cualesquiera caen simultáneamente en el vació, desde la misma altura,

llegaran al mismo tiempo y con la misma velocidad.


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CAIDA LIBRE Anteriormente se ha descrito como un caso particular el movimiento con aceleración constante, el movimiento de caída de los cuerpos cerca de la superficie terrestre; necesita un análisis mas cuidadoso. Para hacer este análisis utilizaremos el siguiente ejemplo, si tomamos la película de un objeto que cae y la pasamos lentamente; lo que se observa es lo siguiente; inicialmente el objeto está en reposo, al comenzar a caer la velocidad se va incrementando conforme recorre la distancia que lo separa del suelo, alcanzando el valor máximo cuando este llega al suelo, o sea que la distancia se reduce a cero. Por lo que definiremos Caída Libre como: CAIDA LIBRE. – Es la acción de lanzar o dejar caer libremente un cuerpo cualquiera desde una altura cualquiera. Cuando un cuerpo inicia su movimiento al dejarlo caer libremente su velocidad inicial es igual a cero . Pero cuando lo lanzamos desde una altura cualquiera la velocidad inicial siempre es diferente de cero . Las ecuaciones matemáticas para Caída Libre son las mismas que las del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado , solo se sustituyen “g” por “a” y “h” por “d” .


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Si el cuerpo parte del reposo, sin velocidad inicial (Vo = 0)

Vf = Vo + g.t Vf = g.t

h = (Vf – Vo).t 2

h = (Vf).t 2

h = Vo.t + g.t2 2

h= g.t2 2

Vf 2 = Vo2 + 2.g.h Vf2 = 2.g.h

Al igual que en el movimiento acelerado las unidades para la aceleración de la gravedad se obtienen al dividir las unidades de la velocidad entre las del tiempo. Ejemplo: cm m plg pie ..seg.. = cm ; ..seg.. = m ; ..seg.. = plg ; ..seg.. = pie seg seg2 seg seg2 seg seg2 seg seg2

Ejemplos: 1. – Se deja caer una piedra desde un puente que tiene una altura de 8 m. Calcular.

a) ¿ Cuanto tiempo duro la piedra en el aire? b) ¿ A que velocidad llega al agua?

DATOS FORMULA SUSTITUCION h = 8 m a) h = g.t 2 t = ….(2)(8 m).… g = 9.81 m / seg2 2 9.81 m / seg2 t = ? Vf = ? t = 2.h t = 1.631 m2 / seg2 g t = 1.277 seg. b) Vf = g. t Vf = (9.81 m / seg2) x (1.277 seg) Vf = 12.527 m / seg. 2. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 8 m / seg desde un árbol de 15 m de altura. Calcular.

a) ¿ Con que velocidad chocara con el suelo? b) ¿Cuanto tiempo tardara la piedra en caer?


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DATOS FORMULA SUSTITUCION h = 15 m a) Vf2 = Vo2 + 2.g.h Vf = (8 m / seg)2 + (2)(9.81 m / seg2)(15 m) g = 9.81 m / seg2 Vo = 8 m / seg Vf = Vo2 + 2.g.h Vf = 358.30 m2 / seg2 Vf = ? t = ? Vf = 18.93 m / seg. b) Vf = Vo + g.t t = (18.93 m / seg) – (8 m / seg) 9.81 m / seg2 t = Vf – Vo g t = 1.114 seg. 3. – Se lanzó un objeto con una velocidad inicial de 6 m / seg , este llego al suelo con una velocidad de 56 m / seg , después de 9 seg . Encontrar la altura desde la que fue lanzado. DATOS FORMULA SUSTITUCION Vo = 6 m / seg h = (Vf - Vo) . t h = [(56 m / seg) - (6 m / seg)] x (9 seg) Vf = 56 m / seg2 2 2 t = 9 seg h = 225 m. h = ? 4. – Se deja caer un objeto desde un edificio y tarda en llegar al suelo 8 segundos . Calcular.

a) La velocidad con que llega al suelo. b) La altura del edificio.

DATOS FORMULA SUSTITUCION t = 8 seg a) Vf = g.t Vf = (9.81 m / seg2) x (8 seg) g = 9.81 m / seg2 Vf = 78.48 m / seg. Vf = ? t = ? b) h = Vf.t h = (78.48 m / seg) x (8 seg) 2 2 h = 313.92 m. 5. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 6 m / seg , al llegar al suelo su velocidad final es de 88 m / seg . Calcular


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a) La altura desde la que fue lanzado. b) El tiempo que permaneció en el aire. DATOS FORMULA SUSTITUCION h = ? a) Vf2 = Vo2 + 2.g.h h = [(88 m / seg)2 - (8 m / seg)2] g = 9.81 m / seg2 2 (9.81 m / seg2) Vo = 6 m / seg h = Vf2 - Vo2 Vf = 88 m / seg 2.g h = 7680 m2 / seg2 t = ? 19.62 m / seg2 h = 391.44 m. b) h = (Vf - Vo ) . t t = …….(2) ( 391.44 m)…….. 2 (88 m / seg) - (6 m / seg) t = ....2.h.... t = 782.88 m.... Vf + Vo (96 m / seg) t = 8.33 m. 6. – Se lanzó un objeto desde una altura de 452 m, con una velocidad inicial de 18 m / seg , el objeto permaneció en el aire 12 seg. Encontrar la velocidad final con que llega al suelo. DATOS FORMULA SUSTITUCION h = 452 m h = (Vf - Vo) . t Vf = (2)(452 m) – (18 m / seg) Vo = 18 m / seg2 2 12 seg t = 12 seg Vf = ? Vf = (2.h) - Vo Vf = 75.33 m / seg – 18 m / seg t Vf = 57.33 m / seg. Ejercicios: 1. – Se deja caer una piedra desde un puente que tiene una altura de 120 m. Calcular.

a) ¿ Cuanto tiempo duro la piedra en el aire? b) ¿ A que velocidad llega al agua?

2. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 12 m / seg desde un árbol de 180 cm de altura. Calcular.

a) ¿ Con que velocidad chocara con el suelo? b) ¿Cuanto tiempo tardara la piedra en caer?

3. – Se lanzó un objeto con una velocidad inicial de 8 m / seg , este llego al suelo con una velocidad de 72 m / seg , después de 11 seg . Encontrar la altura desde la que fue lanzado. 4. – Se deja caer un objeto desde un edificio y tarda en llegar al suelo 17 segundos . Calcular.


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a) La velocidad con que llega al suelo.

b) La altura del edificio. 5. – Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 9 m / seg , al llegar al suelo su velocidad final es de 166 m / seg . Calcular

b) La altura desde la que fue lanzado. b) El tiempo que permaneció en el aire. 6. – Se lanzó un objeto desde una altura de 565 m, con una velocidad inicial de 15 m / seg , el objeto permaneció en el aire 20 seg . Encontrar la velocidad final con que llega al suelo.


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TIRO VERTICAL Recordando el ejemplo que se dio anteriormente para describir la Caída Libre tenemos que si tomamos una película de un objeto que cae y la pasamos lentamente; lo que se observa es lo siguiente; inicialmente el objeto está en reposo, al comenzar a caer la velocidad se va incrementando conforme recorre la distancia que lo separa del suelo, alcanzando el valor máximo cuando este llega al suelo, o sea que la distancia se reduce a cero. ¿Qué ocurriría si la película se pasa al revez? Veríamos un objeto que parte inicialmente con una velocidad distinta de cero, disminuyendo su valor conforme se aleja del piso hasta hacerse nula cuando alcanza la altura máxima. Lo especificado anteriormente es lo que ocurre cuando lanzamos un objeto verticalmente hacia arriba, éste se va frenando por la acción de la aceleración de la gravedad. Es importante analizar lo siguiente “cuando se lanza un objeto hacia arriba, este se v a frenando hasta llegar a un punto en el que momentán eamente estará en reposo y su velocidad será igual cero, luego iniciara el movimi ento de regreso aumentando su velocidad hasta llegar al suelo con la misma veloci dad con la que fue lanzado” . Para analizar esta clase de movimiento, usaremos la siguiente regla de signos, siempre tomando como origen el punto de lanzamiento.


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� Distancias por encima del origen POSITIVAS.

� Velocidad hacia arriba POSITIVA.

� Distancias por abajo del origen NEGATIVAS .

� Velocidad hacia abajo NEGATIVA .

� Aceleración de la Gravedad Natural (Hacia abajo) NEGATIVA.

V = - V = + g = - Como el movimiento de Tiro Vertical sigue las mismas leyes que el movimiento de Caída Libre, entonces las formulas serán las mismas.

4 seg

5 seg

6 seg

7 seg 1 seg

2 seg

3 seg

8 seg

Distancias por debajo del origen NEGATIVAS.

Distancias por arriba del origen POSITIVAS.

Velocidad hacia arriba POSITIVA.

Velocidad hacia abajo NEGATIVA.

Aceleración de la Gravedad NEGATIVA.

Origen


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Si el cuerpo parte del reposo, sin velocidad inicial (Vo = 0)

Vf = Vo + g.t Vf = g.t

h = (Vf – Vo).t 2

h = (Vf).t 2

h = Vo.t + g.t2 2

h= g.t2 2

Vf 2 = Vo2 + 2.g.h Vf2 = 2.g.h

Esta clase de movimiento, tiene otras tres nuevas incógnitas por calcular que son:

� La altura máxima alcanzada. � El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. � El tiempo que permanece en el aire.

Las expresiones matemáticas para calcular estas incógnitas son:

h max = Vo2 ó h max = Vo.t Altura máxima alcanzada.

2g 2 t = Vo Tiempo para alcanzar la altura máxima.

g 2t Tiempo que permanece en el aire. Ejemplos: 1. – Se lanza una flecha hacia arriba con una velocidad de 24 m / seg. Calcular.

a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) La altura máxima alcanzada.

DATOS FORMULA SUSTITUCION Vo = 24 m / seg a) t = Vo t = (24 m / seg) g = 9.81 m / seg2 g 9.81 m / seg2 h max = ? t = 2.45 seg t = ? b) h max = Vo.t h max = (24 m / seg) x (2.446 seg) 2 2 h max = 29.352 m. h max = Vo2 h max = ….(24 m /seg)2…. 2.g (2)(9.81 m / seg2)


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h max = 29.357 m. 2. – Se lanza una bola hacia arriba, llega a una altura máxima de 245 m. Calcular.

a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) Su velocidad cuando llega al suelo. c) Su velocidad a los 5 seg .

DATOS FORMULA SUSTITUCION h max = 245 m Para poder calcular t es necesario conocer Vo por lo que g = 9.81 m / seg2 la obtenemos de h max = Vo 2 (donde g y h max son conocidas) t = ? 2.g Vf = ? Vf5 = ? Vo = h max. 2.g Vo = (245 m)(2)(9.81 m / seg2) Vo = 69.33 m / seg. a) t = Vo t = 69.33 m / seg g 9.81 m / seg2 t = 7.067 seg.

b) Como la velocidad con que se lanza un objeto, debe ser la misma con la que llega entonces Vo = -Vf (es negativa por que va hacia abajo). Vo = - Vf Vf = - 69.33 m / seg

c ) Vf 5 = Vo + g.t Vf5 = (69.33 m /seg) +(- 9.81 m / seg2)(5 seg) Vf5 = 20.28 m / seg. 3. – Se lanza una flecha hacia arriba, regresa al suelo después de 10 seg . Calcular.

a) La velocidad con que fue lanzada. b) La altura máxima alcanzada.

DATOS FORMULA SUSTITUCION 2t = 10 seg a) t = Vo Vo = (9.81 m / seg2)x(5 seg) g = 9.81 m / seg2 g t = 5 seg Vo = g.t Vo = 49.05 m / seg. Vo = ? h max = ?


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b) h max = Vo .t h max = (49.05 m / seg) x (5 seg 2 2 h max = 122.625 m. h max = Vo2 h max = ….(49.05 m /seg)2…. 2.g (2)(9.81 m / seg2) h max = 122.625 m. 4. – Se lanza una pelota hacia arriba, llega a una altura máxima de 435 m. Calcular.

a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) Su velocidad a los 8 seg . c) Su velocidad a los 12 seg .

DATOS FORMULA SUSTITUCION h max = 435 m Para poder calcular t es necesario conocer Vo por lo que g = 9.81 m / seg2 la obtenemos de h max = Vo 2 (donde g y h max son conocidas) t = ? 2.g Vf8 = ? Vf12 = ? Vo = h max. 2.g Vo = (435 m)(2)(9.81 m / seg2) Vo = 92.38 m / seg. a) t = Vo t = 92.38 m / seg g 9.81 m / seg2 t = 9.417 seg. b ) Vf 8 = Vo + g.t Vf8 = (92.38 m /seg)+( - 9.81 m / seg2)(8 seg) Vf8 = 13.90 m / seg. c ) Vf 12 = Vo + g.t Vf12 = (92.38 m /seg)+( - 9.81 m / seg2)(12 seg) Vf12 = - 25.34 m / seg. 5. – Se lanza una piedra hacia arriba, regresa al suelo después de 18 seg . Calcular.


DATOS FORMULA SUSTITUCION 2t = 18 seg a) t = Vo Vo = (9.81 m / seg2)x(9 seg) g = 9.81 m / seg2 g t = 9 seg Vo = g.t Vo = 88.29 m / seg. Vo = ?


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h max = ? b) h max = Vo.t h max = (88.29 m / seg) x (9 seg) 2 2 h max = 397.305 m. h max = Vo2 h max = ….(88.29 m /seg)2…. 2.g (2)(9.81 m / seg2) h max = 397.305 m. Ejercicios: 1. – Se lanza una bola hacia arriba, llega a una altura máxima de 300 m. Calcular.

a) El tiempo para alcanzar la altura máxima. b) Su velocidad cuando llega al suelo. c) Su velocidad a los 6 seg .

2. – Se lanza una flecha hacia arriba, regresa al suelo después de 16 seg . Calcular.


3. – Se lanza una pelota hacia arriba, llega a una altura máxima de 520 m. Calcular.

d) El tiempo para alcanzar la altura máxima. e) Su velocidad a los 9 seg . f) Su velocidad a los 16 seg .

4. – Se lanza una piedra hacia arriba, regresa al suelo después de 22 seg . Calcular.



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MOVIMIENTO CIRCULAR DESCRIPCION CINEMATICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR SIMP LE. Un cuerpo describe un Movimiento Circular cuando su trayectoria es una circunferencia y gira alrededor de un punto central, llamado “Eje de Rotación”. Son ejemplos de cuerpos que tienen movimiento circular: Las poleas, los ejes, los engranes, los discos, la mayoría de las ruedas de las maquinas y otros instrumentos mecánicos que giran sobre su propio eje, sin realizar un movimiento de traslación. El movimiento circular se realiza en un mismo plano y es un movimiento de dos dimensiones. Es posible que un cuerpo describa un movimiento de rotación sin realizar ningún movimiento de traslación. En el Movimiento Circular, el origen del sistema de referencia se encuentra en el centro de la trayectoria circular. En el caso de la mayoría de las ruedas de una maquina, los ejes de rotación son líneas a través de centros geométricos perpendiculares a los planos de rotación.


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DEFINICIÓN DE TRAYECTORIA Y DESPLAZAMIENTO (CIRCULA R Y ANGULAR) Para estudiar el movimiento circular, es conveniente recordar los siguientes conceptos. TRAYECTORIA. – Es la línea que describe el cuerpo en su movimiento (La trayectoria de los cuerpos con movimiento circular es una circunferencia). DESPLAZAMIENTO CIRCULAR. – Es una magnitud vectorial que corresponde a una distancia medida entre dos puntos en una trayectoria circular. La cantidad de rotación que experimenta un cuerpo se mide por el desplazamiento angular (0). DESPLAZAMIENTO ANGULAR. – Se define como la relación entre la longitud del arco descrito y la longitud del arco (se expresa en grados º , vueltas o revoluciones rev ó radianes rad ).

