fenómenos de transporte. capítulo 4 - … · problemas resueltos y propuestos de fenÓmenos de...

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES

DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: ECUACIONES DE VARIACIÓN

PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.

Ing. Willians Medina.

Maturín, septiembre de 2017.

Capítulo 3. Ecuaciones de variación para sistemas isotérmicos.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 2

CONTENIDO.

CONTENIDO. .................................................................................................................. 2 PRESENTACIÓN. ........................................................................................................... 4

ACERCA DEL AUTOR. ................................................................................................. 5 3.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. ................... 7

Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. .... 10 Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .... 11

3.2.- FLUJO ROTACIONAL. .......................................................................................... 12 Ejemplo 3.3. .............................................................................................................. 12

Ejemplo 3.4. .............................................................................................................. 13 Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo

3.5-1 del Bird. Página 3-25. ....................................................................................... 14 Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2

del Bird. Página 3-45. ................................................................................................ 15 Ejemplo 3.7. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción.

Problema 3.A-1 del Bird. Segunda Edición. Página 118. ............................................ 16 Ejemplo 3.8. Pérdidas por fricción en cojinetes. Problema 3A.2 del Bird. Segunda

Edición. Página 119. .................................................................................................. 17 Ejemplo 3.9. .............................................................................................................. 17

Ejemplo 3.10. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Problema 3.H2

del Bird. Página 3-46. ................................................................................................ 18

Ejemplo 3.11. ............................................................................................................ 18 Ejemplo 3.12. ............................................................................................................ 19

Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 19 Ejemplo 3.13. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley

de potencias. .............................................................................................................. 21 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 22

Forma de la superficie de un líquido que gira. .................................................................. 26 Caso a) El fluido no se derrama. ................................................................................... 33

Resumen de ecuaciones. ............................................................................................... 38 Caso a) El fluido no se derrama. ................................................................................... 38

Ejemplo 3.14. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85. ........................... 40 Ejemplo 3.15. Ejemplo 3-13 del Çengel. Segunda Edición. Página 109...................... 40

Ejemplo 3.16. Problema 5.26 del Giles. Tercera Edición. Página 92. ......................... 41 Caso b) El fluido se derrama. ........................................................................................ 41

Resumen de ecuaciones. ............................................................................................... 46 Ejemplo 3.17. Problema 5.23 del Giles. Tercera Edición. Página 91. ......................... 48

Ejemplo 3.18. Problema 5.24 del Giles. Tercera Edición. Página 91. ......................... 48 Ejemplo 3.19. ............................................................................................................ 48

Caso c) El recipiente es cerrado. ................................................................................... 49

El fondo no está descubierto, 0)0( z . El tope no es mojado HRz )( . ..................... 49

El fondo está descubierto 00 z . El tope no es mojado HRz )( : .............................. 50



El fondo no está descubierto 0)0( z . El tope es mojado, HRz )( : .......................... 51

El fondo está descubierto 00 z . El tope es mojado, HRz )( :.................................. 52

Ejemplo 3.20. Problema 5.11 del Giles. Tercera Edición. Página 88. ......................... 54 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 54

Ejemplo 3.21. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44. .................................................. 58 3.3.- FLUJO RADIAL. .................................................................................................... 59

Ejemplo 3.22. ............................................................................................................ 59 Ejemplo 3.23. ............................................................................................................ 59

Ejemplo 3.24. ............................................................................................................ 61 Ejercicios propuestos. ................................................................................................ 61

BIBLIOGRAFÍA. .......................................................................................................... 63

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE TRANSPORTE. ............................................................................. 64 OBRAS DEL MISMO AUTOR..................................................................................... 65



PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes

de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de

algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación

en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los

mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los

núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

58B3CF2D ó 569A409B, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la

Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó

sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas

mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por

LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios

universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó

como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica

Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a

la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de

Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado

Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma

corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte

del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan

Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de

preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando

finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad

de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos

de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006,

forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias,

Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO),

cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial),

Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV

(Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de



Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de

video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y

ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor

de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de

Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica,

Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e

Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su

capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así

como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada

asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de

material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a

través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y

profesores. En la actualidad (2016) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras

escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión

de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página

http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio diario de

3500 visitas, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación

http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



3.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.

Coordenadas rectangulares.

Ecuación de continuidad: 0)()()(

zyx v

zv

yv

xt

Ecuación de movimiento.

En función de .

Componente x .

x

xzxyxxx

z

x

y

x

x

x gzyxx

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

Componente y .

y

yzyyyxy

z

y

y

y

x

yg

zyxy

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

Componente z .

z

zzzyzxzz

zy

zx

z gzyxz

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes.

Componente x .

x

xxxx

z

x

y

x

x

x gz

v

y

v

x

v

x

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Componente y .

y

yyyy

z

y

y

y

x

yg

z

v

y

v

x

v

y

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Componente z .

zzzzz

zz

yz

xz g

z

v

y

v

x

v

z

p

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

2

2

2

2

2

2

Coordenadas cilíndricas.

Ecuación de continuidad: 0)()(1

)(1

zr v

zv

rvr

rrt



Ecuación de movimiento.

En función de .

Componente r .

r

zrr

rrr

zrr

rr g

zrrr

rrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

1)(

12

Componente .

g

zrrr

rr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v z

rz

r

r

1)(

11 2

2

Componente z .

z

zzz

zrz

zzz

rz g

zrr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

1)(

1

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de y constantes.

Componente r .

r

rr

r

r

z

rr

r

r gz

vv

r

v

rvr

rrrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

2

2

22

2

2

221

)(1

Componente .

g

z

vv

r

v

rvr

rrr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v rz

r

r

2

2

22

2

2

21)(

11

Componente z .

