física 1 batxillerat

N. Pfeiffer, A. Travesset

1batxillerat

Prelim_Fisica1_Bach_(2M).indd 1 18/4/08 16:05:27

3Fsica 1Material multimdiabatxillerat

Editat per Editorial Casals, S.A.Dipsit legal: M58592008Fabricat per: MPO IBRICA

Les reproduccions shan realitzat dacord amb larticle 32 de la Llei de la propietat intellectual.

No sautoritza la comercialitzaci independent daquest CD.

Aquest CD sha editat com a complement del llibre Fsica 1.

Contingut bsic de totes les unitats en format hipermdia navegable mitjanant mapes conceptuals.

ndex

ContingutsEstratgies dinvestigaci.

Tecnologies de la informaci

1. La cincia i les seves eines de treball

Pgina 5

La Fsica i la QumicaLa investigaci cientficaLes magnituds fsiquesCarcter aproximat de les mesuresMagnituds escalars i vectorials

ResumActivitats dinvestigaci

2. Cinemtica

Pgina 31

El sistema de refernciaTemps: instants i intervals de tempsVelocitat mitjana i instantniaAcceleraci mitjana i instantniaMoviment uniformeMoviment uniformement variatLa caiguda lliure dels cossosExpressi vectorial del movimentMoviment uniforme en dues dimensionsMoviment amb acceleraci constantTir parablicMoviment circular

Coneixements previs de matemtiquesDocument. Distncia de frenada dun autombilExperincia. Determinaci de lacceleraci de la gravetat per mitj duna fotografiaResumActivitats dinvestigaci i simulaci

3. Dinmica

Pgina 75

Principi dinrciaPrincipi fonamental de la DinmicaPrincipi dacci i reacciLlei de Hooke. Medici de les forcesFregament entre slidsMoviment sobre plans inclinatsDinmica del moviment circular uniformeLlei de Newton de la gravitaci universalImpuls mecnic i quantitat de moviment

Coneixements previs de matemtiques Experincia. Forces dacci i reacci en la flotaci. Principi dArqumedes.Experincia. Relaci fora-allargament en una molla Experincia. Determinaci del coeficient de fregamentDocument. El fregament s un inconvenient?ResumActivitats dinvestigaci i simulaci

4. Lenergia i la seva transferncia

Pgina 117

Treball duna fora constantCondicions perqu sefectu treballEnergia. Principi de conservaci Energia cintica i energia potencial gravitatriaConservaci de lenergia mecnicaPotncia. RendimentTemperatura. CalorPrimer principi de la TermodinmicaDegradaci de lenergia

Cincia, tcnica i societat. Fonts denergia renovableCincia, tcnica i societat. Lhidrogen i lenergia del futurResumActivitats dinvestigaci

5. El corrent elctric

Pgina 147

El corrent elctric. Intensitat de correntDiferncia de potencialLa llei d'Ohm. Resistncia elctricaLa llei de JouleGeneradors. PilesEl circuit elctricEl multmetreFora electromotriuLlei dOhm generalitzada

Document. Diferents tipus de pilesDocument. Cllules fotovoltaiques o fotopiles Experincia. Caracterstica dun generadorExperincia. Balan energtic d'un circuit amb resistncies elctriquesCincia, tcnica i societat. Generaci denergia elctricaCincia, tcnica i societat. Elements de seguretat en els circuits elctricsResumActivitats dinvestigaci

6. Imatges

Pgina 189

ImatgesLa reflexi de la llumLa refracci de la llumImatges en miralls plans i esfricsLes lentsInstruments pticsLull humEspectre de les ones electromagntiquesDispersi de la llumDifracci i interferncia.Polaritzaci de la llum

Document. LespectroscopiExperincia. Determinar la distncia entre les ranures contiges dun CD Resum

Solucionari

Pgina 229


Fer mesuraments s una tasca que els cientfics fan sovint i, probablement, s l'acci ms necessria i efica per comprendre i conixer les lleis de la natura. Per aix, s molt convenient que a tot el mn s'usi un nic siste-ma de mesura.

El primer pas per aconseguir-ho es va fer al final del segle xviii, quan es va adoptar el metre com a unitat de longitud i es va definir com la deumilionsima part del quadrant d'un meridi terrestre.

Per determinar-ne la longitud es va mesurar l'arc del meridi comprs entre les ciutats de Dunkerque i Barcelona. Aquest arc correspon a un angle central de circumferncia de 9 40', corresponent a la diferncia de latituds entre els 51 2', de la torre de Dunkerque, i els 41 22', del Castell de Montjuc, punts de partida i final dels mesuraments.

1 | La cincia i les seves eines de treball

U01_Fisica1_Bach_(3M).indd 5 18/4/08 16:12:34


1 | Ens endinsem en la cincia

Si ens preguntem qu s la cincia, podem respondre, a grans trets, que la cincia s un conjunt de teories, models i mtodes encaminats a explicar la natura. Des de les estructures ms fines de la matria fins a l'evoluci dels sistemes de galxies a l'univers, tots els proces-sos de la natura sn objecte d'estudi de les diverses branques cientfiques.

Des d'un altre punt de vista, es denomina cincia qualsevol coneixement obtingut a partir de l'anomenat mtode cientfic, que descriurem ms enda-vant. En aquest cas, les disciplines que recorren a aquest mtode tamb reben el nom de cincies experimentals, ats que una de les fases ms destacades del mtode cientfic s l'experimentaci.

La fsica i la qumica, que estudiarem en aquest llibre, sn dues cin-cies experimentals. A travs d'aquestes cincies intentarem descriure, simplificadament, els diversos processos que obser vem en la natura, tot elaborant models de la realitat que prediuen compor taments de la natura.

2 | La fsica i la qumica

A l'univers es produeixen canvis contnuament. Sense aquests no hi hauria vida, i ni tan sols moviment. La cincia anomena fenmens els innombra-bles canvis que passen a l'univers. Aix, per exemple, sn fenmens la caiguda d'un cos (canvi de posici), l'evaporaci d'un lquid (canvi d'estat), la reflexi de la llum (canvi de direcci dels raigs lluminosos), l'escalfament d'un cos (canvi de temperatura), etc.

s evident que al voltant nostre es produeixen una infinitat de canvis o fenmens. En un primer intent de classificaci, podem dividir aquests can-vis en dos grans grups: els fenmens qumics i els fenmens fsics.

Els fenmens qumics sn els canvis en qu una o ms substncies es transformen en altres substncies noves. Per exemple, si encenem el fog d'una cuina de gas, aquest i l'oxigen de l'aire es van transformant en aigua i dixid de carboni (Fig. 1). La combusti del gas s, doncs, un fenomen qumic.

Els fenmens en qu no es produeix la transformaci d'unes substncies en d'altres s'anomenen fenmens fsics. La fusi del gel quan s'escalfa s un fenomen fsic, perqu l'aigua en estat lquid que s'obt s la mateixa

substncia que el gel (Fig. 2).

La fsica s la cincia que estudia els fenmens fsics, mentre que la qumica s'ocupa dels fenmens qu-mics. Tanmateix, en algunes de les investigacions que es duen a terme actualment, s difcil establir una distinci clara entre totes dues cincies.

1. La combusti del gas s un fenomen qumic.

2. La fusi del gel s un fenomen fsic.


7a

b

La cincia i les seves eines de treball | 1

3 | El mtode cientfic

Les diverses cincies tenen objectius diferents. Amb tot, la fsica i la qumica, i tamb altres cincies experimentals, recorren a un mateix mtode o procediment de treball, que rep el nom de mtode cientfic.

A continuaci estudiarem, a partir d'un exemple concret, les fases princi-pals de qu consta una feina desenvolupada segons el mtode cientfic. Per fer-ho farem servir com a exemple la investigaci sobre el comporta-ment dels gasos, que va dur a terme el fsic i qumic britnic Robert Boyle (1627-1691).

| Observaci

Si tanquem aire o qualsevol altre gas en un recipient amb un mbol (Fig. 3a) i exercim una fora des de l'exterior contra l'mbol, podem aconseguir que el gas, sotms a la pressi de l'mbol, disminueixi apreciablement de volum (Fig. 3b).

Robert Boyle s'havia fixat en aquesta propietat dels gasos, anomenada compressibilitat, i es va proposar d'investigar-la.

La primera fase del mtode cientfic consisteix en l'observaci dels fen-mens que es produeixen en la natura. Molts passen al voltant nostre i podem fixar-nos-hi fcilment. N'hi ha d'altres, en canvi, que no s'han pogut observar fins fa poc, desprs de segles de progrs cientfic, ja que calien instruments molt per feccionats la fabricaci dels quals ha estat possible grcies al progrs de la tecnologia, que alhora est estretament lligada amb les cincies experimentals. En aquesta primera fase es plantegen les hiptesis sobre els fenmens observats i s'elaboren les qestions que posteriorment caldr verificar o resoldre. Unes hiptesis i qestions ben elaborades sn el principi d'una bona investigaci.

| Experimentaci

Per estudiar el procs de la compressi dels gasos, Boyle va tancar aire en un tub de vidre, hi va exercir una pressi per comprimir-lo i en va mesurar el volum per als diferents valors de la pressi aplicada. Aix, el seu procs d'investigaci es trobava en la segona fase: la fase experimental.

Per als cientfics experimentar s el procs que consisteix a reproduir al laboratori els fenmens observats, i repetir-los tantes vegades com calgui i procurar fer-los en les condicions ms adequades per estudiar el compor-tament de les diferents variables que intervenen en el procs. En aquest exemple, les variables sn la pressi i el volum de l'aire tancat al tub.

En aquesta fase del procs, el cientfic fa observacions molt minucioses, mesura les variables que intervenen en el fenomen i anota acuradament els resultats que s'han obtingut.

La tecnologia interv decisivament en aquesta fase, perqu aporta dispo-sitius i aparells de precisi per als experiments i perqu recull les innova-cions que se'n deriven.

3. a) Recipient tancat per un mbol. b) Recipient tancat per un mbol amb una fora exterior aplicada.


8p

v

1O

5

4

3

2

1

2 3 4 5 6 7


| Inducci de lleisEn estudiar les dades que havia obtingut en les experincies, Boyle va detectar una regularitat, s a dir, alguna cosa que es repetia en cada observaci. Cercar regularitat en els fenmens s un dels principals objec-tius de la fase experimental del procs cientfic.

La regularitat que va trobar Boyle en el comportament dels gasos es pot expressar d'aquesta manera: en una mateixa massa de gas a una tem-peratura constant, el producte de la pressi pel volum es mant constant.

Aquest enunciat es coneix com la llei de Boyle.

Una llei s un enunciat breu, de carcter general, sobre les regularitats observades experimentalment en la natura.

