apuntes de fenómenos de transporte

Fenómenos de Transporte

Dr. E. Erick Luna Rojero

División de Estudios de PosgradoFacultad de Ingeniería

Universidad Nacional Autónoma de México

Febrero, 2009Versión 0

Índice general

I Fundamentos 1

1. Fundamentos de los Fenómenos de Transporte 31.1. Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Líquido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Medio Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Definición formal de un medio continuo . . . . . . . . . . 51.2.2. Sistemas de referencia y derivada material . . . . . . . . . 6

1.3. Relaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Relaciones de Onsager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2. Ley de Newton de la viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.3. Ley de Fourier de la conducción del calor . . . . . . . . . 111.3.4. Ley de difusión de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Ecuaciones de balance y conservación 152.1. Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. Conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3. Balance de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . 182.4. Conservación de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3. Propiedades de los fluidos 233.1. Fluidos no Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1. Reología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2. Clasificación de fluidos no newtonianos . . . . . . . . . . . 23

4. Ecuaciones de Navier-Stokes 274.1. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.1.1. No deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.2. Frontera impermeable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.1.3. Simetrías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Soluciones exactas a las ecuaciones de Navier-Stokes 315.1. Flujo de Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2. Flujo de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3

4 ÍNDICE GENERAL

5.3. Flujo entre dos cilíndros rotando . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4. Primer problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.5. Segundo problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6. Transporte de Calor 576.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.1.1. Temperatura y Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2. Leyes de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3. Ecuación de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4. Solución a problemas de transferencia de calor . . . . . . . . . . 63

6.4.1. Flujo estacionario en una dimensión . . . . . . . . . . . . 636.4.2. Ecuación de calor en una dimensión . . . . . . . . . . . . 646.4.3. Fuente estacionaria y condiciones frontera constantes . . . 706.4.4. Fuente y condiciones dependientes del tiempo . . . . . . . 736.4.5. Método de expansión de autofunciones . . . . . . . . . . . 75

7. Teoría de capa límite 857.0.6. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.0.7. Capa límite para una placa plana (solución de Blasius) . . 89

8. Problemas de transferencia de calor convectiva 998.1. Cilíndros concéntricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998.2. Placa vertical en un fluido (Ley de enfriamiento de Newton) . . . 107

9. Transporte de masa 1119.1. Mezclas Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.2. Mezclas multicomponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.3. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.4. Ejemplos de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9.4.1. Celda PVT de difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.Flujo en medios porosos 11710.1. Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.1.1. Deducción a partir de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . 11910.2. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11910.3. Difusión de especies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.4. Conservación de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

11.Apéndice I. Notación de Einstein 123

Prefacio

Este es mi primer intento de notas para la cátedra de Fenómenos de Trans-porte en la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de laUniversidad Nacional Autónoma de México. El objetivo principal del curso seráque el alumno maneje los fundamentos y los métodos básicos de la teoría defenómenos de transporte para la resolución de problemas de ingeniería. Debidoa que esta materia es impartida a alumnos posgraduados de Ingeniería Petrol-era gran parte de los ejemplos y las aplicaciones están relacionadas a problemasprácticos de ingeniería de yacimientos. El punto de referencia del que partí sonlos apuntes del Profesor Jesús Rivera quién fue durante mucho tiempo el titularindiscutible de la materia, dada la importancia de los yacimientos fracturadosen México he agregado algunos problemas y casos prácticos relacionados conmedios porosos fracturados. A los lectores de estos apuntes les pido su com-prensión y sugerencias con el fin de que el objetivo de estos apuntes se cumplay sea útil para ustedes.

Erick Luna RojeroMéxico D.F., Febrero de 2009.

5

6 PREFACE

Parte I

Fundamentos

1

Capítulo 1

Fundamentos de losFenómenos de Transporte

1.1. Fluidos

Un fluido es una sustancia o medio continuo que se deforma continuamenteen el tiempo ante la aplicación de una tensión tangencial sin importar la mag-nitud de ésta. Existen diversas clasificaciones para los fluidos una de ellas es:líquidos y gases.

1.1.1. Líquido

El líquido es uno de los tres estados de agregación de la materia. Un líquidoes un fluido cuyo volumen es constante en condiciones de temperatura y presiónconstante y su forma es esférica. Sin embargo, debido a la gravedad ésta quedadefinida por su contenedor. Un líquido ejerce presión en el contenedor con igualmagnitud hacia todos los lados. Si un líquido se encuentra en reposo, la presión,p, que ejerce esta dada por:

p = ρgz, (1.1)

donde ρ es la densidad del líquido y z es la distancia del punto debajo de lasuperficie.

Los líquidos presentan tensión superficial y capilaridad, generalmente se ex-panden cuando se incrementa su temperatura y se comprimen cuando se enfrían.Los objetos inmersos en algún líquido son sujetos a un fenómeno conocido comoflotabilidad.

Cuando un líquido sobrepasa su punto de ebullición cambia su estado agaseoso, y cuando alcanza su punto de congelación cambia a sólido.

Las moléculas en el estado líquido ocupan posiciones al azar que varían conel tiempo. Las distancias intermoleculares son constantes dentro de un estrechomargen. La cohesión entre las moléculas de un líquido no es lo suficientementefuerte por lo que las moléculas superficiales se pueden evaporar. Los líquidos

3

4CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LOS FENÓMENOSDE TRANSPORTE

son sustancias en un estado de la materia intermedio entre los estados sólido ygaseoso. Las moléculas de los líquidos no están tan próximas como las de lossólidos, pero están menos separadas que las de los gases.

En algunos líquidos, las moléculas tienen una orientación preferente, lo quehace que el líquido presente propiedades anisótropas (propiedades, como elíndice de refracción, que varían según la dirección dentro del material).

En condiciones apropiadas de temperatura y presión, la mayoría de las sus-tancias puede existir en estado líquido. A presión atmosférica, sin embargo, al-gunos sólidos se subliman al calentarse; es decir, pasan directamente del estadosólido al estado gaseoso.

La densidad de los líquidos suele ser algo menor que la densidad de la mismasustancia en estado sólido. Algunas sustancias, como el agua, son más densasen estado líquido.

1.1.2. Gas

Se denomina gas al estado de agregación de la materia que no tiene forma nivolumen propio. Su principal composición son moléculas no unidas, expandidas ycon poca fuerza de atracción, haciendo que no tengan volumen y forma definida,provocando que éste se expanda para ocupar todo el volumen del recipiente quela contiene, con respecto a los gases las fuerzas gravitatorias y de atracción entrepartículas resultan insignificantes. Su densidad es mucho menor que la de loslíquidos.

Es considerado en algunos diccionarios como sinónimo de vapor, aunque nohay que confundir sus conceptos, ya que el termino de vapor se refiere estricta-mente para aquel gas que se puede condensar por presurización a temperaturaconstante.

Otra clasificaciones que aquí sólo se menciona (pero que veremos más de-lante) es la de fluidos newtonianos y no newtonianos.

1.2. Medio Continuo

El movimiento de los gases y los líquidos puede estudiarse en forma aprox-imada mediante las ecuaciones de la dinámica de fluidos bajo la hipótesisdel medio continuo. Sin embargo, para que dicha hipótesis sea válida el recor-rido libre promedio de las moléculas que constituyen dichos materiales debe sermucho menor que una longitud característica del sistema físico en el que seencuentra el gas o el líquido en cuestión. De esta forma, las variables de esta-do del material, tales como la presión, la densidad y la velocidad podrán serconsideradas como funciones continuas del espacio y del tiempo, conduciendonaturalmente a la descripción del material como un medio continuo.

Al dividir la longitud del recorrido libre promedio de las moléculas por la lon-gitud característica del sistema, se obtiene un número adimensional denominado

1.2. MEDIO CONTINUO 5

número de Knudsen.

Kn =longitud del recorrido libre de las moléculas

longitud característica del sistema(1.2)

Calculando el número de Knudsen es fácil saber cuándo puede describirse elcomportamiento de líquidos y gases mediante las ecuaciones de la dinámicade los fluidos. En efecto, si el número de Knudsen es menor a la unidad, lahipótesis del continuo podrá ser aplicada; si el número de Knudsen es similar ala unidad o mayor, deberá recurrirse a las ecuaciones de la mecánica estadísticapara describir el comportamiento del sistema.

Hipótesis del continuo: Kn << 1 (1.3)

Cuando el número de Knudsen es similar o mayor a la unidad, el recorridolibre promedio de las moléculas es del mismo tamaño (aproximadamente) que elsistema físico que contiene al material. En estas circunstancias, dada una regióndel espacio del tamaño de la longitud característica, solo ocasionalmente pasaráuna molécula por dicha región.

Es por ello que la región de números de Knudsen cercanos o mayores a launidad se denomina también región de gases rarificados.

1.2.1. Definición formal de un medio continuo

Un medio continuo homogéneo quedará formalmente descrito por los sigu-ientes puntos:

1. Una región Ω ⊂ Rd (dos o tres dimensiones) la cual es ocupada totalmentepor la sustancia.

2. Una función ρ definida en Ω que representa a la densidad de masa.

3. Una función T definida en Ω que representa a temperatura de la sustancia.

4. Una función s definida en Ω que representa a la densidad de entropía.

5. Una función δ en Ω que define al desplazamiento respecto a un sistema dereferencia.

6. Una función u en Ω que define al campo de velocidades.

7. Una ecuación de estado que relaciona a ρ, T y s.

8. Un tensor de esfuerzo τ en Ω que describe a la fuerza por unidad desuperficie en la sustancia.

9. Un tensor de conductividad térmica κ que describe al flujo de calor porunidad de area en el medio.

10. Una función g que define a la densidad de fuerza volumétrica.

11. Una relación que expresa a τ y κ como función de los observables δ, u, ρ,T y s.


1.2.2. Sistemas de referencia y derivada material

Con el fin de describir el comportamiento de un continuo se podría utilizar unsistema de referencia fijo, conocido como un sistema de referencia Lagrangianoomaterial, el cual consiste en colocarse en un punto fijo del espacio y desde allídescribir el comportamiento del continuo. Las velocidades y las aceleraciones eneste sistema de referencia vistas desde el punto de referencia (x0, y0, z0) serían:

vx (x0, y0, z0, t) =∂x (x0, y0, z0, t)

∂t

vy (x0, y0, z0, t) =∂y (x0, y0, z0, t)

∂t(1.4)

vz (x0, y0, z0, t) =∂z (x0, y0, z0, t)

∂t

ax (x0, y0, z0, t) =∂vx (x0, y0, z0, t)

∂t

ay (x0, y0, z0, t) =∂vy (x0, y0, z0, t)

∂t(1.5)

az (x0, y0, z0, t) =∂vz (x0, y0, z0, t)

∂t

Las derivadas parciales dejan a la posición fija. Otro sistema de referencia llama-do Euleriano se "sube.a una partícula del medio y ya no mantiene una posiciónfija. En este sistema de referencia las aceleraciones tienen la forma:

ax (x, y, z, t) = lım∆t→0

vx (x+ vx∆t, y + vy∆t, z + vz∆t, t +∆t)− vx (x, y, z, t)

∆t(1.6)

=∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

+ vz∂vx∂z

(1.7)

ax =∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

+ vz∂vx∂z

ax =∂vx∂t

+

vxi + vyj + vzk·i ∂

∂x+j ∂

∂y+ k ∂

∂z

vx

ay =∂vy∂t

+

vxi + vyj + vzk·i ∂

∂x+j ∂

∂y+ k ∂

∂z

vy

En general se tiene−→a =

∂−→v∂t

+ (−→v · ∇)−→v (1.8)

Al primer término se le conoce como aceleración temporal y al segundo comoel término convectivo o advectivo, este último tiene naturaleza no-lineal y esel causante de las complicaciones de la mecánica de fluidos. La derivada totalo material se define a partir del operador:

D

Dt=

∂

∂t+ (−→v · ∇) (1.9)

1.3. RELACIONES CONSTITUTIVAS 7

Esta derivada se aplica no sólo a las velocidades sino a cualquier otra propiedaddel continuo.

1.3. Relaciones constitutivas

1.3.1. Relaciones de Onsager

Cuando un sistema está en un estado de no equilibrio se generan flujosprovocados por fuerzas termodinámicas. Deberá haber un régimen cuando losflujos son pequeños y las fuerzas cambian lentamente donde existirá unarelación lineal entre los flujos Ji y fuerzas −∇Xj :

Ji = −

j

Li,j∇Xj (1.10)

donde Li,j es un tensor de proporcionalidad. La segunda ley de termodinámicarequiere que el tensor Li,j sea positivo definido (todos sus autovalores son pos-itivos, es el análogo a los números reales positivos). Onsager encontró a partirde física estadística que el tensor Li,j es simétrico (Lij = Lji). La escencia desus estudios parten de que microscópicamente la dinámica de los sistemas esreversible este hecho se conoce como las relaciones de reciprocidad de Onsager.

Existen muchos fluidos que no se apegan a este tipo de relación (lineal):polímeros, gases diluidos, flujos a altas velocidades, etc.

1.3.2. Ley de Newton de la viscosidad

Es un modelo que relaciona a los esfuerzos aplicados con las deformaciones.

Tensor de esfuerzos

El esfuerzo se define como una fuerza aplicada sobre un área y dividida sobreesa misma área.

τ(n) = lım

∆S→0

∆F

∆S(1.11)

por su naturaleza tiene asociadas dos direcciónes: la dirección n hacia donde sedirige la fuerza y la dirección (orientación) del área. Para estudiar al esfuerzo esnecesario referenciarlo a un sistema de coordenadas, para ello descompondremosal tensor τ (n) en tres direcciones preferenciales. Para la superficie orientada endirección x, ∆Ax, los esfuerzos que actúan en ella son:

τ(x) = lım

∆Ax→0

∆F

∆Ax= τxxi + τxyj + τxzk (1.12)

similarmente para las áreas en dirección y y z:

τ(y) = lım

∆Ay→0

∆F

∆Ay= τyxi + τyyj + τyzk (1.13)

τ(z) = lım

∆Az→0

∆F

∆Az= τzxi + τzyj + τzzk (1.14)


En forma matricial este tensor de segundo orden tiene la forma:

τ(n) =

τ(x)

τ(y)

τ(z)

=

τxx τxy τxzτyx τyy τyzτzx τzy τzz

ijk

(1.15)

A las componentes τxx, τyy y τzz se les conoce como esfuerzos normales y a losrestantes como esfuerzos cortantes. La figura muestra gráficamente al tensor deesfuerzos.

Figura 1.1: Tensor de esfuerzos

Razón de deformación

Considere dos puntos cercanos entre si y separados por una distancia |dr|2.Para encontrar la razón a la cual las partículas se separan (o juntan) entre si,derivamos en el tiempo:

D|dr|2

Dt=

D (dr · dr)Dt

= dr·D (dr)

Dt+ dr·D (dr)

Dt(1.16)

= 2dr·D (dr)

Dt= 2dr · dv (1.17)

= 2 (dxdvx + dydvy + dzdvz) (1.18)


D|dr|2

Dt= 2dx

∂vx∂x

dx +∂vx∂y

dy +∂vx∂z

dz

+ (1.19)

2dy

∂vy∂x

dx +∂vy∂y

dy +∂vy∂z

dz

+

2dz

∂vz∂x

dx +∂vz∂y

dy +∂vz∂z

dz

+

o bien,

D|dr|2

Dt= 2

∂vx∂x

dx2 +∂vy∂y

dy2 +∂vz∂z

dz2+ (1.20)

2

∂vx∂y

+∂vy∂x

dxdy +

2

∂vx∂z

+∂vz∂x

dxdz +

2

∂vy∂z

+∂vz∂y

dydz

A partir de este resultado se puede definir el tensor de deformación d:

d =

dxx dxy dxzdyx dyy dyzdzx dzy dzz

(1.21)

donde,

dxx =∂vx∂x

: dyy =∂vy∂y

: dzz =∂vz∂z

(1.22)

dyx = dxy =1

2

∂vx∂y

+∂vy∂x

(1.23)

dxz = dzx =1

2

∂vx∂z

+∂vz∂x

(1.24)

dyz = dzy =1

2

∂vy∂z

+∂vz∂y

. (1.25)

Note que

dxx + dyy + dzz = (1.26)∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

= (1.27)

∂

∂xi + ∂

∂yj + ∂

∂zk·

vxi + vyj + vzk

= ∇ · −→v (1.28)

10CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LOS FENÓMENOS DE TRANSPORTE

Ley de Newton de la viscosidad

Newton propuso que existía una relación lineal entre tensor de esfuerzos ydeformación, Navier y Stokes realizaron un intenso esfuerzo para formalizar elmodelo. Considere un fluido con las siguientes características:

El esfuerzo dependerá explícitamente únicamente de la presión y de larazón de deformación. La temperatura sólo tiene influencia implícitamentea través de coeficientes como la viscosidad.

Cuando la razón de deformación es cero, los esfuerzos de corte son cero ylos esfuerzos normales son iguales al negativo de la presión.

El fluido es isotrópico (sus propiedades son iguales en cualquier direc-ción).

El esfuerzo guarda una relación lineal con la razón de deformación.

La relación más general que obedece los puntos anteriores es:

τxx = −p + µ′∇ · v + 2µdxx (1.29)

τyy = −p + µ′∇ · v + 2µdyy (1.30)

τzz = −p + µ′∇ · v + 2µdzz (1.31)

τxy = τyx = 2µdxy (1.32)

τxz = τzx = 2µdxz (1.33)

τyz = τzy = 2µdyz (1.34)

Donde µ es la viscosidad dinámica y µ′ es el segundo coeficiente de viscosidad,en general son función de la presión y la temperatura. Si se obtiene el promediode los esfuerzos normales se obtiene la presión mecánica, pm:

−pm =τxx + τyy + τzz

3(1.35)

−pm =−p + µ′∇ · v + 2µdxx − p + µ′∇ · v+ 2µdyy − p + µ′∇ · v+ 2µdzz

3(1.36)

−pm = −p + µ′∇ · v+2µ

3(dxx + dyy + dzz) (1.37)

−pm = −p + µ′∇ · v+2µ

3

∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

(1.38)

−pm = −p +

µ′ +

2µ

3

∇ · v (1.39)

El término µ′ + 2µ3 es conocido como la viscosidad de bulto o volumétrica y

generalmente es mucho más pequeña que la presión, (de las relaciones de Onsagerµ′ + 2µ

3 0). Si se desprecia este término se tiene:

pm = −τxx + τyy + τzz3

= p. (1.40)


es necesario notar que si µ′ + 2µ3 no es pequeño la diferencia entre la presión

termodinámica pT y la presión definida en la ecuación anterior es:

p− pm =

µ′ +

2µ

3

∇ · v (1.41)

La viscosidad dinámica se interpreta como un coeficiente de difusión de cantidadde movimiento, por otro lado, la viscosidad de bulto o volumétrica

µ′ + 2µ

3

tiene que ser interpretada desde la ecuación anterior. Si un fluido está compuestode moléculas con sólo energía traslacional, entonces la presión mecánica es sólodebida a ésta energía y pT = p, pero si tiene otros modos de energía, comomodos de vibración, rotación, atracción molecular, etc., entonces la energía totalestá contenida en diferentes mecanismos, que en general intercambian energía.Entonces la viscosidad de bulto es una medida de la transferencia de energíaentre su modo traslacional a otros.

