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ESTUDIO ANALITICO DE ONDAS DE CHOQUE RADIATIVAS

JUNIO 2018

Alejandro Sánchez Luis

DIRECTOR DEL TRABAJO FIN DE GRADO:

Pedro Velarde

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TRABAJO FIN DE GRADO PARA

LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE

GRADUADO EN INGENIERÍA EN

TECNOLOGÍAS INDUSTRIALES

“Un experto es aquel que ya ha cometido todos los errores posibles en unamateria muy concreta.”Niels Bohr

1

Agradecimientos

Este documento es el fruto de un ultimo ano de dedicacion y trabajo, asıcomo el cierre a estos cuatro anos de grado, con todo lo que eso conlleva, porlo que me gustarıa dar las gracias a las personas involucradas en mi desarrollotanto academico como personal.En primer lugar agradecer al profesorado de esta escuela su labor que haayudado a superar esta etapa de mi vida y ha formarme intelectualmente, conmencion especial a mi tutor de este trabajo de fin de grado, Pedro Velarde, porsu ayuda y dedicacion a lo largo de este proyecto y por darme la oportunidadde llevarlo a cabo.Mencionar tambien a mis amigos y companeros, que han hecho de mi paso poresta escuela una experiencia memorable, desde la primera clase a la ultima,examen a examen, cerveza a cerveza.Agradecer igualmente a mis profesores del colegio, por su dedicacion, y a miscompaneros y amigos, les mando un fuerte abrazo.Por ultimo, quisiera dar las gracias a mi familia, por todo el apoyo recibidodurante estos anos, a mis padres Marisol y Alfredo, y a mi hermano Carlos,gracias a ellos he llegado hasta aquı y a ellos les dedico mi mas sinceroagradecimiento.

3

Estudio Analıtico de Ondas de Choque Radiativas

Resumen

En este documento se aborda el estudio teorico/analıtico del fenomenofısico conocido como onda de choque radiativa, un tipo de onda de choque enla que la radiacion toma un papel importante (debido a las altas temperatu-ras y presiones a las que aparece). Este fenomeno se puede clasificar dentrode la rama ’Fısica de alta densidad de energıa’ (en adelante HEDP) y se daen determinados eventos estelares (supernovas, etc) ası como en fusion porconfinamiento inercial.Este proyecto se basa en estudios anteriores (como los llevados a cabo en [1],[2] y [3]) para disenar un codigo que permita obtener informacion de estasondas de choque segun distintos modelos teoricos, entendiendo por informa-cion caracterısticas de su estructura (perfiles de temperatura, densidad, etc)segun distintos parametros (como la velocidad de propagacion de la onda).Se empieza explicando una base teorica del fenomeno a estudiar (extractosy/o resumenes de lo que ha leıdo el alumno como base del proyecto), paraluego explicar paso por paso la metodologıa empleada para obtener las solu-ciones que se muestran mas adelante, por ultimo analizar los datos obtenidosy sacar conclusiones.

Palabras clave

HEDP, onda de choque, onda de choque radiativa, plasma, precursor, radia-cion

Codigos UNESCO

220106 ONDAS DE CHOQUE220504 MECANICA DE FLUIDOS220410 FISICA DE PLASMAS220910 LASERES

Alejandro Sanchez Luis 5

229001 FISICA TEORICA ALTAS ENERGIAS

6 Escuela Tecnica Superior de Ingenieros Industriales (UPM)


Indice general

Pagina

1. Introduccion 111.1. Objetivos y Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Fundamentos teoricos 152.1. ¿Que es una Onda de Choque Radiativa? . . . . . . . . . . . . 152.2. Estructura de una Onda de Choque Radiativa . . . . . . . . . 16

2.2.1. Precursor radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2. Zona de relajacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Introduccion a la HEDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1. Regımenes de HEDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4. Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.1. Propiedades de los plasmas . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2. Fısica de los plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.3. Ondas de Choque en un Plasma . . . . . . . . . . . . . 19

2.5. Intercambio de calor por radiacion en el frente de onda . . . . 222.5.1. Ondas subcrıticas y supercrıticas . . . . . . . . . . . . 222.5.2. Formulacion aproximada de la estructura del frente de

onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3. Ondas de choques a altas densidades de energıa y altas

presiones de radiacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6. Luminosidad del frente de onda en gases . . . . . . . . . . . . 28

3. Soluciones con GND 313.1. Ecuaciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.1. Parametros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 313.1.2. Ecuaciones de Euler no-relativistas (GND) . . . . . . . 323.1.3. Ecuacion de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2. Condiciones de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


INDICE GENERAL

3.3. Integracion del precursor radiativo . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1. Perturbacion del estado inicial . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.2. Calculo de la densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.3. Coordenada espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.4. Integracion de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 38

3.4. Integracion de la zona de relajacion . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.1. Perturbacion del estado final . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.2. Coordenada espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4.3. Integracion de las ecuaciones diferenciales . . . . . . . 40

3.5. Conexion del precursor y la zona de relajacion . . . . . . . . . 41

3.5.1. Caso continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5.2. Caso con onda de choque . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4. Soluciones en el lımite de equilibrio difusivo 45

4.1. Parametros y ecuaciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5. Resultados y discusion 49

5.1. Graficas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2. Graficas individuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3. Analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4. Valoracion de impactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Planificacion temporal y presupuesto 61

6.1. Desarrollo del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.1. Fases del Proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.2. Estructura temporal del proyecto . . . . . . . . . . . . 63

6.2. Presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Apendice: Soluciones con transporte radiativo 67

6.3. Ecuaciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3.1. Parametros adimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.3.2. Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4. Primera iteracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4.1. Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4.2. Condiciones de salto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.4.3. Perturbacion de los estados de equilibrio . . . . . . . . 69

6.4.4. Integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.4.5. Integracion de la intensidad . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Resto de iteraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71



Nomenclatura 73

Abreviaturas, unidades y acronimos 77

Glosario 79

Indice de figuras 84

Indice de tablas 85

Bibliografıa 88


INDICE GENERAL



Capıtulo 1

Introduccion

Este proyecto se ha llevado a cabo bajo la supervision del Instituto deFusion Nuclear de la Universidad Politecnica de Madrid (IFN).

1.1. Objetivos y Alcance

Este proyecto consta de varios objetivos:

En primer lugar, el estudio de las ondas de choque ası como los modelosteoricos en los que se basan y los resultados obtenidos gracias a estosmodelos, todo ello para comprender mejor este fenomeno de cara alsegundo objetivo de este proyecto.

Disenar un codigo capaz de resolver los modelos teoricos ya menciona-dos y ofrecer informacion de una onda de choque bajo determinadascondiciones de contorno de una forma comoda y rapida.

Como consecuencia del punto anterior, el tercer objetivo es proporcio-nar a otros alumnos una herramienta para comparar y complementarsus proyectos en el futuro, que este codigo sirva para mejorar las inves-tigaciones presentes y futuras.

Que la mejor compresion de esta rama de la fısica ayude a avanzaren campos de la ciencia relacionados, como la astrofısica o la fusionnuclear.

Por ultimo, ayudar a refinar codigos de simulacion hidrodinamica ycomparar resultados con otras herramientas del estilo.


1.2. ANTECEDENTES

1.2. Antecedentes

El IFN lleva varios anos trabajando en la rama de la fısica conocida comohidrodinamica, mas concretamente, en la simulacion de plasmas en regımenesde alta densidad de energıa en relacion con las condiciones fısicas que se danen los procesos de fusion nuclear por confinamiento inercial (FCI), fenomenosastrofısicos simulados en laboratorio o fuentes de rayos X.Este trabajo de fin de grado no es el primero en tratar estos temas bajola tutela del IFN, por lo que este proyecto recoge el testigo de los alumnosanteriores para extender el trabajo realizado en estos campos a partir de unabase consolidada gracias a dichos proyectos previos.Ademas, cabe destacar el trabajo de los profesores e investigadores del IFNy su labor en este campo, que ha servido como referencia para sacar adelantetodos estos trabajos de fin de grado. Destacar los artıculos y publicacionesdel tutor del proyecto, Pedro Velarde ([4], [7], [9], [10] y [12]).

1.3. Aplicaciones

La ondas de choque radiativas pueden aparecer en varios contextos osituaciones, algunos mencionados brevemente en apartados anteriores. Aquıse enumeran varias aplicaciones fısicas en las que se manifiestan:

Fusion por Confinamiento InercialCuando se habla de fusion nuclear se habla de la fuente de energıa delfuturo, una alternativa a la fision sin la lacra de los residuos radiactivos.La fusion es el mecanismo de produccion de energıa de las estrellas,una reaccion entre nucleos atomicos pequenos (deuterio y tritio son laalternativa mas viable aquı en la tierra, ambos isotopos del hidrogeno)para formar nucleos mas pesados. Para llevar a cabo esta reaccion haydos alternativas, el confinamiento magnetico de un plasma, que escapaal alcance teorico de este documento, y el confinamiento inercial,queconsiste en comprimir la materia para generar las condiciones de presiony temperatura, en el cual existen varios metodos:

• Metodo directo: aquı la compresion se realiza con varios rayos lasersobre una capsula de pequeno tamano (del orden de milımetros).Por conservacion de la cantidad de movimiento los haces laserprovocan la ablacion del combustible situado dentro de la capsu-la, generando ondas de choque a gran temperatura que viajanhacia el centro de la esfera de combustible. Todo ello para llegar



a la temperatura de ignicion, del orden de millones de grados ydesencadenar la reaccion.

• Metodo indirecto: similar al metodo directo solo que en este casopara comprimir el combustible los haces laser inciden sobre la carainterior de la capsula (en este caso cilındrica). En la figura 1.1 seaprecia la diferencia de los dos metodos.

Figura 1.1: FCI metodo indirecto (izquierda) y metodo directo (derecha).

Z-pinch o zeta pinchAquı el plasma se confina por ”pinzamiento”produciendo la fusion nu-clear en filamentos de plasma a lo largo del eje z, de ahı el nombre. Lacompresion y calentamiento del plasma se lleva a cabo por estriccion ypor efecto Joule respectivamente, ya que se utilizan varios conductoresen paralelo por los que circulan corrientes de millones de amperios enla misma direccion, por lo que se atraen mutuamente.

Experimentos de propagacion de ondas de choque radiativasEstos experimentos sirven para analizar la propagacion de este tipo deondas en condiciones controladas, como los experimentos realizados en[4], [7] y [12]. Aquı se bombardea un blanco que consiste en un tuboo cilindro de pequenas dimensiones (del orden de milımetros) relleno


1.3. APLICACIONES

Figura 1.2: representacion esquematica de la compresion por Z-pinch.

de un gas inerte (gases nobles ligeros principalmente). En la figura 1.3se aprecia la estructura del blanco, que cuenta con dos ventanas dedistinto material en las bases del cilindro, donde impactan los laseres,que actua como piston para generar las ondas en el interior del cilindro(en este caso es un prisma octogonal). En las paredes se encuentranaberturas que utilizan los aparatos de medicion (espectro-grafıa, rayosX) para tomar instantaneas del experimento en intervalos muy cortosde tiempo (nanosegundos). Estos experimentos ayudan a comprender

Figura 1.3: A la izquierda esquema del blanco de experimentacion, a la de-recha una foto del mismo.

mejor esta rama de la fısica y desarrollar el resto de aplicaciones para suuso futuro (fusion nuclear) ası como comprender mejor los fenomenosastrofısicos relacionados.



