familias de soluciones - ecuaciones diferencialesen la siguiente sección se discutirá un poco más...

14 Ecuaciones diferenciales

14. ey dx C .xey C 2y/ dy D 0; con y.4/ D 0I xey C y2 D C:

15. dx D y

1 � x2y2dx C x

1 � x2y2dy; con y.0/ D 2I ln 1C xy

1 � xy � 2x D C:

16. .1C y2 sen2x/ dx � 2y cos2 x dy D 0; con y.2�/ D p�I x � y2 cos2 x D C:

17. Œsenx seny � xey � dy D Œey C cosx cos y� dx; con y(�

2

)

D 0I xey C senx cos y D C:

18. 3x2.1C lny/ dx C(

x3

y� 2y

)

dy D 0; con y.2/ D 1I x3.1C ln y/ � y2 D C:

19.4y2 � 2x2

4xy2 � x3dx C 8y2 � x2

4y3 � x2ydy D 0; con y.2/ D 1I x2y2Œ4y2 � x2� D C:

20. x2y 00 � 3xy 0 C 4y D 0; con y 0.1/ D 2 & y.1/ D 3I y D C1x2 C C2x

2 ln x:

1.5 Familias de curvas

Para continuar con el estudio de las soluciones de las ED, daremos en esta sección una interpretación gráficadel conjunto de soluciones para una ED de primer orden dada. Es conveniente anotar que suponemos queuna ED de primer orden en algunos casos se puede escribir:

y 0 D dy

dxD f .x; y/;

es decir, donde la derivada de la función incógnita ha sido despejada. A esta forma de escribir la ED sellama forma normal.

1.5.1 Interpretación gráfica de y 0 D f .x; y/

En esta sección haremos algunas consideraciones de tipo geométrico con el objetivo de ayudar a compren-der mejor las ED y sus soluciones. Para lograr este propósito, es indispensable recordar que la derivada deuna función y D '.x/ al evaluarse en x0 representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de dichafunción que pasa por el punto Œx0; '.x0/�:

x

y

x0

'.x0/ Œx0; '.x0/�

y D '.x/

Recta tangente a la gráfica en Œx0; '.x0/�.Tiene pendiente m D ' 0.x0/.

1.5 Familias de curvas 15

Esto ocurre siempre que la derivada exista en ese punto, es decir, que el límite que la define se puedacalcular en x0. Más aún, conocida la pendiente y el punto por el que pasa la tangente, siempre se puedeescribir su ecuación como:

y � y0

x � x0

D m; es decir:y � '.x0/

x � x0

D ' 0.x0/;

o mejor:

y D '.x0/C ' 0.x0/.x � x0/:

Tendremos muchas oportunidades de referirnos a estos hechos en lo que sigue, pero de momento bastacon comentar que si se conociera solamente la derivada ' 0.x/ de una función, esto no sería suficiente pararecuperar la función y D '.x/, pues sólo se tendría la inclinación (pendiente) de las rectas tangentes, perono la ubicación de los puntos de la curva. Cuando resolvemos una ED nos encontramos en la mismasituación, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.5.1 Analizar las soluciones de la ecuación diferencial y 0 D x.

H Cuando x D 1, tenemos que y 0 D 1, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.1; y/ es m D 1.

Considere la curva y D x2

2, que es una solución de la ecuación diferencial y 0 D x,

x

y

�1

1

2

y D x2

2

Se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva y D x2

2en el punto

�1;1

2

�es m D 1.

x

y

�1

1

2

y D x2

2


Otras curvas soluciones de la ED y 0 D x son las siguientes:

x

y

y D x2

2C 3

y D x2

2C 1

y D x2

2� 2

y D x2

2� 4

1

Observe que en todos los puntos con abscisa x D 1 sobre las curvas, las pendientes de las rectas tangentesson iguales, es decir, cuando x D 1 ) y 0 D 1 D m.

x

y

y D x2

2C 3

y D x2

2C 1

y D x2

2� 2

y D x2

2� 4

�

�

�

�

1

Una solución de la ecuación diferencial y 0 D x es una función y D g.x/ que, cuando pasa por el punto.x; y/ del plano, el valor y 0 D f .x; y/ D x proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de lasolución en dicho punto.

