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Sección I: Distribuciones muestrales. 1.I.- Se desea evaluar el rendimiento de 2 grupos de baterías propias para autos eléctricos. Se eligen aleatoriamente 12 de cada tipo. Las del grupo 1 dan al auto 150 kilómetros de autonomía. Las del grupo 2, en igualdad de condiciones, proporcionan 164 kilómetros de autonomía; en ambas poblaciones se conoce una desviación estándar de 15 kilómetros. R= P(X2 – X1 > 14) = 0.0111 a.- Evaluar la probabilidad de que la diferencia en el rendimiento medio fuera superior a los 14 kilómetros. b.- Se cree que colocadas en diferentes sentido las baterías 2, pueden rendir 20 kilómetros o más que las baterías 1. Encontrar la probabilidad de que esto ocurra. R= P(X2 – X1 ≥ 20) = 0.1635 2.I.- La proporción de una población es de 0.4. Se tomará una muestra aleatoria simple de tamaño 200 y se usará la proporción de la muestra para estimar la de la población:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a ± 0.03 o de la proporción poblacional? R= P(-0.03≤p≤0.03)= 0.6157

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a ± 0.05 o de la proporción poblacional? R= P(-0.05≤p≤0.05)= 0.8529 3.I.- El presidente de Distribuciones Díaz, S.A., cree que 30% de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos. Si se van a usar una muestra aleatoria siempre de 100 pedidos para estimar la proporción de clientes nuevos. a) Suponga que el presidente esta en lo correcto y que p=0.30 ¿Cuál es la desviación estándar de p

para este estudio? R= 𝜎 = 0.0458 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral p esté entre 0.2 y 0.4? R= P(-0.05 ≤ p ≤ 0.05) = 0.9707 c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral p esté entre 0.25 y 0.35? R= P(-0.25 ≤ p ≤ 0.35) = 0.7243 4.I.- Suponga que las estaturas de 3000 estudiantes varones en una universidad tiene distribución normal con media 68 pulgadas y desviación estándar 3 pulgadas. Si se obtienen 80 muestras de 25 estudiantes cada una ¿Cuál será la media y la desviación estándar de la distribución muestral de medias si las muestras se tomaron:

a) con reemplazo? R= 𝜇X= 68, 𝜎X= 0.6 b) sin reemplazo? R= 𝜇X= 68, 𝜎X= 0.5975 5.I.- Un teleférico, lleva a los esquiadores a la cima de la montaña. Hay una placa que indica que su capacidad máxima es de 12 personas o 2004 libras. Dicha capacidad se excedería si 12 personas tienen pesos con una media mayor que 2004/12 =167 libras. Puesto que los hombres suelen pesas más que las mujeres, el peor de los casos implicaría a 12 pasajeros hombres. Los pesos de los hombres se distribuye normalmente, con una media de 172 libras y una desviación estándar de 29 libras. a) Calcule la probabilidad de que al seleccionar aleatoriamente a un hombre, su peso sea mayor de 167 libras. R= P(W> 167) = 0.5675 b) Calcule la probabilidad de que 12 hombres que se seleccionaron al azar, tengan una media mayor de 167 libras (de manera que su peso total sea mayor que la máxima capacidad del teleférico de 2004 libras). R= P(W> 167) = 0.7257 6.I.- Determine los valores de t, en la distribución t de Student que satisfacen cada una de las condiciones siguientes: a) el área entre –t, y t, sea 0.90 y v= 25, b) el área a la izquierda de –t, sea 0.025 y v= 20, c) el área a la derecha de t, junto con el área a la izquierda de –t, sea 0.01 y v= 5, d) el área a la derecha de t1 sea 0.55 y v= 16. R= a) 1.71, b) 2.09, c) 4.03, d) -0.128.

