PROLOGO.

A menudo cuando observamos alguna obra de la ingeniería donde se hacen parte los cables lo lógico es preguntarse en un primera instancia qué es un cable; luego vienen preguntas tales como: cuál es su función dentro de la estructura (funcionalidad del cable), de qué material debe estar hecho un cable, cómo se debe discernir sobre cuando usar este elemento, etc.

Puentes en suspensión, puentes colgantes, llantas y en general grandes estructuras, son ejemplos concretos donde se utilizan los cables, elementos flexibles, hechos de material resistente para soportar tracción (generalmente de acero), con la finalidad principal de actuar como estructuras de soporte y de transmisión de cargas en la estructura.

Dada su alta importancia en las estructuras en que se encuentran presentes nuestro objetivo principal dentro de este informe es hacer un estudio acabado a cerca del comportamiento del cable al ser solicitado por fuerzas externas a él, para ello consideramos que las fuerzas (cargas) que solicitan al cable sean coplanares a él y que este último a su vez sea perfectamente flexible y no se puede extender.

ANTECEDENTES.

2

El cable es una maquina simple formada por un conjunto de elementos que transmiten fuerzas, movimiento y energía entre dos puntos. Existen dos tipos los de transmisión mecánica y los de potencia eléctrica.

Las partes principales que podemos encontrar en un cable son:

1. Torón: conjunto de alambres enrollados helicoidalmente alrededor de su centro.

2. Alma: eje central del cable donde se enrollan los torones. El material va desde el acero a la fibra natural y el polipropileno.

3. Fibra natural (sisal o Manila): es de elasticidad considerable permitiendo las amortiguaciones y frenadas bruscas, pero posee una baja resistencia al calor. Se usa en ascensores y cables de izaje.

Figura 1.

3

Nomenclatura básica de los cables convencionales:

Los cables se identifican mediante la nomenclatura que hace referencia a:

1. La cantidad de torones.2. La cantidad de alambres en cada torón.3. Una letra o palabra descriptiva indicando el tipo de construcción.4. Designación de alma.5. Torsión6. Acabamiento (negro, galvanizado o cincado, revestidos).

Tabla 1.

Ejemplo (corte transversal de un cable):

6 torones. 7 alambres por torón. 1 alma (fibra o acero).

(a) (b) En (a) tenemos una torsión izquierda, en (b) tenemos una tensión derecha (la cual es mundialmente aceptada).

Materiales

Debido a que los cables solo sostienen fuerzas de tracción, se hacen de acero.

Principales fallas de cables.Que producen la disminución de la resistencia a la tracción y la fatiga.

Tabla 2.

Tipo de falla Modo de fallaFractura (rotura de torones y alambres) Súbita

FatigaDesgaste Adhesivo (roce)

Abrasivo (contacto con partículas)Corrosión (desprendimiento de iones metálicos) Generalizada

PicaduraDescarga (fundición por altas temperaturas) EléctricaDeformación (aplastamiento, momentos flectores) Identación (presión severa)

Doblado (tirón)

ANALISIS.

Consideraremos tres casos en el análisis estructural de un cable, los cuales son:1. Un cable sujeto a cargas concentradas.2. Un cable sujeto a cargas distribuidas.3. Un cable sujeto a su peso propio.

A continuación se detalla cada uno de los casos anteriormente presentados.

1. Un cable sujeto a cargas concentradas.

Un cable (de peso despreciable comparado con las cargas a las que es solicitado) sujeto a cargas concentradas tomará una forma natural de varios segmentos de línea recta (polígono funicular, figura 2) para soportar los esfuerzos de tracción a la cual está siendo requerido, esto es, al estado de tensión en el cual las partículas del cable tienden a separarse. En base a lo anterior cada segmento de línea será una incógnita ya que presentará una tensión propia asociada. Consideramos cada segmento de línea recta como un miembro de dos fuerzas y las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tracción dirigida según el cable.

Figura 2.Polígonos Funiculares

Nuestra motivación es poder determinar la forma del cable, es decir, la distancia vertical desde el soporte A (ver figura 3) a cada uno de los puntos C, D, E y también la tensión T en cada segmento de línea recta del cable.

Procedimiento de trabajo:

Para determinar la tensión en cada tramo se empieza por determinar las reacciones.  Estas comprenden cuatro incógnitas lo cual hace que el sistema sea estáticamente indeterminado (sólo contamos con tres ecuaciones para el equilibrio en 2-D). Para poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición de un punto del cable en particular. Supongamos que se conoce la posición de la carga P2 con coordenadas (x2, y2).  Entonces tomando la porción de cable ACD se  tiene:

Lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier tramo es constante.

Figura 4. Figura 3.

Luego tomando momentos con respecto al punto B se obtiene una relación entre Ax y Ay.  En la figura 4, tomando momentos con respecto al punto D se obtiene otra relación entre Ax y Ay que con la anterior se pueden resolver simultáneamente para determinar Ax y Ay.

Una vez determinadas las reacciones en A se obtiene By, y como Bx = -Ax quedan completamente las reacciones.  Habiéndose determinado las reacciones se puede tomar cualquier porción del cable para hallar la tensión correspondiente.

