estadistica descriptiva.pdf

Estadística Descriptiva

Guía de autoaprendizaje


Modalidad de Educación Abierta y a Distancia

Rita Oliva Maya Hernández

Secretaría de Educación Pública Dirección General de Educación Superior

Escuela Nacional de Biblioteconomía y Archivonomía

México 1998

Secretaría de Educación Pública Subsecretaría de Educación Superior e Investigación Científica Dirección General de Educación Superior Escuela Nacional de Biblioteconomía y Archivonomía Estadística Descriptiva (Serie guías de autoaprendizaje) Modalidad de Educación Abierta y a Distancia Primera edición 1998 ISBN 970-18-0985-8 Impreso en México Diseño: Ivonne Bautista Carmona Portada: Patricia Vázquez Langle

2


3

“Empezamos a conocer un fenómeno cuando

somos capaces de medirlo y expresarlo en números; mientras tanto,

nuestro conocimiento de dicho fenómeno será deficiente

e insatisfactorio”

Lord Kelvin


5

ÍNDICE Presentación 7 Introducción 9 UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS 13 1.1 Definición, objeto y clasificación de la Estadística

16 1.2 Población y muestra 20 1.3 Variables

27 1.4 Escalas de medición 31 1.4.1 Escala nominal

31 1.4.2 Escala ordinal

32 1.4.3 Escala de intervalo 32 1.4.4 Escala absoluta

32 UNIDAD 2 PRESENTACIÓN DE DATOS 39 2.1 Tipos de datos 42 2.1.1 Datos categóricos 42 2.1.2 Datos ordenados por rango

43 2.1.3 Datos métricos

43 2.2 Distribución de frecuencias 46 2.2.1 Simples

47 2.2.2 Para datos agrupados

57

UNIDAD 3 REPRESENTACIONES GRÁFICAS

73 3.1 Gráfica de barras

77 3.2 Gráfica de sectores 80 3.3 Histograma de frecuencias absolutas

86 3.4 Polígono de frecuencias absolutas

92 3.5 Polígono de frecuencias relativas acumuladas u ojiva porcentual

95 UNIDAD 4 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

109 4.1 Medidas de tendencia central

111 4.1.1 Media

111 4.1.2 Mediana

111 4.1.3 Moda

111 4.2 Medidas de dispersión

127 4.2.1 Rango

127 4.2.2 Cuartiles

127 4.2.3 Desviación media

132 4.2.4 Varianza

138

6


4.2.5 Desviación estándar 138

4.2.6 Coeficiente de variación 143

4.2.7 Teorema de Chebyshev 145

Resumen de la unidad 1

153 Resumen de la unidad 2



157 Lecturas

159

7

P R E S E N T A C I Ó N

La Biblioteconomía y la Archivonomía son dos profesiones que han cobrado un fuerte impulso durante los últimos años. Las condiciones cambiantes que han intervenido en su entorno y que han originado nuevos problemas y nuevos enfoques en sus campos de aplicación se han debido principalmente al progreso científico y tecnológico y a la explosión documental: una mayor producción y explotación de material, un notable incremento de usuarios y el uso cada vez más intenso de los medios informáticos y de las telecomunicaciones para el almacenamiento, organización e intercambio de información.

Esta situación contrasta con la carencia de recursos humanos con una

adecuada preparación académica que permita brindar una atención profesional a las necesidades que, en materia de información, constantemente van en aumento entre la sociedad mexicana.

Es por ello que la Escuela Nacional de Biblioteconomía y Archivonomía

(ENBA), como institución de educación superior formadora de profesionistas especializados en el manejo de la información, ha emprendido la impartición de sus licenciaturas en la modalidad abierta y a distancia, con el propósito de ofrecer una cobertura educativa a nivel nacional en ambas especialidades, coadyuvar en la superación de los rezagos de personal profesional en las bibliotecas y archivos de México, propiciar la investigación y la difusión de la cultura bibliotecaria y archivística y participar activamente en las políticas educativas del gobierno federal manifestadas en el Programa de Desarrollo Educativo 1995-2000.

La modalidad abierta y a distancia se convierte así en una opción

dirigida a todas aquellas personas formadas con la experiencia pero que carecen de una preparación académica en las áreas de Biblioteconomía o de Archivonomía.

En este sentido, se pretende rescatar, valorar, reconocer y acreditar

esa experiencia adquirida a través del tiempo en el entorno laboral de las bibliotecas y los archivos, utilizando estrategias de aprendizaje que resulten congruentes con las características de la modalidad. Es decir, para superar los obstáculos de distancia y las dificultades de tiempo y espacio para el estudio se recurre a aspectos académicos que generalmente son poco comunes en la modalidad escolarizada, pero que también persiguen los mismos propósitos.

8


Los materiales didácticos surgen entonces como uno de los soportes

más importantes, junto con las asesorías y los medios de comunicación a distancia, en los que habrás de sustentar tu formación.

Las guías de autoaprendizaje representan la parte medular de los

materiales didácticos. Son el principal medio de apoyo con el que cuentas para avanzar en tu proceso de aprendizaje, tomando en cuenta que asumes una responsabilidad compartida con el asesor y que eres tú quien determina su propio ritmo de avance. Su contenido se encuentra adaptado convenientemente a la lógica del problema, de la disciplina y del campo del conocimiento que se aborda y responde a los elementos didácticos y comunicacionales que permiten favorecer de mejor manera el estudio independiente.

En cada asignatura cuentas con una guía de autoaprendizaje y en

muchas de ellas ésta se encuentra complementada con una guía de lecturas. Esta guía es un material de estudio que contiene lecturas tomadas de diversos libros que, a juicio del autor de la guía de autoaprendizaje correspondiente, necesitarás consultar para apoyar tu aprendizaje.

Las asesorías son un medio al que podrás recurrir en cualquier

momento para consultar tus dudas o solicitar sugerencias sobre tus métodos y hábitos de estudio. Los medios de comunicación a distancia te permitirán establecer comunicación con los asesores desde cualquier parte en que te encuentres.

La presente guía representa entonces sólo una pequeña parte del gran

apoyo con el que cuentas, pero constituye también el trabajo colectivo que la ENBA ha venido desarrollando con el firme propósito de contribuir en tu formación profesional.

Estamos seguros que harás un correcto uso de ella y que sabrás

aprovecharla adecuadamente.

9

I N T R O D U C C I Ó N La evolución del uso y manejo de la información ha motivado que

estructuras importantes y vitales como son las de enseñanza modifiquen sus planes de estudio, y la Escuela Nacional de Biblioteconomía y Archivonomía no podía ser la excepción, por tal motivo ha instaurado su Modalidad Abierta y a Distancia con el objeto de impartir las carreras de Biblioteconomía y Archivonomía y así formar parte activa en el desarrollo de profesionales de estas áreas.

Dentro de este Sistema se ha creado para ti esta Guía de

Autoaprendizaje como un apoyo para que puedas aprender la materia de Estadística Descriptiva, la cual forma parte del Plan de Estudios de estas carreras en su tronco común.

Antes de que inicies tu aprendizaje te invito a conocer los

antecedentes de la materia que nos ocupa. La historia de la Estadística es extensa, surge como todo lo creado por

el hombre: por la necesidad de conocer y modificar su entorno a fin de entenderlo. Aunque existen antecedentes de que los chinos efectuaron censos hace más de 40 siglos y de que en la Biblia se mencionan datos estadísticos en el Libro de los Números, la etapa moderna, arbitrariamente elegida se encuentra comprendida en el período 1890-1940.

Es importante destacar que en sus inicios la Estadística se utilizó con

el propósito de interpretar fenómenos biológicos y la conducta social de grandes masas, un ejemplo de ello son las primeras Tablas de mortalidad elaboradas por John Graunt (1620-1674) que contenían el número de nacimientos, matrimonios, bautizos y defunciones, antecedente de las que hoy se utilizan en los Seguros de Vida.

Actualmente la Estadística es una herramienta importante y necesaria

en todas las áreas del conocimiento ya que permite interpretar los datos obtenidos a través de investigaciones y en su caso, tomar una decisión que tenga como fundamento el comportamiento observado y analizado.

Como verás, los antecedentes de la Estadística o Métodos

Estadísticos como algunos le llaman, resultan bastante interesantes y en tu caso, en el área de la cual ya formas parte como estudiante de la información es de vital importancia que los manejes y apliques en la solución de problemas.

10


Una de las ventajas que tiene el uso de esta herramienta en el campo laboral de estas dos profesiones es la facilidad de poder manipular grandes cantidades de datos que al ser analizados en forma manual o a través de una computadora permiten obtener indicadores específicos ya sea para conocer la satisfacción de un servicio, el promedio de la carga de trabajo e inclusive para planear el crecimiento de volúmenes, costos, etc., en cierta área, permitiendo realizar planes de expansión para el futuro.

Es preciso hacer notar que se debe tener cuidado al hacer uso de la

Estadística, ya que la presentación de datos equivocados puede provocar una falsa interpretación y como consecuencia llegar a una conclusión errónea. Es de suma importancia mencionar que la interpretación es la base fundamental del uso de esta herramienta.

Algunas recomendaciones que te hago con el propósito de facilitarte la

comprensión y manejo adecuado de las unidades que integran esta asignatura son que revises cuidadosamente el material que se te presenta en cada tema, leas las instrucciones de cada actividad y las ejecutes tomando en cuenta lo aprendido, sin perder de vista tu experiencia previa que es muy valiosa y que te ayudará a apropiarte de la información nueva que aquí se te presenta.

No olvides que el éxito para lograr la meta que te has propuesto lo

alcanzarás a través del estudio y del trabajo que se te solicita en actividades a desarrollar en cada tema, retroalimentándote de tal forma que tú mismo tengas conciencia del progreso que obtienes cada día que te esfuerzas. Adelante, tú puedes.

Al término de cada unidad encontrarás un resumen de los conceptos

más importantes que espero te sea de gran utilidad para que reflexiones sobre lo aprendido antes de contestar la EVALUACIÓN que debes enviar a tu asesor una vez que la hayas resuelto correctamente y en su totalidad.

Tu calificación final será el resultado de considerar: 4 evaluaciones de aprendizaje (una por unidad), las cuales cuentan un

40% y una evaluación final que tiene un valor del 60%. Para la mejor comprensión del objetivo es necesario reiterar una vez

más que el uso adecuado de la Estadística es básico en cualquier campo de la investigación, es por ello que los conocimientos que adquieras en esta asignatura te servirán de apoyo para el mejor desarrollo de temas incluidos en otras materias de la carrera ya sea si estudias Archivonomía, o si te

11

encuentras cursando la carrera de Biblioteconomía y en general en todas aquellas donde se requiera la representación de datos de tal forma que su interpretación correcta permita la mejor toma de decisiones.

EL OBJETIVO GENERAL de esta asignatura es proporcionarte los

elementos fundamentales necesarios para elaborar tablas de distribución de frecuencias y gráficas, así como calcular medidas descriptivas, todo lo cual te permitirá reconocer la importancia de la estadística en los procesos de planeación, toma de decisiones, administración y medición del comportamiento de los servicios ofrecidos en los campos bibliotecario y archivístico.

Esta guía contempla 4 unidades: 1.- CONCEPTOS BÁSICOS 2.- PRESENTACIÓN DE DATOS 3.- REPRESENTACIONES GRÁFICAS 4.- ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Iniciamos la primera unidad con los conceptos básicos de la

asignatura, para continuar con la presentación de datos, posteriormente se te indicará el procedimiento a seguir para obtener su representación gráfica. En la unidad 4 calcularás los valores centrales de una muestra o población así como las medidas que te indican el grado de dispersión entre sus elementos.

Al principio de cada unidad se te pide contestar algunas preguntas que

integran el DIAGNÓSTICO, las cuales permitirán identificar tus ideas previas sobre la misma, haciendo una breve REFLEXIÓN que despejará tus dudas y te preparará para el desarrollo de los temas, cada uno de ellos contiene una sección de actividades denominada ¿QUÉ HE APRENDIDO? que te retroalimentará a través de preguntas y/o problemas que debes resolver en el espacio correspondiente.

Para que te familiarices con las unidades de esta asignatura, echa un

vistazo al índice; una vez que conozcas los temas que se desarrollarán, es necesario que reflexiones y contestes la siguiente pregunta:

¿Cuáles son tus expectativas sobre el aprendizaje del contenido que

se te ha planteado? ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

12


Espero que todo lo que hasta aquí has conocido te motive para

continuar y además, cubra tus expectativas, ya que como tú lo irás descubriendo, el mundo de la Estadística es realmente excitante. Avanza firmemente para que llegues a la meta, tú puedes.

13


UNIDAD 1 CONCEPTOS BÁSICOS

En esta primera unidad, tú como estudiante deseoso de conocer los

conceptos más usados en esta asignatura tendrás a tu alcance una breve definición de cada uno de ellos, este conocimiento debe ser complementado con tus actividades de aprendizaje a fin de que en lo sucesivo seas capaz de identificarlos y manejarlos adecuadamente.

¿QUÉ VOY A APRENDER EN ESTA UNIDAD? A definir e identificar los conceptos básicos elementales que se utilizan

en Estadística. Para conocer tus ideas previas sobre cada uno de los temas a

desarrollar en esta guía, es necesario que antes de iniciar las unidades contestes lo que se te solicita en el Diagnóstico, el cual forma parte importante en tu formación ya que por medio de el estaremos en posibilidad de recuperar tu experiencia previa y prepararte para la apropiación de conocimientos nuevos.

15

DIAGNÓSTICO 1) Escribe el significado que tiene para ti la palabra Estadística. ________________________________________________________

__________________________________________________________________________

2) Recorta, lee y pega cualquier artículo de un periódico reciente que

contenga gráficas y destaca los términos estadísticos que contenga. 3) Anota algunos de los mensajes que ves en televisión en donde

consideres que se están utilizando conceptos de estadística. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4) Busca en el diccionario el significado de la palabra inferir y anótalo. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

16


Si al realizar las actividades del diagnóstico advertiste que desconoces el significado de la palabra Estadística, no te preocupes, en seguida podrás leer una breve definición:

“La palabra Estadística está relacionada con la palabra “estado”, y originalmente la actividad llamada

estadística fue una clase sistemática de ciencia política comparada. Esta actividad se centró gradualmente en tablas numéricas de hechos económicos, demográficos y políticos, y así “estadística” vino a significar la recopilación y análisis de tablas numéricas”

Tanto en la lectura del artículo que se te solicitó, como en los mensajes

televisados, encontraste términos utilizados en la Estadística como son: “se ha demostrado estadísticamente”, “estadísticas relativas a”, “proporción”, “por ciento”, “en base a los datos obtenidos se infiere que...” entre otros, todos ellos nos muestran su utilidad en el mundo actual en que vivimos ya que nos auxilian a planear y obtener información de diversos fenómenos a fin de organizarla y analizarla para predecir a partir de lo calculado (inferir) y llegar a conclusiones que nos permitan tomar decisiones.

Es muy importante que recuerdes el significado de inferir: “inducir o

predecir a partir de ciertos resultados”.

Muy bien, ahora que ya tienes idea de lo que se puede realizar utilizando como herramienta la estadística iniciaremos nuestro aprendizaje formal.

17

1.1 DEFINICIÓN, OBJETO Y CLASIFICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA

Actualmente, la Estadística se utiliza en todas las áreas, no hay ciencia que no la use o profesión que no la aplique, ya que los métodos que desarrolla se manejan en todos los campos porque permiten describir la información recopilada por diversos medios, haciéndola más accesible a fin de poder analizarla e interpretarla fácilmente.

Es preciso hacer notar que la Estadística es una rama de la

Matemática aplicada, razón por la cual se requiere manejar ciertos conceptos sobre la materia, que en su momento se te explicarán brevemente así como la notación correspondiente.

La utilidad que tienen los métodos estadísticos en diversas áreas es

quizá el motivo por el cual existen múltiples definiciones de Estadística como las que se te presentan a continuación y que se te sugiere leer con detenimiento, SUBRAYANDO las palabras que consideres más importantes en cada una.

Robert Johnson escribe: Estadística es la ciencia de recolectar,

clasificar, describir e interpretar datos numéricos. Para Enrique Portilla Chimal la Estadística o Métodos Estadísticos son

los métodos que se aplican a la recolección, organización, presentación, análisis e interpretación de datos numéricos.

Luis Magaña Cuéllar indica: Estadística es un conjunto de

procedimientos que sirven para organizar y resumir datos, hacer inferencias a partir de ellos y transmitir los resultados de manera clara, concisa y significativa.

William Mendenhall explica “El objetivo de la Estadística es hacer

inferencias (predicciones) acerca de una población (total de datos), sobre la base de la información contenida en una muestra (parte de la población)” para ello afirma que como principio se debe tener un problema estadístico el cual debe contener 6 elementos donde los primeros 3 se analizan a través de la Estadística Descriptiva y los 3 restantes con la Estadística Inferencial. A continuación se describen:

1) Definición clara del conjunto de datos de interés.

18


Conocer el problema e identificar las preguntas claves de la investigación: ¿Qué quiero?

2) Diseño del experimento, considerado éste como un proceso por

medio del cual se obtiene un dato. Procedimiento para elegir la muestra adecuada que permita contestar

las preguntas planteadas y extraer la información que se requiere de la población.

3) Manejo de la información. Los datos obtenidos se ordenan, se presentan en tablas estadísticas,

se calculan medidas que informen sobre el comportamiento de los mismos y se elaboran gráficas.

4) Análisis de los datos. Identificación del procedimiento para hacer inferencias sobre el total de

datos con base en la información que proporciona una parte de ellos. 5) Obtención de una medida que muestre qué tan confiable es la

inferencia a la que se llegó. 6) Conclusiones y toma de decisiones. De todo lo anterior se desprende entonces que el objeto de la

Estadística es obtener, organizar y resumir información en tablas y gráficas que al mismo tiempo que describan la forma en que se comportan los datos, también faciliten el cálculo de parámetros o estadísticos, esto es, números que describan las características de una categoría que agrupa elementos comunes con respecto a una población o a una muestra según sea el caso.

La Estadística para su estudio se clasifica en Estadística

Descriptiva o Deductiva y Estadística Inferencial o Inductiva. En la siguiente tabla se observan claramente las partes que integran cada división:

19

DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA Incluye las fases de: -Obtención de datos a través de encuestas o investigaciones de campo -Organización de los mismos (orden ascendente o descendente si son numéricos) y conteo -Presentación de la información en cuadros y/o tablas -Gráficos que muestren el comportamiento de la información -Cálculo de medidas descriptivas (media, moda, mediana, etc.) ESTADÍSTICA

INFERENCIAL O INDUCTIVA Contempla los métodos que permiten: - Generalizar a partir de los valores calculados con técnicas descriptivas - Obtener conclusiones - Tomar decisiones DEDUCTIVA: Parte de lo general para llegar a lo particular INDUCTIVA: Considera lo particular para generalizar Claramente se puede observar en la tabla que ambas divisiones se

complementan ya que por medio de la Estadística Descriptiva es posible obtener información que se organiza, presenta y describe en forma numérica para posteriormente, a través de la Estadística Inferencial generalizar y tomar decisiones teniendo como soporte la información que se obtuvo a través de la primera. Cabe hacer mención de que el proceso de interpretar los datos no es infalible.

¿QUÉ HE APRENDIDO? Es de suma importancia que evalúes tus conocimientos, verifiques tu

avances y planifiques tu aprendizaje, para ello debes participar ACTIVAMENTE desarrollando lo que se te solicita. Por favor, no continúes si tienes dudas o errores en tus respuestas.

1) De las definiciones de Estadística que se te han presentado, elabora

una relación de las palabras comunes a todas.

