Fenómenos de TransporteFenómenos de TransporteIngeniería Civil en MetalurgiaIngeniería Civil en Metalurgia

Ing. Jorge Manríquez, M.Cs.Ing. Jorge Manríquez, M.Cs.

Transporte de Momemtum y Flujo Transporte de Momemtum y Flujo Laminar de Fluidos NewtonianosLaminar de Fluidos Newtonianos

• Consideraciones:Consideraciones:• La geometría del ducto o conducto que La geometría del ducto o conducto que

contiene el fluido (p. e., longitud, diámetro, e contiene el fluido (p. e., longitud, diámetro, e inclinación de la tubería o tubo).inclinación de la tubería o tubo).

• La magnitud de la F que causa el flujo.La magnitud de la F que causa el flujo.• Las propiedades físicas del fluido.Las propiedades físicas del fluido.

• Propiedades ImportantesPropiedades Importantes• densidad densidad • ViscosidadViscosidad• melaza más densa y mas viscosa que aguamelaza más densa y mas viscosa que agua

Naturaleza del Flujo de Fluido Naturaleza del Flujo de Fluido • f = magnitud de la fuerza aplicada responsable del flujof = magnitud de la fuerza aplicada responsable del flujo• a su vez F tiene una influencia directa sobre v del flujoa su vez F tiene una influencia directa sobre v del flujo• Para flujo de fluido de Para flujo de fluido de y y , y conducto de geometría dadas, , y conducto de geometría dadas,

existe una vexiste una vcrcr • bajo vbajo vcrcr el flujo es laminar y sobre v el flujo es laminar y sobre vcrcr el flujo es turbulento el flujo es turbulento

• a v bajas, flujo se considera como un movimiento unidireccional a v bajas, flujo se considera como un movimiento unidireccional de laminillas de fluido deslizándose unas sobre otras, sin un de laminillas de fluido deslizándose unas sobre otras, sin un mezclado macroscópico o ínter mezclándose el fluido en la mezclado macroscópico o ínter mezclándose el fluido en la dirección radial. dirección radial.

• Si v > vSi v > vcrcr, entonces el flujo de tinta que emerge dentro del fluido , entonces el flujo de tinta que emerge dentro del fluido rápidamente quebrado y se mezcla con el fluido. mezclado rápidamente quebrado y se mezcla con el fluido. mezclado macroscopico es causado por la turbulenciamacroscopico es causado por la turbulencia

Criterio para la Transición de Criterio para la Transición de Flujo Laminar a TurbulentoFlujo Laminar a Turbulento

• Para flujo en un tubo de sección transversal circular, Para flujo en un tubo de sección transversal circular, el largo característico es el diámetro del tubo, D.el largo característico es el diámetro del tubo, D.

• La velocidad promedio del fluido, v, se mide como la La velocidad promedio del fluido, v, se mide como la velocidad de flujo volumétrica dividido por el área de velocidad de flujo volumétrica dividido por el área de sección transversal de la tuberíasección transversal de la tubería

y η son la densidad y viscosidad del fluidoy η son la densidad y viscosidad del fluido• La cantidad adimensional dada por la Ec. se La cantidad adimensional dada por la Ec. se

denomina número de Reynolds, Re,denomina número de Reynolds, Re,

fluido del viscosidad

fluido del densidadfluido del promedio velocidad ticocaracteris largo

fluido del viscosidadfluido del densidadfluido del promedio velocidad ticocaracteris largo

η

DvρRe

η

DvρRe

Ley de Newton de la ViscosidadLey de Newton de la Viscosidad• Considérese un fluido esta contenido entre dos placas Considérese un fluido esta contenido entre dos placas

horizontales separadas por una distancia vertical Yhorizontales separadas por una distancia vertical Y• Si la placa inferior se mantiene estacionaria y se aplica una F Si la placa inferior se mantiene estacionaria y se aplica una F

de magnitud constante a la placa superior en la dirección x, de magnitud constante a la placa superior en la dirección x, esta última comienza a acelerarse en la dirección x.esta última comienza a acelerarse en la dirección x.

• El movimiento de la placa superior establece un esfuerzo de El movimiento de la placa superior establece un esfuerzo de cizalle entre la placa y el fluido, el cual se opone al movimiento cizalle entre la placa y el fluido, el cual se opone al movimiento de la placade la placa

• se alcanza un E.E. cuando la fuerza F aplicada es balanceada se alcanza un E.E. cuando la fuerza F aplicada es balanceada por el por el , estado al cual la placa tiene una V cte., estado al cual la placa tiene una V cte.