Si tomamos el punto .1; 5/, por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la solución que pasapor este punto es y 0 D f .1; 5/ D 1. Este punto se encuentra sobre la recta x D 1. En un punto arbitrariosobre esta recta, la solución que pasa por este punto, .1; y/, tiene recta tangente con pendiente

y 0.1; y/ D f .1; y/ D 1 :


Sobre la recta vertical x D 1, todas las soluciones tiene la misma pendiente m D 1.

x

y

x D 1

Se ha visto en el curso de Cálculo Integral que la solución general de la ecuación diferencial y 0 D x es

y D∫

x dx D x2

2C C :

Si dibujamos la gráfica de la única solución (solución particular), que pasa por el punto .0;�1/, es decirpara la cual C D �1, tenemos:

x

y

�

En la intersección con la recta x D 1, es

decir, en el punto„

1; �1

2

«

, la recta tan-

gente a la gráfica de la solución

y D x2

2� 1 tiene pendiente 1.

y D x2

2� 1

�

Los segmentos de línea mostrados en las dos últimas figuras pretenden dar una idea de cómo se verían lasrectas tangentes a cualquier curva solución de la ED; denominamos a estas figuras campo de direcciones, yaque muestran las inclinaciones que deben tener dichas rectas tangentes. Una idea que podría ser fructíferapara visualizar las soluciones de una ED es la de trazar de manera aproximada curvas que tengan lastangentes del campo de direcciones.

� Dada la ecuación diferencial y 0 D f .x; y/.Se llama isoclina al conjunto de los puntos del plano en donde las rectas tangentes a las gráficas delas soluciones de la ecuación diferencial tienen la misma pendiente. Estos puntos son aquellos quesatisfacen y 0 D f .x; y/ D C .

En el ejemplo anterior, la recta vertical x D 1 representa una isoclina.


Aplicaremos el concepto recién definido en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1.5.2 Describir el campo de direcciones, las isoclinas y la solución que pasa por el punto .0; 2/ de la ecuacióndiferencial: y 0 D �y C x.

H Una solución de esta ecuación diferencial es una función y D g.x/ tal que, si pasa por el punto .x; y/del plano, el valor y 0 D f .x; y/ D �y C x proporciona la pendiente de la recta tangente de la gráfica de lasolución en dicho punto.Así, si tomamos el punto del plano .0; 2/, en ese punto pasa una solución cuya recta tangente tiene comopendiente y 0.0; 2/ D f .0; 2/ D �2C 0 D �2.Los puntos del plano en donde la pendiente de la recta tangente de las soluciones es igual a �2 son aquellosque satisfacen y 0.x; y/ D f .x; y/ D �y C x D �2, es decir, se encuentran sobre la recta y D x C 2.

x

y

� Sobre la recta y D xC2 las rectas tan-gentes a las gráficas de las solucionestienen la misma pendiente m D �2

Como se ha mencionado, más adelante se expondrán los métodos para encontrar la solución general de laecuación diferencial y 0 D �y C x; por ahora vamos a aceptar que ésta es y D .x � 1/CCe�x . Si dibujamosla gráfica de la única solución que pasa por el .0; 2/, es decir C D 3, tenemos:

x

y

�

En la intersección con la recta y D xC2, esdecir, en el punto .0; 2/, la recta tangentede la solución y D .x � 1/ C 3e�x tienependiente �2.

En la figura se ve que la recta y D x � 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de la solución:

límx!1

y D límx!1

Œ.x � 1/C 3e�x� D límx!1

.x � 1/:

en otras palabras, para x suficientemente grande, y � x � 1.�


Ejemplo 1.5.3 Analizar las isoclinas de la ED y 0 D f .x; y/ D x C y; bosquejar algunas curvas solución.