Les lleis es poden expressar de tres maneres:

1) Amb un breu enunciat verbal, com el que s'ha proposat ms amunt per a la llei de Boyle.

2) Amb una frmula matemtica, que en el nostre exemple seria:

p V = k pressi volum = constant

3) Amb un grfic. En el cas de la llei de Boyle, el grfic s com el que es representa a la figura 4.

D'acord amb el que s'ha exposat fins ara, en la cincia el coneixement de nombroses experincies concretes o particulars s el punt de partida per arribar a establir les lleis, que sn coneixements de carcter general, s a dir, que no fan referncia a una o diversos experincies concretes d'un fenomen, sin a totes. Aquest procs del pensament que ens porta d'all concret a all general s'anomena inducci.

| Formulaci de teories

Anomenem teoria l'explicaci que la cincia proposa per establir les causes de les regularitats obser vades en un conjunt de fenmens.

L'objectiu d'una investigaci no s solament descobrir les lleis que regeixen els fenmens naturals, s a dir, conixer a la per fecci com sn els fen-mens, sin que a ms es pretn esbrinar quines sn les causes que pro-dueixen aquests fenmens.

Alguns exemples molt coneguts sn la teoria atmica de John Dalton, la teoria de la relativitat d'Albert Einstein i la teoria de la gran explosi o Big Bang de Georges-Henri Lematre i George Gamow.

Les teories es componen d'un cert nombre d'afirmacions, anomenades postulats, que expliquen totes les lleis que fan referncia a un conjunt de fenmens observats en la natura.

Aix, la llei de Boyle, juntament amb altres lleis referents al comportament dels gasos, s'explica amb l'anomenada teoria cintica dels gasos. Alguns dels postulats d'aquesta teoria sn els segents:

4. Grfica de la llei de Boyle corresponent a una massa determinada de gas, la temperatura de la qual s'ha mantingut constant al llarg de tota l'experincia.


9La cincia i les seves eines de treball | 1

5. A travs d'Internet i altres xarxes de difusi, qualsevol cientfic pot consultar totes les investigacions publicades sobre un tema en concret.

Els gasos estan formats per un nombre de partcules en constant moviment.

La pressi que exerceix un gas es deu als xocs que exerceixen les seves partcules contra les parets del recipient que el cont.

En la histria de la cincia, amb freqncia es descobreixen fets experimen-tals que no es poden explicar amb les teories acceptades fins a aquell moment. Aquests descobriments posen en dubte la validesa de les teories. Quan aix passa, hi ha dues possibilitats:

Cal retocar o ampliar la teoria en qesti, de manera que tamb expliqui el nou fet descobert experimentalment.

En el cas que la possibilitat anterior no sigui viable, cal refer la teoria i substituir-la per una de nova.

| DeducciSi per resoldre un problema recorrem a la llei de Boyle, estem aplicant una llei fsica general amb l'objectiu final de predir qu succeir en un cas concret.

En conseqncia, quan s'aplica la llei de Boyle estem passant del que s general a un cas concret. Aquest procs, anomenat deducci, s el contrari del d'inducci.

La inducci s el procs propi de la investigaci o cincia pura. La deducci s el procs propi de la tcnica o la cincia aplicada.

| ComunicaciEl treball cientfic no es considera complet fins que les conclusions a les quals s'ha arribat desprs d'una investigaci determinada i tamb els procediments i experiments que s'han dut a terme per arribar a les conclu-sions no es comuniquen a la comunitat cientfica a travs d'algunes de les mltiples publicacions especialitzades que hi ha.

Amb aquesta finalitat, s'elabora un informe en qu es descriu la feina feta i les conclusions a qu s'ha arribat. Com a norma general, un informe ha de contenir:

Un ttol, que descrigui clarament i concisa el tema que s'aborda en la investigaci. Generalment, desprs del ttol hi figura la relaci dels autors d'aquesta investigaci i la titulaci que tenen, la categoria profes-sional i l'ocupaci.

Un resum, en qu es destaquen les parts ms importants de la investi-gaci, els procediments que s'han fet servir i les conclusions ms rellevants.

Els mtodes i materials, amb un detall dels materials que s'han fet ser-vir i, els mtodes experimentals que s'han aplicat, i les innovacions que s'hagin dut a terme per millorar els procediments anteriors.

Els resultats, que contenen, en taules i grfics, els valors de les varia-bles mesurades en el procs experimental i les que s'han calculat a par tir dels resultats, i tamb les precisions dels sistemes de mesura-ment i els clculs que s'han fet.


10


Les conclusions a qu s'ha arribat i una concreci de les relacions matemtiques que expressen regularitats observades, s a dir, les lleis.

La bibliografia, o relaci de totes les publicacions consultades al llarg de la investigaci, referents o particulars al tema.

Els informes permeten a altres cientfics contrastar els fets investigats i divulgar les conclusions i els resultats que s'han obtingut. D'aquesta mane-ra, la cincia progressa en el coneixement de la natura.

4 | La investigaci cientfica

Les decisions d'impulsar la investigaci cientfica en un sentit o en un altre es regeixen, en primer lloc, per la voluntat de progrs en salut i benestar. Aix doncs, sn vitals les investigacions en medicina, biologia, processos fsics i qumics, condicions per al desenvolupament sostenible i, en gene-ral, el coneixement del mn que ens envolta.

A ms, les empreses i indstries tenen en l'activitat econmica un allicient per desenvolupar avenos tecnolgics que utilitzen i aprofundeixen en aquestes investigacions.

En qualsevol cas, l'inters en l'activitat cient-fica s intrnsec a l'nsia de coneixement de l'espcie humana.

Actualment, les lnies de treball de les uni-versitats i dels centres d'investigaci les estableixen les poltiques d'investigaci i desenvolupament dels governs, que deter-minen les inversions pbliques dedicades a uns fins concrets. Les empreses i inds-tries (com les farmacutiques, qumiques, electrniques, etc.) treballen al costat d'aquests a travs dels seus propis labo-ratoris d'investigaci o finanant projectes de centres d'investigaci pblics i privats. En molts casos, un determinat projecte d'investigaci es duu a terme en collaboraci amb molts centres d'investigaci de diversos pasos.

5 | Les magnituds fsiques

Anomenem magnitud qualsevol qualitat que es pugui mesurar. Alguns exemples de magnituds sn la longitud, el temps, la velocitat, la massa, la fora, la inten-sitat d'un corrent elctric, etc.

En el llenguatge corrent sutilitzen sovint expressions com mesurar una vareta. Per una vareta no s una magnitud. Aquesta expressi s incorrecta, ja que no mesurem la vareta, sin que en mesurem la longitud, el volum, la massa, etc.

Les magnituds que sutilitzen en lestudi dels fenmens fsics reben el nom de magnituds fsiques. Totes les magnituds esmentades anteriorment com a exem-ple sn magnituds fsiques.

6. La investigaci cientfica i el desenvolupament tecnolgic estan intrnsecament relacionats.


11


6 | Expressi d'una quantitat: la unitat

El resultat de mesurar una magnitud s una quantitat.

Si diem, per exemple, que la longitud duna taula s 1,5 metres estem expressant una quantitat. En aquest cas, 1,5 metres s una quantitat de la magnitud longitud.

Totes les quantitats consten sempre d'un valor numric (1,5 a l'exemple) seguit de la unitat (metres).

La unitat s una quantitat de la magnitud a la qual assignem el valor 1.

Per mesurar una quantitat qualsevol la comparem amb la unitat. Aix, si diem que una longitud s de 5 metres, donem a entendre que aquesta longitud s cinc vegades ms gran que la unitat, s a dir, cinc vegades la longitud d'un metre. Per aix, quan expressem una quantitat de qualsevol magnitud sempre es fa constar la unitat utilitzada, ja que si noms donem un nombre, no t cap significat.

Aix, la unitat de velocitat (el metre per segon) es deriva de la de longitud (el metre) i de la de temps (el segon). La unitat de volum (el metre cbic) es deriva de la de longitud (el metre).

Les magnituds que es defineixen a partir d'altres ja conegudes es denomi-nen magnituds derivades i les seves corresponents unitats sn les unitats derivades.

Les magnituds que no es deriven d'altres prviament definides reben el nom de magnituds fonamentals i les corresponents unitats sn les unitats fonamentals.

El conjunt de les unitats fonamentals i totes les que se'n deriven consti-tueix un sistema d'unitats.

7 | El Sistema Internacional d'unitatsAl llarg de la histria shan fet servir diferents unitats i sistemes dunitats. Actualment, per, sestan unificant els criteris grcies al fet que les normes promulgades per algunes organitzacions internacionals han estat reconegudes universalment i adoptades. Hi ha contribut de manera decisiva la CIPM (Conferncia Internacional de Pesos i Mesures), que es va crear el 1875 a Pars i t un organisme permanent, que s lOficina Internacional de Pesos i Mesures, situada a Svres (a prop de Pars). Tamb cal destacar les contribu-cions de la IUPAP (Uni Internacional de Fsica Pura i Aplicada), especialment pel que fa a la definici d'unitats fsiques, i la IUPAC (Uni Internacional de Qumica Pura i Aplicada), en tot el que fa referncia als noms i les frmules qumiques de les substncies.

En l'onzena Conferncia Internacional de Pesos i Mesures, que va tenir lloc el 1960, es va aprovar el Sistema Internacional d'unitats, que t el smbol SI en tots els idiomes. Aquest sistema d'unitats, recomanat per cientfics d'arreu del mn, ja ha estat universalment acceptat. Tots els treballs cientfics han de ser publicats fent servir, com a mnim, les uni-tats del SI en els resultats de les mesures de magnituds. En el quadre segent hi ha les unitats fonamentals del SI i els seus smbols corresponents.

7. Per construir un aparell de mesura cal que s'hagi definit amb precisi suficient la unitat de la magnitud que s'ha de mesurar.

8. L'adopci del SI evita utilitzar diferents unitats per a una mateixa magnitud.


12


Durant tot l'estudi de la cinemtica i la dinmica, les unitats fonamentals del SI que utilitzarem sn les de temps, longitud i massa. La resta d'unitats que introduirem en aquests temes sn unitats derivades de les tres fonamentals.

La unitat de temps, el segon, s'havia definit en funci de la rotaci de la Terra, com a 1/86 400 del dia solar mitj. L'octubre de 1967 es va adoptar una nova definici, ms precisa, basada en la freqncia d'una radiaci emesa pels toms del cesi.

La unitat de longitud, el metre, al principi es va definir com la deumilion-sima part de la longitud del quadrant meridi terrestre. El 1983 la Conferncia Internacional de Pesos i Mesures va adoptar com a definici ms precisa del metre la longitud del trajecte que recorre la llum en el buit en 1/299 792 458 segons.

