factorizaciondepolinomios

Factorizacin de Polinomios

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FACTORIZACIN DE POLINOMIOSArturo Fernndez Salazar

Profesor Acadmia Csar Vallejo - ICH

ObjetivosAl finalizar el desarrollo de este tema, el profesor participante estar en la capacidad de:

Reconocer un polinomio sobre un conjunto y/o campo numrico. Reconocer polinomios irreductibles sobre Z y los campos numricos: Q, R y C. Identificar un factor primo sobre un determinado conjunto y/o campo numrico. Conocer las diversas tcnicas y mtodos para factorizar un polinomio.

Introduccin Lafactorizacinhasidountemadelcualhantratadonumerososmatemticosimportantes,especficamente en la resolucin de ecuaciones polinmicas con coeficientes racionales.La factorizacinesunode losprocesosmsdifcilesde comprenderde los estudiantesdela escuela secundaria, llegando a no reconocer la necesidad de emplearla o la posibilidadde aplicarla y, almismo tiempo, es una de las herramientasmas empleadas en el trabajomatemticoparatransformarunaexpresinalgebraicademaneraconveniente,pararesolveralgnproblema.Perosurealutilidad,vistaatravsdelahistoria,eslaresolucindeecuacionesalgebraicas;dehecho,enunprimermomento, la factorizacinsurgeantedenecesidadderesolverecuacionesdesegundogrado.

Los babilonios, fueron los primeros que resolvieron ecuaciones cuadrticas en unastablillas(descifradasporOttoNeugebaueren1930),cuyaantigedadesdeunos4000aos,seencontraronsolucionesdevariasdeestasecuaciones,encuyodesarrollo,losbabilnicos,sevalierondefactorizacionessimplesqueyaconocan.Entrminosmodernos,estemtodolos

llevoaresolverlaecuacincuadrtica:x2bx=cmediantelafrmula xb

cb

=2

+ +2

2

.

Msadelantematemticosgriegos,hindes,rabesyeuropeossededicaronalestudiodeestasecuacionesylograronavanzaratravsdeltiempohastaencontrarlafrmulapararesolvercualquierecuacindesegundogrado,esdecir,unaecuacindelaformaax2+bx+c=0;a0,

medinate xb b ac

a=

2 42

,dondea,bycsonnmerosarbitrarios.

Enelpresentetrabajosetratanlosaspectostericosmsimportantesdelafactorizacinde polinomios. En el captulo I recordamos la factorizacin de polinomios con coeficientesenteros. Asmismo, vemos algunos criterios y/omtodos para factorizar polinomios sobreelconjuntoZ.EnelcaptuloIIampliamoslateoradefactorizacindepolinomiossobreuncamponumrico,resaltandoladiferenciaentrepolinomioirreductibleypolinomioprimoenlosdiferentescamposQ,RyC;ademsconoceremosotrosmtodosdefactorizacinyalgunasaplicaciones.

Espero que este trabajo sirva paramotivar a los docentes de educacin secundaria ysuperiorhaciaelestudiodeotrostemasdematemtica.Esunainvitacinalainvestigacin,aconocermssobrematemticas,unmundodonde laabstracciny la imaginacinestnpresentesencualquierlugardondenosencontremos;yloqueesmsimportante,alserviciodenuestrosestudiantes.


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FACTORIZACIN SOBRE Z

Cuandoestudiamosalconjuntodelosenterospositivos:Z+={1;2;3;4;...}vimosquedeacuerdoalacantidaddedivisoresqueposeecadanmero,elconjuntoZ+seclasificaennmerossimples(tienenalosmsdosdivisores)ynmeroscompuestos(tienenmsdedosdivisores).

Losnmerossimplesestnformadosporlaunidad:1ylosnmerosprimos:2;3;5;7;11;13;17;19;...;ylosnmeroscompuestospuedenfactorizarse.Estafactorizacinesnicaysellamadescomposicincannica.Porejemplo,ladescomposicincannicadelnmero600es600=23 352,dondelosfactoresprimosde600son2;3y5.

Enestecaptulosevaatrabajarsolamenteconpolinomiosdegradon1ydesarrollaremoslateorageneraldelafactorizacindepolinomiosconcoeficientesenteros,endondesedarcon bastante claridad el concepto de polinomio irreductible. Asimismo, daremos teoremasparareconocerpolinomiosprimossobreZ yrecordaremosalgunoscriteriosy/omtodosparadescomponerpolinomiosenlamultiplicacinindicadadeotrospolinomiosmssencillosydemenorgradoqueelpolinomioinicial.