20


___________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Utilizando los términos escritos en el anterior inciso, escribe tu

propia definición de Estadística. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3) Acude con un Bibliotecario o Archivónomo dentro de tu localidad y

pregúntale en qué aspectos de las tareas que se realizan en su profesión aplica la Estadística. Anota su respuesta, el lugar al que acudiste y la profesión de la persona que contestó tus preguntas.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4) Anota como mínimo 3 disciplinas en donde se aplique la Estadística

y describe brevemente un ejemplo en cada una de ellas. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

21

1.2 POBLACIÓN Y MUESTRA

POBLACIÓN TAMAÑO N MUESTRA TAMAÑO

n La POBLACIÓN Estadística se encuentra formada por un conjunto de

personas, entidades u objetos bien definidos, del cual se quiere saber algo que nos interesa, el número total de elementos que la forman, llamado tamaño de la población, se denota con la letra ene mayúscula “N”.

Existen 2 tipos de población:

Finita: {a, e, i, o, u}. Formada por un número limitado de observaciones, por ejemplo

las vocales, el número total de libros que existen en una biblioteca o el número de investigadores que acuden a un archivo en un período determinado.

Infinita: {1, 2, 3, 4, ... ∝ } Contiene un gran conjunto de medidas u observaciones que no

pueden alcanzarse por conteo, es decir, se puede numerar el primer elemento pero no el último como el conjunto de los números Naturales, el número de expedientes que contienen la Historia de México o el número de libros impresos. MUESTRA REPRESENTATIVA o MUESTRA es un subconjunto de la

población de interés donde el número de datos es menor que el de la población. En este caso el tamaño de la muestra se simboliza con la letra ene (n) minúscula. Una muestra del número total de libros que existe en una biblioteca puede estar formada por los volúmenes de una asignatura, en un Archivo la muestra puede ser un cierto número de expedientes que se refieran a un tema en común.

22


En caso de contar con el total de datos de una población es posible calcular sus parámetros o características medibles como el promedio o la proporción entre una categoría y el total de datos obtenido; sin embargo, si se trata de una población infinita la estimación de un parámetro de la misma se realiza a través de la información que proporciona la muestra con los llamados estadísticos o estadígrafos, los cuales también son características medibles.

Parámetro POBLACIÓN (tamaño N) MUESTRA (tamaño n) Estadístico Un parámetro es para una población lo que un estadístico para una

muestra. Es necesario aclarar que no cualquier muestra es adecuada para fines

estadísticos, se debe tener en cuenta que la muestra con la que se realizarán cálculos reproduzca en lo posible los rasgos generales de la población, para ello se tiene que considerar lo siguiente:

- Los elementos se deben escoger en forma aleatoria, esto es al azar. Para ilustrar el término aleatorio o al azar, consideremos el siguiente

ejemplo: Si de un grupo de 10 personas se quiere escoger aleatoriamente a 3, a cada una se le asigna un número y sin relacionar dicho número con la persona se selecciona cualquier terna que puede ser: 1, 3, 8 ó 2, 5, 10, etc.

- Cada elemento de la población debe tener la misma oportunidad de

ser escogido. A los valores de los parámetros se les conoce con el nombre de

valores verdaderos. Uno de los parámetros más utilizados es la proporción que se denota con la letra P mayúscula y compara el número de casos o frecuencia (f) de una categoría dada con el tamaño total de la población (N) o con la muestra (n).

POBLACIÓN TAMAÑO N MUESTRA TAMAÑO n PARÁMETRO ESTADÍSTICO f f P = ------ P = -------

23

N n P es la proporción, f es la frecuencia y N ó n es el tamaño de la

población o muestra respectivamente. Para entender lo que es un parámetro y un estadístico veamos los

siguientes ejemplos: PARÁMETRO: POBLACIÓN tamaño N f P = -------- N 1) Supongamos que en tu biblioteca personal tienes 40 libros

distribuidos de la siguiente manera : ASIGNATURA No. DE LIBROS MATEMÁTICAS 5 ESTADÍSTICA 4

CATEGORÍAS INGLÉS 8 FRECUENCIAS HISTORIA 7 (f) NOVELA 15 GEOGRAFÍA 1 40

Aquí el tamaño de la población o N es igual a 40, las categorías

formadas por las diferentes asignaturas son 6 y cada una tiene el número de libros que le corresponde, el cual recibe el nombre de frecuencia y se denota con la letra efe minúscula (f).

Si consideramos el número de novelas con respecto al tamaño de la

población, formamos la proporción: 15 P = --------- que resulta ser P = 0.375 40 El valor del parámetro tiene mayor sentido cuando lo transformamos en

porcentaje, esto quiere decir que se desea obtener la frecuencia de ocurrencia de una categoría por cada 100 casos. Para hacer el cálculo de un porcentaje sólo se multiplica cualquier proporción ya sea de una población de una muestra por 100, por lo que % = (100) f ó % =(100) f

N n

24


En este caso al valor de P=0.375 lo multiplicamos por 100: % = (100)(0.375) = (0.375)(100) = 37.5 % Concluimos entonces que el porcentaje de novelas que tienes en tu

biblioteca es del 37.5 % con respecto al total de libros considerados. Encuentra el porcentaje de cada una de las categorías con respecto a

N y escríbelas: ASIGNATURA PROPORCIÓN

EN PORCENTAJE(PARÁMETRO)

MATEMÁTICAS ESTADÍSTICA INGLÉS HISTORIA NOVELA 37.5 % GEOGRAFÍA Después de calcular los porcentajes suma todas las proporciones

obtenidas, si tus valores están correctos el resultado debe ser 100% o un valor aproximado.

ESTADÍSTICO: MUESTRA tamaño n f P = -------- n La proporción es un estadístico si se considera el tamaño de una

muestra (n). 2) En una escuela laboran 500 personas, al extraerse una muestra de

90 trabajadores en diferentes áreas se tiene la siguiente tabla:

ÁREA f ADMINISTRATIVA 20 BIBLIOTECA 40 DOCENTES 30 90

La proporción del área administrativa con respecto a 90 es: 20 P = -------- = 0.22 90

25

Al tomar el estadístico que se obtuvo y multiplicarlo por 100 se obtiene

el siguiente porcentaje: % = 0.22 (100) = 22 % El resultado anterior indica que el 22% de los trabajadores

considerados en la muestra laboran en el área administrativa. Calcula los valores de los estadísticos y anótalos:

ÁREA ESTADÍSTICO ADMINISTRATIVA 22% BIBLIOTECA DOCENTES

La suma de esta columna debe ser 100% o un valor aproximado. 3) En una biblioteca se tienen 2,000 volúmenes y se revisa una

muestra tomada al azar formada por 130 libros. a) La población es finita ya que está formada por el total de volúmenes

de la biblioteca que son 2,000. b) Muestra integrada por los 130 libros revisados. c) Parámetro de la población: Comparación entre los libros revisados y

el total de volúmenes que en este caso es 130/2000 = 0.065, este valor también se puede expresar como porcentaje al multiplicarlo por 100, entonces se tiene que de un total de 2,000 libros se revisó el 6.5%.

Anteriormente se ha expresado que las características de una

población son los parámetros y las de una muestra estadígrafos o estadísticos, en cada caso se utilizan símbolos que las representen, como ejemplo tenemos:

CARACTERÍSTICA

PARÁMETRO

ESTADÍGRAFO

MEDIA µ X VARIANZA σ s o S DESVIACIÓN

ESTÁNDAR σ2 s2 o S2

26


¿QUÉ HE APRENDIDO? Si al contestar lo que se te pide a continuación tienes dudas, regresa y

vuelve a empezar con más ánimo. Adelante. 1)Escribe un enunciado en donde se identifique claramente la

población y una muestra de la misma. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2)Redacta dos ejemplos en donde no es posible trabajar con la

población, pero si con una muestra representativa de cada una de ellas. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3) Anota dos características básicas de la población finita. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4) Escribe 2 características importantes de la población infinita. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5)Da un ejemplo de parámetro y otro de estadístico como en el inciso

3. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

6) Escribe en cada caso si es población finita o infinita: POBLACIÓN FINITA/INFINITA

a) Número de alumnos de la ENBA,

27

considerando a los que pertenecen al Sistema Escolarizado y los del Sistema Abierto y a Distancia.

b) Lanzamiento indefinido de 2 dados, anotando

la suma de puntos.

c) Número de niños del mundo. d) Libros de la biblioteca de una escuela.

e) Expedientes que se encuentran en trámite en

un Archivo.

f) Documentos que describen la historia del ser

humano en el pasado y en el futuro (considerando que el mundo nunca será destruido).

7) Arroja 30 veces una moneda, anota el número de cara o cruces y

contesta: Número de caras ____________________ Número de cruces ____________________ 8) Contesta las siguientes cuestiones, considerando el enunciado del

inciso anterior: a) La población está formada por: ________________________ b) La muestra es: _____________________________________ c) Es finita o infinita la población:_________________________ d) Describe un parámetro. ________________________________________________________

_______ e) Describe un estadístico. ________________________________________________________

_______

28


1.3 VARIABLES Variable es cualquier unidad, cualidad, operación o fenómeno que se

desee analizar.

VARIABLE: FORMA Y TAMAÑO DE LAS SIGUIENTES FIGURAS

a) b) Escribe las características diferentes de las figuras para cada una de

las variables:

Variable Característica de a) Característica de b)

Forma de la figura 1.-. 1.- Tamaño de la

figura 2.- 2.-

Una vez definida la población de interés, el procedimiento para la

obtención de datos indispensables para el uso de métodos estadísticos se puede dar en dos formas:

1) Recabar información de registros como puede ser el número de

personas que acuden diariamente a una biblioteca o a un archivo. 2) Llevar a cabo una encuesta (cuestionario formado por una serie de

preguntas relacionadas lógicamente con un tema central). En ambos casos se obtendrán características de interés sobre la

población con la que se está trabajando, éstas reciben el nombre de Variables.

VARIABLE (de respuesta). Característica de interés acerca de cada

elemento de una población o una muestra representativa que permite ordenar las observaciones e identificar sus diferencias. Son variables la edad de un estudiante, el color de su pelo, la asignatura a la cual pertenece

29

un libro o clasificación de expedientes según el tipo de archivo al que pertenecen.

Se tienen 2 tipos de variables: CUALITATIVA Y CUANTITATIVA CUALITATIVA se refiere a cualidad. Los datos cualitativos se

consideran en categorías o grupos. CUANTITATIVA se refiere a cantidad. Los datos cuantitativos están

representados por un número. TIPOS DE VARIABLES: NOMINAL Variables que no se pueden ordenar CUALITATIVA Describe y clasifica en categorías a los ORDINAL elementos de una Variables que se pueden ordenar muestra o población VARIABLE DISCRETA CUANTITATIVA Variables que sólo toman valores enteros Permite el conteo o medición CONTINUA Variables con valores enteros y/o decimales VARIABLE CUALITATIVA O ATRIBUTO. Es el resultado de un

proceso que permite describir o formar categorías con los elementos de una población y se divide en Nominal y Ordinal.

VARIABLE CUALITATIVA NOMINAL. Cuando los valores de una

variable cualitativa permiten únicamente ubicar a cada individuo en una categoría y no hay orden entre los valores, por ejemplo si a los alumnos del grupo de Estadística Descriptiva se les pregunta el nombre de la escuela en donde estudiaron bachillerato, algunas de las posibles respuestas serían: Preparatoria, CCH, Bachilleres.

VARIABLE CUALITATIVA ORDINAL. Cuando a los valores de

una variable se les puede dar un orden, por ejemplo para conocer el gusto de los alumnos de la ENBA por las Matemáticas, se podrían considerar las respuestas: Mucho, Regular o Poco, las cuales se pueden ordenar de mayor a menor o viceversa.

30


VARIABLE CUANTITATIVA O NUMÉRICA. Es el resultado de un proceso que cuantifica, es decir, que cuenta o mide (longitud o peso), a estas variables se les asignan números reales con los cuales tiene sentido efectuar operaciones aritméticas, así es posible compararlas, como ejemplo tenemos el número de libros de una materia determinada o número de expedientes que tiene un Archivo de Concentración. Este tipo de variable se divide en Discreta y Continua.

VARIABLE CUANTITATIVA DISCRETA. Toma valores enteros,

un ejemplo es la cantidad de alumnos que asisten a una conferencia. VARIABLE CUANTITATIVA CONTINUA. Toma valores enteros y

decimales, como el peso de cada uno de los trabajadores que laboran en un Archivo. DATO. Valor de la variable asociado a un elemento de la población o

muestra. Si la muestra representativa es el grupo de Estadística Descriptiva y la variable es la edad (cuantitativa discreta si se toman sólo los años cumplidos), se dice que el dato de “x” estudiante es 23 años.

¿QUÉ HE APRENDIDO? Es necesario que respondas lo que se te pide enseguida, si tienes

dudas vuelve a iniciar la lectura de este tema. 1) Completa el siguiente cuadro y agrega en cada caso un ejemplo de

la variable de que se trata: CUALITATIVA VARIABLE CUANTITATIVA

31

2) Identifica en cada caso si se trata de una variable nominal, ordinal, discreta o continua:

TIPO DE VARIABLE

a) Nombre

________________________

b) Color de cabello

________________________

c) Peso

________________________

d) Color de ojos

________________________

e) Estado civil

________________________

f) Sexo

________________________

g) Profesión

________________________

h) Número de alumnos de la ENBA

________________________

i) Número de preguntas en un examen

________________________

32


j) Resultado de una encuesta

________________________

k) Número de páginas de un expediente

________________________

l) Libros de una biblioteca

________________________

m)Satisfacción al realizar una investigación en una biblioteca o archivo

________________________

33

1.4 ESCALAS DE MEDICIÓN

ESCALA DE 1 EN 1

0 1 2 3

ESCALA DE 2 EN 2

0 2 4 6 Escala: Sucesión ordenada de puntos en la que se considera a cada

una de las partes del mismo tamaño. Medida: Número o denominación que se asigna a la unidad de

observación. Si se obtiene un número que expresa dimensiones o capacidades, se llama medición cuantitativa, y si el resultado es una denominación que sólo registra características, atributos o actitudes, se conoce con el nombre de medición cualitativa.

Las variables son conceptos fundamentales para el estudio de los

métodos estadísticos, su clasificación muestra el nivel de medición de las características que pueden ser cuantitativas o cualitativas.

Las mediciones cuantitativas son de dimensión o capacidad como:

Estatura, peso, volumen, área, tiempo, longitud, etc. Las mediciones cualitativas se refieren a características, atributos o

actitudes, las cuales no pueden ser representadas numéricamente tal es el caso de: Opiniones, formación de grupos por ingreso familiar, profesión, religión, clasificación de libros o expedientes por el estado físico que presentan.

En una investigación, cuando se comparan los valores (o datos)

obtenidos, se está realizando un proceso de medición el cual permite establecer una escala de valores. De acuerdo al tipo de variables se tienen las siguientes escalas:

1.4.1 ESCALA NOMINAL. Cuando a las categorías utilizadas sólo

se les dan nombres arbitrarios a manera de etiquetas, sin que exista

34


orden o relación entre ellas, como puede ser agradable o no agradable. En esta escala los datos que son iguales forman una categoría y al contarlos se obtiene la frecuencia absoluta o simplemente frecuencia.

En esta escala se proporciona información sobre la forma en que

están organizadas las categorías, aunque no indica la magnitud de las diferencias entre los números, como en el caso de que en una biblioteca se desee saber con qué material se cuenta en el área de consulta: Libros, Revistas, Enciclopedias o Folletos. En un archivo podemos investigar el sexo de los investigadores a fin de averiguar si entre ellos hay más hombres que mujeres, de esta forma tendríamos las opciones masculino o femenino.

1.4.2 ESCALA ORDINAL. Las categorías que se construyen pueden

ser ordenadas o jerarquizadas, según el nivel en que se sitúa una determinada categoría con relación a otra, sin utilizar valores cuantitativos, aunque las variables si se pueden relacionar por medio de los operadores relacionales como son mayor (>), menor(<) o igual(=) o comparar, como ejemplo de esta escala tenemos los resultados de una encuesta en donde se desea conocer la satisfacción de un usuario, formándose las categorías: Ninguna (N), Regular (R), Buena (B) y Excelente (E). Un archivo puede ser mayor o menor que cualquier otro si tomamos como medida de comparación una variable determinada.

1.4.3 ESCALA DE INTERVALO. Usa como 0 un valor arbitrario y se

utiliza cuando al formar categorías se está en posibilidad no sólo de clasificar y ordenar, sino además de cuantificar las diferencias entre ellas. En este caso se requiere de establecimiento de algún tipo de medida, que puede considerarse como patrón o norma y la aplicación de este patrón se puede llevar a cabo tantas veces como sea necesario, originando los mismos resultados, los patrones utilizados pueden ser metros, kilos, litros, pesos, etc. Esta escala indica que un individuo u objeto es tantas unidades más grande o más pequeño, más pesado o más ligero, más claro o más obscuro que otro, etc. Un ejemplo de esta escala es la puntuación obtenida por una persona en un test de inteligencia, en donde el cero no significa que un individuo tenga vacía la cabeza.

1.4.4 ESCALA ABSOLUTA o racional. Las distancias entre puntos

en la escala son precisos y conocidos y no existe cero absoluto. En esta escala las unidades son fijas y normalizadas, permitiéndonos realizar análisis mucho más rigurosos y precisos. Ejemplo: Si la biblioteca “x” tiene un presupuesto para materiales de $4,600, un sistema semejante

35

$800 y otro $650, se puede expresar exactamente y sin dificultad las diferencias en pesos y en porcentajes y definir cómo es un presupuesto con respecto al otro, observemos que en esta escala no se puede cambiar nada, ya que básicamente se utiliza para conteos.

¿QUÉ HE APRENDIDO? Ha llegado el momento de hacer una revisión del aprendizaje

adquirido. 1) Escribe tu propia definición de escala. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2) Elabora un cuadro que muestre los diferentes tipos de escalas con

un ejemplo cada una: ESCALAS 3) Indica en cada caso el tipo de medición que se está utilizando

(Escalas: Nominal, Ordinal, de Intervalo o Absoluta): a) Se inscriben varios alumnos de la ENBA para participar en un

concurso y a cada uno se le entrega un número para su participación. ________________________

b) Al terminar el concurso se informa el resultado y aparece un primer lugar, segundo, etc. Los resultados forman una ESCALA ________________________

c) Si además a cada participante se le tomó el tiempo de exposición de su proyecto bajo las mismas bases, se puede saber quién es el más

36


rápido y quién el más lento. A estos resultados se les puede incluir en una ESCALA ________________________

d) Cómo es la medición que se hace al anotar si una persona recibe el primer premio, el segundo, etc. ________________________

e) Un Archivista anota el número que le corresponde a cada legajo en una muestra específica .________________________

f) Un Bibliotecario registra el número de usuarios que solicitan determinado material para sus investigaciones . ________________________

g) Uso del Sistema Dewey. ________________________

h) Público que se presenta en una biblioteca o en un archivo para solicitar información. ________________________

i) Comparación del tipo y cantidad de libros que se encuentran en una biblioteca. ________________________

37

Elabora el Resumen de la Unidad I completando el siguiente mapa conceptual, al final de la guía lo encontrarás resuelto, de ser posible, confronta tus respuestas y corrígelas en caso de ser erróneas: SE CLASIFICA EN

ESTADÍSTICA Ciencia de la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de datos

OBJETO Inferir el comportamiento de una población a través del análisis de

t

TIENEN COMO BASE UNA O UNA PARTE PUEDE SER: SUS CARACTERÍSTICAS SE DENOMINAN CLASIFICÁNDOSE SEGÚN LAS SIGUIENTES

POBLACIÓN QUE ES:

2) INFINITA

VARIABLES Y SON: CUALITATIVA CUANTITATIVA

MUESTRA REPRESENTATIVA:

1) FINITA

ESCALAS DE MEDICIÓN:*

*Escalas de medición: a) Nominal.- Se utiliza como medida de identificación con variables

nominales. b) Ordinal.- Permite la manipulación de variables ordinales. c) Intervalo o Absoluta:- Maneja variables cuantitativas.

