filtros iir

Técnicas de diseño de filtros IIR

Expositor: José Luis Oropeza Rodríguez

México D. F., a 17 de agosto de 2006

OBJETIVOOBJETIVO

Presentar al alumno un conjunto de técnicas empleadas para el Presentar al alumno un conjunto de técnicas empleadas para el diseño de filtros digitales de respuesta al impulso infinita, diseño de filtros digitales de respuesta al impulso infinita, haciendo hincapié en las posibles formas de encontrar las haciendo hincapié en las posibles formas de encontrar las ecuaciones de diferencia que permitan su implementación de ecuaciones de diferencia que permitan su implementación de forma adecuada.forma adecuada.

BOSQUEJO DE LA BOSQUEJO DE LA PRESENTACIÓNPRESENTACIÓN

IntroducciónIntroducción Filtro de respuesta al impulso infinitaFiltro de respuesta al impulso infinita Técnicas de diseñoTécnicas de diseño AplicacionesAplicaciones

DISEÑO DE FILTROS IIRDISEÑO DE FILTROS IIR

0 21

21

)).....()(()).....()((

)(k M

N

pzpzpzzzzzzzK

zH

Los filtros IIR se encuentran caracterizados por la siguiente ecuación

La cual puede ser factorizada de la forma:

N

k

M

k

kk

kk

k

N

k

M

kkk

k

zbzazH

knybknxaknxkhny

IIRknxkhny

0 1

0 0 1

0

1/)(

)()()()()(

)()()(

Los coeficientes del numerador son los ceros y los del denominador son los polos. Para que el filtro se considere estable, todos los polos deben de encontrarse dentro de las inmediaciones del círculo unitario.

PASOS DEL DISEÑO DE FILTROS DIGITALESPASOS DEL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES

•Especificación de los requerimientos del filtro

•Cálculo de los coeficientes adecuados del filtro

•Realización

•Análisis de errores

•Implementación del filtro en software o hardware

Características del filtro (Dominio de la frecuencia)

El comportamiento deseado

IIR. Método invariantes con el impulso, métodos de transformación bilineal y el método del lugar de polos y ceros.

Se convierte la función de transferencia en una estructura de filtro adecuada.

IIR. Forma directa, cascada, paralelo y lattice.

Se refiere al efecto que tiene el número de bits utilizado en la implantación de hardware.

* Errores de cuantización, cuantización del coeficiente, errores de redondeo y sobreflujo.

PASOS

Se hace uso de: memoria ROM (almacenar coeficientes), memoria RAM (almacenar los estados actuales y anteriores de la señal de entrada y salida), multiplicadores de Hardware y sumadores.

ETAPA 1. ESPECIFICACIONES DE DISEÑOETAPA 1. ESPECIFICACIONES DE DISEÑO1. Características de la señal

2. Características de la respuesta en frecuencia del filtro (amplitud y fases deseadas)

3. Forma de implementación (rutinas de alto nivel sobre una computadora o sistemas basados en microprocesadores DSP)

4. Otras condiciones de diseño (tales como costos y degradación de señal permisible)

ETAPA 2. CÁLCULO DE LOS ETAPA 2. CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DEL FILTRO IIRCOEFICIENTES DEL FILTRO IIR

La tarea aquí es calcular el valor de los coeficientes del filtro. Una forma simple de obtener tales coeficientes es colocar los polos y los ceros de manera apropiada en el plano z de tal forma que el filtro resultante tenga la forma de respuesta adecuada. Dicha aproximación es útil sólo para filtros sencillos. Una forma de diseño más común es aquella que se basa en el diseño de filtros analógicos para convertirlos en filtros digitales.

MÉTODO DE COLOCAR POLOS Y CEROS. Cuando un cero es colocado en un punto dado del plano z, la respuesta en frecuencia será cero en dicho punto. Un polo, produce un pico en el diagrama de respuesta en frecuencia.

Fs/4

3Fs/4

Fs/2 0

Fs/4 3Fs/4

0

MÉTODO DE POLOS Y CEROSMÉTODO DE POLOS Y CEROS

Se desea diseñar un filtro pasa banda que se ajuste a los siguientes requerimientos.

a) Rechazo de la señal tanto a un nivel de cd como a 250 Hz

b) Un efecto pasa banda a una frecuencia centrada en 125 Hz

c) Un ancho de banda de 3 dB a 10 Hz

Considerando que la frecuencia de muestreo es de 500 Hz, se desea obtener la respuesta en frecuencia del filtro, los polos y ceros del filtro, así como su ecuación de diferencia.

