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de M
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uos
Problemas de Mecánica de Medios
Continuos
Problemas de Mecánica de Medios
Continuos TEMA 6TEMA 6
ELASTICIDAD LINEALELASTICIDAD LINEAL
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El cilindro está sometido a una carga radial uniformementedistribuida de valor P ...
En la figura se presenta un cilindro de radio R y altura h y susección vertical
... y a un incremento de temperatura uniforme
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
h
RR
P PR
h
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Las propiedades del material del cilindro son las siguientes:
Planteamiento de problema
Límite elástico: e
Cohesión: CÁngulo de rozamiento interno: =30ºConstante térmica :
Para la resolución del problema se considerarán las siguienteshipótesis:
H1
H3
H2
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelo es nulo. = .
Constantes de Lamé: y Densidad:
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ica
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edio
s C
ontin
uosSe pide :
Determinar el campo de desplazamientos, deformaciones ytensiones.
Planteamiento de problema
1)
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Obtener el correspondiente valor de para que, aplicandouna p*>0, los puntos de la cara superior del cilindro notengan desplazamiento vertical.
Se pide :
Planteamiento de problema
P* P*
Desplazamiento vertical final nuloEstado
inicial
2)
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Dadas las condiciones del Apartado 2, determinar el valor dep* para el cual el cilindro empieza a plastificar de acuerdo conlos criterios de Tresca, Von-Mises y Mohr-Coulomb, indicandocual de dichos criterios está más del lado de la seguridad.
Se pide :
Planteamiento de problema
Desplazamiento vertical nulo
P* P*
Inicio Plasticidad
3)
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Se pide determinar el campo de desplazamientos,deformaciones y tensiones en función de las constantes deintegración.
1)
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
Dada la geometría de la figura, se utilizará un sistema decoordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas.
x
z
y
êr
ê
êZ
r
z
zz
senθry
cosθrx
zθr ),,x(
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Resolución del problema
Resolución aplicando la Primera Primera Analogía Térmica:Analogía Térmica:
= +
EstadEstado Io IProblema original
Estado Estado IIIIIIProblema trivial
Estado Estado IIIIProblema análogo
b
*t
u*
b
t*
u*
b~
III σεu IIIIII σεu IIIIIIIII σεu
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Resolución del problema
Estado IEstado I
Tenemos:
Acciones:
Fuerzas másicas:
b 0
Tracciones prescritas en el contorno:
T,p, 00*t Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.
1
2
3
Incremento de temperatura uniforme:
4
Desplazamiento vertical nulo en la base.
0*t
0 *θ
*r tt
Aplicadas en la cara superior.
Aplicadas en la base inferior.
0*zu
p p
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
b=0, las fuerzas
másicas son nulas
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Resolución del problemaResolución del problema
Estado 2Estado 2Fuerzas másicas corregidas:
Tracciones prescritas en el contorno:
βΔθρ
1bb
0
βΔθρ
1 0 Δθ Δθβρ
1
es constante
es uniforme
1
2 nt**t βΔθ
P+
P+
3
Variación de la temperatura nula.4
Desplazamiento vertical:
T,βΔθ,p 00*t Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.
Aplicadas en la cara superior.
Aplicadas en la base inferior.
TβΔθ, ,*t 00
0 *θ
*r tt
0*zu
Acciones:
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
Aplicado en la base inferior, para z=0.
= 0
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Resolución del problema
Estado 3Estado 3Problema trivial en el que se conocen, sin necesidad de cálculos,las respuestas y utilizando al Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para materialtermoelástico lineal.
Campo de Campo de desplazamientodesplazamiento
s:s:
0uIII
Campo de Campo de deformaciones:deformaciones:
0εIII
Campo de Campo de tensiones:tensiones: 1ε1εσ III βΔθtr 2
x
z
yêr
ê
êZ
b~
0 0
βΔθ
βΔθ
βΔθ
00
00
00
Ecuación Constitu
tiva
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Resolución del problema
Se puede comprobar que esta solución es la respuesta a lassiguientes acciones:
Fuerzas másicas corregidas:
Tracciones prescritas en el contorno:
1
2
3
Incremento de temperatura uniforme:
n*t~
βΔθ
θβρ1
b~ 0 es constante y uniforme
4
Desplazamiento vertical:
T,βΔθ, 00*t~ Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.
TβΔθ,, 00*t~ Aplicadas en la cara superior.
Aplicadas en la base inferior.0 *t*t θr
~~
0*zu Aplicado en la base inferior, para z=0.
