Cinemática. El movimiento de los cuerpos 2do. año – I.I.L.A.H.Dpto de Física

Que un cuerpo esté en movimiento, significa que cambia su posición con respecto a otro cuerpo.

Además, en la descripción de los movimientos, es importante el tiempo. Por esta razón, también hay que determinar un origen en la escala de tiempo, lo que llamamos t = 0. El t = 0 es el instante en que se comienza a observar el suceso, en la práctica dicho instante coincide, casi siempre, con el momento en que se acciona el cronómetro.

Trayectoria, posición y desplazamiento:

Como dijimos antes, la elección del sistema de referencia surge al considerar un cierto objeto en reposo. Una vez establecido dicha referencia, podremos ubicar la posición del cuerpo en movimiento. Habitualmente, se utilizan ejes cartesianos ortogonales: la posición del cuerpo en el espacio queda determinada por el vector posición , o bien, si trabajamos en el plano

por , pero también puede ocurrir que el cuerpo sólo se mueva en línea recta, en este

último caso, se suele utilizar una sola coordenada para indicar su ubicación .

Supongamos que un bote parte de un lugar P1 de coordenadas cercano a un muelle a las

7 horas y que 2 horas después atraca en otro lugar P2 de coordenadas . Como cuerpo fijo,

elegimos el muelle y allí ubicamos el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Los vectores posición y serán:

y

P2 (x2, y2)

P1 (x1, y1)

muelle 0 X

Al vector se lo llama desplazamiento del cuerpo que como es una magnitud vectorial, tiene módulo, dirección y sentido: .

El símbolo Δ (letra griega delta mayúscula) significa valor final – valor inicial y siempre expresa la variación o intervalo de una magnitud.

El desplazamiento es un vector que indica la variación que experimenta el vector posición entre dos instantes de tiempo establecidos; tiene su origen en el extremo del vector asociado a la posición inicial (en nuestro caso P1) y su extremo en el vector asociado a la posición final (P2 en el ejemplo). En otras palabras el vector desplazamiento expresa la posición final del móvil respecto de la posición inicial ocupada por el mismo. El vector desplazamiento es independiente del sistema de referencia utilizado, mientras que el vector posición no. Por otro lado, la distancia es el valor de la longitud recorrida por el móvil, y es una magnitud escalar.

En un movimiento unidimensional (esto es, un movimiento en una sola dirección) es posible utilizar un solo eje de coordenadas para describir el movimiento (por ejemplo el eje x); por lo tanto, en lugar de utilizar para representar el vector desplazamiento, es muy común usar:

1

Por ejemplo, un pasajero sentado en el tren puede suponer que el tren no se mueve ya que no cambia su posición respecto de él pero al mirar por la ventanilla, observa que el señor que está en el andén se está alejando, es decir que el señor se mueve en dirección opuesta al pasajero. Sin embargo, si el observador es la persona que está en el andén, seguramente afirmará que el que se aleja es el tren. Todo movimiento es relativo al sistema de referencia que se considere como fijo (arbitrariamente). Por lo tanto, para comenzar a estudiar un movimiento, es necesario establecer un sistema de referencia que consideremos inmóvil, a partir del cual se estudia el movimiento.

Puede ocurrir que el barco, al desplazarse del punto P1 al punto P2 haya realizado un camino curvilíneo como el que figura en la gráfica en línea punteada. A ese camino (que puede ser recto o curvo) se lo denomina trayectoria y es la línea formada por los sucesivos puntos del espacio por lo que pasó el móvil (depende de las magnitudes utilizadas y del sistema de referencia).

Ejemplos:

0km 10km

1) Un automóvil se dirige desde A hacia B: A C a) ¿Cuál es la posición inicial y la posición final en el trayecto representado?b) ¿Cuál es el desplazamiento?d) ¿Cuál es la distancia recorrida, es decir, cuántos kilómetros recorrió?

Si el auto va desde A hasta B y luego llega a C:a) ¿Cuál es la posición inicial y la posición final en este trayecto?b) ¿Cuál es el desplazamiento?c) ¿Cuántos kilómetros recorrió?

