Download - EXPERIMENTOS DE DIFRACCIÓN
EXPERIMENTOS DE DIFRACCIÓN
I. OBJETIVOS
I.1 Estudiar el efecto de Difracción de la luz y determinar las
condiciones para que ocurra.
I.2 Determinar el radio de una abertura circular y los lados de
una red de Difracción.
II. FUNDAMENTO TEORICO
La difracción consiste en el efecto de desviación a la
dirección de propagación de una onda cuando encuentra algún
obstáculo en su camino, el cual altera la amplitud y fase de la
onda. La difracción se presenta en todos los tipos de ondas,
mecánicas como electromagnéticas, solo se produce cuando las
dimensiones del obstáculo es del orden de la longitud de onda de la onda. Veamos porque:
Consideremos una fuente puntual S, la cual emite frentes
de onda esféricos hacia un plano ∑ infinitamente alejado de S, ∑
posee una abertura de distancia =d (Fig.1). El fuente de onda
desde S llega prácticamente en forma de onda plana hasta ∑, por
el principio de Huygens los puntos desde A hasta B serán nuevas
fuentes de ondas esféricas coherentes analizando solo los frentes
de onda provenientes de A y B, entre estos dos se producirá
interferencia. Anteriormente habíamos demostrado que para 2
fuentes coherentes y con la misma amplitud, el termino de
interferencia viene dado por: I=4Io cos2 (δ/2).
1
FIGURA 1
Donde δ es el desfase, que es dado a su vez por: δ =K o , donde
es es la diferencia de camino óptico. En la Fig. 1, si se traza una
circunferencia de radio , que intercepte a en A´, es claro
que: =n ; por un teorema de la geometría plana:
´, entonces:
≤ max = nd (1,1)
Al observar el termino de interferencia, solo se tendrán máximos
cuando δ = 2π m, con m, un número entero.
δ = 2π m= m λ0= (1,2)
Entonces: m λ0≤ n d
(1.3)
En esta condición vemos que para que se produzca el efecto de
interferencia, d debe ser mayor que algún múltiplo de la longitud
de ondas, (1,3) no tendría sentido si m , por lo tanto solo se
cumple hasta un cierto valor de m, entonces escogiendo un m
adecuado:
(Condición para la difracción) (1.4)
Producto de la interferencia se tendrá una distribución de la
densidad de energía en función de la posición entonces si se
coloca una pantalla en el punto P, paralela a , se observará en
lo que se conoce como una “figura de difracción” [1].
Como hemos visto el principio de Huygens tal como esta ayuda a
explicar solo cualitativamente la propagación de las ondas. Sin
embargo, no nos dice nada sobre la intensidad y amplitud que
tendrá el frente de onda en cada punto del espacio, por lo cual no
explica la formación de una figura de difracción. Fresnel se dio
cuenta de esto, y añadió el concepto de interferencia a este
principio, el cual es llamado desde entonces [1] [2]:
2
Principio de Huygens – Fresnel :
“Cada punto libre de obstáculos de un frente de onda actúa como una fuente
secundaria de ondas esféricas, cada una con la misma frecuencia que la de la
fuente, la amplitud de la onda resultante en cada punto del espacio, es la
superposición de todos las fuentes de ondas considerando sus amplitudes y
desfases respectivos en dicho punto”.
Sea una superficie arbitraria A, el campo total en algún punto
debería de hallarse sumando la contribución de cada fuente en un
área infinitesimal, ; entonces según Fresnel el campo total se
halla mediante calculo directo, es decir:
(1.5)
Que es el principio de Huygens - Fresnel expresado de forma
integral;“ ” se denomina coeficiente de eficacia de la fuente, y
es la distancia de hasta algún punto P (Fig. 2) [2] [3].