θ = s Donde:

r θ = Desplazamiento angular (en radianes). s = Longitud del arco ( en cm, m, plg, pie, etc.). r = Radio (en cm, m, plg, pie, etc.). Si un cuerpo se mueve de A a B, en la figura siguiente el desplazamiento se mide por el ángulo. DEFINICIÓN DE VELOCIDAD ANGULAR PERIODO Y FRECUENCI A. En el movimiento circular uniforme (M.C.U.) un cuerpo describe ángulos iguales en tiempos iguales, por lo que definiremos la Velocidad Angular como:

Desplazamiento Circular

Desplazamiento Circular

θθθθ = s r r

r

s


100

VELOCIDAD ANGULAR. – Se define como la relación entre el desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo que tarda en realizarlo (siempre en rad / seg ). Su expresión matemática es:

W = θ Donde:

t W = Velocidad angular (en rad / seg). θ = Desplazamiento angular (en rad). t = Tiempo en que se realiza el desplazamiento, en seg. FRECUENCIA, PERIODO Y AMPLITUD. En la naturaleza muchos movimientos ocurren de forma que se repiten a intervalos iguales de tiempo, recorriendo una trayectoria repetidas veces entre dos puntos de retorno como ocurre con el vaivén de un péndulo o de un columpio, la vibraciones de la tabla del trampolín de una alberca, a los movimientos que se comportan de esta manera se les llama Movimientos Periódicos. Un movimiento como el del péndulo que se repite sobre una trayectoria se llama Oscilatorio o Vibratorio y se caracteriza por un sistema elástico y por una fuerza deformadora. Cuando una fuerza externa deja de actuar sobre el sistema, éste oscila o vibra entre dos puntos de retorno; en este caso el desplazamiento que sufre el sistema recibe el nombre de Elongación(Estiramiento). Si observamos las oscilaciones de un péndulo podremos definir los siguientes conceptos: FRECUENCIA (F). – Es el numero de vueltas o revoluciones que realiza un cuerpo en la unidad de tiempo. PERIODO (T). – Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa ó revolución, únicamente. AMPLITUD. – Desplazamiento o elongación máxima que experimenta un sistema, medida a partir de su posición de equilibrio. Las ecuaciones matemáticas de Frecuencia y Periodo son:

T = 1 ; F = 1 F T El Periodo es el inverso de la Frecuencia y la Frecuencia el inverso del Periodo. La Velocidad Angular también se puede calcular si conocemos el tiempo que tarda el cuerpo en dar una revolución completa.


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W = 2 π (en rad / seg) ; W = 2 π F (en rad / seg)

T La rotación de un cuerpo en el movimiento circular se expresa en radianes. Al medir los ángulos en radianes se simplifican todas las formulas del Movimiento Circular. El radian es una unidad de medida angular, así como el metro, el centímetro o el pie son unidades de medida lineal. RADIAN (rad) . – Es el ángulo central cuyo arco del circulo, es igual al radio.

Como la longitud de la circunferencia es igual a 2 π rad .

1 revolución (rev) = 2 ππππ rad.

1 revolución (rev) = 360º = 2 ππππ rad. 1 radián (rad) = 360º = ......360º....... = 57.295º.

2 π π π π 2 x 3.14159 1 radian (rad) = 57.295º 1 revolución (rev) = 6.283 rad. rps = revoluciones por segundo. rpm = revoluciones por minuto. En ocasiones se hace necesario hacer algunas conversiones, como los siguientes ejemplos:

� 50 rev a rad = 50 x 6.283 rad = 314.15 rad . � 20 rad a rev = ...20... = 3.183 rev .

6.283 � 36 rad a rev = ...36... = 5.730 rev .

6.283 � 72 rps a rad / seg = 72 x 6.283 = 452.376 rad / seg . � 1200 rpm a rad / seg = 1200 x 6.283 = 125.66 rad / seg . 60 � 4500 rpm a rad / seg = 4500 x 6.283 = 471.225 rad / seg . 60 � 12 rad a º = 12 x 57.295º = 687.54º. � 5600º a rad = ..5600º.. = 101.23 rad.

57.295º � 125 rps a rpm = 125 x 60 = 7500 rpm. � 5600 rpm a rps = 5600 = 93.33 rps

60

r


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Ejemplos : 1. – El arco descrito por un péndulo de 0.5 m y si la longitud del mismo es de 50cm . Calcular el ángulo en radianes y en grados. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN s = 0.5 m θθθθ = s θ = 0.5 m r = 50 cm = 0.5 m r 0.5 m θ = ? θθθθ = 1 rad = 57.295º . 2. – El arco descrito por un péndulo de 0.6 m y si la longitud del mismo es de 10 cm . Calcular el ángulo en radianes y en grados. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN s = 0.6 m θθθθ = s θ = 0.6 m r = 10 cm = 0.1 m r 0.1 m θ = ? θθθθ = 6 rad = 343.77º . 3. – Calcular la velocidad angular de una rueda que tiene un desplazamiento angular de 60 rad en 0.6 seg . DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN θ = 60 rad W = θ θ θ θ W = 60 rad t = 0.6 seg t 0.6 seg W = ? W = 100 rad / seg . 4. – Calcular el desplazamiento angular de una rueda que gira a 72 rad / seg en 2.4 seg . DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN W = 72 rad / seg W = θθθθ θ = (72 rad / seg)x(2.4 seg) t = 2.4 seg t θ = ? θ θ θ θ = W.t θ θ θ θ = 172.8 rad . 5. – Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que gira una rueda de un automóvil si su periodo es de 0.5 seg .


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DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN T = 0.5 seg W = 2ππππ W = (2)x( 3.141592654) W = ? T 0.5 seg F = ? W = 12.566 rad / seg . F = 1 F = …..1….. T 0.5 seg F = 2 rev / seg . 6. – Calcular la velocidad angular y el periodo de una rueda de un automóvil que gira con una frecuencia de 360 revoluciones por minuto . DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN

F = 360 rpm = 360 = 6 rps W = 2.ππππ. F W = (2)( 3.141592654)(37.698 rad / seg) 60 F = 6 rps x 6.283 rad = 37.698 rad / seg W = 236.81 rad / seg. W = ? T = ? T = 1 T = … 1 . F 6 rev / seg. T = 0.1666 seg . 7. – Calcular la velocidad y el desplazamiento angular de un disco que gira a 78 rpm , si el tiempo de giro fue de 2.5 minutos . DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN

F = 78 rpm = 78 = 1.3 rps W = 2.ππππ. F W = (2)( 3.141592654)(8.1679 rad / seg) 60 F = 1.3 rps x 6.283 rad = 8.1679 rad / seg W = 51.32 rad / seg. t = 2.5 min = 60 x 2.5 = 150 seg W = ? θ = ? θ θ θ θ = W.t θ = (51.32 rad / seg)(150 seg) θθθθ = 7698 rad.


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Ejercicios : 1. – El arco descrito por un péndulo de 0.8 m y si la longitud del mismo es de 75cm . Calcular el ángulo en radianes y en grados. 2. – El arco descrito por un péndulo de 0.9 m y si la longitud del mismo es de 33 cm . Calcular el ángulo en radianes y en grados. 3. – Calcular la velocidad angular de una rueda que tiene un desplazamiento angular de 240 rad en 0.8 seg . 4. – Calcular el desplazamiento angular de una rueda que gira a 122 rad / seg en 3.5 min . 5. – Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que gira una rueda de un automóvil si su periodo es de 0.85 seg . 6. – Calcular la velocidad angular y el periodo de una rueda de un automóvil que gira con una frecuencia de 620 revoluciones por minuto . 7. – Calcular la velocidad y el desplazamiento angular de un disco que gira a 88 rpm , si el tiempo de giro fue de 7.5 minutos . Realizar las siguientes conversiones: 2400 rpm a rad / seg = 9000 rpm a rad / seg = 12000 rpm a rps = 9500 rpm a rps = 200 rps a rpm = 320 rev a rad = 560 rad a rev = 22 rad a º = 560 º a rad = DEFINICION DE VELOCIDAD ANGULAR INSTANTANEA Y VELOC IDAD ANGULAR MEDIA. Además de los conceptos anteriores, es necesario también definir, lo que es Velocidad Angular Instantánea y Velocidad Angular Media.


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VELOCIDAD ANGULAR INSTANTÁNEA. – Es la velocidad angular que lleva el cuerpo en determinado instante. VELOCIDAD ANGULAR MEDIA (W). – Se define como la mitad de la suma de la velocidad angular inicial y velocidad angular final. La ecuación matemática de la Velocidad Angular media es:

W = Wf + Wo Donde:

2 W = Velocidad angular media (en rad / seg) Wf = Velocidad angular final. Wo = Velocidad angular inicial. Ejemplo: 1. – Calcular la velocidad angular media de un disco que presenta una velocidad angular inicial de 8 rad / seg y termina con una velocidad angular de 72 rad / seg . DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wo = 8 rad / seg W = Wf + Wo W = (8 rad / seg) + (72 rad / seg) Wf = 72 rad / seg 2 2 W = ? W = 40 rad / seg . Ejercicios: 1. – Calcular la velocidad angular media de un disco que presenta una velocidad angular inicial de 16 rad / seg y termina con una velocidad angular de 74 rad / seg. 2. – Calcular la velocidad angular inicial de una rueda, que inicio a girar con una velocidad angular de 20 rad / seg , si su velocidad angular media es de 56 rad / seg .


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MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V. ). Hasta este momento se ha estudiado lo que le ocurre a un sistema que se mueve con velocidad angular constante; ahora veremos lo que pasa cuando esta variable cambia en cada instante de tiempo. Por esto definiremos de la forma mas sencilla lo que es el: MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V. ). – Se le llama al movimiento de un cuerpo que describe una trayectoria circular y su velocidad angular no es constante si no que varía en cada unidad de tiempo. Para mantener la trayectoria circular hay una fuerza constante que actúa perpendicularmente a la trayectoria del cuerpo, produciendo una aceleración, que va cambiando constantemente la dirección del movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad. Cuando la velocidad angular de un cuerpo con movimiento circular no permanece constante, se dice que experimenta una Aceleración Angular que se define como: ACELERACIÓN ANGULAR. – Se le llama aceleración angular al cambio de la velocidad angular en la unidad de tiempo. La formula matemática de la aceleración angular es :

α = Wf – Wo Donde:

t α = Aceleración angular (en rad / seg2). Wf = Velocidad angular final. Wo = Velocidad angular inicial. t = Tiempo. Las ecuaciones matemáticas para el Movimiento Circular Uniformemente Variado son:


Si el cuerpo parte del repo so, sin velocidad inicial (Wo = 0)

α α α α = Wf – Wo t

α α α α = Wf t

Wf = Wo + α .t Vf = α.t θθθθ = (Wf + Wo).t

2 θ θ θ θ = (Wf).t

2 θθθθ = Wo.t + α .t2

2 θ θ θ θ = α .t2

2 Wf 2 = Wo2 + 2.α .0 Wf2 = 2.α .0


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Ejemplos: 1. – Un taladro gira a 240 rpm , acelera y adquiere una velocidad final de 360 rpm en 6 seg . Calcular:

a) La aceleración angular. b) El ángulo total girado.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wo = 240 rpm = 240 rpm x 6.283 a) α α α α = Wf - Wo α = (37.69 rad / seg) – (25.13 rad / seg) 60 t 6 seg Wo = 25.13 rad / seg Wf =360 rpm = 360 rpm x 6.283 α α α α = 2.093 rad / seg 2. 60 Wf = 37.69 rad / seg t = 6 seg b) θθθθ = (Wf + Wo).t θ =[(37.69 rad / seg) + (25.13 rad / seg)]x(6 seg) α = ? 2 2 θ = ? θθθθ = 188.46 rad. 2. – Un motor gira a 1200 rpm y a los 3 seg adquiere una velocidad de 3500 rpm . Calcular:

a) La velocidad angular media. b) El ángulo total girado.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wo =1200 rpm =1200 rpm x 6.283 a) W = Wf + Wo W = (366.51 rad / seg) + (125.66 rad / seg) 60 2 2 seg Wo = 125.66 rad / seg Wf =3500 rpm = 3500 rpm x 6.283 W = 246.085 rad / seg . 60 Wf = 366.51 rad / seg t = 3 seg b) θ θ θ θ = (Wf + Wo).t θ =[(366.51 rad / seg) + (125.66 rad / seg)]x(3seg) W = ? 2 2 θ = ? θθθθ = 738.255 rad. 3. – Partiendo desde el reposo, el volante de una maquina de vapor adquiere una rapidez de 12000 rpm en un minuto. Encontrar la aceleración angular en rad / seg2. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wf = 12000 rpm = 12000 rpm x 6.283 a) α α α α = Wf α = (1256.60 rad / seg) 60 t 60 seg Wf = 1256.60 rad / seg


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t = 1 min = 60 seg. αααα = 20.943 rad / seg 2. α = ? 4. – Una bomba gira a 450 rpm , luego presenta una aceleración de 22 rad / seg 2 en 18 seg. Calcular:

c) La velocidad angular final. d) El ángulo total girado.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wo=450 rpm =450 rpm x 6.283 a)Wf = Wo + α α α α . t W f = (47.12 rad / seg)+[(22 rad / seg2)(18 seg)] 60 Wo = 47.12 rad / seg Wf = 443.12 rad / seg. α = 22 rad / seg2 t = 18 seg b) θ θ θ θ = (Wf + Wo).t θ = [(443.12 rad / seg) + (47.12 rad / seg)](18 seg) Wf = ? 2 2 θ = ? θθθθ = 4412.16 rad. 5. – Una trurbohelice gira a 42 rad / seg , luego acelera 15 rad / seg 2 , si su desplazamiento angular fue de 1200 rad . Calcular la velocidad angular final. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wo = 42 rad / seg Wf2 = Wo2 + 2.αααα.0 Wf = (42 rad / seg)2 + (2)(15 rad / seg2)(1200 rad) α = 15 rad / seg2 θ = 1200 rad Wf = 1764 rad2 / seg2 + 36000 rad2 / seg2

Wf2 = Wo2 + 2.αααα.0 Wf = 194.329 rad / seg. 6. – Partiendo desde el reposo, el volante de una maquina de vapor adquiere una rapidez de 8500 rpm en 25 seg . Encontrar la aceleración angular en rad / seg2. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN Wf = 8500 rpm = 8500 rpm x 6.283 a) αααα = Wf α = (890.09 rad / seg) 60 t 25 seg Wf = 890.09 rad / seg t = 25 seg. αααα = 35.60 rad / seg 2. α = ?


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7. – Partiendo desde el reposo, una rueda adquiere un desplazamiento angular de 820 rad , en un tiempo de 32 seg . Calcular la velocidad angular final. DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN θ = 820 rad θθθθ = Wf . t Wf = (820 rad )(2) t = 32 seg 2 32 seg Wf = ? Wf = θ.θ.θ.θ.2 t Wf = 51.25 rad / seg. Ejercicios: 1. – Un taladro gira a 180 rpm , acelera y adquiere una velocidad final de 420 rpm en 18 seg . Calcular:

e) La aceleración angular. f) El ángulo total girado.

2. – Un motor gira a 1500 rpm y a los 5 seg adquiere una velocidad de 2500 rpm . Calcular:

c) La velocidad angular media. d) El ángulo total girado.