Fs/4

3Fs/4

Fs/2 0

LOS CEROS. Se encontrarán en las frecuencias de 0 y 250 Hz. Lo que en el círculo del plano z se trduce en (0x250)/500=0º y (360x250)/500=180º.

LOS POLOS. Se encontrarán en las frecuencias de 125 Hz. Lo que en el círculo del plano z se trduce en +-(360x250)/500=+-90º.


937.0)500/10(1)/(1 sFbwr

1

877969.00

11

tan

)2()()2(877969.0)(

877969.01

1

877969.0

1

))((

)1)(1()(

2

21

10

2

2

2

2

2/2/

a

ba

ba

tolopor

nxnxnyny

diferenciadeecuaciónlaz

z

z

z

rezrez

zzzH

jj

El radio, r de los polos se determina por el ancho de banda deseado. Una relación de aproximación entre y, para r>0.9, y un ancho de banda bw, es:

Del diagrama de polos y ceros, la función de transferenciase puede escribir de la forma:

1z 1z

1z

1z

y(n)

-1

-0.877969

MÉTODO DE POLOS Y CEROS MÉTODO DE POLOS Y CEROS (EJEMPLO 2)(EJEMPLO 2)

Se desea diseñar un filtro NOTCH que se ajuste a los siguientes requerimientos.

a) Frecuencia notch 50 Hz

b) Un ancho de banda de 3 dB a +-5 Hz

Considerando que la frecuencia de muestreo es de 500 Hz, se desea obtener la respuesta en frecuencia del filtro, los polos y ceros del filtro, así como su ecuación de diferencia.

0

LOS CEROS. Se encontrarán en las frecuencias donde se desea que la respuesta en frecuencia sea nula, es decir, en 50 Hz (360x50)/500=+-36º.

LOS POLOS. Se encontrarán sobre la misma línea de trazo del origen a donde se encuentran los ceros, con un radio de r<1.

Fs/4

3Fs/4

Fs/2


937.0)500/10(1)/(1 sFbwr

1

8780.06180.1

5161.11

tan

)2(8780.0)1(5161.1)2()1(6180.1)()(

8780.05161.11

161801

87.05161.1

16180.1

)]º6.39exp(937.0)][(º6.39exp(937.0[

)]º36exp()][º36exp([)(

2

21

10

21

21

2

2

a

ba

ba

tolopor

nynynxnxnxny

diferenciadeecuaciónlazz

zz

zz

z

zz

jzjzzH

El radio, r de los polos se determina por el ancho de banda deseado. Una relación de aproximación entre y, para r>0.9, y un ancho de banda bw, es:

Del diagrama de polos y ceros, la función de transferenciase puede escribir de la forma:

CONVERSIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS CONVERSIÓN DE FILTROS ANALÓGICOS EN SU EQUIVALENTE DE FILTROS EN SU EQUIVALENTE DE FILTROS

DIGITALESDIGITALESMÉTODOS UTILIZADOS:

1. Método del impulso invariante

2. Método de la transformada Z bilineal

MÉTODO INVARIANTE CON EL TIEMPOEn este método, se inicia con una función de transferencia analógica, H(s), la respuesta al impulso, h(t), se obtiene utilizando la transformada de Laplace. La h(t) obtenida entonces, es muestreada para producir h(nT), y la función de tranferencia deseada, H(z), se obtiene al aplicar la transformada Z a la sucesión de puntos h(nT)

