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Revista NOOS Volumen 1 (2013) Pág. 43 – 49
Derechos Reservados
Facultad de Ciencias Exactas
Y Naturales
Revista NOOS, Vol. 1, No 8, febrero de 2013. Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales. ISSN 2346-2779
ESTADOS CUASI-ESTACIONARIOS EN UN POZO
CUÁNTICO DE GaAs/Ga1-xAlxAs BAJO LA ACCIÓN DE UN
CAMPO ELÉCTRICO
Quasi-stationary states in GaAs/Ga1-xAlxAs SQW under the action of applied electric
fields
M. Schönhöbela, N. Porras-Montenegro
Universidad del Valle, Departamento de Física, 25360, Cali (Colombia)
Article Info
Article history: Received: 04 febrero 2013 Received in revised: 05 febrero 2013 Accepted: 08 febrero 2013 Available online: 13 febrero 2013
Keywords: GaAs/Ga1-xAlxAs, Simple Quantum Wells, Electric fields.th a modulated frequency and a fast frequency.
ABSTRACT: In the present work, we have studied
the effects of an applied electric field (in the growth
direction of the heterostructure) on the electron
quasi-stationary energy levels in semiconductor
GaAs/GaAlAs single quantum wells (SQW).
Theoretical calculations are performed by using the
Enderlein’s method [8, 9], with which we have
solved the Schrödinger equation exactly. Numerical
results are obtained as a function of the applied
electric field, Al concentration, and the structure
geometry as well. We have distinguished three
regions: confinement, resonant and pulsations;
quasistationary states (or confinement states)
become resonant states with increasing the electric
field, while the opposite happens with the
increasing the well width or the alu-minum
concentration. Above the energy barriers pulsations
are observed in the density of states, these pul-
sations are related with a modulated frequency and
a fast frequency
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RESUMEN: Se estudiaron los efectos de un campo eléctrico aplicado sobre los estados energéticos de un
electrón en un pozo cuántico simple (SQW) de GaAs/GaAlAs. Considerando la aproximación de masa efectiva y utilizando el cálculo analítico propuesto por Enderlein [8,9] se solucionó la
ecuación de Schrödiger exactamente. Los cálculos numéricos permitieron obtener la densidad de estados (DOS) como función de la energía para diferentes valores de campo eléctrico (F),
concentración de Al (x) y longitudes del pozo (L). El estudio mostró que energéticamente existen 3 regiones perfectamente diferenciables, una región de confinamiento, una resonante y otra de
pulsaciones. En algunos casos, al aumentar el campo estados cuasi-estacionarios de la región de confinamiento se tornan en estados resonantes y puede ocurrir lo contrario cuando se aumenta la
longitud o la concentración. Las pulsaciones en las DOS están caracterizadas por la frecuencia de modulación y la frecuencia rápida
PALABRAS CLAVE: GaAs/Ga1-xAlxAs, Pozos cuánticos, Campo eléctrico
1. Introducción
En las últimas cuatro décadas la
nanotecnología se ha convertido en uno de
los campos más activos y de mayor interés
para los físicos y químicos; los desarrollos
en esta área, junto con los de la materia
condensada, han permitido el estudio y
construccion de nanoestructuras entre
1−100 nm [1].
Una de las heteroestructuras más estudiadas
ha sido GaAs/Ga1-xAlxAs debido a su
potencial aplicación en la construcción de
dispositivos optoelectrónicos. En
Esta heteroestructura el GaAlAs es
utilizado como material de barrera y en
consecuencia la movilidad electrónica
queda confinada en el GaAs.
Existen múltiples trabajos sobre el
GaAs/GaAlAs. Uno de los primeros trabajos experimentales fue realizado en 1981 por R.C. Miller et al. [2], quienes,
utilizando el método de fotoluminiscencia,
midieron las energías 1s y 2s en funcion del ancho del pozo. Un año más
tarde G. Bastard et al. [3] desarrollaron cálculos variacionales para obtener la
energía de enlace fundamental en un SQW; ellos mismos, un año después publicarían resultados sobre el mismo sistema pero
esta vez bajo la acción de un campo eléctrico [4]. Ambos grupos hallaron las
energías para pozos con barreras infinitas, y Bastard et al. [4] hicieron los cálculos adicionales para barreras finitas. Más
adelante Ronald R. Greene et al. [5], además de hacer los cálculos para barreras
finitas e infinitas, calcularían las energías de enlace excitónicas para el estado 2p±.
