universidad complutense de madrid mÁster en ciencias actuariales y financieras microeconomía tema...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta
Prof. Juan Gabriel Rodríguez
Indice (1ª parte)
• Función de producción
• Eficiencia técnica
• Restricciones tecnológicas
• La relación marginal de sustitución técnica
• Rendimientos a escala
• El producto marginal
Cantidades
zi
Notación
•cantidad del input i
z = (z1, z2 , ..., zm ) •vector de inputs
•cantidad de outputY
Precios•precio del input i
w = (w1, w2 , ..., wm ) •vector de precios de Inputs
•precio del outputP
wi
La relación básica entre output e inputs:
Y F(z1, z2, ...., zm )
Esto puede expresarse más compactamente como:
Y F(z)
La producción factible
•Un único output, varios inputs
La función de producción
La función de producción
vector de inputsvector de inputs
F proporciona la máxima cantidad de output que puede producirse dada una cantidad de inputs
Distinguimos dos tipos de casos...
Distinguimos dos tipos de casos...
•La producción es ténicamente eficiente
•La producción es (técnicamente) ineficiente
Eficiencia técnica
Caso 1:
Y F(z)
Caso 2:
Y F(z)
z2
Y
z1
0
F
(z , z
) 1
2
outp
ut
input 2
input 1
Puntos no factibles
Y > F(z1,z2)
Puntos no factibles
Y > F(z1,z2)
Puntos tecnicam. eficientes
Y = F(z1,z2)
Puntos tecnicam. eficientes
Y = F(z1,z2)
Puntos factibles e ineficientesY < F(z1,z2)
Puntos factibles e ineficientesY < F(z1,z2)
La función de producción
Recuérdese que
Y F(z)
inputs necesarios
Se selecciona un nivel de producto Y
Se buscan todos los vectores factibles de inputs z … …el conjunto Z de cantidades necesarias de los inputs es:
Z(Y) := {z | Y F(z)}
La forma de Z depende de los supuestos sobre la tecnología...
Primero, veamos el caso “estandar”
Primero, veamos el caso “estandar”
no factiblesF(z1,z2) <Y
no factiblesF(z1,z2) <Y
z2
El conjunto de inputs necesarios Factibles, pero
ineficientesF(z1,z2) >Y
Factibles, pero ineficientes
F(z1,z2) >Y
técnicamente eficientes
F(z1,z2) =Y
técnicamente eficientes
F(z1,z2) =Y
_ Z(Y)
z1
z
Z(Y) es un conjunto cerrado, que contiene a su frontera
La frontera va a ser contínua
Además, se adoptan dos supuestos técnicos: si z=0, Y=0si Y>0, z>0
_ Z(Y)
Axioma 1: La tecnogía es contínua
z2
z1
z
Dado un z que pertenece a Z(Y)
y dado un zque no emplea menos cantidades que z
Entonces z pertenece también a Z(Y)
_ Z(Y)
Axioma 2: Z es monótono
z2
z1
• z
Significado: si aumentamos los inputs podemos producir al menos lo mismo
_ Z(Y) z
z
Axioma 3: Z es convexo
z2
z1
Se eligen dos puntos
Los puntos intermedios deben estar en Zsignificado: una combinación de técnicas factibles es factible
Se dibuja una linea recta entre ellos
z1
z2
_ Z(Y)
Esta región causa un problema
Caso 1: Z no es convexo
este punto no es factible
este punto no es factible
z1
z2
La pendiente no está definida en
este punto
_ Z(Y)
Caso 2: Z es convexo pero no suave
El único punto eficiente
F(z1,z2) =Y
El único punto eficiente
F(z1,z2) =Y
Isocuantas
Se selecciona un nivel de output Y
Se busca el conjunto necesario de factores Z(Y) La isocuanta es la frontera de Z(Y)
{ z : F(z) = Y }
F(z)Fi(z) = ——
zi .