La definici de la unitat de massa, el kilogram, data de 1889. El kilogram s la massa del kilogram patr, un cilindre de plat iridiat que es conserva a l'Oficina Internacional de Pesos i Mesures a Svres, en condicions ambientals estrictament controlades.

8 | Mltiples i submltiples de les unitats al SI

Per expressar cmodament quantitats molt grans o molt petites, s'ha esta-blert al Sistema Internacional un conjunt de prefixos que serveixen per designar els mltiples i submltiples de les unitats. Sn els que figuren a la taula de la pgina segent:

Magnitud Unitat

Nom Smbol

Longitud metre m

Temps segon s

Massa kilogram kg

Intensitat de corrent ampere A

Temperatura kelvin K

Quantitat de substncia mol mol

Intensitat lluminosa candela cd

Normes sobre noms i smbols de les unitats

Els noms de les unitats s'escriuen amb minscula.

Cada unitat t el seu smbol i no se n'ha d'utilitzar cap altre.

Darrere dels smbols de les uni-tats no sescriu cap punt.

Els smbols de les unitats el nom dels quals prov d'un nom propi, s'escriuen amb majscula; si no procedeixen d'un nom propi, s'escriuen amb minscula.

Mai s'afegeix la marca del plural als smbols de les unitats.

Exemple d's dels prefixos de les unitats del SI

2,5 Em = 2,5 exmetres == 2,5 1018 m

5 MW = 5 megawatts = 5 106 W

3,7 hPa = 3,7 hectopascals == 3,7 102 Pa

4 ns = 4 nanosegons = 4 109 s

6,2 m = 6,2 micrmetres == 6,2 106 m


13


9 | Magnituds derivades i les seves unitats

A partir de les magnituds fonamentals es defineixen totes les altres magni-tuds que sutilitzen en la fsica. De la definici duna magnitud derivada, en la majoria dels casos, es dedueix fcilment la frmula per calcular-la i la unitat corresponent. Agafem com a exemple una magnitud concreta: la densitat.

Recordem que la densitat duna substncia s la massa duna unitat de volum daquesta substncia.

Aquesta definici es pot expressar a travs duna senzilla igualtat. Si ano-menem m la massa de la substncia, V el seu volum i (ro) la seva densitat:

m =

V

Aix doncs, la densitat es deriva daltres magnituds prviament conegudes: la massa i el volum. El volum, alhora, s una magnitud que es deriva de la longitud.

De la definici de densitat es dedueix fcilment la unitat al SI. s la densitat d'un cos la massa m del qual fos igual a una unitat de massa (1 kg) i el volum, V, igual a una unitat de volum (1 m3). Per tant, la unitat de densitat s:

m 1 kg kg = = 1 V 1 m3 m3

Mltiples Submltiples

Factor Prefix Smbol Factor Prefix Smbol

10 deca- da 101 deci- d

102 hecto- h 102 centi- c

103 kilo- k 103 milli- m

106 mega- M 106 micro-

109 giga- G 109 nano- n

1012 tera- T 1012 pico- p

1015 peta- P 1015 femto- f

1018 exa- E 1018 atto- a

1021 zetta- Z 1021 zepto- z

1024 yotta- Y 1024 yocto- y

Instruments de mesura:

sensibilitat i precisi

Les dades experimentals, a partir de les quals es formulen les equa-cions i es verifiquen o es rebutgen les hiptesis, s'obtenen a partir de diferents aparells de mesura que disposen d'un indicador que asse-nyala el valor mesurat dins d'una escala determinada.

Entre las caracterstiques dels apa-rells de mesura podem destacar la sensibilitat i la precisi.

S'anomena sensibilitat d'un apa-rell de mesura la variaci que es pot apreciar a l'indicador sobre l'escala de lectura de l'aparell per unitat de la magnitud mesurada que ha provocat aquesta variaci. Per exemple, si utilitzem un dina-mmetre i la molla s'allarga 10 mm quan s'aplica una fora de 2 N, podem expressar la sensibilitat del dinammetre com a (10 mm/2 N) = (5 mm/N).

La precisi d'un aparell de mesura s la variaci mnima de la magni-tud mesurada que l'aparell pot determinar. Per exemple, un regle graduat en millmetres t una pre-cisi d'1 mm, mentre que podem disposar de balances amb preci-sions de 0,1 g; 0,01 g; 0,001 g; etc. Els resultats d'una mesura s'han de donar juntament amb la precisi de l'aparell utilitzat per determinar-los.


14


10 | Carcter aproximat de les mesures: cota de lerror absolut

Quan afirmem que la longitud l d'una vareta s, per exemple, 38,7 cm, estem expressant el resultat d'un mesurament com una cosa totalment exacta:

l = 38,7 cm

En realitat, tan sols podem afirmar que la longitud l s'aproxima fora (o molt) a 38,7 cm, ja que l'nic que es pot determinar quan s'efectua un mesurament sn dos valors entre els quals hi ha compresa la quantitat mesurada. Podrem dir, per exemple:

38,6 cm l 38,8 cm

A la prctica, un resultat com lanterior se sol escriure de la manera segent:

l = (38,7 0,1) cm

Aquesta expressi indica que es pren com a resultat del mesurament la quantitat de 38,7 cm, per que, de fet, hi ha un marge de dubte des de 0,1 cm per sota fins a 0,1 cm per sobre daquesta quantitat.

Aix, doncs, qualsevol mesura es pot expressar de la manera:

m ea

On m s la quantitat que saccepta com a valor mesurat i ea una quantitat

que indica el marge dincertesa del resultat obtingut.

La quantitat ea rep el nom de cota de l'error absolut. Observa (fig. 10) que

lamplada del marge dincertesa s el doble de la cota de lerror absolut. En resum, podem afirmar el segent:

9. Diversos aparells de mesura.

R E C O R D A Q U E

Per canviar la unitat en qu s'ha expressat una magnitud utilitzem els factors de conversi.

Un factor de conversi s una fracci en la qual el numerador i el denominador sn quantitats equivalents expressades en unitats diferents. Per exemple:

100 cm 1 kg o

1 m 1 000 g

Si volem expressar en minuts un temps de t = 225 segons, n'hi ha prou de multiplicar aquesta quantitat per un factor de conversi que tingui el numerador expressat en minuts i el denominador en segons:

1 mint = 225 s = 3,75 min

60 s

Per expressar una densitat = 0,25 g/cm3 en kg/m3, haurem d'utilitzar dos factors de conversi:g 1 kg 10 cm36 kg

= 0,25 = 250 cm3 1 000 g 1 m3 m3

Observa que, en fer el producte, se simplifiquen les unitats exactament igual que si es tracts de factors numrics.


15


El marge dincertesa dun mesurament s un interval entre els extrems del qual hi ha la quantitat mesurada. El valor central daquest interval es pren com a resultat del mesurament o valor mesurat (m).

Sanomena cota de lerror absolut (ea) la diferncia entre el valor mesu-

rat (m) i qualsevol dels extrems del marge d'incertesa.

A la prctica, per determinar la cota d'error absolut d'una mesura cal el sentit com; d'aquesta manera s possible fer-se una idea aproximada de la cota de l'error.

Suposem, per exemple, que hem de mesurar la longitud d'un full de paper amb un regle graduat en millmetres. s evident que, si l'instrument i la nostra manera d'utilitzar-lo sn correctes, el marge d'error s inferior a una divisi del regle, s a dir, a 1 mm. Amb aix ja podem fer-nos una idea de quina pot ser la cota de lerror absolut.

En altres casos, per determinar ms rigorosament els marges d'error, cal repetir diverses vegades el mesurament. Les petites diferncies entre els diferents resultats obtinguts donen una idea del marge derror. Com a valor mesurat sadopta la mitjana aritmtica de tots els mesuraments fets. Com a cota de lerror es pot prendre, doncs, la diferncia entre aquesta mesura i el mesurament que ms sen separi.

10. El resultat d'un mesurament no s un valor exacte m, sin un interval de valors que van des de m e

a fins a m + e

a.

E X E M P L E

1. Cinc cronometradors han mesurat el temps que tarda un nedador a recrrer 100 m. Els resultats en segons han estat els segents:

58,6 58,4 58,4 58,5 58,5

La mitjana aritmtica dels cinc valors s:

(58,6 + 58,4 + 58,4 + 58,5 + 58,5) = 58,48 s

5

El mesurament que s ms lluny d'aquesta mitjana s 58,6 s.

La diferncia amb la mitjana s 58,6 58,48 = 0,12 s.

Com a cota de lerror absolut prendrem aquesta diferncia arrodonida en una nica xifra, s a dir, 0,1 s.

Com que la cota de l'error s una dcima de segon, no podem expressar el valor mesurat escrivint fins a les centsimes de segon. Per aquest motiu, arrodonirem tamb la mitjana obtinguda, de manera que l'ltima xifra correspongui a les dcimes de segon. Aix doncs, expressarem el resultat de la manera segent:

58,5 0,1 s

Cronometradors d'una prova de nataci.

ea

ea

m: valor mitj

marge d'incertesa

m

ea

m +

ea


16


11 | Cota de l'error relatiu

La cota de lerror absolut no dna idea de la qualitat dun mesurament.

Suposem que, en el mesurament duna determinada longitud, la cota de lerror absolut s d1 mm. El resultat seria extraordinriament precs si la longitud mesurada hagus estat de 5 km, per seria molt poc aproximat si aquesta longitud fos de 5 mm.

Aix doncs, per jutjar la precisi, hem de comparar la cota de lerror absolut amb la quantitat mesurada. Aquesta comparaci es fa dividint tots dos nombres.

S'anomena cota de l'error relatiu el quocient entre la cota de lerror abso-lut i la quantitat mesurada.

En l'exemple proposat a lapartat anterior, la cota de lerror relatiu (er)

seria:

e 0,1 se = = = 0,0017

m 58,5 s

Si multipliquem per 100 el resultat, la cota de l'error relatiu es pot expres-sar en tant per cent:

er = 0,17 %

Entre dues mesures s ms precisa la que t una cota de lerror relatiu ms petita.

12 | Xifres significatives

Una piscina t 600 m3 d'aigua i hi afegim la que hi ha en un vas de 200 cm3 de capacitat. 200 cm3 equivalen a 0,0002 m3. Si diem que la pis-cina ara cont 600,0002 m3 d'aigua, estem fent una afirmaci lgica?

Evidentment, no. Quan determinem el volum daigua que cont la piscina, lerror absolut daquesta mesura pot ser d'uns quants metres cbics. En aquest cas, s absurd escriure una xifra que expressa deu millsimes de metre cbic. Solament s raonable incloure les xifres el valor de les quals coneixem exactament o aproximadament.

