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Análisisdecircuitos.Examendeseptiembrede2010

EnriqueSánchez.Dpto.TeoríadelaSeñalyComunicaciones.ETSIT‐Vigo.IngenieríaTécnicadeTelecomunicación

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Examendeseptiembrede2010

Soluciones

Análisisdecircuitos

IngenieríaTécnicadeTelecomunicaciónPrimercurso

Añoacadémico2009‐10

EnriqueSánchezDepartamentodeTeoríadelaSeñalyComunicaciones

EscuelaTécnicaSuperiordeIngenierosdeTelecomunicaciónUNIVERSIDADDEVIGO

correoelectrónico:[email protected]

Sitiosweb:http://www.tsc.uvigo.es/DAF/Investigacion/index.html

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PROBLEMA1

a. Enelcircuitodelafigura,enelquelafuenteindependienteescontinuade

valor VG, no se producen más cambios después de la apertura delinterruptor.

b. HalladlosvaloresdevC,iC,vLeiLparat=0‐,t=0+yt=∞(1.2puntos).c. Hallad las ecuaciones diferenciales que rigen la evolución de vC(t) e iL(t)

parat≥0s(0.8puntos).d. La fuente independiente continua es sustituida por otra variable con el

tiempo,vG(t), la fuentedependienteesdejadaencircuitoabierto (entregauna corriente nula) y el interruptor permanece cerrado. En estascondiciones,halladlafuncióndetransferenciaparat≥0s,estandoaquélladefinidacomo

€

H(s)=V0(s)VG(s)

siendoVO(s)yVG(s),respectivamente,lastransformadasdeLaplacedevO(t)yvG(t).Sielcircuitosecomportacomounfiltro,¿aquétipocorresponde?(1.2puntos).

e. Enlascondicionesdelapartadoanterior,obtenedlaexpresióntemporalenrégimenpermanentedevO(t)parat≥0s(0.8puntos)sabiendoquevG(t)ylafuncióndetransferenciadelcircuitoson

€

vG(t)= 3cos 2 ×103 (rad/s)t + 45 °[ ] V H(s)=2×106

s2 + 3×103s + 2×106



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PROBLEMA1,apartadoaPara t = 0‐ s, el circuito está en régimen permanente continuo, con lo que la

corrienteenlacapacidadylatensiónenlainductanciasonnulas.Esdecir,

€

iC(0− )= 0 A vL(0

− )= 0 V

Además,secumplenlasrelacionesqueseindicanseguidamente.

€

VG =[iL(0− )+ iC(0

− )]R + vL(0− )+ riL(0

− ) ⇒ iL(0−)=

VGR + r

€

vC(0− )= vL(0

− )+ riL(0− ) ⇒ vC(0

− )=rVGR + r

Parat=0+s,hademantenerselacontinuidaddelatensiónenlacapacidadydelacorrienteenlainductancia,conloque

€

vC(0+ )= vC(0

− )=rVGR + r

⇒ iL(0+)= iL(0

− )=VGR + r

Además,secumplenlasrelaciones

€

vL(0+ )= vC(0

+ )− riL(0+ )=0 V ⇒ iC(0

+ )= − iL(0− )= −

VGR + r

Ent=∞selcircuitoestáenrégimenpermanentecontinuo,locualsignificaquela capacidad y la inductancia son, respectivamente, un circuito abierto y uncortocircuito.Esdecir,

€

iC(∞)= 0 A vL(∞)= 0 V

Además,

€

iL(∞)= − iC(∞)= 0 A vC(∞)= vL(∞)+ riL(∞)= 0 V



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PROBLEMA1,apartadobEnelcircuito,parat≥0sseverificanlassiguientesecuaciones:

€

iL(t)+ iC(t)= 0

€

vC(t)= vL(t)+ riL(t)

(1a)

(1b)

Lasrelacionesfuncionalescorrespondientesalosdoselementosreactivosson

€

iC(t)=CdvC(t)dt

vL(t)= LdiL(t)dt

Sustituyendolaprimeraen(1a)ylasegundayelresultadoen(1b),seobtiene

€

iL(t)= −CdvC(t)dt

€

LCd2vC(t)dt2

+ rCdvC(t)dt

+ vC(t)= 0

(2)

(3a)

Sustituyendo la primera relación funcional en (1a) y la segunda en (1b), seobtiene

€

LCd2iL(t)dt2

+ rCdiL(t)dt

+ iL(t)= 0 (3b)

Lasexpresiones(3)sonlasecuacionesdiferencialesbuscadas.



