estructuras aeronáuticas (upm)

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros Aeronuticos

Universidad Politcnica de Madrid

Estructuras Aeronuticas

Curso 2012-2013

Jaime Beneyto Gmez de Barreda

Asignatura: ESTRUCTURAS AERONAUTICAS Cdigo: 4111

Curso 4 N de Crditos 4.5 Tipo: Prcticas (laboratorio, taller, etc.): NO Semestre 1 Horas Semanales 3

Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad. Sistemas estticamente y cinemticamente consistentes. Principios de los desplazamientos virtuales y de las fuerzas virtuales. Mtodo de la carga unitaria. Introduccin a las estructuras de pared delgada. Materiales usados en las estructuras aeronuticas.

Propiedades. Configuracin estructural. Superficies sustentadoras, fuselaje, plantas de potencia, trenes de aterrizaje.

Uniones estructurales. Solicitaciones en estructuras aeronuticas. Requisitos estructurales. Teoras elementales en estructuras de pared delgada. Flexin. Relaciones generales entre corrimientos, deformaciones y esfuerzos. Cortadura en tubos abiertos. Centro de cortadura. Cortadura en tubos cerrados unicelulares. Torsin en tubos cerrados unicelulares. Torsin en tubos abiertos con alabeamiento libre. Idealizacin mediante cordones y paneles de chapa en cortadura. Deflexiones en tubos abiertos y cerrados. Torsin en tubos cerrados multicelulares. Cortadura en tubos cerrados multicelulares. Torsin en tubos abiertos con alabeamiento impedido. Teora de Wagner. Pandeo flexin-torsin en tubos abiertos. Tubos cerrados con alabeamiento impedido. Seccin de empotramiento. Solucin general en el caso de

torsin. Retardo en cortadura. Tensin diagonal en paneles planos. Determinacin de esfuerzos admisibles. Inestabilidad general de columnas y paneles rigidizados.

Inestabilidades de chapas. Inestabilidad local de perfiles. Crippling. Herrajes y uniones remachadas. Fatiga. Fatiga de bajos y altos ciclos. Materiales. Anlisis de fatiga en estructuras aeronuticas. Misiones. Espectros de carga. Mtodo "Rainflow". Tolerancia al dao en estructuras aeronuticas. Mecnica de fractura. Factores de intensidad de esfuerzos. Determinacin de crecimiento de grieta y tamao crtico.

Curso 09/10

BIBLIOGRAFIA:

T.H.G. Megson. Aircraft Structures for Engineering Students. Edward Arnold. R.M. Rivello. Theory and Analysis of Flight Structures. Mc Graw-Hill. D.J. Peery, J.J. Azar. Aircraft Structures. Mc Graw-Hill. E.F. Bruhn. Analysis & Design of Flight Vehicle Structures. S.R. Jacobs & Associates, Inc. H. Becker, G. Gerard. Handbook of Structural Stability NACA TN 3781 a 3786.

Curso 09/10

Asignatura(s) soporte(s): MECANICA DE SOLIDOS Y TEORIA DE ESTRUCTURAS

TRONCAL

ORIENTACIONES SOBRE EL EXAMEN El examen constar de dos partes:

a) Ejercicios terico prcticos o de teora b) Ejercicios de aplicacin o problemas

Esta distincin es a veces meramente formal, ya que en los ejercicios terico-prcticos habitualmente hay que realizar algn tipo de clculo y en los problemas han de aplicarse adecuadamente los conceptos tericos estudiados. Todos los ejercicios se corregirn automticamente mediante hojas de lectora ptica.

a) Ejercicios terico prcticos o de teora - Son preguntas sobre diversos conceptos del comportamiento estructural y/o su aplicacin directa o inmediata. Pueden llevar aparejado algn tipo de desarrollo analtico o clculo numrico, aunque sea reducido. - Preferentemente la formulacin de estas preguntas ser en formato test de tipo multi-respuesta, es decir, se debe elegir una respuesta entre varias ofrecidas. - Ejemplos de este tipo de ejercicios pueden encontrarse en el Moodle, en los ficheros de nombre AerTxx*.pdf, agrupados por temas para ayudar a la preparacin del examen. En los ficheros asociados correspondientes se dan los resultados, aunque no el proceso para obtenerlos, pues se pretende que se desarrollen personalmente. - Cada uno de estos ejercicios recopilados puede ser objeto de varias cuestiones o apartados. En el examen el nmero total de este tipo de cuestiones puede variar entre 10 y 25, dependiendo del tiempo necesario para su desarrollo. - Para la contestacin de estas preguntas no se podr utilizar en el examen ningn tipo de apuntes o ayuda, solamente una calculadora numrica. - El tiempo total para realizar esta parte se estima entre hora y media y dos horas.

b) Ejercicios de aplicacin o problemas - El objetivo de estos ejercicios prcticos es evaluar la capacidad para resolver diferentes tipos de elementos estructurales aplicando las teoras estudiadas durante el curso. - Ejemplos tpicos de configuraciones estructurales y soluciones solicitadas se han desarrollado en las clases prcticas durante el curso y estn recogidos en los apuntes editados y ejercicios publicados en el Moodle. - Las preguntas planteadas debern contestarse en una plantilla apta para lectora ptica y correccin automtica. - Las contestaciones solicitadas sern tanto de tipo multi-respuesta (eleccin de una entre varias) como de respuesta calculada (valor de un determinado parmetro). Por lo tanto, para resolver positivamente una cuestin, ser necesario tanto seguir el procedimiento adecuado como obtener el resultado correctamente.

- Para minimizar la dependencia de resultados previos y/o concatenacin de errores de clculo, los ejercicios se estructurarn en distintos apartados, cuya puntuacin relativa ser proporcional al volumen de trabajo o de clculo necesarios y a las adecuadas decisiones que han de tomarse para la resolucin de la estructura. - Para resolver estos ejercicios se deber disponer de una calculadora numrica. - Para esta parte puede utilizarse una nica hoja A-4 de ayuda - chuleta, con las caractersticas siguientes:

Debe estar claramente identificada con el nombre del propietario. Debe estar manuscrita personalmente (no fotocopiada o reutilizada de otro alumno). Podr recoger cualquier tipo de frmula, esquema, resumen o indicacin que se estime

oportuna (no una mera copia de problemas anteriores resueltos). - El tiempo total para realizar esta parte se estima entre hora y media y dos horas. CALIFICACIONES - Cada parte se calificar de manera independiente. Su peso relativo en la calificacin del examen puede variar en funcin de los contenidos de los ejercicios. El rango de esta variacin para una parte estar entre el 40% y el 60% de la nota del examen. Este porcentaje se comunicar en el examen. HORARIO PREVISTO - El examen est convocado para las 9:00 h. - Aulas de exmenes del edificio principal ETSIA E1 y E2 - Se realizar primero la parte correspondiente a problemas. - Despus de un descanso se realizar la otra parte.

ESTRUCTURAS AERONUTICAS 1.1- Introduccin 1.- Se sabe que la chapa plana cuadrada de espesor t representada en la primera figura, simplemente apoyada en sus bordes, pandea cuando se aplica una carga total de compresin de valor Pcr. Se pide determinar las cargas de pandeo para los otros dos casos representados: 2) Se incorpora un apoyo simple en la direccin de la carga, que reduce a la mitad la longitud transversal del panel, manteniendo el espesor de la chapa, y 3) En estas ltimas condiciones se reduce el espesor a la mitad.

1

1

cr

crP

2 1

2 1

cr cr

cr crP P

=

=

3 1

3 1

cr cr

cr crP P

=

=

2.- Identificar los elementos constituyentes de una configuracin estructural semimonocasco. Indicar esquemticamente qu funciones cumplen y el tipo de esfuerzos que soportan principalmente. 3.- Definir las magnitudes resistencia y rigidez especficas de un material y argumentar en qu situaciones es conveniente elegir materiales con valores elevados de dichos parmetros. 4.- En un determinado elemento estructural, fabricado con aleacin de aluminio 7075 y sometido a una carga P, se mide un desplazamiento en el punto de aplicacin de la carga de 6 mm. Se pide estimar el desplazamiento que puede esperarse si se sustituye dicho elemento por otro de acero (AISI 4340) o de titanio (Ti 6Al 4V), suponiendo que trabajan en las mismas condiciones. Si en el primer elemento de aleacin de aluminio se alcanza el agotamiento de la resistencia del material a traccin para una carga P=10.000 N A qu carga fallaran los elementos de acero y de titanio en las mismas condiciones?

Desplazamientos: rotura (MPa) Cargas rotura: Al-Zn-Mg-Cu 7075: 6 mm P = 10.000 N

Acero AISI: P =

Ti 6Al 4V: P = 5.- La figura representa la relacin entre esfuerzos y deformaciones obtenida del ensayo de una aleacin. Se supone que la zona plstica puede ajustarse mediante la expresin de Ramsberg Osgood, que se da a continuacin. Se pide determinar los valores aproximados de los 3 parmetros de la expresin. Para el valor de n se utilizar el 0,85.

0,7

0,7 0,7

3

7

n

E

= +

P

4

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5

0 2 4 6a/b

kc

500 (MPa)

(%) 21

400

300

200

100

t = t2 1 3 1t = t /2

EsAer. Introduccin. 2/2

De acuerdo con la frmula de Ramsberg Osgood, la relacin esfuerzos deformaciones de un material viene dada por:

0,7

0,7 0,7

3

7

n

E

= +

6.- Calcular en funcin de la relacin ET/E en donde ET es el mdulo de elasticidad tangente del material. 7.- Calcular en funcin de la relacin Es/E, en donde Es es el mdulo de elasticidad secante del material. 8.- Qu es, en el caso ms general, el factor de carga de un avin?. Cul es su utilidad? 9.- Si el motor de un avin comercial tiene una masa de 2000 Kg y en su centro de gravedad se mide un factor de carga

1,5 0, 2 2n i j k= + +

, calcular (en Newtons) las componentes Fx, Fy, Fz de la resultante de las fuerzas de inercia y peso

asociadas a dicho motor (supngase g = 10 m/s2) 10.- Definir cargas lmite y cargas ltimas para un avin. Criterios de resistencia y rigidez que se utilizan en la certificacin de la estructura. 11.- Qu se entiende por ancho efectivo de un panel? Porqu en determinadas circunstancias un panel de chapa simplemente apoyado en sus bordes puede soportar cargas de compresin superiores a las de pandeo?

