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César Salinas Quintero (AL13501033) Solución a problemas de programación lineal

Facilitador: Gallegos Ramírez José Luis

Cancún, Quintana Roo a 10 de marzo de 2015.

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE

INVESTIGACION DE OPERACIONESUNIDAD 1

I) Resuelve los siguientes ejercicios Ejercicio 1

Considera el siguiente problema.

Maximizar Z=2 X1+5 X2+3 X3

Sujetoa :X1−2 X2+X3≥202 X1+4 X2+X3=50

yX1 , X2 , X3≥0

1.- Utiliza el método de la gran M y construye la primera tabla simplex completa para el método simplex e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale. 2.- Aplica el método simplex paso a paso para resolver el problema. 3.- Utiliza el método de las dos fases para construir la primera tabla simplex completa para la fase 1 e identifica la solución BF inicial (artificial) correspondiente. También identifica la variable básica entrante inicial y la variable básica que sale.

4.- Aplica la fase 1 paso a paso. 5.- Construye la primera tabla simplex completa de la fase 2. 6.- Aplica la fase 2 paso a paso para resolver el problema. 7.- Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? 8.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

2

Solución Método de la Gran M:

Convertimos función objeto y restricciones agregando variables superávit y de holgura

MaxZ=−2 X1−5 X2−3 X 3+M R1+M R2

Sujetoa :X1−2 X2+X3−S1+R1=202 X1+4 X2+X3+R2=50

yX1 , X2 , X3 , S1 ,R1 , R2≥0

Obtenemos la solución básica inicial la cual es:

(R1 ,R2 )=(20,50)

Escribimos nuestra tabla simplex asignando un valor de 100 a la M que sería un valor lo suficientemente grande respecto a los coeficientes de la función objeto

X1 X2 X3 S1 R1 R2Solució

nR1 1 -2 1 -1 1 0 20R2 2 4 1 0 0 1 50Z -2 -5 -3 0 100 100 0

Antes de proseguir con los cálculos del método simplex, la fila Z debe hacerse consistente con el resto de la tabla. El lado derecho de la fila Z en la tabla en este momento muestra Z=0. Sin embargo, dada la solución no básica X1=X2=X3=0, la solución básica actual es R1=20 y R2=50, la cual daría Z=20(100)+50(100)=7000. Esta inconsistencia se deriva del hecho de que los coeficientes de R1 y R2 no son cero en la fila Z.

Para eliminar la inconsistencia, tendremos que sustituir R1 y R2 en la fila Z por medio de la siguiente operación:

Nueva fila Z = Anterior fila Z – (100 * (R1 + R2))

De esta forma obtenemos la siguiente tabla


nR1 1 -2 1 -1 1 0 20R2 2 4 1 0 0 1 50Z -302 -205 -203 100 0 0 -7000

3

Ahora continuamos tal cual bajo el procedimiento simplex.

De la tabla anterior seleccionamos la columna con el numero negativo mas bajo y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote

X1 X2 X3 S1 R1 R2 Solución

R1 1 -2 1 -1 1 0 20 20R2 2 4 1 0 0 1 50 25Z -302 -205 -203 100 0 0 -7000

Basados en el resultado de la tabla anterior obtenemos que la variable entrante será X1 y la saliente R1. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.

1. Dividimos todos los elementos de la fila R1 entre el coeficiente que es el numero de la columna pivote y que se encuentra en la misma fila.

2. El resultado sera una nueva fila y ahora lo que haremos con las demas filas es tomar su valor y restarlo con el producto del coeficiente de su fila por la nueva fila obtenida.


X1 1 -2 1 -1 1 0 20R2 0 8 -1 2 -2 1 10Z -2 -805 97 -200 300 0 -1000

Como en Z tenemos un valor negativo repetimos la operación de seleccionar la columna con el numero negativo mas bajo y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nX1 1 -2 1 -1 1 0 20 -10R2 0 8 -1 2 -2 1 10 1.25Z -2 -805 97 -200 300 0 -1000

4

Basados en el resultado de la tabla anterior obtenemos que la variable entrante en esta ocasión será X2 y la saliente R2. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.