2) Un auto se mueve por la Ruta Nacional nro. 2. Sale de Chascomús (km120) y llega a Dolores (km200). Se detiene 30 minutos y luego prosigue hasta Mar del Plata (km400). Al día siguiente, regresa a Chascomús.a) ¿Qué distancia recorrió en todo el trayecto?b) ¿Cuál fue su desplazamiento en el viaje de regreso a Chascomús?c) ¿Cuál fue su desplazamiento en todo el viaje?

(*) Importante: Antes de pasar a otros conceptos relacionados con el movimiento de los cuerpos, discutiremos los signos de algunas respuestas obtenidas y su significado físico.

Velocidad y Rapidez:

En el lenguaje cotidiano, es habitual usar el término velocidad como sinónimo de rapidez, pero en el lenguaje de la física ambos conceptos son diferentes.La rapidez mide la prisa con la que se desplaza un móvil, sin aclarar en qué dirección lo hace, es lo que mide el “velocímetro” de un automóvil.La velocidad en cambio, es una magnitud vectorial (tiene módulo, dirección y sentido). La rapidez es el módulo o valor del vector velocidad en un instante determinado.

Veamos un ejemplo para aclarar estos conceptos:

La siguiente figura, representa a dos atletas que se mueven, una corriendo a 10 km/h en dirección este-oeste y la otra corriendo a 10 km/h en dirección oeste-este

Ambas corredoras poseen la misma rapidez (10 km/h) pero sus velocidades son distintas porque sus sentidos son diferentes (es este caso opuestos). A la velocidad de la atleta que se desplaza según el eje de coordenadas (x) positivo se le asigna signo positivo, mientras que a la velocidad de la que se mueve en sentido contrario al eje de coordenadas (x) positivo se le asigna signo negativo.Tanto la rapidez como la velocidad se expresan como una unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo:

2

B

20km

La unidad utilizada en el Sistema Internacional es el .

Ahora bien, ¿qué significa que la rapidez de las corredoras sea de 10 km/h? Significa que por cada hora, las corredoras recorren 10 km.

También es importante mencionar que la velocidad de un objeto en movimiento puede cambiar aunque su rapidez se mantenga constante. Por ejemplo:

Durante un viaje, la rapidez del vehículo suele ser diferente en momentos distintos. Si bien es posible decir que un auto que recorre 200 km en dos horas tiene una rapidez cuyo valor medio es de 100 km/h, seguramente ese valor no se mantuvo constante a lo largo de todo e recorrido. En algunos tramos, la rapidez disminuye y en otros, aumenta. Por ello, se dice que la rapidez así obtenida es una rapidez media. Similarmente, definimos como velocidad media de un móvil al cociente entre el vector desplazamiento y el lapso de tiempo durante el cual se desplazó:

Si se toman intervalos de tiempo muy pequeños, es decir, t1 muy próximo a t2 la velocidad obtenida es la velocidad instantánea:

En la siguiente figura se representan los vectores velocidad instantánea para dos puntos A y B de una trayectoria curvilínea.

Aceleración:

Cuando un conductor de un automóvil intenta pasar a otro en la ruta, aprieta el acelerador, es decir, modifica su rapidez (y por lo tanto su velocidad) para ir más ligero y pasarlo en el menor tiempo posible. En el lenguaje de la física, la aceleración es un vector que expresa el cambio del vector velocidad en el tiempo. Este vector puede variar por tres razones: porque varía la rapidez del móvil, porque varía su dirección o porque varían ambos. En los tres casos, se dice que el móvil aceleró.Si se observa un niño en una calesita, puede notarse que rota con una rapidez constante aproximadamente, en cada punto de su trayectoria. Sin embargo, el niño está siendo acelerado porque su velocidad cambia punto a punto, ya que varía la dirección del vector velocidad.La magnitud que informa acerca del cambio del vector velocidad en un intervalo de tiempo es el vector aceleración media cuya expresión matemática es:

3

Un automóvil toma una curva con una rapidez constante de 100 km/h, este valor no cambia aunque sí varía su velocidad en cada punto de la curva porque cambia la dirección del vector. Es decir, no es lo mismo velocidad constante que rapidez constante.

Velocidad media: su dirección y sentido son los del desplazamiento.

Velocidad instantánea: Cuando Δt se hace muy pequeño por estar muy próximos t1 y t2 ( a esto se lo escribe como

). La dirección de la vel. Instantánea es tangente a la

trayectoria y su sentido es el del movimiento.

