tema 3 funciones diferenciables 2011 2012

7/26/2019 Tema 3 Funciones Diferenciables 2011 2012

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TEMA 3: FUNCIONES DIFERENCIABLES

NDICE

1. Diferenciabilidad 12. Carcter local de la diferenciabilidad 53. Diferenciabilidad y continuidad 64. Regla de la cadena 75. Diferenciabilidad y operaciones algebraicas 86. Derivabilidad de una funcin vectorial de variable real 107. Derivabilidad segn un vector y derivabilidad parcial 118. Diferenciabilidad y derivabilidad segn un vector 139. Matriz jacobiana 1410. Expresin matricial de la diferencial 1411. Expresin matricial de la regla de la cadena 1612. Hiperplano tangente 1713. Vector gradiente 1814. Condiciones suficientes de diferenciabilidad 1915. Teoremas del valor medio y de los incrementos finitos 21

1. DIFERENCIABILIDAD

El objetivo principal de este tema es extender el concepto de derivada de una funcin real de variablereal a funciones de RN en RM. Recordemos que si f: AR es una funcin de variable real yaes unpunto deA A,se dice quefesderivable enasi la funcinfa : A \ {a} R definida por

fa(x) = f(x) f(a)

x a , xA \ {a},tiene lmite ena, en cuyo caso dicho lmite, que se denota por f(a),recibe el nombre dederivada defena.Como los espacios eucldeos RN conN >2 no tienen estructura de cuerpo, la definicin anteriorno se puede extender a funciones de RN en RM.No obstante, sabemos del primer curso de AnlisisMatemtico [0, proposicin 6.3] que la funcin f: A Res derivable en a si, y slo si, existe unaaplicacin linealT: R R tal que

lmxa |

f(x)

f(a)

T(x

a)

||x a| = 0.

Adems, en caso afirmativo, la funcinTes nica y viene dada por

T(x) =f(a)x (x R).Formulada as, la definicin de derivabilidad puede extenderse fcilmente a funciones vectoriales devariable vectorial:

Definicin1.1. SeaAun subconjunto abierto de RN, aAyf: ARM una aplicacin. Se dicequefesdiferenciable en el puntoasi existe una aplicacin lineal T: RN RM tal que

lmxa

f(x) f(a) T(x a)

x

a

= 0.

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2 TEMA 3: FUNCIONES DIFERENCIABLES

Tiene sentido preguntarse si el lmite anterior existe ya que a es un punto de acumulacin de A. Enefecto, comoAes abierto yaA, existe unr >0 tal queB(a, r)A. Entoncesxn =a + (r/2n)e1es una sucesin de puntos deA,distintos dea,que converge aa, lo que nos dice queaA.

En lo sucesivo, siA y B son espacios vectoriales,L(A, B)denotar el conjunto de todas las aplica-ciones lineales deAenB.

Las siguientes caracterizaciones de la diferenciabilidad de una funcin en un punto se obtienen deforma inmediata.

Proposicin 1.2. Sea A un subconjunto abierto de RN, a A y f: A RM una aplicacin. Lassiguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) fes diferenciable en el punto a.(2) Existe una aplicacinT L(RN,RM)tal que se cumple la siguiente propiedad:

> 0, >0 : xA, 00. Por(2)existe >0tal que

xA, 0


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TEMA 2: FUNCIONES DIFERENCIABLES 3

(2) El conjuntoU =

hRN : a+hA

es un abierto de RN ya queUes la imagen recproca

g1(A)del conjunto abiertoAmediante la funcin continuag : RN

RN definida porg(h) =

a+hpara todohRN.Adems, es claro que 0U.Veamos que la aplicacin lineal Tque aparece en la definicin de diferenciabilidad es nica.

Proposicin1.4. SeaA un subconjunto abierto de RN, a Ay f: A RM una aplicacin. Si fesdiferenciable ena,entonces existe una nica aplicacin linealT: RN RM tal que

lmxa

f(x) f(a) T(x a)x a = 0.

Demostracin:Sean T1 y T2 dos aplicaciones lineales de RN en RM verificando la definicin de

diferenciabilidad de fen el punto a. Sea U ={h RN : a+ h A}.Por hiptesis, las funcionesi : U R definidas por

i(h) =f(a+h) f(a) Ti(h)

h (hU\{0}), i(0) = 0 (i= 1, 2)

son continuas en0.Puesto queUes abierto y0 U, existe > 0 tal queB(0, ) U. Sea{n}unasucesin en(0, )convergente a0.

Dadov RN con v= 1,es claro que {nv} es una sucesin enUconvergente a0.Entonces, porla continuidad dei(i= 1, 2)en0,se tiene que {i(nv)}nNconverge ai(0) = 0parai= 1, 2.Porotra parte,

T1(v)

T2(v)

=

f(a+nv) f(a) T1(nv) [f(a+nv) f(a) T2(nv)]nv

f(a+nv) f(a) T1(nv)nv +f(a+nv) f(a) T2(nv)

nv=1(nv) +2(nv), nN.

Tomando lmites conn+,se tiene que T1(v) T2(v) 0de dondeT1(v) =T2(v).Por tanto,T1(v) =T2(v)para todov RN con v= 1.

Sea ahorav RN\{0}.Por lo probado anteriormente,T1(v/ v) =T2(v/ v)de dondeT1(v) =T2(v).ComoT1(0) = 0 =T2(0),concluimos queT1(v) =T2(v)para todov RN.

Definicin1.5. Sea A un subconjunto abierto de RN

, aA y f: ARM

una aplicacin. Se llamadiferencial defen el puntoa, y se denota por Df(a),a la nica aplicacin linealDf(a) : RN RM tal que

lmxa

f(x) f(a) Df(a)(x a)x a = 0.

Sea B ={aA : fes diferenciable ena}. La aplicacin aDf(a), de Ben L(RN,RM), recibeel nombre dediferencial defy se nota porDf.

Observacin1.6. La hiptesis de queAsea abierto se impone en la definicin de funcin diferenciablepara que el conjunto U =

{h

RN : a+ h

A

}sea un abierto de RN y de este modo se pueda

garantizar la unicidad de la aplicacin linealT .


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Esto lo podemos apreciar mejor en el siguiente ejemplo.

Ejemplo1.7. Sea A ={

(x, y)

R2 : y = 0

}.Claramente, Ano es un abierto de R2.Considere la

aplicacinf: A R definida porf(x, y) = 0para todo(x, y)A. Evidentemente,(0, 0)A A.DadoR,seaT : R2 R la aplicacin dada porT(x, y) =ypara todo(x, y)R2.Claramente,Tes lineal y para todo (x, y)A \ {(0, 0)} se tiene que

|f(x, y) f(0, 0) T(x, y)|(x, y) =

0

(x, y) = 0,de donde

lm(x,y)(0,0)

|f(x, y) f(0, 0) T(x, y)|(x, y) = 0.