UPIICSA

SUBDIRECCIÓN ACADÉMICA

JEFATURA DE CIENCIAS BÁSICAS

ACADEMIAS DE MATEMÁTICAS

ESTADÍSTICA

TAREA: 2DA UNIDAD. 19/04/14

PROF. ING. ERIC PÉREZ ALTAMIRANO

7.I.- Determine los valores de 𝜒2 para los que el área de la cola de la derecha de la distribución de 𝜒2 es 0.05, si el número de grados de libertad v es igual a a) 8, b) 19, c) 28, d) 40. R= a) 15.5, b) 30.1, c) 41.3, d) 55.8 8.I Hallar la probabilidad que de los siguientes 200 nacimientos a) menos de 40% sean niños, b) entre 43 y 57% sean niñas, c) más de 54% sean niños. Suponga la misma probabilidad para el nacimiento de un niño o de una niña. R= a) 0.0029, b) 0.9596, c) 0.1446. 9.I En 1 000 muestras de 200 infantes cada una, ¿en cuántas puede esperarse encontrar que a) menos de 40% sean niños, b) entre 40 y 60% sean niñas, c) 53% o más sean niñas. R= a) 2, b) 996, c) 218. 10.I Una urna contiene 80 canicas de las cuales 60% son rojas y 40% blancas. En 50 muestras de 20 canicas, cada una tomada con reemplazo (devolución a la urna), ¿cuántas muestras puede esperarse que contenga a) el mismo número de canicas rojas y blancas, b) 12 canicas rojas y 8 blancas, c) 8 canicas rojas y 12 canicas blancas, d) 10 o más canicas blancas? R= a) 6, b) 9, c) 2, d) 12. 11.I Un fabricante tiene 1 000 lotes, cada uno 100 bombillas eléctricas. Si normalmente 5% de éstas tienen algún defecto, ¿en cuántos lotes se esperará a) menos de 90 bombillas buenas, b) 98 o más bombillas buenas? R= a) 19, b) 125. 12.I La resistencia media de la ruptura de los cables producidos por los fabricantes A y B es de 4 000 y 4 500 libras con desviación estándar de 300 y 200 libras, respectivamente. Si se prueban 100 cables de A y 100 cables de B, ¿Cuál es probabilidad de que la resistencia media a la ruptura B sea a) por lo menos 600 libras mayor que la de los cables A, b) por lo menos 450 libras mayor que la resistencia de los de A?. R= a) 0.0028, b) 0.9172. 13.I En una prueba de aptitudes, la calificación media de los estudiantes fue de 72 puntos y la desviación estándar de 8 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que de dos grupos de estudiantes, uno de 28 y otro de 36, difieran en las medias de sus calificaciones en: a) 3 o más puntos, b) 6 o más puntos, c) entre 2 y 5 puntos? R= a) 0.2150, b) 0.0064, c) 0.4504. 14.I Una urna contiene 60 canicas rojas y 40 blancas. Se extraen con reemplazo dos conjuntos de 30 canicas cada una y se anota su color. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los dos conjuntos sea de 8 o más canicas rojas?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre los dos conjuntos sea de 8 o más canicas rojas, pero hecha sin reemplazo? R= a) 0.0482, b) 0.0188. 15.I La varianza de una población normal es de 15. Si de esta población se toman muestras de tamaño 5, ¿Qué porcentaje puede esperarse que tenga una varianza a) menor de 10, b) mayor que 20, c) entre 5 y 10? R= a) 0.2150, b) 0.0064, c) 0.4504 16.I Se encuentra que las vidas medias de los cinescopios fabricados por una compañía tienen una distribución normal cuya media es de 2 000 horas y desviación estándar de la muestra es de 60 horas. Si se toman al azar 10 cinescopios, determine la probabilidad de que la desviación estándar a) no sea mayor a 50 horas, b) esté entre 50 y 70 horas. R= a) 0.3600, b) 0.4900. Sección II: Estimación e intervalos de confianza. 1.II Una urna contiene canicas rojas y blancas en proporción desconocida. En una muestras de 60 canicas tomadas esta urna con reposición, se observó que 70% eran rojas. Encontrar límites de confianza de: a) 95%, b) 99%, c) 99.73% para la verdadera proporción de canicas rojas en esta urna. R= a) [0.58, 0.82], b) [0.55, 0.85], c) [0.53, 0.87] 2.II Se realizó un sondeo con 1 000 personas mayores de 65 años para determinar el porcentaje de la población de este grupo de edad que tiene conexión a Internet. Se encontró que 387 de las 1 000 personas contaban con conexión a Internet. Encontrar un intervalo de confianza de 97.5% para p. R= a) [0.35, 0.42]