38


EVALUACIÓN Lee cuidadosamente cada inciso y contesta en forma clara y breve lo

que se te solicita, ya que esta evaluación se la debes enviar a tu asesor: 1) Escribe tu propia definición de Estadística ________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

2) Se sabe que cierto Archivo tiene un total de 5,000 expedientes, si a

cada uno de ellos se le asigna un número para su identificación, contestar: a) Cuando se habla de 5,000 expedientes en total nos estamos

refiriendo a la ________________ b) La escala que se ha utilizado es ______________ ya que

____________________________________________________________________

3) En la biblioteca de una Institución Educativa se pretende dar pláticas

durante el período intersemestral, al personal docente y administrativo sobre el uso y manejo de sus diferentes servicios, para ello realiza una encuesta con 850 personas para saber su opinión, si 245 están a favor contestar lo siguiente:

a) La población está formada por: ________________________ b) ¿Es población finita o infinita? ________________________ c) ¿Cuál es la muestra? ________________________ d) Describir un parámetro ________________________________________________________

__________________________________________________________________________

e) Calcular un estadístico

39

___________________________________________________________________________________________________________________________________

f) ¿Cuál consideras que es la variable de interés? ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

g) ¿A qué escala pertenece esta variable? Explica tu respuesta ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

INSTRUCCIÓN GENERAL De los siguientes dos ejercicios, resuelve el que corresponda a tu área,

en caso de que así lo desees, puedes resolver ambos. 4) Acude a una biblioteca de tu localidad y pregunta: - Total de libros de la biblioteca - Número de volúmenes que se tiene para préstamo a domicilio - Volúmenes para préstamo en sala - ¿Del total de volúmenes para préstamo a domicilio cuál es el área del

conocimiento que tiene mayor número de libros? - ¿En qué lugar se registra mayor movimiento, en préstamo a domicilio

o en consulta en sala? Con la información que obtengas contesta lo siguiente: a) ¿Cuál es la población? ________________________________________________________

_______ b) ¿Se trata de una población finita o infinita? ________________________________________________________

_______ c) Anota como mínimo 3 diferentes muestras que puedes formar

considerando el total de libros:

40


_______________________________________________________________

d) Efectúa los cálculos necesarios para encontrar la proporción que

existe entre los libros que se prestan y el total de libros, anota el resultado y expresa si se trata de un parámetro o de un estadístico.

_______________________________________________________________

d) Calcula la proporción de ejemplares de la asignatura que más se presta con respecto a los libros que se prestan a domicilio e indica si se trata de un parámetro o de un estadístico.

_______________________________________________________________

5) Investiga en un Archivo de Trámite (Oficina de Gobierno

Administrativa, Archivo Estatal, Municipal o de la Localidad): -Total de expedientes que maneja el Archivo -Promedio de documentos que entran diariamente -Promedio de documentos que salen diariamente -Qué día de la semana se recibe más correspondencia y qué día menos y

preguntar el promedio en cada caso -Número de expedientes que son susceptibles de ser prestados para su

consulta Con la información que obtengas contesta lo siguiente: a) ¿Cuál es la población? ________________________________________________________

_______ b) ¿Se trata de una población finita o infinita? ________________________________________________________

_______ c) Anota como mínimo 3 diferentes muestras que puedes formar en el

Archivo al que acudiste: ________________________________________________________

_______ d) Calcular la proporción entre el número de expedientes susceptibles

de ser prestados para su consulta y el total de expedientes con que cuenta el archivo, indica si se trata de un parámetro o de un estadístico:

41

_______________________________________________________________

e) Calcula un estadístico de la información obtenida: ________________________________________________________

_______

ENVÍA A TU ASESOR

Felicidades, has logrado un importante avance.

42


UNIDAD 2 PRESENTACIÓN DE DATOS

Una vez que se tiene una muestra aleatoria de tamaño n de la

población de interés, los datos considerados deben ser ordenados y presentados en tablas de distribución que pueden ser simples, cuando se habla de datos cualitativos o de una población o muestra pequeña, o para datos agrupados cuando se tiene una población o muestra grande.

Los datos presentados en una tabla permiten observar claramente la

naturaleza y comportamiento de la información sobre la cual se tiene interés.

¿QUÉ VOY A APRENDER EN ESTA UNIDAD? A organizar, manejar y presentar los datos obtenidos a través de una

investigación en una Tabla de Distribución de frecuencia simple o para datos agrupados que te faciliten identificar el comportamiento de una variable.

Antes de iniciar esta unidad realiza las siguientes actividades

diagnósticas.

39

DIAGNÓSTICO 1) Escribe los primeros conceptos de Estadística que te quedan

claros. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2) Si al ir a comprar un libro te informan que su costo es de $120.00

pero que tiene un descuento del 15%, ¿cuánto vas a pagar? __________________.

Describe el procedimiento que realizaste para su cálculo. ________________________________________________________

_______ 3) Ahora, supongamos que otro libro cuesta $150.00 más el 15% de

IVA ¿cuánto pagarías por él? ___________________. 4) Ordena en forma ascendente y descendente los siguientes números

8, 7, 1, 4, 10, 2 ASCENDENTE:____________________________________________

______ DESCENDENTE:__________________________________________

_______

Es muy importante que no olvides lo que vas aprendiendo en cada

unidad, por ello en la pregunta 1 del diagnóstico se te solicita que anotes los conceptos estadísticos que consideras más importantes, si no los recuerdas repasa tu resumen y contesta en forma correcta. No olvides que la constancia en el estudio da sus frutos al alcanzar una meta.

40


En las preguntas 2 y 3 tuviste que haber realizado cálculos para

encontrar los porcentajes que se te solicitan, si tus respuestas son $102.00 y $172.50 respectivamente puedes continuar, si no fue así lee con atención lo siguiente:

Recordemos que el porcentaje de un número es igual al mismo número dividido entre 100, esto es:

5 5% =------ = .05 100 9 9% =------ = .09 100 10 10% = ---- = .10 100 a y en general si a es cualquier número a% =-------- 100 Si utilizamos esta sencilla regla para el cálculo del 15% de $120.00

entonces tenemos que multiplicar 120 por .15 y obtenemos 18 que se resta a 120 porque se trata de un descuento, el resultado es $102.00 a pagar por el libro.

De igual forma se calcula el 15% de $150.00 que es 22.5 el cual se

suma al costo dando un total de $172.50, ya que se trata de un cargo al costo.

Finalmente, en la ordenación de números te habrás dado cuenta que

cuando se te solicita orden ascendente escribes el número menor y continúas escribiendo los restantes hasta llegar al número más grande y la numeración en forma descendente se obtiene iniciando con el mayor y terminando con el menor.

Bien, ¿ya estás listo para continuar? Adelante.

41

2.1 TIPOS DE DATOS En el desarrollo de este tema, consideramos 3 tipos de datos:

Categóricos, Ordenados por rango y Métricos. Con el propósito de entender su utilidad, para cada uno de ellos elaboraremos una tabla o cuadro estadístico colocando en la primera columna las diferentes categorías que se forman al tomar en cuenta al total de datos, sin que se repita ninguna y, en otra columna el número de elementos que pertenecen a cada categoría.

TABLA O CUADRO ESTADÍSTICO

CATEGORÍAS frecuencias absolutas o frecuencias (f) A número de datos que caen en esta

categoría B “ “ TOTALES suma de todas las frecuencias

2.1.1 DATOS CATEGÓRICOS. Agrupan a los individuos en categorías,

contando el número de sujetos que pertenecen a cada una. El número que indica cuántos elementos tiene una categoría recibe el nombre de frecuencia absoluta o simplemente frecuencia y se denota con la letra efe minúscula “f”. Al realizar el conteo cada sujeto debe adaptarse exactamente a una categoría.

Supongamos que en cierta área existen 33 bibliotecas, las cuales se

pueden agrupar por categorías obteniéndose la tabla siguiente:

BIBLIOTECAS DEL ÁREA “Y” TIPO DE BIBLIOTECAS NÚMERO (f) ACADÉMICAS 2 Categorías PUBLICAS 8 frecuencia de cada

categoría ESCOLARES 20 ESPECIALIZADAS 3 T o t a l : 33

En este cuadro aparece la variable nominal tipo de bibliotecas con las

categorías: Académicas, Públicas, Escolares y Especializadas; en la segunda columna están sus frecuencias respectivas.

42


Si se trata de Archivos, también se puede elaborar un cuadro con datos categóricos. Tomemos como ejemplo una Secretaría de Estado.

SECRETARÍA DE ESTADO “X” TIPO DE ARCHIVO NÚM. DE EXPEDIENTES TRÁMITE 25 CONCENTRACIÓN 4 HISTÓRICO 1 T o t a l : 30

2.1.2 DATOS ORDENADOS POR RANGO. Establecen un orden entre

categorías y son utilizados para comparar. Considerando la tabla que muestra las diferentes bibliotecas en una

área, es fácil comparar la categoría de Bibliotecas Académicas con la de Bibliotecas Escolares, de acuerdo a las frecuencias de cada una de ellas se puede asegurar que es mayor el número de Escolares que de Académicas.

BIBLIOTECAS DEL ÁREA “Y” TIPO DE BIBLIOTECAS NUMERO ACADÉMICAS 2 PUBLICAS 8 ESCOLARES 20 ESPECIALIZADAS 3 T o t a l : 33

Otro ejemplo en donde se puede utilizar la ordenación por rango es en

la edición de libros en donde las categorías son las fechas de edición:

BIBLIOTECA “X” FECHA DE EDICIÓN NÚMERO ENERO 1991 23 JUNIO 1991 10 FEBRERO 1992 21 AGOSTO 1992 3 T o t a l : 57

2.1.3 DATOS MÉTRICOS. Permiten la introducción de medidas, lo cual

facilita la comparación de los datos obtenidos.

43

Si consideramos nuevamente la edición de libros y asignamos unidades (años) con intervalos iguales, se pueden efectuar operaciones aritméticas:

BIBLIOTECA “X” AÑO DE EDICIÓN NÚMERO 1991 33 1992 24 T o t a l : 57

Con esta información se puede establecer la comparación entre los

dos años de edición que aparecen en la tabla. Es posible efectuar esta misma comparación si se consideran los

documentos de un archivo con respecto al año de su elaboración.

¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) Haz un cuadro que muestre los diferentes tipos de datos anotando

además, un ejemplo de cada uno. TIPOS DE DATOS 2) Al investigar en una biblioteca escolar el sexo de usuarios que

solicitan préstamo a domicilio, a fin de conocer los elementos que forman cada categoría se encontró:

BIBLIOTECA “X” PRÉSTAMO A DOMICILIO NÚMERO

44


HOMBRES 210 MUJERES 198 T o t a l : 408

En cada uno de los incisos escribe el tipo de dato que se está

utilizando y que pueden ser categóricos, ordenado por rango o métrico. a) Los datos son de tipo __________________porque

___________________ b) Al comparar el número de hombres y mujeres se están manejando

los datos tipo ________________. c) Si se considerara el servicio de préstamo a domicilio mensual se

estaría trabajando con datos ________________.

45

2.2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

6 4 1 1, 2, 3, 4, 5, 6 3 2 5

Datos sin organizar Datos organizados Una vez que se ha recopilado información ya sea por medio de una

encuesta o a través de una investigación, sobre una población y decidido trabajar con ella si es pequeña o con una muestra representativa si es muy grande, se obtiene un arreglo de datos en desorden que no es de gran utilidad para conocer el comportamiento de la información, lo cual provoca la necesidad de elaborar tablas de distribución de frecuencias.

Iniciaremos la explicación de dichas tablas con un ejemplo muy

sencillo: El Departamento de Control Escolar informa que el número de alumnos de la Escuela Nacional de Biblioteconomía durante el semestre 97-I es de 621 de los cuales 270 pertenecen a Archivonomía y el resto a Biblioteconomía.

Con este enunciado es muy difícil analizar y comparar los elementos

que pertenecen a cada categoría, sin embargo, si elaboramos una tabla de distribución de frecuencia simple veremos que es fácil identificar las categorías y sus frecuencias respectivas:

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMPLE Título ALUMNOS DE LA ENBA Período Semestre 97-I Encabezados CARRERA

(X) NÚM.DE ALUMNOS

(f) cuerpo ARCHIVONOMÍA 270 BIBLIOTECONOMÍA 351 Final T o t a l : 621

Fuente: Información proporcionada por la Subdirección de Planeación y Evaluación de la

ENBA a través de su Departamento de Control Escolar el 28 de abril de 1997. Pie: Sólo se ha considerado el total de alumnos en el Sistema Escolarizado.

46


Las tablas de distribución de frecuencias o tabla de frecuencias permiten estructurar y ordenar la información, para que su contenido sea lo más claro posible siempre se debe incluir:

• Título. Describe la información más importante del problema. • Fecha o Período de tiempo en que se realizó la investigación. • Encabezado. Informa el contenido de cada columna. • Cuerpo. Agrupa la información en categorías con sus frecuencias

respectivas. • Final. Registra los totales de las columnas numéricas. • Fuente. Se debe especificar cómo, cuándo, quién y dónde se

tomaron los datos. • Pie. Contiene observaciones. (En algunos casos no existe).

Una vez que ya identificamos las partes que forman una tabla de

distribución de frecuencias, conozcamos los diferentes tipos de distribuciones de acuerdo a la variable que se está manejando.

2.2.1 SIMPLES DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLES PARA DATOS

NOMINALES Esta tabla de distribución es útil cuando se trata de una variable de tipo

nominal. 1) Al grupo 6101 formado por 21 alumnos de la carrera de

Archivonomía en la ENBA se le preguntó cuál es la materia de su preferencia de Estadística Descriptiva (ED), Inglés (I) o Computación (C), siendo las respuestas: ED, I, ED, I, C,C,C, I, ED, I, C,C,C, I, C,C,C,C,C, I, C.

Con esta información elaboraremos un tabla de distribución de

frecuencias simple que muestre los datos de la variable nominal Materia de preferencia.

47

MATERIAS DE PREFERENCIA DE LOS ALUMNOS DE ARCHIVONOMÍA DE LA ENBA GRUPO 6101 -- SEMESTRE 97-1

ASIGNATURA NÚMERO DE ALUMNOS ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA 3

INGLÉS 6 COMPUTACIÓN 12 T O T A L : 21

Fuente: Encuesta realizada por la Coordinación de la Carrera de Archivonomía

al grupo 6101 en junio de 1997. Observaciones: Sólo se consideró al turno matutino y a los Alumnos inscritos en el Sistema Escolarizado. Las tablas de distribución permiten manejar la información más

fácilmente, con los datos del cuadro anterior calcularemos algo tan importante como lo es la proporción en porcentaje de cada categoría con respecto a la muestra:

a) El porcentaje de alumnos que prefieren Estadística Descriptiva es: f 3 % = -------- (100) = ------- (100) = 14.28% n 21 b) El porcentaje de alumnos que prefieren Inglés es: f 6 % = -------- (100) = ------- (100) = 28.57% n 21 c) El número de alumnos que prefiere Computación representa un

porcentaje de: f 12 % = -------- (100) = ------- (100) = 57.14% n 21 Estos cálculos se pueden agregar en la tabla de distribución teniendo

como encabezado frecuencia relativa o fr:

48


MATERIAS DE PREFERENCIA DE LOS ALUMNOS DE ARCHIVONOMÍA DE LA ENBA GRUPO 6101 SEMESTRE 97-1

ASIGNATURA NÚMERO DE ALUMNOS fr (%) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

3 14.28

INGLÉS 6 28.57 COMPUTACIÓN 12 57.14 T O T A L : 21 99.99

Fuente: Encuesta realizada por la Coordinación de la Carrera de Archivonomía

al grupo 6101 en junio de 1997. Observaciones: Sólo se consideró al turno matutino y a los alumnos inscritos en el Sistema Escolarizado. La tabla de distribución de frecuencias simple no sería de gran utilidad

si sólo se llegara hasta aquí, su importancia radica en que permite analizar la información que contiene, como por ejemplo comparar las frecuencias entre las categorías, lo que recibe el nombre de razón que es un cociente en donde se comparan dos cantidades que se encuentran en las mismas unidades.

LECTURA 1

Con el propósito de que conozcas un poco más sobre la proporción

además de saber cómo y para qué se calculan la razón y las tasas, te sugiero leas la primera lectura que se encuentra al final de esta guía, escrita por Ray I. Carpenter y que forma parte del libro “Métodos Estadísticos para Bibliotecarios”. (páginas de la 25 a la 30).

Se hace hincapié en que estos conceptos también son de vital

importancia para los Archivónomos, como lo veremos más adelante con ejemplos.

Para la mejor comprensión de la lectura subraya los conceptos más

importantes, realiza anotaciones al margen, busca las palabras desconocidas en el diccionario y elabora un resumen que te permita confrontar el desarrollo del tema.

Después de leer regresa para continuar con más ánimo.

49

Una vez realizada tu lectura reforzaremos con ejemplos su aprendizaje. Consideremos los datos de la tabla construida antes de la lectura.

ASIGNATURA NÚMERO DE ALUMNOS fr (%) ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

3 14.28

INGLÉS 6 28.57 COMPUTACIÓN 12 57.14 T O T A L : 21 99.99

Si el número de alumnos que prefiere Estadística Descriptiva es 3 y los

que prefieren Inglés son 6, ¿cuál es la razón entre los alumnos que tienen estas preferencias?:

frecuencia de Estadística Descriptiva Razón = ---------------------------------------------- frecuencia de Inglés 3 1 Razón = -------- = ------ 6 2 Conclusión: Por cada alumno que prefiere Estadística Descriptiva

existen 2 que prefieren Inglés, esto es, la preferencia es 1 a 2. Veamos la razón que existe entre los alumnos que prefieren

Computación con los que prefieren Estadística Descriptiva: frecuencia de Computación Razón = ---------------------------------------------- frecuencia de Estadística Descriptiva Razón = ----------- = -------- Conclusión: ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

50


2) Observa la información que aparece en la siguiente tabla:

ALUMNOS INSCRITOS EN BIBLIOTECONOMÍA POR SEXO Semestre 97-I

SEXO (X)

NÚM.DE ALUMNOS(f)

HOMBRES 288 MUJERES 144 T o t a l : 432

f1 es la frecuencia de una categoría y f2 de otra diferente. f1Razón = ------- f2 Si consideramos a f1 como la frecuencia de la categoría de hombres

entonces f1=288 y similarmente si tomamos a f2 como la frecuencia de la categoría de mujeres f2=144.

Al comparar el número de hombres con el número de mujeres que

estudian la carrera de Biblioteconomía: 288 Razón = --------- 144 Como 288 es el doble de 144 entonces: 288 2 Razón= ------------- = ---- 144 1 Conclusión: La razón indica que por cada 2 hombres hay 1 mujer o

viceversa que por cada mujer hay 2 hombres. 3) Con la información que se te muestra contesta lo que se te pide: SECRETARÍA DE ESTADO “X” TIPO DE ARCHIVO NÚM. DE EXPEDIENTES TRÁMITE 25 CONCENTRACIÓN 4 HISTÓRICO 50 T o t a l : 79 a) Cuál es la razón entre los expedientes en trámite y los que se

encuentran en el Archivo Histórico: Razón = ---------

51

Conclusión:_______________________________________________

___________________________________________________________________________

b) Calcula la proporción de expedientes en trámite con respecto al

total. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

c) Escribe la proporción anterior en forma de porcentaje. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Ahora que ya hemos entendido el concepto de razón continuaremos

con un ejemplo en donde se utiliza la tasa de cambio. 4) Si en la biblioteca de la escuela había 456 libros al inicio de un

período escolar y al finalizar el mismo este número disminuyó a 422 ¿cuál es la tasa de cambio de libros extraviados?