3. – Partiendo desde el reposo, el volante de una maquina de vapor adquiere una rapidez de 9500 rpm en un minuto. Encontrar la aceleración angular en rad / seg2. 4. – Una bomba gira a 560 rpm , luego presenta una aceleración de 15 rad / seg 2 en 13 seg. Calcular:

g) La velocidad angular final. h) El ángulo total girado.

5. – Una turbohelice gira a 30 rad / seg , luego acelera 11 rad / seg 2 , si su desplazamiento angular total fue de 560 rad . Calcular la velocidad angular final. 6. – Partiendo desde el reposo, el volante de una maquina de vapor adquiere una rapidez de 7200 rpm en 19 seg . Encontrar la aceleración angular en rad / seg2. 7. – Partiendo desde el reposo, una rueda adquiere un desplazamiento angular de 1160 rad , en un tiempo de 54 seg . Calcular la velocidad angular final.


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RELACION ENTRE VELOCIDAD LINEAL Y ANGULAR, Y ACELERACION LINEAL Y ANGUALR.

Las magnitudes angulares pueden relacionarse con las magnitudes lineales con las siguientes ecuaciones: s = θ θ θ θ . r s = Longitud del arco (en cm, m, etc.) V = W . r V = Velocidad lineal (en cm / seg, m / seg, etc.). a = αααα . r a = Aceleración lineal (en cm / seg2, m / seg2, etc.). r = Radio ( en cm, m, etc.). W = Velocidad angular (en rad / seg). α = Aceleración angular ( en rad / seg2). θ = Desplazamiento angular (en rad). Ejemplos: 1. – Una rueda gira a una velocidad angular de 300 rpm . Calcular la velocidad lineal en un punto a 1.5 m del centro.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN W = 300 rpm = 300 x 6.283 V = W . r V = (31. 415 rad / seg)(1.5) 60 W = 31.415 rad / seg V = 47.122 m / seg. r = 1.5 m V = ? 2. – Una rueda se desplazó 562 rad . Calcular la longitud del arco si el radio de la rueda es de 0.8 m.

DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN θ = 562 rad s = θθθθ . r s = (562 rad)( 0.8 m) r =0.8 m s = ? s = 449.6 m 3. – Una rueda presentó una aceleración angular de 26 rad / seg 2. Calcular la aceleración lineal si la rueda presenta un radio de 1.3 m.


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DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN α = 26 rad / seg2 a = α α α α . r a = (26 rad / seg2)(1.3 m) r =1.3 m a = ? a = 33.80 rad / seg 2 Ejercicios: 1. – Una rueda gira a una velocidad angular de 460 rpm . Calcular la velocidad lineal en un punto a 1.3 m del centro.

2. – Una rueda se desplazó 855 rad . Calcular la longitud del arco si el radio de la rueda es de 0.5 m.

3. – Una rueda presentó una aceleración angular de 35 rad / seg 2. Calcular la aceleración lineal si la rueda presenta un radio de 0.75 m.

4. – La longitud de un arco es de 565 m. Calcular el desplazamiento angular si el radio del circulo es de 0.7 m.

5. – Una rueda presentó una aceleración lineal de 22 m / seg 2. Calcular la aceleración angular si la rueda presenta un radio de 1.35 m.


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ENERGÍA MECÁNICA ENERGIA MECANICA TRABAJO. - Se define como el producto de una fuerza aplicada sobre un objeto, por el desplazamiento que tenga este en dirección de alguna de sus componentes. (Una fuerza por una distancia ). En física el trabajo se define como la fuerza multiplicada por la distancia a través de la cual actúa la fuerza. TRABAJO = Componente de la Fuerza x desplazamiento. (Distancia) T = F x d Donde: T = Trabajo. F = Fuerza necesaria para levantar un cuerpo verticalmente. d = Distancia. F = P = m x g Donde: P = Peso. m = Masa. g = Gravedad.


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T = m x g x d Donde: T = Trabajo. m = Masa. g = Gravedad. d = Distancia. Las equivalencias de la gravedad para este curso de FÍSICA I serán las siguientes: g = 9.81 m / seg 2

g = 981.00 cm / seg 2

g = 3.22 ft / seg 2

g = 386.22 plg / seg 2

Ejemplos: 1. - Calcular el trabajo realizado al levantar una masa de 350 gr a una altura de 120 cm . DATOS FORMULA SUSTITUCION. T =? T = m x g x d T = 350 gr x 981 cm / seg2 x 120 cm. m = 350 gr. T = 41,202,000.00 (gr x cm / seg2) x cm. d = 120 cm. T = 41,202,000.00 (dina x cm). g = 981.00 cm /seg2. T = 4.1202 x 10E+07 Ergios . 2. – Se realizo un trabajo de 42,200 Joules para levantar un vagón de tren a una altura de 56 m. Calcular la masa de dicho vagón,

UNIDADES DE TRABAJO

EQUIVALENCIAS

SIGNIFICADO

Dina x cm = Ergio. 1 dina = 1x10E -07 joules.

Dina = gr x cm / seg2

Newton x m = Joule. 1 joule = 1x10E+07 ergio.

Newton = Kg x m / seg2

Kgf x m = Kg m (Kilogrametro)

1Kg m = 9.80 joules.

Libra x Pie = lb - ft 1 gf x cm = 980.00 ergio.


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DATOS FORMULA SUSTITUCION. m = ? m = …..T…. m = 42,200 (Kg x m / seg2) x m T = 42,200 Joules. g x d (9.81 m / seg2) x (56 m) d= 56 m. g = 9.81m/seg2. m = 42,200 (Kg x m2 / seg2) 549.36 m2 / seg2

m = 76.816 Kg. 3. - Se levanto un motor que pesa 500 Kg fuerza a una altura de 4 m. Encontrar el trabajo realizado en Joules. DATOS FORMULA SUSTITUCION. T=? T= F x d. T = 500 Kg. x 4 m. F= P = 500 Kg. T = 2,000 Kg m. d = 4 m. 1 Kg m = 9.80 joules. T = 2,000 Kg m x 9.80 T = 19,600 Joules. 4. - Se realizo un trabajo de 3650 Joules para mover motor que pesa 320 Kg fuerza. Encontrar la distancia que fue desplazado. DATOS FORMULA SUSTITUCION. d = ? d = T d = 3650 Kg m F = 320 Kg. F 320 Kg T = 3650 Joules. d = 11.406 m. Ejercicios: 1. - Calcular el trabajo realizado al levantar una masa de 1200 gr a una altura de 420 cm . 2. – Se realizo un trabajo de 18,600 Joules para levantar un vagón de tren a una altura de 48 m. Calcular la masa de dicho vagón.


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3. - Se levanto un motor que pesa 1235 Kg fuerza a una altura de 54.5 m. Encontrar el trabajo realizado en Joules. 4.- Se realizo un trabajo de 7524 Joules para mover motor que pesa 1225 Kg fuerza. Encontrar la distancia que fue desplazado.

TRABAJO CONTRA FRICCION. - Se define como el producto del desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. (Como se muestra en la siguiente figura). Tx = (F x cos θθθθ) x d Ty = (F x sen θ) x d T = w x N x d Donde: T = Trabajo. w = Coeficiente de fricción, N = Normal. θθθθ = Angulo. Ejemplos: 1. - Si el coeficiente de fricción por desplazamiento para un bloque es de 0.20, que tiene una masa de 20 Kg y va a recorrer una distancia de 3 m.¿Cuál será él trabajo que realizara? DATOS FORMULA SUSTITUCION. T = ? T= w x N x d T= (0.20 x 196 Newton x 3 m). m =20 Kg. T= 117.60 Newton x m. d = 3 m. N = m x g = 196.2 Newton. T= 117.60 Joules w = 0.20.

d

F

θθθθ

Ty

Tx


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2.- Una fuerza de 100 Dinas aplicada a un ángulo de 30° mueve un objeto a una distancia de 15 cm . Encontrar el trabajo realizado en forma horizontal. DATOS FORMULA SUSTITUCION. T = ? T = (F x cos θθθθ) x d T = (100 Dinas x cos 30° x 15 cm) F = 100 Dinas T = (100 Dinas x ( 0.8660) x 15 cm) d = 15 cm. T = (86.60 Dinas x 15 cm) θ = 30° T = 1,299.00 Ergios . 3.- Encontrar el trabajo realizado en forma vertical por una fuerza de 1620 Newtons aplicada a un ángulo de 75° y en una distancia de 220 m. DATOS FORMULA SUSTITUCION. T = ? T = (F x sen θθθθ) x d T = (1620 Newtons x sen 75° x 220 m) d = 220 m. T = (1620 Newtons x ( 0.9659) x 220 m) θ = 75° T = ( 1,564.758 Newtons x 220 m) F = 1620 Newtons. T = 344,246.76 Joules . Ejercicios: 1. - Si el coeficiente de fricción por desplazamiento para un bloque es de 0.65, que tiene una masa de 1450 Kg y va a recorrer una distancia de 22 m.¿Cuál será él trabajo que realizara? 2.- Una fuerza de 475 Dinas aplicada a un ángulo de 45° mueve una masa de 535 gr a una distancia de 46 cm . Encontrar el trabajo realizado en forma horizontal. 3.- Encontrar el trabajo realizado en forma vertical por una fuerza de 18,624 Newtons aplicada a un ángulo de 92º y en una distancia de 5620 m.


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ENERGIA ENERGIA.- Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo. TIPOS DE ENERGIA: 1.- ENERGIA RADIANTE. - Es la producida por ondas electromagnéticas. Por ejemplo: ondas hertzianas, rayos gama, rayos x, rayos ultravioleta, rayos infrarrojos o luminosos(sol). 2.- ENERGIA NUCLEAR. - Es la originada por la energía que mantiene unidas a las partículas en el núcleo de los átomos. 3.- ENERGIA QUIMICA. - Se produce cuando las sustancias reaccionan entre sí, alterando su constitución intima. Por ejemplo: las pilas, acumuladores, explosivos. 4.- ENERGIA ELECTRICA. - Se produce cuando a través de un conductor, se logra un movimiento o flujo de electrones. 5.- ENERGIA CALORIFICA. - Se produce por la combustión de carbón, madera, petróleo, gas natural, etc. 6.- ENERGIA HIDRAULICA. - Es la producida por el movimiento de agua, al mover las turbinas para producir Electricidad. 7.- ENERGIA EOLICA.- Es la producida por el movimiento del aire. Por ejemplo: molinos de viento, aero - generadores etc. 8.- ENERGIA MECANICA.- Es la energía que poseen los cuerpos cuando debido a su movimiento oposición son capaces de realizar un trabajo. Se divide en:


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ENERGIA CINETICA. ENERGIA MECANICA ENERGIA POTENCIAL. ENERGIA CINETICA (Ec). - Es la que posee cualquier cuerpo que se encuentre en movimiento, puede definirse también como la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo debido a su movimiento. Por ejemplo: un avión en vuelo, un barco al navegar, la corriente del agua, etc.

La expresión matemática para representar la energí a cinética es:

Ec = m x v 2 Donde: Ec = Energía Cinética. 2 m = Masa. v = Velocidad. Ec = Kg x m 2 / seg2 = Newton x m = Joule


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Ejemplos: 1. - Calcular la energía cinética de una masa de 10 Kg que se mueve con una velocidad de 5 m / seg . DATOS FORMULA SUSTITUCION. Ec =? E = m x v 2 Ec = (10 Kg x (5 m / seg ) 2) m = 10 Kg. 2 2 v = 5 m / seg. Ec = 250 (Kg x m2 / seg2). Ec = 250 (Newton x m). Ec = 250 Joules. 2. - Calcular la energía cinética del electrón que se mueve con una velocidad de 1 x 10+ 6 m / seg . Si la masa del electrón es de 9.1 x 10– 31 Kg . DATOS FORMULA SUSTITUCION. Ec = ? Ec = m x v 2 Ec = (9.1 x 10– 31 Kg) x (1 x 10+6 m /seg )2) v = 1.0 x 10+6 m / seg. 2 2 m = 9.1 x 10-31 Kg. Ec = 4.55 x 10 -19 Joules. 3. - Calcular la masa de un cuerpo, si lleva una velocidad de 10 m / seg y su energía cinética es de 1,000 Joules. DATOS FORMULA SUSTITUCION. m=? Ec = m x v 2 m = (2 x 1,000 Joules) v = 10 m / seg. 2 (10 m / seg)2 Ec= 1000 Joules. m = 2 x Ec m = (2,000 Kg m2 / seg2) V2 (100 m2 / seg2) m = 20 Kg. 4.- Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 3000 gr , si su energía cinética es de 200 Joules .


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DATOS FORMULA SUSTITUCION. v= ? Ec = m x v 2 v = (2 x 200 Joules) m = 3000 gr = 3 Kg. 2 (3 kg) Ec= 200 Joules. v = 2 x Ec v = 400 Kg m2 / seg2

m 3 Kg v = 133.33 m2 / seg2 v = 11.547 m / seg Ejercicios: 1. - Calcular la energía cinética de una masa de 25 Kg que se mueve con una velocidad de 12 m / seg . 2. - Calcular la energía cinética del electrón que se mueve con una velocidad de 1.5 x 10 E + 08 m / seg . Si la masa del electrón es de 7.55 x 10E – 18 Kg . 3. - Calcular la masa de un cuerpo, si lleva una velocidad de 45 m / seg y su energía cinética es de 8555 Joules. 4.- Determinar la velocidad que lleva un cuerpo cuya masa es de 12,000 gr , si su energía cinética es de 325 Joules . ENERGIA POTENCIAL (Ep). - Es la que posee todo cuerpo, cuando en función de su posición o estado es capaz de realizar un trabajo. Por ejemplo: un resorte comprimido, las presas, un automóvil en la cima de una pendiente, una flecha lista para dispararse.


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Ep = m x g x h. Donde: Ep = Energía Potencial. Ep = F x h. g = Gravedad. m = masa en Kg, lb, g. h = Altura. Ejemplos: 1. – Una masa de 10 Kg se levanta a una altura de 1.50 m del piso. Encontrar su energía potencial. DATOS FORMULA SUSTITUCION. Ep=? Ep = m x g x h. Ep = 10 Kg x 9.81m / seg2 x 1.50 m. m= 10 Kg. Ep = 147.15 (Kg x m / seg2) x m. h= 1.50 m. Ep = 147.15 (Newton x m). g= 9.81 m / seg2. Ep = 147.15 Joules. 2. - ¿ A qué altura se debe encontrar una silla de 5 Kg para que tenga una energía potencial de 90 Joules . DATOS FORMULA SUSTITUCION. h = ? Ep = m x g x h. h = 90 Kg x m2 / seg2.. m = 5 Kg. (5 Kg x 9.81m / seg2) Ep = 90 Joules h = Ep g = 9.81m / seg2. m x g h = 1.834 m 3. - Un cuerpo tiene una masa de 20 Kg y cae desde una altura de 600 cm. Calcular la energía potencial expresando el resultado en Joules y Ergios. DATOS FORMULA SUSTITUCION. Ep=? Ep = m x g x h Ep = 20 Kg x 9.81m / seg2 x 6 m. m= 20 Kg. = 20,000 gr. Ep = 1,177.20 (Kg x m / seg2) x m. h= 600 cm. = 6 m. Ep = 1,177.20 (Newton x m). g= 981cm / seg2 = 9.81 m / seg2. Ep = 1,177.20 Joules. Ep = 20,000 gr x 981 cm / seg2 x 600 cm.