X1 1 0 0.75 -0.5 0.5 0.25 22.5X2 0 1 -0.13 0.25 -0.25 0.125 1.25Z -2 0 -3.63 1.25 98.75 100.63 6.25

Como en Z tenemos nuevamente un valor negativo repetimos la operación de seleccionar la columna con el numero negativo mas bajo y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nX1 1 0 0.75 -0.5 0.5 0.25 22.5 30X2 0 1 -0.13 0.25 -0.25 0.13 1.25 -10Z -2 0 -3.63 1.25 98.75 100.63 6.25

Basados en el resultado de la tabla anterior obtenemos que la variable entrante en esta ocasión será X3 y la saliente X1. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.

1. Dividimos todos los elementos de la fila X1 entre el coeficiente que es el numero de la columna pivote y que se encuentra en la misma fila.



nX3 1.33 0 1 -0.67 0.67 0.33 30X2 0.17 1 0 0.17 -0.17 0.17 5Z 2.83 0 0 -1.17 101.17 101.83 115

5

Como en Z tenemos nuevamente un valor negativo repetimos la operación de seleccionar la columna con el numero negativo mas bajo y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nX3 1.33 0 1 -0.67 0.67 0.33 30 -45X2 0.17 1 0 0.17 -0.17 0.17 5 30Z 2.83 0 0 -1.17 101.17 101.83 115

Basados en el resultado de la tabla anterior obtenemos que la variable entrante en esta ocasión será S1 y la saliente X2. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.




nX3 2 4 1 0 0 1 50S1 1 6 0 1 -1 1 30Z 4 7 0 0 100 103 150

Ahora si tenemos puros valores positivos por lo que podemos decir que los valores para X1, X2 y X3 que maximizan la ecuación y el resultado Z basados en la tabla son:

X1 = 0X2 = 0X3 = 50Z = 150

Podemos comprobarlo usando la ecuación original y las restricciones:

MaxZ=2 X1+5 X2+3 X3=2 (0 )+5 (0 )+3 (50 )=150

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Sujetoa :X1−2 X2+X3≥20→0−2 (0 )+50=502 X1+4 X2+X3=50→2 (0 )+4 (0 )+50=50

yX1 , X2 , X3≥0→0,0,50

Solución Método de las 2 Fases:

Usamos la función objeto tomando en cuenta únicamente la solución básica y como se trata de una maximización la convertimos en minimización.

FASE I

MinZ=−M R1−M R2

Sujetoa :X1−2 X2+X3−S1+R1=202 X1+4 X2+X3+R2=50

yX1 , X2 , X3 , S1 ,R1 , R2≥0

Escribimos nuestra tabla simplex


nR1 1 -2 1 -1 1 0 20R2 2 4 1 0 0 1 50r 0 0 0 0 -1 -1 0

Sustituimos la fila r mediante la suma de todas las filas, incluyéndola ella misma:

Nueva fila r = Anterior fila r + Fila R1 + Fila R2



nR1 1 -2 1 -1 1 0 20R2 2 4 1 0 0 1 50r 3 2 2 -1 0 0 70

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Como se trata de una minimización de la tabla anterior seleccionamos la columna con el numero positivo mas alto y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nR1 1 -2 1 -1 1 0 20 20R2 2 4 1 0 0 1 50 25r 3 2 2 -1 0 0 70





nX1 1 -2 1 -1 1 0 20R2 0 8 -1 2 -2 1 10r 0 8 -1 2 -3 0 10

Como en r tenemos un valor positivo repetimos la operación de seleccionar la columna con el numero positivo mas alto y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nX1 1 -2 1 -1 1 0 20 -10R2 0 8 -1 2 -2 1 10 1.25r 0 8 -1 2 -3 0 10



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nX1 1 0 0.75 -0.5 0.5 0.25 22.5X2 0 1 -0.13 0.25 -0.25 0.13 1.25r 0 0 0 0 -1 -1 0

Como el mínimo r = 0, en la Fase I se produce la solución básica factible inicial X1=22.5 y X2=1.25.