Por tanto, fes diferenciable en (0, 0),pero la diferencial de f en (0, 0)no es nica ya que cualquieraplicacin linealTverifica la definicin de diferenciabilidad defen (0, 0).

Definicin1.8. SeaAun subconjunto abierto no vaco de RN yf: A RM una aplicacin. SiBes un subconjunto abierto no vaco deA,se dice quefesdiferenciable enBsifes diferenciable entodo punto deB.Sifes diferenciable enA, entonces se dice simplemente que fes diferenciable.

Ejemplos1.9. (1) SeaAun subconjunto abierto no vaco de RN, bRM yf: ARM la funcinconstante definida porf(x) =bpara todoxA.Entoncesfes diferenciable enAy la diferen-cialDf(a)de fen cualquier punto aA es la aplicacin idnticamente nula T: RN RM,T(x) = 0,xRN,pues para todoxAconx=ase verifica:

f(x) f(a) T(x a)x a =b b 0x a = 0x a = 0.(2) Una aplicacin linealf: RN RM es diferenciable y la diferencial Df(a)de fen cualquier

puntoaRN esf, pues para todoxRN conx=ase verifica:f(x) f(a) f(x a)

x a = 0

x a = 0.

El siguiente resultado establece la relacin existente entre la diferenciabilidad de una funcin vectorialy la diferenciabilidad de sus funciones componentes.

Proposicin 1.10. Sea A un subconjunto abierto de RN, a

Ay f = (f1, . . . , f M)una aplicacin

de A en RM. Entonces fes diferenciable en el punto a si, y slo si, las funciones f1, . . . , f M sondiferenciables en a.En caso afirmativo, Df(a) : RN RM es la aplicacin lineal cuyas funcionescoordenadas sonDf1(a), . . . , Df M(a).

Demostracin:Supongamos que fes diferenciable en a y sean T1, . . . , T Mlas funciones coordenadasdeDf(a),que son lineales por serloDf(a).DadoxA\{a} tenemos:f(x) f(a) Df(a)(x a)

x a =

f1(x) f1(a) T1(x a)x a , . . . ,

fM(x) fM(a) TM(x a)x a

.

Por hiptesis,

lmxa

f(x)

f(a)

Df(a)(x

a)

x a = 0,


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luego

lmxa

fi(x)

fi(a)

Ti(x

a)

x a = 0 (i= 1, . . . , M )lo que nos dice que cadafies diferenciable enayDfi(a) =Tiparai= 1, . . . , M.

Recprocamente, supongamos que las funciones f1, . . . , f Mson diferenciables en a.Entonces la apli-cacinT: RN RM definida por

T(x) = (Df1(a)(x), . . . , Df M(a)(x)), xRNes claramente lineal. DadoxA\{a},es claro que

f(x) f(a) T(x a)x a

=f1(x) f1(a) Df1(a)(x a)x a , . . . ,fM(x) fM(a) DfM(a)(x a)x a .

Por serfidiferenciable ena,se tiene que

lmxa

fi(x) fi(a) Dfi(a)(x a)x a = 0 (i= 1, . . . , M ),

luego

lmxa

f(x) f(a) T(x a)x a = 0,

lo que nos dice quefes diferenciable enayDf(a) =T = (Df1(a), . . . , Df M(a)).

2. CARCTER LOCAL DE LA DIFERENCIABILIDAD

El siguiente resultado refleja el carcter local de la diferenciabilidad de una funcin en un puntoy con esto queremos decir que la diferenciabilidad depende del comportamiento de la funcin en lasproximidades de dicho punto.

Proposicin 2.1. Sea A un subconjunto abierto de RN, funa funcin de A en R, B un subconjuntoabierto deAyaun punto deB.Entoncesfes diferenciable enasi, y slo si, f|Bes diferenciable ena.En caso afirmativo,Df(a) = Df|B(a).

Demostracin:Supongamos quefes diferenciable ena.Entonces

lmxa

f(x) f(a) Df(a)(x a)x a = 0.

Es claro que para todo xB\{a} se tiene:f|B(x) f|B(a) Df(a)(x a)

x a =f(x) f(a) Df(a)(x a)

x a ,

de donde

lmxa

f|B(x) f|B(a) Df(a)(x a)x a = lmxa

f(x) f(a) Df(a)(x a)x a = 0.

Luego f|Bes diferenciable enay Df|B(a) =Df(a).


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Recprocamente, supongamos que f|B es diferenciable en a. Sea > 0. Entonces existe 1 > 0talque six

B y 00tal queB(a, r)B . Sea= mn{1, r}. Si xA y0


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Por otra parte, comofes diferenciable ena,podemos considerarg : RN RM definida porg(x) =f(a) +Df(a)(x

a)para todox

RN.Obviamente,ges afn y se verifica que

lmxa

f(x) g(x)x a = lmxa

f(x) f(a) Df(a)(x a)x a = 0.

(2)(1) :Seag : RN RM una funcin afn verificando que

lmxa

f(x) g(x)x a = 0.

Entonces existenb RM yT L(RN,RM)de manera que g(x) = b+T(x)para todox RN.Esevidente que

f(x) g(x) =x a f(x) g(x)x a , xA\{a},

con lo que lmxa(f(x) g(x)) = 0,pero, aplicando que fyg son continuas ena, tenemosf(a) =g(a) =b+T(a).Usando esta igualdad obtenemos quef(x) g(x)

x a =f(x) b T(x)

x a =f(x) (f(a) T(a)) T(x)

x a =f(x) f(a) T(x a)

x apara todoxA\{a},luego

lmxa

f(x) f(a) T(x a)x a = 0,

lo que nos dice quefes diferenciable enayDf(a) =T .Finalmente se tiene:

g(x) =b+T(x) =f(a) T(a) +T(x) =f(a) +T(x a) =f(a) +Df(a)(x a), xRN.

La proposicin3.2da un significado geomtrico a la diferencial. La funcin g es la funcin afn quemejor se aproxima a la funcin fen las proximidades del punto a,ya que es la nica que verifica lacondicin:

lmxa

f(x) g(x)x a = 0.

Por ello,g recibe el nombre de funcin afn tangente a la grfica de fen el punto(a, f(a)). Por tanto,la diferencial defenaes la aplicacin linealDf(a) : RN RM que determina a la funcin afng.

4. REGLA DE LA CADENA

Analizaremos ahora la diferenciabilidad de la composicin de dos funciones diferenciables.

Proposicin4.1. (Regla de la cadena).Sean A un abierto de RN y Bun abierto de RM. Sean f: AByg : B RP aplicaciones. Sifes diferenciable enayg es diferenciable enf(a),entonces la funcincompuestag f: ARP es diferenciable enayD(g f)(a) =Dg(f(a)) Df(a).