ESTRUCTURAS AERONUTICAS 1.1- Introduccin Resultados de los ejercicios propuestos 1.-

2

2 2 1

1 1 2

4cr

cr

t b

t b

= =

31

1cr

cr

=

2 2 2 2

1 1 1 1

2 4

cr cr

cr cr

P b t

P b t

= =

31

1

2cr

cr

P

P=

2.- Apuntes 1.3. 3.- Apuntes 1.4. 4.- Utilizando la tabla de propiedades de Apuntes 1.4:

dAISI = 2 mm PAISI = 36.000 N dTi = 3,8 mm PTi = 20.000 N

5.-

50062500

0,8%E MPa= =

0,7 440 MPa

0,85 375MPa

log(17 / 7)1 6,55

log(440 / 375)n = + =

6.-

1

0,7

31

7

n

T

E En

E d d

= = +

7.-

1

0,7

31

7

n

S

E E

E

= = +

8.- Apuntes 1.5.3. 9.- Fx = -30000 N; Fy = -4000 N; Fz = -40000 N. 10.- Apuntes 1.6.3. 11.- Apuntes 4.2.

ESTRUCTURAS AERONUTICAS 2.1- Anlisis de estructuras monocasco. Relaciones generales. 1.- En el anlisis de tubos de pared delgada, el corrimiento de un punto arbitrario de la lnea media se define mediante las componentes vt(z,s), vn(z,s) y w(z,s). Para el movimiento de la seccin en su plano se toma como referencia un punto arbitrario O1, que tiene una traslacin u1(z),v1(z), siendo (z) el giro de la seccin. Se piden las expresiones de vt y vn para una seccin en la que hay un elemento transversal rgido en su plano y para otra en la que no hay (seccin quasi-rgida). Se pide tambin expresar, en funcin de vt(z,s), vn(z,s), w(z,s) y sus derivadas, las deformaciones z, t y para un elemento diferencial de chapa. 2.- La figura muestra la seccin transversal de un tubo de pared delgada, indeformable en su plano. Se toma como referencia para el movimiento de la seccin en su plano el punto O1, que tiene una traslacin u1(z), v1(z), siendo (z) el giro de la seccin. Se toma A como origen de la medida de arcos en sentido contrario a las agujas del reloj. Se pide calcular las componentes vt(z,s), vn(z,s) del corrimiento de un punto

arbitrario M situado en el lado AB y la componente de la deformacin t ntv v

s

=

.

3.- La figura muestra la lnea media de un tubo de pared delgada (circunferencia de centro C y radio R), en la que se define el origen de arcos O y el sentido positivo para medir los arcos. Un punto arbitrario M queda definido por el ngulo . Considerando como punto de referencia el O1 indicado en la figura, se pide calcular y representar la funcin rt1(). 4.- En la determinacin de los corrimientos paralelos al eje longitudinal de un tubo al integrar la expresin:

tvq w

G t s z

= = +

se obtiene: ( ) ( )0 1 0 1 0 10 0

s s

t

qw w ds u x x v y y r ds

G t =

Utilizando esta informacin, se pide calcular el ngulo girado por unidad de longitud en el caso de un tubo cerrado unicelular. 5.- El alabeamiento unitario wa1 viene dado por la relacin:

1 1 10 0

1s sa t t

Aw r ds r ds dA

A

=

Calcular el alabeamiento unitario de los puntos A, B, O1, B y A de la seccin mostrada en la figura.

a

2a A

BC

Ma

s

O1 u1

v1

M

OO1

R

C

R

AB

B'

A'

O1

a

a

t

EsAer. Monocasco. Relaciones generales. 2/2

6.- En las frmulas que permiten calcular los corrimientos vt(s,z), vn(s,z), w(s,z), la magnitud rt1(s) lleva asociado un signo. Cuando la lnea media representada en la figura se recorre desde A a D, indicar el signo de rt1(s) en los distintos tramos. Calcular la funcin de alabeamiento unitario wa1(s). 7.- La seccin cerrada unicelular de la figura se recorre en el orden ABCDA. Se pide calcular en funcin de , s1, s2, s3 el parmetro rt1 (origen O1) y

comprobar que la integral : dsrt1 coincide con el doble del rea encerrada por la clula 8.- La lnea media de un tubo de pared delgada es la circunferencia de centro O y radio a mostrada en la figura, en la que se define el punto A como origen de la medida de arcos en sentido contrario a las agujas del reloj. La posicin de un punto arbitrario en la circunferencia queda definida por el ngulo . Sabiendo que las secciones transversales del tubo, indeformables en su plano, giran alrededor del punto O1 un ngulo definido por la funcin (z), se pide calcular las componentes vt(z,), vn(z,) del corrimiento del

punto M y la componente t ntv v

s

=

de la deformacin.

9.- El alabeamiento unitario wa1 viene dado por la relacin:

dAdsrA

dsrws

A

s

tta

= 0 0 111

1

Calcular el alabeamiento unitario de la seccin mostrada en la figura, una vez seleccionado arbitrariamente el punto de referencia O1. 10.- El alabeamiento unitario wa1 viene dado por la expresin:

dAdsrA

dsrws

A

s

tta

= 0 0 111

1

Calcular el alabeamiento unitario de la seccin mostrada en la figura, tomando como referencia el punto O1. Se sugiere utilizar parmetros angulares (). Se pide expresar el valor de la diferencia de los alabeamientos wB- wA.

A

O

B

1

r

h/2

h

h/2AB

CD

O1u1

v1

t

a

2a

O1

A

B C

D

s1s2

s3

vn

vt

A(z)O1

a a

a a

2a

A B C

A' B' C'

ESTRUCTURAS AERONUTICAS 2.1- Anlisis de estructuras monocasco. Relaciones generales. Resultados de los ejercicios propuestos 1.- Apuntes 2.4 2.- ( ) ( )1 2 tv v z a z= + ( ) ( )1 nv u z s z= +

1

0 0tu s

+= =

3.- ( )1 1 2 costr R = +

4.- Apuntes 2.6. 1

2

q ds

S G t =

5.- 21,a Aw a=

21, 'a Aw a= +

1, 1, 1 1, ' 0a B a O a Bw w w= = =

6.- AB: + ; BO1C: 0 ; CD: -

AB: 2

1 1

3

2 16ah h

w s=

BO1C: 2

1 16ah

w =

CD: 2

1 316 2ah h

w s=

7.- AB: 1tr a=+ 2

1

B

tA

r ds a = + BC: 1tr a=

21 2

C

tB

r ds a = CD: 1 2tr a=

21 4

D

tC

r ds a = DA: 1tr a=

21 2

A

tD

r ds a = ( ) 21 8tr ds a = rea: ( ) 24 2A a=

8.- ( ) ( )1 cos tv a z = + ( ) nv a sen z =

( ) ( )1 0t ntv v

sen z sen za a

= = + =

9.- Punto de referencia O1: el centro del BB. Variacin lineal del alabeamiento.

21,a Cw a= 1, 0a Bw =

21,a Aw a= +

21, 'a Aw a= 1, ' 0a Bw =

21, 'a Cw a= +

10.- Arco AO1: 1 cos (1 cos )tr r r r = + = +

210 0

( ) (1 cos ) ( )s

tI s r ds r r d r sen

= = + = + Valor medio: 2( )I r =

Diferencia de alabeamiento: 22B Aw w r =

ESTRUCTURAS AERONUTICAS. 2.2- Anlisis de estructuras monocasco. Flexin. 1.- La figura muestra la seccin transversal de una viga de pared delgada de espesor uniforme t sometida al momento flector M que se indica. Determinar la situacin de la lnea neutra. 2.- La figura muestra la seccin transversal de una viga de pared delgada sometida a un momento flector de eje horizontal Mx. Calcular los esfuerzos normales z en los puntos A, B y C. 3.- La figura muestra la seccin transversal de un tubo rectangular de pared delgada, de lados a, y 2a y espesor uniforme t. La seccin est sometida a un momento flector de valor M, cuyo eje forma un ngulo de 45 con la horizontal. Se pide determinar el valor del mximo esfuerzo de traccin y sealar dnde se produce. 4.- La figura muestra la seccin transversal de una viga de pared delgada, formada por tres segmentos de longitud a, espesor t, formando entre s ngulos de 120, sobre la que acta un momento flector M indicado. Calcular

los momentos flectores equivalentes yx MM , e indicar los puntos donde

aparecen los esfuerzos normales z mximo y mnimo 5.- La lnea media de un tubo de pared delgada, de espesor t, tiene la forma y las dimensiones indicadas en la figura. Se pide determinar la posicin de la lnea neutra cuando se aplica un momento flector horizontal Mx.