Obtenido esto las variables artificiales ya completaron su misión y podemos eliminar sus columnas de la tabla y continuar con la Fase II.

FASE II

Escribimos el problema original.

MaxZ=−2 X1−5 X2−3 X 3

La Fase I transformo las ecuaciones de restricción quedando:

Sujetoa :X1+0.75 X3−0.50S1=22.5X2+0.13 X3+0.25S1=1.25

De lo anterior obtenemos la siguiente tabla simplex

X1 X2 X3 S1 SoluciónX1 1 0 0.75 -0.5 22.5X2 0 1 -0.13 0.25 1.25Z -2 -5 -3 0 0

Ahora calculamos el valor de la columna Z basados en la tabla para así proseguir con los cálculos mediante el método simplex.

X1 X2 X3 S1 SoluciónX1 1 0 0.75 -0.5 22.5X2 0 1 -0.13 0.25 1.25Z -4 -10 -3.88 -0.25 -51.25

Continuamos con el proceso simplex de Maximización. Seleccionamos la columna con el numero negativo mas bajo y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución

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entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote

X1 X2 X3 S1 SoluciónX1 1 0 0.75 -0.5 22.5 #DIV/0!X2 0 1 -0.13 0.25 1.25 1.25Z -4 -10 -3.88 -0.25 -51.25

Basados en la tabla anterior obtenemos que la variable entrante en esta ocasión será X2 y la saliente X2. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.



X1 X2 X3 S1 SoluciónX1 1 0 0.75 -0.5 22.5X2 0 1 -0.13 0.25 1.25Z -4 0 -5.13 2.25 -38.75


X1 X2 X3 S1 SoluciónX1 1 0 0.75 -0.5 22.5 30X2 0 1 -0.13 0.25 1.25 -10Z -4 0 -5.13 2.25 -38.75

Basados en el resultado de la tabla anterior obtenemos que la variable entrante en esta ocasión será X3 y la saliente X1. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.



X1 X2 X3 S1 SoluciónX3 1.33 0 1 -0.67 30X2 0.17 1 0 0.17 5Z 2.83 0 0 -1.17 115

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X1 X2 X3 S1 SoluciónX3 1.33 0 1 -0.67 30 -45X2 0.17 1 0 0.17 5 30Z 2.83 0 0 -1.17 115

Basados en el resultado de la tabla anterior obtenemos que la variable entrante en esta ocasión será S1 y la saliente X2. Efectuamos las operaciones sobre la tabla.



X1 X2 X3 S1 SoluciónX3 2 4 1 0 50S1 1 6 0 1 30Z 4 7 0 0 150

Ahora si tenemos puros valores positivos por lo que podemos decir que los valores para X1, X2 y X3 que maximizan la ecuación y el resultado Z basados en la tabla son:

X1 = 0X2 = 0X3 = 50Z = 150

Compara la secuencia de soluciones BF que obtuvo en el paso 2 con los pasos 4 y 6. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de estas soluciones son factibles sólo para el problema artificial obtenido al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?

Las soluciones de los pasos 2 y 6 son factibles únicamente para el problema real, mientras que la solución del paso 4 solo es factible para el problema artificial.

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Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

13

Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la Fase II para calcularla.

Eliminar las columnas correspondientes a las variables artificiales.Modificar la fila de la función objetivo por la del problema original.

La solución óptima es Z = 150X1 = 0X2 = 0X3 = 50

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Ejercicio 2

Considera el siguiente problema.

