algebra abstracta. fundamentos

Álgebra 3Clase No. 1. Capítulo 1. Grupos

Dr.rer.nat. Prof. Asoc. Glauco Alfredo López Díaz

Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias

Universidad de Los AndesMérida, Estado Mérida

República Bolivariana de Venezuela.

23 de Octubre de 2013

Perfil

Perfil

1 ÁlgebraÁlgebraÁlgebra AbstractaEstructura Algebraica

2 Operaciones BinariasDefiniciones y PropiedadesTablas

Dr. Prof. Glauco Alfredo López Díaz (ULA) Álgebra 3 23 de Octubre de 2013 2 / 36

Álgebra Álgebra

Álgebra

Álgebra es una de las amplias ramas de las matemáticas, junto con Teoría de Números,

Geometría y Análisis. Por razones históricas, la palabra “álgebra” tiene muchos significados

relacionados en matemáticas, como una sola palabra o con calificativos.

Como una sola palabra sin el artículo, “álgebra” nombra una amplia áreas de lasmatemáticas.Como una sola palabra con el artículo o en el plural, “álgebra” denota una estructuramatemática específica.Con un calificativo, existe la misma distinción:

Sin artículo, significa una parte de álgebra, como álgebra lineal, álgebra elemental o álgebraabstracta.Con un artículo, significa un caso de alguna estructura abstracta, como un álgbra de Lie o unaálgebra asociativa.Frecuentemente existen ambos significados para el mismo calificativo, como en la oración:Álgebra Conmutativa es el estudio de los anillos conmutativos, que son todos las álgebrasconmutativas sobre los enteros.


Álgebra Álgebra

Álgebra

Algunas veces “álgebra” es usada también para denotar las operaciones y métodosrelacionados al álgebra en el estudio de una estructura que no pertenece al álgebra.Por ejemplo, el álgebra de las series infinitas podría denotar los métodos paracalcular con series sin usar la noción de suma infinita, límites y convergencia.

El Álgebra puedes ser considerada esentialmente como hacer cálculos similares a los de la

aritmética con objetos matemáticos no numéricos.

Inicialmente, estos objetos representados por números que no son conocidos aún (incógnitas)

o números no especificados (indeterminada o parámetro), permitiendole a uno enunciar y

probar propiedades que son verdad sin importar los números involucrados.


Álgebra Álgebra

Álgebra

Por ejemplo, en la ecuación cuadrática

ax2 + bx + c = 0

a, b, c son indeterminadas y x es la incógnita. Resolver esta ecuación es buscar cantidades

calculando con las variables para expresar las incógnitas en términos de las indeterminadas.

Entonces, la sustitución de números cualesquiera para las indeterminadas, da la solución de

una ecuación particular después de un simple cálculo aritmético.


Álgebra Álgebra Abstracta

Álgebra Abstracta

En álgebra, álgebra abstracta es el nombre para la sub-área que estudia las estructuras algebraicas.

Estas estructuras incluyen grupos, anillos, cuerpos, módulos, espacios vectoriales y álgebras.

El término específico álgebra abstracta fue acuñado al principio del siglo XX para distinguir esta

área de las otras áreas del álgebra.

Dos tópicos matemáticos que estudian las propiedades de estructuras algebraicas vistos en su

conjunto son el álgebra universal y la teoría de categorías. Las estructuras algebraicas, junto

con los homomorfismos asociados, forman categorías. La teoría de categorías es un potente

formalismo para estudiar y comparar las diferentes estructuras algebraicas.



Álgebra Abstracta

Por abstracción de diversas cantidades en detalle, los matemáticos han creado teorías de

diversas estructuras algebraicas que se aplican a muchos objetos. Por ejemplo, casi todos los

sistemas estudiados son conjuntos, a los que se aplican los teoremas de la teoría de conjuntos.

Los conjuntos que tienen una cierta operación binaria definida en ellos forman magmas, a los

que se aplican los conceptos relativos a los magmas, además de las relativas a los sistemas.

Podemos agregar restricciones adicionales a la estructura algebraica, como la asociatividad

(para formar semigrupos); asociatividad, la identidad e inversos (para formar grupos) y otras

estructuras más complejas. Con una estructura adicional, más teoremas pueden ser probadas,

pero la generalidad se reduce.