Por ejemplo, tomando la porción AC (figura 5), se tiene que

y Como

y puesto que x2, x1 y y2 son conocidos se puede determinar la posición vertical y1 de la carga P1.  Repitiendo el procedimiento para cualquier otro tramo se obtiene la tensión en este y la posición de la carga concentrada correspondiente.

Figura 5.

Aplicación.

Para el cable con cargas puntuales (figura 6) dado se pide determinar si se sabe que

Desarrollo:

Haciendo equilibrio general y por secciones:

Además;

Con la geometría y las reacciones definidas se pueden determinar las pendientes y las tensiones en cada tramo.

Del equilibrio del nudo A:

Del equilibrio del nudo B:

Del equilibrio del nudo D:

La máxima pendiente es 53,13º en el tramo CD y la máxima tensión también ocurre en CD y es 125.

Figura 6.

2. Un cable sujeto a cargas distribuidas.

En el análisis de un cable que soporta cargas distribuidas, podemos considerar un número infinito de cargas que solicitan al cable, estas se pueden considerar como cargas concentradas suficientemente próximas, de tal manera que el cable adquirirá una forma curva (polígono funicular con infinito número de lados).  Supongamos inicialmente que la carga es uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal, tal es el caso de un puente colgante (figura 7).

Figura 7.

Sea w la carga uniforme a lo largo de la horizontal. Para determinar la forma que adquiere el cable con este tipo de carga se toma una porción de cable desde su punto mas bajo hasta un punto de coordenadas (x, y), (Figura 8).  La tensión en este punto T será tangente a la curva.

Tomando momentos con respecto al punto(x, y) se tiene que:

entonces:

Figura 8. que es la ecuación del cable parabólico, con origen en el punto más bajo del cable.  Con la ecuación (1) es posible determinar el valor de T0, conociendo la posición de un punto del cable.  Para determinar la tensión en cualquier punto, considerando el triángulo de fuerzas de la porción del cable se tiene que:

De la ecuación (2) se deduce que la máxima tensión estará en el punto más alto del cable y que la mínima tensión estará en el punto mas bajo y es T0. La longitud s del punto más bajo del cable, a un punto de coordenadas (x, y) es:

Aplicación.

Para el cable parabólico (figura 9) dado se pide determinar la flecha máxima d, la tensión máxima y el largo del cable l.

Desarrollo:

La fórmula del cable parabólico es:

Figura 9.

y

Reemplazando (3) y (4) en (2):

- =

Reemplazando (1) en (5):

Desarrollando:

Además, en , o sea:

Reemplazando esta última ecuación en la penúltima se tiene que: = 28,125

Y reemplazando hacia atrás:

La flecha máxima es igual a :

La tensión máxima está en B:

El largo se calcula con cualquiera de las fórmulas dadas:

l = 70,35

3. Un cable sujeto a su peso propio.

Los cables que cuelgan bajo la acción de su propio peso soportan una carga uniformemente distribuida en su largo (si el cable es homogéneo).

1. 2.

Diagrama de cuerpo libre.

Figura 10.

W=w * s.w = carga por unidad de longitud [N/m]W= magnitud de la carga total por una porción de cable de longitud s (desde punto C a punto D).

(1)

3.

(2) ecuación de una catenaria con eje verticalc= parámetro de catenaria

4.

(3)

Cuando apoyos A y B del cable tienen la misma elevación, la distancia L entre los apoyos recibe el nombre de claro del cable y la distancia vertical h desde los apoyos hasta el punto mas bajo C se conoce como flecha del cable.

Cuando el cable esta bastante tenso, se puede suponer que la carga esta uniformemente distribuida a lo largo de la horizontal y la catenaria se reemplaza por una parábola.

Cuando A y B tienen distintas elevaciones, no se conoce el punto más bajo. Entonces se resuelve en forma similar a lo señalado por cables parabólicos.

Figura 11.

Aplicación.

Un cable uniforme (figura 12) que pesa 3[lb/ft] se suspende entre dos puntos A y B situados en torres de alta tensión.

Determine: a. Los valores de la tensión máxima y mínima en el cable b. La longitud del cable.

Desarrollo:

Figura 12.

El valor de c se determina suponiendo valores de prueba sucesivos como n la siguiente tabla:

c 250/c 100/c (100/c)+1 cosh(250/c)300 0.833 0.333 1.333 1.367350 0.714 0.286 1.286 1.266330 0.758 0.303 1.303 1.301328 0.762 0.305 1.305 1.305

Tomando c = 328 se tiene que:

a.

b. Se reemplazan valores en esta ecuación:

CONCLUSIONES.

; Se sustituye en

100+c = cosh(250/c)

(100/c) +1 = cosh(250/c)

BIBLIOGRAFIA.

1. Beer, F.; Johnston, E.R., “Mecánica Vectorial para Ingenieros, Estática”, 5ª edición, Mc. Graw Hill/Interamericana de México, 1990.

2. Hibberler, R.C., “Ingeniería Mecánica, Estática y Dinámica”, 7ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana, México, 1995.

3. http://www.indeli.cl/catalogos/cat_cables_acero.pdf

INDICE.

Prólogo 02

Antecedentes 02-03

Análisis Un cable sujeto a cargas concentradas.

Un cable sujeto a cargas distribuidas.

Un cable sujeto a su peso propio.

03-05

06-07

08-09

Conclusiones 10

Bibliografía 10