conceptos básicos fenómenos de transporte
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Fenómenos de transporte
La expresión fenómenos de transporte refiere al estudio sistemático y unificado de la transferencia
de momento, energía y materia. El transporte de estas cantidades guardan fuertes analogías, tanto
físicas como matemáticas, de tal forma que el análisis matemático empleado es prácticamente el
mismo.
Los fenómenos de transporte pueden dividirse en dos tipos: transporte molecular y transporte
convectivo. Estos, a su vez, pueden estudiarse en tres niveles distintos: nivel macroscópico, nivel
microscópico y nivel molecular.
El estudio y la aplicación de los fenómenos de transporte es esencial para
la ingeniería contemporánea, principalmente en la ingeniería química.
Contenido
[mostrar]
[editar]Transporte molecular
El transporte molecular es comúnmente estudiado a través del concepto de densidad de flujo (flux).
La densidad de flujo, , es la cantidad de la propiedad extensiva, , que se mueve a través de una
unidad de área por unidad de tiempo:
Donde:
es una constante de proporcionalidad que recibe el nombre genérico de difusividad.
es la dirección de transporte.
se le conoce genéricamente como fuerza impulsora.
Se pueden observar tres casos especiales de transporte molecular correspondientes al
transporte de momento, energía y materia.
[editar]Ley de Newton de la viscosidad
La Ley de Newton de la viscosidad establece que la rapidez del esfuerzo de corte por unidad de
área es directamente proporcional al gradiente negativo de la velocidad local:
[editar]Ley de Fourier
La rapidez del flujo de calor por unidad de área es directamente proporcional al gradiente
negativo de la temperatura:
Esta ecuación es la forma unidimensional de la "Ley de la Conducción de Calor"
Sin embargo si se utiliza la cantidad conocida como la Difusividad Térmica
entonces el término es despejado de la siguiente relación:
Por lo que al sustituir en la ecuación de Fourier obtenemos:
Donde:
es la Difusividad Térmica
es la Densidad
es la Capacidad Calorífica a presión constante
[editar]Primera ley de Fick
La rapidez del flujo de la especie A por unidad de área es directamente proporcional al
gradiente negativo de la concentración de A:
El objetivo de este capítulo es el estudio de dos importantes fenómenos análogos:
La transmisión del calor a lo largo de una barra metálica. La difusión unidimensional de un soluto en un disolvente.
Las leyes físicas que describen su comportamiento son simples y fácilmente comprensibles, pero la descripción analítica es compleja. Trataremos además, de resaltar las diferencias entre los mecanismos básicos que explican ambos fenómenos, y cómo afectan las condiciones de contorno a su evolución temporal. Así, en el problema de la conducción del calor a lo largo de una barra metálica se establecerán temperaturas fijas en los extremos de la barra,
mientras que en el problema de la difusión se establecerá una masa de soluto en el origen de un medio unidimensional infinito en extensión.
Los fenómenos de transporte son aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia, energía o momento lineal en cantidades grandes o macroscópicas. Estos fenómenos físicos tienen rasgos comunes que pueden ser descritos mediante la ecuación diferencial para la propagación unidimensional
Donde a es una constante característica de cada situación física y es el campo correspondiente al fenómeno de transporte de que se trata.
Históricamente, la ecuación que describe la difusión se denomina ley de Fick. El campo describe la concentración de soluto en el disolvente y la constante α=D, siendo Del coeficiente de difusión. La difusión se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de concentración entre dos puntos del medio.
La ecuación que describe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, en este caso el campo es la temperatura T, y el coeficiente α=c), donde K, es la conductividad térmica, la densidad, y c es el calor específico del material. La conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos de una barra metálica.
Se estudia cada uno de los fenómenos en dos partes:
Se calcula la solución de la ecuación diferencial que gobierna el proceso.
Se simulan los fenómenos a partir de mecanismos básicos simples. La simulación nos permitirá explicar las facetas esenciales de la descripción matemática del fenómeno en cuestión.
Estudiaremos el fenómeno de la difusión desde una nueva perspectiva, observando la evolución en el tiempo de un conjunto de N partículas brownianas situadas inicialmente en el origen. Finalmente, completamos el estudio de este fenómeno suponiendo que dichas partículas se encuentran en el campo gravitatorio, simulando de este modo la sedimentación.
Ley de Fourier
Sea J la densidad de corriente de energía (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J y el gradiente de temperatura.
Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica.