AcontinuacinveremoslosconceptosdelateoradefactorizacinsobreZ.

MultIplIcacIn IndIcada

Esaquellamultiplicacinqueannohasidoefectuada.

Porejemplo,25; 3 ; ( 1) ; 1 2 3 4 ... x x x n+ sonmultiplicacionesindicadas.Elresultadodelaoperacinsellamaproducto.

As: ( )( )x x x+ = 2 2 42

multiplicacin indicada producto

pOlInOMIO defInIdO sObre Z

Esaquelpolinomioquetienetodossuscoeficientesenteros.

ejemplos:

ElpolinomioP(x)=x33x2+4x+2estdefinidosobreZ,puestodossuscoeficientes:

1;3;4;2,sonenteros.

ElpolinomioQ(x)= 212

33x x + noestdefinidosobreZ,pueselcoeficiente 12no

es entero. Podemosdecir que el polinomioQ(x) est definido sobreQ, pues todos sus

coeficientes: 212

3; ; ,sonracionales.

notacin

SiP(x)estdefinidosobreZlodenotaremosPZ[x]


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factOr algebraIcO

SifyPsonpolinomiosdegradospositivos,diremosquefesfactoralgebraicodeP,siexisteunnicopolinomioQ,talquePf .Q,esdecir,Pesdivisibleporf.

ejemplos:

f(x)=x+2esfactoralgebraicodeP(x)=x3+8,puesexisteQ(x)=x

22x+4,talquex3+8(x+2)(x22x+4).ObservequeP(x)esdivisibleporf(x)

DadoelpolinomioP(x)=3(x21)(x2+1)(2x1),podemosafirmarque

f(x)=x21esunfactoralgebraicodeP(x)

g(x)=2x1esunfactoralgebraicodeP(x) h(x)=3(x

2+1)esunfactoralgebraicodeP(x) c(x)=3noesunfactoralgebraicodeP(x),puesesconstantedegradocero.

nota:

TodopolinomioP(x)degradopositivoesfactoralgebraicodesimismo.

factOr prOpIO

SeaP(x)unpolinomiodegradon2.Sif(x)esunfactoralgebraicodeP(x)ysugradoesmenorquen,entoncesdiremosquef(x)esfactorpropiodeP(x).Porejemplo,f(x)=x2esfactorpropiodeP(x)=x

3 + x 10

pOlInOMIO reductIble sObre Z

UnpolinomioPdegradon2esreductiblesobreZ,siadmitefactorespropios(sobreZ);esdecir,puedeescribirsecomolamultiplicacindealmenosdosdeellos.

ejemplos:

ElpolinomioP(x)=4x21esreductiblesobreZ,puespodemosescribirP(x)=(2x+1)(2x1).

Observequeambosfactores(propios)tienencoeficientesenteros. ElpolinomioQ(x)=x

22noesreductiblesobreZ,puespeseaqueQ(x)=(x+ 2)(x 2),losfactores(x+ 2)y(x 2)noestndefinidossobreZ.

Comolosfactorestienencoeficientesreales,entoncespodemosdecirqueQ(x)=x22es

reductiblesobreR.

pOlInOMIO IrreductIble sObre Z

Unpolinomioes irreductiblesobreZsinoesreductiblesobreZ,esdecir,sinoadmitefactorespropios.

ejemplos:

LospolinomiosQ(x)=x22;R(x)=x

2+1;S(x)=2x+4yL(x)=x2sonirreductiblessobreZ.


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Lospolinomios f(x)=x2+x+1;g(x)=x

2x+1;F(x;y)=x2+xy+y2 yG(x;y)=x

2xy+y2 sonirreductiblessobreZ.

Si{a;b;c}Z+entonceslospolinomiosP(x)=ax2+b;Q(x;y)=ax

2+by2yR(x;y;z)=x

2+by2+cz2sonirreductiblessobreZ.

teorema 1

Todopolinomiodeprimergradoesirreductible

Enefecto,siadmitieramosqueestepolinomiopuededescomponerseenelproductodefactores

propios,estostendranqueserdegradocero,peroelproductodecualesquierapolinomiosde

gradoceroesdenuevodegradocero,ynodegradouno.

corolario

Sielpolinomiof(x)esirreductible,entoncesf(x)con0,tambinloes.

pOlInOMIO prIMO sObre Z

UnpolinomioesprimosobreZsiesirreductibleysuscoeficientessoncoprimos(primosentresi).

ejemplos:

LospolinomiosirreductiblesP(x)=2x1;Q(x)=x2+3;R(x;y)=3x+4y1yS(x)=x

2+x+1sonprimossobreZ.