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Estado IIEstado II
Estado IIIEstado III
0
1
Δθ
θβ
θβρ
u*
nt**t
bb
II
II
II
σ
ε
uRespuesta
Acción
Δθ
βΔθ
θβρ1
0
*u
n*t~
b~
III
III
III
σ
ε
uRespuesta
Acción
Δθ
u*
t*
b
I
I
I
σ
ε
uAcció
nRespuesta
Estado Estado II
Así queda:
Estado I Estado I == Estado IIEstado II ++ Estado IIIEstado III
Resolución del problema
b
PP
*u
b~
P+
P+
*ub
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Resolución del problema
Resolución del ESTADO II:ESTADO II:
Hipótesis sobre el campo desplazamientos:Hipótesis sobre el campo desplazamientos:
Simetría cilíndrica.1
Cargas uniformes.2
zu
ru
r,zu
r,zu
z
r
z
r
00u
r,zu
r,zu
zr,θu
zr,θu
θ,zru
z
r
z
θ
r
0
,
,
,
ux
z
yêr
ê
êZ
P+
P+
b*u
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Resolución del problema
Resolveremos las Ecuaciones de NavierEcuaciones de Navier, expresadas en coordenadascilíndricas, para obtener el campo de desplazamientos. Dichasecuaciones son:
2
2
2
2
2
2
22
2
221
2
22
2
t
ub
θr
rz
e
t
ub
rzrθ
e
r
t
ub
zzrr
e
zz
rθ
θθ
zr
rr
θz
Donde:
θ
u
rr
ru
r
r
u
z
u
z
u
θ
u
r
rθrθz
zrzrθ
θzθzr
11
2
1
2
1
1
2
1
z
u
θ
u
rru
rre zθ
r
11
00
00
0 0
0
00
0
0
0
0
00 0
0 0
0
0
Aplicando las Aplicando las hipótesis:hipótesis:
zu
ru
r,zu
r,zu
z
r
z
r
00u
Las fuerzas másicas son nulas.
0
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01
2
rrurrr
022
2
z
uz
Integrando se obtiene el Campo de DesplazamientosCampo de Desplazamientos en función delas constantes de integración.
Campo de Campo de desplazamiendesplazamien
tostos::
DCz
rB
Ar
zu
ru
z
r
II 00u
Así queda:
0
rrurr
1
r
02
2
z
uz
Resolución del problema
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Resolución del problema
Se calcula a continuación el Campo de DeformacionesCampo de Deformaciones:
Así el Tensor de DeformacionesTensor de Deformaciones en función de las constantes deintegración es:
Tensor de Tensor de deformacionedeformacione
ss::
CrB
A
rB
A
II
00
00
00
2
2
ε
Campo de Campo de deformacionedeformacione
ss::
2rB
Arur
rrε
2rB
Arur
θθε
Czuz
zzε
0rθε
0rzε
0zθε
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Resolución del problema
Se calcula a continuación el Campo de TensionesCampo de Tensiones.
Partimos de la Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para material elástico lineal:
ε1εσ 2 tr ε1εσ 2 tr
Operando queda:
CAσrBCAσ
rBCAσ
zz
θθ
rr
32
24
24
2
2
0 θzrzrθ σσσ
Tensor de Tensor de tensionestensiones::
CAλrBCAλ
rBCAλ
II
32 0 0
0 240
0 024
2
2
σ
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
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Obtenemos ahora el valor de las constantes de integraciónimponiendo las condiciones de contorno.
Condiciones de Condiciones de contorno:contorno:
00r
IIru
0 0zz0z
IIz uu *
Existe simetría de revolución:
Resolución del problema
1
2 Desplazamiento vertical nulo en la base:
Z=0
x
z
yêr
ê
êZ
P+
P+
b*u
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3
3.1 T,βΔθ,p 00*tAplicadas en el contorno lateral.
Tracciones prescritas en el contorno:
0
0
0
0
1 βΔθp
Rr
II
Rr
II σnσ
Aplicadas en la cara superior. TβΔθ, ,*t 003.2
βΔθhz
II
hz
II 0
0
1
0
0
σnσ
Resolución del problema
βΔθpσRr
IIrr
βΔθσhz
IIzz
Z=0
x
z
yêr
ê
êZ
P+
P+
b*u
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Tenemos:
00
r
0r
IIr r
BAru 0B
00
z0z
IIz DCzu 0D
βΔθpCAλσRr
IIrr
4
βΔθCAλσhz
IIzz
32
λ
pθβC
10λ
θ2β3pA
5
;
Resolución del problema
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De esta manera obtenemos la solución del Estado 2Estado 2:
Campo de Campo de desplazamiendesplazamien
tostos::
zλ
pβΔθ
rλβΔθp
DCz
rB
Ar
zu
ru
z
r
II
5
0 10
23
0 0u
λpβΔθ
λβΔθp
λβΔθp
CrB
A
rB
A
II
500
010
230
0010
23
00
00
00
2
2
εCampo de Campo de deformacionedeformacione
ss::
Resolución del problema
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Resolución del problema
Tensor de Tensor de tensionestensiones::
βΔθ
βΔθp
βΔθp
CAλrBCAλ
rBCAλ
II
00
0 0
00
32 0 0
0 240
0 024
2
2
σ
ObsObs.: Nótese que el tensor de tensiones es uniforme, igual en todos los puntos. Por lotanto, los valores que toman las componentes del tensor en los contornos en los que seaplican las tracciones prescritas, son iguales en todos los puntos del cilindro.
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Resolución del problema
Resolución del ESTADO I:ESTADO I:
Obtendremos la solución como suma del Estado IIII y IIIIII.
Campo de Campo de desplazamiendesplazamien
tostos::
Campo de Campo de deformacionedeformacione
ss::
0
0
5λpβΔθ
00
010λ
βΔθ23p0
0010λ
βΔθ23p
z5λ
pβΔθ
0
r10λ
βΔθ23p
Iu IIu IIu I
IIε IIε IIIε
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Campo de Campo de tensionestensiones::
Resolución del problema
βΔθ
βΔθ -
βΔθ
0 0
0 0
0 0
βΔθ
βΔθp
βΔθp
00
0 0
00
000
00
00
p
p
Iσ IIσ IIIσ
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Resolución del problema
Resolución aplicando la Segunda Segunda Analogía Térmica:Analogía Térmica:
= +
EstadEstado Io IProblema original
Estado Estado IIIIII Problema trivial
Estado Estado IIIIProblema
análogo
b
t*
*u
b
t*
u*
*u~
III σεu IIIIII σεu IIIIIIIII σεu
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Resolución del problema
Estado IEstado I
Tenemos:
Acciones:
Fuerzas másicas:
b 0
Tracciones prescritas en el contorno:
T,p, 00*t Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.
1
2
3
Incremento de temperatura uniforme:
4
Desplazamiento vertical:
0*t
0 *θ
*r tt
Aplicadas en la cara superior.
Aplicadas en la base inferior.
0*zu Aplicado en la base inferior, para z=0.
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
b=0, las fuerzas másicas son nulas
p p
u*
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Resolución del problemaResolución del problema
Estado 2Estado 2
Fuerzas másicas:
Tracciones prescritas en el contorno:
b
1
2
3
Variación de la temperatura nula.4
Desplazamiento vertical:
00
z
IIIzz
IIIz
*z
*z u0uuu
Acciones:
T,p, 00*t Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.
0*t
0 *θ
*r tt
Aplicadas en la cara superior.
Aplicadas en la base inferior.
0
Aplicado en la base inferior, para z=0.
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
Se desprecia el peso propio.El rozamiento cilindro-suelos es nulo.=
H1
H3
H2
Las hipótesis del problema son:
b=0, las fuerzas másicas son nulas
= 0
P P
*u
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Resolución del problema
Fuerzas másicas:
Tracciones prescritas en el contorno:
1
2
3
Incremento de temperatura uniforme:
0b~
4
Desplazamiento vertical:
0*zu~
Estado 3Estado 3
Aplicado en la base inferior, para z=0.
T,, 000*t~ Aplicadas de forma radial en el contorno lateral.
0*t~
0 *θ
*r tt
~~
Aplicadas en la cara superior.
Aplicadas en la base inferior.
*u~
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Estado IIEstado II
Estado IIIEstado III
00
Δθz
IIIzuu**u
t**t
b
II
II
II
σ
ε
uRespuesta
Acción
Δθ
*u~0*t
~0b
~
III
III
III
σ
ε
uRespuesta
Acción
Δθ
u*
t*
b
I
I
I
σ
ε
uAcció
nRespuesta
Estado Estado II
Así queda:
Estado I Estado I == Estado IIEstado II ++ Estado IIIEstado III
Resolución del problema
b
PP
u*
P P
*ub
*u~
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Resolución del problema
Resolución del Estado 3 Estado 3Este estado se define con las condiciones mínimas quegaranticen que, al aplicar el , se pueda deformar libremente,sin generar tensiones. Por lo tanto conocemos que el Campo deCampo deTensionesTensiones es nulo.