2a

2a

2a

y

x

M45o

45o

M

2a

a

t

t

M

A

B C

x

y

O

45o

2a

2a

a

xM

aA B C

D E

t

A

BC

a

at

t

Mx

EsAer. Monocasco. Flexin 2/2

6.- La figura muestra la lnea media de un larguerillo de pared delgada sometido nicamente a momentos flectores M y M. Se sabe que la lnea neutra es normal al eje y que en el punto C aparece un esfuerzo normal . Se pide definir claramente la posicin de la lnea neutra, determinar el esfuerzo existente en el punto A, comprobar que la resultante del campo de esfuerzos normales es nula y obtener los momentos flectores M y M aplicados. 7.- La figura muestra las dimensiones de la seccin transversal de una viga de pared delgada de espesor constante t sometida a un momento flector de eje horizontal Mx. Calcular los esfuerzos normales mximos y mnimos, indicando dnde se producen. 8.- Calcular los esfuerzos normales mximos (positivo y negativo) que se presentan en la viga empotrada de longitud 2L de la figura, sometida a una carga uniformemente distribuida q aplicada en la semilongitud L. La seccin es de pared delgada en rombo con las dimensiones y espesores dados. 9.- Calcular los esfuerzos normales mximos (positivo y negativo) que se presentan en la viga doblemente apoyada de longitud 20a de la figura, sometida a la carga vertical P. La seccin es de pared delgada en forma de A, de espesor constante t y todos los paneles de longitud a. 10.- Calcular los esfuerzos normales mximos (positivo y negativo) en la viga empotrada de longitud 9a de la figura, sometida a dos cargas Q, horizontal y vertical, en el extremo libre. La seccin es un tringulo equiltero de pared delgada de lado 2a y espesor constante t. 11.- Calcular los esfuerzos normales mximos (positivo y negativo) que se presentan en la viga empotrada de longitud L=10a de la figura, sometida a dos cargas de valor 3Q y Q en el extremo. La seccin es de pared delgada con las dimensiones y espesores dados.

aa

aa2a

t Mx

a

a

t

t

60o

2t

2tLL

q

10 a 10 aP

a aa

a a

t

2a 2a

t

t t

9aQ

Q

L=10a

2a

4at

t2at

3Q

Q

a

a

AB

C

tt

ESTRUCTURAS AERONUTICAS. 2.2- Anlisis de estructuras monocasco. Flexin. Resultados de los ejercicios propuestos 1.- LN: 3.5y x=

2.- , 29

2x

z A

M

a t = , 2

6

2x

z B

M

a t = , 2

3

2x

z C

M

a t =

3.- 2 2

2 510,515

2 70x x

z

M M

a t a t = = En la esquina superior izquierda

4.- 2

2x xM M M= =

2

2y yM M M= =

Esfuerzo (z)max en C. Esfuerzo (z)min en A. 5.- Posicin de G: (a/3, a) respecto a B.

LN: 3

4y x=

6.- 3A

= 25

18

M a t = 23

18M a t =

7.- ,max 257

35x

z

M

a t = ,min 2

57

35x

z

M

a t =

8.- 2

,max 2

3

2zqL

a t =

9.- ,max5 3

2zP

at =

10.- ,max 3 3zQ

at = + ,min

9 31

2 3zQ

at

= +

11.- ,max 6zQ

at = + ,min 6,75z

Q

at =

ESTRUCTURAS AERONUTICAS. 2.3- Anlisis de estructuras monocasco. Torsin. 1.- En un tubo abierto de pared delgada sometido a un momento torsor T, las componentes zt y zn del esfuerzo cortante son:

2

0zt

zn

G n

=

=, en donde se determina a partir de la rigidez a

torsin GJ, siendo 31

3 L

J t ds= . Sobre una viga de acero (G=70000 MPa) de 700 mm de longitud, cuya seccin transversal es la mostrada en la figura, acta un momento torsor T=1 Nm. Calcular la rigidez a torsin GJ, el ngulo girado por un extremo con respecto al otro y el mximo esfuerzo cortante en la viga. 2.- Se dispone de un tubo circular de pared delgada de longitud L y radio R=20t, siendo t el espesor del mismo. Otro tubo igual se abre a lo largo de una generatriz y se someten ambos a pares de torsin T aplicados en las secciones extremas. Expresar las relaciones que hay entre los giros de las secciones extremas, los esfuerzos y el alabeamiento de ambos tubos (seccin cerrada y seccin abierta). 3.- La figura muestra la seccin transversal de un tubo circular de radio a, espesor t, complementado con los paneles diametrales de espesor 2t el vertical y 3t el horizontal. Todos los paneles poseen el mismo mdulo de elasticidad en cortadura G. Calcular la rigidez a torsin GJ del tubo y la distribucin de flujos cortantes. 4.- Sabiendo que en un tubo cerrado unicelular sometido a un momento torsor T, el corrimiento paralelo al eje longitudinal del

tubo es: 6 1 3 w C C x C y= +

en donde: 10 0

2

s s

tref eq ref

T ds Tr ds

S G t G J =

es el denominado corrimiento de alabeamiento, se pide deducir la condicin geomtrica que debe cumplir el tubo para que el corrimiento sea constante a lo largo de la lnea media. 5.- La figura muestra las dimensiones de la seccin transversal de una viga de pared delgada, de longitud L=0,5 m. Est sometida a un momento torsor T=18 Nm, siendo G=30000 MPa. Se pide determinar la rigidez a torsin GJ, el ngulo girado por un extremo respecto al otro y el valor del mximo esfuerzo cortante.

100 mm

100 mm

100 mm

t=1 mm

a

2t

3t2t

3t

t

100 mm

100 mm

200 mm

1 mm

2 mm1 mm

T = 18 Nm

T

T

EsAer. Monocasco. Torsin 2/3

b

a

O1 x

yA

BC

D E

F

6.- La figura muestra un tubo cerrado rectangular de base 2a y altura a formado por chapa de espesor t. Se pide calcular la distribucin de alabeamiento unitario wa1, cuando el punto de referencia O1 coincide con el vrtice B. 7.- Determinar la constante de rigidez a torsin J de la seccin de pared delgada de la figura, que consta de tres hexgonos regulares de lado a, con todos los espesores contantes de valor t. Calcular la distribucin de flujos cortantes. 8.- Corrimientos en tubos cerrados unicelulares sometidos a torsin. (Expresar la solucin en funcin de x, y, z, T, Gref, J, wa1, wq y de las constantes de integracin adecuadas). 9.- El tubo abierto, de longitud L, mostrado en la figura, de espesor constante t, est sometido a un momento torsor uniforme T. Para inmovilizar dicho tubo se imponen las ligaduras siguientes: En z = 0: uD = vD = vB = wD = 0 En z = L: vD = uE = 0 Se pide calcular el corrimiento de alabeamiento unitario wa1, y el punto alrededor del cual gira la seccin z = L 10.- En la figura se representan las dimensiones y espesores de dos secciones rectangulares, una abierta y la otra cerrada. Se pide determinar la rigidez a torsin J y el esfuerzo cortante mximo en cada una de ellas sometidas a un momento torsor T.

t

2t 2t

t2a

aa

a

t

a

2a

t

2t 2t

ta

2a

a

2a

at

A

CD

B=O= 1

a

a

a

T

t

EsAer. Monocasco. Torsin 3/3

11.- El alabeamiento en tubos cerrados unicelulares sometidos a torsin puede determinarse mediante la relacin dada. Se pide calcular el corrimiento de alabeamiento en la seccin cuadrada regular de lado 2a y espesores de los paneles horizontales 2t y de los verticales t. Todas las chapas son de la misma aleacin. Definir claramente los elementos geomtricos que se eligen para la aplicacin de la frmula.

10 0

12

s s

teq

Cref eqt

CC eq

dsr dstT ds

dsS G t r dst

=

12.- Se tienen dos tubos de seccin hexagonal regular de lado a, con los espesores mostrados en la figura, uno cerrado y el otro abierto a lo largo de la generatriz P, sometidos a un momento torsor de valor T. Determinar para cada uno de ellos las constantes de rigidez a torsin J y los esfuerzos cortantes mximos, indicando dnde se presentan. 13.- El alabeamiento en tubos cerrados unicelulares sometidos a torsin puede determinarse mediante la relacin dada. Se pide calcular el corrimiento de alabeamiento en una seccin hexagonal regular de lado a para chapas de la misma aleacin. Definir claramente los elementos geomtricos que se eligen para la aplicacin de la frmula.

10 0

12

s s

teq

Cref eqt

CC eq

dsr dstT ds

dsS G t r dst

=

14.- Se considera el perfil cruciforme indicado en la figura, cuya longitud es L=1 m, sobre el que acta un momento torsor T=24 Nm. Sabiendo que G=100.000 MPa y que el alabeamiento puede desarrollarse libremente, se pide: calcular la rigidez a torsin GJ, el mximo esfuerzo cortante y el ngulo girado por un extremo con respecto al otro. 15.- Determinar la rigidez a torsin de la seccin tricelular de la figura, que consta de una clula central de seccin 2a*a, de espesor constante t y mdulo G2=3G, y 6 paneles exteriores cerrando dos clulas adicionales, de longitud a, espesor 2t y mdulo G.

T

ta

at

2t

3t

3t

2t

PT

ta

at

2t

3t

3t

2t

G

a a2a

at

t2t 2t

t2tt

2t

G =3G2 G

2t

t2a2a

t

2a

2t2a

ta

at

2t

3t

3t

2t

50 mm4 mm

2 mm

2 mm

4 mm

50 mm50 mm 50 mm

ESTRUCTURAS AERONUTICAS. 2.3- Anlisis de estructuras monocasco. Torsin. Resultados de los ejercicios propuestos 1.- GJ=7106 Nmm2

=0,1 rad. =10 MPa

2.- 1200a

c

= 60ac

= ( )( )

1

1

0a c

a a

w

w=

3.- 32GJ Ga t= 2/ 2q T a= (p. curvos) 0q = (p. rectos) 4.- 1t eqr t Cte= (Apuntes 2.8.4)

5.- GJ=1,8107 Nmm2

=0,5 rad. =60 MPa

6.- ( ) 2113

6a BCw a

=

( ) 2 2113

6a CDs

w aa

= +

( ) 2 311

26a DA

sw a

a = +

( ) 2111

6a ABw a

= +

7.- 381

4J a t=

29 3

Tq

a= (ext.) 0q = (int.)

8.- Apuntes 2.8.4 9.- wa1: Apuntes 2.8.2. Punto D

10.- 320

3aJ a t= max, 2

3

10aT

a t =

316

5cJ a t= max, 2

1

4cT

a t =

11.- 11

32

T

G at =

12.- 381

11cJ a t= max, 2

3

9cT

a t =

324aJ a t= max, 21

8aT

a t =

13.- 1 4 0 = = 2 67 11 3

66 27

T

G at = = 3 5

5 11 3

66 27

T

G at = =

(Vrtices: sentido antihorario) 14.- GJ=2,4108 Nmm2

=0,1 rad. =40 MPa

15.- 3504

31J a t=

ESTRUCTURAS AERONUTICAS. 2.4- Anlisis de estructuras monocasco. Cortadura 1.- La figura representa la seccin transversal de una viga de pared delgada de espesor t, sometida a una fuerza cortante de componentes segn los ejes Sx y Sy, aplicada en su centro de cortadura. A partir de la ecuacin de equilibrio de un elemento diferencial de chapa, que se da a continuacin, se pide deducir la expresin para calcular el flujo cortante q(s) en un punto genrico definido por la coordenada s.

