estudio_01
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EJERCICIOS FULLTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE PIURA
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICA Y EMPRESARIALES.
PROGRAMA ACADÉMICO DE ECONOMÍA Y FINANZAS.
CURSO: OPTIMIZACIÓN ECONÓMICA 1.
ESTUDIO DIRIGIDO N° 01.
FECHA: 18 de agosto de 2015
FUNCIONES REALES DE VARIABLE VECTORIAL
1. Trace los puntos 2;6;3 , 3;4;6 , 0;3;7 en un sistema de coordenadas.
2. ¿Cuáles de los puntos (6;2;3) , ( 5; 1;4) (0;3;8)P Q y R está más cercano al plano XZ? ¿Cuál
punto está en el plano YZ?
3. Si (2; 2;1) , (1;0;1) (3;3;5)A B y C . Encuentre:
a. A B
b. A C
c. 3 3A A
d. 2 3 4A B C
e. 1
CC
f. 1
CC
4. Sea (1; 3;5) , (0;7;2) ( 1;5;6)P Q y R son los vértices de un triángulo.
a. Calcule las coordenadas del punto medio de cada lado.
b. Recuerda que el baricentro (punto donde se cortan las medianas del triángulo) está
sobre cada mediana, a 2
3 del vértice y a
1
3 del punto medio del lado opuesto.
Calcule el baricentro del triángulo a partir de uno de los vértices. Repítelo para los otros
dos lados y obtendrás los mismos resultados.
5. Determine los puntos de acumulación de:
a. b. , ]a b c. d. e. 1 1 1
{1, , , ,...}2 3 4
A
6. Halle el dominio de las siguientes funciones, grafique los dominios:
a. 2 2( , ) 16f x y x y
b. 2 2( , ) 25f x y x y
c. 2( , ) ( )f x y Ln x y
d. 1
( , )f x yy x
e. 2
2 2( , )
25
x yf x y
x y
f. ( , ) ( )f x y Ln xy
g. ( , ) ( ( ))f x y Ln x Ln y x
h. 2( , ) ( 4 )f x y xy Ln y x
i. ( , , )f x y z x y z
7. Trace las graficas de las siguientes funciones:
a. 2 2z x y
b. 6 3 2z x y
c. 2 2( , ) 4f x y x y
d. 2 2z x y
e. 2 2 2 4x y z
8. Encuentre los siguientes límites, si existen o demuestre que no existen.
a. 2 2
( , ) (2,1)4 8
Ln x Ln y
x yLim e e x y
b. 2
2 2( , ) ( 2,3)
2 3
x y
xyLim
x y
c. 3 3
2 2( , ) ( 1, 1)
1
1x y
x yLim
x y
d. 2 2
2 2( , ) (0,0) 1 1x y
x yLim
x y
e. 2 2 2
2 2 2 2( , ) (1,1)
2( , ), ( , )
x y
x y xLim f x y si f x y Ln
x y x y
f. 3 3
2 2( , ) (2,1)
2 8
4x y
xy x yLim
x y
g. 2
2 2( , ) (1,2)
5 y x
x y
x y eLim
x y
h. 2 2( , ) (0,0)x y
xyLim
x y
i.
2
2 2( , ) (0,0)x y
x yLim
x y
j. 2 3
2 2( , ) (0,0)
4 3
x y
xy xLim
x y
k.
2 2
2 2( , ) (0,0)x y
x yLim
Ln x y
l.
4
22 2( , ) (0,0)
4
x y
xyLim
x y
9. Analice la continuidad de las siguientes funciones:
a.
3
2 6, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
xysi x y
f x y x y
si x y
b.
2
4 2, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
x ysi x y
f x y x y
si x y
c. 2 2, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
xysi x y
f x y x y
si x y
d.
2 2( )
2 2, ( , ) (0,0)
( , )
0 , ( , ) (0,0)
x yesi x y
f x y x y
si x y
e.
2 2
22 2
, ( , ) (0,0)( , )
0 , ( , ) (0,0)
x ysi x y
f x y x y
si x y
f.
6
22 6
, ( , ) (0,0)( , )
0 , ( , ) (0,0)
xsi x y
f x y x y x
si x y
g.
22
3, ( , ) (3,0)
( , ) 4 3
2 , ( , ) (3,0)
y xsi x y
f x y y x
si x y
h.
2 2
, ( , ) (1, 1)( , ) 1
2 , ( , ) (1, 1)
x y
x ysi x y
f x y e
x si x y
i.