Hasta entonces los trabajos donde se tuvo en cuenta la acción de un campo eléctrico
se hicieron bajo la suposición de que las funciones de onda en las barreras del pozo cuántico se comportaban en primera
aproximación como funciones exponenciales decrecientes, mientras que
dentro del pozo las soluciones estaban dadas por las funciones de Airy. Fue R. Enderlein et al. [8, 9] quienes plantearon la
solución exacta dentro y fuera del pozo cuántico para los electrones desde la
perspectiva de la densidad de estados.
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Uno de los trabajos más recientes sobre el
tema, fue publicado por E. Reyes-Gómez et al. [7], utilizando la aproximación antes
mencionada, calcularon teóricamente las energías de enlace excitónicas bajo los efectos de presión hidrostática y un campo
eléctrico aplicado.
En el presente trabajo, se calculó teóricamente los efectos que tienen las dimensiones del pozo, la concentración de
Al (en las barreras de potencial) y el campo eléctrico sobre los primeros estados cuasi-
estacionarios del electrón en un SQW de GaAs/GaAlAs, dichos cálculos se basaron en la solución propuesta por Enderlein et
al. [8]
2. Marco Teórico
Cuando se aplica un campo eléctrico sobre
un SQW, el hamiltoniano H pasa a ser de naturaleza continua, y los autovalores
toman una forma compleja. La parte imaginaria puede entenderse como el tiempo de vida durante el cual la partícula
se encuentra dentro del potencial de confinamiento de la heteroestructura.
Estos autoestados se conocen como cuasi- estacionarios.
En contraste con los electrones que tienen un tiempo de vida infinito en estados
ligados, los electrones en estados cuasiligados tienen una probabilidad no nula de tunelar a través del potencial de
barrera; en consecuencia, sus tiempos de vida son finitos. Si consideramos que la
parte imaginaria de los autovalores es más pequeña que la parte real, tenemos que la ecuación de Schrödiger está dada por:
( ) ( ) ( )2 2
* 22
fin
deFz V z z E z
m dzj j
é ùê ú- + + =ê úë û
h
(1)
La anterior expresión se puede simplificar si se introducen las unidades naturales de
longitud z0, energía E0 y de campo F0 2
0
0 0 02, , ,
2
Ez L E F
eLmL= = =
h (2)
Con base en ellas se puede definir las respectivas variables adimensionales
( )0 0 0 0
( ), , , .
fin
fin
V zz E Ff
z E F Ex e u x= = = =
(3)
Así, la ec. (1) puede escribirse como
( ) ( )2
20
fin
df
dx e n x j x
x
é ùê ú- + - =ê úë û
(4)
La solución de la ecuación de Schrödinger son combinaciones lineales de las funciones de Airy Ai(x) y las funciones
complementarias Bi(x).
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
0
1 2 2
3 0 3 0
, / 2
, / 2 / 2
, / 2
A i z l
a A i b Bi l z l
a A i b Bi z l
h h
f x j x h h
h h h h
ìï + <ïïïï= = + - £ £íïïï + + + >ïïî
A
(5)
( ) 2/ 3 2/ 3
0 0 0 0 0/ , / , / .f f f V Eh x e h e e= - = = (6)
Para calcular las energías de los estados cuasi-estacionarios estacionarios bajo la acción de un campo eléctrico aplicado en la
direccion de crecimiento utilizamos el método propuesto por R. Enderlein [8, 9]
( )1/ 3 2 2
0 3 3
1( ) ,
E Lf a br e =
+
(7)
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Donde a3 y b3 dependen de la energía y de
los parámetros estructurales del sistema. La función () posee picos estrechos
localizados cerca de los valores de E, por lo tanto el problema se reduce a encontrar los valores de E que maximizan la función ().
