solucionario matemáticas anaya 2 bachillerato

8/12/2019 Solucionario Matemticas Anaya 2 Bachillerato

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Nmeros irracionales

Demuestra que es irracional. Para ello, supn que no lo es: = . Eleva

al cuadrado y llega a una contradiccin.

Supongamos que no es irracional. Entonces, se podra poner en forma de fraccin:

= 8 2 = 8 p 2 = 2q2

En p2, el factor 2 est un nmero par de veces (es decir, en la descomposicin defactores primos de p2, el exponente de 2 es par). Lo mismo ocurre con q2. Por tan-to, en 2q2 el exponente de 2 es un nmero impar. De ser as, no se podra cumplirla igualdad.

Suponiendo que = llegamos a una contradiccin:

p2 = 2q2, pero p2 no puede ser igual a 2q2.

Por tanto, no puede ponerse en forma de fraccin. No es racional.

Obtn el valor de F teniendo en cuenta que un rectngulo de dimensionesF : 1 es semejante al rectngulo que resulta de suprimirle un cuadrado.

= 8 F(F 1) = 1 8 F2 F 1 = 0

F = =

Como F ha de ser positivo, la nica solucin vlida es F = .5 + 1

2

1 + 5

21

5

(negativo)2

1 1 + 4

2

1

F 1

F

1

F1

F

1

2

p

q2

p2

q2p

q2

2

p

q

22

Unidad 1. Nmeros reales2


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Pgina 28

1. Sita los siguientes nmeros en el diagrama:

; 5; 2; 4,5; 7,

)

3; ; ; ;

2. Sita los nmeros del ejercicio anterior en los siguientes casilleros. Cada n-mero puede estar en ms de una casilla.

Aade un nmero ms (de tu cosecha) en cada casilla.

NATURALES,N 5;

64

ENTEROS, Z 5; 2;

64;3

27

RACIONALES, Q 5; 2; 4,5; 7,)

3;3

27;

64

REALES, 3; 5; 2; 4,5; 7,

)

3; 36;

64;3

27

NO REALES

8

NATURALES,N

ENTEROS, Z

RACIONALES, Q

REALES,

NO REALES

Q

Z N

4,5

25

7,)

3

3

8

64 = 8

3

6

3

27 = 3

Q

Z N

83

27643

63

Unidad 1. Nmeros reales 3

1UNIDAD


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Pgina 29

3. Representa los siguientes conjuntos:

a) (3, 1) b) [4, +@

) c) (3, 9] d) ( @

, 0)

4. Representa los siguientes conjuntos:

a) {x/ 2 x< 5} b) [2, 5) (5, 7]

c) (@

, 0)

(3, +@

) d) ( @

, 1)

(1, +@

)

Pgina 30

1. Halla los siguientes valores absolutos:a) |11| b) || c) | |

d) |0| e) |3 | f) |3 |

g) |1 | h) | | i) |7 |

a) 11 b) c)

d) 0 e) |3 | = 3

f) |3 | = 3 g) |1 | = 1

h) | | = i) |7 | = 7

2. Averigua para qu valores de x se cumplen las siguientes relaciones:

a) |x| = 5 b) |x| 5 c) |x 4| = 2

d) |x 4| 2 e) |x 4| > 2 f ) |x + 4| > 5

a) 5 y 5 b) 5 x 5; [5, 5]

c) 6 y 2 d) 2 x 6; [2, 6]

e) x < 2 o x > 6; (@, 2) (6, +@) f) x < 9 o x> 1; (@, 9) (1, +@)

50502332

2222

5

50322

2

5

a)

c)

b)

d)0 1

0 52 2 0 5 7

0 3

a)

c)

b)

d)

3

3

1 0

0 96

0

0

4



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Pgina 31

1. Simplifica:

a) b) c)d) e) f)

a) = b) =

c) =y2 d) = =

e) = = = f ) = =

2. Cul es mayor, o ?

Reducimos a ndice comn:

= ; =

Por tanto, es mayor .

3. Reduce a ndice comn:

a) y b) y

a) = ; = b) = ;

4. Simplifica:

a) ( )8

b) c)

a)( )8

= k b) = c) = x

Pgina 32

5. Reduce:

a) b) c) d)

a) =

b) =

c) =

d) = = = 21225

12217

12(23)3 (22)4

1244

1283

827

82

822

824

635

63

634

1528

1523

1525

34

48

82

422

63

39

52

32

6x6

3x2

15x10

8k

3

(x)6

5

3

x10

k

9132650

9132651

351

36a14

18a7

36a15

12a5

9132650

351

18a7

12a5

431

1228561

313

1229791

431

313

431

3834

881

34

322

926

964

2623

68

5y10

3x2

12x8

4x3

12x9

881

964

68

5y

1012x

812x

9


1UNIDAD


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6. Simplifica:

a) b) c) d)

a) = = b)6

=

c)6

=6

= d)4

=4

=4

7. Reduce:

a) b) c) d

a) = b)6

= =

c)10

= = d)4

= = 3

8. Suma y simplifica:

a) 5 + 3 + 2

b) +

c) +

d) + +

e)

a) 10

b) 3 + 5 = 7

c) + = + =

= 3 + 5 2 = 5

d) + + = 3 5 + 2 + 2 = 5 3

e) = 5 3 = 22a2a2a2 32 a2 52 a

2323232322 32 5233

22222

2322 522 328250182222

x

18a50a

8125027

825018

225 29 2

xxx

434

36

32108

1023

28

25

332

634

36

3263

34

33

4729

3

516

2

933

332

3

a

b c

1c

a

b c5a3 b5 c

a2 b6 c66a1

1a

a3

a4

6a b

a3 b3

a2 b2x2

1x2

x3

x5

4a3 b5 c

a b3 c3

6a33a2

a b3a b

5x3x



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Pgina 33

9. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

a) =

b) = =

c) = =

d) = =

e) = = =

f) = = = =

g) = =

h) = = = =

i) = = = =

j) = = = =3105

231010

232 52 5

2322 52

23100

362

3366

332 32 3

3322 32

3336

32510

352

101

235

2323 5

1340

235

5

2

352

2

325

223

426

4

32

4

2 324

18

3210

3

52

3

2 523

50

aa2

1

a a

1

a3

213

7

373

3322

3322

334

577

5

7

23100

3336

1340

2325

4

18

3

50

1

a37

3

334

5

7


1UNIDAD


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10. Racionaliza denominadores y simplifica cuando puedas:

a) b)

c) d)

e) f)

g) + + h) +

a) = = 1

b) = =

c) = = + 1

d) =

e) = =

f ) = = = 5 + 2

g) + + = + 2 =

h) =

Pgina 36

1. Halla:

a) log2 16 b) log2 0,25 c) log9 1 d) log10 0,1

e) log4 64 f) log7 49 g) ln e4 h) ln e1/4

i ) log5 0,04 j ) log6 )1216(

2x

xy

x+

y+

x

y

xy

53

22

22

2 1

1

2 + 1

1

22

630 + 12

6

6

18 + 12 + 12 6

6

(32 + 2

3 )

2

18 12

23 +

5

7

23 +

5

12 5

23 +

5

(23

5 ) (2

3 +

5 )

x+y+ 2

x y

xy

(x+

y) (

x+

y)

(x

y) (

x

y)

a(a 1) (

a + 1)

(a 1)

(a 1) (a + 1)

(a 1) (

a + 1)

xxx

y+y

xy

y

xy

(x+y) (x

y )

xy

(x+y) (x

y )

(x+

y) (

x

y)

2

2 1

2 1

2 1

(2 + 1) (

2 1)

1

x+

y

1

x

y

1

2 + 1

1

2 1

1

2

32 + 2

3

32 2

3

1

23

5

x+

y

x

y

a 1

a 1

x+y

x+

y

1

2 + 1



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a) log2 16 = log2 24 = 4 b) log2 0,25 = log2 2

2 = 2

c) log9 1 = 0 d) log10 0,1 = log10 101 = 1

e) log4

64 = log4

43 = 3 f) log7

49 = log7

72 = 2

g) ln e4 = 4 h) ln e1/4 =

i) log5 0,04 = log5 52 = 2 j) log6 = log6 6

3 = 3

2. Halla la parte entera de:

a) log2 60 b) log5 700 c) log10 43000

d) log10

0,084 e) log9

60 f) ln e

a) 25 = 32 ; 26 = 64 ; 32 < 60 < 64

5 < log2 60 < 6 8 log2 60 = 5,

b) 54 = 625 ; 55 = 3125 ; 625 < 700 < 3125

4 < log5 700 < 5 8 log5 700 = 4,

c) 104 = 10000 ; 105 = 100000 ; 10000 < 43000 < 100000

4 < log10 43000 < 5 8 log10 43000 = 4,

d) 102 = 0,01 ; 101 = 0,1 ; 0,01 < 0,084 < 0,1

2 < log10 0,084 < 1 8 log10 0,084 = 1,

e) 91 = 9 ; 92 = 81 ; 9 < 60 < 81

1 < log9 60 < 2 8 log960 = 1,

f) ln e= 1

3. Aplica la propiedad para obtener los siguientes logaritmos con la ayuda de lacalculadora:

a) log2 1 500 b) log5 200

c) log100 200 d) log100 40

En cada caso, comprueba el resultado utilizando la potenciacin.

a) = 10,55; 210,55 1500 b) = 3,29; 53,29 200

c) = 1,15; 1001,15 200 d) = 0,80; 1000,80 40log40log100

log200log100

log200log5

log1500log2

8

)1216(

14


1UNIDAD


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4. Sabiendo que log5A = 1,8 y log5 B= 2,4, calcula:

a) log5 b) log5

a) log5

3

= [2 log5A log5 25 log5B] = [2 1,8 2 2,4] = 0,27

b) log5 = log5 5 + log5A 2 log5B= 1 + 1,8 2 2,4 = 1 + 2,7 4,8 = 1,1

5. Averigua la relacin que hay entre x e y, sabiendo que se verifica:

ln y= 2x ln5

ln y= 2x ln 5 8 ln y= ln e2x ln 5

ln y = ln 8 y=

Pgina 38

1. Di una cota del error absoluto y otra del error relativo en las siguientes medi-ciones:

a) La superficie de esta casa es de 96,4 m2.

b)Por la gripe se han perdido 37 millones de horas de trabajo.

c) Juana gana 19000 al ao.

a) |Error absoluto| < 0,05 m2

|Error relativo| < < 0,00052 = 0,052%

b) |Error absoluto| < 0,5 millones de horas = 500000 horas

|Error relativo| < < 0,014 = 1,4%

c) Si suponemos que los tres ceros finales se han utilizado para poder expresar lacantidad (es decir, que se trata de 19 mil , redondeando a los miles de eu-ros), entonces:

|E.A.| < 0,5 miles de = 500 |E.R.| < < 0,027 = 2,7%

Si suponemos que es 19000 exactamente:

|E.A.| < 0,5 |E.R.| < < 0,000027 = 0,0027%0,5

19000

0,5

19

0,5

37

0,05

96,4

e2x

5e2x

5

32

32

5A3

B2

0,83

13

13

A2

25B

5A3

B2

3 A2

25B



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2. Calcula en notacin cientfica sin usar la calculadora:

a) (800 000 : 0,0002) 0,5 1012

b) 0,486 105 + 93 109 6 107

a) (800000 : 0,0002) 0,5 1012 = ((8 105) : (2 104)) 5 1011 =

= (4 109) 5 1011 = 20 1020 = 2 1021

b) 0,486 105 + 93 109 6 107 = 48,6 107 + 0,93 107 6 107 =

= 43,53 107 = 4,353 106

3. Opera con la calculadora:a) (3,87 1015 5,96 109) : (3,941 106)

b) 8,93 1010 + 7,64 1010 1,42 109

a) (3,87 1015 5,96 109) : (3,941 106) 5,85 1012

b) 8,93 1010 + 7,64 1010 1,42 109 = 2,37 1010

Pgina 41

LENGUAJE MATEMTICO

1. Da nombre al conjunto sombreado en cada caso:

2. Expresa simblicamente estas relaciones:

a) 13 es un nmero natural.

b) 4 es un nmero entero.

c) 0,43 es un nmero racional.

