(excelente) 2º bachillerato solucionario matemáticas ii la casa del saber (analisis).pdf
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La muerte y la brjulaJorge Luis Borges
Los protagonistas de este relato de crmenes son, adems del asesino, un comisario de polica y un detective. El primer crimen ocurre la noche del 3 de diciembre en la habitacin del Hotel du Nord donde se alojaba la vctima, Yarmolinsky, un profesor judo que asista a un congreso Talmdico. En una hoja metida en su mquina de escribir, estaba escrita esta sentencia inconclusa: La primera letra del Nombre ha sido articulada. Un mes ms tarde, tambin de noche, aparece muerto en un suburbio occidental un delincuente, Azevedo, con fama de delator, que es tambin judo. En una pared cercana haban escrito con tiza: La segunda letra del Nombre ha sido articulada. El tercer crimen, algo dudoso, pues no apareci el cadver, ocurri tambin un mes despus, la noche del 3 de febrero, carnaval, en una taberna donde una persona extraa haba alquilado unos das antes una habitacin. Cuando llegaron el comisario y el detective, encontraron escrita en una pizarra esta frase: La ltima de las letras del Nombre ha sido articulada. Tambin vieron una mancha de sangre y un libro en latn sobre los judos donde la presunta vctima haba subrayado este pasaje: El da hebreo empieza al anochecer y dura hasta el siguiente anochecer. La noche del primero de marzo, el comisario recibe un sobre con una carta donde le anuncian que el da 3 de ese mes no habr un cuarto crimen porque, como se ve en el plano que le adjunta, los tres lugares de los crmenes forman ya un tringulo equiltero y mstico. Perplejo, le remiti la carta al detective quien, tras estudiarla minuciosamente, concluye que la serie de los crmenes no estaba regida por el nmero 3, sino por el 4. Por qu? Porque, segn el calendario hebreo, al cometerse por la noche, todos los crmenes haban ocurrido el da 4 de cada mes; adems, las letras del nombre de Dios son 4 el llamado Tetragrmaton: J H V H y finalmente los puntos cardinales tres de ellos sealados por los vrtices del tringulo son tambin 4. En consecuencia, el asesino con esta carta quera engaarles: realmente iba a cometer un cuarto crimen en un sitio al sur de la ciudad que formara un rombo perfecto con los lugares de los tres crmenes anteriores. El detective localiza ese lugar en el plano una quinta llamada Triste-le-Roy y se dirige hacia all con la intencin de adelantarse y pillar al asesino con las manos en la masa. Pero, al llegar, es el asesino quien lo est esperando, porque l, como le explica en el prrafo seleccionado, era la autntica vctima de aquella trama.
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1Solucionario
L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S
La muerte y la brjula[Un detective descubre la pauta que siguen tres asesinatos y acude al lugar donde cree que va a cometerse el cuarto. Pero, al llegar, solo encuentra al asesino esperndole para matarlo. Antes de hacerlo, le explica por qu le ha tendido esa trampa.]
Hace tres aos, en un garito de la Rue de Toulon, usted mismo arrest, e hizo encarcelar a mi hermano. En un cup, mis hombres me sacaron del tiroteo con una bala policial en el vientre. Nueve das y nueve noches agonic en esta desolada quinta simtrica; me arrasaba la fiebre, el odioso Jano bifronte que mira los ocasos y las auroras daba horror a mi ensueo y a mi vigilia. Llegu a abominar de mi cuerpo, llegu a sentir que dos ojos, dos manos, dos pulmones, son tan monstruosos como dos caras. Un irlands trat de convertirme a la fe de Jess, me repeta la sentencia de los goyim: Todos los caminos llevan a Roma. De noche, mi delirio se alimentaba de esa metfora: yo senta que el mundo es un laberinto, del cual era imposible huir, pues todos los caminos, aunque fingieran ir al norte o al sur, iban realmente a Roma, que era tambin la crcel cuadrangular donde agonizaba mi hermano y la quinta de Triste-le-Roy. En esas noches yo jur por el dios que ve con dos caras y por todos los dioses de la fiebre y de los espejos tejer un laberinto en torno del hombre que haba encarcelado a mi hermano. Lo he tejido y es firme. [...]
El detective sinti un poco de fro y una tristeza impersonal, casi annima. Ya era de noche; desde el polvoriento jardn subi el grito intil de un pjaro. Consider por ltima vez el problema de las muertes simtricas y peridicas.
En su laberinto sobran tres lneas dijo por fin. Yo s de un laberinto griego que es una lnea nica, recta. En esa lnea se han perdido tantos filsofos que bien puede perderse un mero detective. Cuando en otro avatar usted me d caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, a 8 kilmetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilmetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Agurdeme despus en D, a 2 kilmetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Mteme en D, como ahora va a matarme aqu.
Para la otra vez que lo mate le prometo ese laberinto, que consta de una sola lnea recta y que es invisible, incesante.
Retrocedi unos pasos. Despus, muy cuidadosamente, hizo fuego.
Jorge Luis Borges
nmeros realeslmites y continuidad7
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7SOLUCIONARIO
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La muerte y la brjulaJorge Luis Borges
Los protagonistas de este relato de crmenes son, adems del asesino, un comisario de polica y un detective. El primer crimen ocurre la noche del 3 de diciembre en la habitacin del Hotel du Nord donde se alojaba la vctima, Yarmolinsky, un profesor judo que asista a un congreso Talmdico. En una hoja metida en su mquina de escribir, estaba escrita esta sentencia inconclusa: La primera letra del Nombre ha sido articulada. Un mes ms tarde, tambin de noche, aparece muerto en un suburbio occidental un delincuente, Azevedo, con fama de delator, que es tambin judo. En una pared cercana haban escrito con tiza: La segunda letra del Nombre ha sido articulada. El tercer crimen, algo dudoso, pues no apareci el cadver, ocurri tambin un mes despus, la noche del 3 de febrero, carnaval, en una taberna donde una persona extraa haba alquilado unos das antes una habitacin. Cuando llegaron el comisario y el detective, encontraron escrita en una pizarra esta frase: La ltima de las letras del Nombre ha sido articulada. Tambin vieron una mancha de sangre y un libro en latn sobre los judos donde la presunta vctima haba subrayado este pasaje: El da hebreo empieza al anochecer y dura hasta el siguiente anochecer. La noche del primero de marzo, el comisario recibe un sobre con una carta donde le anuncian que el da 3 de ese mes no habr un cuarto crimen porque, como se ve en el plano que le adjunta, los tres lugares de los crmenes forman ya un tringulo equiltero y mstico. Perplejo, le remiti la carta al detective quien, tras estudiarla minuciosamente, concluye que la serie de los crmenes no estaba regida por el nmero 3, sino por el 4. Por qu? Porque, segn el calendario hebreo, al cometerse por la noche, todos los crmenes haban ocurrido el da 4 de cada mes; adems, las letras del nombre de Dios son 4 el llamado Tetragrmaton: J H V H y finalmente los puntos cardinales tres de ellos sealados por los vrtices del tringulo son tambin 4. En consecuencia, el asesino con esta carta quera engaarles: realmente iba a cometer un cuarto crimen en un sitio al sur de la ciudad que formara un rombo perfecto con los lugares de los tres crmenes anteriores. El detective localiza ese lugar en el plano una quinta llamada Triste-le-Roy y se dirige hacia all con la intencin de adelantarse y pillar al asesino con las manos en la masa. Pero, al llegar, es el asesino quien lo est esperando, porque l, como le explica en el prrafo seleccionado, era la autntica vctima de aquella trama.
L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S
La muerte y la brjula[Un detective descubre la pauta que siguen tres asesinatos y acude al lugar donde cree que va a cometerse el cuarto. Pero, al llegar, solo encuentra al asesino esperndole para matarlo. Antes de hacerlo, le explica por qu le ha tendido esa trampa.]
Hace tres aos, en un garito de la Rue de Toulon, usted mismo arrest, e hizo encarcelar a mi hermano. En un cup, mis hombres me sacaron del tiroteo con una bala policial en el vientre. Nueve das y nueve noches agonic en esta desolada quinta simtrica; me arrasaba la fiebre, el odioso Jano bifronte que mira los ocasos y las auroras daba horror a mi ensueo y a mi vigilia. Llegu a abominar de mi cuerpo, llegu a sentir que dos ojos, dos manos, dos pulmones, son tan monstruosos como dos caras. Un irlands trat de convertirme a la fe de Jess, me repeta la sentencia de los goyim: Todos los caminos llevan a Roma. De noche, mi delirio se alimentaba de esa metfora: yo senta que el mundo es un laberinto, del cual era imposible huir, pues todos los caminos, aunque fingieran ir al norte o al sur, iban realmente a Roma, que era tambin la crcel cuadrangular donde agonizaba mi hermano y la quinta de Triste-le-Roy. En esas noches yo jur por el dios que ve con dos caras y por todos los dioses de la fiebre y de los espejos tejer un laberinto en torno del hombre que haba encarcelado a mi hermano. Lo he tejido y es firme. [...]
El detective sinti un poco de fro y una tristeza impersonal, casi annima. Ya era de noche; desde el polvoriento jardn subi el grito intil de un pjaro. Consider por ltima vez el problema de las muertes simtricas y peridicas.
En su laberinto sobran tres lneas dijo por fin. Yo s de un laberinto griego que es una lnea nica, recta. En esa lnea se han perdido tantos filsofos que bien puede perderse un mero detective. Cuando en otro avatar usted me d caza, finja (o cometa) un crimen en A, luego un segundo crimen en B, a 8 kilmetros de A, luego un tercer crimen en C, a 4 kilmetros de A y de B, a mitad de camino entre los dos. Agurdeme despus en D, a 2 kilmetros de A y de C, de nuevo a mitad de camino. Mteme en D, como ahora va a matarme aqu.
Para la otra vez que lo mate le prometo ese laberinto, que consta de una sola lnea recta y que es invisible, incesante.
Retrocedi unos pasos. Despus, muy cuidadosamente, hizo fuego.
Jorge Luis Borges
En el laberinto-trampa propuesto por el detective, las distancias de los lugares donde se cometen los crmenes con relacin al primero son 8, 4 y 2. Si continuamos indefinidamente, obtenemos la sucesin: 8, 4, 2, 1, 1/2 Escribe el trmino general y calcula su lmite.
ann
nn=
= =
8
1
2
8
22
1
14 lim
n
n
`2 04 =
Nmeros realesLmites y continuidad
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lmites y continuidad
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003 Determina el lmite de las siguientes sucesiones de nmeros reales.
no existe.