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Ep = 1.177 x 10E +10 (gr x cm / seg2) x cm. Ep = 1.177 x 10E +10 (Dinas x cm). Ep = 1.177 x 10E +10 Ergios. Ejercicios: 1. – Una masa de 145 Kg se levanta a una altura de 82.3 m del piso. Encontrar su energía potencial. 2. - ¿ A qué altura se debe encontrar una silla de 123 Kg para que tenga una energía potencial de 824 Joules . 3. - Un cuerpo tiene una masa de 32 Kg y cae desde una altura de 50 cm. Calcular la energía potencial expresando el resultado en Joules y Ergios.


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POTENCIA POTENCIA.- Es la rapidez con que se desarrolla un trabajo.El tiempo que toma realizar un trabajo. Como se muestra en la fiura 1. POTENCIA = TRABAJO ; P = T ; P = F x d ; P = F x v . TIEMPO t t . Donde: P = Potencia. T = Trabajo. t = tiempo. F = Fuerza. v = Velocidad.


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UNIDADES PARA EXPRESAR POTENCIA: WATTS = Joules / seg. 1 WATTS = Newton x m HORSE POWER = HP seg. CABALLOS DE VAPOR = CV EQUIVALENCIAS: KW = 1 KILOWATT = 1,000 Watts. CV = 1 CABALLO DE VAPOR = 75 Kg m / seg. CV = 1 CABALLO DE VAPOR = 735 Watts. HP = 1 CABALLO DE FUERZA = 550 lb-ft / seg. HP = 1 CABALLO DE FUERZA = 746 Watts. 1 Joule / seg. = 1 Watts. 1 Kgm / seg. = 9.81 Joules / seg. Ejemplos. 1. - Calcular la potencia de una grúa, que es capaz de levantar 30 bultos de cemento hasta una altura de 10 m en un tiempo de 2 seg. Si cada bulto tiene una masa de 50 Kg . DATOS FORMULA SUSTITUCION P = ? P = m x g x d P = (30 x 50 Kg x 9.81m / seg2 x 10 m) m = 50 Kg. t 2 seg d = 10 m. P = 147,157 Newton x m t = 2 seg. 2 seg g = 9.81 m / seg2

P = 73,575 Watts. 2. - Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es de 37,500 Watts para levantar una carga de 5,290 Newtons hasta una distancia de 70 m. DATOS FORMULA SUSTITUCION P = 37,500 Watts P = F x d t = (5,290 Newtons x 70 m) F = 5,290 Newtons t 37,500 Watts d = 70 m. t = …370,300 (Newtons x m).. t = ? t = F x d 37,500 (Newtons x m/ seg) P t = 9.874 seg.


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3. - La potencia de un motor eléctrico es de 50 HP ¿ A que velocidad constante puede elevar un peso de 9,800 Newtons ? DATOS FORMULA SUSTITUCION P = 50 HP = 37,300 Watts. P = F x v v = 37,300 Watts F= 9,800 Newtons 9,800 Newtons v =? v = P v = 3.806 (Newtons x m / seg) F Newton v = 3.806 m / seg. 4. - Calcular la distancia desde que fue levantada una roca que tiene un peso de 2,350 Newtons , a la cual se le aplico una potencia de 4,700 Watts en un tiempo de 17 seg . DATOS FORMULA SUSTITUCION P = 4,700 Watts P = F x d d = (4,700 Watts x 17 seg) F = 2,350 Newtons t 2,350 Newtons t = 17 seg. d = 79,900 Newtons x m d = ? d = P x t 2,350 Newtons F d = 34 m. Ejercicios. 1. - Calcular la potencia de una grúa, que es capaz de levantar 15 bultos de cemento hasta una altura de 17 m en un tiempo de 6 seg. Si cada bulto tiene una masa de 25 Kg . 2. - Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es de 45,200 Watts para levantar una carga de 8,500 Newtons hasta una distancia de 102 m. 3. - La potencia de un motor eléctrico es de 625 HP ¿ A que velocidad constante puede elevar un peso de 12,500 Newtons ? 4. - Calcular la distancia desde que fue levantada una roca que tiene un peso de 2,400 Newtons , a la cual se le aplico una potencia de 5,000 Watts en un tiempo de 12 seg . 5. - La potencia de un motor de gasolina es de 550 HP, ¿ Que fuerza debe tener para desplazar un cuerpo a 15.50 m / seg ?


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LEYES DE CONSERVACION LEYES DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

� “LA ENERGIA NO SE CREA, NI SE DESTRUYE SOLO SE TRAN SFORMA”. � “LA ENERGIA SIEMPRE SE CONSERVA AL TRANSFORMARSE UN A EN LA OTRA”.

� “LA CANTIDAD TOTAL DE ENERGIA EN EL UNIVERSO ES CO NSTANTE”.

La energía puede manifestarse como: CALORIFICA, LUM INOSA, ELECTRICA, MECANICA, HIDRAULICA, SONORA, POTENCIAL, CINETICA, ATOMICA o NUCLEAR, etc. Un ejemplo de energía transformada es una presa que contenga una planta hidroeléctrica.

� El agua almacenada tiene una energía potencial . � Al entrar en los tubos de corriente se transforma en energía cinética . � Al pasar por la turbina se convierte en energía mecánica . � La turbina hace girar al transformador para convertir la energía mecánica en energía eléctrica . � La energía eléctrica pasa a las redes de distribución para llegar a la casa y transfórmala nosotros en energía de varios tipos.


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INTERCONVERSIONES DE ENERGIA POTENCIAL Y ENERGIA CI NETICA. Si consideramos una caída de agua en la cima de una montaña tiene Ep(Energía Potencial) debido a su posición a medida que el agua cae, aumenta la Ec(Energía Cinética) y disminuye la Ep(Energía Potencial). Al llegar al agua a la base, la Ep es cero, mientras que la Ec tiene su valor máximo. En la caída de un cuerpo, a medida que el cuerpo, se va convirtiendo en el conforme va aumentando su velocidad hasta que cae al suelo. Et = Ec + Ep ; Et = m x v2 + m x g x h Donde: Et = Energía Total. 2 m = Masa. v = Velocidad. g = Gravedad. h = Altura. F = Fuerza. La cantidad de conversión de energía se calcula con la siguiente expresión: F x h = m x v2 ó m x g x h = m x v2

2 2 Ejemplos: 1. - Una fuerza horizontal constante de 294 Newtons actúa sobre una caja de 250 Kg de masa a una distancia de 12 m si se desprecia la fricción y la caja arranca desde el reposo ¿Cuál es su velocidad?. DATOS FORMULA SUSTITUCION F= 294 Newtons. F x h = m x v 2 v = 2 x 294 Newtons x 12 m m = 250 Kg. 2 250 Kg h = 12 m. v = ? v = 2 x Fx h v = 7,056 Kg x m2 / seg2 m 250 Kg v = 28.224 m2 / seg2 v = 5.312 m / seg.


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2. - Con un martillo de 1 Kg de masa se introduce un clavo a una madera, si la velocidad del martillo es de 2 m / seg cuando golpea al clavo y lo introduce 1 cm en la tabla. Calcular la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo. DATOS FORMULA SUSTITUCION v = 2 m / seg. F x h = m x v 2 F = 1 Kg x (2 m / seg)2 h = 1 cm.= .01 m 2 2 x.01m m = 1 Kg. F = 200 Kg x m / seg2

F = ? F = m x v 2 2 x h F = 200 Newtons. Ejemplos: 1. - Una fuerza horizontal constante de 960 Newtons actúa sobre una caja de 120 Kg de masa a una distancia de 5 m si se desprecia la fricción y la caja arranca desde el reposo.¿Cuál es su velocidad?. 2. - Con un martillo de 12 Kg de masa se introduce un clavo a una madera, si la velocidad del martillo es de 24 m / seg cuando golpea al clavo y lo introduce 12 cm en la tabla. Calcular la fuerza ejercida por el martillo sobre el clavo.


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CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL Ó CANTIDAD DE MOVIMIENTO

MOMENTO LINEAL. – Es el producto de la masa por la velocidad, por lo que se desprende que todo cuerpo móvil tiene cantidad de movimiento. MOMENTO LINEAL = m x v SI v = d ENTONCES, MOMENTO LINEAL = m x d t t ML = m x v ML = m x d Donde: ML = Momento Lineal. t m = Masa. v = Velocidad. d = Distancia. t = Tiempo. UNIDADES PARA EXPRESAR MOMENTO LINEAL: kg . m , g . cm , slug . ft . seg seg seg Ejemplos: 1. – Calcular el momento lineal de un niño de 45 kg que corre a 6 m / seg . DATOS FORMULA SUSTITUCION m = 45 Kg. ML = m x v ML = 45 Kg x 6 m / seg v = 6 m / seg. ML = ? ML = 270 kg x m seg 2. – Un atleta de 70 kg corre una distancia de 400 m en 42 seg . Calcular el momento lineal, DATOS FORMULA SUSTITUCION t = 42 seg. ML = m x d ML= 70 Kg x 400 m d = 400 m. t 42 seg m = 70 Kg. ML = ? ML= 666.66 kg x m


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seg 3. – Un atleta recorre una distancia de 655 m en 82 seg, si su momento lineal fue de 530 Kg x m / seg . Calcular la masa del atleta. DATOS FORMULA SUSTITUCION t = 82 seg. ML = m x d m = (530 Kg x m / seg) x 82 seg. d = 655 m. t 655 m ML = 530 Kg x m / seg. m = ML x t m = ? d m = 66.35 Kg. Ejercicios: 1. – Calcular el momento lineal de un niño de 105 kg que corre a 12 m / seg . 2. – Un atleta de 85 kg corre una distancia de 275 m en 18 seg . Calcular el momento lineal, 3. – Un atleta recorre una distancia de 452 m en 74 seg, si su momento lineal fue de 375 Kg x m / seg . Calcular la masa del atleta.


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“LEY DE LA CONSERVACION DEL MOVIMIENTO” “LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO TOTAL ANTES DEL I MPACTO ES IGUAL A LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO TOTAL DESPUÉS DEL IMPACTO”. “CUANDO DOS O MAS CUERPOS CHOCAN, UN CUERPO GANA CANTIDAD DE MOVIMIENTO, Y EL OTRO LO PIERDE, PERO LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO TOTAL SE CONSERVA”. Esta Ley se aplica a todo fenómeno de colisión. u1 u2 ANTES “LA CA NTIDAD DE MOVIMIENTO TOTAL ANTES DEL IMPACTO ES IGUAL”. m1 m2 m1 x u1 + m2 x u2 DURANTE

F F DESPUÉS “LA CANTI DAD DE MOVIMIENTO TOTAL DESPUÉS DEL IMPACTO ES IGUAL”. v1 v2 m1 x v1 + m2 x v2 La ecuación matemática de esta ley es: m1 x u1 + m 2 x u2 = m1 x v1 + m2 x v2


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Donde: m1 y m 2 = Masa de los cuerpos. u1 y u2 = Velocidad de m1 y m2 antes del impacto. v1 y v2 = Velocidad de m1 y m2 después del impacto. Ejemplos: 1. – Una bola cuya masa es de 5 gr se mueve con una velocidad de 20 cm / seg choca contra otra bola de 10 gr de masa que se mueve en la misma dirección con una velocidad de 10 cm / seg . Después del impacto, la primera bola aun esta en movimiento, pero su velocidad ahora es de 12 cm / seg . Calcular la velocidad de la segunda bola después del impacto. DATOS FORMULA SUSTITUCION ANTES DEL IMPACTO m 1xu1+ m2xu2 = m1xv1 + m2xv2 (5 x 20) + (10 x 10) = (5 x 12) + (10 x v2) m1 = 5 gr. 100 + 100 = 60 + (10 x v2) u1 = 20 cm / seg 200 = 60 + (10 x v2) m2 = 10 gr. 200 – 60 = 10 x v2 u2 = 10 cm / seg. 140 = 10 x v2 DESPUÉS DEL IMPACTO v2 = 140.00 v1= 12 cm / seg. 10.00 v2= ? v2 = 14 cm / seg. 2. – Una bola cuya masa es de 25 Kg se mueve con una velocidad de 60 m / seg choca contra otra bola de 64 Kg de masa, que mueve en la misma dirección. Después del impacto, la primera bola aun esta en movimiento, pero su velocidad ahora es de 24 m / seg y la velocidad de la segunda es de 15 m / seg . DATOS FORMULA SUSTITUCION ANTES DEL IMPACTO m 1xu1+ m2xu2 = m1xv1 + m2xv2 (25 x 60) + (64 x u2) = (25 x 24) + (64 x15) m1 = 25 Kg. 1,500 + (64 x u2) = 600 + 960 u1 = 60 m / seg 1,500 + (64 x u2) = 1560 m2 = 64 Kg. 64 x u2 = 1560 - 1500 u2 = ? 64 x u2 = 60 DESPUÉS DEL IMPACTO u2 = 60 v1= 24 m / seg. 64 v2= 15 m / seg. u2 = 0.9375 m / seg.


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Ejercicios: 1. – Una bola cuya masa es de 15 gr se mueve con una velocidad de 13 cm / seg choca contra otra bola de 18 gr de masa que se mueve en la misma dirección con una velocidad de 14 cm / seg . Después del impacto, la primera bola aun esta en movimiento, pero su velocidad ahora es de 17 cm / seg . Calcular la velocidad de la segunda bola después del impacto. 2. – Una bola cuya masa es de 13 Kg se mueve con una velocidad de 45 m / seg choca contra otra bola de 48 Kg de masa, que mueve en la misma dirección. Después del impacto, la primera bola aun esta en movimiento, pero su velocidad ahora es de 15 m / seg y la velocidad de la segunda es de 22 m / seg .


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PROPIEDADES MECANICAS DE LA MATERIA ESTADO SÓLIDO Se dice que un cuerpo se encuentra en estado sólido cuando, las fuerzas intermoleculares predominan sobre el movimiento térmico, es decir las moléculas se unen fuertemente entre sí a distancias cortas formando agregados compactos (sólidos ). En los sólidos las moléculas están muy juntas y los espacios entre ellas son muy pequeños, por esto, tienen características propias. CARACTERÍSTICAS DE LOS SÓLIDOS. Tienen forma propia, un volumen determinado, son compresibles, pero menos compresibles que los gases, su densidad es elevada, no se difunden, las moléculas ocupan posiciones fijas y solo tienen movimientos vibratorios, ya que en ellos predomina la cohesión. PROPIEDADES DE LOS SÓLIDOS Una propiedad importante que tienen los sólidos es la Elasticidad , esta se explica de manera mas explicita con la Ley de Hooke.


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LEY DE HOOKE Si tenemos un resorte sostenido por un extremo superior y agregamos pesos en su extremo inferior, va a sufrir un alargamiento. Por lo que la deformación es proporcional a la fuerza aplicada. Cuando la fuerza se aplica a un sólido, este se deforma. “Cuanto mayor sea la fuerza aplicada, mayor será la deformación”. Los ingenieros, cuando construyen un puente deben saber cuanto se estiran los cables soporte, para aplicar sobre ellos el peso total del puente. ELASTICIDAD. – Es la propiedad que tiene los cuerpos de recuperar su forma original cuando cesa la fuerza que los deforma. La deformación de un cuerpo es el cambio de su forma geométrica producida por una fuerza aplicada y que se puede medir gracias a la aportación científica del físico Robert Hooke . Hooke elaboró una Ley que se aplica tanto al estiramiento de un resorte, como a cualquier tipo de deformación.

1

2

3

5 gr.

10 gr.

15 gr.

Si agregamos un peso de 5 gr el alargamiento del resorte es de 1 cm.

Si agregamos un segundo peso de 5 gr el alargamiento del resorte es de 2 cm.

Si agregamos un tercer peso de 5 gr el alargamiento del resorte es de 3 cm y así sucesivamente.