N

M'N M (M N) (M N)

M NM N M N

N N

NU

N

M M M

M

M

M


1UNIDAD


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d) es un nmero real.

e) Todos los enteros son racionales.

f ) El intervalo [3, 4] est formado por nmeros reales.

a) 13 N

b) 4 Z

c) 0,43 Q

d)

e) Z Q

f) [3, 4]

3. Designa simblicamente estos conjuntos:

a) Los nmeros enteros mayores que 5 y menores que 7 (utiliza Zy el inter-valo abierto (5, 7)).

b) Los nmeros irracionales (utilizay Q).

c) Los nmeros racionales mayores que 2 y menores o iguales que 3.

d) Los nmeros que son mltiplos de 2 o de 3 (el conjunto de los mltiplos de

p se designap).

a) {xZ /x (5, 7)}

b) Q

c) {xQ / 2 5}

c) {xN /1 < x 9}

d) {xZ /2 x< 7}

a) Nmeros enteros mayores o iguales que 4.

b) Nmeros naturales mayores que 5.

c) Nmeros naturales mayores que 1 y menores o iguales que 9.

d) Nmeros enteros mayores o iguales que 2 y menores que 7.

5. Cules son los nmeros que forman el conjunto ( Q) [0, 1]?

Todos los irracionales comprendidos en el intervalo (0, 1).



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Pgina 45

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Nmeros racionales e irracionales

1 Expresa como fraccin cada decimal y opera:

0,)

12 5,)

6 0,23)

+ 3,1

Recuerda que 5,6)

= ; 0,23)

= .

+ = = 2,6

)

78

2 Demuestra que el producto 4,0)

9 1,3)

9 es un decimal exacto.

Comprueba, pasando a fraccin, que los dos factores son decimales exactos.

4,0)

9 = = = 4,1 1,3)

9 = = = 1,4

4,0)

9 1,3)

9 = 4,1 1,4 = 5,74

3 Calcula: a) b)

a) = = 1,)

3 b) = = 0,)

6

4 Indica cul, de cada par de nmeros, es mayor:

a) y b) 0,52)

6 y 0,)

526

c) 4,)

89 y 2 d) 2,098 y 2,1

a) b) 0,52)

6 c) 4,)

89 d) 2,098

5 Observa cmo hemos representado algunos nmeros irracionales:

0 1 D

B

H

GECA

F 2 3

1

2

2

6

214099

23

4

943

16

9

1,)

3

31,)7

12690

139 1390

36990

409 4090

442

165

31

10

21

90

51

9

12

99

23 2

90

56 5

9

PARA PRACTICAR


1UNIDAD


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En el tringulo OAB, = 1, = 1 y = = . Por tanto, el

punto D representa a . Qu nmeros representan los puntos Fy H?

Justifica tu respuesta.

F representa , pues = = = =

H representa , pues = = =

6 Cules son los nmeros racionales a, b, c, d representados en este grfico?

a = b= c = d=

Potencias

7 Halla sin calculadora: ( )2

( )1

+ 4

( )2

( )1

+ 4 = ( )2

( ) + 4 = 4 + 4 = 0

8 Simplifica, utilizando las propiedades de las potencias:

a) b)

c) d)

Mira el problema resuelto nmero 2 c).

a) = b) = =

c) = = d) =a2 c8

b6c7 a5 c

a3 b4 b21

7681

28 3

32 52 23

23 33 22 52

8027

24 5

3334 24 32

51 3552

36 25 52

36 26 5

a3 b4 c7

a5 b2 c1152 81

63 102

34 16 91

51 3536 25 52

93 43 5

94

43

49

34

79

13

34

32

17

57

47

27

m es un segmentocualquiera

m

m

m

m

m

m

m

m

a b c

d

1

0

6(5 )2 + 12OGOH6

3(2 )2 + 12OD2 + DC2OCOF3

2

212 + 12OAABOB


1


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9 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccio-nario y simplifica:

a) b) c)

a) a2/5 a1/2 = a9/10 =

b) =x1/6 =

c) a3/4 =

10 Resuelve, sin utilizar la calculadora:

a) b) c)d) e) f)

a) = 2 b) = 7 c) = 5

d) = = 0,5 e) = 24 = 16 f ) = 0,1

11 Expresa como una potencia de base 2:

a) b) (32)1/5 c) ( )4

a) 21/2 b) (25)1/5 = 2 c) 24/8 = 21/2

12 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:

a) 4 ( )3

b) ( )4

( )1

c) d)

a) 22 = =

b) = =

c) = = =

d) = =3400

3

52 2432 52

2 3 5 23 53

18125

2 32

5353 29 34

32 52 28 54(5)3 (23)3 (32)2

32 52 (22 5)4

9256

32

281

2332

21

24

92

32

2

(3)3

2313

(30)1 152

103(5)3 (8)3 (9)2

152 204

18

29

12

32

13

82

1

2

30,13

3212

12

14

454

373

525

30,001

3840,25

4

625

3

343

5

32

4a3

6x

x2/3

x1/2

10a9

14

a3

3

x2

x

a5a2


1UNIDAD


16/617

13 Expresa en forma de potencia, efecta las operaciones y simplifica:

a)

b) 161/4

a) = a7/4 =

b) (24)1/4 (22)1/3 (22)1/6 = 2 22/3 21/3 = 20 = 1

14 Justifica las igualdades que son verdaderas. Escribe el resultado correcto en

las falsas:

a) = 1 b) (32)3 ( )

2= 1

c) = d) ( )2

(3)2 =

a) Falsa. =

b) Verdadera. (32

)3

( )2

= 36

( )2

= 36

= = 1

c) Verdadera. = = =

= + =

d) Verdadera. ( )2

(3)2 = 32 = 32 = 9 = =

15 Demuestra, utilizando potencias, que:

a) (0,125)1/3 = 21

b) (0,25)1/2 = 2

a) (0,125)1/3 = ( )1/3

= ( )1/3

= ( )1/3

= = 21

b) (0,25)1/2 = ( )1/2

= ( )1/2

= ( )1/2

= (22)1/2 = 21

2214

25100

12

1

2318

1251000

809

81 19

19

1

321

(3)213

815

15

13

(1/3 1/5) (1/3 + 1/5)(1/3 1/5)

(1/32) (1/52)1/3 1/5

32 52

31 51

36

361

361

33127

a4

b4a2 b2

a2 b2

809

13

815

32 52

31 51

127

a2 b2

a2 b2

14a7

a3/4 a1

a a1/2

164

3 1

4

4

a3 a1

aa



17/617

Pgina 46

Radicales

16 Introduce los factores dentro de cada raz:

a) 2 b) 4 c)

d) e) 2 f)

a) = b)3

= = =

c) = d)

3

=

3

e) = = = f )3

=3

=3

17 Saca de la raz el factor que puedas:

a) b) 4 c)

d) e) f)

g) h) i)

a) = 2 b) 4 = 4 2 = 8 c) = 10

d) = 2a e) = f ) =

g) h) = 2 i) =

18 Simplifica:

a) b) c)

a)6

=6

=6

= ( )3/6

= ( )1/2

=

b)8

=8

=8

= ( )4/8

= ( )1/2

=

c)4

=4

= ( )2/4

= ( )1/2

= =52

5

4

54

54

52

422516

15

15

15 (

2 )4

1024

10416

10000

310

310

310 (

3 )3

1033

10327

1000

4 9

1 +1680,0016

60,027

5a12

25a16 9

a2 + 14 (a2 + 1)1a

4a

1316

1336

5

b

5a4

53 a2

24 b

3a2

323 a5

1023 53222332

324

a a

+9 164

a2 + 416

a3

1 1

+ 4 9125a2

16b38a5

10008316

325

352

3 553

823426

424 22

3

5

33 52

53 32

3

2x

22 3x

x2 23

316

324

342

43

4

324

33 23

3151

5

44

3 25

935

3x

82x3 1

433


1UNIDAD


18/617

19 Simplifica los siguientes radicales:

a) b) c)

d) e) f) :

a) = 2 b) = 33/6 = 31/2 = c) = 3

d) = = =

e)4

= = =

f ) : = : = 1

20 Reduce a ndice comn y ordena de menor a mayor:

a) , , b) ,

c) , d) , ,

a) , , ; = 1,19 109

32 Efecta:

7,268 1012

33 Expresa en notacin cientfica y calcula:

= 150(6 104)3 (2 105)4

104 7,2 107 (2 104)5

600003 0,000024

1002 72 000000 0,00025

2 107 3 105

4 106 + 105

5 103

2,65 106

5 102

1,58 105

0,5

141

5,431 103 6,51 104 + 385 102

8,2 103 2 104

(12,5 107 8 109) (3,5 105 + 185)9,2 106

(3,12 105 + 7,03 104) 8,3 108

4,32 103



23/617

34 Considera los nmeros:

A = 3,2 107 ; B= 5,28 104 y C= 2,01 105

Calcula . Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una

cota del error absoluto y otra del error relativo cometidos.

= 7,93 103

|E.A.| < 0,005 103 = 5 106

|E.R.| < 6,31 104

35 Si A = 3,24 106; B= 5,1 105; C= 3,8 1011 y D= 6,2 106, calcula

( + C) D. Expresa el resultado con tres cifras significativas y da una cotadel error absoluto y otra del error relativo cometidos.

( + C) D = 2,75 106

|E.A.| 0,005 106 = 5 103

|E.R.| < 1,82 103

Intervalos y valor absoluto

36 Expresa como desigualdad y como intervalo, y represntalos:

a) x es menor que 5.

b) 3 es menor o igual que x.

c) x est comprendido entre 5 y 1.

d) x est entre 2 y 0, ambos incluidos.

a)x< 5; (@, 5)

b) 3 x; [3, +@)

c) 5


24/617

37 Representa grficamente y expresa como intervalos estas desigualdades:

a) 3 x 2 b) 5 < x c) x2

d) 2 x< 3/2 e) 4 < x< 4,1 f) 3 x

a) [3, 2] b) (5, +@)

c) [2, +@) d) [2, )e) (4; 4,1) f ) [3, +@)

38 Escribe la desigualdad que verifica todo nmero x que pertenece a estos in-tervalos:

a) [2, 7] b) [13, +@) c) ( @, 0)

d) (3, 0] e) [3/2, 6) f) (0, +@)

a) 2 x 7 b)x 13 c)x< 0

d) 3 1 d) x< 3 y x2

Represntalos grficamente, y si son dos intervalos separados, como en a), es-

cribe: (@, 3)[5, +@)

a) (@, 3) [5, +@) b) (0, 4)

c) (@, 1] (1, +@) d) [2, 3)

41 Expresa, en forma de intervalo, los nmeros que cumplen cada una de es-tas expresiones:

a) |x| < 7 b) |x| 5 c) |2x| < 8

d) |x 1| 6 e) |x+ 2| > 9 f ) |x 5| 1

a) (7, 7) b) [ @, 5] [5, +@] c) (4, 4)

d) [5, 7] e) (11, 7) f) ( @, 4] [6, +@)

32

32


3 20

0

4 4,1 5

2

3

5

2 0

0

3/2


25/617

42 Averigua qu valores de x cumplen:

a) |x 2| = 5 b)|x 4| 7 c) |x+ 3| 6

a) 7 y 3

b) 3 x 11; [3, 11]

c)x9 y x 3; (@, 9] [3, +@)

43 Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que sepueda calcular la raz en cada caso:

a) b) c)

d) e) f)

a)x 4 0 x 4; [4, +@)

b) 2x+ 1 0 2x1 x ; [ , +@)c) x 0 x 0; (@, 0]

d) 3 2x 0 3 2x x ; (@, ]e) x 1 0 1 x; (@, 1]

f ) 1 + 0 2 +x 0 x2; [2, +@)

44 Halla la distancia entre los siguientes pares de nmeros:

a) 7 y 3 b)5 y 11 c) 3 y 9 d)3 y 4

a) |7 3| = 4

b) |11 5| = 6

c) |9 (3)| = |9 +3| = | 6| = 6

d) |4 (3)| = 7

45 Expresa como un nico intervalo:

a) (1, 6] [2, 5) b) [1, 3) (0, 3]

c) (1, 6] [2, 7) d) [1, 3) (0, 4)

a) (1, 6] [2, 5) = (1, 6]

b) [1, 3) (0, 3] = [1, 3]

c) (1, 6] [2, 7) = [2, 6]

d) [1, 3) (0, 4) = (0, 3)

x

2

32

32

12

12

x

1 + 2x 13 2xx2x+ 1x 4


1UNIDAD


26/617

Pgina 48

46 Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos:

a) Centro 1 y radio 2b) Centro 2,5 y radio 2,01

c) Centro 2 y radio 1/3

a) (1 2, 1 + 2) = (3, 1)

b) (2,5 2,01; 2,5 + 2,01) = (0,49; 4,51)

c) (2 , 2 + ) = ( , )

47 Describe como entornos los siguientes intervalos:

a) (1, 2) b) (1,3; 2,9) c) (2,2; 0,2) d) ( 4; 2,8)

a) C= = ;R= 2 =

Entorno de centro y radio .

b) C= = 2,1 ;R= 2,9 2,1 = 0,8

Entorno de centro 2,1 y radio 0,8

c) C= = 1 ;R= 0,2 (1) = 1,2

Entorno de centro 1 y radio 1,2.

d) C= = 3,4 ;R= 2,8 (3,4) = 0,6

Entorno de centro 3,4 y radio 0,6.

