facultad de ingeniería instituto de ciencias básicas · agradecemos el apoyo de los profesores...

Universidad Diego Portales CALCULO I

1

Facultad de IngenieríaInstituto de Ciencias Básicas

Profesoras: Sara Arancibia CViviana Schiappacasse C

Colaboradores: Isabel Arratia ZRubén Preiss T


2

Prefacio

En muchas instituciones docentes la obligación de estudiar matemáticas no suele estar ligada a una verdadera necesidad sentida por los propios alumnos de utilizar las matemáticas para responder a problemas que se les plantea en la realidad. Los estudiantes consideran los contenidos relativamente ajenos a sus propios intereses.

Este trabajo es motivado por la necesidad de innovar en la metodología de la enseñanza de los tópicos de Precálculo y del Cálculo diferencial, dirigidos a alumnos de primer año universitario.


3

La metodología que se propone en el curso de Cálculo contempla las siguientes prácticas:

Aprendizajes significativosParticipación activaApoyo al desarrollo de la autoestima positivaTrabajo interactivoUso de la tecnología

Lo que se busca con la metodología planteada en este curso, es que el alumno tome un rol activo en la clase, conecte los contenidos con situaciones reales, aplique tecnología que le permita comprender de mejor forma los conceptos matemáticos y sus aplicaciones. Para lograr estos objetivos los apuntes que presentamos son fundamentales para el buen desarrollo del curso.


4

La presentación de los apuntes está en formato de transparencias PowerPoint y el anexo en Word con problemas que incorporan uso de tecnología (software Maple, calculadora Casio Class Pad 300). El contar con presentaciones en Power Point, a disposición de los alumnos en la página Web de la Universidad, permite al profesor dar mayor énfasis al análisis y desarrollo de problemas en la clase, con uso de tecnología y una participación activa de los alumnos.

Agradecemos el apoyo de los profesores del Instituto de Ciencias Básicas, en especial la valiosa colaboración en problemas con implementación de tecnología del académico Rubén Preiss y de la profesora Isabel Arratia.

Sara Arancibia C Viviana Schiappacasse C


5

Unidad 1Los números reales


6

Admitiremos la existencia de un conjunto IR cuyos elementosse llaman números reales. En el conjunto IR se tienen las operaciones fundamentales: la suma o adición (a+b) y el producto o multiplicación (ab).

Considérense los siguientes axiomas(I) 0∈IR, 1 ∈IR, 0≠1(II) Asociatividad: Para todo a, b, c∈IR , (a+b)+c = a+(b+c)

Existencia de neutro: Existe 0 ∈IR, tal que para todo a∈IR 0+a = a+0 = a

Existencia de inverso: Para todo a∈IR, existe (-a)∈IR tal que a+(-a) = (-a)+a = 0

Conmutatividad: Para todo a ,b∈IR, a+b = b+a(III) Asociatividad: Para todo a, b, c∈IR , (ab)c = a(bc)

Existencia de neutro: Existe 1 ∈IR, tal que para todo a∈IR 1.a = a.1 = a

Axiomas de IR como Cuerpo


7

Existencia de inverso: Para todo a∈IR- {o}, existe a-1∈IR tal que a.a-1 = a-1.a = 1

Conmutatividad: Para todo a ,b ∈IR, ab = ba(IV) Distributividad: Para todo a, b, c∈IR, a(b+c) = ab+ac

El conjunto IR provisto de todos los axiomas dados anteriormente se dice que es un Cuerpo Conmutativo; se escribe (IR, +, ) es un cuerpo•

Es posible demostrar que en el cuerpo de los números realesi) El neutro aditivo (0) es único.ii) En neutro multiplicativo (1) es único.iii) El inverso aditivo (-a) de un número real (a) es único.iv) El inverso multiplicativo (a-1) de un número real (a) es único.


8

Supongamos que 0 y 0` IR son dos neutros aditivos, es decircumplen que

Para todo a en IR, a = 0+a = a+0 (1.1)Para todo b en IR, b+0´= 0`+b = b (1.2)

Como 0`pertenece a IR, se puede tomar a = 0` en (1.1) y tener0`= 0+0`= 0`+0 (1.3)

Análogamente considerando b = 0 en (1.2) se tendrá que0+0`= 0`+0 = 0 (1.4)

Conectando (1.3) y (1.4) se tiene que0`= 0+0`= 0`+0 = 0

Es decir 0 = 0`, lo que hace una contradicción con 0 ≠ 0`.