Minimizar Z=3 X1+2 X2+4 X3

Sujetoa :2 X1+X2+3 X3=603 X1+3 X2+5 X3≥120

yX1 , X2 , X3≥0

1.- Utiliza el método de la gran M para aplicar el método simplex paso a paso a fin de resolver el problema. 2.- Emplea el método de las dos fases para aplicar el método simplex paso a paso y resolver el problema. 3.- Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real? 4.- Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

Solución Método de la Gran M:

Convertimos función objeto y restricciones agregando variables superávit y de holgura

Minimizar Z=−3 X1−2 X 2−4 X3−M R1−M R2

Su jetoa :2 X1+X2+3 X3+R1=603 X1+3 X2+5 X3−S1+R2=120

yX1 , X2 , X3 , S1 ,R1 , R2≥0

Obtenemos la solución básica inicial la cual es:

(R1 ,R2 )=(60,120)

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Escribimos nuestra tabla simplex asignando un valor de 100 a la M que sería un valor lo suficientemente grande respecto a los coeficientes de la función objeto


nR1 2 1 3 0 1 0 60R2 3 3 5 -1 0 1 120Z -3 -2 -4 0 -100 -100 0

Antes de proseguir con los cálculos del método simplex, la fila Z debe hacerse consistente con el resto de la tabla. El lado derecho de la fila Z en la tabla en este momento muestra Z=0. Sin embargo, dada la solución no básica X1=X2=X3=0, la solución básica actual es R1=60 y R2=120, la cual daría Z=60(-100)+120(-100)=-18000. Esta inconsistencia se deriva del hecho de que los coeficientes de R1 y R2 no son cero en la fila Z.

Para eliminar la inconsistencia, tendremos que sustituir R1 y R2 en la fila Z por medio de la siguiente operación:

Nueva fila Z = Anterior fila Z + (100 * (R1 + R2))



nR1 2 1 3 0 1 0 60R2 3 3 5 -1 0 1 120Z 497 398 796 -100 0 0 18000


De la tabla anterior seleccionamos la columna con el numero positivo mas alto y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nR1 2 1 3 0 1 0 60 20R2 3 3 5 -1 0 1 120 24Z 497 398 796 -100 0 0 18000

16





nX3 0.67 0.33 1 0 0.33 0 20R2 -0.33 1.33 0 -1 -1.67 1 20Z -33.67 132.67 0 -100 -265.33 0 2080

Como en Z tenemos un valor positivo repetimos la operación de seleccionar la columna con el numero positivo mas alto y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nX3 0.67 0.33 1 0 0.33 0 20 60R2 -0.33 1.33 0 -1 -1.67 1 20 15Z -33.67 132.67 0 -100 -265.33 0 2080





nX3 0.75 0 1 0.25 0.75 -0.25 15X2 -0.25 1 0 -0.75 -1.25 0.75 15Z -0.5 0 0 -0.5 -99.5 -99.50 90

Ahora si tenemos puros valores negativos por lo que podemos decir que los valores para X1, X2 y X3 que minimizan la ecuación y el resultado Z basados en la tabla son:

X1 = 0

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X2 = 15X3 = 15Z = 90

Podemos comprobarlo usando la ecuación original y las restricciones:

MinZ=3 X 1+2 X2+4 X3=3 (0 )+2 (15 )+4 (15 )=0+30+60=90

Sujetoa :2 X1+X2+3 X3=60→2 (0 )+15+3 (15 )=0+15+45=60 3 X1+3 X2+5 X3≥120→3 (0 )+3 (15 )+5 (15 )=0+45+75=120

yX1 , X2 , X3≥0→0 ,15 ,15

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Solución Método de las 2 Fases:

Usamos la función objeto tomando en cuenta únicamente la solución básica y como se trata de una maximización la convertimos en minimización.

