exÀmens quÀntica

Exa`men de Fsica Qua`ntica (Juliol 2005)

Problemes

Exa`men FINAL

1. [0, 5p] Si un foto denergia 4 eV incideix en un electro en repos i es desviat en unadireccio de 90o, quina es lenergia cine`tica de reculament de lelectro?

2. [1p] Una partcula esta` sotmesa a lHamiltonia` H = ~wx. A t = 0 es troba enlestat |0 = |+z. Troba:(a) El valor esperat Sy0 i la indeterminacio (Sy)0 .(b) Lestat a linstant t, |(t).

3. [1p] La funcio dona (no normalitzada) de cert estat estacionari es

(x) = e(x+a)2/2

on mw/~. La seva energia es E = ~w/2. Determinar lexpressio del potencialV (x) que te a (x) com estat estacionari lligat. Averigueu tambe la funcio donade (x) que correspon a lestat estacionari denergia immediatament superior (noes necessari normalitzarla).

4. [1, 5p] Donat lestat (r) = f(r)(r2 30x z), determina L2, Lz, L2 i Lz.5. [1p] Un electro es troba en lestat fonamental del potencial central

V (r) e2

r+

~2

m

1

r2

on e es la seva ca`rrega, m la seva massa i 0 <

FISICA QUANTICA. Teoria, sense textos.

FINAL, 1a. Convocato`ria. 30 de juny de 2005.

Calculeu en fulls apart i contesteu breument aqu

(COG)NOM(S):

Q. 1 Comenta molt breument laportacio a la Meca`nica Qua`ntica que vafer Planck lany 1900.

Q. 2 Quins moment angular, moment magne`tic i moment lineal te unelectro en la tercera o`rbita del la`tom dH de Bohr? (Cal donar les expres-sions, no els valors)

Q. 3 A que` correspon exactament lexpressio que trobem sovint en MQ| < aj | > |2 ?

Q. 4 Enuncia el teorema dEhrenfest en meca`nica de matrius (Heisenberg)per a lobservable B (que no depen de t) i lestat | > sotme`s a lhamiltonia`H.

Q. 5 Una funcio dona unidimensional estaciona`ria sanul.la pertot llevatde linterval [0, b] on val (x) = N sin pix

b, quin es lhamiltonia` H al que esta`

sotmesa? Quina E li correspon?

Q. 6 Doneu lexpressio de lobservable Lz en coordenades cartesianes,cilndriques i esfe`riques?

Q. 7 Quina es la funcio dona normalitzada de lestat fonamental dela`tom dH? Expressa-la en termes del radi de Bohr i negligeix efectes despin, relativistes,... Recorda que

0 dxx

nebx = (n+ 1)/bn+1.

Q. 8 Sabent que a|n >= n + 1|n + 1 >, calculeu aaaa|n > per aqualsevol n.

Q. 9 Donada una funcio dona de dues components (o spinorial) bennormalitzada, que` representa lexpressio

d3r(|+(~r)|2 |(~r)|2)? (Les in-

tegrals sextenen a tot lespai)

Q. 10 Doneu una funcio de prova amb un sol para`metre variacionalque pugui servir per acotar lenergia del primer estat excitat dun oscil.ladorharmo`nic unidimensional.

Q. 1113 PER ALS QUE FAN EL SEGON PARCIAL I PROU: FEUDEL Q.6 AL Q.10 I ELS DE LA PISSARRA.

Examen de Fsica Qua`ntica (Setembre 2005)

Problemes

Exa`men FINAL

1. En un a`tom de positroni (e+e) semet un foto degut a la transicio de lelectro delnivell n = 2 al nivell n = 1. Quina es lenergia daquest foto en eV?

2. Una partcula de spin S = 1/2 es troba en lestat |+=pi/3=pi/3. Quina es laprobabilitat de trobar el valor +~/2 si mesurem Sz? Un cop sha obtingut el resultat+~/2, mesurem Sn n S, quins valors podem obtenir i amb quines probabilitats?