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rr

vr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

2

2

2

2

2

11

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares.

x

v

y

v yx

xyyx

x

v

z

v zxxzzx

y

v

z

vzy

yzzy

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas cilíndricas.



r

rr

v

rr

v

rr

1

r

v

z

v zrrzzr

z

zz

v

rz

v 1

Caudal: R

AdvQ

Elemento diferencial de área perpendicular al flujo longitudinal: rddrAd

Elemento diferencial de área perpendicular al flujo rotacional: zdrdAd

El elemento diferencial de área perpendicular al flujo radial: zddrAd



Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4.

Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación

con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación

de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son

constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los

extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están

incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es

independiente de z .

Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

b) Distribución de velocidad.

VER SOLUCIÓN.

x z

)(xv z

)(xyx Dirección de la gravedad

L

http://www.tutoruniversitario.com/producto/ejercicio-1-4/



Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10.

Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante

en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R .

Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento.

b) Distribución de velocidad.

VER SOLUCIÓN.

L

RL

R Lp

0p

,

z

r




3.2.- FLUJO ROTACIONAL.

Ejemplo 3.3.

La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el

agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a

una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido

es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el

fluido permanece en reposo. Determine:

La distribución de velocidades del fluido.

La distribución de presiones del fluido.

La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el

cilindro en la dirección tangencial.

VER SOLUCIÓN.

w

L

R2

r

z




Ejemplo 3.4.

Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito.

a) Halle el perfil de velocidad.

b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte.

c) Calcule la velocidad y esfuerzo para r = 1 m.

d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula?

Datos adicionales: 3kg/m 800 ; Pa.s 01.0 . Desprecie los efectos de borde.

VER SOLUCIÓN.

w

L

R2

r

z




Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo

3.5-1 del Bird. Página 3-25.

Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar

tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros

verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 .

Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales

pueden despreciarse.

VER SOLUCIÓN.

R

Rk

0

,




Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2

del Bird. Página 3-45.

Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior

de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se

determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación

de un par conocido.

Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función

del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos

finales.

VER SOLUCIÓN.

R

Rk

1

,




Ejemplo 3.7. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción.

Problema 3.A-1 del Bird. Segunda Edición. Página 118.

Calcular el momento de torsión en lbf.ft, y la potencia en caballos que se necesitan para

hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la

superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del

lubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lbm/ft3. Despreciar el efecto de la excentricidad.

Datos: in 00.1Rk , in 002.0 .

Sugerencia: rFT ; wTP

VER SOLUCIÓN.

Rk w




Ejemplo 3.8. Pérdidas por fricción en cojinetes. Problema 3A.2 del Bird. Segunda

Edición. Página 119.

Cada una de las dos hélices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor

de 4000 hp. El eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en

una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje

gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de

1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los

ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.9.

Calcule el par torsión (T ) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una

velocidad constante de rpm 30w . El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la

cavidad es de "241 . El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una

viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara

inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la

cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula.

VER SOLUCIÓN.

rpm 30w

2”

"241

ft 2





Ejemplo 3.10. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Problema 3.H2

del Bird. Página 3-46.

Determinar )(rv entre dos cilindros coaxiales de radios R y Rk que giran con

velocidades angulares 0 y 1 , respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido

entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con

flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro

interno.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.11.

Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en dirección

z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano de

densidad y viscosidad . El cilindro interno tiene radio 1R y gira a una velocidad

angular 1w , mientras que el cilindro externo tiene radio 2R y una velocidad angular 2w .

Con los datos anteriores calcule:

a) El perfil de velocidades.

b) El radio donde la velocidad es cero.

c) Los torques 1M y 2M ( 1M aplicado al cilindro interno y 2M al cilindro externo) que

hay que ejercer.

d) Si www 21 y 12 2 RR , calcule la proporción 12 / MM calculadas en c) y d).

Comente.

R

Rk

1

,

0




Nota: Torque = Fuerza Brazo.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.12.

Dos tubos concéntricos ( cm 21 D , cm 102 D ) verticales (muy largos) giran en

direcciones opuestas ( rpm 201 w , rpm 152 w ). Un fluido newtoniano se encuentra entre

estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben

aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos: 3kg/m 1250 ;

Pa.s 0.1 ; Estado estacionario.

VER SOLUCIÓN.

Ejercicios propuestos.

1. Un cuerpo cilíndrico rota a una velocidad angular constante de 15 rad/s. Una película de

aceite de motor separa el cilindro del recipiente que lo contiene. La temperatura promedio

de aceite es de 20ºC y el espesor de la película de 210–3

cm. ¿Qué torque se requiere para

mantener el movimiento del cilindro a la velocidad indicada? Torque = Fuerza Distancia

al eje.

Respuesta: 2

22

1

4

k

LRkw

.

2. Se tienen dos cilindros verticales concéntricos separados por un fluido de propiedades

constantes. Se aplica un par torsor al cilindro interior y por transferencia de cantidad de

2R

1R

1w

,

2w





movimiento gira el cilindro exterior. Determine el perfil de velocidades en función de las

velocidades angulares y los radios.

Si rpm 301 w , cp 492 y 2g/s 5v , cuál es la velocidad del cilindro exterior en rpm?

3. El cojinete de una máquina está formado por un eje cilíndrico giratorio de 0.025 m de

diámetro, alojado en un orificio vertical también cilíndrico de 0.0252 m de diámetro interno

y 0.2 m de longitud. Entre ambos cilindros se dispone de un aceite lubricante de 800 kg/m3

de densidad de 0.1 kg/m.s de viscosidad. Despreciando los efectos finales, determinar:

a) La ecuación de distribución de velocidades.

b) La ecuación de distribución de flux de momento.

c) La ecuación de distribución de presiones.

d) La potencia necesaria para hacer girar el eje del cojinete.

rpm 30w

2”

"241

ft 2



Ejemplo 3.13. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley

de potencias.

