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Ejes GiradosSea un rea A, un sistema coordenado xy y un segundo sistemacoordenado xyque est girado un ngulo con respecto al sistemacoordenado xy(Figura 1a). Supongamos que conocemos los momentos
de inercia de A en trmino del sistema coordenado xy.
Nuestro obeti!o es determinar los momentos de inercia con respecto alsistema coordenado xy. "n #unci$n de la distancia radial r a unelemento di#erencial de rea dA y al ngulo % de la (Figura 1b), lascoordenadas de dA en el sistema xy son&
x=r cos , (1)
y=r sin . (')
as coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son&
()=r
x'=r cos
( coscos+sinsin ), ()
y'=r sin()=r ( sincoscossin , (*)
"n las ecuaciones () y (*) utili+amos identidades trigonomtricas parael coseno y el seno de la di#erencia de dos ngulos.
Sustituyendo las ecuaciones (1) y (') en las ecuaciones () y (*),obtenemos otras que relacionan las coordenadas de dA en los dossistemas&
x'=xcos+ysin , ()
y'=xsin+y cos (-)
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on estas e/presiones podemos deducir relaciones entre los momentosde inercia de A en trminos de los sistemas coordenados /y y /0y0&
Momento de Inercia respecto al eje x
x sin+ycos
Ix '= (y ')2 dA=
Ix '=cos2y2dA2sin cos
A
xydA+sin2A
x2dA .
e esta ecuaci$n obtenemos
Ix '=Ixcos22Ixy sincos+Iysin
2 . (2)
Momento de Inercia respecto al eje y
Iy'=A
(x ')2 dA=A
(x cos+y sin)2 dA
Iy'=sin2
A
y2dA+2sincos
A
xydA+cos2 A
x2dA .
"sta ecuaci$n nos da como resultado
Iy'=Ixsin2+2Ixysincos+Iy cos
2 . (3)
Ejes principales
4emos !isto que los momentos de inercia de A con respecto al sistemacoordenado /0y0 dependen del ngulo mostrado en la #igura (1a).onsideremos la siguiente pregunta& 56ara qu !alores de es el
momento de inercia Ix ' m/imo o m7nimo8
6ara contestar esta pregunta, es con!eniente usar las siguientesidentidades trigonomtricas
sin2=2sin cos
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cos2=cos2sin2=12sin2=2cos21
adas estas e/presiones, podemos escribir las ecuaciones
Ix '=Ixcos22Ixy sincos+Iysin
2 .
I
(xIy)sincos+(cos2sin2)Ixy
Ix ' y '=
de la siguiente manera, respecti!amente&
Ix '=Ix+Iy
2+
IxIy2
cos2Ixysin 2 , (9)
Iy'=Ix+Iy2
IxIy2
cos2+Ixy sin 2 , (1:)
Ix ' y '=IxIy
2sin2+Ixy cos2 . (11)
"l !alor de para el cual Ix ' es m/imo o m7nimo, se denotar como
p .
6ara determinar p e!aluamos la deri!ada de la ecuaci$n (9) con
respecto a 2 y la igualamos a cero, obteniendo
tan 2p= 2Ixy
IyIx (1')
as dos ra7ces, p1yp2 de esta ecuaci$n estn separadas 9:; y
especi
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Si sustituimos cada una de lasrelaciones de seno y coseno en laecuaci$n (9) o la ecuaci$n (1:), ysimplin el signo que se elia, esteresultado proporciona elmomento de inercia m/imo om7nimo para el rea. Adems, si las relaciones trigonomtricas
anteriores para
p1y
p2 se sustituyen en la ecuaci$n (11), se puede
!er que Iuv=0 ? es decir, el producto de inercia con respecto a los ees
principales es cero. ado que el producto de inercia es cero con respectoa cualquier ee simtrico, se in
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Determinacin de Ix ', Iy'e Ix ' y '
6rimero describimos c$mo construir elc7rculo de o=r y luego e/plicamosc$mo #unciona. Supongamos que
conocemos los momentos de inerciaIx , Iy e Ixy de un rea con respecto a un
sistema coordenado /y, y que queremosdeterminar los momentos de inerciarespecto a un sistema coordenadogirado /0y0 (Figura '). a construcci$ndel c7rculo de o=r consta de tres pasos&
1. "stablecer un conunto de ees =ori+ontal y !ertical, y gra
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. ibuar una l7nea recta que pasepor el centro del c7rculo a un ngulo ' medido en sentido
anti=orario desde el punto I . "sta l7nea interseca el c7rculo en el
punto I ' con coordenadas ( Ix ', Ix ' y ' ) y en el punto '0 con
coordenadas (
Iy',Ix ' y ') (Figura c).