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PROBLEMA1,apartadoc

Sustituyendo L y C por sus correspondientes impedancias de Laplace (sL y1/(sC),respectivamente)yaplicandoanálisispornudos,seobtiene

€

VG(s)− VC(s)R

= VC(s) sC+1

sL + R

⇒ VC(s)=

VG(s)R

1R

+ sC+1

sL + R

VO(s)=VC(s)RsL + R

⇒VO(s)VG(s)

=

1LC

s2 +1RC

+RL

s +

2LC

La respuesta en frecuencia del circuito se obtiene a partir del módulo de sufuncióndetransferencia,llegándoseaque

€

H(s)=VO(s)VG(s)

⇒ H(jω) = H(s)s=jω

=

1LC

2LC

−ω2

2

+1RC

+RL

ω

2

ω→ 0 rad/s ⇒ H(jω)→ 12

ω intermedia ⇒ valor finito de H(jω)

ω→∞ rad/s ⇒ H(jω)→ 0

Luegoelcircuitosecomportacomounfiltropasobajo.



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PROBLEMA1,apartadod

Puesto que se pregunta por el comportamiento en régimen permanente, seprescindedelaconsideracióndelrégimentransitorio.

Porunlado,setiene

€

vG(t)= Acos(ωpt + ϕ)= 3cos 2 ×103 (rad/s)t + 45 °[ ] V ⇒

A = 3Vωp = 2 ×103 rad/s

ϕ = 45 °

Porotro,

€

H(jω) =2×106

(2×106 −ω2)2 + 9×106ω2θ(jω)= − arctg 3×103ω

2×106 −ω2

Enconsecuencia,larespuestabuscadaes

€

vO(t)= AH(jω)ω=ωp

cos[ωpt + ϕ + θ(jω)]= 2 cos 2 ×103(rad/s)t − 45 °[ ] V



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PROBLEMA2

Elcircuitodelafigura,encuyarepresentaciónsehautilizadonotaciónfasorial,

funcionaenrégimensinusoidalpermanenteaunafrecuenciaangularω.

a. Escribid un sistema algebraico de cuatro ecuaciones a partir del cual seaposibledeterminar losvaloresdeIG,Ia,IbeIc.Noobtengáis losvaloresdeestosfasores(0.8puntos).

b. Suponiendoconocidoelvalorde Ia,obtened la tensiónenCcy lapotenciacompleja en la misma capacidad. No desarrolléis los cálculos; basta condejarlosindicados(0.4puntos).

c. Obtenedlosparámetrosdeimpedanciadelcuadripoloabcd;enloposible,agrupadimpedanciassindesarrollarloscálculoshastaobtenerexpresionesfinales.¿Puedesersimétricoestecuadripolo?(0.6puntos).

d. Suponiendoqueloselementosdelcircuitotienenlosvaloresindicadosmásabajo,calculadelequivalentedeThéveninenbornasdeLa(0.6puntos).

€

vG(t) = VAC cos(ωt + ϕ) RG = 0.5 Ω CG =1µF LG = 2 µH

VAC =1 V ω = 1 Mrad/s ϕ = 0 ° La =1µH

M = 0.5 µH Rb = 0.5 Ω Cb = 0.2 µF Lb = 5 µH

a = 4 Rc =16 Ω Cc = 5 µF Lc = 0.2 µH

e. Suponiendo que los elementos del circuito tienen los valores indicados másabajo,obtenedlaexpresióntemporalde lapotenciaen laramadeLa. Utilizad aproximaciones matemáticas razonables y agrupaciones de impedanciassiemprequeseaposible(0.6puntos).