3. Una partcula esta` sotmesa al seguent potencial

V (x) =

{+ si x 01

2kx2 si x > 0

(a) Troba el valor esperat de x per a lestat fonamental.

(b) Si la partcula es al primer estat excitat, en quin punt x es impossible trobar-la?

4. Una partcula esta sotmesa a un potencial harmo`nic unidimensional, i.e, H0 =p2/2m + kx2/2. Si perturbem el sistema amb un potencial V = k|x|, quina es lacorreccio a primer ordre de lenergia de lestat fonamental?

5. Una partcula esta` sotmesa al seguent potencial

V (x) =

{ V0 si |x| < a0 si |x| a

Troba E() per a la funcio de prova

(x) =

{1cos pix

2si |x| a

0 si |x| a

6. Troba els estats i els valors propis de aa2a.


Segona convocato`ria: setembre de 2005.


(COG)NOM(S):

Q. 1 Doneu aproximadament la de de Broglie (en m) per a un electrodenergia cine`tica igual al doble de la deumil.le`ssima part (2 104) de lama`ssica.

Q. 2 Si un electro es trobe`s a la primera o`rbita de Bohr, quina forcaexperimentaria? Quins qualificatius mereix aquesta forca? Ignora spin irelativitat, i presenta el resultat en termes dm, , h i c.

Q. 3 Enuncia amb precisio els postulats de la mesura referint-te a unestat | i a un observable B tal que B|bi = bi|bi.

Q. 4 Una partcula de massa m es troba en el primer estat excitat dunpou quadrat i unidimensional de parets impenetrables que la tanquen entrex = b i x = +b. On hi ha ma`xima probabilitat de prese`ncia? Quina es laseva energia?

Q. 5 Escriu tan be com recordis (o puguis deduir) la funcio dona delestat fonamental dun oscil.lador harmo`nic unidimensional i la seva E.

Q. 6 Z(, ) = N sin cos es la part angular duna funcio dona de la queen mesurem Lz. Quins resultats poden sortir? i amb quines probabilitats?

Q. 7 La funcio dona dun estat estacionari de la`tom dH es del tipus(~r) = N(1 r/2a0)er/2a0 on N la normalitza. De quin estat es tracta?Quina energia te en Ry?

Q. 8 En el mon nostre de tres dimensions cal parlar dels observables Lz iL2 i de les seves funcions pro`pies Y ml (, ) on l = 0, 1, 2, ... i l ... m .. +l. En un mon (mes senzill) de dues dimensions, quin(s) observable(s)sobreviu(en)? quines expressions tenen observables, funcions pro`pies i valorspropis?

Q. 9 Comenta breument els efectes de la relativitat i del magnetismesobre lestructura fina de lespectre de lhidrogen.

Q. 10 Si H0|i >= E(0)i |i > i volem resoldre (H0 +W )|i >= Ei|i >per pertorbacions (no degenerades), doneu les expressions dels termes E

(1)

i i

E(2)

i de la se`rie corresponent a Ei.


Examen final, juliol de 2006.


(COG)NOM(S):

Q. 1Quines son aproximadament les longituds dona (en metres) dun foto i

dun electro de 40 keV denergia?

Q. 2A`toms de sodi amb dB = 16 1017 m passen per una doble escletxa i

mostren el primer mnim dinterfere`ncia en desviar-se 40 106 rad, quina esla separacio entre escletxes?

Q. 3Enuncia amb precisio els postulats de la mesura fent refere`ncia a lobservable

B (amb valors propis bi discrets i no degenerats) i a lestat |.

Q. 4Considera lestat (x) = [1(x) 2(x)]/

2 on 1(x) i 2(x) son lestat

fonamental i el primer estat excitat dun pou de potencial V (x) = 0, si|x| A, i parets impenetrables a x = A. Quin es el valor esperat delenergia daquest estat (x)? Amb quina indeterminacio?

Q. 5Quins son els valors i vectors propis normalitzats de la matriu de Pauli

y?

Q. 6Doneu un observable S tal que si el mesuressiu sobre lestat

| =1

3|++

2

3| =

(132

3

)

podreu endevinar amb seguretat quin dels dos resultats diferents, +1 o 1,sortiria.