La masa efectiva del electrón y la
diferencia de bandgap para el sistema Ga1−xAlxAs están dados por H. Li [10]
( ) ( )* 2
00, 0665 0,1006 0, 0137 ,m x x x m= + + (8)
2
1( ) 1, 36 0,22
g x xE Ga A l A s x x
G
-D = + (9)
Donde m0 es la masa en reposo del
electrón. La altura de la barrera de conducción que se utilizó fue [11, 12]
0, 6 ( )e g
V E xG
= D (10)
3. Resultados y Discusión
Al aplicar un campo eléctrico al SQW
pudieron establecerse tres regiones energéticas perfectamente diferenciables
(figura 1), de confinamiento (Ea E Eb),
resonante ( Eb < E Eb’) y de pulsaciones
(E > Eb’). Adicionalmete, pudieron determinarse dos tipos de pozos, Tipo I donde la región de confinamiento tiene
forma de cuadrilátero, las longitudes de pozo y los campos eléctricos son pequeños
y tipo II donde la región de confinamiento tiene forma triangular, las longitudes de pozo y los campos eléctricos son grandes
(a) (b)
Fig. 1. (a) Tipo de pozo I (b) Tipo de pozo II
En la figura (2) la curva continua muestra el comportamiento de la DOS y las líneas punteadas marcan las energías
correspondientes a los vértices del pozo mostrado en la figura (1a). Entre las energías Ea y Eb se encuentran 4 picos muy
agudos que corresponden a los estados cuasi-estacionarios; el pico de más baja
energía corresponder a la energía fundamental y los siguientes corresponden a los estados cuasi-estacionarios excitados.
Entre la región comprendida entre Eb y Eb’ y en la proximidad de Eb es posible
notar la presencia de una ligera anomalía (poco notoria por la escala logarítmica), la cual se encuentra en la región resonante;
cuando en dicha zona las anomalías presentan un punto máximo, la energía
correspondiente a este máximo es la energía del estado resonante y la DOS de las energías cercanas a dicho punto no
presenta grandes diferencias con respecto a la DOS del punto máximo resonante.
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Fig. 2. DOS para un pozo cuántico de GaAs/Ga0.7Al0.3As, L=20 nm y
F =100 kV/cm
(a) (b) (c)
Fig. 3. Estado fundamental y primeros estados excitados para variaciones de (a) campo eléctrico en un SQW de GaAs/Ga0.7Al0.3As y L=20nm (b)
longitud de pozo en un SQW de GaAs/Ga0.7Al0.3As y diferentes campos eléctricos. (c) concentración de Al en un SQW de GaAs/Ga1-xAlxAs con
L=10nm y diferentes campos eléctricos.
(a) (b) (c)
Fig. 4. Región de Pulsaciones. DOS como f unción de la energía para dif erentes v alores de (a) campo eléctrico en un SQW de
GaAs/Ga0.7Al0.3As, L=10nm (b) longitud de pozo en un SQW de GaAs/Ga0.7Al0.3As, F=100 kV/cm (c) concentración de Al para F=100 kV/cm y
L=10nm
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El hecho de que en la zona de confinamiento, los picos sean fuertemente agudos indican que para dichas energías
los tiempos de permanencia de los portadores son más altos que para las
energías cercanas; por el contrario, el valor de DOS en los máximos que se presentan en la zona resonante son
cercanos a los de los estados vecinos y en consecuencia es de esperar que los
tiempos de permanencia de los portadores en esa región de energía también sean cercanos. Adicionalmente, es claro que los
tiempos de permanencia en los estados resonantes deberán ser muchísimo más
bajos que los tiempos en los estados cuasi-estacionarios.
La figura (3) muestra que si a medida se hace mayor la longitud de pozo o la
concentración de Al en las barreras aumenta el número de estados cuasi-estacionarios, lo contrario ocurre cuando
aumenta el campo eléctrico. En general, a medida que aumenta el campo eléctrico la
energía de los estados cuasi-estacionarios disminuye. La energía disminuye cuando crece la longitud de pozo; para pequñas
longitudes de pozo los estados cuasi-estacionarios disminuyen en una forma de
potencia mientras que para grandes longitudes los estados disminuyen en forma lineal. Exceptuando el nivel
fundamental, la energías de los estados cuasi-estacionarios no varían
significativamente cuando hay variaciones en la concentración de Al.