004 Escribe sucesiones de nmeros reales que cumplan que su lmite, cuando n tiende a infinito, es:
Respuesta abierta. Por ejemplo:
005 observa la grfica y calcula los lmites de la funcin en el infinito.
006 aplica la definicin de lmite y demuestra que:
comprubalo para = 0,0001.
Buscamos x0 tal que para cualquier x > x0 se cumple que:
Si tomamos
Obtenemos el mismo resultado para x = 20.004, x = 20.005, es decir, para todo x > x0.
ANTES DE COMENZAR RECUERDA
001 Justifica si las siguientes grficas corresponden a funciones.
Y
X
a)
Y
X
b)
a) La grfica corresponde a una funcin porque a cada valor de x le corresponde un nico valor de y.
b) La grfica no corresponde a una funcin porque existen valores de x a los que les corresponden ms de un valor de y.
002 obtn el trmino general de estas sucesiones.
a)35
715
1145
, , , b)31
14
1
93
16, , ,
,
a) an n
n n n= +
=
3 4 1
5 3
4 1
5 31 1( )
b) an
n
n
nn =
+ = 3 2 1 5 22 2
( )( )
ACTIVIDADES
001 con la ayuda de la calculadora, halla el lmite de las siguientes sucesiones.
a) an
nn =
+1
b) an
nn =
2 1 c) a
nn
n = +
2 1
2
a) limn
nn`+ =1 1
b) lim
n
nn` 2 10
=
c) lim
n
nn` +
= 2 1
22
002 aplica la definicin de lmite y demuestra que:
limn
nn` =
21
comprubalo para = 0,0001.
Buscamos h tal que para cualquier n > h se cumple que:
an
n nn <
x0 se cumple que:
f xx
x x( ) , , ,
1 02 0
sisi
X
3
f ( x )
1
Y
lim f xx0
1
=( ) lim f xx0
2+
=( )
024 observa la grafica y halla:
lim f x
x 2( )
lim f x
x +2( )
lim f xx 0
( )
lim f xx 0+
( )
X
3
1
Y
f ( x )
lim f xx
= 2
( ) ` lim f xx +
= +2
( ) ` lim f xx0
1
=( ) lim f xx0
0+
=( )
calcula los siguientes lmites.
c) limx
x
lim
x
x
x
+
`
`
`
24 1
41
2
3 2
=
+
4 1
4
3 2 14 1
4x
xe
x limx
xx `
+
+
= =( )3 2 3 2
4x lim
x
xe ex `334 34= e
Halla estos lmites.
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lmites y continuidad
402
029 Determina si la funcin es continua en x = 2 y x = 2.
La funcin no es continua en x = 2.
La funcin no es continua en x = 2.
030 Halla si la funcin es continua en x = 3 y x = 0.
.
La funcin es continua en x = 3.
031 Determina si esta funcin es continua.
Si x < 1 f ( x ) = x + 1 f ( x ) es continua en (`, 1). Si x > 1 f ( x ) = x 2 3 f ( x ) es continua en (1, +`). Si x = 1 f ( 1 ) = 1 + 1 = 0 Existe f ( 1 ).
La funcin no es continua en x = 1, tiene una discontinuidad de salto finito en este punto, por tanto, f ( x ) es continua en R {1}.
032 calcula a para que esta funcin sea continua en todo R.
.
.
.
025 calcula el lmite de la funcin f xxx
( ) = +
2 32
en x = 3 y x = 2.
lim f x
lim f xlim f x
x
x
x
3
2
2
6
5
1
0
( )
( )( )
=
= ==
`
= +
+
`
`lim f xlim
xx
2
( )No existe
2f x( ).
026 Determina el lmite de la funcin f xsen x
x( ) = =12
en
y x = 0.
lim f x
lim f xlim f x
x
x
x
2
0
0
1
1
0
( )
( )( )
=
= ==
`
`
llim f xlim f
xx
0
0+
= +
( )(
`No existe xx ).
027 resuelve los siguientes lmites.
a) lim
xxx ++1
13 3
b) limx x
x xx 0
2
2
2 2
3
+
a) limx
x
limx
xlim
x
x x
++++
=
1
1 1
1
3 3
0
0
1
3 1( )
11
3
1
3=
b) lim
x x
x x
limx x
x xl
x
x
0
2
2
0
2 2
3
0
0
2 1
3
+
+
=( )( )
iimx
xx02 1
3
2
3
( )+
=
028 calcula estos lmites.
a) lim
xxx 5
2255
b) limx
xx 3
2
2
2 18
9
a) limx
x
limx x
xl
x
x
5
2
5
25
5
0
0
5 5
5
+
=( )( )( )
iimx
x
lim f x
lim f xxx
x
5
5
5
5
5
5
0
+
= ==
+
``( )
( ))
( ).
no existe
No existe
lim f xx 5
b) limx
xlim
x
xlim
x x x
3
2
2 3
2
2
2 18
9
0
0
2 9
9
=( )3
22 9 0x ( ) =
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lmites y continuidad 7Solucionario
403
029 Determina si la funcin f xx
x( ) = +
3
42 es continua en x = 2 y x = 2.
f f( ) ( ) = 2 10
2 No existe La funcin no es continua en x = 2.
f f( ) ( )25
02= No existe La funcin no es continua en x = 2.
030 Halla si la funcin f x x( ) = 3 es continua en x = 3 y x = 0.
f f( ) ( ) = = 3 6 6 3 Existe .
lim lim f xx x
x
= =3 3
3 6 6 Existe ( ).
f lim f xx
( ) ( ) =
33
La funcin es continua en x = 3.
031 Determina si esta funcin es continua.
f xx x
x x( ) =
+ >
1 1
3 12si
si
Si x < 1 f ( x ) = x + 1 f ( x ) es continua en (`, 1). Si x > 1 f ( x ) = x 2 3 f ( x ) es continua en (1, +`). Si x = 1 f ( 1 ) = 1 + 1 = 0 Existe f ( 1 ).
lim f x lim x
lim f x lix x
x
+
= + =
=1 1
1
1 0( ) ( )
( ) mm xlim
xx
+
=
1
2 13 2( )No existe ff x( ).
La funcin no es continua en x = 1, tiene una discontinuidad de salto finito en este punto, por tanto, f ( x ) es continua en R {1}.
032 calcula a para que esta funcin sea continua en todo R.
f xx
xx
x a x( ) =
+
+ >
12
22
si
si
Si x f xx
xf x< = + 2 1 2 ( ) ( ) ( , )es continua en ` .
Si x f x x a f x> = + +2 22 ( ) ( ) ( , )es continua en ` .
Si x f x f= = +
= 2 2 12
1
22 ( ) ( )Existe .
lim f x limx
xlim f x li
x x x += + = =
2 2 2
1 1
2( ) ( ) mm x a a
x + + = +
2
2 4( )
f x x
f lim f x lx
( )
( ) ( )
es continua en si:=
= =
2
22
iim f x a ax
+
= + =2
1
24
9
2( )
calcula el lmite de la funcin en x = 3 y x = 2.
Determina el lmite de la funcin y x = 0.
resuelve los siguientes lmites.
b) lim
x x
x x
limx x
x xl
x
x
0
2
2
0
2 2
3
0
0
2 1
3
+
+
=( )( )
iimx
xx02 1
3
2
3
( )+
=
calcula estos lmites.
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lmites y continuidad
404
037 Determina el trmino general de las siguientes sucesiones, y calcula su lmite.
038 Halla el lmite de estas sucesiones expresadas por su trmino general.
033 Determina si la funcin:f x sen x cos x( ) = +
se anula en algn punto del intervalo (0, 4).
f ( x ) es la suma de funciones continuas en R, por lo tanto es continua en R. f ( x ) es continua en [0, 4].
f (0) = 1 > 0f (4) = sen 4 + cos 4 = 1,41 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 4) tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 4).
034 Dada la funcin f xx x
x( )
ln= +
2
2, halla si existe algn punto c en el intervalo
(0, 1) tal que f ( c ) = 0.
f ( x ) est definida en (0, 2) (2, +`) f ( x ) es continua en (0, 2) (2, +`), luego, f ( x ) no es continua en [0, 1], ya que no est definida en x = 0. Para aplicar el teorema de Bolzano podemos considerar el intervalo (0,1; 1).
f ( x ) es continua en [0,1; 1].
f (0,1) = 1,106 > 0f (1) = 2 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0,1; 1) tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0,1; 1). Por tanto, tambin podemos asegurar que existe algn punto c en el intervalo (0, 1) tal que f ( c ) = 0.
035 Dada la siguiente funcin: f ( x ) = sen x + cos x
demuestra que existe un punto c (0, 4) tal que f ( c ) = 1.
f ( x ) es la suma de funciones continuas en R, por lo tanto es continua en R. f ( x ) es continua en [0, 4].
f (0) = 1f (4) = sen 4 + cos 4 = 1,41Como f ( 0 ) > 1 > f (4) podemos aplicar el teorema de los valores intermedios Existe c (0, 4) tal que f ( c ) = 1.
036 Dada la funcin f xx x
x( )
ln= +
2
2, demuestra que alcanza un mximo
y un mnimo absolutos en un intervalo.
f ( x ) es continua en (0, 2) (2, +`), por tanto, f ( x ) es continua en [0,1; 1]. Entonces, por el teorema de Weierstrass, existe al menos un punto donde la funcin alcanza su valor mximo absoluto y otro donde toma su valor mnimo absoluto.
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lmites y continuidad 7Solucionario
405
037 Determina el trmino general de las siguientes sucesiones, y calcula su lmite.
a) 112
14
18
116
132
, , , , , ,
d) 23
49
827
1681
32243
, , , , ,
b) 012
23
34
45
56
, , , , , ,
e) 64 32 16 8 4 2, , , , , ,
c) 153
73
93
113
133
, , , , , ,
a) a limn n n n= =
1
2
1
20
1 1`
b) an
nlim
n
nn
n= =1 1 1
`
c) an n
limn
nn
= + = + + = +3 2 13
2 1
3
2 1
3
( )`
`
d) a limnn
n n
n
n= ( ) ( )2
3
2
3`no existe.
e) a limnn
nn
n=
= =
64
1
2
2
22 2
1 6
17
`77 0 =n
038 Halla el lmite de estas sucesiones expresadas por su trmino general.
a) a nn = +3 1 f ) f n nn = + ( )( )3 2 3
b) bn
n = +5
1 g) gn n= 2 1
c) c n nn = +2 5 6
h) hnn
=
35
2
d) d n n nn = + 3 2 3 i) in n= 32
3 1
e) en
n =
34
2 j) k
n nn
n =+ 2 3 2
a) lim nn`
`( )3 1+ = + f ) lim n nn` `[( )( )]+ = +3 2 3
b) limnn`
5
10
+=
g) lim
n
n
``2 1 = +
c) lim n nn`
`( )2 5 6 + = +
h) limn
n
`
3
50
2
=
d) lim n n nn`
`( )3 2 3 + = i ) limnn
`3 3 1
23 1 0 = =
e) limn
n``3
4
2
=
j ) lim
n n
nn``
2 3 2+ = +
Determina si la funcin:
se anula en algn punto del intervalo (0, 4).
f ( x ) es la suma de funciones continuas en R, por lo tanto es continua en R. f ( x ) es continua en [0, 4].
f (0) = 1 > 0f (4) = sen 4 + cos 4 = 1,41 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 4) tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 4).
