TITULO

“Estudio analítico para hallar un modelo matemático que optimiza un perfil de ojiva balístico (región subsónica, sónica y supersónica)”

Por Alfredo R. Garasini

RESUMEN

“Partiendo de una función de disipación tipo “Frandtl”, con el auxilio del cálculo variacional se obtiene una expresión que dados el radio (calibre) y la longitud de la ojiva, se

permite determinar la curva (perfil de ojiva) que hace mínima la resistencia del aire al avance del proyectil”

NOMENCLATURA ρ : densidad del aire

)(WC : coeficiente de arrastre

.x : velocidad en el eje “x”

.y : velocidad en el eje “y” ds : elemento del área anular F: fuerza resistente del aire ξ : función subintegral t: variable tiempo r: radio de la ojiva h: longitud de la ojiva

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INTRODUCCION

Hipótesis a emplear 1- Admitimos que la ojiva es un paraboloide de revolución. 2- Empleamos una función de disipación tipo “Frandtl”. 3- La densidad del aire es constante. 4- El coeficiente de arrastre (drag) es constante. 5- La fuerza de disipación o resistencia del aire es una funcional. A continuación el dibujo muestra un paraboloide elemental, esto es:

Entonces la función de disipación que obra sobre la superficie elemental “ds”, es:

(1) dSxCF W

.

)(021∫= ρ

Donde: ydydS π2=

Por consecuencia tenemos que:

∫= dyyxCF W πρ 221 .

2)(

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O bien.

(3) ydyxCF w∫=.2

)(ρπ En virtud de las hipótesis (3) y (4) resulta así mismo:

(4) ydyxCF w ∫=.2

)(ρπ Como dγ=γ́ dt (la componente de la velocidad sobre el eje “γ”) la integral (4) se convierte en otra equivalente tal que:

(5) ∫=2

1

..2

)(

t

tw dtyyxCF ρπ

Fijamos los límites de integración por ejemplo y (luego serán O y t). 1t 2t Ahora bien, por la estructura de la función integral, estaríamos en presencia de un problema de extremos, por lo tanto formulamos la hipótesis de que la fuerza “F” de la resistencia del aire es una funcional, esto significa:

(6) ∫==2

1

..2

)(

t

tw dtyyxCFO δρπδ

Es decir intentamos hallar una función que haga máxima o mínima al valor “F” (en este caso es mínimo, pues como se advierte se cumple la condición de Legendre)

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DESARROLLO

Una vez establecidos estas bases podemos aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange, resulta el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=∂∂

−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

0)8(

0)7(

.

.

xd

ddtd

yydtd

ζ

ζζ

Siendo (9): yyx.2.

=ζ

Operamos:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0)11(

0)10(

.2.

.2.2.

yyxdtd

yxyxdtd

(12) o ayyx =..

.

.

yy

ax =

Llevamos a ésta última a la expresión (10) :

(13) 0

.

2.2

2

2.2

2

=−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛y

yy

ayyy

adtd

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Queda:

011 .

.2

..2

.=−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛y

yyy

yydtd

Hacemos: (el simple artificio)

011.

.2

..2

.=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

yy

yyyydtd

Llamamos: .2

.

1

yy=ϕ , que resulte la ecuación diferencial ordinaria:

0. =−dtdy

ydtd ϕϕ

Eliminamos el tiempo; y separamos las variables:

∫∫ =y

y ydyd

00

ϕ

ϕ ϕϕ

Tendremos:

yb 2=ϕ

O bien:

ybyy

2.2

1=

O bien:

2.2

21 yyb

=

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Extraemos la raíz cuadrada:

(14) yy

b

.1=

Separaremos variables e integramos nuevamente, por la naturaleza del problema los límites de integración podrán ser:

∫∫ =yt

ydydtb 00

1

de ahí que:

(15) 2

211 yt

b=

Por otra parte teniendo en cuenta la (12) y en virtud de la (14) resulta:

(16) ab

x =1.

O bien: cabx == Evidentemente: (17) ctx = Ahora resta por eliminar el tiempo entre las relaciones (15) y (17) esto es:

xcb

y 1.121 2 =

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Por último:

xbc

y 22 =

Despejamos “y”:

xbc

y 2=

Llamamos:

(18) bc2

=κ

Obtenemos:

(19) xky = Si aplicamos las condiciones de contorno para un proyectil, el valor de la constante “κ ”

puede ser: h

r=κ

Por lo que resulta definitivamente:

(20) hxry =

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BREVE COMENTARIO

Cabe señalar que la constante “κ ” (relación 18) contiene la velocidad “c” que ahora actúa como parámetro, notemos entonces que la misma figura en el denominador, lo cual nos informa que en cuanto mayor es dicha velocidad, menor debe ser la ordenada “y”, o sea: “ cuanto mayor es la velocidad , más aguzada debe ser la ojiva de un proyectil“.

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA

1- Ecuaciones diferenciales y Cálculo Variacional. Autor: L. Elsgoltz. 2- Cálculo Infinitesimal (cálculo de extremales). Autor: J. Rey Pastor. 3- Tratado de Balística. Autor: Dr. L. Hanert. 4- Tabla de Coeficientes de arrastre. Autor: Pranndtl.

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TABLA DE VALORES CORRESPONDIENTE AL MODELO MATEMÁTICO (FfLA.) ( perfil de ojiva)

X Y 0000.00 000.00 43.86 39.59 87.72 56.00 131.58 68.58 175.44 79.19 219.30 88.54 263.16 96.99 307.02 104.76 350.88 112.00 394.74 118.79 438.60 125.21 482.46 131.33 526.32 137.17 570.18 142.77 614.04 148.16 657.90 153.36 701.76 158.39 745.62 163.26 789.48 168.00 833.34 172.60 877.20 177.08 921.05 181.46 964.91 185.73 1008.77 189.90 1052.63 193.98 1096.49 197.98 1140.35 201.91 1184.21 205.72 1228.07 209.53 1271.93 213.26 1315.79 216.88 1359.65 220.47 1403.51 223.99 1447.37 227.47 1491.23 230.89 1535.09 234.26 1578.95 237.58 1622.81 240.86 1666.67 244.09 1710.53 247.28 1754.39 250.43 1798.25 253.55 1842.11 256.62 1885.97 259.66 1929.83 262.66 1973.69 265.63 2061.41 271.46 2105.27 274.34 2149.13 277.18 2193.00 280.00

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NOTA

Es importante comentar que este trabajo contiene una segunda parte que se va a publicar (sin cargo también) oportunamente. Este consiste en una curiosa relación matemática que puede ser de capital significación para la fabricación de municiones, pues la misma relaciona el “Factor de Estabilización de un proyectil” con el calibre, la longitud del cuerpo y la altura de la ojiva. Esta expresión ha sido verificada para 17 proyectiles de distintos calibres.

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