Universidad de Castilla-La ManchaPruebas de Acceso a Estudios Universitarios Bachillerato (LOGSE)Materia: MATEMÁTICAS II La prueba consta de cuatro bloques de dos preguntas cada uno. Debes contestar una pregunta de cada bloque. Cada pregunta puntúa de cero a 2’5 puntos. Puedes usar cualquier tipo de calculadora.

JUNIO 2008

PRIMER BLOQUE

A. Calcula los siguientes límites:

a) b)

B. Definición de punto de inflexión de una función. Calcula el valor de los parámetros

para que la función tenga un punto de inflexión en

y un mínimo relativo en

SEGUNDO BLOQUE

A. Calcula la integral

B. Calcula la integral definida

TERCER BLOQUE

A. Dada la matriz se pide:

a) Encuentra la expresión general de la potencia n-ésima de A. Es decir, calcula donde n es un número natural cualquiera. b) Razona que la matriz tiene inversa para cualquier , y calcula dicha matriz inversa.

B. Encuentra, si es posible, un valor de para que el sistema:

a) Sea compatible determinado. b) Sea compatible indeterminado. c) Sea incompatible.

CUARTO BLOQUE

A. Dados los vectores y determina el valor de los parámetros de manera que los vectores y sean perpendiculares y además donde denota el producto vectorial. ¿Qué ángulo forman y en dicho caso?

B. Sean los puntos y donde a) Prueba que los vectores y forman un ángulo de 90º, independientemente del valor de

b) Determina los valores de para que la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo de vértices A, B y C sea igual a 3.

Resolución de la prueba

PRIMER BLOQUE

A. a)

b)

B. Un punto de abscisa es un punto de inflexión de la función si la gráfica de la función en ese punto pasa de ser cóncava a convexa, o viceversa.

Si la función tiene un punto de inflexión en

Si la función tiene un mínimo relativo en

SEGUNDO BLOQUE

A. Hacemos la división: (1)

Esta igualdad se cumple para cualquier valor de x:

Si y si Sustituyendo dichos valores en (1), se tiene:

B. En primer lugar calculamos una primitiva de la función:

La integral definida es:

TERCER BLOQUE

A. a) y

Suponemos cierto para n-1 que: y lo demostramos para n:

b) Una matriz tiene inversa si su determinante es distinto de cero.

en general

luego la matriz tiene inversa para cualquier

B. Consideramos la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

del sistema de ecuaciones lineales. Calculamos sus rangos:

y como

Si

Si

a) Como el rango(A) = 2 < 3 = número de incógnitas, entonces el sistema nunca puede ser compatible determinado.

b) Si número de incógnitas. Aplicando el Teorema de Rouché-Frobënius el sistema es compatible indeterminado.

c) Si Aplicando el Teorema de Rouché- Frobënius el sistema es incompatible.

CUARTO BLOQUE

A. Para que dos vectores sean perpendiculares se debe cumplir que su producto escalar sea cero: Los vectores son perpendiculares si

Veamos el ángulo que forman los vectores y

Por lo tanto, el ángulo que forman los dos vectores es de 90º.B. a) Sean los vectores y Su producto escalar es:

Por tanto, los dos vectores forman un ángulo de 90º.

b) La hipotenusa del triángulo es el lado BC; por tanto, el módulo del vector debe ser igual a 3.

Universidad de Castilla-La ManchaPruebas de Acceso a Estudios Universitarios Bachillerato (LOGSE)Materia: MATEMÁTICAS II La prueba consta de cuatro bloques de dos preguntas cada uno. Debes contestar una pregunta de cada bloque. Cada pregunta puntúa de cero a 2’5 puntos. Puedes usar cualquier tipo de calculadora.

SEPTIEMBRE 2008

PRIMER BLOQUE

A. Dadas las funciones y se pide:

a) Determina el dominio de cada una de ellas.b) Estudia si dichas funciones tienen puntos de inflexión.