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3.II Se cree que los resultados de la elección entre dos candidatos sean muy reñidos. ¿Cuál será la cantidad mínima de votantes que habrá que sondear para tener una confianza de: a) 80%, b) 90%, c) 95% y d) 99% para una decisión a favor de cualquiera de los candidatos? R= a) 16 400, b) 27 100, c) 38 420 d) 66 000 4.II Una muestra de 12 mediciones de la fuerza necesaria para romper hilos de algodón se obtuvo una media de 7.38 onzas y una desviación estándar de 1.24 onzas. Encuentre los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de la media real de la fuerza de rompimiento. R= a) [6.56, 8.2] b) [6.22, 8.54] 5.II Se registraron las siguientes cinco mediciones del tiempo de reacción de un individuo a cierto estímulo: 0.28, 0.30, 0.27, 0.33 y 0.31 segundos. Calcule los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de la media real del tiempo en reacción. R= a) [0.298, 0.328] 6.II La media y desviación estándar de las máximas cargas soportadas por 60 cables son 11.09 toneladas y 0.73 toneladas, respectivamente. Determine los límites de confianza para a) 95% y b) 99% de la media de las cargas máximas de todos los cables producidos por la compañía. R= a) [10.91, 11.27], b) [10.85, 11.33], 7.II La media y desviación estándar de los diámetros de una muestra de 250 cabezas de remaches que fabrica una compañía son 0.72642 y 0.00058 pulgadas, respectivamente. Calcule los límites de confianza para a) 99%, b) 98%, c) 95%, d) 90% de la media de diámetro de todas las cabezas de remache que produce la compañía. R= a) [0.726242, 0.726337], b) [0.726157, 0.726327], c) [0.726117, 0.726314], d) [0.726182, 0.726302] 8.II Determinar los límites de confianza de a) 50% y b) el error probable para la media del diámetro de las cabezas de los remaches del problema anterior. R= a) [0.726217, 0.726267], b) 0.000025 9.II Si la desviación estándar del tiempo de vida de tubos de televisión se estima en 100 horas, ¿de que tamaño debe ser la muestra para tener una confianza para a) 95%, b) 90%, c) 99% y d) 99.73% de que el error en el tiempo de vida media estimado no exceda de 20 horas? R= a) por lo menos 97, b) por lo menos 68, c) por lo menos 167, d) por lo menos 225. 10.II A los integrantes de un grupo de 50 personas que acostumbran a comprar por Internet se les preguntó cuánto gastaban anualmente en las compras por Internet. Las respuestas están en la tabla: Encontrar un intervalo de 80% para 𝜇, la cantidad media gastada por las personas que compran por Internet. R= a) [286.064, 332.856]

418 379 77 212 378

363 434 348 245 341

331 356 423 330 247

351 151 220 383 257

307 297 448 391 210

158 310 331 348 124

523 356 210 364 406

331 364 352 299 221

466 150 282 221 432

366 195 96 219 202

11.II Una empresa tiene 500 cables. En una prueba realizada a 40 cables tomados en forma aleatoria se encuentra que la resistencia media a la ruptura es 2 400 libras (lb) y la desviación estándar es 150 lb. a) ¿Cuáles son los límites de confianza de 95% y 99% para la estimación de la resistencia media a la ruptura de los 460 cables restantes?, b) ¿Con qué grado de confianza se puede decir que la resistencia media a la ruptura de los 460 cables restantes es 2 400 ± 35 lb?. R= a) [2 355, 2445], [2 341, 2 459], b) 87.6%

12.II Se tienen dos grupos similares de pacientes, A y B, que constan de 50 y 100 individuos, respectivamente. A las personas del primer grupo se les administra una nueva pastilla para dormir, y a las del segundo, una pastilla convencional. En los pacientes de grupo A la media de la cantidad de horas de sueño es 7.82 y la desviación estándar 0.24 horas; en los pacientes del grupo B la media de la cantidad de horas de sueño es 7.82 y la desviación estándar es 0.30 horas. Encontrar los límites de confianza: a) de 95% y b) de 99% para la diferencia entre las medias de la cantidad de horas de sueño inducido por los dos tipos de pastillas para dormir. R= a) [0.98, 1.16], b) [0.95, 1.19] 13.II Se comparan dos áreas de un país respecto a la proporción de adolecentes con caries. En una de estas áreas se agrega flúor al agua y al otro no. En la muestra del área en donde no se agrega flúor al agua, 425 de 1 000 adolecentes tienen por lo menos una caries. En la muestra del área donde sí se agrega flúor al agua, 376 de 1 000 adolecentes tienen por lo menos una caries. Dar un intervalo de confianza de 99% para esta diferencia. R= [-0.0918959, -0.00610414] 14.II Se realiza un estudio para comparar la duración media de vida de los varones con la de las mujeres. Se toman muestras aleatorias de las páginas del obituario; los datos recolectados se presentan en la tabla siguiente: Hallar un intervalo de confianza del 85% para 𝜇VARONES – 𝜇MUJERES . R= [-7.99550, -0.20948]

Varones Mujeres

85 53 100 49 65 64 93 82 71 77 60 51 61 83 65 64 60 75 87 60 55 99 56 55 55 61 84 91 61 85 90 72 62 69 59 105 90 59 86 62 49 72 58 60 68 71 99 98 54 94 90 74 85 80 77 98 61 108 79 50 62 65 81 55 71 66 74 60 90 95 78 49 78 80 75 81 86 65 86 81 53 82 109 87 78 92 77 82 86 79 72 104 70 31 50 91 93 63 93 53