estatica-informe

7/25/2019 ESTATICA-INFORME

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Ejes GiradosSea un rea A, un sistema coordenado xy y un segundo sistemacoordenado xyque est girado un ngulo con respecto al sistemacoordenado xy(Figura 1a). Supongamos que conocemos los momentos

de inercia de A en trmino del sistema coordenado xy.

Nuestro obeti!o es determinar los momentos de inercia con respecto alsistema coordenado xy. "n #unci$n de la distancia radial r a unelemento di#erencial de rea dA y al ngulo % de la (Figura 1b), lascoordenadas de dA en el sistema xy son&

x=r cos , (1)

y=r sin . (')

as coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son&

()=r

x'=r cos

( coscos+sinsin ), ()

y'=r sin()=r ( sincoscossin , (*)

"n las ecuaciones () y (*) utili+amos identidades trigonomtricas parael coseno y el seno de la di#erencia de dos ngulos.

Sustituyendo las ecuaciones (1) y (') en las ecuaciones () y (*),obtenemos otras que relacionan las coordenadas de dA en los dossistemas&

x'=xcos+ysin , ()

y'=xsin+y cos (-)


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on estas e/presiones podemos deducir relaciones entre los momentosde inercia de A en trminos de los sistemas coordenados /y y /0y0&

Momento de Inercia respecto al eje x

x sin+ycos

Ix '= (y ')2 dA=

Ix '=cos2y2dA2sin cos

A

xydA+sin2A

x2dA .

e esta ecuaci$n obtenemos

Ix '=Ixcos22Ixy sincos+Iysin

2 . (2)

Momento de Inercia respecto al eje y

Iy'=A

(x ')2 dA=A

(x cos+y sin)2 dA

Iy'=sin2

A

y2dA+2sincos

A

xydA+cos2 A

x2dA .

"sta ecuaci$n nos da como resultado

Iy'=Ixsin2+2Ixysincos+Iy cos

2 . (3)

Ejes principales

4emos !isto que los momentos de inercia de A con respecto al sistemacoordenado /0y0 dependen del ngulo mostrado en la #igura (1a).onsideremos la siguiente pregunta& 56ara qu !alores de es el

momento de inercia Ix ' m/imo o m7nimo8

6ara contestar esta pregunta, es con!eniente usar las siguientesidentidades trigonomtricas

sin2=2sin cos


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cos2=cos2sin2=12sin2=2cos21

adas estas e/presiones, podemos escribir las ecuaciones

Ix '=Ixcos22Ixy sincos+Iysin

2 .

I

(xIy)sincos+(cos2sin2)Ixy

Ix ' y '=

de la siguiente manera, respecti!amente&

Ix '=Ix+Iy

2+

IxIy2

cos2Ixysin 2 , (9)

Iy'=Ix+Iy2

IxIy2

cos2+Ixy sin 2 , (1:)

Ix ' y '=IxIy

2sin2+Ixy cos2 . (11)

"l !alor de para el cual Ix ' es m/imo o m7nimo, se denotar como

p .

6ara determinar p e!aluamos la deri!ada de la ecuaci$n (9) con

respecto a 2 y la igualamos a cero, obteniendo

tan 2p= 2Ixy

IyIx (1')

as dos ra7ces, p1yp2 de esta ecuaci$n estn separadas 9:; y

especi


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Si sustituimos cada una de lasrelaciones de seno y coseno en laecuaci$n (9) o la ecuaci$n (1:), ysimplin el signo que se elia, esteresultado proporciona elmomento de inercia m/imo om7nimo para el rea. Adems, si las relaciones trigonomtricas

anteriores para

p1y

p2 se sustituyen en la ecuaci$n (11), se puede

!er que Iuv=0 ? es decir, el producto de inercia con respecto a los ees

principales es cero. ado que el producto de inercia es cero con respectoa cualquier ee simtrico, se in


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Determinacin de Ix ', Iy'e Ix ' y '

6rimero describimos c$mo construir elc7rculo de o=r y luego e/plicamosc$mo #unciona. Supongamos que

conocemos los momentos de inerciaIx , Iy e Ixy de un rea con respecto a un

sistema coordenado /y, y que queremosdeterminar los momentos de inerciarespecto a un sistema coordenadogirado /0y0 (Figura '). a construcci$ndel c7rculo de o=r consta de tres pasos&