Campo de Campo de deformaciones:deformaciones:
1σ1σεIII αΔθE
TrE
1
Campo de Campo de tensiones:tensiones:
0IIIσ
Obtenemos ahora el Campo de deformacionesCampo de deformaciones a partirde la Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para material termoelásticolineal y sabiendo que el campo de tensiones es nulo.
0 0
αΔθ
αΔθ
αΔθ
00
00
00
x
z
yêr
ê
êZ
*u~
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Resolución del problema
Hipótesis sobre el campo desplazamientos:Hipótesis sobre el campo desplazamientos:
Simetría cilíndrica.1
Cargas uniformes.2
zu
ru
r,zu
r,zu
z
r
z
r
00u
r,zu
r,zu
zr,θu
zr,θu
θ,zru
z
r
z
θ
r
0
,
,
,
u
Calculamos a continuación el Campo de DesplazamientosCampo de Desplazamientos:
x
z
yêr
ê
êZ
*u~
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Resolución del problema
Calculamos los desplazamientos integrando el campo dedeformaciones.
αΔθzuz
zzε 0zθε
αΔθrur
rrε
αΔθrur
θθε
0rθε
0rzεrαΔθur
CzαΔθuz
Campo de Campo de desplazamientodesplazamiento
s:s:
CzαΔθ
rαΔθIII 0u
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Resolución del problema
Aplicando la condición de contorno establecida, obtenemos elvalor de la constante de integración.
000
zz
IIIz uu *~ 0
0
CzαΔθu
z
IIIz 0C
Así queda:
Campo de Campo de desplazamientodesplazamiento
s:s:
zαΔθ
rαΔθIII 0u
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C.
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Resolución del problema
Resolución del ESTADO II:ESTADO II:De forma análoga a la 1ª analogía y bajo las mismas hipótesis,obtenemos el Campo de DesplazamientosCampo de Desplazamientos resolviendo las
Ecuaciones de NavierEcuaciones de Navier.
Campo de Campo de desplazamiendesplazamien
tostos::
DCz
rB
Ar
zu
ru
z
r
II 00u
ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)
X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
Resolución del problema
Integrando obtenemos el Campo de DeformacionesCampo de Deformaciones:
Campo de Campo de deformacionedeformacione
ss::
2r
rr r
BA
r
uε
2r
θθ r
BA
r
uε
Cz
uzzzε
0rθε
0rzε
0zθε
Así el Tensor de DeformacionesTensor de Deformaciones en función de las constantes deintegración es:
Tensor de Tensor de deformacionedeformacione
ss::
Cr
BA
r
BA
II
00
00
00
2
2
ε
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X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uosEl Campo de Tensiones, Campo de Tensiones, como en la 1ª analogía, se obtiene a
partir de la Ecuación ConstitutivaEcuación Constitutiva para material elástico lineal:
CAλσrBCAλσ
rBCAλσ
zz
θθ
rr
32
24
24
2
2
0 θzrzrθ σσσ
Resolución del problema
ε1εσ 2 tr ε1εσ 2 tr
Tensor de Tensor de tensionestensiones::
3C2Aλ0 0
0r2BC4Aλ0
00r2BC4Aλ
2II
2
σ
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X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
Obtenemos ahora el valor de las constantes de integraciónimponiendo las condiciones de contorno.
Condiciones de Condiciones de contorno:contorno:
00r
IIru
0 0zz0z
IIz uu *
Existe simetría de revolución:
Resolución del problema
1
2 Desplazamiento vertical nulo en la base:
Z=0
x
z
yêr
ê
êZ
p p
u*
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Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
3
3.1 T,p, 00*tAplicadas en el contorno lateral.
Tracciones prescritas en el contorno:
Aplicadas en la cara superior. T,, 000*t3.2
Resolución del problema
x
z
yêr
ê
êZ
Z=0
p p
0
0
0
0
1 p
Rr
II
Rr
II σnσ pσRr
IIrr
0
0
0
1
0
0
hz
II
hz
II σnσ 0hz
IIzzσ
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X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
Tenemos:
00
r
0r
IIr r
BAru 0B
00
z0z
IIz DCzu 0D
prBCAλσ
Rr
IIrr
224
032
CAλσhz
IIzz
λ
pC
10λ
3pA
5
;
Resolución del problema
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X.