1.3.3. Ley de Fourier de la conducción del calor

Existen tres formas de transporte de calor:

Convección: Es el transporte de calor por medio de las corrientes omovimientos de una sustancia. En el estudio de la convección se suelediferenciar entre convección forzada y convección libre. La convecciónlibre consiste en la transferencia de calor cuando el fluido suficientementelejos del sólido está parado y la convección forzada se produce cuando elfluido se mueve lejos del sólido.

Radiación: La emisión de radiación puede ser el proceso dominante paracuerpos relativamente aislados del entorno o para muy altas temperaturas.Un cuerpo muy caliente como norma general emitirá gran cantidad deondas electromagnéticas. La cantidad de energía radiente emitida o calorradiado viene dada por la Ley de Stefan-Boltzmann, de acuerdo con estaley dicho calor radiado es proporcional a su temperatura absoluta elevadaa la cuarta potencia:

P = ασAT 4

donde: P es la potencia radiada, α s un coeficiente que depende de lanaturaleza del cuerpo (α = 1 para un cuerpo negro perfecto), A es el áreade la superficie que radia y σ s la constante de Stefan-Boltzmann con unvalor de 5,67× 10−8W/m2K4.

Conducción: Es la forma de transmitir el calor mediante interacciones aescala microscópica. Existen dos mecanismos de transferencia:

• Molecular. Cuando se calienta un cuerpo, las moléculas que recibendirectamente el calor aumentan su vibración y chocan con las quelas rodean; éstas a su vez hacen lo mismo con sus vecinas hasta quetodas las moléculas del cuerpo se agitan.


• Electrones libres. Los electrones libres al tener una gran capacidadde movilidad pueden transmitir la energía en la red de moléculas yátomos. Generalmente las sustancias que tienen electrones libres sonbuenas conductoras del calor.

Fourier en 1882, formuló su llamada ley del calor la cual dice que:

q = −k ·∇T (1.42)

donde q es el vector flujo de calor por unidad de área, ∇T en coordenadascartesianas es

∇T =i∂T

∂x+j ∂T

∂y+ k ∂T

∂z(1.43)

y k es el tensor de conductividad térmica.

1.3.4. Ley de difusión de Fick

Cuando en un fluido existen diferencias de composición es posible hablar detransferencia de especies químicas. Dicho transporte se da mediante dos mecan-ismos:

Convección: Es el transporte de especies por medio de las corrientes omovimientos del fluido.

Difusión: La difusión es el movimiento de átomos, moléculas o iones deuna región de mayor concentración a una de menor concentración sin re-querir gasto de energía. La difusión implica, no sólo el movimiento al azar(movimiento Browniano) de las partículas hasta lograr la homogénea dis-tribución de las mismas (y esto ocurre cuando las partículas que azarosa-mente vienen se equiparan con las que azarosamente van) sino también elhomogéneo potencial químico del fluido.

Es posible medir de diferentes maneras la cantidad de una especie en unfluido, antes de formular un modelo de difusión se definirán algunos conceptos:

ρA,Concentración másica de A =masa de A

Unidad de Volumen(1.44)

CA,Concentración molar de A =Número de moles de AUnidad de Volumen

(1.45)

CA =ρA

MA, (peso molecular de A)(1.46)

ρ,Concentración másica total o densidad =masa total


C, Concentración molar total =Número de moles totales



xA, fracción molar (líquidos) =CA

C=

Número de moles de ANúmero de moles totales

(1.49)

yA, fracción molar (gases) =CA

C=

Número de moles de ANúmero de moles totales

(1.50)

ωA, fracción másica =ρAρ

=masa de Amasa total

(1.51)

nespecies

i=1

ρi = ρ (1.52)

nespecies

i=1

Ci = C (1.53)

nespecies

i=1

xi =

nespecies

i=1

yi =

nespecies

i=1

wi = 1 (1.54)

En un proceso de transferencia de especies, en general cada una de ellas tendrásu propia velocidad promedio, entonces la especie i tendrá velocidad promediovi. También es posible hablar de velocidad global promedio, la cual puede estar"pesadaçon masa o moles:

vρ =

nespeciesi=1 ρivi nespeciesi=1 ρi

, Velocidad global másica promedio (1.55)

vC =

nespeciesi=1 Civi nespeciesi=1 Ci

, Velocidad global molar promedio (1.56)

Ahora es posible definir la velocidad de difusión de la especie i con respecto auno de los promedios globales para la velocidad:

vi − vρ ≡ Velocidad de difusión de la especie i respecto a vρ (1.57)

vi − vC ≡ Velocidad de difusión de la especie i respecto a vC (1.58)

y las densidades de flujo de la especie. Si el sistema de referencia está en reposo:

ni = ρivi ≡ densidad de flujo másico (1.59)

Ni = Civi ≡ densidad de flujo molar (1.60)

Si el sistema de referencia se mueve a la velocidad global promedio:

jρi = ρi (vi − vρ) ≡ densidad de flujo másico relativa a vρ (1.61)

Jρi = Ci (vi − vρ) ≡ densidad de flujo molar relativa a vρ (1.62)

jCi = ρi (vi − vC) ≡ densidad de flujo másico relativa a vC (1.63)

JCi = Ci (vi − vC) ≡ densidad de flujo molar relativa a vC (1.64)


Primera Ley de Fick de difusión

Siguiendo la filosofía propuesta por Onsager, se puede proponer que:

JCA = −CD ·∇xA (1.65)

donde D es la matriz de coeficientes de difusión. En una dimensión y para sólodos componentes:

JCA = −CDAB∇xA (1.66)

o bien:

Densidad de flujo Gradiente Primera ley de FicknA ∇ωA nA − ωA (nA + nB) = −ρDAB∇ωA

NA ∇xA NA − xA (NA +NB) = −CDAB∇xA

jρA ∇ωA jρA = −ρDAB∇ωA

JCA ∇xA JCA = −CDAB∇xA

jρA ∇xA jρA = −C2

ρ MAMBDAB∇xA

JCA ∇ωA JCA = − ρ2

CMAMBDAB∇ωA

(1.67)

Capítulo 2

Ecuaciones de balance yconservación

2.1. Teorema del transporte de Reynolds

En un sistema de referencia lagrangiano considere una porción de masa es-pecífica de fluido que se rastrea por un corto período de tiempo δt, conforme elfluido se mueve.

Sea α cualquier propiedad del fluido tal como su masa, energía o cantidadde movimiento en una dirección específica. Debido a que se utilizó un sistemade referencia estático x0, y0, z0 y t son variables independientes. La cantidad αserá sólo función del tiempo si el volumen de control V (t) (que contiene a lamasa) se mueve y deforma con el fluido, es decir, α = α (t). La razón de cambiode la integral de α en V será:

D

Dt

V (t)

α (t) dV = lımδt→0

1

δt

V (t+δt)

α (t + δt) dV −

V (t)

α (t) dV

(2.1)

D

Dt

V (t)


1

δt

V (t+δt)

α (t + δt) dV −

V (t)

α (t + δt) dV

+(2.2)

lımδt→0

1

δt

V (t)

α (t + δt) dV −

V (t)

α (t) dV

(2.3)

D

Dt

V (t)


1

δt

V (t+δt)−V (t)α (t + δt) dV

+ (2.4)

V (t)

lımδt→0

α (t + δt)− α (t)

δtdV

(2.5)

15

16 CAPÍTULO 2. ECUACIONES DE BALANCE Y CONSERVACIÓN

Figura 2.1: Deformación de un volumen de control

D

Dt

V (t)


1

δt

V (t+δt)−V (t)α (t + δt) dV

+

V (t)

∂α

∂tdV (2.6)

Para entender la primera integral del lado derecho de la ecuación utilizare-mos consideraciones geométricas. Sea S (t) la superficie que contiene al volumende control V (t). En cualquier punto de su superficie podemos asociar una ve-locidad u y un vector normal hacia afuera n. Si el volumen se deforma desdeV (t) a V (t + δt) un diferencial del incremento de volumen se puede obtenermultiplicando el avance de la superficie u · nδt por el elemento de superficiecorrespondiente (Ver figura siguiente).

δV = u · nδtδS

Entonces la integral queda en terminos de un diferencial de volumen

D

Dt

V (t)


1

δt

α (t + δt)u · nδtδS

+

V (t)

∂α

∂tdV (2.7)

D

Dt

V (t)

α (t) dV =

S(t)

α (t)u · nδS +

V (t)

∂α

∂tdV (2.8)

La ecuación anterior relaciona los cambios de una función en un volumen de con-trol con lo que ocurre dentro y sobre la superficie de dicho volumen. Utilizandoel teorema de Gauss:

S(t)

αu · nδS =

V (t)

∇ · (αu) dV (2.9)

2.2. CONSERVACIÓN DE LA MASA 17

se obtiene el Teorema de Transporte de Reynolds:

D

Dt

V (t)

α (t) dV =

V (t)

∂α

∂t+∇ · (αu)

dV (2.10)

Esta ecuación relaciona el sistema de referencia de Lagrange con el de Euler.

2.2. Conservación de la masa

La ley de conservación de la masa implica que la masa de un volumen decontrol

V

ρdV (2.11)

permanece constante en el tiempo, es decir,

D

Dt

V

ρdV = 0 (2.12)

Utilizando el teorema de transporte de Reynold se obtiene:

V (t)

∂ρ

∂t+∇ · (ρu)

dV = 0 (2.13)

debido a que el teorema es válido para un volumen arbitrario, la ecuación ante-rior sólo puede satisfacerse si

∂ρ

∂t+∇ · (ρu) = 0 (2.14)

Esta ecuación es la ecuación de conservación de la masa para una sola fase (ysin cambios de fase). Matemáticamente implica que la velocidad es un funcióncontinua, debido a esto también se le conoce como la ecuación de continuidad.La ecuación de continuidad se puede dejar en términos de la derivada material.

∂ρ

∂t+ u ·∇ρ + ρ∇ · u = 0 (2.15)

Dρ

Dt+ ρ∇ · u = 0 (2.16)

Para muchos casos prácticos la densidad es prácticamente constante, entoncesse dice que el fluido es incompresible y Dρ

Dt = 0, debido a que siempre ρ = 0, laecuación de continuidad se convierte en:

∇ · u = 0 (2.17)


2.3. Balance de la cantidad de movimiento

La aplicación de la segunda ley de Newton en un fluido resulta en la ecuaciónde conservación de momentum. Implica que el cambio en el momentum es iguala las fuerzas que actúan sobre una masa de fluido. Las fuerzas que actúan sobreuna masa de fluidos pueden ser:

Fuerzas de cuerpo: Fuerzas gravitatorias y electromagnéticas. Si f esun vector que representa la resultante de las fuerzas de cuerpo por unidadde masa, la fuerza externa neta actuando sobre una porción de masa queocupa un volumen V será:

V

ρfdV (2.18)

Fuerzas de superficie: Fuerzas debidas a presiones o esfuerzos viscosos.Si Fs es un vector de superficie que representa la fuerza resultante porunidad de superficie S que contiene a un volumen de control V, la fuerzaneta externa actuando sobre la superficie del volumen de control será:

S

FsdS (2.19)

En un volumen de control V la cantidad de movimiento dentro de él estádado por:

V

ρudV (2.20)

y la razón de cambio del momentum es:

D

Dt

V

ρudV (2.21)

El balance de la cantidad de movimiento en un volumen de control es:

D

Dt

V

ρudV =

S

FsdS+

V

ρfdV (2.22)

Utilizando el tensor de esfuerzos esta ecuación queda en notación tensorial:

D

Dt

V

ρujdV =

S

σijnidS+

V

ρfjdV (2.23)

Utilizando el teorema del Gauss

S

σijnidS =

V

∂σij

∂xidV (2.24)

y el teorema de transporte de Reynolds, el balance de momentum queda como:

V

∂

∂t(ρuj) +

∂

∂xk(ρujuk)

dV =

V

∂σij

∂xidV +

V

ρfjdV (2.25)

2.4. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA 19

V

∂

∂t(ρuj) +

∂

∂xk(ρujuk)−

∂σij

∂xi− ρfj

dV = 0 (2.26)

Para cualquier volumen arbitrario, la ecuación es válida si:

∂

∂t(ρuj) +

∂

∂xk(ρujuk) =

∂σij

∂xi+ ρfj (2.27)

Expandiendo la ecuación:

ρ∂uj

∂t+ uj

∂ρ

∂t+ uj

∂

∂xk(ρuk) + ρuk

∂uj

∂xk=

∂σij

∂xi+ ρfj (2.28)

ρ∂uj

∂t+ uj

∂ρ

∂t+

∂

∂xk(ρuk)

+ ρuk

∂uj

∂xk=

∂σij

∂xi+ ρfj (2.29)

Utilizando la ecuación de continuidad se obtiene la ecuación de balance de can-tidad de movimiento:

ρ∂uj

∂t+ ρuk

∂uj

∂xk=

∂σij

∂xi+ ρfj (2.30)

2.4. Conservación de Energía

La primera ley de la termodinámica aplicada a un elemento de control en elfluido implica que la energía se conserva. El cambio en la energía interna es iguala la suma del trabajo realizado sobre el sistema y el flujo de calor. La densidadde energía en un sistema que se mueve es la suma de su energía interna porunidad de masa, e y la energía cinética por unidad de masa 1

2u · u. Entonces lacantidad de energía contenida en el volumen V es:

V

ρe +

1

2ρu · u

dV (2.31)

El trabajo realizado sobre el fluido es el producto escalar entre los vectoresvelocidad y fuerza u ·Fs. Entonces el trabajo total realizado sobre una superficieS que encierra al volumen de control V, está dado por:

S

u · FsdS (2.32)

Por otro lado, el trabajo realizado por las fuerzas de cuerpo es:

V

u·ρfdV (2.33)

Los flujos de calor que salen del volumen de control por unidad de área porunidad de tiempo serán:

S

q · ndS (2.34)


Finalmente la ecuación de conservación de Energía tiene la forma:

D

Dt

V

ρe +

1

2ρu · u

dV =

S

u ·FsdS +

V

u·ρfdV −

S

q · ndS (2.35)

Utilizando el teorema de transporte de Reynolds:

V

∂

∂t

ρe +

1

2ρu · u

+

∂

∂xk

ρe +

1

2ρu · u

uk

dV

=

S

u ·FsdS +

V

u·ρfdV −

S

q · ndS (2.36)

Utilizando el teorema de Gauss para convertir las integrales de superficie enintegrales de volumen y utilizando notación tensorial:

V

∂

∂t

ρe +

1

2ρujuj

+

∂

∂xk

ρe +

1

2ρujuj

uk

dV

=

V

∂

∂xi(ujσij) dV +

V

ujρfjdV −

V

∂qj∂xj

dV (2.37)

o bien,

∂

∂t

ρe +

1

2ρujuj

+

∂

∂xk

ρe +

1

2ρujuj

uk =

∂

∂xi(ujσij) + ujρfj −

∂qj∂xj

(2.38)Expandiendo

∂

∂t

ρe +

1

2ρujuj

= ρ

∂e

∂t+ e

∂ρ

∂t+ ρ

∂

∂t

1

2ujuj

+1

2ujuj

∂ρ

∂t(2.39)

si ∂∂xk

(ρuk) = −∂ρ∂t por la ec. de continuidad, se obtiene que:

∂

∂t

ρe +

1

2ρujuj

= ρ

∂e

∂t− e

∂

∂xk(ρuk) + ρuj

∂uj

∂t+1

2ujuj

∂ρ

∂t(2.40)

∂

∂xk

ρe +

1

2ρujuj

uk = e

∂

∂xk(ρuk) + ρuk

∂e

∂xk+

1

2ujuj

∂

∂xk(ρuk) + ρuk

∂

∂xk

1

2ujuj

(2.41)

∂

∂t

ρe +

1

2ρujuj

+

∂

∂xk

ρe +

1

2ρujuj

uk

= ρ∂e

∂t+ ρuk

∂e

∂xk+ ρuj

∂uj

∂t+ ρujuk

∂uj

∂xk(2.42)


Además:∂

∂xi(ujσij) = uj

∂σij

∂xi+ σij

∂uj

∂xi(2.43)

con estos resultados la ec. de conservación de energía queda como:

ρ∂e

∂t+ ρuk

∂e

∂xk+ ρuj

∂uj

∂t+ ρujuk

∂uj

∂xk(2.44)

= uj∂σij

∂xi+ σij

∂uj

∂xi+ ujρfj −

∂qj∂xj

(2.45)

o bien,

ρ∂e

∂t+ρuk

∂e

∂xk+ρuj

∂uj

∂t+ρujuk

∂uj

∂xk−uj

∂σij

∂xi−σij

∂uj

∂xi−ujρfj = −

∂qj∂xj

(2.46)

ρ∂e

∂t+ρuk

∂e

∂xk+uj

ρ

∂uj

∂t+ ρuk

∂uj

∂xk− ∂σij

∂xi− ρfj

−σij

∂uj

∂xi= − ∂qj

∂xj(2.47)

Recondando que de la ecuación de momentum ρ∂uj∂t + ρuk

∂uj∂xk

= ∂σij∂xi

+ ρfj laec. de la energía toma la forma:

ρ∂e

∂t+ ρuk

∂e

∂xk= σij

∂uj

∂xi− ∂qj

∂xj(2.48)

Capítulo 3

Propiedades de los fluidos

3.1. Fluidos no Newtonianos

3.1.1. Reología

Se denomina Reología, palabra introducida por Eugen Bingham en 1929, alestudio de la deformación y el fluir de la materia. La Real Academia Españoladefine reología como: estudio de los principios físicos que regulan el movimientode los fluidos.

Una definición más moderna expresa que la reología es la parte de la físicaque estudia la relación entre el esfuerzo y la deformación en los materiales queson capaces de fluir. La reología es una parte de la mecánica de medios con-tinuos. Una de las metas más importantes en reología es encontrar ecuacionesconstitutivas para modelar el comportamiento de los materiales.

Reograma de un sólido

3.1.2. Clasificación de fluidos no newtonianos

Los fluidos no newtonianos se pueden clasificar utilizando el comportamientode la viscosidad.

La viscosidad dinámica, µ, relaciona a las fuerzas de corte con los esfuer-zos. Otra forma útil de representar a la viscosidad dinámica es la viscosidadcinématica ν,

ν =µ

ρ(3.1)

la cual es una medida de la facilidad que tiene un fluido para difundir cantidadde movimiento. Otra viscosidad dinámica útil en la descripción de fluidos noNewtonianos es la viscosidad aparente, la cual se define como

µap = −τdvdx

(3.2)

23

24 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Figura 3.1:

y no es constante, sino que varía para cada esfuerzo o velocidad de corte apli-cados.

La siguiente tabla muestra una clasificación de los materiales en términos desu viscosidad aparente.

La figura siguiente muestra el comportamiento de los esfuerzos y la razón dedeformación para diferentes fluidos.