Demostracin:Considere las funciones

F(x) =f(x) f(a) Df(a)(x a) (xA),G(y) =g(y) g(f(a)) Dg(f(a))(y f(a)) (yB),

H(x) = (g f)(x) (g f)(a) [Dg(f(a)) Df(a)](x a) (xA).


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Por hiptesis, lmxa F(x) / x a = 0y lmyf(a) G(y) / y f(a) = 0. Todo se reduce aprobar quelmxa

H(x)

/

x

a

= 0. Como

H(x) =g(f(x)) g(f(a)) Dg(f(a))(Df(a)(x a))=g(f(x)) g(f(a)) Dg(f(a))(f(x) f(a) F(x))=G(f(x)) +Dg(f(a))(F(x))

para todoxA, yDg(f(a)) : RM RP es una aplicacin lineal y continua, entoncesH(x) G(f(x)) + Dg(f(a))(F(x)) G(f(x)) + Dg(f(a)) F(x)

para todoxA. Para todoxA \ f1({f(a)})se tieneH(x)

x

a

G(f(x))

f(x)

f(a)

f(x) f(a)

x

a

+ Dg(f(a))F(x)

x

a

G(f(x))f(x) f(a) F(x)x a + Df(a)

+ Dg(f(a))F(x)x a

de donde se deduce lo que queremos. Tenga en cuenta que lmxa G(f(x)) / f(x) f(a) = 0yaquefes continua enaylmyf(a) G(y) / y f(a)= 0.

5. DIFERENCIABILIDAD Y OPERACIONES ALGEBRAICAS

Comenzamos estudiando la diferenciabilidad de la suma, el producto y el cociente de nmeros reales.

Lema5.1. (1) La funcins : R2

R definida pors(x, y) = x +yes diferenciable en todo punto(a, b)R2 yDs(a, b) =s.(2) La funcinp : R2 R definida porp(x, y) = xy es diferenciable en todo punto(a, b) R2 y

Dp(a, b)(x, y) =bx+aypara todo(x, y)R2.(3) La funcinc : R R R definida porc(x, y) =x/y es diferenciable en todo punto (a, b)

RR yDc(a, b)(x, y) = (1/b)x (a/b2)ypara todo(x, y)R2.

Demostracin:(1) se cumple ya que s es lineal. Para probar (2), sea (a, b) R2 y seaT: R2 Rdefinida porT(x, y) =bx+aypara todo(x, y)R2.Claramente,Tes lineal y para todo(x, y)R2con(x, y)= (a, b),se tiene que

|p(x, y) p(a, b) T(x a, y b)|(x a)2 + (y b)2 =|xy ab b(x a) a(y b)|(x a)2 + (y b)2=

|(x a)(y b))|(x a)2 + (y b)2 |x a| .

Por tanto

lm(x,y)(a,b)

|p(x, y) p(a, b) T(x a, y b)|(x a)2 + (y b)2 = 0

Luegopes diferenciable en(a, b)yDp(a, b) =T ,lo que prueba (2).Para demostrar (3), sea(a, b)R R y seaT: R2 R definida por

T(x, y) =

1

b x a

b2 y, (x, y)R2

.


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Claramente,Tes lineal y para todo(x, y) RR con(x, y)= (a, b),se tiene que

|c(x, y) c(a, b) T(x a, y b)|(x a)2 + (y b)2 =

xy ab 1b (x a) + ab2 (y b)(x a)2 + (y b)2

= |y b| |ay bx|

b2|y|

(x a)2 + (y b)2|ay bx|

b2|y| .

Comolm(x,y)(a,b)(|ay bx| /b2|y|) = 0,se sigue que

lm(x,y)(a,b)

|c(x, y) c(a, b) T(x a, y b)|(x a)2 + (y b)2 = 0

Luegoces diferenciable en(a, b)yDc(a, b) =T .

La siguiente proposicin recoge las propiedades de estabilidad de la clase de las funciones diferencia-bles bajo la accin de las operaciones algebraicas.

Proposicin5.2. SeanAun subconjunto abierto de RN, aAyf, g : AR.(1) Sifygson diferenciables ena,entoncesf+ ges diferenciable enay

D(f+ g)(a)(x) =Df(a)(x) +Dg(a)(x), xRN.(2) Sifygson diferenciables ena,entoncesf ges diferenciable enay

D(f g)(a)(x) =g(a)Df(a)(x) +f(a)Dg(a)(x), xRN.

(3) Sifygson diferenciables enayg(a)= 0,entoncesB ={xA : g(x)= 0} tiene interior novaco(aInt(B))y la funcin(f /g) : Int(B)R es diferenciable enay

D

f

g

(a)(x) =

Df(a)(x)g(a) Dg(a)(x)f(a)g(a)2

, xRN.

Demostracin:Por serfyg diferenciables ena,sabemos que la aplicacin h = (f, g) : A R2 esdiferenciable enayDh(a) = (Df(a), Dg(a)).

(1) Seas : R2 Rdefinida pors(x, y) = x+y. Por el lema5.1,s es diferenciable en todo punto(x, y)R2 yDs(x, y) =s.Comof+ g= s h,aplicando la regla de la cadena, se tiene que f+ gesdiferenciable enay

D(f+ g)(a) =Ds(h(a)) Dh(a) =s (Df(a), Dg(a)) =Df(a) +Dg(a).(2) Sea p : R2 Rdefinida por p(x, y) = xy. Por el lema5.1, p es diferenciable en todo punto

(a, b)R2 yDp(a, b)(x, y) =bx+aypara todo(x, y) R2.Observe quef g = p h.Entonces, porla regla de la cadena, f ges diferenciable enay

D(f g)(a) =Dp(h(a)) Dh(a) =Dp(f(a), g(a))(Df(a), Dg(a)) =g(a)Df(a) +f(a)Dg(a).(3) Comog es diferenciable ena, entoncesg es continua enay comog(a)= 0,existe un > 0 tal

que|g(x)| >|g(a)| /2 > 0si x Ayx a < .Por tantoA B(a, ) B. Adems, por serAabierto, existe >0tal queB(a, )A.LuegoB(a, mn{, })By asaInt(B).

Seac : R

R

Rdefinida por c(x, y) = x/y.Por el lema5.1,c es diferenciable en todo punto

(a, b)RR yDc(a, b)(x, y) = (1/b)x (a/b2)ypara todo(x, y)R2.Comof /g= c h,por la


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la regla de la cadena tenemos que f /ges diferenciable enay

D

fg

(a) =Dc(h(a)) Dh(a) =Dc(f(a), g(a))(Df(a), Dg(a))

= 1

g(a)Df(a) f(a)

g(a)2Dg(a) =

Df(a)g(a) Dg(a)f(a)g(a)2

.

El resultado anterior nos proporciona nuevos ejemplos de funciones diferenciables.