Capıtulo 2

Fundamentos teoricos

En este capıtulo se exponen algunas de las ideas y/o conceptos sobre losque se ha estudiado como preparacion para llevar a cabo este trabajo asıcomo algunas nociones extra de interes para futuros proyectos relacionados.Con esto en mente, lo que se expone a continuacion se ha incluido aquı paraservir de breve guıa introductoria al lector sobre el campo de estudio de esteproyecto.Se comienza con una breve introduccion a las ondas de choque radiativas paraluego entrar en detalle en las fısica de alta densidad de energıa (HEDP), losplasmas y terminando con algunas de las propiedades de las ondas de choqueen plasmas. Este capıtulo se basa en parte en libros especializados sobre estarama de la fısica, como [6], [5] y [13].

2.1. ¿Que es una Onda de Choque Radiativa?

En mecanica de fluidos, una onda de choque representa un cambio brus-co de las propiedades de, por ejemplo, un fluido. Este fenomeno se producecon tal brusquedad que normalmente se representa como una discontinuidadmatematica, en simple salto de las propiedades fısicas concentrado en unaseccion infinitamente estrecha, en la que ocurren los procesos de disipacionde calor y viscosidad.Pues bien, el apellido radiativa”viene del hecho que en casos en los que lasenergıas manejadas son muy grandes (fısica de alta densidad de energıa oHEDP) la radiacion juega un papel fundamental en la estructura de la on-da de choque ya que, al manejar altas energıas, las temperaturas tambienson altas, y las radiaciones emitidas por el fluido empiezan a hacerse notar.Ademas, en estos estados de energıa, el fluido en cuestion suele estar en es-tado de plasma (gas caliente ionizado), lo que otorga propiedades a destacar


2.2. ESTRUCTURA DE UNA ONDA DE CHOQUE RADIATIVA

en comparacion a un fluido “convencional”.

2.2. Estructura de una Onda de Choque Ra-

diativa

Como ya se comento anteriormente, las altas temperatura alcanzadas enestos casos modifican drasticamente la estructura de las ondas de choque,provocando que se creen dos zonas de interes antes y despues de la disconti-nuidad.

2.2.1. Precursor radiativo

Tal es la temperatura de la onda de choque y el material que ya hasido alcanzado por esta, que se emiten radiaciones en todas direcciones. Enconcreto, al ser la velocidad de la radiacion mas rapida que la propia ondade choque, el material que aun no ha sido alcanzado por la onda empieza acalentarse debido a estas radiaciones, creandose una zona delante de la ondaque esta mas caliente que el fluido no afectado por esta.

2.2.2. Zona de relajacion

Tal es la cantidad de radiacion emitida por la onda, que a zona inmediata-mente detras pierde energıa, comprimiendose y enfriandose, lo que hace quela onda de choque este mas caliente que el material que ha dejado atras, sealcanzan compresiones del orden de Este fenomeno puede dar lugar en deter-minados casos, que se detallan mas adelante, a distribuciones de temperaturaanomalas.

2.3. Introduccion a la HEDP

El fenomeno en cuestion queda fuertemente condicionado por las condicio-nes termodinamicas que se dan en estos casos, por ello empezare comentandoen que consisten estos estados de alta densidad energetica.La HEDP estudia sistemas que se encuentran sometidos a presiones del ordende MBar y temperaturas de millones de grados Kelvin (la temperatura seraexpresada en eV para facilitar el manejo de las cifras que entran en juego).[5]En estas condiciones los solidos dejan de ser incompresibles, los materialesse ionizan (se superan las energıas de ligadura que mantienen unidas a laspartıculas) y se alcanzan las condiciones de gas totalmente ionizado, tambien



llamado plasma.Las partıculas que podemos encontrar en un plasma son electrones (libres oligados), iones y fotones.

2.3.1. Regımenes de HEDP

En la figura 2.1 se muestran los distintos regımenes de HEDP para estadosde equilibrio del atomo de hidrogeno.

Figura 2.1: Regımenes de HEDP

2.4. Plasmas

Se han llevado a cabo numerosos estudios en este campo de la fısica(por ejemplo [12] o [14]), en esta seccion se toman influencias de estos y deliteratura especializada para explicar la influencia de las propiedades de losplasmas en el fenomeno que se estudia ası como una breve introduccion a suscaracterısticas.


2.4. PLASMAS

2.4.1. Propiedades de los plasmas

Existen dos teorıas par explicar las propiedades de los plasmas.

La teorıa tradicional contempla gases ionizados a altas temperaturaspero a baja densidad. Las partıculas en este modelo siguen distribucio-nes de poblacion como la de Maxwell-Boltzmann o la de Fermi-Dirac.

En cambio, la HEDP trata los plasmas de gran densidad de partıculas.

Para simplificar los analisis conceptuales iniciales, podemos asumir que elplasma sigue un modelo de gas ideal (MGI) por lo que su comportamientopodra ser descrito mediante la ecuacion de estado (EOS) correspondiente.Esto solo es posible si asumimos la teorıa tradicional, por lo que conformeaumenta la densidad habra que tener en cuenta algunos efectos que se des-cribiran mas adelante.Dicho esto, a continuacion se muestran la ecuacion de estado en cuestion, asıcomo las expresiones de la velocidad del sonido y la ecuacion calorica quederivan de esta.

p =ρ(1 + Z)kBT

Amp

(2.1)

C2s =

(∂p

∂ρ

)= γ

p

ρ= γRT (2.2)

ε = (γ − 1)p

ρ(2.3)

Siendo p la presion, ρ la densidad, Z el nivel de ionizacion medio, kB laconstante de Boltzmann, T la temperatura, A el numero masico, mp la masadel proton, Cs la velocidad local del sonido, γ el coeficiente adiabatico y ε laenergıa interna.Como primera aproximacion se consideran Z y γ como constantes.

2.4.2. Fısica de los plasmas

Interacciones Coulombianas

Si llamamos ni a la densidad de iones en un plasma, el volumen queocupara cada ion sera Vi = 1/ni. Si igualamos este volumen al volumen deuna esfera de radio r0 tenemos:

Vi = 1/ni =4

3πr30



r0 =

(3

4πni

)1/3

Para distancias mayores al radio r0 existira apantallamiento, dando lugar aun potencial nulo. En cambio para distancias menores a r0 la carga del ionZi debera ser compensada por los electrones de dentro de la esfera. Siendone la densidad de electrones del medio tenemos que:

Zi =4

3πr30ne (2.4)

Para plasmas de densidades altas la interaccion coulombiana no sera despre-ciable respecto a la energıa cinetica de las partıculas, a estos plasmas se losconsidera fuertemente ligados (Strongly Coupled Plasmas).

2.4.3. Ondas de Choque en un Plasma

La estructura del frente de onda tiene en estos casos caracterısticas deinteres debido al intercambio de energıa entre iones y electrones ası como lagran movilidad de estos ultimos, dicho de otra forma, la conduccion termicapor electrones excede con creces a la de los iones.Ademas, el equilibrio de temperaturas se alcanza en un periodo mas largo,debido a la gran diferencia de masas entre iones y electrones.Este proceso derelajacion es lo que determina el grosor del frente de onda en plasmas.Dicho esto, para apreciar las consecuencias de este lento intercambio deenergıa, se tendra que asumir que las conductividades termicas de ambaspartıculas son similares, ademas de asumir que no existe ionizacion en la on-da de choque, sino que esta se mueve por un gas previamente ionizado.Los electrones y los iones estan unidos por la interaccion electrica (debidoa sus cargas opuestas) ası que si dos partıculas se separan demasiado, es-tas fuerzas entraran en juego deteniendo dicha separacion. Debido a esto,el plasma permanece neutro localmente (ademas la densidad de electroneses siempre la misma que la densidad de cargas positivas). Debido a que ladisipacion de energıa por fuerzas viscosas electronicas es despreciable, la com-presion y calentamiento del gas electronico es de naturaleza adiabatica. Estohace que en una onda de choque de fuerza suficiente que se propaga por unplasma con identicas temperaturas ionica y electronica, halla una diferenciade temperatura apreciable entre los dos gases (ionico y electronico) detras dela onda de choque.Cada vez que una zona es comprimida por el frente de onda, se empieza atransferir energıa de iones a los electrones hasta alcanzar la temperatura deequilibrio impuesta por las ecuaciones de salto (figura 2.2).


2.4. PLASMAS

Figura 2.2: Perfiles de temperatura ionica y electronica (lınea discontinua)en el frente de onda sin considerar conduccion termica-electronica.

Hasta ahora se ha asumido que los procesos disipativos, viscosidad y con-duccion, solo tienen importancia en las zonas de grandes gradientes en laonda de choque, donde las propiedades macroscopicas varıan de forma sig-nificativa en distancias del orden del recorrido libre medio de las partıculasdel gas. En la zona de relajacion, que se extiende a lo largo de varias veces elrecorrido libre medio, estos gradientes son pequenos y los procesos disipati-vos se desprecian. Para hablar de un criterio de comparacion entre distintosgradientes se utilizan el coeficiente de transporte y la velocidad del frente deonda. El primero, para el caso de la difusion termica de un atomo, es delorden de χ ∼ lv/3 y la escala de longitud λ ∼ χ/D ∼ lv/D ∼ l del ordendel recorrido libre medio de una partıcula del gas, puesto que la velocidadtermica de los atomos v es del orden de la velocidad del frente de onda D. Elcoeficiente de difusion termica de un electron es aproximadamente

χe =leve3≈ v2eτe

3

donde le es el recorrido libre medio de un electron, ve es la velocidad termicade los electrones y τe es el tiempo entre colisiones entre dos electrones. Comose indica en [6] el recorrido libre medio de partıculas cargadas solo dependede su carga y su temperatura l ∼ T 2/Z4.A temperaturas comparables y en gases ligeros como, por ejemplo, el hidrogeno(Z=1) los recorridos libres medios de iones y electrones son similares, en cam-bio la velocidad de los electrones en mayor que la de los iones en un factor(mi/me)

1/2. Por ello la conduccion termica de los electrones es mayor que lade los iones en dicho factor, siendo la escala caracterıstica de esta

λe ∼χeD∼(mi

me

)1/2χiD∼(mi

me

)1/2

li



La escala de longitud es del mismo orden que el grosor de la zona de relajacionen la cual las temperaturas se equilibran:

∆x ∼ Dτei ∼ D

(mi

me

)1/2

τi ∼D

v

(mi

me

)1/2

li ∼(mi

me

)1/2

li

Como consecuencia, los gradientes en la zona de relajacion no son pequenosen comparacion a la conduccion termica de los electrones y el intercambio decalor por conduccion en esta zona es comparable al intercambio de calor entreiones y electrones. La conduccion termica-electronica hace que se alcance elequilibrio de temperaturas detras de la onda con mayor rapidez. Ademas, laconduccion conduce a un pre-calentamiento del gas delante de la onda. Puesaunque los iones no pueden adentrarse en la zona delante de la onda (suvelocidad termica es del orden de la velocidad de propagacion de la onda porel gas), los electrones ya calentados pueden dejar atras la onda de choque,

pues su velocidad es del orden de

(mi

me

)1/2

mayor que la de propagacion de

esta. Una zona de pre-calentamiento se forma delante de la onda, en la quela temperatura de los electrones es mayor que la de los iones, pues primerose calientan los electrones y luego parte de este calor se transfiere a los iones.La temperatura ionica sufre un salto termico considerable en el frente deonda, mientras que la temperatura electronica permanece constante, pues laconduccion termica suaviza el salto de temperaturas, evitando ası un saltodiscontinuo.