En lexpressi duna quantitat s'anomenen xifres significatives totes les que escrivim a partir de la primera que no s zero. (Observa el quadre al marge.)

Freqentment, quan escrivim una quantitat no expressem la cota de l'error absolut. S'entn aleshores que aquest consta, com a mxim, d'algunes unitats de l'ltima xifra significativa.

Per exemple, si sexpressa un temps com 2,0 s, entendrem que lerror absolut pot ser dalgunes dcimes de segon. Per si sexpressa com a 2,00 s, entendrem que lerror noms pot ser dunes quantes centsimes de segon. Aix doncs, el nombre de xifres significatives duna quantitat ens proporciona una primera idea de la cota del seu error absolut i, per tant, de la precisi amb qu aquesta quantitat ha estat mesurada.

Quantitats expressades amb nombre diferent de xifres significatives:

2,307 m (4 xifres significatives).

0,0025 cm (2 xifres significatives).

20,0 mm (3 xifres significatives).

10,008 km (5 xifres significatives).

0,003200 m (4 xifres significatives).

0,06 cm (1 xifra significativa).


17


Les dades dels problemes i els mesuraments que fem normalment, no solen tenir ms de tres o quatre xifres significatives. Per quan operem amb aquestes dades i fem servir una calculadora, aquesta ens dna el resultat amb vuit xifres o ms; aleshores haurem de prescindir dalgunes xifres, ja que el resultat duna operaci entre quantitats aproximades no ha de tenir un nombre de xifres significatives ms gran que les dades. Altrament, estarem suposant, sense fonament, que el resultat obtingut s ms precs que les dades de partida.

Per exemple, si la massa dun cos s de 37,50 g i el volum s de 7,00 cm, com hem dexpressar-ne la densitat en g/cm3?

Com ja sabem, per calcular la densitat d'un cos cal dividir la seva massa entre el volum. Si fem la divisi amb una calculadora obtenim el segent:

37,5/7 = 5,357142857

Com que una de les dades (el volum) tan sols contenia tres xifres significa-tives, no podem escriure el resultat amb ms de tres xifres. Aix, l'hem d'expressar de la manera segent:

= 5,36 g/cm3

13 | Notaci cientfica

Ara b, com podrem expressar, per exemple, una longitud de 45 000 m si noms tenim tres xifres significatives? bviament no podem suprimir els dos ltims zeros per deixar les tres xifres, perqu en modificarem la quantitat.

Una soluci pot ser utilitzar els prefixos del SI per simbolitzar els mltiples de la unitat i escriure 45,0 km en comptes de 45 000 m.

Una altra soluci s utilitzar lanomenada notaci cientfica, que consisteix a expressar el valor numric de qualsevol quantitat com a producte d'un nombre comprs entre 1 i 10 per una potncia entera de 10. Aix, per expressar 45 000 m en notaci cientfica amb 3 xifres significatives, hem d'escriure 4,50 103 m.

En la figura 12 es veu com apareix en una calculadora la massa d'un electr (9,1095 1031 kg) expressada en notaci cientfica, amb un nombre dife-rent de xifres significatives. Totes dues xifres de la dreta corresponen a lexponent de 10.

s impor tant saber que, quan es trunca una quantitat (s a dir, quan se n'eliminen alguns decimals), l'ltima xifra s'augmenta en una unitat, sempre que la xifra segent (la primera que s'ha eliminat) sigui igual o ms gran que 5. D'aquesta manera, per exemple, el nmero 2,7145 expressat amb quatre xifres significatives s 2,715; ara b, amb dues xifres significatives s 2,71, ja que la xifra de desprs de l'1 era un 4 (que s inferior a 5).

Als ordinadors, per expressar una quantitat en notaci cientfica, s'escriu l'exponent de 10 precedit d'una E majscula i del signe que li correspon (generalment, quan s positiu es pot ometre).

Exemple: 4,50 106 s'escriu 4.50E+6.

11. Una balana electrnica assenyala la massa d'un objecte amb 2, 3 i 4 xifres significatives.

12. Massa de l'electr en kg expressada per una calculadora en notaci cientfica, amb 5, 4, 3 i 2 xifres significatives respectivament.


18

B

A

C1U1FIG6

v


14 | Magnituds escalars i vectorials

Les magnituds escalars sn les que estan determinades per un valor numric i una unitat. Per exemple, una massa de 30 kg, un volum de 0,4 m3 o una potncia de 500 W, sn tres quantitats per fectament determinades. Consegentment, la massa, el volum i la potncia sn magnituds escalars.

Per hi ha altres magnituds que requereixen alguna cosa ms. Per exem-ple, no n'hi ha prou de dir que la fora aplicada a un cos s de 200 N. No s el mateix aplicar aquesta fora cap amunt, cap avall o en una direcci horitzontal, ja que lefecte que produiria seria diferent en cada cas. Perqu una fora quedi per fectament definida cal especificar-ne no solament el valor numric, sin tamb la direcci i el sentit. Les magnituds que tenen valor numric, direcci i sentit s'anomenen magnituds vectorials i es repre-senten amb vectors.

15 | Vectors

En matemtiques sanomenen vectors els elements dun conjunt en qu shan definit dues operacions (la suma vectorial i el producte per un esca-lar). Tenen un conjunt de propietats que ara no tractarem.

Els vectors que s'utilitzen en fsica es representen amb un segment orien-tat, s a dir, un segment al qual s'assigna un sentit mitjanant una punta de fletxa (Fig. 13). A les seccions 16 i 18 d'aquesta unitat definirem les dues operacions prpies dels vectors: la suma vectorial i el producte per un escalar.

Com que tot vector t un sentit, per diferenciar els dos punts que el delimi-ten, un l'anomenarem origen (punt A de la figura) i l'altre, extrem (punt B de la figura).

Un vector es designa amb una sola lletra minscula o amb les dues lletres corresponents a l'origen i a l'extrem amb una petita fletxa horitzontal al damunt:

v

AB

En tot vector podem distingir els elements segents:

El mdul. s la quantitat de la magnitud vectorial en valor absolut. Es designa amb el smbol del vector escrit entre dues barres verticals: |v

|.

Es representa grficament mitjanant la longitud del vector. Aix, el vec-tor que representa una fora de 20 N s el doble de llarg que el que representa una fora de 10 N.

La direcci. s la recta que cont el vector i s'anomena lnia d'acci.

El sentit. s el que indica la punta de la fletxa que es dibuixa en un dels seus extrems.

Quan dos vectors tenen el mateix mdul, direcci i sentit, es diu que sn equipolents.

Vegem ara quines condicions han de complir dos vectors perqu els consi-derem iguals, s a dir, definirem la igualtat de vectors.

13. El punt A s l'origen del vector i el punt B, l'extrem.

Lnia d

'acci


19

C1U1FIG7

w

v

u

C1U1FIG9

a

b

c

dd

ab

c

u

v

s =

C1U1FIG8

u

v

u

u

u

v

v

v

u

v

a b


Aix es pot fer de tres maneres diferents. D'aquesta manera, haurem esta-blert tres tipus de vectors:

Vectors fixos o localitzats. Sn els que considerem iguals noms si tenen el mateix mdul, direcci i sentit i, a ms, estan aplicats a un mateix punt. En aquest cas, els tres vectors de la figura sn diferents, perqu tenen diferents punts daplicaci.

Consegentment, no podem canviar el punt daplicaci dun vector fix.

Vectors lliscants. Sn els que considerem iguals quan tenen el mateix mdul, lnia d'acci i sentit. En aquest cas, els vectors u

i v

de la figura

sn iguals, per el vector w

s diferent perqu t una lnia d'acci dife-rent. Aix doncs, el punt daplicaci dun vector lliscant es pot desplaar al llarg de la seva lnia dacci.

Vectors lliures. Sn els que considerem iguals quan sn equipo-lents, s a dir, quan tenen el mateix mdul, direcci i sentit. En aquest cas, els tres vectors de la figura sn iguals. Per tant, el punt daplicaci dun vector lliure s indiferent i el podem canviar com ens convingui.

16 | Suma vectorial

S'anomena suma vectorial de dos vectors u

i v

el vector s

= u

+ v

,

que s'obt de la manera segent: es pren com a origen l'extrem de u

,

es traa un vector equipolent a v

i la seva suma vectorial s el vector s

,

que s'obt amb la uni de l'origen del primer amb l'extrem del segon (Fig. 15).

Per sumar diversos vectors hem de traar vectors que els siguin equipo-lents, de manera que l'origen de cada un coincideixi amb l'extrem de l'anterior (Fig. 16). La suma de tots s'obt traant el vector que uneix l'origen del primer amb l'extrem de l'ltim.

La suma de diversos vectors s independent de l'ordre en qu es prenen. La suma dels vectors s, per tant, una operaci amb les propietats commutativa i associativa.

17 | Resta de vectors

Donats els vectors u

i v

, s possible trobar la diferncia entre tots dos, desig-nada mitjanant u

v

, i s'obt un altre vector d

, de manera que v

+ d

= u

.

A la figura 17a es representa la construcci grfica que correspon a aques-ta definici. Si tracem tots dos vectors amb l'origen al mateix punt, el vector u

v

s el que t l'origen a l'extrem de v

i l'extrem a l'extrem de u

(en

aquest mateix ordre).

Per obtenir la diferncia v

u

, s'ha de traar el vector en sentit contrari, s a dir, des de l'extrem de u

fins al de v

(Fig. 17b).

14. Segons si es tracta de vectors fixos, lliscants o lliures, considerarem que aquests vectors sn iguals o sn diferents.

17. Resta de dos vectors.

15. Suma vectorial. 16. Suma vectorial de quatre vectors.


20

C1U1FIG12

v

e

C1U1FIG11

v

2

3

v

v

v

v

v

2

j

i

xO

y

c1u1fig13


18 | Producte d'un escalar per un vector

El producte d'un escalar per un vector s un altre vector amb les caracte-rstiques segents:

El seu mdul s el valor absolut de l'escalar multiplicat pel mdul del vector.

La direcci s la del vector.

El sentit s el del vector si l'escalar s positiu, i contrari al del vector si s negatiu.

Tot i que aquesta definici pot semblar una mica complicada, el concepte s molt simple, com es pot veure a la figura 18, on es presenten exemples de productes de diferents escalars per un vector. El producte d'un escalar r per un vector v

es representa r v

.

A la prctica, farem servir tamb el quocient d'un vector per un escalar. Equival al producte del vector per l'invers de l'escalar. Per exemple, el

quocient v

2

equival al producte 1

v.2

19 | Vectors unitaris

S'anomena vector unitari o versor qualsevol vector de mdul 1.