( )0z M

qt

s z

+ =

2.- A partir de las acciones indicadas en el esquema, se pide completar las expresiones siguientes:

xdM

dz=

ydM

dz=

yx

dMS

dz= =

xy

dMS

dz= =

3.- Determinar el centro de cortadura de una seccin de pared delgada de espesor t formada por cuatro lados de un hexgono regular de lado a. 4.- La figura muestra la seccin transversal de una viga de pared delgada formada por chapa trabajante de espesor t y mdulo de elasticidad en cortadura G. Se pide determinar la posicin del centro de cortadura. 5.- Calcular el mximo esfuerzo cortante en la viga de la figura, sometida a la carga vertical P, indicando dnde se produce. La seccin es un tubo circular de pared delgada de radio a y espesor t constante.

Sx

Sy

MyMx

z

x

y

a

a

P

L

Sy

Sx

G x

y

q(s)

s

a

AB

C

D

a

E

O

ESTRUCTURAS AERONUTICAS. 2.4- Anlisis de estructuras monocasco. Cortadura Resultados de los ejercicios propuestos 1.- Apuntes 2.9.1 2.- Apuntes B.3

3.- 3

8d a= (Izqda. vrtice central)

4.- ( )2 14

d a+

=+

(Dcha. de 0)

5.- max3

2tor corP

rt

= + = (Generatriz de aplicacin de carga)

CORTADURA EN SECCIONES ABIERTAS - Ejercicios

Determinar la distribucin de flujos cortantes debidos a fuerzas vertical y horizontal aplicadas en el centro de cortadura

Determinar la posicin del centro de cortadura

Ej. Cortadura en secciones abiertas 2 / 3

Ej. Cortadura en secciones abiertas 3 / 3

Estructuras Aeronuticas Q1 - 1

Y

X

Z

GpyzpyQ

QzQx

px

Y

X

Z

G

1

G

E

P

T

MxMy

Sx

Sy

CLCULO DE CORRIMIENTOS EN VIGAS PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES

{ } { }tV S V

W u dV u dS dV + = MTODO DE LA CARGA UNITARIA

{} campo de deformaciones REALES: solicitaciones reales de la estructura TOTALES: deformaciones mecnicas + trmicas: {}={}+{} {}: campo de esfuerzos VIRTUALES: arbitrarios, para el caso de carga unitaria

EN EQUILIBRIO: sistema estticamente consistente, no necesariamente cumple todas las condiciones de compatibilidad de desplazamientos.

ESTADO REAL: Axial: P(z) Flexin: Mx(z), My(z) Torsin: T(z) Cortadura: Sx(z), Sy(z) ESTADO VIRTUAL: Axial: P(z) Flexin: Mx(z), My(z) Torsin: T(z) Cortadura: Sx(z), Sy(z)

{ } { }'tV

u dV =

EJES Gxyz T(z) en E

Estructuras Aeronuticas Q1 - 2

G

ET Sx

Sy

G

E

Sx

Sy

Mz

( )xe , ye

CONTRIBUCIN DE LAS DEFORMACIONES NORMALES

Carga axial y momentos de flexin. Campo de esfuerzos y deformaciones reales: Campo de esfuerzos virtual:

yxz

x y

MP My x

A I I = + + zz E

= yxzx y

MP My x

A I I

= + +

dzIIIE

MMMM

IE

MM

IE

MM

AE

PPLzz

xyyx

xyyx

y

yy

x

xx

++++=

=

=0 /

'''''

CONTRIBUCIN DE LAS DEFORMACIONES CORTANTES

Fuerzas cortantes y momento torsor: esfuerzos y deformaciones cortantes Caso real: Sx(z), Sy(z), T(z) (z,s) = q(z,s)/t, (z,s) Caso virtual: Sx(z), Sy(z), T(z) (z,s) = q(z,s)/t

0

' ' '' 'z L y y x y y xx xz x y xy

S S S S S SS S T Tdz

G A G A G A G J

=

=

+= + + +

Ax, Ay, Axy: reas reducidas en cortadura

GAx, GAy, GAxy: Rigideces a cortadura

GJ: Rigidez a torsin

CONTRIBUCIN DE LAS DEFORMACIONES TRMICAS

{ } { }' tV

dV = CLCULO DE CORRIMIENTOS TOTALES: = + +

Ejes principales. Simetras de la seccin. Clculo de giros. Interpretacin del trabajo complementario virtual. Clculo de desplazamientos en estructuras con simetras

VIGA TRABAJANDO EN EL PLANO

0

'''z L y yx xz x y

S SM MP Pdz

E A E I G A

=

=

= + +

Mtodo de la carga unitaria Ej. 1

La figura muestra una estructura formada por tres vigas AB, BC y CD de la misma longitud L=1 m , simplemente apoyada en los puntos A y D.

Todas las vigas tienen de seccin un perfil IPN del 16, con las siguientes propiedades:

E = 206000 MPa G = 79000 MPa

I = 935cm4 At = 22,8 cm

2 (rea de la seccin) As 1256.3 = 787.5 mm

2 (rea de cortadura)

La estructura est sometida a una carga horizontal de valor P=20000 N, aplicada en la seccin C.

Teniendo en cuenta tanto las deformaciones por flexin como las debidas a cargas axiales y de cortadura, se pide:

1.- Determinar las reacciones.

2.- Calcular el desplazamiento horizontal de C.

Reaccin HA = 9976 N Desplazamiento C = 3.174 mm

20000 N

A

BC

D


La figura 1 muestra una viga formada por los dos tramos AB y BC de longitudes 4 m y 2 m respectivamente. La viga est empotrada en A y arriostrada por un cable BD que forma un ngulo de 30 con la horizontal.

La seccin de la viga, de aleacin de aluminio de mdulo de elasticidad E=70000 MPa y =0.3, se muestra en la figura 2, con las dimensiones en mm. Se considera que el rea reducida en cortadura Ay es la correspondiente al rea rayada.

El cable es de acero, de mdulo de elasticidad E=200000 MPa, y tiene una seccin de 30 cm2.

La viga est sometida a una carga uniformemente distribuida de valor q=3 kN/m.

Teniendo en cuenta para la viga las deformaciones por flexin, compresin y cortadura, se pide:

1.- Determinar la tensin del cable.

2.- Calcular los desplazamientos verticales de las secciones B y C.

Tensin cable: X = 24922 N Desplazamientos: B = 0.835 mm

C = 2.935 mm

Fig. 1

A BL = 4m1 L =2m2

q = 3 kN/m

C

D

4 400

200

Fig. 2


La figura muestra una estructura formada por tres vigas AB, BC y BD situadas en un plano horizontal, siendo BD perpendicular a las otras dos. Todas tienen la misma longitud L=3m y seccin transversal. La estructura est empotrada en la seccin A y simplemente apoyada en la seccin D.

La seccin de las vigas tiene las siguientes rigideces: EIx = 6.72010

12 Nmm2 GJ = 2.3541012 Nmm2 GAy = 2.22810

7 N

La estructura est sometida a dos cargas verticales de valor P=5000 N, aplicadas en las secciones B y C.

Se pide:

1.- Determinar todas las reacciones.

2.- Calcular el desplazamiento vertical y los giros que presenta la seccin C

Reaccin RD = 1719 N Desplazamiento C = 66.34 mm Giros x = 0.0156 rad (Eje horizontal perpendicular a BC, pendiente de la deformada en C) z = 0.0066 rad (Eje BC, giro de la seccin en su plano)

A

B

C

D

P

P L=3 m

L=3 m L=3 m


La figura muestra la vista en planta de la directriz de una viga, situada en un plano horizontal, formada por dos tramos rectilneos AB y DE, de longitud 2a=10 m, y por un arco circular BCD, de radio a=5 m. El extremo A de la viga est empotrado y en el extremo libre E acta una carga vertical descendente de valor P=1000 N.


13 Nmm2 GJ = 1.4071013 Nmm2 GAy = 3.66610

8 N

Se pide

1.- Calcular el desplazamiento vertical de E.

2.- Determinar el ngulo girado alrededor del segmento DE por la seccin transversal correspondiente al extremo E.

Desplazamiento E = 342.9 mm Giro DE = 0.0124 rad =0.708

A

B

C

D

E

a

2a

P


La figura muestra una viga uniforme de longitud L y seccin rectangular de base b y altura h. El material de la misma es istropo, con un mdulo de elasticidad E y un coeficiente de dilatacin . La viga est empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro.

La viga est sometida a una variacin de temperatura dada por la relacin T=T0y/h, expresada en los ejes de la figura.

Se pide

1.- Calcular la reaccin vertical en el apoyo.

2.- Determinar el ngulo girado por la seccin del apoyo.

Reaccin segn eje y: 2 3

0

2 3 x y

T L L LX

h EI GA

= +

Giro de la seccin: 2

0

2x x

T LX L

EI h

= +

(si se desprecia la deformacin por cortadura: 0

4xT L

h

= +

L

b

h

x

y

z

G

Mtodo de la carga unitaria Ej. 6 (Feb07)

La figura muestra una estructura formada por tres vigas AB, BC y CD situadas en un plano horizontal, siendo BC perpendicular a las otras dos. Las vigas AB y CD tienen una longitud L=1m, y la BC una longitud 2L=2m. Todas tienen la misma seccin transversal. La estructura est simplemente apoyada en tres pilares A, B y D, .


11 Nmm2 GJ = 1.3441011 Nmm2 GAy = 1.57510

7 N

La estructura est sometida a una carga distribuida vertical de valor p=3000 N/m, aplicada en la viga BC.

Se pide:

1.- Determinar las reacciones y los diagramas de fuerzas cortantes y momentos flectores y torsores.

2.- Calcular el desplazamiento vertical y los giros que presenta la seccin C

Desplazamiento C = 48.37 mm Giros C,CD = 0.0225 rad (Eje de giro CD, de torsin viga CD, pendiente de la deformada BC) C,BC = 0.0465 rad (Eje de giro BC, de torsin viga BC, pendiente de la deformada DC)

A

B

C

D

2L=2 mL=1 m

p

L=1 m

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4

Virtual work and energymethods

Many structural problems are statically determinate, i.e., the support reactions andinternal force systems may be found using simple statics where the number of unknownsis equal to the number of equations of equilibrium available. In cases where the numberof unknowns exceeds the possible number of equations of equilibrium, for example, apropped cantilever beam, other methods of analysis are required.