H Las isoclinas son simplemente las líneas rectas

x C y D C o bien y D �x C C;

todas con pendiente �1 y el parámetro C nos da sus ordenadas al origen.

x

y

Escogiendo algunos puntos en cada isoclina, podemos marcar en esos puntos pequeños segmentos queserán tangentes a las curvas solución:

x

y


Ahora podemos trazar algunas curvas solución:

x

y

Desde luego, una de las isoclinas, y D �x � 1 es también una curva solución, pues para ella se cumpley 0 D �1 D x C y. Esta situación no es muy común, pero llega a ocurrir.

�

Observaciones:

1. Como se mencionó anteriormente, intentar resolver una ED de la manera descrita nos dará sola-mente una idea aproximada de cómo se ven las soluciones. En el capítulo siguiente se describenmétodos analíticos para resolver algunas ED de forma sistemática.

2. En los ejemplos mostrados sobre isoclinas, éstas tienen formas relativamente simples (rectas,círculos, parábolas, etc.) Sin embargo, si las isoclinas se describen mediante ecuaciones máscomplicadas, un análisis gráfico de las soluciones de una ED puede resultar muy difícil.

3. Aún en los casos sencillos en que se pueden usar las isoclinas con cierta facilidad, hay que prestarespecial atención a los casos en que se tiene y 0 D 0 o bien y 0 queda indefinida, pues entonces lassoluciones pueden tener una conducta extraordinaria (como perder la continuidad).

Ejemplo 1.5.4 Analizar mediante isoclinas algunas soluciones de la ED y 0 D �yx

.

H Las isoclinas son�yxD C o bien y D �Cx;

esto es, simplemente líneas rectas que pasan por el origen.

x

y


Sin embargo, notemos que ninguna de ellas se puede definir para x D 0, pues esto nos daría una indefini-

ción(

y 0 D �y0

)

. Por tanto ninguna curva solución debería cruzar el eje y. De forma análoga, cuando

C D 0, obtenemos como isoclina y D 0, el eje x. La siguiente figura muestra el campo de direcciones yalgunas curvas solución. Ninguna de ellas cruza los ejes coordenados.

x

y

�

Ejemplo 1.5.5 Analizar gráficamente algunas soluciones de la ED:dy

dxD 5y

45 para x > 0.

H Como en este caso el valor de y 0 depende sólo de y, las isoclinas son rectas horizontales

5y45 D C ) y D ˙

(

C

5

)

54; para C � 0;

y se ve que las isoclinas son simétricas con respecto al eje horizontal. La gráfica a continuación muestra lasisoclinas correspondientes a C D 0; 2; 5; 10; 15 y 25.

x

y

Notemos que:

y D .x � C/5 ) y 0 D 5.x � C/4 D 5(

5√

.x � C/5)4

D 5[

.x � C/5]

45 D 5Œy�

45 :

Es decir, y D .x � C/5 es una familia de soluciones de la ED y 0 D 5y45 .


La figura siguiente muestra algunas curvas solución y D .x � C/5 para C D 2; 4; 6; 8; 10 y el campo dedirecciones:

x

y

Aquí hay que observar necesariamente que cuando una curva solución entra al eje x puede continuar sutrayectoria indefinidamente en ese eje o bien salir de él en un punto posterior. La siguiente figura representaeste caso para la solución:

by D

.x � 2/5 si x < 2I0 si 2 � x � 4I.x � 4/5 si x > 4:

x

y

Para esta ED lo que sucede es que las soluciones no están definidas de manera única para toda x > 0.En la siguiente sección se discutirá un poco más detalladamente esta clase de conducta indeseable de lassoluciones.

