solucion trigonomerica
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Solución trigonométrica
Teorema de Pitágoras.
c
a
b
c2
a2
b2
c2=a2+b2
Funciones trigonométricas.
c
a
b
c
b
hipotenusa
opuestocatetosen
c
a
hipotenusa
adyacentecatetocos
a
b
adyacentecateto
opuestocatetotan
b
a
opuestocateto
adyacentecatetocot
a
c
adyacentecateto
hipotenusasec
b
c
opuestocateto
hipotenusacsc
c
12 cm
9 cm
Ejemplo: Encuentre las funciones trigonométricas de los ángulos y ilustrados en el triángulo.
sec66.13
5
cm9
cm15csc
csc25.14
5
cm12
cm15sec
tan33.13
4
cm9
cm12cot
cot75.04
3
cm12
cm9tan
sen8.05
4
cm15
cm12cos
cos6.05
3
cm15
cm9sen
cm15cm9cm12c 22
Funciones trigonométricas inversas.
c
barcsen
c
aarccos
a
barctan
b
aarcctg
a
csecarc
b
ccscarc
c
a
b
Ley de senos.
A
B
C
h
senChCh
sen
senAsenC
senC
senA
senAhAh
sen
Ley de senos.
senAHA
Hsen
senBHB
Hsen
senBsenA
sen
A
sen
B
A
B
C
H
senC
senA
Ley de senos.
senC
senB
senB
senA
senC
senB
senA
A
B
C
Ley de cosenos.
x
Ah
sen senAh
Ax
cos cosAx
h
y
cosABxBy
222 yhC
222 cosABsenAC
222222 cosAcosAB2BsenAC
cosAB2BcossenAC 22222
cosAB2BAC 222
Ley de cosenos.
cosAB2BAC
cosAC2CAB
cosBC2CBA
222
222
222
A
B
C
20,N40P
45,N60Q
Ejemplo: Las fuerzas P y Q actúan sobre el perno A. Determine su resultante.
Solución gráfica:
P
Q
R
20,N40P
45,N60Q
35,N75.97R R=97.75 N 35º
Solución trigonométrica:
P
Q
R
A
B
CSe conocen dos lados (P=40 N y Q=60 N) y el ángulo ABC (=155º), que es opuesto a la resultante, por lo que podemos aplicar la ley de cosenos para calcular la magnitud de la resultante.
Y la ley de senos para calcular el ángulo BAC.
20,N40P
45,N60Q
cosPQ2QPR 222
2222 N9550.2774º155cosN60N402N60N40R
N97.73R
BACsen
Q
ABCsen
R
BACsenN60
º155senN7.97
º04.15BAC
2595.0º155senN7.97
N60BACsen
º04.35º04.15º20
04.35,N7.97R R=97.7 35.04º
P
Q
R
A
B
CAhora podemos aplicar la ley de senos para calcular el ángulo BAC y con este el ángulo .
BAC
Otra solución trigonométrica:
20,N40P
45,N60Q
Se construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector R, triángulo ACD en la figura.
P
Q
R
A
B
C
D
1) Resolvemos el triángulo BCD (cuya hipotenusa es el vector Q) para encontrar los valores de sus catetos BD y CD.
2) Con estos datos, resolvemos el triángulo ACD para encontrar R y el ángulo CAB.
20,N40P
45,N60Q
P
Q
R
A
B
C
D
1) Resolvemos el triángulo BCD (cuya hipotenusa es el vector Q) para encontrar los valores de sus catetos BD y CD.
25º
N36.25º25senN60CD
N60
CDº25sen
N38.54º25cosN60BD
N60
BDº25cos
N38.94N38.54N40BDABAD
N2774.9550N36.25N38.94CDADR 22222
2687.0N38.94
N36.25
AD
CDCABtan
04.35,N73.97R R=97.7 35.04º
P
Q
R
A
B
C
D
N73.97R
º04.15CAB
Ejemplo: Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es de magnitud 5000 lb y está dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine (a) la tensión en cada una de las cuerdas sabiendo que =45º y (b) el valor de tal que la tensión en la cuerda 2 sea mínima, también encuentre la tensión de las cuerdas en este caso.
30,TT 11
º45,TT 22
0,lb5000R
(a) Solución gráfica:
30º
45º 5000 lb
T2
T1
B
lb3700T1
lb2600T2
30º
45º
5000 lb
T2
T1
B30º
T1
(a) Solución trigonométrica:
105º
º105senlb5000
º30senT
º45senT 21
lb25.3660lb5000º105senº45sen
Tº105sen
lb5000º45sen
T1
1
lb19.2588lb5000º105senº30sen
Tº105sen
lb5000º30sen
T2
2
(b) Valor de para que T2 sea mínima:
30,TT 11
,TT 22
0,lb5000R
5000 lbB
30º
T1
30ºT1
T2
T2
T2
5000 lbB
30ºT1
T2
T2
T1
º60º30º90
lb13.4330lb3250023
lb5000º30coslb5000T1
lb250021
lb5000º30senlb5000T2
Ejemplo: Dos fuerzas P y Q se aplican en el punto A del gancho que se muestra en la figura. Si P=15 lb y Q=25 lb, determine la fuerza resultante por el método gráfico y por el método trigonométrico.
º14,lb75.36R
45º
135º
45º
cosPQ2QPR 222
º135coslb25lb152lb25lb15R 222
lb15.37R
lb15.37
º135sen
lb15
sen
º135senlb15.37
lb15sen
º59.16
º41.13,lb15.37R
P
Q
º41.13º59.16º30º30
30º