Q. 7Recordant que [a, a] = 1 troba o endevina les expressions dx i de p en

termes dels operadors a i a i els para`metres de loscil.lador.

Q. 8La funcio dona spinorial dun electro lliure (massa m) es Neikx

(1

1

). De

quins observables es pro`pia? Amb quins valors propis?

Q. 9Considereu lelectro dun io He+ en lestat fonamental. Quina funcio

dona normalitzada i expressada en termes del radi de Bohr li correspon?Quin es el valor esperat de la seva energia potencial en eV? (Negligim spin iefectes relativistes)

Q. 10Proposeu una funcio de prova sensata per estimar pel me`tode variacional

lenergia de lestat fonamental del pou unidimensional i sime`tric V (x) =K|x|. Proposeu-ne una altra per al seu primer estat excitat.

Examen de Fsica Qua`ntica (Juliol 2006)

Problemes

1. [2 pt] Un sistema fsic ve descrit per lhamiltonia` H, el qual te dos estats propis

|0 =(

10

)|1 =

(01

),

amb valors propis E0 i E1, respectivament. Un observable A daquest sistema fsicte la seguent representacio matricial en la base |0, |1:

A =

(0 11 0

)Lestat del sistema fsic a t = 0 es |(t = 0) = N(|0+ (1 + i)|1).(a) Si mesurem lobservable A a t = 0 quins valors podem obtenir? amb quines

probabilitats?

(b) Sha mesurat lobservable A a les t = 0 i sha obtingut el valor 1. Si ara enmesure`ssim lenergia i tot seguit torne`ssim a mesurar A, quina probabilitat hiha de tornar a obtenir el valor 1?

(c) Calcula A(t) i (A)(t) per a qualsevol instant de temps.2. [1 pt] Troba els tres valors propis i les funcions pro`pies (expresseu-les en termes de

Y ml=1) de LxLy + LyLx per a l = 1.

3. [2 pt] Una partcula de massa m esta` sotmesa a un pou infinit unidimensionaldamplada pia, definit per

V (x) =

{+ si x < 0 o be x > pia0 si 0 < x < pia.

(a) Quina es lenergia E1 i la funcio dona 1(x) de la partcula si es troba en lestatfonamental? Ara afegim a lhamiltonia` la pertorbacio donada per

V (x) ={

0 si x < 0 o be x > pia sin(x/a) si 0 < x < pia.

amb molt menor que E1. (b) Calcula a primer ordre en teoria de pertorbacions lescorreccions a lenergia de 1(x). (c) Aquesta pertorbacio, augmenta o disminueix laprobabilitat de prese`ncia de lestat al punt x = pia/2? (d) Calcula a primer ordreen teoria de pertorbacions les correccions a lenergia de 1(x) si en lloc de V

(x) lapertorbacio fora

V (x) ={

0 si x < 0 o be x > pia sin(2x/a) si 0 < x < pia.

(Ajut: les integralsdx cosn(x) sin(x) son immediates.)

Examen final de Fsica Qua`ntica (Juny 2007)

Problemes

1. [1.5p] Considereu lestat que a t = 0 ve descrit per

(x, t = 0) =13

[f(x) +

2e(x)

]

on

f(x) =(mpi~

)1/4e

m

2~x2, e(x) =

2(mpi~

)1/4(mpi~

x2 12

)

em

2~x2

son estats estacionaris dun cert hamiltonia`.

(a) Calculeu el valor esperat i la indeterminacio en lenergia per lestat (x, 0).

(b) Feu el mateix per la posicio, es a dir: x i (x).(c) Trobeu lexpressio de (x, t) per a t arbitrari.

(d) En quin instant de temps es fa ma`xima la prese`ncia de la partcula a lorigen?

2. [2p] Una partcula de spin S = 1 es troba sotmesa a un camp magne`tic de tal formaque evoluciona amb lhamiltonia`

H = ~

0 1 01 0 10 1 0

.

Soposeu negligible la part cine`tica.