48 Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones:

a) |a| < b equivale a b < a< b

b) |a| = |a|

c) |a+ b| = |a| + |b|

d) |a b| = |a| |b|

a) Verdadera (siempre que b> 0).

b) Falsa; pues |a| 0 y |a| 0. (Solo sera cierta para a = 0).

c) Falsa. Solo es cierta cuando a y b tienen el mismo signo.

En general, |a + b| |a| + |b|.

d) Verdadera.

4 + (2,8)2

2,2 + 0,2

2

1,3 + 2,92

32

12

32

12

12

1 + 22

73

53

13

13



27/617

Logaritmos

49 Calcula:

a) log2 1 024 b) log0,001 c) log2 d) log 3

e) log3 f ) log2 g) log1/2 h) log 1

a) log2 210 = 10 b) log103 = 3 c) log2 2

6 = 6

d) log

3( )2 = 2 e) log3 31/2 = f) log2 23/2 =

g) log1/2( )

1/2

= h) 0

50 Calcula, utilizando la definicin de logaritmo:

a) log2 64 + log2 log3 9 log2

b) log2 + log3 log2 1

a) 6 2 2 =

b) 5 3 0 = 8

51 Calcula la base de estos logaritmos:

a) logx125 = 3 b) logx = 2

a)x3 = 125; x= 5 b)x2 = ; x= 3

52 Calcula el valor de x en estas igualdades:

a) log3x= 2 b) log x2 = 2 c) 7x= 115 d) 5x= 3

a)x= = 4,19 b) 2 log x= 2; x=

c)x= = 2,438 d)x= = 0,683log 3

log5

log 115

log7

110

2log3

19

19

32

12

127

132

214

1

2

1

2

32

12

3

2

283

3

164


1UNIDAD


28/617

53 Halla con la calculadora y comprueba el resultado con la potenciacin.

a) log b) ln(2,3 1011) c) ln(7,2 105)

d) log3

42,9 e) log5

1,95 f ) log2

0,034

a) 1,085

b) ln (2,3 1011) 26,16 8 e26,161 2,3 1011

c) ln (7,2 105) 9,54 8 e9,54 7,2 105

d) 3,42 8 33,42 42,9

e) 0,41 8 50,41 1,95

f) 4,88 8 24,88 0,034

54 Calcula la base de cada caso:

a) logx1/4 = 2 b) logx2 = 1/2 c) logx0,04 = 2 d) logx4 = 1/2

Aplica la definicin de logaritmo y las propiedades de las potencias para des-

pejar x.

En c) , x2= 0,04 = .

a)x2 = 8 x= b)x1/2 = 2 8 x= 4

c)x2 = 0,04 8 x= 5 d)x1/2 = 4 8 x=

55 Halla el valor de x en estas expresiones aplicando las propiedades de loslogaritmos:

a) ln x= ln17 + ln13 b) log x= log36 log9

c) ln x= 3 ln5 d) log x= log12 + log25 2 log6

e) ln x= 4 ln2 ln25

a) Por logaritmo de un producto: ln x = ln (17 13)

a) ln x= ln (17 13) x= 17 13 = 221

b) log x= log x= = 4

c) ln x= ln 53 x= 53 = 125

d) log x= log x=

e) ln x= ln 24 ln

ln x= ln 16 ln 5

ln x= ln x=165

165

25

253

12 25

62

369

369

12

116

12

14

4

100

1

x2

148



29/617

56 Sabiendo que log 3 = 0,477, calcula el logaritmo decimal de 30; 300; 3 000;0,3; 0,03; 0,003.

log30 = log(3 10) = log3 + log10 = 0,477 + 1 = 1,477

log300 = log(3 102) = log3 + 2 log10 = 2,477

log3000 = 0,477 + 3 = 3,477

log0,3 = log(3 101) = 0,477 1 = 0,523

log0,03 = log(3 102) = 0,477 2 = 1,523

log0,003 = 0,477 3 = 2,523

57 Sabiendo que log k= 14,4, calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) log b) log0,1 k2 c) log d) (log k)1/2

a) log k log100 = 14,4 2 = 12,4

b) log0,1 + 2 log k= 1 + 2 14,4 = 27,8

c) (log1 log k) = 14,4 = 4,8

d) (14,4)1/2 = = 3,79

58 Sabiendo que ln k= 0,45, calcula el valor de:

a) ln b) ln c) ln

a) ln = ln k ln e= 0,45 1 = 0,55

b) ln = ln k= 0,45 = 0,15

c) ln = 2 ln e ln k= 2 0,45 = 1,55

59 Calcula x para que se cumpla:

a) x2,7

= 19 b) log7 3x= 0,5 c) 32 + x

= 172

a) log x2,7 = log19 2,7 log x= log19 log x= = 0,47

x= 100,47 = 2,98

b) 70,5 = 3x x= = 0,88

c) log32 +x= log172 (2 +x) log3 = log172 2 +x=

x= 2 = 2,685log 172

log3

log 172

log3

70,5

3

log 19

2,7

e2

k

13

13

3k

k

e

e2

k

3kk

e

14,4

13

13

3 1

kk100


1UNIDAD


30/617

60 Si log k= x, escribe en funcin de x:

a) log k2 b) log c) log

a) 2 log k= 2x b) log k log100 =x 2 c) log10k= (1 +x)

61 Comprueba que = (siendo a? 1).

= =

Ha de ser a? 1 para que log a? 0 y podamos simplificar.

Pgina 49

62 Explica si estas frases son verdaderas o falsas:

a) Todo nmero entero es racional.

b)Hay nmeros irracionales que son enteros.c) Todo nmero irracional es real.

d)Todos los nmeros decimales son racionales.

e) Entre dos nmeros racionales hay infinitos nmeros irracionales.

f) Los nmeros racionales llenan la recta.

a) V b) F c) V

d) F e) V f ) F

63 Qu relacin existe entre ay b en los siguientes casos?:

a) log a= 1 + log b

b) log a+ log = 0

a) log a log b= 1 8 log = 1 8 = 10 8 a = 10b

b) log a = 0 8 = 100 8 = 1 8 a = ba

b

a

b)1

b(

a

b

a

b

1b

CUESTIONES TERICAS

1

6

1/2 log a

3 log a

log a + 1/2 log a

3 log a

1

6

1log + log

a

a

log a3

12

12

10kk

100



31/617

64 Cules de estas igualdades son verdaderas? Explica por qu:

a) log m + log n= log (m + n)

b) log m log n=

c) log m log n= log

d) log x2 = log x+ log x

e) log (a2 b2) = log (a + b) + log (a b)

a) Falso. log m + log n = log(m n) log(m + n)

b) Falso. log m log n = log

( )?

c) Verdadero. Por una propiedad de los logaritmos.

d) Verdadero. log x2 = log(xx) = log x+ log x

e) Verdadero. log(a2 b2) = log [(a + b) (a b)] = log(a + b) + log(a b)

65 Si n 0 es natural, determina para qu valores de n estos nmeros perte-necen a Z:

a) b) c) n 5 d)n+ e)

a) n par.

b) n = 1 o n = 3.

c) n cualquier natural.

d) Ninguno.

e) n cuadrado perfecto.

66 Di cul es la parte entera de los siguientes logaritmos sin utilizar la calcula-dora:

a) log348 b) log2 58 c) log0,03

a) 100 < 348 < 1 000 8 2 < log348 < 3 8 log348 = 2,

b) 25 < 58 < 26 8 5 < log2 58 < 6 8 log2 58 = 5,

c) 0,01 < 0,03 < 0,1 8 2 < log0,03 < 1 8 log0,03 = 1,

n12

3n

n2

PARA PROFUNDIZAR

log m

log n

m

n

m

n

log m

log n


1UNIDAD


32/617

67 Sean my n dos nmeros racionales. Qu puedes decir del signo de myn en cada uno de estos casos?

a) m n> 0 y m+ n< 0

b)m n< 0 y m n> 0

c) m n< 0 y m n< 0

a) m < 0, n < 0 b) m > 0, n < 0 c) m < 0, n > 0

68 Si xN y x> 1, ordena estos nmeros:

; x ; ; ;

< < < 1 y si 0 < a< 1.

Si a > 1 8 < < a < a2

Si 0 < a < 1 8 a2 < a < 1; lm Sn = +@.

f) f1 = 10; f2 = 12; f3 = 14,4; f4 = 17,28; f5 = 20,736; f6 = 24,8832; f7 = 29,85984;

f8 = 35,831808.

S1 = 10; S2 = 2; S3 = 12,4; S4 = 4,88; S5 = 15,856; S6 = 9,0272; S7 = 20,83264;

S8 = 14,999168.

Sn no tiene lmite.

6257

12521 + 5

b11 r

25

625

3

125

21 5

a1

1 r

2

5

Unidad 2. Sucesiones 9

2UNIDAD


44/617

Pgina 64


Criterio para formar sucesiones

1 Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y aade tres tr-minos a cada una:

a) 1, , , , , b) 1, , , 2, ,

c) 2, 5, 10, 17, 26, d) 0, 3, 8, 15, 24,

e) 1, 3, 6, 10, 15, a) Cada trmino lo obtenemos dividiendo 1 entre el lugar que ocupa el trmino:

a6 = , a7 = , a8 =

b) Cada trmino es la raz cuadrada del lugar que ocupa: a6 = , a7 = , a8 =

c) Cada trmino es el cuadrado del lugar que ocupa ms 1 unidad: a6 = 37,a7 = 50, a8 = 65

d) Cada trmino es el cuadrado del lugar que ocupa menos 1 unidad: a6 = 35,a7 = 48, a8 = 63

e) Cada trmino, a partir del segundo, se obtiene sumndole al lugar que ocupa eltrmino anterior: a6 = 21, a7 = 28, a8 = 36

2 Escribe los cinco primeros trminos de las sucesiones cuyos trminos ge-nerales son estos:

a) an= 3 + b) bn=

c) cn= d) dn= 2n

e) en= 1 2 3 n f )fn=

a)a1 = 3,2; a2 = 3,02; a3 = 3,002; a4 = 3,0002; a5 = 3,00002

b)b1 = 0; b2 = ; b3 = ; b4 = ; b5 =

c)c1 = 1; c2 = ; c3 = 2; c4 = ; c5 =

d)d1 = ; d2 = ; d3 = ; d4 = ; d5 =132

116

18

14

12

73

115

53

245

154

83

32

(1)n

n n2

3n 1n+ 1

n2 1n

2

10n

876

18

17

16

53215

14

13

12

PARA PRACTICAR

Unidad 2. Sucesiones0


45/617

e)e1 = 1; e2 = 2; e3 = 6; e4 = 24; e5 = 120

f) f1 = 1; f2 = 0; f3 = 3; f4 = 0; f5 = 5

3 Escribe el trmino general de estas sucesiones:

a) , , , , b) 1, , , ,

c) 0, , , , , d) 5,1; 5,01; 5,001; 5,0001;

a)an = b) bn = ( )n 1

c) cn = d) dn = 5 +

4 Construye dos sucesiones cuyas leyes de recurrencias sean las siguientes:

a) a1 = 0 a2 = 2 an=

b) a1 = 1 a2 = 2 an=

a) 0, 2, 1, , , , , , b) 1, 2, 1, 1, , , , ,

5 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:

a) 4, 7, 3, 4, 7, b) 2, 3, , , ,

a)a1 = 4, a2 = 7, an = an 1 an 2 para n > 2

b)b1 = 2, b2 = 3, bn = para n > 2

Progresiones aritmticas

6 De las siguientes sucesiones, di cules son progresiones aritmticas y escribe su

trmino general:

a) 1,2; 2,4; 3,6; 4,8; 6; b) 5; 4,6; 4,2; 3,8; 3,4;

c) 1, 2, 4, 7, 11, d) 14, 13, 11, 8, 4,

a) Es una progresin aritmtica con a1 = 1,2 y d= 1,2.

an = 1,2 + (n 1) 1,2 = 1,2n.

b) Es una progresin aritmtica con b1 = 5 y d= 0,4.

bn = 5 + (n 1) (0,4) = 0,4n + 5,4.

c) y d) no son progresiones aritmticas.

bn 1bn 2

13

12

32

1128

116

14

12

4332

2116

118

54

32

an1 an22

an1 + an22

110n

n2 1n2 + 1

13

n

n 1

2426

1517

810

35

127

19

13

45

34

23

12


2UNIDAD


46/617

7 De las sucesiones siguientes, indica cules son progresiones aritmticas:

a) an= 3n b) bn= 5n 4

c) cn

= d) dn

=

e) en= 5 + f)fn= n2 1

a)an an 1 = 3n 3(n 1) = 3n 3n + 3 = 3

Es una progresin aritmtica con d= 3.

b)bn bn 1 = 5n 4 [5(n 1) 4)] = 5n 4 5n + 5 + 4 = 5


c)c1 = 1, c2 = , c3 = , c4 = ,

c2 c1 = ?c3 c2 = . No es una progresin aritmtica.

d)dn dn 1 = = =

Es una progresin aritmtica con d= .

e)en en 1 = 5 +

(5 +

)= 5 + 5 + = .