Lospolinomios irreductibles f(x)=2x+6 ;g(x)=2x2+4 y h(x;y)=3x

23y2 no sonprimossobreZ,puesloscoeficientesrespectivosnosonPESI.

factOr prIMO sObre Z

UnpolinomiofesfactorprimodeotropolinomioP(sobreZ),sifespolinomioprimoyfactoralgebraicodeP.

ejemplos:

Elpolinomiof(x)=x2esfactorprimodeP(x)=x35x+2(sobreZ).

Enefecto,f(x)espolinomioprimoyfactoralgebraicodeP(x),puesexisteg(x)=x2+2x1tal

queP(x)=(x2)(x2+2x1).

Elpolinomiog(x)=2x1esfactorprimodeP(x)=4x21(sobreZ).

Enefecto g(x) espolinomioprimosobreZ yademses factoralgebraicodeP(x),pues4x21(2x1)(2x+1)

factOrIzacIn

Factorizarunpolinomio(sobreZ)degradon 2esdescomponerloenlamultiplicacinindicadadesusfactoresprimosopotenciasdeestos.


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ejemplos:

ElpolinomioP(x)=3(2x+1)(x2+1)estfactorizadosobreZ.

ElpolinomioQ(x)=(x+2)(x4)2(x2x+1)estfactorizadosobreZ.

ElpolinomioR(x)=(2x+4)(x25)(x2)3noestfactorizadosobreZ,pues(2x+4)noesfactor

primo,sedebeextraerel factor trivial2.Esdecir, siescribimosR(x)=2(x+2)(x25)(x2)3

recindiremosqueestfactorizadosobreZ.

cOnteO de factOres prIMOs

La cantidad de factores primos de un polinomio factorizado se obtiene contando losfactoresprimosqueseencuentrancomobasedeunapotenciayquecontenganalmenosunavariabledelpolinomio.

ejemplos:

ElpolinomioP(x)=4(x1)3(x+2)2(x2+1)estfactorizadosobreZ.Tienetresfactoresprimos,

doslineales:x 1;x +2yuncuadrtico:x2+1. ElpolinomioQ(x)=x

2(y2+1)(x2x+1)(x+y)3yestfactorizadosobreZ.Tienetresfactoresprimos:x;x2x+1;x+y

algunOs MtOdOs para factOrIzar pOlInOMIOs

Mtodo del factor comn y/o agrupacin

Se aplica en polinomios donde todos sus trminos tienen una o ms variables y/oconstantescomunes(queencadatrminoestncomofactores).

Porejemplo,enelpolinomioP(x;y)=2x2y2+4xy36xy2seobservaquesustrestrminos

tienenencomnalasvariablesxey(lascualesseextraenelevadasasumenorexponente)ylaconstante2;luegoescribimos:P(x;y)=2xy

2(x+2y3),conlocualelpolinomioestfactorizadosobreZ.

Puedeocurrirquetodoslostrminosdeunpolinomionotenganfactorcomn,entoncesagrupamosconvenientementeaquellosquesilotienenparaextraerleselfactorcomn.

Porejemplo,enelpolinomioQ(x;y)=2xy+4x+3y+6seobservaqueen loscuatrotrminosnohayfactorcomn.Agrupamosconvenientementeyescribimos

Q(x;y)=2xy+4x+3y+6

Q(x;y)=2x(y+2)+3(y+2)

Q(x;y)=(2x+3)(y+2),conlocualelpolinomioestfactorizadosobreZ.

Mtodo de las identidades

Aquaplicamoslasidentidadesdelosproductosnotablesparafactorizarpolinomios.

Porejemplo,enelpolinomioP(x)=x24seobservaunadiferenciadecuadrados, luego

podemosescribirP(x)=(x+2)(x2),conlocualelpolinomioestfactorizadosobreZ.


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Asimismo,enelpolinomioH(x)=x3+1seobservaunasumadecubos, luegopodemos

escribirH(x)=(x+1)(x2x+1),conlocualelpolinomioestfactorizadosobreZ.