Por ejemplo, demostrar que el neutro aditivo (0) es único.∈

Lo usual en este tipo de demostraciones es usar el método del absurdo, que consiste en suponer que hay dos elementos (es decir, no es único) que cumplen la propiedad que los define y bajo ese supuesto llegar a una proposición falsa (absurdo).


9

Ejercicio: La propiedad distributiva se cumple para la multiplicación con respecto a la adición.¿Se cumple la propiedad distributiva para la adición con respecto a la multiplicación?. Esto es,

¿a + (bc) = (a + b)(a + c) es cierto para todos los valores de a, b y c?

Problema: Una tienda de discos ”Música juvenil” hizo liquidación, ofreciendo 30 CD de Rock a razón de dos por $10.000, y otros 30 en lotes de tres por $10.000. Al cabo del primer día se habían vendido todos. En total, el primer día ingresaron $250.000.

Ejercicio: Demuestre que si p2 es par, entonces p es par


10

El vendedor tomó la decisión de vender los 60 CD a razón de cinco por $20.000. Pero al final del día, cuando el encargado vio la caja observó con gran sorpresa que sólo había recaudado $240.000.

Vendedor: ¿Para qué molestarse en clasificarlos?. Si vendo 30 a razón de dos por $10.000, y otros 30 a razón de tres por $10.000. ¿Por qué no los junto todos y los vendo en lotes de cinco por $20.000?. El resultado será el mismo.

Al día siguiente, el vendedor puso otros 60 CD en la vitrina.

¿Qué piensa usted que pudo ocurrirle al billete de $10.000 que falta?


11

Proposición: Sean a, b ∈IR , entonces

ab(-a)(-b) vii)a(-b)(-a)b(ab)- vi)

0b.0 )0a a)a( )

0 ,0a ,a (ab) iii)a(-a)- ii)

-b)((-a) b)(a- i)

11

11-1-

===

=≠=

≠≠=

=+=+

−−

−

viv

bb


12

Notación: Sean a, b∈IR, entonces escribiremos

0b ,baab

0a ,a1a

ba)b(a

1-

1

≠=

≠=

−=−+

−

Proposición: Sean a, b, d∈IR - {0} y c∈IR; entonces

bdac

dc.

ba

bdbcad

dc

ba

ab

ba 1

=

+=+

=

−


13

{ }. . . 6, 5, 4, 3, ,2 ,1 IN =

{ } { }... 6, 4,5, 3, 2, 1, 0, 0 IN =∪

El conjunto de los Números Enteros

{ },...4 ,3 ,2 ,1 0, -2,-1,...,-4,-3, Z =

Subconjuntos notables de IR

El conjunto de los Números Naturales

El conjunto de los Números Cardinales


14

El conjunto de los Números Racionales

∈∈= {0}-Zb Z,a :

baQ

El conjunto de los Números Irracionales

Q-IRI =

Números Reales

Irracionales

RacionalesEnteros

Racionales no Enteros

Cardinales

Enteros negativos

Naturales

Cero


15

Números Racionales

711 ,

85 ,

94

−

Enteros-11, -8, -4Cardinales

0

Naturales1, 2 ,3

Números Irracionales

4πe

23

2

11−

Ejemplos de números reales


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Potencias Enteras

Sea a∈IR y n∈IN; se define la potencia real de base a y exponente n por:

44 344 21vecesn

n ......aa.a.a.a.a.a =0a ,1a 0 ≠= y

Si n es un entero negativo y a un real distinto de cero, se define la potencia real de base a y exponente n por:

a ...... aaa1

a1a n

n⋅⋅⋅⋅

==−

-n veces

Por ejemplo, 81

2221

212 82222 3

3-3 =⋅⋅

===⋅⋅=


17

Teorema: Sean a, b ∈IR- {0}, n∈Z y m∈Z; entonces

( )

( ) nmmn

n

n

n

nmn

m

nnn

mnmn

aa )v

ba

ba )iv

aaa )iii

abba )ii

aaa )i

=

=

=

=

=⋅

−

+


18

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

V o F 333 532)b =+

57

75)c

1=

−

844 632)d =⋅

0538 2222)e ⋅=⋅ −

22 x)x()a =−

33

a21

2a)f =

33 a2)a2()g =


19

Usando las propiedades de potencias y los axiomas de los números reales se tienen los siguientes productos notables:

Si a, b∈IR y m∈IN, entonces

10223201

32233

32233

2233

2233

222

22

......)((33)(33)(

))(())((

2)())((

−−−−− +++++−=−

−+−=−

+++=+

++−=−

+−+=+

++=+

−+=−

mmmmmmm baabbababababababbaabababbaaba

babababababababa

babababababa

Productos Notables


20

Notar que en la última igualdad, si b = 1 y a ≠ 1 entonces se tiene que

1a1aa....aaaa1

m1m432

−−

=++++++ −

Ejercicio: Sean a y b en IR- {0}, simplifique la expresión

+++−+

−+

−−

−−−

cba11

ba2ba

cba)ab(cba

1122

222

111

Verifique con la calculadora el resultado de su simplificación


21

Ejercicio: Determine para qué valores de x en IR la expresión E está definida en IR y simplifíquela

1x)1x(

1x2xE

2

3

2

−

−

+−=

Verifique con la calculadora el resultado de su simplificación. Además verifique con la calculadora los siguientes productos notables;

)1x)(1x(1x

1x3x3x1)-(x

)1x(1x2x

2

233

22

+−=−

−+−=

−=+−


22

Proposición: Sean a, b ∈ IR , 0b0a0ab =∨=⇔=

Esta proposición nos permite determinar para qué valores de x se satisface la igualdad siguiente 04x2 =−

2 2 0)2( 0)2(

0)2)(2( 042

−=∨=⇔=+∨=−⇔

=+−⇔=−

xxxx

xxx

Diremos que el conjunto {-2, 2} de valores que satisfacen la igualdad x2 – 4 = 0 es el “Conjunto de soluciones” de la ecuación x2 – 4 = 0.


23

EcuacionesUna ecuación es una proposición que expresa la igualdad de

dos expresiones algebraicas.Llamaremos conjunto restricción de una expresión (o dominio)

que involucra a los términos P(x) y Q(x) al conjunto R de los números reales x para los cuales cada término de la expresión está definida en IR y llamaremos “Conjunto de soluciones” de la ecuación P(x)=Q(x) al conjunto S de los números reales x que satisfacen la ecuación, es decir,

{ }Q(x)P(x) :RIRxS =∩∈=

Ejercicio: Resuelva la siguiente ecuación y verifique su respuesta con la calculadora

2x3

1x)1x(

1x2x

2

3

2+=

−

−

+−


24

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique:

V o FIR 1

3x3x : IRx )a =

=

++

∈

( )( )∅=

=

+++

∈ 13x

4x3x : IRx )b

( ) ( )) 1b 1a( 1ab IRb ,a )c =∨=⇒=∈∀

( )( )yx yxIRy,x )d 22 =⇒=∈∀

Problema: Cuatro estudiantes deciden vivir solos en un departamento y repartir en partes iguales el arriendo mensual. Sin embargo encuentran que si aumenta en dos el número de estudiantes, su cuota mensual se reduce en $20.000. ¿Cuál es el costo del arriendo?. Compruebe con la calculadora.


25

En los ejercicios anteriores hemos resuelto una ecuación enuna variable. Con frecuencia, es necesario resolver sistemas de ecuaciones, es decir, resolver dos o más ecuaciones simultáneamente en dos o más variables.

En el problema siguiente, antes de resolver un sistema de ecuaciones, entregue una respuesta ingeniosa usando sólo las operaciones aritméticas elementales.

Problema: Una vendedora gana un salario base de $60.000 por mes más una comisión del 10% de las ventas que haga. Descubre que en promedio, le toma una hora y media realizar ventas por un valor de $10.000. ¿Cuántas horas deberá trabajar en promedio cada mes para que sus ingresos sean de $200.000?


26

Antes de salir del parque, José y Elena visitaron el zoológico. En uno de los recintos estaban mezcladas jirafas y avestruces. Ya fuera del ZOO, José le dijo a Elena:- Elena ¿contaste cuántas jirafas y avestruces habían?- Pues no...¿Cuántos eran?- pregunta Elena.José responde - Averígualo tú misma. En total habían 30 ojos y 44 patas.¿Puedes ayudarle a Elena?

Problema


27

Formalización del planteamiento:SeanX: Número de jirafasY: Número de avestruces

Resolviendo el sistema se tiene: X = 7, Y = 8

Por lo tanto, habían 7 jirafas y 8 avestruces, respuesta que verificamos con la calculadora.

Del enunciado podemos deducir las siguientes ecuaciones

X + Y = 154X + 2Y = 44


28

Resolver problemas como los anteriores exige reconocer los datos importantes (y despreciar información innecesaria), identificar la o las incógnitas e introducir una o más variables para representarlas, plantear y resolver las ecuaciones que relacionan los datos, teniendo en cuenta las restricciones necesarias involucradas en el problema.