B. Halla los valores de los parámetros para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa y además pase por el punto

Halla la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisas

SEGUNDO BLOQUE

A. De la función donde a es un número real, se sabe que la

integral definida es tres veces el valor de la pendiente de la recta tangente a

en Calcula el valor de a.

B. Definición de primitiva de una función. Sabiendo que es una primitiva de la función

a) Comprueba que es una función creciente en b) Calcula el área determinada por la gráfica de el eje de abscisas, y las rectas y

TERCER BLOQUE

A. Sabiendo que calcula el valor de y

B. Clasifica el sistema en función del parámetro y

resuélvelo para

CUARTO BLOQUE

A. Dados el plano donde y la recta

a) Demuestra que para cualquier la recta r es paralela al plano b) Determina el valor de de forma que la recta r esté contenida en el plano

B. Dado el punto y el plano de ecuaciones se pide:

a) Distancia desde el punto P al plano

b) Ecuaciones generales de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a

Resolución de la prueba

PRIMER BLOQUE

A. a) Dada la función Para que exista se debe cumplir que: Por tanto

Sea la función Dicha función existe si Como se tiene que

b) Primero. Estudiamos si la función tiene puntos de inflexión:

Resolvemos la ecuación para

determinar los posibles puntos de inflexión de la función. Como vimos que Si No tiene solución. Luego no tiene puntos de inflexión.

Segundo. Estudiamos si la función tiene puntos de inflexión:

Como sabemos que se resuelve

la ecuación y se tiene que: Por tanto estos son los posibles puntos de inflexión. Calculamos la derivada tercera y comprobamos si es o no distinta de cero en los puntos hallados.

son puntos de inflexión.

B. 1.- La función es continua y derivable en todo Para calcular debemos aplicar las dos condiciones del enunciado.

Primera condición (extremo relativo) (1)

Segunda condición (pasa por el punto )

(2)

Se resuelve el sistema formado por (1) y (2):

Obteniéndose y

2.- La ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa es:

(3). Como y sustituyendo en (3), obtenemos:

SEGUNDO BLOQUE

A. Calculamos el valor de la pendiente de la recta tangente a en que será :

(1)

Hallamos la integral definida (2)

Por último, resolvemos la ecuación

B. es una primitiva de una función si Se expresa de la forma siguiente:

a) Es una función continua y derivable en todo para cualquier valor Por tanto la función es creciente en todo

b) La función es simétrica respecto del origen de ordenadas pues cumple

Luego el área que nos piden es:

TERCER BLOQUE

A.

(El primer determinante vale 0 pues la 1ª y 2ª columna son iguales; al segundo determinante se le cambia de signo pues se permutan la 1ª y 3ª fila).

(Desarrollo de un determinante por sus adjuntos. Hemos desarrollado por la cuarta fila)

B. Clasificación. Se trata de un sistema homogéneo, que siempre es compatible.

Sea la matriz de los coeficientes Calculamos su rango:

Como y . Se tiene que:

i) Si y Aplicando el Teorema de Rouché- Frobënius el sistema es compatible determinado.

ii) Si Aplicando

el teorema de Rouché- Frobënius el sistema es compatible indeterminado.

iii) Si Aplicando

el teorema de Rouché- Frobënius el sistema es compatible indeterminado.

Resolución.

Sustit

uyendo Solución:

CUARTO BLOQUE

A. a) Sean el vector normal al plano y el vector dirección de la recta r. Como siendo pues, r paralela al plano

b) Sea Si Si

B. a) Primero hallamos la ecuación general del plano

La distancia buscada es u

b) Primer paso. Se calcula el vector normal al plano, que será el vector dirección de la recta, pues se trata de buscar las ecuaciones generales de una recta perpendicular a un plano:

Segundo paso. Hay que calcular unas ecuaciones generales, sabiendo que pasa por el punto y cuyo vector director es La ecuación

continua de la recta es: Desarrollando dicha ecuación

se tiene que las ecuaciones generales de la recta son:

Universidad de Castilla-La ManchaPruebas de Acceso a Estudios Universitarios Bachillerato (LOGSE)Materia: MATEMÁTICAS II La prueba consta de cuatro bloques de dos preguntas cada uno. Debes contestar una pregunta de cada bloque. Cada pregunta puntúa de cero a 2’5 puntos. Puedes usar cualquier tipo de calculadora.