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La Ley de Hooke establece que: “LA DEFORMACIÓN PRODUCIDA POR UN CUERPO, DENTRO DE LOS LIMITES ELÁSTICOS, ES PROPORCIONAL A LA FUERZA APLICADA” En general la Ley de Hooke estipula que la deformación es proporcional a la tensión. Por lo tanto la Ley de Hooke puede escribirse así: F = k x s Donde: F = Fuerza de tensión aplicada. k = Constante de proporcionalidad. s = Deformación. La constante de proporcionalidad k varia mucho, de acuerdo con el tipo de material y recibe también el nombre de constante de resorte o coeficiente de rigidez . La constante la despejamos de la expresión general de la Ley de Hooke. k = F que es igual a 2 lb / in s Si al cuerpo se le aplica una fuerza mayor que la que puede soportar, puede sufrir una deformación permanente, o sea que ha llegado a su Limite Elástico.


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LIMITE ELÁSTICO (LE). – Es la fuerza que puede soportar un cuerpo, antes de sufrir una deformación permanente. Todo cuerpo al que se la aplica una fuerza menor a este Limite Elástico podrá recuperar su forma original. Si al cuerpo se le aplica una fuerza mayor al Limite Elástico y llega a romperse, el cuerpo ha llegado a su resistencia máxima o sea a su Punto de Ruptura. PUNTO DE RUPTURA (PR). – Es la fuerza máxima que puede soportar un cuerpo antes de romperse. Expresión matemática para determinar la fuerza para calcular el Limite Elástico. FL = E x A Expresión matemática para determinar la fuerza para calcular el Punto de Ruptura. FP = P x A Donde: F = Fuerza aplicada. E = Constante de la tensión requerida para alcanzar el Limite Elástico. A = Área en cm2, o plg2. P = Constante de la tensión requerida para alcanzar el Punto de Ruptura. La siguiente grafica trata de explicar la Ley de Hooke. Esta Ley solo se aplica a la línea recta de dicha grafica ya que curva marca el Limite Elástico y el Punto de Ruptura.

D E F O R M A C I O N

F U E R Z A A P L I C A D A

LEY DE HOOKE

LE LIMITE ELASTICO

PR PUNTO DE RUPTURA


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Tabla de valores del Limite Elástico y Punto de Ruptura para algunos materiales en dinas / cm 2.

Material Limi te Elástico en dinas/cm 2

Punto de Ruptura en dinas/cm 2

Acero 17 – 21 x 108 34 – 41 x 108

Aluminio 13 x 108 15 x 108

Cobre 1 – 10 x 108 23 – 47 x 108

Latón 7 – 15 x 108 35 – 60 x 108

Hierro 15 – 18 x 108 30 – 37 x 108

Ejemplos: 1. – Calcular para un alambre de cobre de 3 m de largo y 2 mm 2 de sección transversal, la carga que debe ser aplicada para alcanzar el Limite Elástico y el Punto de Ruptura. DATOS FORMULA SUSTITUCION E = 1 x 108 dinas / cm2. FL = E x A FL = 1 x 108 dinas / cm2 x 0.02 cm2 P = 23 x 108 dinas / cm2. FL = 2 x 106 dinas. A = 2 mm2 = 0.02 cm2. FL = ? FP = P x A FP = 23 x 108 dinas / cm2 x 0.02 cm2. FP = ? FP = 46 x 106 dinas. 2. – Que fuerza se aplicara a un cuerpo colgado en el extremo inferior de un resorte que se estirara 0.035 m, si la constante de la Ley de Hooke es de 220 Newton / m . DATOS FORMULA SUSTITUCION s = 0.035 m. F = k x s F = 220 Newton / m x 0.035 m. k = 220 Newton / m. F = ? F = 7.70 Newtons.


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3. – Calcular el estiramiento de un resorte cuya constante de la Ley de Hooke es de 3,520 dinas / cm , al cual se le aplica una fuerza de 853 dinas . DATOS FORMULA SUSTITUCION F = 853 dinas. F = k x s s = ....853 dinas..... k = 3,250 dinas / cm. 3,520 dinas / cm s = ? s = F k s = 0.242 cm. 4. – Una masa de 2 Kg suspendida en el extremo de un resorte, lo larga una distancia de 0.065 m. Calcular el valor de la constante de la ley de Hooke. DATOS FORMULA SUSTITUCION s = 0.065 m. F = k x s k = …2 Kg... F = 2 Kg. 0.065 m. k = ? k = F s k = 30.769 Kg / m. Ejercicios: 1. – Calcular para un alambre de cobre de 6 mm 2 de sección transversal, la carga que debe ser aplicada para alcanzar el Limite Elástico y el Punto de Ruptura. 2. – Que fuerza se aplicara a un cuerpo colgado en el extremo inferior de un resorte que se estirara 0.022 m, si la constante de la Ley de Hooke es de 325 Newton / m . 3. – Calcular el estiramiento de un resorte cuya constante de la Ley de Hooke es de 4,200 dinas / cm , al cual se le aplica una fuerza de 642 dinas . 4. – Una masa de 16 Kg suspendida en el extremo de un resorte, lo larga una distancia de 0.011 m. Calcular el valor de la constante de la ley de Hooke.


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EL MODULO DE YOUNG

El Modulo de Young “Y” es una constante, cuyo valor es conocido para diversas sustancias y se puede calcular la magnitud del alargamiento para cualquier tamaño de alambre o varilla. El Modulo de Young se obtiene del cociente del esfuerzo longitudinal (tensión) entre la deformación longitudinal (deformación) , es decir: Modulo de Young = Esfuerzo longitudinal Deformación lon gitudinal A continuación definiremos lo que es esfuerzo longitudinal y deformación longitudinal . ESFUERZO LONGITUDINAL (TENSIÓN). – Se define como la fuerza por unidad de superficie. T = fuerza = F área A DEFORMACION LONGITUDINAL (DEFORMACIÓN). – Se define como el alargamiento(elongación) por unidad de longitud. D = elongación = e longitud inicial l Por lo tanto si aplicamos las definiciones anteriores a la expresión para definir matemáticamente el Modulo de Young tenemos que:

l

eA

F

Y = de donde se desprende Axe

FxlY =


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La siguiente tabla expresa el Modulo de Young para algunos materiales en dinas / cm 2.

Material Modulo de Young en dinas/cm 2

Acero 19.2 x 1011

Aluminio 7 x 1011

Cobre 12.5 x 1011

Latón 9.02 x 1011

Hierro 21 x 1011

Ejemplos: 1. - ¿Cuál es el alargamiento de un alambre de cobre si se le aplica una fuerza de 240 Newtons , la longitud del alambre es de 24 m y tiene una sección transversal de 2 x 10-4 m2? DATOS FORMULA SUSTITUCION F = 240 Newtons = 240 x 105 dinas. Y = F x l e = ....240 x 105 dinas x 2,400 cm..... l = 24 m = 2400 cm. A x e 2 cm2 x 12.5 x 1011 dinas / cm2. A = 2 x 10 m2 = 2 cm2. Y = 12.5 x 1011 dinas / cm2. e = .F x l. e = 5.76 x 1010 dinas x cm. e = ? A x Y 2.5 x 1012 dinas e = 0.02304 cm. 2. - ¿Cuál es la fuerza que se le aplico a un alambre de aluminio de 18 m de longitud y área igual a 0.56 cm 2, el cual sufrió un alargamiento de 1.25 cm?. DATOS FORMULA SUSTITUCION e = 1.25 cm. Y = F x l F = 0.56 cm2 x 1.25 cm x 7 x 1011 dinas / cm2. l = 18 m = 1800 cm. A x e 1800 cm. A = 0.56 cm2. Y = 7 x 1011 dinas / cm2. F = A x e x Y F = 4.90 x 1011 dinas x cm. F = ? l 1800 cm. F = 272.22 x 106 dinas.


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Ejercicios: 1. - ¿Cuál es el alargamiento de un alambre de cobre si se le aplica una fuerza de 352 Newtons , la longitud del alambre es de 17 m y tiene una sección transversal de 3.5 x 10-4 m2? 2. - ¿Cuál es la fuerza que se le aplico a un alambre de aluminio de 14.5 m de longitud y área igual a 1.23 cm 2, el cual sufrió un alargamiento de 2.46 cm?.


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HIDROSTATICA Un líquido tiene un volumen definido pero no tiene forma propia. Si se vierte en un recipiente de mayor volumen, la gravedad lo hace resbalar al fondo, llenar un volumen igual al suyo, adoptar la forma de este volumen y presentar una superficie libre horizontal en contacto con la atmósfera. Los líquidos ejercen fuerzas sobre el fondo y las paredes del recipiente. También sobre cualquier cuerpo sumergido en ellos. Todos estos fenómenos se deben a las propiedades de los líquidos y a la atracción de la gravedad. A continuación definiremos lo que es Hidrostática y lo que es Líquido. HIDROSTATICA. – Estudia las fuerzas y las presiones de los fluidos en reposo. LIQUIDO. – Es el estado de agregación de la materia en el que las fuerzas de atracción y repulsión moleculares están equilibradas. PROPIEDADES DE LOS LIQUIDOS. Carecen de forma propia y adoptan la del recipiente que los contiene, tienen volumen determinado, prácticamente son incompresibles, su densidad es media, algunos se difunden, la distancia entre las moléculas de los liquidaos es menor que la de los gases, por lo que las moléculas de los líquidos pueden deslizarse unas sobre otras. PRESION HIDROSTATICA, ATMOSFERICA, MANOMETRICA Y AB SOLUTA Los submarinos están diseñados para soportar grandes cantidades de presión bajo el agua, para los buzos y cualquier cuerpo que se sumerja bajo el agua, se sabe que la presión a la que profundidad de pocos metros, es apreciable en los oídos humanos. La presión en cualquier punto de un líquido se debe al peso del liquido situado arriba de ese punto. Para dos puntos situados a la misma altura, la presión será la misma, independientemente de la forma del recipiente. Primeramente definiremos lo que entendemos por presión: PRESIÓN. – Se define como la fuerza por unidad de área, es decir la fuerza entre el área en la que se apoya. Presión = Fuerza ; P = F Donde: P = Presión. Área A F = Fuerza aplicada. A = Área de soporte. Las unidades para expresar la presión son:


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dinas / cm 2, kgf / cm 2, libra / plg 2, Newton / m 2(pascal) PRESIÓN HIDROSTATICA. – Es la presión de un fluido en cualquier punto y es directamente proporcional a la densidad del fluido y a la profundidad . La Presión Hidrostática en la superficie de cualquier recipiente es nula, mientras que en su fondo la Presión Hidrostática será máxima. El fluido que se encuentra en el fondo de un recipiente está siempre sometido a una presión mayor que en la superficie, y esto se debe al peso del líquido que esta arriba. Cualquier aparato para uso del agua debe diseñarse para resistir la presión del fondo, ya que la presión del líquido aumente con la profundidad. Cuanto mayor sea la profundidad considerada, mayor será la presión ejercida por el agua. Podemos medir la presión a cualquier profundidad. Si deseamos conocer la presión en Kgf / m 2 a la profundidad de 5 m en una alberca para clavados, dicha presión será igual al peso de la columna de agua de 5 m de altura apoyada en 1 m2 del fondo de la alberca. Cada m3 de agua pesa 1000 Kgf y una columna de 5 m3 pesaran 5 veces más o sea 5,000 Kgf . Para obtener la presión de un líquido, (Presión Hidrostática ) utilizamos las siguientes expresiones matemáticas. Ph = Pe x h Donde: P = Presión Hidrostática. Pe = Peso Especifico. Ph = d x g x h d = Densidad. g = Gravedad. h = Altura. Estas formulas no dependen del área ni de la forma del recipiente. La presión a una profundidad “h” solo depende del líquido.

“ENTRE MAS CERCA DE LA SUPERFICIE SE ENCUENTRE EL ORIFICIO MENOR SERA


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Las expresiones mencionadas anteriormente, incluyen dos términos desconocidos que son la Densidad y el Peso Especifico , los cuales definiremos a continuación. DENSIDAD (d). – Se define como la masa contenida en una unidad de volumen. densidad = masa ; d = m Donde: d = Densidad. volumen v m = Masa. v = Volumen. Las unidades para expresar la densidad son: gr / cm 3, Kg / m 3, ut / m 3, gr / lt. PESO ESPECÍFICO (Pe). – Se define como el peso de un cuerpo contenido en la unidad de volumen. Peso Especifico = Peso del cuerpo (mxg) ; Pe = P Donde: Pe = Peso especifico. Volumen del cuerpo V P = Peso del cuerpo V = Volumen del cuerpo. Las unidades para expresar el peso específico son: dinas / cm 3, Newton / m 3, Kgf / m 3, lb / pie 3. La relación entré el peso específico y la densidad es: Pe = d x g ; Pe = m x g V


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Cuando tomamos como base la densidad y el peso especifico del agua para compararlos con los de otras sustancias estamos hablando entonces de densidad relativa y peso especifico relativo . Lo cual definiremos a continuación: DENSIDAD RELATIVA. – Es la relación entre la densidad de una sustancia cualquiera y la densidad del agua. Densidad relativa = Densidad de la sustancia. Densidad del agua. PESO ESPECÍFICO RELATIVO. – Es la relación entre el peso específico de una sustancia y el peso específico del agua. Peso especifico relativo = Peso especifico de la su stancia. Peso especifico del agua. La siguiente tabla muestra la densidad y pesos específicos de algunas sustancias:

Sustancias gr / cm 3 Kg / m 3 lb. /

pie 3

Agua a 0º C 1.00 1000 64.20 Alcohol a 20º C 0.79 790 49.30 Aluminio 2.7 2700 168.7 Benceno a 0º C 0.90 900 56.2 Cobre 8.9 8900 556 Estaño 7.3 7300 456 Gasolina a 0º C 0.68 680 41.2 Hielo 0.91 910 87.2 Hierro 7.9 7900 493 Latón 8.5 8500 530 Mercurio a 20º C 13.6 13600 849

Oro 19.3 19300 1205 Plata 10.5 10500 655 Plomo 11.4 11400 712 Roble 0.81 810 37 - 56 Zinc 7.1 7100 446


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Ejemplos: 1. – Encontrar la densidad de la gasolina, sabiendo que 52 gramos de dicha sustancia ocupan un volumen de 50 cm 3. DATOS FORMULA SUSTITUCION m = 52 gr. d = m d = 52 gr. V = 50 cm3. V 50 cm3 d = ? d = 1.04 gr / cm 3. 2. – Encontrar el volumen que ocupan 2,000 Kg de cobre, sabiendo que su densidad es de 8,900 Kg / m 3. DATOS FORMULA SUSTITUCION m = 2,000 Kg. d = m V = …2,000 Kg... d = 8,900 Kg / m3. V 8900 Kg / m3 V = ? V = m d V = 0.2247 m 3. 3. – Una moneda se encuentra en el fondo de una alberca bajo 3.5 m de agua. ¿Cuál será la presión hidrostática que ejerce el agua sobre ella? DATOS FORMULA SUSTITUCION h = 3.5 m. Ph = Pe x h Ph = 1000 Kg / m3 x 3.5 m Pe = 1000 Kg / m3 Ph = ? Ph = 3500 kg / m 2. 4. – Encontrar la presión sobre el fondo de un recipiente de 300 cm de profundidad, cuando se llena de agua dulce o cuando se llena de benceno. DATOS FORMULA SUSTITUCION h = 300 cm. Pha = da x g x h. Pha = 1 gr / cm3 x 981 cm / seg2 x 300 cm. g = 981 m / seg2. da = 1 gr / cm3. Pha = 294,300 dinas / cm 2. db = 0.90 gr / cm3. Pha = ? Phb = dg x g x h Phg = 0.90 gr / cm3 x 981 cm / seg2 x 300 cm. Phb = ? Phg = 264,870 dinas / cm 2.


