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Larrondo 2009
Fotones, electrones, y ….
partículas cuánticas
ó
paquetes de onda
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Larrondo 2009
Dualidad onda partícula
Se difractan si interactúan con objetosde tamaño comparable con su λ. Es decir en ese caso se comportan comoondas.
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Larrondo 2009
Dualidad onda partícula
Si interactúan con objetos de tamaño >>
λ la difracción es despreciable y en esecaso se comportan como partículas.
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Larrondo 2008
Ventaja de los electrones
� Su frecuencia y su longitud de onda son regulables mediante un incremento de su ímpetu.
� Los electrones pueden utilizarse parafotografía y microscopía igual que losfotones, pero en casos en que losobjetos son muchísimo más pequeños.
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Larrondo 2008
Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)
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Larrondo 2008
Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)
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Fotos enviadas por SebastiánGómez (curso 2007)
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Larrondo 2008
c
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Larrondo 2008
Qué partículas son éstas?
λ
x∆
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Larrondo 2008
Fourier demostró(transformada de Fourier)
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Larrondo 2008
Cambio de variables
� Si intercambiamos x por t, se
intercambia k por ω en la transformada de Fourier.
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Larrondo 2008
TF para funciones del tiempo
( ) ( )
1( ) ( )
2
i t
i t
F f t e dt
f t F e d
ω
ω
ω
ω ωπ
∞
−
−∞
∞
+
−∞
=
=
∫
∫
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Larrondo 2008
Y los paquetes se obtienen reemplazando k por (k-k0)
0( )
0( ) ( )i k k x
F k k f x e− −
− = ∫
• La transformada de Fourier de un paquete es igual a la de la envolvente pero está centrada en k0.
• Un paquete con portadora k0 y envolvente f(x) se obtiene sumando senoides de distinto k, cuya
amplitud y fase están dadas por F(k-k0)
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Larrondo 2008
Preparación de un paquete de ondas
1. Elegimos la envolvente y
mediante la Tabla de TF
obtenemos la amplitud y fasede cada k
fourierTransform1.htm
2. Elegimos k0
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Larrondo 2008
Ejemplo (ver tabla de TF)
2 2
2
( )
2 22
x k
e e
σ
σ σ π− −
Envolventede f (x)
Envolventede F (k)
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Larrondo 2008
Y éste es el paquete gaussianocentrado en una portadora
2 20( )
22
k k
e
σ
σ π
−−
portadora
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Pincipio de incerteza
1
2x k∆ ∆ ≥
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Larrondo 2008
Atención
� La expresión anterior corresponde a una manera particular de medir el ancho de los pulsos, tanto en x como en k.
� Note que en rigor un pulso gaussiano es indefinido.
� El pulso gaussiano es el único que cumple la igualdad.
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Larrondo 2008
Consecuencias del Pincipio de incerteza
2x
x p∆ ∆ ≥h
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Consecuencias del Pincipio de incerteza
No se pueden medir
simultáneamente la posición en
x y la componente x del ímpetu
con infinita precisión.
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Ejemplo del apunte
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Receta
Para obtener un paquete único de
ancho finito tenemos que sumarun continuo en k
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Paquete sen x / x
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Larrondo 2008
Forma experimental de hacerlo?
Las partículas cuánticas se
preparan mediante mediciones
del sistema!
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Larrondo 2008
Los fotones
� Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético
� Cada onda es solución de la ecuaciónde Ondas
� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.
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Larrondo 2008
Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición
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Larrondo 2008
Pero si bajamos la intensidad de la luz y el tiempo de exposición
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Larrondo 2008
Este es el resultado con bajo tiempo de exposición
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Larrondo 2008
Este es el resultado con alto tiempode exposición
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Larrondo 2008
Los fotones
� Se forman sumando ondas de Campo Electromagnético
� Cada onda es solución de la ecuaciónde Ondas
� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo E) da la probabilidad que los fotones se encuentren en determinado lugar.
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Larrondo 2008
� Se forman sumando ondas de Campo de materia
que es un campo escalar complejo.
� Cada onda es solución de la ecuaciónde Schrödinger
� La intensidad de la onda (el módulo al cuadrado del campo ) da la probabilidad que los electrones se encuentren en determinado lugar.
Los electrones
Φ
Φ
Φ
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Larrondo 2008
Estas son las ecuaciones
2
2 2
1 ( , )( , )
tt
c t
∂∇ =
∂
E rE r
2( , )
( , ) ( , )2
tt V t i
m t
− ∂Φ∇Φ + Φ =
∂
rr r
hh
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Larrondo 2008
Y en una dimensión
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , )x t x t
x c t
∂ ∂=
∂ ∂
E E
2 2
2
( , ) ( , )( , )
2
x t x tV x t i
m t t
− ∂ Φ ∂Φ+ Φ =
∂ ∂
hh
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Larrondo 2008
Solución de la ES
• Partícula libre (V=0): atención cos(kx-ωt) NO essolución pero exp[i(kx-ωt)] SI!
• Partícula en potencial V(x): separación de
variables.
• El problema clásico y la representación en energías.
• Partícula en potencial constante
• Partícula en un potencial escalonado (potencial
unidimensional)