(a) Fent servir el me`tode variacional, trobeu una fita superior a lenergia de lestatfonamental amb la funcio de prova

| = 12

cos2 sincos

,

on es un para`metre variacional.

(b) Tenint en compte la funcio dona corresponent a lenergia mnima trobada alapartat anterior, proposeu una nova funcio de prova per tal de fitar lenergiadel primer estat excitat i calculeu-ne aquesta fita pel me`tode variacional.

(c) Comproveu que les solucions o`ptimes de lenergia i dels estats, trobades alsapartats anteriors, de fet coincideixen amb les exactes.

3. [1.5p] Un a`tom dhidrogen es troba a lestat 200.

(a) Determineu el lloc geome`tric dels punts (diguem-ne S) on es impossible trobarlelectro.

(b) Calculeu el quocient entre la probabilitat de trobar-lo a dins dS i la probabil-itat de trobar-lo fora.

(c) Apliquem sobre la`tom un camp ele`ctric (feble) constant i uniforme, donat perE = E (1, 0, 0). Fent servir teoria de pertorbacions calculeu, a primer ordre, lacorreccio a lenergia de lestat considerat.

(d) Calculeu, finalment, com es modifica lenergia de la`tom (a primer ordre) siel pertorbem feblement amb un potencial (central) del tipus G

r2, amb G una

constant positiva.


Final, 26 de juny de 2007.


(COG)NOM(S):

Q. 1Doneu aproximadament la de de Broglie (en m) per a un proto denergia

cine`tica igual a la deumil.le`ssima part (104) de la ma`ssica.

Q. 2Quins moment angular, moment magne`tic i moment lineal te un electro

en la segona o`rbita del la`tom dH de Bohr? (Cal donar les expressions, noels valors)

1

Q. 3Per que` apareix sempre la unitat imagina`ria en les expressions dels com-

mutadors de dos observables?

Q. 4Una funcio dona unidimensional estaciona`ria sanul.la pertot llevat de

linterval [b,+b] on val (x) = N sin pixb. Quin es el potencial V (x) al que

esta` sotmesa? Quina E li correspon? Quant val N?

Q. 5Una partcula de spin 1 es troba en lestat propi dSz amb valor propi

nul. Quant val el valor esperat dS2x + S2y per a aquest estat?

2

Q. 6Quina relacio hi ha entre les funcions dona n,l,+m(~r) i n,l,m(~r) corre-

sponents a dos estats estacionaris de lH? (Noteu que prescindim de lspin ilestructura fina)

Q. 7Quina expressio ens dona la normalitzacio duna funcio dona de tres

components, es a dir, la que correspon a una partcula de spin 1?

Q. 8Enuncieu el postulat que fa refere`ncia a estats compostos de partcules

ide`ntiques.

3

Q. 9Que` val a2|n, on a es loperador dannihilacio, en funcio dels possibles

valors dn dels estats dun oscil.lador?

Q. 10Calculeu el commutador entre J+J i JJ+. Calculeu tambe el commu-

tador entre J+J i Jz

4

Examen final de Fsica Qua`ntica (Setembre 2007)

Problemes

1. [1p] Una partcula de massa m es troba en un pou unidimensional i te una funciodona (x) en forma de triangle iso`scel.les. La base del triangle es el costat desiguali va de x = a a x = +a, sent (x) nul.la per a qualsevol altre valor dx.(a) Quant val la densitat de probabilitat de prese`ncia a lorigen?

(b) Quin es el valor esperat de la posicio? Quant val la seva indeterminacio?

2. [1.5p] Una partcula de spin 1 es troba a lestat

|(t = 0) = 12

121

.

(a) Quins son el valor esperat i la indeterminacio de Sy per a aquest estat?

(b) Si deixem evolucionar el sistema sota laccio de lhamiltonia`

H = ~

1

01

,

quina expressio tindra` |(t)?(c) Per a quins valors de t es verifica que (Sy) = 0?

3. [2.5p] Una partcula de massa m esta` sotmesa al potencial central (tridimensional)

V (r) =

{0 r < R

+ r > R .