€

vG(t)= VDC + VAC cos(ωt + ϕ)

€

VDC =1 V RG =0.5Ω CG =1µF LG =2µHVAC =1 V ω =1Mrad/s ϕ=0 ° La =1µHM =0.5µH Rb =0.5Ω Cb =0.2µF Lb =5µHa =4 Rc =16Ω Cc =5µF Lc =0.2µH



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PROBLEMA2,apartadoa

Reflejandoimpedancias,seobtiene

€

VG = IG jωLG +(ωM)2

jωLb +1

jωCb+ Rb

+ RG + jωLa

− Ia jωLa

0 = − IGjωLa + Ia jωLa +1

jωCG+

Rc +1

jωCc+ jωLc

a 2

0 = IGjωM + Ib jωLb +1

jωCb+ Rb

Ia = − aIc

PROBLEMA2,apartadob

€

Ic = −Iaa

VCc =IcjωCc

= j IaaωCc

SCc =VCcIc

*

2= − j

Ia2

2a2ωCc



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PROBLEMA2,apartadoc

Utilizandolanomenclatura

€

IG = I1 Ia = − I2 Zbref =(ωM)2

Rb + jωLb +1

jωCb

Zcref =

Rc + jωLc +1

jωCca 2

yaplicandoanálisispormallas,setiene

€

V1 = I1(jωLG + Zbref + RG + jωLa )+ I2jωLa V2 = I1jωLa + I2 jωLa +1

jωCG+ Zcref

(1)

Lasecuacionesquedefinenlosparámetrosdeimpedanciason

€

V1 = I1z11 + I2z12 V2 = I1z21 + I2z22 (2)

Comparando término a término (1) y (2) se obtienen los parámetros deimpedanciabuscados,queson

€

z11 = jωLG + Zbref + RG + jωLa z12 = jωLa

z21 = jωLa z22 = jωLa +1

jωCG+ Zcref

Para que sea simétrico, el cuadripolo ha de ser recíproco. Esto exige que secumplaquez12=z21.Estacondiciónsecumplesiempre.Además,hadecumplirsequez11=z22.Estacondiciónpuededarseconunaadecuadaseleccióndelosvaloresdeloselementospasivos.



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PROBLEMA2,apartadod

Sustituyendolosdatosdelproblemaenlasecuaciones(1)delapartadoanteriorseobtienelatensióndelgeneradorequivalentedeThévenin.

€

1= IG(1+ j3)− Ia j0= − IGj+ Ia

⇒IG =

12+ j3

A

Ia =j

2+ j3A

VTh =(IG − Ia )jωLa =5− j13

V

AlsustituirLaporuncortocircuito,todalacorrientesuministradaporlafuentecirculapordichocortocircuito,conloquelacorrientedeNortones

€

IN =VG

jωLG + Zbref + RG=

11+ j2

A

conloquelaimpedanciaequivalentedeThévenines

€

ZTh =VThIN

=7+ j913

Ω



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PROBLEMA2,apartadoe

Como puede observarse, la excitación tiene dos componentes, con lo que, deacuerdo con el principio de superposición, también habrá dos componentes en lacorrienteylatensióndesalida.Esdecir,

€

iLa(t)= IDC + i AC(t)= IDC + IAC cos(ωt + θ)vLa(t)= VLaDC + vLaAC(t)= VLaDC + VLaAC cos(ωt + γ)

pLa(t)= iLa(t)vLa(t)

Componentecontinua

Para la componente continua (vG(t) = VDC), las capacidades y las inductanciasson,respectivamente,circuitosabiertosycortocircuitos,conloqueelcircuitoquedareducido a la fuente en serie con la resistencia RG (los primarios de lostransformadoressoncortocircuitos).Enconsecuencia,

€

IDC =VDCRG

=2 A VLaDC =0 V, porque La es un cortocircuito

Componentesinusoidal

Para la componente sinusoidal (VG = VAejφ = 1 V) hay que utilizar las dosprimerasecuacionesdelapartadoa.Teniendoencuentaquelosdatoscoincidenconlosdelapartadod,sellegaalmismoresultadoconrespectoalacorriente.Esdecir,

€

IAC = IG − Ia =1− j2+ j3

A = IACejθ =

2613

e−j168.69 A ⇒ i AC(t)=Re IACejωt{ } =

2613

cos(ωt −168.69 °) A

VLaAC = IACjωLa =1+ j2+ j3

V = VLaACejγ =

2613

e−j78.69 V ⇒ vLaAC(t)=Re VLaACejωt{ } =

2613

cos(ωt −78.69 °) V



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PROBLEMA3

Elcircuitodelafigura,encuyarepresentaciónsehautilizadonotaciónfasorial,funcionaenrégimensinusoidalpermanente.

