fichas analisis matematico ii versionbeta

Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Introducción a la integral definida

Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito - EcuadorAño: 2015

Tema: Símbolo de sumatoria

∑k=1

n

ak=a1+a2+…+ak−1+ak+ak+1+…+an−1+an

Definición:

1. ∑k=1

1

ak=1

2. ∑k=1

n+1

ak=∑k=1

n

ak+an+1

Observaciones:

1. ∑k=1

n

ak=∑k=1

n−1

ak+an

2. ∑k=1

n

ak=∑k=1

j

ak+ ∑k= j+1

n

ak con1< j<n

3. ∑k=1

n

ak=∑k= j

n+ j

ak− j

1ª Edición Ficha No. 1



Tema: Símbolo de sumatoria

Identidades:

1. ∑k=1

n

1=n

2. ∑k=1

n

C=Cn

3. ∑k=1

n

k=n(n+1)2

4. ∑k=1

n

k2=n (n+1 )(2n+1)6

=n3

3+ n2

2+ n6

5. ∑k=1

n

k3=( n (n+1 )2 )

2

=n4

4+ n3

2+ n2

4

6. ∑k=1

n

k4=n (n+1 ) (2n+1 )(3n2+3n−1)30

=n5

5+ n4

2+ n3

3− n30




Tema: Áreas bajo la curva

F={(x , y )∈R2/a≤x ≤b y 0≤ y≤ f (x)}F={lasrectas {x=ax=by=0

curva y=f (x )

Partición:P[a ; b]= {X0 , X1, X2 , ..., X k , ... , Xn } tal que: a=X0<X1<X2<... ,¿X k< ,... , Xn=b que subdivide al intervalo [a ;b ] en n subintervalos de la forma [X k−1 ; Xk ] con k=1 ,n de longitud 1ª Edición Ficha No. 3



Tema: Áreas bajo la curva

a (F)≈∑k=1

n

a (Rk )

a (F)≈∑k=1

n

f (X k¿ )∆ Xk

n→∞∆ x→0

⇒∑k=1

n

f (X k¿ )∆ Xk→a (F)

a (F )=limn→∞

∑k=1

n

f (Xk¿ )∆ X k

‖P‖=max ⟨∆ xk ,∀ k=1 , n ⟩

Partición regular∆ xk son iguales ∀ k=1, n

∆ x1=∆x2=…=∆ xk=∆ xn=∆ x=b−an

a (F )=limn→∞

∑k=1

n

f (Xk¿ )∆ x


a (F )≈ a (R1 )+a (R2 )+...+a (R k )+...+a (Rn )

Autor: Lara Diaz davidUnidad: Introducción a la integral definida


Tema: Áreas bajo la curva1. Extremo izquierdo

xk¿ es el extremo izquierdo del [ xk−1 , xk ]∀ k=1 , n

xk¿=xk−1=a+(k−1 ) b−a

n y ∆ x=b−an

a (F)≈∑k=1

n

f (a+(k−1) b−an ) b−a

n

a (F )=limn→∞

b−an ∑

k=1

n

f (a+(k−1) b−an )

2. Extremo derechoxk

¿ es el extremo derecho del [ xk−1 , xk ]∀ k=1 , n

xk¿=xk=a+k b−a

n y ∆ x=b−an

a (F)≈∑k=1

n

f (a+k b−an ) b−a

n

a (F )=limn→∞

b−an ∑

k=1

n

f (a+k b−an )

3. Punto medioxk

¿ es el punto medio de [ xk−1 , xk ]∀ k=1 , n

xk¿=x=

xk−1+ xk

2=a+(k−12 ) b−a

n y ∆ x=b−a

n1ª Edición Ficha No. 5



Tema: Integral definida

Definición: Sea y=f(x) definida en [a;b] la integral de esta función de a , b que se nota∫a

b

f ( x )dx esta

dada por ∫a

b

f (x )dx= limn→∞

∑k=1

n

f (xk¿ )∆ xk . Si el límite existe, en tal

caso se dice que la función f es integrable.Observación:

Si f(x) ≥ 0 ∀ xϵ [a ;b ]entonces ∫a

b

f ( x )dx=a(F)

Sea la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se

escribe: ∫a

b

f (x )dx

a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración respectivamente y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx indica x es la variable de integración.