Donat un vector v

, per obtenir un vector unitari e

de la mateixa direcci i sentit que v

, noms cal dividir-lo entre el seu mdul:

ve =

|v |

En efecte, com que el vector e

s quocient de v

per un nombre positiu, ha de tenir la seva mateixa direcci i sentit. Aix mateix, el mdul s igual que el mdul del vector partit per l'escalar, s a dir:

|v ||e | = = 1

|v |

Sabem que la posici dels dife-rents punts del pla s'expressa amb relaci a uns eixos de coor-denades. El vector unitari en la direcci de l'eix Ox i sentit positiu se simbolitza amb i

. I el vector

unitari que t la direcci de l'eix Oy i sentit positiu s'anomena j

(Fig. 20).

En l'apartat segent veurem que tots els vectors del pla es poden expressar en funci dels vectors unitaris i

i j

.

18. Producte d'un vector per diferents escalars.

19. El vector e

s un vector unitari o versor perqu el seu mdul s igual a launitat.

20. Els vectors unitaris i

i j

tenen les direccions dels eixos de coordenades i tenen sentit positiu.


21

v

OXV

YV

A

B

y

c1u1fig14

x

c1u1fig15

Ya

Xa

bY

bX x

y

b

a

A

B

XV

YV

O x

y

j

v

i

x

yv

u

w

c1u1fig17


20 | Components d'un vector

S'anomenen components d'un vector les projeccions sobre els eixos de coordenades.

A la figura 21 es poden veure els components d'un vector v

. Sn els seg-ments OA i OB, que simbolitzarem amb v

x i v

y.

Observa la figura 22 com el signe de cada component d'un vector depn del seu sentit, i no de la posici sobre l'eix de coordenades. Aix, el component a

x del vector a

s positiu perqu t el sentit positiu, per b

que est situat a la par t negativa de l'eix Ox. Anlogament, el compo-nent b

y del vector b

, tot i que es troba a la par t positiva de l'eix Oy, s

negatiu.

Qualsevol vector es pot expressar en funci dels seus components.

Observa la figura 23. s evident que el vector v

s la suma dels dos vectors representats amb color vermell:

v = OA

+ OB

OA s un vector de la mateixa direcci que el vector unitari i

, per amb longitud v

x en lloc d'1. Per tant:

= vx i

Igualment, podem escriure que: = y jv .

Aix doncs, es pot expressar el vector v

com v

= vx i

+ vy j

.

A la figura 24 pots veure'n alguns exemples.

21 | Relaci entre els components i el mdul d'un vector

Entre els components i el mdul d'un vector hi ha una relaci trigonomtrica senzilla.

Si i sn els dos angles que forma un vector v

amb els semieixos posi-tius Ox i Oy, per definici de cosinus d'un angle podem escriure:

vx vycos = cos = |v | |v |

i

21. Les components del vector v

son vx i v

y.

22. Signes dels components d'un vector.

24. u

= 3 i

+ 2 j

; v

= 2 i

+ 4 j

; w

= 4 i

3 j

.23. El vector v

s igual a vx i

+ vy j

.


22

OXV

YV

x

y

c1u1fig18

v

v

y

x

xV

yV

y

v

x

yV

O

Sx

Sy

ya

xa bx

O

by

y

s

a b

+=

c1u1fig20

a

b

x


D'aquestes igualtats, se'n dedueix el segent:

ivx = |v | cos vy = |v | cos

El component d'un vector sobre un eix de coordenades s'obt multiplicant-ne el mdul pel cosinus de l'angle que forma amb aquest eix.

Els cosinus dels angles i que forma un vector amb els eixos de coorde-nades reben el nom de cosinus directors del vector.

27. Components de la suma de dos vectors.

25. vx= |v| cos ; v

y = |v| cos

E X E M P L E

2. Calcula els components del vector de mdul igual a 5 representat a la figura.

El component vx t sentit positiu:

vx = |v

|cos = 5 cos 30 = 5 0,8660 = 4,33

Observa que el component vy t sentit negatiu i forma un angle de

= 90 30 = 60 amb l'eix Oy. El seu valor s:

Vy = |v

|cos = 5 cos 60 = 5 0,5 = 2,5

Per tant, el vector v

es pot expressar com a:

v

= 4,33i

2,5j

D'altra banda, observa que si s'aplica el teorema de Pitgores al triangle rectangle que s'assenyala a la figura 26, s'obt:

|v

|2 = vx 2 + v

y2

El quadrat del mdul d'un vector s igual a la suma dels quadrats dels seus components.

Per exemple, donat el vector v

= 8i

6j

, ser:

|v

|2 = 82 + (6)2 = 100

Per tant, el mdul de v

s:

| | = 100 = 10v

22 | Operacions amb els components dun vector

Per sumar numricament dos vectors se'n sumen els components ( F i g . 27):

a

+ b

= (axi

+ ay j) + (b

xi

+ by j) = (a

x + b

x) i

+ (a

y + b

y) j

De la mateixa manera, els components de la diferncia de dos vectors s'obtenen restant els components que corresponen als dos vectors.

Exemples: (2i

+ 7j

) + (4i

2j

) = 6i

+ 5j

(5i

+ 3j

) (2i

4j

) = 3i

+ 7j

26. |v

|2 = vx2 + v

y2


23

OA

OBOA

-

A

B

O x

y

OB

c1u1fig21


Com a aplicaci de la diferncia de dos vectors, ara veurem la manera de calcular els components d'un vector a partir de les coordenades de l'origen i de l'extrem.

Considerem uns eixos de coordenades (Ox i Oy) i un vector amb l'origen a A (x

A y

A) i l'extrem a B (x

B y

B) (Fig. 28).

El vector AB es pot expressar com a diferncia de dos vectors aplicat a l'origen de coordenades:

AB OB OA=

Amb tot, els components dels vectors OA i OB sn, respectivament, les coordenades de A i les de B:

OB = xB i + yB j OA = xA i + yA j

Consegentment, ser:

AB = (xB xA) i + (yB yA) j

Els components d'un vector s'obtenen restant les coordenades de l'origen de les de l'extrem. Simblicament, s'escriu:

AB = B A

Aix mateix, el producte d'un escalar per un vector es pot calcular a partir dels components del vector. Per fer-ho aplicarem la propietat distributiva d'aquesta operaci respecte de la suma vectorial:

= r r (ax i + ay j) = r ax i + r ay jA

Els components del producte d'un escalar per un vector s'obtenen multiplicant per aquest escalar cada component del vector.

Dividir un vector entre un escalar r s el mateix que multiplicar-lo per 1/r. Per aix, els components del quocient d'un vector per un escalar s'obtenen dividint entre aquest escalar cada component del vector:

ax i + ay j ax ay = = i + j

r r rr

A

Quan hem definit el producte d'un escalar per un vector hem vist que, donat un vector v

qualsevol, per obtenir un vector unitari e

de la mateixa direcci

i sentit, n'hi ha prou de dividir-lo entre el seu mdul, s a dir:

v vxi + vy j vx vye = = = i + j = cos i + cos j

|v | |v | | | |v |v

Aix doncs, podem obser var que els cosinus directors d'un vector sn els components del vector unitari de la mateixa direcci i sentit.

28. AB = OB OA


24

c1u1fig22

u

v

c1u1fig23

u

v

u

u

v

v

u v > 0

u v = 0

u v < 0

c1u1fig23

u

v

u

u

v

v

u v > 0

u v = 0

u v < 0

c1u1fig23

u

v

u

u

v

v

u v > 0

u v = 0

u v < 0


23 | Producte escalar de dos vectors

Sanomena producte escalar de dos vectors un escalar igual al producte dels seus mduls pel cosinus de langle que formen.

u

v

= |u

| |v

| cos

De la definici es dedueix que el signe del producte escalar de dos vectors s el del cosinus de langle que formen (cos ).

Per tant:

Si l'angle que formen els vectors s agut (cos > 0), el producte escalar s positiu.

Quan l'angle que formen s obts (cos < 0), el producte escalar s negatiu.

Si els vectors sn perpendiculars entre si (cos = cos 90 = 0 ), el pro-ducte escalar s nul.

E X E M P L E

3. Determina un vector unitari de la mateixa direcci i sentit que el vector v

, amb origen a A (3,1) i extrem a B (7, 2).

Calcula els angles que forma v

amb els eixos de coordenades.

El vector v

es calcula restant les coordenades de B i les de A. Simblicament, escrivim:

v

= B A

v

= (7 3) i

+ (2 1) j

= 4i

3 j

El mdul de v

s: |v |= 42 + ( 3)2 = 16 + 9 = 5

El vector unitari e

de la mateixa direcci i sentit que el vector v

es calcula dividint-lo entre el seu mdul:

v 4i 3j 4 3e = = = i j = 0,8i 0,6j

|v | 5 5 5

Sabem que els components de e

sn els cosinus directors v

:

0,8 = cos ; 0,6 = cos

Si es determinen els angles corresponents, resulta:

= 36,87; = 126,87

30. Signe del producte escalar dels vectors.

29. Producte escalar de dos vectors:

u

v

= |u

| |v

| cos


25

Vr

r

v


Per obtenir el producte escalar de dos vectors expressats en funci dels seus components, s'aplica la propietat distributiva d'aquesta operaci amb relaci a la suma vectorial. Per tant, es pot procedir de la mateixa manera que per multiplicar dos binomis:

u

v

= (ux i

+ uy j

) (vxi

+ vy j

) = uxv

xi

2 + uxv

yi

j

+ uyv

x j

i

+ uyv

y j

2

Per els productes i

2 i j

2 sn iguals que la unitat. En efecte, per definici de producte escalar:

i

i

= j

j

= 1 1 cos 0 = 1 1 1 = 1

D'altra banda, els productes i

j

i j

i

sn nuls, ja que ambds vectors sn perpendiculars entre ells.

De manera que el producte escalar queda redut a:

u

v

= ux v

x + u

y v

y

El producte escalar de dos vectors s igual a la suma dels productes dels components corresponents a tots dos vectors.

E X E M P L E

4. Calcula l'angle que formen els vectors u

= 3i

3 j

i v

= 7i

+ j

.

Primer obtenim el producte escalar dels dos vectors:

u

v

= (3i

3 j

) (7i

+ j

) = 3 7 + (3) 1 = 18

Seguidament, en calculem els mduls:

|u | = 32 +(3)2 = 18 | | = 7

2 + 12 = 50v

Segons la definici de producte escalar: u

v

= |u

| |v

| cos .

Per tant: .

D'aix, se n'obt que: cos

18= = 0,6

30.

L'angle corresponent s = 53,13.

24 | Component d'un vector en una direcciEl component d'un vector en una direcci s la projecci d'aquest sobre una recta qualsevol en aquesta direcci.