De la figura (3b) queda claro que para campos eléctricos diferentes de cero, al
aumentar la longitud del pozo hay estados que aparecen por encima del límite Eb, es decir estados que eran resonantes pasan a
ser estados cuasi-estacionarios. Ahora, si observamos un estado cuasi-estacionario y su variación con la concentración de Al
para una campo eléctrico (F0) y longitud de pozo dados como en la figura (3c),
veremos que cuando aumenta la concentración de Al estados que eran
resonantes pasan a ser confinados. Cuando examinamos más de cerca la
región donde aparecen las pulsaciones podemos darnos cuenta que en las
gráficas donde se varía el campo eléctrico, la longitud de pozo y la concentración de Al (ver fig. 4) pueden diferenciarse dos
tipos de frecuencia; la frecuencia rápida ΩE−r , que corresponde a la frecuencia de
oscilación de las ondas dentro de los vientres y la frecuencia de modulación, que determina el comportamiento de la
función envolvente. En las gráficas de la figura (4) puede
apreciarse que la frecuencia de modulación tiene un comportamiento exponencial decreciente. De acuerdo con lo anterior,
podemos afirmar que en primera aproximación, la función que caracteriza el
comportamiento energético de las pulsaciones estaría dada por
( ) ( )mod mod( ) , ( ).E
E
E E ráp E ráp Ef E e sen E sen E
b-
- - - -W W W > > W:
Igualmente puede notarse que la frecuencia
de modulación crece con la longitud del pozo y es independiente de la
concentración y el campo eléctrico. La frecuencia rápida de las pulsaciones decrece al aumentar el campo eléctrico y
no depende ni de la concentración ni de la longitud.
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4. Conclusiones
Energéticamente el pozo cuántico
presenta 3 zonas importantes: una región de confinamiento, una resonante y otra región de pulsaciones.
El número de estados cuasi-estacionarios aumenta con la concentración
de Al en las barreras y la longitud, mientras que disminuye con el campo eléctrico. Al aumentar el campo eléctrico o la longitud
del pozo la energía disminuye. La variación en la concentración de Al no
modifica sustancialmente la energía de los estados cuasi-estacionarios y en primera aproximación puede decirse que la energía
permanece constante.
En algunos casos al aumentar el campo eléctrico estados cuasi-estacionarios se tornan en estados resonantes. Por otro lado,
es posible convertir estados resonantes en estados cuasi-estacionarios aumentando la
longitud o la concentración. Por encima de la energía del vértice superior del pozo, aparece en la DOS un comportamiento
de pulsaciones, caracterizable por dos frecuencias: la frecuencia de modulación y
una frecuencia rápida. Referencias
[1] A. Fainstein, K. Hallberg, Ciencia Hoy 14(84), 2005.
[2] W. T. Sang, A. C. Gossard, R. C. Miller, D. A. Kleinman, Phys. Rev. B 24(2), 1981.
[3] G. Bastard, E. E. Mendez, L. L. Chang and L. Esaki, Phys. Rev. B 26(4), 1982.
[4] G. Bastard, E. E. Mendez, L. L. Chang and L. Esaki, Phys. Rev. B 28(6), 1983.
[5] R. R. Greene, Krishan K. Bajaj, and Dwight E. Phelps, Phys. Rev. B 29(4), 1984.
[6] J. López-Gondar, J. d’Albuquerque e Castro, Luiz E. Oliveira, Phys. Rev. B 42, 1990.
[7] E. Reyes-Gómez, L. E. Oliveira, N. Raigoza, and C. A. Duque, Phys. B 367, 2005.
[8] R. Enderlein, Phys. Rev. B 42, 1990. [9] J. L. Gondar, R. Enderlein, T. Holz, Phys.
Stat. Sol. B 156, 1989. [10] H. Li, Phys. Rev. B 33, 1986. [11] R. C. Miller, D. A. Kleinman, and A. C.
Gossard, Phys. Rev. B 29, 1984. [12] W. Wang, E. E. Mendez, and F. Stern,
Appl. Phys. Letters 45, 1984.