Álgebra Abstracta

La “jerarquía” de objetos algebraicos (en términos de generalidad) crea una jerarquía de las

teorías correspondientes: por ejemplo, los teoremas de la teoría de grupos se aplican a los anillos

(objetos algebraicos que tienen dos operaciones binarias con ciertos axiomas) ya que un anillo

es un grupo con una de sus operaciones.

Los matemáticos eligen un equilibrio entre la cantidad de generalidad y la riqueza de la teoría.


Álgebra Estructura Algebraica

Estructura Algebraica

En las matemáticas y más específicamente en álgebra abstracta, el término estructura

algebraica generalmente se refiere a un conjunto arbitrario (llamado conjunto portador o

conjunto subyacente) con una o más operaciones finitarias definidas en él.

Los ejemplos más comunes de las estructuras algebraicas incluyen grupos, anillos, cuerpos y

lattices. Las estructuras algebraicas más complejas pueden ser definidas mediante la introducción

de múltiples operaciones, diferentes conjuntos subyacentes o mediante la alteración de los

axiomas que se definen. Ejemplos de estructuras más complejas incluyen espacios vectoriales,

módulos y álgebras.


Álgebra Estructura Algebraica

Estructura Algebraica

Las propiedades de las estructuras algebraicas específicas son estudiadas en la rama conocida

como álgebra abstracta.

La teoría general de estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal.

La teoría de categorías es usada para estudiar las relaciones entre dos o más clases de estructuras

algebraicas, a menudo de diferentes tipos. Por ejemplo, la teoría de Galois estudia la conexión

entre ciertos cuerpos y grupos, estructuras algebraicas de dos tipos diferentes.


Operaciones Binarias Definiciones y Propiedades

Operación Binaria

Una operación binaria ∗ sobre un conjunto S es una función de S × S en S. Para cada

(a, b) ∈ S × S, denotamos al elemento ∗ ( (a, b) ) de S por a ∗ b.

Observación

Intuitivamente, podemos considerar una operación binaria ∗ sobre S asignando, a cada par

ordenado (a, b) de elementos de S, un elemento a ∗ b de S.



Ejemplo 1

La adición usual + es una operación binaria sobre el conjunto R. La multiplicación usual · es una

operación binaria sobre el conjunto R. En este ejemplo, uno puede reemplazar R por cualquiera

de los conjuntos C, Z, R+ o Z+.

Observación

Nótese que no se requiere que una operación binaria sobre un conjunto S esté definida para todo

par ordenado ( a, b ) de elementos de S.



Ejemplo 2

SeaM(R) el conjunto de todas las matrices con entradas reales. La adición usual de matrices +

no es una operación binaria sobre este conjunto, ya que A + B no está definida para un par

ordenado (A, B ) de matrices que tienen diferente número de filas o de columnas.

Observación

Algunas veces una operación binaria sobre S también provee una operación binaria sobre un

subconjunto H de S.



Operación Inducida

Sea ∗ una operación binaria sobre S y sea H un subconjunto de S. El subconjunto H es cerrado

bajo o con respecto a ∗ si

para todo a, b ∈ H tenemos también que a ∗ b ∈ H.

En este caso, la operación binaria sobre H dada por la restricción de ∗ sobre H es llamada la

operación inducida de ∗ sobre H.



Observación

Por nuestra definición de una operacón binaria ∗ sobre S, tenemos que el conjunto S es cerrado

con respecto a ∗; pero un subconjunto puede que no lo sea, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

La adición usual + sobre el conjunto de los números reales R no induce una operación binaria

sobre el conjunto de los números reales no nulos R∗, ya que

2 ∈ R∗ y − 2 ∈ R∗, y 2+ (−2) = 0 pero 0 /∈ R∗.

Luego, R∗ no es cerrado con respecto a +.



Observación

Frecuentemente vamos a tener la ocación de decidir si un subconjunto H de S es cerrado con

respecto a una operación binaria ∗ sobre S. Para llegar a la conclusión correcta, tenemos que

saber que significa que un elemento esté en H y usar este hecho.



Ejemplo 4

Sean + y . las operaciones binarias usuales de adición y multiplicación sobre el conjunto de los

números enteros Z. SeaH = { n2 : n ∈ Z }.

Determine si H es cerrado con respecto a la (a) adición y (b) multiplicación.