Figura 2.3: Perfiles de temperatura ionica y electronica (lınea discontinua)en el frente de onda propagandose en un plasma frıo.

En [6] se demuestra que el grosor de la zona de pre-calentamiento au-menta rapidamente con la intensidad de la onda de choque (la velocidad depropagacion de esta), de forma que x0 ∼ T 2

1 ∼ D4.


2.5. INTERCAMBIO DE CALOR POR RADIACION EN EL FRENTEDE ONDA

2.5. Intercambio de calor por radiacion en el

frente de onda

2.5.1. Ondas subcrıticas y supercrıticas

Cuando una onda de choque viaja a traves de un gas que ocupa un granvolumen, y las dimensiones de la region calentada son grandes en compara-cion con el recorrido libre medio de un foton de forma que la temperatura delgas no sufre cambios grandes en una distancia del orden del recorrido libremedio, la radiacion termica de la onda llega al equilibrio termodinamico localcon el fluido, por lo que existe equilibrio radiativo inmediatamente detras dela onda.La densidad de energıa es comparable a la presion de radiacion solo a muyaltas temperaturas o muy bajas presiones del fluido. Por ejemplo, en el casodel aire (a la densidad estandar) esto ocurre a una temperatura de 2,7 ·106K.Sin embargo para onda de choque de menor fuerza la energıa de radiaciony la presion de radiacion apenas tienen efecto en el fluido detras del frentede onda. En cambio la relacion entre los flujos de energıa (material y de ra-diacion) es distinta debido a que las velocidades tratadas en la practica sonmucho menores que la velocidad de la luz. El ratio de flujos de energıa sepodrıa aproximar tal que σT 4/dρε ∼ (Urad/ρε)(c/D), lo que nos lleva a laconclusion de que el ratio de flujos de energıa es aproximadamente mayor queel ratio de densidades de energıa en un factor de orden de c/D. Por ponerun ejemplo, em el caso de que la velocidad D fuese de 100 km/s este factortomarıa un valor en torno a 3000. Entonces en el aire los flujos de enrgıase volverıan iguales a una temperatura de aproximadamente 300.000 K, a lacual la densidad de radiacion todavıa es despreciable (vease [6]).Dicho esto, cabe destacar que para ondas de choque de gran intensidad, elintercambio de calor por radiacion tendra una gran influencia en la estructu-ra de dicha onda.En el caso de una onda lo suficientemente debil, donde el balance de energıade radiacion es muy pequeno, las variables cambian al atravesar la onda de laforma clasica (step). Conforme aumenta la intensidad de la onda, el flujo deradiacion del frente de onda aumenta con rapidez. La radiacion es absorbidapor delante de la discontinuidad a una distancia del orden del recorrido libremedio de un foton, calentando el gas. Este calentamiento disminuye conformenos alejamos de la discontinuidad debido a la absorcion de la radiacion. POrlo que ahora la onda se propaga por un gas caliente (al contrario que en elcaso anterior) y la temperatura detras de la onda T+ es mayor que si el gasno se hubiese precalentado, esto es, mayor que la temperatura en el estado



Figura 2.4: Perfiles de temperatura, densidad y presion en un frente de ondade no demasiada fuerza, considerando intercambio de calor por radiacion.

final.

La temperatura detras de la onda decrece desde T+ hasta T1. En otraspalabras, una partıcula que pase a traves de la onda es primero calentada



por radiacion, luego comprimida por la onda de choque y luego enfriada porla emision de parte de su energıa como radiacion. Esta emision por radiacionayuda a la compresion final del fluido hasta el estado final, como se ve enlas graficas de la figura 2.4. La temperatura delante de la discontinuidad T−es proporcional al flujo de radiacion saliente de esta y, por ello, aumentatambien rapidamente con la intensidad de la onda. La diferencia entre T+y T1 aumenta en consecuencia (aproximadamente T+ − T1 ≈ T−). A unadeterminada temperatura final, que llamaremos temperatura crıtica Tcr, latemperatura de precalentamiento T− alcanzara el valor de T1. Para todatemperatura final menor que la temperatura crıtica la onda obtenida serasubcrıtica.Si consideramos una onda de amplitud supercrıtica (T1 > Tcr), la energıa delos fotones producidos por el frente de onda serıa suficiente para calentar alfluido por delante de la onda a una temperatura superior a la final (T− > T1).Obviamente esto no puede ocurrir, pues tendrıamos energıa viajando de unazona de menor temperatura a una de mayor temperatura, lo que viola elsegundo principio de la termodinamica. En vez de esto, la energıa se invierteen calentar regiones mas alejadas del frente de onda, de forma que un fotonrecorre una distancia del orden de su recorrido libre medio, para volver a seremitido a otra region mas lejana (calentamiento por conduccion radiativa).Este fenomeno es analogo al de una onda de choque en la que se consideraconduccion termica electronica.Al contrario que en el caso subcrıtico, el ancho del pico producido (pico

de Zel’dovich) es menor que el recorrido libre medio y disminuye con laintensidad de la onda.



Figura 2.5: Perfiles de temperatura y densidad en un frente de onda de granintensidad, teniendo en cuenta el intercambio de calor por radiacion. La lıneadiscontinua corresponde a la aproximacion de conduccion de calor por radia-cion (salto isotermico, ver [6]).

2.5.2. Formulacion aproximada de la estructura del fren-te de onda

Considerando un flujo unidimensional estable en el cual el frente de ondase encuentra estatico se introducen simplificaciones para luego centrarse enlos terminos en relacion al intercambio radiativo. En este caso se consideraun gas ideal con calor especıfico constante, de forma que podemos expresarla presion y energıa interna de la siguiente forma

p = RρT, ε =1

γ − 1RT

Los efectos de la viscosidad en el frente de onda seran sustituidos por una dis-continuidad matematica. Se desprecian fenomenos de relajacion, conduccion



termica y electronica. La onda de choque se toma con intensidad suficien-te para considerar el flujo radiativo, pero sin tener en cuenta la energıa ypresion de radiacion. Tambien despreciamos el flujo de fotones que escapanal infinito desde el frente asumiendo que el flujo de radiacion delante de elfrente es nulo. Dicho esto, usando las ecuaciones de equilibrio hidrodinamicotenemos

ρu = ρ0D (2.5)

p+ ρu2 = ρ0D2 (2.6)

ε+p

ρ+u2

2+

S

ρ0D=D2

2(2.7)

Siendo S el flujo de radiacion, que viaja en sentido contrario al fluido, y sepuede aproximar de la siguiente forma

dS

dx=c(Up − U)

l

S = − lc3

dU

dx

Aquı Up = 4σT 4/c es la densidad de energıa de radiacion de equilibrio y l esel recorrido libre medio de un foton.De estas expresiones se deducen ecuaciones, que relacionan la temperaturay el flujo de radiacion con el volumen especıfico relativo η = V/V0 = ρ0/ρ =u/D.

T =T1η(1− η)

η1(1− η1)(2.8)

S = −ρ0DRT1(1− η)(η − η1)2η21(1− η1)

(2.9)

Donde η1 = (γ − 1)/(γ + 1). En la figura vemos que la transicion entre losestados delante y detras de la discontinuidad es continua.



Figura 2.6: Diagramas T, S y η, S para una onda de choque, considerandointercambio de calor por radiacion.

2.5.3. Ondas de choques a altas densidades de energıay altas presiones de radiacion

Cuando en una onda de choque consideramos conduccion termica peroeliminamos la viscosidad, el gas no puede realizar una transicion continuadesde el estado inicial al final. Por ello se forma una discontinuidad, que con-centra los efectos viscosos y es considerada infinitamente estrecha. Si el flujode conduccion de calor es proporcional al gradiente de temperatura todas lasvariables, excepto la temperatura, sufren un salto discontinuo en sus propie-dades, lo que se conoce como “isothermal shock”.Sin embargo, cuando tratamos con ondas de choque de gran intensidad, don-de la densidad de energıa y la presion ed radiacion superan con creces a lapresion y energıa del fluido, la situacion es distinta.La discontinuidad desaparece por completo y las propiedades del gas evolu-cionan de forma continua desde el estado inicial la final gracias solamente ala conduccion de calor radiativa, incluso cuando no se considera la viscosidaddel fluido.


2.6. LUMINOSIDAD DEL FRENTE DE ONDA EN GASES

Figura 2.7: Diagrama p, η para una onda de choque, considerando intercam-bio de calor por radiacion.

2.6. Luminosidad del frente de onda en gases

Para el estudio de las ondas de choque es bastante comun el uso de meto-dos opticos, entendiendo por esto metodos que se centran en la luminosidademitida por el frente de onda, la cual depende de la fuerza de la onda asıcomo las dimensiones de la zona calentada que viaja por delante de esta(precursor radiativo).En este tipo de estudios, para obtener la temperatura del fluido que que-da detras de la onda a partir de la luminosidad medida experimentalmentehemos de asegurar que la masa luminosa irradia como un cuerpo negro per-fecto. Si el frente de onda es una discontinuidad clasica”, detras de la cualexiste una region lo suficientemente extensa y opaca con una temperaturadel fluido mas o menos constante, entonces el fluido ligado al frente de ondaemite radiacion como un cuerpo negro perfecto.Se ha demostrado que esto ocurre en un determinado rango de fuerzas de laonda. Pero no en todos los casos, la temperatura de brillo de una onda dechoque lo suficientemente fuerte disminuye respecto a la temperatura detrasdel frente de onda y , a partir una determinada fuerza, decrece rapidamen-te conforme se aumenta la fuerza, llegando a un valor lımite relativamentebajo. Si la fuerza sigue aumentando la temperatura de brillo permanece casiconstante.

Este fenomeno de ”saturacion”de la luminosidad tiene una consecuencia



Figura 2.8: Dependencia de la temperatura de brillo en la superficie de unfrente de onda de choque en aire con la verdadera temperatura tras el frente.

cuanto menos interesante, da igual lo mucho que una onda de choque calienteel gas por el que pasa, aunque este este a una temperatura de millones degrados no seremos capaces de ”ver”temperaturas mayores de decenas de milesde grados (vease [6]).


2.6. LUMINOSIDAD DEL FRENTE DE ONDA EN GASES



Capıtulo 3

Soluciones con GND

En este capıtulo se muestra como se han obtenido las soluciones con elmodelo de difusion radiativa empleado en .Las siglas GND hacen referenciaa la expresion ”grey nonequilibrium diffusion”.

3.1. Ecuaciones iniciales

Para la resolucion de este problema, se utilizaran las ecuaciones de con-servacion de masa, cantidad de movimiento, energıa y energıa de la radiacion(ecuaciones de Euler no-relativistas, con el termino difusivo de la radiacion).Pero estas ecuaciones estaran expresadas en funcion de parametros adimen-sionales, los cuales quedan enumerados a continuacion.