A la figura 31 es representen un vector v

i una recta r. El component del vector en la direcci de la recta s el segment, simbolitzat per v

r.

Aquest segment es determina traant perpendiculars a la recta r des dels extrems del vector v

.

Ara veurem com es calcula el component d'un vector en una direcci.31. v

r s el component del vector v

en la

direcci de la recta r.


26

Vr O

Vr O

Vr O

c1u1fig25

v

v

v

a

b

c


De la definici de cosinus d'un angle se'n dedueix fcilment una important relaci trigonomtrica que conv recordar: la longitud de la projecci d'un segment sobre una recta s igual a la longitud del segment pel cosinus de l'angle que formen tots dos. Per tant, el component del vector v

de la figura

31 en la direcci de la recta r s:

vr = |v

| cos

Per calcular el component d'un vector v

en la direcci d'una recta r, noms cal obtenir el producte escalar del vector v

per un vector unitari e

r en la

direcci de r. Efectivament:

v

e

r = |v

| |e

r| cos = |v

| 1 cos = |v

| cos = v

r

El component d'un vector en una direcci s'obt multiplicant-lo per un vec-tor unitari en la direcci que es proposa:

vr = v

e

r

El component d'un vector v en la direcci d'una recta r, pot resultar positiu,

negatiu o nul. Aix depn de si l'angle format pel vector unitari e

r en la direcci

d'aquesta recta s agut, obts o recte (Fig. 32).

32. El component d'un vector v

sobre una recta r pot ser: a) positiu, b) negatiu, c) nul.

E X E M P L E

5. Calcula el component del vector v

= 6i

+ 7j

en la direcci de la recta r, que passa per l'origen de coordenades i el punt P (3, 4).

Un vector en la direcci de la recta r s el vector r

, amb l'origen a O i l'extrem a P, els components del qual sn les coordenades del punt P:

r

= 3i

4j

Podem obtenir el vector unitari en la direcci r si dividim el vector r

entre el seu mdul:

r

3i 4 j 3 4 0,8

(3) 2+ (4)2 5|=

| = = = 0,6

re

jj

ii

r

La projecci de v

sobre la recta r s'obt aplicant la frmula:

vr = v

e

r

vr = (6i

+ 7j

) (0,6i

0,8j

) = 6 0,6 7 0,8 = 2

El signe negatiu del resultat indica que el component del vector sobre la recta r t un sentit contrari al del vector unitari e

r.

El component del vector v

es pot expressar tamb com un vector. Per fer-ho n'hi ha prou de multiplicar-ne el valor numric pel valor unitari e

r en la direcci de la recta r :

v

r = v

r e

r = 2 (0,6i

0,8j

) = 1,2i

+ 1,6j


27

R E S U MLa cincia i les seves eines de treball | 1

La fsica i la qumica sn cincies experimentals.

La cincia anomena fenmens tots els canvis que passen a l'univers.

Sn fenmens qumics els canvis en qu una subs-tncia o ms d'una es transformen en altres subs-tncies; sn fenmens fsics els fenmens en qu no es produeix la transformaci d'unes substncies en unes altres.

Les fases del mtode cientfic sn:

Observaci de la natura. Permet elaborar hiptesis.

Experimentaci. Consisteix a reproduir al labora-tori els fenmens que s'han observat.

Inducci de lleis. Mostra les regularitats que s'han observat experimentalment en la natura.

Formulaci de teories. Formades per postulats que expliquen les lleis que fan referncia a un conjunt de fenmens observats en la natura.

Deducci. S'aplica una llei fsica general per predir els successos d'un cas concret.

Comunicaci. S'informa la comunitat cientfica sobre el conjunt del procs experimental que s'ha dut a terme.

Magnitud s qualsevol qualitat que es pugui mesu-rar. El resultat de mesurar una magnitud s una quantitat. La unitat s una quantitat a la qual assig-nem el valor 1.

Les magnituds derivades sn les que es defineixen a partir d'altres. Les magnituds fonamentals no es deriven d'altres prviament definides.

El conjunt de totes les unitats constitueix un siste-ma d'unitats. El sistema d'unitats universalment acceptat s el Sistema Internacional d'unitats (SI). Les magnituds fonamentals d'aquest sistema sn la longitud, el temps, la massa, la intensitat de corrent elctric, la temperatura, la quantitat de substncia i la intensitat lluminosa. I les unitats corresponents sn el metre (m), el segon (s), el kilogram (kg), l'ampere (A), el kelvin (K), el mol (mol) i la candela (cd).

La cota de lerror absolut, ea, s el marge

d'incertesa en el resultat que s'ha obtingut en fer un mesurament. Qualsevol mesura es pot expres-sar de la forma segent: m e

a, en qu m s la

quantitat que s'accepta com a valor mesurat.

La cota de l'error relatiu, er, s el quocient entre la

cota de lerror absolut i la quantitat mesurada. Com ms petit s l'error relatiu, ms precisa s la mesura corresponent.

Quan expressem una quantitat, sn xifres signifi-catives totes les que escrivim a partir de la prime-ra que no s zero.

Per expressar quantitats molt grans o molt petites es pot fer servir la notaci cientfica, formada per un nombre comprs entre l'1 i el 10 multiplicat per una potncia entera de 10 (per exemple, 5,98 1024 kg).

Les magnituds determinades per un valor numric i una unitat sn les anomenades magnituds escalars.

Les magnituds determinades per un valor numric, una direcci i un sentit sn les anomenades magni-tuds vectorials i es representen mitjanant vectors.

Els elements d'un vector sn el mdul, que s la quantitat de la magnitud vectorial en valor abso-lut, la direcci, que s la recta que cont el vec-tor i s'anomena lnia d'acci, i el sentit, que indica cap on apunta el vector i es dibuixa amb una punta de fletxa en un dels extrems del vector.

S'anomenen components d'un vector les projec-cions sobre els eixos de coordenades. El vectorv

es

pot expressar com v

= vx i

+ vy j

.

S'anomena vector unitari o versor qualsevol vector de mdul 1. Donat un vector v

, s'obt un vector

unitari e

de la mateixa direcci i sentit que v

, dividint-lo pel seu mdul.

El component d'un vector sobre un eix de coordena-des s'obt multiplicant-ne el mdul pel cosinus de l'angle que forma amb aquest eix.

Per sumar numricament dos vectors se'n sumen els components corresponents:a

+ b

= (ax + b

x) i

+ (ay + b

y) j

El producte escalar de dos vectors s'obt multipli-cant-ne els mduls pel cosinus de l'angle que for-men: u

v

= u

v

cos . En funci dels com-

ponents dels vectors, el producte escalar dels dos es calcula aix: u

v

= u

x v

x + u

y v

y

El component d'un vector en una direcci s la projecci d'aquest sobre una recta qualsevol en l'esmentada direcci. S'obt multiplicant el vector per un vector unitari en la direcci que s'ha propo-sat. v

r = v

e

r

Contingut bsic de la unitat en format hipermdia, en el CD.


28

A C T I V I T A T S1 | La cincia i les seves eines de treball

Raona totes les respostes d'aquest apartat.

1 Explica en quins dels casos segents passa un fenomen qumic i quins sn noms fen-mens fsics:

a) Dissoluci de sal en l'aigua. b) Combusti d'un llum. c) Digesti dels aliments que mengem. d) Evaporaci d'alcohol en un flasc

ober t. e) Oxidaci d'un clau de ferro. f) Desviaci dels raigs de la llum quan tra-

vessen una lent. g) Condensaci de vapor d'aigua de l'aire

sobre un vidre fred. h) Carbonitzaci de sucre per l'escalfament

al foc.

2 Considera els enunciats segents: a) Hem observat que una pedra, quan cau

des de la boca d'un pou, tarda 3 segons a arribar fins al fons. Si ens basem en les lleis del moviment de caiguda d'un cos, arribem a la conclu-si que el pou t, aproximadament, 44 m de fondria.

b) L'estudi de nombrosos moviments de caiguda de diferents cossos en el buit ens demostra que la velocitat que ateny un cos en caure s independent del pes que t.

Digues quin dels dos enunciats anteriors correspon a un procs d'inducci i quin a un de deducci. Per qu?

Posa un exemple d'inducci i un altre de deducci que siguin diferents dels anteriors.

3 Si la unitat de longitud fos el decmetre (dm), la de temps, el minut (min) i la de massa, el gram (g), quines serien les unitats de super-fcie, densitat i velocitat?

4 Per qu mai se supera un rcord mundial de nataci en 1 millsima de segon?

5 Una persona que s'acaba de pesar assegura que t una massa de 62 kg i 317 g. s lgi-ca aquesta afirmaci?

6 En una piscina olmpica, hi caben mil milions de cigrons?

7 Quina alada fas? Fes una estimaci de la cota de lerror absolut i de l'error relatiu de la resposta.

8 s lgic expressar la superfcie d'una habita-ci aix (12,387 0,1) m

2?

9 En quina situaci, el mdul de la suma de dos vectors s igual a la suma dels seus mduls?

10 Si el vector ai

+ bj

t mdul 2, quin mdul t el vector ai

bj

?

11 Dos vectors tenen el mateix mdul 3. Quin s el valor mxim que pot tenir el mdul de la diferncia dels dos vectors?

12 Es pot fer el producte escalar de tres vectors?

13 Considera el vector i

+ j

. s un vector unitari?

14 Quin s el mxim valor que pot tenir el com-ponent d'un vector en una direcci?

Unitats, mltiples i submltiples

15 Expressa les quantitats segents fent servir els mltiples o submltiples de la unitat ms ade-quats: 0,000025 N; 2,3 107 g; 25 104 A; 38 1010 s; 0,006 C; 74 108 m.

16 Efectua els segents canvis d'unitat:

5 hg = g 9 109 mm = Pm

4 107 pm = Gm 0,047 Ms = ks

1/20 000 Mg = ag 0,04 m2 = mm2

1/2 000 nm = pm 300 g = kg

1/500 mm3 = m3 8 x 10-5 s = s

0,00007 fs = s 0,5 GA = mA

Mesures i errors

17 S'ha mesurat cinc vegades el volum d'un cos, i s'han obtingut els resultats segents en cm3: 54,2; 53,9; 54,4; 54,0 i 54,3. Quin valor es pren com a resultat del mesurament i quina s la cota de lerror absolut?


29

a

c1u1acfin13

b

c

h

g

d e

f


DIFICULTAT: SENZILLA MITJANA ALTA SENSE CLASSIFICAR

26 S'ha de pintar la par t interior d'una volta semiesfrica de 2,57 m de radi. Sabem que calen 0,450 kg de pintura per cobrir cada metre quadrat de super fcie. Calcula els quilos de pintura que calen i expressa el resultat amb tres xifres significatives.