Consideremos un elemento de la barra de longitud dx y sección S. La energía que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es JS, y la que sale es J’S. La energía del elemento cambia, en la unidad de tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente.
Esta energía, se emplea en cambiar la temperatura del elemento. La cantidad de energía absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el elemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por el calor específico y por la variación de temperatura.
Igualando ambas expresiones, y teniendo en cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación diferencial que describe la conducción térmica
Solución analítica
Supongamos una barra metálica de longitud L, conectada por sus extremos a dos focos de calor a temperaturas Ta y Tb respectivamente. Sea T0 la temperatura inicial de la barra cuando se conectan los focos a los extremos de la barra.
Al cabo de cierto tiempo, teóricamente infinito, que en la práctica depende del tipo de material que empleamos, se establece un estado estacionario en el que la temperatura de cada punto de la barra no varía con el tiempo. Dicho estado está caracterizado por un flujo J constante de energía. La ley de Fourier establece que la temperatura variará linealmente con la distancia x al origen de la barra.
Para describir el estado transitorio buscamos una solución de la forma T(x, t)=F(x)·G(t), variables separadas
El signo negativo asegura el carácter transitorio.
Integramos la primera ecuación diferencial
Integramos la segunda ecuación diferencial
Es una ecuación diferencial similar a la de un MAS, cuya solución es a·sen(ωx+δ)
La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es la solución de la ecuación diferencial, que es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente más la del régimen transitorio.
Condiciones de contorno
En x=0, T(0, t)=Ta, temperatura fija del extremo izquierdo de la barra
En x=L, T(L, t)=Tb, temperatura fija del extremo derecho de la barra
El régimen variable general de temperaturas de la barra es
Distribución inicial de temperaturas
Solamente, queda por determinar los coeficientes an, identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(x, 0)=T0 en el instante t=0.
Más abajo, se proporcionan los detalles del cálculo de los coeficientes a n del desarrollo en serie al lector interesado.
La temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.
El valor de α=K/(ρc) nos da una medida de la rapidez con la que el sistema alcanza el estado estacionario. Cuanto mayor sea α antes se alcanza el estado estacionario
Actividades
En este programa, estudiaremos la conducción del calor a lo largo de una barra metálica cuyos extremos están conectados a dos focos de calor que tienen distintas temperaturas. Observaremos la evolución de la temperatura de cada punto de la barra a medida que transcurre el tiempo.
Examinaremos los factores que determinan la conducción del calor a lo largo de una barra metálica, probando barras de distintos materiales, con distintas temperaturas fijas de los extremos e inicial de la barra.
Se selecciona en el control selección el Metal de la barra. Las unidades de las magnitudes están expresadas en el Sistema Internacional de Unidades de Medida.
Metal Densidad Calor específico
Conductividad térmica α
Aluminio 2700 880 209.3 8.81·10-5
Acero 7800 460 45 1.25·10-5
Cobre 8900 390 389.6 11.22·10-5
Latón 8500 380 85.5 2.65·10-5
Plata 10500 230 418.7 17.34·10-5
Plomo 11300 130 34.6 2.35·10-5
Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975. págs 36, 74-75, 85-86
Se introduce, moviendo las flechas de color azul con el puntero del ratón
La temperatura fija en el extremo izquierdo de la barra Ta. La temperatura fija en el extremo derecho de la barra Tb.
La temperatura inicial de la barra T0. La longitud de la barra metálica se ha fijado en el valor de L=0.5 m.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
El instante t, en minutos, en el que queremos representar la distribución de temperaturas a lo largo de la barra, en el control de edición o actuando en la barra de desplazamiento titulada Tiempo.
Se pulsa en el botón titulado Gráfica.
El programa interactivo representa la distribución de temperaturas a lo largo de la barra, en el instante actual (en color rojo), y en el instante previamente introducido (en color azul).
Cuestiones:
Examinar la evolución de la distribución de temperaturas con el tiempo. Comprobar que el régimen estacionario es independiente de la temperatura inicial, solamente depende de la temperatura de los focos frío y caliente.
Examinar el comportamiento de barras hechas de distintos materiales, con la misma temperatura inicial y fijas en los extremos.
Arrastrar con el puntero del ratón las flechas de color azul
Cálculo de los coeficientes del desarrollo en serie an
La parte derecha de la igualdad es el desarrollo en serie de una función f(x) impar, ya que carece del término independiente y de los términos en coseno. El periodo de f(x) es 2L y se extiende desde –L a +L tal como se muestra en la figura.