�

Ejercicios 1.5.1 Interpretación gráfica de y 0 D f .x; y/. Soluciones en la página 457

1. Considere la ED:dy

dxD 4x

y.

a. Encuentre sus isoclinas y trace su campo de direcciones.

b. Verifique que las rectas y D ˙2x son curvas solución siempre que x ¤ 0.

c. Trace aproximadamente la curva solución que cumple la condición inicial y.2/ D 1. Tambiéntrace la curva solución que cumple con y.1/ D 3.

d. Analice lo que sucede con las curvas solución del inciso anterior cuando x ! ˙1.


2. Algunos modelos en ED de la velocidad de un cuerpo en caída libre toman en cuenta la resistencia delaire al movimiento (esta resistencia opone una fuerza proporcional a alguna potencia de la velocidadv), y se representa por una ED de la forma

dv

dtD a � bvk;

donde a, b, k son constantes.

a. Haga un esbozo del campo de direcciones para a D k D 1 y b D 1

10.

b. Con el campo de direcciones anterior, esboce las soluciones que corresponden a las condicionesiniciales v.0/ D 0; 5; 10 y 15, respectivamente. El valor v D 10 se llama a menudo velocidadterminal o bien límite. ¿Puede ver porqué?

1.5.2 Curva solución de un PVI

Como comentamos al hablar sobre las soluciones generales y particulares de una ED, ocurre que las solu-ciones generales contienen una o más constantes arbitrarias. Para encontrar valores determinados de esasconstantes se requiere de una o más condiciones iniciales. Recordemos que llamamos problema de valorinicial (PVI) al formado por una ED y una condición inicial, por ejemplo:

dy

dxD f .x; y/; con la condición y.x0/ D y0:

Discutiremos algunos aspectos relacionados con la existencia de soluciones de los PVI en la siguientesección. De hecho, todas las ED y PVI que se presentan en este libro tienen solución, a menos que seindique expresamente lo contrario. Puede apreciarse algo con respecto a las soluciones de ED y PVI si con-sideramos las ED de primer orden más simples que puede haber, aquellas en las que f depende sólo de lavariable x:

dy

dxD f .x/; con la condición y.x0/ D y0:

La solución de la ED es

dy

dxD f .x/ ) y D

∫

f .x/ dx:

Es claro que la integral indefinida que está indicada debe contener una constanteC aditiva arbitraria y, si lacondición y.x0/ D y0 puede cumplirse para una elección adecuada de C , ella nos dará la solución al PVI.

Ejemplo 1.5.6 Encontrar la solución del PVI: y 0 D 2xC 1 I con la condición y.0/ D �1 :

H Esta ecuación diferencial se puede resolver por integración:

y 0 D 2x C 1 ) y D∫

.2x C 1/ dx ) y D x2 C x C C :


Sin la condición inicial, la solución general de la ecuación diferencial es la familia de parábolas que seobtienen al trasladar hacia arriba y hacia abajo a la parábola y D x2 C x:

x

y

�

Familia de curvas y D x2CxCC .

Tomando en cuenta la condición inicial, la única solución que cumple y.0/ D �1 es aquella que pasa por elpunto .0;�1/ del plano cartesiano. Para obtener esta solución sustituimos x D 0 & y D �1 en la familia decurvas y D x2 C x C C y obtenemos un valor de C :

y D x2 C x C C ) �1 D 02 C 0C C ) C D �1 )) y D x2 C x � 1 es la única curva que pasa por el punto .0;�1/ )) y D x2 C x � 1 es la única solución del problema: y 0 D 2x C 1; sujeta a la condición y.0/ D �1:

x

y

�.0; �1/

Solución única: y D x2 C x � 1.Pasa por el punto .0; �1/.