La unidad de aceleración es una magnitud derivada que se obtiene al dividir una unidad de velocidad por una de tiempo. En el Sistema Internacional, la unidad de aceleración es:

(se lee metros por segundo al cuadrado).

Decir que un objeto tiene una aceleración de 3 m/s2 indica que varía el valor de su velocidad en 3m/s por cada segundo de movimiento (si estaba inicialmente detenido, al cabo de 1 segundo alcanzará la rapidez de 3m/s; a los 2 segundos de 6m/s y así sucesivamente).

Cuando el intervalo de tiempo transcurrido es muy pequeño porque t es muy próximo a t0 ( ), se hace referencia a la aceleración instantánea. Matemáticamente, la podemos escribir como:

Si la aceleración es constante (lo que significa que no cambia con el transcurrir del tiempo) sus valores instantáneos y medios son iguales.El vector aceleración puede ser nulo, tangente la trayectoria o definido hacia la concavidad (o sea hacia adentro si el movimiento es curvilíneo) nunca hacia fuera.

Importante para recordar: Los vectores no tienen signo. En realidad no hay velocidad ni aceleración positivas o negativas, pero al hacer referencia a un eje, se puede convenir que si el sentido del vector coincide con el del eje positivo, se toma como positivo, caso contrario, si se opone al sentido del eje positivo, se puede convenir que el sentido de la velocidad o de la aceleración es negativo.

Ejemplos:

1) Calcular la aceleración media de un auto que parte del reposo, describe una trayectoria rectilínea y alcanza una rapidez de 100 km/h en 9 segundos.

2) Un automóvil que se desplaza a 100 km/h frena de modo tal que el valor de su aceleración media es de 3 m/s2 ¿Cuánto tarda en detenerse?

3) Al aplicar los frenos de un auto que viaja a 54 km/h, la velocidad disminuye uniformemente y en 8 segundos se hace cero. ¿Cuánto vale la aceleración?

4) Responder verdadero o falso a las siguientes situaciones justificando:a. Si la aceleración de un cuerpo es negativa la velocidad siempre disminuye con el

tiempo.b. El desplazamiento no siempre coincide con la distancia recorrida por un móvil. Dar

un ejemplo en el que sí coincidan y otro en el que no lo hagan.

5) Responder justificando las siguientes preguntas:a) ¿El velocímetro de un automóvil mide rapidez o velocidad? ¿Por qué?b) ¿Una aceleración negativa siempre significa que el cuerpo está frenando?

6) Un auto viaja a 90 km/h, el conductor al ver un pozo en la calzada, pisa el freno y reduce la velocidad a 1/3 de la inicial en 4 segundos, que es lo que tarda en llegar hasta el pozo.

a) ¿Cuánto vale su aceleración?b) ¿A qué distancia se encontraba el auto cuando el conductor aplicó los frenos?

Movimientos rectilíneos:

Un movimiento rectilíneo es aquél que describe una trayectoria en línea recta. Un movimiento rectilíneo puede ser Uniforme o Uniformemente Variado; o una combinación de ambos.

Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU):

4

Aceleración media: Donde es la velocidad final, es la

velocidad inicial, t es el tiempo final y t0 es el tiempo inicial.

Aceleración instantánea: Donde es la velocidad final, es la

velocidad inicial y Δ t es muy pequeño (lapso de tiempo muy corto).

En este movimiento, el vector velocidad es constante en todo el trayecto. El móvil realiza iguales desplazamientos en iguales intervalos de tiempo. Estos movimientos son raros pero se pueden observar por ejemplo, en los cuerpos que se encuentran en sistemas tirados por motores eléctricos como los tramos rectos de la cinta transportadora de valijas en un aeropuerto o líneas de envase, pero hay otros casos en los que su variación puede considerarse insignificante a lo largo del recorrido.En este movimiento se elige un sistema de referencia tal que el eje de coordenadas x contenga a la trayectoria. Los sucesivos cambios de la posición del móvil ocurren a lo largo del eje x (eje horizontal) y, por esta razón, cambiamos la letra r con la que simbolizábamos la posición por la letra x.