Teorema: f es acotada en [a;b] si ∃M>0 /|f (x )|≤MTeorema: Si f es acotada en [a;b] entonces es integrable en [a;b]Observación:

f es continua en x0 si: 1)∃ f (x0) 1ª Edición Ficha No. 6




Identidades

1. ∫a

b

k dx=K (b−a)

2. ∫a

b

x dx=b2−a2

2

3. ∫a

b

x2dx=b3−a3

3

4. ∫a

b

x3dx=b4−a4

4

5. ∫a

b

cos (x )dx=sen (b)

Propiedades:

1. ∫a

b

( f ( x )+g (x))dx=¿∫a

b

( f ( x ) )dx+∫a

b

(g ( x ) )dx¿

2. ∫a

b

cf (x)dx=¿ c∫a

b

f (x)dx¿

3. ∫a

b

f (x )dx=∫a

c

f (x )dx+∫c

b

f (x)dx a<c<b1ª Edición Ficha No. 7




8. Si m≤f (x )≤M ∀ xϵ [a ;b ] entonces

m(b−a)≤∫a

b

f (x)dx ≤M (b−a)

9. |∫a

b

f (x)dx|≤∫a

b

|f (x )|dx

Teorema: Sea [ x ]=n si solamente si n≤ x≤n+1


Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Teoremas fundamentales del cálculo


Tema: Integral indefinida

Primer teorema fundamental del cálculo: Sea f continua en [a ;b ] y sea F=∫a

x

f (t)dt entonces

F ' ( x )=f (x )

Corolario: F=∫a

h (x)

f (t)dt entonces F ' ( x )=f (h ( x ) )∗h ' ( x )

Corolario:

F=∫g (x)

h (x)

f (t )dt entoncesF ' ( x )=f (h ( x ) )∗h ' ( x )−f (g ( x ) )∗g ' ( x )

Observación: ∫a

x

f (t)dt=∫ f (t)dt

Definición: F=∫ f (t)dt entonces F ' ( x )=f ( x ) , F es una primitiva o antiderivada de f si F ' ( x )=f (x )Tabla de integrales indefinidas

F F '=¿fx p+1

p+1 + C x p

−cos (x ) + C sen(x )1ª Edición Ficha No. 9

Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Teoremas fundamentales del cálculo


Tema: Integral indefinida

Segundo teorema fundamental del cálculo:

Sea f continua en [a ;b ] entonces ∫a

b

f (t)dt=F (b )−F (a), donde F es cualquier primitiva o

antiderivada de f, esto es F '=f

Notación: ∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )=F (x) ]ba

Observaciones: f es impar⟺ f (−x )=− f (x) f es par⟺ f (− x )=f ( x)

∫−a

a

f (x ) dx=0 , si f es impar

∫−a

a

f (x )dx=2∫0

a

f ( x )dx , si f es par

otrafomade ver PTFC es ddx∫a

x

f (t )dt=f ( x )


Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Aplicación al cálculo de áreas y volúmenes


Tema: Método de integraciónMétodo de sustituciónSi u=g (x) es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces

∫ f (g (x ) ) g ( x )dx=∫ f (u)du=F (u )+CObservación:

u=g (x ) , du=g ' ( x )dx

∫a

b

f (g (x ) ) g ' ( x )dx=∫g (a )

g (b )

f (u )du

Método de integración por partesObtenemos una ecuación de la regla de derivación producto de dos funciones, lo integramos y reordenamos

∫ f ( x ) g ' ( x )dx=f ( x ) g ( x )−∫ g ( x ) f ' ( x )dxu=f ( x )⇒ du=f ' (x )dv=g ' (x)⇒ v=g(x )

⇒∫ f (x ) g ' ( x )dx=∫udv=uv−∫ vdu

Observación:1. Encontrar dv se pueda integrar fácilmente para dar v2. Elegir a los polinomios como u.3. Al integrar se puede dar con la misma función tal que k∫ f ( x ) g (x ) dx , k≠14. Observar los patrones y elegir a u la función que más se repite.5. El objetivo es intentar obtener una integral más simple o fácil.




Tema: Área entre dos curvas

R = rectas x=a

x=b

curvas y=f (x)y=g(x )

R=⟨ (x , y ) ϵ R2 ∕ a≤ x≤b y f (x )≤ y ≤g (x)⟩

Corolario : El area R de la region limitada por las curvas y=f(x), y=g(x) y las rectas x=a, x=b, dode f y g son continuas y f(x) ≤ g(x)para toda x en [a,b] es

R=∫a

b

[g ( x )− f (x )]dx1ª Edición Ficha No. 12



Tema: Área entre dos curvas

Sea el AreaTotal=S1+S2+…………….+Sn

Corolario: El área entre las curvas y= f(x) y y= g(x) y entre x= a y x= b es

A=∫a

b

|f ( x )−g( x)|dx

Sea




Tema: Plano polar




Tema: Coordenadas Polares

x=rcosθy=rsenθr2=x2+ y2

tgθ= yx

Curvas polaresLa grafica de una ecuación polar r=f (θ ) , o de manera más general F (r , θ )=0, consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r , θ ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.Observación:

Un punto en coordenadas polares se puede representar de diferentes maneras por lo que (r , θ )= (r ,θ+2kπ ) .

