estadistica y probabilidades cap vi-1

Capítulo VI: Probabilidades 1

VI. Probabilidad


¿Cuál es la probabilidad de aprobar Estadística?

¿Cuál es la probabilidad de no encontrarme con un taxi cuando voy a clase?

Todos los días nos hacemos preguntas donde utilizamos el concepto de probabilidad.

Probabilidad es una medida de la posibilidad de que ocurra un suceso futuro.


Experimentos. Proceso o fenómeno, cuyos

resultados dependen del azar

Determinísticos

Aleatorios

AZAR


Experimento - Espacio muestralE1 Se arroja un dado :

Si observamos su cara superior, el conjunto de resultados posibles es

Ω: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }


E2 Se arrojan dos dados y se observa la suma de sus caras.

Ω 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12


E3 :Se arroja una moneda hasta que aparezca cara.

Ω { C, XC, XXC, XXXC, XXXXC, ..., X..XC, .... }


Ejemplo : Sea el experimento arrojar dos dados. El conjunto de resultados posibles es:

= {(x,y)/ x = 1, 2 .. 6, y = 1, 2 .. 6 }

Ω

Ω

A = {(x,y) / x + y = 5 }

A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

A

X1 2 3 4 5 6

Y

6

5

4

3 2 1


Sucesos

E espacio muestral

E espacio muestral

A

A’

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestra (Ω).

Se llama suceso a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama suceso complementario de un suceso A, A’, al formado por los elementos que no están en A

9

Realmente lo compró

Planea comprarlo Sí No Total

Sí 200 50 250

No 100 650 750

Total 300 700 1,000

¿Qué es un espacio muestral? Dé ejemplos de eventos simples y eventos conjuntos.

Ejemplo. Encuesta para compra de un televisor

Solución: El espacio muestral consiste en las 1,000 persona encuestadas. Los eventos simples son “si planea comprarlo”, “no planea comprarlo”. “si compra”, y “no compra”. El complemento del evento “planea comprarlo” es “no planea comprarlo”. El evento “planea comprarlo y realmente lo compra” es un evento conjunto.


E espacio muestral

A

B

Se llama suceso unión de A con B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos).

E espacio muestral

A

B

UNIÓN

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B

E espacio muestral

A

B

INTERSEC.


DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD.

Sea A un subconjunto de Ω, simbolizando con #A al cardinal de A que indica el número de casos favorables al suceso A, calculamos la probabilidad de dicho suceso (siempre que sea equiprobable) como el cociente:

P AA número de resultados favorables

número de resultados posibles( )

#

#


PROPIEDADES

PROPIEDAD 1 0 ≤P(A) ≤ 1

1)(0#

#

#

#

#

0

APAComo 0 ≤ #A ≤ # Ω

#

# #( )

0

0P

PROPIEDAD 2

Como # = 0

P( )= 0

PROPIEDAD 3 P(Ω) =1

1#

#

Ya que P(Ω ) =


PROPIEDAD 4 P (AB) = P(A) + P(B), si AB =

P A BA B A B A B

P A P B( )#( )

#

# #

#

#

#

#

#( ) ( )

Si AB = , entonces #(AB) = #A + #B.

PROPIEDAD 5 P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB) si AB ≠

P A BAUB A B A B A B A B

P A B P A P B P A B

( )# ( )

#

# # # ( )

#

#

#

#

#

# ( )

#

( ) ( ) ( ) ( )

PROPIEDAD 6 P( ) = 1 - P(A)A

P AA A A

P A( )# ( )

#

# #

#

#

#

#

#( )

1 A

A’

AB

A

B


Ejemplo:

En una agencia bancaria hay dos sistemas de alarma A y B. El sistema A funciona en 7 de cada 10 atracos, B funciona en 8 de cada 10 y los dos a la vez lo hacen 6 de cada 10 atracos.

¿Cuál es la probabilidad de que en caso de atraco funcione al menos una de estas alarmas?