Multiplicamos ambos miembros por sen(mπx/L) e integramos entre –L y +L
Efectuamos el cambio de variable z=πx/L, dz= πdx/L
(1)
Integramos por partes la integral que aparece en el segundo miembro
Volvemos a integrar por partes
Cuando m=n
La expresión (1) se simplifica notablemente
Supongamos que la temperatura inicial de la barra en todos sus puntos es la misma T(x, 0)=T0, la función f(x) es lineal
Calculamos los coeficientes an del desarrollo en serie de Fourier
Finalmente,
Solución numérica
Para simplificar, tomemos una escala de tiempos tal que =a2t, la ecuación diferencial que describe la conducción térmica se transforma en otra más sencilla.
La solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales puede obtenerse utilizando el procedimiento de redes del siguiente modo
Ta Tb
Ta Tb
Ta Tb
Ta Tb
T
i
e
m
p
o
Ta Tb
Ta Tb
Ta Tb
Ta Tb
Ta Tb
Ta Tb
Ta T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 T0 Tb
P o s i c i ó n
Consideremos un sistema de coordenadas posición – tiempo (x en el eje horizontal y en el vertical). Construyamos un retículo trazando rectas paralelas al eje equidistantes un intervalo fijo h y tal que h=L/n, siendo L la longitud de la barra y n el número de intervalos en los que se ha dividido la barra. Tracemos rectas paralelas al eje X, equidistantes una cantidad k.
Podemos calcular la temperatura en los puntos de la barra x=ih (i=1, 2, 3, 4...n) y en el instante =(j+1)k, a partir de los datos de la temperatura de la barra en los puntos x de la barra en el instante anterior =jk (j=0, 1, 2, 3...) sin más que aplicar el procedimiento de recurrencia esquematizado en la figura, y cuya fórmula es
La distribución inicial de partida (j=0) está dada por la temperatura inicial de la barra T0, y las temperaturas fijas en los extremos Ta y Tb a partir de las cuales y aplicando la fórmula de recurrencia, puede calcularse, sucesivamente, las temperaturas de cada una de los puntos de la malla (i, j).
Para practicar este método con una calculadora o con un pequeño programa de ordenador, se puede seguir el siguiente procedimiento:
1. Constrúyase una tabla como la indicada y rellénese la columna izquierda, la columna derecha y la fila inferior con las temperaturas fijas en el extremo izquierdo de la barra Ta, del extremo derecho de la barra Tb, y con la temperatura inicial T0.
2. Completar la primera fila vacía aplicando la fórmula de recurrencia. Las cifras obtenidas corresponden a la distribución de temperatura en un instante
posterior al inicial.
3. A partir de los datos de la primera fila, completar la segunda fila vacía, y así sucesivamente.
El metal con el que está hecha la barra, o el valor del parámetro α=K/(ρc) La temperatura inicial de la barra en el instante t=0. Las temperaturas fijas en los extremos
En esta página, vamos a fijarnos en la evolución temporal de la temperatura de un punto x de la barra metálica y a examinar el papel que juegan la capacidad calorífica y la conductividad térmica en la conducción del calor.
El extremo libre de una barra metálica de longitud L, está a una temperatura fija T0, por ejemplo, la de un baño que contenga una mezcla de hielo y agua. En el otro extremo, hay una fuente de calor de potencia dQ/dt watios. En un punto x de la barra se coloca un termómetro. Cuando se conecta la fuente de calor, observamos como la temperatura en dicho punto, va creciendo hasta que toma un valor constante T después de cierto tiempo, teóricamente infinito. Se ha establecido el estado estacionario.
Retiramos la fuente de calor, los dos extremos de la barra x=0, y x=L están a la temperatura fija T0 del baño. Observamos como la temperatura de dicho
punto de la barra va descendiendo hasta que alcanza la temperatura T0 de baño al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
El estado estacionario
La ecuación diferencial que describe la conducción térmica
ρ es la densidad c es el calor específico K es la conductividad térmica
En el estado estacionario la temperatura de los puntos de la barra no cambia con el tiempo, ∂T/∂t=0, ∂T/∂x es constante, de acuerdo a la ley de Fourier
El signo menos indica que la temperatura disminuye a lo largo de la barra: el foco caliente está en x=0, y el foco frío en x=L.
S es el área de la sección trasversal de la barra dQ/dt es la potencia de la fuente de calor colocada en uno de los extremos de la
barra. K una constante característica del material denominada conductividad térmica.