Corolario5.3. (1) Toda funcin polinmicaP: RN R es diferenciable.(2) SeanP, Q : RN Rfunciones polinmicas. Toda funcin racionalP /Q : A Res diferen-

ciable enA=

(x1, . . . , xN)RN : Q(x1, . . . , xN)= 0

.

6. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIN VECTORIAL DE VARIABLE REAL

La definicin de derivada de una funcin real de variable real como lmite de un cociente restringe sucampo de aplicacin. Un cociente de la forma (f(x)f(a))/(xa) tiene sentido cuando el denominadores un escalar, por lo se podrn definir tambin derivadas para funciones vectoriales de variable real.

Definicin6.1. SeaAun subconjunto abierto de R, aAy f: A RM una aplicacin. Se dicequefesderivable en el puntoasi la aplicacin

x f(x) f(a)x

a

deA\{a} en RM tiene lmite en el puntoa.Este lmite, si existe, recibe el nombre dederivada defen el puntoay se denota porf(a).As pues

f(a) = lmxa

f(x) f(a)x a R

M.

Puede comprobarse fcilmente que f = (f1, . . . , f M)es derivable en el punto a si, y slo si, lo sonsus funciones coordenadas y, en caso afirmativo,f(a) = (f1(a), . . . , f

M(a)).Puesto que las funciones coordenadas de f son funciones reales de variable real, su derivabilidad

equivale a su diferenciabilidad. Por tanto,fes derivable en el puntoasi, y slo si,fes diferenciable enel puntoa.En caso afirmativo,Df(a) : R RM viene dada por

Df(a)(x) = (Df1(a)(x), . . . , Df M(a)(x)) = (f

1(a)x, . . . , f

M(a)x)

= (f1(a), . . . , f

M(a))x= f(a)x.

Ejemplo6.2. Consideremos la funcinf: R+ R3 definida por

f(x) =

ln x,

1

x, 3

, x >0.

Claramente,fes derivable en R+ yf(x) = (1/x, 1/x2, 0)para todox >0.Por tanto,fes diferen-ciable en R+ y, para cadaa >0,la aplicacinDf(a) : R R3 viene dada porDf(a)(x) =f(a)x=(1/a, 1/a2, 0)x= (x/a, x/a2, 0)para todoxR.

Vamos a dar significado geomtrico al vectorf(a).


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Definicin6.3. Unacurva en RM es una aplicacin continua: I

RM

,donde

Ies un intervalo

no vaco de R.Si Ies abierto,t0Iyes derivable (o, equivalentemente, diferenciable) ent0,elvector(t0) = (1(t0), . . . ,

M(t0))se denominavector tangenteo vector velocidad a la curva en el puntot0. La norma del vector (t0)representa larapidez de la partcula en el instante t0.Larecta tangente aen (t0)es la recta dada en forma paramtrica por

s(t0) +s(t0).

Ejemplo6.4. Supongamos que una partcula que sigue la trayectoria (t) = (t, t2, t cos t), en el tiempot= sale de la trayectoria por la tangente. Dnde est la partcula en el tiempo t = 2?

Ent = la partcula se encuentra en el punto() = (, 2, ). Como

(t) = (1, 2t, cos t t sen t) (tR),la recta tangente en el puntot = viene dada por

T(s) = (, 2, ) +s(1, 2, 1) (sR).Por tanto la partcula en el tiempot = 2se encuentra enT() = (2, 32, 2).

7. DERIVABILIDAD SEGN UN VECTOR Y DERIVABILIDAD PARCIAL

Como se coment en la seccin anterior, no es posible en general definir la derivada de una funcinvectorial de variable vectorial en un punto, anloga a la de las funciones vectoriales de variable real. Sinembargo, se puede introducir una nocin restringida que es la derivada segn un vector.

Definicin7.1. SeaA un subconjunto abierto de RN, a Ay f: A RM una aplicacin. Seav RN yGv ={t R : a +tv A}.Claramente,Gves abierto y contiene al cero(aA).Sea : Gv RM la aplicacin definida por

(t) =f(a+tv), tGv.Se dice que fes derivable en el punto a segn el vectorv si la aplicacin es derivable en 0,encuyo caso(0)recibe el nombre dederivada defen el puntoa segn el vectorv y se denota porDvf(a).Simblicamente:

Dvf(a) =(0) = lm

t0

(t) (0)t

= lmt0

f(a+tv) f(a)t

En particular, si eies el i-simo vector de la base cannica de RN yfes derivable en el punto

asegnei,se dice quefesderivable parcialmente en el punto a respecto dexiy se suele escribirfxi

(a)en lugar deDeif(a).Algunos autores tambin denotan porDif(a)aDeif(a).Dado el conjuntoAv ={aA : fes derivable enasegnv},la aplicacinaDvf(a)deAv

en RM recibe el nombre de derivada defsegn el vectorvy se nota comoDvf.En particular, la funcinDeifrecibe el nombre de funcin derivada parcial de frespecto dexi.Si v= 1, Dvf(a)recibe el nombre de derivada direccional defen el puntoa en la direccin

del vectorv.

Observacin7.2. En los casosN = 1, 2, 3es usual la siguiente notacin para referirse a las derivadasparciales, motivada por la forma de especificar los elementos en R,R2 y R3.En el casoN = 1,tiene

perfecto sentido escribir fx ,pero obviamente se trata de f

.Si N = 2escribimos fx ,

fy en lugar de


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fx1

, fx2

respectivamente, debido a la costumbre de escribir (x, y)en lugar de(x1, x2).Anlogamente,

paraN= 3,escribiremos f

x

, f

y

, f

z

en lugar de f

x1, f

x2, f

x3.

Ejemplo7.3. Seaf: R2 R2 la funcin definida porf(x, y) = (x2 +y, x sen y).

Estudiemos la derivabilidad de fen un puntoa = (a1, a2) R2 segn un vectorv = (v1, v2) R2.Observe que en este casoGv = R.Consideremos la funcin : R R2 dada por

(t) =f(a+tv) =f(a1+tv1, a2+tv2) = ((a1+tv1)2 + (a2+tv2), (a1+tv1) sen(a2+tv2)).

Claramente,es derivable en R y

(t) = (2v1(a1+tv1) +v2, v1sen(a2+tv2) + (a1+tv1)v2cos(a2+tv2)),

t

R,

y, en particular,

(0) = (2v1a1+v2, v1sen a2+a1v2cos a2).

Tenemos as quefes derivable enasegn el vectorvy

Dvf(a) = (2v1a1+v2, v1sen a2+a1v2cos a2).

En particular, parav = (1, 0)yv = (0, 1)se obtienen respectivamente:

f

x(a) = (2a1, sen a2),

f

y(a) = (1, a1cos a2).

Luego las funciones derivadas parciales defson las funciones fx , fy : R2 R2 dadas porf

x(x, y) = (2x, sen y),

f

y(x, y) = (1, x cos y), (x, y)R2.