1. "stablecer un conunto de ees =ori+ontal y !ertical, y gra


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. ibuar una l7nea recta que pasepor el centro del c7rculo a un ngulo ' medido en sentido

anti=orario desde el punto I . "sta l7nea interseca el c7rculo en el

punto I ' con coordenadas ( Ix ', Ix ' y ' ) y en el punto '0 con

coordenadas (

Iy',Ix ' y ') (Figura c).

e esta manera, para un ngulo dado, las coordenadas de los puntos10 y '0 determinan los momentos de inercia en trminos del sistemacoordenado girado. 56or qu #unciona esta construcci$n gr


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sin=Ixy

R , cos=

IxIy2R

,

donde E, que es el radio delc7rculo, est dado por&

R=(IxIy

2)2

+(Ixy)2

e la Figura *b, la coordenada =ori+ontal en el punto 10 es&

Ix+Iy2

+Rcos(+2)=Ix+Iy

2+R(coscos 2sinsin 2)

Ix+Iy

2+

IxIy2

cos2Ixysin 2=Ix'

la coordenada =ori+ontal del punto '0 es&

Ix+Iy2

R cos (+2 )=Ix+Iy

2R(coscos2sin sin 2)

Ix+Iy

2

IxIy2

cos2+Ixysin 2=Iy '

a coordenada !ertical del punto 10 es&

R sin(+2)=R(sincos2+cos sin 2)

G Ixy cos2+Ix+Iy

2sin 2=I

x'y

'

la coordenada !ertical de '0 es&


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R sin (+2 )=Ix ' y '

4emos mostrado que las coordenadas del punto 10 son ( Ix ', Ix ' y ' ) y las

del punto '0 son ( Iy',Ix ' y ' ).

Determinacin de los ejes principales y de los momentos deinercia principales

6uesto que los momentos de

inercia de Ix 'e Iy ' son las

coordenadas =ori+ontales delos puntos 10 y '0 del c7rculode o=r, sus !alores m/imoy m7nimo se presentan

cuando los puntos 10 y '0coinciden con lasintersecciones del c7rculo conel ee =ori+ontal (Figura ).(a intersecci$n que sedesigna como 10 es arbitraria. "n la


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Momentos principalesdeinercia=Ix+Iy

2 R

Ixy

(Ix+Iy

2)2

+

Ix+Iy

2

EJERCICI! DE A"#ICACI$%

Ejercicio &' etermine los momentos de inercia y el producto deinercia del rea de la secci$n trans!ersal de la !iga con respecto a losees u y !.


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"ara el productode inercia con respecto a los ejes x e y& donde el rea de la secci$nrectangular es simtrico alrededor del ee / e y&

Ixy G:

Ix= 1

12(3)(6)3 G* in*

Iy= 1

12

(6)(3)3 G1. in*

"ara el producto de inercia con respecto a los ejes u y ( & conHG:

Iu=Ix+Iy

2+

IxIy2

cos2Ixysin 2 G

60

()

54+13.5

2+5413.5

2cos (60)0sin

G*.9 in*

Iv=Ix+Iy

2IxIy

2cos2+Ixy sin2 G

54+13.52

5413.52

cos60+0sin 60

G'.- in*

Iuv=IxIy

2sin 2+Ixy cos2=

5413.52

sin(60)+0cos(60) IG12. in*


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Ejericicio )' etermine la orientaci$n de los ees principales, loscuales tienen su origen en el centroide del rea de la secci$n

trans!ersal de la !iga. Adems, encuentre los momentos de inerciaprincipales.

Soluci$n&


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"ara el

producto de inercia con respecto a los ejes x e y' a distanciaperpendicular media medida desde el segmento subdi!idido a los ees /e y son indicados en la


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Imin=5.026 (1:-)mm*

Crientacion de los ees principales&

tan 2p G

I

(xIy)2

Ixy

G(

22.4

(10

6

))(107.839.907)(106)2

G :.*2

2p=24.58 y115.42

p=12.29 y77.71

Sustituyendo H G p G 1'.'9;

Iu=Ix+Iy

2+

IxIy2

cos2Ixysin 2 G

107.83+9.9072

+107.839.907

2cos24.58(22.4 ) sin24.58 G11'.21G Imax

"sto muestra que Imax corresponde al ee principal orientado en&

G Imax=112.71(106) mm* ( p )1 G 1'.'9;

"sto muestra que Imin corresponde al ee principal orientado en&

Imin=5.03 (106 ) mm* ( p )1 G K22.2;


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Ejercicio*'ocalice el centroide del rea de la secci$n trans!ersal

de la !iga y despus determine los momentos de inercia de esta rea yel producto de inercia con respecto a los ees u y !. os ees tienen suorigen en el centroide .