Otra clasificación de los fluidos no newtonianos es la siguiente:

3.1. FLUIDOS NO NEWTONIANOS 25

Figura 3.2:

Figura 3.3:

26 CAPÍTULO 3. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Figura 3.4:

Capítulo 4

Ecuaciones deNavier-Stokes

Suponga un sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z) en donde un fluidonewtoniano de densidad ρ y viscosidad dinámica µ tiene asociado un vectorde velocidad −→u = (ux, uy, uz), en espacio tiene asociada una fuerza de cuerpo(gravedad) cuyo vector es −→g = (gx, gy, gz) . La ecuación de balance de cantidadde movimiento es:

ρ

∂uj

∂t+ uk

∂uj

∂xk

= − ∂p

∂xj+

∂

∂xj

µ′

∂uk

∂xk

+

∂

∂xi

µ

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

+ ρgj

(4.1)Estas relaciones se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes y se tienenque resolver acopladas a la ecuación de continuidad:

∂ρ

∂t+

∂

∂xk(ρuk) = 0 (4.2)

Si se supone que (relación de Stokes)

pT − p = µ′ +2µ

3≃ 0 (4.3)

y que la viscosidad y la densidad son constantes (flujo incompresible):

ρ

∂uj

∂t+ uk

∂uj

∂xk

= − ∂p

∂xj+ µ

∂uj

∂xi∂xi+ ρgj (4.4)

27

28 CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

O bien,

ρ

∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y+ uz

∂ux

∂z

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2+

∂2ux

∂z2

+ ρgx (4.5)

ρ

∂uy

∂t+ ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y+ uz

∂uy

∂z

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2+

∂2uy

∂z2

+ ρgy (4.6)

ρ

∂uz

∂t+ ux

∂uz

∂x+ uy

∂uz

∂y+ uz

∂uz

∂z

= −∂p

∂z+ µ

∂2uz

∂x2+

∂2uz

∂y2+

∂2uz

∂z2

+ ρgz (4.7)

La cual se tiene que resolver junto con la ecuación de continuidad para un fluidoincompresible

∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z= 0 (4.8)

En coordenadas cilíndricas (x, y, z)→ (r, θ, z) y (ux, uy, uz)→ (ur, uθ, uz):

ρ

∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+

uθ

r

∂ur

∂θ− u2θ

r+ uz

∂ur

∂z

= −∂p

∂r+ ρgr + µ

∇2ur −

ur

r2− 2

r2∂uθ

∂θ

(4.9)

ρ

∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+

uθ

r

∂uθ

∂θ+

uθur

r+ uz

∂uθ

∂z

= −1r

∂p

∂θ+ ρgθ + µ

∇2uθ +

2

r2∂ur

∂θ− uθ

r2

(4.10)

ρ

∂uz

∂t+ ur

∂uz

∂r+

uθ

r

∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z

= −∂p

∂z+ ρgz + µ∇2uz (4.11)

∇2 =1

r

∂

∂r

r

∂

∂r

+

1

r2∂2

∂θ2+

∂2

∂z2(4.12)

con la ecuación de continuidad

∂ρ

∂t+1

r

∂ (ρrur)

∂r+1

r

∂ (ρuθ)

∂θ+

∂ (ρuz)

∂z= 0 (4.13)

En coordenadas esféricas TAREA

4.1. CONDICIONES DE FRONTERA 29

4.1. Condiciones de frontera

4.1.1. No deslizamiento

El fluido sobre la superficie de un sólido tiene la misma velocidad (vectorial)que él. Esta condición es generalmente una buena aproximación.

4.1.2. Frontera impermeable

En la frontera líquido-sólido de una superficie impermeable la velocidad nor-mal a la superficie es cero.

4.1.3. Simetrías

En los ejes de simetría la función velocidad perpendicular tiene, un máximo,un mínimo o un punto de silla, por lo que las derivadas normales a la superficieo línea de simetría son cero.

30 CAPÍTULO 4. ECUACIONES DE NAVIER-STOKES

Capítulo 5

Soluciones exactas a lasecuaciones de Navier-Stokes

5.1. Flujo de Couette

Considere un fluido newtoniano incompresible entre dos placas paralelas hor-izontales cuya longitud, L, es mucho más grande que la distancia entre ellas, h.Una de las placas se mueve respecto a la otra a una velocidad U0 en direcciónx.

Las ecuaciones que rigen al sistema son:

ρ

∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y+ uz

∂ux

∂z

(5.1)

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2+

∂2ux

∂z2

+ ρgx (5.2)

ρ

∂uy

∂t+ ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y+ uz

∂uy

∂z

(5.3)

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2+

∂2uy

∂z2

+ ρgy (5.4)

ρ

∂uz

∂t+ ux

∂uz

∂x+ uy

∂uz

∂y+ uz

∂uz

∂z

= −∂p

∂z+ µ

∂2uz

∂x2+

∂2uz

∂y2+

∂2uz

∂z2

+ ρgz (5.5)


∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z= 0 (5.6)

31

32CAPÍTULO 5. SOLUCIONES EXACTASA LAS ECUACIONES DENAVIER-STOKES

Figura 5.1:

Por simetría uz = 0 y ∂2

∂z2 = 0, si se desprecian los efectos gravitatorios y seresuelve el problema estacionario

ρ

ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2

ρ

ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2

(5.7)

0 = −∂p

∂z


∂ux

∂x+

∂uy

∂y= 0 (5.8)

Estudio de órdenes de magnitud en la ecuación de continuidad

ux ∼ U0

y ∼ h

x ∼ L

uy ∼ ?

ux

x∼ uy

y

U0L

∼ uy

h

uy ∼ h

LU0

5.1. FLUJO DE COUETTE 33

pero sih << L

entoncesuy ∼ 0

y las ecuaciones se simplificas a:

ρux∂ux

∂x= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2

0 = −∂p

∂y(5.9)

0 = −∂p

∂z

de las últimas dos ecuacionesp = p (x) (5.10)

el estudio de los órdenes de magnitud en la ecuación restante son:

ρux∂ux

∂x= −dp

dx+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2

(5.11)

ρU20

L∼ ∆p

L+ µ

U0L2

+U0h2

(5.12)

ρU20

L∼ ∆p

L+ µ

U0h2

(5.13)

para U0 y ∆p pequeñas o de orden unidad

0 ∼ µU0h2

(5.14)

lo anterior en términos de la ecuación diferencial

0 = µ∂2ux

∂y2(5.15)

0 =∂2ux

∂y2(5.16)

Condiciones de frontera

ux (y = 0) = 0 (5.17)

ux (y = h) = U0 (5.18)

El problema queda definido de la siguiente forma:

ux = ux (y, h, U0)


Figura 5.2:

Es posible adimensionalizar el sistema utilizando en siguiente conjunto de trans-formadas:

v =ux

U0(5.19)

η =y

h(5.20)

los que lleva a:

0 =∂2v

∂η2(5.21)

v (η = 0) = 0 (5.22)

v (η = 1) = 1 (5.23)

En este caso el problema queda definido como:

v = v (η) (5.24)

La solución de la ecuación diferencial es:

v = C1η + C2 (5.25)

Utilizando las condiciones de frontera se obtiene

v = η (5.26)

5.2. Flujo de Poiseuille

Suponga dos placas paralelas horizontales de longitud L separadas una dis-tancia 2h. Entre las placas en reposo hay un fluido newtoniano de densidad ρy viscosidad µ constantes. En uno de los extremos de las placas se aplica unapresión P1 y en el otro una presión P2 < P1.

5.2. FLUJO DE POISEUILLE 35

El sistema está gobernado por las ecuaciónes de conservación de masa y deNavier-Stokes.

ρ

∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y+ uz

∂ux

∂z

(5.27)

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2+

∂2ux

∂z2

+ ρgx (5.28)

ρ

∂uy

∂t+ ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y+ uz

∂uy

∂z

(5.29)

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2+

∂2uy

∂z2

+ ρgy (5.30)

ρ

∂uz

∂t+ ux

∂uz

∂x+ uy

∂uz

∂y+ uz

∂uz

∂z

(5.31)

= −∂p

∂z+ µ

∂2uz

∂x2+

∂2uz

∂y2+

∂2uz

∂z2

+ ρgz (5.32)

0 =∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z(5.33)

Si se coloca al eje x a lo largo de las placas y al eje y transversal a ellas, en ladirección restante z habrá una simetría tal que uz =

∂∂z = 0. Además el vector

gravedad será −→g = gy = g. Entonces el problema estacionario:

ρ

ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2

(5.34)

ρ

ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2

+ ρg (5.35)

∂ux

∂x+

∂uy

∂y= 0 (5.36)

Si el sistema de referencia se coloca en la entrada de las placas y en medio deambas. Las condiciones de frontera son

ux (y = h) = 0 (5.37)∂ux

∂y

y=0

= 0 (5.38)

p (x = 0) = P1 (5.39)

p (x = L) = P2 (5.40)

Los órdenes de magnitud en la ecuación de continuidad si se tiene que:

ux ∼ U0 (5.41)

y ∼ h (5.42)

x ∼ L (5.43)

uy ∼ ? (5.44)


es

∂ux

∂x+

∂uy

∂y= 0 (5.45)

ux

x∼ uy

y(5.46)

U0L

∼ uy

h(5.47)

uy ∼ h

LU0 (5.48)

pero sih << L (5.49)

entoncesuy ∼ 0 (5.50)

Con esto las ecuaciones de Navier-Stokes:

ρux∂ux

∂x= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2

(5.51)

∂p

∂y= ρg (5.52)

∂ux

∂x= 0 (5.53)

se reducen a:

0 = −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂y2(5.54)

∂p

∂y= ρg (5.55)

Adimensionalizando con el siguiente conjunto de transformaciones:

θ =p

P1 − P2=

p

∆P(5.56)

η =y

h(5.57)

ξ =x

L(5.58)

u =ux

U0(5.59)

las ecuaciones quedan como:

∆P

L

∂θ

∂ξ=

µU0h2

∂2u

∂η2(5.60)

∆P

h

∂θ

∂η= ρg (5.61)

5.2. FLUJO DE POISEUILLE 37

o bien

∂θ

∂ξ=

µU0L

∆Ph2∂2u

∂η2(5.62)

∂θ

∂η=

ρgh

∆P(5.63)

Si definimos a

U0 =h2∆P

µL(5.64)

Y si se supone que ρgh∆P << 1. Es decir, las diferencias de presión debidas a la

gravedad son mucho menores que ∆P. Las ecuaciones quedan como:

dθ

dξ=

∂2u

∂η2(5.65)

∂θ

∂η= 0 (5.66)

Con las condiciones de frontera:

u (η = 1) = 0 (5.67)∂u

∂η

η=0

= 0 (5.68)

θ (ξ = 0) =P1∆P

(5.69)

θ (ξ = 1) =P2∆P

(5.70)

Integrando

dθ

dξdη =

∂2u

∂η2dη (5.71)

ηdθ

dξ+ C1 =

∂u

∂η(5.72)

Utilizando la condición de frontera ∂u∂η

η=0

= 0, C1 = 0. Entonces

dθ

dξ

ηdη =

∂u

∂ηdη (5.73)

dθ

dξ

η2

2+ C2 = u

Usando la condición de frontera u (η = 1) = 0,

dθ

dξ

1

2+ C2 = 0 (5.74)

C2 = −dθ

dξ

1

2


u =dθ

dξ

η2

2− dθ

dξ

1

2

u = −12

dθ

dξ

1− η2

(5.75)

Integrando en η: 1

−1udη = −1

2

dθ

dξ

1

−1

1− η2

dη (5.76)

Q = −12

dθ

dξ

4

3(5.77)

Q = −23

dθ

dξ(5.78)

dθ

dξ= −3

2Q (5.79)

Integrando en ξ

θ = −3

2

Qdξ + C3 (5.80)

θ = −3

2Qξ + C3 (5.81)

Utilizando las condiciones de frontera para θ.

θ (ξ = 0) =P1∆P

(5.82)

θ (ξ = 1) =P2∆P

(5.83)

P1∆P

= C3 (5.84)

P2∆P

= −3

2Q + C3 → Q =

2

3

P1∆P

− P2∆P

=

2

3(5.85)

o bien,

θ = −ξ +P1∆P

(5.86)

dθ

dξ= −1 (5.87)

θ = −ξ +P1

P1 − P2(5.88)

θ =P1 − ξ (P1 − P2)

P1 − P2(5.89)

5.3. FLUJO ENTRE DOS CILÍNDROS ROTANDO 39

Entonces la solución para la velocidad y la presión son:

u =1

2

1− η2

(5.90)

θ =P1 − ξ (P1 − P2)

P1 − P2(5.91)

Regresando a las variables originales:

ux =h2∆P

2µL

1− y2

h2

p = P1 −x

L(P1 − P2)

Qx =h2∆P

2µL

h

−h

1− y2

h2

dy =

h2∆P

2µL

4

3h

Qx =2

3

h3∆P

µL

5.3. Flujo entre dos cilíndros rotando

Supónga dos cilíndros de longitud L, concéntricos y rotando alrededor de sueje axial a diferentes velocidades angulares. El cilíndro interior de radio Ri giraa una velocidad angular ωi y el exterior de radio Re gira a velocidad angular ωe.Adentro de los dos cilíndros hay un fluido newtoniano de densidad ρ y viscosidadµ, ambas constantes.


Las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad en coordenadas cilíndricastienen la forma:

ρ

∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+

uθ

r

∂ur

∂θ− u2θ

r+ uz

∂ur

∂z

= −∂p

∂r+ ρgr + µ

∇2ur −

ur

r2− 2

r2∂uθ

∂θ

(5.92)

ρ

∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+

uθ

r

∂uθ

∂θ+

uθur

r2+ uz

∂uθ

∂z

= −1r

∂p

∂θ+ ρgθ + µ

∇2uθ −

uθ

r2− 2

r2∂ur

∂θ

(5.93)

ρ

∂uz

∂t+ ur

∂uz

∂r+

uθ

r

∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z

(5.94)

= −∂p

∂z+ ρgz + µ∇2uz (5.95)

∇2 =1

r

∂

∂r

r

∂

∂r

+

1

r2∂2

∂θ2+

∂2

∂z2(5.96)

∂ρ

∂t+1

r

∂ (ρrur)

∂r+1

r

∂ (ρuθ)

∂θ+

∂ (ρuz)

∂z= 0 (5.97)

Si el problema es estacionario, se supone simetría en el eje z, se desprecian losefectos gravitatorios y se considera que la densidad es constante. Las ecuacionesse reducen a:

ρ

ur

∂ur

∂r+

uθ

r

∂ur

∂θ− u2θ

r

= −∂p

∂r+ µ

∇2ur −

ur

r2− 2

r2∂uθ

∂θ

(5.98)

ρ

ur

∂uθ

∂r+

uθ

r

∂uθ

∂θ+

uθur

r2

= −1

r

∂p

∂θ+ µ

∇2uθ −

uθ

r2− 2

r2∂ur

∂θ

(5.99)

∇2 =1

r

∂

∂r

r

∂

∂r

+

1

r2∂2

∂θ2(5.100)

1

r

∂ (rur)

∂r+1

r

∂uθ

∂θ= 0 (5.101)

Debido a que los cilíndros son concéntricos la solución tiene simetría en θ, en-tonces ∂

∂θ = 0:

ρ

ur

∂ur

∂r− u2θ

r

= −∂p

∂r+ µ

1

r

∂

∂r

r

∂ur

∂r

− ur

r2

(5.102)

ρ

ur

∂uθ

∂r+

uθur

r2

= µ

1

r

∂

∂r

r

∂uθ

∂r

− uθ

r2

(5.103)


∂ (rur)

∂r= 0 (5.104)

rur = A (θ) (5.105)

ur =A (θ)

r(5.106)

Por simetría A (θ) = cte, y entonces:

ur =cte

r(5.107)

Evaluando en r = Ri o Re, ur =cter = 0→ cte = 0 y ur = 0.

−ρu2θr

= −∂p

∂r(5.108)

0 =∂

∂r

r

∂uθ

∂r

− uθ

r(5.109)

0 =∂2uθ

∂r2+1

r

∂uθ

∂r− uθ

r2(5.110)

0 =∂2uθ

∂r2+

∂

∂r

uθ

r

(5.111)

Finalmente el problema es:

−ρu2θr

= −dp

dr(5.112)

0 =d2uθ

dr2+

d

dr

uθ

r

(5.113)

Con las condiciones de frontera

uθ (r = Ri) = Riωi (5.114)

uθ (r = Re) = Reωe (5.115)

p (r = Ri) = pi (5.116)

Integrando la segunda ecuación

d2uθ

dr2dr +

d

dr

uθ

r

dr = 0 (5.117)

duθ

dr+

uθ

r= C1 (5.118)

rduθ

dr+ uθ = rC1 (5.119)

d (ruθ)

dr= rC1 (5.120)


Integrando nuevamente

ruθ =r2

2C1 + C2 (5.121)

o bien

uθ =r

2C1 +

C2r

(5.122)

Utilizando las condiciones de frontera:

Riωi =Ri

2C1 +

C2Ri

(5.123)

Reωe =Re

2C1 +

C2Re

(5.124)

Dividiendo por Ri y Re

ωi =1

2C1 +

C2R2i

(5.125)

ωe =1

2C1 +

C2R2e

(5.126)

y restando

ωe − ωi =C2R2e

− C2R2i

(5.127)

C2 =ωe − ωi1R2e− 1

R2i

= − ωe − ωi

R2e −R2

i

R2eR2

i (5.128)

Sustituyendo este resultado en las primeras ecuaciones

ωi =1

2C1 −

ωe − ωi

R2e −R2

i

R2e (5.129)

C1 =

ωi +

ωe − ωi

R2e −R2

i

R2e

(5.130)

C1 = 2ωiR2

e − ωiR2i + ωeR2

e − ωiR2e

R2e −R2

i

(5.131)

C1 = 2−ωiR

2i + ωeR

2e

R2e −R2

i

(5.132)

C1 = 2ωeR

2e − ωiR

2i

R2e −R2

i

(5.133)

Entonces la solución es:

uθ =r

22

ωeR2e − ωiR2

i

R2e −R2

i

− ωe − ωi

R2e −R2

i

R2eR2

i

1

r(5.134)

uθ =ωeR

2e − ωiR

2i

R2e −R2

i

r − ωe − ωi

R2e −R2

i

R2eR2

i

1

r(5.135)

uθ =1

R2e −R2

i

ωeR

2e − ωiR

2i

r − (ωe − ωi)R2

eR2i

1

r

(5.136)


Entonces la presión es:

∂p

∂r= ρ

u2θr

(5.137)

∂p

∂r= ρ

1

r

1

R2e −R2

i

ωeR

2e − ωiR

2i

r − (ωe − ωi)R2

eR2i

1

r

2(5.138)

∂p

∂r=

ρ

(R2e −R2

i )2

ωeR2

e − ωiR2i

2r

−2 (ωe − ωi)R2eR2

i

ωeR

2e − ωiR

2i

1r

+(ωe − ωi)2 R4

eR4i1r3

(5.139)

Integrando

p =ρ

(R2e −R2

i )2

ωeR

2e − ωiR

2i

2 r2

2−2 (ωe − ωi)R2

eR2i

ωeR

2e − ωiR

2i

ln r

− (ωe − ωi)2 R4

eR4i12r2

(5.140)

+C4 (5.141)

En donde C4 se obtiene de la condición de frontera p (r = Ri) = pi.Ejemplo sea Re = 2 y Ri = 1

uθ =1

3

(4ωe − ωi) r − 4 (ωe − ωi)

1

r

(5.142)

si ωe = ωi = 1uθ = r (5.143)

si ωe = 1 y ωi = 0

uθ =1

3

4r − 4

1

r

(5.144)

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.00.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y


si ωe = 1 y ωi = −1uθ =

1

3

5r − 8

1

r

(5.145)

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

-1

0

1

2

x

y

p

ρ=

1

9

25

r2

2− 16 (5) ln r − 64

1

2r2

(5.146)

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

-2.1

-2.0

-1.9

-1.8

-1.7

-1.6

-1.5

x

y

5.4. PRIMER PROBLEMA DE STOKES 45

Figura 5.3:

Si ωe = 1 y ωi = 4

uθ = 41

r(5.147)

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.02.0

2.5

3.0

3.5

4.0

x

y

5.4. Primer problema de Stokes

Considere a un fluido Newtoniano de propiedades constantes sobre una placahorizontal infinita colocada en el plano xz. Al tiempo t = 0 la placa se mueve avelocidad constante U en dirección a eje x.