Observe que fx

se podra haber obtenido derivandofrespecto dexconsiderando que slo depende dex

(cony constante) y a la inversa para obtener fy

.Este procedimiento, adems de prctico, es totalmenteriguroso.

Terminamos esta seccin poniendo de manifiesto que para estudiar la derivabilidad en un punto segnun vector de una funcin vectorial de variable vectorial es suficiente analizar dicha propiedad en susfunciones coordenadas.

Proposicin 7.4. Sea A un subconjunto abierto de RN, a A, f: A RM una aplicacin y vRN.Entonces fes derivable en el punto a segn el vector v si, y slo si, sus funciones coordenadas

f1, . . . , f Mson derivables en el puntoasegn el vectorv. En caso afirmativo,

Dvf(a) = (Dvf1(a), . . . , DvfM(a)).

En particular,fes derivable parcialmente en el puntoarespecto dexisi, y slo si, lo son sus funcionescoordenadas. En tal caso:

f

xi(a) =

f1xi

(a), . . . ,fM

xi(a)

.


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8. DIFERENCIABILIDAD Y DERIVABILIDAD SEGN UN VECTOR

El siguiente resultado relaciona la diferenciabilidad de una funcin en un punto con la existencia dederivadas segn cualquier vector en dicho punto. Nos proporciona una nueva condicin necesaria (lacontinuidad fue la primera) para que una funcin sea diferenciable en un punto.

Teorema8.1. SeaAun subconjunto abierto de RN, aA yf: ARM una funcin diferenciable enel puntoa.Entoncesfes derivable en el punto asegn cualquier vectorv, y Dvf(a) =Df(a)(v)paratodov RN.

En particular,fes derivable parcialmente en el puntoarespecto dexiparai= 1, . . . , N y

f

xi(a) =Deif(a) (i= 1, . . . , N ).

Demostracin:Sea v RN y Gv = {t R : a + tv A}. Si v = 0, entonces Gv = R yf(a+tv) =f(a)para todotR con lo cual se tiene que

lmt0

f(a+tv) f(a)t

= lmt0

f(a) f(a)t

= 0,

y por tantofes derivable en el puntoasegn el vectorvyDvf(a) = 0.Por otra parte, como la aplicacin Df(a)(que existe por ser fdiferenciable ena) es lineal, se tiene

queDf(a)(0) = 0.Por tanto, siv = 0,tenemosDvf(a) =Df(a)(v) = 0.Sea ahorav RN\{0}.Sea{tn}una sucesin de puntos deGv,distintos de0,convergente a0. Es

claro que

f(a+tnv)

f(a)

tn =

f(a+tnv)

f(a)

Df(a)(tnv)

tn +

Df(a)(tnv)

tn

=tnv

tn

f(a+tnv) f(a) Df(a)(tnv)||tnv|| +Df(a)(v), nN.

Si {tn} 0,entonces {a+tnv} ay, por serfdiferenciable ena,f(a+tnv) f(a) Df(a)(tnv)

tnv

0.

Teniendo en cuenta que la sucesin {tnv /tn} est acotada, se sigue quef(a+tnv) f(a)

tn

Df(a)(v).

La arbitrariedad de la sucesin {tn} muestra quelmta

f(a+tv) f(a)t

=Df(a)(v).

Esto nos dice quefes derivable en el puntoasegn el vectorvy Dvf(a) =Df(a)(v).

La afirmacin recproca del teorema anterior no es cierta, es decir, si una funcin es derivable en unpunto segn cualquier vector, entonces no podemos asegurar que sea diferenciable en dicho punto. Esms, ni tan siquiera es posible asegurar su continuidad.

Ejemplo8.2. La funcinf: R2 R definida por

f(x, y) =

x2y

x4 +y2 , (x, y)R2

, f(0, 0) = 0,


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es derivable en(0, 0)segn cualquier vectorv = (v1, v2)R2,pero no es continua en(0, 0)y por tantotampoco es diferenciable en(0, 0).

9. MATRIZ JACOBIANA

Definicin9.1. Sea A un subconjunto abierto de RN, aA y f: ARM una aplicacin. Supong-amos quefes derivable parcialmente en el punto arespecto dexipara todoi {1, 2, . . . , N }.Lamatriz de ordenM Ndada por

f1x1

(a) f1x2

(a) f1xN

(a)f2x1

(a) f2x2

(a) f2xN

(a)...

... ...

...

fMx1 (a) fMx2 (a) fMxN (a)

recibe el nombre dematriz jacobiana de fen el punto a. Para simplificar la notacin y en coherenciacon el caso de las funciones reales de variable real suele notarse dicha matriz por f(a).

Si N = M, entonces la matriz jacobiana de f en el punto a es cuadrada y, por tanto, tienedeterminante. Al determinante de la matriz jacobiana de una aplicacin f: A RN RN en elpuntoaA,se le llamajacobiano defen el puntoay se le nota porJ f(a).

Ejemplo9.2. Seaf: R2 R2 la funcin definida porf(x, y) = (x2 + sen y, x+y2), (x, y)R2.

Entonces

f(x, y) =

f1x

(x, y) f1y

(x, y)

f2x

(x, y) f2y

(x, y)

=

2x cos y

1 2y

LuegoJ f(x, y) = 4xy cos yy, en particular,J f(1, 0) =1.

10. EXPRESIN MATRICIAL DE LA DIFERENCIAL

En esta seccin veremos cmo se puede determinar la expresin de la diferencial de una funcindiferenciable en un punto usando su matriz jacobiana.

Proposicin 10.1. SeaA un subconjunto abierto de RN, a Ay f = (f1, . . . , f M) : A RM unafuncin diferenciable en el punto a. Entonces la diferencial de fen a es la aplicacin Df(a) : RN RMdefinida por

Df(a)(x1, . . . , xN) =

x1

f1x1

(a) + +xN f1xN

(a), . . . , x1fMx1

(a) + +xNfMxN

(a)

.

Demostracin:Sea{e1, . . . , eN} la base cannica de RN. Dado (x1, . . . , xN) RN, usando lalinealidad de la diferencial, el teorema8.1y la notacin:

Deif(a) =

f

xi (a), i {1, . . . , N },


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podemos escribir:

Df(a)(x1, . . . , xN) =Df(a)(x1e1+x2e2+ +xNeN)=x1Df(a)(e1) +x2Df(a)(e2) + +xNDf(a)(eN)=x1De1f(a) +x2De2f(a) + +xNDeNf(a)

=x1f

x1(a) +x2

f

x2(a) + +xN f

xN(a),

y como

f

xi(a) =

f1xi

(a), . . . ,fM

xi(a)

, i {1, . . . , N },

se sigue que

Df(a)(x1, . . . , xN) =x1

f1x1

(a), . . . ,fM

x1(a)

+ +xN

f1xN

(a), . . . ,fMxN

(a)

,

de donde deducimos la expresin deseada:

Df(a)(x1, . . . , xN) =

x1

f1x1

(a) + +xN f1xN

(a), . . . , x1fMx1

(a) + +xNfMxN

(a)

.