En la lectura se nos indicó que la forma de calcular la tasa de cambio

es la siguiente: Valor final - Valor inicial Numerador Tasa de cambio = --------------------------------------- = -------------------- Valor inicial Denominador En el numerador se escribe la diferencia entre el valor inicial del

período y el valor final del mismo: 422 - 456= -34 Nota: Si la cantidad que se obtiene es negativa representa una disminución y si es positiva

se trata de un incremento. En el denominador se escribe el valor de la variable al principio del

período: 456 -34 Tasa de cambio = --------- = -0.074 = -7.4% 456

52


Como el resultado es negativo se obtiene la siguiente conclusión: Durante el período escolar considerado el acervo ha disminuido en un 7.4%.

5)Si en el año de 1990 en un Archivo existían 256,000 expedientes y en

1996 se incrementó este número a 321,000 ¿cuál es la tasa de cambio en el período de 6 años?

321,000 - 256,000 65,000 Tasa de cambio = -------------------------- = -------------------=.2539 =25.39% 256,000 256,000 Conclusión: El Archivo incrementó su número de expedientes en

65,000, lo cual da como resultado un crecimiento del 25.39% en un período de 6 años.

¿QUÉ HE APRENDIDO? Para poder continuar se requiere que contestes correctamente lo que

se solicita en cada inciso: 1) De acuerdo a la lectura la razón es útil

para__________________________ ____________________________________________________________________

2) La tasa de cambio,

permite______________________________________ ____________________________________________________________________

3) En una biblioteca se tienen 2,340 libros para préstamo a domicilio y

780 para consulta interna. Con esta información identifica en cada caso si se tiene que calcular una razón, proporción o tasa de cambio.

a) A fin de establecer la relación que existe entre los libros para

préstamo a domicilio con los de consulta interna. ___________________________________________________________

____

53

b) Para conocer cuántos libros existen en una categoría con respecto a la otra.

_______________________________________________________________

c) Con el objeto de calcular el incremento de libros durante los últimos

dos años. ________________________________________________________

_______ 4) Pregunta a 15 personas su grado máximo de estudios y con las

respuestas elabora una tabla de distribución simple. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLES DE DATOS

ORDINALES Las categorías utilizadas deben tener un orden al ir construyendo la

distribución de frecuencias, algunos autores consideran el orden de menor a mayor (ascendente) y otros por el contrario ordenan los datos de mayor a menor (descendente). En esta guía se utilizará el orden ascendente.

6) Un ejemplo que se puede presentar es el hecho de conocer la

satisfacción de los usuarios en relación con los servicios que presta al público ya sea una Biblioteca o un Archivo, en cuyo caso lo más conveniente es tomar una muestra que represente al total de la población y realizar una encuesta, supongamos que los resultados de la misma son: Ninguna = 20, Regular = 30, Buena = 15 y Excelente = 18.

Con estos datos ya se está en posibilidad de elaborar una Tabla de

Distribución de Frecuencias Simple que muestre claramente la información obtenida, ya sea desde su valor más pequeño hasta el más alto o viceversa como se ilustra en las dos tablas siguientes:

Orden ascendente

ENCUESTA PARA CONOCER LA SATISFACCIÓN DEL USO DE SERVICIOS

SATISFACCIÓN No. DE USUARIOS NINGUNA 20 REGULAR 30 BUENA 15 EXCELENTE 18 T O T A L 83

54


Orden descendente

ENCUESTA PARA CONOCER LA SATISFACCIÓN DEL USO DE SERVICIOS

SATISFACCIÓN No. DE USUARIOS EXCELENTE 18 BUENA 15 REGULAR 30 NINGUNA 20 T O T A L 83

¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) Escribe la diferencia que existe entre la tabla de distribución de

frecuencias simples para datos ordinales y la de datos nominales. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2) Elabora una tabla de distribución de frecuencia simple con todos sus

elementos, considerando la información que obtengas al preguntar a 15 de tus compañeros si les gustan las Matemáticas, utilizando para ello las categorías: Nada, Poco, Regular y Mucho.

3) Calcula la proporción que existe entre las personas a quienes les

gusta mucho Matemáticas y a las que no les gusta. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA SIMPLE DE DATOS CONTINUOS

O DISCRETOS

55

Cuando se tiene un número pequeño de observaciones representadas por números continuos o discretos, se construye una tabla parecida a las dos explicadas anteriormente, escribiendo en la primera columna la variable y en la segunda la frecuencia con que aparecen los datos.

Como ejemplo usaremos las calificaciones de Cómputo obtenidas por

25 alumnos y que son: 3 alumnos obtuvieron cinco, 5 alumnos seis, 6 alumnos siete, 5 alumnos ocho, 3 alumnos nueve y 3 alumnos diez.

CALIFICACIONES DEL GRUPO 337 PRIMER PARCIAL DE CÓMPUTO

SEMESTRE 97-I CALIFICACIÓN

(X) No. DE ALUMNOS

(f) 5 3 6 5 7 6 8 5 9 3 10 3 T O T A L 25

Fuente: Lista del grupo 337 proporcionada por el Profesor de la Materia.

¿QUÉ HE APRENDIDO? Observa la tabla que se acaba de construir y contesta: 1) En este caso la primera columna contiene ___________ que

representan a la variable cuantitativa. 2) ¿Existe alguna diferencia entre esta tabla y las dos construidas

anteriormente? Explica tu respuesta:______________________________________ ____________________________________________________________________

3) ¿La distancia que recorren tus compañeros en metros de sus

respectivas casas al trabajo podrían proporcionarte información para

56


construir una tabla para datos continuos o discretos? Explica tu respuesta:____________________________ ____________________________________________________________________

4) ¿Qué categorías te gustaría considerar en el inciso 3?

________________________________________________________________________________________________________________________________________

57

2.2.2 PARA DATOS AGRUPADOS DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS AGRUPADAS DE DATOS POR

INTERVALOS Cuando se tiene una gran cantidad de datos numéricos, la distribución

de frecuencia simple resulta larga y difícil de leer, por ello, se recomienda agruparlos en categorías llamadas intervalos de clase, y elaborar tablas que muestren la información en una forma más eficiente que permita averiguar rápidamente su comportamiento, sin embargo, al considerar intervalos de clase se tiene la desventaja de perder el valor original e individual de cada uno de los datos.

Antes de iniciar con la construcción de una tabla de distribución de

frecuencia de este tipo, mostraremos el contenido de las columnas básicas que la forman:

CLASES o INTERVALOS f Mc Límite inferior-Límite superior o Frontera inf.- Frontera sup.

frecuencia de cada clase

Marca de clase oPunto medio

La siguiente gráfica te permitirá visualizar la frecuencia, el número de

intervalos, la amplitud y la marca de clase:

0

5

10

15

25 35 45 55 65

Número de intervalos= número de barras=K= 5 Amplitud = ancho de cada columna= A (todas tienen la misma amplitud) Frecuencia= Frecuencia de clase = f Es la altura de cada barra Marca de clase= Mc Punto medio de cada barra

Cada una de las clases o intervalos se encuentra formada por dos

límites llamados aparentes que son el límite inferior(o frontera inferior) y el límite superior (o frontera superior), es necesario calcular el número de intervalos al cual llamaremos K, con la única condición de que todos los datos queden incluidos en los intervalos considerados; la distancia entre los

58

límites inferior y superior de un intervalo recibe el nombre de amplitud y se denota con la letra A.

La frecuencia de cada clase (f) se obtiene al contar el número de datos

que caen dentro de cada intervalo. La marca de clase o punto medio (Mc) es el número que se obtiene al

dividir la suma de los límites inferior y superior entre dos, dando como resultado un valor que se encuentra a la mitad de los límites considerados.

7) Apoyados por estos conceptos procedamos a la elaboración de una

tabla de distribución de frecuencia agrupada por intervalos tomando los datos de un Archivo en donde se quiere conocer el promedio de expedientes que se presta, considerando una muestra de 50 días al azar.

El número de libros o expedientes prestados durante los 50 días

considerados son: 61 65 45 80 60 64 65 48 56 61 62 75 58 56 67 60 56 61 69 44 65 57 55 43 72 50 70 60 65 65 54 67 64 60 62 57 53 59 54 68 63 53 62 70 47 56 58 51 79 48 Esta información la proporcionó el encargado del Departamento de Control Escolar. Primero se ordenan los datos de menor a mayor.

43 54 58 62 67 44 54 59 62 67 45 55 60 63 68 47 56 60 64 69 48 56 60 64 70 48 56 60 65 70 50 56 61 65 72 51 57 61 65 75 53 57 61 65 79 53 58 62 65 80

58


Notemos que el dato mayor es 80 y el menor 43 y que es fácil ubicarlo sólo después de haber ordenado en forma ascendente a todos los elementos de la muestra.

En Estadística se acostumbra utilizar la letra equis mayúscula “X” para que represente a un dato, por lo que una vez ordenados se determina el recorrido o rango, es decir, la diferencia entre el dato mayor y el menor; utilizando la letra X para representar a estos dos datos se tiene lo siguiente:

Rango o Recorrido = R R = X máxima - X mínima R = X máx - X mín R = 80 - 43 = 37 Como siguiente paso se calcula el número de intervalos, donde

intervalo es cada una de las partes iguales en que se divide el rango. No olvidemos que cada intervalo está formado por límites superior e inferior en la columna de clases y se representa con la letra K.

K= número de intervalos El número de intervalos en una tabla de distribución para datos

agrupados no debe ser muy grande ni muy pequeña sino suficiente para contener toda la información.

El autor Howard B. Christensen en su libro Estadística Paso a Paso

sugiere una regla llamada de Sturges para establecer el número de intervalos de acuerdo con el número de datos:

Número de valores en el conjunto Número apropiado de intervalos 10 a 100 4 a 8 100 a 1000 8 a 11 1000 a 10000 11 a 14

Para calcular el número de intervalos de una tabla de distribución para

datos agrupados, se puede utilizar nuevamente la Regla de Sturges que indica que K= 1+ 3.322 x log (n) donde:

n es el tamaño de la muestra 1 y 3.322 son dos valores constantes que nunca cambian log (n) es el logaritmo de n En el ejemplo que nos ocupa tenemos que n=50, obteniendo en la

calculadora el valor que le corresponde al log(50) se tiene que es 1.69.

59

Sustituyendo estos valores en la fórmula: K = l + 3.322 x (1.69) Al resolver primero se multiplica 3.322 por el resultado del logaritmo y

al valor que se obtiene se le suma 1, con lo cual K = 1 + 3.322 x (1.69) =1 + 5.64 = 6.64.

Como el número de intervalos debe ser entero porque representa al

número de barras en una gráfica como la que aparece al inicio de esta unidad, se debe redondear de la siguiente manera: Si el primer dígito decimal es mayor o igual que .5 entonces K será igual al valor entero siguiente, si por el contrario el dígito decimal es menor que .5 entonces K tendrá el valor del entero anterior, por ejemplo si se obtiene 5.8 K=6 y si se tiene 7.2 entonces K=7.

En este caso K=7 porque el valor obtenido fue 6.64. Es importante

hacer notar que esta Regla no es infalible y que si en un momento dado se quiere considerar otro número de intervalos diferente al obtenido, se puede hacer, con la única condición de que todos los datos de la muestra queden contenidos en los intervalos.

Después de obtener K, se calcula la amplitud de los intervalos

realizando la división del rango entre el número de intervalos de la siguiente manera:

R A= --------- K 37 A= ------- = 5.2 7 La amplitud también es un número entero por lo que A se redondea a

5. Hasta ahora hemos obtenido R= 37, K=7 y A=5, con esta información

ya estamos preparados para construir la tabla de distribución. ¡Adelante! Escribimos como primer encabezado CLASES y anotamos como

primer límite inferior el valor más pequeño o si desea un valor cercano como puede ser 40, 41 ó 42; en este caso, consideraremos al 43 que es el dato menor, para encontrar el segundo límite inferior se le suma la amplitud que es 5 y así sucesivamente hasta tener 7 intervalos que es el valor de K.

60


A = 5 CLASES 43 1) + 5 = 48 2) + 5 = 53 3) Número de clases o intervalos =

K 58 4) 63 5) K = 7 68 6) 73 7)

Para realizar el cálculo de los límites superiores o fronteras superiores, se procede de la siguiente manera: Al primer límite inferior se le suma lo que vale la amplitud menos 1, esto es, 4 y el resultado es el primer límite superior, de esta forma se continúa hasta completar los 7 intervalos considerados en este caso:

Límites aparentes:

CLASES límite inferior 43- 47 límite superior límite inferior 48- 52 límite superior 53- 57 58- 62 63- 67 68- 72 73- 77

A los límites o fronteras inferior y superior que acabamos de encontrar

se les llama límites aparentes, existen otros límites que no aparecen en la tabla pero que también es necesario que conozcas, son los límites reales, también llamados verdaderos, los cuales se calculan muy fácilmente:

a) A cada límite inferior se le resta .5 y se obtienen los límites reales o

verdaderos. b) Se agrega .5 a cada límite superior para obtener el límite superior

real o verdadero de cada clase.

límite inferior aparente

límite inferior real o verdadero

límite superior aparente

límite superior real o verdadero

43 42.5 47 47.5 48 47.5 52 52.5 53 52.5 57 57.5 58 57.5 62 62.5 63 62.5 67 67.5 68 67.5 72 72.5 73 72.5 77 77.5

61

Límites reales o verdaderos:

límite inferior real o verdadero

límite superior real o verdadero

42.5 47.5 47.5 52.5 52.5 57.5 57.5 62.5 62.5 67.5 67.5 72.5 72.5 77.5 Como verás, para construir la columna de las clases o intervalos de

clase se utilizaron Rango (R), número de intervalos (K) y amplitud (A). Para llenar la columna de frecuencias absolutas o simplemente f, se

maneja la lista ordenada de los datos, contando el número de los que caen dentro de cada intervalo, por ejemplo en el primer intervalo 43-43 caen: 43, 44, 45, 47, lo cual significa que tiene frecuencia 4. En esta forma se continúa hasta tener el total de datos incluidos en los intervalos. Para verificar que el conteo fue correcto, se suman todas las frecuencias y su resultado debe ser el tamaño de la muestra que en este caso es 50.

CLASES f 43- 47 4 48- 52 4 53- 57 11 58- 62 13 63- 67 10 68- 72 5 73- 77 3 TOTAL: 50

Al tener datos agrupados se pierde la individualidad de cada uno, es por esta razón que se calcula el punto medio o marca de clase, el cual representa a todos los datos que caen en cada uno de los intervalos.

La marca de clase se calcula en cada intervalo sumando sus límites y

dividiendo entre 2: límite inferior + límite superior Mc = ---------------------------------------- 2

62


Esta es la tabla de distribución de frecuencia agrupada de datos por intervalos.

CLASES f Mc 43- 47 4 45 48- 52 4 50 53- 57 11 55 58- 62 13 60 63- 67 10 65 68- 72 5 70 73- 77 3 75

TOTAL: 50

Existen algunas consideraciones sobre la elaboración de una tabla de este tipo:

1.- Se sugiere que la amplitud de los intervalos sea impar como en este

caso, ya que de esta forma, se asegura que el punto medio sea entero, en caso contrario se tendrán decimales.

2.- No es necesario utilizar la Regla de Sturges para el cálculo de K, tú

puedes manejar el número de intervalos que consideres suficientes. 3.- La marca de clase o punto medio representan al número total de

datos que caen en cada intervalo. A esta tabla se le pueden agregar más columnas como las siguientes:

CLASES f Mc fa fr far 43- 47 4 45 48- 52 4 50 53- 57 11 55 58- 62 13 60 63- 67 10 65 68- 72 5 70 73- 77 3 75 TOTAL: 50 La columna de fa o frecuencias acumuladas tiene como primer dato el

que aparece en la columna f que es 4, se le suma la siguiente frecuencia que también es 4 y se obtiene 8 que es el número que aparece en el siguiente renglón y así hasta terminar con todas las frecuencias:

63

La última frecuencia acumulada (fa) es el tamaño de la muestra.

La columna de frecuencia acumulada es sumamente importante, para

entenderla mejor regresemos a la lista ordenada de datos y coloquemos a cada uno de ellos el número que le corresponde por su posición ordenada.

1.- 43 11.-54 21.- 58 31.- 62 41.- 67 2.- 44 12.- 54 22.-59 32.- 62 42.- 67 3.- 45 13.-55 23.- 60 33.- 63 43.- 68 4.- 47 14.-56 24.- 60 34.- 64 44.- 69 5.- 48 15.-56 25.- 60 35.- 64 45.- 70 6.- 48 16.-56 26.- 60 36.- 65 46.- 70 7.- 50 17.-56 27.- 61 37.- 65 47.- 72 8.- 51 18.-57 28.- 61 38.- 65 48.- 75 9.- 53 19.-57 29.- 61 39.- 65 49.- 79 10.- 53 20.-58 30.- 62 40.- 65 50.- 80

Con la información de la columna fa se puede ubicar en un intervalo

desde el primer número que cae hasta el último según su posición en la lista ordenada en forma ascendente.

La columna fa indica que los primeros 4 datos caen en este

intervalo En esta clase caen desde el dato que ocupa el 5o. lugar hasta el

8vo.

f fa 4 4 4 8

11 19 13 32 10 42 5 47 3 50

CLASES fa 43- 47 4 48- 52 8 53- 57 19 58- 62 32 63- 67 42 68- 72 47 73- 77 50

Aquí caen los datos desde el lugar 9o. hasta el 19vo.

De esta forma la columna de frecuencias acumuladas nos proporciona

información sobre los datos que caen en determinado intervalo de clase, por ejemplo para saber en qué intervalo cae el dato que ocupa el lugar 30, lo buscamos en fa y aseguramos que cae en el intervalo 58-62 ya que éste contiene a los datos que ocupan desde el lugar 20 hasta el lugar 32.

64


La columna fr es la frecuencia relativa de cada intervalo, se calcula en cada intervalo dividiendo su frecuencia entre el tamaño de la muestra, obteniéndose una razón que se puede escribir de tres formas diferentes.

f fr (fracción)

fr (decimal)

fr % (porcentaje)

4 4/50 .08 8 4 4/50 .08 8 11 11/50 .22 22 13 13/50 .26 26 10 10/50 .20 20 5 5/50 .10 10 3 3/50 .06 6 50 50/50 1 100 En este último renglón se encuentra la suma de cada columna, es

preciso hacer hincapié en que los tres resultados de las columnas fr son los mismos, esto significa entonces que fr se puede escribir de cualquiera de las tres maneras sólo que la última que está en porcentaje es la que más se utiliza para el tema de gráficas.

De manera similar que fr se calcula la columna de far (fra) o frecuencia

acumulada relativa en porcentaje, solamente que para ésta se toma como referencia la columna de fa. Veamos, para calcular el primer valor de far se efectúa la división de cada renglón de fa entre el tamaño de la muestra y el resultado se multiplica por 100 para tenerlo en porcentaje.

