EXPERIMENTOS DE DIFRACCIÓN

I. OBJETIVOS

I.1 Estudiar el efecto de Difracción de la luz y determinar las

condiciones para que ocurra.

I.2 Determinar el radio de una abertura circular y los lados de

una red de Difracción.

II. FUNDAMENTO TEORICO

La difracción consiste en el efecto de desviación a la

dirección de propagación de una onda cuando encuentra algún

obstáculo en su camino, el cual altera la amplitud y fase de la

onda. La difracción se presenta en todos los tipos de ondas,

mecánicas como electromagnéticas, solo se produce cuando las

dimensiones del obstáculo es del orden de la longitud de onda de la onda. Veamos porque:

Consideremos una fuente puntual S, la cual emite frentes

de onda esféricos hacia un plano ∑ infinitamente alejado de S, ∑

posee una abertura de distancia =d (Fig.1). El fuente de onda

desde S llega prácticamente en forma de onda plana hasta ∑, por

el principio de Huygens los puntos desde A hasta B serán nuevas

fuentes de ondas esféricas coherentes analizando solo los frentes

de onda provenientes de A y B, entre estos dos se producirá

interferencia. Anteriormente habíamos demostrado que para 2

fuentes coherentes y con la misma amplitud, el termino de

interferencia viene dado por: I=4Io cos2 (δ/2).

1

FIGURA 1

Donde δ es el desfase, que es dado a su vez por: δ =K o , donde

es es la diferencia de camino óptico. En la Fig. 1, si se traza una

circunferencia de radio , que intercepte a en A´, es claro

que: =n ; por un teorema de la geometría plana:

´, entonces:

≤ max = nd (1,1)

Al observar el termino de interferencia, solo se tendrán máximos

cuando δ = 2π m, con m, un número entero.

δ = 2π m= m λ0= (1,2)

Entonces: m λ0≤ n d

(1.3)

En esta condición vemos que para que se produzca el efecto de

interferencia, d debe ser mayor que algún múltiplo de la longitud

de ondas, (1,3) no tendría sentido si m , por lo tanto solo se

cumple hasta un cierto valor de m, entonces escogiendo un m

adecuado:

(Condición para la difracción) (1.4)

Producto de la interferencia se tendrá una distribución de la

densidad de energía en función de la posición entonces si se

coloca una pantalla en el punto P, paralela a , se observará en

lo que se conoce como una “figura de difracción” [1].

Como hemos visto el principio de Huygens tal como esta ayuda a

explicar solo cualitativamente la propagación de las ondas. Sin

embargo, no nos dice nada sobre la intensidad y amplitud que

tendrá el frente de onda en cada punto del espacio, por lo cual no

explica la formación de una figura de difracción. Fresnel se dio

cuenta de esto, y añadió el concepto de interferencia a este

principio, el cual es llamado desde entonces [1] [2]:

2

Principio de Huygens – Fresnel :

“Cada punto libre de obstáculos de un frente de onda actúa como una fuente

secundaria de ondas esféricas, cada una con la misma frecuencia que la de la

fuente, la amplitud de la onda resultante en cada punto del espacio, es la

superposición de todos las fuentes de ondas considerando sus amplitudes y

desfases respectivos en dicho punto”.

Sea una superficie arbitraria A, el campo total en algún punto

debería de hallarse sumando la contribución de cada fuente en un

área infinitesimal, ; entonces según Fresnel el campo total se

halla mediante calculo directo, es decir:

(1.5)

Que es el principio de Huygens - Fresnel expresado de forma

integral;“ ” se denomina coeficiente de eficacia de la fuente, y

es la distancia de hasta algún punto P (Fig. 2) [2] [3].