Recordemos la definición de velocidad

A partir de ella, podemos calcular el desplazamiento . Haciendo un despeje matemático obtenemos:

Recordando que , la expresión anterior puede ser escrita como: ; y finalmente:

A esta relación se la conoce como ecuación horaria del M.R.U. La ecuación horaria describe el movimiento de un cuerpo. Nos permite predecir dónde estará el cuerpo si conocemos sus condiciones iniciales (v, t0 y x0).

Gráficas de velocidad en función del tiempo y de la posición en función del tiempo con un ejemplo:

Una persona camina con velocidad constante de 1,5 m/s durante 30 s. Si confeccionamos el gráfico de la velocidad en función del tiempo (esto significa representar los valores de v y t en un sistema cartesiano, en cuyo eje vertical representamos la velocidad y en el eje horizontal representamos el tiempo), obtenemos una recta paralela al eje x:

V (m/s)

1,5

15 30 t(s)

¿Cuánto se desplazó la persona en 15 s? ¿Y en los 30 s?

Si hacemos los cálculos usando las ecuaciones vistas anteriormente

Al cabo de 15 segundos Δx = v · (t – t0) = 1,5 m/s · (15 s – 0 s) = 22,5 mAl cabo de 30 segundos Δx = v · (t – t0) = 1,5 m/s · (30 s – 0 s) = 45 m

Analicemos qué relación hay entre estos cálculos y la gráfica: Si observamos el gráfico vemos representados dos rectángulos:

h=1,5

5

x = es la posición final , x0 = posición inicial

Δt = tfinal – tinicial

h=1,5

base = b = t – t0 =30– 0 = 30

El área de los rectángulos la calculamos multiplicando la base por la altura b x h:

b x h = 15 x 1,5 = 22,5 para el primer rectángulo

b x h = 30x 1,5 = 45 para el segundo rectángulo

Como vemos esas “áreas” coinciden numéricamente con los valores obtenidos al aplicar las ecuaciones de Δx. Debemos tener en cuenta que un área se mide en cm2, m2, etc, o sea en unidades de superficie, pero éstas áreas particulares se miden en m (unidades de longitud) porque representan el desplazamiento de la persona en el tiempo.

Conclusión: el área encerrada bajo la curva obtenida graficando la velocidad en función del tiempo, nos da el valor del desplazamiento.

Si ahora graficamos los valores que toman las diferentes posiciones de la persona en función del tiempo:

x (m)

t (s)

La inclinación de esta recta se llama pendiente y representa la velocidad de la persona, cuanto más inclinada está, mayor es la velocidad que tiene.

Pero… ¡ojo! Recordá que estos gráficos NO son una “foto del camino recorrido” por la persona, si no que representan sus sucesivas posiciones respecto de un determinado sistema de referencia

Podemos hacer entonces, un estudio del movimiento de un cuerpo en general, observando sus gráficas de velocidad en función del tiempo y de posición en función del tiempo.La velocidad puede ser positiva o negativa. Esto depende del sistema de referencia considerado. Un vector no tiene signo, sin embargo, a veces le colocamos un + o un – para indicar que coincide con el sentido fijado como positivo o con el sentido fijado como negativo respectivamente, en nuestro sistema de referencia.

Veamos algunos ejemplos:

x xx0

6

base = b = t – t0 = 15 – 0 = 15

22,5

45

15 30

x0 > 0 y la recta está inclinada hacia abajo.

Su pendiente es negativa, por lo tanto v < 0. El móvil se desplaza en sentido contrario al elegido como positivo en el eje de coordenadas

x0 < 0 y la recta está inclinada hacia arriba. Su pendiente es positiva, por lo tanto v > 0. El móvil se desplaza en el mismo sentido que el elegido como positivo para el eje de coordenadas

0t t

x0

Encuentro:

Hasta el momento siempre hemos hablado de un móvil que se mueve….o de un móvil que recorre….etc. Vamos ahora a detenernos en el estudio de dos móviles que se cruzan en algún punto de su trayectoria. Estos casos, reciben el nombre de “situaciones de encuentro”.

En los encuentros entre móviles que tienen ambos MRU, las ecuaciones que hemos visto hasta el momento son válidas, pero debemos agregar un par de condiciones adicionales, veamos cuáles:Supongamos que llamás a un amigo por teléfono para ir al cine a ver esa película que tanto les gusta.