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5. – En un laboratorio marino se sumergió en el mar un recipiente con un radio de 5 pie y una altura de 8 pie , de modo que la parte superior del recipiente se encuentra a 200 pie de profundidad por debajo del nivel mar. S i el peso especifico de agua de mar es de 64.016 lb / pie 3. Calcular la presión y la fuerza en la parte superior del recipiente. DATOS FORMULA SUSTITUCION r = 5 pie. Ph = Pe x h. Ph = 64.016 lb / pie3 x 200 pie. A = π x r2. A = [3.14159 x (5 pie)2] = 78.53 pie2. Ph = 12,803.20 lbf / pie 2. h = 200 pie. Pe = 64 lb / pie3. F = Ph x A F = 12,803.20 lbf / pie2 x 78.53 pie2. Ph = ? F = ? F = 1,005,435.296 lbf. 6. – Un recipiente cilíndrico de 20 cm de diámetro y una altura de 80 cm se llena con aceite de benceno cuya densidad es de 0.90 gr / cm 3. Encontrar la presión del aceite y la fuerza total del fondo del recipiente si se llena hasta los 50 cm de altura. DATOS FORMULA SUSTITUCION d = 20 cm ; r = 10 cm. Ph = d x g x h. Ph = 0.90 cm / seg3 x 981 cm / seg2 x 50 cm. A = π x r2. A = [3.14159 x (10 cm)2] = 314 cm2. Ph = 44,145 dinas / cm 2 h = 50 cm. d = 0.90 gr / cm3. F = Ph x A F = 44,145 dinas / cm2 x 314 cm2. g = 981 cm / seg2. Ph = ? F = 13,861,530 dinas. F = ? F = 138.615 Newtons . Ejercicios: 1. – Encontrar la densidad de la gasolina, sabiendo que 86 gramos de dicha sustancia ocupan un volumen de 43 cm 3. 2. – Encontrar el volumen que ocupan 1,520 Kg de cobre, sabiendo que su densidad es de 7,600 Kg / m 3.


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3. – Encontrar la masa de un cuerpo hecho de aluminio, sabiendo que ocupa un volumen de 0.555 m3. 4. – Una moneda se encuentra en el fondo de una alberca bajo 6.2 m de agua. ¿Cuál será la presión hidrostática que ejerce el agua sobre ella?. 5. – Encontrar la presión sobre el fondo de un recipiente de 76 cm de profundidad, cuando se llena de agua o cuando se llena de gasolina. 6. – En un laboratorio marino se sumergió en el mar un recipiente con un radio de 8 pie y una altura de 11 pie , de modo que la parte superior del recipiente se encuentra a 520 pie de profundidad por debajo del nivel mar. S i el peso especifico de agua de mar es de 64.016 lb / pie 3. Calcular la presión y la fuerza en la parte superior del recipiente. 7. – Un recipiente cilíndrico de 28 cm de diámetro y una altura de 79 cm se llena con alcohol cuya densidad es de 0.79 gr / cm 3. Encontrar la presión del aceite y la fuerza total del fondo del recipiente si se llena hasta los 76 cm de altura.


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PRESION ATMOSFERICA El aire tiene peso, por lo que ejerce una presión sobre los cuerpos que están sobre la superficie de la tierra, a esta presión se llama Presión Atmosférica . El físico italiano Evangelista Torricelli , fue la primera persona en llevar a cabo un experimento para medir el valor de la presión atmosférica. Para realizar este experimento Torricelli tomó un tubo de vidrio, de aproximadamente 1 m de largo, sello uno de sus extremos y lo llenó completamente de mercurio. Tapo el extremo libre con su dedo, e invirtiendo el tubo, lo sumergió en un recipiente que contenía también mercurio. Al destapar el tubo Torricelli observo que la columna liquida de mercurio descendió, deteniéndose hasta la marca de 76 cm por encima del nivel de mercurio del recipiente. Luego entonces concluyo que la presión atmosférica Pa equivale a la presión ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de alto (76 cm de Hg). El físico francés Blaise Pascal repitió el experimento de Torricelli, en lo alto de una montaña y observo que la altura de la columna de mercurio, equilibrada por la presión atmosférica, era menor que la columna de 76 cm de Hg descrita por Torricelli. Por lo que dedujo que según sea la altura sobre el nivel del mar así de diferente será la presión atmosférica .


151

La siguiente tabla nos indica la variación de la presión atmosférica de acuerdo a la altura.

Altura (m)

Pa (en cm de Hg)

0 76 500 72

1000 67 2000 60 3000 53 4000 47 5000 41 6000 36 7000 31 8000 27 9000 24 1000 21

La presión atmosférica es la presión equivalente a una columna de 760 mm de Hg cuando la temperatura es de 0º C.

Atmósferas Equivalencias 1 atm 760 mm de Hg a 0º C. 1 atm 29.92 plg. De Hg a 32º F. 1 atm 1.003 Kg de peso o 14.7 lb /

plg2. 1 atm 1.013 x 106 dinas / cm2. 1 atm 760 Torr 1 atm 1.013 x 105 Newton / m2.(Pas)

El instrumento para medir se llama barómetro. Los meteorólogos miden la presión en bares y milibares.

Unidad Equivalencia 1 atm 1.013 bares = 1013

milibares. 1 bar 1 x 105 Newton / m2 (Pas). 1 bar 1 x 106 dinas / cm2. 1 milibar (mbar)

1000 dinas / cm2 = 100 Pas

A continuación definiremos dos conceptos mas que se utilizan en Hidrostática que son la Presión Absoluta y la Presión Manométrica.


152

PRESION ABSOLUTA. – Es la presión total que combina la presión debida al fluido(hidrostática) y la presión atmosférica. Presión Absoluta = Presión Atmosférica + Presión H idrostática. A esta ecuación se le llama ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA . PRESION MANOMETRICA. – Es la diferencia entré la prisión atmosférica y la presión hidrostática. Presión Manométrica = Presión Atmosférica - Presió n Hidrostática. La presión manométrica es la más usada en el campo comercial. Ejemplos: 1. - ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo de una alberca de 5 m de profundidad que esta llena de agua dulce? DATOS FORMULA SUSTITUCION Patm =1.013 x 105 Newton / m2. Ph = d x g x h Ph = 1000 Kg / m3 x 9.81 m / seg2 x 5 m h = 5 m. g = 9.81 m / seg2. Ph = 49,050 Newtons / m 2. d = 1000 Kg / m3. Ph = ? Pabs = Patm + Ph Pabs =1.013 x 105 Newton/m2 + 49,050 Newtons/m2. Pasb = ? Pasb = 150,350 Newtons / m 2. 2. - Calcular la presión absoluta que soportara la superficie externa de un submarino que se encuentra sumergido a una profundidad de 600 m. Si la densidad del agua salada es de 1030 Kg / m3.


153

DATOS FORMULA SUSTITUCION Patm =1.013 x 105 Newton / m2. Ph = d x g x h Ph = 1030 Kg / m3 x 9.81 m / seg2 x 600 m h = 600 m. g = 9.81 m / seg2. Ph = 6,062,580 Newtons / m 2. d = 1030 Kg / m3. Ph = ? Pabs = Patm + Ph Pabs =1.013 x 105 Newton/m2 + 6,062,580 Newtons/m2. Pasb = ? Pasb = 6,163,880 Newtons / m 2. 3. - ¿Cuál es la presión manométrica en el fondo de una alberca de 3 m de profundidad que esta llena de agua dulce? DATOS FORMULA SUSTITUCION Patm =1.013 x 105 Newton / m2. Ph = d x g x h Ph = 1000 Kg / m3 x 9.81 m / seg2 x 3 m h = 3 m. g = 9.81 m / seg2. Ph = 29,430 Newtons / m 2. d = 1000 Kg / m3. Ph = ? Pman = Patm - Ph Pman =1.013 x 105 Newton/m2 - 29,430 Newtons/m2. Pman = ? Pman = 130,730 Newtons / m 2. 4. - Calcular la presión absoluta que soportara la superficie externa de un submarino que se encuentra sumergido a una profundidad de 520 m. Si la densidad del agua salada es de 1030 Kg / m3. DATOS FORMULA SUSTITUCION Patm =1.013 x 105 Newton / m2. Ph = d x g x h Ph = 1030 Kg / m3 x 9.81 m / seg2 x 520 m h = 600 m. g = 9.81 m / seg2. Ph = 5,254,236 Newtons / m 2. d = 1030 Kg / m3. Ph = ? Pman = Patm - Ph Pman =1.013 x 105 Newton/m2 – 5,254,236 Newtons/m2. Pman = ? Pman = - 5,152,936 Newtons / m 2.


154

Ejemplos: 1. - ¿Cuál es la presión absoluta en el fondo de una alberca de 12 m de profundidad que esta llena de agua dulce? 2. - Calcular la presión absoluta que soportara la superficie externa de un submarino que se encuentra sumergido a una profundidad de 250 m. Si la densidad del agua salada es de 1030 Kg / m3. 3. - ¿Cuál es la presión manométrica en el fondo de una alberca de 9 m de profundidad que esta llena de agua dulce? 4. - Calcular la presión absoluta que soportara la superficie externa de un submarino que se encuentra sumergido a una profundidad de 340 m. Si la densidad del agua salada es de 1030 Kg / m3.


155

PRINCIPIO DE PASCAL Los líquidos son prácticamente incompresibles , por lo que un recipiente abierto, và a ser afectado por la presión atmosférica y la de su propio peso, si aplicamos una presión externa a un fluido que se encuentra en un recipiente cerrado, el fluido va ejercer una presión en todas direcciones. Si tuviéramos dos jeringas conteniendo agua, con secciones de 1 cm 2 una y otra de 3 cm2 , estas a su vez comunicándose por medio de una manguera, colocando un peso de 200 gr sobre la parte superior de la primera jeringa, provocamos en este embolo un aumento de presión..................

p = 200 gr ; p = 200 gr/ cm 2 1 cm 2


156

Así, colocando sobre el embolo de la jeringa mayor un peso de 600 gr , el sistema quedara equilibrado. Obsérvese que con una fuerza de 200gr es posible equilibrar un peso de 600gr . Este hecho es, realmente, una consecuencia del descubrimiento conocido como Principio de Pascal y que puede ser enunciado de la manera siguiente: “Aumentando la presión de un liquido en equilibrio, este aumento se transmite íntegramente a todas los puntos del liquido”

1 cm 2 3 cm 2

PRINCIPIO DE PASCAL

p = F A Nota: Para obtener el peso que equilibrara a la jeringa de 3 cm2 de sección despejamos F: F = p x A F = 200 gr / cm 2 x 3 cm 2 F = 600 gr. La ecuación matemática del principio de pascal es: F1 = F2 A1 A2

El científico Blaise Pascal (1623 Clermont-Ferrand, Francia --1662 Paris, Francia) verificó que este aumento de presión se transmite íntegramente a todos los puntos del liquido. Entonces , el embolo mayor empujara hacia arriba una fuerza F, debida a esta presión p, luego entonces:


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APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE PASCAL

PRENSA HIDRÁULICA La prensa hidráulica es una herramienta utilizada universalmente, la cual ha ayudado al ser humano ha hacer el trabajo mas fácilmente, aplicado en gatos hidráulicos, palancas hidráulicas, frenos hidráulicos etc., la siguiente figura es un ejemplo muy claro:

Ejemplo: 1. – Una prensa hidráulica tiene un pistón de 3cm. de diámetro al cual se le aplica un peso de 25N, debido a esta fuerza, el pistón mayor levanta un peso 1800N. ¿Calcular el área del pistón mayor?


158

DATOS FORMULA SUSTITUCION r = d / 2 = 3cm / 2 = 1.5cm = 0.015m F1 = F2 A2 = 5,000N x 7.068 x 10-4 m2 A1 = π x r2 = 3.1415926 x (0.015m)2 A1 A2 25N A1 = 7.068 x 10 -4 m2 F1 = 25N F2 = 5,000N A2 = F2 x A1 A2 = 14.136 x 10-2 m2. A2 = ? F1 2. – Una prensa hidráulica tiene un pistón de 12cm 2 de área al cual se le aplica un peso de 2,300N, debido a esta fuerza, si el embolo mayor tiene una área de 48cm 2. ¿Qué peso podrá levantar este? DATOS FORMULA SUSTITUCION A1 = 12cm2 F1 = F2 F2 = 2,300 x 10+5 dinas x 48cm2

A2 = 48cm2 A1 A2 12cm2 F1 = 2,300 x 10+5 dinas F2 = ? F2 = F1 x A2 F2 = 9,200 x 10+5 dinas. A1 F2 = 9,200N. 3. – Una prensa hidráulica tiene un pistón al cual se le aplica un peso de 122N, debido a esta fuerza, el pistón mayor tiene un diámetro de 36cm y levanta un peso 4,320N. ¿Calcular el área del pistón menor? DATOS FORMULA SUSTITUCION r = d / 2 = 36cm / 2 = 18cm = 0.18m F1 = F2 A1= 122N x 0.1018 m2 A2 = π x r2 = 3.1415926 x (0.18m)2 A1 A2 4,230N A2 = 0.1018m2 F1 = 122N F2 = 4,230N A1 = F1x A2 A1 = 2.936 x 10-3 m2. A1 = ? F2 Ejercicios: 1. – Una prensa hidráulica tiene un pistón de 8cm. de diámetro al cual se le aplica un peso de 36N, debido a esta fuerza, el pistón mayor levanta un peso 12,500N. ¿Calcular el área del pistón mayor?.


159

2. – Una prensa hidráulica tiene un pistón de 7cm 2 de área al cual se le aplica un peso de 1,200N, debido a esta fuerza, si el embolo mayor tiene una área de 49cm 2. ¿Qué peso podrá levantar este?


160

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Si quisiéramos sumergir en el agua un cuerpo, por ejemplo una botella o un pedazo de madera, sentiríamos de manera inmediata que estos son empujados hacia arriba. Este fenómeno sucede siempre que queremos sumergir un cuerpo total o parcialmente dentro de un fluido (líquido o gas), la fuerza vertical, dirigida hacia arriba, que cualquier fluido ejerce sobre un cuerpo sumergido en él, se denomina empuje .

“ Todo cuerpo total o parcialmente sumergido en un fl uido, experimenta un empuje de abajo hacia arriba (por parte del fluido) igual al peso del fluido desalojado”. Un cuerpo sumergido en un fluido experimenta una perdida de peso aparente igual al peso del fluido que desaloja.

EMPUJE

Cuando se introduce un cuerpo en un fluido este desplaza un cierto volumen de fluido u el fluido experimenta una fuerza hacia arriba igual al peso del fluido desalojado, esto fue descubierto por el gran filosofo, matemático y físico griego Arquímedes (287 a.C – 212 a.C) que estudiando experimentalmente el problema de empuje, llegó a esta conclusión ya en aquella época, confirmando que se trataba de un principio general, el cual recibió el nombre de principio de Arquímedes, el cual se enuncia a continuación:


161

La dirección del empuje se considera vertical y hacia arriba, como se mostró en la figura anterior. EMPUJE = Peso del fluido desalojado. La ecuación matemática que demuestra el Principio de Arquímedes es: E = Pe x V Donde: E = Empuje. Pe = Peso especifico. E = d x g x V V = Volumen. d = Densidad. g = Constante de aceleración de la gravedad. Ejemplos: 1. – Que empuje en dinas tendrá un cuerpo esférico cuyo volumen es de 350cm 3, de madera, cuya densidad es de 0.50gr/cm 3. DATOS FORMULA SUSTITUCION V = 350cm3 E = d x g x V E = 0.5gr/cm3 x 981cm/seg2 x 350cm3. d = 0.5gr/cm3 g = 981 cm/seg2 E = 171,675 gr x cm/seg 2. E =? E = 171,675 dinas.