3.1.1. Parametros adimensionales

Los parametros adimensionales se expresan en funcion de cantidades di-mensionales, las cuales quedan expresadas con una tilde.El subındice 0 indica el estado de la variable antes de la onda de choque(pre-shock state o unshocked en algunas referencias).

x =x

L(coordenada espacial)

t =ta0

L(coordenada temporal)

ρ =ρ

ρ0(densidad material)

v =v˜a0

(velocidad material)


3.1. ECUACIONES INICIALES

e =e

a02 (energıa interna especıfica material)

p =p

ρ0a02 (presion material)

T =T

T0(temperatura material)

θ =θ

T0(temperatura de radiacion)

σa =σaLc

a0(seccion eficaz de absorcion)

σt =σaLc

a0(seccion eficaz total)

κ =c

3σta0L(difusividad radiativa)

P0 =αRT

40

ρ0a02 (constante adimensional)

Cantidades dimensionales como c o αR son contstantes universales (la ve-locidad de la luz en el vacıo y la constante de radiacion respectivamente),otras en cambio solo son valores de las magnitudes en un estado determinado,como T o a0 (la temperatura material en cualquier instante y la velocidaddel sonido local antes delante de la onda de choque, en este caso).La constante P surge en la adimensionalizacion de las ecuaciones de Eu-ler. Las secciones eficaces se consideran dependientes de la densidad y de latemperatura, para simplificar el analisis.

3.1.2. Ecuaciones de Euler no-relativistas (GND)

El sistema de ecuaciones mencionado al principio de esta seccion quedaexpresado en forma adimensional tal que:

∂tρ+ ∂x(ρv) = 0 (3.1)

∂t(ρv) + ∂x

(ρv2 + p+

1

3P0θ

4

)= 0 (3.2)

∂t(ρE) + ∂x[v(ρE + p)] = −P0Se (3.3)

∂tθ4 +

4

3∂x(vθ

4)− ∂x(κ∂xθ4) = Se (3.4)

Donde E es la energıa total especıfica material, expresada de la siguienteforma

E = e+1

2v2 (3.5)



y donde Se representa la transferencia de energıa entre el material y la ra-diacion.

Se = σa(T4 − θ4) +

1

3v∂xθ

4 (3.6)

La constante P0 definida anteriormente nos da una idea de la influencia quetiene la radiacion en la dinamica de la solucion, siendo esta constante pro-porcional a la relacion presion de la radiacion-presion material o, dicho deotra forma, la relacion entre energıa de la radiacion y energıa material.Se puede observar que la primera ecuacion corresponde a la condicion deconservacion de la masa, representando las derivadas temporal y material dela densidad y anulando la suma de estas. La segunda ecuacion es la conser-vacion de la cantidad de movimiento, en la que se ha introducido un terminode radiacion junto con la presion y la cantidad de movimiento propiamentedicha, en la derivada material. La tercera ecuacion representa la conservacionde la energıa material, que incluye el termino Se que ya se ha definido. Lacuarta ecuacion tambien incluye dicho termino para expresar la conservacionde la energıa de la radiacion, de forma analoga a la ecuacion anterior.

3.1.3. Ecuacion de estado

Se considera que el plasma cumple una ecuacion de estado calorıficamenteperfecta, lo que simplificara aun mas el analisis y nos deja con otras dosecuaciones a considerar:

p =ρT

γ(3.7)

e =T

γ(γ − 1)(3.8)

Donde γ es el coeficiente adiabatico (cociente de los calores especıficos).

3.2. Condiciones de salto

El valor de las variables (adimensionales) detras de la onda de choque,que indicaremos con un subındice 1 (”post-shock state.o ”shocked”), se esta-blecera con las condiciones de salto generales, estos es, sin tener en cuenta loque pasa entre el estado inicial o final.Las condiciones de salto generales las establece el sistema de ecuaciones quese encuentra a continuacion, el cual se deduce de sistema de ecuaciones ori-


3.2. CONDICIONES DE SALTO

ginal. ρvρv2 + p∗

(ρE∗ + p∗)v

0

=

ρvρv2 + p∗

(ρE∗ + p∗)v

1

(3.9)

Donde

p∗ = p+1

3P0T

4 (3.10)

E∗ = e∗ +1

2v2 (3.11)

e∗ = e+1

ρP0T

4 (3.12)

Los valores de temperatura y densidad delante de la onda, por su definicionadimensional, toman valor unitario. En cambio, la velocidad se tratara de unaforma particular; se considerara un cambio de sistema de referencia, dondeel nuevo sistema se movera con la velocidad de avance de la discontinuidad(velocidad de la onda de choque). De esta forma los calculos se simplifican,aunque hay que tener en cuanta lo siguiente.La velocidad de la onda de choque pasa a ser cero, ahora la discontinuidadesta quieta y es el material el que se mueve hacia la onda de choque, conuna velocidad que es la que tenia la onda de choque originalmente antes delcambio de sistema de referencia. Dicho esto, nos podemos referir a la zonadelante de la onda de choque como .aguas arriba”mientras que la zona dedetras pasa a ser .aguas abajo”. Esta nomenclatura se utilizada en varias delas referencias consultadas.Las variables .aguas arriba”toman entonces los siguientes valores:

ρ0 = T0 = θ0 = 1

v0 =M0

M es el numero de Mach, que en su forma adimensional tiene el mismo valorque la velocidad aguas arriba (ecuacion de conservacion de la masa), por loqueM0 nos da una idea de la velocidad de la onda de choque y, por ende, dela ıntensidad”de esta. Para la ecuacion de estado elegida en la seccion 3.1.3el numero de Mach queda expresado de la siguiente forma.

M =v√T

=M0

ρ√T

(3.13)

Ya es preciso resolver el sistema de ecuaciones, sustituyendo las condicio-nes iniciales y despejando obtenemos un sistema de dos ecuaciones y dos



incognitas:

M20 +

ρ21T1γ

+1

3ρ1P0T

41 = ρ1A

7

2M2

0 +9

10ρ21T1 = 4ρ1A− ρ21B

Donde A y B son constantes que siguen las siguientes expresiones:

A = M20 +

1

γ+

1

3P0 (3.14)

B =M2

0

2+

1

γ − 1+

4

3P0 (3.15)

El sistema tiene nueve para de soluciones validas, por lo que tendremos quedescartar aquellas con expresion en el plano complejo ası como las que tenganvalores menores que la unidad.

Por poner un ejemplo, para el caso con M0 = 2, P0 = 10−4, γ =5/3 (molecula mono-atomica), σa = 106 y κ = 1, las solucionesobtenidas son:

ρvTθ

1

=

2,28610,87492,07762,0776

Podemos observar que en los estados de equilibrio (subındices 0y 1) la temperatura de radiacion θ se iguala a la temperaturamaterial T.

3.3. Integracion del precursor radiativo

3.3.1. Perturbacion del estado inicial

Las ecuaciones a integrar para obtener la estructura de cada onda de cho-que (expresadas mas adelante) tienen discontinuidades cuando la solucion esconstante, esto es, en los estados de equilibrio. Para evitar dichas discontinui-dades se perturban dichos estados y se integra desde el estado perturbado,al que se nombrara con el subındice ε.Primero se aplica la perturbacion a la temperatura de radiacion

θε = θi + ε (3.16)


3.3. INTEGRACION DEL PRECURSOR RADIATIVO

y luego a la temperatura material

Tε = Ti + ε

(dT

dθ

)i

(3.17)

El subındice i sera 0 o 1 dependiendo del estado de equilibrio en cuestion, εsera un parametro de valor mucho menor que la unidad (en este caso se hatomado un valor de 10−9).

En cambio, el valor de

(dT

dθ

)i

saldra de evaluar la siguiente formula en uno

de los estados de equilibrio.

dT

dθ=∂TF − ∂θG±

√(∂TF − ∂θG)2 + 4(∂TG)(∂θF )

2(∂TG)(3.18)

La solucion seleccionada sera la que haga que se cumpla la siguiente desigual-dad:

dρ

dθ> 0

Para esto se calculara la densidad en el estado ε y se aproximara a un cocientede incrementos de la siguiente forma:

dρ

dθ≈ ∆ρ

∆θ=ρε − ρiθε − θi

Las expresiones de la formula anterior se deducen del sistema de ecuacionesoriginal (para ver un desarrollo mas exhaustivo ver )

∂TG = c1{6Cpρ[2(∂Tρ)(T − 1) + ρ]− 6M20ρ(∂Tρ) + 8P0(∂Tρ)(θ4 − 2ρ)}

(3.19)

∂θG = c1{12Cp(∂θρ)ρ(T − 1)− 6M20ρ(∂θρ) + 8P0

[(∂θρ)(θ4 − 2ρ) + 4ρθ3

]}

(3.20)

∂TF = c2[4vθ3(∂TG)− 12σa(γM2 − 1)T 3

](3.21)

∂θF = c2[4vθ3(∂θG) + 12σa(γM2 − 1)θ3

](3.22)

Donde

c1 =M0

24P0κρ2θ3

c2 =P0

3CpM0(M2 − 1)

∂Tρ = − 1

T

(ρ± 3γM2

0

d

)∂θρ = −2P0γθ

3

3T

(1± Km − γP0θ

4

d

)



ademas

d =√b2 − 36γM2

0T

b = Km − γP0θ4

Km = 3(γM20 + 1) + γP0

Cp =1

γ − 1

La solucion escogida en las derivadas parciales de la densidad se discute acontinuacion.

3.3.2. Calculo de la densidad

Una vez calculadas la temperatura material y de radiacion, se calculan ladensidad y la velocidad del estado perturbado con las siguientes expresiones:

ρv =M0 (3.23)

ρ(T, θ) =Km − γP0θ

4 ±√

(Km − γP0θ4)2 − 36γM20T

6T(3.24)

La solucion escogida aquı para la densidad determina la solucion escogida enel apartado anterior para las derivadas de la densidad. Para escoger dichasolucion se debe de tener en cuenta la zona que vamos a integrar y las con-diciones de integracion.Se ha comprobado que para integrar el precursor radiativo la solucion nega-tiva (cogiendo el signo menos) de la densidad es la que devuelve los valoresadecuados.En cambio, para integrar la zona de relajacion, depende de si el numero deMach aguas abajo es mayor o menor que el parametro MASP = 1/

√γ; si se

da el casoM1 >MASP la solucion negativa es la adecuada, en cambio paraM1 <MASP se ha llegado a la conclusion de que la solucion positiva es laidonea.

3.3.3. Coordenada espacial

La coordenada espacial para el estado perturbado se situa en xε = 0,mientras que los estados de equilibrio toman un valor de x determinado porla siguiente expresion.

x0 = xε − ε/θ′ε (3.25)


3.3. INTEGRACION DEL PRECURSOR RADIATIVO

(Para el estado perturbado aguas abajo habrıa que cambiar el signo de epsi-lon).θ′ε es la derivada de la temperatura de radiacion respecto a la coordenadaespacial, que se calcula con la siguiente expresion (la cual tambien se deducedel sistema de ecuaciones inicial).

θ′ = v6Cpρ(T − 1) + 3ρ(v2 −M2

0) + 8P0(θ4 − ρ)

24P0κθ3(3.26)

Para el ejemplo anterior, sustituyendo los datos correspodientesen 3.26, en el precursor radiativo x0 = −0,0011El valor es negativo, lo cual tiene sentido pues la perturbacion lahacemos en la direccion negativa del eje X.