Pensemos…¿qué tendrían que acordar para encontrarse?Primero: a qué cine van a ir a verla. Es decir el lugar (en física acordate que decimos posición no lugar).Segundo: a qué hora se encuentran (o sea lo que en física llamamos el tiempo t) ¿no es cierto?Estos dos datos son las condiciones necesarias para que se produzca el encuentro (sean con MRU o MRUV).

Si a estas dos condiciones las traducimos en ecuaciones, tendremos:

a) El móvil 1 después de un cierto tiempo t1 se encuentra en la posición x1.b) El móvil 2 después de un cierto tiempo t2 se encuentra en la posición x2.

Para que estos dos móviles se “encuentren” las posiciones deben coincidir y los tiempos también, es decir:

x1 = x2 generalmente a esta posición se la llama posición de encuentro xe

t1 = t2 generalmente a este tiempo lo llamamos tiempo de encuentro te

Ejemplo:

Un móvil sale de Buenos Aires con destino a la ciudad de Azul marchando a 80 km/h y simultáneamente parte desde Azul hacia Buenos Aires otro automóvil a 70 km/h. Si la distancia entre ambas ciudades es de 300 km, determinar analítica y gráficamente:

a) ¿al cabo de cuánto tiempo desde la partida se producirá el encuentro?b) ¿a qué distancia de Buenos Aires se cruzarán?c) Repetir los cálculos anteriores suponiendo que el primer coche parte de Buenos Aires 45

minutos después de que lo hace el segundo.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV):

Es un movimiento rectilíneo en el que la aceleración es constante (no cambia), dicho en otras palabras, es un movimiento en línea recta en el cual el móvil realiza iguales variaciones de velocidad en iguales intervalos de tiempo (de allí que se lo identifique como uniformemente variado ya que es su velocidad la que varía en forma uniforme).Como la aceleración es constante en todo momento, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea:

7

Despejando, podemos calcular la velocidad (en función del tiempo):

(1)

Esta es la expresión más general de la velocidad en un MRUV.

Si representamos gráficamente la aceleración como función del tiempo (esto se escribe como o y significa que en el eje de las abscisas o eje x representamos el tiempo y en el

de las ordenadas o eje y a la aceleración) obtenemos una recta paralela al eje de los tiempos (eje de abcisas), ya que su valor no cambia a medida que transcurre el tiempo, es constante:

a (m/s2)

a

t0 t t(s)

También podemos graficar la velocidad como función del tiempo (ecuación (1)). El gráfico de es una recta con pendiente igual al valor de la aceleración constante a:

v (m/s)

v Pendiente: (aceleración)

v0

t0 t t(s)

El desplazamiento definido por x – x0 podemos hallarlo a partir del cálculo del área encerrada por la

recta y el eje del tiempo (igual que para el MRU). Dicha área como podemos

observar es la suma del área de un rectángulo y de un triángulo.

Área del rectángulo :

La base del rectángulo es y la altura es ( ), por lo tanto su área será ( *1)

Área del triángulo :

Recordando que el área de un triángulo es y que nuestro triángulo tiene como base

y como altura , su área será

(*2)

Por lo tanto, el área será igual a la suma de las áreas del rectángulo más la del triángulo:

Recordando la definición de aceleración

8

y reemplazando en la expresión anterior, nos queda: donde

. Por lo tanto podemos escribir:

Esta última relación matemática se la conoce como ecuación horaria del MRUV. La ecuación horaria describe el movimiento de un cuerpo. Nos permite predecir dónde estará el cuerpo si conocemos sus condiciones iniciales (a, v0, t0 y x0).Si graficamos x en función del tiempo (dándole valores a t en nuestra ecuación) obtenemos una curva particular que recibe el nombre de parábola.