The methods fall into two categories and are based on two important concepts; therst, which is presented in this chapter, is the principle of virtual work. This is the mostfundamental and powerful tool available for the analysis of statically indeterminatestructures and has the advantage of being able to deal with conditions other than thosein the elastic range. The second, based on strain energy, can provide approximatesolutions of complex problems for which exact solutions do not exist and is discussed inChapter 5. In some cases the two methods are equivalent since, although the governingequations differ, the equations themselves are identical.

In modern structural analysis, computer-based techniques are widely used; theseinclude the exibility and stiffness methods (see Chapter 6). However, the formulationof, say, stiffness matrices for the elements of a complex structure is based on one ofthe above approaches so that a knowledge and understanding of their application isadvantageous.

4.1 Work

Before we consider the principle of virtual work in detail, it is important to clarifyexactly what is meant by work. The basic denition of work in elementary mechanicsis that work is done when a force moves its point of application. However, we shallrequire a more exact denition since we shall be concerned with work done by bothforces and moments and with the work done by a force when the body on which it actsis given a displacement which is not coincident with the line of action of the force.

Consider the force, F, acting on a particle, A, in Fig. 4.1(a). If the particle is givena displacement, , by some external agency so that it moves to A in a direction at an

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88 Virtual work and energy methods

angle to the line of action of F, the work, WF , done by Fis given by

WF = F( cos ) (4.1)or

WF = (F cos ) (4.2)We see therefore that the work done by the force, F, as the particle moves from A toA may be regarded as either the product of F and the component of in the directionof F (Eq. (4.1)) or as the product of the component of F in the direction of and (Eq. (4.2)).

Now consider the couple (pure moment) in Fig. 4.1(b) and suppose that the coupleis given a small rotation of radians. The work done by each force F is then F(a/2)so that the total work done, WC, by the couple is

WC = F a2 + F a

2 = Fa

It follows that the work done, WM , by the pure moment, M, acting on the bar AB inFig. 4.1(c) as it is given a small rotation, , is

WM = M (4.3)Note that in the above the force, F, and moment, M, are in position before the displace-ments take place and are not the cause of them. Also, in Fig. 4.1(a), the component of parallel to the direction of F is in the same direction as F; if it had been in the oppositedirection the work done would have been negative. The same argument applies to thework done by the moment, M, where we see in Fig. 4.1(c) that the rotation, , is inthe same sense as M. Note also that if the displacement, , had been perpendicular tothe force, F, no work would have been done by F.

Finally it should be remembered that work is a scalar quantity since it is not associatedwith direction (in Fig. 4.1(a) the force F does work if the particle is moved in anydirection). Thus the work done by a series of forces is the algebraic sum of the workdone by each force.

A

A

B

(a) (b) (c)

A

F

M

F

F

a

u

u

u

a2 u

a2

a2

a2

Fig. 4.1 Work done by a force and a moment.

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4.2 Principle of virtual work 89

4.2 Principle of virtual work

The establishment of the principle will be carried out in stages. First we shall considera particle, then a rigid body and nally a deformable body, which is the practicalapplication we require when analysing structures.

4.2.1 Principle of virtual work for a particle

In Fig. 4.2 a particle, A, is acted upon by a number of concurrent forces, F1, F2, . . . ,Fk , . . . , Fr ; the resultant of these forces is R. Suppose that the particle is given a smallarbitrary displacement, v, to A in some specied direction; v is an imaginary orvirtual displacement and is sufciently small so that the directions of F1, F2, etc., areunchanged. Let R be the angle that the resultant, R, of the forces makes with thedirection of v and 1, 2, . . . , k , . . . , r the angles that F1, F2, . . . , Fk , . . . , Fr makewith the direction of v, respectively. Then, from either of Eqs (4.1) or (4.2) thetotal virtual work, WF , done by the forces Fas the particle moves through the virtualdisplacement, v, is given by

WF = F1v cos 1 + F2v cos 2 + + Fkv cos k + + Frv cos rThus

WF =r

k=1Fkv cos k

or, since v is a xed, although imaginary displacement

WF = vr

k=1Fk cos k (4.4)

In Eq. (4.4)r

k=1 Fk cos k is the sum of all the components of the forces, F, in thedirection of v and therefore must be equal to the component of the resultant, R, of the

F2

Fk

Fr

F1

A

R

A

u1

uR

v

Fig. 4.2 Virtual work for a system of forces acting on a particle.

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forces, F, in the direction of v, i.e.

WF = vr

k=1Fk cos k = vR cos R (4.5)

If the particle, A, is in equilibrium under the action of the forces, F1, F2, . . . , Fk , . . . , Fr,the resultant, R, of the forces is zero. It follows from Eq. (4.5) that the virtual workdone by the forces, F, during the virtual displacement, v, is zero.

We can therefore state the principle of virtual work for a particle as follows:

If a particle is in equilibrium under the action of a number of forces the total workdone by the forces for a small arbitrary displacement of the particle is zero.

It is possible for the total work done by the forces to be zero even though the particle isnot in equilibrium if the virtual displacement is taken to be in a direction perpendicular totheir resultant, R. We cannot, therefore, state the converse of the above principle unlesswe specify that the total work done must be zero for any arbitrary displacement. Thus:

A particle is in equilibrium under the action of a system of forces if the total workdone by the forces is zero for any virtual displacement of the particle.

Note that in the above, v is a purely imaginary displacement and is not related in anyway to the possible displacement of the particle under the action of the forces, F. v hasbeen introduced purely as a device for setting up the workequilibrium relationship ofEq. (4.5). The forces, F, therefore remain unchanged in magnitude and direction duringthis imaginary displacement; this would not be the case if the displacement were real.

4.2.2 Principle of virtual work for a rigid body

Consider the rigid body shown in Fig. 4.3, which is acted upon by a system of externalforces, F1, F2, . . . , Fk , . . . , Fr . These external forces will induce internal forces in thebody, which may be regarded as comprising an innite number of particles; on adjacentparticles, such as A1 and A2, these internal forces will be equal and opposite, in otherwords self-equilibrating. Suppose now that the rigid body is given a small, imaginary,that is virtual, displacement, v (or a rotation or a combination of both), in somespecied direction. The external and internal forces then do virtual work and the totalvirtual work done, Wt , is the sum of the virtual work, We, done by the external forcesand the virtual work, Wi, done by the internal forces. Thus

Wt = We + Wi (4.6)Since the body is rigid, all the particles in the body move through the same displacement,v, so that the virtual work done on all the particles is numerically the same. However,for a pair of adjacent particles, such as A1 and A2 in Fig. 4.3, the self-equilibratingforces are in opposite directions, which means that the work done on A1 is opposite insign to the work done on A2. Therefore the sum of the virtual work done on A1 andA2 is zero. The argument can be extended to the innite number of pairs of particles inthe body from which we conclude that the internal virtual work produced by a virtual

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Self-equilibrating internal forces

F1

Fr Fk

F2

A1 A2

Fig. 4.3 Virtual work for a rigid body.

displacement in a rigid body is zero. Equation (4.6) then reduces to

Wt = We (4.7)Since the body is rigid and the internal virtual work is therefore zero, we may regardthe body as a large particle. It follows that if the body is in equilibrium under the actionof a set of forces, F1, F2, . . . , Fk , . . . , Fr , the total virtual work done by the externalforces during an arbitrary virtual displacement of the body is zero.

Example 4.1Calculate the support reactions in the simply supported beam shown in Fig. 4.4.

Only a vertical load is applied to the beam so that only vertical reactions, RA andRC, are produced.

Suppose that the beam at C is given a small imaginary, that is a virtual, displacement,v,c, in the direction of RC as shown in Fig. 4.4(b). Since we are concerned here solelywith the external forces acting on the beam we may regard the beam as a rigid body.The beam therefore rotates about A so that C moves to C and B moves to B. Fromsimilar triangles we see that

v,B = aa + bv,C =

a

Lv,C (i)

The total virtual work, Wt , done by all the forces acting on the beam is then given by

Wt = RCv,C Wv,B (ii)Note that the work done by the load, W , is negative since v,B is in the oppositedirection to its line of action. Note also that the support reaction, RA, does no worksince the beam only rotates about A. Now substituting for v,B in Eq. (ii) from Eq. (i)we have

Wt = RCv,C W aL

v,C (iii)

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W

W

W

B

B

BA

C

C

A

RA

RA

RA

RC

RC

RC

C

a b

a b

L

L

A

A B

B C

C

v,B

v uva

uv

v uvLv

v,C

(a)

(b)

(c)Fig. 4.4 Use of the principle of virtual work to calculate support reactions.

Since the beam is in equilibrium, Wt is zero from the principal of virtual work. Hence,from Eq. (iii)

RCv,C W aL

v,C = 0which gives

RC = W aL

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which is the result that would have been obtained from a consideration of the momentequilibrium of the beam about A. RA follows in a similar manner. Suppose now thatinstead of the single displacement v,C the complete beam is given a vertical virtualdisplacement, v, together with a virtual rotation, v, about A as shown in Fig. 4.4(c).The total virtual work, Wt , done by the forces acting on the beam is now given by

Wt = RAv W (v + av) + RC(v + Lv) = 0 (iv)since the beam is in equilibrium. Rearranging Eq. (iv)

(RA + RC W )v + (RCL Wa)v = 0 (v)Equation (v) is valid for all values of v and v so that

RA + RC W = 0 RCL Wa = 0which are the equations of equilibrium we would have obtained by resolving forcesvertically and taking moments about A.

It is not being suggested here that the application of the principles of statics shouldbe abandoned in favour of the principle of virtual work. The purpose of Example 4.1is to illustrate the application of a virtual displacement and the manner in which theprinciple is used.