En el estado estacionario t→∞
Conociendo la potencia de la fuente de calor, la temperatura fija T0 del extremo x=L y la temperatura T de dicho punto x de la barra podemos determinar el coeficiente Kde conductividad térmica.
Ejemplo:
La potencia de la fuente de calor colocada en un extremo de la barra es 4.0 W El otro extremo de la barra, se mantiene a la temperatura de un baño consistente
en una mezcla de hielo y agua T0=0 ºC La barra metálica es un cilindro de L=25 cm de longitud y r=5 mm de radio
El termómetro se coloca en la posición x=3 cm, y mide una temperatura máxima de T=53.6 ºC un tiempo suficientemente grande después de haber conectado la fuente de calor.
Se conecta la fuente de calor
La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la del régimen transitorio.
Condiciones de contorno:
En x=L, T(L, t)=T0, temperatura fija del extremo derecho de la barra
En x=0, la potencia de la fuente calor dQ/dt=cte es constante, para todo t, que de acuerdo a la ley de Fourier equivale a
Derivamos la expresión de la temperatura T(x,t) respecto de x
Hemos determinado la fase δn, ahora las frecuencias angulares ωn valen
El régimen variable general de temperaturas de la barra es
Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(x, 0)=T0 en el instante t=0.
Hacemos la siguiente integración
Para integrar hacemos el cambio de variable z=πx/L, dz= πdx/L
Integramos dos veces por partes
De acuerdo con estos resultados, despejamos los coeficientes an del desarrollo en serie
Integramos de nuevo, por partes
Fijarse que a+bπ=0
Así, la temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.
En la figura, se representa la temperatura de un punto x de la barra en función del tiempo t, después de haber conectado la fuente de calor en el instante t=0. Alcanza una temperatura Tmáx después de un tiempo teóricamente infinito.
Se desconecta la fuente de calor
Ponemos el reloj a cero, t=0.
La distribución inicial de temperaturas corresponde al estado estacionario de la etapa anterior.
El estado estacionario se alcanza después de un tiempo infinito. Todos los puntos de la barra tienen la misma temperatura del baño T(x, ∞)=T0.
La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la del régimen transitorio.
Condiciones de contorno:
En x=L, T(L, t)=T0, temperatura fija del extremo derecho de la barra
En x=0, se ha desconectado la fuente calor dQ/dt=0, para todo t, que de acuerdo a la ley de Fourier equivale a
Derivamos la expresión de la temperatura T(x,t) respecto de x
Hemos determinado la fase δn, ahora las frecuencias angulares ωn valen
El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio
Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas T(x, 0) en la barra
Tenemos que calcular los coeficientes an de la función
Haciendo el cambio de variable z=πx/L, la función f(z) se escribe
Calculamos los coeficientes an de forma similar al caso anterior
El resultado es
En la figura se muestra, cómo la temperatura del punto x de la barra, estudiado en el apartado anterior, va disminuyendo con el tiempo hasta que alcanza la temperatura del baño térmico T0.
Actividades:
Se introduce
La potencia de la fuente de calor en W, actuando en la barra de desplazamiento titulada Potencia
La conductividad térmica K, en W/(m·K), en el control de edición titulado Conductividad
El calor específico c en J/(kg·K), en el control de edición titulado Calor esp.
La densidad del material se ha fijado en ρ=5000 kg/m3
La longitud de la barra se ha fijado en L=25 cm El radio de la sección trasversal se ha fijado en r=5 mm La temperatura del otro extremo de la barra se ha fijado en T0=0ºC
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se desplaza el termómetro, arrastrándolo con el puntero del ratón a cualquier posición 2<x<22 cm de la barra.
Se establece la escala horizontal del eje de tiempos, en el control de selección titulado Escala t.
Se pulsa el botón titulado Conecta.
Observamos como la temperatura del termómetro se incrementa.
Si se activa la casilla titulada Gráfica, se obtiene la representación gráfica de la temperatura que marca el termómetro en función del tiempo.
Cuando la temperatura alcance aproximadamente, su valor máximo constante (estado estacionario), el programa interactivo nos lo indica mediante un mensaje, se puede pulsar el mismo botón titulado ahora, Desconecta.
La temperatura del termómetro va disminuyendo rápidamente, hasta que alcanza el valor de la temperatura del baño T0=0 ºC.
Se sugiere al lector que
Cambie la posición del termómetro en la barra manteniendo fijas la conductividad K y el calor específico c.
