fase 2.pdf
TRANSCRIPT
![Page 1: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/1.jpg)
Ecuaciones diferenciales
Segunda actividad
Situación problema
Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de
1000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago
con volumen de 1000 millones de m3. Suponga que la fábrica
empezó a funcionar el 1 de enero de 1993, y que desde entonces,
dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde,
bombea contaminantes al río a razón de 1 m3/s. Suponga que el
lago tiene una salida de 1000m3/s de agua bien mezclada.
Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de
contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un
año (365 días).
![Page 2: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/2.jpg)
Aplicación de ecuaciones
diferenciales de primer orden
• Datos del problema
Volumen del caudal: v = 1000m3/sCaudal entrante: 1000m3/sCaudal saliente: 1000m3/sContaminantes: c1 = 1m
3/s
Datos que no se conoce:
Volumen en cualquier instante de tiempo: v t =?Cantidad de contaminantes en cualquier instante: Q t =?
![Page 3: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/3.jpg)
Aplicación de ecuaciones
diferenciales de primer orden
Se procede a hallar una ecuación diferencial para calcular la
concentración de contaminantes en el transcurso del tiempo entonces
esta estará en función del (t)
Tasa de entrada al lago A A=1000𝑚3
𝑠
Tasa de salida del lago B B=1000𝑚3
𝑠
Concentración de entrada c1=1000𝑚3
𝑠
Concentración saliente depende del tiempo c(t)???
V(t) volumen en el tanque en cualquier instante de tiempo
Q(t) cantidad de contaminante en cualquier instante
C(t) concentración que hay en cualquier tiempo
![Page 4: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/4.jpg)
Modelado del
problema
• 𝑉 𝑡 = 𝐴 − 𝐵 𝑡 + 𝑉0
•𝑑𝑄
𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶 − 𝐵 ∗
𝑄(𝑡)
𝑉(𝑡)
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 5: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/5.jpg)
Desarrollo• c(t) Q(t)/v(t) 𝑐 𝑡
𝑄 𝑡
𝑣(𝑡)
Se analizan cada una de las variables anteriormente mencionadas.
Variación del volumen depende del tiempo
𝑑 𝑣
𝑑(𝑡)= 𝐴 − 𝐵
La variación del volumen es lo que entra menos lo que sale
d(v)= 𝐴 − 𝐵 𝑑(𝑡)Integrando ambos lados de la ecuación
𝑑𝑣 = 𝐴 − 𝐵 𝑑𝑡
Solucionando las integrales
v= A − B 𝑡 + 𝑐Para hallar C partimos de una condición inicial del volumen en t=0
v= 0 A − B 0 + 𝑐v 0 = 𝑐
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 6: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/6.jpg)
Desarrollo
Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo V(t)=1000 millones de metros cúbicos
Ahora para Q
𝑑 𝑄
𝑑(𝑡)= 𝑅1 − 𝑅2
Como A y B son iguales el volumen en todo tiempo es el mismo V(t)=1000 millones de metros cúbicos
Ahora para Q
𝑑 𝑄
𝑑(𝑡)= 𝑅1 − 𝑅2
R1=razón de entrada=A*C1
R2=razón de salida=B*C(t)=B*Q(t)/V(t)
Entonces
𝑑 𝑄
𝑑(𝑡)= 𝐴 ∗ 𝑐1 −
𝐵 ∗ 𝑄(𝑡)
𝑣
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 7: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/7.jpg)
Desarrollo
• 𝐷𝑒𝑑𝑄
𝑑𝑡= 𝐴 ∗ 𝐶𝑖 −
𝐵𝑄
𝐴−𝐵 𝑡+𝑉𝑜
•𝑑𝑄
𝑑𝑡= 1000 ∗ 1 −
1000𝑄
1000−1000 𝑡+109
•𝑑𝑄
𝑑𝑡= 1000 −
1000𝑄
109
•𝑑𝑄
𝑑𝑡+1000𝑄
109= 1000
•𝑑𝑄
𝑑𝑡+1𝑄
106= 1000
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 8: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/8.jpg)
Se utiliza factor
integrante
• 𝑒 1
106𝑑𝑡= 𝑒𝑡/10
6
• 𝑒𝑡
106𝑑𝑄
𝑑𝑡+ 𝑒
𝑡
50𝑄
106= 1000𝑒
𝑡
106
•𝑑
𝑑𝑡𝑒𝑡
106𝑄 = 1000𝑒𝑡
106
• 𝑒𝑡
106 𝑄 = 1000 𝑒𝑡/106𝑑𝑡
• 𝑒𝑡
106 𝑄 = 1000𝑒𝑡
106 106 + 𝐶
• 𝑒𝑡
106 𝑄 = 109𝑒𝑡
106 + 𝐶
• 𝑄(𝑡) = 109 + 𝐶𝑒−𝑡
106 Solución
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 9: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/9.jpg)
Conversión
• Tiempo (día)
𝑡𝑑 = 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑑 = 14400 𝑠𝑒𝑔
• Tiempo (mes)
𝑡𝑚 = 30𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑚= 432000 𝑠𝑒𝑔
• Tiempo (año)
𝑡𝑎 = 365𝑑𝑖𝑎𝑠 ∗ 4ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ∗ 3600𝑠𝑒𝑔 𝑡𝑎= 5256000 𝑠𝑒𝑔
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 10: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/10.jpg)
reemplaza
• Ahora se reemplaza en el tiempo
• 𝑄(𝑡) = 109 + 𝐶𝑒−𝑡
106
• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑑í𝑎:
• 𝑄 𝑡𝑑 = 109 + 𝐶𝑒−14400
106
• 𝑄 𝑡𝑑 = 109 + 0.98𝐶
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 11: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/11.jpg)
Respuesta
• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑚𝑒𝑠:
• 𝑄 𝑡𝑚 = 109 + 𝐶𝑒−432000
106
• 𝑄 𝑡𝑚 = 109 + 0.64𝐶
• 𝐶𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜:
• 𝑄 𝑡𝑎 = 109 + 𝐶𝑒−5256000
106
• 𝑄 𝑡𝑎 = 109 + 0.0052𝐶
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
![Page 12: fase 2.pdf](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022051215/55cf9219550346f57b9392aa/html5/thumbnails/12.jpg)
Grafica
FI-GQ-GCMU-004-015 V. 001-17-04-2013
Con la ayuda de wólfram alpha