4.2.3 Virtual work in a deformable body

In structural analysis we are not generally concerned with forces acting on a rigid body.Structures and structural members deform under load, which means that if we assigna virtual displacement to a particular point in a structure, not all points in the structurewill suffer the same virtual displacement as would be the case if the structure were rigid.This means that the virtual work produced by the internal forces is not zero as it is inthe rigid body case, since the virtual work produced by the self-equilibrating forces onadjacent particles does not cancel out. The total virtual work produced by applying avirtual displacement to a deformable body acted upon by a system of external forces istherefore given by Eq. (4.6).

If the body is in equilibrium under the action of the external force system then everyparticle in the body is also in equilibrium. Therefore, from the principle of virtual work,the virtual work done by the forces acting on the particle is zero irrespective of whetherthe forces are external or internal. It follows that, since the virtual work is zero for allparticles in the body, it is zero for the complete body and Eq. (4.6) becomes

We + Wi = 0 (4.8)Note that in the above argument only the conditions of equilibrium and the concept ofwork are employed. Equation (4.8) therefore does not require the deformable body tobe linearly elastic (i.e. it need not obey Hookes law) so that the principle of virtual workmay be applied to any body or structure that is rigid, elastic or plastic. The principledoes require that displacements, whether real or imaginary, must be small, so that wemay assume that external and internal forces are unchanged in magnitude and direction

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during the displacements. In addition the virtual displacements must be compatiblewith the geometry of the structure and the constraints that are applied, such as thoseat a support. The exception is the situation we have in Example 4.1 where we applya virtual displacement at a support. This approach is valid since we include the workdone by the support reactions in the total virtual work equation.

4.2.4 Work done by internal force systems

The calculation of the work done by an external force is straightforward in that it is theproduct of the force and the displacement of its point of application in its own line ofaction (Eqs (4.1), (4.2) or (4.3)) whereas the calculation of the work done by an internalforce system during a displacement is much more complicated. Generally no matterhow complex a loading system is, it may be simplied to a combination of up to fourload types: axial load, shear force, bending moment and torsion; these in turn producecorresponding internal force systems. We shall now consider the work done by theseinternal force systems during arbitrary virtual displacements.

Axial forceConsider the elemental length, x, of a structural member as shown in Fig. 4.5 andsuppose that it is subjected to a positive internal force system comprising a normal force(i.e. axial force), N , a shear force, S, a bending moment, M and a torque, T , producedby some external loading system acting on the structure of which the member is part.The stress distributions corresponding to these internal forces are related to an axis

Cross-sectionalarea, A

T

y

S

N

GM

z

x

x

A

Fig. 4.5 Virtual work due to internal force system.

Ch04-H6739.tex 23/1/2007 12: 9 Page 95


system whose origin coincides with the centroid of area of the cross-section. We shall,in fact, be using these stress distributions in the derivation of expressions for internalvirtual work in linearly elastic structures so that it is logical to assume the same originof axes here; we shall also assume that the y axis is an axis of symmetry. Initially weshall consider the normal force, N .

The direct stress, , at any point in the cross-section of the member is given by = N /A. Therefore the normal force on the element A at the point (z, y) is

N = A = NA

A

Suppose now that the structure is given an arbitrary virtual displacement which producesa virtual axial strain, v, in the element. The internal virtual work, wi,N , done by theaxial force on the elemental length of the member is given by

wi,N =

A

N

AdAv x

which, since

AdA = A, reduces towi,N = Nv x (4.9)

In other words, the virtual work done by N is the product of N and the virtual axialdisplacement of the element of the member. For a member of length L, the virtual work,wi,N , done during the arbitrary virtual strain is then

wi,N =

LNv dx (4.10)

For a structure comprising a number of members, the total internal virtual work, Wi,N ,done by axial force is the sum of the virtual work of each of the members. Therefore

wi,N =

LNv dx (4.11)

Note that in the derivation of Eq. (4.11) we have made no assumption regarding thematerial properties of the structure so that the relationship holds for non-elastic as wellas elastic materials. However, for a linearly elastic material, i.e. one that obeys Hookeslaw, we can express the virtual strain in terms of an equivalent virtual normal force, i.e.

v = vE

= NvEA

Therefore, if we designate the actual normal force in a member by NA, Eq. (4.11) maybe expressed in the form

wi,N =

L

NANvEA

dx (4.12)

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Shear forceThe shear force, S, acting on the member section in Fig. 4.5 produces a distribution ofvertical shear stress which depends upon the geometry of the cross-section. However,since the element, A, is innitesimally small, we may regard the shear stress, , asconstant over the element. The shear force, S, on the element is then

S = A (4.13)Suppose that the structure is given an arbitrary virtual displacement which produces avirtual shear strain, v, at the element. This shear strain represents the angular rotationin a vertical plane of the element A x relative to the longitudinal centroidal axisof the member. The vertical displacement at the section being considered is thereforev x. The internal virtual work, wi,S , done by the shear force, S, on the elementallength of the member is given by

wi,S =

A dAv x

A uniform shear stress through the cross section of a beam may be assumed if we allowfor the actual variation by including a form factor, .1 The expression for the internalvirtual work in the member may then be written

wi,S =

A

(S

A

)dAv x

or

wi,S = Sv x (4.14)Hence the virtual work done by the shear force during the arbitrary virtual strain in amember of length L is

wi,S =

LSv dx (4.15)

For a linearly elastic member, as in the case of axial force, we may express the virtualshear strain, v, in terms of an equivalent virtual shear force, Sv, i.e.

v = vG

= SvGA

so that from Eq. (4.15)

wi,S =

L

SASvGA

dx (4.16)

For a structure comprising a number of linearly elastic members the total internal work,Wi,S , done by the shear forces is

Wi,S =

L

SASvGA

dx (4.17)

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Bending momentThe bending moment, M, acting on the member section in Fig. 4.5 produces a distri-bution of direct stress, , through the depth of the member cross-section. The normalforce on the element, A, corresponding to this stress is therefore A. Again we shallsuppose that the structure is given a small arbitrary virtual displacement which pro-duces a virtual direct strain, v, in the element A x. Thus the virtual work done bythe normal force acting on the element A is A v x. Hence, integrating over thecomplete cross-section of the member we obtain the internal virtual work, wi,M , doneby the bending moment, M, on the elemental length of member, i.e.

wi,M =

A dAv x (4.18)

The virtual strain, v, in the element A x is, from Eq. (16.2), given byv = y

Rv

where Rv is the radius of curvature of the member produced by the virtual displacement.Thus, substituting for v in Eq. (4.18), we obtain

wi,M =

A

y

RvdA x

or, since y A is the moment of the normal force on the element, A, about the z axis

wi,M = MRv

x

Therefore, for a member of length L, the internal virtual work done by an actual bendingmoment, MA, is given by

wi,M =

L

MARv

dx (4.19)

In the derivation of Eq. (4.19) no specic stressstrain relationship has been assumed,so that it is applicable to a non-linear system. For the particular case of a linearly elasticsystem, the virtual curvature 1/Rv may be expressed in terms of an equivalent virtualbending moment, Mv, using the relationship of Eq. (16.20), i.e.

1

Rv= Mv

EI

Substituting for 1/Rv in Eq. (4.19) we have

wi,M =

L

MAMvEI

dx (4.20)

so that for a structure comprising a number of members the total internal virtual work,Wi,M , produced by bending is

Wi,M =

L

MAMvEI

dx (4.21)

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TorsionThe internal virtual work, wi,T , due to torsion in the particular case of a linearly elasticcircular section bar may be found in a similar manner and is given by

wi,T =

L

TATvGIo

dx (4.22)

in which Io is the polar second moment of area of the cross-section of the bar (seeExample 3.1). For beams of non-circular cross-section, Io is replaced by a torsionconstant, J , which, for many practical beam sections is determined empirically.

HingesIn some cases it is convenient to impose a virtual rotation, v, at some point in astructural member where, say, the actual bending moment is MA. The internal virtualwork done by MA is then MAv (see Eq. (4.3)); physically this situation is equivalentto inserting a hinge at the point.

Sign of internal virtual workSo far we have derived expressions for internal work without considering whether it ispositive or negative in relation to external virtual work.

Suppose that the structural member, AB, in Fig. 4.6(a) is, say, a member of a truss andthat it is in equilibrium under the action of two externally applied axial tensile loads,P; clearly the internal axial, that is normal, force at any section of the member is P.Suppose now that the member is given a virtual extension, v, such that B moves to B.Then the virtual work done by the applied load, P, is positive since the displacement,v, is in the same direction as its line of action. However, the virtual work done bythe internal force, N (=P), is negative since the displacement of B is in the oppositedirection to its line of action; in other words work is done on the member. Thus, fromEq. (4.8), we see that in this case

We = Wi (4.23)

A

A

P

P

N P

N P

P

P

(a)

(b)

B

B B

dv

Fig. 4.6 Sign of the internal virtual work in an axially loaded member.

Ch04-H6739.tex 23/1/2007 12: 9 Page 99


Equation (4.23) would apply if the virtual displacement had been a contraction and notan extension, in which case the signs of the external and internal virtual work in Eq.(4.8) would have been reversed. Clearly the above applies equally if P is a compressiveload. The above arguments may be extended to structural members subjected to shear,bending and torsional loads, so that Eq. (4.23) is generally applicable.

4.2.5 Virtual work due to external force systems

So far in our discussion we have only considered the virtual work produced by externallyapplied concentrated loads. For completeness we must also consider the virtual workproduced by moments, torques and distributed loads.

In Fig. 4.7 a structural member carries a distributed load, w(x), and at a particularpoint a concentrated load, W , a moment, M and a torque, T . Suppose that at the pointa virtual displacement is imposed that has translational components, v,y and v,x,parallel to the y and x axes, respectively, and rotational components, v and v, in theyx and zy planes, respectively.

If we consider a small element, x, of the member at the point, the distributed loadmay be regarded as constant over the length x and acting, in effect, as a concentratedload w(x)x. The virtual work, we, done by the complete external force system istherefore given by

we = Wv,y + Pv,x + Mv + Tv +

Lw(x)v,y dx

For a structure comprising a number of load positions, the total external virtual workdone is then

We = [

Wv,y + Pv,x + Mv + Tv +

Lw(x)v,y dx

](4.24)

In Eq. (4.24) there need not be a complete set of external loads applied at every loadingpoint so, in fact, the summation is for the appropriate number of loads. Further, thevirtual displacements in the above are related to forces and moments applied in a verticalplane. We could, of course, have forces and moments and components of the virtual

W

M

T

P

x

w (x )

z

y

Fig. 4.7 Virtual work due to externally applied loads.

