estimacin e intervalos_de_confianza_ (1)
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©The McGraw-Hill Companies, Inc. 2008McGraw-Hill/Irwin
Oscar Alejandro Garcia Benitez 11310145
Mario Guillermo Garza Rosas 11310155
Jorgito Humbertito Bebecito Emoxito Dueñas Rocha 11310102
Estimación e intervalos de confianza
OBJETIVOS
Definir un estimador puntual. Definir nivel de confianza. Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando se conoce la desviación estándar de la población.
Construir un intervalo de confianza para la media poblacional cuando no se conoce la desviación estándar de la población.
Construir un intervalo de confianza para una proporción de la población.
Determinar el tamaño de la muestra para un muestreo de atributos y variables
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Estimadores puntuales e intervalos de confianza de una media
Un estimador puntual es un estadístico calculado a partir de información de la muestra para estimar el parámetro poblacional.
Un intervalo de confianza es un conjunto de valores formado a partir de una muestra de datos de forma que exista la posibilidad de que el parámetro poblacional ocurra dentro de dicho conjunto con una probabilidad específica. La probabilidad específica recibe el nombre de nivel de confianza.
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Factores que afectan a los intervalos de confianza.
Los factores que determinan el ancho del intervalo de confianza son:
1.El tamaño de la muestra, n.
2.La varianza de la población, usualmente σ es estimada por s.
3.El nivel deseado de confianza.
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Interpretación de los intervalos de confianza.
Para un intervalo de confianza alrededor del 95% se puede esperar que alrededor de 95% de estos intervalos de confianza contenga la media de la población. Cerca de 5% de los intervalos no contendrían a la media de la población. Además el 95% de las medias de las muestras para una muestra especifica de tamaño dado estarán dentro de 1.96 desviaciones estándar de la población hipotetica.
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Características de la distribución t
1. Esta distribución, es como la distribución z , una distribución continua.
2. Es una distribución simétrica y con forma de campana.
3. No existe una sola distribución de t, mas bien una famila de distribuciones de t. Todas las distribuciones de t tiene media 0, pero sus desviaciones estándar difieren de acuerdo al tamaño de la muestra, n.
4. La distribution t se extiende más y es más plana por el centro que la distribución normal. Conforme se incrementa el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar, pues los errores que se cometen al utilizar s para estimar σ disminuyen con muestras más grandes.
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Comparación de las distribuciones t y z cuando n es pequeña.
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Intervalo de Confianza Para la Media
Use la distribución Z
Si la desviación estándar es conocida o la muestra es mayor que 30.
Use la distribución t
Si la desviación estándar no es conocida y la muestra es menor que 30.
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Cuando usar la distribución z o t para el cálculo del intervalo de confianza.
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Se supone que la población es normal
¿Se conoce la desviación estándar
de la población?
Se utiliza la distribución t
Se utiliza la distribución z
No
Si
Determinar cuándo usar la distribución z o la distribución t
Intervalo de Confianza para la Media – Ejemplo usando la distribución t
Un fabricante de llantas desea investigar la durabilidad de sus productos. Una muestra de 10 llantas para recorrer 50000 millas reveló una media muestral de 0.32 pulgadas de cuerda restante con una desviación estándar de 0.09 pulgadas. Construya un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional. ¿Sería razonable que el fabricante concluyera que después de 50000 millas la cantidad media poblacional de cuerda restante es de 0.30 pulgadas?
n
stX
s
x
n
n 1,2/
a)desconocid es (comot -dist
la usando I.C. el Calcule
09.0
32.0
10
:problema el Dado
10
Tabla de distribución-t Student
11
Conclusión: El fabricante puede estar seguro (95% seguro) de que la profundidad media de las cuerdas oscila entre 0.256 y 0.384
Dado el problema:n =10Calcule el I.C usando la dist – t (como σ es desconocida)
)384.0,256.0(
064.032.010
09.0262.232.0
10
09.032.0 9,025.
110,2/05.
1,2/
t
n
stX
n
stX n
Intervalo de Confianza para la Media– Usando Minitab
El gerente del Inlet Square Mall, cerca de Ft. Myers, Florida, desea estimar la cantidad media que gastan los clientes que visitan el centro comercial. Una muestra de 20 clientes revela las siguientes cantidades.
¿Cuál es la mejor estimación de la media poblacional?¿Determine un intervalo de confianza de 95%. Interprete el resultado. ¿Concluiría de forma razonable que la media poblacional es de $50?¿Y de $60?