Modifique la potencia de la fuente y anote la temperatura máxima que marca el termómetro en el estado estacionario.
Manteniendo fija la potencia y la posición del termómetro, cambie el calor específico c manteniendo fijo el valor de la conductividad térmica K.
Manteniendo fija la potencia y la posición del termómetro, cambie la conductividad térmica K manteniendo fijo el valor del calor específico c.
Los extremos de la barra metálica se mantienen a temperaturas fijas poniéndolos en contacto con dos líquidos en ebullición, aprovechando la propiedad que tienen las sustancias de mantener invariable su temperatura mientras cambian de estado.
La barra metálica se coloca en posición vertical, el extremo inferior se calienta con vapor del agua en ebullición, el extremo superior se pone en contacto con un líquido volátil en ebullición. De este modo, ambos extremos de la barra mantienen su temperatura invariable durante todo el proceso de medida mientras las sustancias en contacto permanezcan en estado líquido.
El vapor de agua se escapa por un tubo vertical, que es refrigerado con agua fría. Parte del vapor se condensa y regresa al depósito inferior.
La barra metálica en posición vertical, se envuelve con material aislante excepto por sus extremos, para evitar las pérdidas de calor por su superficie lateral.
El extremo inferior, se calienta con vapor de agua a TA=100º C, la barra conduce el calor hacia el extremo superior que está en contacto con un líquido volátil a su temperatura de ebullición TB. El vapor sale por un tubo curvado que se refrigera con agua fría, el vapor se condensa y líquido resultante se acumula en un tubo graduado, que mide el volumen de líquido que se condensa a medida que transcurre el tiempo.
A partir de la medida del volumen de líquido volátil condensado durante un determinado tiempo, se obtiene el valor de la conductividad térmica de la barra metálica.
Descripción
La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), y el gradiente de temperatura dT/dx. La constante de proporcionalidad K es característica del material y se denomina conductividad térmica.
Siendo d la longitud de la barra y (TA-TB) la diferencia de temperaturas entre sus extremos.
La cantidad de calor Q que llega al extremo superior de la barra en el tiempo t es JSt, siendo S el área de la sección de la barra.
Este calor se emplea en evaporar una masa m de líquido volátil en el tiempo t. Conocemos calor de vaporización es Lv de dicho líquido (calor necesario para pasar 1 kg de sustancia del estado líquido al estado gaseoso a la temperatura del cambio de estado).
Q=m·Lv
Esta masa m de líquido que se ha convertido en vapor a la temperatura TB de ebullición pasa por un tubo refrigerado con agua fría. La condensación del vapor da lugar a un volumen V=m/ρ de líquido. Siendo ρ la densidad del líquido volátil.
Obtenemos finalmente, la siguiente fórmula a partir de la cual despejamos la conductividad K de la barra metálica.
Datos
La temperatura TA=100ºC es la temperatura de ebullición del agua contenida en el depósito inferior.
Líquidos volátiles disponibles:
Líquido Densidad ρ (kg/m3) Calor latente Lv (J/kg) Temperatura de ebullición TB (ºC)
Acetona 791 524·103 56.2Alcohol 790 846·103 78.3Benceno 879 396·103 80.2Éter 713.5 351·103 34.6
Barras metálicas disponibles
Metal Conductividad térmica K (W/m·K)Aluminio 209.3Acero 45Cobre 389.6Latón 85.5Plata 418.7Plomo 34.6
Fuente: Koshkin N. I., Shirkévich M.G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975.
Actividades
Se introduce
La longitud d de la barra metálica, eligiendo un número 10, 12, 14, 16, 18, 20 cm en el control de selección titulado Longitud.
El área de la sección S de la barra, eligiendo un número 4, 9, 16, 25 cm2 en el control de selección titulado Sección.
Se elige el líquido volátil, en el control de selección titulado Líquido. Se elige el metal de la barra, en el control de selección titulado Metal
Se pulsa el botón titulado Empieza
Ejemplo
Los datos relativos a una barra metálica de aluminio son:
longitud d=14 cm=0.14 m área de su sección S=16 cm2=16·10-4 m2
Se elige como líquido volátil acetona
densidad ρ=791 kg/m3
temperatura de ebullición TB=56.2 ºC calor latente de vaporización Lv=524·103 J/kg
Se recoge un volumen V=0.7 litros de líquido volátil en un tiempo t=46.3 minutos.
Ponemos todos estos datos en la fórmula y despejamos la conductividad térmica del aluminio