162

2. – Un cuerpo hecho de corcho pesa en el aire 500gf y en el agua pesa 300gf. ¿Cual es el volumen del cuerpo. DATOS FORMULA SUSTITUCION E = Peso en el aire – Peso en el agua. E = Pe x V V = .. 200gf.. E = 500gf - 300gf = 200gf. 1gf/cm3 Pe (H2O) = 1gf/cm3 V = ..E.. V = ? Pe V = 200cm 3. Ejercicios: 1. – Que empuje en dinas tendrá un cuerpo esférico cuyo volumen es de 280cm 3, de madera, cuya densidad es de 0.50gr/cm 3. 2. – Un cuerpo hecho de corcho pesa en el aire 1200gf y en el agua pesa 900gf . ¿ Cual es el volumen del cuerpo.


163

CONDICIONES PARA QUE UN CUERPO SE HUNDA O FLOTE EN UN FLUIDO.

Cuando un cuerpo se deja totalmente sumergido en un liquido, sobre él estarán actuando dos fuerzas su propio peso P y el empuje que representaremos por E.

1) El empuje es menor que el peso del cuerpo (E < P). Luego, la resultante de estas fuerzas estará dirigida hacia abajo y el cuerpo se hundirá en el líquido Fig. A . Esto es lo que pasa cuando por ejemplo, si arrojamos una piedra dentro del agua. Basándonos en el principio de Arquímedes podemos demostrar que cuando tenemos (E < P), consecuentemente la densidad dc, del cuerpo es mayor que la densidad d l del liquido (la densidad de la piedra es mayor que la del agua ).

2) Cuando el empuje es igual al peso del cuerpo (E = P), la resultante de esas fuerzas es nula

y el cuerpo, totalmente sumergido, permanece en reposo en la posición en que fue dejado. Cuando un submarino sumergido esta en reposo, dentro del agua, tenemos (E = P) como se muestra en la Fig. B . Se puede demostrar que cuando esto ocurre la densidad del cuerpo dc, es igual a la densidad del líquido d l, en el caso mencionado, la densidad media del submarino es igual a la densidad del agua de mar.

3) Cuando el empuje es mayor que el peso del cuerpo (E > P), la situación es inversa a la del

inciso 1, en una situación como esta, la resultante de las dos fuerzas estará dirigida hacia arriba y el cuerpo, sube hacia la superficie del líquido. Esto sucede, por ejemplo, con piezas de madera colocadas dentro del agua Fig. C . En este caso se puede demostrar que la densidad del cuerpo dc es menor que la densidad del liquido d l (la densidad de la madera antes mencionada es menor que la densidad del agua), en este caso cualquier cuerpo que se sumerja, emergerá hasta la superficie, desalojando un volumen de liquido, y el empuje sobre el, se hace menor. El cuerpo quedara en equilibrio, parcialmente sumergido en una posición en la cual el empuje es igual al peso (E =P).

E < P E > P E = P

E

E

E

PPP

A B C


164

NOTA: El principio de Arquímedes es valido también para un cuerpo inmerso en un gas y así, las conclusiones a las que acabamos de llegar se aplican también a esta situación. Por ejemplo, cuando un globo sube a la atmósfera, el empuje del aire frió sobre el, es mayor que su peso (la densidad media del globo, es menor que la del aire), por tanto tiende a subir.

Ejemplos: 1. – Si un cuerpo pesa en el aire 420gf y en el agua 350gf , el peso del agua desalojara es de 70gf. ¿Cuál será su peso específico? DATOS FORMULA SUSTITUCION Peso en el aire = 420gf. Pe = P Pe = 420gf Peso ene le agua = 350gf. V 70cm3 Perdida aparente de peso = 70gf. Volumen = 70cm3. Pe = 6 gf/cm 3. P = 420gf. 2. – Si un cuerpo pesa en el aire 360gf y en el agua 330gf , el peso del agua desalojara es de 30gf. ¿Cuál será su peso específico? DATOS FORMULA SUSTITUCION Peso en el aire = 360gf. Pe = P Pe = 360gf Peso ene le agua = 330gf. V 30cm3 Perdida aparente de peso = 30gf. Volumen = 30cm3. Pe = 12 gf/cm 3. P = 360gf. Ejercicios:


165

1. – Si un cuerpo pesa en el aire 490gf y en el agua 460gf , el peso del agua desalojara es de 30gf. ¿Cuál será su peso especifico? 2. – Si un cuerpo pesa en el aire 600gf y en el agua 480gf , el peso del agua desalojara es de 120gf. ¿Cuál será su peso especifico?


166

PRINCIPIO DE BERNOULLI

Teorema de Bernoulli , principio físico que implica la disminución

de la presión de un fluido (líquido o gas) en movimiento cuando

aumenta su velocidad. Fue formulado en 1738 por el matemático

y físico suizo Daniel Bernoulli , y anteriormente por Leonhard

Euler y dice “En un fluido perfecto, es decir sin rozamiento

interno, incompresible, y en régimen estacionario, la suma

de las energías de presión cinética y potencial en cualquier

punto de la masa liquida es constante” . El teorema afirma que

la energía total de un sistema de fluidos con flujo uniforme

permanece constante a lo largo de la trayectoria de flujo. Puede

demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de

velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución

de su presión.

El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de

un avión o las hélices de un barco. Las alas están diseñadas

para que obliguen al aire a fluir con mayor velocidad sobre la

superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión

sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia

de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al

avión en vuelo. Una hélice también es un plano aerodinámico, es

decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión

que se produce al girar la hélice proporciona el empuje que

impulsa al barco. El teorema de Bernoulli también se emplea

en las toberas , donde se acelera el flujo reduciendo el diámetro

del tubo, con la consiguiente caída de presión. Asimismo se

aplica en los caudalímetros de orificio, también llamados venturi ,

que miden la diferencia de presión entre el fluido a baja velocidad

que pasa por un tubo de entrada y el fluido a alta velocidad que

pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina

la velocidad de flujo y, por tanto, el caudal.


167

La ecuación matemática para representar el teorema de Bernoulli es:

P1 + m + m x v 12 + m x g x h 1 = P2 + m + m x v 2

2 + m x g x h 2 d 2 d 2

Donde: m = Masa del fluido. d = Densidad del fluido. P1v1h1 = Presión, velocidad y altura en un punto especifico del fluido. P2v2h2 = Presión, velocidad y altura de otro punto del fluido.


168

PRINCIPIO DE TORRICELLI

La ecuación matemática para representar el teorema de Torricelli es:

v = 2 x g x h

Donde: v = Velocidad de salida del fluido en m/seg, cm/seg, pie/seg. g = Constante de la aceleración de la gravedad. h = Altura del orificio a la superficie del fluido en m, cm, pie.

Evangelista Torricelli (1608-1647), matemático y físico italiano,

conocido sobre todo por el invento del barómetro. Nació en Faenza

y estudió en el Collegio di Sapienza en Roma. De 1641 a 1642 fue

ayudante de Galileo. A la muerte de éste en 1642, Torricelli le

sucedió como profesor de filosofía y matemáticas en la Academia

Florentina. Donde descubrió y determinó el valor de la presión

atmosférica y en 1643 inventó el barómetro. Además de enunciar

el teorema que hoy lleva su nombre el cual dice “ La velocidad de

un fluido en un recipiente abierto es igual a la ra íz cuadrada de

dos veces la gravedad por la altura”. Fue autor de Trattato del

moto (Tratado sobre el movimiento, c. 1640) y Opera geometrica

(Obra geométrica, 1644). Una unidad de medida, el torr, utilizada

en física para indicar la presión barométrica cuando se trabaja en

condiciones cercanas al vacío, se denomina así en su honor. El

teorema de Torricelli expresa la velocidad de salida de un liquido a

través de un orificio abierto en la superficie del recipiente que lo

contiene.


169

Ejemplos: 1. – ¿Cual es la velocidad de salida de un orificio que esta a 2.3m de la superficie del fluido?. DATOS FORMULA SUSTITUCION h = 2.3m. v = 2 x g x h v = 2 x 9.81m/seg2 x 2.3m. g = 9.8 m/seg2. v = ? v = 6.717m/seg. 2. – ¿Cuál será la profundidad de un orificio desde la superficie, si el agua sale por el a una velocidad de 5.80m/seg ?. DATOS FORMULA SUSTITUCION v = 5.8m/seg. h = ..v2.. h = ….(5.8m/seg)2…. g = 9.8 m/seg2. 2 x g 2 x 9.81m/seg2 h = ? h = 1.71m.


170

3. – El agua que fluye con una velocidad de 4m/seg en un tubo de 4cm de diámetro entra a otra sección corta con un diámetro de 3cm . ¿Calcular la velocidad en la segunda sección y la altura en la primera sección?. DATOS FORMULA SUSTITUCION r1= d/2 = 4cm/2 = 2.0cm = 0.020m. A1 x v1 = A2 x v2 v2 = .1.256 x 10-3m2 x 4m/seg. r2 = 4.0 x 10-4 m2. 7.06 x 10-4m2. A1 = � x r2 = 3.1415926 x 4.0 x 10-4m2. A1 = 1.256 x 10-3m2. v2 = A1 x v1 v2 = 7.116m/seg. A2 r2 = d/2 =3cm/2 = 1.50cm = 0.015m. r2 = 2.25 x 10-4 m2. A2 = � x r2 = 3.1415926 x 2.25 x 10-4m2. v = 2 x g x h h = ….(4m/seg)2…. A2 = 7.06 x 10-4m2. 2 x 9.81m/seg2 v2 = ? h = ..v2.. h = 0.203m h1 = ? 2 x g Ejercicios: 1. – ¿Cual es la velocidad de salida de un orificio que esta a 4.5m de la superficie del fluido?. 2. – ¿Cuál será la profundidad de un orificio desde la superficie, si el agua sale por el a una velocidad de 6.60m/seg ?. 3. – El agua que fluye con una velocidad de 7.5m/seg en un tubo de 6cm de diámetro entra a otra sección corta con un diámetro de 4cm . ¿Calcular la velocidad en la segunda sección y la altura en la primera sección?.


171

MOVIMIENTO ONDULATORIO

Cuando se produce una perturbación periódica en el aire, se originan ondas sonoras longitudinales. Por ejemplo, si se golpea un diapasón con un martillo, las ramas vibratoria emiten ondas longitudinales. El oído, que actúa como receptor de estas ondas periódicas, las interpreta como sonido.

El término sonido se usa de dos formas distintas. Los fisiólogos definen el sonido en término de las sensaciones auditivas producidas por perturbaciones longitudinales en el aire. Para ellos, el sonido no existe en un planeta distante. En física, por otra parte, nos referimos a las perturbaciones por sí mismas y no a las sensaciones que producen.

Sonido es una onda mecánica longitudinal que se propaga a través de un medio elástico.

En este caso, el sonido existe en ese planeta. El concepto de sonido se usará en su significado físico.


172

PRODUCCIÓN DE UNA ONDA SONORA

Deben existir dos factores para que exista el sonido. Es necesaria una fuente de vibración mecánica y también un medio elástico a través del cual se propague la perturbación. La fuente puede ser un diapasón, una cuerda que vibre o una columna de aire vibrando en un tubo de órgano. Los sonidos se producen por una materia que vibra. La necesidad de la existencia de un medio elástico se puede demostrar colocando un timbre eléctrico dentro de un frasco conectado a una bomba de vacío. Cuando el timbre se conecta a una batería para que suene continuamente, se extrae aire del frasco lentamente. A medida que va saliendo el aire del frasco, el sonido del timbre se vuelve cada vez más débil hasta que finalmente ya no se escucha. Cuando se permite que el aire penetre de nuevo al frasco, el timbre vuelve a sonar. Por lo tanto, el aire es necesario para transmitir el sonido.

Ahora estudiemos más detalladamente las ondas sonoras longitudinales en el aire que proceden de una fuente que producen vibraciones. Una tira metálica delgada se sujeta fuertemente en su base, se tira de uno de sus lados y luego se suelta. Al oscilar el extremo libre de un lado a otro con movimiento armónico simple, se propagan a través del aire una serie de ondas sonoras longitudinales periódicas que se alejan de la fuente. Las moléculas de aire que colindan con la lámina metálica se comprimen y se expanden alternativamente, transmitiendo una onda. Las regiones densas en las que gran número de moléculas se agrupan acercándose mucho entre sí se llaman compresiones. Son exactamente análogas a las condensaciones estudiadas para el caso de ondas longitudinales en un resorte en espiral. Las regiones que tienen relativamente pocas moléculas se conocen como rarefacciones. Las compresiones y rarefacciones se alternan a través del medio en la misma forma que las partículas de aire individuales oscilan de un lado a otro en la dirección de la propagación de la onda. Puesto que una compresión corresponde a una región de alta presión y una rarefacción corresponde a una región de baja presión, una onda sonora también puede representando trazando en una gráfica el cambio de presión P como una función de la distancia x. La distancia entre dos compresiones o rarefacciones sucesivas es la longitud de onda.

Un timbre que se acciona en el vacío no puede escucharse. Es necesario un medio material para que se produzca sonido.


173

(a) Compresiones y rarefacciones de una onda sonora en el aire en un instante determinado. (b) Variación sinusoidal de la presión como función del desplazamiento.

LA VELOCIDAD DEL SONIDO

Cualquier persona que haya visto a cierta distancia cómo se dispara un proyectil ha observado el fogonazo del arma antes de escuchar la detonación. Ocurre algo similar al observar el relámpago de un rayo antes de oír el trueno. Aunque tanto la luz como el sonido viajan a velocidades finitas, la velocidad de la luz es tan grande en comparación con la del sonido que pueden considerarse instantánea. La velocidad del sonido se puede medir directamente determinando el tiempo que tardan las ondas en moverse a través de una distancia conocida. En el aire, a 0ºC, el sonido viaja a una velocidad de 331 m/s (1087 ft/s).

La velocidad de una onda depende de la elasticidad del medio y de la inercia de sus partículas. Los materiales más elásticos permiten mayores velocidades de onda, mientras que los materiales más densos retardan el movimiento ondulatoria. Las siguientes relaciones empíricas se basan en estas proporcionalidades.

Para las ondas sonoras longitudinales en un alambre o varilla, la velocidad de onda está dada por

Donde Y es el módulo de Young para el sólido y p es su densidad. Esta relación es válida sólo para varillas cuyos diámetros son pequeños en comparación con las longitudes de las ondas sonoras longitudinales que se propagan a través de ellas.


174

En un sólido extendido, la velocidad de la onda longitudinal es función del módulo de corte S, el módulo de volumen B, y la intensidad p del medio. La velocidad de la onda se puede calcular a partir de

Las ondas longitudinales transmitidas en un fluido tienen una velocidad que se determina a partir de

donde B es módulo de volumen para el fluido y p es su densidad.

Para calcular la velocidad del sonido en un gas, el módulo de volumen está dado por

donde y es la constante adiabática (y = 1.4 para el aire y los gases diatómicos) y P es la presión del gas. Por lo tanto, la velocidad de las ondas longitudinales en un gas, partiendo de la ecuación del fluido, está dada por

Pero para un gas ideal

Donde R = constante universal de los gases

T = temperatura absoluta del gas

M = masa molecular del gas

Sustituyendo la ecuación nos queda

Ejemplos:


175

VIBRACIÓN FORZADA Y RESONANCIA

Cuando un cuerpo que está vibrando se pone en contacto con otro, el segundo cuerpo se ve forzado a vibrar con la misma frecuencia que el original. Por ejemplo, si un diapasón es golpeado con un martillo y luego se coloca su base contra la cubierta de una mesa de madera, la intensidad del sonido se incrementará repentinamente. Cuando se separa de la mesa el diapasón, la intensidad disminuye a su nivel original. Las vibraciones de las partículas de la mesa en contacto con el diapasón se llaman vibraciones forzadas.

