exer 1 algebra abstracta ing informatica civil 2015 ucm

Universidad Cat´ olica del Maule Facultad de Ciencias B´ asicas Departamento de Matem´ atica Ingenier´ ıa Civil Inform´ atica Asignatura: ´ Algebra Abstracta Jorge Gonzalez-Lorca Invierno, Mayo 2015 Ejercicios 1. Grupos y Homomorfismo 1. Resolver en el grupo (Z * 35 , × 35 ) las siguientes ecuaciones a) 8 · X =7 4 b) 12 -1 · X = 23 · 9 -2 c) 9 · X -1 · 4 = (13 · X 2 · 6) -1 d) 21 · X = 28 donde · = × 35 y Z * 35 = {m ∈ Z 35 | m 6=0, mcd(m, 35) = 1}. 2. Considere el conjunto G = n 1 - x x x 1 - x x ∈ R,x 6= 1 2 o a) Demuestre que G es un grupo con la multiplicaci´ on de matrices. ¿Es un grupo conmutativo? b) Por otra parte se define el conjunto H = {x ∈ R | x 6= 1 2 } y la operaci´ on binaria x * y = x + y - 2xy Demuestre que (H, *) es un grupo conmutativo c) Se define la funci´ on f : H → G tal que x 7-→ 1 - x x x 1 - x Demuestre que f es un isomorfismo de grupos (es decir: f es homomorfismo de grupos y biyectiva). 3. Sea G = {(a, b) ∈ R 2 | a 6=0}. Se define la operaci´ on binaria * : G × G → G por (a, b) * (c, d)=(ac, ad + b) a) Demuestre que (G, *) es un grupo. Determine el elemento neutro de G y el inverso del elemento (a, b) de G. ¿Es G conmutativo ? b) Sean α = (2, 1),β = (8, 4),γ =(-3, 7). Determine X 3 sabiendo que α -1 * X * α = β 2 * γ -1 . (donde θ -1 indica el elemento inverso, en el grupo G, de θ ∈ G y ε 2 = ε * ε). c) Demuestre que K = n a b 0 1 a 6=0 o es un subgrupo de GL 2 (R). d) Compruebe que la funci´ on f : G → K tal que (a, b) 7-→ a b 0 1 es un isomorfismo de grupos (es decir, f es homomorfismo de grupos y biyectiva) Jorge Gonzalez-Lorca / Invierno, Mayo 2015. 1

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Universidad Catolica del MauleFacultad de Ciencias BasicasDepartamento de Matematica Ingeniera Civil Informatica

Asignatura: Algebra AbstractaJorge Gonzalez-Lorca Invierno, Mayo 2015

Ejercicios 1. Grupos y Homomorfismo

1. Resolver en el grupo (Z35,35) las siguientes ecuaciones

a) 8 X = 74 b) 121 X = 23 92 c) 9 X1 4 = (13 X2 6)1 d) 21 X = 28

donde = 35 y Z35 = {m Z35 |m 6= 0,mcd(m, 35) = 1}.

2. Considere el conjunto G ={(

1 x xx 1 x

) x R, x 6= 12}a) Demuestre que G es un grupo con la multiplicacion de matrices. Es un grupo conmutativo?

b) Por otra parte se define el conjunto H = {x R | x 6= 12} y la operacion binariax y = x+ y 2xy

Demuestre que (H, ) es un grupo conmutativoc) Se define la funcion

f : H G tal que x 7(

1 x xx 1 x

)Demuestre que f es un isomorfismo de grupos (es decir: f es homomorfismo de grupos ybiyectiva).

3. Sea G = {(a, b) R2 | a 6= 0}. Se define la operacion binaria : GG G por(a, b) (c, d) = (ac, ad+ b)

a) Demuestre que (G, ) es un grupo. Determine el elemento neutro de G y el inverso del elemento(a, b) de G. Es G conmutativo ?

b) Sean = (2, 1), = (8, 4), = (3, 7). Determine X3 sabiendo que 1 X = 2 1.(donde 1 indica el elemento inverso, en el grupo G, de G y 2 = ).

c) Demuestre que K ={(

a b0 1

) a 6= 0} es un subgrupo de GL2(R).d) Compruebe que la funcion

f : G K tal que (a, b) 7(a b0 1

)es un isomorfismo de grupos (es decir, f es homomorfismo de grupos y biyectiva)

Jorge Gonzalez-Lorca / Invierno, Mayo 2015.

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24. Sea S4 el grupo de permutaciones de 4 elementos.

a) Sean , S4 definidos por

=

(1 2 3 43 4 2 1

)y =

(1 2 3 44 1 2 3

)Determine el orden de los elementos , , 2, y 1 con = (234)(241)(234)1.

b) Resolver la ecuacion en el grupo simetrico S4

3X1 = (12)1,

donde = (13)(234), = (1243)(123)2, = (412)1(13)

c) Determine todos los S4 tal que 2 = (12)(34)5. a) Demuestre que (Z24,+24) es un grupo cclico generado por 5. Cuales son los otros generadores

de Z24?

b) Sea G = GL2(R) el grupo de matrices 2 2 invertibles con coeficientes en R (con el productousual de matrices). Sea f : Z24 G un homomorfismo de grupos tal que f(5) =

(0 11 0

)Encuentre f(10), f(5), f(1), el producto f(4) f(3)

Jorge Gonzalez-Lorca / Invierno, Mayo 2015