Es una progresin aritmtica con d= .

f) f1 = 0,f2 = 3,f3 = 8,f4 = 15,

f2f1 = 3 ?f3f2 = 5. No es una progresin aritmtica.

8 Calcula los trminos a10 y a100 de las siguientes progresiones aritmticas:

a) 4, 2, 0, 2, 4,

b) 2, 3, 8, 13, 18,

c) , 1, , , ,

a)a10 = a1 + 9d= 4 + 9 2 = 4 + 18 = 14

a100 = a1 + 99d= 4 + 99 2 = 4 + 198 = 194

b)a10 = a1 + 9d= 2 9 5 = 2 45 = 43

a100 = a1 + 99d= 2 99 5 = 2 495 = 493

74

32

54

34

12

1

2

1

2

n

2

n

2

n 1

2

n

2

34

34

8 3n 8 + 3n 34

8 3(n 1)4

8 3n4

16

12

14

13

12

n

2

8 3n

4

1

n



47/617

c)a10 = a1 + 9d= + 9 = = 3

a100 = a1 + 99d= + 99 = =

9 Calcula la suma de los 25 primeros trminos de las siguientes progresionesaritmticas:

a) 3, 6, 9, 12, 15, b) 5; 4,9; 4,8; 4,7; 4,6;

c) cn= 4n 2 d) dn=

a)a1 = 3; a25 = a1 + 24d= 3 + 24 3 = 75

S25 = = = 975

b)b1 = 5; b25 = b1 + 24d= 5 24 0,1 = 2,6

S25 = = = 95

c)c1 = 2; c25 = 98

S25 = = = 1 250

d)d1 = ; d25 =

S25 = = = = 312,5

Progresiones geomtricas

10 De las siguientes sucesiones, cules son progresiones geomtricas? Escribetres trminos ms en cada una y tambin su trmino general.

a) 32, 16, 8, 4, 2, b) 1; 0,1; 0,01; 0,001;

c) 1, 4, 9, 16, 25, d) , 2, 2 , 4, 4 ,

a) Es una progresin geomtrica con a1 = 32 y r= .

a6 = 1, a7 = , a8 = ; an = 32 ( )n 1

= = 26 n

b) No es una progresin geomtrica; b6 = 36, b7 = 49, b8 = 64, bn = n2.

25

2n 112

14

12

12

222

6252

1 49( ) 252 22

(d1 + d25) 25

2

49

2

1

2

(2 + 98) 252

(c1 + c25) 25

2

(5 + 2,6) 252

(b1 + b25) 25

2

(3 + 75) 252

(a1 + a25) 25

2

1 2n2

51

2

102

4

1

4

3

4

124

14

34


2UNIDAD


48/617

c) Es una progresin geomtrica con c1 = 1 y r= 0,1.

c6 = 0,00001; c7 = 0,000001; c8 = 0,0000001; cn = 1 0,1n 1 = 0,1n 1

d) Es una progresin geomtrica con d1 = y r= .d6 = 8; d7 = 8 ; d8 = 16; dn = ( )

n 1= ( )

n.

11 Calcula la suma de los 25 primeros trminos de las siguientes progresionesgeomtricas y halla la suma de los infinitos trminos en los casos que seaposible:

a) a1 = 32, r= b) a1 = 10, r=

c) a1 = 210, r= 2 d) a1 = 5, r=

S25 = = , S@ =

a)S25 = = 63,99999809 64 S@ = = = = 64

b)S25 = 11,1 S@ = = = = 11,1

c)S25 = = 32767,99902 32768

No se puede calcular S@ porque |r| no es mayor que 1.

d)S25 = 4 S@ = = = 4

Pgina 65

Suma de potencias

12 a) Demuestra que:

22 + 42 + 62 + 82 + 102 = 4(12 + 22 + 32 + 42 + 52)

b)Calcula la suma de los cuadrados de los 50 primeros nmeros pares.

c) Calcula la suma de los cuadrados de todos los nmeros impares menoresque 100.

55

4

511 ()4

1(5) ()25

(5)4

1 1

4

210 225 210

2 1

1009

101

1 10

a11 r

1009

110 ()25

10101 110

321

2

3211 2

a11 r

132 ()25

322

1 12

a11 r

a1 r25 a1

r 1

a25 r a1r 1

14

110

12

2222

2

2



49/617

a) 22 + 42 + 62 + 82 + 102 = (2 1)2 + (2 2)2 + (2 3)2 + (2 4)2 + (2 5)2 =

= 22(12 + 22 + 32 + 42 + 52)

b) 22 + 42 + 62 + + 982 + 1002 = 22(12 + 22 + 32 + + 492 + 502) =

= 22 = 171700

c) 12 + 32 + 52 + + 992 =

= (12 + 22 + 32 + 42 + + 992 + 1002) (22 + 42 + 62 + + 982 + 1002) =

= 171700 = 338350 171700 = 166650

13Halla la suma siguiente:

213 + 223 + 233 + + 373 + 383 + 393 + 403

213 + + 403 = (13 + 23 + + 203 + 213 + + 403) (13 + + 203) =

= = 672400 44100 = 628300

Lmite de una sucesin

14 Calcula los trminos a10, a100 y a1000, en cada sucesin e indica cul essu lmite:

a) an= b) an=

c) an= 1 d) an= 3 7n

a)a10 = 0,)

1; a100 = 0,)

01; a1000 = 0,)

001

lm an = 0

b)a10 = 2,5; a100 = 2,05; a1000 = 2,005

lm an = 2

c)a10 = 0,5; a100 = 0,95; a1000 = 0,995

lm an = 1

d)a10 = 6,7; a100 = 697; a1000 = 6 997

lm an = @

5n

2n+ 5n

1n 1

202 212

4402 412

4

100 101 2016

50 51 101

6


2UNIDAD


50/617

15 Halla algunos trminos muy avanzados de las siguientes sucesiones e indi-ca cul es su lmite:

a) an= 5n 10 b) bn= 100 n

c) cn= d) dn=

a)a10 = 40; a100 = 490; a1000 = 4990

lm an = +@

b)b10 = 90; b100 = 0; b1000 = 900

lm bn = @

c)c10 = 0,63; c100 0,9603; c1000 0,996

lm cn = 1

d)d10 0,476; d100 0,498; d1000 0,4998

lm dn = 0,5 =

16 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para trminos muyavanzados e indica cul es el lmite de cada una de ellas:

a) an= 3n2 10 b)bn= 3n n

2

c) cn= 10 5n+ n2 d)dn= (1 2n)

2

e) en= (4 n)3 f )fn= 1 (n+ 2)

2

a)a10 = 290; a100 = 29990; a1000 = 2999990

lm an = +@

b)b10 = 70; b100 = 9700; b1000 = 997000

lm bn = @

c)c10 = 60; c100 = 9510; c1000 = 995010

lm cn

= +@

d)d10 = 361; d100 = 39601; d1000 = 3996001

lm dn = +@

e)e10 = 216; e100 = 884736; e1000 = 988047936

lm en = @

f) f10 = 143;f100 = 10403;f1000 = 1004003

lm fn = @

12

n2n+ 1

n 3n+ 1



51/617

17 Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para trminos muyavanzados e indica cul es el lmite de cada una de ellas:

a) an= b) bn=

c) cn= d) dn=

e) en= f)fn=

g)gn= (1)n h) hn=

a)a10 = 0,0)

3; a100 = 0,00)

3; a1000 = 0,000)

3

lm an = 0

b)b10 = 0,15625; b100 = 0,01656; b1000 = 0,00167

lm bn = 0

c)c10 = 0,)

27; c100 = 0,)

0297; c1000 = 0,)002997

lm cn = 0

d)d10 = 0,297; d100 = 0,029997; d1000 = 0,002999997

lm dn = 0

e)e10 = 0,01; e100 = 0,0001; e1000 = 0,000001

lm en = 0

f) f10 = 1; f100 = 0,01; f1000 = 0,0001

lm fn = 0

g)g10 = 1; g101 = 1; g1000 = 1; g10001 = 1

La sucesin no tiene lmite.

h)h10 = 0,0909; h100 = 0,0099; h1000 = 0,000999; h1001 = 0,000999

lm hn = 0

18 Calcula el 15. trmino en la siguiente progresin:

3; 2,7; 2,4; 2,1;

Es una progresin aritmtica con a1 = 3 y d= 0,3.

Por tanto, a15 = a1 + 14d= 3 0,3 14 = 3 4,2 = 1,2.

PARA RESOLVER

(1)n

n+ 1

100

n21

n2

3n

n2 + 1

3

n+ 1

53n+ 2

13n


2UNIDAD


52/617

19 Halla el cuarto trmino de una progresin aritmtica en la que d= 3 ya20 = 100.

a20 = a4 + 16d 8 a4 = a20 16d= 100 16 3 = 52

20 Calcula la suma de todos los nmeros impares de tres cifras.

Es la suma de los trminos de una progresin aritmtica en la que el primer trmi-no es 101, el ltimo es 999, y hay 450 sumandos:

S= = 247500

21 Cunto vale la suma de los 100 primeros mltiplos de 7?

Queremos calcular la suma de los 100 primeros trminos de una progresin arit-mtica en la que a1 = 7 y d= 7.

S100 = = = 35350

22 En una progresin aritmtica sabemos que d= 3, an= 34 y Sn= 133. Calculany a1.

34 = a1 + 3n 3 8 a1 = 37 3n

133 = 8 266 = (71 3n)n

266 = 71n 3n2 8 3n2 71n + 266 = 0

n = = = =

a1 = 37 3 19 = 37 57 = 20 8 a1 = 20

23 Los lados de un hexgono estn en progresin aritmtica. Calclalos sa-biendo que el mayor mide 13 cm y que el permetro vale 48 cm.

Llamamos a los lados a1, a2, a3, a4, a5 y a6.Sabemos que a6 = 13 cm y que S6 = 48. Por tanto:

48 = 78 15d 8 15d= 30 8 d= = 2 8 d= 2

a1 = 13 5 2 = 13 10 = 3 8 a1 = 3

Los lados del hexgono miden 3 cm, 5 cm, 7 cm, 9 cm, 11 cm y 13 cm.

3015

a6 = a1 + 5d 8 13 = a1 + 5d 8 a1 = 13 5d(a1 + a6) 6S6 = 8 48 = (13 5d+ 13) 3 8 48 = (26 5d) 32

n = 14/3 (no vale)

n = 1971 43

671 1849

671 5041 3192

6

(37 3n + 34) n2

an = a1 + (n 1) d 8 34 = a1 + (n 1) 3(a1 + an) n (a1 + 34) nSn = 8 133 =2 2

(7 + 700) 1002

(a1 + a100) 100

2

(101 + 999) 4502



53/617

24 En un cine, la segunda fila de butacas est a 10 m de la pantalla y la sptimafila est a 16 m. En qu fila debe sentarse una persona que le guste ver lapantalla a una distancia de 28 m?

a7

= 16 8 a7

= a2

+ 5d= 10 + 5d= 16 8 d= 1,2

(La distancia entre las dos filas consecutivas es de 1,2 metros).

Buscamos n para que an = 28 m:

an = a1 + (n 1) d= 8,8 + (n 1) 1,2 = 28 8 8,8 + 1,2n 1,2 = 28

1,2n = 20,4 8 n = 17

La fila 17 est a 28 metros.