Dada la funcin , halla si existe algn punto c en el intervalo
(0, 1) tal que f ( c ) = 0.
f ( x ) est definida en (0, 2) (2, +`) f ( x ) es continua en (0, 2) (2, +`), luego, f ( x ) no es continua en [0, 1], ya que no est definida en x = 0. Para aplicar el teorema de Bolzano podemos considerar el intervalo (0,1; 1).
f ( x ) es continua en [0,1; 1].
f (0,1) = 1,106 > 0f (1) = 2 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0,1; 1) tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0,1; 1). Por tanto, tambin podemos asegurar que existe algn punto c en el intervalo (0, 1) tal que f ( c ) = 0.
Dada la siguiente funcin: f ( x ) = sen x + cos x
demuestra que existe un punto c (0, 4) tal que f ( c ) = 1.
f ( x ) es la suma de funciones continuas en R, por lo tanto es continua en R. f ( x ) es continua en [0, 4].
f (0) = 1f (4) = sen 4 + cos 4 = 1,41Como f ( 0 ) > 1 > f (4) podemos aplicar el teorema de los valores intermedios Existe c (0, 4) tal que f ( c ) = 1.
Dada la funcin , demuestra que alcanza un mximo
y un mnimo absolutos en un intervalo.
f ( x ) es continua en (0, 2) (2, +`), por tanto, f ( x ) es continua en [0,1; 1]. Entonces, por el teorema de Weierstrass, existe al menos un punto donde la funcin alcanza su valor mximo absoluto y otro donde toma su valor mnimo absoluto.
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-
lmites y continuidad
406
042 Dejamos caer una pelota desde una altura de 4 metros y, tras cada rebote, la altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior. Qu altura alcanzar la pelota despus de cada uno de los cinco primeros rebotes? Y tras el vigsimo rebote? Y tras el rebote n-simo? Si an denota la altura alcanzada tras el n-simo rebote, obtn una cota superior y otra inferior de esta sucesin. calcula .
(Galicia. Septiembre 2004. Bloque 4. Pregunta 1)
Una cota superior de la sucesin es 4 y una inferior es 0.
043 observa las grficas de estas funciones, y calcula los siguientes lmites.
039 calcula los siguientes lmites de sucesiones.
a) lim n n nn`
( ) + +3 28 8
d) limn n
n`
3 8 1635
2 +
b) lim nn`
2 133 +
e) limn
n nn`6 2
3 7 13
+
c) lim n nn`
2 3 2
f ) limn n n
n nn`5 2 3
2 5 4
2 3
2
+
a) lim n n nn`
`( ) + + = 3 28 8 d) limn n
n``
3 8 16
35
2 + = +
b) lim nn`
`2 133 + = + e) lim
n
n nn`6 2
3 7 10
3
+
=
c) lim n nn`
`2 3 2 = + f ) limn n n
n nn``
5 2 3
2 5 4
2 3
2
+
=
040 calcular razonadamente el lmite de la sucesin:
( )
( ) ( )
n
n n
+
2
1 1
2
3 3
(Aragn. Septiembre 2005. Opcin B. Cuestin 3)
limn
n nlim
n n
nn n ` `( )
( ) ( )
+
= ++
2
1 1
4 4
3
2
3 3
2
3 nn n n n n
limn n
nn
2 3 2
2
2
3 1 3 3 1
4 4
6 2
1
6
+ + + +=
= ++
=`
041 Determina los lmites de estas sucesiones.
a) limn
nn
nn`4 1
56
1
2
3
+
c) limn
nn n
nn`2 3
56
3
2 2+ +
b) limn
nn
nn`
2 3
2
51 2
5
12
+ +
:
d) limn
nn
n`
3 2
68 1
2
+
( )
a) limn
n
n
nlim
n n ` `
4 1
5
6
1
22
3
+
=
44 6
5 50
2
3
n
n
+
=
b) limn
n
n
nlim
n n`
2 3
2
5
1 2
5
12
+ +
=:
`
`
( )( )
( )
n n
n n
limn n
n
2 2
3
4 2
5 12
5 1 2
17 60
+ +
=
= + +55 10
1
103 4n n=
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-
lmites y continuidad 7Solucionario
407
c) limn
n
n n
nlim
n n ` `
2 3
5
6
3
2 2+ +
=
66 9 30 5
15
30 9
15
2 2
2
n n n
n
limn n
nn
+ + =
= + + = +`
`
d) limn
nn li
n`
3 2
68 1
2
+
=( ) mm
n n
nn`24 13 2
64
2
2
+ =
042 Dejamos caer una pelota desde una altura de 4 metros y, tras cada rebote, la altura alcanzada se reduce a la mitad de la altura anterior. Qu altura alcanzar la pelota despus de cada uno de los cinco primeros rebotes? Y tras el vigsimo rebote? Y tras el rebote n-simo? Si an denota la altura alcanzada tras el n-simo rebote, obtn una cota superior y otra inferior de esta sucesin. calcula lim a
nn
`.
(Galicia. Septiembre 2004. Bloque 4. Pregunta 1)
a a a a a1 2 3 4 52 11
2
1
4
1
8= = = = =m m m m m
a an2019
192
1
2
2
2
1
262 1442
1
2=
= = = .
m
= = =
n
n nn
1
1 222
2
1
22 ( )
a an2019
192
1
2
2
2
1
262 1442
1
2=
= = = .
m
= = =
n
n nn
1
1 222
2
1
22 ( )
Una cota superior de la sucesin es 4 y una inferior es 0.
limn
n
`2 02 =( )
043 observa las grficas de estas funciones, y calcula los siguientes lmites.
X
f ( x )
Y
Xg( x )
Y
a) lim f xx +`
( )
c) lim g xx +`
( )
b) lim f xx `
( )
d) lim g xx `
( )
a) lim f xx+
= +`
`( ) c) lim g xx+
= `
`( )
b) lim f xx
= `
`( ) d) lim g xx
= +`
`( )
calcula los siguientes lmites de sucesiones.
f ) lim
n n n
n nn``
5 2 3
2 5 4
2 3
2
+
=
calcular razonadamente el lmite de la sucesin:
(Aragn. Septiembre 2005. Opcin B. Cuestin 3)
Determina los lmites de estas sucesiones.
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-
lmites y continuidad
408
046 Se considera la funcin . calcula y .
(Baleares. Septiembre 2008. Opcin A. Cuestin 3)
047 Halla el lmite:
(Navarra. Septiembre 2005. Grupo 2. Opcin C)
048 Determina los siguientes lmites de funciones.
044 Halla estos lmites de funciones.
a) lim xx +`
5
e) lim
xx +`14
i) limx
x
+
`
13
b) lim xx `
5
f ) lim
xx `14
j) limx
x
`
13
c) lim xx +`
23
g) lim
x
x
+`5
k) lim
x
x
+`4
2
d) lim xx `
23 h) limx
x
`5 l) lim
x
x
`4
2
a) lim xx+
= +`
`5 g) limx
x
+= +
``5
b) lim xx
= `
`5 h) limx
x
=
`5 0
c) lim xx+
= +`
`23 i ) lim
x
x
+
=`
1
30
d) lim xx
= +`
`23 j ) lim
x
x
= +` `
1
3
e) limxx+
=`
10
4 k) lim
x
x
+= +
``4
2
f ) limxx
=`
10
4 l ) lim
x
x
= +
``4
2
045 calcula los siguientes lmites de funciones.
a) limxxx +
+`
2 13
g) limx
x xx +
+ `1
2 5
4
4 2
b) limxxx
+`
2 13
h) limx
x xx
+ `1
2 5
4
4 2
c) limx
xx ++
`
2
2
1
3 i) lim
x x
x xx + + `
2
3 2
2 3
3 5
d) limx
xx +
`
2
2
1
3 j) lim
x x
x xx + `
2
3 2
2 3
3 5
e) limx
x xx ++ `
1
3 2 1
6
2 k) lim
xx + `16
2
f ) limx
x xx + `
1
3 2 1
6
2 l) lim
xx `16
2
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-
lmites y continuidad 7Solucionario
409
a) limx
xx++
= +
``
2 1
3 g) lim
x
x xx+
+ =
`
1
2 51
4
4 2
b) limx
xx+
=
``
2 1
3 h) lim
x
x xx
+ =
`
1
2 51
4
4 2
c) limx
xx++ =
`
2
2
1
3
1
3 i ) lim
x x
x xx+ +
=`
2
3 2
2 3
3 50
d) limx
xx+ =
`
2
2
1
3
1
3 j ) lim
x x
x xx +
=`
2
3 2
2 3
3 50
e) limx
x xx++
= `
`1
3 2 1
6
2 k) lim
xx+ =
`
16
20
f ) limx
x xx+
= `
`1
3 2 1
6
2 l ) lim
xx =
`
16
20
046 Se considera la funcin f xx
x( ) =
+2 1. calcula lim f x
x +`( ) y lim f x
x `( ).
(Baleares. Septiembre 2008. Opcin A. Cuestin 3)
limx
xx+ +=
` 2 10 lim
x
xx +=
` 2 10
047 Halla el lmite: limx
x xx `
1
1 1+ (Navarra. Septiembre 2005. Grupo 2. Opcin C)
limx x x
limx x x x
xx x + ++ ( )= + +
+` `1
1 1
1 12
( ) ( )
( xx x x) ( ) =
21
048 Determina los siguientes lmites de funciones.
a) lim x xx +
`
( )3 12
c) limx
x
+
`0 62 1,
b) lim x xx +
`
( , )0 001 2
d) lim xx
x
+
`( )2 3
a) lim x xx+
= +`
`( )3 12 c) limx
x
+ =
`0 6 02 1,
b) lim x xx+
= `
`( , )0 001 2 d) lim xx
x
+ = +
``( )2 3
Halla estos lmites de funciones.
calcula los siguientes lmites de funciones.
