exposición de cálculo ii

8/18/2019 Exposición de Cálculo II

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Problemas sobre el

teorema de ladivergencia

Integrantes:Pure Naupay Miguel ÁngelMéndez Mejía CarlosTauiri !alinas "isandro


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Teorema de la divergencia

En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, tambiénllamado teorema de Gauss es aquel que relaciona el fujo deun campo vectorial a través de una supercie cerrada con laintegral de su divergencia en el volumen delimitado por dichasupercie. Intuitivamente se puede concebir como la suma detodas las uentes menos la suma de todos los sumideros da elfujo de salida neto de una regi!n. Es un resultado importanteen "sica, sobre todo en electrostática # en dinámica de fuidos.$esde el punto de vista matemático es un caso particulardel teorema de %to&es.

donde el vector normal a la supercie apuntahacia el e'terior del volumen .


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1) Calcular el flujo del campo F( x ; y ; z) =(0; esen xz + tanz; y 2) a través del semielipsoisuperior 2 x 2 + 3y 2 + z2 = 6 z 0 con su normal apuntando !acia arri"a#

Oy

z

x S

1

S2

%oluci!n

(esolveremos esteproblema por el teoremade la divergencia. %iobservamos que div F )*, # llamando +ver guraS ) S- ∪ S # V elvolumen encerrado porS, podemos plantear/

(1)

6

2

3

0

0

div. por teor.

0ser por

=⋅⇒

⋅=⋅∇

=⋅∇

∫∫

∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

↓

↓

=⋅∇

S

S V

V

dV

dV

dSF

dSFF

F

F


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Nos interesa la integral no sobre toda la super#icie S$ sino s%lo sobre S&' Pueintegral es un concepto aditivo respecto al dominio de integraci%n$ tendrem

(emos ue la integral sobre S& es la misma ue la integral sobre S) cambiadaCalcularemos$ pues$ esta *ltima$ ue aparenta ser m+s sencilla$ dado ue laun vector vertical y adem+s la super#icie carece de componente z ' S) es unasobre el plano xy $ & x & , -y & . /$ ue puede ser parametrizada directamente coordenadas cartesianas como $0 x 1 y 2 . 0 x 0 x 1 y 21 y 0 x 1 y 21 z 0 x 1 y 22$ donde:

,

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ⋅−=⋅⇒=⋅+⋅=⋅ ↓

1221

0

(1) ec. por

S S S S S dSFdSFdSFdSFdSF

≤≤−

≤≤−

=

=

=

2

322

32 -2-2

33 ,

0 x y x

x

z

y y

x x


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donde los l"mites para x # y han sido despejados de la ecuaci!n delipse. 0ara esta parametri1aci!n, tenemos que el producto vectoundamental será/

%i ejecutáramos el 023 en el orden inverso, nos dar"a 4k .56uál debemos elegir7 El enunciado nos pide que la normal

de la supercie elipsoidal apunte hacia arriba, lo cual signicaque apunte hacia el e'terior del volumen indicado en lagura, que es el que usamos para plantear el teorema de ladivergencia. 0or lo tanto, para la base también deberemostomar la normal e'terior a dicho volumen, esto es, 4k .

k

k ji

TTN ==×=

010

001 y x


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Por lo tanto la integral ue buscamos vendr+ e3presada por:

"uego$ reemplazando en 0&2 tenemos

( ) ( )

π π 23

827

32

94

3

3

2/322/3

32

31

-33/2

-33/2

33

3 31

3

3

-33/2

-33/2

2

3

3

(2/3)-2

(2/3)-2

23

3

(2/3)-2

(2/3)-2

2

tablas

-32

)1;0;0();tan;0(

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

−=⋅−=

=−=−=−

−=−⋅+=⋅=⋅

↓

−−−− −

− −− −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫

dx xdydx ydydx y

ydydx yedS

x

x

x

x

x

xS

x

x

senxz

S

NFdSF

π 23

12

=⋅−=⋅ ∫∫ ∫∫ S S

dSFdSF


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2) %valuar el flujo del campo vectorial F(&;';) = &'i +('2 + )j +sen(&') a través la superficie frontera de la rei,n % acotada por el cilindro para",lico = 1 &2 '‑los planos = 0' = 0 ' + = 2#

%89:6I;<El problema invita a la transormaci!n de laintegral de fujo en alg=n otro tipo de integral paraevitar las complejidades que surgir"an deparametri1ar el segundo término de la segundacomponente del campo vectorial, # también parahacer una sola integral en ve1 de cuatro.

0ara aplicar el teorema de la divergenciacalculamosdiv F ) y + y ) > y


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Evaluaremos la integral de volumen de estaunci!n escalar tomando el dominio como unaregi!n de tipo >? esto es, una regi!nencerrada entre dos unciones de un dominiobidimensional ubicado sobre el plano xz .

!!!33div3"

1841

1

1

0

2

0

2

∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ −− −

=====⋅ x z

E E S

ydydzdx ydV dV FdSF

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