�

Ejemplo 1.5.7 Encontrar la solución del PVI y 0 D �y C x con la condición y.�1/ D �5:

H Como se mencionó en el ejemplo 1.5.2, hemos aceptado que la solución general de la ecuación diferen-cial y 0 D �y C x es y D .x � 1/C Ce�x :


�

Familia de curvas y D .x�1/CCe�x .

x

y

De todas estas curvas sólo existe una que pasa por el punto .�1;�5/: x D �1 & y D �5. Sustituyendox D �1 & y D �5 en la ecuación de la familia para obtener el valor de C tenemos:

y D .x � 1/C Ce�x ) �5 D .�1 � 1/C Ce1 ) �5 D �2C Ce1 ) Ce1 D �3 ) C D �3e�1 )) y D .x � 1/ � 3e�1e�x es la única curva que pasa por el punto .�1;�5/ )) y D .x � 1/ � 3e.�1�x/ es la única solución del problema y 0 D �y C xI y.�1/ D �5:

x

y

�1

�5�

La única función de la familia quepasa por el punto .�1; �5/:y D .x � 1/ � 3e�x�1 .

�

Observaciones:

1. Si bien hemos escrito antes que la solución dedy

dxD f .x/ es y D

Z

f .x/ dx, debe quedar enten-

dido que la solución la podemos obtener de forma explícita en el supuesto caso de que se pueda

realizar la integral. Algunas integrales, comoZ

ex2

dx o bienZ sen x

xdx no se pueden expresar

en términos de funciones elementales, es decir, como sumas, productos, cocientes, potencias delas funciones: constantes, x, ex, ln x, sen x, cos x, etc. En casos como ésos tenemos que recu-rrir como último recurso a la evaluación de dichas integrales mediante métodos numéricos. Elcapítulo siete de este libro presenta algunos métodos utilizados para la solución de PVI.


2. La especificación de una condición inicial para una ED no puede ser completamente arbitraria.

Por ejemplo, si a la ED y 0 D 1

xle añadimos la condición y.0/ D 5, entonces como la solución

general es y D ln x C C , vemos que no se puede cumplir y.0/ D 5 D ln 0 C C , pues ln 0 no

está definido, como tampoco estaría definida la derivada y 0.0/ D 1

0. Se deben cumplir ciertos

requisitos, que describiremos en la siguiente sección, para que una condición inicial determineuna solución particular de la ED.

De los ejemplos previos y lo discutido sobre soluciones generales de ED, podemos concluir que la solucióngeneral de una ED es una familia de curvas.

� En general, podemos definir una familia de curvas con un parámetro como el conjunto de solucionesde una ecuación de la forma

F.x; y; C / D 0;

donde x, y son coordenadas y C representa un parámetro, que es un valor numérico que se mantieneconstante para cada curva.

Ejemplo 1.5.8 Presentamos varios ejemplos de familias de curvas.

H

1. La familia de todas las rectas que pasan por .0; 0/, excepto la vertical, se puede representar por laecuación:

y D mx;

donde la pendiente m es un parámetro. La siguiente gráfica muestra las curvas de la familia paraalgunos valores de m:

x

y

2. La familia de todos los círculos con centro .0; 0/ se puede escribir como:

x2 C y2 D r2;

donde el valor de r2 (el cuadrado del radio) se puede tomar como parámetro. La gráfica siguientemuestra algunas curvas de esta familia para diferentes valores de r :


x

y

3. La familia de todas las parábolas con vértice en .0; 0/ y el eje y como eje de simetría se expresa como:

y D cx2;

donde el parámetro c indica hacia dónde abren las parábolas (arriba o abajo).

x

y

4. La familia de las curvas que representa la ecuación:

x2 � y2 D c;

donde c es el parámetro, con c 2 R, es la familia de hipérbolas cuyo centro es el origen y con asíntotasoblicuas las rectas y D ˙x, las cuales también forman parte de esa familia (para el valor c D 0). Lagráfica siguiente muestra varias curvas de esta familia. Las rectas y D ˙x (no dibujadas) son lasasíntotas. Las hipérbolas cuyas ramas cruzan el eje x son las que corresponden a c D 1; 2; 3; 4; � � � ,mientras que las que tienen ramas que cortan al eje y corresponden a c D �1;�2;�3; � � � .