En la siguiente figura se muestran dos cualesquiera de las diferentes combinaciones entre x0, v0, a (la recta tangente a la parábola, es decir, la recta que toca solo un punto determinado de la parábola tiene una cierta pendiente, o sea una cierta inclinación, que representa a la velocidad en ese punto):

Veamos ahora la gráfica de la velocidad en función del tiempo . En el gráfico siguiente, el móvil describe un MRUV con aceleración positiva (ya que la pendiente de la recta que representa a la aceleración es positiva):

Entre t0 y t1 (que es el punto donde la recta obtenida corta al eje de los tiempos), la velocidad (en valor absoluto) disminuye, mientras que para los tiempos mayores que t1 aumenta. En este caso podemos decir que, entre t0 y t1, el movimiento es retardado, mientras que a partir de t1, el movimiento es acelerado.En el siguiente gráfico, en cambio, el móvil describe un MRUV con aceleración negativa (pendiente de la recta negativa):

9

Entre t0 y t1 la velocidad disminuye, mientras que para los tiempos mayores que t1 (en valor absoluto) la velocidad aumenta. En este caso podemos decir que, entre t0 y t1 el movimiento es retardado, mientras que a partir de t1 el movimiento es acelerado.En consecuencia para saber si un MRUV es acelerado o retardado no alcanza con saber si la aceleración es negativa o positiva.

Para ilustrar un poco más esto de los sentidos de la velocidad y aceleración, veamos la siguiente figura que representa las posiciones de un automóvil, a intervalos regulares de tiempo, para:

a) un movimiento rectilíneo y uniformeb) un movimiento rectilíneo uniformemente variado aceleradoc) un movimiento rectilíneo uniformemente variado retardado

Resumiendo las expresiones generales de un MRUV, tenemos:

Guía: Cinemática 2do. año – I.I.L.A.H.

10

En estas ecuaciones los signos de x0, v0, a, deben ser cuidadosamente determinados en cada caso de acuerdo al origen y el sentido elegidos para el eje x. Si se elige el instante inicial en forma coincidente con el origen de tiempos se puede reemplazar Δt por t, simplificándose las ecuaciones

A) Movimiento rectilíneo Uniforme:

1) Los siguientes diagramas corresponden a distintos móviles, que realizan movimientos rectilíneos. Hallá las ecuaciones horarias para cada uno de ellos, y en qué instantes pasarán (o pasaron) por la posición tomada como origen de coordenadas.

X (m)

24 20

a b

12

6

0 6 t (s) 0 4 t(s)

x(m) c x(m) d

16 8

100 6 0 4

t(s) t(s) -4

-8

Respuestas :

1a) x = 6 m + 3 m/s t  ; instante en que x=0  t = -2 s

1b) x = 20 m - 2 m/s t ;    "        "        "         t = 10 s

1c) x = -8 m + 4 m/s t ;     "       "        "         t = 2 s

1d) x = 16 m - 2 m/s t ;      "      "         "        t = 8 s

2) Para cada uno de los siguientes MRU representados en sus respectivas gráficas, y suponiendo que el punto inicial del trazo representa a x0 y t0, completá con “ = “, “<” y “>” (igual, menor y mayor) según el ejemplo a).

a b c d

3) Dada la ecuación x = x0 + v (t – t0)a) Despejá x0.b) Despejá v.c) Despejá t.d) Despejá t0.

11

x0 = 0t0 = 0v > 0

ef

x x xx

t t t t

xx

t t

x (m)

x0

t0

v

x0

t0

vx0

t0

v

x0

t0

v

x0

t0

v

4) Dada la ecuación horaria x = 2 m + 5 m/s (t – 3s)a) Repetí los ítems del punto 3)b) ¿En qué posición se hallará el móvil en el instante t1 = 5 s?c) ¿En qué instante pasará el móvil por la posición x2 = 10 m?

5) La velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s. Expresala en km/h.

6) La velocidad de un avión es de 1440 km/h y la de otro es de 450 m/s ¿Cuál es más veloz?

7) A partir del gráfico de posición en función de tiempo para tres móviles distintos indicá:a) Las velocidades de los tres móviles.b) ¿Cuál de los tres móviles recorrió mayor distancia entre los 20 y 40 s?c) ¿Cuál recorrió mayor distancia entre 0 y 40 s?

x(m)

2 3

10 1

5

0 10 20 30 40 t (s)

8) Un auto, en movimiento uniforme, recorre:

60 km en 1 h 120 km en 2 h 180 km en 3 h 240 km en 4 h

a) Trazá la gráfica d en función del tiempo. Eligiendo una escala adecuada y señalando los puntos correspondientes a los pares de valores de d y t, obtené la “curva” que representa la velocidad.b) Con base en el gráfico, calculá la velocidad del auto.