3.3.4. Integracion de las ecuaciones diferenciales

Sistema de ecuaciones diferenciales

La solucion de toda la onda de choque radiativa queda determinada porel siguiente sistema de ecuaciones diferenciales a integrar.

dx

dM= −6

M0ρT

(γ + 1)P0M

(M2 − 1

ZD

)(3.27)

dT

dM= −2

(γ − 1

γ + 1

)(T

M

)(ZNZD

)(3.28)

Donde

ZD = 4M0θ3θ′ +

(γ − 1

γ + 1

)(γM2 + 1) (3.29)

ZN = 4M0θ3θ′ + (γM2 − 1) (3.30)

r = 3ρσa(θ4 − T 4) (3.31)

Ademas, para que el sistema esta solo en funcion de T y M, se definen dosnuevas expresiones para la temperatura de radiacion y la densidad.

θ(T,M)4 =1

γP0

[Km − 3γ

M20

ρ(T,M)− 3Tρ(T,M)

](3.32)

ρ(T,M) =M0

M√T

(3.33)



Condiciones de integracion

En el sistema de ecuaciones expresado en el apartado anterior existe unadiscontinuidad cuando M = 1, es por esto que se separa la integracion delprecursor radiativo de la zona de relajacion. Para evitar la discontinuidad seintegra en un intervalo, en el caso del precursor, que va desde el estado per-turbadoMε hastaM = 1+ εASP (o hasta que θ > T1), donde 0 < εASP � 1.ASP hace referencia al nombre que se le da a la discontinuidad; .AdiabaticSonic Point”.

El intervalo de integracion siguiendo el ejemplo previo es el si-guiente (en el ejemplo se toma εASP como 0.01):

M⊆ [2, 1,01]

Tomando como condiciones iniciales de integracion el estado per-turbado y ajustando el error de la funcion de resolucion de ODEs(en este caso el error se limita al orden de 10−9), se obtiene lasiguiente grafica.


3.4. INTEGRACION DE LA ZONA DE RELAJACION

3.4. Integracion de la zona de relajacion

Para integrar la zona de relajacion los pasos a seguir son casi identicos alos seguidos para integrar el precursor radiativo. Dicho esto, esta seccion pre-senta los resultados siguiendo con el ejemplo anterior, ası como las diferenciasa tener en cuenta.

3.4.1. Perturbacion del estado final

La unica diferencia en este paso es el cambio de signo del parametroε, pues la perturbacion ahora va en la direccion opuesta en x. El resto de

expresiones, comodT

dθ, han de evaluarse en el estado final (subındice 1). El

calculo de la densidad en este estado ya ha sido comentado en la seccionanterior.

3.4.2. Coordenada espacial

Como era de esperar, en este apartado tambien se tiene en cuenta elcambio de signo de ε ası como el estado en el que se evaluan las expresiones.

Para el ejemplo (M0 = 2), tenemos que x1 = 3,1071 ∗ 10−4.

3.4.3. Integracion de las ecuaciones diferenciales

El sistema de ecuaciones en este caso es exactamente el mismo que parael otro estado de equilibrio, solo se hacen modificaciones a el intervalo deintegracion y al estado inicial (que ahora es aguas abajo).Ahora las ecuaciones se integran desde M = M1 hasta M = 1 − εASP (ohasta que θ < 1). Esta integracion ocurre, en el espacio fısico, en direccioncontraria a la anterior, esto es, con la x decreciente.



Para el caso del ejemplo:

M⊆ [0,607, 0,99]

La grafica obtenida es la siguiente.

3.5. Conexion del precursor y la zona de re-

lajacion

El ultimo paso es conectar las dos graficas obtenidas, esto se hace de unamanera u otra dependiendo del caso a tratar.

3.5.1. Caso continuo

Esta caso se da cuando se cumple la siguiente desigualdad:

θ|M=1+εASP < θ|M=1−εASP

Entonce se coloca la discontinuidad del ASP en x = 0 y se desplazan en xlas graficas para que queden en contacto en dicha discontinuidad.Para los casos conM1 <MASP podemos utilizar el procedimiento habitual,


3.5. CONEXION DEL PRECURSOR Y LA ZONA DE RELAJACION

en cambio en caso contrario hay dos casos que se deben diferenciar, para estoes preciso representar los numeros de Mach en el estado final y justo detrasde la discontinuidad, respecto al numero de Mach en el estado inicial.Loscasos para M0 < MA se resuelven siguiendo los pasos de [2] que trata lasondas de choque radiativas en el lımite de equilibrio difusivo, la resolucionde este caso se trata en el siguiente capıtulo.Para los casos con M0 >MF la zona de relajacion es constante, por lo queno harıa falta integrarla.Para hallar los puntos MB y MF resolvemos el sistema planteado en laseccion ’Condiciones de salto’ pero tomando aM0 como variable y anadiendola ecuacion M0 = ρ

√TMASP . No hace falta calcular MA, pues basta con

saber que no hay onda de choque para distinguir los dos casos con los puntosB y F.

Figura 3.1: Esquema del grafico presentado en [1], que compara M0 con M1

y el Mach justo detras de la onda (MS)

3.5.2. Caso con onda de choque

Para este caso la onda de choque se coloca en x = 0 y se desplazan en xlas graficas de forma que la temperatura de radiacion sea continua. Esto sepuede conseguir calculando las distancia mınima en el espacio θ × x y unirlas graficas por ese lugar.



Esta es la grafica que obtenemos al final siguiendo el ejemplo deapartados anteriores. Se observa que el salto en la temperatura deradiacion es continuo, mientras que en la temperatura y densidadexiste un salto discontinuo, una onda de choque.


3.5. CONEXION DEL PRECURSOR Y LA ZONA DE RELAJACION



Capıtulo 4

Soluciones en el lımite deequilibrio difusivo

En este capıtulo se detalla el metodo de resolucion utilizado para tratarel problema de ondas de choque con M0 < MA (figura 3.1), siguiendo lospasos del estudio realizado por Lowrie y Rauenzahn en [2]. Este caso se daen ondas de choque de muy baja intensidad, y complementa al caso anteriorpues los calculos en la zona de aplicacion son mas sencillos.

4.1. Parametros y ecuaciones iniciales

En este caso la adimensionalizacion se hace de forma similar que en elcapıtulo anterior, la unica diferencia es el parametro κ, que resulta ser lamultiplicacion de su homonimo del capıtulo anterior con el parametro P0.

x =x

L(coordenada espacial)

t =ta0

L(coordenada temporal)

ρ =ρ

ρ0(densidad material)

v =v˜a0

(velocidad material)

e =e

a02 (energıa interna especıfica material)

p =p

ρ0a02 (presion material)


4.2. INTEGRACION

T =T

T0(temperatura material)

κ =aRT0

4c

3σtLρ0a03

Los valores de densidad y temperatura en el estado inicial se toman como 1.El primer paso es usar la ecuacion 4.1

ρ1(T1) =f1(T1) +

√f1(T1)2 + f2(T1)

6(γ − 1)T1(4.1)

donde

f1(T1) = 3(γ − 1)(T1 − 1)− P0γ(γ − 1)(7 + T 41 )

f2(T1) = 12(γ − 1)2T1[3 + γP0(1 + 7T 4

1 )]

para resolver

3ρ1(ρ1T1 − 1) + γP0ρ1(T41 − 1) = 3γ(ρ1 − 1)M2

0 (4.2)

Estas ecuaciones surgen del sistemas de ecuaciones de las condiciones de saltodel capıtulo anterior (sistema de ecuaciones 3.9).Una vez conocidos T1 y ρ1, se utilizad la expresion v1 = ρ0M0/ρ1 paraobtener la velocidad final.

4.2. Integracion

El siguiente paso es utilizar la ecuacion

ρ(T ) =m(T )−

√m(T )2 − γTM2

0

T(4.3)

donde

m(T ) =1

2(γM2

0 + 1) +γP0

6(1− T 4)

para integrardT

dx=M0f3(ρ, T )

24κρ2T 3(4.4)

siendo

f3(ρ, T ) = 6ρ2T − 1

γ − 1+ 3(1− ρ2)M2

0 + 8P0(T4 − ρ)ρ



Una vez conocida la distribucion de temperaturas T(x) se hallan la distri-bucion de densidades ρ(x) con la ecuacion 4.3 y la de velocidades con laexpresion v =M0/ρ.

Para el caso estudiado en [1], con M0 = 1,05 se obtiene la siguientedistribucion de temperaturas y presiones (el resto de parametrostoma el mismo valor que en ejemplos anteriores).


4.2. INTEGRACION



Capıtulo 5

Resultados y discusion

En este capıtulo se muestran las graficas obtenidas con el codigo desarro-llado a lo largo del proyecto, que se reparten en las distintas secciones segunla naturaleza de los datos representados y la forma en la que se representanpara facilitar comparaciones y/u observaciones.

5.1. Graficas generales

De las pruebas realizadas con el codigo se pudieron extraer datos de dis-tintos tipos de ondas de choque variando las condiciones del experimento encada caso, por ejemplo, en la figura 5.1 se observa como varia la estructurade la onda de choque conforme se aumenta la velocidad del frente de onda,en este caso, se aprecia la distribucion de temperatura a lo largo de la ondade choque.

Se aprecia con claridad como varıa la altura del pico de temperatura (pi-co de Zel’dovich) hasta desaparecer para valores altos de M0. Tambien seaprecia el tamano del precursor radiativo y como cambia de grosor tambienen funcion de la velocidad de propagacion de la onda.Para el caso de la temperatura de radiacion θ las graficas obtenidas se ase-mejan a las de la temperatura con la excepcion de que en estas no apareceel pico de temperatura, ademas la distribucion de los valores se comporta deforma continua al pasar por el frente de onda, caracterıstica que se apreciaramas adelante (con valores mas bajos de M0, en la seccion siguiente) puesen este caso la onda de choque se encuentra en la cara frontal del pico detemperatura.

Con las graficas de la densidad tambien se aprecia el precursor radiativo,ası como la onda de choque en los casos en los que aparece (vease figura 5.2).


5.1. GRAFICAS GENERALES

Figura 5.1: Perfil de Temperatura segun M0. Las unidades de los ejes sonadimensionales.

Aquı el salto de propiedades es mucho mas acusado y se puede apreciar elincremento de densidad tras el salto, consecuencia de la compresion adicionaltras el frente de onda. El de distribucion de densidades no varıa mucho altasvelocidades de propagacion, al contrario que con la temperatura.De estas graficas podemos sacar varias conclusiones:

En primer lugar, la estructura de la onda de choque es la esperadapara el caso de difusion de radiacion, aparece claramente el precursorradiativo, la zona de relajacion y el pico de Zel’dovich, ademas todaslas graficas obtenidas con el codigo desarrollado, incluidas las de laseccion siguiente, han sido contrastadas con las obtenidas por Lowrie yEdwards en [1], obteniendo en todos los casos resultados muy similares,por no decir identicos.

En segundo lugar, se llega a la conclusion de que el codigo funciona



Tabla 5.1: Comparacion de Temperatura (izquierda) y Temperatura de ra-diacion (derecha).

adecuadamente y los resultados que proporciona concuerdan con loque se ha visto en teorıa y en estudios anteriores.

