fase de-berry
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IntroduccionFase de Berry
Ejemplos
La fase de Berry
Jose Miguel Mendez Reyes1
Jesus A. Maytorena Cordova2
1 Facultad de Quımica UNAM2 Centro de Nanociencias y Nanotecnologıa UNAM
V Taller de Fısica de NanoestructurasCentro de Nanociencias y Nanotecnologıa UNAM,
Ensenada Baja California
5 de septiembre de 2014
Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
IntroduccionFase de Berry
Ejemplos
Indice
1 IntroduccionImportancia de la Fase de BerryObservacion de la Fase de Berry
2 Fase de BerryTeorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry
3 EjemplosEspın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
IntroduccionFase de Berry
Ejemplos
Importancia de la Fase de BerryObservacion de la Fase de Berry
Importancia de la Fase de Berry
Presencia en toda la fısica cuantica
Fısica de partıculas, teorıa cuantica de campos, estado solido,materia condensada, fısica atomica y molecular, sistemasopticos(fibras), quımica cuantica, etc.1
Relacionada con propiedades de transporte
Efecto Hall cuantico, corriente de espın, aislantes topologicos,estructura de bandas, etc.
Hay muchas situaciones en las cuales el estado de un sistemacuantico depende no solamente de la situacion local y de losparametros fısicos, sino tambien de la historia previa. Es comosi tales sistemas tuvieran memoria.2
1Holstein. B. R. Am. J. Phys. 57, 1079 (1989)2Berry. M. V. Proc. R. Soc. Lon. A 322 45-57 (1984)
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Ejemplos
Importancia de la Fase de BerryObservacion de la Fase de Berry
Observacion de la Fase de Berry
Ampliamente anticipado y predicho en quımicacuantica(superficies de energıa potencial).3
Experimentos en fısica moderna (1986-2010).4
Rotacion en la polarizacion de la luz en fibra optical helicoidal.Rotacion en el espın de neutrones dentro de camposmagneticos helicoidales.1HNMR (Resonancia magnetica de proton).Polarizacion de ferroelectricos.Velocidades anomalas en dinamica de electrones.Cuantizacion de la conductancia Hall en potenciales periodicos.
σxy = e2
~∫BZ
d2b(2π2)
Ωkxky → σxy = n e2
~
3Mead. C., Truhlar. D. J. Chem. Phys. 70, 2284-2296 (1979)4Garg. A. Am. J. Phys. 78 7 661-670 (2010)
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Ejemplos
Teorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry
Teorema adiabatico
Considerar un sistema con dependencia temporal a traves deuna serie de parametros denotados por R = (R1,R2,R3, ...).
H = H(R),R = R(t) (1)
La evolucion del sistema es adiabatica, es decir R(t) varıamuy lentamente (cambio lento pero no pequeno).
H(R)|n(R)〉 = εn(R)|n(R)〉 (2)
Cuando el cambio es adiabatico, H(R(0)) y su eigenfuncion|n(R(0))〉 evolucionan lentamente a H(R(T )) y |n(R(T ))〉respectivamente. Por tanto se puede expresar a la funcion deonda total como:
|Ψn(R)〉 = |n(R)〉exp− i
~
∫ T
0εn(R(t ′))d(t ′)
eiγn(R) (3)
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Ejemplos
Teorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry
Fase geometrica de Berry
Aplicando la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempoy considerando la evaluacion de γn(R) a lo largo de C en elespacio R cuando R(T ) = R(0) se llega a:
γn(R) = i
∫C〈n(R)|∇R|n(R)〉·dR (4)
Donde i〈n(R)|∇R|n(R)〉 = An(R) y se denota como Vectorpotencial de Berry (conexion de Berry).
Dicha fase ya se conocıa con anterioridad y se suponıa que eraposible eliminarla mediante una transformacion de norma:
|n(R)〉 → |n′(R)〉 = |n(R)〉e iχ(R) (5)
Por tanto se encuentra que:
An(R)→ An′(R) = An(R)−∇χ(R) (6)
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Ejemplos
Teorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry
Fase geometrica de Berry
⇒ γn′(R) = γn(R)− [χ(T )− χ(0)] (7)
Escogiendo adecuadamente a χ, se pensaba que γn(R) sepodıa cancelar.
En 1984 M. V. Berry noto que si la ecuacion (4) se integrabasobre una curva cerrada, χ(T )− χ(0) = 2πN donde N es unentero (se obliga a que χ sea monoevaluada).