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Soluci$n

"ara el centroide& a distanciaperpendicular medida desde el centroidede cada segmento subdi!idido desde laparte in#erior de la secci$n de la !iga sonlos indicados en la siguiente


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"ara el producto de inercia con respecto a los ejes x e y & ladistancia perpendicular medida desde el centroide de cada segmento alos ees / e y son indicados en la siguiente


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Iv=Ix+Iy

2

IxIy2

cos2+Ixy sin2 G

!

48.78+41.672

48.7841.672

cos

120

+0sin

120

! (1:-)G*2.:(1:-)mm*

Iuv=IxIy

2sin 2+Ixy cos2=

48.7841.672

sin(120)+0cos(120)=3.08 (1:-)m

m*

Ejercicio +' ocali+e el centroide " y del rea de la secc7on

trans!ersal y despus determine la orientaci$n de los ees principales,los cuales tienen su origen en el centroide del rea. Adems,

encuentre los momentos de inercia principales.

Soluci$n

"ara el centroide& a distancia perpendicular medida desde elcentroide de cada segmente subdi!idido del rea de la secci$n desde lai+quierda y parte in#erior de la !iga son indicados en la


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adems&

"=" AA G

0.25 (6 ) (0.5 )+3.25 (5.5)(0.5)6 (0.5)+5.5(0.5) G 1.-3 inG 1.-3in

= AA G

3 (6 ) (0.5 )+0.25(5.5)(0.5)6 (0.5 )+5.5(0.5) G 1.-3 inG 1.-3in

"ara el producto de inercia'con respecto a los ees / e y& la distanciaperpendicular medida desde el centroide de cada segmento de los ees /

e y son indicado en la


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Ix=[ 112 (5.5) (0.5)3+5.5(0.5)(1.435)2] J[ 112 (0.5 ) (6 )3+0.5 (6)(1.565)2] G19.9:3 in*

Iy=[ 112

(6 ) (0.5)3+6(0.5)(1.435)2] J[ 112

(0.5 ) (5.5)3+0.5(5.5)(1.565)2] G19.9:3 in*

Ixy=6 (0.5 ) (1.435 ) (1.315 )+5.5(0.5 ) (1.565 ) (1.435 ) G K11.32 in*

"rincipales momentos de inercia'

Imaxmin

=Ix+Iy

2(

IxIy2 )

2

+Ixy2

G19.908+19.908

2(19.90819.9082 )

2

+(11.837 )2

Imax=31.7 4

Imin=8.07 4

Crientaci$n de los ees principales&

tan 2p G

I

(xIy)2

Ixy

G

(11.837)(19.90819.908)

2

G L

2p=90 y90

p=45 y45

Sustituyendo H G p G *;

Iu=Ix+Iy

2+

IxIy2

cos2Ixysin 2 G

19.908+19.9082

+19.90819.908

2cos90(11.837) sin 90

"sto muestra que Imax corresponde al ee principal orientado en&

G Imax31.74 ( p )1 G *;


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"sto muestra que Imin corresponde al ee principal orientado en&

Imin8.074 ( p )1 G *;

a orientaci$n de los ees se muestra en la >ltima


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Soluci$n&

"ara el centroide& a distancia perpendicular medida desde elcentroide de cada segmento subdi!idido de la parte in#erior de lasecci$n de la !iga es indicado en la siguiente


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G 3.' in

"ara el producto de inercia con respecto a los ejes x e y' adistancia perpendicular medida desde el centroide de cada segmento alos ees / e y son indicados en la


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"ara el momento de inercia con respecto a los ejes u y ( & conHG-:;

Iu=Ix+Iy

2+

IxIy2

cos2Ixysin 2 G

120

()