FIGURA 2

Para nuestro caso A vendría a ser el área de una rendija de lados

b y D ; podemos considerar de ancho muy pequeño a y largo D,

es similar a un sistema de N osciladores coherentes, cada uno con

un campo , dado por .En el anexo A.1 se

demuestra que la intensidad vendrá dada por:

(1.6)

En la figura 2, imaginaremos que A es una superficie esférica, es

decir representa un frente de onda, si la distancia es

relativamente corta; hasta P llegaran frentes de onda de forma

3

esférica, a esta forma de estudiar la difracción se le denomina

Difracción de Fresnel, o de campo cercano. Ahora si hacemos

que tendrá al infinito, hasta P llegaran frentes de onda

prácticamente planos, y esta es otra forma de estudiar la

difracción es llamada Difracción de Fraunhofer o de campo

lejano, que como vemos es un caso especial de la primera, pero

resulta un modelo mas sencillo de describir la difracción. Y

además basado en este, es como estudiaremos la difracción

ahora, pues haremos que la distancia y (es decir fuente-

rendija, y rendija-pantalla) sean mucho mas grande en

comparación de las dimensiones de la abertura entre S y P.

Aplicando (1,5) es posible encontrar las distribuciones de

intensidad para una abertura cuadrada, circular y una red de

difracción de esta forma:

a. En una abertura circular : Se debe de tener una desviación

simétrica respecto al eje que conecta abertura, pantalla y

fuente la ec. (1,6) da los máximos y mínimos de intensidad

respecto a una abertura angosta entonces si se conoce la

grafica de (1,6) I vs. ,por simetría si se rotara la grafica, se

obtendría algún tipo de distribución circular de intensidad,

(Véase grafica a.1 en los anexos), aquí se tienen las llamadas

anillos de Airy. En donde el diámetro del primer anillo viene

dado por:

(1.7)

En donde es el ángulo que se observa en la figura 3:

FIGURA 3

4

b. En una red de Difracción: Las separaciones entre los máximos y

mínimas vendrán dadas por:

(1.8)

Donde a y b son dados según la figura 4 y cuando m1=m2=1,

nos dan la separación entre los 2 primeros máximos con

respecto al centro al centro.

FIGURA 4

Las deducciones de (1,7) y (1,8) pueden verse en los anexos:

III. EQUIPO EXPERIMENTAL

III.1 Abertura circular

III.2 Rejilla Bidimensional

III.3 Láser (Luz monocromática roja)

III.4 Papelografo (como pantalla)

III.5 Regla y Wincha

III.6 Soporte o base

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

IV.1 Determinación del radio de una abertura circular.

IV.1.1Se colocó la placa con la rejilla en un soporte

ajustable, el papelografo se pegó en la pared para

hacer la de pantalla, se dispuso el sistema como en la

figura 3, y se midió con la wincha l,L y d como la

muestra la figura 5: se repitió el procedimiento 3

veces.

IV.2 Determinación de los lados de una rejilla rectangular.

IV.2.1Se repitió lo mismo que en 4.1 pero usando la placa

con la rejilla rectangular como en la figura 4, y se

5

midiera l L, x, y en la figura 6, encontrándose siempre

que x=y , para 3 datos.

Todos los cuadros se hallan en las tablas N° 1 y 2.

V. DATOS EXPERIMENTALES

V.1 Medición del radio en una rejilla circular.

Según el diagrama siguiente se obtuvieron las distancias:

FIGURA 5

TABLA N °1: Medición del radio de la rejilla circular

N° d(mm )

±0.05mm

L(cm)

±0.05cm

l(cm)

±0.05cm

1 7.80 141.00 68.00

2 9.50 157.00 54.00

3 11.40 180.00 30.00

V.2 Calculo de los lados de una rejilla rectangular:

Según el diagrama:

FIGURA 6

6

TABLA N °2: Medición de los lados de una rejilla rectangular

N° X=Y(mm )

±0.05mm

L(cm)

±0.05cm

l(cm)

±0.05cm

1 4.00 147.00 147.00

2 3.50 135.00 135.00

3 3.00 120.00 120.00

Ademas se obtuvo como dato nominal la longitud de onda λ

del laser:

VI. CÁLCULOS Y RESULTADOS

VI.1 Cálculo del radio de la rejilla circular:

De (1,7) según el procedimiento experimental realizado en

nuestro caso se aproxima a:

(i)

Siendo y ; los errores relativo y absoluto del

número A es evidente que al calcular el error propagado en

D se tendrá:

Esto es debido a que es un dato considerado como

constante; entonces:

(6.1)

Entonces con los datos de la tabla N°1 se calcula D i y para

i=1,2,3:

También: (6.2)

7

Además:

Calculando el valor medio y la desviación estándar :

Entonces el mejor valor del diámetro del agujero:

De donde es fácil observar que el valor del radio de la abertura es:

6.2 Calculo de las dimensiones de la rejilla bidimensional:

Experimentalmente se encontró que las distancias X e Y entre los

maximos eran iguales, como para este caso en las 2 ecuaciones en

(1.8) se tiene que , se deduce que vla rejilla era cuadrada

por lo tanto hallaremos su lado :

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.6)

8

Entonces , de donde:

(ii)

La expresión (ii) es similar a (i), por lo tanto se deduce que viene

dado por:

(6.7)

Entonces procediendo al calculo de , con i=1,2,3:

De lo cual:

(6.8)

También:

(6.9)

Además: (6.10)

Calculando el valor medio y la desviación estándar :

9

Entonces el lado de la abertura de la rendija es:

(6.11)

Equivalente a:

Ahora resumamos resultados y veamos la relación que hay tanto entre con

y con :

Tabla N°3: Resultados para y , además / y / .( )

Diámetro

de

agujero

Lado de

abertura

de rendija

( )

2.97±0.02 440.7 2.33±0.03 36.8

2.55±0.01 402.8 2.44±0.04 38.5

2.44±0.01 385.5 2.54±0.04 40.1

2.6±0.2 410.7 2.4±0.1 37.9

VII. OBSERVACIONES

7.1. Para realizar los cálculos, se aproximaron las expresiones

a , para sustentar este hecho comparemos los

cocientes: d/L y X/L, con la unidad, para d, X máximas:

d / L = 11.4 x 10 -3m / 1.80 m = 0.0063 <<1

X / L = 4 x 10 -2m / 1.47 m = 0.0027 <<1

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De donde vemos que si tiene sentido haber realizado estas

aproximaciones.

7.2. De la tabla 3 vemos que los valores tanto del diámetro D

del agujero, como del lado del cuadrado de la rendija son

muy pequeños, pero al compararlos con la longitud de onda

el mejor valor estimado de D y a es:

Entonces si revisamos de nuevo la aproximación hecha en

(1.4) vemos que tanto la suposición que m podría ser algo

grande en ,es confirmada experimentalmente pues

como hemos visto la difracción se ha observado tanto en el

caso de los anillos de Airy, como en la red de difracción.

7.3. Con un poco de perspicacia podemos darnos cuenta a que

en todo el estudio de la difracción hemos usado la

interferencia. Es un error muy común pensar que difracción

e interferencia son la misma cosa, sin embargo debemos de

recalcar: la interferencia nos ha servido como herramienta para

explicar la difracción, además al inicio de la sección 2 se da el

concepto de difracción, muy distinto al de interferencia

(véase anexos).

VIII. CONCLUSIONES

8.1. Experimentalmente hemos hallado los mejores valores, tanto

para el diámetro D de la rendija y el lado de la malla

rectangular , con:

D =2.6 0.2 x 10 –4 m (6.5)

= 2.4 0.1 x 10 –5 m (6.11)

Sin embargo estos valores son grandes en comparación con

=633nm

11

8.2. Lo anterior según (1,4) y la tabla 3 tendrá sentido si es que D

≈ 411; este es tal vez este es valor mínimo permisible a

partir del cual se observa la difracción.

8.3. De todo lo visto anteriormente, podemos intentar dar otra

forma de ver el concepto difracción:

Esta es el resultado de la interferencia de fuentes coherentes provenientes

todos desde un mismo fuente de onda común, cuando dicha fuente

encuentra algún obstáculo al propagarse.¨

8.4. Con el fenómeno de Difracción visto, volvemos a comprobar

que la luz es una onda.

IX. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] HETCH, EUGENE: ÓPTICA: TERCERA EDICIÓN: ESPAÑA:

PEARSON EDUCATION: 2000

páginas: de 441 a 442, 456 a 474

[2] FRISH, S.; TIMOREVA, A.: CURSO DE FÍSICA GENERAL .TOMO

3: MOSCÚ. EDITORIAL MIR. 1973.

páginas: 88 – 89 – 114 – 132 - 133

[3] VALERA, ANIBAL; EYZAGUIRRE, CARMEN: ÓPTICA FÍSICA:

LIMA. EDITORIAL HOZLO .1997.

páginas: 121 – 122 – 140 – 141 - 142

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