No hay que perder de vista esta columna ya que es muy importante por 2 motivos: 1) Se utiliza para encontrar porcentajes 2) Sus valores se acumulan hasta completar el 100%

fa far % 4 8 8 16

19 38 32 64 42 84 47 94 50 100

Con todo lo anterior se tiene la tabla de distribución de frecuencia

agrupada de datos por intervalos:

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS POR INTERVALOS

65

NÚMERO DE LIBROS O EXPEDIENTES PRESTADOS DURANTE 50 DÍAS

PERÍODO ENERO-MARZO 1997 CLASES f Mc fa fr far 43- 47 4 45 4 8 8 48- 52 4 50 8 8 16 53- 57 11 55 19 22 38 58- 62 13 60 32 26 64 63- 67 10 65 42 20 84 68- 72 5 70 47 10 94 73- 77 3 75 50 6 100 TOTAL: 50 100

Fuente: Información proporcionada por el Departamento de Control Escolar. La presentación de una tabla de distribución de frecuencias para datos

agrupados como la anterior no es la única, en ocasiones, algunos autores muestran sus tablas iniciando con la clase o intervalo mayor hasta llegar al más pequeño, es obvio que las demás columnas también sufren esta modificación, observemos:



PERÍODO ENERO-MARZO 1997 CLASES f Mc fa fr far 73-77 3 75 50 6 100 68-72 5 70 47 20 94 63-67 10 65 42 20 84 58-62 13 60 32 26 64 53-57 11 55 19 22 38 48-52 4 50 8 8 16 43-47 4 45 4 8 8 50 100

Fuente: Información proporcionada por el Departamento de Control Escolar. En este caso la columna de frecuencia acumulada se inicia con el

tamaño de la muestra que es 50 y se le va restando la frecuencia hasta obtener el valor de la primera:

f fa 3 50 50 - 3 5 47 10 42 13 32 11 19 4 8 4 4 50

66


¿QUÉ HE APRENDIDO? Es muy importante que recuerdes la forma en que se construye una

tabla de distribución de frecuencias para datos por intervalos, también llamada para datos agrupados, ya que en tu futuro como profesional de la información es una herramienta que te será de gran utilidad.

1) Escribe claramente tus propias definiciones de Rango, Amplitud y

Número de intervalos. ________________________________________________________ ____________________________________________________________________

2) ¿Qué diferencias encuentras entre frecuencia absoluta (f) y

frecuencia relativa (fr)? _________________________________________________________ ____________________________________________________________________

3) ¿Por qué es importante la columna de frecuencias acumuladas (fa)?

Explica tu respuesta. _________________________________________________________ ____________________________________________________________________

67

Elabora el Resumen de la Unidad 2 completando el siguiente mapa conceptual, al final de la guía lo encontrarás resuelto, de ser posible, confronta tus respuestas y corrígelas en caso de ser erróneas:

CATEGÓRICOS ORDENADOS POR RANGO MÉTRICOS

TIPOS DE DATOS

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

POBLACIÓN O MUESTRA PEQUEÑA POBLACIÓN O MUESTRA GRANDE

TIPO DE VARIABLES QUE UTILIZAN

SIMPLE CUYA ESTRUCTURA ES: a) b)

c) d) A f B f

e) TO T A L SUMA DE f f) g) donde: a) Título que explique brevemente el contenido de la tabla b) c) d) e) f) g)

PARA DATOS AGRUPADOS CUYA ESTRUCTURA ES:

a) b) c) d) e) f)

donde: a)Clases o intervalos formados por límite inferior y límite superior b) c) d) e) f)

a) ORDINALES b) c) d)

a) b)

68


EVALUACIÓN 1)Se atendieron en un mes a 40 investigadores en cierta área, si el

mes anterior se habían atendido 80 ¿cuál es el porcentaje de disminución? ____________________________________________________________________

2) Un empleado atiende 200 personas durante una semana ¿cuántas

personas más deberá atender la próxima para obtener un incremento del 25%? ____________________________________________________________________

3) Si en el área de Préstamo a domicilio existen 125 volúmenes y en el

área de consulta 375: a) ¿Cuál es la razón entre las dos áreas?

______________________________ b) ¿En qué porcentaje es mayor el volumen de consulta con respecto

al préstamo a domicilio?__________________________________________________

4) Si en un Archivo se tienen 50 legajos sobre el Tratado de Libre

Comercio y sobre Posesión de la tierra 100 ¿cuál es la razón entre los primeros y los segundos? ____________________________________________________________________

5) Con los datos proporcionados por el Departamento de Control

Escolar de una Universidad, que representan las horas dedicadas semanalmente al estudio fuera de clases por los estudiantes que asisten regularmente, completa la tabla de distribución para datos agrupados, anotando todo lo que se te solicita:

3 11 8 22 7 5 3 2 4 9 6 4 2 18 5 3 20 17 2 10 18 8 15 4 5 15 17 3 2 4 3 2 6 9 6 5 5 12 13 4 2 1 11 16 1 8 14 1 6

69

21 6 12 1 5 6 11 7 13 23 10 12 16 4 1 10 11 3 10 1 12

a) Escribe la variable de interés y el tipo al que pertenece: ________________________________________________________

______ b) ¿Cuál es la población del problema? ________________________________________________________

_______ c) Es población finita o infinita: ________________________________________________________

_______ d) La muestra está formada por ______________ elementos. e) Ordena los datos en forma ascendente: f) Calcula y escribe el valor de: R= Rango = K= Número de intervalos= A= Amplitud= g) Completa la tabla de distribución para datos agrupados indicando

claramente título y fuente según la información proporcionada:

CLASES f Mc fr fa far

70


6) En un Archivo diariamente se devuelven en promedio 520

expedientes que fueron solicitados para su consulta y se colocan en el lugar que les corresponde. Para llevar un control adecuado, semanalmente se hace una revisión a fin de que la suma de los entregados más los que están en préstamo nos de el total de expedientes, por lo general de cada 13 expedientes uno se encuentra extraviado, ya sea porque está en préstamo sin vale o porque está mal colocado, el porcentaje con que se presenta la primera opción es del 65%. Con esta información realiza las operaciones necesarias para contestar correctamente:

a) Considerando el promedio de expedientes que se devuelven,

aproximadamente ¿cuántos expedientes devuelven al Archivo durante los 5 días de la semana?

_______________________________________________________________

b) ¿Aproximadamente cuántos expedientes se extravían a la semana? ________________________________________________________

_______ c) ¿Cuántos expedientes se extravían semanalmente por estar

prestados sin el vale respectivo? ________________________________________________________

_______ d) ¿Cuántos expedientes están extraviados semanalmente por estar

mal colocados? ________________________________________________________

_______ 7) En una biblioteca semanalmente (lunes a sábado) se solicita en

préstamo a domicilio un promedio de 830 libros, si cada domingo se hace una revisión para comprobar que el número de ejemplares prestados más los que se tienen suman el total disponible para este servicio, encontrándose que aproximadamente de cada 20 libros 3 están extraviados, efectúa las operaciones correspondientes y anota el resultado en cada inciso:

a) ¿Cuántos libros en promedio se prestan diariamente (de lunes a

sábado)?

71

_______________________________________________________________

b)¿Cuál es la cantidad de libros que se extravían diariamente? ________________________________________________________

_______ c)¿Qué porcentaje de libros se extravían semanalmente? ________________________________________________________

_______

ENVÍA A TU ASESOR

Si has llegado hasta aquí, te felicito, tu esfuerzo tendrá una

recompensa.

72


1st Qtr2nd Qtr3rd Qtr4th Qtr

UNIDAD 3 REPRESENTACIONES GRÁFICAS

En esta unidad aprenderás a elaborar diferentes gráficas a partir de los

datos contenidos en tablas de distribución de frecuencias, por ello es necesario que prepares papel milimétrico, compás, regla y transportador.

¿QUÉ VOY A APRENDER EN ESTA UNIDAD? A trazar gráficas de barras horizontales o verticales y de sectores

cuando se trate de variables cualitativas, y si se tienen datos cuantitativos a elaborar histogramas y polígonos de frecuencia, ya que al ser presentados los datos en forma resumida podemos observar gráficamente sus principales características.

73

DIAGNÓSTICO 1) Dibuja el Sistema de Coordenadas Rectangulares o plano

cartesiano indicando el nombre de los ejes, el origen, y los cuadrantes. 2) Para cada inciso traza un plano cartesiano y utilizando sólo el primer

cuadrante marca en ambos ejes las escalas que se te solicitan: a) Ambos ejes a escala 1:1 hasta 10 (un centímetro equivale a la

unidad). b)Ambos ejes a escala 1:2 hasta 20, esto es, iniciando en uno y de dos

en dos hasta 20. (un centímetro equivale a 2 unidades). c) Ambos ejes a escala 1:5 iniciando en 1 y terminando en 50 (un

centímetro equivale a 5 unidades).

74


d) El eje “X” de 1:2 hasta 20 y en el eje “Y” de 1:10 hasta 100. 3) Busca en el diccionario el significado de simetría y dibuja una figura

simétrica.

Si al realizar la actividad diagnóstica tuviste problemas para trazar el

Sistema de Coordenadas Rectangulares mejor conocido como el plano cartesiano, recordemos que éste se encuentra formado por dos rectas perpendiculares entre sí, las cuales reciben el nombre de ejes coordenados, siendo el horizontal el de las “X” o abscisas y el vertical el de las “Y” o de las ordenadas, su punto de intersección es el origen.

Sistema de Coordenadas Rectangulares

II I eje Y (o de las ordenadas) III origen eje X (o de las abscisas) (punto 0) IV

Los números romanos nos indican los cuadrantes. En cada uno de los incisos en donde se te solicitan escalas se requiere

trazar el plano cartesiano, los primeros 3 incisos son muy fáciles como lo viste en Escalas de Medición, sólo veremos el inciso d) en donde se te pide trazar en el eje “X” una escala de 1:2 hasta 20 y en el eje “Y” de 1: 10 hasta 100:

75

100 EJE Y 30 20 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 origen EJE X

Para terminar con la reflexión de esta unidad, no debes olvidar que una

figura es simétrica cuando se divide en dos partes iguales de tal forma que éstas coinciden al girar una de ellas 180 grados.

Bien, una vez que ya nos familiarizamos con el Sistema de

Coordenadas Rectangulares y recordado lo que significa que una figura sea simétrica, continuemos con el tema de representaciones gráficas en donde debes tener en cuenta las siguientes observaciones:

a) Todas las gráficas, menos la de sectores se trazan en el primer

cuadrante del Sistema de Coordenadas Rectangulares. b) Es indispensable que en todas las gráficas aparezca en primer lugar

un título que describa brevemente la información que está siendo representada y la fuente de información, ya que éstas deben ser autoexplicativas, con excepción de la gráfica de sectores, todas deben contener un título en cada uno de los ejes que indique el tipo de datos que se están representando.

c) Las gráficas son necesarias y útiles para conocer el comportamiento

de los datos, es por ello que se recomienda tener cuidado tanto en su elaboración como en su revisión, ya que de lo contrario se podría caer en interpretaciones erróneas.

76


3.1 GRÁFICA DE BARRAS

GRÁFICA DE BARRAS(HORIZONTAL)

0

50

100

RUSO ALEMAN CHINO ESPAÑOL

IDIOMAS

NÚMERO

Conocida también como diagrama de barras, por estar formada por

barras que tienen el mismo ancho y están separadas por espacios en blanco, los datos deben estar incluidos en unas cuantas categorías (representadas por los rectángulos o barras), ya que esta gráfica no es recomendable cuando se tiene una gran cantidad de información.

Consideremos la información de la tabla que aparece enseguida y que

contiene 2 categorías: Archivonomía y Biblioteconomía.

ALUMNOS DE LA ENBA Semestre 97-I

CARRERA (X)

NÚM.DE ALUMNOS (f)

ARCHIVONOMÍA 270 BIBLIOTECONOMÍA 351 T o t a l : 621

Primero trazamos el primer cuadrante del plano cartesiano, en el eje

horizontal se anotan las categorías, en el eje vertical se considera una escala o división conveniente para marcar las frecuencias respectivas, posteriormente se trazan barras del mismo ancho y con la misma separación.

En la actualidad cuando se realizan este tipo de gráficas, sobre todo en

la computadora, se tiene la opción de escoger barras con o sin separación y horizontales o verticales.

Al trazar las barras se debe tener en cuenta que la separación entre

ellas no debe ser menor que la mitad de su ancho ni mayor que el mismo y la altura de cada una queda determinada por la frecuencia que le corresponde, de esta forma cada categoría queda representada por una columna.

77

GRÁFICA DE BARRAS VERTICALES La información contenida en la tabla anterior de distribución simple

aparece gráficamente en el diagrama: Notemos que se destaca

inmediatamente la categoría de mayor frecuencia, por lo que en este caso es claro que la carrera de Biblioteconomía tiene más alumnos inscritos que la de Archivonomía.

El Autor Luis Magaña Cuéllar

en su libro Estadística y probabilidad indica que en la representación gráfica se debe construir, cada vez que se pueda, el

eje vertical de tal modo que la altura del punto máximo (que representa el dato asociado a la frecuencia más alta) sea aproximadamente igual a ¾ de la longitud que media entre el origen y el último dato indicado en el eje horizontal.

ALUMNOS INSCRITSEMEST

0

50

100

150

200

250

300

350

400

OS EN LA ENBARE 97-I

ARCHIVONOMÍA BIBLIOTECONOMÍA

CARRERAS

NÚMERO

DE

ALUMNOS

¿Por qué crees que se deba seguir esta regla en la elaboración de

una gráfica? GRÁFICA DE BARRAS HORIZONTALES A continuación se muestra la

misma información en un diagrama de barras horizontales, en donde se ha cambiado el papel de los ejes, anotando los nombres de las categorías en el eje vertical y las frecuencias en el eje horizontal:

Como ya hemos

mencionado las categorías al ser representadas en una gráfica o diagrama de barras permiten visualizar fácilmente el comportamiento de los datos.

ALUMNOS INSCSEM

0 50 100 15

ARCHIVONOMÍA

BIBLIOTECONOMÍA

CA

RR

ERA

S

NÚMER

RITOS EN LA ENBAESTRE 97-I

0 200 250 300 350 400

O DE ALUMNOS

78


¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) Con los datos de la siguiente tabla elabora una gráfica de barras.

OCUPACIÓN DE LAS PERSONAS USUARIAS DE UN ARCHIVO JUNIO 1997

OCUPACIÓN (X)

NÚM.DE PERSONAS (f)

INVESTIGADORES 150 DOCENTES 120 ESTUDIANTES 230 T o t a l : 500

Con la información que aparece en la gráfica calcula: 2) La proporción entre docentes y estudiantes. ________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________

3) El porcentaje de investigadores con respecto a la población. ________________________________________________________

____________________________________________________________

79

___________________________________________________________________________________

80


3.2 GRÁFICA DE SECTORES Como primer punto recordemos dos definiciones que son importantes

para comprender mejor la forma en que se elabora una gráfica de este tipo: Circunferencia: curva plana y cerrada, todos los puntos que la forman

están a la misma distancia del centro. Círculo: superficie plana limitada por la circunferencia. En seguida, veamos un ejemplo en donde es claro observar que a

cada categoría se le asocia un sector o “gajo” proporcional de la circunferencia, el cual depende de su frecuencia.

GRÁFICA DE SECTORESALEMÁN

13%

RUSO18%

CHINO24%

ESPAÑOL45%

Para la construcción de esta gráfica no se requiere el trazo del plano

cartesiano, en su lugar, se dibuja una circunferencia donde, como ya dijimos anteriormente, a cada categoría le va a corresponder un sector del círculo.

A fin de contar con toda la información necesaria para trazar esta

gráfica, se recomienda elaborar una tabla auxiliar que contenga todos los datos que se requieren.

Consideremos nuevamente la tabla de distribución de frecuencias

simple:

ALUMNOS DE LA ENBA SEMESTRE 97-I

X f % GRADOS ARCHIVONOMÍA 270 BIBLIOTECONOMÍA 351

621

81

Aparecen dos columnas adicionales: En una de ellas se anota el porcentaje que le corresponde a cada categoría con respecto a la población (o muestra), y en la otra se anotan los grados que servirán para la medición del ángulo de cada sector, sin olvidar que todas las circunferencias abarcan un ángulo de 360 grados.

Para el cálculo del porcentaje se realiza el siguiente procedimiento en

cada categoría: Al total se le considera el 100%, en este caso como N=621 621 100% Estas dos cantidades permanecen constantes al efectuar el cálculo en

todas las categorías. La primera categoría tiene una frecuencia de 270 y desconocemos el

porcentaje que le corresponde con respecto al total, si asignamos con una letra “a” el valor desconocido y escribimos:

621 100% 270 a Este planteamiento corresponde a una regla de tres simple, ya que

consta de 4 términos donde 3 son conocidos y uno desconocido. Esta se resuelve en cruz de la siguiente manera:

621 100% 270 a El término desconocido “a” es igual al producto de 270 por 100 entre

621. a= (270x100)/621=43.4 entonces el porcentaje que le corresponde a

270 es 43.4%. Cuando se tienen números decimales como en este caso, es

conveniente redondear hasta el entero o decimal más próximo tomando en consideración los siguientes criterios:

a) Aproximación a un entero 9.2 = 9 9.8 = 10 4.5 = 5 Si el último dígito de un número es menor que 5, se redondea al entero

inmediato inferior como en el primer ejemplo que se muestra, en caso de

82


que el dígito de que se trata sea mayor o igual a 5 se considera el entero inmediato superior.

b) Aproximación a la décima 3.17 =3.2 5.11 =5.1 0.09 =0.1 c) Aproximación a la centésima 6.177=6.18 0.674=0.67 2.098=1.10 En estos dos incisos se observa que si el último dígito es menor que 5,

no se toma en cuenta y si el último dígito es mayor que 5, el anterior se aumenta en una unidad. Cuando la parte decimal de un número termina en 5 es necesario considerar el dígito anterior:

d) Si es impar, se incrementa en una unidad 7.875 =7.88 18.755 =18.76 e) Si es par se redondea conservando el penúltimo dígito 2.25 = 2.2 8.05 = 8.0 Ahora calculemos el porcentaje de la siguiente categoría 621 100% 351 a a=(351x100)/621=56.5, redondeando se tiene que a 351 le

corresponde el 57% Los valores obtenidos se anotan en la columna de porcentaje (%) X f % GRADOS

ARCHIVONOMÍA 270 43 BIBLIOTECONOMÍA 351 57 621

En la última columna se anotan los grados calculados con la regla de

tres simple para cada categoría:

83

Cabe hacernos en este momento una pregunta ¿Si a N=625 le corresponden 360 grados, cuántos le corresponden a 270? Para responder, planteamos una regla de 3 simple y la resolvemos:

621----- 360 grados 270 ------ a a = (270(360))/621= 156.52, la fracción .52 se transforma a minutos, es

decir, se multiplica .52 por 60. .52(60) = 31.2 Redondeando el valor obtenido se tienen 31 minutos, esto indica que a

la primera categoría le corresponden 156 grados con 31 minutos. Efectuemos la misma operación para el cálculo de los grados de la

siguiente categoría que tiene una frecuencia de 351: 621 ----- 360 grados 351 ------ a a = (351(360))/621 = 203.47, realizando la misma transformación de la

parte decimal: .47(60) = 28.2 Al redondear se obtienen 28 minutos, por lo que a la segunda

categoría le corresponden 203 grados con 28 minutos. Ya estamos en condiciones de completar la tabla:

X f % GRADOS

ARCHIVONOMÍA 270 43 156°31′ BIBLIOTECONOMÍA 351 57 203°28′

621 100 359°59′

Es recomendable obtener el total de las columnas de porcentaje y de grados para verificar que los cálculos están correctos, en algunos casos debido al redondeo no se llega al 100% ni a 360 grados, sin embargo, no te preocupes si obtienes como mínimo 99% ó 359 grados los resultados están correctos y son aceptables.