302.44+45

2 +302.4445

2 cos(120)0sin

G1:9.- in*

Iv=Ix+Iy

2

IxIy2

cos2+Ixy sin2 G

!302.44+45

2

302.44452

cos(120)+0sin (120) ! G'3.:3 in*

Iuv=

IxIy2

sin 2+Ixy

cos2=

302.44452

sin

(120

)+0cos

(120

) IG111.*2 in*

Ejercicio -' Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del cuarto de elipse, con respecto a un nue!osistema de ees / e y alrededor de C en un ngulo de&

a) *; en sentido contrario al de las manecillas del relo.

b) :; en el mismo sentido que las manecillas del relo.

Soluci$n&

Se sabe que&


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Mprom. GIx+Iy

2 G

#

8a

4+#

2a4

2

G Mprom. G5 # a

4

16

"l radio del c7rculo de o=r es EG

(IxIy

2 )2

+(Ixy)

2

E G 9 #

4a

8

162 +

a8

4G E G :.22'-* a

4

El crculo de Mohr

@an' mG2Ixy

Ix+Iy=

2( a4

2)# a

4

8+ # a

4

2

= 8

3#

2m=40.325

=902m $=49.675

=180(2m2% )

=180(40.325+60 )$ =79.675

a) 6ara =45

Ix '=IpromRcos

Ix '=5 # a

4

160.77264a4cos (49.675 )

Ix '=0.4817a4

Iy'=Iprom+Rcos

Iy'=5# a4

16+0.77264a4cos (49.675 )

Iy'=1.4817 a4

Ix ' y '=Rsen

Ix ' y '=0.77264a4sen (49.675)


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Ix ' y '=0.589a4

b) 6ara =30

Ix '=Iprom+Rcos

Ix '=5 # a4

16+0.77264 a4cos (79.675 )

Ix '=1.1202a4

Iy'=IpromRcos

Iy'=5# a

4

160.77264 a4cos (79.675 )

Iy'=0.843a4

Ix ' y '=Rsen

Ix ' y '=0.77264 a4

sen(79.675 )

Ix ' y '=0.76 a4

Ejercicio .' Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del rea del gr


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Soluci$n&

Se sabe que&

Ix=68.96106mm4

Iy=132.48106

mm4

Ixy=21.6106mm

4

A=ora el c7rculo de o=r queda de


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Adems&

Ix '=IpromRcos

Ix '=100.7210638.41106 cos (94.22 )

Ix '=103.55106

mm4

Iy'=Iprom+Rcos

Iy'=100.72106+38.41106cos (94.22)

Iy'=97.89106

mm4

Ix ' y '=Rsen

Ix ' y '=(38.41106)sen (94.22)

Ix

'

y

'=38.3106mm4


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Ejercicio /' Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del rea del gr


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"l centro del c7rculo de o=r est a una distancia de Iprom del origen

Mprom. GIx+Iy

2 G

324 #+648 #2 ?Mprom. G 486 #

4

"l radio del c7rculo de o=r es&

EG (IxIy

2 )2

+(Ixy)2

G (324 #2 )2

+(864)2

? EG 1002.7534

7rculo de o=r

@an' mG2IxyIxIy G

2(864)324 #648#

2m=59.5

omo 2m+=120$ =60.5

As7& Ix '=IpromRcos

Ix '=324#1002.753cos (60.5 )

Ix '=1033.034

Iy'=Iprom+Rcos

Iy'=648#+1002.753cos (60.5 )

Iy'=2020.59 4

Ix ' y '=Rsen

Ix ' y '=(1002.753)sen 60.5

Ix

'y

'=872.75 4


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Ejercicio 0'Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del rea del gr


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Ejercicio &1'Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentosy productos de inercia de la secci$n trans!ersal del ngulo R'R1* in

del gr


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Soluci$n&Se sabe que&

Ix=0.392 4

Iy=1.09 4

Ixy=0.37983 4



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As7&I

x '=IpromRcos

Ix '=0.7410.516cos (9077.42 )

Ix '=0.237 4

Iy'=Iprom+Rcos

Iy'=0.741+0.516cos (90 77.42 )

Iy'=1.244 4

Ix ' y '=Rcos

Ix ' y '=(0.516)cos (77.42 )

Ix

'y

'=0.1124 4

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