833276 _ 0392-0451.indd 409 21/7/09 15:42:23
-
lmites y continuidad
410
052 Halla el lmite:
053 Determina el lmite:
054 calcular .
(Aragn. Septiembre 2008. Bloque 3. Opcin A)
049 resuelve los siguientes lmites.
a) lim x x xx
( )`
2 4
c) limxx
x
+
`
12
1
b) lim x x xx
+ ( )`
2 4
d) limxx
x
`
12
1
a) lim x x xx
( ) = `
`2 4
b) lim x x x
lim x x x lim
x
x
+ ( ) ++ ( ) =
`
`
` `2
2
4
4xx x
x x x
x x xlim
x
x x x +
=
=
` `
2 2
2 2
4
4
4
42
c) limx
limx
x
x
x
+
+
`
`
`
12
1
12
1
=
+
1 12
1x limxe x `
( 11 2 22
2
1
= = =
x limx
xe ee
x)
`
d) limx
limx
x
x
x
`
`
`
12
1
12
1
=
1 12
1x limxe x `
( 11 2 22
+
= =x lim
x
xe ex)
`
050 calcula el lmite: limx x x
xx +
`
2 2 22
( )
(La Rioja. Septiembre 2005. Propuesta A. Ejercicio 5)
limx x x
xx
+
`
` `2 2 2
2
( )
limx x x
xlim
x x x
xx x + +
=
` `
2 2 22 2
2
2 2( ) ( )
( + ( )=
= ++
2 2 22 4
2 2
2
2
) ( )
( ) (
x x x
limx
x x x xx ` =
20
2)
051 calcula el lmite: limx x
x xx ++ + `
1 1
2 2(Navarra. Junio 2008. Grupo 1. Opcin C)
limx x
x xx
+
+ +
`
` `1 1
2 2
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-
lmites y continuidad 7Solucionario
411
limx x
x xlim
x x x xx x + +
+ +
= + + + +` `
1 1
2 2
1 1 2( ) ( )+ + + + ( )
=
= + + ( )
+
2
2 2 1 1
2 2 2
4
( )x x x x
limx x
x ` xx x+ + ( )=
1 1
1
2
052 Halla el lmite: limx
xx x
xx ++ +
`
2 4
2
1 2 3
1
limx
x
x x
xx
+
+ +
` ` `
2 4
2
1 2 3
1
limx
x
x x
xlim
x x + +
+ +
=`
2 4
2
1 2 3
1 ```
x x x
x x
4 5 2
2
1 2 3
1
= ( )
053 Determina el lmite: limx x
x
x xxx
+
+
`
3 2
2
22 3
2
21
limx x
x
x x
xx
+
+
`
3 2
2
22 3
2
2
1`` `+
limx x
x
x x
xx+
+
=
=
`
3 2
2
22 3
2
2
1
llimx x x x x x x x
xx+ + + +
`
4 3 2 4 3 2
2
2 3 3 2 4 2
2( )( xx
limx x x
x x xx
=
= + +
=
1
3 6 3
2 2
4 2
3 2
)
``
054 calcular lim x x xx +
+ +( )`
4 1 4 3 22 2 .
(Aragn. Septiembre 2008. Bloque 3. Opcin A)
lim x x xx
+
+ +( ) `
` `4 1 4 3 22 2
lim x x x limx x
x x + ++ +( ) = +
` `4 1 4 3 2
4 1 4 32 22 2( xx
x x x
limx
x xx
+
+ + +=
= + + +
2
4 1 4 3 23 1
4 1 4 3
2 2
2 2
)
` xx +=
2
3
4
resuelve los siguientes lmites.
b) lim x x x
lim x x x lim
x
x
+ ( ) ++ ( ) =
`
`
` `2
2
4
4xx x
x x x
x x xlim
x
x x x +
=
=
` `
2 2
2 2
4
4
4
42
calcula el lmite:
(La Rioja. Septiembre 2005. Propuesta A. Ejercicio 5)
calcula el lmite:
(Navarra. Junio 2008. Grupo 1. Opcin C)
833276 _ 0392-0451.indd 411 21/7/09 15:42:31
-
lmites y continuidad
412
059 calcular .
(Aragn. Septiembre 2006. Opcin A. Cuestin 3)
060 calcula el lmite:
(Navarra. Septiembre 2004. Grupo 2. Opcin C)
061 calcula:
(Asturias. Junio 2007. Bloque 4)
062 Expresa las funciones siguientes como funciones definidas a trozos y, despus, halla sus lmites cuando x tiende a ` y a +`.
055 calcula el lmite lim x x xx +
+ ( )`
2 2 .
(Navarra. Junio 2004. Grupo 2. Opcin C)
lim x x x
lim x x x lim
x
x x
+
+ +
+ ( )
+ ( ) =`
`
` `2
2
2
2`` `
x x x
x x xlim
x
x x xx
2 2
2 2
2
2
2
21
+
+ +=
+ +=
+
056 calcula el lmite: lim x x xx +
+ `
(Navarra. Septiembre 2004. Grupo 2. Opcin C)
lim x x x
lim x x x limx x
x
x x
+
+ +
+ ( )
+ ( ) = +`
` `
` `
+ +=
+ +=
+
x
x x xlim
x
x x xx `1
2
057 calcula: limxx
x
++
`
12
(Asturias. Septiembre 2006. Bloque 5)
limxx
x
++
`
`12
1 limx
ex
x limxx
+
+ +
=
+
`
`12 1
21
= =+
x limx
xe ex `2
2
058 Halla los siguientes lmites.
a) limxxx
x
+
++
`
2 51 5
2 12
b) lim
x x
x xx
x
+
++ +
`
2
2
2 22 3
3
a) limx
xx
x
+
++
`
`2 5
1 51
2 12
limx
xe
x
x limx
+
++
=
+
`
`2 5
1 5
2 12 2+++
=
=
5
1 51 2 12
x
xx( )
ee elim
x x x
xlim
xx x + +
+ +
=` `( )( )2 5 1 5 2 12
1 5
2 112
1 525 25+ = =x e e
b) limx x
x x
li
x
x
+
++ +
`
`2
2
2 22 3
31
mmx x
x xe
x
x limx
+
++ +
=
+
`
2
2
2 22 3
3``
x x
x xx
2
2
2 3
31 2 2
+ +
+
( )
+ ++
=
= =+elim
x x x x x
x xx `( )( )2 2
2
2 3 3 2 2
3 ee ee
limx x
x xx+
+ = =`2 8 6
3 22
2
2 1
833276 _ 0392-0451.indd 412 21/7/09 15:42:35
-
lmites y continuidad 7Solucionario
413
059 calcular limxxx
x
x
+
++
`
51
2
3 .
(Aragn. Septiembre 2006. Opcin A. Cuestin 3)
limx
x
limx
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
`
`
`
5
11
5
2
3
=
++
+
1
2
35
11
x
xlim
x
xe x ` +
+ +
= +x
xlim
x x x
e x2
35 1
`
( ) 22
2
2
1 3
6
2 3 6
( )( )x x
limx
x xe ex
+
+
=
= =+ `
060 calcula el lmite: limxxx
x
+
+
`
3 13 1
(Navarra. Septiembre 2004. Grupo 2. Opcin C)
limx
x
limx
x
x
x
x
+
+
+
+
`
`
`
3 1
3 11
3 1
3
=
+
+
1
3 1
3 11x lim
x
xe x `
+ + = =+
x limx x x
xe ex `( )3 1 3 1
3 1llim
x
xx e+ =`2
3 1
23
061 calcula: limx
x
x+ +
`
2 8
2 1
(Asturias. Junio 2007. Bloque 4)
lim limx
x
x x
x
x + + + +
= ` `
2 8
2
2
21 122
2
1
2
2
2
3
1
2
x x xlim
+ +
=
` =
1
2
062 Expresa las funciones siguientes como funciones definidas a trozos y, despus, halla sus lmites cuando x tiende a ` y a +`.
a) f x x x( ) = + 2 2
b) f x x x( ) = 3 2
c) f xx
x( ) = +
2 3
2
d) f xx
x( ) =
3
1
a) f xx x x
x x x( )( )
( )= + <
+ + 2 2 2
2 2 2sisi
-
lmites y continuidad
414
064 Esta es la grfica de la funcin g ( x ).
Da un valor aproximado de los siguientes lmites.
065 Si , calcula estos lmites.
066 Dada f ( x ) = 2 ln x, determina:
no existe porque no podemos calcular logaritmos de nmeros
negativos.
no existe ya que y no existe.
b) f xx x x
x x x( )
( )
( )=
22
2
6 6
6 6 6
6 6
si
si
si
f
lim f x
lim f xx
x
( ) ==
=
+
6 0
0
06
6
( )
( )
( )
( )
=
lim f xx 6
0( )
lim f x f f x xx
= ( ) = 6
6 6( ) ( ) .es continua en
f
lim f x
lim f xx
x
6 0
0
06
6
( ) ==
=
+
( )
( )
( )
( )
=lim f x
x 60( )
lim f x f f x xx
6
6 6( ) ( ) .= ( ) =es continua en
La funcin est formada por funciones polinmicas, por tanto, f ( x ) es continua en R.
116 Se considera la funcin f x sen x( ) .= 4 12
Estudia su continuidad en el intervalo (0, ).(Cantabria. Junio 2001. Bloque 1. Opcin B)
sen x sen xx x
x x4
1
20 4
1
2
46 24
456
52
= == =
= =
44
0
en el intervalo ( , )
f x
sen x x
sen x x( ) =
< 3 entonces la ecuacin tiene al menos una raz real menor que 2.b) Si m < 3 entonces la ecuacin tiene al menos una raz real mayor que 2.(Baleares. Junio 2003. Opcin B. Cuestin 3)
a) Consideramos la funcin .f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [0, 2].f ( 0 ) = 6 < 0
Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 2), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 2), por tanto, la ecuacin tiene al menos una raz real menor que 2.
b) Consideramos la funcin continua en R.
Al ser Existe un valor b > 2, tal que f ( x ) es continua
en [2, b] y f ( b ) > 0.Entonces, aplicando el teorema de Bolzano, tenemos que existe c (2, b), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (2, b) con b > 2, por tanto, la ecuacin tiene al menos una raz real mayor que 2.