Veamos cmo se puede deducir la expresin anterior de Df(a)usando la matriz jacobiana defena.Como el vectorDf(a)(x1, . . . , xN)RM,podemos escribir:

Df(a)(x1, . . . , xN) = (y1, . . . , yM)

para algn vector(y1, . . . , yM)RM.Por tanto,

(y1, . . . , yM) =

x1

f1x1

(a) + +xN f1xN

(a), . . . , x1fMx1

(a) + +xNfMxN

(a)

,

de donde se deducen lasMigualdades siguientes:

y1= x1f1x1

(a) + +xN f1xN(a),y2= x1

f2x1

(a) + +xN f2xN(a),..................................................

yM =x1 fMx1 (a) + +xNfMxN (a).Usando matrices, estasMigualdades se pueden expresar en la forma:

y1y2...

yM

=

f1x1

(a) f1x2

(a) f1xN

(a)f2x1

(a) f2x2

(a) f2xN

(a)...

... ...

...fMx1

(a) fMx2

(a) fMxN

(a)

x1x2...

xN

Por tanto, para calcular las coordenadas del vector(y1, . . . , yM)tenemos que multiplicar la matriz jaco-biana defena (una matriz de orden M

N) por la matriz columna[x1, . . . , xN]e igualar la matriz

resultante (una matriz de ordenM 1) a la matriz columna[y1, . . . , yM].


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11. EXPRESIN MATRICIAL DE LA REGLA DE LA CADENA

Esta expresin matricial nos va a permitir calcular las derivadas parciales de la funcin compuesta dedos funciones diferenciables en trminos de las derivadas parciales de dichas funciones.Sean A y B subconjuntos abiertos no vacos de RN y RM,respectivamente, y sean f: A RM

y g : B RP aplicaciones tales que f(A) B. Supongamos que fes diferenciable en un puntoa A y que g es diferenciable en f(a). Entonces, por la regla de la cadena, la funcin compuestah= g f: ARP es diferenciable enayDh(a) =Dg(f(a)) Df(a).Como consecuencia, usandolas matrices jacobianas se tiene la siguienteexpresin matricial de la regla de la cadena:

h(a) =g (f(a))f(a).

En forma explcita:

h1x1

(a) h1xN

(a).

..

.

..

.

..hPx1

(a) hPxN

(a)

=

g1y1

(f(a)) g1yM

(f(a)).

..

.

..

.

..gPy1

(f(a)) gPyM

(f(a))

f1x1

(a) f1xN

(a).

..

.

..

.

..fMx1

(a) fMxN

(a)

As pues, dadosi {1, 2, . . . , P } yj {1, 2, . . . , N },se tiene:

hixj

(a) =Mk=1

giyk

(f(a))fkxj

(a).

Esta ltima expresin proporciona un mecanismo para derivar parcialmente cada una de las funcionescoordenadas de la funcin compuesta de dos funciones diferenciables.

Ejemplo11.1. Seanf: R2 R2 yg : R2 R3 dadas porf(x, y) = (x+y, xy), g(x, y) = (x2,xy ,y2),

(x, y)

R2.

Las funcionesfygson diferenciables en R2 ya que sus funciones coordenadas lo son por ser polinmi-cas:

f1(x, y) =x+y, f2(x, y) =xy, (x, y)R2g1(x, y) =x

2, g2(x, y) =xy, g3(x, y) =y2, (x, y)R2.

Por la regla de la cadena,h = g f: R2 R3 es diferenciable yDh(x, y) =Dg(f(x, y)) Df(x, y)para todo(x, y)R2.

Dadoa = (a1, a2)R2 se tiene queh(a) =g (f(a))f(a), es decir,

h(a) = g1x

(f(a)) g1y

(f(a))g2x

(f(a)) g2y

(f(a))g3x

(f(a)) g3y

(f(a))

f1x

(a) f1y

(a)f2x (a)

f2y (a)

=

2(a1+a2) 0a1a2 a1+a2

0 2a1a2

1 1

a2 a1

=

2(a1+a2) 2(a1+a2)a1a2+ (a1+a2)a2 a1a2+ (a1+a2)a1

2a1a22 2a

21a2

.

Por tanto,

h1x

(a) h1y

(a)h2x

(a) h2y

(a)h3x

(a) h3y

(a)

=

2(a1+a2) 2(a1+a2)a1a2+ (a1+a2)a2 a1a2+ (a1+a2)a1

2a1a22 2a

21a2

.

Puede comprobarse que se obtiene el mismo resultado si se determina la expresin de la funcin hy se

obtiene su matriz jacobiana en el punto asin utilizar la regla de la cadena.


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Para todo(x, y)R2,se tiene 2(a1+a2) 2(a1+a2)a1a2+ (a1+a2)a2 a1a2+ (a1+a2)a1

2a1a22 2a

21a2

xy

= 2(a1+a2)(x+y)a1a2(x+y) + (a1+a2)(a2x+a1y)

2a1a2(a2x+a1y)

.Por tanto,Dh(a) : R2 R3 viene definida comoDh(a)(x, y) = (2(a1+a2)(x+y), a1a2(x+y)+(a1+a2)(a2x+a1y), 2a1a2(a2x+a1y)), (x, y)R2.

12. HIPERPLANO TANGENTE

SeaAun subconjunto abierto de RN, aAyf: AR una funcin diferenciable ena.La variedadafn tangente a la grfica defen el punto(a, f(a))es el conjunto

(x1, . . . , xN, y1)R

N+1

: y1= g(x1, . . . , xN)

,dondeg : RN R es la funcin afn definida por

g(x) =f(a) +Df(a)(x a), xRN.Sia= (a1, . . . , aN),la ecuacin de esta variedad es:

y1= g(x1, . . . , xN)

=f(a) +Df(a)(x1 a1, , xN aN)=f(a) +

f

x1(a)(x1 a1) + + f

xN(a)(xN aN).

Se trata de un hiperplano deRN+1

(es decir, una variedad afn de dimensin N) que pasa por el punto(a, f(a))y que se denomina hiperplano tangente a la grfica defen el punto(a, f(a)).En el casoN= 1, el hiperplano tangente a la grfica de fen el punto(a, f(a))es larecta tangente a

la curvay = f(x)en el puntoacuya ecuacin es:

y= f(a) +f(a)(x a).En el casoN= 2,el hiperplano tangente a la grfica defen el punto(a, f(a))es elplano tangente a lasuperficiez = f(x, y)en el puntoa = (a1, a2)cuya ecuacin es:

z = f(a1, a2) + f

x(a1, a2)(x a1) + f

y(a1, a2)(y a2).