Y en algunos casoses necesario aplicar

conceptos tales como;porcentaje, razón

y proporción


29

Si vas a una tienda que te ofrece la siguiente oferta

Sombreros20% de descuento

¿Puedes obtener mentalmente el valor de un sombrero cuyo precio normal es $5500?. ¿Cómo pensaste?. ¿Y si el precio del sombrero es $5500 con IVA, cuál es precio sin IVA?


30

¿Tienes habilidades para calcular porcentajes?Si no tienes esa habilidad, no significa que no puedas tener éxito en matemáticas o no puedas aprender otros conceptos. Una habilidad no necesariamente asegura el éxito en alguna área.Si no pudiste hacer el cálculo mental, probablemente usarás una calculadora, pero para eso necesitamos conocer el concepto de porcentaje.

Lo importante es comprender el concepto, aprender a aplicarlo a un problema e interpretar la información y resultados que nos interesan.


31

Recordemos que:1. p es el q por ciento (se escribe q%) de x, si y sólo si;

x 100

qp ⋅=

2. La razón de dos números a : b (se lee a es a b) es el cuociente a / b.

(La expresión a : b desea destacar el aspecto de comparación entre a y b).

Una proporción es una igualdad entre dos razones, por ejemplo, 2 : 3 = 6 : 9.

3. Se dice que a es directamente proporcional a b si y sólo siexiste una constante q tal que a = qbSe dice que a es inversamente proporcional a b si y sólo si

existe una constante q tal que . b1qa ⋅=


32

Ejercicio: Los diámetros de dos cilindros son entre sí como 3: 4 y sus alturas como 5: 6. ¿Qué tanto por ciento del volumen del mayor de ellos es el volumen del menor?

Ejercicio: Si el radio del cilindro disminuye en un 10%mientras que su altura aumenta en un 12%, en qué tantopor ciento varíana) El volumen del cilindrob) El área lateral del cilindro


33

Interpretación y creación de gráficas y tablas usando conceptos de porcentajesTasa de desempleo- Tasa de cesantíaEn Chile, la encuesta más importante para medir el desempleo la hace periódicamente el Instituto Nacional de Estadística (INE). ¿Cuándo se considera que una persona está desempleada?

Las personas desempleadas se pueden distribuir en dos grupos: aquellas que buscan trabajo por primera vez y que cuando se realiza la encuesta no han encontrado un puesto de trabajo, y los cesantes, es decir, personas que yahan trabajado con anterioridad y que aunque tienen experiencia laboral, no encuentran un empleo.

Aplicaciones al mundo real


34

PoblaciónTotal

Menores de 15 años

Mayores de 15 añosFuerza de trabajo

InactivosPor primera vezbuscan trabajo

Tasa de Cesantía y tasa de DesocupaciónOct-Dic 1998

Ocupados92,84%

Buscan trabajo por primera vez

0,81%Cesantes

6,36%

Tasa de Cesantía Oct-Dic (1996-1998)

4,6 4,6

6,4

01234567

Oct-Dic 1996 Oct-Dic 1997 Oct-Dic 1998

Cesantes

Desocupados

Ocupados


35

Composición de la población total del país Oct-Dic 1998

Población de 15 años y

más71%

Menores de 15 años

29%

Fuerza de trabajoOct-Dic (1998)

Fuerza de trabajo55%

Inactivos45%

Figura 1.- Tasa de desocupación a nivel nacional por periodos

Fuente; INE

Periodos trimestrales

Ene - Mar 1999

Feb - Abr

Mar - May

Abr - Jun

May - Jul

Jun - Ago

Jul - Sep

Ago - Oct

Sep - Nov

Oct - Dic

Nov - Ene 2000

Dic - Feb

Ene - Mar

Valor Tasa de desocupación nacional

121110987

8

8

8

9

10

11

11

12

11

11

10

9

8


36

Sabiendo que la población total del país en el trimestre Octubre - Diciembre 1998 se estimó en 14.896.700.habitantes y de acuerdo a los datos de las gráficas responda si es posible las siguientes preguntas:• ¿Cuántos habitantes menores de 15 años se estimó para el

trimestre Oct-Dic de 1998, y cuántos habitantes mayores de 15 años?

• Para el trimestre Oct-Dic de 1998 ¿ cuál fue la estimación para los inactivos?

• ¿A cuánto asciende la tasa de desocupación en el trimestre Oct-Dic de 1998, y qué significa?