Las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad son en este caso:

ρ

∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y+ uz

∂ux

∂z

(5.148)

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2+

∂2ux

∂z2

(5.149)

ρ

∂uy

∂t+ ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y+ uz

∂uy

∂z

(5.150)

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2+

∂2uy

∂z2

+ ρg (5.151)

ρ

∂uz

∂t+ ux

∂uz

∂x+ uy

∂uz

∂y+ uz

∂uz

∂z

(5.152)

= −∂p

∂z+ µ

∂2uz

∂x2+

∂2uz

∂y2+

∂2uz

∂z2

(5.153)

0 =∂ux

∂x+

∂uy

∂y+

∂uz

∂z(5.154)

Existe simetría en el eje z,entonces

ρ

∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uy

∂ux

∂y

= −∂p

∂x+ µ

∂2ux

∂x2+

∂2ux

∂y2

(5.155)

ρ

∂uy

∂t+ ux

∂uy

∂x+ uy

∂uy

∂y

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂x2+

∂2uy

∂y2

+ ρg(5.156)

∂ux

∂x+

∂uy

∂y= 0 (5.157)

De igual forma existe simetría en el eje x

ρ

∂ux

∂t+ uy

∂ux

∂y

= µ

∂2ux

∂y2(5.158)

ρ

∂uy

∂t+ uy

∂uy

∂y

= −∂p

∂y+ µ

∂2uy

∂y2+ ρg (5.159)

∂uy

∂y= 0 (5.160)


más aún

ρ

∂ux

∂t+ uy

∂ux

∂y

= µ

∂2ux

∂y2(5.161)

ρ∂uy

∂t= −dp

dy+ ρg (5.162)

uy = uy (x) (5.163)

Por simetría en x (5.164)

uy = cte (5.165)

Pero uy (y = 0) = 0 (5.166)

cte = 0 (5.167)

uy = 0 (5.168)

O bien,

∂ux

∂t= ν

∂2ux

∂y2(5.169)

dp

dy= ρg → p = ρgy + p0 (5.170)

Entonces el problema se reduce a resolver

∂ux

∂t= ν

∂2ux

∂y2(5.171)

Con las condiciones iniciales y de frontera

ux (y = 0, t > 0) = U (5.172)

ux (y →∞) = 0 (5.173)

ux (t = 0,∀y) = 0 (5.174)

Órdenes de magnitud

∂ux

∂t= ν

∂2ux

∂y2(5.175)

U

tc∼ ν

U

y2c(5.176)

o bien

yc ∼√

νtc (5.177)yc√tc

∼√

ν (5.178)

Lo anterior indica que el espesor de la capa de fluido en movimiento crece conla raíz cuadrada del tiempo. Si no hay tiempo ni longitud característica bien


definidas, es posible que exista una variable que englobe a las dos. Lo anteriorsignifica que a una cierta combinación de y y t la función siempre valdrá lomismo. El análisis de órdenes de magnitud sugiere que yc/

√tc podría ser la

variable englobe a las dos. Supónga que la variable de semejanza es del tipo:

η = ay

tn(5.179)

ux = Uf (η) (5.180)

es decir u = u (η) con η = η (y, t) . Aquí a es una constante de proporcionalidady n está por determinarse. Es decir, buscámos un función η tal que para η = cte,u = cte. Las derivadas quedan como:

∂ux

∂t=

∂η

∂t

∂ux

∂η= −an

y

tn+1U

df

dη= −nηU

t

df

dη(5.181)

∂ux

∂y=

∂η

∂y

∂ux

∂η=

a

tnU

df

dη(5.182)

∂2ux

∂y2=

∂η

∂y

∂

∂η

a

tnU

df

dη

(5.183)

∂2ux

∂y2= U

a2

t2n∂

∂η

df

dη

(5.184)

∂2ux

∂y2= U

a2

t2nd2f

dη2(5.185)

Sustituyendo en la ecuación

−nηU

t

df

dη= νU

a2

t2nd2f

dη2(5.186)

o bien,d2f

dη2+

df

dη

t2n−1nη

νa2= 0 (5.187)

Si se escoge el valor de n = 1/2 y a2 = 1/4ν se obtiene la ecuación diferencialordinaria:

d2f

dη2+ 2η

df

dη= 0 (5.188)

donde la variable de semejanza es

η =y

2√

νt(5.189)

ux = Uf (η) (5.190)

Las condiciones de frontera son:

ux (y = 0, t > 0) = U → f (η = 0) = 1 (5.191)

ux (y →∞) = 0→ f (η →∞) = 0 (5.192)

ux (t = 0,∀y) = 0→ f (η →∞) = 0 (5.193)


Finalmente el problema a resolver es:

d2f

dη2+ 2η

df

dη= 0 (5.194)

f (η = 0) = 1 (5.195)

f (η →∞) = 0 (5.196)

Si se reescribe la ecuación diferencial en la forma:

d2fdη2

dfdη

= −2η (5.197)

d

dη

ln

df

dη

= −2η (5.198)

d

dη

ln

df

dη

dη = −

2ηdη (5.199)

Integrando

ln

df

dη

= −η2 + C ′

1 (5.200)

df

dη= e−η

2+C′1 = C1e

−η2 (5.201)

Integrando nuevamente

f (η) = C1

η

0

e−x2

dx + C2 (5.202)

Si f (η = 0) = 1

1 = C1

0

0

e−x2

dx + C2 (5.203)

C2 = 1 (5.204)

Si f (η →∞) = 0

0 = C1

∞

0

e−x2

dx + 1 (5.205)

0 = C11

2

√π + 1 (5.206)

C1 = − 2√π

(5.207)

La solución entonces es:

f (η) = 1− 2√π

η

0

e−x2

dx (5.208)


En teoría de funciones especiales a 2√π

η

0e−x

2

dx se le conoce como la funciónde error

erf (η) =2√π

η

0

e−x2

dx|

con esto

f (η) = 1− erf (η) (5.209)

Regresando a las variables y funciones orginales

ux

U= 1− erf

y

2√

νt

(5.210)

Si ν = 1ux

U= 1− erf

y

2√

t

z0.6

0.8

1.0

0.4

0.2

00.0

5

3

4

10

8

6x

4

2

0

1

2

y

Otra gráfica que puede ser útil es:

1− erf

y

2√1

5.5. SEGUNDO PROBLEMA DE STOKES 51

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

y

5.5. Segundo problema de Stokes

Considere a un fluido Newtoniano de propiedades constantes sobre una placahorizontal infinita colocada en el plano xz. La placa se mueve horizontalmenteen dirección x siguiento la función U cos (nt), las condiciones de frontera seránen este caso:

ux (y = 0) = U cos (nt) (5.211)

ux (y →∞) = 0 (5.212)

Las ecuaciones en este caso son las mismas que para el primer problema deStokes,

∂ux

∂t= ν

∂2ux

∂y2(5.213)

en la ecuación se ve que es necesaria una condición adicional para el tiempo, siel fluido es newtoniano sus propiedades son indepedientes del tiempo y entoncesel fluido estará oscilando a la misma frecuencia entonces:

ux (t, y) = ux (t + T, y) (5.214)

(cos (nt) = cos (n (t + T )) = cos (nt + nT ) → nT = 2π → T = 2π/n). Esta esuna condición períodica.


Para realizar el estudio de órdenes de magnitud se tiene que: tc ∼ T, uc ∼ Uy yc ∼ δ. Entonces

U

T∼ ν

U

δ2(5.215)

δ ∼√

νT (5.216)

δ ∼2πν

n(5.217)

Suponiendo que la solución tendrá que ser períodica se propone una solucióndel tipo

ux (y, t) = f (y) cos (nt) = Ref (y) eint

(5.218)

Sustituyendo en la ecuación diferencial

∂ux

∂t= ν

∂2ux

∂y2(5.219)

Ref (y) ineint

= ν Re

eint

d2f

dy2

(5.220)

Ref (y) ineint

= Re

νeint

d2f

dy2

(5.221)

Re

νeint

d2f

dy2− f (y) ineint

= 0 (5.222)

νeintd2f

dy2− f (y) ineint = 0 (5.223)

d2f

dy2− i

n

νf = 0 (5.224)


ux (y = 0) = U cos (nt)

f (0) cos (nt) = U cos (nt)

f (0) = U (5.225)

ux (y →∞) = 0

f (y →∞) cos (nt) = 0

f (y →∞) = 0 (5.226)

La solución es:d2f

dy2− i

n

νf = 0 (5.227)

f = C1 exp−y

ν

√inν

+ C2 exp

y

ν

√inν


Utilizando z1m = r

1m

cos

θ+2kπ

m

+ i sen

θ+2kπ

m

,donde m ≥ 1 es un

número entero y k = 0, 1, 2, ..., m − 1. Entonces cambiando a forma polar√i =

√ei

π2 .

i12 = cos

π2

2

+ i sen

π2

2

= cos

π

4

+ i sen

π

4

=1√2+ i

1√2

i12 = cos

π2 + 2π

2

+ i sen

π2 + 2π

2

= cos

5π

4

+ i sen

5π

4

= − 1√2− i

1√2

Entontes i12 = ±1+i√

2

f = C1 exp−y

ν

√inν

+ C2 exp

y

ν

√inν

(5.228)

f = C1 exp−y

ν

√nν√

i+ C2 exp

y

ν

√nν√

i

(5.229)

f (y) = C1 exp

−y

ν

√nν

1 + i√2

+ C2 exp

y

ν

√nν

1 + i√2

(5.230)

f (y) = C1e− yν

√nν 1+i√

2 + C2eyν

√nν 1+i√

2 (5.231)

f (y) = C1e− yν

√nν 1√

2− yν

√nν i√

2 + C2eyν

√nν 1√

2+ yν

√nν i√

2 (5.232)

f (y) = C1e− yν

√nν 1√

2 e− yν

√nν i√

2 + C2eyν

√nν 1√

2 e+ yν

√nν i√

2 (5.233)

Con la condición de frontera f (y →∞) = 0 es necesario que C2 = 0. Entonces

f (y) = C1 exp

−y

ν

√nν

1 + i√2

(5.234)

La otra condición de frontera f (0) = U implica que C1 = U de aquí

f (y) = U exp

−y

n

2ν(1 + i)

(5.235)

Regresando a la solución original

ux (y, t) = Re

U exp

−y

n

2ν(1 + i)

eint

(5.236)

= Re

Ue−y√

n2ν(1+i)eint

(5.237)

o bien

ux (y, t) = Re

Ueint−y√

n2ν(1+i)

(5.238)

ux (y, t) = Re

Ue−y√

n2ν ei[nt−y

√n2ν ]

(5.239)

ux (y, t) = Ue−y√

n2ν cos

nt−

n

2νy

(5.240)


Sean n = 1 y ν = 1. Entonces,

ux (y, t)

U= e−y

√12 cos

t−

1

2y

0 0-0.5

-1.0

0.0z0.5

1.0

y

2

x

5

104

Ahora si n = 10 y ν = 1. Entonces,

ux (y, t)

U= e−y

√102 cos

10t−

√5y

!

10 5

1.00.5

x

0.0

-1.0-0.5z 0 0

y

24

El tamaño de la capa de fluido que se mueve se puede estimar de:

ux (y, t) = Ue−y√

n2ν cos

nt−

n

2νy

(5.241)


Si se considera la máxima amplitud de movimiento

uxmax (y, t) = Ue−y√

n2ν (5.242)

uxmax (y, t)

U= e−y

√n2ν (5.243)

Cuanto vale uxmax(y,t)U para la capa límite que se determinó:

δ ∼2πν

n

uxmax (δ, t)

U= e−y

√n2ν = e−

√2πνn

√n2ν

uxmax (δ, t)

U= e−

√π

uxmax (δ, t)

U= 0,169 92

Ejercicios

Resolver el flujo de Poiseuille para una tubería con sección transversalcilíndrica.

Considere un itercambiador de calor formado por dos cilíndros concéntri-cos, en la región anular entre ellos hay un fluido newtoniano. Si la presiónen la entrada y la salida de la tubería es conocida y su longitud es muchomayor que la distancia de separación entre ellas, encuentre el compor-tamiento de la presión, las velocidades y los esfuerzos.

Un viscosímetro consiste en un cilíndro que rota axialmente a velocidad an-gular constante, otro cilindro (fijo) concéntrico de radio mayor está conec-tado a un sistema que mide el torque aplicado sobre él. Encuentre unafunción que relacione a la viscosidad de un fluido newtoniano dentro delos dos cilíndros con el torque.

Un cilíndro gira en un medio infinito saturado con un fluido newtonianoen reposo, encuentre la distribución de velocidades.

Resuelva el segundo problema de Stokes entre dos placas paralelas, unade las cuales no se mueve.

Capítulo 6

Transporte de Calor

6.1. Introducción

6.1.1. Temperatura y Calor

Temperatura. Es una magnitud escalar relacionada con la energía internade un sistema termodinámico. Más específicamente, está relacionada directa-mente con la parte de la energía interna conocida como .energía sensible", quees la energía asociada a los movimientos de las partículas del sistema, sea enun sentido traslacional, rotacional, o en forma de vibraciones. A medida que esmayor la energía sensible de un sistema se observa que esta más çaliente.es decir,que su temperatura es mayor.

Fundamentalmente, la temperatura es una propiedad que poseen los sistemasfísicos a nivel macroscópico, la cual tiene una causa a nivel microscópico, que esla energía promedio por partícula.

Al contrario de otras cantidades termodinámicas como el calor o la entropía,cuyas definiciones microscópicas son válidas muy lejos del equilibrio térmico,la temperatura sólo puede ser medida en el equilibrio, precisamente porque sedefine como un promedio.

La temperatura está íntimamente relacionada con la energía interna y con laentalpía de un sistema: a mayor temperatura mayores serán la energía internay la entalpía del sistema.

La temperatura es una propiedad intensiva, es decir que no depende deltamaño del sistema, sino que es una propiedad que le es inherente y no dependeni de la cantidad de sustancia ni del material del que este compuesto.

Calor, Q. El calor es posible definirlo como energía transferida entre doscuerpos o sistemas, se puede asociar al movimiento de los átomos, moléculas yotras partículas que forman la materia. El calor puede ser generado por reac-ciones químicas (como en la combustión), reacciones nucleares (como en la fusiónnuclear de los átomos de hidrógeno que tienen lugar en el interior del Sol), disi-pación electromagnética (como en los hornos de microondas) o por disipaciónmecánica (fricción). Su concepto está ligado al Principio Cero de la Termod-

57

58 CAPÍTULO 6. TRANSPORTE DE CALOR

inámica, según el cual dos cuerpos en contacto intercambian energía hasta quesu temperatura se equilibre.

El calor puede ser transferido entre objetos por diferentes mecanismos, entrelos que cabe reseñar la radiación, la conducción y la convección, aunque en lamayoría de los procesos reales todos los mecanismos anteriores se encuentranpresentes en mayor o menor grado.

El calor que puede intercambiar un cuerpo con su entorno depende del tipo detransformación que se efectúe sobre ese cuerpo y por tanto depende del camino.Los cuerpos no tienen calor, sino energía interna. El calor es la transferencia departe de dicha energía interna (energía térmica) de un sistema a otro, con lacondición de que estén a diferente temperatura.

Energía. La capacidad para realizar un trabajo. La energía es una mag-nitud física abstracta, ligada al estado dinámico de un sistema cerrado y quepermanece invariable con el tiempo. También se puede definir la energía de sis-temas abiertos, es decir, partes no aisladas entre sí de un sistema cerrado mayor.Un enunciado clásico de la física newtoniana afirmaba que la energía no se creani se destruye, sólo se transforma.

La energía no es un estado físico real, ni una "sustancia intangible"sino sóloun número escalar que se le asigna al estado del sistema físico, es decir, la energíaes una herramienta o abstracción matemática de una propiedad de los sistemasfísicos. Por ejemplo, se puede decir que un sistema con energía cinética nula estáen reposo.

El uso de la magnitud energía en términos prácticos se justifica porque es mu-cho más fácil trabajar con magnitudes escalares, como lo es la energía, que conmagnitudes vectoriales, como la velocidad y la posición. Así, se puede describircompletamente la dinámica de un sistema en función de las energías cinética,potencial y de otros tipos de sus componentes. En sistemas aislados, además,la energía total tiene la propiedad de çonservarse", es decir, ser invariante enel tiempo. Matemáticamente, la conservación de la energía para un sistema esuna consecuencia directa de que las ecuaciones de evolución de ese sistema seanindependientes del instante de tiempo considerado, de acuerdo con el teoremade Noether.

Energía mecánica, que es la combinación o suma de los siguientes tipos:

Energía cinética: debido al movimiento.

Energía potencial la asociada a la posición dentro de un campo de fuerzasconservativo como por ejemplo:

Energía potencial gravitatoria

Energía potencial elástica, debida a deformaciones elásticas. También unaonda es capaz de transmitir energía al desplazarse por un medio elástico.

En termodinámica:

Energía interna, suma de la energía mecánica de las partículas consti-tuyentes de un sistema

6.1. INTRODUCCIÓN 59

Energía térmica, Se le denomina energía térmica a la energía liberada enforma de calor.

Trabajo, W . Es una magnitud que da información sobre la diferencia deenergía que manifiesta un cuerpo al pasar entre dos estados.

En mecánica el trabajo se define como:

W =

F · dl (6.1)

donde F es la fuerza y dl es un diferencial de desplazamiento. En termodinámicael trabajo se define como la acción de la presión sobre un elemento de volumen(dF = PdA):

W =

PdV (6.2)

Calor específico (capacidad calorífica), C. La capacidad calorífica de uncuerpo es razón de la cantidad de energía calorífica transferida a un cuerpo enun proceso cualquiera por su cambio de temperatura correspondiente. En unaforma menos formal es la energía necesaria para aumentar 1 K su temperatura,(usando el SI).[1] Indica la mayor o menor dificultad que presenta dicho cuerpopara experimentar cambios de temperatura bajo el suministro de calor.

Puede interpretarse como una medida de inercia térmica. Es una propiedadextensiva, ya que su magnitud depende de la cantidad de material en el objeto.

C = lım∆T→0

∆Q

∆T(6.3)

o bien,

C = lım∆T→0

∆U +∆W

∆T(6.4)

= lım∆T→0

∆U + P∆V

∆T(6.5)

Si el proceso se lleva a cabo a volumen constante

Cv = lım∆T→0

∆U

∆T

Cv =

∂U

∂T

v

(6.6)

Si el proceso se lleva a cabo a presión constante

Cp =

∂U

∂T

P

+ P

∂V

∂T

P

(6.7)

Difusividad Térmica, α. Se define como:

α =ρC

k

donde k es la conductividad térmica, C es la capacidad calorífica y ρ es ladensidad.


6.2. Leyes de la termodinámica

Ley cero de la termodinámica

Si dos partes de un sistema entran en contacto térmico es probable queocurran cambios en las propiedades de ambas. Estos cambios se deben a latransferencia de calor entre las partes. Para que un sistema esté en equilibriotérmico debe llegar al punto en que ya no hay intercambio de calor entre suspartes, además ninguna de las propiedades que dependen de la temperaturadebe variar.