Trabajaremos con: r ≥0 y0≤θ≤2 π.




Tema: Áreas en coordenadas polares




Tema: Áreas en coordenadas polares

n→∞⇒∑i=1

n 12 [ f (θ i

¿)]∆θ

Observación: En esta sección se desarrolla la fórmula para el área de una

región cuyo límite está dado por una ecuación polar. Se necesita

usar la fórmula para el área de un sector de un círculo C=12r2θ

donde, como en la figura, r es el radio y θ es la medida de radianes del Angulo central. La fórmula se deduce del hecho de que el área de un sector es proporcional a su Angulo central:

C=( θ2 π )π r2=12 r 2θ .

El área entre dos curvas polares limitado por a y b es ∫a

b

|f 2 (θ )−g2(θ)|dθ .




Tema: Volumen de un sólido, método del disco.

Sea S un sólido que esta entre x=a y x=b. Si el área de la sección transversal de S en el plano P x, a través de x y perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el volumen de

S es V (S)=limn→∞

∑i=1

n

A (x i¿ )∆ x=∫

a

b

A (x )dx

A ( x )=π r2=π f 2(x )

V (S)=∫a

b

π f 2(x )dx

Observación: El volumen del solido obtenido al girar la región alrededor de la recta y=k es

V (S )=π∫a

b

(f ( x )−k )2dx1ª Edición Ficha No. 18



Tema: Volumen de un sólido, método del disco. Sea f y g integrables en un intervalo [a ,b ] y que satisfacen f ≤ g en [a ,b ]. La región entre sus

dos graficas gira alrededor del eje x, engendra un sólido de revolución tal que

V (S )=π∫a

b

(g2(x)−f 2(x ))dx y también si el eje es k cumple

V (S )=π∫a

b

[ (g ( x )−k )2−( f ( x )−k )2 ]dx.

El volumen del solido generado al rotar la región definida f (y) y g

(y) con respecto al eje y es

V (S )=π∫a

b

(g2( y )− f 2( y)) dx y también si el eje (vertical) es k

cumple V (S )=π∫a

b

[ (g ( y )−k )2−( f ( y )−k )2 ]dx .

En general el volumen generado por la región de dos funciones de pende de los intervalos en que f y g sean mayor o menor que el otro podemos abstraerlo como radio menor y radio mayor tal que A ( x )=π (radioMayor )2−π (radioMenor )2




Tema: Volumen de un sólido, método de la corteza.

El volumen del solido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y la región bajo la curva y = f(x)

desde a hasta b, es V=∫a

b

2 πxf ( x )dx donde0≤a<b

Observación: Una forma de abstraerlo es viéndolo así




Tema: Volumen de un sólido, método de la corteza. Al calcular el volumen del solido obtenido al hacer girar la región entre f y g alrededor del

eje y obtenemosV=2π∫a

b

x ( f ( x )−g(x ))con f ≥gen [a ,b ]

Al calcular el volumen del solido obtenido al hacer girar la región entre f y g alrededor del eje k(vertical)

obtenemosV=2π∫a

b

[ ( k−x ) [ f ( x )−g(x) ] ]con f ≥ gen [a ,b ] .




Tema: Longitud de curvas planasSea f y f´ continuas en [a ,b ], entonces se define la longitud de arco de curva y=f(x) comprendido entre los puntos A=(a,f(a)) y B=(b,f(b)) como:

AB=∫a

b

√1+[ f ´ (x )]2dx

Observación:

Para la

deducción de la integral que calcula la longitud determinada por una función

, y suponiendo que se quiere aproximar la longitud del arco de curva que va desde un punto a uno. Con este propósito es posible diseñar una serie de triángulos rectángulos cuyas hipotenusas concatenadas "cubran" el arco de curva elegido tal como se ve en la figura.