EJEMPLOEJEMPLO

01

0

1

0

11

1)()()(

)(

)()(

,.....,2,1,0,)()(

)]([)(

)(

npT

n

npT

n

npnTn

pnT

nTt

pt

ze

CzeCzCeznThzH

aplicandoobtienesezH

CethnTh

nnTtparathnThcomo

Ceps

CLsHLth

Laplaceaplicando

ps

CsH

ciatransferenfunciónlasea

GENERALIZACIÓNGENERALIZACIÓN

21

1

1

*1

11

21

1)(1

12121

12

11

2

2

1

1

1 11

12

2

1

1

)cos(21

2)]sin()cos([2

11

,

)(1

)(

11

1

.....)(

*11

2121

12

21

zezTpe

zeTpCTpCC

ze

C

ze

C

conjugadosCCconjugadossonpoloslossi

zezee

zeCeCCC

ze

C

ze

C

ps

C

ps

C

paraleloocascadaendiseñanseIIR

ze

C

ps

C

similitudpor

ps

C

ps

C

ps

C

ps

CsH

sindoGeneraliza

Tpi

Tp

Tpiiirr

TpTp

TppTpTp

TpTp

TpTp

M

k

M

kpkTk

k

k

M

k k

k

M

M

rr

r

En la expresión Cr y Ci son las partes real e imaginaria de C1, Pr y Pi son las partes real e imaginaria de P1 y * representa el conjugado complejo.

EJEMPLOEJEMPLO

12

1)(

2

sssH

Aplicando el método del impulso invariante realizar el diseño de un filtro digital IIR de tal forma que se aproxime a la respuesta en frecuencia del siguiente filtro en el tiempo continuo.

Considerar que el filtro tiene la frecuencia de corte es a 150 Hz de 3 dB, a una frecuencia de muestreo de 1.28kHz.

Antes de aplicar el método, se debe de escalar en frecuencia la función de transferencia normalizada, esto es:

21

1

*121

*121

1

122

2

/

3530.00308.11

9264.393)(

.3530.0

5207.0,5207.0,4324.666,0

;4324.6662

),1(4324.6662

)1(2

2)()('

tan.4778.9421502

/

zz

zzH

doSustituyen

e

TPTPCC

complejosconjugadospolosaparecenentonces

CCjjC

ppjj

p

donde

ps

C

sssHsH

toPorx

donde

sporsreemplazar

TP

riir

ss

t

EJEMPLOEJEMPLO

3530.03078.0

0308.10

:3530.00308.11

3078.0)(

21

10

21

1

ba

ba

tieneseentonceszz

zzH

Si se sustituye z=eiwT en la ecuación anterior, el valor de H(z) en w=0 es de 1223, aproximadamente igual a la frecuencia de muestreo. Tal ganancia tan grande es características de los filtros invariantes al impulso. En general, la ganancia de la función de transferencia obtenida mediante este método es igual a la frecuencia de muestreo (1/T), y resulta del muestreo de respuestas al impulso. Para conservar la ganancia y evitar sobreflujos cuando el filtro es implementado, es práctica común multiplicar H(z) por T (o de forma equivalente dividir por la frecuencia de muestreo). Por lo que el problema se reduce a:

Un método alternativo de remover el efecto de la frecuencia de muestreo sobre la ganancia del filtro es trabajar con frecuencias normalizadas. Para el ejemplo se tendría:

1280/15021 xyT

RESUMEN DE MÉTODOS INVARIANTES AL RESUMEN DE MÉTODOS INVARIANTES AL IMPULSO PARA OBTENER COEFICIENTES IIRIMPULSO PARA OBTENER COEFICIENTES IIR

1. Determinar el filtro analógico normalizado, H(s), que satisface las especificaciones del filtro digital deseado.

2. Si es necesario, se expande H(s) usando fracciones parciales para simplificar el siguiente paso.

3. Obtener la transformada z de cada fracción parcial.

4. Obtener H(z) para combinar la transformada z de las fraccione parciales dentro del segundo término y posiblemente un término de primer orden. Si la frecuencia de muestreo es usada entonces al multiplicar H(z) por T.

PUNTOS QUE RECORDAR SOBRE EL MÉTODO

1) La respuesta al impulso del filtro discreto, h(nT), es idéntica a la del filtro analógico h(t), en instantes de tiempo t=nT, con n=0,1,2,…,

2) La frecuencia de muestreo afecta la respuesta en frecuencia del filtro discreto invariante al impulso.

3) Como en el caso de los sistemas de datos muestreados, el espectro del filtro invariante al impulso que corresponde a H(z) debe ser el mismo a aquel del filtro analógico, H(s), pero repetido en múltiplos de la Fs, permitiendo el aliasing.