Mtodo del aspa simple

Seaplicaparafactorizarpolinomiosdelaforma:

P A B C(xn nx x) = + +

2o P A B Cy(

2nx y

m m nx x y; ) = + +2

ABC 0{m;n}Z+

Procedimiento: A B Cy2nx x ym m n2 + + A1x

m C1ynA2C1x

myn

A2xm C2y

nA1C2xmyn

Bxmyn

1. Sedescomponeadecuadamentelostrminosextremosdeltrinomioenunamultiplicacinindicadadefactores.

As:Ax2m=(A1xm)(A2x

m)yCy2n=(C1yn)(C2y

n)

2. Estadescomposicindebeserhechadetalmaneraquelasumadelosproductosenaspaseaigualaltrminocentraldeltrinomio.

As:A2C1xmyn+A1C2x

myn=Bxmyn

3. Unavezhechalapruebadelaspaanterior,eltrinomioesexpresadocomolamultiplicacin

indicadade factoresquese tomanen formahorizontal, talcomo lo indican las flechas

punteadas.

As:P(x;y)=(A1xm+C1y

n)(A2xm+C2y

n)

4. Sicadaunodeestosfactoresesreductible,secontinaconlafactorizacinhastaobtenerunamultiplicacindefactoresprimos.

ejemplos:

FactoricesobreZelpolinomioP(x;y)=3x2+7xy6y2

Veamoselesquemadelaspasimple:

3x2+7xy6y2

3x2y2xy

x3y9xy

7xy

LuegoP(x;y)=(3x2y)(x+3y)estfactorizadosobreZ.

FactoricesobreZelpolinomioH(x)=x413x2+36.

Veamoselesquemadelaspasimple:

x413x2+36

x2 44x2

x2 99x2

13x2

(+)

(+)

(+)


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LuegoH(x)=(x24)(x29):diferenciadecuadrados

PorlotantoH(x)=(x+2)(x2)(x+3)(x3)estfactorizadosobreZ.

teorema 2

DadoelpolinomiocuadrticoP(x)=ax2+bx+c;abc0.

P(x)esfactorizablesobreZsudiscriminanteT=b24acesuncuadradoperfecto.

Esdecir,T=k2;conkZ+

ejemplos:

EnelpolinomioP(x)=3x28x+5setienelosiguiente:

T=(8)24(3)(5)=4=22,entoncesP(x)esfactorizablesobreZ. Veamossufactorizacinporaspasimple:

3x28x+5

3x55x

x 13x

8x

Luego,P(x)=(3x5)(x1)estfactorizadosobreZ.

EnelpolinomioQ(x)=x24x+2setienelosiguiente:

T=(4)24(1)(2)=8k2,luegoQ(x)noesfactorizablesobreZ,ycomosuscoeficientessonPESI,entoncesQ(x)esprimosobreZ.

Mtodo del aspa doble especial

Seaplicaparafactorizarpolinomiosdecincotrminosydeunavariable,delaforma:

P A B C D E( )xn n n nx x x x n= + + + + +4 3 2 ;

Procedimiento:

A B C D Ex x x xn n n n

4 3 2+ + + + A1x

2n F

F

1

2

x

x

n

n

E1

A2x2n E2

Setiene :A1x2nE2+A2x

2nE1 Sedebetener :Cx2n

Falta :Cx2n(A1E2+A2E1)x2n=Fx2n

1. Adecuamos el polinomio a la forma general, en caso faltase uno oms trminos, secompletanconceros.

2. Sedescomponenconvenientementelostrminosextremos:Ax4n=(A1x2n)(A2x

2n)yE=E1E2,semultiplicaenaspaysesumanlosproductosobtenidos:A1x

2nE2+A2x2nE1

(+)

I II


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3. Se compara el resultado anterior: A1x2nE2 + A2x

2nE1 con el trmino central: Cx2n del

polinomio,yloquefaltaparaqueseaigualaste,serlaexpresin:Fx2nadescomponerenlaspartescentrales:F1x

nyF2xndelosnuevosfactores.

4. Debenverificarselasaspassimples(I)y(II)delesquemaanterior.5. Losfactoressetomanenformahorizontal.As:P(x)=(A1x

2n+F1xn+E1)(A2x

2n+F2xn+E2)ysi

estosnosonprimossefactorizanporaspasimple.

ejemplos:

FactoricesobreZ elpolinomioP(x)=6x4x36x2+5x2.

Veamoselesquemadelaspadobleespecial:

6x4x36x2+5x2

3x2 2x

x 1

2x2 2

2x2

Setiene :(2)(3x2)+1(2x2)=4x2

Sedebetener :6x2

Falta :6x2(4x2)=2x2:expresinadescomponerse

LuegoP(x)=(3x22x+1)(2x2+x2).Observequelosfactoressonprimos,entoncesel

polinomioP(x)estfactorizadosobreZ.