La Ley cero de la termodinámica establece que si dos sistemas A y B están enequilibrio térmico, con un tercer sistema C, entonces los sistemas A y B estaránen equilibrio térmico entre sí. Este es un hecho empírico más que un resultadoteórico. Ya que tanto los sistemas A, B, y C están todos en equilibrio térmico,es razonable decir que comparten un valor común de alguna propiedad física.Llamamos a esta propiedad temperatura.

Primera ley de la termodinámica

También conocido como principio de conservación de la energía para la ter-modinámica, establece que si se realiza trabajo sobre un sistema o bien ésteintercambia calor con otro, la energía interna del sistema cambiará. Visto deotra forma, esta ley permite definir el calor como la energía necesaria que debeintercambiar el sistema para compensar las diferencias entre trabajo y energíainterna. Fue propuesta por Antoine Lavoisier.

La ecuación general de la conservación de la energía es la siguiente:

∆U = Q−W (6.8)

Es necesario fijar un criterio para los signos de cada una de las cantidades, porejemplo el criterio de signos que se suele utilizar en termodinámica para evaluarlos intercambios entre un sistema y el entorno de energía en forma de calor ytrabajo es el siguiente según la IUPAC (International Union of Pure and AppliedChemistry):

Positivo para el trabajo cedido por el sistema y el calor entregado al sis-tema.

Negativo para el trabajo entregado al sistema y el calor cedido por elsistema.

Segunda ley de la termodinámica

Esta ley regula la dirección en la que deben llevarse a cabo los procesostermodinámicos y, por lo tanto, la imposibilidad de que ocurran en el sentidocontrario (por ejemplo, que una mancha de tinta dispersada en el agua puedavolver a concentrarse en un pequeño volumen). También establece, en algunoscasos, la imposibilidad de convertir completamente toda la energía de un tipo en

6.3. ECUACIÓN DE ENERGÍA 61

otro sin pérdidas. De esta forma, La Segunda ley impone restricciones para lastransferencias de energía que hipotéticamente pudieran llevarse a cabo teniendoen cuenta sólo el Primer Principio. Esta ley apoya todo su contenido aceptandola existencia de una magnitud física llamada entropía tal que, para un sistemaaislado (que no intercambia materia ni energía con su entorno), la variación dela entropía siempre debe ser mayor que cero.

Debido a esta ley también se tiene que el flujo espontáneo de calor siem-pre es unidireccional, desde los cuerpos a temperatura más alta a aquellos detemperatura más baja.

Tercera ley de la termodinámica

La Tercera de las leyes de la termodinámica, propuesto por Walther Nernst,afirma que es imposible alcanzar una temperatura igual al cero absoluto medi-ante un número finito de procesos físicos. Puede formularse también como quea medida que un sistema dado se aproxima al cero absoluto, su entropía tiendea un valor constante específico.

6.3. Ecuación de energía

La ecuación de la energía

Cambio en la energía = (6.9)

Energía por esfuerzos de corte + (6.10)

Flujo de calor + (6.11)

Fuentes de calor (6.12)

ρ∂e

∂t+ ρuk

∂e

∂xk= σij

∂uj

∂xi− ∂qj

∂xj+ q (6.13)

Donde: e es la densidad de energía interna por unidad de volumen, qj sonlos flujos de calor, y q es la energía por unidad de volumen cedida o consumidapor una fuente.

Para un fluido Newtoniano es:

ρ∂e

∂t+ρuk

∂e

∂xk= −p

∂uk

∂xk+µ′

∂uk

∂xk

2+µ

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

∂uj

∂xi− ∂qj

∂xj+ q (6.14)

Esta ecuación debe ser complementada con:

La ley de Fourier relaciona a los flujos de calor con los gradientes detemperatura

qj = −k∂T

∂xj(6.15)

La función de disipación:

Φ = µ′

∂uk

∂xk

2+ µ

∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

∂uj

∂xi(6.16)


que es muy pequeña para muchos casos prácticos y que representa el cam-bio de energía mecánica en energía térmica debido a la viscosidad.

La ecuación calórica de estado. Es decir, una relación del tipo:

e = e (ρ, T ) (6.17)

La más común de ellas es:e = CvT (6.18)

donde Cv es el calor específico a volumen constante.

Finalmente, será necesaria una ecuación térmica de estado del tipo:

p = p (ρ, T ) (6.19)

por ejemplo la del gas ideal p = ρRT .

Para que finalmente la ecuación de estado de un fluido newtoniano sea:

ρ∂ (CvT )

∂t+ ρuk

∂ (CvT )

∂xk= −p

∂uk

∂xk+

∂

∂xj

k

∂T

∂xj

+ q (6.20)

pero si:

∂ρ

∂t+ ρ

∂uk

∂xk+ uk

∂ρ

∂xk= 0 (6.21)

ρ∂ (CvT )

∂t+ ρuk

∂ (CvT )

∂xk=

p

ρ

∂ρ

∂t+ uk

∂ρ

∂xk

+

∂

∂xj

k

∂T

∂xj

+ q (6.22)

El término pρ

∂ρ∂t + uk

∂ρ∂xk

es despreciable para fluidos cercanamente incom-

presibles entonces:

ρ∂ (CvT )

∂t+ ρuk

∂ (CvT )

∂xk=

∂

∂xj

k

∂T

∂xj

+ q (6.23)

o bien si Cv y k son constantes:

ρCv

∂T

∂t+−→u · ∇T

= k∇2T + q (6.24)

Si se define al coeficiente de difusión térmica (o difusividad térmica) como:

α =k

ρCv(6.25)

se tiene:∂T

∂t+−→u · ∇T = α∇2T +

q

ρCv(6.26)

6.4. SOLUCIÓN A PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR 63

6.4. Solución a problemas de transferencia decalor

6.4.1. Flujo estacionario en una dimensión

Considere una placa sólida de ancho, L, de un material de difusividad tér-mica constante α y conductividad térmica k, sobre una de sus caras tiene unatemperatura T1 y sobre la otra T2. Sobre la placa fluye una corriente eléctri-ca que genera calor por unidad de tiempo constante, q. Encuéntre la soluciónestacionaria.

∂T

∂t+−→u · ∇T = α∇2T +

q

ρCv

en este caso −→u = ∂T∂t = 0. Por simetría, ∇2T = ∂2T

∂x2

0 = α∂2T

∂x2+

q

ρCv(6.27)

∂2T

∂x2= − q

k(6.28)

Integrando:

∂T

∂x= − q

kx + C1 (6.29)

T = − q

2kx2 + C1x + C2 (6.30)

Las condiciones de frontera las podemos describir matemáticamente como:

T (x = 0) = T1 (6.31)

T (x = L) = T2 (6.32)

T1 = C2 (6.33)

T2 = − q

2kL2 + C1L + T1 (6.34)

C1 =T2 − T1

L+

q

2kL (6.35)

Finalmente la solución es:

T = − q

2kx2 + x

T2 − T1

L+

q

2kL

+ T1 (6.36)

Considere el problema anterior con paredes adiabáticas.

T = − q

2kx2 + C1x + C2 (6.37)

∂T

∂x= − q

kx + C1 (6.38)


En este caso las condiciones de frontera serán:

∂T

∂x

x=0

= 0 (6.39)

∂T

∂x

x=L

= 0 (6.40)

Evaluando la primera condición:

∂T

∂x

x=0

= − q

k0 + C1 = 0 (6.41)

C1 = 0 (6.42)

La segunda condición de frontera sería

∂T

∂x= − q

kx (6.43)

∂T

∂x

x=L

= − q

kL = 0 (6.44)

Lo cual sólo es posible si q = 0. Lo anterior significa que este segundo problemano tiene solución estacionaria.

6.4.2. Ecuación de calor en una dimensión

Suponga la ecuación de calor para una varilla delgada de longitud L.

∂T

∂t= α

∂2T

∂x2(6.45)

con las condiciones de frontera homogéneas

T (0, t) = 0 (6.46)

T (L, t) = 0 (6.47)

y la condición inicial

T (x, 0) = f (x) (6.48)

Separación de variables

El método de separación de variables consiste en proponer una solución deltipo (Daniel Bernoulli, 1700’s)

T (x, t) = φ (x)G (t) (6.49)

se exige que la función (6.49) cumpla con las condiciones de frontera (6.46)y (6.47) (por el momento nos olvidaremos de la condición inicial).


Sustituyendo a la función (6.49) en (6.45), se obtiene

φ (x)dG

dt= k

d2φ

dx2G (t) (6.50)

de (6.50) se pueden "separar variables"para obtener:

1

kG

dG

dt=

1

φ

d2φ

dx2(6.51)

Es posible que una función del tiempo esté igualada a un función del espacio?(ambas son variables independientes). La única posibilidad es que:

1

kG

dG

dt=

1

φ

d2φ

dx2= −λ (6.52)

donde λ es una constante arbitraria que se conoce como la constante deseparación.

Una ecuación diferencial parcial se convierte en dos ecuaciones diferencialesordinarias:

dG

dt= −λkG (6.53)

y

d2φ

dx2= −λφ (6.54)

Condiciones de frontera

La solución propuesta T (x, t) = φ (x)G (t) deberá satisfacer las condicionesde frontera:

T (0, t) = φ (0)G (t) = 0 (6.55)

y

T (L, t) = φ (L)G (t) = 0 (6.56)

Analizando la condición (6.55) se tienen dos posibilidades:

G (t) ≡ 0, para todo t (6.57)

o

φ (0) ≡ 0 (6.58)

si G (t) ≡ 0, entonces u (x, t) = 0 y la solución es la trivial (la que menosinteresa). Por lo tanto, se elige la única que puede producir una solución intere-sante φ (0) ≡ 0.

De manera similar se elige en la condición (6.56) al caso no trivial φ (L) = 0.


Ecuación diferencial temporal

La ecuación diferencial en el tiempo se resuelve independientemente

dG

dt= −λkG (6.59)

dG

G= −λkdt (6.60)

dG

G= −λk

dt (6.61)

lnG = −λkt + C1 (6.62)

G = e−λkt+C1 (6.63)

G = e−λkteC1 (6.64)

con solución

G (t) = Ce−λkt (6.65)

Signo de λ

Se tiene en la ec. diferencial que k > 0 y además

T (x, t) ∼ Ce−λkt (6.66)

Para λ < 0 se tiene que si t →∞ ⇒ u (x, t)→∞ lo cual no es una soluciónfísica permitida. Entonces la única posibilidad físicamente factible es:

λ > 0 (6.67)

Ecuación diferencial en el espacio

El problema para la variable espacial tiene la forma:

d2φ

dx2= −λφ (6.68)

φ (0) = 0 (6.69)

φ (L) = 0 (6.70)

La solución trivial satisface al problema definido por (6.68)-(6.70). Este esun problema de eigenvalores (autovalores, valores propios), de tal forma que sólopara determinados valores de λ existen soluciones no triviales.

La sólución general para (6.68) es:

φ (x) = c1 cos√

λx+ c2 sen√

λx (6.71)


Aplicando en (6.71) la condición de frontera (6.69) se tiene que

φ (0) = c1 cos√

λ0 + c2 sen√

λ0 = 0 (6.72)

entonces c1 = 0Aplicando la condición de frontera (6.70) en (6.71) se tiene que

φ (L) = c2 sen√

λL = 0 (6.73)

si c2 = 0 entonces φ (x) = 0 y la solución general es la trivial (no interesa).Entonces se elige a

sen√

λL = 0 (6.74)

esto es válido para valores de λ tales que√

λL = nπ, para n = 1, 2, 3, .... (siλ = 0 ⇒ φ (x) = c1, aplicando las CF y la solución es φ (x) = 0) de aquí:

λn =nπ

L

2(6.75)

Finalmente la solución para el espacio es:

φn (x) = c2 sennπx

L(6.76)

Solución completa

Finalmente se puede escribir la solución completa

T (x, t) = Be−k(nπL )2t sen

nπx

L: n = 1, 2, 3, ... (6.77)

La solución (6.77) satisface las condiciones de frontera en x = 0, L pero nosatisface la condición inicial más general

T (x, 0) = f (x) (6.78)

En particular si

T (x, 0) = 4 sen3πx

L(6.79)

el problema tiene solución general

4 sen3πx

L= Be−k(

nπL )

20 sen

nπx

L

4 sen3πx

L= B sen

nπx

L

T (x, t) = 4e−k(3πL )

2t sen

3πx

L


Principio de superposición

Si u1, u2, ..., um son soluciones de un problema lineal y homogéneo entonces

m

n=1

cnun (6.80)

también es solución, aquí cn son constantes arbitrarias.Aplicando este principio a nuestro problema se tiene que:

T (x, t) =∞

n=1

Bne−k(nπL )

2t sen

nπx

L(6.81)

es solución al problema definido por (6.45)-(6.48).

Condición inicial (Ortogonalidad)

Si b

a

ψn (x)ψ∗m (x) dx = Anδnm (6.82)

se dice que ψn (x) y ψm (x) son ortogonales en el intervalo de a a b. Parasen nπx

L se tiene que:

L

0

sennπx

Lsen

mπx

Ldx =

L

2δnm

Aplicando la condición inicial en (6.81) se tiene que

T (x, 0) = f (x) =∞

n=1

Bn sennπx

L(6.83)

multiplicando esta igualdad por sen mπxL e integrando de 0 a L.

L

0

f (x) senmπx

Ldx =

L

0

∞

n=1

Bn sennπx

Lsen

mπx

Ldx

L

0

f (x) senmπx

Ldx =

∞

n=1

Bn

L

0

sennπx

Lsen

mπx

Ldx

L

0

f (x) senmπx

Ldx =

∞

n=1

BnL

2δnm

L

0

f (x) senmπx

Ldx =

L

2Bm

Bn =2

L

L

0

f (x) sennπx

Ldx (6.84)


de aquí se tiene que la solución general para cualquier condición inicial es

T (x, t) =∞

n=1

Bne−k(nπL )2t sen

nπx

L(6.85)

donde

Bn =2

L

L

0

f (x) sennπx

Ldx (6.86)

Ejemplo

∂u

∂t=

∂2u

∂x2

u (0, t) = 0

u (1, t) = 0

u (x, 0) = 1

Bn = 2

1

0

sen (nπx) dx =2

nπ(1− cosnπ) (6.87)

T (x, t) =2

π

∞

n=1

(1− cosnπ)

ne−(nπ)

2t sen (nπx)

pero

cos (nπ) = (−1)n

1− (−1)n = 0→ n par

1− (−1)n = 2→ n impar

T (x, t) =4

π

∞

n=1

sen ((2n− 1)πx)

2n− 1e−((2n−1)π)

2t

Gráfica


0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

6.4.3. Fuente estacionaria y condiciones frontera constantes

Considere al problema no homogéneo definido por:

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2+ Q (x) (6.88)

u (0, t) = A (6.89)

u (L, t) = B (6.90)

u (x, 0) = f (x) (6.91)

dicho problema se puede convertir en un problema homogéneo, para ello seutiliza la solución estacionaria

∂u∂t = 0

dada por el problema

d2ue

dx2= −Q (x)

k(6.92)

ue (0) = A (6.93)

ue (L) = B (6.94)

donde

due

dx= −1

k

Q (x) dx + C1

ue = −1

k

Q (x) dxdx+ C1x + C2 (6.95)


aquí C1 y C2 son constantes de integración que se obtienen utilizando lascondiciones de frontera.

Una vez que se conoce esta función se propone una solución del tipo:

u (x, t) = v (x, t) + ue (x) (6.96)

sustituyendo en la ecuación original y las condiciones de frontera se obtiene

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2+ Q (x) (6.97)

∂v

∂t+ 0 = k

∂2v

∂x2+ k

d2ue

dx2+ Q (x) (6.98)

u (0, t) = v (0, t) + ue (0) = A (6.99)

u (L, t) = v (L, t) + ue (L) = B (6.100)

u (x, 0) = v (x, 0) + ue (x) = f (x) (6.101)

ue (0) = A (6.102)

ue (L) = B (6.103)

pero d2uedx2 = −Q(x)

k entonces

∂v

∂t= k

∂2v

∂x2(6.104)

v (0, t) = 0 (6.105)

v (L, t) = 0 (6.106)

v (x, 0) = f (x)− ue (x) (6.107)

este es un problema que se puede resolver por separación de variables sinproblema.

EjemploConsidere el problema

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2(6.108)

u (0, t) = A (6.109)

u (L, t) = B (6.110)

u (x, 0) = f (x) (6.111)

En este caso el problema estacionario es:

0 = kd2ue

dx2(6.112)

ue (0) = A (6.113)

ue (L) = B (6.114)


la solución a este problema es:

d2ue

dx2= 0 (6.115)

due

dx= C1 (6.116)

ue = C1x + C2 (6.117)

utilizando las CF

ue = C10 + C2

A = C2

ue = C1L + A

B = C1L + A

C1 =B −A

L

ue =B −A

Lx + A (6.118)

la solución entonces se propone de la forma

u (x, t) = v (x, t) + ue (x) (6.119)

y el problema para v (x, t) es:

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2(6.120)

∂ (v + ue)

∂t= k

∂2 (v + ue)

∂x2(6.121)

∂v

∂t+

∂ue

∂t= k

∂2v

∂x2+ k

d2ue

dx2(6.122)

∂v

∂t+ 0 = k

∂2v

∂x2+ 0 (6.123)

∂v

∂t= k

∂2v

∂x2(6.124)

u (0, t) = v (0, t) + ue (0) = A (6.125)

v (0, t) + A = A (6.126)

v (0, t) = 0 (6.127)

v (L, t) = 0 (6.128)


v (x, 0) = f (x)− ue (x) (6.129)

v (x, 0) = f (x)− B −A

Lx−A (6.130)

el cual tiene solución en separación de variables:

v (x, t) =∞

n=1

an sinnπx

L

e−k(nπ/L)

2t (6.131)

an =2

L

L

0

[f (x)− ue (x)] sinnπx

L

dx (6.132)

de aquí

u (x, t) = v (x, t) + ue (x) (6.133)

u (x, t) =B −A

Lx + A +

∞

n=1

an sinnπx

L

e−k(nπ/L)

2t (6.134)

6.4.4. Fuente y condiciones dependientes del tiempo

Considere al problema definido por

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2+ Q (x, t) (6.135)

u (0, t) = A (t) (6.136)

u (L, t) = B (t) (6.137)

u (x, 0) = f (x) (6.138)

Se quiere convertir este problema a un problema de condiciones de fronterahomogeneas. Considere a la función r (x, t) a la cual llamaremos la distribuciónde temperatura de referencia (entre más simple mejor). Le pedimos a la funciónr (x, t) que cumpla las condiciones de frontera del problema original:

r (0, t) = A (t) (6.139)

r (L, t) = B (t) (6.140)

Una posible y simple elección sería:

r (x, t) = A (t) +x

L(B (t)−A (t)) (6.141)

se construye a la función v (x, t) tal que

v (x, t) ≡ u (x, t)− r (x, t) (6.142)


es fácil observar que en las fronteras x y L:

v (0, t) = 0 (6.143)

v (L, t) = 0 (6.144)

Por otro lado, la ecuación diferencial para v (x, t) es:

u (x, t) = v (x, t) + r (x, t) (6.145)

∂u

∂t= k

∂2u

∂x2+ Q (x, t) (6.146)

∂v

∂t+

∂r

∂t= k

∂2v

∂x2+ k

∂2r

∂x2+ Q (x, t) (6.147)

o bien,

∂v

∂t= k

∂2v

∂x2+ Q (x, t)− ∂r

∂t+ k

∂2r

∂x2(6.148)

Si se define:

Q (x, t) = Q (x, t)− ∂r

∂t+ k

∂2r

∂x2(6.149)

