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Facultad de Economía y Empresa

Microeconomía II

Prof. Carlos R. Pitta

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II Segunda Parte:Teoría de Juegos

2. Juegos Dinámicos con Información Completa

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IntroducciónHemos estudiado juegos estáticos, es decir,

juegos en que los jugadores deciden simultáneamente qué hacer. Como es obvio, en muchas situaciones esto no es así, como por ejemplo: el juego de ajedrez, cuando una empresa decide si entrar o no al mercado, lanzar un producto, etc. En estos juegos, es indispensable considerar que, a veces, un jugador mueve antes que otro, y que los otros jugadores observan su decisión antes de jugar. A estos juegos se les conoce como juegos dinámicos.

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Ejemplo 16: El juego de Entrar o no entrar

Suponga que Almacenes Paris (Jugador 2) está considerando entrar (e) en el negocio de vender seguros o no (n). Falabella (Jugador 1) observa a Paris, y actuará solo en caso que éste decida entrar. En ese caso puede: a) Declara una guerra de precios (G) con lo que ganaría 0 (es decir, perdería los 20 que actualmente gana) o aceptar la nueva competencia (A) con lo que ambos se repartirían las ganancia.

¡Pensemos por un par de minutos cuál es la solución!

Dinámicos significa…

Ahora analizaremos juegos en los que cada jugador sabe qué han hecho los jugadores que han movido antes que él.

Se dice que estos juegos son de información perfecta, lo cual es más estricto que información completa.

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Elementos a Considerar en este nuevo contexto

1. ¿Qué es una estrategia?2. ¿Qué equilibrios son razonables?3. ¿Qué información tiene cada jugador

cada vez que le toca decidir?

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Inducción hacia atrás

Sería prematuro tratar de responder las preguntas anteriores sin algunos preliminares. A continuación, definiremos el concepto de Inducción hacia Atrás (Backwards Induction) a través de un ejemplo sencillo:

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Ejemplo: el Juego de la Confianza

Suponga un juego que comienza con el jugador 1 eligiendo entre confiar o no confiar en el jugador 2.

Si 1 elige no confiar el juego termina

Si 1 elige confiar, 2 juega y puede mantener su promesa, o traicionar.

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Inducción hacia atrás en el juego de la Confianza

Analicemos ahora de atrás para adelante: si el jugador 2 mueve (es decir, si el jugador 1 decidió CONFIAR) elegirá entre los pagos 1 (honrar su palabra) ó 2 (traicionar). Como 2 es mayor que 1, el Jugador 2 eligirá TRAICIONAR (Marcado en negrito) 9

Inducción hacia atrás en el juego de la Confianza

Ante esta perspectiva, el jugador 1 debe elegir entre NO CONFIAR con un pago de 0, ó CONFIAR con un pago de -1 (ya que el jugador 2 no elegirá CUMPLIR SU PALABRA). Entre 0 y -1 eligirá 0, NO CONFIAR (Marcada en negrito) 10

Algoritmo de Inducción hacia atrás

Comienza en el final del juego, y “regresa” hacia atrás, eligiendo en cada movimiento la mejor respuesta del individuo.

El método funciona siempre y cuando no exista:a) Movimientos simultáneosb) Secuencias infinitas

En estos casos, usaremos el concepto de EQUILIBRIO DE NASH PERFECTO EN SUBJUEGOS que veremos más adelante.

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El algoritmo en acción: el juego del ciempies…

Ilustra una situación en la que es benéfico para ambos continuar una relación, aun cuando uno de los jugadores querría terminarla hoy, si supiese que el otro está dispuesto a terminarla mañana.

El juego ocurre en tres etapas, en cada una de las cuales el jugador elige seguir ir hacia abajo (D, d, δ) ó seguir derecho (A, a, α)

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Juego del ciempies: Paso 1 (Etapa 3)

Primero, situémonos en el final del juego (en la etapa 3) donde el jugador 1 debe elegir entre α con pago 2, ó δ con pago 3. Evidentemente, elegirá δ.

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Juego del ciempies: Paso 2 (Etapa 2)

En la Segunda Etapa, el jugador 2 (Qué sabe que el jugador 1 jugó δ en la tercera etapa) tiene que decidir entonces entre d con un pago de 4, ó a con un pago de 3. Evidentemente, elegirá el mayor pago, es decir, jugará d.

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Juego del ciempies: Paso 3 (Etapa 1)

El “final” del juego es en realidad en donde comenzamos, el jugador 1 debe elegir D con un pago de 1, o A con un pago de 0. Evidentemente, elegirá D.