Con los datos obtenidos se realiza el trazo de la gráfica circular o de

sectores en la forma que se indica:

84


1) Se dibuja una circunferencia y el radio vertical principal y a partir de éste, en el sentido de las manecillas del reloj se miden con un transportador los grados que le corresponden a cada categoría:

2) Como indica la flecha se miden los grados que se calcularon,

iniciando con el valor más grande hasta llegar al más pequeño. Conforme se marcan los grados en la circunferencia, se van trazando los radios que formarán los sectores de la gráfica.

3) Los grados no aparecen en la gráfica, ya que sólo se utilizan para

marcar el sector que le corresponde a cada categoría.

ALUMNOS DE LA ENBA SEMESTRE 97-I

BIBLIOTECONOMÍA

57%ARCHIVONOMÍA

43%

Aquí aparecen todas las categorías con su porcentaje respectivo, el

cual ha sido calculado tomando en cuenta el tamaño de la muestra (o población).

Se observa que la Carrera de Biblioteconomía presenta un porcentaje

mayor de alumnos inscritos.

85

¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) Completa la tabla siguiente y elabora la gráfica de sectores

correspondiente:

OCUPACIÓN DE LOS USUARIOS DE UN ARCHIVO JUNIO 1997

OCUPACIÓN (X)

NÚM.DE PERSONAS (f)

% GRADOS

INVESTIGADORES 150 DOCENTES 120 ESTUDIANTES 230 T o t a l : 500

Con la información de la gráfica que acabas de elaborar contesta: 2) La categoría que tiene mayor porcentaje es : ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3) El porcentaje de la categoría que tiene menor frecuencia es: ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

86


Nota: No olvides que el total de la columna del porcentaje debe estar entre 99 y 101% y la que corresponde a los grados entre 359 y 361 grados.

87

3.3 HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Es la representación gráfica de una tabla de frecuencias para datos

cuantitativos agrupados y se construye trazando en el primer cuadrante del plano cartesiano rectángulos unidos, donde los intervalos de clase

determinan el ancho de cada uno de los rectángulos y las frecuencias sus alturas correspondientes.

Si se consideran las frecuencias absolutas el gráfico recibe el nombre

de Histograma de frecuencias absolutas o simplemente de frecuencias, si se consideran las frecuencias relativas se trata de un Histograma de frecuencias relativas.

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

02468

101214

3 4 7 10 13 16 19 22 25

MARCAS DE CLASE

FRE

CU

EN

CIA

S A

BSO

LU

TA

S

Para construir un histograma como el anterior utilizaremos la

distribución de frecuencias para datos agrupados de la Unidad 2:

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE DATOS POR INTERVALOS NÚMERO DE LIBROS O EXPEDIENTES PRESTADOS

DURANTE 50 DÍAS PERÍODO ENERO-MARZO 1997

CLASES f Mc fa fr far 43- 47 4 45 4 8 8 48- 52 4 50 8 8 16 53- 57 11 55 19 22 38 58- 62 13 60 32 26 64 63- 67 10 65 42 20 84 68- 72 5 70 47 10 94 73- 77 3 75 50 6 100 50 100

88


Los datos que se toman en cuenta para trazar el histograma son las marcas de clase de cada intervalo y sus frecuencias absolutas (f):

Mc f 45 4 50 4 55 11 60 13 65 10 70 5 75 3 50

Ya estamos listos para efectuar el trazo del histograma de frecuencias

absolutas: 1) Se dibuja el primer cuadrante del plano cartesiano. 2) A fin de mostrar que se ha considerado el origen se inserta una

marca de rompimiento:

eje Y marca de rompimiento origen eje X

La marca de rompimiento evita que tengamos que marcar en el eje

horizontal desde el “cero” que es el origen hasta la primera marca de clase que es 45.

3) A lo largo del eje horizontal o de las “X” se trazan las marcas de

clase, tomando en cuenta que la gráfica debe quedar equilibrada (o centrada), por lo que es necesario dejar el mismo espacio antes de la primera marca de clase y después de marcar la última (es opcional).

45 50 55 60 65 70 75 Estas dos distancias deben ser iguales y mayores que la longitud que

separa una marca de clase con otra.

89

4) Sobre el eje vertical trazar una escala adecuada que permita ubicar las frecuencias de cada intervalo, en este caso si el valor más pequeño es 3 y el mayor 13, se puede considerar una escala de 2 en 2:

.

. . 6 4 2 0 45 50 55 60 ...

Es conveniente que la escala se tome de acuerdo a los valores

extremos, ya que si se presenta un caso en que el valor mínimo es 20 y el máximo 100, se tiene la opción de escoger una escala de 5 en 5 o de 10 en 10 o cualquier otra que no tenga valores tan pequeños como la anterior.

5) Es importante anotar títulos, uno principal que especifique en forma

clara y breve la información que contiene el histograma y en cada uno de los ejes para indicar lo que se está graficando. También es necesario anotar la fuente de la información.

EXPEDIENTES PRESTADOS PERÍODO ENERO-MARZO 1997

02468

101214

40 45 50 55 60 65 70 75 80

NÚMERO DE EXPEDIENTES

DÍAS

Fuente: Información proporcionada por el Departamento de Control Escolar. Información que muestra el histograma: 1)La barra más alta tiene una altura de 13 y corresponde a la marca de

clase 60, esto significa que durante 13 días se prestaron en promedio 60 expedientes.

90


2) Durante 4 días se prestaron en término medio 45 expedientes y en el mismo número de días se prestaron 50 expedientes.

3) El máximo número de expedientes que son 75 se prestaron durante

3 días. 4) El área de cada rectángulo, en relación con los restantes, muestra la

proporción del número total de observaciones que ocurren en cada clase. 5) Al estar los datos agrupados se pierde la información individual de

cada uno, pero se tiene una visión general de la distribución de los mismos. 6) Al intervalo que le corresponde la barra con mayor número de datos

o más alta, se le llama clase modal, en este caso es 58-62.

LECTURA 2 Con el propósito de que conozcas un poco más sobre los diferentes

tipos de gráficas, es necesario que leas del Capítulo 3 del libro Fundamentos de Estadística en la Investigación Social de Jack Levin incluido al final de esta guía y elabores un breve resumen para reafirmar tu aprendizaje.

Después de la lectura continúa con más ímpetu el desarrollo de esta

unidad. Las formas de los histogramas más comunes se muestran a

continuación:

91

Presentan a la clase de mayor

frecuencia o clase modal a la mitad del histograma.

Se observan dos colas, la más pequeña a la izquierda y la mayor hacia la derecha del intervalo de mayor frecuencia. Si con esta misma información se considera el polígono de frecuencias absolutas tendremos una distribución con sesgo hacia la derecha (se considera positivo).

HISTOGRAMA SIMÉT

02468

1012

25 35 45

RICO

55 65

HISTOGRAMA ASIMÉA LA DERECHA

02468

1012

25 35 45

TRICO

55 65

La cola más larga se extiende hacia la izquierda de la clase mayor, de igual manera si consideramos su polígono de frecuencia respectivo, se tiene una distribución sesgada hacia la izquierda.

HISTOGRAMA ASIMÉA LA IZQUIERD

02468

1012

25 35 45

TRICO A

55 65

HISTOGRAMA RECTANGULAR

02468

1012

25 35 45 55 65

92


Todas las categorías tienen la misma frecuencia.

No se observa ninguna cola en el lado donde se encuentra la categoría con mayor frecuencia. HISTOGRAMA EN FORMA DE

"J"

02468

1012

25 35 45 55 65

NOTA: Estas gráficas se elaboraron

en computadora y no aparecen espacios en blanco, antes y después del primer y último rectángulo.

¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) Completa la siguiente tabla que contiene los retardos en minutos

que 50 personas tuvieron en un mes.

CLASES f Mc 5- 9 10 10-14 8 15-19 15 20-24 5 25-29 12 50

2) Anota el intervalo que tiene mayor frecuencia, el cual por esta razón

recibe el nombre de clase modal:______________________________________________

3) Con la información de la tabla elabora el histograma de frecuencias

absolutas correspondiente y destaca la barra más alta o de mayor frecuencia.

93

4) Compara la forma que presenta el histograma con las que se

mostraron anteriormente y escribe a qué categoría corresponde:________________________ ____________________________________________________________________

94


3.4 POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS Es una gráfica lineal que muestra los datos que contiene una

distribución de frecuencia para datos agrupados, en el eje X se colocan las marcas de clase y en el eje “Y” las frecuencias. Se unen los puntos medios de cada clase a la altura de su frecuencia correspondiente.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

02468

1012

1 4 7 10 13 16 19 22 25

MARCAS DE CLASE

FRE

CU

EN

CIA

S A

BSO

LU

TA

S

Recordemos que un polígono es una figura plana limitada por rectas

que forman una línea quebrada cerrada, por ello, es necesario agregar una marca de clase al principio y otra al final, ambas con frecuencia cero “0” a fin de cerrar la poligonal.

Veamos nuevamente las columnas que se usaron para la elaboración

del Histograma de frecuencias absolutas:

Estas dos marcas de clase con frecuencia “0” se agregaron para cerrar la curva.

Mc f 40 0 45 4 50 4 55 11 60 13 65 10 70 5 75 3 80 0

50

Parte más alta o “pico”

95

EXPEDIENTES PRESTADOS

PERÍODO ENERO-MARZO 1997

02468

101214

35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85NÚMERO DE EXPEDIENTES

DÍAS

Es importante observar que la curva comienza en el punto medio de la

clase anterior a 45 y termina en el punto medio de la clase posterior a la última, de no ser así, sólo se tendría una poligonal.

Información que muestra el polígono: 1) El área total bajo la curva es igual al área total bajo el histograma

correspondiente. 2) Muestra un esquema más claro del comportamiento de los datos,

como por ejemplo, su parte más alta corresponde a la mayor frecuencia. 3) Si sólo presenta un “pico”, como en este ejemplo, significa que su

categoría correspondiente contiene el dato que se repite más veces. 4) En caso de que se observe más de un “pico” se tienen varios datos

con frecuencia mayor (o muy parecida). NOTA: También se puede utilizar la columna de frecuencias relativas (fr) en lugar de la de

frecuencias absolutas y graficarse para obtener un polígono de frecuencias relativas.

96


¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) A continuación se muestran las edades de 55 trabajadores de cierta

empresa, completa la tabla:

CLASES f Mc 20-29 25 30-39 10 40-49 15 50-59 5 55 2) Escribe la clase modal o de mayor frecuencia

________________________ 3) ¿En qué intervalo se encuentran agrupados los empleados más

jóvenes? ____________________________________________________________________

4) Traza el polígono de frecuencias respectivo.

97

3.5 POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS U OJIVA PORCENTUAL

También conocido como Polígono de frecuencias acumuladas

relativas, es una curva que representa el área proporcional relativa acumulada en cada clase y permite calcular de manera visual las proporciones de sus valores que se acumulan al final de cada clase, en otras palabras muestra gráficamente cuántas observaciones se encuentran por arriba o debajo de ciertos valores, en lugar de limitarnos a conocer el número de elementos que caen dentro de cada uno de los intervalos.

Algunos autores como Agustín Montaño en su libro Estadística I,

utilizan en el eje de las “X” las marcas de clase y otros como Jack Levin en su libro Fundamentos de Estadística en la Investigación Social usan en el mismo eje los límites reales superiores de cada intervalo.

No hay por qué preocuparse, ambas formas tienen el mismo propósito

y no hay mayor problema en considerar marcas de clase o límites reales superiores.

Utilizando la misma información se ha trazado una gráfica con cada

uno de ellos: OJIVA PORCENTUAL CON MARCAS DE CLASE EN EL EJE DE LAS

“X”:

POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS U OJIVA PORCENTUAL

020406080

100

10 15 20 25 30 35 40

MARCAS DE CLASE

FREC

UEN

CIA

S R

ELA

TIVA

S A

CU

MU

LAD

AS

(%)

98


OJIVA PORCENTUAL CON LÍMITES REALES SUPERIORES EN EL

EJE DE LAS “X”

POLÍGONO DE FRECUENCIAS RELATIVAS ACUMULADAS U OJIVA PORCENTAL

0

2040

6080

100

12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5LÍMITES REALES SUPERIORES

FREC

UEN

CIA

S R

ELA

TIVA

S A

CU

MU

LAD

AS

(%)

A simple vista se observa que la forma de las dos ojivas es la misma,

veamos que sucede cuando consideramos un problema y obtenemos su polígono de frecuencias acumuladas en las dos formas descritas anteriormente.

Durante un mes se tomaron las temperaturas en una bóveda donde se

guardan expedientes, obteniéndose las siguientes lecturas: 3, 12, 21, 30, 15, 24, 6, 15, 21, 3, 15, 21, 3, 18, 24, 12, 27, 6, 9, 6, 27, 18, 18, 9, 27, 6, 30, 18, 24 y 9 grados respectivamente.

Primero se ordenan los datos:

3 6 6 9 15 18 18 21 24 27 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

R=30-3 = 27 K= 1 + 3.322(log 30) = 1 + 3.322(1.47) = 5.9 redondeando K=6 A= 27/6 = 4.5 al redondear A=5

CLASES f Mc fa far 3-7 7 5 7 23 8-12 4 10 11 37 13-17 3 15 14 47 18-22 7 20 21 70 23-27 7 25 28 93 28-32 2 30 30 100 30

99

OJIVA PORCENTUAL CON MARCAS DE CLASE EN EL EJE DE LAS

“X”

Para estimar el porcentaje de temperaturas menores de 20 grados, localizamos la frecuencia acumulada relativa que se intersecta con este dato.

Así encontramos que

aproximadamente el 70% del total de datos es menor que 20, para verificarlo veamos cuántos números son

menor de 20:

TEMPERATURAS LEÍDAS DURANTE UN MES EN UN ARCHIVO

0102030405060708090

100

5 10 15 20 25TEMPERATURAS

FREC

UEN

CIA

AC

UM

ULA

D

30

AR

ELA

TIVA

(%)

3,3,3,6,6,6,6,9,12,12,15,15,15, 18, 18, 18, 18 (un total de 17 datos que

representan un 56.6%) Al calcular el 70% del total de 30 datos, obtenemos 21 datos, cantidad

que es ligeramente mayor que el número de datos listados anteriormente. De igual manera si deseamos saber cuántas temperaturas del mes

considerado fueron mayores de 25 grados, veremos que las menores fueron aproximadamente el 92%, por lo tanto, las mayores tienen un porcentaje del 8% es decir, que aproximadamente de 2 a 3 lecturas son mayores de 25 grados.

Nuevamente, de la lista de datos ordenada tenemos que los grados

mayores a 25 son: 27, 27, 27, 30, 30, estos 5 datos representan el 16.6% de todas las temperaturas.

En ambas estimaciones existe diferencia entre los porcentajes

obtenidos a través de la gráfica y los calculados con los datos proporcionados inicialmente.

100


OJIVA PORCENTUAL CON LÍMITES REALES SUPERIORES EN EL EJE DE LAS “X”

Realicemos la misma estimación de porcentajes que en la anterior

gráfica:


0102030405060708090

100

7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5

TEMPERATURAS

FREC

UEN

CIA

S A

CU

MU

LAD

AS

REL

ATI

VAS

(%)

Primero observemos que 20 grados se localiza a la mitad de 17.5 y

22.5, para estimar el porcentaje de temperaturas mayores de esta cantidad vemos que en el eje de las “Y”, la frecuencia acumulada relativa que le corresponde es 60%, lo cual implica que 18 datos (el 60% de 30) son mayores de 20, este valor es más cercano que el que se obtuvo en la anterior ojiva.

Ahora para conocer el número de datos mayores de 25 grados,

localiza esta temperatura en el eje de las “X”, el cual se encuentra a la mitad de 22.5 y 27.5 y le corresponde un porcentaje del 80%, entonces podemos decir que la estimación de valores mayores de 25 es 20%, esto es, 6 datos.

101


0102030405060708090

100

7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5

TEMPERATURAS

FREC

UEN

CIA

S A

CU

MU

LAD

AS

REL

ATI

VAS

(%)

Comparemos los porcentajes y valores obtenidos en las dos ojivas:

ESTIMACIÓN OJIVA CON MARCAS DE CLASE

OJIVA CON LÍMITES REALES SUP.

PORCENTAJE REAL

% de datos menores de 20

grados

70% 60% 56.6%

valores menores de 20 grados

21 18 17

% de datos mayores de 25 grados

8% 20% 16.6%

valores mayores de 25 grados

2.4 6 5

En esta tabla se nota claramente que las estimaciones con la ojiva que

utiliza límites reales superiores en el eje de las “X” se acerca más a la realidad que la ojiva con marcas de clase, esta es la razón de que a partir de este momento, cuando se trate de trazar una ojiva porcentual se considerará en el eje de las “X” a los límites reales superiores y en el eje de las “Y” las frecuencias relativas acumuladas o frecuencias acumuladas relativas.

En la ojiva porcentual con límites reales superiores, también se puede

estimar el porcentaje de datos que caen entre dos valores dados, por ejemplo entre 10 y 25:

102



0102030405060708090

100

7.5 12.5 27.5 32.5

FREC

UEN

CIA

S A

CU

MU

LAD

AS

REL

ATI

VAS

(%)

17.5 22.5

TEMPERATURAS

El porcentaje de datos que se desea estimar caen entre estos dos

valores, de tal forma que a 10 le corresponde el 30% y a 25 el 80%, por lo que una aproximación estará dada por 80%-30%=50%, lo cual nos dice que 15 datos caen en este rango, para verificar si esto es verdadero contemos los datos utilizando la lista ordenada: 12, 12, 15, 15, 15, 18, 18, 18, 18, 21, 21, 21, 24, 24, 24 que son exactamente 15 temperaturas.

Además de las estimaciones anteriores, existen otros términos que se

usan para localizar puntos específicos en una distribución, tal es el caso de los CUARTILES.

Los cuartiles son tres valores representados por Q1, Q2 y Q3 que dividen

a la población en cuatro partes iguales, cada uno de ellos contiene el 25% del total de los datos considerados, denominándose respectivamente primer cuartil =Q1, segundo cuartil =Q2 y tercer cuartil=Q3.

Si se considera una lista ordenada de todas las observaciones, es fácil

observar los puntos que representarían gráficamente a los cuartiles. 25% 25% 25% 25% primer dato Q1 Q2 Q3 último dato 25% 50% 75% Ubiquemos en la ojiva porcentual el valor que le corresponde a cada uno

de los cuartiles:

103


05

101520253035404550556065707580859095

100

7.5 12.5 17. 22.5 27.5 32.5

MPERATURAS

FREC

UEN

CIA

S A

CU

MU

LAD

AS

REL

ATI

VAS

(%)

5

TE

aproximadamente Q1=8.5 Q2=18.5 Q3=23.5 El segundo cuartil Q2 divide al total de las observaciones en dos partes

iguales de tal manera que a su izquierda se encuentra el 50% y a su derecha el otro 50%.

En la siguiente unidad se te mostrará el procedimiento a seguir para calcular los cuartiles en una distribución.

¿QUÉ HE APRENDIDO? Antes de elaborar una gráfica es indispensable reflexionar sobre el tipo

de variable de que se trata a fin de que su representación sea lo más ilustrativa posible del comportamiento de los datos considerados, por esta razón te pido que en cada inciso indiques el tipo de variable (cualitativa o cuantitativa) y la gráfica que utilizarías:

1) El número de libros por asignatura que tienes en tu biblioteca

personal.