Fj (z)——Fi (z)
Si la función F es diferenciable en z entonces la Relación Marginal de Sustitución Técnica es la pendiente en z:
Usamos subíndices para denotar derivadas parciales. Así
Nos dice la tasa de sustitución entre factores a lo largo de una isocuanta
{ z | F(z) = Y }{ z | F(z) = Y }
A
z1
inputs requeridospara producir A
inputs requeridospara producir A
z2Pe
nd. =
z 2
/ z1
La isocuanta es la frontera de ZLa relación de inputs describe la técnica productiva
La relación de inputs describe la técnica productiva
(Y)
La relación marginal de sustitución técnica
La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica.
Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo.
La pendiente de la isocuanta es la Relación Marginal de Sustitución Técnica.
Nos indica el número de unidades necesarias de 2 para sustituir a una de 1, infinitesimalmente, y seguir produciendo lo mismo.
z1
z2
A
A'F1(z)/F2(z)F1(z)/F2(z) ra
tio d
e in
put
z2
Q
z1
isocuanta
Y =Y
0
Noción de la isocuanta
(Y)
La elasticidad de sustitución
z1
z2
A
A'
La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución
d(z2/z1) RMTS dln(z2/z1)
= = dRMTS (z2/z1) dln(|F1/F2|)
Mide la “curvatura” de la isocuanta
La respuesta del ratio de factores a la RMST es la elasticidad de sustitución
d(z2/z1) RMTS dln(z2/z1)
= = dRMTS (z2/z1) dln(|F1/F2|)
Mide la “curvatura” de la isocuanta
F1(z)/F2(z)F1(z)/F2(z) ratio
de
inpu
ts
Un caso especial...
Un caso especial...
Elasticidad de sustitución constante
Incremento de la elasticidad de sustitución...
z1
z2
Elasticidad de sustitución
Alemania (trabajo y capital) [Kemfert (1998, EE)]
Industria
Química 0,37
Acero 0,50
Motor 0,10
Papel 0,35
Alimentos 0,66
z2
Q
z1
Rayo deexpansión
0
F(t z) = t F(z)
Rendimientos constantes a escala
Rendimientos Constantes a Escala
z2
Q
z1
0
t >1 F(t z) > t F(z)
Rendimientos crecientes a escala
Rendimientos Crecientes a Escala
z2
Q
z1
0
t >1 F(t z) < t F(z)
Rendimientos decrecientes a escala
Rendimientos Decrecientes a Escala
z2
Q
z1
0
…esto nos proporciona un nuevo concepto
…esto nos proporciona un nuevo concepto
Tomemos ahora una sección “vertical”...
Medimos el cambio marginal en el output con respecto a ese input
F(z)——zi
Pmgi = Fi(z) =
Producto marginal
Seleccione un vector de inputs técnicamente eficiente Varíe un input y deje los demás costantes
Recuerde, esto significa que elegimos z tal que Y= F(z)
Veamos su formaVeamos su forma
El producto marginal
z1
Y
F(z)
z1
Y
F(z)
z1
Y
F(z)
Posibles relaciones entre el output y un input
z1
Y
F(z)
Tomemos el caso convencional…
Conjunto factible
F(z)
Y
z1
Conjunto de técnicas eficientes
Conjunto de técnicas eficientes
Relación entre el output y el input 1...
•Input 1 es esencial: Si z1=0, Y=0
•Input 1 es esencial: Si z1=0, Y=0
z1
Y
F(z)
F1 cae con z1 si F es cóncava
F1 cae con z1 si F es cóncava
Producto marginalpendiente = F1(z) pendiente = F1(z)
Práctica
EJERCICIO (1):
Dibuje las isocuantas correspondientes a:
Y=z1 + z2
Y=min(z1 , z2)
Y= z1 z2
Y= z1 2 + z2
2
donde y0
Indique los rendimientos a escala .
Práctica
EJERCICIO (2):
Calcule la elasticidad de sustitución
correspondiente a:
Y= { z1 + z2
}1/
donde i 0 y 1
.
