Estática de los cuerpos rígidos: 3er año – I.I.L.A.H. Dpto. de Física

Hasta el momento hemos planteado problemas de Cinemática y Dinámica, considerando a los cuerpos involucrados como partículas o cuerpos puntuales ya que se trataba de cosas pequeñas comparadas con la distancia que recorren, por ejemplo un automóvil que se desplaza por una ruta. Sin embargo, si se estudia la tendencia del automóvil a volcar cuando dobla en una curva, no sólo su tamaño importa sino también su forma y la manera en que su masa está distribuida. En este caso, si el cuerpo no se deforma cuando actúan fuerzas sobre él, se lo considera como un cuerpo rígido (un cuerpo rígido es un sistema de muchísimas partículas cuyas distancias de separación son muy pequeñas y constantes en el tiempo). Algunos ejemplos de cuerpo rígido son: barras, bloques, etc.; son cuerpos que (si bien es una idealización) no se deforman.Un cuerpo rígido puede someterse a un movimiento de traslación (movimiento traslacional), o a un movimiento de rotación (movimiento rotacional) o a ambos movimientos (rotacional y traslacional) simultáneamente.En esta unidad nos concentraremos en estudiar las condiciones de equilibrio de los cuerpos rígidos, pero antes de hacerlo, necesitamos definir el concepto de momento o torque de una fuerza.

Momento de una fuerza:Cuando se abre o se cierra una puerta, se produce una rotación alrededor de las bisagras de la misma. Se dice entonces que el cuerpo (puerta) gira (rota) alrededor de un eje de giro o centro de rotación que son las bisagras. Para que la rotación se produzca, le aplicamos una fuerza en un extremo de la puerta (manija), haciendo que la misma gire alrededor de la bisagra. Supongamos que la siguiente figura representa una puerta que estamos abriendo, observada desde arriba:

es la fuerza aplicada y es el vector posición de la fuerza, con origen en el centro de rotación o

eje de giro (bisagra). A la fuerza la podemos descomponer según la dirección del vector posición

y según la dirección perpendicular a dicho vector posición, obteniendo y respectivamente:

Podemos observar que sólo la componente perpendicular es la que produce la rotación de la

puerta.

Definimos como Momento de una fuerza al producto de la fuerza por el vector posición (con origen en el centro de rotación) por el seno del ángulo (θ) comprendido por ambos vectores. El momento de una fuerza o torque, es una magnitud vectorial y matemáticamente lo podemos escribir como:

donde es el momento de la fuerza, es la fuerza, el vector posición con origen en el

centro de rotación y θ es el ángulo comprendido entre ambos vectores

En otras palabras, r (que es el módulo del vector r │ │) es la distancia en línea recta entre el eje de rotación y la recta de acción de la fuerza. θ es el ángulo entre la recta de r y el vector que representa a la fuerza .Si llamamos r┴ = r . sen θ , se puede calcular el módulo del vector momento de la fuerza como:

1

(bisagra)

| | = | | . r┴ , o bien M = F . r┴, o también M = F . r . sen θ

El momento de una fuerza indica la tendencia de dicha fuerza para causar o alterar la rotación de un cuerpo. El efecto de la fuerza (momento) será mayor cuanto mayor sea la magnitud (valor o módulo) de la fuerza pero también influye el ángulo θ y la distancia r. A mayor valor de r mayor será el valor de M y si θ = 900 el valor de M es el máximo que puede alcanzar, ya que la componente perpendicular de la fuerza es máxima.

Las unidades del vector momento (M) son: [M] = N. m

Como dijimos anteriormente, el momento de la fuerza es una magnitud vectorial, ya vimos cómo se puede calcular el módulo de ese vector, nos falta determinar su dirección y sentido.La dirección del vector momento es la dirección del eje de rotación. El sentido se considera como positivo (+) si la rotación es en sentido ”antihorario” y negativo (-) si la rotación es en sentido “horario”.

+ -

También se usa la “regla de la mano derecha” para establecer el sentido: si se señala con la punta de los dedos de la mano derecha hacia donde tiende a girar el cuerpo, al extender el pulgar (“dedo gordo”) éste indicará el sentido del vector momento que produce la rotación. El sentido “antihorario” considerado positivo (+) está representado por el “dedo gordo saliente”, mientras que el “horario” considerado (-) coincide con el “dedo gordo entrante”. Ver la figura siguiente:

Condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:

Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, deben presentarse simultáneamente las siguientes condiciones:

Primera Condición de Equilibrio: La suma de las fuerzas ejercidas debe ser igual a cero:

Equilibrio traslacional. El cuerpo está en reposo o en movimiento rectilíneo con

velocidad constante ( ) (1ra ley de Newton)

Segunda Condición de Equilibrio: La suma de los momentos de las fuerzas ejercidas debe ser igual a cero:

Equilibrio rotacional. El cuerpo no está acelerado angularmente.

Importante:

Ejemplos de aplicación de conceptos:

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M

Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio completo se puede considerar a cualquier punto del cuerpo como eje de giro y la suma de todos los momentos, respecto a ese punto debe ser cero (nula).La elección del punto, centro de rotación (o eje de giro) depende de las características geométricas y físicas del cuerpo, pero en general, se elige como centro de rotación a aquel punto sobre el cual actúa el mayor número de fuerzas desconocidas ya que de esa manera r = 0 anulándose el momento y facilitándonos los cálculos.