FIGURA 2
Para nuestro caso A vendría a ser el área de una rendija de lados
b y D ; podemos considerar de ancho muy pequeño a y largo D,
es similar a un sistema de N osciladores coherentes, cada uno con
un campo , dado por .En el anexo A.1 se
demuestra que la intensidad vendrá dada por:
(1.6)
En la figura 2, imaginaremos que A es una superficie esférica, es
decir representa un frente de onda, si la distancia es
relativamente corta; hasta P llegaran frentes de onda de forma
3
esférica, a esta forma de estudiar la difracción se le denomina
Difracción de Fresnel, o de campo cercano. Ahora si hacemos
que tendrá al infinito, hasta P llegaran frentes de onda
prácticamente planos, y esta es otra forma de estudiar la
difracción es llamada Difracción de Fraunhofer o de campo
lejano, que como vemos es un caso especial de la primera, pero
resulta un modelo mas sencillo de describir la difracción. Y
además basado en este, es como estudiaremos la difracción
ahora, pues haremos que la distancia y (es decir fuente-
rendija, y rendija-pantalla) sean mucho mas grande en
comparación de las dimensiones de la abertura entre S y P.
Aplicando (1,5) es posible encontrar las distribuciones de
intensidad para una abertura cuadrada, circular y una red de
difracción de esta forma:
a. En una abertura circular : Se debe de tener una desviación
simétrica respecto al eje que conecta abertura, pantalla y
fuente la ec. (1,6) da los máximos y mínimos de intensidad
respecto a una abertura angosta entonces si se conoce la
grafica de (1,6) I vs. ,por simetría si se rotara la grafica, se
obtendría algún tipo de distribución circular de intensidad,
(Véase grafica a.1 en los anexos), aquí se tienen las llamadas
anillos de Airy. En donde el diámetro del primer anillo viene
dado por:
(1.7)
En donde es el ángulo que se observa en la figura 3:
FIGURA 3
4
b. En una red de Difracción: Las separaciones entre los máximos y
mínimas vendrán dadas por:
(1.8)
Donde a y b son dados según la figura 4 y cuando m1=m2=1,
nos dan la separación entre los 2 primeros máximos con
respecto al centro al centro.
FIGURA 4
Las deducciones de (1,7) y (1,8) pueden verse en los anexos:
III. EQUIPO EXPERIMENTAL
III.1 Abertura circular
III.2 Rejilla Bidimensional
III.3 Láser (Luz monocromática roja)
III.4 Papelografo (como pantalla)
III.5 Regla y Wincha
III.6 Soporte o base
IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
IV.1 Determinación del radio de una abertura circular.
IV.1.1Se colocó la placa con la rejilla en un soporte
ajustable, el papelografo se pegó en la pared para
hacer la de pantalla, se dispuso el sistema como en la
figura 3, y se midió con la wincha l,L y d como la
muestra la figura 5: se repitió el procedimiento 3
veces.
IV.2 Determinación de los lados de una rejilla rectangular.
IV.2.1Se repitió lo mismo que en 4.1 pero usando la placa
con la rejilla rectangular como en la figura 4, y se
5
midiera l L, x, y en la figura 6, encontrándose siempre
que x=y , para 3 datos.
Todos los cuadros se hallan en las tablas N° 1 y 2.
V. DATOS EXPERIMENTALES
V.1 Medición del radio en una rejilla circular.
Según el diagrama siguiente se obtuvieron las distancias:
FIGURA 5
TABLA N °1: Medición del radio de la rejilla circular
N° d(mm )
±0.05mm
L(cm)
±0.05cm
l(cm)
±0.05cm
1 7.80 141.00 68.00
2 9.50 157.00 54.00
3 11.40 180.00 30.00
V.2 Calculo de los lados de una rejilla rectangular:
Según el diagrama:
FIGURA 6
6
TABLA N °2: Medición de los lados de una rejilla rectangular
N° X=Y(mm )
±0.05mm
L(cm)
±0.05cm
l(cm)
±0.05cm
1 4.00 147.00 147.00
2 3.50 135.00 135.00
3 3.00 120.00 120.00
Ademas se obtuvo como dato nominal la longitud de onda λ
del laser:
VI. CÁLCULOS Y RESULTADOS
VI.1 Cálculo del radio de la rejilla circular:
De (1,7) según el procedimiento experimental realizado en
nuestro caso se aproxima a:
(i)
Siendo y ; los errores relativo y absoluto del