• Si la Fuerza de trabajo en el trimestre Oct-Dic de1996 fue 5.600.700 habitantes, y los que buscaban trabajo por primera vez 44.000 habitantes.¿Cuántos desocupados había en ese trimestre?

• ¿En qué trimestre del año 1999 se obtuvo la mayor tasa de desocupación?


37

En Chile existen cuatro sistemas eléctricos. Los principales son el Sistema Interconectado Central (SIC), que abarca de la III a la X Región, y el Sistema Interconectado del Norte Grande (SING) que abarca la I y II Región. Los otros dos sistemas corresponden al Sistema de Aysén (XI Región) y al de Magallanes (XII Región).

Sistemas eléctricos


38

Potencia Instalada del SIC (MW)

3.1953.831 3.831 3.890 3.893 4.084

4.8595.267

6.2426.783

01.0002.0003.0004.0005.0006.0007.0008.000

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

Capacidad Instalada del SING ( MW)

97 97 97 170

783

11481274

14761534

1120

0200400600800

10001200140016001800

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

MW

Potencia instalada (MW) por empresa del SING (1999)

EDELNOR28%

CELTA9%

NORGENER18%

ENDESA 2%

OTROS2%

ELECTROANDINA

41%

Potencia instalada (MW) por empresa del SIC (1999)

GENER11%

COLBÚN15%

ENDESA36%

PEHUENCHE9%

OTROS29%


39

A partir de las gráficas dadas determine si es posible responder las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es el total de capacidad instalada (MW) en Chile el año1999, sabiendo que los sistemas de Aysén y Magallanes tienen un total de 17 MW y 52 MW respectivamente?

• ¿Qué porcentaje de capacidad instalada (MW) existe en el SING el año 1999 respecto al total nacional?

• ¿Cuáles son las dos empresas generadoras de energía más importantes en cuanto a capacidad instalada en el SING en 1999, y cuánta capacidad representan del total del SING?


40

• ¿Cuánta capacidad instalada en MW tiene ENDESA en el SIC?

• ¿En qué porcentaje aumentó la capacidad instalada del SIC en 1998 respecto del año anterior?

• ¿En qué año se produjo el mayor porcentaje de aumento de capacidad instalada respecto al año anterior en el SING?

• ¿En qué año se produjo el menor porcentaje de aumento de capacidad instalada respecto al año anterior en el SIC?


41

La ecuación de segundo gradoUna ecuación de segundo grado en la variable x es una expresión del tipo

Una forma de resolver la ecuación es factorizar, cuando ello esposible, la expresión y utilizar la propiedad de IR

a.b = 0 ⇒ (a = 0 v b = 0)

Por ejemplo,

0a IR,c b, a, con ,0cbxax2 ≠∈=++

cbxax2 ++

3) x 2 (x 0)3- x 02-(x

03)-2)(x-(x 06x5x2

=∨=⇔=∨=⇔

=⇔=+−

Ejercicio: Resuelva, mediante factorización, las siguientesecuaciones,1) x2 – x – 30 = 02) 2x2 – 11x +12 = 0


42

Analicemos las posibles soluciones de la ecuación cuadrática

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

222

2

2

44

2 x

44

2 x

44

2 x

44

2 x

42x

022

x

0 x

0

aacb

ab

aacb

ab

aacb

ab

aacb

ab

ac

ab

ab

ac

ab

abx

ab

acx

ab

cbxax

−−−=∨

−+−=⇔

−−=+∨

−=+⇔

−=

+⇔

=+

−

++⇔

=++⇔

=++

¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c para que estas expresiones estén definidas en IR?


43

Estas expresiones estándefinidas en IR si y sólo si

0ac4b2 ≥−

Por lo tanto, considerando la ecuación ax2 + bx + c = 0, ,0a ≠

i) Si , entonces la ecuación tiene dos soluciones o raíces reales diferentes:

ii) Si , entonces la ecuación tiene una solución o raíz real de multiplicidad 2, es decir,

iii) Si , entonces la ecuación no tiene soluciones reales (tiene dos raíces complejas)

0ac4b2 >−=∆

0ac4b2 =−=∆

0ac4b2 <−=∆

a2b

2a2b

1 x ,x ∆−−∆+− ==

2a2b

1 x x == −


44

Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe los resultados con la calculadora

01x x3.012x- x2.

012 3 .1

2

2

2

=++

=+

=−− xx

Además, si x1 y x2 son soluciones de la ecuación ax2+bx+c = 0,

entonces ac

21ab

21 x x y xx =⋅=+ −

Si α y β son las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, entonces . )x)(x(acbxax2 β−α−=++


45

Ejercicios:1. Si los valores -0,5 y 3/7 son las soluciones de una ecuación

cuadrática de la forma Ax2 + Bx + C = 0, determine los valores de A, B y C.