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lmites y continuidad 7Solucionario
445
La funcin es continua en x = si:
lim f x sen a
lim f xsenx
x
+
=
=
( )
( ) 1aa a k a k k = = + = + 1
22
1
22 , siendo Z
considera la funcin definida por:
Determina el valor de a > 0 sabiendo que f es continua.(Andaluca. Ao 2001. Modelo 6. Opcin A. Ejercicio 1)
Como f ( x ) est formada por funciones continuas en los intervalos en los que estn definidas, es continua en (`, 10) si lo es en x = 2, es decir, si:
Como a > 0 la funcin es continua si a = 3.
Demuestra que la funcin se anula en el intervalo [1, 3].
Menciona los resultados tericos en que te apoyas para hacer tus afirmaciones.
f ( x ) es continua en , luego es continua en [1, 3].
Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (1, 3), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (1, 3).
Sea con x (0, +`). Probar que existe un punto tal que f ( c ) = 0.(Castilla y Len. Septiembre 2008. Prueba B. Problema 2)
f ( x ) es continua en (0, +`), luego es continua en .
Aplicamos el teorema de Bolzano Existe ce
11
2, , tal que f ( c ) = 0,
es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo 1
12e
,
.
127 Demuestra que existe al menos un nmero real x para el que se verifica sen x = x 2.(Baleares. Septiembre 2001. Opcin B. Cuestin 1)
Consideramos la funcin f ( x ) = sen x x + 2.f ( x ) es continua en R, luego es continua en [2, 3].f ( 2 ) = sen 2 = 0,909 > 0f ( 3 ) = sen 3 1 = 0,858 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (2, 3), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (2, 3), por tanto, la ecuacin tiene al menos una solucin en este intervalo.
128 Determinar si el polinomio x 4 4x 2 1 tiene alguna raz real negativa.(Extremadura. Junio 2003. Repertorio B. Ejercicio 1)
Consideramos la funcin f x x x( ) = 4 24 1.f ( x ) es continua en R, luego es continua en [3, 2].f ( 3 ) = 44 > 0f ( 2 ) = 1 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (3, 2), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (3, 2), luego el polinomio tiene alguna raz real negativa.
129 Se considera la ecuacin x 3 + x 2 + mx 6 = 0. utilizando el teorema de Bolzano, demuestra:a) Si m > 3 entonces la ecuacin tiene al menos una raz real menor que 2.b) Si m < 3 entonces la ecuacin tiene al menos una raz real mayor que 2.(Baleares. Junio 2003. Opcin B. Cuestin 3)
a) Consideramos la funcin f x x x mx( ) = + + 3 2 6.f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [0, 2].f ( 0 ) = 6 < 0f m m m( )2 2 6 0 2 6 3= + > > > Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 2), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 2), por tanto, la ecuacin tiene al menos una raz real menor que 2.
b) Consideramos la funcin f x x x mx( ) = + + 3 2 6 continua en R.f m m m( )2 2 6 0 2 6 3= + < < < Al ser lim f x
x
+= +
``( ) Existe un valor b > 2, tal que f ( x ) es continua
en [2, b] y f ( b ) > 0.Entonces, aplicando el teorema de Bolzano, tenemos que existe c (2, b), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (2, b) con b > 2, por tanto, la ecuacin tiene al menos una raz real mayor que 2.
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lmites y continuidad
446
130 Probar que la ecuacin x = cos x tiene solucin positiva.(Extremadura. Septiembre 2004. Repertorio B. Ejercicio 1)
Consideramos la funcin f ( x ) = x cos x.f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [0, 1].
f ( 0 ) = 1 < 0f ( 1 ) = 1 cos 1 = 0,459 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 1), por tanto, la ecuacin tiene al menos una solucin positiva.
131 Puede asegurarse, utilizando el teorema de Bolzano, que la funcin f ( x ) = tg x
tiene una raz en el intervalo 4
34
,
? razona la respuesta.
(Galicia. Junio 2003. Bloque 3. Pregunta 2)
Consideramos la funcin f x tg x( ) = .
f ( x ) no est definida en x = 2
, por tanto, la funcin no es continua en 4
3
4,
y no puede aplicarse el teorema de Bolzano, as que no puede asegurarse que la funcin tenga una raz en este intervalo.
132 calcular, con un error menor que una dcima, una raz positiva del polinomio x 3 + x 1.(Extremadura. Septiembre 2001. Repertorio A. Ejercicio 1)
Consideramos la funcin f x x x( ) = + 3 1 continua en R.f ( 0 ) = 1 < 0f ( 1 ) = 1 > 0Como f ( x ) es continua en [0, 1] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que f ( c ) = 0.f ( 0,5 ) = 0,375 < 0Como f ( x ) es continua en [0,5; 1] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,5; 1), tal que f ( c ) = 0.f ( 0,9 ) = 0,629 > 0Como f ( x ) es continua en [0,5; 0,9] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,5; 0,9), tal que f ( c ) = 0,184.f ( 0,6 ) = 0,184 < 0Como f ( x ) es continua en [0,6; 0,9] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,6; 0,9), tal que f ( c ) = 0.f ( 0,7 ) = 0,043 > 0Como f ( x ) es continua en [0,6; 0,7] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,6; 0,7), tal que f ( c ) = 0.
133 Demuestra que existe un punto x = c en el que la funcin toma el valor 2. Encuntralo, aproximando su expresin hasta las centsimas.
Si
Consideramos la funcin .
g ( x ) es continua en R, luego g ( x ) es continua en [0, 1].
g ( 0 ) = 2 < 0g ( 1 ) = 1 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que g( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 1), por tanto, f ( c ) 2 = 0 f ( c ) = 2.g ( 0,5 ) = 1,043 < 0 g ( 0,7 ) = 0,372 < 0g ( 0,9 ) = 0,489 > 0 g ( 0,75 ) = 0,176 < 0g ( 0,6 ) = 0,73 < 0 g ( 0,79 ) = 0,009 < 0g ( 0,8 ) = 0,032 > 0Como g ( x ) es continua en [0,79; 0,8] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,79; 0,8), tal que g ( c ) = 0, por tanto, f ( x ) toma el valor 2 en algn punto del intervalo (0,79; 0,8).
134 Dadas las funciones y g ( x ) = ln x, justifica que existe un punto del intervalo [2, 3] donde ambas funciones toman el mismo valor.
Consideramos la funcin h ( x ) = x sen x ln x.f ( x ) es continua en R y g ( x ) es continua en (0, +`), por tanto, h ( x ) es continua en [2, 3].
h ( 2 ) = 1,125 > 0h ( 3 ) = 0,675 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (2, 3), tal que h ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (2, 3), por tanto, h ( c ) = f ( c ) g ( c ) = 0 f ( c ) = g ( c ).
135 Demustrese que las grficas de las funciones f ( x ) = e x y se cortan en un punto x > 0.(Castilla y Len. Junio 2004. Prueba A. Cuestin 2)
Consideramos la funcin .
f ( x ) es continua en R y g ( x ) es continua en R {0}, por tanto, h ( x ) es continua en R {0}.h ( 0,5 ) = 0,351 < 0h ( 1 ) = 1,718 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0,5; 1), tal que h ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0,5; 1), por tanto, h ( c ) = f ( c ) g( c ) = 0 f ( c ) = g ( c ), es decir, las funciones se cortan en un punto de este intervalo.
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lmites y continuidad 7Solucionario
447
Probar que la ecuacin x = cos x tiene solucin positiva.(Extremadura. Septiembre 2004. Repertorio B. Ejercicio 1)
Consideramos la funcin f ( x ) = x cos x.f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [0, 1].
f ( 0 ) = 1 < 0f ( 1 ) = 1 cos 1 = 0,459 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 1), por tanto, la ecuacin tiene al menos una solucin positiva.
Puede asegurarse, utilizando el teorema de Bolzano, que la funcin f ( x ) = tg x
tiene una raz en el intervalo ? razona la respuesta.
(Galicia. Junio 2003. Bloque 3. Pregunta 2)
Consideramos la funcin .
f ( x ) no est definida en , por tanto, la funcin no es continua en 4
3
4,
y no puede aplicarse el teorema de Bolzano, as que no puede asegurarse que la funcin tenga una raz en este intervalo.
calcular, con un error menor que una dcima, una raz positiva del polinomio x 3 + x 1.(Extremadura. Septiembre 2001. Repertorio A. Ejercicio 1)
Consideramos la funcin continua en R.
f ( 0 ) = 1 < 0f ( 1 ) = 1 > 0Como f ( x ) es continua en [0, 1] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que f ( c ) = 0.f ( 0,5 ) = 0,375 < 0Como f ( x ) es continua en [0,5; 1] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,5; 1), tal que f ( c ) = 0.f ( 0,9 ) = 0,629 > 0Como f ( x ) es continua en [0,5; 0,9] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,5; 0,9), tal que f ( c ) = 0,184.f ( 0,6 ) = 0,184 < 0Como f ( x ) es continua en [0,6; 0,9] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,6; 0,9), tal que f ( c ) = 0.f ( 0,7 ) = 0,043 > 0Como f ( x ) es continua en [0,6; 0,7] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,6; 0,7), tal que f ( c ) = 0.
133 Demuestra que existe un punto x = c en el que la funcin f x x x x( ) = + 2 2 toma el valor 2. Encuntralo, aproximando su expresin hasta las centsimas.
Si f c f c( ) ( )= =2 2 0Consideramos la funcin g x x x x( ) = + 2 2 2.g ( x ) es continua en R, luego g ( x ) es continua en [0, 1].
g ( 0 ) = 2 < 0g ( 1 ) = 1 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que g( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 1), por tanto, f ( c ) 2 = 0 f ( c ) = 2.g ( 0,5 ) = 1,043 < 0 g ( 0,7 ) = 0,372 < 0g ( 0,9 ) = 0,489 > 0 g ( 0,75 ) = 0,176 < 0g ( 0,6 ) = 0,73 < 0 g ( 0,79 ) = 0,009 < 0g ( 0,8 ) = 0,032 > 0Como g ( x ) es continua en [0,79; 0,8] podemos aplicar el teorema de Bolzano Existe c (0,79; 0,8), tal que g ( c ) = 0, por tanto, f ( x ) toma el valor 2 en algn punto del intervalo (0,79; 0,8).
134 Dadas las funciones f x x sen x( ) = y g ( x ) = ln x, justifica que existe un punto del intervalo [2, 3] donde ambas funciones toman el mismo valor.
Consideramos la funcin h ( x ) = x sen x ln x.f ( x ) es continua en R y g ( x ) es continua en (0, +`), por tanto, h ( x ) es continua en [2, 3].
h ( 2 ) = 1,125 > 0h ( 3 ) = 0,675 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (2, 3), tal que h ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (2, 3), por tanto, h ( c ) = f ( c ) g ( c ) = 0 f ( c ) = g ( c ).