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Equilibrio de Nash para el Juego del ciempies

Moraleja: ¡Miedo al Compromiso!Los resultados del tercer día ó etapa, (3,3) ó (2,5),

son ambos estrictamente mejores que la solución de equilibrio (1,1). Pero esos resultados no se pueden alcanzar, dado que el jugador 2 no se comprometerá a jugar a por lo que el jugador 1, anticipándolo, resuelve terminar el juego en el primer día tirando D.

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Equilibrio de Nash para el Juego del ciempies

Finalmente, el equilibrio de Nash que hemos encontrado es

(D, d, δ). Gráficamente:

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Intuición de Subjuego

Antes de dar una definición formal de subjuego daremos una definición intuitiva. En cada juego, pueden existir pequeños mini juegos. Recordemos de nuevo nuestro ejemplo del juego del ciempiés. En el existen 3 subjuegos:

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Intuición de Subjuego

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Intuición de Subjuego

En dónde a los últimos 2 los llamamos subjuegos propios.

Observe cómo en cada subjuego, el equilibrio hallado mediante inducción hacia atrás es un equilibrio del subjuego (incorporamos el último n-ésimo equilibrio como un hecho en el equilibrio n-1).

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Definición: Forma extensiva de un juego dinámico con información … (comienza)

Definición: Forma extensiva de un juego dinámico con información … (termina)

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Después de cada historia no terminal h, el jugador P(h) elige una acción del set:

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Observación sobre la Historia:

Suponga el siguiente juego dinámico llamado “matching pennies”: Dos jugadores tiran monedas, uno después del otro. Si el segundo jugador iguala el resultado del jugador uno, gana 1 peso (y por lo tanto el jugador 1 pierde un peso); en caso contrario, el jugador 1 es quien gana un peso (siendo el jugador 2 quien paga el peso). El juego en forma extendida es:

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Singletons

En este juego, todos los nodos se encuentran en su propio conjunto informativo. Cuando esto ocurre, se dice el nodo es singleton (tiene un solo elemento). Esto implica que no hay incertidumbre en relación a la historia pasada del juego. Además, como cada nodo tiene solo una rama entrante, cada jugador es capaz de reconstruir toda la historia del juego.

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Usando Inducción hacia Atrás en Matching Pennies

En caso de que el jugador 1 elija HEAD, el jugador 2 eligirá HEAD también.

En caso de que el jugador 1 elija TAIL, el jugador 2 eligirá TAIL también.

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Usando Inducción hacia Atrás en Matching Pennies

En tal caso, el jugador 1 estará indiferente entre HEAD y TAIL, y escogerá cualquiera de ellos al azar (estrategia pura) o una combinación aleatoria de ellos (estrategia mixta)

Obviamente, este no es el fin de la historia.

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Información Perfecta

Juegos cómo el anterior, en donde todos los

conjuntos informativos son singletons, son llamados juegos de

“información perfecta”

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“Reconstruyendo” un juego de Información Perfecta

¿Cómo podemos representar el juego de matching pennies en forma normal? El jugador 1 tiene 2 estrategias(H, T). El jugador 2, en cambio, tiene las siguientes estrategias:

HH HEAD si 1 juega HEAD, y HEAD si 1 juega TAIL

HT HEAD si 1 juega HEAD, y TAIL si 1 juega TAIL

TH TAIL si 1 juega HEAD, y HEAD si 1 juega TAIL

TT TAIL si 1 juega HEAD, y TAIL si 1 juega TAIL

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“Reconstruyendo” un juego de Información Perfecta

Entonces, la representación en forma matricial del juego es:

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Información Completa

Por el contrario, si un set informativo se encuentra poblado por más de un nodo (Es decir, no todos los nodos son singletons), aunque ambos jugadores conocen todos los pagos (propios y ajenos), no son capaces de reconstruir de manera perfecta la historia del juego. Tales juegos se llaman de “información imperfecta” o “información completa”

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Backward Induction en Juegos de Información Completa

Dado que en los juegos de información completa los jugadores no pueden reconstruir la historia del juego, es incorrecto utilizar para ellos el método de backward induction.

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Observe qué:

De la definición de juego en forma extensiva, se tiene que dos historias distintas no pueden terminar en la misma acción.