Todas son expresiones equivalentes, que sirven para calcular el módulo del vector Momento.

1) Algunos tornillos de los motores de los autos deben ser ajustados con un momento (que los mecánicos llaman torque) bien determinado. Los de la topa de los cilindros, por ejemplo, deben ser ajustados con unos 40 N.m

a) ¿Qué fuerza debe aplicarse en el extremo de una llave de 16cm de longitud durante el último esfuerzo, para que los tornillos queden ajustados correctamente?

b) Los tornillos deben moverse hacia abajo para ser ajustado (salvo raras excepciones). Siguiendo la regla de la mano derecha ¿en qué sentido debe girar la llave? ¿Qué signo debe tener el momento aplicado?

Rpta.: F = 250N , sentido horario, signo negativo.

2) Calcular el momento alrededor del eje A debido a cada una de las fuerzas que se muestran:

¿El cuerpo está en equilibrio de rotación?

Rpta.: M10N = -8 N.m ; M25N = + 8,5 N.m ; M20N = 0

3) Cuando levantamos algo con el antebrazo, el músculo bíceps aplica un momento de fuerza al antebrazo. Si el eje de rotación pasa por la articulación del codo, el músculo esta sujeto a 4cm del codo ¿Qué magnitud tiene el momento de fuerza muscular en los casos (a) y (b) de la figura, si el músculo ejerce una fuerza de 600N?

Rpta.: (a) M = 21 N.m (b) M = 24 N.m

Al resolver los ejercicios, tené cuidado:

- Si se quiere saber si un cuerpo está en equilibrio o no, debés averiguar si se cumple que: ΣF y ΣM es cero.

- Si se sabe que el cuerpo está en equilibrio, debe plantearse:

y

Guía: Equilibrio del cuerpo rígido 3er. Año. I.I.L.A.H. – Dpto. de Física

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1) Una viga uniforme de 600N, está sujeta a una bisagra en el punto P. Calcular la tensión de la cuerda y la fuerza que ejerce la bisagra sobre la viga.

2) Un adorno casero como el que muestra la figura, consiste en suspender de los extremos de un alambre de 1,5 m figuras infantiles. Calcular la distancia x a uno de los extremos de la cual debe suspenderse el sistema para que permanezca en equilibrio, sabiendo que m1 = 10g , m2= 5g y suponiendo despreciable la masa del alambre. ¿y si m1 = 5g y m2= 7g?

Rpta.: x =0,5 m – x = 0,875m

3) Supongamos que dos chicos de diferentes masas están ubicados en un sube y baja. La masa de uno es de 45 kg, en tanto que la del otro es de 30kg. Si el de menor masa está ubicado a 1,20m del centro del sube y baja ¿a qué distancia debe ubicarse el de masa mayor para que el sube y baja esté en equilibrio en posición horizontal?

Rpta.: 0,8 m

4) Un clavadista de 50 kg se encuentra parado en el extremo de una tabla de trampolín homogénea, como se ilustra en el dibujo. La masa de la tabla des de 50 kg. Calcular:a) La fuerza que debe efectuar la estructura del trampolín sobre el extremo opuesto (punto B)

de la tabla para que el sistema esté en equilibrio.b) La reacción del apoyo en el punto C.

Rpta.: RC = 2500 N FB = 1500 N

5) Una tabla homogénea está suspendida mediante tres cuerdas. Determinar las tensiones de cada una de las cuerdas si la tabla pesa 1000 N.a) Considerando el punto A como centro de giro.b) Considerando el punto B como centro de giro.

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Rpta.: T= 2.291,67 N F= 1765,86 N θ = -2009’55’’

Rpta: T1=375N,T2=500N y T3=625N

6) Un pescador principiante ha atrapado un tiburón de 1000 kg. Como se encuentra orgulloso, ha decidido exhibirlo en la plaza central de su pueblo, sosteniéndolo por medio de un cable unido a una barra de 4 m de longitud y 500 N de peso, que está articulada en la base.

a) Calculá la tensión necesaria para mantener el sistema de la figura en la posición mostrada en la figura.

b) Calculá la reacción en la base de la barra.

Rpta: a) 5.204 N b) 9997,5 N 60º42’36’’

7) Una escalera de 5m de longitud y 10 kg de masa está recargada sobre una pared lisa. Calcular:a) El mínimo coeficiente de fricción entre el piso y la escalera, necesario para que la escalera

no se resbale.b) Resolver el mismo problema pero considerando la masa de la escalera de 20 kg y 7 m de

longitud.c) ¿Cuándo es más estable la posición de la escalera, para un ángulo mayor, menor o igual a

530?d) ¿Podría sostenerse la escalera si la pared tuviera fricción y el piso fuera liso?

8) Dos campesinos transportan mediante el auxilio de una barra de masa despreciable, un recipiente que con su contenido totaliza una masa de 80kg. El punto de suspensión del recipiente, se ubica a 1m del campesino delantero y a 2m del campesino trasero, como se ilustra en el dibujo. Determinar la fuerza hecha por cada campesino para mantener al recipiente suspendido en e aire en es posición.

Rpta.: F1 = 522,66N y F2 = 261,33N

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Rpta.: a) y b) μe= 0,375 c) a menor θ mayor coef. de fricción d) No

Considerar sen530 = cos 370 = 0,8 y cos 530 = sen 370 = 0,6

Campesino 1Campesino 2