Oliv
er,
C.
Age
let
- M
ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
De esta manera obtenemos la solución del Estado 2Estado 2:
Campo de Campo de desplazamiendesplazamien
tostos::
z5λ
p
0
r10λ3p
DCz
rB
Ar
zu
ru
z
r
II 00u
λ
pλ
pλ
p
Cr
BA
r
BA
II
500
010
30
0010
3
00
00
00
2
2
εCampo de Campo de deformacionedeformacione
ss::
Resolución del problema
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er,
C.
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Resolución del problema
Tensor de Tensor de tensionestensiones::
000
00
00
32 0 0
0 240
0 024
2
2
p
p
CAλrBCAλ
rBCAλ
IIσ
ObsObs.: Nótese que el tensor de tensiones es uniforme, igual en todos los puntos. Por lotanto, los valores que toman las componentes del tensor en los contornos en los que seaplican las tracciones prescritas, son iguales en todos los puntos del cilindro.
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er,
C.
Age
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de M
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Resolución del problema
Resolución del ESTADO I:ESTADO I:
Obtendremos la solución como suma del Estado IIII y IIIIII.
Campo de Campo de desplazamiendesplazamien
tostos::
z
5λ
p
r10λ
3p
0
αΔθ
αΔθ
0
αΔθz5λ
p
αΔθr10λ
3p
0Iu IIu IIu I
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Resolución del problema
Campo de Campo de deformacionedeformacione
ss::
Cr
BA
r
BA
00
00
00
2
2
αΔθλp
αΔθλp
αΔθλp
500
0103
0
00103
Campo de Campo de tensionestensiones::
000
00
00
p
p
0
Iε IIε IIIε
αΔθ
αΔθ
αΔθ
00
00
00
Iσ IIσ IIIσ
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Resolución del problema
Se pide obtener el correspondiente valor de para que,aplicando una p*>0, los puntos de la cara superior delcilindro no tengan desplazamiento vertical.
0hzzu 0
5
hzhzz z
λ
pβΔθu
*
βp*
Δθ
Imponemos entonces que, dado p* eldesplazamiento vertical en z=h sea nulo y aislandoobtenemos el :
2)
p* p*
x
z
yêr
ê
êZ
Z=0
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Resolución del problema
3) Se pide que, dadas las condiciones del Apartado 2, sedetermine el valor de p* para el cual el cilindro empieza aplastificar de acuerdo con los criterios de Tresca, Von-Mises yMohr-Coulomb, indicando cual de dichos criterios está más dellado de la seguridad.
Desplazamiento vertical nulo
P* P*
Inicio Plasticidad
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er,
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Resolución del problemaResolución del problema
Criterio de Tresca:Criterio de Tresca:
031 eσσσF σ
En nuestro caso:
03
1
σ
pσ * 0 eσpF *σ
El material empieza a plastificar cuando:
eσp *
0 0 0
0 0
0 0
*
*
σ p
p
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er,
C.
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Resolución del problema
Criterio de Von-Mises:Criterio de Von-Mises: 03 2 ee σJσσF 'σσ
En nuestro caso:
El material empieza a plastificar cuando:
eσp *
0 0 0
0 0
0 0
*
*
σ p
p
*
*
*
1σσσ'
p
p
p
Tr
3
2 0 0
0 3
1 0
0 0 3
1
3
1
222 3
194
91
91
21
21
**σ':σ'' ppJ
*' pJσ 23
0 eσpF *σ
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er,
C.
Age
let
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ecán
ica
de M
edio
s C
ontin
uos
Resolución del problema
Criterio de Mohr-Coulomb:Criterio de Mohr-Coulomb: 023131 φcφσσσσF cossinσ
En nuestro caso:
El material empieza a plastificar cuando:
c3
32p *
21
23
03
1
φ
φ
σ
pσ
sin
cos
*
0323 cpF *σ
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Resolución del problema
Estudiemos ahora qué criterio está más del lado de la seguridad:
Para c3
32σe
***CoulombMohrMisesVonTresca ppp
El Criterio de Tresca y de Von-Mises estánmás del lado de la seguridad.
Para c3
32σe
***MisesVonTrescaCoulombMohr ppp
El Criterio de Mohr-Coulomb está más dellado de la seguridad.
El criterio que estará más del lado de la seguridad seráaquel que determine el inicio de la plastificación para elmenor valor de la presión.