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FIN DE CLASE

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Definición: Estrategias

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Ejemplo 17: Un juego dinámico

S2((A))=c

S2((B))=f

Es una estrategia del jugador 2

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Ejemplo 17: Un juegodinámico

Lista completa de estrategias para 2:ce c si 1 juega A, y e si 1

juega B

cf c si 1 juega A, y f si 1 juega B

de d si 1 juega A, y e si 1 juega B

df d si 1 juega A, y f si 1 juega B

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Ejemplo 17: Un juego dinámico…

Para entender mejor lo que es una estrategia, consideremos la representaciónen forma normal del juego:

ce c si 1 juega A, y e si 1 juega B

cf c si 1 juega A, y f si 1 juega B

de d si 1 juega A, y e si 1 juega B

df d si 1 juega A, y f si 1 juega B

Resultado de un Juego

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¿Cómo procedemos si no podemos usar inducción hacia atrás? Supongamos el siguiente juego:

El juego tiene 2 subjuegos:

1) El que comienza después de que 1 tira E (subjuego propio)

2) El juego en sí mismo

¿Cómo procedemos?

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1. Computamos el equilibrio de Nash en el subjuego

2. Fijamos la acción encontrada en 1 para el subjuego tomando los pagos de equilibrio

3. Computamos el equilibrio del juego entero

Resultado de un Juego

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1. En el subjuego R domina a L para el jugador 2

2. El subjuego queda con pagos (3,2) si 1 tira T; (1,5) si 1 tira B

3. Como es turno del J1, escogerá T con pagos: (3,2)> (1,5) para J1

Resultado de un Juego

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3. El juego total, traspasando los pagos de equilibrio, es:

Resultado de un Juego

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3. Con lo que el equilibrio de Nash final para el juego total queda entonces como:

Otros Equilibrios de Nash

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NOTE que existen otros equilibrios de Nash (PISTA: para hallar los otros equilibrios de Nash, encuentre la forma normal del juego y siga el método de mejor respuesta)

Sin embargo, dichos equilibrios no son creíbles pues involucran que el jugador 2 adopte estrategias dominadas (L es dominada por R)

Intuición de Equilibrio Perfecto en Subjuegos

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Esto significa que hay un grupo de Equilibrios qué, aun cuando son equilibrios de Nash en TODOS y cada uno de los subjuegos, no se basan en estrategias dominadas. Llamamos a este tipo de equilibrios “Equilibrios Perfectos en Subjuegos”.

Algunos de estos pueden estar basados en estrategias dominadas

NO se encuentran basados en estrategias dominadas

Definición: Resultado del Juego R(s)

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Definición: Subjuego

Equilibrio Perfecto en Subjuegos

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El equilibrio perfecto en subjuegos es un equilibrio de Nash al que se le exige además que cada jugador optimice después de cada historia, llegue a ella o no el juego, dada la combinación de estrategias que están utilizando el resto de los jugadores. La condición de optimalidad luego de cada historia es equivalente a exigir que en cada subjuego la combinación de estrategias elegida induzca un equilibrio de Nash.

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Definición: Equilibrio Perfecto en Subjuegos

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Ejemplo: Perfección en Subjuegos

Encuentre el Equilibrio Perfecto en Subjuegos del siguiente juego en forma extendida

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Ejemplo: Perfección en Subjuegos1) ¿Cuántos subjuegos?

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Ejemplo: Perfección en Subjuegos2) Inducción en cada Nodo

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Ejemplo: Perfección en Subjuegos3) Equilibrio Perfecto en Subjuegos

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FIN DE CLASE

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Ejemplo 19: Negociación

Dos jugadores deben repartirse $ 1.000.000. Las reglas son las siguientes: el jugador 1 (J1) parte ofreciendo una división, luego el jugador 2 (J2) decide si la acepta o no. Si la acepta, el juego termina ahí. Si no acepta, en el siguiente periodo el J2 ofrece una nueva partición y entonces es J1 quien decide si acepta o no. Esto continúa hasta que se logre el acuerdo. El factor de descuento de J1 y de J2 es el mismo e igual a δ ϵ(0, 1). Sea x la cantidad con la que se queda 1.

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Ejemplo 19: Negociación1. Forma Extensiva del Juego

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Ejemplo 19: Negociación2. UNA Combinación de Estrategias

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Ejemplo 19: Negociación3. La estrategia en (2) es Equilibrio Perfecto en Subjuegos… (comienza)

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Ejemplo 19: Negociación3. La estrategia en (2) es Equilibrio Perfecto en Subjuegos … (termina)