JUNIO 2009

PRIMER BLOQUE

A. Encuentra el punto de la recta que cumpla que la suma de los cuadrados de sus coordenadas sea mínima.

B. Enuncia el Teorema de Bolzano. Como aplicación de este teorema, demuestra que las gráficas de las funciones y se cortan en, al menos, un punto.

SEGUNDO BLOQUE

A. Encuentra una primitiva de la función

B. Halla la integral definida (puede ayudar hacer un cambio de variable)

TERCER BLOQUE

A. a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamaño n. Despeja X de la ecuación

b) Calcula la matriz X siendo y

B. a) Calcula, en función del parámetro las soluciones de la ecuación

b) ¿Para qué valor de a la ecuación anterior tiene una única solución?

CUARTO BLOQUE

A. a) Estudia, en función del parámetro la posición relativa de los planos y

b) ¿Existe algún valor de k para el que los planos y sean perpendiculares?

B. a) Halla la ecuación general de un plano que contenga a la recta y

pase por el origen de coordenadas.

b) Halla las ecuaciones paramétricas de una recta contenida en dicho plano, que sea perpendicular a r y que pase por el punto

Resolución de la prueba

PRIMER BLOQUE

A. Se trata de un problema de optimización. Planteamiento del problema:

Función objetivo: Condición:

Sustituimos la condición en la función objetivo, que pretendemos minimizar:

Para calcular los extremos relativos de derivamos e igualamos a cero:

Veamos si se trata de un mínimo utilizando la segunda derivada:

es un mínimo. Por tanto el punto que se pide es el

B. Enunciado del Teorema de Bolzano. Si una función es continua en un intervalo y el signo de es distinto del signo de entonces existe al menos un número tal que

Aplicación del Teorema de Bolzano. Demuestra que las gráficas de las funciones y se cortan en, al menos, un punto. Si se cortaran en un punto se cumpliría que: Para demostrar dicha igualdad definimos una función y comprobamos que cumple las hipótesis del Teorema de Bolzano; es una función continua en todo por ser resta de funciones continuas. Además se tiene que:

/

Por tanto, queda demostrado que existe al menos un punto tal que

es decir, que y se cortan en un

punto

SEGUNDO BLOQUE

A. Se llama función primitiva de a otra función que cumpla

La función es continua, por ser una función racional cuyo

denominador no se anula para ningún valor de x. Calculamos la función

B. Primera forma:

Segunda forma:

TERCER BLOQUE

A. a)

b) Primero se comprueba si existe la matriz inversa de A:

Luego se calcula dicha matriz inversa

B. a) (Desarrollado por Sarrus)

= (Desarrollado mediante adjuntos; por la 2ª fila)

Sustituyendo en la ecuación se tiene que:

b) Si siendo la única solución (doble).

CUARTO BLOQUE

A. a) Estudiamos la posición relativa de los planos y según los valores del parámetro

i) Si los planos se cortan en una recta.

ii) Si los planos son coincidentes.

iii) Si los planos son paralelos.

b) Los vectores normales de los planos y son respectivamente Para que los planos y sean perpendiculares debe cumplirse que: imposible. Por tanto no existe ningún para el que los planos sean perpendiculares.

B. a) Calculamos un vector dirección, de la recta

Sea un punto de

r. El origen de coordenadas Por tanto la ecuación general

del plano es:

b) Primero. Debemos hallar el vector dirección, de la recta Hay que calcular el producto vectorial de los vectores dirección, de la recta r y el

vector normal, del plano

Por último, conociendo el vector dirección de la recta r y que pasa

por el punto se tiene que:

Universidad de Castilla-La ManchaPruebas de Acceso a Estudios Universitarios Bachillerato (LOGSE)Materia: MATEMÁTICAS II La prueba consta de cuatro bloques de dos preguntas cada uno. Debes contestar una pregunta de cada bloque. Cada pregunta puntúa de cero a 2’5 puntos. Puedes usar cualquier tipo de calculadora.