Índice (2ª parte)
- Maximización de beneficios: Demanda de factores.
- Minimización de costes en el corto plazo: costes fijos y variables. Costes medios y marginales.
- Minimización de costes en el largo plazo: costes medios y marginales. Rendimientos a escala.
- Relación entre las curvas de coste a largo y corto plazo. La curva de costes medios a largo plazo.
La función objetivo
Ingresos:
Coste de los inputs:
wi zi m i=1
P Y
wi zi m i=1
=P Y – Beneficios:
•para los m inputs
Esquema...
Problema primal
Optimización:
Problema dual
Optimización
...sujeto a la restricción tecnológica...
•No podemos tener valores de output o inputs negativos
Elegimos z que maximiza:
Y F(z)
wi zi m i=1
= P Y –
...y a restricciones obvias:
Y 0 z 0
Método de optimización
L (... )
L (... ) = 0 z
z* = …
Planteamos el Lagrangiano
Establecemos las condiciones de primer orden (CPO) c. necesaria
Verificamos las condiciones de segundo orden
Usamos las CPO para caracterizar la solución
Si F es diferenciable…
c. suficiente
El equilibrio de la empresa
Obtención del vector z que resuelve el siguiente problema optimizador:
Max (z)=PY- wi zi
s.a: Y = F(z)
En el caso de dos bienes (m=2), obtención de z1 , z2 que soluciona:
Max (z1 , z2 )=PY- w1 z1 - w2 z2
s.a: Y = F( z1 , z2 )
donde P, w1 y w 2 son parámetros conocidos
El equilibrio de la empresa
Solución:
/ z1 = 0 P Y/z1 = w1
/ z2 = 0 P Y/z2 = w2
P·Pmg z1 = w1
P·Pmg z2 = w2
Función de demanda de factores
zi
wi
P*PMg ziP*PMg zi
El equilibrio de la empresa
Otra forma de ver la solución:
RMSTRMST
Interpretación gráfica ...
Pmg z1 w1
Pmg z2w2
(Y*)
z1* y z2
* óptimosz1* y z2
* óptimos
z1
z2
A
A'
Pmgz1 / Pmgz2= w1/w2Pmgz1 / Pmgz2= w1/w2
z 2* /
z 1*
z1*
z2*
Demanda de factores
z1
z2
z1* = z1d (P,w1 ,...,wm )
... ... ...
zm* = zmd (P,w1 ,...,wm )
Las funciones de demanda de factores
Esquema...
Problema primal
Optimización:
Problema dual
Elegimos un nivel de producto Y
Tomamos como dados los precios de los inputs w (y del output P)
Maximizamos beneficios...
...minimizando los costes
wi
zi
m
i=1
Minimización de costes
Dado un vector de precios de los factores w...
la recta isocoste es el conjunto de puntos en el espacio de los inputs...
...que consiguen un nivel de costes C=wizi determinado.
Forman un hiperplano (línea recta)...
Recta isocoste
z2
z1
Coste creciente
w1z1 + w2z2 = c (constante)
w1z1 + w2z2 = c'
w1z1 + w2z2 = c"
Líneas isocostes
Usamos esto para derivar el
óptimo
Usamos esto para derivar el
óptimo
z2
z1
z*
Minimización de costes
Coste decreciente
¿Qué condiciones cumple z*?
¿Qué condiciones cumple z*?
_____ __ =Fi(z) wi
Fj(z) wj
Dados los inputs i y j ...