FactoriceelpolinomioQ(x)=x45x2+10x6

Veamoselesquemadelaspadobleespecial:

x4+0x35x2+10x6

x2 2x

x2

2

x2 3

4x2

Setiene :3x2+2x2=x2

Sedebetener :5x2

Falta :5x2(x2)=4x2:expresinadescomponerse.

LuegoQ(x)=(x22x+2)(x2+2x3).Observequeelfactor(x22x+2)esprimo,

peroelfactor(x2+2x3)esfactorizable,luegoporaspasimple:x2+2x 3=(x+3)(x1). Porlotanto,elpolinomioQ(x)=(x

22x+2)(x+3)(x1)estfactorizadosobreZ. Quocurresiunpolinomiode la formaP(x)=Ax

4n+Bx3n+Cx2n+Dxn+Enoadmitedescomposicinporelmtododelaspadobleespecial?

PorejemploelpolinomioP(x)=2x4x3+6x2x1,esprimosobreZ?

Enelsiguientecaptuloampliaremoslateoradefactorizacinsobreuncamponumrico:Q,RoCparadarrespuestasaestaspreguntas.


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Ejercicios

1. Sif(x)=x+aesunfactorpropiodelpolinomioP(x)=x2+(b+1)x12talqueab=2,calcule

elvalordea(a1).

2. Indiqueelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones.

p:Todopolinomioprimoesirreductible.

q:Sif(x)esfactoralgebraicodeP(x)entoncesesfactorpropiodeP(x).

r:g(x)=2x+10esprimosobreZ.

3. DadoelpolinomiosobreZ.

P(x;y)=2x2y(x21)(x+2y+1)3(y2+1)(x1)2

Sim=cantidaddefactoresprimoslinealesyn=cantidaddefactoresprimoscuadrticos,

calculeelvalordemn

4. FactoricelospolinomiossobreZ.

F(x;y)=3x2yxy+6xy22y2

G(x;y)=x24y24(x1)

5. Sif(x)=(n+1)xn1esunfactorprimodelpolinomioP(x)=6x

3+15x22x5,evaluef(n).

6. Sielpolinomio P(x)=ax

2+(2a+5)x+10;aespar,esfactorizablesobreZ,indiqueelfactorprimoconmenorsumadecoeficientes.

7. Silospolinomios

P(x)=2x2+(m-1)x+2

Q(x)=6x2+(n+1)x+5

tienenfactorcomnf(x)=2x-1,calculeelproductomn.

8. Seaf(x)=ax2+bx +b;ab0,unpolinomiosobreZ.Sif(x)sefactorizaenlaforma

f(x)=a (xh)2,calculeelvalordeh.

9. Sielpolinomio F(x)=3abx3+(2ab+3a+3b)x2+(2a+2b+3)x+2esfactorizablesobreZyademsposee

dosfactoresprimos,calculeelvalordeab-1

10.FactoricelospolinomiossobreZ

P(x;y)=(xy+1)2+(x+y)(xy+2)+xy+1

Q(x;y;z)=1+x2+y2+z2+(xy)2+(yz)2+(xy)2+(xyz)2

R(a;b)=4a2b2+2ab2+2a2b+5ab+a+b+1


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FACTORIZACIN SOBRE UN CAMPO

Ya hemos visto algunos conceptos tericos ymtodos de factorizacin de polinomiossobre Z.EnelpresentecaptuloaprenderemosafactorizarpolinomiossobreunconjuntomsgrandequeZ,asimismodaremosrespuestaalassiguientespreguntas.

Cundounpolinomioesprimosobreuncamponumrico?

Cmosefactorizaunpolinomio(degradon3)sobreQ?

ExistenpolinomiosprimosdetercerycuartogradosobreQ?

ExistenpolinomiosprimoscuadrticossobreRoC?

A continuacin veremos algunos conceptos y/o teoremasque van ampliar la teora defactorizacindepolinomiosahorasobreuncamponumrico.

caMpO nuMrIcO (K)

SeaKunconjuntonumriconovaco,dondesedefinendosoperacionesbinarias:adicin(+)ymultiplicacin(),diremosqueKesuncamponumricosisecumplenlossiguientesaxiomas.