Volver a trabajar el Ejemplo 3.5 para un fluido que obedece a la ley de potencias.

Ejemplo 3.5.

Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar

tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros

verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 .

Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales

pueden despreciarse.

VER SOLUCIÓN.

R

Rk

0

,

R

Rk

0

,







6. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se encuentra entre dos cilindros

concéntricos, tal como se muestra en la figura. El cilindro interno posee una velocidad

angular w . Determine el perfil de velocidades y de presiones si se sabe que el esfuerzo

cortante según el modelo de la potencia es:

n

rrd

rvdrm

/

7. Flujo tangencial de un plástico de Bingham en tubos concéntricos.

Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plástico de

Bingham en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el

cilindro exterior gira con una velocidad angular 0 , en función del par T comunicado al

cilindro exterior. Supóngase flujo laminar incompresible y despréciense los efectos finales.

Sugerencia: Para un fluido de Bingham:

r

v

rd

drr

00

R

Rk

0

00 ,,

R

Ra

w

,



Respuesta:

00

0

2

0

2

00

ln14 r

r

r

r

rL

T

r

v

para 0rrRk ,

r

v para

Rrr 0

8. Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo

cegador denominada <<Leer». Se ha construido ya una pequeña planta piloto y se dispone

de muestras de «Leer» para ensayos. En la planta industrial se tendrá que bombear «Leer» a

diversos sitios, y para hacer esto de una manera eficaz se necesita saber sus propiedades de

flujo. Para ello se introduce «Leer» en un viscosímetro de capa rotatoria de las dimensiones

mostradas a continuación:

Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede

N.m 10/ ; y la capa gira a 3.8 r.p.m cuando el par de torsión es N.m 5/ . ¿Qué clase de

fluido es <<Leer>> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo?

9. Encuéntrense las propiedades de flujo de una carga de 5 toneladas de un excelente

chocolate caliente, después de 72 horas de mezclado, a partir de los siguientes datos

obtenidos en un viscosímetro rotatorio de separación estrecha

( mm 251 R , mm 282 R , mm 4.76L )

Par de torsión (N.m) 0.0051 0.0077 0.0158 0.0414

Velocidad de rotación (r.p.m) Empieza justo a girar 0.39 2.62 14.81

9.9 cm

10.1 cm

10 cm



10. Se sumerge un cilindro ( cm 95.0R , cm 4L ) en un recipiente de zumo de naranja

concentrado a 0ºC, se hace girar y se mide el par de torsión, con los siguientes resultados:

Velocidad de rotación (s–1

) 0.1 0.2 0.5 1.0

Factor de torsión (N.m) 61042 61063 610107 610152

Encuéntrense las características de flujo de esta muestra de zumo de naranja.

11. Se tienen dos cilindros concéntricos de longitud L y radios 1R y 2R respectivamente

como puede verse en la figura. El cilindro interior (de radio 1R ) gira a una velocidad

angular w , mientras que el cilindro exterior permanece fijo. Si el espacio entre estos dos

cilindros se llena con un fluido tipo Bingham, determine:

a) El perfil de velocidades (aquí no calcule las constantes de integración, sólo plantee las

ecuaciones necesarias para su solución).

b) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro interno.

c) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro externo y compárelo con el calculado en el

apartado anterior. ¿Qué ocurre? Comente.

12. Se tienen dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura. Entre ambos

cilindros se encuentran dos fluidos dispuestos de forma concéntrica, siendo el fluido más

interno un fluido tipo Bingham ( cp 3 , 3kg/m 800 ; Pa 50000 ) y el más externo

un fluido newtoniano ( Pa.s 5 , 3kg/m 1000 ). Si se aplica al cilindro interno una

fuerza de 2000 N/m para hacerlo rotar y se mantiene el cilindro externo fijo, determine en

estado estacionario:

i. El perfil de velocidades de los dos fluidos.

2R

1R

w

00 ,,



ii. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el fluido newtoniano sobre el cilindro

externo.

iii. La velocidad angular del cilindro interno.

cm 41 R , cm 82 R , cm 123 R .



Forma de la superficie de un líquido que gira.

Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de

radio R , tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una

velocidad angular . El eje del cilindro es vertical, de forma que 0 ggr y gg z .

Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario.

Solución.

Condiciones:

Estado estacionario.

Flujo laminar.

Fluido Newtoniano.

Propiedades del fluido constantes ( , ).

Flujo angular (en dirección ): 0rv , 0v , 0zv .

La velocidad tangencial varía en función de r : )(rvv .

Ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas:

0)()(1

)(1

zr v

zv

rvr

rrtd

d

Fluido incompresible:

0td

d: 0)()(

1)(

1

zr v

zv

rvr

rr

0rv : 0)()(1

zv

zv

r

0z

R

iz

r

z

H



0zv : 0)(1

v

r

0)(

v

es constante: 0

v

0

v

(3.1)

Ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas:

Componente r :

rrr

rr

zrr

rr g

z

vv

r

v

rvr

rrrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

t

v

2

2

22

2

2

221

)(1

Estado estacionario: 0

t

vr

rrr

rr

zrr

r gz

vv

r

v

rvr

rrrr

p

z

vv

r

vv

r

v

r

vv

2

2

22

2

2

221

)(1

0rv : rgv

rr

p

r

v

2

22

De la ecuación de continuidad:

0

v

: rgr

p

r

v

2

0rg : r

p

r

v

2

r

p

r

v

2

(3.2)