135 Demustrese que las grficas de las funciones f ( x ) = e x y g xx
( ) = 1 se cortan en un punto x > 0.(Castilla y Len. Junio 2004. Prueba A. Cuestin 2)
Consideramos la funcin h x ex
x( ) = 1 .
f ( x ) es continua en R y g ( x ) es continua en R {0}, por tanto, h ( x ) es continua en R {0}.h ( 0,5 ) = 0,351 < 0h ( 1 ) = 1,718 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0,5; 1), tal que h ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0,5; 1), por tanto, h ( c ) = f ( c ) g( c ) = 0 f ( c ) = g ( c ), es decir, las funciones se cortan en un punto de este intervalo.
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lmites y continuidad
448
136 Dada la funcin f x x sen x( ) =
4
, demuestra que existe (0, 4)
tal que f () = f ( + 1). Menciona los resultados tericos que utilices.(Navarra. Junio 2007. Grupo 2. Opcin C)
Consideramos la funcin g x x sen x x sen x( ) ( ) ( )=
+ +
4
14
1 .
f ( x ) es continua en R, por tanto, g ( x ) es continua en [0, 4].
g( )02
20= < g( )4 5 2
20= >
Aplicamos el teorema de Bolzano Existe (0, 4), tal que g ( ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 4), por tanto: g f f f f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = +1 0 1
PREPARA TU SELECTIVIDAD
1 calcula:
a) limnnn
n
+
++
`
21
1 5
b) lim
n n n nnn+
+ +`
4 3 42 35
(Madrid. Ao 2008. Modelo. Opcin A. Ejercicio 2)
a) limn
n
limn
n
n
n
+
+
++
+
`
`
`
2
11
2
1 5
11
1 52
11
+
=
++
+
ne
n limn
nn `
+
= +( )
( )(1 5
2 1n lim
n n
en `11 5
1
1 5
1 55
1
+
+
=
= = =+
n
n
limn
ne ee
n
)
`
b) limn n n n
nn
+
+ +
`
` `4 3 42 3
5
limn n n n
nn++
+=
`
4 3 42 3
5
= + ( ) + + ( )
++lim
n n n n n n n n
nn `
4 3 4 4 3 42 3 2 3
5( ) nn n n n4 3 42 3+ + ( )=
= + +
+ + + ( )=
+lim
n n n n
n n n n nn `
4 3 4
4 3 4
2 3
5 2 3( )
= +
+ + + ( )=
+lim
n n
n n n n nn `2 3
5 2 31
3
4 3 4( )
2 calcule:
(Galicia. Septiembre 2005. Bloque 4. Pregunta 1)
3 Determina el valor de a para el cual:
(La Rioja. Junio 2000. Propuesta A. Ejercicio 4)
4 Determina el valor de a para el cual:
(La Rioja. Junio 2001. Propuesta A. Ejercicio 4)
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lmites y continuidad 7Solucionario
449
Dada la funcin , demuestra que existe (0, 4)
tal que f () = f ( + 1). Menciona los resultados tericos que utilices.(Navarra. Junio 2007. Grupo 2. Opcin C)
Consideramos la funcin .
f ( x ) es continua en R, por tanto, g ( x ) es continua en [0, 4].
Aplicamos el teorema de Bolzano Existe (0, 4), tal que g ( ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 4), por tanto:
PREPARA TU SELECTIVIDAD
calcula:
(Madrid. Ao 2008. Modelo. Opcin A. Ejercicio 2)
= + ( ) + + ( )
++lim
n n n n n n n n
nn `
4 3 4 4 3 42 3 2 3
5( ) nn n n n4 3 42 3+ + ( )=
2 calcule:
a) lim n n nn+
+ ( )`
2 5 4
b) limn
n
n+ +
`
2 8
2 1
(Galicia. Septiembre 2005. Bloque 4. Pregunta 1)
a) lim n n nn
+
+ ( ) `
` `2 5 4
lim n n n limn n n n n
n n + + + +( ) = + +( ) +
` `
22 2
5 45 4 5 44
5 42+( )
+ +=
n
n n n
= + + +
= ++ +
lim n n n
n n nlim
n
nn n ` `
2 2
2 2
5 4
5 4
5 4
55 4
5
2n n+ +=
b) lim limn
n
n n
n
n + + + +
=` `
2 8
2
2
21 11
3
1
22
2
1
2
2
2
=
+ +n n n
lim `
=
1
2
3 Determina el valor de a para el cual:
lim x x axx +
+ +( ) =`
2 4 1 12
(La Rioja. Junio 2000. Propuesta A. Ejercicio 4)
lim x x ax
limx x ax
x
x
+
+
+ +( ) =
= + +( )
`
`
2 4 1
2 4 1 2
2
2 xx x ax
x x ax
+ + +( )+ + +
=4 1
2 4 1
2
2
lim x x ax
limx x ax
x
x
+
+
+ +( ) =
= + +( )
`
`
2 4 1
2 4 1 2
2
2 xx x ax
x x ax
+ + +( )+ + +
=4 1
2 4 1
2
2
= + + +
= + +
lim x x ax
x x axlim
axx x ` `
4 4 1
2 4 1
2 2
2
11
2 4 1
41 4
2x x ax
aa
+ + +=
= = =
4 Determina el valor de a para el cual:
limx
xe
x
ax
+
+
=`
3
(La Rioja. Junio 2001. Propuesta A. Ejercicio 4)
limx
x
limx
x
x
ax
x
+
+
+
+
`
`
`
31
3 =
+
+
ax lim x
xax
e x `3
1
+
= = =
=
+ +e e
e
limx x ax
xlim
axxx x ` `
( )3 3
3 aa e a a= = = 3 1 13
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lmites y continuidad
450
5 Estudia si la funcin:
f x
x x
x xx
( ) =
< 0 No podemos aplicar el teorema de Bolzano en (1, 0) porque f ( 0 ) y f (1) no tienen signos distintos.
8 Demostrar que la ecuacin tiene al menos una solucin en el intervalo (1, 2).
(Castilla y Len. Junio 2008. Prueba B. Cuestin 3)
Consideramos la funcin .
f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [1, 2].
f ( 1 ) = 3 < 0f ( 2 ) = 5 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (1, 2), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (1, 2), por tanto, la ecuacin tiene al menos una solucin en este intervalo.
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lmites y continuidad 7Solucionario
451
Estudia si la funcin:
es continua en los puntos x = 1 y x = 2. (Castilla-La Mancha. Junio 2005. Bloque 1. Pregunta A)
La funcin tiene una discontinuidad de salto finito en el punto x = 1.
Determinar los valores de a y b para que la funcin siguiente sea continua en todos los puntos.
(Canarias. Junio 2004. Opcin A. Cuestin 1)
f ( x ) est formada por dos funciones polinmicas, por tanto, continuas, y una funcin racional que no est definida en x = 0, pero que es continua en el intervalo (1, +`). As la funcin es continua en todos los puntos si lo es en los puntos en los que cambia su expresin algebraica.
La funcin es continua en x = 0 si:
La funcin es continua en x = 1 si:
7 Busca algn criterio que te permita afirmar que la ecuacin:
x x x3 2 7 1 0+ + =tiene al menos una solucin en el intervalo (0, 1). Qu te dice ese criterio para el intervalo (1, 0)? razona la respuesta.(La Rioja. Septiembre 2007. Propuesta A. Ejercicio 3)
Consideramos la funcin f x x x x( ) = + +3 2 7 1.f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [0, 1].
f ( 0 ) = 1 > 0f ( 1 ) = 4 < 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (0, 1), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (0, 1), luego la ecuacin tiene alguna solucin en este intervalo.
f (1) = 8 > 0 No podemos aplicar el teorema de Bolzano en (1, 0) porque f ( 0 ) y f (1) no tienen signos distintos.
8 Demostrar que la ecuacin x x3 5 0+ = tiene al menos una solucin en el intervalo (1, 2).
(Castilla y Len. Junio 2008. Prueba B. Cuestin 3)
Consideramos la funcin f x x x( ) = + 3 5. f ( x ) es continua en R, luego f ( x ) es continua en [1, 2].
f ( 1 ) = 3 < 0f ( 2 ) = 5 > 0Aplicamos el teorema de Bolzano Existe c (1, 2), tal que f ( c ) = 0, es decir, la funcin se anula en algn punto del intervalo (1, 2), por tanto, la ecuacin tiene al menos una solucin en este intervalo.
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La libreta amarillaRobert Saladrigas
Al protagonista de esta novela, Alexis Casas, siendo nio, un to suyo que era un comerciante con alma aventurera le haba contado la historia de Pierre de Fermat, un magistrado del Ayuntamiento de Toulouse, casado y padre de cinco hijos, que dedicaba sus ratos libres a leer libros de matemticas. En el margen de uno de los libros que estaba leyendo, Fermat escribi: Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en suma de dos cubos, una potencia cuarta en suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia ms alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostracin excelente. El margen es demasiado pequeo para que dicha demostracin quepa en l. El magistrado nunca public sus ideas matemticas. Fue uno de los hijos quien, despus de su muerte, tomndolas de aqu y de all, las recopil en un libro donde curiosamente no aparece ninguna prueba del enunciado anterior, mal llamado teorema de Fermat, porque, mientras no se descubra una demostracin, slo es una conjetura. Cuando el to le cont esta historia a Alexis (hacia 1955), nadie haba conseguido demostrarlo. Ms adelante, cuando un profesor de matemticas le confirm la historia de aquel juez, cuya imagen Alexis confunda con la del mosquetero Aramis, sinti el deseo de dedicarse a resolver esa conjetura. Pero, sobre ese sueo, se impuso la pasin de volar. A los cincuenta y dos aos, despus de ms de veinte trabajando como piloto, un da un amigo le habla de un libro titulado El enigma de Fermat. Leyndolo se entera de que un joven matemtico, de nombre Wiles, acababa de cumplir, en 1994, el sueo que ambos haban tenido en la infancia. Y esto le hace cambiar de vida.
La novela es el relato de esta transformacin y, en ella aparecen numerosas referencias a las matemticas que dan pie para plantear diversas actividades didcticas.
Pese a su aislamiento, a Marc le suceden algunas cosas interesantes como la visita del gran escritor Julio Cortzar, convertido por el autor de la novela en un personaje de ficcin.