25 Escribe los trminos intermedios de una progresin aritmtica sabiendo que

a1 = 3 y a10 = 18.

a10 = a1 + 9d= 3 + 9d= 18 8 d= =

Los trminos son: a1 = 3, a2 = , a3 = , a4 = 4, a5 = , a6 = , a7 = 11,

a8 = , a9 = , a10 = 18.

26 Halla los dos trminos centrales de una progresin aritmtica de 8 trminos

sabiendo que S8 = 100 y que a1 + 2a8 = 48.

Tenemos que calcular a4 y a5. Sabemos que:

Restando a la 2.a ecuacin la 1.a, queda:

a8 = 23 8 a1 = 25 a8 = 25 23 = 2 8 a1 = 2

a8 = a1 + 7d= 2 + 7d= 23 8 d= 3

Por tanto:

27 En una progresin geomtrica, a1 = 8 y a3 = 0,5. Calcula a5 y la expresinde an.

a3 = a1 r2 = 8r2 = 0,5 8 r2 = 0,0625 8 r= 0,25 = 1

4

a4 = 11

a5 = 14

a4 = a1 + 3d= 2 + 9 = 11

a5 = a4 + d= 11 + 3 = 14

(a1 + a8) 8S8 == (a1 + a8) 4 = 100 8 a1 + a8 = 252a1 + 2a8 = 48

473

403

263

193

53

23

73

219


2UNIDAD


54/617

1.ercaso: r= 0,25 =

a5 = a1 r4 = 8

( )

4= = 0,03125

an = a1 rn 1 = 8 ( )

n 1= =

2. caso: r= 0,25 =

a5 = a1 r4 = = 0,03125

an = 8 ( )n 1

28 En una progresin geomtrica de razn r= 3 conocemos S6 = 1 456. Cal-cula a1 y a4.

S6 = = = = =

= 364a1 = 1456 8 a1 = 4

a4 = a1 r3 = 4 27 = 108

29 La maquinaria de una fbrica pierde cada ao un 20% de su valor. Si cost4 millones de euros, en cunto se valorar despus de 10 aos de funcio-namiento?

Al cabo de 1 ao valdr 8 (4 106) 0,8

Al cabo de 2 aos valdr 8 (4 106) 0,82

Al cabo de 10 aos valdr 8 (4 106) 0,810 429496,73

30 El 1 de enero depositamos 5000 en una cuenta bancaria a un inters anualdel 6% con pago mensual de intereses. Cul ser el valor de nuestro dine-ro un ao despus?

Un 6% anual corresponde a = 0,5% mensual. Cada mes el dinero se multipli-

ca por 1,005.

Al cabo de 1 mes tendremos 8 5000 1,005

Al cabo de 2 meses tendremos 8 5000 1,0052

Al cabo de 12 meses tendremos 8 5000 1,00512 5308,39

6

12

728a12

a1 729 a12

a1 r6 a1

r 1

a6 r a1r 1

14

132

14

122n 5

23

22n 214

1

32

1

4

14



55/617

Pgina 66

31 La suma de los infinitos trminos de una progresin geomtrica es igual a 4y a2 = 1. Calcula a1 y la razn.

4r2 4r+ 1 = 0 8 r= = = 8 r= 8 a1 = 2

32 Comprueba, dando a nvalores grandes, que las siguientes sucesiones tien-

den a un nmero y di cul es ese nmero:

a) an= b) bn=

c) cn= 1 + d) dn=

a)a10 = 2,238; a100 = 2,473; a1000 = 2,497

lm an = 2,5 =

b)b10 = 1,970; b100 = 1,9997; b1000 = 1,999997

lm bn = 2

c)c10 = 1,000977; c20 = 1,000000954

lm cn = 1

d)d10 = 0,195; d100 = 0,019995; d1000 = 0,001999995

lm dn = 0

33 Calcula el lmite de las siguientes sucesiones:

a) an= b) bn=

c) cn= d) dn=

e) en= f)fn=

a)a10 = 0,7864; a100 = 0,9798; a1000 = 0,9980

lm an = 1

n

1 + n

(1 + n)3

(n 2)2

4n 3

n+ 23n+ 1

n

n2 + 12n(n 1)2n2 + 3

52

2n2 5

n31

2n

1 2n2

n2 + 15n 32n+ 1

12

12

48

4 16 168

1a2 = a1 r= 1 8 a1 = r

a1 1/r 1S

==== 4 8 1 = 4r 4r21 r 1 r r r2


2UNIDAD


56/617

b)b10 = 0,5025; b100 = 0,500025; b1000 = 0,50000025

lm bn = 0,5 =

c)c10 = 9,80; c100 = 30,1; c1000 = 94,90lm cn = +

d)d10 = 1,756; d100 = 1,973; d1000 = 1,997

lm dn = 2

e)e10 = 20,797; e100 = 107,278; e1000 = 1007,027

lm en = +

f) f10 = 0,760;f100 = 0,909;f1000 = 0,969

lm fn = 1

34 Comprueba si tienen lmite las siguientes sucesiones:

a) an= (1)n

b) bn= 1 + (1)n

c) cn=

d) dn=

a)a100 = 2,01; a101 = 2,0099; a1000 = 2,001; a1001 = 2,000999

Los trminos pares tienden a 2 y los impares a 2.

an no tiene lmite.

b)b1 = 0; b2 = 2; b3 = 0; b4 = 2,

Los trminos impares son 0 y los pares son 2.

bn no tiene lmite.

c)c1 = 0; c2 = 1; c3 = 0; c4 = 0,5; ; c100 = 0,02

Los trminos impares son cero y los pares tienden a cero.

lm cn = 0.

d)d1 = 0; d2 = 1,5; d3 = 0,67; d4 = 1,25; ; d100 = 1,01; d101 = 0,99

lm dn = 1.

n+ (1)n

n

1 + (1)n

n

2n+ 1n

12



57/617

35 Dadas las sucesiones an= n2 y bn= , estudia el lmite de:

a) an+ bn b) an bn c)

a)An = an + bn = n2 +

A10 = 100,0099;A100 = 10000,0001

lm (an + bn) = +@

b)Bn = an bn = n2 =

B10 = 0,9901;B100 = 0,9999

lm (an bn) = 1

c)Cn = = = n2 (n2 + 1) = n4 + n2

C10 = 10100; C100 = 100010000

lm ( ) = +@

36 Durante 5 aos depositamos en un banco 2000 al 4% con pago anual de in-

tereses.

a) En cunto se convierte cada depsito al final del quinto ao?

b) Qu cantidad de dinero hemos acumulado durante esos 5 aos?

a) Al final del 5 ao:

Los primeros 2000 se convierten en 2 000 1,045 2433,31

Los segundos 2000 se convierten en 2 000 1,044 2339,72

Los terceros 2000 se convierten en 2 000 1,043 2249,73

Los cuartos 2000 se convierten en 2 000 1,042 = 2 163,2

Los quintos 2000 se convierten en 2 000 1,04 = 2080

b) Sumamos las cantidades anteriores:

2 000 1,045 + 2000 1,044 + 2000 1,043 + 2000 1,042 + 2000 1,04 =

= 2000(1,045 + 1,044 + 1,043 + 1,042 + 1,04) =(*)

= 2 000 = 11265,95

(*) Suma de una progresin geomtrica con a1 = 1,04 y r= 1,04.

1,046 1,041,04 1

anbn

n2

1(n2 + 1)

anbn

n2

n2 + 11

n2 + 1

1n2 + 1

an

bn

1

n2 + 1


2UNIDAD


58/617

37 Recibimos un prstamo de 2 000 al 10% de inters anual y hemos de de-volverlo en 4 aos, pagando cada ao los intereses de la parte adeudada msla cuarta parte del capital prestado. Calcula lo que tenemos que pagar cadaao.

a1 = 500 + 2000 0,1 = 700

a2 = 500 + 1500 0,1 = 650

a3 = 500 + 1000 0,1 = 600

a4 = 500 + 500 0,1 = 550

38 Halla el trmino general de la sucesin: 2, , , , , y estudia su l-mite.

an

= = 21/n

a1 = 2; a2 = 1,4142; a3 = 1,2599; a4 = 1,1892; ; a10 1,0718

a100 1,00696; lm an = 1

39 Dadas las sucesiones an= n+ 3 y bn= 2 n, calcula los siguientes lmites:

a) lm(an+ bn)

b) lm(an bn)

c) lm(an bn)

d) lm

a)An = an + bn = n + 3 + 2 n = 5

lm (an + bn) = 5

b)Bn = an bn = n + 3 (2 n) = n + 3 2 + n = 2n + 1

B10 = 21;B100 = 201;B1000 = 2001

lm (an bn) = +@

c)Cn = an bn = (n + 3) (2 n) = 2n n2 + 6 3n = n2 n + 6

C10 = 104; C100 = 10094; C1000 = 1000994

lm (an bn) = @

d)Dn = =

D10 = 1,625;D100 = 1,051;D1000 = 1,005

lm = 1anbn

n + 32 n

anbn

anbn

42

322

n2

52

42

322



59/617

40 La sucesin x2 x+ 1; x2 + 1; x2 + x+ 1, es una progresin aritmtica?

Si lo fuese, calcula el quinto trmino y la suma de los cinco primeros tr-minos.

Llamamos a1 =x2x+ 1; a2 =x2 + 1; a3 =x2 +x+ 1.Veamos si la diferencia entre cada dos trminos consecutivos es la misma:

a2 a1 =x2 + 1 (x2x+ 1) =x2 + 1 x2 +x 1 =x

a3 a2 =x2 +x+ 1 (x2 + 1) =x2 +x+ 1 x2 1 =x

Por tanto, s es una progresin aritmtica con a1 =x2x+ 1 y diferencia d=x.

As, tenemos que:

a5 = a1 + 4 d =x2x+ 1 + 4x=x2 + 3x+ 1

S5 = = =

= (x2 +x+ 1) 5 = 5x2 + 5x+ 5

41 Halla la siguiente suma:

113 + 133 + 153 + 173 + + 333

Llmamos S= 113 + 133 + + 313 + 333

13 + 23 + 33 + + 103 + 113 + 123 + + 323 + 333 = = 314721

23 + 43 + 63 + + 323 = 23(13 + 23 + + 163) = 8 = 147968

Por tanto:

13 + 33 + + 93 + 113 + 133 + + 313 + 333 = 314721 147968 = 166753

S= 166753 (13 + 33 + + 93) = 166753 1225 = 165528

42 Sea anuna progresin aritmtica con d> 0. Cul es su lmite?

Si d> 0, la sucesin se va haciendo cada vez mayor. Por tanto, lm an = +@.

43 Si an es una progresin geomtrica con r= , cul es su lmite?

Al ir multiplicando por sucesivamente, los trminos se van aproximando a cero.

Es decir, lm an = 0.

13

13

CUESTIONES TERICAS

162 172

4

332 342

4

(2x2 + 2x+ 2) 52

(x2x+ 1 +x2 + 3x+ 1) 52

(a1 + a5) 5

2


2UNIDAD


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44 La sucesin 3, 3, 3, 3, puede considerarse una progresin aritmtica ytambin geomtrica. Cul es la diferencia en el primer caso? Y la razn enel segundo?


Tambin es una progresin geomtrica con r= 1.

45 En una progresin geomtrica cualquiera, a, ar, ar2, ar3, , compruebaque:

a1 a6 = a2 a5 = a3 a4

Se verifica tambin a3 a7 = a4 a6? Enuncia una propiedad que expreselos resultados anteriores.

Son iguales

Son iguales

Propiedad: Si an es una progresin geomtrica, se verifica que ap aq= am ansiempre que p + q= m + n.

46 El nmero 3,9)

podemos considerarlo como la suma de los infinitos trmi-nos de la sucesin:

3, , , ,

Calcula la suma y halla su lmite. Te parece razonable el resultado obteni-do?

3 + + + + = 3 + 0,9 + 0,99 + 0,999 + = 3,)

9

Si consideramos la progresin geomtrica , , , y sumamos todossus trminos, queda:

S

= = = = 1

Por tanto: 3 + ( + + + ) = 3 + 1 = 4910009

100910

9

109

10

9

101

1 10

a11 r

91000

9100

910

91000

9100

910

91000

9100

910

a3 a7 = (a r2) (a r6) = a2 r8

a4 a6 = (a r3) (a r5) = a2 r8

a1 a6 = a (a r5) = a2 r5

a2 a5 = (a r) (a r4) = a2 r5

a3 a4 = (a r2) (a r3)= a2 r5



61/617

47 Inventa dos sucesiones cuyo lmite sea infinito y que, al dividirlas, la suce-sin que resulte tienda a 2.

Por ejemplo: an = 2n; bn = n + 1

lm an = +@; lm bn = +@

lm = lm = 2

Pgina 67

48 Dibuja un cuadrado de lado cm y sobre cada lado un tringulo rectngu-lo issceles; despus dos, luego cuatro, como indican las figuras:

a) Forma la sucesin de los permetros de las figuras obtenidas. Cul es sulmite?

b) Forma tambin la sucesin de las reas. Cul es su lmite?