SEPTIEMBRE 2009

PRIMER BLOQUE

A. Un depósito cilíndrico construido sin la tapa superior tiene capacidad de Determina cuánto miden el radio de su base y su altura sabiendo que se ha construido de forma que su superficie sea mínima.

B. Se sabe que la recta es una asíntota horizontal de la función

Calcula el valor del parámetro Estudia si para dicho valor del parámetro tiene asíntotas verticales u oblicuas.

SEGUNDO BLOQUE

A. Calcula las integrales a) b) c)

B. a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función

b) Determina el área encerrada por la gráfica de la función y el eje de abscisas.

TERCER BLOQUE

A. a) Sean A, B y X matrices cuadradas de tamaño n. Despeja X de la ecuación

b) Calcula la matriz X siendo y

B. a) Clasifica, en función del parámetro el sistema de ecuaciones:

b) Resuélvelo para si es posible.

CUARTO BLOQUE

A. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y razona tus respuestas.

1. Dados un plano y un punto P que no esté contenido en existe un único plano perpendicular a que pasa por P. 2. Dados una recta r y un punto P que no esté contenido en la recta r, existe un único plano perpendicular a r que pasa por P.

B. Dadas las rectas y con

a) Encuentra un valor del parámetro para que las rectas r y r´ estén contenidas en un mismo plano. Halla la ecuación general de dicho plano.

b) Para calcula unas ecuaciones paramétricas de un plano que contenga a la recta r y unas ecuaciones paramétricas de otro plano que contenga a la recta r´, de modo que y sean paralelos.

Resolución de la prueba

PRIMER BLOQUE

A. La superficie del depósito cilíndrico sin la tapa superior es la misma que la superficie lateral de un cilindro más la superficie de una de las dos bases, puesto que al no tener la tapa superior no se pueden contabilizar ambas bases:

con r: radio de la base y h: altura del cilindro.

El volumen de un cilindro es Sabemos que su capacidad es

de por tanto:

Seguidamente sustituímos dicho valor de h en la función superficie, teniendo así la

superficie sólo en función del radio:

La función es continua y derivable en

Primero. Hallamos la derivada de la función:

Segundo. Resolvemos la ecuación para determinar los posibles máximos y mínimos de la función:

Tercero. Calculamos la segunda derivada de y estudiamos su signo en el punto hallado:

metros es un mínimo.

Calculamos el valor de la altura h: metros.

Por tanto el radio de la base y la altura deben de ser de 3 metros cada una, para que la superficie del depósito sea mínima.

B. Si es una asíntota horizontal de la función es se tiene que

Sustituyendo ese valor de a en la función queda

Esta función tiene dos asíntotas verticales y

puesto que son los dos valores que anulan el denominador. No tiene

asíntotas oblicuas ya que

SEGUNDO BLOQUE

A. a) Primera forma:

Se observa que el

numerador es la derivada del denominador cambiado de signo.

Segunda forma:

b) Es una integral inmediata, ya que:

c)

B. a) Estudiamos la continuidad y la derivabilidad de la función en puesto que es continua y derivable en ya que se trata de una función definida en dos trozos, que son dos funciones cuadráticas. Continuidad en

i)

ii) y

Entonces

iii) Como se cumple que: es continua en

Derivabilidad en

Entonces la función es derivable en y su derivada es 2.

b) Sea

Se representan gráficamente las funciones cuadráticas y Son dos parábolas cuyos vértices son, respectivamente, y Hallamos los puntos de corte con el eje ox, que son: Se observa que la gráfica de la función queda por debajo del eje ox en el intervalo y que la gráfica de la función queda por encima del eje ox en el intervalo Por tanto, el área encerrada por la gráfica de la función y el eje de abscisas es:

TERCER BLOQUE

A. a) Por tanto se tiene que

b) Sea

Veamos si existe la matriz inversa de H:

Calculamos dicha matriz

Luego la matriz X buscada es:

B. a) Sean la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

del sistema de ecuaciones lineales. Hallamos sus rangos:

i) Si y El sistema es compatible determinado.

ii) Si y como

Sustituimos en la matriz y calculamos su rango:

Observamos que y como

El sistema es compatible indeterminado.

iii) Si y como Sea

y como

El sistema es incompatible.

b) Si según la clasificación del apartado a) se tiene que el sistema es compatible determinado (tiene una única solución). Se resuelve aplicando la Regla de Cramer:

CUARTO BLOQUE

A. 1. Falso, hay infinitos planos perpendiculares a que pasan por P.

Contraejemplo. Sea y Todos los planos que contienen al punto serán de la forma Si además queremos que sea perpendicular al plano se tiene que cumplir que y vectores normales de ambos planos deben ser perpendiculares: Por tanto, como hay infinitas soluciones para esta ecuación, se tiene que hay infinitos planos perpendiculares a que pasan por P. 2. Verdadero. Sea la recta r cuyo vector director es y un punto Cualquier plano perpendicular a r tiene como vector normal siendo su ecuación general la siguiente: (habría infinitos planos). Como el punto valor éste de D que es único, por tanto, existe un único plano con ecuación general:

B. a) Veamos la posición relativa de las rectas r y r´. Se toman un punto cualquiera y un vector dirección de cada una de las rectas.

y

Veamos cual es el rango de las matrices y

i) Si r y r´ se cruzan. ii) Si r y r´ se cortan.

Si r y r´ se cortan y estarán contenidas en un mismo plano Tomamos como vectores paralelos al plano los vectores directores de r y r´, que son y respectivamente. Elegimos como punto del plano

un punto cualquiera de r o r´, por ejemplo Por tanto, la ecuación general

del plano es:

b) Si r y r´ se cruzan, aplicando el apartado a). El plano que contiene a la recta r tiene por vectores directores a y y pasa por el punto así sus ecuaciones paramétricas son:

con

El plano que contiene a la recta r´ tiene por vectores directores a

y y pasa por el punto Sus ecuaciones paramétricas son:

con

Universidad de Castilla-La ManchaPruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado

Bachillerato L.O.G.S.E

Materia: MATEMÁTICAS II (JUNIO 2010)

Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes usar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Enuncia el teorema de Bolzano.

b) ¿Se puede aplicar dicho teorema a la función en algún intervalo?

c) Demuestra que las funciones y se cortan al menos en un punto

2A. a) Representa gráficamente las parábolas y b) Calcula el área del recinto limitado por ambas gráficas.

3A. a) Clasifica en función del parámetro el sistema de ecuaciones

b) Resuélvelo, si es posible, para

4A. a) Estudia la posición relativa de la recta y el plano de

ecuación general

b) Halla la ecuación general de un plano perpendicular a que contenga a r.

PROPUESTA B

1B. La velocidad de una partícula, medida en m/sg, está determinada en función del tiempo medido en segundos, por la expresión Se pide:

a) ¿En qué instante de tiempo del intervalo se alcanza la velocidad máxima? b) Calcula e interpreta el resultado obtenido.

2B. Calcula la integral indefinida:

(Nota: Puedes probar el cambio de variable y = senx)

3B. Consideremos las matrices y

Determina los valores de forma que se cumpla que el determinante de la matriz B sea igual a 8, y además se verifique que

4B. Dado el plano y el punto se pide:

a) Encuentra la ecuación general del plano paralelo a que pasa por P. b) Halla unas ecuaciones paramétricas de la recta r perpendicular a que pasa por P.

Resolución de la prueba

PROPUESTA A

1A. a) Si una función es continua en un intervalo y el signo de es distinto del signo de entonces existe al menos un número tal que

b) Primera forma

No se puede aplicar el teorema de Bolzano ya que, aunque, es una función continua en todo su se cumple que para cualquier valor de su dominio, con lo que la función no puede cambiar de signo en ningún intervalo.