En particular para este caso (6.150)

Q (x, t) = Q (x, t)−

dA

dt+

x

L

dB

dt− dA

dt

(6.151)

La ecuación queda como

∂v

∂t= k

∂2v

∂x2+ Q (x, t) (6.152)

v (0, t) = 0 (6.153)

v (L, t) = 0 (6.154)

y la condición inicial:

u (x, 0) = f (x) (6.155)

v (x, 0) + r (x, 0) = f (x) (6.156)

v (x, 0) + A (0) +x

L(B (0)−A (0)) = f (x) (6.157)

o bien

v (x, 0) = f (x)−A (0)− x

L(B (0)−A (0)) ≡ g (x) (6.158)

Finalmente el problema queda transformado como:


∂v

∂t= k

∂2v

∂x2+ Q (x, t) (6.159)

v (0, t) = 0 (6.160)

v (L, t) = 0 (6.161)

v (x, 0) = g (x) (6.162)

6.4.5. Método de expansión de autofunciones

Dado el problema:

∂v

∂t= k

∂2v

∂x2+ Q (x, t) (6.163)

v (0, t) = 0 (6.164)

v (L, t) = 0 (6.165)

v (x, 0) = g (x) (6.166)

se utilizará el método de expansión de autofunciones para resolverlo.Definimos al problema homogéneo en u′ relacionado a v como:

∂u′

∂t= k

∂2u′

∂x2(6.167)

u′ (0, t) = 0 (6.168)

u′ (L, t) = 0 (6.169)

este problema se puede resolver por separación de variables, El problema deautovalores para la función espacial es:

d2φ

dx2+ λφ = 0 (6.170)

φ (0) = 0 (6.171)

φ (L) = 0 (6.172)

para este caso en particular los autovalores son (depende del tipo de problema):

λn =nπ

L

2(6.173)

y las autofuncionesφn (x) = sen

nπx

L(6.174)

El método de expansión de autofunciones consiste en proponer una solución deltipo:

v (x, t) =∞

n=1

an (t)φn (x) (6.175)


esto se conoce como una función generalizada de Fourier. Esta expansión sat-isface automáticamente las condiciones de frontera. Por otro lado, la condicióninicial sólo se satisface si

v (x, 0) =∞

m=1

am (0)φm (x) = g (x) (6.176)

utilizando ortogonalidad

L

0

g (x)φn (x) dx =

L

0

∞

m=1

am (0)φm (x)φn (x) dx (6.177)

L

0

g (x)φn (x) dx = an (0)

L

0

φn (x)φn (x) dx (6.178)

an (0) =

L

0g (x)φn (x) dx L

0 φ2n (x) dx(6.179)

Para calcular an (t) se sustituye ∞

n=1 an (t)φn (x) en la ecuación diferencial. Sedebe tener cuidado al derivar una serie, sin embargo, si se supone que v y dv/dxson funciones continuas y que v satisface las mismas condiciones de frontera queφn (x) (como de hecho se propuso) es válido diferenciar término a término deaquí que:

∂v

∂t=

∞

n=1

dan (t)

dtφn (x) (6.180)

∂2v

∂x2=

∞

m=1

an (t)d2φn (x)

dx2(6.181)

pero si d2φndx2 + λnφn = 0→ d2φn

dx2 = −λnφn

∂2v

∂x2= −

∞

m=1

an (t)λnφn (x) (6.182)

por lo tanto, la ecuación diferencial queda como:

∂v

∂t− k

∂2v

∂x2= Q (x, t) (6.183)

∞

n=1

dan (t)

dtφn (x) + k

∞

n=1

an (t)λnφn (x) = Q (x, t)

∞

m=1

dam (t)

dt+ am (t) kλm

φm (x) = Q (x, t) (6.184)

Utilizando la ortogonalidad de φn (x)


L

0

∞

m=1

dam (t)

dt+ am (t) kλm

φm (x)φn (x) dx =

L

0

Q (x, t)φn (x) dx

(6.185)

dan (t)

dt+ an (t) kλn

L

0

φ2n (x) dx =

L

0

Q (x, t)φn (x) dx (6.186)

o bien,

dan (t)

dt+ an (t) kλn =

L

0 Q (x, t)φn (x) dx L

0φ2n (x) dx

≡ qn (t) (6.187)

Recordando que la serie de Fourier simple era de la forma:

f (t) =∞

n=−∞cneinωot (6.188)

en donde

cn =

T/2

−T/2 f (t) e−inωotdt T/2

−T/2 e−inωoteinωotdt(6.189)

se tiene que:

Q (x, t) =∞

n=1

qn (t)φn (x)

La ecuacióndan (t)

dt+ an (t) kλn = qn (t) (6.190)

requiere de la condición inicial:

an (0) =

L

0 g (x)φn (x) dx L

0φ2n (x) dx

(6.191)

la solución de esta ecuación diferencial ordinaria se obtiene multiplicando poreλnkt

eλnkt

dan (t)

dt+ an (t) kλn

= qn (t) eλnkt (6.192)

d

dt

aneλnkt

= qn (t) eλnkt (6.193)

integrando se obtiene

an (t) eλnktt0=

t

0

qn (τ) eλnkτdτ (6.194)


an (t) eλnkt − an (0) =

t

0

qn (τ) eλnkτdτ (6.195)

an (t) = e−λnktan (0) +

t

0

qn (τ) eλnkτdτ

(6.196)

con esta última ecuación la solución a la EDP es

v (x, t) =∞

n=1

an (t)φn (x) (6.197)

v (x, t) =∞

n=1

e−λnkt

an (0) +

t

0

qn (τ) eλnkτdτ

φn (x) (6.198)

donde

qn (t) =

L

0 Q (x, t)φn (x) dx L

0 φ2n (x) dx

an (0) =

L

0 g (x)φn (x) dx L

0φ2n (x) dx

Ejemplo:

∂u

∂t=

∂2u

∂x2+ e−t sin (3x)

u (0, t) = 0

u (π, t) = 1

u (x, 0) = f (x)

si se introduce la función del tipo

v (x, t) = u (x, t)− x

π

u (x, t) = v (x, t) +x

π

donde r (x, t) = xπ

con lo que se obtiene el problema para v (x, t)

∂v

∂t=

∂2v

∂x2+ sin (3x) e−t

v (0, t) = 0

v (π, t) = 0

v (x, 0) = f (x)− x

π


el problema homogéneo tiene la forma

∂v

∂t=

∂2v

∂x2

v (0, t) = 0

v (L, t) = 0

λn =nπ

L

2(6.199)

y las autofuncionesφn (x) = sin

nπx

L(6.200)

con autofunciones y autovalores

φn = sin (nx)

λn = n2

y entonces

v (x, t) =∞

n=1

an (t) sinnx

sustituyendo en la ec. diferencial

∂v

∂t=

∂2v

∂x2+ sin (3x) e−t

∞

n=1

dan (t)

dtsinnx = −

∞

n=1

n2an (t) sinnx + sin (3x) e−t

∞

n=1

dan (t)

dt+ an (t)n2

sinnx = sin (3x) e−t

con la condición inicial an (0) =L0

g(x)φn(x)dxL0

φ2n(x)dx

an (0) =

π

0

f (x)− x

π

sinnxdx π

0sin2 nxdx

an (0) =2

π

π

0

f (x)− x

π

sinnxdx

La solución a la ec. diferencial es: an (t) = e−λnkt an (0) +

t

0 qn (τ) eλnkτdτ!

an (t) = e−n2t

an (0) +

t

0

qn (τ) en2τdτ


donde

qn (t) =

L

0Q (x, t)φn (x) dx L

0φ2n (x) dx

qn (t) =

π

0sin (3x) e−t sinnxdx π

0sin2 nxdx

qn (t) =2

πe−t

π

0

sin (3x) sinnxdx

qn (t) =2

πe−t

1

2πδ3,n = e−tδ3,n

an (t) = e−n2tan (0)→ n = 3

a3 (t) = e−9ta3 (0) +

t

0

e9τe−τdτ

a3 (t) = e−9ta3 (0) +

t

0

e8τdτ

a3 (t) = e−9ta3 (0) +

1

8

e8t − 1

a3 (t) = a3 (0) e−9t +1

8

e8te−9t − e−9t

a3 (t) =

a3 (0)−

1

8

e−9t +

1

8e−t

por lo tanto la solución para v (x, t) es:

∞

n=1

an (t) sinnx

v (x, t) =

a3 (0)−

1

8

e−9t +

1

8e−t

sin 3x +

∞

n=1n=3

e−n2tan (0) sinnx

y en u (x, t)

u (x, t) = v (x, t) +x

π

u (x, t) =x

π+

a3 (0)−

1

8

e−9t +

1

8e−t

sin 3x +

∞

n=1n=3

e−n2tan (0) sinnx

an (0) =2

π

π

0

f (x)− x

π

sinnxdx


Si se supone que f (x) = x2

an (0) =2

π

π

0

x2 − x

π

sinnxdx

2π

π

0 x2 sinnxdx = −π2

n cosπn− π

0

− 2

nx cosnx

dx

= −π2

n cosπn + 2 πn2 sinπn + 2

n3 ((−1)n − 1) = −π2(−1)n

n + 2n3 ((−1)

n − 1) π

0

− 2

nx cosnx

dx = −2 πn2 sinπn−

π

0

− 2

n2 sinnx

dx

= −2 πn2 sinπn− 2

n3 ((−1)n − 1) π

0

− 2

n2 sinnx

dx ="2n3 cosnx

#π0= 2

n3 ((−1)n − 1)

− 2π2

π

0 x sinnxdx = −πn cosπn−

π

0

− 1

n cosnx

dx

= −πn cosπn +

"1n2 sinnx

#π0= −π

n cosπn

an (0) = −π2(−1)nn + 2

n3 ((−1)n − 1)− π

n (−1)n = (−1)n

2n3 − π2

n − πn

!− 2

n3

a3 (0) = −227 − π2

3 − π3

− 2

27 =13π + 1

3π2 − 427

u (x, t) =x

π+

1

3π +

1

3π2 − 59

216

e−9t +

1

8e−t

sin 3x

+∞

n=1n=3

e−n2t

(−1)n

2

n3− π2

n− π

n

− 2

n3

sinnx

u (x, t) =x

π+

1

3π +

1

3π2 − 59

216

e−9t +

1

8e−t

sin 3x

+2

n=1

e−n2t

(−1)n

2

n3− π2

n− π

n

− 2

n3

sinnx +

10

n=4

e−n2t

(−1)n

2

n3− π2

n− π

n

− 2

n3

sinnx

xπ +

"13π + 1

3π2 − 59216

e−9t + 1

8e−t#sin 3x

+ 2

n=1 e−n2t(−1)n

2n3 − π2

n − πn

!− 2

n3

sinnx

+ 10

n=4 e−n2t(−1)n

2n3 − π2

n − πn

!− 2

n3

sinnx

oxπ +

13π + 1

3π2 − 59216

e−,009 + 1

8e−,001sin 3x

+ 2

n=1 e−,001n2(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx

+ 1000

n=4 e−,001n2(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

x

y

0 1 2 30

5

10

15

x

y

xπ +

13π + 1

3π2 − 59216

e−,9 + 1

8e−,1sin 3x

+ 2

n=1 e−,1n2(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx

+ 10

n=4 e−,1n2(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx


0 1 2 30

2

4

6

8

10

12

x

y

xπ +

13π + 1

3π2 − 59216

e−9 + 1

8e−1sin 3x

+ 2

n=1 e−n2(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx

+ 10

n=4 e−n2(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.00

1

2

3

x

y

xπ +

13π + 1

3π2 − 59216

e−90 + 1

8e−10sin 3x

+ 2

n=1 e−n210

(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx

+ 10

n=4 e−n210

(−1)n

2n3 − π2

n − πn

− 2

n3

sinnx


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Capítulo 7

Teoría de capa límite

7.0.6. Introducción

Suponga la ecuación diferencial

ε2d2y

dx2− y = 0

y (x = 1) = 0

y (x = 0) = 1

0 < ε << 1

Existe una solución límite para ε ∼ 0; y = 0, pero no satisface ambas condicionesde frontera (entonces el problema es singular). La solución exacta completa es:

y = C1exε + C2e

−xε

con las condiciones de frontera

C1e1ε + C2e

− 1ε = 0

C1e0ε + C2e

− 0ε = 1

donde

C1 =e−

1ε

e−1ε − e

1ε

, C2 = −e1ε

e−1ε − e

1ε

y =e−

1ε

e−1ε − e

1ε

exε − e

1ε

e−1ε − e

1ε

e−xε

si ε = 0,001

85

86 CAPÍTULO 7. TEORÍA DE CAPA LÍMITE

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

En órdenes de magnitud

ε2d2y

dx2− y = 0

ε2ycx2c

− yc ∼ 0

ε2

x2c∼ 1

xc ∼ ε

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.0050.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

Es posible dividir al problema en dos, una región externa para la cual ε2 d2y

dx2 ∼ 0

y otra interna para la cual ε2 d2y

dx2 ∼ 1. Si se realiza el cambio de variable

ξ =x

ε

Se tiene ddx → dξ

dxddξ → 1

εddξ y además, d2

dx2 → 1ε2

d2

dξ2. Entonces la ecuación

diferencial queda como:d2yc

dξ2− yc = 0

87

Por otro lado, las condiciones de frontera quedan como

yc

ξ =

1

ε

= yc (ξ →∞) = ye ∼ 0

yc (ξ = 0) = 1

Finalmente, el sistema escalado es:

d2yc

dξ2− yc = 0

yc (ξ = 0) = 1

yc (ξ →∞) → ye

Su solución es:yc = C2e

ξ + C1e−ξ

por la condición de frontera y (ξ = 0) = 1

yc = C2eξ + C1e

−ξ

1 = C2 + C1

entoncesyc = (1−C1) eξ + C1e

−ξ

Por otro lado, la ecuación para el problema externo es:

ye = 0

ye (x = 1) = 0

o bien ye = 0. Acoplando las dos soluciones

yc (ξ →∞)→ ye (x → 0)

yc = (1−C1) eξ + C1e−ξ

ye = lımξ→∞

(1−C1) eξ + C1e

−ξ

ye = (1−C1) lımξ→∞

eξ + C1 lımξ→∞

e−ξ

0 = (1−C1) lımξ→∞

eξ

C1 = 1

Entonces el problema interno es:

yc = e−ξ

En las coordenadas originales se tiene

yc = e−xε


Comparando contra la solución completa para ε = 0,001

e−x

0,001

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.0100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

comparando para ε = 0,1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.5

1.0

x

y


89

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

7.0.7. Capa límite para una placa plana (solución de Bla-sius)

Considere el problema se un flujo uniforme de velocidad U que choca contrauna placa plana como se muestra en la figura siguiente.Las ecuaciones que rigenal sistema son las de Navier-Stokes y continuidad en dos dimensiones.

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

(7.1)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

(7.2)

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (7.3)


Figura 7.1:

Análisis de orden de magnitud

Los valores carácteristicos del problema lejos de la esquina del sólido (x >> δ) ,es decir, la capa límite es pequeña comparada con la distancia x donde surgió:

y ∼ δ (x) (7.4)

uc ∼ U (7.5)

de la ec. de continuidad

∂v

∂y∼ ∂u

∂x

vc ∼ Uδ

x

con esto las ec. de Navier-Stokes

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+

µ

ρ

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

U2

x+

Uδ

x

U

δ∼ −1

ρ

∂p

∂x+

µ

ρ

U

x2+

U

δ2

(7.6)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+

µ

ρ

∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2

UUδ

x2+

Uδ

x

Uδ

xδ∼ −1

ρ

∂p

∂y+

µ

ρ

Uδ

x3+

Uδ

xδ2

(7.7)

Debido a que los cambios en el patrón de flujo son generados por fuerzas viscosasen la primera ecuación se deben balancear

U2

x∼ µ

ρ

U

δ2(7.8)

91

o bien

δ ∼

µ

ρ

x

U(7.9)

o bienδ

x∼

µ

ρUx∼ 1√

Re

donde Re = ULν = ρUL

µ es el número de Reynolds el cual es un conjunto adi-mensional que relaciona a las fuerzas inerciales con las viscosas . Para que laaproximación anterior sea válida es necesario que

δ

x<< 1→ Re >> 1 (7.10)

Además vc ∼ Uδx ∼ U/

√Re. En la otra ecuación de NS.

0 ∼ −1

ρ

∂p

∂y(7.11)

Esto significa que el gradiente de presiónes no depende de y. Lo anterior implicaque si para y >> 1 la velocidad es constante no haya gradientes de presión deningún tipo, entonces ∂p

∂x = 0.Finalmente las ecuaciones de NS para este caso son:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (7.12)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2(7.13)

Las cuales son las ecuaciones para la capa límite. Las condiciones de frontera:

u (x, y = 0) = 0 (7.14)

v (x, y = 0) = 0 (7.15)

para no deslizamiento yu (x, y →∞) = U (7.16)

para el "pegado"de la solución interna con la externa.