1.erpaso: 2. paso: 3.erpaso:

Permetro = 8 cm Permetro = 8 cm Permetro = 8 cm

rea = 2 + 2 = 4 cm2 rea = 2 + 1 = 3 cm2 rea = 2 + = cm2

Paso n-simo:Permetro = 8 cm

1rea = 2 + 2 ()

n 1cm2

2

52

12

11

1 1

1/2 1/2 1/41/41/2

1/2

11

1 1

2

2

2

PARA PROFUNDIZAR

2nn + 1

anbn


2UNIDAD


62/617

a) 8, 8, 8, 8, ;Pn = 8; lm Pn = 8

b) 4, 3, , ;An = 2 + 2 ( )n 1

; lm An = 2

(que es el rea del cuadrado de lado ).

49 Los trminos de la sucesin 1, 3, 6, 10, 15 se llaman nmeros triangularesporque se pueden representar as:

Calcula a10 y an.

a1 = 1; a2 = 1 + 2 = 3; a3 = 1 + 2 + 3 = 6; a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10;a10 = 1 + 2 + 3 + + 10 = = = 55

an = 1 + 2 + 3 + + n =

50 Los trminos de la sucesin 1, 5, 12, 22, 35 se llaman nmeros pentagona-les porque se pueden representar as:

Calcula a6, a10 y an.

Esos nmeros se pueden escribir as:

1; 1 + 4; 1 + 4 + 7; 1 + 4 + 7 + 10; 1 + 4 + 7 + 10 + 13

a1 = 1; a2 = 1 + 4 = 5; a3 = 1 + 4 + 7 = 12; a4 = 1 + 4 + 7 + 10 = 22

Observamos que vamos obteniendo las sumas de los trminos de una progresinaritmtica con a1 = 1 y d= 3. En el paso n-simo tendremos:

an = 1 + 4 + 7 + + (1 + (n 1) 3) = 1 + 4 + 7 + + (3n 2) =

= = =

Por tanto:

a6 = = 17 3 = 51; a10 = = 14529 10

217 6

2

(3n 1) n2

(1 + 3n 2) n2

(1 + (3n 2)) n2

221251

(1 + n) n2

11 102

(1 + 10) 102

2

12

52



63/617

51 Utiliza las propiedades de las progresiones para simplificar la expresin deltrmino general y calcular el lmite de las siguientes sucesiones:

a) an= + + + +

b) bn= 2n + + + +

a)an = (1 + 2 + 3 + +n) = ( ) = ( ) =

Hallamos el lmite: a10 = 0,55; a100 = 0,505; a1000 = 0,5005; lm an = 0,5 =

b)bn = (1 + 2 + 3 + +n) =

( )=

( )= =

= = = n + 1

b10 = 11; b100 = 101; b1000 = 1001; lm bn = +@

AUTOEVALUACIN

1. Halla el trmino a47 de la sucesin cuyo trmino general es:

an=

a47 = = = 30

2. Halla el trmino octavo de la sucesin definida as:

a1 = 4, a2 = 7, an+ 2 = 2an an+ 1

a8 = 2a6 a7

a1 = 4 a2 = 7

a3 = 2a1 a2 = 1 a4 = 2a2 a3 = 13

a5 = 2a3 a4 = 11 a6 = 2a4 a5 = 37

a7 = 2a5 a6 = 59 a8 = 2a6 a7 = 133

2 209 709

50

472 709

47 + 3

n2 709

n+ 3

2n2(n + 1)2n2

2n3 + 2n2

2n2

2n2 + 2n3

2n3

n + n2

2

2n

n3

(1 + n) n

2

2n

n3

2n

n3

12

n2 + n2n2

n + n2

21n2

(1 + n) n2

1n2

1n2

)nn3

3

n32

n31

n3(

n

n2

3

n2

2

n2

1

n2


2UNIDAD


64/617

3. Halla el trmino general de las sucesiones:

a) 3, 7, 11, 15, 19, 23,

b)1, 2, 5, 10, 17, 26,

a) Es una progresin aritmtica de diferencia d= 4 y primer trmino a1 = 3.

an = a1 + (n 1)d= 3 + (n 1) 4 = 4n 1

b) El trmino general de la sucesin 0, 1, 4, 9, 16, 25, es an = (n 1)2.

Por tanto, 1, 2, 5, 10, 17, 26, tiene por trmino general an = (n 1)2 + 1

= n2 2n + 2.

4. Halla la ley de recurrencia por la que se forman las siguientes sucesiones:

a) 7, 8, 15, 23, 38, 61,

b)1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31,

c) 0, 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, ...

a) Cada trmino, a partir del tercero, es la suma de los dos anteriores. Por tanto:

a1 = 7 a2 = 8 an = an 1 + an 2

b) Cada trmino, a partir del cuarto, es la suma de los tres anteriores. Por tanto:

a1 = 1 a2 = 1 a3 = 1 an = an 1 + an 2 + an 3

c) Cada trmino, a partir del cuarto, es la suma de los tres anteriores. Por tanto:

a1 = 0 a2 = 1 a3 = 2 an = an 1 + an 2 + an 3

5. Halla las siguientes sumas:

a) 3 + 7 + 11 + + 43

b)1 000 + 1 000 1,1 + 1000 1,12 + + 1000 1,115

c) 80 + 40 + 20 + 10 + 5 +

d)1012 + 1022 + 1032 + + 1402

e) 33 + 43 + 53 + + 153

a) Es la suma de los once primeros trminos de una progresin aritmtica de primer

trmino a1 = 3 y diferencia d= 4.

an = 4n 1 a1 = 3 a11 = 43

S11 = 11 = 11 = 253

b) Es la suma de los quince primeros trminos de una progresin geomtrica de pri-mer trmino a1 = 1 000 y razn r= 1,1.

Sn = 8 S15 = = 31772,481 000 1,115 1 000

1,1 1

a1rn a1

r 1

3 + 43

2

a1 + a112



65/617

c) Es la suma de los infinitos trminos de una progresin geomtrica de primer tr-mino a1 = 80 y razn r= 1/2.

S@ = = = 160

d) 12 + 22 + 32 + + n2 =

1012 + 1022 + 1032 + + 1402 = (12 + 22 + 32 + + 1402) (12 + 22 + 32 + + 1002) =

= = = 586140

e) 13 + 23 + 33 + + n3 =

33 + 43 + 53 + + 153 = (13 + 23 + 33 + + 153) (13 + 23) = 9 = 14391

6. En una progresin aritmtica conocemos a15 = 43 y a86 = 85,6.

a) Calcula a1 + a100.

b)Obtn el valor de a220.

8 85d 14d= 42,6 8 d= 0,6

a1 = 43 14 0,6 = 34,6

a)a1 + a100 = a15 + a86 = 43 + 85,6 = 128,6 pues 1 + 100 = 15 + 86

(a15 y a86 equidistan de a1 y a100).

b)a220 = a1 + 219 d = 34,6 + 219 0,6 = 166

7. Halla los lmites de las siguientes sucesiones:

an= bn= cn=

a)a10 = 0,5 a100 = 0,05 a1000 = 0,005 8 lm = 0

b)b10 = 3,18 b100 = 3,02 b1000 = 3,002 8 lm = 3

c)c10 = 2,02 c100 = 20,002 c1000 = 200,0002 8 lm = +@n2 + 1

5n

5 + 3nn + 1

5n

n

2

+ 15n5 + 3nn+ 15n

a15 = a1 + 14d= 43

a86 = a1 + 85d= 85,6

152 1624

n2(n + 1)2

4

5546940 20301006

100 101 2016

140 141 2816

n (n + 1)(2n + 1)

6

80

1 1/2

a1

1 r


2UNIDAD


66/617

Unidad 3. lgebra 1

Pgina 69

REFLEXIONA Y RESUELVE

Puado de almendras

Tres amigos, Antonio, Juan y Pablo, fueron con sus tres hijos, Julio, Jos y Luis, a

un almacn de frutos secos.

Ante un saco de almendras, el dueo les dijo:

Coged las que queris.

Cada uno de los seis meti la mano en el saco un nmero n de veces y, cada vez,

se llev n almendras (es decir, si uno de ellos meti la mano en el saco 9 veces,

cada vez cogi 9 almendras, y, por tanto, se llev 81 almendras). Adems, cada

padre cogi, en total, 45 almendras ms que su hijo.

Antonio meti la mano 7 veces ms que Luis, y Julio, 15 ms que Pablo.

Cmo se llama el hijo de Antonio?

Y el de Juan?

Cuntas almendras se llevaron entre todos?

2. caso: 15 3

(x+y) (xy) = 45

Esto significa que otro de los padres cogi 9 puados de 9 almendras (81 almendras) ysu hijo, 6 puados de 6 almendras (36 almendras).

3.er caso: 45 1

(x+y) (xy) = 45

Uno de los padres se llev 23 puados de 23 almendras (529 almendras) y su hijo, 22puados de 22 almendras (484 almendras).

Como Antonio meti la mano 7 veces ms que Luis, Antonio cogi 9 puados y Luis 2puados.

Como Julio meti la mano 15 veces ms que Pablo, Julio cogi 22 puados y Pablo, 7puados.

Sumando: 2x= 46 8 x= 23Restando: 2y= 44 8 y= 22

x+y= 45

xy= 1

Sumando: 2x= 18 8 x= 9

Restando: 2y= 12 8 y= 6

x+y= 15

xy= 3

LGEBRA3


67/617

Por tanto:

Antonio se lleva 9 puados y Jos 6.

Juan coge 23 puados y Julio 22.

Pablo se lleva 7 puados y Luis 2. El hijo de Antonio es Jos, el de Juan es Julio y el de Pablo es Luis.

Por ltimo, el nmero total de almendras que se llevaron entre todos ser:

81 + 36 + 529 + 484 + 49 + 4 = 1183 almendras

Sin necesidad del lgebra

Un galgo persigue a una liebre.

La liebre lleva 30 de sus saltos de ventaja al galgo. Mientras el galgo da dos sal-

tos, la liebre da tres. Tres saltos del galgo equivalen a cinco de la liebre.

Cuntos saltos dar cada uno hasta el momento de la captura?

Cada 2 saltos de galgo y 3 de liebre se acerca 1 u el galgo.

Cada 2 2 saltos de galgo y 3 2 de liebre se acerca 2 u el galgo.



Como la liebre lleva 30 de sus saltos al galgo (90 u de ventaja), sern:

2 90 = 180 saltos el galgo

3 90 = 270 saltos la liebre

De esta forma el galgo recorre 180 5u = 900u; y la liebre 270 3u = 810u.

Como tena 90 de ventaja: 810 + 90 = 900 u

Por tanto, hasta el momento de la captura el galgo da 180 saltos y la liebre 270.