Segunda forma

No se puede aplicar el teorema de Bolzano ya que es imposible que

pues una fracción sólo puede ser cero si su numerador es cero:

lo cual no es posible.

c) Aplicación del Teorema de Bolzano.

Demuestra que las gráficas de las funciones y se

cortan en, al menos, un punto. Si se cortaran en un punto se cumpliría que: Para demostrar dicha igualdad definimos una

función

y comprobamos que cumple las hipótesis del teorema.

es una función continua en por ser cociente de funciones continuas donde el denominador no se anula. Además se tiene que:

Por tanto, queda demostrado que existe al menos un punto tal que es decir, que y se cortan en un punto de abscisa

2A. a)

b) Calculamos las abscisas de los puntos de corte de ambas funciones:

3A. a) Sean la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada

del sistema de ecuaciones lineales. Hallamos sus rangos:

i) Si y El sistema es compatible determinado.

ii) Si

El sistema es compatible indeterminado (con dos grados de libertad).

iii) Si al ser Sea

como

El sistema es incompatible.

b) Si sabemos del apartado a) que el sistema es compatible indeterminado, en función de dos parámetros. Sustituyendo dicho valor, se tiene el siguiente sistema:

Por tanto las soluciones son:

siendo números reales.

4A. a) El vector director de la recta y el vector normal al plano, son respectivamente y Su producto escalar es: la recta r y el plano se cortan.

b) Como los planos y son perpendiculares el vector normal del plano es vector generador de . Al estar r contenida en el plano el vector director de r, es generador de y un punto cualquiera de r, por ejemplo es un punto de Por tanto, el plano pedido en coordenadas paramétricas es:

siendo números reales.

La ecuación general del plano es:

PROPUESTA B

1B. a) es una función continua y derivable en todo en particular en el intervalo Primero. Hallamos la derivada de la función.

Segundo. Resolvemos la ecuación para determinar los posibles máximos y mínimos de la función.

Tercero. Calculamos la segunda derivada de y estudiamos su signo en el punto hallado.

es un máximo.

Por tanto la función alcanza el máximo en el instante segundos.

b)

Significa que a medida que va aumentando el tiempo, disminuye la velocidad de la partícula, aproximándose ésta a cero cuando el tiempo transcurrido es muy elevado. Geométricamente, significa, que la función tiene una asíntota horizontal en

2B.

3B. (1)

y

Si se cumple que

Sustituimos en (1): Por último, sustituimos en 4B. a) El plano es paralelo a pues comparten el mismo vector normal Además, como Finalmente, sustituyendo el valor de a, se tiene que:

b) Como la recta r debe ser perpendicular al plano entonces el vector dirección de la recta r es: Entonces, unas ecuaciones paramétricas de la recta r que tiene como vector director y pasa por el punto P son:

con

Universidad de Castilla-La ManchaPruebas de Acceso a Enseñanzas Universitarias Oficiales de Grado

Bachillerato L.O.G.S.E

Materia: MATEMÁTICAS II (SEPTIEMBRE 2010)Instrucciones: El alumno deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Los ejercicios deben redactarse con claridad y lo más detalladamente posible. Puedes usar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Definición de derivada de una función en un punto.

b) Dada la función determina los parámetros

para que sea una función continua en y además sea continua y derivable en

2A. a) Determina el dominio de la función

b) Calcula la integral definida

3A. Dadas las matrices y se pide:

a) ¿Para qué valores existe la matriz inversa de M?

b) Para resuelve, si es posible, la ecuación donde X es una matriz cuadrada de orden 3.

4A. Dado el punto y la recta se pide:

a) Calcula la distancia desde el punto a la recta r. b) Halla unas ecuaciones paramétricas de una recta s que pase por el punto P y corte perpendicularmente a la recta r.

PROPUESTA B

1B. Dada la función definida por se pide:

a) Halla su expresión polinómica simplificada calculando el determinante.

b) Calcula las coordenadas de su punto de inflexión y los intervalos en donde sea cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo

2B. a) Enuncia la fórmula de integración por partes.

b) Calcula la integral indefinida Nota: Lnx representa el logaritmo neperiano de x.