• En E.E, Newton encontró que la V es proporcional a la fuerza F En E.E, Newton encontró que la V es proporcional a la fuerza F aplicada y al espacio Y, y es inversamente proporcional al área aplicada y al espacio Y, y es inversamente proporcional al área superficial de la placa, A:superficial de la placa, A:

Ley de Newton de la Viscosidad (2)Ley de Newton de la Viscosidad (2)

• No ocurre deslizamiento en la interfase entre un fluido y la No ocurre deslizamiento en la interfase entre un fluido y la superficie de un sólido,superficie de un sólido,

• cuando la placa superior se mueve a una velocidad V, la capa cuando la placa superior se mueve a una velocidad V, la capa de fluido en contacto con ella también se mueve a una de fluido en contacto con ella también se mueve a una velocidad Vvelocidad V

• La capa de fluido en contacto con la placa inferior esta La capa de fluido en contacto con la placa inferior esta estacionariaestacionaria

• El fenómeno de no deslizamiento causa el desarrollo de un El fenómeno de no deslizamiento causa el desarrollo de un gradiente de velocidad V/Y en el fluido en la dirección y. En lagradiente de velocidad V/Y en el fluido en la dirección y. En la

• en forma diferencial V/Y es dven forma diferencial V/Y es dvxx/dy/dy• vvxx es la velocidad de la capa de liquido en la dirección x es la velocidad de la capa de liquido en la dirección x• F/A es el esfuerzo de cizalle (F/A es el esfuerzo de cizalle () en la interfase entre la placa ) en la interfase entre la placa

superior y el fluido. superior y el fluido.

A

FYVα

Y

Vα

A

F

Esfuerzo de CizalleEsfuerzo de Cizalle • el esfuerzo de cizalle es proporcional al gradiente de el esfuerzo de cizalle es proporcional al gradiente de

velocidad en el fluidovelocidad en el fluido

• La constante de proporcionalidad La constante de proporcionalidad , se define como la , se define como la viscosidad del fluidoviscosidad del fluido

• la Ec. es la ley de Newton de la viscosidad.la Ec. es la ley de Newton de la viscosidad.• Los fluidos que obedecen a la ley de Newton se denominan Los fluidos que obedecen a la ley de Newton se denominan

fluidos Newtonianosfluidos Newtonianos• Los gases, líquidos simples orgánicos y acuosos, y líquidos Los gases, líquidos simples orgánicos y acuosos, y líquidos

metálicos presentan un comportamiento newtoniano, y metálicos presentan un comportamiento newtoniano, y muchos líquidos complejos tales como soluciones poliméricas muchos líquidos complejos tales como soluciones poliméricas y pastas son no- Newtonianos. y pastas son no- Newtonianos.

y

v

d

dτα x

y

v

d

d-ητ x

Variación de la velocidad local de Variación de la velocidad local de flujo con la posición en el fluido flujo con la posición en el fluido

• Gradiente de velocidad es cte. a lo largo del fluido, V/YGradiente de velocidad es cte. a lo largo del fluido, V/Y• Por lo tanto, el esfuerzo de cizalle, también es constantePor lo tanto, el esfuerzo de cizalle, también es constante• Debido al no deslizamiento, la “capa” de fluido, de espesor δ, Debido al no deslizamiento, la “capa” de fluido, de espesor δ,

en contacto con la placa estacionaria inferior no se mueve.en contacto con la placa estacionaria inferior no se mueve.• s/e, la siguiente capa de fluido también de espesor δ, se s/e, la siguiente capa de fluido también de espesor δ, se

mueve con una velocidad Vδ/Y, y esta velocidad causa el mueve con una velocidad Vδ/Y, y esta velocidad causa el esfuerzo de cizalle entre las dos capas de fluido.esfuerzo de cizalle entre las dos capas de fluido.

• Similarmente, la siguiente capa de fluido se mueve a v = Similarmente, la siguiente capa de fluido se mueve a v = 2Vδ/Y, produce un esfuerzo de cizalle entre esta capa y la 2Vδ/Y, produce un esfuerzo de cizalle entre esta capa y la capa que se mueve bajo ellacapa que se mueve bajo ella

Transporte de MomentumTransporte de Momentum• El El esfuerzo de cizalle entre las dos capas de fluido esfuerzo de cizalle entre las dos capas de fluido

manifiesta una tendencia a disminuir la velocidad de manifiesta una tendencia a disminuir la velocidad de la capa que se mueve mas rápido y aumentar la la capa que se mueve mas rápido y aumentar la velocidad de la capa que se mueve mas lentovelocidad de la capa que se mueve mas lento. .

• La diferencia de velocidad entre las dos capas solo La diferencia de velocidad entre las dos capas solo es sostenido por F aplicada a la placa superior; si F es sostenido por F aplicada a la placa superior; si F es removida, es removida, entre las capas de fluido causaría el entre las capas de fluido causaría el cese del movimiento de la placa superior.cese del movimiento de la placa superior.