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA Z MÉTODO DE LA TRANSFORMADA Z BILINEALBILINEAL

Este método es el más ampliamente utilizado en la determinación de los coeficientes de los filtros IIR. En este método, la operación básica es que a partir de la función de transferencia H(s) de un filtro analógico se pasa a un filtro digital equivalente simplemente al reemplazar a s de la función de transferencia como sigue:

Tok

zz

ks2

1,11

La expresión anterior mapea una función de transferencia analógica, H(s), en el plano-s en una función de transferencia discreta, H(z), en el plano-z.

Im (=jw’)

Re

0

plano-s

Im

Re

0

plano-z

MÉTODO DE LA TRANSFORMADA Z MÉTODO DE LA TRANSFORMADA Z BILINEALBILINEAL

Como se observa en la gráfica anterior el eje jw en el plano-s es mapeado en el círculo unitario, el lado izquierdo en el plano-s se mapea dentro del círculo unitario, y el lado derecho del plano-s se encuentra mapeado fuera del círculo unitario del plano-z. Así, si se tiene un filtro analógico, con polos sobre la mitad izquierda del plano-s, equivale a tener un filtro digital con polos dentro del círculo interno.

El cambio de las expresiones anteriores no es sencillo, en lugar de ello se utiliza:

Tok

Tkw

ndoSimplifica

jsyez tj

21,

2tan'

'

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS COEFICIENTES DEL CALCULAR LOS COEFICIENTES DEL

FILTRO DIGITAL POR EL MÉTODO BZTFILTRO DIGITAL POR EL MÉTODO BZT1. Usar las especificaciones del filtro digital para determinar una función

de transferencia adecuada, H(s).

2. Determinar la frecuencia de corte (o frecuencia de corte pasabanda) del filtro digital y se llama wp.

3. Obtener una frecuencia de corte del filtro analógico equivalente (wp’) usando la relación de la diapositiva anterior.

4. Desnormalizar el filtro analógico por el escalamiento en frecuencia H(s). Esto se alcanza al reemplazar s con s/wp’

5. Aplicar la transformación bilineal para obtener la función de transferencia del filtro digital deseada H(z) pero reemplazando s por (z-1)/(z+1)

Tok

Tkw

ndoSimplifica

jsyez tj

21,

2tan'

'

EJEMPLOEJEMPLODeterminar, usando el método BZT, la función de transferencia y la ecuación de diferencias para el filtro digital del filtro RC analógico. Considerar una frecuencia de muestreo de 150Hz y una frecuencias de corte de 30Hz. La función de transferencia normalizada del filtro RC es:

)]1()([4208.0)1(1584.0)(

1584.01

)1(4208.0

17265.0)7265.01(

)1(7265.0)()(

7265.0

7265.0

17265.0/

1)()(

tan

7265.0)5/tan(,150/1),2/tan(

302

1

1)(

1

1

)1/()1(

'

7265.0

'

''

nxnxnyny

sdiferenciadeecuaciónla

z

z

z

zsHzH

sssHsH

topor

HzTT

analógicafrecuencia

x

críticafrecuencias

sH

zzs

s

ppp

p

EJEMPLOEJEMPLODIAGRAMAS DEL FILTRO ANALÓGICO Y DEL DIAGRAMAS DEL FILTRO ANALÓGICO Y DEL

FILTRO DIGITALFILTRO DIGITAL

x(t)

R

C

y(t)

1z

1z

y(n)

-1

0.1584

0.4208

x(n)

EJEMPLOEJEMPLO

)]2()1(2)([0878.0)2(3561.0)1(0048.1)(

3561.00048.11

)21(0878.0

3561.00048.1

0878.01756.00878.0)()(

1488.05455.0

1488.0

21/2)/(

1)()(

tan

3857.0,1280/1),2/tan(

1502

28.13@150,12

1)(

21

21

2

2

)1/()1(

'

22''2

2'

'2'/

'

''

2

'

nxnxnxnynyny

sdiferenciadeecuaciónlazz

zz

zz

zzsHzH

sssssssHsH

topor

HzTT

analógicafrecuencia

x

críticafrecuencia

kHzfdBHzfss

sH

zzs

pp

p

ppss

ppp

p

sc

p

FILTROS ANALÓGICOS PASABAJAS FILTROS ANALÓGICOS PASABAJAS BUTTERWORTHBUTTERWORTH

Este tipo de filtros se definen por la propiedad de que la respuesta en magnitud es máxima en la región de la pasabanda. La función de la magnitud para un filtro Butterworth es de la forma:

N

p

jH 2

2

2

1

1)(

El procesamiento de señal discreto en tiempo está referido con la transformación de una señal de entrada a una señal de salida que ha sido modificada de acuerdo a alguna especificación preescrita. El diseño de filtros digitales concierne a procedimientos para determinar los coeficientes de la función de transferencia que satisfacen las especificaciones en el dominio de la frecuencia.

•El diseño de fórmulas para la generación de polos y ceros pasa bajas de filtros analógicos Butterworth, Chebyshev, y elípticos.

•Fórmulas de transformación de banda de frecuencia para la conversión de filtros pasabajos, pasaaltos, pasabanda y rechaza banda.

•La transformación linea que mapea polo en el plano-s a polos en el plano-z.

FILTROS BUTTERWORTHFILTROS BUTTERWORTH

La gráfica de la función anterior es monotonicamente decreciente, en donde la respuesta máxima es cuando w=0. La respuesta en magnitud se aproxima a la de un filtro pasabajas ideal cuando se incrementa el valor de N. La respuesta de un filtro Butterwoth se considera máxima en la región de pasabanda.

FILTROS BUTTERWORTHFILTROS BUTTERWORTHomegac=500;omega=0:2000;N1=2;N2=3;N3=4;h1=(1./((1+((omega/omegac).^(2*N1)))));h2=(1./((1+((omega/omegac).^(2*N2)))));h3=(1./((1+((omega/omegac).^(2*N3)))));plot(omega,h1,omega,h2,omega,h3)


p

s

N

log

log

5.01.0

5.01.0

110

110

s

p

A

A

Tomando las expresiones anteriores, se tiene:

De donde se puede obtener:

Donde Ap es la máxima atenuación pasabanda en dB. Para simplificar la expresión, se utilizan los parámetros A y K0.

s

p

A

A

k

Ap

s

5.0

1.0

1.0

110

110

De la ecuación del filtro Butterworth, los polos en el plano-s normalizado son encontrados estableciendo el denominador igual a cero. Para normalizar el resultado, considerar y , entonces.


1p

0

1log

log

K

AN

1

El orden de la ecuación para el filtro analógico pasa bajas Butterworth está dado por

parnparaN

imparnparaNk

NNk

jNNk

s

Nk

jNk

s

analógiosnormalizadpoloslosFinalmente

jeejs

Nkes

spolarnotaciónen

s

jscomo

pk

k

NkjNNkjkkk

kjNN

N

N

2/,.......,2,1

,2/)1(,.......,2,1

2)12(

sin'2

)12(cos'

212

cos2

12sin

cos,

,....,2,1,1)1(

1

01

01

2/)12(2/)12(

)12(2

2

2

FILTROS CHEBYSHEVFILTROS CHEBYSHEVLas características de los filtros Chebyshev proveen una forma alternativa de obtener una función de transferencia analógica adecuada, H(s). Existen 2 tipos de filtros Chebyshev:

1. Tipo I, con igual ondulación en la zona de transición, constante en la banda de rechazo

2. Tipo II, con igual ondulación en la banda de rechazo, constante en la banda de transición.

)'/'(cosh)/(cosh

)(log20

)1(log20)1(log10

)'/'(

)'/'(1)'(

1

1

10

102

10

2

22

2

ps

s

p

N

N

N

atenuación

filtrodelatenuación

pasabandaoscilación

ChebyshevpolinomioelespC

donde

pCK

H

FILTROS CHEBYSHEVFILTROS CHEBYSHEV

Los polos del filtro Chebyshev están dados por:

NkNNk

N

donde

js

k

kkpk

,......,2,1,2

)12(;

1sinh

1

)]sin()cosh()cos()[sinh('

1

TIPOS DE ESTRCUTURAS DE DISEÑO TIPOS DE ESTRCUTURAS DE DISEÑO DEL FILTRO IIRDEL FILTRO IIR

x(n)+

++

z-1

z-1

a0

w(n)+

a1

a2-b2

-b1

y(n)