Pgina 71

1. Descompn factorialmente los siguientes polinomios:

a) x6 9x5 + 24x4 20x3

b) x6 3x5 3x4 5x3 + 2x2 + 8x

c) x6 + 6x5 + 9x4 x2 6x 9

Unidad 3. lgebra2


68/617

a)x6 9x5 + 24x4 20x3 =x3 (x3 9x2 + 24x 20)

x6 9x5 + 24x4 20x3 =x3(x 2)2 (x 5)

b)x6 3x5 3x4 5x3 + 2x2 + 8x=x(x5 3x4 3x3 5x2 + 2x+ 8)

x2 +x+ 2 = 0 8 x=

no tiene solucin

x6 3x5 3x4 5x3 + 2x2 + 8x=x(x 1) (x+ 1) (x 4) (x2 +x+ 2)

c)x6 + 6x5 + 9x4x2 6x 9

x2 + 1 = 0 8 x2 = 1 8 no tiene solucin

As, x6 + 6x5 + 9x4x2 6x 9 = (x+ 3)2 (x+ 1) (x 1) (x2 + 1)

2. a) Intenta factorizar x4 + 4x3 + 8x2 + 7x+ 4.

b) Hazlo ahora sabiendo que es divisible por x2 + x+ 1.

a) El polinomio dado no tiene races enteras (de hecho, no tiene races reales).

b) Hacemos la divisin:

x4 + 4x3 + 8x2 +7x+ 4 x2 +x+ 1

x4 x3 x2 x2 + 3x+ 4

3x3 + 7x2 + 7x+ 4

3x3 3x2 3x

4x2 + 4x+ 4

4x2 4x 4

0

1 6 9 0 1 6 91 1 5 4 4 3 9

1 5 4 4 3 9 03 3 6 6 6 9

1 2 2 2 3 03 3 3 3 3

1 1 1 1 01 1 0 1

1 0 1 0

1 1 82

1 3 3 5 2 81 1 2 5 10 8

1 2 5 10 8 01 1 3 2 8

1 3 2 8 04 4 4 8

1 1 2 0

1 9 24 202 2 14 20

1 7 10 02 2 10

1 5 0

Unidad 3. lgebra 3

3UNIDAD


69/617


70/617

2. Efecta: +

+ = + =

= + =

= =

= =

Pgina 74

3. Efecta estas operaciones:

a) b) :

a) = =

= =

b) : = = =

= =

4. Calcula:

a) : b)

a) :

(

)= : = =

= = =

=

b) = = = =

= = =x2 1(x2 + 1) (x2 1)

x2 + 1x4 1x2 + 1

x4(x4 1)x4(x2 + 1)

x8x4

x6 +x4(x4x2) (x4 +x2)

(x2 + 1)x4x4 +x2

x4x4x2

x2 + 1

6x2 + 15x+ 6x3x2

3(2x2 + 4x+x+ 2)x3x2

3(2x+ 1) (x+ 2)x2(x 1)

3(2x+ 1)

(x 1)x

x+ 2

x

(x 1)x

3(2x+ 1)

x+ 2

x

x

2x+ 1

x 1

3

x+ 2

x

x4 + x2

x4x4 x2

x2 + 1)x

2x+ 1x 1

3(x+ 2

x

x3 + 3x2 7x+ 152x2x 6

x3 2x2 + 3x+ 5x2 10x+ 152x2 + 3x 4x 6

(x2 2x+ 3) (x+ 5)(x 2) (2x+ 3)

x+ 52x+ 3

x2 2x+ 3x 2

2x+ 3x+ 5

x2 2x+ 3x 2

2x3x2 + 9x2 + 3x 10

2x3 + 3x2 4x2 6x+ 6x+ 9x2 + 5x 2x 10

(x2 2x+ 3) (2x+3)(x 2) (x+ 5)

2x+ 3x+ 5

x2 2x+ 3x 2

2x+ 3x+ 5

x2 2x+ 3x 2

2x+ 3x+ 5

x2 2x+ 3x 2

x2 3x+ 1x2 1

1 + 2x2 2xx2xx2 1

1 + 2x(x1) x(x+ 1)(x 1) (x+ 1)

x(x+ 1)(x 1) (x+ 1)

2x(x1)(x 1) (x+ 1)

1(x 1) (x+ 1)

x

x 1

2x

x+ 1

1

(x 1) (x+ 1)

x

x 1

2x

x+ 1

1

x2 1

x

x 12x

x+ 11

x2 1

Unidad 3. lgebra 5

3UNIDAD


71/617

Pgina 75

1. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) x4

x2

12 = 0 b) x4

8x2

9 = 0

a)x2 = = 2 y 2

b)x2 = = 3 y 3

2. Resuelve:

a) x4 + 10x2 + 9 = 0 b) x4 x2 2 = 0

a)x2 = =

No tiene solucin.

b)x4x2 2 = 0

x2 = = =

Hay dos soluciones: x1 = ; x2 =

Pgina 76

3. Resuelve:

a) + 1 = x b) = 4 c) 2 + = x

d) 2 = x e) 1 =

a) 1 x=

1 +x2 2x= 2x 3; x2 4x+ 4 = 0; x= 2 (no vale)

No tiene solucin.

b) 2x 3 = 16 +x+ 7 + 8

x 26 = 8

x2 + 676 52x= 64 (x+ 7)

x2 + 676 52x= 64x+ 448

x2 116x+ 228 = 0; x=

x= 114

114

2 8 (no vale)

116 1122

x+ 7

x+ 7

2x 3

8 2x3x+ 3x

xx+ 72x 32x 3

22

x2 = 1 8 No vale

x2 = 2 8 x= 21 3

21 9

21 1 + 8

2

1 8 (no vale)

9 8 (no vale)10 8

210 100 36

2

9 8 x= 31 8 (no vale)

8 102

8 64 + 362

4 8 x= 23 8 (no vale)

1 72

1 1 + 482

Unidad 3. lgebra6


72/617

c) =x 2; x=x2 + 4 4x; 0 =x2 5x+ 4

x= =

x= 4

d) 2 x= ; 4 +x2 4x=x; x2 5x+ 4 = 0

x=

x= 1

e) 1 =

3x+ 3 = 1 + 8 2x+ 2

5x 6 = 225x2 + 36 60x= 4(8 2x)

25x2 52x+ 4 = 0

x=

As, x= 2.

4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h

en lnea recta hasta P, y hemos caminadoa 5 km/h de P a C. Hemos tardado, en total,99 minutos (99/60 horas).

Cul es la distancia, x, de B a P?

AP2 =x2 + 9 = t

PC= 6 x = ( t)

t=

t= +

+ =9960

6 x5

x2 + 94

9960

6 x5

x2 + 94

9960

6 x5

x2 + 94

3 km

6 km

x

A

P

BARENA

MAR

C

x= 2

x= 0,08 8 no vale52 48

50

8 2x

8 2x

8 2x3x+ 3

4 8 (no vale)

1

x

4

1 8 (no vale)5 3

25 25 16

2

x

Unidad 3. lgebra 7

3UNIDAD

= + 9960

6 x5

x2 + 94


73/617

15 + 12 (6 x) = 99

15 + 72 12x= 99

15 = 12x+ 27225(x2 + 9) = 144x2 + 729 + 648x

225x2 + 2 025 = 144x2 + 729 + 648x

81x2 648x+ 1 296 = 0

x2 8x+ 16 = 0

x= = 4

As, la distancia de B a P es de 4 km.

Pgina 77

5. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) + = b) + = 4 c) + =

a) 10(x+ 3) + 10x= 3x(x+ 3)

10x+ 30 + 10x= 3x2 + 9x

0 = 3x2 11x 30

x= =

x1 = 5,489; x2 = 1,822

b)12(x 2) + 2x(x+ 1) = 12x(x 2)

12x 24 + 2x2 + 2x= 12x2 24x

0 = 10x2 38x+ 24

0 = 5x2 19x+ 12; x= =

x1 = 3; x2 =

c) 4x+ 4 = 3x2; 0 = 3x2 4x 4

x= =

x1 = 2; x2 =23

2

2/3

4 86

45

3

4/5

19 1110

5,489

1,822

11 21,936

34

1

x21x

2(x+ 1)3(x 2)

4x

310

1x + 3

1x

82

x2

+ 9

x2 + 9

x2 + 9

Unidad 3. lgebra8


74/617

6. Resuelve:

a) + = 3 b) + = c) =

a)x(x+ 1) + 2x(x 1) = 3 (x2 1)

x2 +x+ 2x2 2x= 3x2 3

x= 3

b)10(x+ 3) + 2x(x+ 2) = 3 (x2 + 5x+ 6)

10x+ 30 + 2x2 + 4x= 3x2 + 15x+ 18

0 =x2 +x 12

x= = =

x1 = 3; x2 = 4

c) 35(x+ 3) (x+ 1) 35(x2 + 1) = 26 (x2 1)

35 (x2 + 4x+ 3) 35(x2 + 1) = 26 (x2 1)

35x2 + 140x+ 105 35x2 35 = 26x2 26

26x2 140x 96 = 0

x= = =

x1 = 6; x2 =

Pgina 79

7. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 23x= 0,53x+ 2 b) 34 x2=

c) = 186 d) 7x+ 2 = 5 764 801

a) 23x= 23x 2; 3x= 3x 2; 6x= 2; x=

b) 34 x2= 32; 4 x2 = 2; x2 = 6; x=

x1 = ; x2 = 66

6

13

4x 1

2x+ 2

1

9

813

6

8/13

70 8626

70 702 4 13 (48)26

3

4

1 7

2

1 1 + 48

2

2635

x2 + 1

x2 1

x+ 3x 1

32

x

x + 35

x + 22x

x + 1x

x 1

Unidad 3. lgebra 9

3UNIDAD


75/617

c) = 186; 22x 2 x 2 = 186; 2x 4 = 186

log2x 4 = log186; (x 4) log2 = log186

x= 4 + = 11,54

d) 7x+ 2 = 78; x= 6

8. Resuelve:

a) 3x+ 3x+ 2 = 30 b) 5x+ 1 + 5x+ 5x 1 =

c) 2 log x log(x+ 6) = 3log 2 d) 4 log2 (x2 + 1) = log2 625

a) 3x+ 3x 9 = 30

3x(10) = 30; 3x= 3; x= 1

b) 5 5x+ 5x+ =

5x = ; x= 0

c)log = log8

x2 = 8x+ 48; x2 8x 48 = 0; x= =

x= 12

d)log2 (x2 + 1)4 = log2 5

4; x2 + 1 = 5; x2 = 4; x= 2

x1 = 2; x2 = 2

Pgina 81

1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:

a) b) c)

a)

x2 9 = 2x 1; x2 2x 8 = 0

y= 2x 1

y=x2 9

x= 2y + 1

x+y

xy= 2

1 1 1+ = 1 x y xy

xy= 6

2xy 1 = 0

x2 7 =y + 2

12

4 (no vale)

8 162

x2

x+ 6

315

315

315

5x

5

31

5

log186log2

22x 2

2x+ 2

Unidad 3. lgebra0


76/617

x= = =

x1 = 4; y1 = 7

x2 = 2; y2 = 5

b)

y= 5 x

x(5 x) = 6; 5xx2 = 6; x2 5x+ 6 = 0

x1 = 2; y1 = 3

x2 = 3; y2 = 2

c)x= 2y+ 1 = 2; = 2 +

3y+ 1 = 4 + y+ 1 + 4 ; 2y 4 = 4 ; y 2 = 2

y2 + 4 4y= 4y+ 4; y2 8y= 0

y= 8 8 x= 17

y= 0 (no vale)

x= 17; y= 8

2. Resuelve:

a) b) c)

a)y= 1 x; x2 +x(1 x) + (1 x)2 = 21

x2 +xx2 + 1 +x2 2x= 21; x2x 20 = 0

x= = =

x1

= 4; y1

= 5

x2 = 5; y2 = 4

b)x= 27 +y

log = 1

10y= 27 +y; 9y= 27; y= 3

= 10; x= 10y; x= 30

x= 30; y= 3

x

y

x

y

5 8 y= 4

4 8 y= 51 9

21 1 + 80

2

log (x2 +y) log (x 2y) = 1

5x+ 1 = 25y+ 1

xy = 27

log x 1 = log y

x2 + x y +y2 = 21

x+y= 1

y+ 1y+ 1y+ 1

y+ 13y+ 1y+ 13y+ 1

x= 2

x= 3

y+x=xy 1

xy= 6

4

22 6

22 4 + 32

2

Unidad 3. lgebra 11

3UNIDAD


77/617

c)log = 1

5x+ 1 = 52y+ 2

x= 2y+ 1

4y2 + 1 + 4y+y= 20y+ 10 20y

4y2 + 5y 9 = 0

y= = =

x1 = 3; y1 = 1

x2 = ; y2 =

Pgina 82

1. Reconoce como escalonados y resuelve:

a) b)

c) d)

x= 1

y= 4

z= 4

x= 1

y= 4

z= 2x+y+ 2 = 2 + 4 + 2 = 4

3x = 3

5y = 20

2x+ yz= 2

c)

x= 4

y= 3

z= 0

6y= = 32

4yx== 4

3z= 5x+y 17 = 20 3 17 = 0

3x + 4y = 0

2y = 6

5x+ yz= 17

b)

x= 7

y= 2

z= 11

x= 7

y=2x 8

= 23

z= 3x+y 12 = 21 + 2 12 = 11

x = 7

2x 3y = 8

3x+ yz= 12

a)

y = 4x z= 11

y z= 7

3x = 35y = 20

2x+ y z= 2

3x+ 4y = 02y = 6

5x+ y z= 17

x = 72x 3y = 83x+ y z= 12

9

4

7

2

9/4 8 x= 7/2

1 8 x= 35 13

85 25 + 144

8

x2 +y= 10x 20yx+ 1 = 2y+ 2

x2 +yx 2y

Unidad 3. lgebra2


78/617

2. Resuelve los siguientes sistemas escalonados:

a)

b)

c)

d)

x= 3

y= 4

z= 9

x= 9 = 33

y=8

= 42

z= 4x+y 7 = 9

4x + yz= 7

2y = 8

3x = 9

d)

x= 15y= 2

z= 1

z= 1y=

5 + z= 2

3x= 8 + 5y 3z= 8 + 10 3 = 15

x 5y+ 3z= 83y z= 5

4z= 4

c)

x= 1

y= 2

z= 2

y=10 = 25

x=5 y

= 13

z=x+ 2y+ 3 = 2

x + 2yz= 3

3x+ y = 5

5y = 10

b)

x= 1

y= 5

z= 4

y= 5

z= 4

x= 1

y = 5

2z= 8

3x = 3

a)