2. Dada la ecuación , encuentre el valor de k, sabiendo que una de sus raíces es y que el producto de las raíces es .

3. La suma de un numero y su reciproco es . Determine el numero.

4. Resuelva en IR la ecuación .

032kxx2 2 =−+

2−

3−

34

x9

x62 −=−

310


46

Axiomas de OrdenLos siguientes axiomas nos permiten ordenar los números reales.

Admitimos la existencia de un subconjunto de IR que denotaremos por , cuyos elementos se llaman números reales positivos yque se caracterizan por los siguientes axiomas:Ax I Axioma de adición - Clausura de la suma

Ax II Axioma de multiplicación - Clausura del producto

Ax III Axioma de TricotomíaPara cada número real a sólo una de las siguientesproposiciones es verdadera

+IR

++ ∈+⇒∈ IRba IRb ,a

++ ∈⋅⇒∈ IRba IRb ,a

++ ∈∨=∨∈ IRa- 0a IRa


47

Proposición: En el conjunto de los números reales se cumple

{ }

+++

+++

++

+++

+−+

+

∈−⇒∈−∧∈

∈−⇒∈∧∈

∈+−+⇔∈

∈−⇒∈−∧∈

∈⇒∈

∈⇒∈

IRbcacIRcviIRacbcIRcv

IRcacbivIRcacbiii

IRaiiIRi

IR a-b )IR a-b )

)()(IR a-b )IRIR b-a )

IRa )a 0-IRa )

1

2

Se define el conjunto de los números reales negativos como

y el conjunto de los números reales no negativos como

}IRa- / IR{a IR +− ∈∈=

{0}IRIR0 ∪= ++


48

Definición: Diremos que a es mayor o igual que b si a es mayor que b o a es igual a b, es decir, a>b v a=b. Escribiremos esto indistintamente como . Por lo tanto,

Definición: Diremos que a es menor o igual que b si a es menor que b o a es igual a b, es decir, a<b v a=b. En este caso escribiremos . Así se tiene que,

Definición: Diremos que a es mayor que b o que b es menor que a si y sólo si y escribiremos esto como a>b o b<a.+∈IRb-a

+∈⇔> IRb-a ba

ab o ba ≤≥

b)a b(a ba =∨>⇔≥

ab o ba ≥≤

b)a b(a ba =∨<⇔≤


49

0a IRa y 0a IRa <⇔∈>⇔∈ −+

Con las notaciones anteriores tenemos que

Las siguientes propiedades son consecuencia de la definición delorden en IR: Para a, b, c IR,

acbc 0)c a(b )viacbc 0)c a(b )v

cacb ab )ivca c)b b(a )iii

0a 0a )ii

0a }0{IRa )i1

2

<⇒<∧>>⇒>∧>

+>+⇒>>⇒>∧>

>⇒>

>⇒−∈−

∈


50

Teorema: Para todo a, b∈IR, se verifica sólo una de las siguientes proposiciones a>b, a=b, a<b.

Observación: La relación “ser menor o igual que” ( ) entre los numeros reales a y b es una relación de orden total; esto significa que ella cumple con las propiedades siguientes:i) Reflexividad: a≤a, ii) Antisimetría: (a≤b ∧ b≤a) ⇒ a=biii) Transitividad: (a≤b ∧ b≤c) ⇒ a≤c iv) Tricotomía: Dados a, b IR,

Uno de los teoremas importantes que se deduce del axioma de tricotomía es el siguiente.

Notación: )cb ba( cba ≤∧≤⇔≤≤

ba≤

IRa∈∀

∈ ba ba ba >∨=∨<

En consecuencia, (IR, +, , ) es un cuerpo totalmente ordenado⋅ ≤


51

Proposición: Sean a, b, c, d y ; entonces

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

V o F

+∈ IR INn∈

nn ba ba ii)

bdac d)c b(a i)

<⇔<

<⇒<∧<

) yIN)(x yx,( 7)

))(IR y,x( 6)

)1)(IRa( 5)

)aIR)(aa( 4)

)ba bIR)(ab a,IN)(n( 3)

)ba bIR)(ab a,( 2)

)ba bIR)(ab a,( 1)

y1

x1

yx

yxx

a1

2

nn

22

22

>⇒<∈∀

<∈∀

<∈∀

<∈∀

<⇒<∈∀∈∀

<⇒<∈∀

<⇒<∈∀

++

+


52

Finalmente, enunciaremos dos propiedades que serán muy útiles en la resolución de inecuaciones: Para ,