x

y


5. La familia de todos los círculos en el plano que se encuentran en el primer y tercer cuadrante,tangentes a los ejes coordenados x, y.

x

y

Para cada círculo de la familia debe suceder que el centro se encuentre en un punto de la formaC D .a; a/ y toque a los ejes en .a; 0/ y .0; a/, por lo que su radio será r D j a j y la ecuación será

.x � a/2 C .y � a/2 D a2;

con a como parámetro. Otra forma de escribir esta ecuación es desarrollando los binomios y cance-lando el término a2:

x2 � 2axC a2 C y2 � 2ay C a2 D a2 ) x2 C y2 � 2a.x C y/C a2 D 0:

�

En los ejemplos anteriores nos fue posible escribir una ecuación (algebraica) con sólo un parámetro y querepresenta a la totalidad de curvas de la familia. Una observación muy interesante es que también existeuna ED que representa a las curvas de la familia, en el sentido de que las curvas solución de la ED sonprecisamente las curvas de la familia con la cual iniciamos. Para obtener esa ED lo que se hace es derivar(implícitamente por lo regular) la ecuación original de la familia y, usando ambas ecuaciones, eliminar elparámetro arbitrario. Ilustramos este procedimiento con las ecuaciones del ejemplo anterior.

Ejemplo 1.5.9 Usar las familias del ejemplo anterior para obtener la ED asociada a cada familia.

H

1. Partiendo de la ecuación y D mx obtenemos al derivardy

dxD m, de donde, al sustituir esto último en

la primera ecuación:

y D(

dy

dx

)

x o biendy

dxD y

x:

Cualquier función de la forma y D mx satisface a esta ED, como se puede apreciar de inmediato porsustitución:

y D mx ) dy

dxD m & y D mx ) y

xD m para x ¤ 0:

2. Al derivar implícitamente la ecuación x2 C y2 D r2, obtenemos 2xC 2y dydxD 0, de donde

dy

dxD �x

y:

Es claro que la familia de círculos definida por x2 C y2 D r2 es solución dedy

dxD �x

y.


3. Si derivamos la ecuación y D cx2, obtenemosdy

dxD 2cx; de la ecuación original podemos despejar c

para obtener c D y

x2(suponiendo x ¤ 0) y al sustituir este valor de c en

dy

dxresulta:

dy

dxD 2

( y

x2

)

x D 2y

x; suponiendo x ¤ 0:

Las funciones y D cx2 son soluciones de la ED y 0 D 2y

x, pues:

y D cx2 & y 0 D 2cx ) y 0 D 2cx D 2 yx�2

�x D2y

x:

4. De manera análoga a los ejercicios anteriores, al derivar x2 � y2 D c, implícitamente obtenemos:

2x � 2y dydxD 0; o sea

dy

dxD x

y.y ¤ 0/:

5. Al derivar implícitamente la ecuación de la familia obtenemos:

2x C 2yy 0 � 2a � 2ay 0 D 0 ) .y � a/y 0C .x � a/ D 0 ) y 0 D a � xy � a :

La ED anterior aún contiene al parámetro a que falta eliminar. Para ello podemos ayudarnos de laecuación original de la familia:

x2 C y2 � 2a.x C y/ C a2 D 0 ) a2 � 2a.x C y/C .x C y/2 D 2xy )) ŒaC .x C y/�2 D 2xy ) a D �.x C y/˙

√

2xy:

Por tanto, la ED de la familia es

dy

dxD �.x C y/˙

p2xy � x

y C .x C y/�p2xy D �2xC y ˙p2xyx C 2y ˙p2xy :

�

Observaciones:

1. Podemos concluir que cualquier familia de curvas con un parámetro puede representarse poruna ED, siguiendo el procedimiento descrito anteriormente: derivar implícitamente y eliminarel parámetro.