9) Trazá el diagrama v en función del tiempo (en escala) para un auto que se desplaza con una velocidad constante v = 50 km/h durante un tiempo t = 3 h. ¿Qué representa el área bajo la gráfica que trazó? ¿Cuál es el valor?

B) Problemas de encuentro:

1) Dos peatones salen simultáneamente de dos puntos A y B que distan 2 km entre sí, uno al encuentro del otro moviéndose en la misma dirección. El que sale de A lo hace con una velocidad constante de 4 km/h; el que parte de B a 2 km/h.a) ¿A qué distancia de A se cruzan?b) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se cruzan?

2) Por una ruta rectilínea un par de bandidos tratan de alcanzar la frontera en un automóvil con rapidez constante de 108 km/h. Cuando los bandidos se encuentran a 50 km de la frontera, advierten que 40 km detrás suyo los persigue un patrullero que avanza con una rapidez de 144 km/h. ¿Podrán alcanzarlos antes de cruzar (xe)?

3) La casa de Juan se encuentra a 900 m (9cuadras) de la casa de Diana. Caminando con velocidad constante, Juan tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre en 15 minutos. Cierto día parten ambos a las 15 horas, cada uno desde su casa y dirigiéndose a casa del otro. Determinar a qué hora y a qué distancia de la casa de Diana se encontraron.

4) Sale un avión de A a B con una velocidad constante de 500 km/h, al mismo tiempo que otro avión con la misma dirección pero de sentido contrario al anterior despegando de B con una velocidad de 300 km/h constante. Si los punto A y B están separados 1000 km.a) ¿Cuánto tardarán en cruzarse?b) ¿A que distancia de A lo lograrán?

C) Movimiento rectilíneo Uniformemente Variado:

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1) Qué aceleración es mayor, la de un leopardo, que pasa de su posición de reposo a una velocidad de 3 m/s en 3 segundos la de un coche de serie, que tarda 9,8 segundos en alcanzar los 100 km/h?

2) En el manual de un automóvil se indica que puede llegar de 0 a 100 km/h en 12s.a) Si se supone constante ¿Cuánto vale su aceleración?b) ¿Cuál es su rapidez a los 4s de haber partido?c) ¿Cuánto tarda en llegar a una rapidez de 80 km/h?

3) Un tren reduce uniformemente su velocidad desde los 10 m/s a 8 m/s en una distancia de 100 m. a) Calcular la aceleración de frenado, qué distancia recorrerá hasta detenerse y en cuánto lo hace.b) Graficar aceleración en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y variación de posición (x) en función del tiempo, utilizando una escala adecuada (indicando la misma).

4) La siguiente tabla indica algunos datos referidos al movimiento rectilíneo uniformemente variado de un coche de fórmula 1, en el transcurso de una carrera:

Tiempo (s) 0 6 10 40Rapidez (m/s) 0 30Distancia recorrida (m) 0 250 1000

a) Completar los datos faltantes de la tabla.b) Calcular el valor de la aceleración de auto.c) Representar x, v y a en función del tiempo en tres gráficos respectivamente, utilizando una escala adecuada (indicarla).

5) A continuación encontrarán una lista de magnitudes. Indiquen en el casillero de la derecha, con una letra E las que son escalares y con una letra V las que son vectoriales:

aceleración distancia rapidezvelocidad posición tiempoLongitud desplazamiento

Expliquen las diferencias entre magnitud escalar y magnitud vectorial:

6) Indicar, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Dos autos que tienen la misma rapidez siempre tienen la misma velocidad.b) Un movimiento rectilíneo uniformemente variado es aquel en el que varía su aceleración en forma uniforme.

7) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos corresponden a un MRU y cuáles a un MRUV:

8) Expresen los siguientes valores en m/s:a) 80 km/h b) 70 m/min c) 500 cm/sExpresen los siguientes valores en m/s2:a) 80 km/h2 b) 70 m/min2 c) 500 cm/s2

9) Un auto que se encuentra inicialmente en reposo recorre una distancia de 32 m en línea recta con una aceleración constante de 4 m/s2 ¿Cuánto tiempo tarda?