Lestat de la partcula ve descrit per la funcio dona (no normalitzada)

(r, , ) =

{N sin(pir/R)

rr R

0 r > R.

(a) Trobeu la constant de normalitzacio, N .(b) Calculeu Lz i (Lz).(c) Determineu el valor esperat de r per a lestat .

(d) Si pertorbem el sistema amb un potencial (central) del tipus Vp(r) = r amb una constant petita, trobeu la correcio a lenergia de lestat a primer ordreen .

(e) Finalment, si el potencial pertorbador no es central sino que es de la formaV (r, ) = z, calculeu la correcio, a primer ordre en , de lenergia de lestat.

Ajut: dxx sin2(x/2a) =

1

4

[x2 2ax sin(x/a) 2a2cos(x/a)]


27 de juny de 2008 (Final).


(COG)NOM(S):

Q. 1Neutrons amb dB = 16 1012 m passen per una doble escletxa i mostren

el primer mnim dinterfere`ncia en desviar-se 40 106 rad, quina es la sepa-racio entre escletxes?

Q. 2Quant val el valor esperat de x per a lspinor

12

(1

i

)? I la indeterminacio

corresponent?

Q. 3Donat lestat estacionari dun oscillador harmo`nic, (x) = N(2Ax2

1)e1

2Bx2 , identifica les expressions dA i B i el(s) punt(s) on la probabilitat

de prese`ncia es mnima. Cal expressar-ho en termes dh, i m.

Q. 4Enuncia amb precisio el postulat de la MQ que estableix com cal descriure

els sistemes fsics

Q. 5Pot haver-hi funcions dona pro`pies i comunes als observables pz i Lz? En

cas negatiu, demostra-ho. En cas afirmatiu, donan un exemple.

Q. 6Quina es lexpressio de la integral que estableix lortonormalitzacio dels

harmo`nics esfe`rics?

Q. 7Sabent que ~L = ~r ~p = ih~r ~, calcula el commutador [Lz, px]

Q. 8Si apliquem el me`tode variacional amb la funcio de prova (r) = Ne

r

a la`tom dhidrogen, quines expressions trobarem per a i per a lenergia?Cal donar-les en termes de c,m, h i la constant

Q. 9Calculeu el valor de < n 1|(a + a)2|n + 1 > per a qualsevol n 1, on

a i a son els operadors de creacio i destruccio dun oscil.lador harmo`nic amb[a, a] = 1, aa|n >= n|n > i < n|n >= 1

Q. 10La funcio` dona spinorial dun electro lliure (massa m) ve donada per

= Neikz(

0i

)

, de quins observables es pro`pia? Amb quins valors propis?

Examen de Fsica Qua`ntica (Juny 2008)

Problemes

1. Una partcula de massa m es troba confinada en una caixa uni-dimensional quesesten de x = L/2 a x = L/2. La partcula es troba en lestat fonamental,quan de sobte les parets de la caixa es mouen cap a fora de forma sime`trica iinstanta`niament per formar una caixa de longitud 2L, es a dir x [L,L].(a) Quina es la probabilitat de trobar la partcula en el estat fonamental i en primer

estat excitat.

(b) Suposem ara que la partcula es troba inicialment (t = 0) en lestat

| = 1352 + 92

(9|1 35|3)

on |1 es lestat fonamental de la caixa de longitud L i |3 el seu segonestat excitat. A quin temps t sha dexpandir la caixa (L 2L) per a que laprobabilitat de trobar la partcula en el nou estat fonamental sigui nulla.[per fer les integrals us pot ser util: 2 cos cos = cos( ) + cos( + )]

2. (a) i. Escriviu la expansio de Taylor de eiap/~ i calculeu el commutador [x, eiap/~][recordeu que [x, pn] = i~npn1].

ii. Del resultat anterior es segueix immediatament

xeiap/~ = eiap/~(x+ a)

Demostreu a partir daqu que el moment p es el generador de translacions,es a dir,

eiap/~|x = |x+ a,on |x es propi del observable de posicio x|x = x|x.

iii. Donat un estat | amb valor esperat i indeterminacio en posicio x = xoi x = x, calculeu els valors daquestes quantitats a lestat e

iap/~|.Com variaran els corresponents valors per lobservable del moment linealp?