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Intervalo de Confianza Estimación de la Media – Mediante Fórmula
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22.435.4920
01.9093.235.49
20
01.935.49 19,025.
120,2/05.
1,2/
t
n
stX
n
stX n
Calcule el I.C usando la dist – t (como σ es desconocida)
Los puntos extremos del intervalo de confianza son $45.13 y $53.57.Conclusión: Resulta razonable que la media poblacional sea de $50. El valor de $60 no se encuentra en el intervalo de confianza. De ahí que se concluya que no es probable que la media poblacional sea de $60
Aproximación de la Distribución Normal a la Binomial
Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es necesario cumplir con los siguientes supuestos:
1. Las condiciones binomiales, se satisfagan las cuales son:a. Los datos de la muestra son resultado de conteos.b. Sólo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a uno de los resultados como éxito y al otro fracaso). c. La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba a la siguiented. Las pruebas son independientes. Esto significa que el resultado de la prueba no influye en el resultado de otra.
2. Los valores de nπ y n(1-π) deben ser mayores o iguales que 5. Esta condición permite recurrir al teorema del límite central y emplear la distribución normal estándar, es decir, z, para completar un intervalo de confianza.
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Intervalo de Confianza para la Proporción de una Población
El intervalo de confianza de la proporción de una población es cálculado mediante:
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n
ppzp
)1(2/
Confidence Interval for a Population Proportion- Example
El sindicato que representa Bottle Blowers of America (BBA) considera la propuesta de fusión con Teamsters Union. De acuerdo al reglamento del sindicato de BBA, por lo menos tres cuartas partes de los miembros del sindicato deben aprobar cualquier fusión. Una muestra aleatoria de 2,000 miembros actuales revela que 1,600 planean votar por la propuesta ¿Qué es el estimador de la proporción poblacional?
Determine un intervalo de confianza de 95% para la proporción poblacional. Fundamente su decisión en esta información de la muestra: ¿puede concluir que la proporción necesaria de miembros BBA favorece la fusión? ¿Por qué?
sindicato. del miembros los de 75% a
superiores valoresincluyeestimador el pues fusión, de
propuesta la apruebe se que probable Es :Conclusión
)818.0,782.0(
018.80.2,000
)80.1(80.96.180.0
)1(C.I.
95% de I.C el Calcule
80.02000
1,600
:muestra la de proporción la calcule Primero,
2/
n
ppzp
n
xp
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Factor de Corrección de una Población Finita
Una población con un límite superior es finita En el caso de una población finita, en la que el número total de objetos
o individuos es N y el número de objetos o individuos es n, se ajusta el error estándar de la media y de la proporción:
Sin embargo, si n/N < .05, el factor de corrección de una población finita puede ser ignorado
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1
Muestra una de Media
la deEstándar Error
N
nN
nx
1
)1(
Proporción una de Muestra
la deEstándar Error
N
nN
n
ppp
Efecto de el FCP cuando n/N Cambia
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Observe que FCP se acerca a 1 cuando n/N se hace más pequeño
Fórmulas de Intervalo de Confianza para la Estimación de Medias y Proporciones con un Factor de Corrección de una Población Finita
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1
N
nN
nzX
I.C. para la Media ()
1
)1(
N
nN
n
ppzp
I.C. para la Proporción ()
1
N
nN
n
stX
I.C. para la Media ()
IC para la Media con FCP - Ejemplo
Hay 250 familias en Scandia, Pennsylvania. Una muestra aleatoria de 40 de estas familias revela que la contribución anual media fue de $450, y la desviación estándar, de $75. ¿La media poblacional puede ser $445 o $425.
1.- ¿Cual es la media de la población?¿Cuál es el mejor estimador de la media poblacional?
2.- Analice la razón por la que se debe emplear el factor de corrección para una población finita.
3.- Construya un intervalo de confianza de 90% para la media de la población?
4.- Interprete el intervalo de confianza.
Dado en el Problema:N = 250n = 40s = $75
1.- No conoce la media poblacional, que es el valor que quiere calcular. El mejor estimador de la media poblacional es la media de la muestra, que es de $450.
2.- Como n/N = 40/250 = 0.16, el FCP debe ser usado.