A1 Axiomadeclausura,a;bK:(a+b)KA2 Axiomaconmutativo,a;bK:a+b=b+aA3 Axiomaasociativo,a;b;cK:a+(b+c)=(a+b)+cA4 Existenciadelelementoneutroaditivo,aK, unelementodenotadopor0 Ktalque

a +0=a=0+aA5 Existenciadelelementoinversoaditivo,aK,aKtalquea+(a)=0=(a)+aM1 Axiomadeclausuraa;bK:(a.b)KM2 Axiomaconmutativo,a;bK:a.b=b.aM3 Axiomaasociativo, a;b;cK:a.(b.c)=(a.b).cM4 existenciadelelementoneutromultiplicativo,aK,unelementodenotadopor1Ktal

quea.1=a=1.aM5 existenciadelelementoinversomultiplicativo,a0;aK,a

1Ktalquea.a1=1=a1.aD Axiomadistributivo,a;b;cK: a.(b+c)=a.b+a.c

(a+b).c=a.c+b.c

notacin

ElcamponumricoKsedenotapor(K;+;)

ejemplos:

(Q;+;),(R;+;)y(C;+;)soncamposnumricos. EnN noexisten: elementoneutro aditivo, elemento inversoaditivo y elemento inverso

multiplicativo;portanto,noformacamponumrico.


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EnZnoexisteelementoinversomultiplicativo,entoncesnoformacamponumrico.

Enestecaptulovamosatrabajarconpolinomiosdegradon1yquetengancoeficientes

enloscamposQ;RoC.PorejemploelpolinomioP(x)=x33x2+ 1

2x+ 3

4tienetodossus

coeficientesracionales,luegodiremosquePestdefinidosobreelcampoQ.Asimismo,comoQRC,diremosueelpolinomioP tambinestdefinidosobreR yC.Enestecasosoloconsideraremoselmenorconjunto,lodemsesobvio.

pOlInOMIO IrreductIble sObre K.

UnpolinomioesirreductiblesobreKsinoadmitefactorespropiossobreK.

ejemplos:

ElpolinomioP(x)=x23esirreductiblesobreQ,puesnoadmitefactorespropios(nose

puededescomponerenmultiplicacindepolinomiosconcoeficientesenQ),perosiloessobreR,puesP(x)=(x+ 3 )(x 3 ).

ElpolinomioQ(x)=2x2 1

2noesirreductiblesobreQ,puesadmitefactorespropios.As

Q(x)=2 x x+

12

12

.

ElpolinomioL(x)=Ax+B;A0siempreesirreductiblesobreK.

pOlInOMIO prIMO sObre

Ya hemos visto que un polinomio irreductible sobre el conjunto Z es primo si suscoeficientessonPESI.Enuncamponumrico,unpolinomioirreductibleesprimosisteesmnico(coeficienteprincipaluno).

ejemplos:

ElpolinomioirreductibleP(x)=x2x+1esprimosobreQ

ElpolinomioirreductibleQ(x)=x2+1esprimosobreQysobreR,peronoloessobreC,

puesQ(x)=(x+i)(xi),coni= 1 . ElpolinomioirreductibleR(x)=2x1noesprimosobreQ,puesnoesmnico. f(x)=x+2esfactorprimodelpolinomioP(x)=x

3+x+10sobreQ;R oC.(verifquelo).

teorema (1)

Elpolinomiof(x)=x2+px+qesfactorizablesobreQsiyslosi p q2 04

+

demostracin

f(x)=x2+px+qesfactorizablesobreQ existenx1,x2Qtalquef(x)=(xx1)(xx2)con

xp p q

1

2 42

=

+ y x

p p q2

2 42

=

racionales,entonces:

f(x)=(xx1)(xx)2= xp p q

xp p q

+

2 242

42


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f(x)= x

p p qx

p p q+

+ +

2

42 2

42

2 2

f(x)= xp p q

x pxp p q

+

= + +

24

2 44

4

2 22

22 2

f(x)=x2+px+q.Luegox1yx2sonracionales,esdecir:

x1,x2 Q +

p p q p p q2 24

24

2 Q

x1,x2 Q p q2

04 +

(conlocualterminalademostracin).

ejemplos:

Elpolinomiof(x)= x x2 1

212

esfactorizablesobreQ.Enefecto,p=q= 12entonces

= = +

12

412

94

32

2

0

Elpolinomiog(x)=x2x 1

2noesfactorizablesobre.

