exercicis estratègia resolució problemes

7/26/2019 Exercicis Estratgia Resoluci Problemes

1/8

Estrategies de resolucio de problemes

Exercicis

DCT. Curs 2015-16

1. Demostra que per a qualsevol parella denters m, n, el nombre 2 esta

sempre entre m

n i

m + 2n

m

2. Troba totes les arrels del polinomi x4 + x3 + x2 + x + 1.

3. Sigui Sun conjunt iuna operacio en Sque satisfa les propietats:(a) x x= x, per tot xS(b) (x

y)

z= (y

z)

x per tot x, y,z

S

Demostra que x y=y x, per tot x, yS4. Sigui Sun conjunt iuna operacio en Sque satisfa les propietats:

(a) x (x y) =y , per tot x, yS(b) (y x) x= y per tot x,y, S

Demostra que x y=y x, per tot x, yS5. Sigui a0(0, 1) i defineix an de la forma seguent:

an=

1 + an1

2

12

, n >0

Sigui ara An= 4n(1 an). Calcula limn An

6. Calcula la integral 2

0

dx

1 + (tan x)2

1


2/8

A B

X

Y

M

N DC

Figura 1: La corda M N es mou sobre la semicircumferencia.

7. Els dos extrems duna corda de longitud constant es mouen sobre unasemicircumferencia (vegeu la figura 1). El punt mig de la corda i lesprojeccions dels seus extrems sobre la base formen els vertexs duntriangle. Demostra que, sigui quina sigui la posicio de la corda, eltriangle es isosceles i que, a mes, la seva forma no varia, es a dir queels triangles resultants al moure la corda son sempre semblants..

8. Sigui P un punt de la grafica de f(x) = ax3 +bx. Sigui Q el puntdinterseccio de f(x) amb la tangent a f(x) per P. Demostra que silabscissa de P es x0, aleshores la de Q es2x0.

9. Siguin

(a) f(x) un polinomi de tercer grau i P un punt de la grafica dey= f(x)

(b) TP(x) la tangent a f(x) per P i Q el punt dinterseccio de f(x) iTP(x).

(c) Alarea de la regio limitada per f(x) i el segment P Q.

(d) B la regio definida de la mateixa forma a partir de Q.

Determina la relacio entre Ai B.

10. Considera totes les lnies que coincideixen amb la grafica de y = 2x4 +7x3 + 3x 5 en quatre punts distints de coordenades (xi, yi), i =1, 2, 3, 4. Demostra que

x1+ x2+ x3+ x44

es independent de la lnia i

calcula el seu valor.

2


3/8

11. Sigui a, b

R tals que a > b > 0. Definim les successions

{xn

}n

N i

{yn}nN mitjancant les recurrencies seguents: x0 = a, y0 = b i per totn >0

xn+1=xn+ yn

2 yn+1=

2xnynxn+ yn

Demostra que les dues successions tenen lmit i que son iguals.

12. Troba totes les solucions del sistema dequacions:

x1+ x2 = x23

x2+ x3 = x24

x3+ x4 = x25

x4+ x5 = x21x5+ x1 = x

22

13. Troba les solucions del sistema:

(x + y)3 = z(y+ z)3 = x(z+ x)3 = y

14. Demostra que, per tot x Rx2 + 2

x2 + 12

15. Demostra que si aj >0 per j = 1, . . . , ni a1 a2 an= 1, aleshores:

(1 + a1)(1 + a2) (1 + an)2n

16. Hi ha n persones en una sala. Demostra que al manco hi ha duespersones amb el mateix nombre de coneguts entre els assistents.

17. Siguin a1, a2, . . . , an, n nombres naturals, no necessariament distints.Demostra que existeix un subconjunt daquests nombres tal que la sevasuma es divisible per n.

18. A partir del tercer, cada terme de la successio 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, . . .,sobte sumant els dos anteriors modul 10. Demostra que la successio esperiodica. Quina es la llargada maxima del perode?

19. Demostra que per a cada n N hi ha un terme de la successio deFibonacci que acaba amb n zeros.

3


4/8

20. Troba totes les solucions contnues de les equacions funcionals

(a) f(x + y) =f(x)f(y)

(b) f(xy) =f(x) + f(y) x, y >0

(c) f(xy) =f(x)f(y) x, y >0

(d) f(x + y) =f(x) + f(y) + f(x)f(y)

(e) f(x + y) =g(x) + h(y)

(f) f

x + y

2

=

f(x) + f(y)

2

21. Troba les solucions continues i estrictament positives de lequacio fun-cional

f(x + y) = f(x)f(y)

f(x) + f(y)

22. Troba tots els polinomis que satisfacin la igualtat:

p(x + 1) =p(x) + 2x + 1

23. Troba totes les solucions contnues de les equacions funcionals :

(a) f(x + y) + f(x y) = 2f(x)(b) f(x + y) + f(x y) = 2f(x)cos y

24. Troba totes les funcions contnues que transformen tres termes dunaprogressio aritmetica en tres termes duna progressio aritmetica.

25. Troba totes les funcions contnues que transformen tres termes dunaprogressio aritmetica en tres termes duna progressio geometrica.