Ejercicio: Aplicando las propiedades anteriores, determine bajo qué condiciones las siguientes desigualdades son verdaderas en IR. Compruebe sus resultados con calculadora.

a, b ∈ IR

)0b 0(a 0)b 0(a 0(ab ii))0b 0(a 0)b 0(a 0(ab i)

>∧<∨<∧>⇔<<∧<∨>∧>⇔>

1 x3)

1y1 2)

x x1)

2

2

<

>

≤


53

InecuacionesResolver una inecuación en la variable x es encontrar el conjunto S (conjunto solución) de los x en IR que satisfacen la desigualdad

P(x) < Q(x) o P(x) > Q(x)

Diremos que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución o conjunto de soluciones.

Ejercicio: Determine si las siguientes inecuaciones son equivalentes. Verifique sus resultados con calculadora

x1-2x 2)

1x

1-2x 1)

<

<


54

1) y x

1-2x(y 1x

1-2x<∧>⇔<

x) y 1-2x(y x1-2x <∧>⇔<


55

Los intervalos de números realesSean a, b números reales, con a ≤ b. Los siguientes

conjuntos reciben el nombre de intervalos.

a} x: IR{x ) (a,a} x: IR{x ) [a,a} x: IR{x a) ,(-

}a x: IR{x a] ,(-b}xa : IR{x b) (a,b}xa : IR{x b] (a,b}xa : IR{x b) [a,b}xa : IR{x b] [a,

>∈=∞≥∈=∞<∈=∞≤∈=∞

<<∈=≤<∈=<≤∈=≤≤∈=

Además, ∅== a) (a, y {a} a] [a,


56

Intervalos de números reales

bxa ≤≤ bxa <<

bxa <≤ bxa ≤<

xa <xa ≤

bx ≤ bx <


57

Ejercicio: Escribir los siguientes conjuntos como intervalos o como unión de intervalos.

>+−+−

∈=

≥

+∈=

+−

≤−−

−+

∈=

≥

+−

∈=

0)1)(25()5)(23(:

23:

22

41

2:

051:

23

3

22

1

xxxxIRxS

xxIRxS

xx

xx

xxIRxS

xxIRxS


58

Problema:El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de $0,6 por cada empaque.¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?


59

Dado un número real positivo a y un número natural n siempre existe un único número real positivo b tal que

Raíz n-ésima

Lo anterior se escribe más formalmente así:

Este número real positivo se llama raíz n-ésima de a y se denota

Además, si m∈ Z, se define , para a≥0 y n∈IN.n ma a nm=

n1

a b o ab n ==

Si n es un número impar, esta definición se puede extender a bases negativas: nn a - a- =

nb a =

)ab)(IRb !)(INn)(IRa( n =∈∃∈∀∈∀ ++


60

Ejemplos:

2 4 embargosin 4)2(2 que Note

.24 pues 2422

2

+−≠=−=

==

32727 pues 327 333 −=−=−−=−

1 xsidecir es 01- xsi IR 1-x ≥≥∈

Ejercicio: Analice para qué valores de a y b son verdaderas las afirmaciones siguientes

baab =ba

ba=


61

Ejercicio: Utilizar una calculadora para obtener el valor de cada uno de los siguientes términos.

Ejercicio: Resuelva las siguientes ecuaciones

22x215x 2)

1xx3 )1

+−=+

−=−

3262 )2

22-3-223 )1

++

+


62

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

))(IR( )IRx( 2.

)( )IRx( 1.2

0

yxyxy

xx

≤⇒≤∈∀∈∀

≤∈∀+

+

V o F

111)1( .3 ≥−⇔≥− xxxx

Podemos observar que para resolver una inecuación del tipo

)( tipodel o )()( xQ P(x)xQxP ≤≤

no podemos elevar al cuadrado sin hacer las restricciones necesarias para asegurar que comparamos números reales. En algunas situaciones se deben analizar distintos casos.


63

Ejercicio: Resolver las siguientes inecuaciones

Proposición: Para todo IN,n y IR b a, ∈∈ +

nn b a b a ≤⇔≤

2x xx 2)

1x 1x )12

2

+≤−

−≤−


64

Problema:Las ventas mensuales x de cierto artículo

cuando su precio es p dólares están dadas por p = 200 - 3x.