• La existencia de una diferencia en la velocidad entre La existencia de una diferencia en la velocidad entre las dos capas da lugar a un transporte de momentum las dos capas da lugar a un transporte de momentum desde la capa que se mueve más rápido a la capa desde la capa que se mueve más rápido a la capa que se mueve más lento, y viceversa que se mueve más lento, y viceversa

Equivalencia entre esfuerzo de cizalle y Equivalencia entre esfuerzo de cizalle y velocidad de transporte de momemtumvelocidad de transporte de momemtum

área

1

tiempo

longitudmasa

área

fuerzacizalle de esfuerzo

2

área

1

tiempo

1

tiempo

longitudmasa

área

fuerzacizalle de esfuerzo

áreatiempo

velocidadmasa

área

fuerzacizalle de esfuerzo

Esfuerzo de cizalle = transporte de momemtum por unidad de tiempo por unidad de área

Esfuerzo de cizalle = velocidad de transporte de momemtum por unidad de área

SignoSigno• Gradiente de velocidad, dvGradiente de velocidad, dvxx/dy, es positivo/dy, es positivo• La dirección del transporte de momemtum es desde la región La dirección del transporte de momemtum es desde la región

de mayor vde mayor vxx a la región de menor v a la región de menor vxx

• La velocidad de transporte de momemtum es una cantidad La velocidad de transporte de momemtum es una cantidad negativanegativa

• Momemtum es transportado en un gradiente de velocidad Momemtum es transportado en un gradiente de velocidad descendentedescendente

• El signo negativo surge del hecho de que para el flujo de El signo negativo surge del hecho de que para el flujo de momemtum en la dirección y, el gradiente de velocidad en la momemtum en la dirección y, el gradiente de velocidad en la dirección y debe ser negativodirección y debe ser negativo

• Entonces el gradiente de velocidad se puede considerar Entonces el gradiente de velocidad se puede considerar como la fuerza motriz del transporte de momemtum.como la fuerza motriz del transporte de momemtum.

• Como la velocidad de transporte de momemtum en la Como la velocidad de transporte de momemtum en la dirección dirección yy debido al movimiento de fluido en la dirección debido al movimiento de fluido en la dirección xx es es igual al esfuerzo de cizalle, este ultimo, por convención se igual al esfuerzo de cizalle, este ultimo, por convención se denota por denota por yxyx

Flujo de fluido en la dirección xFlujo de fluido en la dirección x

• En cgs, En cgs, yxyx tiene unidades de dinas cm tiene unidades de dinas cm-2-2 = g cm = g cm-1-1 s s-2-2..• El gradiente de velocidad tiene unidades (cm sEl gradiente de velocidad tiene unidades (cm s-1-1)(cm)(cm-1-1) = s) = s-1-1

• Por lo tanto Por lo tanto tiene unidades de g cm tiene unidades de g cm-1-1 s s-1-1 = Poise = Poise• 1 cP = 101 cP = 10-2-2PP agua a 20.22 °C es de 1 cPagua a 20.22 °C es de 1 cP aceite de motor típico a 20°C es 8 P. aceite de motor típico a 20°C es 8 P.

y

v

d

d-ητ x

yx

y

v

d

d-ητ x

yx

sm

kg1.0

m

cm10

g

kg10

scm

g11P 23

sm

kg1.0

m

cm10

g

kg10

scm

g11P 23

s Pasm

Ns

s

m

m

kg

sm

kg222

s Pasm

Ns

s

m

m

kg

sm

kg222

Conservación de Flujo de Conservación de Flujo de Momemtum en Estado EstacionarioMomemtum en Estado Estacionario• balance de momemtum sobre un V.C. a través balance de momemtum sobre un V.C. a través

del cual fluye el fluidodel cual fluye el fluido• se consideran dos tipos de transporte de se consideran dos tipos de transporte de

momemtum:momemtum:1.1. Transporte de momemtum debido a la existencia Transporte de momemtum debido a la existencia

de un gradiente de velocidad en una dirección de un gradiente de velocidad en una dirección normal a la dirección del flujo de fluido normal a la dirección del flujo de fluido (denominado transporte de momemtum viscoso).(denominado transporte de momemtum viscoso).

2.2. Transporte de momemtum debido al movimiento Transporte de momemtum debido al movimiento del fluido en si mismo en la dirección del flujo del fluido en si mismo en la dirección del flujo (denominado transporte de momemtum (denominado transporte de momemtum convectivo). convectivo).