26. Els extrems duna corda AB duna circumferencia de radi R abastenun angle inscrit a la circumferencia damplitud . Demostra que

AB= 2R sin

27. Siguin , , els tres angles dun triangle. Demostra que

sin cos( )+sin cos( )+sin cos( ) = 4sin sin sin

28. Siguin A, B , C els tres vertexs dun triangle de circumcentre O. LeslniesAO,BO,COtallen els costats oposats a D, E , F respectivament.Demostra que

1

AD+

1

BE+

1

CF =

2

R

4


5/8

B

A

CO

P

D

29. Sigui T un triangle dalcades ha, hb, hc i sigui r el radi de la circum-ferencia inscrita a T. Demostra que

1

ha+

1

hb+

1

hc=

1

r

(Indicacio: Calcula larea del triangle de dues maneres diferents).

30. Si a, b, c son enters imparells, demostra que lequacio ax2 + bx + c= 0no pot tenir cap arrel racional.

31. Resol lequacio:

(x2 3x + 3)2 3(x2 3x + 3) + 3 =x

32. Determina si es possible definir el polinomih(x) =x a partir de sumes,restes i productes dels polinomis:

a) f(x) =x2 + x ; g(x) =x2 + 2b) f(x) = 2x2 + x ; g(x) = 2xc) f(x) =x2 + x ; x2 2

33. Donat un polinomi de segon grau ax2 +bx + c, podem fer dos tipusdoperacions:

(a) Canviarai c,

(b) Canviarx per x + t, on t es un nombre real qualsevol.

5


6/8

Es possible passar del polinomi x2

x

2 al polinomix2

x

1 nomes

per aplicacio reiterada daquestes operacions?

34. (Desigualtat de Cauchy-Schwarz). Demostra que si ai, bi R, peri= 1, . . . , n, aleshores:

(a1b1+ + anbn)2 (a21+ + a2n)(b21+ + b2n)Indicacio: Considera els polinomis aix + bi.

35. Siguina, b, cnombres reals positius tals que 1

1 + a+

1

1 + b+

1

1 + c= 1.

Demostra que3 + a + b + c a + b + c

36. Siguin a, bdos nombres reals tals que a + b0. Demostra quea

b2+

b

a2 1

a+

1

b

37. Troba les solucions positives del sistema:

x1+ 1

x2= 4, x2+

1

x3= 1, . . . , x99+

1

x100= 4, x100+

1

x1= 1

Indicacio: demostra primer que x +1

y 2

x

y.

38. Demostra la desigualtat:

(a3 a + 2)2 >4a2(a2 + 1)(a 2)

39. Determinar a i bper tal que el nombre 62ab427 sigui multiple de 99.

40. Resol lequacio seguent, on x, y son nombres positius:

(360 + 3x)2 = 492y04

41. Demostra que el producte de 4 naturals consecutius es pot expressarcom el quadrat dun natural menys 1, es a dir, existeix un natural p talque:

a(a + 1)(a + 2)(a + 3) =p2 142. Demostra que tots els nombres de la forma 1007, 10017, 100117, ... son

divisibles per 53

6


7/8

43. Demostra que tots el nombres de la forma 12008,120308, 1203308, ...

son divisibles per 19.

44. Demostra que, per tot n N, f(n) =g(n), on

f(n) = 112

+1

3 + 1

2n 1 1

2n i g(n) =

1

n + 1+ + 1

2n

45. Sigui{an}nN la successio de Fibonacci, es a dir a0 = 0, a1 = 1, an =an1+ an2 per n1.

(F0) Comprova que aquesta successio tambe es pot definir a traves del

producte de matrius:an+2an+1

=

1 11 0

an+1

an

(F1) Demostra que 1 11 0

n=

an+1 an

an an1

46. Sigui{an}nN la successio de Fibonacci. Demostra les seguents igual-tats:

(F2)n

i=1 a2i =anan1

(F3) an1an+1= a2n+ (1)n. (Igualtat de Cassini)(F4) a1+ + an=an+21(F5) a1+ a3+ a2n+1 = a2n+2 i 1 + a2+ + a2n=a2n+1(F6) am+n=am+1an+ aman1

(F7) a2n1+ a2n=a2n1

(F8) anan+1 an2an1=a2n1

(F9) an+1an+2 anan+3= (1)n

(F10) a2n+ 2an1an = a2n

(F11) an(an+1+ an1) =a2n

(F12) a1a2+ a2a3+ + a2n1a2n=a22n(F13) a3n+ a

3n+1 a3n1=a3n

47. Demostra que:

(F14) Si m|n aleshores am|an.

7


8/8

(F15) Per totn

4, an i an

1 son coprimers.

(F16) mcd(am, an) =amcd(m,n)

48. Considera les matrius

D=

00 ()1

S=

()11 1

on es el nombre dor (i.e. =1 +

5

2 ).

(a) Comprova que

S1 =

1 (1)1

i que

1 11 0

=S DS1

(b) Demostra que:

1 11 0

n=S

n 00 ()n

S1

(c) Demostra que sianes el terme enessin de la successio de Fibonacci,aleshores

an = n ()n

5

8

exercicis estratègia resolució problemes

Documents