2
2
2
3, ( , ) ( 2,1)
4( , )
3 , ( , ) ( 2,1)
x y x x yLn si x y
x y x yf x y
x y si x y
10. Halle las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones:
a. 2 2 2( , ) 5 3 3f x y x x y x y
b. 2
( , ) x yf x y xe
c. 2 2( , ) ( )f x y Ln x y xy
d. 2 2
2 2( , )
x yf x y Ln
x y
e. 22 2 2( ) 6 2xz Ln x y xy
f. 2 2x yz xye
11. Halle las segundas derivadas parciales de:
a. 3 2 2 2( , ) 3 6f x y x x y xy y
b. 2 2( , ) ( )f x y Ln x y
c. ( cos( ) ( ))xz e x y ysen y
d. 2y
z xLnx
e. ( , ) ( )cos( )xyf x y e sen x x
12. Si 2 2( , ) ( ) y axf x y y ax e . Calcule: 2
x x y yf a f
13. Si .y
u xLnx
Calcule:
2 22x x yx y y
x u xyu y u
14. Sea xy
zx y
. Demuestre que: : z z
x y zx y
15. Sea .x y
u xy z
. Demuestre que: : 1
u u u
x y z
16. Si 1 (5 2 ).u x senh x y Calcule: 2 2 2
2 24 20 25
u u u
x x y y
, donde: ( )
2
x xe esenh x
.
17. Sea xy
zx y
. Demuestre que: : 2 2 2
2 2
2 22 0
u u ux xy y
x x y y
18. Si p qz a x y , donde .a cte Demuestre:2 2 2
2 2
2 22 ( )( 1)
u u ux xy y p q p q z
x x y y
19. Utilice la regla de la cadena en los siguientes ejercicios: z z
ys t
a. Si 2 2 4 3, 2 , 1z x y xy x t y t .Calcule: z
t
b. Si 2 2 2 2, ,t tz x y x e y e . Calcule: z
t
c. Si 2 2 1 1, ,
s tz x y x y
t s
. Calcule:
z zy
s t
d. Si , , 1t txz x se y se
y
. Calcule: z z
ys t
e. Sea 2 2 2 2( , ).w f x y y x Demuestre: 0w w
y xx y
f. Si ( , ) cos( ).x atu x t e x at Demuestre: 2 2
2
2 2
u ua
t x
g. Si ( , ) ( )u x t x y Ln x y Demuestre: 2 2 2
2 22 0
u u u
x y x y
20. Utilice la derivación implícita para calcular: ,z z
x y
a. 2 3 23 2 6 12,x y z x y donde ( , )z f x y
b. 2 2 3 3 4 0xy yz z x donde ( , )z f x y
c. 2 2 32 2 3 21,x xy xz y z donde ( , )z f x y
d. 0x xxe yz ze donde ( , )z f x y
e. 2 2 2 2 ( )x y z x y z donde ( , )z f x y
21. Sea la función ( , ) 0,F x az y bz donde F es una función diferenciable. Probar que:
1z z
a bx y
.
22. Halle ( , ) ( , )df x y y f x y para los valores dados de , , ,x y x y
a. 2 2( , ) , 2, 1, 0.01, 0.02f x y x xy y x y x y
b. ( , ) ( ) cos( ), , 0, 2 , 36
f x y sen xy x y x y x y
c. 2 2 2( , , ) 2 , 2, 1, 3, 0.01, 0.02, 0.03f x y z x y z xz x y z x y z
23. El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10cm y 25cm, respectivamente,
con un posible error en la medición de 0.1cm, en cada dimensión. Utilice diferenciales para
estimar el error máximo en el volumen del cono.
24. Halle el gradiente de f en los puntos indicados:
a. 2
0( , , ) ( ) , (0, ,2)
2
xf x y z z e sen y P
b. 2 2
0( , , ) , (2, 1,0)f x y z x y z P
c. 2 2 2
0( , , ) ( ) , ( 1,1,3)f x y z Ln x y z P
25. Encuentre la razón de cambio máximo de las siguientes funciones en los puntos que en cada
caso se indican:
a. 2 2
0( , , ) , (3,1,2)f x y z xy x z P
b. 0
( , , ) cos( ) ( ) , ( 1,2,2)x yf x y z e y e sen z P
c. 2
0( , , , ) , (1,0, 3,2)f x y z t xz y t P
26. Calcule la derivada direccional de 2 2 2( , , ) ( )f x y z Ln x y z en 0
(1,3,2)P en la dirección
que va de 1 1
(2,3, 4) (3,2, 5)P a Q .
27. La distribución de temperatura de una placa metálica viene dada por la función 2 3( , ) y xT x y xe y e .
a. ¿En qué dirección aumenta la temperatura más rápidamente en el punto (2,0)?
b. ¿coeficiente de variación?
c. ¿En qué dirección decrece la temperatura más rápidamente?
28. Sea ( , ) 2f x y sen x y . Halle el polinomio de Taylor de primer orden alrededor de (0,0)
29. Determine el polinomio de Taylor de segundo orden de:
a. 3 2( , ) x yf x y e , alrededor de (0,0)
b. 2
( , )f x y x y , alrededor de (0,0)
c. ( , ) x yf x y e , alrededor de (2,3)
d. 2 2
( , ) ( )x yf x y e Cos xy , alrededor de (0,0)
e. ( , ) ( ) ( )f x y sen xy Cos xy , alrededor de (2,1)