Forma directa

x(n)+

z-1

z-1

a0

w(n)+

a1

a2-b2

-b1

y(n)

Segundo orden canonico

z-1

x(n) y(n)a0

-b 1

-b 2

+z-1

z-1

z-1

a1

a2

w(n)

y(n-1)

y(n-2)forma directa

de segundo orden

DISEÑO DE FILTROS IIRDISEÑO DE FILTROS IIREl diseño de un filtro pasabaja digital IIR tipo butterworth de orden 3 mediante MATLAB es sencillo y se realiza mediante la siguiente forma:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-200

-150

-100

-50

0

50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

» [b,a]=butter(3,0.2);» [H,w]=freqz(b,a,512);» mag=20*log10(abs(H));» plot(w,mag)» phi=angle(H);» phi=(180/pi)*phi;» plot(w,phi)

DISEÑO DE FILTROS DIGITALESDISEÑO DE FILTROS DIGITALES

Para una frecuencia de muestreo de 1KHz., diseñar un filtro pasa baja con menos de 3dB de rizado en la banda de paso, definida para 0-40Hz, y como mínimo de 60dB de atenuación en la banda eliminada, definida para 150Hz. Frecuencia de Nyquist es de 500Hz. Obtener la respuesta en frecuencia.

» Wp = 40/500; Ws = 150/500;» [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,3,60);» [b,a] = butter(n,Wn);» freqz(b,a,512,1000); title('n=5 Butterworth Lowpass Filter');

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-600

-400

-200

0

Frequency (Hertz)

Phas

e (d

egre

es)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-400

-200

0

200

Frequency (Hertz)

Mag

nitu

de R

espo

nse

(dB)

n=5 Butterworth Lowpass Filter

» Wp = 40/500; Ws = 150/500;» Rp = 3; Rs = 60;» [n,Wn] = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs);» [b,a] = cheby1(n,Rp,Wn);» freqz(b,a,512,1000); » title('n=4 Chebyshev Type I Lowpass Filter');

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-400

-300

-200

-100

0

Frequency (Hertz)

Phase (

degre

es)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-300

-200

-100

0

Frequency (Hertz)

Magnitude R

esponse (

dB

)

n=4 Chebyshev Type I Lowpass Filter

RESULTADOS GRÁFICOSRESULTADOS GRÁFICOS

0 10 20 30 40 50 60-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4gráfica de b

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4gráfica de w vs H

0 10 20 30 40 50 60-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

» b1=b.*hamming(51)';» plot(b1)» [H1,w1]=freqz(b1,1,512,2);» plot (w1,abs(H1)), grid ,title ('gráfica de w1 vs H1');

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4gráfica de w1 vs H1

CONCLUSIONESCONCLUSIONES La convolución es un operación a nivel de sistemas La convolución es un operación a nivel de sistemas

que nos permite encontrar la respuesta a una que nos permite encontrar la respuesta a una entrada correspondiente.entrada correspondiente.

El primer análisis desarrollado en este trabajo, El primer análisis desarrollado en este trabajo, demuestra que la convolución de una señal demuestra que la convolución de una señal impulso unitario con desplazamientos sobre el eje impulso unitario con desplazamientos sobre el eje real, con respecto a una señal de entrada real, con respecto a una señal de entrada cualesquiera, será igual a la misma señal.cualesquiera, será igual a la misma señal.

El principio anterior permite que la convolución se El principio anterior permite que la convolución se aplica a la respuesta de un sistema a la que se le aplica a la respuesta de un sistema a la que se le aplico la señal impulso y le sea suministrada aplico la señal impulso y le sea suministrada cualquier otra señal de entrada, siendo la cualquier otra señal de entrada, siendo la convolución, la respuesta del sistema en cuestión.convolución, la respuesta del sistema en cuestión.

Existen varias representaciones tanto gráficas Existen varias representaciones tanto gráficas como matemáticas para representar a los sistemas como matemáticas para representar a los sistemas físicos que se puedan crear: ecuaciones físicos que se puedan crear: ecuaciones diferenciales, de diferencias, diagramas a bloques, diferenciales, de diferencias, diagramas a bloques, etc.etc.

filtros iir

Documents