Solución:

Se definen los sucesos

A:”El sistema A funciona”

B:”El sistema B funciona”

9,06,08,07,0)(

6,0)(8,0)(7,0)(

BUAP

BAPBPAP


DEFINICIÓN FRECUENCIAL DE PROBABILIDAD.Si se repite un experimento una gran cantidad de veces y se observa la aparición de un resultado (suceso A) podrá notarse que la frecuencia relativa del suceso tiende a estabilizarse en un valor a medida que crece el número de repeticiones del experimento.Simbolizando con f a la cantidad de veces que apareció el suceso A como resultado del experimento, y con n a la cantidad de veces que se repitió el experimento

nlim

f

np

La frecuencia relativa del suceso se estabiliza en un valor que es la probabilidad teórica del suceso A y la propia frecuencia relativa es la probabilidad empírica del suceso A.

Asociada a cada suceso existe una probabilidad teórica, a la cual tiende la frecuencia relativa del mismo a medida que aumenta la cantidad de repeticiones del experimento.


n f h n f h

10 6 0,60 110 56 0,51

20 8 0,40 120 63 0,53

30 14 0,47 130 61 0,47

40 19 0,48 140 72 0,51

50 25 0,50 150 75 0,50

60 31 0,52 160 78 0,49

70 38 0,54 170 83 0,49

80 43 0,54 180 89 0,49

90 46 0,51 190 95 0,50

100 51 0,51 200 101 0,50

n

h

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,65

0 50 100 150 200 250


PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS

P (AB) = P(A) + P(B), si AB =

P (AB C) = P(A) + P(B) + P(C), si ABC =

Sucesos Excluyentes

Sucesos No Excluyentes

P (AB) = P(A) + P(B)- P(AB)


PROBABILIDAD CONDICIONAL

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que pasa B:

)(

)()|(

BP

ABPBAP

E espacio muestral

A

B


Probabilidad condicionada

B

A

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,10

B

A

¿Probabilidad de A dado B?

P(A|B)=1 P(A|B)=0,8

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,08


Probabilidad condicionada

A

B

A

B

¿Probabilidad de A dado B?

P(A|B)=0,05 P(A|B)=0

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0,005

P(A) = 0,25P(B) = 0,10P(AB) = 0


Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico:

A indep. B P(A|B) = P(A)

Dicho de otra forma: A indep. B P(AB) = P(A) P(B)

22

Ejemplo. En un banco de sangre se determinaron los grupos sanguíneos:

¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes dos personas sean del grupo 0?

Grupo n %

0 45 45

A 29 29

B 21 21

AB 5 5

Total 100 100


El hecho de que la siguiente personas sea del grupo 0 no impide que la segunda, sea del grupo 0, por lo tanto es independiente. Sus probabilidades individuales, se

multiplican: P(OO) = P(O) P(O) 0.45 x 0.45 = 0.2025 = 20.25%


Ejemplo100 recién nacidos en un maternidad de

Huánuco 55 fueron mujeres y 45 hombres La probabilidad de ser mujer fue de 55/100 = 0.5 La probabilidad de ser hombre fue de 45/100=0.4

¿Cuál es la probabilidad de que los siguientes tres nacimientos sean mujeres?

Son eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto se multiplican las probabilidades individuales.

0.55 x 0.55 x 0.55 = 0.1664 = 16.64%


Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A1 A2

A3 A4

Son una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.


A1 A2

A3 A4

B

Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema.

B = (B∩A1) U (B∩A2 ) U ( B∩A3 ) U ( B∩A4 )

Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples..


Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …


P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

MujeresVarones

fumadores

Ejemplo: En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

T. Prob. Total.Hombres y mujeres formanUn Sist. Exh. Excl.De sucesos

T. Bayes

¿Qué porcentaje de fumadores hay en total?P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

0.700.30

0.100.20


Expresión del problema en forma de árbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2

P(H | F) = 0,3x0,2/P(F)

•Los caminos a través de nodos representan intersecciones.

•Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.


Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B)

Ai) P(B B)|P(Ai

estadistica y probabilidades cap vi-1

Education