Components cartesians, mduls, sumes i restes de vectors

27 Expressa en funci dels vectors unitaris i

i j

tots els vectors representats a la figura. Calcula el mdul de cada un.

28 Calcula l'angle que forma cada un dels vec-tors representats a la figura de l'activitat 27 amb l'eix x positiu.

29 Dibuixa els vectors u

= 2i

+ 3 j

i v

= 4i

2j

: a) Determina'n la suma grficament i

numricament. b) Calcula els mduls de tots dos vectors i el

de la seva suma.

30 Donats els vectors a

= 3i

4j

i b

= 8i

+ 6j

: a) Calcula numricament i grficament la

diferncia a

b

. b) Determina els mduls dels dos vectors i el

de la seva diferncia.

Producte escalar i angle entre dos vectors

31 Calcula els segents productes escalars i espe-cifica en cada cas si l'angle que formen ambds vectors s agut, recte o obts:

a) 2i

(3i

+ 2j

) b) (i + j

) (3i

+ 5 j

)

c) (4i

+ 3j

) (4i

+ 3j

) d) (i

+ 5j

) (i

5j

) e) (3i

6j

) (4i

+ 2j

) f) 2j

(7i

4j

)

g) (3i

+ 4j) (16i

12j

) h) (i

j

) ( j

)

18 Sis cronometradors han mesurat simultnia-ment el temps d'un atleta en una carrera i han obtingut els resultats segents en segons: 23,1; 23,0; 20,5; 23,1; 23,3 i 23,1. Quin temps s'adopta com a resultat del mesurament i quina s la cota de lerror absolut?

19 Hem mesurat l'alada d'una persona i l'error absolut ha estat inferior a 1 cm; tamb hem mesurat el dimetre d'una moneda d'un euro i ha estat inferior a 1 mm. Quin dels dos mesuraments s ms precs? Per qu?

20 Digues quina s la cota de l'error relatiu en els mesuraments els resultats dels quals han estat els segents: I = 50 0,2 cm; V = 150 3 cm3; t = 80 0,02 s i m = 60 000 30 kg. Quina s la mesura ms precisa i quina la que ho s menys?

21 Volem mesurar 180 cm3 d'aigua amb una

proveta. Si l'error relatiu ha de ser inferior al 3 %, n'hi ha prou amb una proveta graduada de 5 cm3 en 5 cm3, o cal una proveta gradua-da de 2 cm3 en 2 cm3?

Xifres significatives

22 Amb quantes xifres significatives s'ha expres-sat cada una de les quantitats segents? 26 380,0 m; 0,008502 g; 30 870 km; 300 000 kg i 100,74 s.Escriu-les en notaci cientfica amb tres xifres significatives.

23 Una barra cilndrica de plstic, de densitat 1,200 103 kg/m3, t una longitud de 2,580 m i un dimetre de 10,00 cm. Calcula'n la massa i expressa el resultat amb quatre xifres significatives.

24 La secci d'una proveta cilndrica s de 14,5 cm2. Si s'hi aboquen 225 g d'alcohol de densitat 0,798 g/cm3, a quina altura arribar dins la proveta? Expressa el resultat amb el mateix nombre de xifres significatives que tenen les dades.

25 Calcula amb tres xifres significatives la massa d'una bola d'acer que fa 6,43 cm de radi, si la densitat s de 7,86 g/cm3.


30

r

O

vy

c1u1acfin31

x

CB

PA

12 cm

9 cm

Au

Bu Cu

c1u1actfin33


44 Una partcula, situada al punt P de la figura, s atreta cap a A amb una fora de 5 N. Alhora, s repellida des de B i C amb forces de 15 N cada una. Calcula'n:

a) Els vectors AP , BP

i CP

.

b) Els vectors de la mateixa direcci i sentit que AP

, BP

i CP

.

c) L'expressi vectorial de les tres forces que actuen.

d) La fora neta o fora resultant sobre la partcula.

Investiga

45 Investiga la histria de la determinaci de l'arc meridi entre Dunkerque i Barcelona.

46 Investiga quin s el rellotge ms precs del mn actualment, com funciona i quina s la precisi que t.

A www.ecasals.net trobars una llista de pgines web que t'ajudaran a iniciar la investigaci. Recorda que pots consultar enciclopdies i llibres especialitzats.


= 4i

2j

i b

= i

2j

, calcula:

a) El producte escalar. b) El producte dels mduls. c) El cosinus de l'angle que formen.

33 Calcula l'angle que formen els vectors

a

= 4i

2j

i b

= 3i

4j

.

Vectors unitaris


= 5i

3j

i b

= 2i

+ j

, calcula el vector unitari en la direcci i el sentit del vector a

b

.

35 Donat el vector AB

amb l'origen a A (2,4) i l'extrem a B (10,2), troba el versor (vector unita-ri) de la mateixa direcci, i sentit contrari.

36 Troba un vector de mdul 12, amb la mateixa direcci i sentit que el vector v

= 20i

5j

.

37 Calcula un vector amb la mateixa direcci que el vector v

= 72i

15j

, per de sentit contrari

al d'aquest, i el mdul del qual sigui 9.

Components d'un vector en una direcci

38 Si el vent bufa cap al sud-oest a una velocitat de 18 km/h, quant val el component de la velocitat del vent cap a l'oest? I cap al nord-est?

39 Un cos que pesa 60 N es troba sobre un pla inclinat de 25. Calcula el component del pes parallel al pla i perpendicular al pla.


= 2i

5j

i b

= 4i

3j

, calcula la component del primer en la direc-ci del segon.

41 Calcula els components dels vectorsa

= 9i

16j

i b

= 2i

8j

en la direcci del vector s

= a

+ b

.

42 La velocitat d'un mbil s v

= 14i

5j

. Una fora F

= 2i

j

actua sobre aquest.

Calcula el component d'aquesta fora en la direcci del moviment.

43 El vector v de la figura representa la velocitat

del vent, que s de 30 km/h. Un veler avana en la direcci de la recta r.

Expressa vectorialment el component de la veloci-tat del vent en la direcci en qu navega el veler i en la direcci perpendicular a aquesta.


2 | Cinemtica

En la unitat 1 hem vist que la fsica s una cincia que estudia alguns fenmens o canvis que es produeixen en la natura: els anomenats fenmens fsics. La part de la fsica anomenada cinemtica estudia un daquests fen-mens: el moviment.

Si hi reflexionem una estona, arribarem a la conclu-si que el canvi mnim que pot experimentar un cos s el canvi de posici, s a dir, el moviment. I no noms aix: tamb podem descobrir que, en tota la resta de fenmens fsics, sempre hi trobem implicat dalguna manera un moviment. La conclusi s evi-dent: el moviment s el fenomen ms simple i bsic de la fsica. s per aix que comenarem lestudi daquesta cincia precisament per aquest fenomen.

U02_Fis1_Bach.indd 31 18/4/08 16:43:07

32

y

y

xxO

b

y b

P

O O

yy

xx

a 0 a 0

2 | Cinemtica

CONEIXEMENTS PREVIS DE MATEMTIQUES

Equaci de la recta

El pendent duna recta s la tangent de langle que forma la recta amb leix dabscisses: m = tg .

Si la recta passa pels punts (x1, y

1) i (x

2, y

2), el pendent s:

La recta de la figura talla leix dordenades en el punt (0, b). La coordenada b daquest punt sanomena ordenada en lorigen de la recta.

Si (x, y) sn les coordenades genriques dun punt qualsevol de la recta, a partir de la figura dedum que:

m = tg

Si allem y, obtenim: y = mx + b

Aquesta s la forma explcita de lequaci de la recta.

La forma implcita de lequaci de la recta s: Ax + By + C = 0.

Si allem y, obtenim:

Quan comparem aquest resultat amb lequaci explcita y = mx + b, dedum que correspon a una recta de

pendent i ordenada en lorigen .

Grfica del trinomi de segon grau y = ax2 + bx + c

La grfica de les funcions amb equaci de la forma y = ax2 + bx + c, s una parbola amb leix de simetria parallel a leix dordenades.

Segons si el coeficient de x2 s positiu o negatiu, les branques de la parbola es dirigiran cap a la part positiva o negativa de leix dordenades.

1 | IntroducciQuin inters t per a nosaltres lestudi de la cinemtica? Algunes persones se sorprendran de ser capaces de calcular coses com ara laltura a qu arribar un cos quan el llancem a una velocitat determinada, el punt exacte en qu caur, el temps que durar el vol del cos, etc. En canvi, daltres pensaran que la majoria de nosaltres, incloent-hi els enginyers i els cient-fics, mai no necessitarem fer aquesta mena de clculs, de manera que es preguntaran per qu cal que aprenguem a fer-los ara.

Quan els fsics estudien un fenomen, no es limiten a descriurel en el llen-guatge habitual. En lestudi de la cinemtica, per exemple, es defineixen conceptes (sistema de referncia, mbil puntual, trajectria, desplaa-ment, velocitat mitjana, acceleraci instantnia, etc.) i sexpressen de forma matemtica les relacions entre els uns i els altres.

Aquesta formalitzaci, o acci de donar forma a la idea del moviment, en la fsica sha de fer amb una precisi i un rigor superiors als del llenguatge com. Una bona formalitzaci s essencial en lestudi de qualsevol feno-men fsic, perqu en facilita enormement la descripci, la comprensi de les causes i la predicci de les conseqncies. Una part de la fsica espe-cialment adequada per comprendre un mtode de treball tan efica i per entrenar-se a fer-ne s s la cinemtica.

U02_Fis1_Bach.indd 32 18/4/08 16:43:08

33

Cinemtica | 2

2 | Carcter relatiu del moviment:el sistema de referncia

Diem que un cos es mou quan canvia de posici amb el pas del temps. El cos que es mou lanomenem mbil. El fet que el mbil canvi de posici significa que varia la seva distncia respecte dun altre o uns altres cossos (Fig. 1).

Quan varia la distncia entre dos cossos A i B podem dir indistintament que A es mou en relaci amb B o que B es mou respecte de A.

Si un passatger dun tren diu que un arbre passa davant de la finestreta no utilitza cap metfora. Des del punt de vista fsic s tan cert que larbre est en moviment respecte al tren, com que el tren est en moviment res-pecte a larbre. Totes dues afirmacions signifiquen el mateix: que la distn-cia entre el tren i larbre canvia.

Per expressar que el moviment dun cos sha de definir necessriament en relaci amb un altre cos o uns altres cossos es diu que tot moviment s relatiu.

El cos o conjunt de cossos a qu referim la posici dun mbil sanomena sistema de referncia.