Obtenemos la misma CPO (condición de
tangencia)
Obtenemos la misma CPO (condición de
tangencia)
Y
Corto plazo: costes fijos y variables
CCP(Y) = CF + CV(Y)
CF
CCVCF
CV
CCP
Y
Corto plazo: costes fijos medios y variables medios
CMeCP(Y) = CFMe(Y) + CVMe(Y)
CCVCF
CVMe
CMeCP
Rendimientos decrecientes a escala
Rendimientos crecientes a
escala
YY
Cme (Y)
La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala
La forma de los Cme depende de los rendimientos a escala
Rendimientos a escala
Y
Corto plazo: costes marginales
CMgCP(Y) = CVMg(Y)
CCVCF
CVMe
CMeCP
CMgCP
CmgCP corta a CMe y CVMe en el
mínimo
YY
PCme (Y)Cmg (Y)
P
Cmg corta a Cme en el mínimo
Largo plazo: Costes medios y marginales
CLP(Y) = CV(Y) CMeLP(Y) = CVMe(Y)
P
YY1
CmeLP (Y)
Cme a corto plazo y largo plazo
CmeCP (Y, K1)
P
YY1
CMgLP(Y)
Cmg a corto plazo y largo plazo
CMgCP(Y, K1)
P
Y
CMeLP CMgLP
Envolvente
CMeCP
CMgCP
La oferta de producto
Solución:
/ Y = 0 P = C(w,Y)/Y
P =CmgY
Interpretación: I(Y) = P·Y Img(Y) = P
ImgY = CmgY
Y
La oferta de corto plazo
P = CMg(Y)
CMe CP
CVMeCMg CP
CVMe
CMeCP
CMgCP
P
Y1 Y2
Y
La oferta de corto plazo
CMe CP
CVMeCMg CP
CVMe
CMeCP
CMgCP
Si P < CVMe(Y)¡La empresa cierra!
= S
Y
La oferta de largo plazo
CMeCMg
CMeCMg
Si P < CMe(Y)¡La empresa cierra!
= S
La curva de oferta agregada
La oferta agregada: Si (p) n i=1
S(p =
Suma horizontal de las ofertas individuales
Ejemplos…
P
4 8 12 16
S2S1
P
4 8 12 16
P'P'
Ejemplo 1: dos empresas idénticas
24 328 16
S + S1 2
P
P'
La oferta agregada
Oferta media…
12 164 8
P
P'
¡hay un punto extra!
¡hay un punto extra!
S1 + S2
_________
2
Obtenemos la oferta media...
Comparamos S para una empresa Repetimos para 4 empresas… ...para 8 empresas
...para 16 empresas
¡Dos puntos más!
¡Dos puntos más!
12 164 8
P
P'
Oferta media
S,D
Demandamedia
Caso límite
.
Si hay suficientes empresas, el
comportamiento medio es convencional
P S2
Ejemplo 2: dos empresas no idénticas
S1+S2S1
Y1
P
Costes marginales
Costes medios
Equilibrio en el corto plazo (caso 1)
Beneficios nulos
Y2
P
Costes marginales
Costes medios
Equilibrio en el corto plazo (caso 2)
Beneficios positivos
Y3
P
Costes marginales
Costes medios
Equilibrio en el corto plazo (caso 3)
Beneficios negativos
Equilibrio en el largo plazo
Proceso
(0) Suponemos que 1 empresa tiene beneficios positivos
(1) Los costes de una nueva empresa, ¿son > PY - C?
...en caso afirmativo paramos. En caso contrario…
(2) Aumenta el número de empresas
(3) Aumenta la producción de la industria
(4) Precio cae (curva de D) y las empresas ajustan su producción
(5) Vuelta a 1
Costes marginales
Costes medios
Y1
P
Y1
1
Equilibrio en el largo plazo: 1 empresa
Costes marginales
Costes medios
Y1, Y2
P
Y2
Una empresa entra en el mercado...
costes marginales
Costes medios
Y1, Y2, Y3
P
Y3
... y otra ...
costes marginales
Costes medios
Y1,..., Y4
P
Y4
... y otra...
Costes marginales
Costes medios
Y1,...,YF
P
YF
P = C/Y ¡Beneficios
nulos!
P = C/Y ¡Beneficios
nulos!
Equilibrio de largo plazo (entrada libre)
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 3 : Producción y costes. Competencia perfecta
Prof. Juan Gabriel Rodríguez