Ejemplos12.1. (1) Seaf: R

R la funcin definida por

f(x) =x2, xR.Claramente,fes diferenciable en R. La recta tangente a la grfica de fen el punto(1, 1)es larecta de ecuaciny = f(1) +f(1)(x 1),esto es,y = 2x 1.

(2) Seaf: R2 R la funcin definida porf(x, y) =x2 +y2, (x, y)R2.

Claramente,fes diferenciable en R2.El plano tangente a la grfica defen el punto(1, 1, 2)es

z= f(1, 1) + f

x(1, 1)(x 1) + f

y(1, 1)(y 1),

es decir,2x+ 2y z 2 = 0.


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13. VECTOR GRADIENTE

Aparte de la interpretacin geomtrica de la diferencial de una funcin escalar, se puede dar otra desentido fsico relacionada con las nociones de campos escalares o vectoriales.

Definicin13.1. SeaAun abierto de RN, aAy f: A R una funcin. Supongamos quefesderivable parcialmente en el punto a respecto de xjpara todoj {1, 2, . . . , N }. Se llamagradientedefen el puntoaal vector de RN dado por

f(a) =

f

x1(a), . . . ,

f

xN(a)

.

Sifes diferenciable ena,para cadav = (v1, . . . , vN) RN se tiene queDvf(a) =Df(a)(v) =

fx1

(a)v1+ + fxN

(a)vN

=

f

x1(a), . . . ,

f

xN(a)

|(v1, . . . , vN)

= (f(a)|v),

donde(|)denota el producto escalar eucldeo en RN. Por tanto la derivada defen el puntoasegn elvectorvcoincide con el producto escalar del vector gradiente de fen apor el vectorv.

Adems, el vector gradiente tiene la direccin en la cual fcrece ms rpidamente. En concreto, setiene el siguiente resultado.

Proposicin13.2. SeaAun conjunto abierto de RN, a

A y f: A

R una funcin diferenciable en

a.Si f(a)= 0,entoncesmax

Dvf(a) : v RN,v= 1

=f(a) ,

y dicho mximo se alcanza en la direccin del vector f(a).

Demostracin:Dadov RN con v= 1, por la desigualdad de CauchySchwarz, se tiene:Dvf(a) |Dvf(a)|=|(f(a)|v)| f(a) v=f(a) .

Adems, tomandov =f(a)/ f(a) ,se tiene:

Dvf(a) = (f(a)| f(a)

f(a)

) =

1

f(a)

(f(a)|f(a)) =f(a)

2

f(a)

=f(a) .

Esto prueba que el mximo de la derivada direccional defenaes f(a) y se alcanza en la direccinf(a)/ f(a) que es la direccin del vector f(a).

A continuacin aclararemos el significado geomtrico del vector gradiente.

Definicin13.3. Sea A un subconjunto abierto de RN y f: A R una funcin. Para k R,considere el conjunto de nivelkdef,C(f, k) ={xA : f(x) =k} .

Se dice que un vectoruRN esnormal al conjunto de nivelC(f, k)enaC(f, k)si para cadacurva diferenciable: (, )C(f, k)tal que(0) =a,se tiene que(u|(0)) = 0(es decir,ues ortogonal al vector tangente(0)).


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Proposicin 13.4. Sea A un subconjunto abierto de RN y f: A

Runa funcin diferenciable. En-tonces, para cadaaC(f, k),el gradiente f(a)es normal al conjunto de nivelC(f, k)ena.

Demostracin:Sea: (, )C(f, k)una curva diferenciable tal que(0) =a. Entonces, comof((t)) = k para todot(, ), se tiene que(f )(t) = 0para todot(, ),y, en particular,(f )(0) = 0.Por otra parte, aplicando la regla de la cadena se tiene que

0 = (f )(0) =D(f )(0)(1) = [Df((0)) D(0)](1) =Df(a)((0)) = (f(a)|(0)).Luego el vector f(a)es normal al conjunto de nivelC(f, k)ena.

14. CONDICIONES SUFICIENTES DE DIFERENCIABILIDAD

Es conocido que la existencia de derivadas parciales de una funcin en un punto no garantiza ladiferenciabilidad de dicha funcin en ese punto. No obstante, el siguiente resultado nos dice que bajociertas hiptesis adicionales sobre las derivadas parciales s es posible garantizar la diferenciabilidad.

Teorema14.1. SeaAun subconjunto abierto de RN, aAyf: ARM una aplicacin. Supongamosque se verifican las siguientes condiciones:

(1) fes derivable parcialmente respecto de xipara todoi = 1, 2, . . . , N en una bola B(a, r)con-tenida enA.

(2) Las funciones fxi

para todoi= 1, . . . , N son continuas en el punto a.

Entoncesfes diferenciable en el punto a.

Demostracin:Consideremos, en primer lugar, el casoM = 1.SeaT: RN R la aplicacin linealdefinida por

T(h) =Ni=1

f

xi(a)hi, h= (h1, . . . , hN)RN.

Ntese queTes la nica candidata a diferencial de fen el punto a. Nuestro objetivo es probar que laaplicacin : U R definida por

(h) =|f(a+h) f(a) T(h)|

h (h

U

\{0

}), (0) = 0

es continua en0,siendoU ={h RN : a+hA}.Para ello probaremos que se cumple la siguientepropiedad:

> 0, >0 : hU,h< |(h)|< .Sea pues >0.Por las condiciones (1) y (2) existe un(0, r]tal que fxi (x)

f

xi(a)

< N, xB(a, ), i= 1, 2, . . . , N.Seah = (h1, . . . , hN)Utal que h< .Sih = 0,entonces |(h)|= 0< .Sih= 0,tomemos:

z0:= a, zi := a+i

j=1

hjej, i= 1, 2, . . . , N.


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EntoncesziB(a, )para todoi = 1, 2, . . . , N,yzN=a+h,y se tiene que

f(a+h) f(a) =Ni=1

(f(zi) f(zi1)) =Ni=1

(f(zi1+hiei) f(zi1)).

Dado i {1, . . . , N },si hi = 0,entoncesf(zi1+ hiei)f(zi1) = 0,y si hi= 0,aplicando elTeorema del valor medio clsico, existe un puntoyi R con |yi| 0y seai : [0, hi] Rla funcin definidapor

i(s) =f(zi1+sei).

Esta funcin es derivable en [0, hi]y i(s) = fxi

(zi1+ sei)para todo s [0, hi].En efecto, dados0 [0, hi], es claro que zi1 + s0ei B(a, ),y por la condicin (2) fes derivable parcialmenterespecto dexien el puntozi1+s0ei.Como

lmss0

i(s) i(s0)s s0 = lmss0

f(zi1+sei) f(zi1+s0ei)s s0

= lmss0

f(zi1+s0ei+ (s s0)ei) f(zi1+s0ei)s s0

= lmt0

f(zi1+s0ei+tei) f(zi1+s0ei)t

= fxi

(zi1+s0ei),

se tiene que i es derivable en s0yi(s0) = fxi

(zi1+ s0ei),como se deseaba. Por el Teorema delvalor medio, existe un puntoyi(0, hi)tal quei(hi) i(0) =i(yi)hi,es decir,

f(zi1+hiei) f(zi1) = fxi

(zi1+yiei)hi,

como se quera.En el otro caso, sihi< 0,se considera la funcini : [0, hi]R definida por

i(s) =f(z

i

1se

i).