104


variable_________________________________________________________

gráfica__________________________________________________________

2) El número de libros por asignatura que existen en la biblioteca más

importante de tu comunidad. variable__________________________________________________

_______ gráfica___________________________________________________

_______ 3) El número de nacimientos de tu localidad considerando intervalos de

5 años durante el período 1970-1995. variable__________________________________________________

_______ gráfica___________________________________________________

_______

105

Elabora el Resumen de la Unidad 3 ANOTANDO en cada descripción la gráfica de que se trata y completando las características que encuentres en blanco, al final de la guía lo encontrarás resuelto, de ser posible, confronta tus respuestas y corrígelas en caso de ser erróneas.

TIPOS DE GRÁFICAS

_______________________________________ Características: a)Es una circunferencia en el primer cuadrante del plano cartesiano donde a la frecuencia de cada categoría le corresponde un __________ b) Representación gráfica de ____________________ ____________________________________________ c) El número de categorías a considerar debe ser menor que en el de barras

VARIABLES CONSIDERADAS a) Nominal b) Ordinal

________________________________________ Características: a) Son barras unidas que se trazan en el primer cuadrante del plano cartesiano b) Representación gráfica de____________________ ____________________________________________ c) En el eje de las “X” se marcan los puntos medios de cada intervalo d) En el eje de las “Y” se consideran las ___________ ____________________________________________

VARIABLES CONSIDERADAS a) Continuas b) Discretas

________________________________________ Características: a) Gráfica lineal trazada en el primer cuadrante del plano cartesiano que tiene forma de “S” b) Representación gráfica de ____________________ ____________________________________________ c) En el eje de las “X” se marcan los ______________ ____________________________________________ d) En el eje de las “Y” se marcan las frecuencias acumuladas correspondientes a cada intervalo e) Permite hacer estimaciones del comportamiento de los datos considerando uno en particular


Continúa Resumen de la Unidad 3:

________________________________________ Características: a) Son barras del mismo ancho trazadas en el primer cuadrante del plano cartesiano b) Las barras deben estar separadas _______________ ____________________________________________ c) Representación gráfica de _____________________ ____________________________________________ d) Considera pocas categorías


106


TIPOS DE GRÁFICAS

______________________________________ Características: a) Gráfica lineal trazada en el primer cuadrante del plano cartesiano que une los puntos medios de cada clase a la altura de su frecuencia correspondiente b) Representación gráfica de _________________ ________________________________________ c) En el eje de las “X” se marcan los puntos medios de cada intervalo, agregándose uno al inicio y otro al final de los que se están considerando d) En el eje de las “Y” las frecuencias correspondientes a cada intervalo, agregándose _____________________ ____________________________________________ ____________________________________________


NOTA: Es recomendable que todas las gráficas tengan un título que describa brevemente la información que está siendo representada, así como la fuente de información, ya que éstas deben ser autoexplicativas; con excepción de la gráfica de sectores, todas deben contener un título en cada uno de los ejes que indique el tipo de datos que se están representando.

107

EVALUACIÓN 1) Con los datos de la tabla de distribución para datos agrupados que

se elaboró en la Unidad 2 en el tema Distribución de Frecuencias Agrupadas, realiza lo que se te pide en cada inciso:



PERÍODO ENERO-MARZO 1997 CLASES f Mc fa fr far 43- 47 4 45 4 8 8 48- 52 4 50 8 8 16 53- 57 11 55 19 22 38 58- 62 13 60 32 26 64 63- 67 10 65 42 20 84 68- 72 5 70 47 10 94 73- 77 3 75 50 6 100 TOTAL: 50 100

Fuente: Información proporcionada por el Departamento de Control Escolar. a) Elabora histograma, polígono de frecuencias y ojiva porcentual en

papel milimétrico (una hoja por cada gráfica). b) La forma del histograma es

_______________________________________ c) El polígono de frecuencias presenta un sesgo

_________________________ De acuerdo a la información contenida en la ojiva porcentual estimar: d) El porcentaje de días en que se prestaron menos de 50 libros o

expedientes ________________________________________________________

_______ e)El porcentaje de días en que se prestaron más de 70 libros ________________________________________________________

_______

108


f) A los 25 días del período considerado se prestaron de ______ a

______ expedientes. g) El porcentaje de días en que se prestaron de 63 a 68 expedientes. ________________________________________________________

_______ Verifica tus respuestas con la lista ordenada del número de libros o

expedientes prestados durante 50 días. 2) El Jefe de un Archivo (o Biblioteca que sólo atiende de lunes a

viernes), quiere conocer cómo se comporta la entrada de usuarios durante el turno matutino, a fin de realizar una mejor distribución de tareas entre su personal, para ello elige a una persona a quien le solicita obtenga la información correspondiente.

El encargado de realizar la investigación recopila los datos

considerando una muestra de dos meses elegidos arbitrariamente y le presenta a su jefe el siguiente gráfico:

AFLUENCIA DE USUARIOS DURANTE 61 DÍAS

0102030405060708090

100

19.5 25.5 31.5 37.5 43.5 49.5 55.5 61.5

NÚMERO DE USUARIOS

% D

E D

ÍAS

CO

NSI

DER

AD

OS

Ayuda al Jefe de Archivo (o Biblioteca) a contestar las siguientes

preguntas: a) Si la persona que atiende al público en la mañana se queja de que

sólo puede atender satisfactoriamente un máximo de 52 usuarios y quiere que se asigne otra persona que la auxilie en su labor ¿qué porcentaje de días se atiende a un número mayor de personas?___________________________________________________

109

b) Lo anterior indica entonces que ________ días atiende a menos de 52 usuarios.

c) La solución al problema de atención al público que tu darías es: ________________________________________________________

__________________________________________________________________________

d) Obtener gráficamente Q2 que tiene un valor de ________________________, significa que la mitad de los 61 días (30 aproximadamente) se atienden entre ________ y __________ usuarios.

INSTRUCCIÓN GENERAL De los siguientes ejercicios, resuelve el que corresponda a tu área, en

caso de que así lo desees, puedes resolver ambos. 3) Acude a una Biblioteca de tu localidad y durante 3 horas observa la

afluencia de usuarios a la misma y anota: - Tipo de

biblioteca________________________________________________ - Número de usuarios que entran a la

biblioteca_________________________ - Número de usuarios por área de

servicio_____________________________ Con la información obtenida realiza lo que se te pide en cada inciso: a) Elabora una tabla de distribución de frecuencias simple con todos

sus datos (título, período, etc.)

110


b) Traza la gráfica que consideres más conveniente en papel milimétrico y escribe cuál fue el motivo de tu decisión.

c) ¿Qué servicio tuvo mayor número de

usuarios?_______________________ d) Calcula la proporción del servicio con mayor número de usuarios

con respecto al total de personas que entraron a solicitar un servicio durante el tiempo de la investigación._____________________________________________________

e) Estima un porcentaje con los datos de la gráfica y verifica tu

respuesta con la información obtenida en tu investigación.___________________________________

f) Marca en la gráfica con color rojo los cuartiles. 4) Con la información que obtuviste al acudir a un Archivo de Trámite

(Oficina de Gobierno Administrativa, Archivo Estatal, Municipal o de la Localidad) en la Evaluación de la UNIDAD I, realiza lo que se te pide en cada inciso:

a) Elabora una tabla de distribución de frecuencia simple con todos sus

datos que muestre el comportamiento de la entrada de documentación durante 30 días tomados arbitrariamente.

b) Traza la gráfica que consideres más adecuada en papel milimétrico

y explica el motivo de tu decisión.

111

c) Estima un porcentaje a través de la gráfica y verifica tu respuesta con la información obtenida inicialmente.

d) Calcula el número aproximado de documentos que se atienden

mensualmente. e) Marca en la gráfica con color rojo los cuartiles.

ENVÍA A TU ASESOR

Ahora sólo te falta una unidad para terminar. ¡Bien hecho!

112


EDADES f 16 2 17 1 18 3

UNIDAD 4 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

En esta unidad analizaremos la información que aparece en las

diferentes tablas de distribución. Primeramente conoceremos los valores de la variable que señalan un valor central alrededor del que se agrupa el mayor número de los datos obtenidos y que indican el comportamiento de la población; estos valores se encuentran incluidos en el tema de Medidas de Tendencia Central. Posteriormente, calcularemos las Medidas de Dispersión, las cuales describen la forma en que se distribuyen los datos, para finalmente terminar con el Teorema de Chebyshev que permite medir las variaciones de los datos con respecto a la media.

¿QUÉ VOY A APRENDER EN ESTA UNIDAD? A calcular Medidas de Tendencia Central (Media, Moda y Mediana)

que muestran los valores centrales de una distribución y Medidas de dispersión (Rango, Desviación Media, Varianza, Desviación Estándar, Coeficiente de variación y Cuartiles) que también reciben el nombre de medidas de variabilidad porque permiten calcular el valor de la dispersión de los datos, finalmente a través del Teorema de Chebyshev se manejará y entenderá el concepto de desviación típica.

109

DIAGNÓSTICO 1) Pregúntales a 10 de tus amigos su edad y anótala, incluye la tuya. ________________________________________________________

_______ 2) Las edades que obtuviste ordénalas en forma ascendente. ________________________________________________________

_______ 3) Observa y escribe la edad que se localiza en el centro de la lista

ordenada.____________________________________________________________

4) Calcula y anota la edad promedio.

_________________________________ 5) Escribe la edad que se repite más veces.

____________________________ 6) ¿Cómo son los valores que obtuviste en los incisos 3, 4 y 5, están

próximos o alejados? __________________________________________________________

Es de gran utilidad que recuerdes tu experiencia previa sobre el cálculo

de promedios, ya que sólo se trata de sumar todos los valores considerados y el resultado dividirlo entre el número de datos.

También es importante que a lo largo de esta unidad observes

cuidadosamente los valores que vas obteniendo, esto te permitirá más adelante inferir y llegar a conclusiones válidas y verdaderas que reflejen no sólo el cuidado de tus cálculos sino la lógica de ver más allá de lo que tu ojos pueden observar.

110


111

4.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

?

4.1.1 MEDIA 4.1.2 MEDIANA 4.1.3 MODA Como se mencionó al principio de esta unidad, las medidas de

Tendencia Central son valores representativos de la población que nos indican los valores centrales alrededor de los cuales se agrupa el total de datos y son MEDIA, MODA y MEDIANA.

El cálculo de estas medidas depende de los datos que se están

considerando y que pueden ser: 1) DATOS NO AGRUPADOS a) Si se trata de una lista de números como: 18, 17, 19, 16, 20 b) Datos en una tabla de distribución de frecuencias simple (en donde

no aparecen intervalos):

EDADES f 16 2 17 1 18 3

2) DATOS AGRUPADOS a) Si estos se encuentran en una tabla de distribución de frecuencias

(con intervalos):

CLASES f 18 - 20 5 21 - 23 6 24 - 26 3

Antes de definir cada una de las Medidas de Tendencia Central,

introduciremos la notación matemática que se utiliza para abreviar sumas, denominada “notación Sigma” debido a que usa la letra griega sigma (Σ).

112


n Σ xi i=1 x representa el valor del dato a considerar, el cual inicia con i=1 hasta

el enésimo (n). Para comprender mejor esta notación, consideremos algunos datos del

mismo tipo:

2 5 4 6 9 x1 x2 x3 x4 x5

A los números se les ha colocado una etiqueta, la letra “x”, con un

subíndice para saber de cuántos números se trata. Se hace hincapié en que los datos no necesariamente tienen que estar ordenados.

La notación sigma es de gran utilidad ya que para indicar la suma de

estos 5 números se escribe: n Σ xi i=1 En este caso el primer subíndice es 1, lo cual se expresa con i=1 y el

último es 5, por ello n=5 y se lee “La suma de las xi donde i (el subíndice) inicia con 1 y termina en 5”, esta es la forma abreviada de indicar la suma de los cinco números anteriores.

Al substituir se tiene: 5 Σ xi = x1 +x2 + x3 + x4 + x5 = 2 + 5+ 4+ 6+ 9 = 26 i=1 1) Considerando la siguiente serie contesta lo que se te pide en los

incisos:

4 2 7 6 10 x1 x2 x3 x4 x5

3 a) Σ xi = x1 +x2 + x3 = i=1

113

5 b) Σ xi = x2 +x3 + x4 + x5 = i=2 5 c) Σ xi = x1 +x2 + x3 + x4 + x5 = i=1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO

AGRUPADOS: _ MEDIA ARITMÉTICA (X) Esta Medida de Tendencia Central es la que se utiliza con mayor

frecuencia, tú ya la has manejado, se conoce también con los nombres de Valor medio, Promedio Aritmético, Media Aritmética o simplemente Media y es la suma de los datos o puntuaciones consideradas, dividida entre el número de casos.

Más formalmente se dice que la Media de un conjunto de datos x1, x2,

x3, ... xn, es igual a la suma de los valores de las x´s divida entre el tamaño de la muestra (n) o población (N); esto queda representado en la siguiente fórmula:

MUESTRA tamaño n: n Σ xi _ i = 1 Σ X MEDIA= X = ------------- = ------------------------- n n _ X se lee “equis” barra. POBLACIÓN tamaño N: n Σ xi i = 1 Σ X MEDIA= µ = ------------- = ------------------------- N N µ es la letra griega “mu” 2) Obtener la media de las calificaciones que un alumno obtuvo

durante un semestre en la Asignatura de Métodos Estadísticos : 8, 7, 6 y 10.

114


_ Σ X 8 + 7 + 6 + 10 31 X= -------------------- = ----------------------- = -------- = 7.75 n 4 4 Redondeando al entero más próximo se tiene que la calificación

promedio que este alumno logró en el semestre es de 8. MODA (Mo) En un conjunto de datos la moda es el valor que se repite más veces o

que tiene mayor frecuencia. Para encontrar esta medida cuando se tienen datos no agrupados, primero se ordenan los datos en forma ascendente.

3) A un grupo de 20 alumnos se les preguntó su promedio del

semestre, los valores proporcionados fueron: 8, 7, 9, 9, 10, 10, 8, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 8, 8, 9, 10, 7, 9, 10. Calcular media y moda. La media es:

_ Σ X 8+7+9+9+10+10+8+6+7+7+8+9+9+8+8+9+10+7+9+10 168 X= -------------------- = ---------------------------------------------------------------------- =------------ =8.4 n 20 20 _ X= 8

Para encontrar la moda, primero se ordenan los datos en forma

ascendente: 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10. El valor de mayor frecuencia es 9, entonces Mo=9 y es unimodal. Nota: Toda distribución que tiene una sola moda recibe el nombre de unimodal, si tiene 2

bimodal y si tiene más de 2 multimodal. MEDIANA (Md) Dado un conjunto de valores ordenados en forma ascendente, la

mediana es el valor que se encuentra a la mitad de la serie, arriba de ella

115

está el 50% del total de datos y abajo el 50% restante. Dependiendo del número de datos, se consideran dos casos:

a)En una serie formada por un número impar de datos la mediana

ocupa el lugar (n+1)/2. Si los valores ordenados son: 1, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 8, 8, el valor de la mediana ocupa el lugar (9+1)/2 = 5, lo cual indica que es

el valor del quinto lugar que en este caso es el número 3. b) Si n es par la mediana es el promedio de los valores centrales. Tomemos los siguientes datos: 23, 27, 36, 38, 40, 51 La mediana es igual al promedio del valor que ocupa el lugar n/2 y del

que ocupa el lugar n/2 + 1 n/2 = 6/2 = 3 este lugar es ocupado por el 36. n/2 + 1 = 6/2 + 1 = 4 aquí se encuentra el 38. Calculando el promedio de 36 y 38 tenemos que: 36 + 38 Md= ------------ = 37 2 Para encontrar la mediana de los promedios de los alumnos

considerados en el inciso 3) se debe trabajar nuevamente con la lista ordenada en forma ascendente. Como se tiene un número par de datos, la mediana es el promedio del valor central:

6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10 La mediana es (8+9)/2 )= 8.5 Agrupemos en una tabla de distribución de frecuencia simple los

promedios de los 20 alumnos y calculemos su media con la fórmula: n Σfx i=1 X= -------------------- n

116


fx es el producto de cada valor (x) por su frecuencia (f).

PROMEDIO x

FRECUENCIA f

6 1 7 4 8 5 9 6 10 4 20

Observemos que la suma de la columna de frecuencias es el valor de n

(20). Para encontrar la media se obtiene la suma de todos los datos, para ello se

multiplica en cada renglón el valor de equis “x” por el número de veces que se repite, esto es, por su frecuencia. Los resultados se escriben en la columna correspondiente:

PROMEDIO

x FRECUENCIA

f PROMEDIO

MULTIPLICADO POR FRECUENCIA (fx)

6 1 6 7 4 28 8 5 40 9 6 54 10 4 40 20 168

En este caso 168 es la sumatoria de las frecuencias multiplicadas por

x, esto es igual a Σfx Al sustituir los valores correspondientes: _ Σfx 168 X= -------------------- = ----------- = 8.4 que redondeando es 8. n 20 La moda (Mo) es la categoría con mayor frecuencia, que en este caso

es 9, ya que tiene frecuencia 6. A fin de encontrar la mediana se calcula la columna de frecuencias

acumuladas (fa).

PROMEDIO x

FRECUENCIA f

fa

6 1 1 7 4 5

117

8 5 10 9 6 16 10 4 20 20

y se realizan los siguientes pasos: 1) Calcular el cociente n/2 = 20/2 = 10 2) Ubicar en qué renglón de fa cae el número n/2=10 3) La categoría que contiene a n/2 es el valor de la mediana

n/2= 10 cae aquí

Entonces Md = 8

PROMEDIO x

FRECUENCIA f

fa

6 1 1 7 4 5 8 5 10 9 6 16

10 4 20 20

Como te habrás dado cuenta, tanto la media como la moda aunque

fueron calculadas por diferentes procedimientos se obtuvieron los mismos resultados; sin embargo, la mediana tuvo una mínima diferencia de .5.

En ocasiones se presentan series que no tienen moda como: 1, 3, 5, 7,

8, 12, aunque si media (6) y mediana (7). CARACTERÍSTICAS IMPORTANTES DE LAS MEDIDAS DE

TENDENCIA CENTRAL: La media tiene la desventaja de ser sensible a valores extremos,

esto significa que si dentro de una serie de números se considera un valor “distinto” a los demás, la media varía considerablemente.

La moda no es sensible a valores extremos, pero tiene el

inconveniente de no ser única y en algunos casos ésta difiere en muy poco de otros valores del conjunto o es un valor extremo. Al obtener la moda de un conjunto de datos, es necesario expresar claramente si es unimodal por tener una moda, bimodal por tener dos o si tiene una moda principal y una secundaria en caso de que la diferencia entre ambos valores sea mínima.

118


La medida de tendencia central que se recomienda para ser utilizada en el análisis de datos es la mediana, por su virtud de no ser sensible a valores extremos y además, ser única.

Consideremos el conjunto formado por: 3, 6, 7, 8, 10 y calculemos

sus medidas de tendencia central: MEDIA: _ 3+6+7+8+10 34 La media es igual a X = ------------------------------- = ------------- = 6.8 aproximadamente 7. 5 5 MODA: No tiene MEDIANA: es 7. Si en lugar del número 10 tomamos al 40 (que es un valor diferente a

los demás), tendremos: 3, 6, 7, 8, 40 MEDIA: _ 3+6+7+8+40 64 La media es igual a X = ------------------------------- = ------------- = 12.8 aproximadamente 13. 5 5 MODA: No tiene MEDIANA: sigue siendo el número 7. Si comparamos los resultados obtenidos en la serie 3, 6, 7, 8,10 con

los que se obtienen al sustituir el 10 por 40, la media ha cambiado, mientras que la mediana sigue siendo la misma.