número A es evidente que al calcular el error propagado en
D se tendrá:
Esto es debido a que es un dato considerado como
constante; entonces:
(6.1)
Entonces con los datos de la tabla N°1 se calcula D i y para
i=1,2,3:
También: (6.2)
7
Además:
Calculando el valor medio y la desviación estándar :
Entonces el mejor valor del diámetro del agujero:
De donde es fácil observar que el valor del radio de la abertura es:
6.2 Calculo de las dimensiones de la rejilla bidimensional:
Experimentalmente se encontró que las distancias X e Y entre los
maximos eran iguales, como para este caso en las 2 ecuaciones en
(1.8) se tiene que , se deduce que vla rejilla era cuadrada
por lo tanto hallaremos su lado :
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
8
Entonces , de donde:
(ii)
La expresión (ii) es similar a (i), por lo tanto se deduce que viene
dado por:
(6.7)
Entonces procediendo al calculo de , con i=1,2,3:
De lo cual:
(6.8)
También:
(6.9)
Además: (6.10)
Calculando el valor medio y la desviación estándar :
9
Entonces el lado de la abertura de la rendija es:
(6.11)
Equivalente a:
Ahora resumamos resultados y veamos la relación que hay tanto entre con
y con :
Tabla N°3: Resultados para y , además / y / .( )
Diámetro
de
agujero
Lado de
abertura
de rendija
( )
2.97±0.02 440.7 2.33±0.03 36.8
2.55±0.01 402.8 2.44±0.04 38.5
2.44±0.01 385.5 2.54±0.04 40.1
2.6±0.2 410.7 2.4±0.1 37.9
VII. OBSERVACIONES
7.1. Para realizar los cálculos, se aproximaron las expresiones
a , para sustentar este hecho comparemos los
cocientes: d/L y X/L, con la unidad, para d, X máximas:
d / L = 11.4 x 10 -3m / 1.80 m = 0.0063 <<1
X / L = 4 x 10 -2m / 1.47 m = 0.0027 <<1
10
De donde vemos que si tiene sentido haber realizado estas
aproximaciones.
7.2. De la tabla 3 vemos que los valores tanto del diámetro D
del agujero, como del lado del cuadrado de la rendija son
muy pequeños, pero al compararlos con la longitud de onda
el mejor valor estimado de D y a es:
Entonces si revisamos de nuevo la aproximación hecha en
(1.4) vemos que tanto la suposición que m podría ser algo
grande en ,es confirmada experimentalmente pues
como hemos visto la difracción se ha observado tanto en el
caso de los anillos de Airy, como en la red de difracción.
7.3. Con un poco de perspicacia podemos darnos cuenta a que
en todo el estudio de la difracción hemos usado la
interferencia. Es un error muy común pensar que difracción
e interferencia son la misma cosa, sin embargo debemos de
recalcar: la interferencia nos ha servido como herramienta para
explicar la difracción, además al inicio de la sección 2 se da el
concepto de difracción, muy distinto al de interferencia
(véase anexos).
VIII. CONCLUSIONES
8.1. Experimentalmente hemos hallado los mejores valores, tanto
para el diámetro D de la rendija y el lado de la malla
rectangular , con:
D =2.6 0.2 x 10 –4 m (6.5)
= 2.4 0.1 x 10 –5 m (6.11)
Sin embargo estos valores son grandes en comparación con
=633nm
11
8.2. Lo anterior según (1,4) y la tabla 3 tendrá sentido si es que D
≈ 411; este es tal vez este es valor mínimo permisible a
partir del cual se observa la difracción.
8.3. De todo lo visto anteriormente, podemos intentar dar otra
forma de ver el concepto difracción:
Esta es el resultado de la interferencia de fuentes coherentes provenientes
todos desde un mismo fuente de onda común, cuando dicha fuente
encuentra algún obstáculo al propagarse.¨
8.4. Con el fenómeno de Difracción visto, volvemos a comprobar
que la luz es una onda.
IX. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] HETCH, EUGENE: ÓPTICA: TERCERA EDICIÓN: ESPAÑA:
PEARSON EDUCATION: 2000
páginas: de 441 a 442, 456 a 474
[2] FRISH, S.; TIMOREVA, A.: CURSO DE FÍSICA GENERAL .TOMO
3: MOSCÚ. EDITORIAL MIR. 1973.
páginas: 88 – 89 – 114 – 132 - 133
[3] VALERA, ANIBAL; EYZAGUIRRE, CARMEN: ÓPTICA FÍSICA:
LIMA. EDITORIAL HOZLO .1997.
páginas: 121 – 122 – 140 – 141 - 142
12