Hemos visto que los cuerpos elásticos tienen ciertas frecuencias naturales de vibración que son características del material y de las condiciones límite (de frontera). Una cuerda tensa de una longitud definida puede producir sonidos de frecuencias características. Un tubo abierto o cerrado también tiene frecuencias naturales de vibración. Siempre que se aplican a un cuerpo una serie de impulsos periódicos de una frecuencia casi igual a alguna de las frecuencias naturales del cuerpo, éste se pone a vibrar con una amplitud relativamente grande. Este fenómeno se conoce como resonancia o vibración simpática.


176

Un ejemplo de resonancia es el caso de un niño sentado a un columpio. La experiencia indica que la oscilación puede ser puesta en vibración con gran amplitud por medio de una serie de pequeños empujones aplicados a intervalos regulares. La resonancia se producirá únicamente cuando los empujones estén en fase con la frecuencia natural de vibración del columpio. Una ligera variación de los pulsos de entrada dará como resultado una vibración pequeña o incluso ninguna.

El refuerzo del sonido por medio de la resonancia tiene múltiples aplicaciones, así como también buen número de consecuencias desagradables. La resonancia en una columna de aire en un tubo de órgano amplifica el débil sonido de una vibración de un chorro de aire vibrante. Muchos instrumentos musicales se diseñan con cavidades resonantes para producir una variedad de sonidos. La resonancia eléctrica en los receptores de radio permite al oyente percibir con claridad las señales débiles. Cuando se sintoniza la frecuencia de la estación elegida, la señal se amplifica por resonancia eléctrica. En auditorios mal diseñados o enormes salas de concierto, la música y las voces pueden tener un sonido profundo que resulta desagradable al oído. Se sabe que los puentes se destruyen debido a vibraciones simpáticas de gran amplitud producidas por ráfagas de viento.

ONDAS SONORAS

Hemos definido el sonido como una onda mecánica longitudinal que se propaga a través de un medio elástico. Éste es una definición amplia que no impone restricciones a ninguna frecuencia del sonido. Los fisiólogos se interesan principalmente en las ondas sonoras que son capaces de afectar el sentido del oído. Por lo tanto, es conveniente dividir el espectro del sonido de acuerdo con las siguientes definiciones.

Sonido audible es el que corresponde a las ondas sonoras en un intervalo de frecuencias de 20 a 20 000 Hz.

Las ondas sonoras que tienen frecuencias por debajo del intervalo audible se denominan infrasónicas.

Las ondas sonoras que tienen frecuencias por encima del intervalo audible se llaman ultrasónicas.

Cuando se estudian los sonidos audibles, los fisiólogos usan los términos, fuerza, tono y calidad (timbre) p’ara describir las sensaciones producidas. Por desgracia, estos términos representan magnitudes sensoriales y por lo tanto subjetivas. Lo que es volumen fuerte para una persona es moderado para otra. Lo que alguien percibe como calidad, otro lo considera inferior. Como siempre, los físicos deben trabajar con definiciones explícitas medibles. Por lo tanto, el físico intenta correlacionar los efectos sensoriales con las propiedades físicas de las ondas. Estas correlaciones se resumen en la siguiente forma:

Efectos sensoriales Propiedad física


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Intensidad acústica (Volumen) Intensidad

Tono Frecuencia

Timbre (Calidad) Forma de la onda

El significado de los términos de la izquierda puede variar considerablemente de uno a otro individuo. Los términos de la derecha son medibles y objetivos.

Las ondas sonoras constituyen un flujo de energía a través de la materia. La intensidad de una onda sonora específica es una medida de la razón a la cual la energía se propaga a través de un cierto volumen espacial. Un método conveniente para especificar la intensidad sonora es en términos de la rapidez con que la energía se transfiere a través de la unidad de área normal a la dirección de la propagación de la onda. Puesto que la rapidez a la cual fluye la energía es la potencia de una onda, la intensidad puede relacionarse con la potencia por unidad de área que pasa por un punto dado.

La intensidad sonora es la potencia transferida por una onda sonora a través de la unidad de área normal a la dirección de la propagación.

La intensidad de una onda sonora es una medida de la potencia transmitida por unidad de área perpendicular a la dirección de propagación de onda.


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Las unidades para la intensidad resultan de la relación de una unidad de potencia entre una unidad de área. En unidades del SI, la intensidad se expresa en W/m2, y ésa es la unidad que emplearemos. Sin embargo, la rapidez de flujo de energía en ondas sonoras es pequeña, y en la industria se usa todavía W/cm2 en múltiples aplicaciones. El factor de conversión es:

1 W/cm2 = 1 x 10-2 W/m2

Se puede demostrar por métodos similares a los utilizados para un resorte que está vibrando, que la intensidad sonora varía en forma directa al cuadrado de la frecuencia f y al cuadrado de la amplitud A de una determinada onda sonora. Simbólicamente, la intensidad I esta dada por:

I = 22f 2A2pv

Donde v es la velocidad del sonido en un medio de densidad p. El símbolo A en la ecuación se refiere a la amplitud de la onda sonora y no a la unidad de área.

La intensidad I0 del sonido audible apenas perceptible es el orden de 10-12 W/m2 . Esta intensidad, que se conoce como umbral de audición, ha sido adoptado por expertos en acústica como la intensidad mínima para que un sonido sea audible.

El umbral de audición representa el patrón de la intensidad mínima para que un sonido sea audible. Su valor a una frecuencia de 1000 Hz es:

I0 = 1 x 10-2 W/m2 = 1 x 10-10 ?W/cm2

El intervalo de intensidades por arriba del cual el oído humano es sensible es enorme. Abarca desde el umbral de audición I0 hasta una intensidad de 10-12 veces mayor. EL extremo superior representa el punto en el que la intensidad es intolerable para el oído humano. La sensación se vuelve dolorosa y no sólo auditiva.

El umbral del dolor representa la intensidad máxima que el oído promedio puede registrar sin sentir dolor. Su valor es:

1p = 1 W/m2 = 100 ?W/cm2

En vista de la amplitud del intervalo de intensidades al que es sensible el oído, es más conveniente establecer una escala logarítmica para las mediciones de intensidades sonoras. Dicha escala se establece a partir de la siguiente regla.

Cuando la intensidad I, de un sonido es 10 veces mayor que la intensidad I2 de otro, se dice que la relación de intensidades es de 1 bel (B).

O sea que, cuando se compara la intensidad de dos sonidos, nos referimos a la diferencia entre niveles de intensidad dada por:

Donde I1, es la unidad de un sonido y I2 es la intensidad del otro.

Ejemplos:


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En la práctica, la unidad de 1 B es demasiado grande. Para obtener una unidad más util, se define el decibel (dB) como un décimo del bel. Por lo tanto, la respuesta al ejemplo también se puede expresar como 76.8 dB.

Usando la intensidad I0 como patrón de comparación para todas las intensidades, es posible establecer una escala general para valorar cualquier sonido. El nivel de intensidad en decibeles de cualquier sonido de intensidad I puede calcularse a partir de la relación general.

Donde I0 es la intensidad del umbral de audición (1 x 10-12 W/m2). El nivel de intensidad para I0 es de cero decibeles.


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En virtud de la notación logarítmica de los decibeles, el amplio intervalo de intensidades a niveles de intensidad se reduce a un espectro de 0 a 120 dB. Debemos recordar, sin embargo, que la escala no es lineal sino logarítmica. Un sonido de 40 dB es mucho más que el doble de intensidad de un sonido de 20 dB. Un sonido es 100 veces más intenso que otro es tan sólo 20 dB mayor. En la tabla aparecen varios ejemplos de los niveles de intensidad de sonidos comunes.

TONO Y TIMBRE

El efecto de la intensidad en el oído humano se manifiesta en sí mismo como volumen. En general, las ondas sonoras que son más intensas son también de mayor volumen, pero el oído no es igualmente sensible a sonidos de todas las frecuencias. Por lo tanto, un sonido de alta frecuencia puede ni parecer tan alto como uno de menor frecuencia que tenga la misma intensidad.

La frecuencia de un sonido determina lo que el oído juzga como el tono del sonido. Los músicos designan el tono por las letras que corresponden a las notas de las teclas del piano. Por ejemplo, las notas do, re y fa se refieren a tonos específicos, o frecuencias. Un disco de sirena, como el que se muestra en la figura, puede utilizarse para demostrar cómo el tono queda determinado por la frecuencia de un sonido. Una corriente de aire se envía sobre una hilera de agujeros igualmente espaciados. Al variar la velocidad de rotación del disco, el tono del sonido resultante se incrementa o decrece.

Demostración de la relación entre tono y frecuencia.

Dos sonidos del mismo tono se pueden distinguir fácilmente. Por ejemplo, suponga que suena la nota do (250 Hz) sucesivamente en un piano, una flauta, una trompeta y un violín. Aun cuando cada sonido tiene el mismo tono, hay una marcada diferencia en el timbre. Se dice que esta diferencia resulta una diferencia en la calidad o timbre del sonido.


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En los instrumentos musicales, independientemente de la fuente de vibración, generalmente se excitan en forma simultánea diversos modos de oscilación. Por consiguiente, el sonido producido consiste no sólo en la fundamental, sino también en varios sobretonos. La calidad de un sonido se determina por el número y las intensidades relativas de los sobretonos presentes. La diferencia en la calidad o timbre entre dos sonidos puede observarse en forma objetiva analizando las complejas formas de onda que resultan de cada sonido. En general, cuanto más compleja es la onda, mayor es el número de armónicas que contribuyen a dicha complejidad.

INTERFERENCIA Y PULSACIONES

La interferencia también se presenta en el caso de las ondas sonoras longitudinales y el principio de superposición también se les aplica a ellas. Un ejemplo común de la interferencia en ondas sonoras se presenta cuando dos diapasones (o cualquier otra fuente sonora de una sola frecuencia) cuyas frecuencias difieren ligeramente, se golpean de manera simultánea. El sonido que se produce varía en intensidad, alternando entre tonos fuertes y silencio virtual. Estas pulsaciones regulares se conocen como pulsaciones. El efecto vibrato que se obtiene en algunos órganos es producida por dos tubos sintonizados a frecuencias ligeramente diferentes.

Para comprender el origen de las pulsaciones, examinemos la interferencia que se establece entre ondas sonoras que producen de dos diapasones de frecuencia ligeramente distinta. La superposición de ondas A y B ilustran el origen de las pulsaciones. Los tonos fuertes se presentan cuando las ondas interfieren constructivamente y los tonos suaves ocurren cuando las ondas interfieren en forma destructiva. La observación y los cálculos demuestran que las dos ondas interfieren constructivamente f – f’ veces por segundo. Así podemos escribir

Número de pulsaciones por segundo = |f – f’|

Por ejemplo si dos diapasones de 256 y 259 Hz se golpean simultáneamente, el sonido resultante pulsará tres veces por segundo.


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EFECTO DOPPLER

Siempre que una fuente sonora se mueve en relación con un oyente, el tono del sonido, como lo escucha el observador, puede no ser el mismo que el que percibe cuando la fuente está en reposo. Por ejemplo, si uno está cerca de la vía del ferrocarril y escucha el silbato del tren al aproximarse, se advierte que el tono del silbido es más alto que el normal que se escucha cuando el tren está detenido. A medida que el tren se aleja, se observa que el tono que se escucha es más bajo que el normal. En forma similar, en las pistas de carreras, el sonido de los automóviles que se acercan a la gradería es considerablemente más alto en tono que el sonido de los autos que se alejan de la gradería.

Diagrama que muestra el origen de las pulsaciones. La onda C es una superposición de ondas A y B.

El fenómeno no se restringe al movimiento de la fuente. Si la fuente de sonido está fija, un oyente que se mueva hacia la fuente observará un aumento similar en el tono. Un oyente que se aleja de la fuente de sonido escuchará un sonido de menor tono. El cambio en la frecuencia del sonido que resulta del movimiento relativo entre una fuente y un oyente se denomina efecto Doppler.

El efecto Doppler se refiere al cambio aparente en la frecuencia de una fuente de sonido cuando hay un movimiento relativo de la fuente y del oyente.

El origen del efecto Doppler se puede demostrar gráficamente por medio de la representación de las ondas periódicas emitidas por una fuente como círculos concéntricos que se mueven en forma radial hacia fuera. La distancia entre cualquier par de círculos representa la longitud de onda del sonido que se desplaza con una velocidad “V”. La frecuencia con que estas ondas golpean el oído determina el tono de sonido escuchado.

Consideremos en primer lugar que la fuente se mueve a la derecha hacia un observador A inmóvil. A medida que la fuente en movimiento emite ondas sonoras, tiende a alcanzar las ondas que viajan en la misma dirección que ella. Cada onda sucesiva se emite desde un punto más cercano al oyente que la onda inmediata anterior. Esto da por resultado que la distancia entre las


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ondas sucesivas, o la longitud de onda, sea menor que la normal. Una longitud de onda más pequeña producen una frecuencia de ondas mayor, lo que aumenta el tono del sonido escuchado por el oyente A. Mediante un razonamiento similar se demuestra que un incremento en la longitud de las ondas que llegan al oyente B hará que B escuche un sonido de menor frecuencia.

Representación gráfica de ondas sonoras emitidas desde una fuente fija.

ILUSTRACIÓN DEL EFECTO DOPPLER .

Las ondas frente a una fuente en movimiento están más cercanas entre sí que las ondas que se propagan detrás de la fuente móvil.


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Ahora podemos deducir una relación para predecir el cambio en la frecuencia observada. Durante una vibración completa de la fuente estacionaria (un tiempo igual al del periodo T), cada onda se moverá a lo largo de una distancia de una longitud de onda. Esta distancia de una longitud de onda. Esta distancia se presenta por:

Cálculo de la magnitud de la longitud de onda del sonido que se emite desde una fuente en movimiento. La velocidad de la fuente Vs se considera positiva para velocidades de acercamiento y negativa para velocidades de alejamiento.

Donde V es la velocidad de sonido y fs es la frecuencia de la fuente. Si la fuente se mueve a la derecha con una velocidad Vs, la nueva longitud de onda al frente de la fuente será:

VT - VsT = (V – Vs) T

Esta ecuación también se aplica para la longitud de onda a la izquierda de la fuente en movimiento si seguimos la convención de que las velocidades al aproximarse se consideran


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positivas, y las velocidades al alejarse se consideran negativas. Por lo tanto, si calculamos a la izquierda de la fuente en movimiento, el valor negativo sería sustituido para Vs’ dando por resultado una mayor longitud de onda.

La velocidad del sonido en un medio es función de las propiedades del medio y no depende del movimiento de la fuente. Así, la frecuencia f0 escuchada por un oyente inmóvil y proveniente de una fuente en movimiento de frecuencia fs’ está dada por:

Donde “V” es la velocidad del sonido y Vs es la velocidad de la fuente. La velocidad Vs se considera como positiva para velocidades de acercamiento y negativa para velocidades de alejamiento.


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BIBLIOGRAFIA:

FÍSICA GENERAL Tippens.

Editorial Iberoamerica.

FÍSICA Serway – Faughn.

Pearson Prentice Hall.

FÍSICA II Leoncio Prado Pratz – Jose Antonio Castillo

Pratz Colección Bachiller.

fisica

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