2. Si la familia de curvas depende de dos o más parámetros, es de esperarse que se tengan quecalcular derivadas de orden superior para eliminar los parámetros. Obtendríamos así una ED deorden mayor que 1.

Ejemplo 1.5.10 Encontrar una ED cuyas soluciones sean todas las curvas de la familia de dos parámetrosA y B dada por

y D A cosx C B sen x:

H Derivando:y 0 D �A senx C B cos x y y 00 D �A cosx � B sen x;

de manera que la suma de y con y 00 nos da

y 00C y D .�A cos x � B senx/C .A cos x C B senx/ D 0;

o simplementey 00C y D 0:

�


Note que en los dos últimos ejemplos estamos partiendo de una familia de curvas o funciones dadas paraobtener una ED de la cual todas ellas son soluciones. Esto equivale a comenzar con la respuesta de unproblema para terminar con la pregunta del mismo, lo cual tiene un interés meramente teórico. Lo que nosocupará en los capítulos siguientes es cómo hacer para encontrar las soluciones de una ED dada.

Ejercicios 1.5.2 Curva solución de un PVI. Soluciones en la página 458

1. Para las siguientes familias de curvas:

a. La familia de todas las elipses con centro en .0; 0/ tales que el semieje horizontal sea el doble delsemieje vertical.

b. La familia de todas las rectas no verticales que pasan por el punto .1; 2/.

c. La familia de todas las parábolas que abren hacia arriba que son tangentes al eje x.

d. La familia de todas las hipérbolas cuyas asíntotas son los ejes x, y.

e. La familia de todos los círculos que pasan por los puntos .�1; 0/ y .1; 0/.

Determinar: (i) La expresión algebraica que las describe. (ii) La ecuación diferencial de la cual sonsoluciones.

2. Dado el círculo x2C y2 D 1, considere la familia de todas las rectas que son tangentes a dicho círculo.Determine la ecuación F.x; y; C / D 0 que satisfacen todas esas rectas.

1.6 Existencia y unicidad de soluciones *

Hasta el momento hemos hablado de las ED y sus soluciones sin preocuparnos sobre el problema de laexistencia de dichas soluciones. Es de esperarse que las ED que consideraremos en la mayoría de los casostengan solución, de otra forma el tiempo y esfuerzo que se inviertan en buscar una solución estarían irre-mediablemente perdidos. Por otra parte, el hecho de que para una ED en particular una persona no puedaencontrar su solución no significa que la ED no tenga solución. De aquí resulta muy deseable conocer algúncriterio que nos permita decidir si una ED o bien un PVI tiene solución. En esta sección vamos a enunciar,sin demostración, un resultado de gran importancia, conocido como el teorema de Existencia y Unicidadde Picard-Lindelöf, que proporciona algunas condiciones que garantizan que un PVI tenga solución única.Antes de enunciar un resultado importante de esta sección, hagamos explícitas las siguientes afirmacionesque damos por sentadas:

1. Toda ED de primer orden se puede escribir en la forma normal:

dy

dxD f .x; y/;

donde f es una función de dos variables (aunque bien puede darse el caso que dependa solamentede una de ellas), definida en todo el plano xy o bien en una parte del plano llamada el dominio de f .

2. Recordemos que al par formado por una ED y condiciones iniciales se le llama un problema de valorinicial o PVI. Es decir, un PVI de primer orden es de la forma:

dy

dxD f .x; y/; con y.x0/ D y0: (1.2)

Dicho lo anterior, si una función y D '.x/ es solución del PVI (1.2), entonces por la segunda parte delteorema Fundamental del Cálculo:

∫ x

x0

' 0.t/ dt D '.t/∣

∣

∣

∣

x

x0

D '.x/ � '.x0/I

familias de soluciones - ecuaciones diferencialesen la siguiente sección se discutirá un poco más...

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