Se comprueba como antes que i es derivable en[0, hi]y i(s) = fxi (zi1sei)para todos[0, hi].De nuevo, por el Teorema del valor medio, existe un puntoyi (0, hi)tal quei(hi) i(0) =

i(yi)(hi),esto es,

f(zi1+hiei) f(zi1) = fxi

(zi1+yiei)hi,

como antes, y esto prueba nuestra afirmacin.Ahora, comozi1+yieiB(a, ), tenemos que

fxi

(zi

1+y

iei)

f

xi(a) < , i= 1, 2, . . . , N.


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Teniendo en cuenta esto se sigue que

|(h)|=|f(a+h) f(a) T(h)|h = 1hNi=1

fxi

(zi1+yiei)hiNi=1

fxi

(a)hi

1hNi=1

fxi (zi1+yiei) f

xi(a)

|hi| 0 tal queB((1 t0)a+t0b, r)A.Seas= r/(1 + b a).Sit(t0 s, t0+s)se tiene que

(1 t)a+tb [(1 t0)a+t0b]=(t t0)(b a)=|t t0| b a< s b a< ry as(1 t)a + tbA,es decir,tG.Por tanto,(t0 s, t0+ s)Gy esto muestra que Ges abiertoen R.Adems,Gcontiene al intervalo[0, 1]ya queSa,bA.

Sea : GAla funcin dada por(t) = (1 t)a+tb, tG.

Claramente,es derivable enGcon(t) =b apara todotG.En efecto, para cadat0Gse tiene

lmtt0

(t) (t0)t t0 = lmtt0

(t t0)(b a)t t0 = lmtt0(b a) =b a.

Equivalentemente, es diferenciable en Gy para cada t G, D(t) : R RN viene definida porD(t)(x) =(t)xpara todoxR.En particular,es continua enG.

Seah : [0, 1]R la funcin definida porh(t) = (f )(t), t[0, 1].

Como es continua en [0, 1] y fes continua en ([0, 1]) = Sa,b, entonces h es continua en [0, 1].Por otra parte, como es diferenciable en (0, 1)y fes diferenciable en ((0, 1)) =

Sa,b,entonces hes diferenciable en (0, 1)o, equivalentemente, h es derivable en (0, 1).Adems, para cada t (0, 1),Dh(t) : R R viene dada porDh(t)(x) =h(t)xpara todox R.Luegohsatisface las hiptesis delteorema del valor medio clsico y por tanto existe un punto t(0, 1)tal queh(1) h(0) =h(t),estoes,f(b) f(a) =h(t),pero

h(t) =Dh(t)(1) = (Df((t)) D(t))(1) =Df((t))(D(t)(1))=Df((t))((t)) =Df((t))(b a) =Df((1 t)a+tb)(b a).

Tomec = (1 t)a+tbSa,bya quet(0, 1),y se tienef(b) f(a) =Df(c)(b a).

El teorema del valor medio, tal y como se ha enunciado, no se verifica en el caso de funciones vecto-riales.

Ejemplo15.3. La funcin f: R R2 definida por f(t) = (t2, t3) es diferenciable en R. Adems,para cada t R, Df(t) : R R2 es la funcin definida por Df(t)(x) = f(t)xpara todo x R,y como f(t) = (2t, 3t2),se sigue que Df(t)(1) = (2t, 3t2).En particular, fes continua en[0, 1]yderivable en (0, 1).Si se verificase el citado teorema para esta aplicacin, existira c (0, 1) tal quef(1)f(0) =Df(c)(1), esto es,f(1)f(0) = (2c, 3c2),perof(1)f(0) = (1, 1),por lo que1 = 2cy1 = 3c2 de dondec= 1/2yc =

3/3,una contradiccin.

Sin embargo, para funciones vectoriales de variable vectorial, se verifica una desigualdad que suele

ser suficiente para obtener importantes consecuencias:


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Teorema15.4. (Teorema de los incrementos finitos).Sea A

RN abierto,a, b

A tales queS

a,bA

yf: A RM una aplicacin continua enSa,by diferenciable en

Sa,b .Supongamos que el conjuntoDf(c): cSa,b

est mayorado. Entonces

f(b) f(a) supDf(c): cSa,b

b a .

Demostracin:SeanG={tR : (1 t)a+tbA} y : GAdefinida por(t) = (1 t)a+tb (tG),

como en la demostracin del teorema anterior.Si f(a) = f(b),el resultado se verifica trivialmente. Supongamos f(a)

= f(b) y considere v =

(f(b) f(a))/ f(b) f(a) .DefinamosT: RM R porT(y) = (v|y)para todoy RM.Clara-mente,Tes lineal y, en consecuencia, diferenciable en RM conDT(y) =Tpara todoy RM.

Seag = T f : [0, 1]R.Las hiptesis sobrefy las propiedades deTygarantizan quegescontinua en[0, 1]y diferenciable en(0, 1).El teorema del valor medio clsico nos da un puntot(0, 1)tal queg(1) g(0) =g (t).Por un lado tenemos que

g(1) =T(f((1)) =T(f(b)) = (v|f(b)),g(0) =T(f((0)) =T(f(a)) = (v|f(a)),

de donde

g(1) g(0) = (v|f(b)) (v|f(a)) = (v|f(b) f(a))

= (f(b) f(a)|f(b) f(a))f(b) f(a) =f(b) f(a)2

f(b) f(a) =f(b) f(a) .Por otra parte se tiene que

g(t) =Dg(t)(1) = (DT((f )(t)) D(f )(t))(1) = (T D(f )(t))(1)= (v|D(f )(t)(1)) = (v|Df((1 t)a+tb)(b a)) v Df((1 t)a+tb)(b a) Df((1 t)a+tb) b asup

Df(c): cSa,b

b a .

En la segunda igualdad de la segunda lnea hemos usado:

D(f

)(t)(1) =Df((1

t)a+tb)(b

a),

igualdad probada en la demostracin del teorema anterior. Por lo tanto,

f(b) f(a)= g(1) g(0) =g (t)supDf(c): cSa,b

b a .

Una consecuencia inmediata del teorema de los incrementos finitos es la siguiente:

Corolario 15.5. Sea A un subconjunto abierto y convexo de RN y f: A RM una aplicacin di-ferenciable en A.Supongamos que existe 0 tal queDf(x) para todo x A.Entoncesf(x) f(y) x y para todox, yA.

tema 3 funciones diferenciables 2011 2012

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