Para la parte (a) necesitamos observar que

12 = 1 y 22 = 4 están en H, pero 1+ 4 = 5 y 5 /∈ H.

Así, H no es cerrado bajo la adición. Para la parte (b), supongamos que r , s ∈ H. Usando el

hecho que significa estar en H, vemos que deben existir enteros n, m ∈ Z+ tales que

r = n2 y s = m2. En consecuencia, rs = n2m2 = (nm)2.

Por la caracterización de los elementos en H y el hecho que nm ∈ Z+, esto significa que rs ∈ H

y por lo tanto, H es cerrado con respecto a la multiplicación.



Ejemplo 5

SeaF (R ) = { f : R→ R : f es función }

el conjunto de todas las funciones reales a valores reales. De Cálculo sabemos que las operaciones

binarias +, −, · y ◦ están definidas para cada par (f , g) de funciones en F(R) por

f + g por [ f + g ](x) = f (x) + g(x) adición,

f − g por [ f − g ](x) = f (x)− g(x) sustracción,

f · g por [ f · g ](x) = f (x) · g(x) multiplicación,

y f ◦ g por [ f ◦ g ](x) = f (x) ◦ g(x) composición,

para todo x ∈ R. Como todas estas cuatro son funciones reales a valores reales, se tiene que

F (R ) es cerrado bajo la cuatro operaciones +, −, · y ◦.



Observaciones

Queremos abstraer conceptos estructurales básicos de nuestra álgebra familiar. Para enfatizar

este concepto de la abstracción de lo familiar, debemos ilustrar estos conceptos estructurales con

ejemplos no familiares.

Por otra parte, el método más importante para describir una operación binaria en particular ∗

sobre un conjuntos es caracterizar el elemento a ∗ b asignado a cada par (a, b) por alguna

propiedad definida en términos de a y b.



Ejemplo 6

Sobre Z+ definimos una operación binaria ∗ por

a ∗ b =

{m«ın(a, b) si a 6= b,

a ó b si a = b.

Así, 2 ∗ 11 = 2, 15 ∗ 10 = 10 y 3 ∗ 3 = 3.



Ejemplo 7

Sobre Z+ definimos una operación binaria ∗′ por

a ∗′ b = a.

Luego, 2 ∗′ 3 = 2, 25 ∗′ 10 = 25 y 5 ∗′ 5 = 5.

Ejemplo 8

Sobre Z+ definimos una operación binaria ∗′′ por

a ∗′′ b = (a ∗ b) + 2,

donde ∗ está definida como antes. Por lo tanto, 4 ∗′′ 7 = 6, 25 ∗′′ 9 = 11 y 6 ∗′′ 6 = 8.



Operación Binaria Conmutativa

Una operación binaria ∗ sobre un conjunto S es conmutativa sí y solo si

a ∗ b = b ∗ a, para todo a, b ∈ S.

Ejemplo 9

Todas las operaciones binarias definidas en los Ejemplos 1, 4, 5, 6 y 8 son conmutativas sobre

sus conjuntos respectivos.

La operación binaria definida en el Ejemplo 7 no es conmutativas sobre el conjunto que se

definió.



Observación

Ahora supongamos que queremos considerar una expresión de la forma

a ∗ b ∗ c.

Una operación binaria ∗ nos permite combinar solo dos elementos y aquí tenemos tres. Los

intentos obvios para combinar tres elementos son

o (a ∗ b) ∗ c o oa ∗ (b ∗ c).

Lo ideal es que(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)

siempre, pero eso es cierto; cuando esto ocurre define un tipo especial de operación binaria.



Operación Binaria Asociativa

Una operación binaria ∗ sobre un conjunto S es asociativa sí y solo si

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), para todo a, b, c ∈ S.

Ejemplo 10

Todas las operaciones binarias definidas en los Ejemplos 1, 4, 5, 6 y 8 son asociativas sobre sus

conjuntos respectivos.



Observación

Si podemos demostrar que ∗ es asociativa, entonces expresiones como

a ∗ b ∗ c ∗ d

no son ambiguas. Los paréntesis pueden ser insertados en cualquier parte solo para propósitos de

cálculo; el resultado final de dos cálculos tales serán el mismo.



Teorema (Asociatividad de la Composición)

Sea S un conjunto y sean f , g y h funciones de S en S. Entonces,

f ◦ ( g ◦ h ) = ( f ◦ g ) ◦ h.