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displacement in a horizontal plane, in which case Eq. (4.24) would be extended toinclude their contribution.

The internal virtual work equivalent of Eq. (4.24) for a linear system is, from Eqs(4.12), (4.17), (4.21) and (4.22)

Wi = [

L

NANvEA

dx +

L

SASvGA

dx +

L

MAMvEI

dx +

L

TATvGJ

dx + MAv]

(4.25)

in which the last term on the right-hand side is the virtual work produced by an actualinternal moment at a hinge (see above). Note that the summation in Eq. (4.25) is takenover all the members of the structure.

4.2.6 Use of virtual force systems

So far, in all the structural systems we have considered, virtual work has been producedby actual forces moving through imposed virtual displacements. However, the actualforces are not related to the virtual displacements in any way since, as we have seen, themagnitudes and directions of the actual forces are unchanged by the virtual displace-ments so long as the displacements are small. Thus the principle of virtual work appliesfor any set of forces in equilibrium and any set of displacements. Equally, therefore,we could specify that the forces are a set of virtual forces in equilibrium and that thedisplacements are actual displacements. Therefore, instead of relating actual externaland internal force systems through virtual displacements, we can relate actual externaland internal displacements through virtual forces.

If we apply a virtual force system to a deformable body it will induce an internalvirtual force system which will move through the actual displacements; internal virtualwork will therefore be produced. In this case, for example, Eq. (4.10) becomes

wi,N =

LNvA dx

in which Nv is the internal virtual normal force and A is the actual strain. Then, fora linear system, in which the actual internal normal force is NA, A = NA/EA, so thatfor a structure comprising a number of members the total internal virtual work due toa virtual normal force is

Wi,N =

L

NvNAEA

dx

which is identical to Eq. (4.12). Equations (4.17), (4.21) and (4.22) may be shown toapply to virtual force systems in a similar manner.

4.3 Applications of the principle of virtual work

We have now seen that the principle of virtual work may be used either in the formof imposed virtual displacements or in the form of imposed virtual forces. Generally

Ch04-H6739.tex 23/1/2007 12: 9 Page 101

4.3 Applications of the principle of virtual work 101

the former approach, as we saw in Example 4.1, is used to determine forces, while thelatter is used to obtain displacements.

For statically determinate structures the use of virtual displacements to determineforce systems is a relatively trivial use of the principle although problems of this typeprovide a useful illustration of the method. The real power of this approach lies in itsapplication to the solution of statically indeterminate structures. However, the use ofvirtual forces is particularly useful in determining actual displacements of structures.We shall illustrate both approaches by examples.

Example 4.2Determine the bending moment at the point B in the simply supported beamABC shownin Fig. 4.8(a).

We determined the support reactions for this particular beam in Example 4.1. In thisexample, however, we are interested in the actual internal moment, MB, at the point ofapplication of the load. We must therefore impose a virtual displacement which willrelate the internal moment at B to the applied load and which will exclude other unknownexternal forces such as the support reactions, and unknown internal force systems suchas the bending moment distribution along the length of the beam. Therefore, if weimagine that the beam is hinged at B and that the lengths AB and BC are rigid, a virtualdisplacement, v,B, at B will result in the displaced shape shown in Fig. 4.8(b).

Note that the support reactions at A and C do no work and that the internal momentsin AB and BC do no work because AB and BC are rigid links. From Fig. 4.8(b)

v,B = a = b (i)Hence

= ab

W

B CA

(a)

a b

L

W

B

CA

(b)b

b

a

av,B

Fig. 4.8 Determination of bending moment at a point in the beam of Example 4.2 using virtual work.

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and the angle of rotation of BC relative to AB is then

B = + = (

1 + ab

)= L

b (ii)

Now equating the external virtual work done by W to the internal virtual work done byMB (see Eq. (4.23)) we have

Wv,B = MBB (iii)Substituting in Eq. (iii) for v,B from Eq. (i) and for B from Eq. (ii) we have

Wa = MB Lb

which gives

MB = WabL

which is the result we would have obtained by calculating the moment of RC (=Wa/Lfrom Example 4.1) about B.

Example 4.3Determine the force in the member AB in the truss shown in Fig. 4.9(a).

C

DB

A E

3 m

4 m

C

B

A E

(b)(a)

B

C

D

4 m

30 kN

10 kN

C

v,Ba

a

Fig. 4.9 Determination of the internal force in a member of a truss using virtual work.

Ch04-H6739.tex 23/1/2007 12: 9 Page 103


We are required to calculate the force in the member AB, so that again we need torelate this internal force to the externally applied loads without involving the internalforces in the remaining members of the truss. We therefore impose a virtual extension,v,B, at B in the member AB, such that B moves to B. If we assume that the remainingmembers are rigid, the forces in them will do no work. Further, the triangle BCDwill rotate as a rigid body about D to BCD as shown in Fig. 4.9(b). The horizontaldisplacement of C, C, is then given by

C = 4while

v,B = 3Hence

C = 4v,B3

(i)

Equating the external virtual work done by the 30 kN load to the internal virtual workdone by the force, FBA, in the member, AB, we have (see Eq. (4.23) and Fig. 4.6)

30C = FBAv,B (ii)Substituting for C from Eq. (i) in Eq. (ii),

30 43v,B = FBAv,B

Whence

FBA = +40 kN (i.e. FBA is tensile)In the above we are, in effect, assigning a positive (i.e. tensile) sign to FBA by imposinga virtual extension on the member AB.

The actual sign of FBA is then governed by the sign of the external virtual work.Thus, if the 30 kN load had been in the opposite direction to C the external work donewould have been negative, so that FBA would be negative and therefore compressive.This situation can be veried by inspection. Alternatively, for the loading as shownin Fig. 4.9(a), a contraction in AB would have implied that FBA was compressive. Inthis case DC would have rotated in an anticlockwise sense, C would have been inthe opposite direction to the 30 kN load so that the external virtual work done wouldbe negative, resulting in a negative value for the compressive force FBA; FBA wouldtherefore be tensile as before. Note also that the 10 kN load at D does no work since Dremains undisplaced.

We shall now consider problems involving the use of virtual forces. Generally weshall require the displacement of a particular point in a structure, so that if we apply avirtual force to the structure at the point and in the direction of the required displacementthe external virtual work done will be the product of the virtual force and the actualdisplacement, which may then be equated to the internal virtual work produced by theinternal virtual force system moving through actual displacements. Since the choice ofthe virtual force is arbitrary, we may give it any convenient value; the simplest type of

Ch04-H6739.tex 23/1/2007 12: 9 Page 104


virtual force is therefore a unit load and the method then becomes the unit load method(see also Section 5.5).

Example 4.4Determine the vertical deection of the free end of the cantilever beam shown inFig. 4.10(a).

Let us suppose that the actual deection of the cantilever at B produced by theuniformly distributed load is B and that a vertically downward virtual unit load wasapplied at B before the actual deection took place. The external virtual work done bythe unit load is, from Fig. 4.10(b), 1B. The deection, B, is assumed to be causedby bending only, i.e. we are ignoring any deections due to shear. The internal virtualwork is given by Eq. (4.21) which, since only one member is involved, becomes

Wi,M = L

0

MAMvEI

dx (i)

The virtual moments, Mv, are produced by a unit load so that we shall replace Mv byM1. Then

Wi,M = L

0

MAM1EI

dx (ii)

At any section of the beam a distance x from the built-in end

MA = w2

(L x)2 M1 = 1(L x)

w

A BEI

Lx

(a)

A

B

1 (Unit load)

(b)

yB

Fig. 4.10 Deflection of the free end of a cantilever beam using the unit load method.

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Substituting for MA and M1 in Eq. (ii) and equating the external virtual work done bythe unit load to the internal virtual work we have

1B = L

0

w

2EI(L x)3 dx

which gives

B = w2EI

[1

4(L x)4

]L

0

so that

B = wL4

8EI

Note that B is in fact negative but the positive sign here indicates that it is in the samedirection as the unit load.

Example 4.5Determine the rotation, i.e. the slope, of the beam ABC shown in Fig. 4.11(a) at A.

2W

2W

EI

W

x L/2 L/2

A

(a)

B C

L

A

(b)

C

Unit moment

L1Rv,C

L1Rv,A

uA

Fig. 4.11 Determination of the rotation of a simply supported beam at a support using the unit load method.

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The actual rotation of the beam at A produced by the actual concentrated load, W , isA. Let us suppose that a virtual unit moment is applied at A before the actual rotationtakes place, as shown in Fig. 4.11(b). The virtual unit moment induces virtual supportreactions of Rv,A (=1/L) acting downwards and Rv,C (=1/L) acting upwards. The actualinternal bending moments are

MA = +W2

x 0 x L/2

MA = +W2

(L x) L/2 x LThe internal virtual bending moment is

Mv = 1 1L

x 0 x LThe external virtual work done is 1A (the virtual support reactions do no work as thereis no vertical displacement of the beam at the supports) and the internal virtual workdone is given by Eq. (4.21). Hence

1A = 1EI

[ L/2

0

W

2x(

1 xL

)dx +

L

L/2

W

2(L x)

(1 x

L

)dx

](i)

Simplifying Eq. (i) we have

A = W2EIL

[ L/2

0(Lx x2)dx +

L

L/2(L x)2dx

](ii)

Hence

A = W2EIL

{[L

x2

2 x

3

3

]L/2

0 1

3

[(L x)3]LL/2

}

from which

A = WL2

16EI

Example 4.6Calculate the vertical deection of the joint B and the horizontal movement of thesupport D in the truss shown in Fig. 4.12(a). The cross-sectional area of each member is1800 mm2 andYoungs modulus, E, for the material of the members is 200 000 N/mm2.

The virtual force systems, i.e. unit loads, required to determine the vertical deectionof B and the horizontal deection of D are shown in Fig. 4.12(b) and (c), respectively.Therefore, if the actual vertical deection at B is B,v and the horizontal deection at Dis D,h the external virtual work done by the unit loads is 1B,v and 1D,h, respectively.The internal actual and virtual force systems comprise axial forces in all the members.