e esta manera, para un ngulo dado, las coordenadas de los puntos10 y '0 determinan los momentos de inercia en trminos del sistemacoordenado girado. 56or qu #unciona esta construcci$n gr
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sin=Ixy
R , cos=
IxIy2R
,
donde E, que es el radio delc7rculo, est dado por&
R=(IxIy
2)2
+(Ixy)2
e la Figura *b, la coordenada =ori+ontal en el punto 10 es&
Ix+Iy2
+Rcos(+2)=Ix+Iy
2+R(coscos 2sinsin 2)
Ix+Iy
2+
IxIy2
cos2Ixysin 2=Ix'
la coordenada =ori+ontal del punto '0 es&
Ix+Iy2
R cos (+2 )=Ix+Iy
2R(coscos2sin sin 2)
Ix+Iy
2
IxIy2
cos2+Ixysin 2=Iy '
a coordenada !ertical del punto 10 es&
R sin(+2)=R(sincos2+cos sin 2)
G Ixy cos2+Ix+Iy
2sin 2=I
x'y
'
la coordenada !ertical de '0 es&
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R sin (+2 )=Ix ' y '
4emos mostrado que las coordenadas del punto 10 son ( Ix ', Ix ' y ' ) y las
del punto '0 son ( Iy',Ix ' y ' ).
Determinacin de los ejes principales y de los momentos deinercia principales
6uesto que los momentos de
inercia de Ix 'e Iy ' son las
coordenadas =ori+ontales delos puntos 10 y '0 del c7rculode o=r, sus !alores m/imoy m7nimo se presentan
cuando los puntos 10 y '0coinciden con lasintersecciones del c7rculo conel ee =ori+ontal (Figura ).(a intersecci$n que sedesigna como 10 es arbitraria. "n la
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Momentos principalesdeinercia=Ix+Iy
2 R
Ixy
(Ix+Iy
2)2
+
Ix+Iy
2
EJERCICI! DE A"#ICACI$%
Ejercicio &' etermine los momentos de inercia y el producto deinercia del rea de la secci$n trans!ersal de la !iga con respecto a losees u y !.
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"ara el productode inercia con respecto a los ejes x e y& donde el rea de la secci$nrectangular es simtrico alrededor del ee / e y&
Ixy G:
Ix= 1
12(3)(6)3 G* in*
Iy= 1
12
(6)(3)3 G1. in*
"ara el producto de inercia con respecto a los ejes u y ( & conHG:
Iu=Ix+Iy
2+
IxIy2
cos2Ixysin 2 G
60
()
54+13.5
2+5413.5
2cos (60)0sin
G*.9 in*
Iv=Ix+Iy
2IxIy
2cos2+Ixy sin2 G
54+13.52
5413.52
cos60+0sin 60
G'.- in*
Iuv=IxIy
2sin 2+Ixy cos2=
5413.52
sin(60)+0cos(60) IG12. in*
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Ejericicio )' etermine la orientaci$n de los ees principales, loscuales tienen su origen en el centroide del rea de la secci$n
trans!ersal de la !iga. Adems, encuentre los momentos de inerciaprincipales.
Soluci$n&
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"ara el
producto de inercia con respecto a los ejes x e y' a distanciaperpendicular media medida desde el segmento subdi!idido a los ees /e y son indicados en la
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Imin=5.026 (1:-)mm*
Crientacion de los ees principales&
tan 2p G
I
(xIy)2
Ixy
G(
22.4
(10
6
))(107.839.907)(106)2
G :.*2
2p=24.58 y115.42
p=12.29 y77.71
Sustituyendo H G p G 1'.'9;
Iu=Ix+Iy
2+
IxIy2
cos2Ixysin 2 G
107.83+9.9072
+107.839.907
2cos24.58(22.4 ) sin24.58 G11'.21G Imax
"sto muestra que Imax corresponde al ee principal orientado en&
G Imax=112.71(106) mm* ( p )1 G 1'.'9;
"sto muestra que Imin corresponde al ee principal orientado en&
Imin=5.03 (106 ) mm* ( p )1 G K22.2;
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Ejercicio*'ocalice el centroide del rea de la secci$n trans!ersal
de la !iga y despus determine los momentos de inercia de esta rea yel producto de inercia con respecto a los ees u y !. os ees tienen suorigen en el centroide .