Con lo cual llegamos a la suma de Riemann para luego obtener la integral mencionada.1ª Edición Ficha No. 22

Autor: Lara Diaz DavidUnidad: Función logaritmo y función exponencial


Tema: Función logaritmo

Sea x>0, el logaritmo natural de x que al notamos L(x) está dada por:L ( x )=∫1

x 1tdt

Interpretación geométrica

a (L )=∫1

x 1tdt=L ( x )≥0 , si x≥1

a (L )=∫1

x 1tdt=−∫

x

1 1tdt=¿L ( x )<0 , si0<x<1¿

Propiedades:1. L(1)=0

2. L ( x )=1x

3. L (a∗b )=L (a )+L(b)4. L (an )=nL(a)

5. L( 1a )=−L(a)1ª Edición Ficha No. 23



Tema: Función logaritmoDefinición: e es el numero tal que L(e)= 1Notaciones de logaritmo naturalL(x) = log x = ln x , con x>0Logaritmo de base positiva con b≠1

log bx=ln ( x )ln (b )

Propiedades:1. log bb=12. log b1=03. log e x=ln (x)4. log b ( x∗y )=logb x+ logb y5. log bx

n=n logb x

6. log b( 1x )=−logb x

7. log b( xy )=log b x− logb y

Observación:

1. Sea L0 ( x )=ln|x|=12ln (x2 )=∫

1

|x|1tdtobtenemos

ddx

L0 (x )=1x , con x≠0




Tema: Función logaritmo2. ∫ lnx dx=xlnx−∫dx=xlnx−x , por integracion por partes dondeu=lnx y dv=dx

3.ddxln|f (x )|= 1

f ( x )f ( x )⇔∫ 1

f ( x )f ( x )=ln|f ( x )|+c

4. ddxlogb f ( x )= d

dx ( logf ( x )logb )= 1

logb1f ( x )

f (x )

5.

∫ logbx dx=∫( logxlogb )dx= 1logb∫ logx dx=¿ 1

logbx (logx−1 )+c=x ( logxlogb

− 1logb )+c=x ( logb x−logb e )+c ¿




Tema: Función inversa

Sea f : A → Bx → y=f (x ) , si f es biyectiva

inyectivasobreyectiva

∃g : A → By → x=f ( y ) entonces g es la

inversa de f o sea que y=f ( x )⇔x=g( y )Observaciones:

f es inyectiva ⇔f (a )=f (b )⇒ a=b f es sobreyectiva ⇔∀ yϵB ,∃ x0ϵA / f (x0 )= y0o Rec ( f )=B g se nota como f−1

Para hacer inyectiva una función restringe el dominio o el conjunto de partida. Para hacer sobreyectiva una función restringe conjunto de llegada. f ( f −1 ( y ) )=f ( x )= y=I B f−1 ( f ( x ) )=f ( y )=x=I A




Tema: Función exponencialLa función exponencial de x que se nota y=E (x) se define función inversa de la función logarítmica o sea y= E(x) ⇔ x = L(y)

L :R+¿¿→ Ry ¿

x=L( y )¿⇒L (E ( x ) )=L ( y )= x=IR

L :R → R+¿¿ x → y=E(x)⇒E (L ( x ) )=E ( x )= y=I R+¿ ¿

Notación: E(x ) =ex

Teoremas:1. E(0)=1 , con notación E ( x )=ex es e0=1

E(1)=e , con notación E ( x )=ex es e1=e2. E(a+b)=E (a)+E(b) , con notación E ( x )=ex es ea+b=ea eb

3. E (x)=E (x) , con notación E ( x )=ex es (e¿¿ x) '=ex¿Función exponencial ax con a>0

ax=e xlna

Propiedades:1. a0= 1 y a1=a2. ax+ y=axa y



Editorial: Análisis IICiudad, País: Quito – EcuadorAño: 2015

Tema: Función exponencial

3. a−x= 1ax

4. ax− y= ax

a y

5. axy=(ax) y

Derivadas y integrales

1.ddx

ex=ex⇔∫ ex dx=ex+c

2.ddx

ef (x)=e f (x) f '(x )⇔∫ e f (x) f '(x )dx=e f (x)+c

3.ddx

ax=ax lna⇔∫ax dx= 1lna

ax+c

Observación: Sea s>0entonces s=e lns=ln es

E(−x)=1/E( x) ⇔l( 1E ( x ) )=−x

Sea f y f ’ continuas entonces f ’ x=1

[ f−1 ( y ) ]'1ª Edición Ficha No. 28

Autor: Lara Diaz DavidUnidad:


Tema:




Tema:




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fichas analisis matematico ii versionbeta

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