Destacar por ultimo la variacion del grosor del precursor radiativo,que posee un crecimiento no monotono, lo cual podrıa ser objetivo deestudios posteriores.

Comentar que los resultados obtenidos con el codigo eran muy sensibles alvalor utilizado en la perturbacion de los estados de equilibrio ε, tanto queun solo valor para esta variable no era viable para obtener todas las graficascorrectas. Por poner un ejemplo, en los casos de M0 ⊆ [2, 34] es suficientecon una perturbacion con ε = 10−6 para obtener los resultados adecuados,mientras que con perturbaciones menores algunos valores de M0 empezabana dar problemas (aparicion de numeros imaginarios en los calculos, distribu-ciones no inyectivas). En cambio para los valores de M0 38, 42, 46 y 50 serequerıan valores de ε de 10−7, 10−8, 10−10 y 10−9 respectivamente.


5.2. GRAFICAS INDIVIDUALES

Figura 5.2: Perfil de Densidad segun M0. Las unidades de los ejes son adi-mensionales.

5.2. Graficas individuales

En esta seccion se presentan las distribuciones obtenidas separadas segunla velocidad de propagacion de la onda. Se aprecia con claridad como aparecela onda de choque y como va desapareciendo para ondas de mayor velocidad.En los cuadros 5.2 y 5.3 se muestran los resultados analogos a los obtenidosen [1].



Tabla 5.2: Distribuciones de temperatura, densidad y temperatura de radia-cion para M0 = 1.2, 1.4, 2 y 3 (de izquierda a derecha y empezando porarriba).


5.2. GRAFICAS INDIVIDUALES

Tabla 5.3: Distribuciones de temperatura, densidad y temperatura de radia-cion para M0 = 5, 27, 30 y 50 (de izquierda a derecha y empezando porarriba).



5.3. Analisis

De la figura 5.1 se han extraıdo los valores de temperatura maxima y detemperatura final en funcion del numero de Mach para calcular la altura delpico de temperatura restando a ambas. Esto se ha considerado necesario al

Figura 5.3: Temperatura maxima y temperatura final en funcion de M.

observar la figura 5.1 y apreciar cierta relacion entre el grosor del precursorradiativo y la altura del pico de Zel’dovich. Para el segundo, como ya se hadicho, restamos los valores correspondientes de la figura 5.3 para obtener laaltura como resta de temperaturas adimensionales (figura 5.4). Se apreciacomo aumente rapidamente con M hasta cierto valor de M0 (en torno a 15)para luego disminuir hasta desaparecer, como era de esperar, para valoresaltos de M0 (a partir de 45).Ahora, para calcular al grosor del precursor radiativo, se toma la coordenada


5.3. ANALISIS

Figura 5.4: Altura del pico de temperatura en funcion de M.

en x del primer punto cuya temperatura adimensional dista de la unidad, yse le resta al la coordenada en x de la discontinuidad del frente de onda, quesiempre es cero. De esta forma se obtiene la siguiente grafica (figura 5.5). Sepuede observar una tendencia similar en valores bajos de M0, aunque en estecaso el grosor maximo parece alcanzarse en torno a 20. Ademas la tendenciadecreciente no es tan acusada como en el caso de la altura de la punta detemperatura, ya que el precursor se estrecha pero no llega a desaparecer.



Figura 5.5: Grosor del precursor radiativo en funcion de M.

Ademas se ha colaborado con el proyecto de otro companero trabajandoen la misma area de estudio, Jorge Linde Cerezo, que ha hecho simulacionescon el software hidrodinamico del IFN, Arwen, y ha obtenido los siguientesresultados. Se han comparado los resultados obtenidos por las simulaciones demi companero con los resultados analıticos obtenidos con el codigo desarro-llado en este proyecto. Tomando una temperatura de 21 ev se comprueba enla figura 5.6 como era de esperar la presencia del pico de Zel’dovich. Ademas,cotejando estos resultados con la figura 5.3, con una temperatura en el picode 21.6 eV, graficamente se obtiene un numero de Mach inicial de 7.2, lo queimplica una velocidad del sonido de 12.78 km/s, como se pude ver en 5.7.Considerando la altura obtenida en simulaciones del pico de Zel’dovich losresultados obtenidos analıticamente de grosor del precursor en funcion dela altura del pico de temperatura no parecen discrepar de lo obtenido por


5.4. VALORACION DE IMPACTOS

Figura 5.6: Resultados de simulaciones; velocidad 92 km/s, cortes a los 9.8 y12.7 ns.

simulaciones, viendo el grosor del precursor en estas. Queda pendiente com-parar resultados mas a fondo con simulaciones similares en futuros proyectoscentrados en las ondas de choque radiativas.

5.4. Valoracion de impactos

Este trabajo de fin de grado efectos beneficiosos y/o perjudiciales, en estaseccion se evaluan dichos efectos.En primer lugar, tratandose de un proyecto de investigacion y desarrollotecnologico (I+D) produce beneficios en una sociedad que cada vez demandamas este tipo de actividades.Ademas, este TFG permite al alumno investigar sobre un campo de la cienciaespecıfico y con muchas aplicaciones en el futuro, y aplicar los conocimientosaprendidos durante el proyecto.Cabe destacar uno de los objetivos de este trabajo, que es el de proporcionaruna herramienta para futuros estudiantes que facilite su aprendizaje ası comoel proceso de comparacion y obtencion de resultados en proyectos presentesy futuros, todo esto se podrıa considerar como un impacto social beneficioso.Otra de las funcionalidades de este proyecto es la de poder comparar conotras herramientas de simulacion para encontrar errores y depurar codigos.Para terminar, el unico impacto perjudicial de este proyecto es sobre el medioambiente y de forma indirecta, por la procedencia de la energıa electrica quehace funcionar los equipos y el impacto que esto pueda suponer en el medioambiente, tanto flora y fauna como poblacion humana.



Figura 5.7: Obtencion grafica de M con los datos de las simulaciones.


5.4. VALORACION DE IMPACTOS



Capıtulo 6

Planificacion temporal ypresupuesto

En este capıtulo se muestra todo lo referente a la realizacion del proyectoen sı. Primero se tratara el desarrollo del mismo desde la primera toma decontacto con el tutor hasta la entrega de este documento, luego en la segundaparte se abordara el tema del presupuesto aproximado de este.

6.1. Desarrollo del proyecto

En esta seccion se mostrara las fases seguidas par la realizacion de estetrabajo de fin de grado ası como su ordenacion y solapamiento a lo largo deeste periodo.

6.1.1. Fases del Proyecto

El proyecto y todas las actividades llevadas a cabo durante este englobanlos sucesos acaecidos entre la primera reunion con el tutor, Don Pedro Velar-de, hasta la entrega de este documento a final del segundo cuatrimestre delcurso. Las fechas e intervalos temporales se trataran en la siguiente seccion.Se pueden diferenciar seis fases a lo largo del desarrollo de este trabajo:

Definicion y comienzo

Este proyecto surge de la idea de indagar mas en el fenomeno conoci-do como onda de choque radiativa, como ya se ha comentado antes es unfenomeno comun en astrofısica y en fusion nuclear, por lo que se han reali-zado varias investigaciones al respecto.Recogiendo el testigo de companeros mıos de este escuela que ya trabajaron


6.1. DESARROLLO DEL PROYECTO

antes en este tema, este proyecto se planteo en un primer momento paraprofundizar en estos fenomenos de relativa complejidad y ası ampliar el co-nocimiento que se tiene de estas ondas de choque y comprobar resultados deotros estudios. En el primer encuentro con el tutor se establecio una pautainicial para llevarlo a cabo, que se comenta brevemente a continuacion.

Planificacion y preparacion

Como es de esperar en estos casos, la planificacion inicial dista de lollevado a cabo a lo largo del proyecto, ya sea por conflictos de horarios,eventos externos u otras eventualidades. Aun ası, las pautas base sel proyectoacordadas al comienzo de este se conservan, siendo estas una primera etapade formacion y documentacion, una segunda etapa de trabajo y obtencion deresultados, solapada con una etapa de comprobacion paulatina de resultadosy terminando con la redaccion de este documento.

Formacion y documentacion

Durante los primeros meses el trabajo se centro en adquirir los conoci-mientos teoricos y practicos necesarios para llevar a cabo el proyecto y tratarde comprender los fenomenos fısicos estudiados aquı.

Conocimientos teoricosPara adquirir la formacion necesaria en este campo de la fısica se recu-rrio a distintos libros especializados (como [6] y [5]) ası como a publi-caciones previas sobre investigaciones llevadas a cabo en relacion conondas de choque radiativas, centrandose conforme avanzaba el proyectoen el desarrollo analıtico para la obtencion de soluciones de las ecua-ciones de equilibrio en estos casos (vease [1], [2] y [3]).

Conocimientos practicosNada mas empezar el proyecto el tutor vio necesario adquirir ciertasoltura en el manejo del lenguaje de programacion conocido como Pyt-hon, por lo que el estudio teorico inicial se fue compaginando con elaprendizaje de este lenguaje. De la misma forma, durante y hacia elfinal del proyecto ha sido necesario adquirir conocimientos de MatLab(para la elaboracion del codigo), GNUPlot (para la elaboracion de lasgraficas) y LaTeX (para la redaccion de este documento).

Programacion

Durante esta etapa se desarrollo el codigo necesario para resolver las ecua-ciones de equilibrio reteniendo los distintos terminos de radiacion y obtener



ası los resultados analıticos esperados. El trabajo llevado a cabo permitioobtener un programa que muestra los distintos parametros de una onda dechoque en funcion de la velocidad de esta y las condiciones del gas en cues-tion. Esta es la etapa mas importante y larga ya que requirio de varios mesespara afinar el codigo e ir obteniendo los resultados, eliminando errores ysolventando los problemas encontrados durante la programacion del mismo.

Comprobacion y analisis de resultados

Esta etapa se solapa con la anterior ya que los resultados obtenidos sefueron comparando con los resultados esperados conforme se iban obteniendolos primeros. El analisis de los resultados es en cierto sentido la unificaciony ampliacion de las conclusiones a las que se llegaron en estudios anteriores.

Elaboracion de la memoria

Finalmente, en los ultimos meses del curso se llevo acabo la elaboracion deeste documento con todo lo que eso conlleva, y la comprobacion intermitentejunto con el tutor en busca de errores o para implementar de mejoras y/orecursos adicionales en la redaccion del mismo.

6.1.2. Estructura temporal del proyecto

En esta seccion se presenta la organizacion del proyecto al lo largo deltiempo. Primero en la tabla que se encuentra a continuacion y luego en formade diagrama de Gantt, para apreciar el solapamiento de las distintas etapas.Las horas que se indican en dicha tabla son aproximaciones de acuerdo conel seguimiento que se ha hecho del trabajo, las fechas de sucesos concretos yuna media del tiempo dedicado a cada fase a lo largo de su duracion.