L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S
La libreta amarillaPocas semanas antes, Alexis [un piloto de cincuenta y dos aos] haba coincidido en el aeropuerto de Barcelona con un viejo compaero de juventud, Joaqun Subirs, jefe de marketing de un grupo editorial. Subirs recordaba que en un tiempo Alexis se haba sentido seriamen-te atrado por las matemticas. As que aprovechando el encuentro casual, le recomend con vehemencia un libro singular que su empre-sa tena en fase de produccin. Subirs insisti en que de ninguna de las maneras deba perdrselo y se ofreci, tan pronto como saliera, a enviarle un ejemplar.
El ttulo original de la obra era Fermats Last Theorem, de un tal Simon Singh, britnico de origen punjabi, doctorado en Fsica por la Univer-sidad de Cambridge. []
Quince das ms tarde adquira la edicin inglesa en la Gotham Book Mark de la calle 47 Oeste, el santuario librero que sola visitar cuando paraba en Nueva York. Despus pidi que le subieran una cena fra a la habitacin. Saba perfectamente qu le aguardaba. No pudo interrum-pir ni un solo momento la lectura compulsiva. Hasta que sobre las once, con un intenso escozor en los ojos, cerr lentamente el libro.
Estaba trastornado.
Lo posea una antigua y oxidada emocin [por haber ledo que un matemtico de nombre Wiles, despus de siete aos de intenso traba-jo, haba conseguido demostrar por fin el ltimo teorema de Fermat, algo que desde el siglo XVII nadie haba logrado. Tambin l, siendo adolescente, cuando conoci este misterioso teorema a travs de un to y de un profesor de matemticas] se convenci de que estaba predes-tinado a triunfar donde las ms grandes inteligencias del planeta ha-ban fracasado. [] Pero es sabido que en el segmento de la adoles-cencia las prioridades mudan con los climas de las estaciones. De manera que sin ninguna aspereza ni violencia, entre la candidez de Alexis y la vieja astucia de Fermat se interpuso la pasin de volar. Alexis sustituy gradualmente la voluntad de indagacin por el afn de experimentacin. []
El conocimiento de la proeza de Wiles no lo llevaba a dolerse por una hipottica prdida, sino a verse reflejado en su ejemplaridad con una determinacin que de inmediato cal en las honduras de su con-ciencia: no cometera nuevamente el error o la cobarda de renunciar por nada del mundo a la consecucin de un ideal (por llamarlo de alguna manera) que, cosa ms que probable, sera el ltimo sueo turbador de su vida.
RobeRt SaladRigaS
Nmeros realesDerivada de una funcin8
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453
8SOLUCIONARIOLa libreta amarillaRobert Saladrigas
Al protagonista de esta novela, Alexis Casas, siendo nio, un to suyo que era un comerciante con alma aventurera le haba contado la historia de Pierre de Fermat, un magistrado del Ayuntamiento de Toulouse, casado y padre de cinco hijos, que dedicaba sus ratos libres a leer libros de matemticas. En el margen de uno de los libros que estaba leyendo, Fermat escribi: Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en suma de dos cubos, una potencia cuarta en suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia ms alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostracin excelente. El margen es demasiado pequeo para que dicha demostracin quepa en l. El magistrado nunca public sus ideas matemticas. Fue uno de los hijos quien, despus de su muerte, tomndolas de aqu y de all, las recopil en un libro donde curiosamente no aparece ninguna prueba del enunciado anterior, mal llamado teorema de Fermat, porque, mientras no se descubra una demostracin, slo es una conjetura. Cuando el to le cont esta historia a Alexis (hacia 1955), nadie haba conseguido demostrarlo. Ms adelante, cuando un profesor de matemticas le confirm la historia de aquel juez, cuya imagen Alexis confunda con la del mosquetero Aramis, sinti el deseo de dedicarse a resolver esa conjetura. Pero, sobre ese sueo, se impuso la pasin de volar. A los cincuenta y dos aos, despus de ms de veinte trabajando como piloto, un da un amigo le habla de un libro titulado El enigma de Fermat. Leyndolo se entera de que un joven matemtico, de nombre Wiles, acababa de cumplir, en 1994, el sueo que ambos haban tenido en la infancia. Y esto le hace cambiar de vida.
La novela es el relato de esta transformacin y, en ella aparecen numerosas referencias a las matemticas que dan pie para plantear diversas actividades didcticas.
Pese a su aislamiento, a Marc le suceden algunas cosas interesantes como la visita del gran escritor Julio Cortzar, convertido por el autor de la novela en un personaje de ficcin.
Fermat tambin contribuy al desarrollo del clculo infinitesimal con resultados interesantes, como este: Si una funcin derivable tiene un extremo relativo en un punto, su derivada en ese punto debe ser nula. Justifica este teorema.
Si x0 es un extremo relativo de una funcin derivable, ya sea un mximo o un mnimo, la recta tangente a dicha funcin por este punto es una recta horizontal, es decir, una recta cuya pendiente es igual a cero. Como la derivada de una funcin en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en dicho punto tenemos que: f x'( )0 0=
L I T E R AT U R A Y M AT E M T I C A S
La libreta amarillaPocas semanas antes, Alexis [un piloto de cincuenta y dos aos] haba coincidido en el aeropuerto de Barcelona con un viejo compaero de juventud, Joaqun Subirs, jefe de marketing de un grupo editorial. Subirs recordaba que en un tiempo Alexis se haba sentido seriamen-te atrado por las matemticas. As que aprovechando el encuentro casual, le recomend con vehemencia un libro singular que su empre-sa tena en fase de produccin. Subirs insisti en que de ninguna de las maneras deba perdrselo y se ofreci, tan pronto como saliera, a enviarle un ejemplar.
El ttulo original de la obra era Fermats Last Theorem, de un tal Simon Singh, britnico de origen punjabi, doctorado en Fsica por la Univer-sidad de Cambridge. []
Quince das ms tarde adquira la edicin inglesa en la Gotham Book Mark de la calle 47 Oeste, el santuario librero que sola visitar cuando paraba en Nueva York. Despus pidi que le subieran una cena fra a la habitacin. Saba perfectamente qu le aguardaba. No pudo interrum-pir ni un solo momento la lectura compulsiva. Hasta que sobre las once, con un intenso escozor en los ojos, cerr lentamente el libro.
Estaba trastornado.
Lo posea una antigua y oxidada emocin [por haber ledo que un matemtico de nombre Wiles, despus de siete aos de intenso traba-jo, haba conseguido demostrar por fin el ltimo teorema de Fermat, algo que desde el siglo XVII nadie haba logrado. Tambin l, siendo adolescente, cuando conoci este misterioso teorema a travs de un to y de un profesor de matemticas] se convenci de que estaba predes-tinado a triunfar donde las ms grandes inteligencias del planeta ha-ban fracasado. [] Pero es sabido que en el segmento de la adoles-cencia las prioridades mudan con los climas de las estaciones. De manera que sin ninguna aspereza ni violencia, entre la candidez de Alexis y la vieja astucia de Fermat se interpuso la pasin de volar. Alexis sustituy gradualmente la voluntad de indagacin por el afn de experimentacin. []
El conocimiento de la proeza de Wiles no lo llevaba a dolerse por una hipottica prdida, sino a verse reflejado en su ejemplaridad con una determinacin que de inmediato cal en las honduras de su con-ciencia: no cometera nuevamente el error o la cobarda de renunciar por nada del mundo a la consecucin de un ideal (por llamarlo de alguna manera) que, cosa ms que probable, sera el ltimo sueo turbador de su vida.
RobeRt SaladRigaS
Nmeros realesDerivada de una funcin
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454
Derivada de una funcin
004 Halla la derivada de las funciones en los puntos x = 1 y x = 2.
a) f (x) = x3 b)
a)
b)
005 Halla la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f (x) = 6x2 + 1 en x = 1.
006 Cul es la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f (x) = x3 en x = 1?
007 Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin f (x) = x2 + 3 en el punto P (1, 4). Cul es la ecuacin de la recta normal?
La ecuacin de la recta tangente es:
La ecuacin de la recta normal es:
ANTES DE COMENZAR RECUERDA
001 Estudia la continuidad de estas funciones.
a) f xx
x( ) =
2 1 b) g x x( ) = +2 7 c) h x x( ) = ln 3
a) Continua en R { , }1 1 b) Continua en R c) Continua en ( , )0 +`
002 Deriva las siguientes funciones.
a) f(x) = x9 b) f(x) = 7x c) f(x) = log5 x d) f x x( ) =
a) f x x'( ) = 9 8 b) f x x'( ) ln= 7 7 c) f xx
'( )ln
= 15
d) f xx
'( ) = 12
ACTIVIDADES
001 Halla la tasa de variacin media de las funciones: f (x) = x2 + 1 g (x) = x3 + 7en los intervalos [0, 1] y [2, 1].
a) T V Mf f
. . ([ , ])( ) ( )
. 0 11 0
1 0
2 1
11=
= =
T V Mf f
. . ([ , ])( ) ( )
( ). =
= = 2 1 1 2
1 2
2 5
13
b) T V Mg g
. . ([ , ])( ) ( )
. 0 11 0
1 0
8 7
11=
= =
T V M
g g. . ([ , ])
( ) ( )
( )
( ). =
= =2 1 1 2
1 2
6 1
177
002 El espacio, en metros, que recorre un mvil en funcin del tiempo, en segundos,
viene descrito por la frmula e t t= +13
2 . Halla su velocidad media en [1, 5].