γn(C) =
∮C
An(R)· dR (8)
∴ γn(C) no puede eliminarse. Aplicando el teorema de Stokes:
γn(C) =
∫∫S
Ωn(R)·dS (9)
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Ejemplos
Teorema adiabaticoFase geometrica de BerryCurvatura de Berry
Curvatura de Berry
Donde:
Ωn(R) = ∇R × An(R) (10)
Queda definido como el campo o curvatura de Berry, analogoal campo magnetico, pero cuyas unidades son [R−2] (campoelectrico E = r
r2 ).
Sustituyendo An(R) = i〈Ψn(R)|∇R|Ψn(R)〉 se obtiene:
Ωn(R) = −Im∑m 6=n
〈n|∇RH(R)|m〉 × 〈m|∇RH(R)|n〉(En − Em)2
(11)
Ωn(R) es singular en los puntos de degeneracion en elsistema, analogo a una fuente de monopolo magnetico.
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Espın 1/2 en un campo magnetico
Sistema sencillo con dos estados posibles (↑↓), truncando elhamiltoniano a una matriz de 2× 2
H = −1
2σ·R = −1
2
(Z X−iY
X+iY −Z)
(12)
Cuyas eigenenergıas estan dadas por E↑↓ = ±12 |R|
Aplicando la ecuacion (11) en (12) se obtiene Ω↑ y por tanto−Ω↓
Ω↑ = −Ω↓ = −1
2
R
R3(13)
Posteriormente con la ecuacion (9) se obtiene γ↑
γ↑ = −1
2∆Ω⇒ γ↓ = +
1
2∆Ω (14)
Donde ±∆Ω es el angulo solido y depende de la direccion deintegracion.
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Espın 1/2 en un campo magnetico
Ω en R=0 equivale al monopolo magnetico en el punto dedegeneracion, encontrando el flujo de campo sobre unasuperficie cerrada:
Q↑ = −1
2
∮Ω↑ · dS = −1
2
∮(− R
2R3) · dS = 1 (15)
Donde Q↑ es el equivalente a una carga monopolar magnetica.
Conclusion: Este ejemplo permite interpretar la fase, laconexion y la curvatura de Berry mediante una analogıafısico-matematica con los campos y flujos enelectromagnetismo.
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Efecto Aharonov - Bohm
Figura : Efecto Aharonov - Bohm
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Efecto Aharonov - Bohm
Suponer un electron en una caja de paredes infinitas en elorigen con una ecuacion de Schrodinger independiente deltiempo asociada:[
p2
2m+ V (r)
]χn(r) = Eχn(r) (16)
Ahora se hace una variacion adiabatica (campo magneticoapagado ∴ una de las trayectorias se ve alterada)
H(R) =1
2m
(p− e
cA(r)
)2+ V (r − R) = H
(p− εA
c, r − R
)(17)
Aplicando la ecuacion (4), se obtiene la correspondienteconexion de Berry
i〈ψn(R)|∇R|ψn(R)〉 =e
~cAn(R) (18)
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Efecto Aharonov - Bohm a
aAharonov. Y., Bohm. D. Phys. Rev. 115, 485 (1959)
Por lo tanto, se obtiene la fase de Berry
γn(C) =e
~c
∮C
An(R)· dR =e
~cΦ (19)
Conclusion: Se obtiene la fase de Berry como un equivalentea un flujo, se evidencıa la importancia del conceptogeometrico en sistemas fısicos.
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Efecto Hall de espın
Sistema en 2D con acoplamiento espın-orbita (hamiltonianoRashba-Dresselhaus 5)
H0 =~2
2mk2 + HR + HD (20)
cuyos eigenestados se definen como:
|kλθ〉 =1√2
(e−iθ
+i
)|kλ〉, λ = ± (21)
Para este caso R = R(kx , ky ), Evaluando la fase de Berry,ecuacion (8) se obtiene la siguiente expreison:
γλ = i
∮〈kλθ|∇k|kλθ〉 = π
λ2 − β2
|λ2 − β2|(22)
5Rashba. E. Phys. Rev. Lett 91, 126405 (2003)Jose Miguel Mendez Reyes Fase de Berry
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Ejemplos
Espın 1/2 en un campo magneticoEfecto Aharonov - BohmEfecto Hall de espın
Efecto Hall de espın
Analogamente, en teorıa de perturbaciones estudiando elfenomeno de conductividad en un gas bidimensional de unsistema (↑↓):
σsxy =e
2π
λ2 − β2
|λ2 − β2|(23)
Dado que jzy = σE, puede relacionarse entonces el efecto Hallde espın de la forma:
σsH =jzyE
=e
8π2γλ (24)
Conclusion: Presencia evidente de la fase geometrica en unfenomeno fısico medible y observable.
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