Lasvariacionesdelaamplitudylafaseconlafrecuenciaangulardelafunciónde

transferencia,H(jω) = VO(jω)/VG(jω),sonlasrepresentadasenlafiguraquesigue.

a. Hallad la frecuenciaangularpara laque laentraday la salidadel circuito

tienenlamismafase(0.5puntos).b. Como puede observarse en las figuras del enunciado, el circuito se

comportacomounfiltropasobajo.Halladlabandadepasodedichofiltro(0.5puntos).

c. Explicad cualitativamente por qué la fase de la función de transferenciatiendea0°parafrecuenciasmuybajas(0.5puntos).



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d. Suponiendo que la fuente de tensión está caracterizada por la funciónperiódica representada en la figura que sigue, obtened su desarrollo enseriedeFourierexpresadoennotacióntrigonométrica(0.75puntos).

e. Suponiendoquelaexcitaciónesdelaformaindicadaenlafiguraquesigue,

obtenedsutransformadadeFourier(0.75puntos).



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PROBLEMA3,apartadoa

Silaentradaylasalidaestánenfase,estosignificaquelafasedelafuncióndetransferenciaesnula.

Buscando esa condición en la figura que muestra la variación de la fase seobservaquenoexisteningúnvalordeestamagnitud(exceptoeltrivial,ω0=0rad/s)queseanulo,conloquenohayningunafrecuenciaparalaquesecumplalacondiciónindicada.

PROBLEMA3,apartadob

La frecuencia de corte, que marca el límite superior de la banda de paso, esaquellaqueverificaloqueseindicaacontinuación.

€

H(jω)max

= 0.33

ω =ωc ⇒ H(jω) =H(jω)

max

2= 0.24

Enlafiguraquemuestralavariacióndelmódulodelafuncióndetransferenciacon la frecuencia angular puede observarse que la frecuencia para la que dichomódulotieneelvalorindicadoesωc=0.3Mrad/s.Luegolabandadepasoes

€

BW = 0 − 0.3Mrad/s

PROBLEMA3,apartadoc

Para frecuencias muy bajas, la inductancia y la capacidad se comportan,respectivamente, comouncortocircuitoyuncircuitoabierto, con loqueel circuitoquedareducidoalafuenteyunconjuntoderesistencias.Éstasnointroducenningúndesfase.Enconsecuencia, lasalidatenderáaestarenfaseconlafuente;esdecir, lafasedelafuncióndetransferenciatiendeacero.



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PROBLEMA3,apartadod

LaseriedeFourierseobtienecomoseindicaacontinuación.

€

av = 0 Vak = 0 V

por ser una función con simetría impar

€

bk =4T

vG(t)sen2kπtT

dt =

4T

vG(t)sen2kπtT

dt +

4T

vG(t)sen2kπtT

dt =3T/8

4T/8∫T/82T/8∫0

T/2∫

= −2Vlowkπ

cos 2kπtT

T/8

2T/8

+ −2Vhighkπ

cos 2kπtT

3T/8

4T/8

= −2kπ

cos kπ2

− cos

kπ4

+ 2 cos kπ( ) − cos 3kπ4

€

Ak = bk ϕk = 90 °

€

vG(t)= av + Ak cos2kπtT

−ϕk

k=1

∞

∑



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PROBLEMA3,apartadoe

AplicandoladefinicióndetransformadadeFourier,setiene

€

A(ω)= vG(t)cos(ωt)−∞∞∫ dt = −Vlow cos(ωt)dtT/4

T/2∫ = −Vlowω

sen(ωt)[ ]T/4T/2

= −Vlowω

sen ωT2

− sen

ωT4

B(ω)= vG(t)sen(ωt)−∞∞∫ dt = Vhighsen(ωt)dt3T/4

T∫ = −Vhighω

cos(ωt)[ ]3T/4T

= −Vhighω

cos ωT( ) − cos 3ωT4

F(ω)= A(ω)− jB(ω)

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