3.- La desviación estándar de la población no es conocida por eso se utiliza la distribución t (puede usar la distribución z debido a que n>30)
Use la fórmula de abajo para calcular el intervalo de confianza
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1
N
nN
n
stX
IC Para la Media con FCP - Ejemplo
confianza. de intervalo al pertenece no $425y confianza de intervalo del
dentro encuentra se $445 de valor el quePor qué?¿Por $425. de sea que probable
es no pero Sí, $445? deser puedepoblación la de media ¿la palabras, otrasEn
$468.35. ainferior e $431.65 de más de sea lpoblaciona media la la que probable Es
)35.468,$65.431($
35.18$450$
8434.98.19$450$
1250
40250
40
75$685.1450$
1250
40250
40
75$450$
1
140,10.
t
N
nN
n
stX
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Elección del tamaño adecuado de una muestra
El tamaño adecuado de una muestra depende de tres factores:
El nivel de confianza deseado. El margen de error que tolerará el
investigador. La variabilidad de la población que se
estudia.
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Elección del tamaño adecuado de una muestra
Para encontrar el tamaño de la muestra:
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piloto) estudioun (para muestra la deestándar desviación la es -
deseado confianza de nivel
al ientecorrespondestándar normal valor el es -
admisibleerror el es -
:donde
2
s
z
E
E
szn
Elección del tamaño adecuado de una muestra - Ejemplo
Un estudiante de administración pública desea determinar la cantidad media que ganan al mes los miembros de los consejos ciudadanos de las grandes ciudades. El error a calcular la media debe ser inferior a $100, con un nivel de confianza del 95% . El estudiante encontró un informe del Departamento del Trabajo en el que la desviación estándar es de $1,000. ¿Cuál es el tamaño de la muestra que se requiere?
Dado en el problema: E, el máximo error admisible, es $100 El valor de z para un nivel de confianza
de 95% es1.96, El estimador de la desviación estándar
es $1,000.
385
16.384
)6.19(
100$
000,1$96.1
2
2
2
E
szn
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Elección del tamaño adecuado de una muestra - Ejemplo
Un grupo consumidor desea estimar la media del cargo de electricidad por familia en Julio con un error de $5 usando un nivel de confianza de 99%. ¿La desviación estándar es estimada de estudios similares la cual es $20.00? ¿Qué tan grande debe ser la muestra?
25
1075
)20)(58.2(2
n
Tamaño del Muestra Para Proporciones
La fórmula para determinar el tamaño de la muestra en el caso de una proporción es:
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permitido.error máximo el -
deseado confianza de nivel el para-z de valor el -
0.50 usadoser puede asi fuera no si
fuente, otra alguna de o piloto estudioun de estimado es
:donde
)1(2
E
z
p
E
Zppn
Otro Ejemplo
El Club American Kennel desea estimar la proporción de niños que tiene como mascota a un perro. Si el club desea que el margen de error sea del 3% de la proporción de la población ¿cuantos niños tendrán que contactar? Se requiere un nivel de confianza del 95% y el club estimó que el 30% de los niños tiene un perro como mascota.
27
89703.
96.1)70)(.30(.
2
n
Otro Ejemplo
Un estudiante desea estimar la proporción de ciudades que cuantan con recolectores de basura privados. El estudiante desea que el margen de error se encuentre a .10 de la proporción de la población el nivel de confianza deseado es de 90%, y no se encuentra disponible ningún estimador para la proporción de la población. ¿Cuál es el tamaño de la muestra?
ciudades. 69
0625.6810.
65.1)5.1)(5(.
2
n
n
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Uso de Intervalos de Confianza para verificar Hipótesis.
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Los intervalos de confianza permiten verificar hipótesis planteadas respecto a parámetros poblacionales.
Por ejemplo, supongamos que se plantea la hipótesis de que el promedio de peso de nacimiento de cierta población es igual a la media nacional de 3250 gramos.
Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la población en estudio, se obtuvo:
= 2930s= 450n= 30
Al construir un intervalo de 95% de confianza para la media poblacional, se obtiene:
Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091 gramos, con una confianza de 95%. Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).
Algunos Detalles.
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La distribución Normal estándar es una distribución normal con media =0 y varianza,=1. Una variable distribuida N(0,1) generalmente se denota con la letra “z”.En particular, si X~N (, ), entonces z = (X-)/ tiene distribución normal estándar.
1. Un intervalo de confianza aporta más información que un estimador puntual cuando se quiere hacer inferencias sobre parámetros poblacionales.2. Existen intervalos de confianza bilaterales y unilaterales.3. La amplitud de un intervalo de confianza está determinado por: el nivel de confianza establecido ;la variabilidad de los datos; el tamaño de la muestra.4. En un estudio Caso-Control o uno de Cohorte, es posible (y frecuentemente deseable) construir intervalos de confianza para Odds Ratios y Riesgos Relativos.5. Un intervalo de confianza permite verificar hipótesis planteadas acerca de parámetros poblacionales.
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