10) La ecuación horaria de un móvil es :

a) ¿Cuánto valen v0 y t0?b) ¿Cuáles son las variables y cuales las constantes?

13

c) Si la posición del móvil a los 4s es x= 84m ¿Cuánto vale la aceleración?

11) Dada la ecuación horaria indicar:

a) ¿Cuánto vale x0?b) ¿Cuánto vale v0?c) ¿Cuánto vale t0?d) ¿Cuánto vale a?

12) Desde la parte inferior de una pendiente se lanza una bolita hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. La bolita llega a cierta altura y baja. Si la aceleración durante todo el trayecto es de 4 m/s2:a) Expresá las ecuaciones del movimiento (x = f (t); v = f(t) y a = f(t)).b) ¿Cuál es la posición de la bolita, respecto del punto de partida, a los 6 segundos de

iniciado el movimiento?c) ¿Cuál es el desplazamiento de la bolita en esos 6 segundos?d) ¿Cuál es la distancia recorrida por la bolita en esos 6 segundos?

13) Los siguientes gráficos representan la velocidad que adquiere una bolita en función del tiempo, al moverse en un camino rectilíneo:

v (m/s) (a) v (m/s) 8 (b)

4

2

0 t (s) 0 3 t (s)

v (m/s) v (m/s)

12 (c) 2 (d) 0 t (s) -2 4

2 t (s) -6

Para cada uno de ellos se pide:a) Calculá su aceleración y graficá en función del tiempo.b) ¿Qué representa el área encerrada bajo la recta para el intervalo (2s;5s)? Calculalo.c) Escribí las ecuaciones horarias correspondientes, suponiendo x0 = 0 para t0= 0.d) Hallá las posiciones correspondientes a los instantes t= 1s; 2s; 4s; 5s; 6s; 7s.

Representalos en un diagrama x en función de t y trazá el gráfico correspondiente (uniendo los puntos).

e) Escribí las ecuaciones de v = f(t).f) Calculá la rapidez en el instante t = 1s g) Describí con tus palabras ¿cómo se mueve la bolita en cada caso, en términos de

rapidez.

14) Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s2 y se mueve durante 5s. Hallar cuánto se desplaza durante el primer segundo y cuánto durante el último.

15) Un avión parte del reposo con aceleración constante y carretea 1800 m por la pista durante 30s hasta despegar. ¿Con qué velocidad abandona la pista? Trazar un gráfico de velocidad en función del tiempo.

16) Un móvil es acelerado a partir del reposo a lo largo de una trayectoria rectilínea durante 10s con una aceleración de 10 m/s2. Luego se mueve sin aceleración por 5s, después de los cuales, adquiere una aceleración de -15 m/s2 hasta detenerse. ¿Cuál es el gráfico que mejor representa la velocidad del móvil en función del tiempo?

14

a)

v (a) v (b)

t t

v (c) v (d)

t t

D) Movimientos rectilíneos en general:

1) Un ciclista que viaja en una trayectoria rectilínea recorre la mitad de su camino a 40 km/h y la otra a 20 km/h. Despreciando el tiempo empleado en variar la velocidad.a) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa el problema?

x a x b x c x d

b) ¿Cuál de los dos gráficos representa el problema

v v

t t

2) El gráfico de este ejercicio representa la posición de un automóvil, contada a partir del origen cero de la ruta, en función del tiempo:a) ¿Cuál era la posición del auto al principio del movimiento (t = 0)?b) ¿Cuál era en el instante t = 1 h?¿Cuántos km recorrió?c) ¿Qué velocidad desarrolló en esta primera hora de

15

t t t t

(e) ninguno de los indicados

viaje?d) ¿En qué posición y por cuánto tiempo permaneció

parado?e) ¿Cuál es su posición a las 4 h de viaje?f) ¿Cuál es su velocidad en el viaje de regreso?

3) La representación gráfica del movimiento de un móvil viene dada por la siguiente figura:

a. Explicá con tus palabras cómo fue el movimiento en cada tramo I, II, III y IV.

b. ¿Cuál ha sido la aceleración en cada tramo?

c. Escribí las ecuaciones horarias y de velocidad para cada tramo.

d. ¿Cuál fue la distancia total recorrida por el móvil al cabo de los 50s?

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