Componente :



g

z

vv

r

v

rvr

rrr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv

t

v rz

r

r

2

2

22

2

2

21)(

11


t

v

g

z

vv

r

v

rvr

rrr

p

rz

vv

r

vvv

r

v

r

vv r

z

r

r

2

2

22

2

2

21)(

11

0rv :

g

z

vv

rvr

rrr

p

rz

vv

v

r

vz

2

2

2

2

2

1)(

11

0zv :

g

z

vv

rvr

rrr

p

r

v

r

v

2

2

2

2

2

1)(

11

De la ecuación de continuidad:

0

v

:

gz

vvr

rrr

p

r

2

2

)(11

0

)(rvv :

gvrrrr

p

r

)(

110

0

p: gvr

rrr

)(

10

0g :

)(

10 vr

rrr (3.3)

)(

10 vr

rd

d

rrd

d

Integrando la ecuación anterior:

1)(1

Cvrrd

d

r

Al separar las variables en la ecuación anterior:

rdrCvrd 1)(

Al integrar ambos miembros de la ecuación anterior:



rdrCvrd 1)(

rdrCvrd 1)(

La integración conduce a:

2

2

1 CrCvr

Al despejar v de la ecuación anterior:

r

CrCv 2

1 (3.4)

Condición de borde: Para 0r , v .

Al sustituir en la ecuación (3.4):

)0()0(0 2

1

CC

)0(0 2C 02 C

rCv 1 (3.5)

Condición de borde: Para Rr , Rv


RCR 1

1C

rv (3.6)

Al sustituir la ecuación (3.6) en la ecuación (3.2):

r

p

r

r

2)(

rr

p 2

(3.7)

Componente z :

zzzzz

zzz

rz g

z

vv

rr

vr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

t

v

2

2

2

2

2

11




t

vz

zzzzz

zzz

r gz

vv

rr

vr

rrz

p

z

vv

v

r

v

r

vv

2

2

2

2

2

11

0zv : zgz

p

0

gg z : )(0 gz

p

gz

p

0

gz

p

(3.8)

De la ecuación (3.7):

rr

p 2

rrp 2

Integrando:

rrp 2

rrp 2

)(22

21 zfrp (3.9)

Al derivar la ecuación (3.9) con respecto a z :

zd

fd

z

p

(3.10)

Al igualar las ecuaciones (3.8) y (3.10):

gzd

fd

zdgfd (3.11)

Integrando la ecuación (3.11):



zdgfd

zdgf

2Czgf (3.12)


2

22

21 Czgrp (3.13)

Condición de borde: Para 0r , 0zz y 0pp


20

22

21

0 )()0( Czgp

200 Czgp (3.14)

Al despejar 2C de la ecuación (3.14):

002 zgpC (3.15)


00

22

21 zgpzgrp

)( 0

22

21

0 zzgrpp (3.16)

En cualquier punto que se encuentre sobre la superficie libre 0pp . De la ecuación (3.16):

)(0 0

22

21 zzgr (3.17)

Al despejar z de la ecuación (3.17):

22

21

0 )( rzzg

22

21

0 )( rzzg

22

02

rg

zz

22

02

rg

zz

(3.18)

La ecuación (3.18) corresponde a una parábola y, tratándose de una superficie, un

paraboloide, y proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura del



vórtice ( 0z ), la velocidad angular ( ), la aceleración de la gravedad ( g ) y la distancia

radial medida desde el centro del recipiente ( r ).

Para generalizar, el punto de la superficie libre en el eje de rotación desciende una altura

igual a la elevación que sufren los puntos del líquido en contacto con las paredes del

recipiente.

Es conveniente expresar la ecuación (3.18) en términos de la altura inicial de fluido en el

recipiente mientras se encuentra en reposo ( iz ) y para ello se consideran tres casos:

Caso a) El fluido no se derrama.

Caso b) El fluido se derrama.

Caso c) El recipiente es cerrado.

La altura de la superficie, medida como la diferencia de altura en las paredes (con respecto

a la altura inicial, iz ) y la altura del vórtice 0z es:

g

Rz

2

22

De tal manera que para saber si el recipiente se derrama o no, o si parte del fondo queda

descubierto o no, es necesario conocer el umbral de aplicación de esta altura.

La diferencia de altura se distribuye equitativamente entre el tope (H) y el fondo ( 0z ),

quedando el criterio como sigue:

Si Hg

Rzi

4

22

, el fluido se derrama.

Si izg

R

4

22

, parte del fondo queda descubierto.

Estas dos ecuaciones son válidas para el caso de un recipiente abierto. Si el recipiente es

cerrado, el primer criterio sirve para determinar si el fluido moja o no el tope del recipiente.

Para un recipiente cerrado se tiene entonces:

Si Hg

Rzi

4

22

, el fluido moja el tope del recipiente.

A continuación se desarrollan cada uno de los casos citados.




Cálculo de 0z (Altura del vórtice).

Volumen de fluido en reposo (volumen inicial): ii zRV 2 (3.19)

Volumen del fluido en movimiento: R

VdV0

(3.20)

Volumen de fluido en reposo = Volumen de fluido en movimiento: R

i VdzR0

2 .

La integral corresponde al volumen de un cuerpo de revolución determinado mediante el

método de las capas cilíndricas.

2

1

)radio de ldiferencia Elemento(Altura)()giro de Radio(2r

rV

2

1

)(2r

rrdrzrV

R

i rdrzrzR0

2 )(2 (3.21)


R

i rdrg

zrzR0

22

0

2

22

R

i rdrg

rzzR0

32

0

2

22


R

i

r

g

rzzR

0

422

0

2

4222

4222

422

0

2 R

g

RzzR i

g

RRzzR i

4

422

0

2

g

RzRzR i

4

22

0

22



g

Rzzi

4

22

0

g

Rzz i

4

22

0

Altura del vórtice. (3.22)

Altura de la superficie del fluido.


2222

24r

gg

Rzz i

2222

24r

gg

Rzz i

2

1

2 2

222

R

r

g

Rzz i (3.23)

La ecuación (3.23) proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura

inicial ( iz ).