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(b)

(a)4 m

4 m

4 m 4 m100 kN

40 kN

(c)

DCB

E F

E F

E F

A

DCB

A

D1CB

A

1

Fig. 4.12 Deflection of a truss using the unit load method.

These axial forces are constant along the length of each member so that for a trusscomprising n members, Eq. (4.12) reduces to

Wi,N =n

j=1

FA,jFv,jLjEjAj

(i)

in which FA, j and Fv, j are the actual and virtual forces in the jth member which has alength Lj, an area of cross-section Aj and a Youngs modulus Ej.

Since the forces Fv, j are due to a unit load, we shall write Eq. (i) in the form

Wi,N =n

j=1

FA, jF1, jLjEjAj

(ii)

Also, in this particular example, the area of cross-section, A, and Youngs modulus, E,are the same for all members so that it is sufcient to calculate

nj=1 FA, jF1, jLj and

then divide by EA to obtain Wi,N .The forces in the members, whether actual or virtual, may be calculated by the

method of joints.3 Note that the support reactions corresponding to the three sets ofapplied loads (one actual and two virtual) must be calculated before the internal forcesystems can be determined. However, in Fig. 4.12(c), it is clear from inspection thatF1,AB = F1,BC = F1,CD =+1 while the forces in all other members are zero. The calcu-lations are presented in Table 4.1; note that positive signs indicate tension and negativesigns compression.

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Table 4.1

Member L (m) FA (kN) F1,B F1,D FAF1,BL (kN m) FAF1,DL (kN m)

AE 5.7 84.9 0.94 0 +451.4 0AB 4.0 +60.0 +0.67 +1.0 +160.8 +240.0EF 4.0 60.0 0.67 0 +160.8 0EB 4.0 +20.0 +0.67 0 +53.6 0BF 5.7 28.3 +0.47 0 75.2 0BC 4.0 +80.0 +0.33 +1.0 +105.6 +320.0CD 4.0 +80.0 +0.33 +1.0 +105.6 +320.0CF 4.0 +100.0 0 0 0 0DF 5.7 113.1 0.47 0 +301.0 0

=+1263.6 =+880.0

Thus equating internal and external virtual work done (Eq. (4.23)) we have

1B,v = 1263.6 106

200 000 1800whence

B,v = 3.51 mmand

1D,h = 880 106

200 000 1800which gives

D,h = 2.44 mmBoth deections are positive which indicates that the deections are in the directionsof the applied unit loads. Note that in the above it is unnecessary to specify units forthe unit load since the unit load appears, in effect, on both sides of the virtual workequation (the internal F1 forces are directly proportional to the unit load).

References

1 Megson, T. H. G., Structural and Stress Analysis, 2nd edition, Elsevier, Oxford, 2005.

Problems

P.4.1 Use the principle of virtual work to determine the support reactions in thebeam ABCD shown in Fig. P.4.1.

Ans. RA = 1.25W RD = 1.75W .

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Problems 109

A B C D

W2W

L/4 L/4L/2

Fig. P.4.1

P.4.2 Find the support reactions in the beam ABC shown in Fig. P.4.2 using theprinciple of virtual work.

Ans. RA = (W + 2wL)/4 Rc = (3w + 2wL)/4.

A

B

C

W

w

L/43L/4

Fig. P.4.2

P.4.3 Determine the reactions at the built-in end of the cantilever beam ABC shownin Fig. P.4.3 using the principle of virtual work.

Ans. RA = 3W MA = 2.5WL.

A B C

W 2W

L/2L/2

Fig. P.4.3

P.4.4 Find the bending moment at the three-quarter-span point in the beam shownin Fig. P.4.4. Use the principle of virtual work.

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Ans. 3wL2/32.

A B

w

L

Fig. P.4.4

P.4.5 Calculate the forces in the members FG, GD and CD of the truss shown inFig. P.4.5 using the principle of virtual work. All horizontal and vertical members are1 m long.

Ans. FG =+20 kN GD =+28.3 kN CD =20 kN.

A

E F G

DC

20 kN

10 kN

B

Fig. P.4.5

P.4.6 Use the principle of virtual work to calculate the vertical displacements atthe quarter- and mid-span points in the beam shown in Fig. P.4.6.

Ans. 57wL4/6144EI 5wL4/384EI (both downwards).

A B

w

EI

L

Fig. P.4.6

4-1

CAPTULO 4.- ANLISIS DE ESTRUCTURAS SEMIMONOCASCO

4.1.- INTRODUCCIN

Las estructuras semimonocasco se caracterizan por la existencia de elementos longitudinales

(larguerillos) que actan simultneamente como rigidizadores y como refuerzos.

Es normal que en el anlisis de las estructuras semimonocasco, adems de considerar la presencia

de larguerillos, se incluya la reduccin de eficiencia en los paneles de chapa que hayan pandeado

bajo la accin de los esfuerzos normales de compresin.

Como se indicar en el apartado 4.2, la capacidad que los paneles de chapa pandeados poseen para

soportar esfuerzos normales se incluye aadiendo al rea de los larguerillos longitudinales

adyacentes una fraccin del rea del panel de chapa, con lo que dicho panel no soportar ms que

los esfuerzos cortantes.

Como esa idealizacin da lugar a una simplificacin importante en el anlisis, es normal seguir un

proceso semejante en el resto de los paneles, aunque trabajen en traccin o en compresin, con

esfuerzos inferiores a los del pandeo. En estos casos a cada uno de los larguerillos adyacentes se le

aadira la mitad del rea total del panel.

En definitiva, para el anlisis de las estructuras semimonocasco se supondr que dicha estructura

est constituida por un conjunto de larguerillos longitudinales o cordones, capaces de soportar

esfuerzos normales de traccin o compresin, unidos por paneles de chapa capaces de soportar

nicamente esfuerzos cortantes.

Las teoras simples de flexin, cortadura y torsin se basan en hiptesis anlogas a las admitidas en

las estructuras monocasco, es decir, se supondrn tubos uniformes, con secciones transversales

indeformables y en los que el alabeamiento puede desarrollarse libremente.

4.2.- ANCHO EFECTIVO DE PANELES DE CHAPA

Se supone un panel de chapa rectangular, con sus cuatro bordes simplemente apoyados, sometido a

compresin.

Cuando el esfuerzo aplicado es inferior al esfuerzo de pandeo:

22

2

12(1 )cr

cr

N k E t

t b

= = ,

la carga de compresin P aplicada se distribuye uniformemente en la chapa, como se muestra en la

distribucin a de la figura 4.1.

4-2

< cr cr< < 0,2 ancho eficaz

"a" "b" "c"

c c

P

xy

b

a

P

Fig. 4.1

Si a los bordes no cargados se les impone no slo la condicin de apoyo simple, sino tambin la

condicin de desplazamiento nulo en la direccin transversal x de la chapa, se observa que al

pandear la chapa aparecen en la direccin transversal esfuerzos x de traccin, que tienden a

rigidizar la chapa. Como consecuencia de este fenmeno la chapa es capaz de soportar cargas de

compresin superiores a las que originan el pandeo. Para estas cargas la distribucin de esfuerzos y

es similar a la indicada como curva b, de manera que en el centro del panel el esfuerzo se

mantiene prcticamente igual al esfuerzo de pandeo, mientras que en los bordes el esfuerzo c sigue

creciendo hasta alcanzar un valor prximo al lmite elstico del material, en cuyo momento se

produce el fallo de la chapa.

Se han formulado varias teoras para establecer una relacin entre el esfuerzo c en el borde y la

carga total de compresin P aplicada a la placa, obtenindose resultados semejantes al mostrado en

la figura 4.2.

En lugar de considerar la distribucin real de esfuerzos (curva

b de la figura 4.1), es normal suponer que la carga total P

aplicada en el panel se consigue con un esfuerzo uniforme c

igual al existente en el borde, actuando en dos bandas cada una

de las cuales tiene una anchura .

Si se conociese la relacin P(c) representada en la figura 4.2 se

verificara:

( ) 2 c cP t =

Fig. 4.2

Por lo que la anchura de cada banda, denominada ancho eficaz, sera: ( )

2 c

c

P

b b t

= ,

dando lugar a una curva semejante a la mostrada en la figura 4.3.

cr 0,2c

P

Pcr

4-3

Los resultados obtenidos con las diferentes teoras

ms o menos rigurosas son aproximadamente

iguales a las que se deducen de un mtodo que,

aunque carece de un soporte terico, es apropiado

para en clculo de .

Este mtodo consiste en suponer que la anchura

total efectiva 2 es la que debera tener una chapa

rectangular, simplemente apoyada en sus cuatro bordes, para que su esfuerzo de pandeo fuese el

esfuerzo c existente en el borde.

22

2

12(1 ) 2ck E t

=

Suponiendo que la chapa es lo suficientemente larga (a/b>>1) como para admitir que k=4, resultar:

2

3,622ct

E

=

De donde se deduce: 0,95 / ct E =

Puede observarse que el ancho efectivo depende o del esfuerzo c existente en el borde de la

chapa, y a su vez este esfuerzo depende de las propiedades geomtricas de la seccin (reas de los

cordones), que se deducen a partir de los valores de (rea efectiva de los paneles que se

incorporan a los cordones).

Se deduce en consecuencia que para un determinado nivel de solicitacin es preciso realizar un

proceso iterativo para conseguir el ajuste entre esfuerzos en los cordones y rea efectiva de los

paneles.

La seccin resistente de una estructura semimonocasco depender del nivel de la solicitacin,

siendo tanto menor cuanto mayor sea la solicitacin aplicada a la estructura. Esto representa un

inconveniente en el anlisis y es normal adoptar una posicin conservativa considerando la mnima

seccin resistente, que es la que se obtendra en correspondencia con la solicitacin ltima.

4.3.- SOLICITACIONES DE CARGA AXIAL Y FLEXIN

De acuerdo con lo indicado en los apartados anteriores las estructuras semimonocasco se idealizan

mediante un conjunto de cordones, capaces de soportar esfuerzos normales, unidos por paneles de

chapa, capaces de soportar nicamente esfuerzos cortantes. Las reas de los cordones se deducirn

estructuras aeronáuticas (upm)

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