Flujo de CouetteFlujo de Couette

Volumen de Control

Dirección de MomemtumsDirección de Momemtums• Flujo de Couette, en VC, dim. Flujo de Couette, en VC, dim. x, x, y, y y, y zz

• balance de momemtum (o fuerzas) en VC, a balance de momemtum (o fuerzas) en VC, a través de la cual ocurre flujo de fluido en través de la cual ocurre flujo de fluido en estado estacionario, es:estado estacionario, es:

Unidades del Transporte de Unidades del Transporte de Momemtum ConvectivoMomemtum Convectivo

• A es el área de sección transversal a través A es el área de sección transversal a través de la cual fluye el fluido de densidad de la cual fluye el fluido de densidad ..

s

1

s

mkg

tiempo

velocidadmasa

s

mm

s

m

m

kg

tiempo

velocidadmasa 23

d)v(velocidaA(area)d)v(velocida)ρ(densidadtiempo

velocidadmasa

Aρtiempo

velocidadmasa 2v

Fuerza que actúa sobre el Fluido Fuerza que actúa sobre el Fluido

• La única fuerza que actúa sobre el La única fuerza que actúa sobre el fluido en el volumen de control es la fluido en el volumen de control es la fuerza gravitacional sobre la masa de fuerza gravitacional sobre la masa de fluidofluido

• Sin embargo, como esta fuerza esta Sin embargo, como esta fuerza esta actuando en la dirección y, la cual es actuando en la dirección y, la cual es normal a la dirección del flujo de fluido, normal a la dirección del flujo de fluido, no influencia el flujo de fluido.no influencia el flujo de fluido.

Balance de MomemtumBalance de Momemtum• La velocidad de transporte de momemtum viscoso La velocidad de transporte de momemtum viscoso

tiene las unidades de (esfuerzo de cizalle) tiene las unidades de (esfuerzo de cizalle) (área). (área).

• Entonces el balance de momemtum esEntonces el balance de momemtum es

0

viscoso

momemtum sale

cual la a velocidad

viscoso

momemtum entra

cual la a velocidad

convectivo

momemtum sale

cual la a velocidad

convectivo

momemtum entra

cual la a velocidad

0)ττ(ρρΔyyy

yxyyyxxxx

2

xx

2

zxzyvv xx

• Para el flujo en E.E, vPara el flujo en E.E, vxx = f( = f(yy) )

• es decir, ves decir, vxx f( f(xx,t) ,t) v vxxx=xx=x = v = vxxx=x+x=x+xx

momemtum convectivo entra y sale del momemtum convectivo entra y sale del VC a la misma velocidad, así:VC a la misma velocidad, así:

0)ττ(Δyyy

yxyyyx

zx0

ττΔyyy

yxyyyx

y

0d

dτ yx y

yx = cte = c1 1x

yx cd

d-ητ

y

v

η

c

d

d 1x y

v2

1x c

η

c yv

Condiciones de BordeCondiciones de Borde

• En y = 0, En y = 0, vvxx = 0 = 0• En y = Y, En y = Y, vvxx = V = V• Esto es, Esto es, vvxx es proporcional al gradiente de es proporcional al gradiente de

velocidad, es independiente de la velocidad, es independiente de la del fluido, del fluido, y es una función lineal de y. y es una función lineal de y.

• Esto es, Esto es, yxyx es independiente de y pero es es independiente de y pero es proporcional a la viscosidad del fluido proporcional a la viscosidad del fluido

yvY

Vx

Y

V-ητ yx

calculo del esfuerzo de cizalle y calculo del esfuerzo de cizalle y distribución de velocidades para un distribución de velocidades para un

balance de momemtumbalance de momemtum1.1. Escriba el balance de momemtum para el volumen de Escriba el balance de momemtum para el volumen de

control y redúzcalo a su ecuación diferencial que control y redúzcalo a su ecuación diferencial que contiene contiene yxyx..

2.2. Integre la ecuación diferencial para obtener Integre la ecuación diferencial para obtener yxyx..3.3. Sustituya la expresión para Sustituya la expresión para yxyx dentro de la ley de dentro de la ley de

Newton de la viscosidad e integre una segunda vez para Newton de la viscosidad e integre una segunda vez para obtener la ecuación para obtener la ecuación para vvxx..

4.4. Evalúe las dos constantes de integración con las dos Evalúe las dos constantes de integración con las dos condiciones de borde.condiciones de borde.

• Otros tipos de flujo de fluido incluyenOtros tipos de flujo de fluido incluyen1.1. Flujo entre dos placas paralelasFlujo entre dos placas paralelas2.2. Flujo libre descendente en un plano inclinado, yFlujo libre descendente en un plano inclinado, y3.3. Flujo en una tubería cilíndrica o tuboFlujo en una tubería cilíndrica o tubo