3B. a) Clasifica en función del parámetro el sistema de ecuaciones

b) Resuélvelo, si es posible, para

4B. Consideremos los planos y la recta

a) Determina los parámetros para que los planos y sean paralelos.

b) Para los valores a y b obtenidos, estudia la posición relativa del plano y la recta r en función de

Resolución de la prueba

PROPUESTA A

1A. a) La derivada de la función en un punto de abscisa a, se denota por y

es el valor de este límite, si existe y es finito:

Geométricamente, la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto

b) La función es continua y derivable en pues se trata de una función definida a trozos, cuyos tres trozos son funciones continuas y derivables en sus respectivos dominios, salvo para y que estudiamos a continuación.

Primero. Estudiamos la continuidad de la función en

i)

ii)

Entonces existe el si se cumple que

iii) es continua en si se verifica (1)

Segundo. Estudiamos la continuidad de la función en

i)

ii) y

Entonces existe el si se cumple que

iii) es continua en si se verifica que (2)

Tercero. Estudiamos la derivabilidad de la función en

Sustituyendo en (2):

Por último, aplicando (1) se tiene que:

2A. a) La función existe para los valores de x que cumplan:

Por tanto

b)

3A. a) La matriz inversa de M existe si

Por tanto, para y existe

b) Si aplicando el apartado a) se tiene que existe Despejando en la

ecuación

Calculamos primero la matriz inversa de

4A. a) Calculamos un vector director, de la recta r. Para ello debemos hallar los vectores normales, y de los dos planos que determinan dicha recta r.

Después se calcula el producto vectorial de dichos vectores, teniéndose así el vector director buscado.

Sea A un punto cualquiera de la recta r, por ejemplo, La distancia del punto P a la recta r se calcula aplicando la fórmula:

y

b) La recta s es la intersección de los planos y es perpendicular a r y contiene a P. contiene a r y a P.

¿ ? El vector normal del plano coincide con el vector director de la recta r, entonces Sea un punto cualquiera de

¿ ? Como contiene a r, entonces es un vector generador del plano Consideramos un punto cualquiera de r, por ejemplo que es, por tanto un punto del plano Como Entonces el vector

es otro vector generador del plano Luego la ecuación general del plano es:

Por tanto, la ecuación general de la recta es

Para calcular unas ecuaciones paramétricas, necesitamos el vector director de

la recta s:

Sea unas ecuaciones paramétricas son con

PROPUESTA B

1B. a)

b) Primero. Hallamos las dos primeras derivadas de la función.

y

Segundo. Resolvemos la ecuación para determinar los posibles puntos de inflexión.

Tercero. Calculamos la derivada tercera de y comprobamos si es o no distinta de cero en el punto hallado.

es la abscisa del punto de inflexión de la función. Su ordenada es Por tanto el punto de inflexión será

Cuarto. Determinamos los intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo.

La recta real queda dividida en dos intervalos y Tomamos un punto de cada intervalo y vemos el signo de en dichos puntos.

La función es cóncava hacia abajo en es cóncava hacia arriba en

2B. a) La integración por partes se emplea para transformar integrales del tipo donde la función es fácil de integrar, en otra expresión en la que aparece una nueva integral más sencilla de resolver.

La fórmula de integración por partes es:

b)

3B. a) Sean las matrices de los coeficientes y la matriz ampliada

del sistema. Hallamos sus rangos:

i) Si El sistema es compatible determinado.

ii) Si al ser Sustituyendo el valor de

se tiene que veamos cual es su rango:

Por tanto, El sistema es incompatible.

b) Si según la clasificación del apartado a) se tiene que el sistema es compatible determinado. Se resuelve aplicando la Regla de Cramer:

4B. a) Si se cumple y son dos planos paralelos. Por tanto,

y

b) Si y y

El vector normal del plano es El vector director de la recta r, es

Calculamos su producto escalar: y r´ son paralelos o la recta r´ está contenida en el plano

Sea Se concluye:

Si La recta r´ está contenida en el plano Si y r´ son paralelos.