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Soluci$n
"ara el centroide& a distanciaperpendicular medida desde el centroidede cada segmento subdi!idido desde laparte in#erior de la secci$n de la !iga sonlos indicados en la siguiente
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"ara el producto de inercia con respecto a los ejes x e y & ladistancia perpendicular medida desde el centroide de cada segmento alos ees / e y son indicados en la siguiente
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Iv=Ix+Iy
2
IxIy2
cos2+Ixy sin2 G
!
48.78+41.672
48.7841.672
cos
120
+0sin
120
! (1:-)G*2.:(1:-)mm*
Iuv=IxIy
2sin 2+Ixy cos2=
48.7841.672
sin(120)+0cos(120)=3.08 (1:-)m
m*
Ejercicio +' ocali+e el centroide " y del rea de la secc7on
trans!ersal y despus determine la orientaci$n de los ees principales,los cuales tienen su origen en el centroide del rea. Adems,
encuentre los momentos de inercia principales.
Soluci$n
"ara el centroide& a distancia perpendicular medida desde elcentroide de cada segmente subdi!idido del rea de la secci$n desde lai+quierda y parte in#erior de la !iga son indicados en la
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adems&
"=" AA G
0.25 (6 ) (0.5 )+3.25 (5.5)(0.5)6 (0.5)+5.5(0.5) G 1.-3 inG 1.-3in
= AA G
3 (6 ) (0.5 )+0.25(5.5)(0.5)6 (0.5 )+5.5(0.5) G 1.-3 inG 1.-3in
"ara el producto de inercia'con respecto a los ees / e y& la distanciaperpendicular medida desde el centroide de cada segmento de los ees /
e y son indicado en la
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Ix=[ 112 (5.5) (0.5)3+5.5(0.5)(1.435)2] J[ 112 (0.5 ) (6 )3+0.5 (6)(1.565)2] G19.9:3 in*
Iy=[ 112
(6 ) (0.5)3+6(0.5)(1.435)2] J[ 112
(0.5 ) (5.5)3+0.5(5.5)(1.565)2] G19.9:3 in*
Ixy=6 (0.5 ) (1.435 ) (1.315 )+5.5(0.5 ) (1.565 ) (1.435 ) G K11.32 in*
"rincipales momentos de inercia'
Imaxmin
=Ix+Iy
2(
IxIy2 )
2
+Ixy2
G19.908+19.908
2(19.90819.9082 )
2
+(11.837 )2
Imax=31.7 4
Imin=8.07 4
Crientaci$n de los ees principales&
tan 2p G
I
(xIy)2
Ixy
G
(11.837)(19.90819.908)
2
G L
2p=90 y90
p=45 y45
Sustituyendo H G p G *;
Iu=Ix+Iy
2+
IxIy2
cos2Ixysin 2 G
19.908+19.9082
+19.90819.908
2cos90(11.837) sin 90
"sto muestra que Imax corresponde al ee principal orientado en&
G Imax31.74 ( p )1 G *;
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"sto muestra que Imin corresponde al ee principal orientado en&
Imin8.074 ( p )1 G *;
a orientaci$n de los ees se muestra en la >ltima
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Soluci$n&
"ara el centroide& a distancia perpendicular medida desde elcentroide de cada segmento subdi!idido de la parte in#erior de lasecci$n de la !iga es indicado en la siguiente
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G 3.' in
"ara el producto de inercia con respecto a los ejes x e y' adistancia perpendicular medida desde el centroide de cada segmento alos ees / e y son indicados en la
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"ara el momento de inercia con respecto a los ejes u y ( & conHG-:;
Iu=Ix+Iy
2+
IxIy2
cos2Ixysin 2 G
120
()
302.44+45
2 +302.4445
2 cos(120)0sin
G1:9.- in*
Iv=Ix+Iy
2
IxIy2
cos2+Ixy sin2 G
!302.44+45
2
302.44452
cos(120)+0sin (120) ! G'3.:3 in*
Iuv=
IxIy2
sin 2+Ixy
cos2=
302.44452
sin
(120
)+0cos
(120
) IG111.*2 in*
Ejercicio -' Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del cuarto de elipse, con respecto a un nue!osistema de ees / e y alrededor de C en un ngulo de&
a) *; en sentido contrario al de las manecillas del relo.
b) :; en el mismo sentido que las manecillas del relo.