El costo de producir x unidades del mismo artículo es C = 650 + 5x dólares ¿Cuántas unidades de este artículo deberán producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2.500 dólares?

Verifique su respuesta con calculadora


65

Valor absolutoSea x número real; el valor absoluto de x se define como

En consecuencia,

<≥

=0 xsix-0 xsix

x

IRx ,x x 2 ∈∀=

Además se observa que,

IRx , x x5)

IRx ,x - x 4)

)IR(a -a) x a(x a x 3)

0 x 0 x 2)

IRx ,0 x )1

∈∀≤

∈∀=

∈=∨=⇔=

=⇔=

∈∀≥

+


66

Las propiedades anteriores las usamos, por ejemplo, así:04x2 =−

(2) La inecuación tiene como solución al conjunto vacío, es decir, no tiene solución en IR.

(3) La inecuación tiene comosolución a IR, es decir, cualquiernúmero real es solución de lainecuación.

(1) Resolvamos la ecuación

-2) x 2(x 2 x

4x 4 x 04x 222

=∨=⇔

=⇔

=⇔=⇔=−

1 1- x −≤

0x -3 ≥


67

Mas propiedades del valor absoluto

)IR(a -a) x a(x a x 5)

)IR(a axa- a x 4)

IR yx, ,y - x y x 3)

IR yx, , y x y x 2)

IR yx, , y x y x )1

+

+

∈≤∨≥⇔≥

∈≤≤⇔≤

∈∀≤−

∈∀⋅=⋅

∈∀+≤+

Además, la distancia entre a y b esta dada por d(a, b) = a-b b-a =


68

Ejemplo: Resolvamos la inecuación I x – 1 I < 3

I x - 1I ≤ 3 ⇔ -3 ≤ x - 1 ≤ 3 ⇔ -2 ≤ x ≤ 4La solución es S = [ -2, 4]. Gráficamente,

Ejercicio: Resuelva y verifique con la calculadora

5 85x 6-2x 2-3x )6 1x2 1 x )5

27x

1 )4 2x -9 8-2x )3

x52 1-3x )2 5x4 12x )1

−+<−−>+

>+

≥

−>+≤+


69

Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones para los números reales a y b, son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

V o F

2215

1-2a 1

101

31a 5)

61

a 1 3 a 4)

)ba( b a 3)

ba b a 2)

b a b a )1

2

22

<⇒<+

>⇒<

+≤

+≤

≤+

Ejercicio: Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones

07x6x

6x523x 2)

9x3x1-2x

)1 22 ≥−−

+−≤−

<

+>


70

Ejercicio: Resuelva las siguientes inecuaciones y luego verifique su respuesta con la calculadora.

( )0

)6(5)2(994

321

094

32

0165

4 22

22

2

2

2

≥−−+

−−−

−−<−

≤−+−

−−

>+++−

xxxxxx

xxx

xxxx

xxxx ( ) 0

5444

2

2

≥−+

+−

xxxxx

03182

≥−−

++

xxx

31

161 2

<−−−

xx

11

614<

−+−+

xxx

Ejercicio: Determine para qué valores reales de k las raíces de la ecuación (k – 3)x2 – 2kx + 6k = 0 son reales. Verifique resolviendo la ecuacion con calculadora.


71

Ejercicio: Demuestre que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado y luego resuelva gráficamente usando calculadora.

Ejercicio: Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c )= c.

a) Trace la gráfica de una función continua cuyo dominio sea [0, 1]y cuyo recorrido también sea [0, 1]. Localice un punto fijo de f.

b) Intente trazar la gráfica de una función continua cuyo dominio yrecorrido sean [0, 1], que no tenga un punto fijo. ¿cuál es el obstáculo?

c) Use el teorema del valor intermedio para demostrar que toda función continua cuyo dominio y recorrido sean [0, 1] debe tenerun punto fijo.

3) (2, , 03xx2x 45 =−−−

2) (1, , 1xx2 +=


72

a) Sea con f(-1) = -0,5 y f(2) = 1 . Por teorema del valor intermedio , existe al menos un valor c ∈ [-1,2] talque f(x)=0.

a) Si , entonces existe un valor c ∈ IR tal que g(c) = -1.

b) Sea

11)(−

=x

xf

22)( 235 ++−= xxxxg

≤≤−

<≤=

42

03)( 2 xx

xxf

0

1-

El teorema del valor intermedio garantiza la existencia de un punto c ∈[-1,4] tal que f(c) = 0.

V o FEjercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique

facultad de ingeniería instituto de ciencias básicas · agradecemos el apoyo de los profesores...

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