Si el vórtice toca el fondo: Para 0r , 0z .


2

1)0(

2)0(

2

222

Rg

Rzi

2

1

20

22

g

Rzi

g

Rzi

40

22

g

Rzi

4

22 (3.24)

- Altura mínima del recipiente.

Para Rr , minHz .




22

0min2

Rg

zH

g

RzH

2

22

0min

(3.25)

En función de la altura inicial ( iz ).


g

R

g

RzH i

24

2222

min

g

RzH i

4

22

min

(3.26)

La ecuación (3.26) proporciona la altura mínima del recipiente para que el fluido no se

derrame.

- Velocidad angular mínima.

Para Rr , Hz .


22

min0

2R

gzH

0

22

min

2zHR

g

2

0

2

min

2 R

zH

g

2

02

min

)(2

R

gzH

R

gzH )(2 0

min

(3.27)


Para Rr , Hz .




2

1

2 2

222

min

R

R

g

RzH i

2

11

2

22

min

g

RzH i

g

RzH i

4

22

min

izHg

R

4

22

min

2

2

min

)(4

R

gzH i

R

gzH i )(2min

(3.28)

La ecuación (3.28) proporciona la velocidad angular mínima del recipiente para que el

fluido no se derrame.

Relación entre H , iz y 0z cuando la velocidad angular es la mínima requerida para que el

fluido no se derrame.


R

gzH

R

gzH i )(2)(2 0

gzHgzH i )(2)(2 0

gzHgzH i )(4)(2 0

)(20 izHzH

izHzH 220

Hzz i 20 (3.29)

Radio del fondo descubierto.

Para 0z , 0rr .




2

0

2

02

0 rg

z

0

2

0

2

2zr

g

0

2

0

2

2zr

g

2

02

0

2

zgr (3.30)

2

0

0

2

zgr (3.31)



2

22

2

0

42

g

Rzg

r

i

2

22

2

0

42

izg

Rg

r

2

22

2

0

22

izg

R

r

2

22

0

2

2 izgR

r (3.32)

2

2

0

2

2 izgR

r (3.33)

Área del fondo descubierta.

2

0rA (3.34)




2

02 zgA

2

02

zgA

(3.35)



2

2 2

2

izgRA

2

2 2

2 izgR

A

(3.36)

Resumen de ecuaciones.

Altura de la superficie del fluido: 22

02

rg

zz

(3.18)

Volumen inicial: ii zRV 2 (3.19)

Volumen final: R

f rdzrV0

2 ,

g

RzRV f

4

22

0

2


Altura del vórtice: g

Rzz i

4

22

0

(3.22)

0z

R

iz

r

z

H



Altura de la superficie del fluido:

2

1

2 2

222

R

r

g

Rzz i

(3.23)

Si el vórtice toca el fondo: g

Rzi

4

22 (3.24)

Altura mínima del recipiente: g

RzH i

4

22

min

(3.26)

Velocidad angular mínima: R

gzH i )(2min

(3.27)

Radio del fondo descubierto: 2

2

0

2

2 izgR

r (3.33)

Área del fondo descubierto: 2

2 2

2 izgR

A

(3.36)



Ejemplo 3.14. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85.

Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m de agua.

Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se puede

alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito

en C y D cuando rad/s 00.6w ?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.15. Ejemplo 3-13 del Çengel. Segunda Edición. Página 109.

Un recipiente cilíndrico vertical de 20 cm de diámetro y 60 cm de alto, está parcialmente

lleno con un líquido cuya densidad es 850 kg/m3 hasta una altura de 50 cm. Ahora se hace

girar el cilindro a una velocidad constante. Determine la velocidad de rotación a la cual el

líquido empezará a derramarse por los bordes del recipiente.

VER SOLUCIÓN.

2 m

1 m

C D

1.5 m






Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su

eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje forma un ángulo de

40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación.

VER SOLUCIÓN.

Caso b) El fluido se derrama.

- Cálculo de 0z .

Para Rr , Hz .


22

02

Rg

zH

g

RzH

2

22

0

g

RHz

2

22

0

(3.37)



2222

22r

gg

RHz

)(2

222

Rrg

Hz

1

2 2

222

R

r

g

RHz

1

2

222

R

r

g

RHz (3.38)


http://www.tutoruniversitario.com/wp-content/uploads/fluido_no_se_derrama.pdf




Si el vórtice toca el fondo: Para 0r , 0z .


1

0

2)0(

222

Rg

RH

)1(2

022

g

RH

g

RH

20

22

g

RH

2

22 (3.39)


Para 0rr , 0z .


1

20

2

022

R

r

g

RH

2

022

12

0R

r

g

RH

HR

r

g

R

2

022

12

22

2

0 21

R

Hg

R

r

22

2

0 21

R

Hg

R

r

222

2

0 21

R

Hg

R

r

22

22

0

21

R

HgRr (3.40)



RR

Hgr

220

21

(3.41)


2

0rA (3.42)


22

2 21

R

HgRA

22

2 21

R

HgRA (3.43)

- Volumen que permanece en el recipiente.

Si el vórtice no toca el fondo: R

f VdV0

.