Fase Duracion Fecha de comienzo Fecha de finalizacion Carga de trabajo

Definicion y comienzo 1 hora 11/10/2017 11/10/2017 1 hora/dıa

Planificacion y preparacion 6 horas 12/10/2017 26/12/17 0.11 horas/dıa

Formacion y documentacion 160 horas 13/10/2017 24/05/18 0.9 horas/dıa

Programacion 120 horas 26/12/2017 11/06/2018 1 hora/dıa

Comprobacion y analisis de resultados 50 horas 15/01/2018 11/06/2018 0.47 horas/dıa

Elaboracion de la memoria 150 horas 6/03/2018 21/06/2018 0.52 horas/dıa

Tabla 6.1: Duracion de cada fase.


6.2. PRESUPUESTO

Figura 6.1: Captura del Diagrama de Gantt

6.2. Presupuesto

En esta seccion se presenta el presupuesto estimado del proyecto, esta-bleciendo las diferentes partidas para mostrarlo de una forma clara y los masexacta posible.En primer lugar se calcula el presupuesto asociado a las horas de trabajo dealumno y tutor, para ello se toman las siguientes estimaciones:

Se suponen unos ingresos del alumno equivalentes al de un becario, parael tutor se suponen los ingresos de un profesor, todo ello para obtenerel salario bruto.

De la tabla del apartado anterior se estiman unas 480 horas dedicadaspor parte del alumno. Para el tutor estimamos una hora de reunionsemanal de media desde octubre hasta junio, lo que supone aproxima-damente unas 40 horas, ademas del tiempo estimado en comprobacionde codigos y demas, otras 40 horas.

Sueldo Tiempo Salario total

Tutor 16.25 e/hora 80 horas 1300 eAlumno 6 e/hora 480 horas 2880 e

Tabla 6.2: Tabla de salarios estimados.

En cuanto a los recursos materiales utilizados para la realizacion de esteproyecto se estiman los siguientes parametros: una vida util de los equipos



de 5 anos, un tiempo de funcionamiento de 8 horas diarias y un valor residualdel 10 % respecto al valor de compra de estos. El coste asociado resultara derestar el valor de compra y el residual (lo que viene a ser un 90 % del valorde compra), dividirlo entre la vida util y multiplicarlo todo por el tiempo defuncionamiento. Podemos dividir los costes materiales de la siguiente forma:

Coste de los equipos informaticosEl ordenador del alumno es un LenovoTMideapadTM300, con un preciooriginal de compra de unos 440e, con 320 horas de trabajo contandoprogramacion, analisis de resultados y elaboracion de la memoria. Parael ordenador del tutor se estima un valor de compra de 2000ey 40 horasde trabajo.

Coste de licenciasTodas las licencias utilizadas son gratuitas, ya sea por contar con unalicencia academica (MatLab, Microsoft Project) o por usar software decodigo libre (LaTeX, GNUPLot).

Coste de la electricidadEl precio de la electricidad en Espana en el ano 2018 ronda en torno alos 0.121 e/kWh. Multiplicando este dato por las horas de utilizacionde los equipos informaticos y la potencia de estos (que se estima en 400W para el ordenador del tutor y 100 W para el del alumno) se obtienenlos gastos por el consumo electrico a lo largo del proyecto.

En la tabla a continuacion se muestran los costes ya calculados. Para termi-

Coste equipos Coste licencias Coste electricidad

13.61 e 0 e 5.81 e

Tabla 6.3: Costes materiales.

nar, se suman los precios de los recursos humanos y materiales y se aplica elIVA al resultado (+ 21 %) y ası se obtiene el presupuesto estimado final deeste proyecto.

Coste recursos humanos 4180 eCoste recursos materiales 19.42 e

Coste total 4199.42 eCoste total + IVA 5081.30 e

Tabla 6.4: Costes totales.


6.2. PRESUPUESTO



Apendice: Soluciones contransporte radiativo

En este capıtulo se detalla brevemente los primeros pasos a seguir pararesolver las ecuaciones de Euler con el termino de transporte radiativo, deforma que pueda retomarse la elaboracion de esta variante del codigo enfuturos proyectos relacionados.Recalcar que esta seccion es una introduccion al procedimiento utilizado en[3], el cual ha sido estudiado y se ha llevado a cabo parte de el hasta la fechade finalizacion del proyecto, por lo que no se presentan resultados de estaresolucion analıtica en el capıtulo de ’Resultados y discusion’.

6.3. Ecuaciones iniciales

6.3.1. Parametros adimensionales

Los parametros adimensionales aquı utilizados son identicos a los de sec-ciones anteriores con las excepcion de los que se detallan a continuacion.

β = u/c

ε = ε/αRT04

F = F/αRT04c

P = P/αRT04

I = I/αRT04c

Aquı P es la presion de radiacion, la constante adimensional pasa a ser P0.Ademas β es una “medida relativista”, ε es la densidad de energıa de radia-cion, F es el flujo de radiacion y I es la intensidad de la radiacion.


6.4. PRIMERA ITERACION

6.3.2. Ecuaciones de Euler

El sistema de ecuaciones adimensionales tratado en este capıtulo es elsiguiente:

∂x(ρu) = 0 (6.1)

∂x(ρu2 + p) = −P0Srp (6.2)

∂x[u(E + p)] = −P0CSre (6.3)

ρu∂xe+ p∂xu = −P0CSrie (6.4)

µ∂xI = −σtI +σs4πε+

σa4πT 4 − 2

σs4πβF+

βµ

(σtI +

3σs4π

ε+3σa4π

T 4

)+

1

π

[β2(2σs − 3σtµ

2)P]eq

(6.5)

Las fuentes de radiacion adimensionales se expresan tal que

Sre = σa(T4 − ε) + β(σa − σs)F + 4

[β2(σs − σa)P

]eq

= ∂xF (6.6)

Srp = −σtF + β(σtP + σsε+ σaT4) = ∂xP (6.7)

Srie = Sre − βSrp (6.8)

La constante adimensional toma la misma expresion que en el caso con “GreyNonequilibrium Diffusion”, la constante C es el cociente entre la velocidad dela luz y la velocidad local del sonido, y las ecuaciones de estado son identicasa las de apartados anteriores.

6.4. Primera iteracion

Como ya delata el tıtulo de este apartado, este metodo de resolucion im-plica la realizacion de iteraciones sucesivas hasta llegar a la solucion correcta,aquı se detallan las condiciones de la primera iteracion y los pasos a seguirdentro de esta.

6.4.1. Condiciones iniciales

Se empieza en el estado de equilibrio delante de la onda (subındice 0)con valores de ρ0, T0 (para definir las constante adimensional P0) y M0, asıcomo de las secciones eficaces σ. Del mismo modo, para la primera iteracionse asume un valor de 1/3 para el factor de Eddington variable (en adelanteVEF), que se expresa como f = P/ε.



6.4.2. Condiciones de salto

Aquı se utilizan las condiciones de salto de Rankine-Hugoniot para hallarlos valores de cada variable en el otro estado de equilibrio (subındice 1). Estascondiciones son

3T1ρ21 +

[γP0(T

41 − 1)− 3

(γM2

0 + 1)]ρ1 + 3γM2

0 = 0 (6.9)[6T1 − 3(γ − 1)M2

0 − 6− 8(γ − 1)P0

]ρ21 + 8(γ − 1)P0T

41 ρ1

+3(γ − 1)M20 = 0 (6.10)

Resolviendo el sistema se obtienen valores para T1 y ρ1, y de estos se sacanel resto de parametros ya que

Ieq(µ) =εeq4π

(1 + 4βeqµ) (6.11)

εeq = T 4eq (6.12)

Feq =4

3βeqT

4eq (6.13)

Peq =1

3T 4eq (6.14)

feq =1

3(6.15)

6.4.3. Perturbacion de los estados de equilibrio

Aquı se utiliza un procedimiento similar que en capıtulos anteriores paraintegrar las ecuaciones desde puntos cerca de los estados de equilibrio. Eneste caso las variables principales son M y P , y se empieza aplicando unaperturbacion tal queM0ε =M0−ε (no confundir con la densidad de energıade radiacion) y M1ε =M1 + ε, siendo ε� 1.Para hallar las perturbaciones de P se utiliza la siguiente expresion

Pi = Piε ± εdPdM|(Miε,Piε) (6.16)

donde i sera 0 o 1 y el signo de ε sera positivo o negativo respectivamente. Estoproduce dos ecuaciones de las que se obtienen los valores de P . La derivada dela presion de radiacion respecto al numero de Mach es la ecuacion diferencialque se integrara mas tarde y tiene la siguiente expresion.

dPdM

=dPdx

dx

dM=

dPdM

(M,P) (6.17)


6.4. PRIMERA ITERACION

Las expresiones de cada derivada son

dx

dM= − 2ρT

M(

2Tdρ

dx+ ρ

dT

dx

) (6.18)

dPdx

=σtM0

CP0

[T − 1

γ − 1+M2

0

2ρ2(1− ρ2) + P0

(σtP + σsε+ σaT

4

ρσt− 4

3

)](6.19)

y a su vez, las derivadas de presion y temperatura tienen la siguiente expre-sion

dρ

dx=

P0

T (M2 − 1)

[dPdx− (γ − 1)

M0

CρSrie]

(6.20)

dT

dx=

P0(γ − 1)

ρ (M2 − 1)

[Pdx− (γM2 − 1)

M0

CρSrie]

(6.21)

6.4.4. Integracion

A continuacion se integran las ecuaciones 5.17 y 5.18, en el caso del pre-cursor desde el estado (M0ε,P0ε) hasta ML = 1 + εASP , y en la zona derelajacion desde (M1ε,P1ε) hasta MR = 1 − εASP . Para hacer esto hay quetener en cuenta las siguientes expresiones, de forma que el sistema quede enfuncion de M y P .

ρ(M,P) =M2

0 (γM2 + 1)

M2 (γM20 + 1 + γP0(feq − P))

(6.22)

T (M,P) =M2

0

ρ2M2(6.23)

F = − 1

σt

dPdx

+1

σtβ(σtP + σsε+ σaT

4) (6.24)

Todas las expresiones mostradas hasta ahora vienen del sistema de ecuacionesadimensionales inicial, y este a su vez de las ecuaciones de Euler con eltermino de transporte radiativo.Una vez integradas las ecuaciones en el precursor y la zona de relajacion secomprueba si cuadran los valores de P , de no ser el caso habra una onda dechoque. A partir de la terna de valores en [M,P , x] se pueden hallar el restode propiedades.

6.4.5. Integracion de la intensidad

Ahora, para obtener las soluciones en funcion de la direccion de pro-pagacion µ se dan valores a x entre los estados de equilibrio y los estados



perturbados, y se integra desde ahı calculando primero los parametros encada nuevo punto en x.Dada una posicion cerca del estado de equilibrio tal que xε = xeq + ε, se hade resolver la ecuacion siguiente:

Im,eq = Im,ε + εdImdx|xε,Im,ε (6.25)

Desde el punto (xε, Im,ε) se integra entonces la derivada de I respecto a x,que se muestra a continuacion.

µmImdx

= −σtIm +σs4πε+

σa4πT 4 − 2

σs4πβF+

βµm

(σtIm +

3σs4π

ε+3σa4π

T 4

)+

1

π

[β2(2σs − 3σtµ

2m)P

]eq

(6.26)

Una vez se obtienen n soluciones se usa una regla de cuadratura para obtenerel resto de variables.

6.5. Resto de iteraciones

De la cuadratura anterior se obtendra un nuevo valor del VEF, que seutilizara en la siguiente iteracion en los pasos iniciales.Este metodo queda pendiente de realizar para futuros proyectos.