Adimensionalización y límite

Las siguientes ecuaciones dimensionales de N-S:

u∗∂u∗

∂x∗+ v∗

∂u∗

∂y∗= −1

ρ

∂p∗

∂x∗+

µ

ρ

∂2u∗

∂x∗2+

∂2u∗

∂y∗2

(7.17)

u∗∂v∗

∂x∗+ v∗

∂v∗

∂y∗= −1

ρ

∂p∗

∂y∗+

µ

ρ

∂2v∗

∂x∗2+

∂2v∗

∂y∗2

(7.18)

∂u∗

∂x∗+

∂v∗

∂y∗= 0 (7.19)


se adimensionalizan mediante el siguiente conjunto de transformación:

u =u∗

U(7.20)

y =y∗

δ(7.21)

x =x∗

xc(7.22)

v =v∗

vc(7.23)

p =p∗

pc(7.24)

entonces en la ec. de continuidad:

∂u∗

∂x∗+

∂v∗

∂y∗= 0 (7.25)

U

xc

∂u

∂x+

vcδ

∂v

∂y= 0 (7.26)

∂u

∂x+

vcxc

δU

∂v

∂y= 0 (7.27)

Si vcxcδU = 1→ vc = Uδ/xc

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (7.28)

En la primera ec. de N-S

U2

xcu

∂u

∂x+

U2

xcv

∂u

∂y= − pc

ρxc

∂p

∂x+

µU

ρx2c

∂2u

∂x2+

µU

ρδ2∂2u

∂y2(7.29)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= − xcpc

U2ρxc

∂p

∂x+

xcµU

U2ρx2c

∂2u

∂x2+

xcµU

U2ρδ2∂2u

∂y2(7.30)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= − pc

U2ρ

∂p

∂x+

µ

Uρxc

∂2u

∂x2+

xcµ

Uρδ2∂2u

∂y2(7.31)

Si se define al número de Reynolds y a la presión característica como:

pc = U2ρ (7.32)

Re =Uρxc

µ(7.33)

Se tiene

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+

µx2cUρxcδ

2

∂2u

∂y2(7.34)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+

1

Re

x2cδ2

∂2u

∂y2(7.35)

93

Si se define a δ de tal forma que

1

Re

x2cδ2

= 1 (7.36)

δ

xc=

1√Re

(7.37)

o bien

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2(7.38)

En la ec. de N-S en dirección y

UUδ

x2cu

∂v

∂x+

Uδ

xc

Uδ

xc

1

δv

∂v

∂y= − pc

ρδ

∂p

∂y+

µ

ρ

Uδ

x3c

∂2v

∂x2+

µ

ρ

Uδ

xcδ2

∂2v

∂y2(7.39)

U2δ

x2c

u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −U2ρ

ρδ

∂p

∂y+

µ

ρ

Uδ

x3c

∂2v

∂x2+

µ

ρ

U

xcδ

∂2v

∂y2(7.40)

U2

x2c

xc√Re

u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= − U2ρ

ρ xc√Re

∂p

∂y+

µ

ρ

U

x3c

xc√Re

∂2v

∂x2+

µ

ρ

U

xcxc√Re

∂2v

∂y2(7.41)

1√Re

u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −

√Re

∂p

∂y+

µ

Uρ

1

xc

1√Re

∂2v

∂x2+

µ

Uρ

1xc√Re

∂2v

∂y2(7.42)

1√Re

u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −

√Re

∂p

∂y+

1

Re√Re

∂2v

∂x2+

√Re

Re

∂2v

∂y2(7.43)

1

Re

u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −∂p

∂y+

1

Re2∂2v

∂x2+

1

Re

∂2v

∂y2(7.44)

Finalmente las ecuaciones tienen la forma:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −∂p

∂x+

1

Re

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2

1

Re

u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y

= −∂p

∂y+

1

Re2∂2v

∂x2+

1

Re

∂2v

∂y2

Si se tiene que Re >> 1. Se puede sacar el límite Re→∞ en las ecuaciones:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (7.45)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −dp

dx+

∂2u

∂y2(7.46)

0 =∂p

∂y(7.47)


Estas son las ecuaciones de capa límite. Si el flujo en la solución externa esconstante los gradientes de presión nuevamente son cero. Entonces dp

dx = 0.Entonces para este caso en particular:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (7.48)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y=

∂2u

∂y2(7.49)

Las condiciones de frontera:

u (x, y = 0) = 0 (7.50)

v (x, y = 0) = 0 (7.51)

para no deslizamiento yu (x, y →∞) = 1 (7.52)


Función de corriente

Frecuentemente es posible simplificar las ecuaciones mediante el uso de lafunción de corriente definida por:

u =∂ψ

∂y: v = −∂ψ

∂x(7.53)

ya si se utiliza, la ecuación de continuidad se satisface automáticamente:

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0 (7.54)

∂2ψ

∂x∂y− ∂2ψ

∂y∂x= 0 (7.55)

Si las funciones ψ, u y v son continuas y derivables: ∂2ψ∂x∂y = ∂2ψ

∂y∂x y la ecuaciónde continuidad se satisface. La ecuación para la cantidad de movimiento quedacomo:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2=

∂3ψ

∂y3(7.56)

Las condiciones de frontera para esta función son::

∂ψ

∂y

(x,y=0)

= 0 (7.57)

∂ψ

∂x

(x,y=0)

= 0 (7.58)

para no deslizamiento y∂ψ

∂y

(x,y→∞)

→ 1 (7.59)


95

Solución de Blasius

Debido a que no existe una longitud característica en el problema, es posibleque exista una solución de semejanza, es decir:

ψ (x, y) = xmf (η) (7.60)

η =y

xn(7.61)

sustituyendo en las derivadas:

∂ψ

∂x= (m− 1)xm−1f (η) + xm∂f

∂x∂ψ

∂x= (m− 1)xm−1f (η) + xm ∂η

∂x

∂f

∂η

∂ψ

∂x= mxm−1f (η)− yxmnx−n−1

∂f

∂η

∂ψ

∂x= mfxm−1 − nη

∂f

∂ηxm−1 (7.62)

∂ψ

∂y=

1

xn

∂ (xmf (η))

∂η= xm−n df

dη(7.63)

∂2ψ

∂x∂y=

∂

∂x

df

dη

=

∂η

∂x

∂

∂η

df

dη

∂2ψ

∂x∂y= −ynx−n−1

d2f

dη2= −η

xn

d2f

dη2(7.64)

∂2ψ

∂y2=

∂η

∂y

∂

∂η

xm−n df

dη

∂2ψ

∂y2= xm−n d2f

dη2= xm−2n d2f

dη2(7.65)

∂3ψ

∂y3=

∂η

∂y

∂

∂η

xm−2n d2f

dη2

∂3ψ

∂y3= x−nxm−2n d3f

dη3= xm−3n d3f

dη3(7.66)


sustituyendo:

∂ψ

∂y

∂2ψ

∂x∂y− ∂ψ

∂x

∂2ψ

∂y2=

∂2ψ

∂y3(7.67)

xm−n df

dη

−η

xn

d2f

dη2

−

mfxm−1 − nη

∂f

∂ηxm−1

xm−2n d2f

dη2= xm−3n d3f

dη3(7.68)

−nxm−n−1ηdf

dη

d2f

dη2−mfxm−1xm−2n d2f

dη2+ nη

∂f

∂ηxm−1xm−2n d2f

dη2= xm−3n d3f

dη3(7.69)

−nxm−n−1ηdf

dη

d2f

dη2−mx2m−2n−1f

d2f

dη2+ nx2m−2n−1η

∂f

∂η

d2f

dη2= xm−3n d3f

dη3(7.70)

−nx2n−1ηdf

dη

d2f

dη2−mxm+n−1f

d2f

dη2+ nxm+n−1η

∂f

∂η

d2f

dη2=

d3f

dη3(7.71)

De aquí si n = 1/2 y m = 1/2. También ψ (x, y) =√

xf (η) y η = y/√

x

−η

2

df

dη

d2f

dη2− 1

2f

d2f

dη2+

η

2

∂f

∂η

d2f

dη2=

d3f

dη3(7.72)

d3f

dη3+1

2f

d2f

dη2= 0 (7.73)

Las condiciones de frontera:

∂ψ

∂y

(x,y=0)

= 0 (7.74)

df

dη

η=0

= 0 (7.75)

∂ψ

∂x

(x,y=0)

= 0

1

2√

xf − η

2√

x

∂f

∂η

η=0

= 0

f (η = 0) = 0

para no deslizamiento y

∂ψ

∂y

(x,y→∞)

→ 1 (7.76)

df

dη

η→∞

→ 1 (7.77)

97

Figura 7.2:

Finalmente el problema es:

d3f

dη3+1

2f

d2f

dη2= 0 (7.78)

f (η = 0) = 0 (7.79)df

dη

η=0

= 0 (7.80)

df

dη

η→∞

→ 1 (7.81)

Cuya solución se obtiene numéricamente por ejemplo con un método de disparo.

Capítulo 8

Problemas de transferenciade calor convectiva

8.1. Cilíndros concéntricos

Considere a dos cilíndros concéntricos cuyo largo es mucho mayor que suradio, el espacio entre ellos está saturado con un fluido newtoniano. El cilindrointerior de radio Ri está en reposo y el exterior Re se mueve a velocidad Ω.Elcilindro interior está a una temperatura Ti y el exterior a Te. Supónga que elfluido entre ellos es agua y calcule a que velocidad los efectos viscosos sobrela temperatura son importantes. (desprecie los efectos gravitatorios y considereflujo estacionario)

Las ecuaciónes son: de cantidad de movimiento, continuidad y energía son:

ρ

∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+

uθ

r

∂ur

∂θ− u2θ

r+ uz

∂ur

∂z

(8.1)

= −∂p

∂r+ ρgr + µ

∇2ur −

ur

r2− 2

r2∂uθ

∂θ

(8.2)

ρ

∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+

uθ

r

∂uθ

∂θ+

uθur

r+ uz

∂uθ

∂z

(8.3)

= −1

r

∂p

∂θ+ ρgθ + µ

∇2uθ +

2

r2∂ur

∂θ− uθ

r2

(8.4)

ρ

∂uz

∂t+ ur

∂uz

∂r+

uθ

r

∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z

(8.5)

= −∂p

∂z+ ρgz + µ∇2uz (8.6)

∇2 =1

r

∂

∂r

r

∂

∂r

+

1

r2∂2

∂θ2+

∂2

∂z2(8.7)

99

100CAPÍTULO 8. PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALORCONVECTIVA


∂ρ

∂t+1

r

∂ (ρrur)

∂r+1

r

∂ (ρuθ)

∂θ+

∂ (ρuz)

∂z= 0 (8.8)

La ecuación de conservación de energía en coordenadas cilíndricas considerandoefectos viscosos es:

ρc

∂T

∂t+ ur

∂T

∂r+

uθ

r

∂T

∂θ+ vz

∂T

∂z

= k

1

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+

1

r2∂2T

∂θ2+

∂2T

∂z2

+

2µ

∂ur

∂r

2+

1

r2

∂uθ

∂θ+ ur

2+

∂uz

∂z

2+

µ

∂uθ

∂z+1

r

∂uz

∂θ

2+

∂uz

∂r+

∂ur

∂z

2+

r

∂

∂r

uθ

r

+1

r

∂ur

∂θ

2

Las condiciones de frontera son:

uz = ur = 0 en r = Ri, Re

uθ = 0 en r = Ri

uθ = ReΩ en r = Re

Si los cilindros son mucho más largos que su radio, entonces se puede suponer queexiste simetría en z (eje a lo largo del del cilíndro) entonces uz =

∂∂z = ∂2

∂z2 = 0.Existe otra simetría en dirección θ, la cual implica que las variaciones en θ (nola velocidad uθ) deben ser cero. Bajo estas consideraciones:

ρ

ur

∂ur

∂r− u2θ

r

= −∂p

∂r+ ρgr + µ

∇2ur −

ur

r2

(8.9)

ρ

∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+

uθur

r

= µ

∇2uθ −

uθ

r2

(8.10)

0 = −∂p

∂z(8.11)

∇2 =1

r

∂

∂r

r

∂

∂r

(8.12)


∂ (rur)

∂r= 0 (8.13)

La ecuación de conservación de energía en coordenadas cilíndricas consideranro

8.1. CILÍNDROS CONCÉNTRICOS 101

efectos viscosos es:

ρc

ur

∂T

∂r

= k

1

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ (8.14)

2µ

∂ur

∂r

2+

1

r2u2r

+ µ

r

∂

∂r

uθ

r

2

De continuidad

rur = C1 (θ, z) (8.15)

Por simetría no debe haber dependencia en θ ni en z, rur = C1 evaluando enr = Ri → Ri0 = C1 entonces C1 = 0 y ur = 0. Con esto las ecuaciones sereducen a:

ρu2θr

=∂p

∂r(8.16)

0 =1

r

∂

∂r

r

∂uθ

∂r

− uθ

r2(8.17)

La ecuación de conservación de energía en coordenadas cilíndricas consideranroefectos viscosos es:

0 = k

1

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ µ

r

∂

∂r

uθ

r

2(8.18)

Las ecuaciones de cantidad de movimiento se pueden arreglar como:

0 =1

r

d

dr

r

duθ

dr

− uθ

r2

0 =d2uθ

dr2+1

r

duθ

dr− uθ

r2

0 =d

dr

duθ

dr+1

ruθ

0 =d

dr

1

r

r

duθ

dr+ uθ

0 =d

dr

1

r

d

dr(ruθ)

(8.19)


Integrando

1

r

d

dr(ruθ) = C2

d

dr(ruθ) = rC2

ruθ =r2

2C2 + C3

uθ =r

2C2 +

C3r

(8.20)


0 =Ri

2C2 +

C3Ri

(8.21)

ReΩ =Re

2C2 +

C3Re

(8.22)

C2 = −2C3R2i

ReΩ = −2C3R2i

Re

2+

C3Re

Ω =

1

R2e

− 1

R2i

C3

C3 =Ω

1R2e− 1

R2i

C2 = − 2

R2i

Ω1R2e− 1

R2i

Entonces la velocidad es:

uθ = − 2

R2i

Ω1R2e− 1

R2i

r

2+1

r

Ω1R2e− 1

R2i

uθ =

1

r− r

R2i

Ω

1R2e− 1

R2i

La ecuación de la energía


0 =k

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ µ

r

∂

∂r

uθ

r

2(8.23)

0 =k

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ µ

$r

∂

∂r

$1

r

1

r− r

R2i

Ω

1R2e− 1

R2i

%%2

(8.24)

0 =k

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ µ

$Ω

1R2e− 1

R2i

r∂

∂r

1

r2− 1

R2i

%2(8.25)

0 =k

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ µ

$Ω

1R2e− 1

R2i

r

−2 1

r3

%2

(8.26)

0 =k

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+ µ

$2Ω

1R2e− 1

R2i

1

r2

%2

(8.27)

0 =k

r

∂

∂r

r

∂T

∂r

+

4µΩ21R2e− 1

R2i

21

r4θ (8.28)

Si se adimensionaliza con

θ =T − Ti

Te − Ti=

T − Ti

∆T(8.29)

ξ =r

Re(8.30)

0 =k∆T

R2e

1

ξ

∂

∂ξ

ξ

∂θ

∂ξ

+

4µΩ21R2e− 1

R2i

21

R4eξ4

0 =1

ξ

∂

∂ξ

ξ

∂θ

∂ξ

+

4

ξ4µΩ2R2

e1R2e− 1

R2i

2k∆TR4

e

(8.31)

Pero si el número de Brinkman se define como: (relaciona al calor generado porviscosidad con el calor transportado por conducción)

Br =µΩ2R2

e

k∆T(8.32)

0 =1

ξ

∂

∂ξ

ξ

∂θ

∂ξ

+4Br

ξ41

R4e

1R2e− 1

R2i

2

0 =1

ξ

∂

∂ξ

ξ

∂θ

∂ξ

+4Br

ξ41

1− R2

e

R2i

2 (8.33)


Si definimos un número de Brinkman modificado

BrR =Br

1− R2

e

R2i

2 (8.34)

0 =1

ξ

∂

∂ξ

ξ

∂θ

∂ξ

+4BrR

ξ4(8.35)

Integrando

∂

∂ξ

ξ

∂θ

∂ξ

= −4BrR

ξ3(8.36)

ξ∂θ

∂ξ=

4BrR

2ξ2+ C4 (8.37)

∂θ

∂ξ=

4BrR

2ξ3+

C4ξ

(8.38)

θ =

2BrR

ξ3+

C4ξ

dξ + C5 (8.39)

θ = (ln ξ)C4 −BrR

ξ2+ C5 (8.40)

Las condiciones de frontera para la temperatura son:

T (r = Re) = Te (8.41)

T (r = Ri) = Ti (8.42)

en variables adimensionales

θ (ξ = 1) = 1 (8.43)

θ

ξ =

Ri

Re

= 0 (8.44)

Sustituyendo en la solución general

θ = (ln ξ)C4 −BrR

ξ2+ C5 (8.45)

1 = (ln 1)C4 −BrR + C5 (8.46)

0 =

ln

Ri

Re

C4 −

BrRRi

Re

2 + C5 (8.47)

o bien,C5 = 1 + BrR (8.48)

0 =

ln

Ri

Re

C4 −

BrRRi

Re

2 + 1 + BrR

C4 =

BrR

(RiRe )2 − 1−BrR

ln Ri

Re

(8.49)


Entonces la ecuación para la energía es:

θ = ln ξ

BrR

(RiRe )2 − 1−BrR

ln Ri

Re

− BrR

ξ2+ 1 + BrR

si Ω = 8π/s, Re = 0,05m, Ri = 0,01m , ∆T = 50K el Número de Brinkmanpara el agua:

Br =µΩ2R2

e

k∆T=

10−3sPa (8π/s)2(,05m)

2

0,6W/ (mK) (50K)=

10−3s Nm2 (8π/s)2 (,05m)2

0,6Nms / (mK) (50K)

Br = 5. 263 8× 10−5

θ =

5. 263 8×10−5

( 15)2 − 1− 5. 263 8× 10−5

ln 15

ln ξ− 5. 263 8× 10−5

ξ2+1+5. 263 8×10−5

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

y

Si se desprecian efectod viscosos

θ = − 1

ln 15

ln ξ + 1


0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

y

Si el número de Brinkman es uno

θ =

1

( 15)2 − 1− 1

ln 15

ln ξ − 1

ξ2+ 1 + 1

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

8.2. PLACAVERTICAL ENUN FLUIDO (LEYDE ENFRIAMIENTODENEWTON)107

8.2. Placa vertical en un fluido (Ley de enfri-amiento de Newton)

Considere una placa vertical infinita de ancho 2L, difusividad térmica α,conductividad termica k, inmersa en un fluido que se mueve paralélamente a laplaca y cuya temperatura lejos de la placa es T∞. Al tiempo t = 0 l a placaestá a una temperatura alta T0. Considere que las condiciones de frontera parala placa son del tipo convectivo y obedecen la ley de enfriamiento de Newton

q = −k∂T

∂x= h (T − T∞) (8.50)

donde q es el flujo de calor y h es el coeficiente de transferencia de calor elcual contiene toda la información de los flujos de calor en la fase fluida (paraencontra h sería necesario resolver de manera acoplada el fluido y el sólido. Lasecuaciones que describen al sistema son:

∂T

∂t= α

∂2T

∂x2(8.51)

T (t = 0) = T0 (8.52)∂T

∂x

x=0

= 0 (8.53)

−k∂T

∂x

x=L

= h (T (x = L)− T∞) (8.54)

Si se adimensionaliza con

θ =T − T∞T0 − T∞

(8.55)

ξ =x

L(8.56)

τ =t

L2/α(8.57)

Bi = Nu =hL

k(8.58)


Se obtiene

T0 − T∞L2/α

∂θ

∂τ=

α (T0 − T∞)

L2∂2θ

∂ξ2(8.59)

∂θ

∂τ=

∂2θ

∂ξ2(8.60)

θ (τ = 0) = 1 (8.61)∂θ

∂ξ

ξ=0

= 0 (8.62)

−k (T0 − T∞)

L

∂θ

∂ξ

ξ=1

= h (T0 − T∞) θ (ξ = 1) (8.63)

∂θ

∂ξ

ξ=1

= −hL

kθ (ξ = 1) (8.64)

∂θ

∂ξ

ξ=1

= −Biθ (ξ = 1) (8.65)

donde Bi es el número de Nusselt ó Biot que mide la razón entre la transferenciade calor externa a la interna. Finalmente el problema tiene la forma:

∂θ

∂τ=

∂2θ

∂ξ2(8.66)

θ (τ = 0) = 1 (8.67)∂θ

∂ξ

ξ=0

= 0 (8.68)

∂θ

∂ξ

ξ=1

= −Biθ (ξ = 1) (8.69)

Es un problema homogeneo que se puede resolver por separación de variables.θ = T (τ)X (ξ) Entonces:

XdT

dτ= T

d2X

dξ2(8.70)

1

T

dT

dτ=

1

X

d2X

dξ2= −λ2 (8.71)

T (τ = 0)X (ξ) = 1 (8.72)

TdX

dξ

ξ=0

= 0 (8.73)

T∂X

∂ξ

ξ=1

= −BiTX (ξ = 1) (8.74)

8.2. PLACAVERTICAL ENUN FLUIDO (LEYDE ENFRIAMIENTODENEWTON)109

para la parte temporal

dT

dτ+ λ2T = 0 (8.75)

T = C1e−λ2τ (8.76)

y la espacial

d2X

dξ2+ λ2X = 0 (8.77)

dX

dξ

ξ=0

= 0 (8.78)

∂X

∂ξ

ξ=1

= −BiX (ξ = 1) (8.79)

La solución general es:X = C2e

iξλ + C3e−iξλ (8.80)

derivando respecto a ξ

∂X

∂ξ= C2iλeiξλ − iλC3e

−iξλ (8.81)

utilizando las condiciones de frontera:

dX

dξ

ξ=0

= 0 = C2iλ− iλC3 (8.82)