Prueba: Para demostrar que estas dos funciones son iguales, debemos probar que ellas asignan el

mismo elemento para cada x ∈ S. Calculando vemos que

[ f ◦ ( g ◦ h ) ](x) = f [ ( g ◦ h )(x) ] = f { g [h(x) ] } y

[ ( f ◦ g ) ◦ h ](x) = [ f ◦ g ]h(x) = f { g [h(x) ] },

luego el mismo elemento f { g [h(x) ] } de S es obtenido.


Operaciones Binarias Tablas

Tablas

Para un conjunto finito, una operación binaria sobre el conjunto puede ser definida por medio de

una tabla en la cual los elementos del conjunto son listados en la parte superior como cabezas de

las columnas y en el lado izquierdo como cabezas de filas.

Siempre se requiere que los elementos del conjunto sean listados como cabezas de la parte

superior en el mismo orden que las cabezas en la parte izquierda.



Ejemplo 11

La siguiente tabla

∗ | a | b | ca | b | c | bb | a | c | bc | c | b | a

define una operación binaria ∗ sobre S = { a, b, c } por medio de la siguiente regla:

( i − ésima entrada de la izquierda ) ∗ ( j − ésima entrada de la derecha ) =

( entrada de la j-ésima fila y la j-ésima columna del cuerpo de la tabla )

Luego, a ∗ b = c y b ∗ a = a. Por consiguiente, ∗ no es conmutativa.



Observación

Uno puede ver fácilmente que una operación binaria definida por una tabla es conmutativa sí y

solo si las entradas de la tabla son simétricas con respecto a la diagonal que empieza en la

esquina superior izquierda de la tabla y termina en la esquina inferior derecha.



Ejemplo 12

Complete la siguiente tabla

∗ | a | b | c | da | b | | |b | d | a | |c | a | c | d |d | a | b | b | c

para que ∗ sea una operación binaria conmutativa sobre el conjunto

S = { a, b, c, d }.



Observación

En un intento para definir una operación binaria ∗ sobre un conjunto S debe satisfacer las

siguientes condiciones:

1 exactamente un elemento a cada posible par ordenado de elementos de S,

2 para cada par de elementos de S, el elemento asignado a él está de nuevo en S.



Observación

En cuanto a la Condición 1, un estudiante suele hacer un intento que asigna un elemento de S

a la “mayoría” de los pares ordenados, pero para algunos pares, no determina ningún elemento.

En este caso, ∗ no está definida para todas partes en S.

También puede ocurrir que para algunos pares, el intento podría asignar cualquiera de muchos

elementos de S, es decir, no hay ambigüedad. En cualquier caso de ambigüedad, ∗ no está bien

definida.

Si la condición 2 no es satisfecha, entonces S no es cerrado con respecto a ∗.



Ejemplo 13

Sobre Q, seaa ∗ b =

ab

.

Aquí ∗ no está definida sobe todo Q, ya que no hay ningún número racional que sea asignado al

par ordenado (2, 0).



Ejemplo 14

Sobre Q+, seaa ∗ b =

ab

.

Aquí ∗ ambas Condiciones 1 y 2 se satisfacen y ∗ es una operación binaria sobre Q+.



Ejemplo 15

Sobre Z+, seaa ∗ b =

ab

.

Aquí ∗ la Condición 2 falla porque 1 ∗ 3 no está en Z+. Luego, ∗ no es una operación binaria

sobre Z+, ya que Z+ no es cerrado bajo ∗.



Ejemplo 16

Sea F (R ) el conjunto de todas la funciones a valores reales con dominio R, como en el

Ejemplo 5. Supongamos que “definimos” ∗ para que nos de el cociente usual de f entre g ,

esto es, f ∗ g = h, donde h(x) =f (x)g(x)

.

Aquí la Condición 2 no es satisfecha, ya que las funciones de F (R ) fueron definidas para todos

los números reales y para alguna función g ∈ F (R ), si g(x) es cero para algunos valores de x

en R, entonces h(x) no estaría definida para esos números en R. Por ejemplo, si

f (x) = cos(x) y g(x) = x2,

entonces h(0) no está definido, de hecho no tiene sentido y por lo tanto h /∈ F (R ).


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