Si el vórtice toca el fondo: R

rf VdV

0

Partiendo de la premisa que el vórtice no toca el fondo:

R

f rdzrV0

2 (3.44)


R

f rdrg

zrV0

22

02

2

R

f rdrg

rzV0

32

02

2


R

f

r

g

rzV

0

422

0422

2

4222

422

0

R

g

RzV f




g

RRzV f

4

422

0

g

RzRV f

4

22

0

2 (3-12-45)

En función de la altura del recipiente ( H ).


g

R

g

RHRV f

42

22222

g

RHRV f

4

222 (3.46)

Volumen derramado.

fid VVV (3.47)

Al sustituir las ecuaciones (3.19) y (3.46) en la ecuación (3.47):

g

RHRzRV id

4

2222

H

g

RzRV id

4

222 (3.48)

Si inicialmente en cilindro está lleno: Hzi . Al sustituir en la ecuación (3.48):

g

RVd

4

42

(3.49)

Partiendo de la premisa que el vórtice toca el fondo:

R

rf rdzrV

0

2 (3.50)


R

rf rdr

gzrV

0

22

02

2





R

rf rdr

grzV

0

32

02

2


R

r

f

o

r

g

rzV

4222

422

0

4

)(

22

)(2

4

0

422

0

2

0

rR

g

rRzV f

)(

8)(

22 4

0

42

2

0

20 rRg

rRz

V f (3.51)


2

22

442

22

220 21

8

21

22

R

HgRR

gR

HgRR

zV f

4

22

2

22

2

0 44

8

2

22

HgHRg

g

HgzV f

2

222

202

12

HgHRg

g

HgzV f

2

22

2022

2HgHRHg

zV f

222 02

2 Hz

HgHRV f

)2(2

02

2

HzHgHR

V f

(3.52)

En función de la altura del recipiente ( H ).


H

g

RH

HgHRV f

22

2

22

2

2



H

g

RH

HgHRV f

22

2

2

22

g

RH

HgHRV f

22

2

2

2

22

2

2

22 HRHgHRV f

2

2

gHV f

(3.53)

Volumen derramado.

fid VVV (3.54)

Al sustituir las ecuaciones (3.19) y (3.53) en la ecuación (3.54):

2

22

gHzRV id

(3.55)

Si inicialmente en cilindro está lleno: Hzi . Al sustituir en la ecuación (3.55):

2

22

gHHRVd

(3.56)

Resumen de ecuaciones.


RHz

2

22

0

(3.37)

Altura de la superficie de fluido:

1

2

222

R

r

g

RHz (3.38)

Si el vórtice toca el fondo: g

RH

2

22 (3.39)

Radio del fondo descubierto: RR

Hgr

220

21

(3.41)

Área del fondo descubierto:

22

2 21

R

HgRA (3.43)

Volumen que permanece en el recipiente cuando 00 z :




g

RHRV f

4

222 (3.46)

Volumen que permanece en el recipiente cuando 00 r :

2

2

gHV f

(3.53)

Volumen derramado cuando 00 z :

H

g

RzRV id

4

222 (3.48)

Volumen derramado cuando 00 r : 2

22

gHzRV id

(3.55)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y 00 z :

g

RVd

4

42

(3.49)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y 00 r :

2

22

gHHRVd

(3.56)




Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de

agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la

profundidad del eje?

VER SOLUCIÓN.


Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de

agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿A qué velocidad debe girar el depósito para que en el

centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.19.

Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de 115

rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua que

se pierde en kg. Propiedades del agua: 3kg/m 1000 y cp 1 .

Sugerencias:

a) Determine el perfil de presiones.

700 mm

300 mm

350 mm





b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido.

c) Calcule el volumen final del fluido.

d) Compare con el volumen inicial.

VER SOLUCIÓN.

Caso c) El recipiente es cerrado.

Si el recipiente es cerrado, el volumen de aire dentro del mismo es constante.

Volumen de aire en reposo: )(2

ii zHRV (3.57)

Volumen de aire en movimiento.

Depende si el fondo está descubierto o no, y si la parte superior del recipiente es mojada o

no. En todos los casos se cumple la ecuación (3.18).

22

02

rg

zz

(3.18)

Se define: 0r : Radio del fondo descubierto.

sr : Radio del tope mojado.

El fondo no está descubierto, 0)0( z . El tope no es mojado HRz )( .

Criterios:

izg

R

4

22

Hg

Rzi

4

22

Se trata del mismo caso en que el fluido no se derrama.


Rzz i

4

22

0

(3.22)

Altura de la superficie del fluido:

2

1

2 2

222

R

r

g

Rzz i (3.23)








El fondo está descubierto 00 z . El tope no es mojado HRz )( :

Criterios:

izg

R

4

22

Hg

Rzi

4

22


De la ecuación (3.18):

2

0

0

2

zgr (3.31)

Volumen de aire en el recipiente:

R

rrdrzHrHrV

0

)]([22

0 (3.60)

Al sustituir la ecuación (3.18) en la ecuación (3.60) y resolver la integral:

2

2

0

42

0

2

4)(

zg

g

RzHRV

(3.61)


2

2

0

42

0

22

4)()(

zg

g

RzHRzHR i

2

2

0

42

0

22

4)()(

zg

g

RzHRzHR i

2

2

0

42

0

22

4)()(

zg

g

RzHRzHR i

2

2

0

42

0

22

4

zg

g

RzRzR i

04

242

0

2

2

2

0

izRg

RzR

zg

Al resolver la ecuación de segundo grado anterior:






g

zR

g

Rz i

2

22

0 (3.62)

El fondo no está descubierto 0)0( z . El tope es mojado, HRz )( :

Criterios:

izg

R

4

22

Hg

Rzi

4

22

Radio del tope mojado.

Para Hz , srr .


22

02

srg

zH

22

02

srg

zH

2

02 )(2

zHgrs

2

0 )(2

zHgrs

Volumen de aire en el recipiente:

sr

rdrzHrV0

)]([2 (3.63)


2

2

0 )(

zHgV

(3.64)


2

2

02 )()(

zHgzHR i





2

2

02 )()(

zHgzHR i

2

0

22

)()(

zHg

zHR i

0

22 )(zH

g

zHR i

g

zHRHz i )(22

0

(3.65)

El fondo está descubierto 00 z . El tope es mojado, HRz )( :

Criterios:

izg

R

4

22

Hg

Rzi

4

22


2

0

0

2

zgr (3.31)

Radio del tope mojado.