(b) Ara preneu lestat fonamental del oscillador harmo`nic |n = 0, doneu els seusvalors esperats i les seves indeterminacions en la posicio i en el moment lineal, idemostreu que es propi del operador danihilacio a. Quin es el seu valor propi?

Comproveu que lestat que sobte deslpacant lestat fonamental | = eiap/~|n = 0segueix sent propi da. Trobeu el valor propi corresponent, els seus valors espe-rats i indeterminacions en posicio i moment. Per acabar doneu la probabilitatde trobar lestat en |n si mesurem la energia de |: pn = |n||2 [per aixo` uspot resultar util escriure lexponent en termes de a i a: iap/~ = (a a),fer servir la formula de Baker-Campbell Hausdorff: eAeB = eA+Be

12[A,B] per

[A, [A,B]] = [B, [B,A]] = 0] i desenvolupar ea

en serie de potencies].

3. Considereu un sistema qua`ntic de tres nivells amb el seguent hamiltonia`,

H =

2 0 00 1 0 3

on es un para`metre adimensional petit 1.(a) Doneu els estats i valors propis del hamiltonia` sense pertorbar ( = 0)

(b) Trobeu els valors propis exactes per un arbitrari i desenvolupeu el resultaten serie de potencies fins a segon ordre en .

(c) Ara feu el mateix pero` fent servir la teoria de pertorbacions i compareu elsresultats.


Setembre de 2008.


(COG)NOM(S):

Q. 1Els electrons que tenen una dB = 10 1012 m, a quina velocitat = v/c

aproximada es mouen?

Q. 2Sabent que J Jx iJy calculeu el commutador [J+J, JJ+]

Q. 3Quins son el postulats del model de Bohr (1913) per a la`tom dhidrogen?

Q. 4Considera lestat (x) = [0(x) 2(x)]/

2 on 0(x) i 2(x) son lestat

fonamental i el segon estat excitat del potencial harmo`nic V = (1/2)m2x2.Quin es el valor esperat de lenergia daquest estat (x)? Amb quina inde-terminacio?

Q. 5

Al llarg de quina direccio (, ) apunta lspinor

( sin/2cos/2

)

? Quin

spinor apunta en sentit contrari?

Q. 6Sabem que J+J = ~J

2 J2z + hJz, quina expressio no normalitzada cor-respon a J|j,m >?

Q. 7Determineu els valors dM i del mo`dul dN que apareixen en lexpressio

Y +12 (, ) = N sin cos eiM.

Q. 8Sabent que per a lhidrogen tenim 1,0,0 =

1pia3

0

er/a0 , quina expressio

correspon a lestat fonamental del io He+? Quant val el valor esperat de laseva energia cine`tica?

Q. 9Un estat de spin 1/2 verifica

d3~r(|+(~r)|2+|(~r)|2) = 1, que` signifiquen

exactament |+(~r)|2 id3~r|+(~r)|2?

Q. 10Considera un pou unidimensional de parets infinites que tanquen una

massa m entre x = a i x = +a i que el pertorbem amb lhamiltonia` V =g cos pix

2a. A primer ordre de teoria de pertorbacions, quant canvia lenergia

de lestat fonamental? I la del primer estat excitat?

Examen de Fsica Qua`ntica (Setembre 2008)

Problemes

1. Una partcula de massa m es troba en el potencial (vegeu figura)

V (x) =

x 00 0 < x < bV0 x b

Demostreu que si es compleix la seguent relacio entre els para`metres del sistemano hi ha cap estat lligat (estat propi amb densitat de probabilitat que sanulla ax ):

2mV0b2/~2 < pi/2

V (x)

V0

b x

2. Un sistema ve descrit per lhamiltonia` seguent:

H = aL2x + aL2y + bLz

on a, b son constants.

(a) Troba les funcions dona i energies pro`pies de lhamiltonia` H.