4x+ y z= 72y = 8

3x = 9

x 5y+ 3z= 83y z= 5

4z= 4

x+ 2y z= 33x+ y = 5

5y = 10

y = 52z= 8

3x = 3

x= 8

y= 4

z= 3

y= 4

z=y 7 = 4 7 = 3

x= 11 + z= 11 3 = 8

y = 4

x z= 11

yz= 7

d)

Unidad 3. lgebra 13

3UNIDAD


79/617

Pgina 83

3. Resuelve por el mtodo de Gauss:

a) b)

4. Resuelve:

a)

b)

x= 1

y= 1

z= 0

x= 1

z=1 +x

= 05

y= 1 2x+ 2z= 1

24x = 242x+ y 2z= 1x + 5z= 1

2 1.a + 3.a

2.a

3.a : 2

13x 5z= 132x + y 2z= 1

2x + 10z= 2

1.a + 4 2.a

2.a

3.a 3 2.a

5x 4y+ 3z= 92x+ y 2z= 14x+ 3y+ 4z= 1

a)

2x 5y+ 4z= 14x 5y+ 4z= 35x 3z= 13

5x 4y+ 3z= 92x+ y 2z= 14x+ 3y+ 4z= 1

x= 4

y= 2

z= 3

x= 20 = 45

y=14 2x

= 23

z= 3 x+ 2y= 3 4 + 4 = 3

2x+ 3y = 14x 2y+z= 35x = 20

1.a

2.a

3.a + 1.a

2x+ 3y = 14x 2y+z= 33x 3y = 6

1.a

2.a

3.a + 2.a

2x+ 3y = 14x 2y+z= 32x yz= 9

b)

x= 1

y= 2

z= 3

x= 1z= 4 x= 3

y= 2 x z= 2 1 3 = 2

x + y+ z= 2x + z= 4x = 1

x + y+ z= 22x + 2z= 82x = 2

1.a

2.a + 1.a

3.a + 1.a

x + y+z= 2x y+z= 6x yz= 0

a)

2x+ 3y = 14x 2y+ z= 3

2x yz= 9

x+y+ z= 2xy+ z= 6xy z= 0

Unidad 3. lgebra4


80/617

Pgina 84

5. Intenta resolver por el mtodo de Gauss:

a) b)

c) d)

Las ecuaciones 2.ay 3.a dicen cosas contradictorias (si 2xy es igual a 1, no pue-de ser igual a 2). Por tanto, el sistema es incompatible.

Solo quedan dos ecuaciones. Resolvemos el sistema obteniendo y, z en funcinde x:

(2.a) 8 y= 2x 1

(1.a) 8 z= 2 yx= 2 (2x 1) x= 2 2x+ 1 x= 3x 1

Soluciones:

Para cada valor de x, se obtiene una solucin del sistema. Por ejemplo:

Para x= 0 8 Para x= 2 8x= 2y= 5z= 5

x= 0y= 1z= 1

y= 2x 1

z= 3x 1

x+y+ z= 22xy = 10 = 0

1.a

2.a

3.a 2.a

x+y+ z= 22xy = 12xy = 1

1.a

2.a + 1.a

3.a

x+ y+ z= 2x 2y z= 32x y z= 1

b)

x+y+ z= 22xy = 1

2xy = 0

1.a

2.a + 1.a

3.a

x+ y+ z= 2x 2y z= 3

2x y z= 0

a)

xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+y4z= 1

xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+ y z= 2

x+ y+ z= 2x 2y z= 3

2x y z= 1

x+ y+ z= 2x 2y z= 3

2x y z= 0

x= 2

y=15

z= 1

x= 25x 13

z== 13

2x+ 4z+ 1 1y= =

5 5

2x 5y + 4z= 12x = 45x 3z= 13

1.a

2.a 1.a

3.a

2x 5y+ 4z= 14x 5y+ 4z= 35x 3z= 13

b)

Unidad 3. lgebra 15

3UNIDAD


81/617

Resolvemos el sistema resultante dando los valores de x e y en funcin de z:

Soluciones:

Para cada valor que le demos a z, se obtiene una solucin del sistema. Por ejem-plo:

Para z= 0 8 x= 3, y= 2

Para z= 4 8 x= 1, y= 6

Pgina 85

1. Resuelve estas inecuaciones:

a) 3x 2 10 b) x 2 > 1

c) 2x+ 5 6 d) 3x+ 1 15

a) 3x 2 10 8 3x 12 8 x 4 b)x 2 > 1 8 x> 3

Soluciones: {x/x 4} = (@, 4] Soluciones: {x/x> 3} = (3, +@)

c) 2x+ 5 6 8 2x 1 8 x d) 3x+ 1 15 8 3x 14 8 x

Soluciones: x/x = , +@ Soluciones: x/x = @, ]143(

143

)

12[

12

14

3

1

2

x= 3 z

y= 2 + 2z

x+ z= 3 8 x= 3 z

x+y z= 1 8 y= 1 x+ z= 1 (3 z) +z= 2 + 2z

La segunda ecuacin no dice nada. Noes una ecuacin. Por tanto, solo quedandos ecuaciones, la 1.ay la 3.a.

x+ 4z= 30x+ 0z= 0x+y4z= 1

1.a

2.a 3 1.a

3.a

x+ 4z= 33x+ 3z= 9x+y4z= 1

1.a

2.a + 3.a

3.a

xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+y4z= 1

d)

La segunda ecuacin es absurda. Nopuede ser 0 = 1.Por tanto, el sistema no tiene solucin.

xy+ 4z= 30x + 0z= 1x+y z= 2

1.a

2.a 3 1.a

3.a

xy+ 4z= 33x + 3z= 10x+y z= 2

1.a

2.a + 3.a

3.a

xy+ 4z= 32xy+ 4z= 8x+y z= 2

c)

Unidad 3. lgebra6


82/617

2. Resuelve estos sistemas de inecuaciones:

a) b)

Obserevamos que las inecuaciones que forman ambos sistemas se han resuelto en elejercicio anterior.

a) Soluciones: {x/ 3 3

2x+ 5 63x+ 1 15

3x 2 10x 2 > 1

Unidad 3. lgebra 17

3UNIDAD


83/617

4. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

b)

a) 2x 7 > 5 8 2x> 12 8 x> 6 8 (6, +@)

x2 3x 4 0 8 (@, 1] [4, +@)

Solucin: (6, +@)

Las soluciones de la primera inecuacin son lon puntos del intervalo [2, 2]. (Verapartado d) del ejercicio anterior).

Las soluciones de la segunda inecuacin son:

x 4 > 1 8 x > 5 8 (5, +@)

Las soluciones del sistema sern los puntos en comn de los dos intervalos. Portanto, el sistema no tiene solucin.

Pgina 87

LENGUAJE MATEMTICO

1. De las siguientes igualdades, cules son identidades?

a) (x 3)(x 2)x= x3 5x2 + 6x

b) (x 3)(x 2)x= x3

c) am an= am+ n

d) = x2 + 2x+ 1

Comprueba, en ellas, que la igualdad es cierta para cualesquiera valores de lasvariables (haz la comprobacin para varios nmeros).

Son identidades a), c) y d).

3x 2

x3 3x 5x 2

x2 4 0

x 4 > 1

b)

y =x2 3x 4

2

4

2 42

2

Y

X

x2 4 0

x 4 > 1

x2 3x 4 0

2x 7 > 5

Unidad 3. lgebra8


84/617


85/617

Pgina 92


Factorizacin

1 Descompn en factores estos polinomios y di cules son sus races:

a) x3 2x2 x+ 2 b)x4 5x2 + 4

c) 2x3 3x2 9x+ 10 d)x5 7x4 + 10x3 x2 + 7x 10

e) 6x4 5x3 23x2 + 20x 4 f ) x5 16x

g) 4x2

25 h)4x2

+ 4x+ 1

a) (x+ 1) (x 1) (x 2) 8 Races: 1, 1, 2

b) (x 1) (x+ 1) (x 2) (x+ 2) 8 Races: 1, 1, 2, 2

c) (x 1) (x+ 2) (4x 10) 8 Races: 1, 2,

d) (x 1) (x 2) (x 5) (x2 +x+ 1) 8 Races: 1, 2, 5

e) (x+ 2) (x 2) (2x 1) (3x 1) 8 Races: 2, 2, ,

f)x(x 2) (x+ 2) (x2 + 4) 8 Races: 0, 2, 2

g) (2x+ 5) (2x5) 8 Races: ,

h) (2x+ 1)2 8 Raz:

2 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el mx.c.d. [A(x), B(x)] y elmn.c.m. [A(x), B(x)]:

a)A(x) = x2 + x 12; B(x) = x3 9x

b)A(x) = x3 + x2 x 1; B(x) = x3 x

c)A(x) = x6 x2; B(x) = x3 x2 + x 1

a)A (x) = (x 3) (x+ 4); B(x) =x(x 3) (x+ 3)

mx.c.d. = (x 3)

mn.c.m. =x(x 3) (x+ 3) (x+ 4)

b)A(x) = (x 1) (x+ 1)2; B(x) =x(x 1) (x+ 1)

mx.c.d. = (x 1) (x+ 1)

mn.c.m. =x(x 1) (x+ 1)2

12

52

52

13

12

104

PARA PRACTICAR

Unidad 3. lgebra0


86/617


87/617

d) x1 = 1; x2 = 2; x3 =

e)x(x4 16) = 0; x(x2 4) (x2 + 4) = 0

x1 = 0; x2 = 2; x3 = 2

f)x(x2 3x+ 2) = 0; x(x 1) (x 2) = 0

x1 = 0; x2 = 1; x3 = 2

g) x= 1

Fracciones algebraicas

4 Simplifica las fracciones:

a) b)

a) =

b) =

5 Opera y simplifica el resultado:

a) : b)

c) d) : 1 +

e) 1 :1

x+ 2)x+ 3x+ 2

x + 1x+ 2(

)xx+ 2()x

x+ 2x + 1

x(x

x2 3x+ 2x

x 1x

x 2

(x 2)2

x2 1

x2 + 2x 3

(x 2)3(a+ 1)2

a2 1

3a+ 312a 12

3x2 + 4x+ 1x2 + 2x

(x 2) (x+ 1) (3x+ 1)x(x 2) (x+ 2)

(3 +x)x

(3 x) (3 +x)x(x 3)

3x3 2x2 7x 2

x3 4x

9 x2

x2 3x

13

Unidad 3. lgebra2

3 10 9 2

1 3 7 2

3 7 2 0

2 6 2

3 1 0

1 1 4 41 1 0 4

1 0 4 0

3 2 7 2

2 6 8 2

3 4 1 0

1 3 1

3 1 0


88/617

a) =

b) =

c) = = 0

d) : = =

= =

e) (x+ 2) =

6 Demuestra las siguientes identidades:

a) + 1) =b) : = 1

c) : = 2x 5

a) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) =

b) : = = 1

c) ( ) : ( ) =

= : =

= : = = 2x 5

Ecuaciones de primer y segundo grado

7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solucin,dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solucin nica. Identi-fica cada caso y resuelve las que sean posible:

(2x 5) (x 3) (x 2)(x 3) (x 2)

1(x 3) (x 2)

(2x 5)(x 3) (x 2)

x 2 x+ 3(x 3) (x 2)

(x 2 +x 3) (x 2 x+ 3)(x 3) (x 2)

(x 2) (x 3)(x 3) (x 2)

(x 2)2 (x 3)2

(x 3) (x 2)

(a + 1) (a 2)(a 2) (a + 1)

(a + 1)2

solucionario matemáticas anaya 2 bachillerato

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