2

0 )(2

zHgrs

Volumen de aire en el recipiente.

sr

rrdrzHrHrV

0

)]([22

0 (3.66)


2

0 )2(

zHHgV

(3.67)


2

02 )2()(

zHHgzHR i




2

02 )2()(

zHHgzHR i

0

22

2)(

zHHg

zHR i

Hg

zHRHz i )(

222

0

Hg

zHRHz i

2

)(

2

22

0

(3.68)



2222

22

)(

2r

gHg

zHRHz i

srrr 0 (3.69)



Hg

zHRHgA i

2

)(

2

222

2

H

zHRHgA i )(2

2

H

zRHRHgA i

22

2

H

zRR

HgA i

22

2

H

zRHgRA i

2

2

2

H

zRHgRA i

2

2

2 (3.70)






Un depósito cilíndrico cerrado de 1.8 m de altura y 0.9 m de diámetro contiene 1.40 m de

agua. Cuando gire a una velocidad angular constante de 20.0 rad/s, ¿qué área del fondo

quedará descubierto?

VER SOLUCIÓN.


13. [GE] Considere el depósito del Ejemplo 3.14 cerrado y con el aire sobre la superficie

libre a una presión de 1.09 kp/cm2. Cuando la velocidad angular es de 12.0 rad/s, ¿cuáles

son las presiones, en kp/cm2, en los puntos C y D de la figura?

Respuesta: Pa 81.113266CP ; Pa 78.129447DP .

14. [GE] A qué velocidad debe girar el depósito del problema 13 para que el centro del

fondo tenga una profundidad de agua igual a cero?

Respuesta: 17.7 rad/s.

15. [YÇ] Un tanque cilíndrico vertical de 3 ft de diámetro abierto a la atmósfera contiene

agua hasta una altura de 1 ft. Ahora se hace girar el tanque alrededor de la línea central y el

nivel del agua desciende en el centro al mismo tiempo que se eleva en los bordes.

Determine la velocidad angular a la cual el fondo del tanque empezará a quedar expuesto.

Asimismo, determine la altura máxima del agua en este momento.

16. [YÇ] Un recipiente cilíndrico vertical, de 40 cm de diámetro y 90 cm de alto está

semilleno con agua hasta una altura de 60 cm. Ahora se hace girar el tanque a una

velocidad angular constante de 120 rpm. Determine cuánto descenderá el nivel del líquido

en el centro del cilindro como resultado de este movimiento de rotación.

Respuesta: 0.1610 m.

17. [GE] Un recipiente cerrado, de 1 m de diámetro, está totalmente lleno de agua. Si el

recipiente está girando a 1200 rpm, ¿qué incremento sufrirá la presión en la circunferencia

de la parte superior del depósito?

Respuesta: 19319.10 Pa.




18. [YÇ] Un tanque cilíndrico vertical, de 3 m de diámetro, que contiene leche, gira a una

razón constante de 12 rpm. Si la presión en el centro de la superficie del fondo es de 130

kPa, determine la presión en el borde de la superficie del fondo del tanque. Tome la

densidad de la leche como 1030 kg/m3.

19. [YÇ] Un cilindro vertical sellado, de 1.2 m de diámetro y 3 m de alto, está lleno con

gasolina cuya densidad es de 740 kg/m3. Ahora se hace girar el tanque alrededor de su eje

vertical a razón de 70 rpm. Determine a) la diferencia entre las presiones en el centro de las

superficies del fondo y de arriba y b) la diferencia entre las presiones en el centro y el borde

de la superficie del fondo.

20. Si el sistema mostrado gira con una velocidad angular rpm 30w . ¿Cuál será la altura

h de los tubos capilares, después de alcanzar el estado estacionario? No considere los

efectos de capilaridad.

Respuesta: 0.6654 m en la pared externa y 0.6628 m en la pared interna. En el tubo interior

la altura máxima en las paredes es 0.6011 m.

21. [YÇ] Las distancia entre los centros de dos ramas de un tubo en U abierto a la

atmósfera es de 30 cm y el tubo contiene alcohol hasta una altura de 20 cm en ambas

ramas. Ahora se hace girar el tubo alrededor de su rama izquierda a 4.2 rad/s. Determine la

diferencia en la elevación entre las superficies del fluido en las dos ramas.



22. Forma de una superficie libre en flujo anular tangencial.

a) Un líquido se encuentra en el espacio anular entre dos cilindros verticales de radios Rk

y R , y el líquido está abierto a la atmósfera en la parte superior. Demostrar que cuando el

cilindro interior gira con velocidad angular i y el cilindro exterior permanece fijo, la

superficie libre del líquido tiene la forma

)ln4(12

1 22

2

2

2

0

k

Rk

gzz i

R (3B.15-1)

donde Rz es la altura del líquido en la pared del cilindro exterior, y Rr / .

b) Repetir el inciso a) pero con el cilindro interior fijo y el cilindro exterior girando a una

velocidad angular 0 . Demostrar que la forma de la superficie del líquido es

)]1(ln4)1[(12

1 2422

2

2

0

2

0

kk

k

Rk

gzzR (3B.15-2)

c) Trazar un dibujo en el que se comparen estas dos formas de la superficie del líquido.

23. Un fluido newtoniano está contenido en un tanque cilíndrico que rota con una velocidad

angular 0w alrededor del eje central (ver figura). Halle la ecuación que describe la posición

de la superficie libre como función de la coordenada radial r. Suponga que el flujo es

unidimensional en la dirección en todo punto y que los efectos de tensión superficial son

despreciables. La altura cuando el fluido está en reposo es 0h . ¿Cómo sería la forma de la

interfase si el fluido siguiera el modelo de Bingham?