FASE I

MinZ=−M R1−M R2

Sujetoa :2 X1+X2+3 X3+R1=603 X1+3 X2+5 X3−S1+R2=120

yX1 , X2 , X3 , S1 ,R1 , R2≥0

Escribimos nuestra tabla simplex


nR1 2 1 3 0 1 0 60R2 3 3 5 -1 0 1 120r 0 0 0 0 -1 -1 0

Sustituimos la fila r mediante la suma de todas las filas, incluyéndola ella misma:

Nueva fila r = Anterior fila r + Fila R1 + Fila R2



nR1 2 1 3 0 1 0 60R2 3 3 5 -1 0 1 120r 5 4 8 -1 0 0 180


Como se trata de una minimización de la tabla anterior seleccionamos la columna con el numero positivo mas alto y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


n

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R1 2 1 3 0 1 0 60 20R2 3 3 5 -1 0 1 120 24r 5 4 8 -1 0 0 180





nX3 0.67 0.33 1 0 0.33 0 20R2 -0.33 1.33 0 -1 -1.67 1 20r -0.33 1.33 0 -1 -2.67 0 20

Como en r tenemos un valor positivo repetimos la operación de seleccionar la columna con el numero positivo mas alto y la establecemos como columna pivote y dividimos la solución entre el numero de la columna pivote y seleccionamos el resultado mas bajo positivo para establecer la fila pivote


nX3 0.67 0.33 1 0 0.33 0 20 60R2 -0.33 1.33 0 -1 -1.67 1 20 15r -0.33 1.33 0 -1 -2.67 0 20





nX3 0.75 0 1 0.25 0.75 -0.25 15X2 -0.25 1 0.00 -0.75 -1.25 0.75 15r 0 0 0 0 -1 -1 0

20

Como el mínimo r = 0, en la Fase I se produce la solución básica factible inicial X2=15 y X3=15.

Obtenido esto las variables artificiales ya completaron su misión y podemos eliminar sus columnas de la tabla y continuar con la Fase II.

FASE II

Escribimos el problema original.

MaxZ=−3 X1−2 X2−4 X3

La Fase I transformo las ecuaciones de restricción quedando:

Sujetoa :0.75 X1+X3+0.25 S1=15−0.25 X1+X2−0.75S1=15

De lo anterior obtenemos la siguiente tabla simplex

X1 X2 X3 S1 SoluciónX3 0.75 0 1 0.25 15X2 -0.25 1 0 -0.75 15Z -3 -2 -4 0 0

Derivado a que todos los valores en la tabla son negativos, esto quiere decir que no es posible continuar con el procedimiento simplex por los que solo resta calcular el nuevo valor de Z

X1 X2 X3 S1 SoluciónX3 0.75 0 1 0.25 15X2 -0.25 1 0.00 -0.75 15Z 0.5 0 0 0.5 -90

Ahora podemos decir que los valores para X1, X2 y X3 que minimizan la ecuación y el resultado Z basados en la tabla son:

X1 = 0X2 = 15X3 = 15Z = 90

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Compara la serie de soluciones BF de los pasos 1 y 2. Contesta la pregunta. ¿Cuáles de esta soluciones son factibles sólo para el problema artificial que se obtuvo al introducir las variables artificiales y cuáles son factibles para el problema real?

Las soluciones de los pasos 2 y 6 son factibles únicamente para el problema real, mientras que la solución del paso 4 solo es factible para el problema artificial.

Utiliza un paquete de software basado en el método simplex para comparar sus resultados con los hechos a mano. En el contenido de la unidad 1 y en la bibliografía encontrarás sugerencias de sitios en Internet para usar dicho software.

22

Existe alguna solución posible para el problema, por lo que podemos pasar a la Fase II para calcularla.

Eliminar las columnas correspondientes a las variables artificiales.Modificar la fila de la función objetivo por la del problema original.

La solución óptima es Z = 90X1 = 0X2 = 15X3 = 15

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evidencia de aprendizaje - solucion a problemas de programacion - diop_u1_ea_cesq

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