6.5. RESTO DE ITERACIONES



Nomenclatura

Los parametros adimensionales utilizados a partir del capitulo tres carecende unidades, en ese caso en la tabla aparecen las unidades de los parametrosde referencia (indicados con una tilde en cada capıtulo correspondiente).

Sımbolo Nombre UnidadesA numero masico, area -, m2

a0 velocidad local del sonido m/sCs velocidad local del sonido m/sc velocidad de la luz en el vacıo m/sD velocidad del frente de onda m/sE energıa total especıfica material J/m3

e energıa interna especıfica material J/m3

f factor de Eddington Variable -kB constante de Boltzmann J/Kl recorrido libre medio de una partıcula del gas o de un foton mle recorrido libre medio de un electron mli recorrido libre medio de un ion mme masa del electron kgmi masa de un ion kgmp masa del proton kgni densidad de iones m−3

p presion material barR constante del gas J/kg Kr0 radio del ion esferico mS flujo de radiacion J/m2sSe transferencia de energıa entre material y radiacion -T temperatura material KTcr temperatura crıtica KTi temperatura material en un estado de equilibrio KTε temperatura material en el estado perturbado KT0 temperatura inicial K

Sigue en la pagina siguiente.


NOMENCLATURA

Sımbolo Nombre UnidadesT1 temperatura final de equilibrio KT+ temperatura detras del frente de onda KT− temperatura delante del frente de onda Kt coordenada temporal sU, Urad densidad de energıa de radiacion J/m3

Up densidad de energıa de radiacion de equilibrio J/m3

u velocidad m/sV volumen m3

V0 volumen inicial m3

v velocidad material m/sve velocidad termica de los electrones m/sv0 velocidad material inicial m/sx coordenada espacial mxε coordenada espacial del estado perturbado mx0 grosor de la zona pre-calentada, coordenada espacial inicial mx1 coordenada espacial del estado final de equilibrio mZ numero atomico -Zi carga del ion -αR constante de radiacion kg/ms2K4

β medida relativista -γ coeficiente adiabatico -∆x grosor de la zona de relajacion mε energıa interna,densidad de energıa de radiacion, perturbacion J/m3, -η volumen especıfico relativo -η1 volumen especıfico relativo final de equilibrio -θ temperatura de radiacion Kθi temperatura de radiacion en un estado de equilibrio Kθε temperatura de radiacion en el estado perturbado Kθ0 temperatura de radiacion inicial Kθ1 temperatura de radiacion final de equilibrio Kκ difusividad radiativa -λ escala de longitud -λe escala de longitud caracterıstica de los electrones -ρ densidad material kg/m3

ρi densidad material en un estado de equilibrio kg/m3

ρε densidad material en el estado perturbado kg/m3

ρ0 densidad material inicial kg/m3

ρ1 densidad material final de equilibrio kg/m3

σ constante de Stefan-Boltzmann W/m2K4

Sigue en la pagina siguiente.



Sımbolo Nombre Unidadesσa seccion eficaz de absorcion m−1

σs seccion eficaz de dispersion m−1

σt seccion eficaz de total m−1

τe tiempo entre colisiones de electrones sτei tiempo entre colisiones de electrones con iones sχe coeficiente de transporte electronico -χi coeficiente de transporte ionico -C ratio de velocidades -F flujo de radiacion J/m2sM numero de Mach -MASP numero de Mach en el Adiabatic Sonic Point -M0 numero de Mach inicial -M1 numero de Mach final de equilibrio -P presion de radiacion J/m3

P0 constante adimensional -


NOMENCLATURA



Abreviaturas, unidades yacronimos

ASP: Adiabatic Sonic PointFCI: Fusion por Confinamiento InercialGND: Grey Nonequilibrium DiffusionHEDP: High Energy Density PhysicsIFN: Instituto de Fusion NuclearODE: Ordinary Differential Equation

bar: bar (unidad de presion)eV: electron-Voltio (unidad de energıa y de temperatura equivalente)K: Kelvin (unidad de temperatura)


ABREVIATURAS, UNIDADES Y ACRONIMOS



Glosario

A

Ablacion: procedimiento que se usa para quitar o extraer el material de lasuperficie de un solido (de manera ocasional se puede usar en lıquidos) me-diante la irradiacion de este, en este caso con un rayo laser.Apantallamiento: efecto capaz de atenuar una fuerza o interaccion (en estecaso, la fuerza o interaccion electrica).Aguas arriba/aguas abajo: cuando un fluido se mueve en una direccion,si nos referimos a un punto al que se llega siguiendo el sentido de la corriente,este punto esta guas abajo, si para llegar hay que moverse a contracorriente,este esta aguas arriba.

C

Campo Electrico: campo fısico en el que interactua la fuerza que surgeentre cargas electricas.

D

Difusividad termica: propiedad que expresa la velocidad de cambio detemperatura de un cuerpo hasta alcanzar el equilibrio.

E

Ecuacion de Estado: ecuacion que establece una relacion entre el numeromınimo de magnitudes que definen el estado de una sistema o sustancia y los


GLOSARIO

valores posibles que puede tener.Ecuaciones de Euler no-relativistas: ecuaciones de Navier-Stokes apli-cadas a fluidos ideales, en los que la viscosidad y la conductividad termicason despreciables. Ademas tampoco se tiene en cuenta efectos relativistas.Efecto Joule: fenomeno irreversible por el cual si en un conductor circulacorriente electrica, parte de la energıa cinetica de los electrones se transformaen calor debido a los choque que sufren con los atomos del material conductorpor el que circulan, elevando la temperatura del mismo.Equilibrium Diffusion Limit: lımite de estudio en el que la velocidad dela perturbacion es lo suficientemente baja como para que no aparezcan ondasde choque.Estriccion: adelgazamiento limitado a un area de una barra metalica some-tida a grandes esfuerzos de traccion, justo antes de romperse en ese punto sise hubiera continuado estirandola

F

Fusion por Confinamiento Inercial: metodo para producir la reaccion defusion que implica comprimir el combustible para alcanzar las condiciones depresion y temperatura desencadenantes de dicha reaccion.Fusion por Confinamiento Magnetico: metodo para producir la reaccionde fusion que implica encerrar un plasma a alta temperatura usando camposmagneticos, para que en su interior se desencadene la reaccion.

G

Grey Nonequilibrium Diffusion: modelo en el que la radiacion se mueve atraves del fluido por difusion, el fluido se considera un cuerpo gris (absortivi-dad de radiacion constante para todas las longitudes de onda y menor que 1).

H

High Energy Density Physics: rama de la fısica que estudia fenomenosque ocurren a altas densidades, presiones y temperaturas.



I

Ionizacion: conversion de los atomos de un compuesto en atomos cargadoselectricamente, por extraccion o adiccion de electrones.

L

Laser: del ingles Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation,dispositivo capaz de generar un haz luminoso coherente a traves de la emisionestimulada de radiacion

N

Numero de Mach: numero adimensional que representa el cociente entrela velocidad en un punto y la velocidad del sonido en ese punto.

O

Onda de choque: discontinuidad abrupta en las propiedades de un fluidoque genera un salto brusco en las propiedades de este.Onda de choque radiativa: onda de choque cuya radiacion emitida (porestar a alta temperatura) es tal que afecta a su estructura.Onda Subcrıtica: onda de choque radiativa en la que la temperatura justodelante del frente de onda es menor que la temperatura detras de la onda.Onda Supercrıtica: onda de choque radiativa en la que la temperaturajusto delante del frente de onda es igual a la temperatura detras de la onda.

P

Plasma: estado de la materia que se asemeja a un gas completamente ioni-zado.Polarizacion: es el proceso por el cual en un conjunto se establecen carac-terısticas que determinan la aparicion en el de dos o mas zonas, los polos,que se consideran opuestos respecto a una cierta propiedad, en este caso la


GLOSARIO

carga electrica.Precursor: zona de una onda de choque radiativa situada delante del frentede onda, que se encuentra precalentada debido a la radiacion emitida.Pre-shock state: estado del fluido antes de que pase la onda de choque.

R

Rayos X: radiacion electromagnetica de longitud de onda entre 0.01 y 10nanometros.Recorrido Libre Medio: distancia recorrida por una partıcula entre doscolisiones/absorciones sucesivas (dependiendo del tipo de partıcula).

S

Supernova: explosion estelar que provoca la expulsion de las capas externasde la estrella en cuestion.

U

Unshocked: fluido por el que todavıa no ha pasado la onda de choque.



Indice de figuras

1.1. FCI metodo indirecto (izquierda) y metodo directo (derecha). 13

1.2. representacion esquematica de la compresion por Z-pinch. . . . 14

1.3. A la izquierda esquema del blanco de experimentacion, a laderecha una foto del mismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Regımenes de HEDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Perfiles de temperatura ionica y electronica (lınea disconti-nua) en el frente de onda sin considerar conduccion termica-electronica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Perfiles de temperatura ionica y electronica (lınea discontinua)en el frente de onda propagandose en un plasma frıo. . . . . . 21

2.4. Perfiles de temperatura, densidad y presion en un frente deonda de no demasiada fuerza, considerando intercambio decalor por radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5. Perfiles de temperatura y densidad en un frente de onda degran intensidad, teniendo en cuenta el intercambio de calor porradiacion. La lınea discontinua corresponde a la aproximacionde conduccion de calor por radiacion (salto isotermico, ver [6]). 25

2.6. Diagramas T, S y η, S para una onda de choque, considerandointercambio de calor por radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7. Diagrama p, η para una onda de choque, considerando inter-cambio de calor por radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8. Dependencia de la temperatura de brillo en la superficie de unfrente de onda de choque en aire con la verdadera temperaturatras el frente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1. Esquema del grafico presentado en [1], que compara M0 conM1 y el Mach justo detras de la onda (MS) . . . . . . . . . . . 42

5.1. Perfil de Temperatura segun M0. Las unidades de los ejes sonadimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


INDICE DE FIGURAS

5.2. Perfil de Densidad segun M0. Las unidades de los ejes sonadimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3. Temperatura maxima y temperatura final en funcion de M. . . 555.4. Altura del pico de temperatura en funcion de M. . . . . . . . . 565.5. Grosor del precursor radiativo en funcion de M. . . . . . . . . 575.6. Resultados de simulaciones; velocidad 92 km/s, cortes a los

9.8 y 12.7 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.7. Obtencion grafica de M con los datos de las simulaciones. . . . 59

6.1. Captura del Diagrama de Gantt . . . . . . . . . . . . . . . . . 64



Indice de tablas

5.1. Comparacion de Temperatura (izquierda) y Temperatura deradiacion (derecha). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2. Distribuciones de temperatura, densidad y temperatura de ra-diacion para M0 = 1.2, 1.4, 2 y 3 (de izquierda a derecha yempezando por arriba). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3. Distribuciones de temperatura, densidad y temperatura de ra-diacion para M0 = 5, 27, 30 y 50 (de izquierda a derecha yempezando por arriba). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.1. Duracion de cada fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2. Tabla de salarios estimados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3. Costes materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.4. Costes totales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65


INDICE DE TABLAS



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estudio analitico de ondas de choque …oa.upm.es/51819/1/tfg_alejandro_sanchez_luis.pdfestudio...

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