24. Flujo laminar en un ducto cuadrado.

a) Un ducto recto se extiende en la dirección z una longitud L y su sección transversal es

cuadrada, limitada por las rectas Bx y By . Un colega comenta al lector que la

distribución de velocidad está dada por

222

0 114

)(

B

y

B

x

L

BPPv L

z

(3.B.3-1)

debido a que este colega a veces le ha malinformado en el pasado, usted se siente obligado

a comprobar el resultado. ¿El resultado satisface las condiciones límite relevantes y la

ecuación diferencial relevante?

b) Según el artículo de revisión escrito por Berker, la velocidad de flujo másico en un ducto

cuadrado está dada por L

BPPw L

4

0 )(563.0

Comparar el coeficiente de esta expresión con el coeficiente que se obtiene a partir de la

ecuación 3.B.3-1.

Respuesta: a) Se satisfacen las condiciones de borde. No se satisface la ecuación de

movimiento; b) L

BPPw L

4

091 )(

.



Ejemplo 3.21. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44.

3.A.3.- Efecto de la altitud sobre la presión del aire.

En la desembocadura del río Ontonagon en la orilla sur del lago Superior (602 pies sobre el

nivel medio del mar), un barómetro portátil indica una presión de 750 mmHg. Usar la

ecuación de movimiento para calcular la presión barométrica en la cima del Government

Peak (2023 pies sobre el nivel medio del mar) en las cercanas montañas Porcupine.

Supóngase que la temperatura al nivel del lago es 70ºF y que ésta disminuye, al aumentar la

altitud, a razón constante de 3ºF por 1000 pies. La aceleración de la gravedad en la orilla

sur del lago Superior es aproximadamente igual a 32.19 pies/s2, y su variación con la altitud

puede despreciarse para este problema.

La variación de la densidad del aire en función de la temperatura se muestra en la tabla

siguiente.

)Cº(T )kg/m( 3 )Cº(T )kg/m( 3 –25 1423 10 1247

–20 1395 15 1225

–15 1368 20 1204

–10 1342 25 1184

–5 1317 30 1165

0 1292 35 1146

5 1269 40 1127

VER SOLUCIÓN.




3.3.- FLUJO RADIAL.

Ejemplo 3.22.

Se tiene un espacio anular de radio interno R y radio externo R2 lleno de un fluido

newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior

( Rr 2 ) se mantiene a una presión 02 p , mientras que la superficie interior se mantiene a

una presión 0p , provocando que el fluido se mueva de afuera hacia adentro. Despreciando

los efectos de gravedad y suponiendo propiedades conocidas, calcule: a) El perfil de

velocidades, b) La distribución de presiones, c) El caudal que pasa por el espacio anular.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.23.

Se establece un flujo en la dirección radial en un espacio anular entre dos cilindros

concéntricos de longitud L (ver figura). El fluido se introduce al cilindro interior y pasa a

través de una placa porosa al espacio anular, para luego salir a través de la pared del

cilindro exterior, que es también porosa. Determine el perfil de velocidades radiales,

sabiendo que el flujo volumétrico de fluido desde el cilindro interior al espacio anular es

Q . Halle también el gradiente de presión en la dirección radial ( rP / ). El fluido es

newtoniano, el flujo es incompresible y estacionario. Suponga que el flujo es

unidimensional en la dirección radial y que existe simetría angular y axial.

R2

R 0p

02 p




VER SOLUCIÓN.




Ejemplo 3.24.

Se tiene un espacio anular de radio interno 1R y radio externo 2R lleno de un fluido

newtoniano que fluye dentro de él en forma radial (ver figura). La superficie exterior se

mantiene a una presión 0p y se induce un caudal radial Q constante de adentro hacia

afuera. Despreciando los efectos de gravedad, calcule:

a) El perfil de velocidades.

b) La distribución de presiones.

VER SOLUCIÓN.


25. Un fluido newtoniano fluye entre dos cilindros concéntricos en dirección angular. El

fluido tiene una densidad , una viscosidad , y fluye en flujo estacionario e

incompresible. Ambos cilindros están fijos. El fluido entra a través de la sección 1 y sale a

través de la sección 2 (Ver figura). Las presiones en dichas secciones son 1P y 2P ,

respectivamente ( 21 PP ). Suponga que el flujo es unidimensional en la dirección angular.

Los ejes de los cilindros están alineados con el vector aceleración de gravedad (dicho

L

1R

2R

0p




vector apunta en dirección perpendicular al plano de la figura). Utilice el sistema de

coordenadas cilíndricas ),,( zr . Los cilindros tienen longitud L .

a) Demuestre que la presión varía linealmente con la posición angular )( .

b) Determine el perfil de velocidades en el fluido.

c) Determine la fuerza en dirección angular que el fluido ejerce sobre ambos cilindros.



BIBLIOGRAFÍA.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte. Editorial

Reverté., Barcelona, 1996.

BIRD, R. B, STEWART, W y LIGHTFOOT, E. Fenómenos de Transporte, Segunda

Edición. Editorial LIMUSA, S.A de C.V. Grupo Noriega Editores., México, 2006.

ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda

Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.

GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición.,

Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,

México, 1996.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos, Sexta Edición., Pearson Educación de México, S.A de

C.V., México, 2006.

SHAMES, I. Mecánica de Fluidos, Tercera Edición. Editorial McGraw Hill Interamericana

S.A. Santa Fe de Bogotá, Colombia, 1995.

STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-

Graw Hill., México, 1988.

STREETER, V, WILYE, E y BEDFORD, K, Mecánica de Fluidos, Novena Edición.,

Editorial Mc-Graw Hill., México, 2000.

WELTY, J. Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa, Segunda Edición.

Editorial LIMUSA S.A de C.V., México, 2006.



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