Soluci$n&
Se sabe que&
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Mprom. GIx+Iy
2 G
#
8a
4+#
2a4
2
G Mprom. G5 # a
4
16
"l radio del c7rculo de o=r es EG
(IxIy
2 )2
+(Ixy)
2
E G 9 #
4a
8
162 +
a8
4G E G :.22'-* a
4
El crculo de Mohr
@an' mG2Ixy
Ix+Iy=
2( a4
2)# a
4
8+ # a
4
2
= 8
3#
2m=40.325
=902m $=49.675
=180(2m2% )
=180(40.325+60 )$ =79.675
a) 6ara =45
Ix '=IpromRcos
Ix '=5 # a
4
160.77264a4cos (49.675 )
Ix '=0.4817a4
Iy'=Iprom+Rcos
Iy'=5# a4
16+0.77264a4cos (49.675 )
Iy'=1.4817 a4
Ix ' y '=Rsen
Ix ' y '=0.77264a4sen (49.675)
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Ix ' y '=0.589a4
b) 6ara =30
Ix '=Iprom+Rcos
Ix '=5 # a4
16+0.77264 a4cos (79.675 )
Ix '=1.1202a4
Iy'=IpromRcos
Iy'=5# a
4
160.77264 a4cos (79.675 )
Iy'=0.843a4
Ix ' y '=Rsen
Ix ' y '=0.77264 a4
sen(79.675 )
Ix ' y '=0.76 a4
Ejercicio .' Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del rea del gr
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Soluci$n&
Se sabe que&
Ix=68.96106mm4
Iy=132.48106
mm4
Ixy=21.6106mm
4
A=ora el c7rculo de o=r queda de
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Adems&
Ix '=IpromRcos
Ix '=100.7210638.41106 cos (94.22 )
Ix '=103.55106
mm4
Iy'=Iprom+Rcos
Iy'=100.72106+38.41106cos (94.22)
Iy'=97.89106
mm4
Ix ' y '=Rsen
Ix ' y '=(38.41106)sen (94.22)
Ix
'
y
'=38.3106mm4
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Ejercicio /' Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del rea del gr
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"l centro del c7rculo de o=r est a una distancia de Iprom del origen
Mprom. GIx+Iy
2 G
324 #+648 #2 ?Mprom. G 486 #
4
"l radio del c7rculo de o=r es&
EG (IxIy
2 )2
+(Ixy)2
G (324 #2 )2
+(864)2
? EG 1002.7534
7rculo de o=r
@an' mG2IxyIxIy G
2(864)324 #648#
2m=59.5
omo 2m+=120$ =60.5
As7& Ix '=IpromRcos
Ix '=324#1002.753cos (60.5 )
Ix '=1033.034
Iy'=Iprom+Rcos
Iy'=648#+1002.753cos (60.5 )
Iy'=2020.59 4
Ix ' y '=Rsen
Ix ' y '=(1002.753)sen 60.5
Ix
'y
'=872.75 4
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Ejercicio 0'Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentos yproductos de inercia del rea del gr
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A=ora el c7rculo de o=r queda de
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Ejercicio &1'Btilice el c7rculo de o=r para determinar los momentosy productos de inercia de la secci$n trans!ersal del ngulo R'R1* in
del gr
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Soluci$n&Se sabe que&
Ix=0.392 4
Iy=1.09 4
Ixy=0.37983 4
A=ora el c7rculo de o=r queda de
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As7&I
x '=IpromRcos
Ix '=0.7410.516cos (9077.42 )
Ix '=0.237 4
Iy'=Iprom+Rcos
Iy'=0.741+0.516cos (90 77.42 )
Iy'=1.244 4
Ix ' y '=Rcos
Ix ' y '=(0.516)cos (77.42 )
Ix
'y
'=0.1124 4