Enefecto,p=1;q= 12entonces ( )

= +1 4

12

32 0

Porlotantog(x)=x2x 1

2esprimosobreQ.

raz O cerO de un pOlInOMIO

SeaP(x)unpolinomiodegradon1,siexisteKtalqueP()=0diremosqueesraz(ocero)delpolinomioP(x).

ejemplos:

DadoelpolinomioP(x)=x23x+2,seobservaque:

P(1)=123(1)+2=0 1esrazdeP(x)

P(1)=(1)23(1)+2=601noesrazdeP(x)

P(2)=223(2)+2=02esrazdeP(x)

DadoelpolinomioQ(x)=(2x1)(x2 + 1)(x22),seobservaque

Q Q Q Q Q12

2 20 0 0 0 0

( )

= = = = =; ; ;( ) ( ) ( )i i

y ,entonces 12; 2 ; 2 ;i;ison

racesdelpolinomioQ(x).

teorema (2)

SeaP(x)=a0xn+a1x

n1+a2xn2+...+an1x+anunpolinomiosobreZ.

Siesunnmeroracional(conpyqPESI)queesunarazdeP(x),entoncespesundivisorentero

deanyqesundivisorenterodea0.


-13-

demostracin

Como pq

esunarazdeP(x),entonces

a0

pq

apq

apq

apq

an n n

n

+

+

+ +

+

1

1

2

2

1... nn = 0 ..... (*)

Multiplicamosambosladosde(*)porqn:

a0pn+a1p

n1q+a2pn2q2+...+an1pq

n1+anqn=0

a0pn+a1p

n1q+a2pn2q2+....+an1pq

n1=anqn

a p +a p q+a p q +...+a q0n-1

1n-2

2n-3 2

n-1n-1

entero =

-a qpn

n

comopyqquesonPESIentoncespnodivideaqn.

Porlotantopesundivisorenterodean Anlogamente,de(*)podemosobtener:

a1pn1+a2p

n2q+a3pn3q2+...+an1pq

n2+anqn1= -a p

q0

n

yporunargumentosimilar,seconcluyequeqesdivisorenterodea0.

corolario

Lasposiblesracesracionales(PRR)delpolinomio

P(x)=a0xn+a1x

n1+a2xn2+...+an1x+an;cona0an0,estndadasporPRR=

divisores dedivisores de |a0

| ||

an

Porejemplo,paraelpolinomioP(x)=2x5x46x3+3x28x+4

setiene:PRR=

divisores dedivisores de

42

PRR=

1PRR= 1 ;

12

; ;;

; ;2 4

1 22 4

nota:

SielpolinomioP(x)esmnico,esdecira0=1,entoncesPRR={divisoresde|an|} Z

SielpolinomioP(x)admiteunarazracional,necesariamenteseencuentraenelconjuntoPRR.

Porejemplo,paraelpolinomioP(x)=x3x 6setienequePRR= {divisorde6}

= {1;2;3;6};esdecir,siadmiterazracionalestaesentera.ObserveP(2)=2326=0,

entonces2esrazdeP(x).

teorema (3) : teorema del factor

SeanP(x)unpolinomiodegradon1sobreKyK.EntoncesesunarazdeP(x)siyslosi(x)esunfactordeP(x).

corolario

P(x)esdivisiblepor(x),pues P( )xx

dejaresto:R=P()=0

P(x)=(x).Q(x),dondeQ(x)esotropolinomio.


-14-

Porejemplo,enelpolinomioP(x)=x33x2+3x2se tienequeP(2)=2

33(2)23(2)2=0,entonces2esrazdeP(x),porelteoremadelfactor:(x2)esunfactordeP(x).Luego,porel

corolarioP(x)=(x2).Q(x),dondeQ(x)=P( )xx-2

sehallaaplicandolaregladeRuffini.

Mtodo de los divisores Binmicos

Estemtodoseutilizaparafactorizarpolinomiosdegradon3sobreQ;generalmentedeunavariableyqueadmitenfactoreslineales.consisteenhallarracesracionalesparagenerarfactoreslinealesyseaplicalaregladeRuffiniparahallarotrosfactores.

ejemplos:

FactoriceelpolinomioP(x)=2x3+3x21sobreQ.

resolucin:

Veamoslasposiblesracesracionales:PRR=

divisores dedivisores de

12

PRR=

=

1 112

12

; ; ; ;12

1

comoP(1)=2(1)3+3(1)21=2+31=0 1esrazdeP(x).

(x+1)esfactordeP(x) P(x)=(x+1).Q(x) AplicamoslaregladeRuffiniparahallarQ(x)=

P1

( )xx +

2301

-1 211 Q(x)=2x2+x1.LuegoP(x)=(x+1)(2x

2+x+1)

2110

P(x)=(x+1)(2x-1)(x+1) P(x)= 212

1 2x x +( ) estfactorizadosobreQ.