T V Me e
. . ([ , ])( ) ( )
. 1 55 1
5 1
1
325 5
1
31 1
4=
=
+ = 112
43= m/s
003 Calcula la derivada de estas funciones en x = 2.
a) f (x) = 7x + 1 b) f xx
( ) = 12
a) f limf h f
hlim
h
hh h'( )
( ) ( ) ( )2
2 2 7 2 1 150 0
= + = + +
== =lim hhh0
77
b) f limf h f
hlim
h
hh h'( )
( ) ( ) ( )2
2 2
1
2
1
40 0
2
= + =+
=
llim
h h
h hh0
2
2
4 4 4
4 2
+ ++
=( )( )
= +
= +
= lim h hh h
limh
hh h 0
2
2 0 2
4
4 2
4
4 2
1
4( ) ( )
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-
Derivada de una funcin
455
8SOLUCIONARIO
004 Halla la derivada de las funciones en los puntos x = 1 y x = 2.
a) f (x) = x3 b) f x x( ) =
a) f limf h f
hlim
h
hli
h h'( )
( ) ( ) ( )1
1 1 1 10 0
3
= + = + =
mmh h h
hlim h h
h
h
0
2 3
0
2
3 3
3 3 3
+ + =
= + + =( )
f limf h f
hlim
h
hli
h h'( )
( ) ( ) ( )2
2 2 2 80 0
3
= + = + =
mmh h h
hlim h h
h
h
0
2 3
0
2
12 6
12 6 12
+ + =
= + + =( )
b) f limf h f
hlim
h
hlim
h h h'( )
( ) ( )1
1 1 1 10 0
= + = + = 00
1 1 1 1
1 1
+ ( ) + +( )+ +( )
=h hh h
= + + +( )
=+ +
=lim hh h
limhh h 0 0
1 1
1 1
1
1 1
1
2
f limf h f
hlim
h
h
lim
h h
h
'( )( ) ( )
22 2 2 2
0 0= + = + =
=
0 0
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
+ ( ) + +( )+ +( )
= + + +
h h
h hlim
h
h hh (( )=
=+ +
= =limhh01
2 2
1
2 2
2
4
005 Halla la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f (x) = 6x2 + 1 en x = 1.
f limf h f
hlim
h
hh h'( )
( ) ( ) ( )1
1 1 6 1 1 70 0
2
= + = + +
== + =
= + =
limh h
hlim h
h
h
0
2
0
12 6
12 6 12( )
006 Cul es la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f (x) = x3 en x = 1?
f limf h f
hlim
h
hli
h h'( )
( ) ( ) ( )1
1 1 1 10 0
3
= + = + =
mmh h h
hlim h h
h
h
0
2 3
0
2
3 3
3 3 3
+ + =
= + + =( )
007 Halla la ecuacin de la recta tangente a la grfica de la funcin f (x) = x2 + 3 en el punto P (1, 4). Cul es la ecuacin de la recta normal?
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( ) = + = + +1 1 1 1 3
0 0
2
= + =
= + =
4 2
2 2
0
2
0
hlim
h h
hlim h
h
h
( )
La ecuacin de la recta tangente es: y x y x = + = +4 2 1 2 2( )
La ecuacin de la recta normal es: y x y x = + = +4 12
11
2
9
2( )
ANTES DE COMENZAR RECUERDA
001 Estudia la continuidad de estas funciones.
a) b) c)
a) Continua en b) Continua en R c) Continua en ( , )0 +`
002 Deriva las siguientes funciones.
a) f(x) = x9 b) f(x) = 7x c) f(x) = log5 x d)
a) b) c) d) f xx
'( ) = 12
ACTIVIDADES
001 Halla la tasa de variacin media de las funciones: f (x) = x2 + 1 g (x) = x3 + 7en los intervalos [0, 1] y [2, 1].
a)
b)
002 El espacio, en metros, que recorre un mvil en funcin del tiempo, en segundos,
viene descrito por la frmula . Halla su velocidad media en [1, 5].
m/s
003 Calcula la derivada de estas funciones en x = 2.
a) f (x) = 7x + 1 b)
a)
b) f limf h f
hlim
h
hh h'( )
( ) ( ) ( )2
2 2
1
2
1
40 0
2
= + =+
=
llim
h h
h hh0
2
2
4 4 4
4 2
+ ++
=( )( )
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456
Derivada de una funcin
011 Estudia la continuidad y derivabilidad de esta funcin en el punto x = 2.
f(x) es continua en x = 2.
Las derivadas laterales existen pero son distintas, por tanto, f(x) no es derivable en x = 2.
012 Decide si la funcin f (x) = x + 2 es continua y derivable en los siguientes puntos.a) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 5
a) f(x) es continua en x = 0.
Las derivadas laterales existen y son iguales, por tanto, f(x) es derivable en x = 0.
b) f(x) es continua en x = 2.
Las derivadas laterales existen pero no son iguales, por tanto, f(x) no es derivable en x = 2.
c) f(x) es continua en x = 3.
Las derivadas laterales existen y son iguales, por tanto, f(x) es derivable en x = 3.
d) f(x) es continua en x = 5.
Las derivadas laterales existen y son iguales, por tanto, f(x) es derivable en x = 5.
008 Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la funcin f (x) = 2x3 + 3 en los puntos x = 1 y x = 1.Comprueba que son paralelas a la recta y = 6x.
f(1) = 5
f limf h f
hlim
h
hh h'( )
( ) ( ) ( )1
1 1 2 1 3 50 0
3
= + = + +
== + + =
= + + =
limh h h
hlim h h
h
h
0
2 3
0
2
6 6 2
6 6 2 6( )
La ecuacin de la recta tangente es: y x y x = = 5 6 1 6 1( ) f(1) = 1
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( ) = + = + +1 1 1 2 1
0 0
3
33 1 6 6 2
6 6 2 6
0
2 3
0
2
= + =
= + =h
limh h h
hlim h h
h
h
( )
La ecuacin de la recta tangente es: y x y x = + = +1 6 1 6 7( ) Las rectas son paralelas a la recta y = 6x porque su pendiente es 6.
009 Calcula las derivadas laterales de la funcin f (x) en el punto de abscisa x = 2.
f x x xx x
( ) = +
-
Derivada de una funcin
457
8SOLUCIONARIO
011 Estudia la continuidad y derivabilidad de esta funcin en el punto x = 2.
f x x xx x
( ) = + <
1 21 22
sisi
lim x lim x fx x
2 2
21 1 3 2+ ( ) ( ) ( )+ = = =
f(x) es continua en x = 2.
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( )
22 2 2 1
0 0
2+ = + = +
+ +33 4
4 40
2
0
hlim
h h
hlim h
h
h
= + =
= + =
+
+( )
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( )
22 2 2 1 3
0 0
= + = + + hh
limh
hh= =
01
Las derivadas laterales existen pero son distintas, por tanto, f(x) no es derivable en x = 2.
012 Decide si la funcin f (x) = x + 2 es continua y derivable en los siguientes puntos.a) x = 0 b) x = 2 c) x = 3 d) x = 5
a) lim x lim x fx x
0 0
2 2 2 0+ ( ) ( ) ( )+ = + = = f(x) es continua en x = 0.
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( )
00 0 0 2 2
0 0
+ = + = + + + + hh
limh
hh= =
01
+
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( )
00 0 0 2 2
0 0
= + = + + hh
limh
hh= =
01
Las derivadas laterales existen y son iguales, por tanto, f(x) es derivable en x = 0.
b) lim x lim x fx x
+ = = = 2 2
2 2 0 2+ ( ) ( ) ( ) f(x) es continua en x = 2.
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( ) = + = ++2 2 2 2
0 0 + +++ = =2 1
0hlim
h
hh +
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( = + = +2 2 2 2
0 0 )) = = 2 1
0hlim
h
hh
Las derivadas laterales existen pero no son iguales, por tanto, f(x) no es derivable en x = 2.
c) lim x lim x fx x
3 3
2 2 5 3+ ( ) ( ) ( )+ = + = = f(x) es continua en x = 3.
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( )
33 3 3 2 5
0 0
+ = + = + + + + hh
limh
hh= =
01
+
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( )
33 3 3 2 5
0 0
= + = + + hh
limh
hh= =
01
Las derivadas laterales existen y son iguales, por tanto, f(x) es derivable en x = 3.
d) lim x lim x fx x
= = = 5 5
2 2 3 5+ ( ) ( ) ( ) f(x) es continua en x = 5.
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( = + = ++5 5 5 5
0 0 + +)) = = 2 3 1
0hlim
h
hh +
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( = + = +5 5 5 5
0 0 )) = = 2 3 1
0hlim
h
hh
Las derivadas laterales existen y son iguales, por tanto, f(x) es derivable en x = 5.
008 Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la funcin f (x) = 2x3 + 3 en los puntos x = 1 y x = 1.Comprueba que son paralelas a la recta y = 6x.
f(1) = 5
La ecuacin de la recta tangente es:
f(1) = 1
f limf h f
hlim
hh h
'( )( ) ( ) ( ) = + = + +1 1 1 2 1
0 0
3
33 1 6 6 2
6 6 2 6
0
2 3
0
2
= + =
= + =h
limh h h
hlim h h
h
h
( )
La ecuacin de la recta tangente es:
Las rectas son paralelas a la recta y = 6x porque su pendiente es 6.
009 Calcula las derivadas laterales de la funcin f (x) en el punto de abscisa x = 2.
Las derivadas laterales no son iguales f(x) no es derivable en x = 2.
010 Halla las derivadas laterales de las siguientes funciones en el punto de abscisa x = 0.
a)
b) f (x) =
a)
Las derivadas laterales no son iguales f(x) no es derivable en x = 0.
b)
no existe, ya que h es un nmero negativo y la funcin no est definida para nmeros negativos f(x) no es derivable en x = 0.
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458
Derivada de una funcin
b)
016 Halla las derivadas de f (x) = 6x2 y g(x) = x. Cul es la derivada de su producto?
Y de ?
017 Utiliza las definiciones de composicin de funciones y de derivada para comprobar que se cumple la regla de la cadena.
018 Halla la derivada de la funcin k (x) = utilizando la definicin de derivada, y comprueba que el resultado es el mismo que si aplicas la regla de la cadena.
013 Halla la funcin derivada de f (x) = 3x2 + 1 aplicando la definicin. A partir del resultado, calcula la derivada de f (x) en estos puntos.
a) x = 1b) x = 2
f x limf x h f x
hlim
x hh h
'( )( ) ( ) ( ) (= + = + +
0 0
23 1 3xx
hlim
hx h
hlim x h x
h
h
2
0
2
0
1 6 3
6 3 6
= + =
= + =
)
( )
a) f'( )1 6=b) f'( )2 12=
014 Utiliza la definicin para calcular la funcin derivada de la funcin f (x) = x3 + x2. Calcula, despus, las derivadas sucesivas. Existen todas hasta la derivada n-sima?
f x limf x h f x
hlim
x h x hh h
'( )( ) ( ) ( ) ( )= + = + + +
0 0
3 22 3 2
0
2 2 3 23 3 2
+ =
= + + + + =
=
( )x x
h
limhx h x h hx h
hli
h
mm x hx h x h x xh0
2 2 23 3 2 3 2( )+ + + + = +
f x limf x h f x
hlim
x hh h
"' '
( )( ) ( ) ( ) (= + = + +
0 0
23 2 xx h x x
h
limhx h h
hlim
h h
+ + =
= + + =
) ( )
(
3 2
6 3 26
2
0
2
0 xx h x+ + = +3 2 6 2)
f x limf x h f x
hlim
x hh h
'''" "
( )( ) ( ) ( )= + = + +
0 0
6 2 + = =( )6 2 6 60
x
hlim
h
hh
f x limf x h f x
hlim
hh hIV )( )
(