(b) Quina sera` la evolucio temporal dun estat que es combinacio lineal dharmonicsesferics | =l,m cl,mY ml (, )?

(c) Donat un estat amb funcio dona (x, y, z) = N(y + z)e(x2+y2+z2) a t = 0,

quina sera` la funcio dona en un temps t? Quins seran els valors esperats iindeterminacions de L2 i Lz en el temps t.

3. Un estat coherent es pot definir com lestat normalitzat propi (per la dreta) deloperador danihilacio a| = | ( i per tant tambe |a = |).(a) Calcula les indeterminacions en posicio i moment, x i p, per un estat co-

herent on es real.

(b) Fes servir el me`tode variacional per trobar lestat fonamental del oscilladorharmo`nic pertorbat

V (x) = 1/2m2x2 + kx

prenent com a funcio dona de prova lestat coherent | i com a para`metrevariacional. Quin es el valor d corresponent al estat fonamental?

!

" #

!

$ % &' (

)

*

*

! )# + ,

#

" , -) !

" ! .' /!

)

,( 0 / ! &'

*

)*

$ # *1 /

)! 2 / +#

/

* /

MECA`NICA QUA`NTICA.

3 de juliol de 2006.

Poseu nom i cognoms.

Entregueu els exercicis en fulls separats. Podeu utilitzar un formulari.

Exercici 1 (4pt)Responeu a les seguents preguntes argumentant les respostes:

a) Demostrar el teorema de Ehrenfest: md2Xdt2

= dV (X)dX

on X es loperador posicio en laimatge de Heisenberg i V (X) es un potencial qualsevol.

b) Demostrar que loperador de les traslacions (x x + a) es U = eiaP/ a partir de(x + a) = (x) on (x) es la funcio dona de lestat transformat de |.c) Perque` lestat de latom dHeli amb spin total s = 1 es menys energe`tic que lestat ambspin total s = 0?

d) Un electro en un camp magne`tic constant en la direccio z esta` en lestat ms = +/2.Calcula la probabilitat de trobar-ho en lestat ms = /2 si lhi apliquem un petit campmagne`tic constant en la direccio x durant un temps t (utilitzar teoria de pertorbacions).

Exercici 2 (2pt)

Sigui S = S1 + S2 + S3 lspin total de 3 partcules dspin12

i sigui |m1m2m3 > lautoestat comude S1z, S2z i S3z.

i) Quins son els valors possibles de lspin total? Enumereu tots els estats possibles dspintotal i tercera component |JM >.

ii) Trobeu la descomposicio en termes de |m1m2m3 > dels 4 estats amb lspin total J mes alti normalitzeu-los. (Ajut: J|jm >=

j(j + 1)m(m 1)|jm 1 >)

Exercici 3 (2pt)

Considera un oscil.lador harmo`nic unidimensional amb pulsacio i en un estat | >= |0 > +|1 >superposicio del fonamental i del primer excitat. Estableix el temps mnim que cal per tal que< (t0)|(0) >= 0.

Exercici 4 (2pt)

Tenim un electro en lestat dspin: | >= 13|Sz; +12 > +2

2

3|Sz;12 >

i) Calcular la probabilitat dobtenir +/2 al mesurar la component y de lspin i la probabilitatdobtenir /2.

ii) Trobeu el valor esperat de Sz.

iii) Calculeu la incertesa en Sz.

1

e25461a2004-05cjunmPe25461a2004-05cjunmTe25461a2004-05csetmPe25461a2004-05csetmTFsica quntica (2a teoria).pdfFsica quntica (2a problemes).pdf

e25461a2005-06cjunmTn002img024.pdfimg025.pdfimg026.pdf

e25461a2005-06cjunmTPn001Fsica quntica (1a).pdfFsica quntica. Problemes (1a).pdf

e25461a2006-07cjunmpe25461a2006-07cjunmte25461a2006-07csetmp(1)e25461a2007-08cjune25461a2007-08csete25461a2008-09cFEBiCAT(1)e25468a2004-05cjune25468a2005-06cjun

exÀmens quÀntica

Documents