C2 = C3 o λ = 0 (8.83)

∂X

∂ξ

ξ=1

= −BiX (ξ = 1) (8.84)

C2iλeiλ − iλC3e−iλ = −Bi

C2e

iλ + C3e−iλ (8.85)

iλeiλ − e−iλ

= −Bi

eiλ + e−iλ

(8.86)

si cosλ = eiλ+e−iλ

2 y sinλ = eiλ−e−iλ2i

iλ2i sinλ = −2Bi cosλ (8.87)

λ sinλ = Bi cosλ (8.88)

Esto origina la ecuación trascendental

tanλ =Bi

λ(8.89)

Las raíces serían los autovalores λn, en la siguiente gráfica se visualizan por elmétodo gráfica para Bi = 0,1, 1, 10, 100


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

2

4

6

8

10

x

y

Entonces la solución general será:

X = C2eiξλn + e−iξλn

= C cos (ξλn) (8.90)

Combinando con la solución temporal y utilizando el principio de superposición:

θ =∞

n=1

Cne−λ2nτ cos (ξλn) (8.91)

Con la condición inicial:

1 =∞

n=1

Cn cos (ξλn) (8.92)

1

0

cos (ξλm) dξ =

1

0

∞

n=1

Cn cos (ξλn) cos (ξλm) dξ (8.93)

1

λmsinλm = Cm

1

λm

1

2λm +

1

4sin 2λm

(8.94)

Cm =2 sinλm

λm + 2 sin 2λm(8.95)

Finalmente:

θ =∞

n=1

2 sinλn

λn + 2 sin 2λne−λ

2nτ cos (ξλn) (8.96)

Capítulo 9

Transporte de masa

9.1. Mezclas Binarias

Considere un fluido compuesto por dos especies A y B. En general estosfluidos se moverán a velocidades diferentes EvA y EvB y tendrán densidades ρA yρB, respectivamente. La densidad de flujo másico de cada uno será

EnA = ρA EvA (9.1)

EnB = ρB EvB (9.2)

Para cada una de las especies es posible aplicar la ecuación de conservación demasa:

∂ρA∂t

+∇ · (ρA EvA) = rA (9.3)

∂ρB∂t

+∇ · (ρB EvB) = rB (9.4)

en donde ri(kgm3s) es la velocidad de producción (o destrucción) de la especie

química i − esima. La forma de ri dependerá de la cinética de la reacciónquímica, por ejemplo para un reacción química homogénea ri = kniρi

Estas ecuaciones se pueden escribir tambíen como:

∂ρA∂t

+∇ · EnA = rA (9.5)

∂ρB∂t

+∇ · EnB = rB (9.6)

Si las ecuaciones en términos de la velocidad se suman:∂ (ρA + ρB)

∂t+∇ · (ρA EvA + ρB EvB) = rA + rB (9.7)

pero sí, ρ = ρA+ ρB y ρEv = ρA EvA+ ρB EvB. Por otro lado, sólo son dos especiespor lo que rA = −rB. Con esto la ecuación anterior queda como:

∂ρ

∂t+∇ · (ρEv) = 0 (9.8)

111

112 CAPÍTULO 9. TRANSPORTE DE MASA

que es la ecuación de continuidad para la mezcla.Si en lugar de densidad de flujo másico se considera densidad de flujo molar:

ENA = CA EvA (9.9)ENB = CB EvB (9.10)

las ecuaciones de conservación de masa para cada especie son:

∂CA

∂t+∇ · ENA = RA (9.11)

∂CB

∂t+∇ · ENB = RB (9.12)

donde Ri

Molesm3s

es la velocidad de producción o destrucción de la especie i.

La forma de Ri dependerá de la cinética de la reacción química, por ejemplopara un reacción química homogénea Ri = kmiCi.Sumando las ecuaciones deobtiene:

∂C

∂t+∇ · (C Ev) = RA + RB (9.13)

donde C Ev = ENA + ENB.Es necesario tener una relación adicional (constitutiva) que de información

de que dependen las densidades de flujo. En este caso dicha relación es la Leyde Fick. En el caso de utilizar densidades de flujo másicas se tiene:

∂ρA∂t

+∇ · EnA = rA (9.14)

y la Ley de Fick para EnA

EnA = ωA (EnA + EnB)− ρDAB∇ωA (9.15)

donde ωA = ρAρ es la fracción másica de A.Combinando ambas ecuaciones:

∂ρA∂t

+∇ · [ωA (EnA + EnB)− ρDAB∇ωA] = rA (9.16)

o bien,

∂ρA∂t

+∇ · [ωA (EnA + EnB)] = ∇ · (ρDAB∇ωA) + rA (9.17)

∂ρA∂t

+∇ ·ρA

ρA EvA + ρB EvB

ρ

= ∇ · (ρDAB∇ωA) + rA (9.18)

Finalmente la ecuación de conservación de especies en términos de lafracción másica para la especie A es:

∂ρA∂t

+∇ · (ρAEv) = ∇ · (ρDAB∇ωA) + rA (9.19)

9.1. MEZCLAS BINARIAS 113

Por otro lado, cuando se manejan densidades de flujo molares:

∂CA

∂t+∇ · ENA = RA (9.20)

Con la Ley de Fick en términos de ENA:

NA = xA (NA +NB)−CDAB∇xA (9.21)

Donde xA = CA

C es la fracción molar de la especie A. Combinando ambas ecua-ciones:

∂CA

∂t+∇ · [xA (NA +NB)−CDAB∇xA] = RA (9.22)

∂CA

∂t+∇ · [xA (NA +NB)] = ∇ · (CDAB∇xA) + RA(9.23)

∂CA

∂t+∇ ·

CA

C(C Ev)

= ∇ · (CDAB∇xA) + RA(9.24)

Finalmente la ecuación de conservación de especies en téminos de lafracción molar para la especie B es:

∂CA

∂t+∇ · (EvCA) = ∇ · (CDAB∇xA) + RA (9.25)

Existen simplificaciones a la ecuación de conservación de especies:

Si la densidad de la mezcla ρ y el coeficiente de difusión binario DAB sonconstantes:

∂ρA∂t

+∇ · (ρAEv) = ρDAB

∇2ωA

+ rA (9.26)

∂

∂t

ρAρ

+∇ ·

ρAρ

Ev

= DAB∇2ωA +

rAρ

(9.27)

∂ωA

∂t+∇ · (ωAEv) = DAB∇2ωA +

rAρ

(9.28)

∂ωA

∂t+ Ev · ∇ωA + ωA∇ · Ev = DAB∇2ωA +

rAρ

(9.29)

pero en la ecuación de continuidad de la mezcla ∂ρ∂t +∇ · (ρEv) = 0 para ρ

constante, se tiene ∇ · Ev = 0, entonces:

∂ωA

∂t+ Ev · ∇ωA = DAB∇2ωA +

rAρ

(9.30)

además se tiene queωA + ωB = 1 (9.31)

por lo que si se conoce ωA es posible conocer ωB.


Si la concentración molar de la mezcla C y el coeficiente de difusión binarioDAB son constantes:

∂CA

∂t+∇ · (EvCA) = CDAB∇2xA + RA (9.32)

∂

∂t

CA

C

+∇ ·

Ev

CA

C

= DAB∇2xA +

RA

C(9.33)

∂xA

∂t+∇ · (xAEv) = DAB∇2xA +

RA

C(9.34)

∂xA

∂t+ xA∇ · Ev + Ev · ∇xA = DAB∇2xA +

RA

C(9.35)

pero en la ecuación de continuidad de la mezcla ∂ρ∂t +∇ · (ρEv) = 0 para ρ

constante, se tiene ∇ · Ev = 0, entonces:

∂xA

∂t+ Ev · ∇xA = DAB∇2xA +

RA

C(9.36)

Para las fracciones molares se tiene xA + xB = 1. Entonces si se conocexA se puede calcular xB .

Segunda ley de Fick. Si las velocidades son cero, ρ y C son constantesy no hay reacciones químicas se obtiene la segunda Ley de Fick de ladifusión:

∂xA

∂t= ∇ · (DAB∇xA) (9.37)

∂ωA

∂t= ∇ · (DAB∇ωA) (9.38)

9.2. Mezclas multicomponentes

Para unz mezcla multicomponente se tiene que para la especie i− esima laecuación de continuidad es:

∂ρi∂t

+∇ · (ρiEv) +∇ ·Eji = ri (9.39)

donde

Eji = −C2MiMj

ρDij · ∇Exi : i = 1, n− 1 (9.40)

En este caso el componente n−enesimo es el que se toma como base (donde to-dos los demás componentes se difunden). Para una mezcla de tres componentes:

Ej1Ej2

= −C2

ρ

M1M1D11 M1M2D12

M2M1D21 M2M2D22

∇Ex1∇Ex2

(9.41)

9.3. CONDICIONES DE FRONTERA 115

9.3. Condiciones de frontera

Concentración conocida en una superficie:

xi (Er = Er0) = x0 (9.42)

Pared impermeable:

jρA (Er = Er0) = −C2

ρMAMBDAB (∇xA · n) = 0

∂xi

∂n

:r=:r0

= 0 (9.43)

Reacción química:

xA (NA +NB)−CDAB∇xA = ksCA (9.44)

9.4. Ejemplos de difusión

9.4.1. Celda PVT de difusión

(ver archivo en word: Celda PVT de difusión.docx)

Capítulo 10

Flujo en medios porosos

10.1. Cantidad de movimiento

Henry Darcy, en 1856, realizó un experimento que es la base para describirel flujo en medios porosos. El experimento se muestra en la siguiente figura:Elllegó a la conclusión de que el gasto es proporcional al area del empacamiento,A, y a la diferencia de presiónes entre la entrada y la salida, ∆p = ps − pe, einversamente proporcional a la viscosidad del fluido, µ, y la longitud del sis-tema, L. A la constante de proporcionalidad la llamó conductividad hidráulicao permeabilidad, k.

q =Ak

µ

− (ps − pe)

L(10.1)

si se define a la velocidad de Darcy como:

u =q

A(10.2)

se tiene que

u = −k

µ

∆p

L(10.3)

La velocidad de Darcy es una velocidad promediada en un área para la cual nosiempre existe flujo (y entonces el promedio se realiza también sobre la roca),el area para la cual si existe flujo es:

Ae = φA (10.4)

donde φ es la porosidad del medio. Entonces la velocidad promedio real o ve-locidad de poro del fluido sería:

ur =q

Ae=

q

φA(10.5)

ur =u

φ(10.6)

117

118 CAPÍTULO 10. FLUJO EN MEDIOS POROSOS

Figura 10.1:

y la ecuación de Darcy

ur = −k

φµ

∆p

L(10.7)

La forma vectorial de la ecuación de Darcy es:

Eu = −kµ

E∇p (10.8)

donde k es el tensor simétrico de permeabilidad

k =

kxx kxy kxzkxy kyy kyzkxz kyz kzz

La ley de Darcy sólo funciona para números de Reynold menores a 10, dondedicho número está definido por:

Re =ρud

µ(10.9)

donde ρ es la densidad del fluido y d es la longitud caracterísitica del tamañode poro. Algunas alternativas para la ley de Darcy son:

Darcy con derivada temporal. Para escalas de tiempos pequeñas debeexistir un tiempo de transición hasta que se establece el flujo, si para elproblema es importante este proceso la ecuación es:

τ t∂Eu

∂t+ Eu = −k

µE∇p (10.10)

donde generalmente τ t << 1. El término adicional lleva a un problemahiperbólico, lo cual complica más las matemáticas. Afortunadamente estaecuación no es aplicable para la mayoría de los casos prácticos.

10.2. ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 119

Ecuación de Brinkman. Esta ecuación pretende resolver el problemade Darcy para describir el flujo en las vecidades de las fronteras y sólo esimportante en una vecindad cercana a ellas.

β∇2Eu + Eu = −kµ

E∇p (10.11)

donde β es una "viscosidad.aparente en el medio poroso.

Ecuación de Forcheimer. Esta ecuación es para flujos no-Darcianos, esdecir, para números de Reynold mayores a diez:

−E∇p =µ

kEu + βρEu2 (10.12)

donde ρ es la densidad del fluido y β es un factor de fricción turbulentaque se determina experimentalmente.

Darcy en un campo gravitatorio.

Eu = −kµ

−→∇p− ρ−→g

(10.13)

10.1.1. Deducción a partir de Navier-Stokes

Considere la ecuación de Navier-Stokes para bajo número de Reynolds

µ∇2Eur = E∇p− ρ−→g (10.14)

asumiento que la difusión viscosa efectiva ∇2Eur es proporcional a la velocidady a la porosidad:

∇2Eur =φEur

k(10.15)

se tiene que

µφEur

k= E∇p− ρ−→g (10.16)

En términos de la velocidad promedio o de Darcy

Eu = −kµ

−→∇p− ρ−→g

(10.17)

10.2. Ecuación de continuidad

La ecuación de continuidad para el espacio poroso es:

∂

∂t(φρ) +∇ (Eurφρ) = 0 (10.18)

en términos de la velocidad de Darcy se convierte en:

∂

∂t(φρ) +∇ (Euρ) = 0 (10.19)


10.3. Difusión de especies

Para una mezcla binaria se tiene que:

φ∂Yi

∂t+ Eu · −→∇Yi =

1

ρ

−→∇ ·

φρDi ·−→∇Yi

,→ i = 1, 2 (10.20)

donde, Yi, es la concentración másica de la especie i− esima, Di(Di,j , Eu,k,φ, τ),es el tensor de dispersión de la especie i−esima, Di,j es el coeficiente de difusiónmolecular binario de la especie i − esima en la j − esima, Eu, es la velocidadde la mezcla, k, es el tensor de permeabilidad, φ, la porosidad efectiva, y τ , latortuosidad.

La naturaleza del tensor de dispersión es todavía materia de debates. Ex-perimentalmente se demuestra que el coeficiente de dispersión en zonas de altavelocidad puede ser hasta 10 veces más grande que el coeficiente de difusiónmolecular; un modelo propuesto por Bear [?] para medios porosos isotrópicosen dos dimensiones es el siguiente:

Di =

Di,j

τ +αlu

2x+αtu

2y

φ|−→u |(αl−αt)uxuy

φ|−→u |(αl−αt)uxuy

φ|−→u |Di,j

τ +αlu

2x+αtu

2y

φ|−→u |

, (10.21)

donde, αl y αt son las dispersividades longitudinal y transversal, respectiva-mente. Sin embargo, los valores de las αl y αt son desconocidos para la may-oría de los materiales, además dependen del tiempo y la escala del problema.Excelentes discusiones del tema se pueden encontrar en los libros de Lake yBarenbaltt et al.

10.4. Conservación de energía

La conservación de energía en un medio poroso se tiene que dividir entre laparte sólida y fluida. En el volumen ocupado por el fluido el balance de energíaes:

ρfcf

∂Tf

∂t+ Eur · ∇Tf

= ∇ · (kf∇Tf ) (10.22)

Ex ∈ Volumen del fluido (10.23)

y para el sólido

ρscs∂Ts

∂t= ∇ · (ks∇Ts) (10.24)

Ex ∈ Volumen del sólido (10.25)

donde los subíndices s y f representan la fase sólida y fluida respectivamente,T es la temperatura, k es la conductividad térmica, ρ es la densidad, y c es la


capacidad calorífica. Si Γ es la superficie entre el medio sólido y el fluido dentrodel medio poroso se debe cumplir que:

Ts (Γ) = Tf (Γ) (10.26)

ks∇Ts · nΓ = kf∇Tf · nΓ (10.27)

donde nΓ es un vector normal a Γ. Si se supone que el fluido y el sólido estánen equilibrio térmico local en cada volumen de control

Ts = Tf

Sumando las ecuaciones de energía en cada fase:

φfρfcf

∂Tf

∂t+ Eur · ∇Tf

+ φsρscs

∂Ts

∂t= φf∇ · (kf∇Tf ) + φs∇ · (ks∇Ts)

(10.28)o bien

φfρfcf + φsρscs

∂T

∂t+ ρfcfφfEur · ∇T = ∇ ·

φfkf∇T + φsks∇T

(10.29)

φfρfcf + φsρscs

∂T

∂t+ ρfcfφfEur · ∇T = ∇ ·

"φfkf + φsks

∇T

#(10.30)

φf

1 +

φsρscsφfρfcf

∂T

∂t+ Eu · ∇T = ∇ ·

φfkf + φsks

ρfcf∇T

(10.31)

Finalmente se puede escribir

φfρece∂T

∂t+ Eu · ∇T = ∇ · [K∇T ]

donde ρece representan valores efectivos del medio y K es un tensor de difusióntermica que se puede modelar como D.

Ejemplos:

Capítulo 11

Apéndice I. Notación deEinstein

El convenio de sumación de Einstein o notación de Einstein es una conven-ción utilizada para abreviar la escritura de sumatorias, en el que se suprime elsímbolo de sumatoria (representado con la letra griega sigma

. El convenio fue

introducido por Albert Einstein en 1916. Se aplica en matemáticas, en especiala los cálculos realizados en álgebra lineal destinados a la física o fenómenos detransporte. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre índices repetidos. Elconvenio se usa especialmente con tensores donde es muy frecuente la operaciónde suma sobre índices repetidos y sería muy fatigoso escribir explícitamente lossignos de sumatorios.

La convención es la siguiente: dada una expresión tensorial (escrita sin laconvención de Einstein) la expresión abreviada se obtiene eliminando los signosde sumatorio y entendiendo que los índices repetidos en la expresión resultanteindican suma sobre todos los posibles valores del índice.

u = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

u =n

i=1

cixi

u = cixi

Un vector en notación de Einstein es:

x = xi =

x1x2x3...xn

x = xi ="

x1 x2 x3 ... xn

#

123

124 CAPÍTULO 11. APÉNDICE I. NOTACIÓN DE EINSTEIN

Ejemplo:

∂σij

∂xi=

∂σ1j∂x1

+∂σ2j∂x2

+∂σ3j∂x3

∂σij∂xi

= ∂σ11∂x1

+ ∂σ21∂x2

+ ∂σ31∂x3

, ∂σ12∂x1

+ ∂σ22∂x2

+ ∂σ32∂x3

, ∂σ13∂x1

+ ∂σ23∂x2

+ ∂σ33∂x3

!

∂ (ujuk)

∂xk=

∂ (uju1)

∂x1+

∂ (uju2)

∂x2+

∂ (uju3)

∂x3∂

∂xk(ujuk) = ∂(u1u1)∂x1

+ ∂(u1u2)∂x2

+ ∂(u1u3)∂x3

, ∂(u2u1)∂x1

+ ∂(u2u2)∂x2

+ ∂(u2u3)∂x3

, ∂(u3u1)∂x1

+ ∂(u3u2)∂x2

+ ∂(u3u3)∂x3

!

Ejemplo

D

Dt

V

ρujdV =

S

σijnidS+

V

ρfjdV

DDt

V

ρu1dVDDt

V

ρu2dVDDt

V ρu3dV

=

S σi1nidS+

V ρf1dV

Sσi2nidS+

V

ρf2dVS σi3nidS+

V ρf3dV

DDt

V

ρu1dVDDt

V

ρu2dVDDt

V ρu3dV

=

S(σ11n1 + σ21n2 + σ31n3) dS+

V

ρf1dVS(σ12n1 + σ22n2 + σ32n3) dS+

V

ρf2dVS (σ13n1 + σ23n2 + σ33n3) dS+

V ρf3dV

apuntes de fenómenos de transporte

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