No t cap sentit parlar de moviment si no en coneixem el sistema de referncia. Quan no sesmenta el sistema de referncia s perqu es dna per suposat. Si una persona que camina pel carrer diu que la seva velocitat s de 6 km/h, entenem que el sistema de referncia s el terra sobre el qual camina o, el que s el mateix, la Terra. Per si, en un avi en vol, un passatger afirma que est en reps, comprenem, sense necessitat de cap ms explicaci, que el seu sistema de referncia s lavi en qu viatja.

Un moviment pot ser molt complicat o molt senzill segons el sistema de referncia que es consideri. Per exemple, els moviments dels planetes sn complexos observats des de la Terra; en canvi, es poden descriure duna manera senzilla si sagafa com a sistema de referncia el Sol, ja que al segle XVIII, lastrnom Johannes Kepler va descobrir que els planetes des-criuen ellipses al voltant del Sol (Fig. 2).

3 | El mbil puntual i la seva trajectriaEn lestudi del moviment, ens limitarem a tractar del tipus de mbil ms senzill: lanomenat mbil puntual.

Anomenem aix tot mbil prou petit perqu puguem considerar-lo un punt.

Aix significa que prescindim de la seva forma i de la seva mida. Un mbil puntual no s quadrat, ni rod, ni allargat i no t longitud, ni superfcie, ni volum; es redueix simplement a un punt.

Per ens hem de preguntar: quan s prou petit un mbil perqu puguem considerar-lo un mbil puntual?

El concepte de petit s relatiu, ja que qualificar un objecte de petit sempre suposa comparar-lo amb alguna cosa. Per atribuir el carcter puntual a un mbil lhem de comparar amb lentorn en qu es mou o es pot moure. Per exemple, podem considerar que un autombil s un mbil puntual en un recor-regut de diversos quilmetres. Per no podem fer el mateix quan estudiem una maniobra que fa per aparcar entre dos cotxes.

1. Comparant les dues fotografies del firmament fetes en dates diferents es detecta el moviment de lastre assenyalat amb una fletxa vermella perqu ha canviat de posici pel que fa a les estrelles fixes. El conjunt daquestes estrelles fixes seria en aquest cas el nostre sistema de referncia.

2. En la figura superior apareix, vista des de la Terra, la trajectria que descriu un planeta del sistema solar (simulaci del planetari de Munich).En la figura inferior, la trajectria daquest planeta en relaci al Sol.

U02_Fis1_Bach.indd 33 18/4/08 16:43:10

34

c1u2fig1

parbola

ellipse

s 3

s 2

s 5

O

c1u2fig3

2 | Cinemtica

El conjunt de tots els punts pels quals passa un mbil puntual quan efectua un moviment formen una lnia anomenada trajectria.

El tipus de moviment ms elemental pel que fa a la seva trajectria s el movi-ment rectilini, en qu la trajectria s una recta. Recorda que les rectes es poden expressar matemticament mitjanant equacions de primer grau.

Tot moviment en qu la trajectria no s recta sanomena moviment curvilini.

Els moviments curvilinis ms elementals sn:

El moviment circular, la trajectria del qual s una circumferncia.

El moviment parablic, la trajectria del qual s una parbola.

El moviment ellptic, la trajectria del qual s una ellipse.

La circumferncia, la parbola i lellipse sn corbes que es poden expres-sar matemticament mitjanant equacions de segon grau.

4 | Determinaci de la posici sobrela trajectria

Determinar la posici dun mbil significa respondre de manera precisa la pregunta: on s el mbil?

De moment tractarem aquesta qesti suposant que la trajectria del mbil s coneguda. Es tracta, doncs, de determinar en quin punt daquesta tra-jectria es troba.

Per a aix, sescull sobre la trajectria un punt 0 (Origen) i un sentit positiu. La posici del mbil es determina per la longitud s de la porci de trajec-tria des de lorigen O fins al mbil. Segons si el mbil es troba en un costat o en un altre de lorigen es considera que el valor de s s positiu o negatiu. A la figura 3 sen mostren diversos exemples.

Observa que aquesta s, a la prctica, la manera habitual de determi-nar la posici dun vehicle en una autopista o en una carretera. Diem, per exemple: lautombil avariat es troba al quilmetre 235. Aix significa que el cotxe es troba a 235 km del punt quilomtric zero. Aquest punt s lorigen i 235 km s la longitud s de la carretera, des de lorigen fins al mbil.

5 | Desplaament

Anomenem desplaament la longitud de larc de trajectria comprs entre la posici inicial i la posici final dun mbil.

Si anomenem s0 la longitud de larc de trajectria des de lorigen fins a la

posici inicial del mbil i s la longitud des de lorigen fins a la seva posici final, el desplaament s la diferncia s s

0 (Fig. 5).

El desplaament dun mbil sobre la seva trajectria es representa simbli-cament per s, que es llegeix increment de s:

s = s s0

3.

parbola

ellipse

4. Mbil puntual sobre una trajectria corba en diverses posicions: per a s = 2, s = 5 i s = 3.

U02_Fis1_Bach.indd 34 18/4/08 16:43:11

35

O

c1u2fig4

s0

s

Cinemtica | 2

6. Linstant de posar en marxa un cronmetre s un bon exemple dinstant zero.

Conv recordar que lincrement duna magnitud fsica s sempre la diferncia entre el seu valor final i el seu valor inicial, precisament en aquest ordre.

El desplaament resulta positiu o negatiu, segons el sentit en qu el mbil es desplaci. Aix, per exemple, si la posici inicial del mbil s s

0 = 2 m i la final, s = 5 m, el seu desplaament ser s = 5 m 2 m = 3 m.

Per si el mbil es desplaa en sentit contrari entre aquestes mateixes posi-cions, s a dir, s

0 = 5 m i s = 2 m, el desplaament ser s = 2 m 5 m = 3 m.

6 | Temps: instants i intervals de tempsCom que el moviment s el canvi de posici dun mbil en transcrrer el temps, en lestudi del moviment s essencial saber determinar instants de temps. Per aix cal utilitzar un instant de referncia, que sol anomenar-se origen de temps o instant zero.

Per exemple, si savisa que aqu sesmorza a les vuit, sadopta com a origen de temps la mitjanit, perqu les vuit significa vuit hores des-prs de mitjanit. Si, comentant un par tit de futbol, es diu van marcar el gol en el minut 35, sagafa com a referncia linstant en qu va comenar el par tit, quan lrbitre va posar en marxa el seu cronmetre.

Als instants anteriors a lorigen de temps sels assignen valors negatius. Per exemple, si anuncien el llanament espacial es va cancellar en linstant 40 segons, interpretem que la suspensi va tenir lloc 40 segons abans de linstant zero (que s el previst per al llanament).

Per en lestudi del moviment no solament hem de determinar instants. Tamb necessitem expressar la durada dintervals de temps.

Un interval de temps s el temps comprs entre dos instants.

La durada dun interval sobt restant els temps corresponents a linstant final (t) ) i a linicial (t

0). Aquesta diferncia se simbolitza amb t (increment

de temps):

t = t t0

Un temps, que representa un instant, pot ser positiu (posterior a linstant zero) o negatiu (anterior a linstant zero). Per la durada dun interval de temps sempre s positiva. La ra s que el temps solament transcorre en un sentit (no pot tornar enrere). Per aix, t sempre s ms gran que t

0 i,

com a conseqncia, t = t t0 > 0.

5. Posici inicial s0 i posici final s sobre

una trajectria corba.

7. a) Un instant, b) Un interval de temps (constitut per una infinitat dinstants).

U02_Fis1_Bach.indd 35 18/4/08 16:43:12

36

2 | Cinemtica

7 | Velocitat mitjana i instantnia

Sanomena velocitat mitjana entre dos instants el desplaament que fa el mbil per unitat de temps entre aquests instants.

Aquesta definici es pot expressar per la igualtat:

En el Sistema Internacional, la unitat de longitud s el metre i la de temps, el segon. Per aix, la unitat de velocitat s el metre partit per segon (m/s).

Un m/s s la velocitat dun mbil que es desplaa un metre cada segon.

La definici de tota magnitud fsica comporta una expressi matemtica per calcular-la (que anomenem frmula) i una unitat per mesurar-la. Tingues present sempre que solament has de memoritzar la definici de magnitud. La frmula i la unitat lhas de deduir daquesta definici.

A ms de la unitat del SI, a la prctica sutilitzen tamb altres unitats de velocitat; la ms emprada s el quilmetre per hora (km/h).

La velocitat mitjana dun mbil depn de les seves posicions inicial i final, per no de les diferents posicions intermdies per les quals passa en moures. Aix, per exemple, si la velocitat mitjana dun mbil en un interval de temps s zero, hem dentendre simplement que la seva posici final coincideix amb la inicial. Aix pot significar dues coses:

a) Que el mbil ha estat en reps.

b) Que sha mogut i ha tornat al punt de partida.

Si ens diuen que un autombil ha fet un recorregut amb una velocitat mitja-na de 80 km/h, no entenem que el vehicle sha mantingut constantment a aquesta velocitat. En alguns moments, la seva velocitat haur estat ms alta i en uns altres, ms baixa.

Generalment, ms que la velocitat mitjana dun mbil al llarg dun recorre-gut, ens interessa la seva velocitat en un instant determinat, que anome-nem velocitat instantnia. Aquesta s, per exemple, la velocitat que indica el velocmetre dun autombil.

Per si un instant no dura gens no shi pot fer cap desplaament, per tant, en un instant no hi ha moviment. Qu s, doncs, la velocitat instantnia? En realitat, qualifiquem dinstantnia la velocitat en un interval de temps molt curt.

Suposem, per exemple, que hem aconseguit determinar que el desplaament dun autombil en un interval de temps de 0,01 s ha estat de 0,2 m. Dividint les dues quantitats obtenim:

Linterval de temps en qu sha mesurat aquesta velocitat s tan curt que prcticament es confon amb un instant. Per aix, considerem el resultat obtingut una velocitat instantnia.

8. Velocitat instantnia. Aquesta fotografia sha fet amb una exposici de 1/4 000 s. El moviment ha quedat congelat, com si lautombil estigus aturat. Per, en realitat, en el curtssim interval de temps que sha utilitzat per fotografiar-lo, el cotxe ha avanat 15 mm, s a dir, 0,015 m. Per tant, la seva velocitat en linstant de la fotografia s:

U02_Fis1_Bach.indd 36 18/4/08 16:43:13

37

Cinemtica | 2

El fet didentificar un inter val de temps molt cur t amb un instant no s totalment precs des del punt de vista matemtic. De tota manera, resulta suficient per comprendre i aplicar el concepte de velocitat ins-tantnia. Amb coneixemen

física 1 batxillerat

Documents