Factoriceelpolinomiof(x)=6x3+x2+x+1sobreQ.

resolucin:

ObservequetodosloscoeficientesdeQ(x)sonpositivos,entoncessoloconsideramoslasposiblesracesracionalesnegativas.

PRR=

=

Divisoresde1Divisoresde6

PRR1

1 2 3 6; ; ;

PRR=

1

12

13

16

; ; ;

como f

=

+

+

+ = + + =1

2

3 2

612

12

12

134

14

12

1 0 12

esrazdef(x)

x +

12

esfactorde f f x qx x x( ) ( ) ( ). = +

12

Hallamos qf x

xx( )

( )=

+12

aplicandolaregladeRuffini


-15-

6 111

12 311 q(x)=6x

22x+2.Luego f x x x( )= x+12

( ) +6 2 22 622 0

f x x xx( ) = +

+( )2 12 3 12 estfactorizadosobreQ.

FactoriceelpolinomioG(x)=x52x42x3+7x28x+4sobreQ.

resolucin:

SeobservaqueG(1)=122+78+4=01esrazdeG(x) (x1)esfactordeG(x)G(x)=(x1).q(x)

AplicandolaregladeRuffiniseobtieneq(x)=x4x33x2+4x-4

Luegofactorizamosq(x)poraspadobleespecial:

x4x33x2+4x 4

x20x4

x2x1

q(x)=(x24)(x2x+1)q(x)=(x+2)(x2)(x

2x+1)

LuegoG(x)=(x1)(x+2)(x2)(x2x+1)estfactorizadosobreQ.

teorema(4)

TodopolinomiocbicoP(x)=a0x3+a1x

2+a2x+a3;a00sobreQ,quenoadmiterazracionales

irreductible.

corolario

Sia0=1elpolinomiocbicoesprimosobreQ.

PorejemploelpolinomioR(x)=x32x2+x 1tienePRR={1;1},peroR(1)=1y

R(1)=5,esdecir,noadmiterazracional. LuegoR(x)esirreductibley,comoesmnico,R(x)esprimosobreQ.

FactoriceelpolinomioS(x)=x43x2+x 2sobreQ.

resolucin:

SiaplicamoselaspadobleespecialnosdaremoscuentaqueS(x)nosepuedefactorizarpordichocriterio(verifquelo),entoncesvamosaplicarelmtododelosdivisoresbinmicos.

ComoS(2)=(-2)43(2)222=0 2esrazdeS(x)

(x+2)esfactordeS(x) S(x)=(x+2).q(x)

AplicandolaregladeRuffiniseobtieneq(x)=(x32x2+x 1)elcualesprimosobreQ(se

vienelejemploanterior).Porlotanto,S(x)=(x+2)(x32x2+x1)estfactorizadosobreQ.


-16-

teorema (5)

TodopolinomiodecuartogradoP(x)=a0x4+a1x

3+a2x2+a3x+a

4;a00sobreQ,quenoadmiteelaspadobleespecialytampocoadmiterazracional,esirreductiblesobreQ.

corolario

Sia0=1elpolinomiodecuartogradoesprimosobreQ.

Por ejemplo el polinomio P(x)=x43x2+x1 no admite aspa doble especial ni tiene raz

racional(verifquelo);porlotanto,esirreductiblesobreQycomoesmnico,esprimosobreQ.

teorema (6)

TodopolinomiocuadrticoP(x)=ax2+bx+csobreResirreductiblesiysolosisudiscriminante:

=b24acesnegativo.

ejemplos:

ElpolinomioP(x)=2x2x+1esirreductiblesobreR.

Enefecto,=(1)24(2)(1)=7(discriminantenegativo)

ElpolinomioQ(x)=x2+(1 2 )x 2 tienediscriminante=(1 2 )24( 2 )

=(1+ 2 )2noesnegativo, luegoes reductiblesobreR.Por lo tantosepuedefactorizar,asQ(x)=(x 2 )(x+1).

teorema (7)

TodopolinomiocuadrticoP(x)=ax2+bx+csobreCsiempreesreductiblesobreC.

ejemplos:

ElpolinomioP(x)=x2ix+2esreductiblesobreCysefactorizaas:P(x)=(x 2i)(x+i)

FactoriceelpolinomioQ(x)=x42x3+4x 4sobreR.

resolucin:

AplicandoaspadobleespecialobtenemosQ(x)=(x22)(x22x+2)

Q(x)=(x+ 2 )(x 2 )(x22x+2) est factorizado sobre R. Ntese que (x22x+2)

tienediscriminante:=4

factorizaciondepolinomios

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