En el siguiente ejemplo calcularemos las Medidas de Tendencia

Central: El personal de un Archivo está integrado por 110 personas, de las

cuales 70 son de base con un sueldo mensual de $1,800.00 y el resto están contratadas por honorarios con un sueldo mensual de $3,000.00, en una junta se solicita al Director del mismo un aumento salarial y éste les informa que no es posible ya que el salario promedio de los empleados es de $2,236.00 y rebasa al que actualmente se paga en otros archivos.

Calculemos las medidas de tendencia central:

119

SUELDO MENSUAL

x

FRECUENCIA f

SUELDO MULTIPLICADO POR

FRECUENCIA (fx) 1,800.00 70 126000 3,000.00 40 120000 110 246000

_ 246000 X = --------------- = 2236.36 110 La categoría de mayor frecuencia pertenece a la Moda: Mo =

$1,8000.00 En este ejercicio, escribir 70 veces $1,800.00 y 40 veces $3,000.00

para conocer el valor central resulta bastante tedioso, así que primero averiguaremos en qué categoría “cae” el valor central, recordando que la columna de frecuencias acumuladas (fa) nos permite conocer la ubicación del dato que buscamos:

SUELDO

MENSUAL x

FRECUENCIA f

SUELDO MULTIPLICADO POR

FRECUENCIA (fx)

FRECUENCIA ACUMULADA

fa 1,800.00 70 126000 70 3,000.00 40 120000 110

110 246000 Como n es par (n=110), calculemos el lugar que ocupan los valores

centrales: n/2= 55 n/2 + 1 = 56 Ambos valores caen en la primera categoría ya que ésta contiene a los

valores que ocupan el primer lugar hasta el septuagésimo, por lo que la Mediana es $1,800.00

120


¿QUÉ HE APRENDIDO? 1) En este último ejemplo ¿consideras que el Director del Archivo ha

optado por la mejor medida de tendencia central para no permitir el aumento de sueldo?

__________________________________________________________________________________________________________________________________

2) ¿Qué argumento darías para convencer al Director del Archivo, a fin

de que modifique su opinión acerca de considerar el salario promedio como un parámetro confiable?

___________________________________________________________________________________________________________________________________

3) Escribe tu propia definición de cada una de las Medidas de

Tendencia Central. ________________________________________________________

___________________________________________________________________________

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS: Como ya se dijo al inicio de esta unidad, los datos agrupados se

encuentran en una tabla de distribución de frecuencias en donde el representante de cada intervalo es la Marca de clase también denominada punto medio, esta es la razón por la cual para encontrar la media, se multiplica la marca de clase de cada intervalo por su frecuencia respectiva (indica el número de datos del intervalo), se suman los resultados obtenidos y se divide entre la suma de frecuencias. La fórmula que representa las operaciones ya descritas es:

n ∑Mcf ∑f(Mc) _ i=1 MEDIA= X = --------------= --------------- n n

121

Considerando a n como el tamaño de la muestra. A fin de establecer el procedimiento para el cálculo de las Medidas de

Tendencia Central para datos que se encuentran incluidos en intervalos, realicemos el siguiente ejercicio.

Se pretende conocer la asistencia promedio de usuarios a una

biblioteca que atiende al público durante todos los días del año, en el receso julio-agosto, para ello se considera el número de usuarios que acudieron en la misma fecha el año pasado, obteniéndose la siguiente tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados:

CLASES

(USUARIOS) X

NÚMERO DE DÍAS

f 20-24 12 25-29 9 30-34 19 35-39 8 40-44 7 45-49 6 61

Es necesario encontrar la marca de clase de cada intervalo y

multiplicarla por su frecuencia respectiva (columna fMc):

CLASES f Mc fMc 20 24 12 22 264 25 29 9 27 243 30 34 19 32 608 35 39 8 37 296 40 44 7 42 294 45 49 6 47 282 61 1987

Se sustituye ∑fMc= 1987 y n=61 en la fórmula para obtener la media: _ ∑Mcf ∑f(Mc) 1987 _ MEDIA= X = --------------= --------------- = ----------- =32.5 redondeando X= 33 n n 61 La asistencia promedio de usuarios a la biblioteca durante el periodo

julio-agosto fue de 33 personas.

122


Esta medida de tendencia central que acabamos de calcular recibe el nombre de MEDIA PONDERADA, ya que se obtuvo al multiplicar cada representante (Mc) por su “peso” que en este caso es su frecuencia (f) correspondiente y el resultado se dividió entre la suma de todos los “pesos” o frecuencias.

Para encontrar la moda se debe aplicar la fórmula: d1 MODA = Mo = Li + ( -------------- ) A d1 + d2 Para algunos autores Li es el límite inferior y para otros el límite real

inferior, cualquiera de las dos alternativas es válida, ya que si recordamos, la diferencia entre ambos límites es .5.

En el cálculo de esta medida nosotros definimos a Li = límite inferior

del intervalo de la clase de mayor frecuencia o clase modal. d1 = frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase

anterior. d2= frecuencia de la clase modal menos la frecuencia de la clase

posterior a la clase de la moda. A = amplitud de cualquiera de los intervalos de la tabla (todos tienen la

misma amplitud) es la diferencia entre cualesquiera 2 fronteras o límites inferiores.

Observemos las frecuencias de los intervalos y destaquemos el mayor.

intervalo de mayor frecuencia o clase

modal Li =30 d1 = 19 - 9 = 10 d2 = 19 - 8 = 11

CLASES (USUARIOS)

X

NÚMERO DE DÍAS

f 20-24 12 25-29 9 30-34 19 35-39 8 40-44 7 45-49 6

61 A = 25-20 = 5 Los valores obtenidos se sustituyen en la fórmula: d1

123

Mo = Li + ( -------------- ) A d1 + d2 10 50 Mo = 30 + ( ----------- ) 5 = 30 + ----- = 30 + 2.3 = 32.3 redondeando Mo = 32 10 + 11 21 La mediana (Md) de un conjunto de datos en una tabla de distribución

para datos agrupados, se calcula con: n/2 - F MEDIANA = Md = Li + ( -------------- ) A f donde: Li = límite inferior del intervalo que contiene a la mediana o clase de la

mediana. n/2 = es el tamaño de la muestra dividido entre dos. F = frecuencia acumulada (fa) de la clase anterior a la clase de la

mediana. f= frecuencia absoluta (f) del intervalo que contiene a la mediana. A = amplitud de la clase de la mediana. Iniciamos agregando a la tabla de frecuencias la columna de

frecuencias acumuladas:

Para encontrar la clase de la mediana calculamos n/2 = 61/2 = 30.5 y vemos dónde “cae” este valor en fa. en este intervalo cae 30.5 por lo que 30-34 es la clase de la

mediana.

CLASES f Mc fMc fa 20 24 12 22 264 12 25 29 9 27 243 21 30 34 19 32 608 40 35 39 8 37 296 48 40 44 7 42 294 55 45 49 6 47 282 61

61 1987

Li = 30 n/2 = 30.5 F = 21 f = 19

124


A= 5 Al sustituir estos valores en la fórmula tenemos:

n/2 - F 30.5 - 21 47.5 Md = Li + ( -------------- ) A = 30 + ( --------------) 5 = 30 + ------- = 30 + 2.5 redondeando Md =33 f 19 19

Podemos concluir que durante el período julio - agosto: _ X = 33 El promedio de usuarios fue de 33 personas. Mo = 32 Durante 19 días asistieron 32 usuarios a la biblioteca, estos fueron los

días de mayor asistencia. Md = 33 Este es el número de usuarios que asistieron a la biblioteca y que tiene

tanto a su derecha como a su izquierda la mitad de las frecuencias. Para concluir este tema y analizar las medidas de tendencia central,

veamos el siguiente ejemplo en donde se ha tomado el número de expedientes que solicitan en un mes los investigadores que acuden a un Archivo:

NÚMERO DE EXPEDIENTE

S (x)

NÚMERO DE INVESTIGADOR

ES (f)

Mc fMc fa

1 3 50 2 100 50 4 6 35 5 175 85 7 9 22 8 176 107

10 12 36 11 396 14313 15 21 14 294 16416 18 9 17 153 17319 21 7 20 140 180

180 1434 1434 X = ---------- = 7.9 ≅ 8 expedientes 180 Conclusión: En promedio los investigadores solicitan mensualmente

un promedio de 8 expedientes.

125

Para la moda encontramos los valores necesarios y los sustituimos en la expresión correspondiente:

clase modal 1- 3 Li =1 d1 = 50-0 = 50 (la frecuencia anterior a la clase modal es 0) d2 = 50- 35 = 15 A = 4-1 = 3 d1 Mo = Li + ( -------------- ) A d1 + d2 50 150 Mo = 1 + ( ----------- ) 3 = 1 + ----- = 1 + 2.3 = 3.3 ≅ 3 expedientes 50 + 15 65 Conclusión: El número de investigadores que solicitan 3 expedientes

es el más numeroso, ya que le corresponde un total del 27.7% que es el porcentaje de la clase modal.

A fin de ubicar la clase de la mediana primero calculamos n/2 = 90 al

observar la columna de fa podemos decir que se trata del intervalo 7-9 por lo que:

Li =7 F =85 f =22 A = 3 n/2 - F MEDIANA = Md = Li + ( -------------- ) A f 90-85 15 Md = 7 + ( -------------- ) 3 = 7 + ------- = 7 + .68 = 7.68 ≅ 8 22 22 Si se tuviera el listado de todos los datos ordenados en forma

ascendente, tendríamos que el valor central es 8, esto quiere decir que el 50% del total de investigadores (90) solicitan en un mes de 1 a 8 expedientes, es decir, como máximo 8 expedientes.

126


¿ QUÉ HE APRENDIDO?

LECTURA 3 A fin de reforzar los conocimientos que acabas de adquirir sobre las

medidas de tendencia central, es necesario que leas el libro Estadística Paso a Paso de Howard B. Christensen de la página 102 a la 111, incluido al final de esta guía, revises los ejemplos y verifiques el resultado por lo menos en 3 de ellos; después de leer elabora el resumen correspondiente y resuelve los ejercicios que se te solicitan enseguida.

1) Explica por lo menos dos características de las siguientes

distribuciones: a) Unimodal b) Bimodal 2) Traza en papel milimétrico un polígono unimodal y simétrico de

frecuencias absolutas y localiza la media, la moda y la mediana. 3) Pregunta a 8 de tus amigos su ingreso mensual, ordénalo en forma

ascendente y encuentra las medidas de tendencia central indicando la cantidad que es la más representativa de todas.

127

4.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN

X

4.2.1 RANGO 4.2.2 CUARTILES Hasta aquí sólo se han considerado los valores centrales de una

distribución, esto no es suficiente para conocer el comportamiento de los datos, razón que nos motiva a calcular otro tipo de medidas que nos informen qué tan próximos o alejados están de la media (X), por lo que ahora nos ocuparemos de las medidas de dispersión que nos permiten evaluar la variabilidad y dispersión de los datos en una distribución, siendo las más conocidas: RANGO, DESVIACIÓN MEDIA, VARIANZA y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

RANGO O AMPLITUD total (también llamado extensión o recorrido)

sólo considera los valores extremos, por lo que debe tomarse únicamente como un índice preliminar o muy aproximado, éste se calcula restando al valor máximo alcanzado por la variable el valor mínimo. Esta medida se obtuvo cuando se elaboró la tabla de distribución de frecuencias para datos agrupados.

Rango = R = Valor máximo - Valor mínimo Supongamos que en un examen de Estadística practicado a los grupos

A y B las calificaciones fueron:

GRUPO A 6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 GRUPO B

6 7 7 7 7 8 9 9 10 10

_ MEDIA DEL GRUPO A= X = 8 RANGO= R= 10 - 6 = 4 _ MEDIA DEL GRUPO B= X = 8 RANGO = R = 10 - 6 = 4 Ambos grupos tienen la misma media, lo que podría hacernos suponer

que no hay diferencias entre las calificaciones de ambos grupos, sin

128


embargo, claramente se observa que sí existe variación, lo que tampoco es reportado por el rango. Lo anterior indica que el rango no es una medición precisa y sólo se debe utilizar como un valor aproximado.

RANGO INTERCUARTIL de un grupo de observaciones es la

diferencia entre los valores del primero y tercer cuartil y se simboliza con Q: Q = Q3 - Q1 Antes de continuar, veamos la forma en que se calculan los cuartiles,

para posteriormente poder calcular el rango intercuartil. CÁLCULO DE LOS CUARTILES Anteriormente ya nos habíamos referido a los cuartiles como tres

valores denominados Q1, Q2 y Q3 que dividen al total de datos de una distribución en tres partes iguales, aunque sólo los habíamos visualizado en la ojiva porcentual, en este capítulo haremos los cálculos correspondientes para obtenerlos no sin antes indicarte que también son medidas de dispersión.

Para calcular los tres cuartiles ya mencionados se utilizan las fórmulas

que aparecen en seguida, ten cuidado en la sustitución de los datos. En todos los casos A es la amplitud del intervalo respectivo (todos son

iguales): n/4 - F1 Q1 = L1 + ( -------------- ) A f1 L1 es el límite inferior del intervalo del primer cuartil. f1 frecuencia absoluta del primer cuartil. F1 frecuencia acumulada anterior al intervalo del primer cuartil. n número total de datos. 2n/4 - F2 Q2 = L2 + ( -------------- ) A f2 L2 es el límite inferior del intervalo del segundo cuartil. f2 frecuencia absoluta del segundo cuartil. F2 frecuencia acumulada anterior al intervalo del segundo cuartil. n número total de datos.

129

3n/4 - F3 Q3 = L3 + ( -------------- ) A f3 L3 es el límite inferior del intervalo del tercer cuartil. f3 frecuencia absoluta del tercer cuartil. F3 frecuencia acumulada anterior al intervalo del tercer cuartil. n número total de datos. Iniciemos el cálculo de los cuartiles en la tabla que hemos venido

trabajando:

CLASES f Mc fMc fa 20 24 12 22 264 12 25 29 9 27 243 21 30 34 19 32 608 40 35 39 8 37 296 48 40 44 7 42 294 55 45 49 6 47 282 61 61 1987

En el cálculo de cada uno de los cuartiles, el primer paso es encontrar

el intervalo del cuartil que ese está calculando, la clave está en efectuar las operaciones que involucran al número total de datos que es n:

n/4 - F1 Q1 = L1 + ( -------------- ) A f1 n/4 = 61/4 = 15.25 este valor al ser localizado en la columna de

frecuencias acumuladas (fa), nos indica el intervalo que estamos buscando, en este caso es 25-29 de donde tenemos:

A= amplitud del intervalo = 5 L1 es el límite inferior del intervalo del primer cuartil = 25 f1 frecuencia absoluta del primer cuartil = 9 F1 frecuencia acumulada anterior al intervalo del primer cuartil = 12 Estos datos se sustituyen en la fórmula: 15.25 - 12 16.25 Q1 = 25 + ( -------------- ) 5 = 25 + ---------------= 25 + 1.8 = 26.8 9 9

130


Por lo tanto Q1 = 26.8 ≅ 27 (el símbolo ≅ significa aproximadamente igual a)

Al realizar el mismo procedimiento para el segundo cuartil tenemos que 2n/4 = 122/4 = 30.5 al localizarlo en fa obtenemos el intervalo del segundo cuartil que es 30-34.

L2 = 30 f2 = 19 F2 = 21 Al ser sustituidos los valores encontrados en la fórmula que le

corresponde, observamos que son los mismos que dieron origen a la mediana:

30.5 - 19 Q2 = 30 + ( -------------- ) 5 = 30 + 2.5 ≅ 33 21 Como resultado se tiene entonces que Q2 = mediana de la

distribución, ya que ambos la dividen en dos partes iguales. Realiza los cálculos necesarios para encontrar el valor del tercer

cuartil. Intervalo del tercer cuartil = L3= f3 = F3 = Q3 = Ya podemos calcular el rango intercuartil: Q3 = 39 Q2 = 33 Q = 39 - 33 = 6

131

¿ QUÉ HE APRENDIDO? 1) Con la información de la siguiente tabla encuentra los cuartiles y

contesta lo que se te pide:

CLASES f 4-10 5 10-16 15 16-22 30 22-28 10 28-34 6 TOTAL 66

a) Si Q1 = ___________ quiere decir que el 25% de los datos tiene

valores comprendidos entre ________ y ___________________. b) Como Q2= _________ significa que el ________ de los datos se

encuentran entre 4 y ____________. c) Dado que Q3= ___________ el ________ de los datos son valores

entre _________ y ____________.

132


4.2.3 DESVIACIÓN MEDIA CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS NO

AGRUPADOS: DESVIACIÓN MEDIA (DM) es el promedio de las desviaciones a partir

de un valor central (media, moda o mediana), lo más común es trabajar con la Media.

A fin de ejemplificar el uso de esta medida tomemos nuevamente la

tabla de la página 127. Para conocer la variabilidad de las calificaciones del grupo A con

respecto a la media se requiere encontrar la diferencia entre cada calificación y la media, la cual recibe el nombre de desvío o desviación:

_ desvío o desviación = d = x - X donde x es el dato y X la media de la distribución _ A cada uno de los datos se le resta la media X= 8 para obtener el

desvío correspondiente:

GRUPO A 6 7 7 8 8 8 8 9 9 10

DESVÍO 6 -8 7-8 7-8 8-8 8-8 8-8 8-8 9-8 9-8 10-8 -2 -1 -1 0 0 0 0 1 1 2 El signo menos (-) está indicando que la dirección de los desvíos es

hacia la izquierda de la media. Al sumar los desvíos se tiene: -2-1-1+1+1+2= 0, lo cual indica que la

suma de las desviaciones de las variables mayores que la media es igual y de signo contrario a la suma de las desviaciones de las variables menores que la media, esto significa que siempre que se consideran a los desvíos con su signo correspondiente se llega a que la suma de todas es cero “0”, lo cual no tiene sentido, es por ello que para calcular la cantidad de variabilidad o distancia de las desviaciones, no se deben tomar en cuenta las direcciones, es decir, los desvíos se suman considerándolos positivos, lo que se conoce como valor absoluto y el resultado se divide entre el tamaño de la población o muestra.

133

Debemos tener presente que dado cualquier número positivo o

negativo, su valor absoluto es el número que representa, por ejemplo: El valor absoluto de 2 se escribe ⏐2 ⏐ = 2 en ambos casos las barras ⏐⏐ indican valor

absoluto y el valor absoluto de -2 es ⏐-2⏐ = 2 Ahora veamos la forma en que se calcula la desviación media de datos

contenidos en una tabla de distribución simple, utilizando las mismas calificaciones del grupo A:

El cálculo de la desviación media del grupo A considerando el valor

absoluto de los desvíos es: 2+1+1+1+1+2 8 DMA = ------------------------------ = ------ = .8 10 10 Esta medida de dispersión indica que la variabilidad promedio de todos

los valores de la distribución con respecto a la media es .8, en otras palabras, que en promedio el grupo obtuvo una calificación de 8 con una desviación promedio de .8 de más o de menos.

Una característica de las desviaciones absolutas es que su suma

tiende a agrandarse a medida que aumenta la dispersión o variabilidad de la distribución.

La desviación media para datos no agrupados considerando una

muestra con tamaño n se calcula con la fórmula: n n _ ∑⏐x⏐ ∑⏐xi - X⏐ i=1 i=1 DM = --------- = -------------- n n Para una población de tamaño N la desviación media es: n n ∑⏐x⏐ ∑⏐xi - µ⏐ i=1 i=1 DM = --------- = ----------------- N N

134


Las diferencias xi - X y xi - µ reciben el nombre de desvío o desviación, como ya se dijo anteriormente, y ∑⏐x⏐= ∑⏐xi - X⏐ representa la suma de las desviaciones absolutas, esto es, sin tomar en cuenta los signos de los valores de la variable.

CALIFICACIONES OBTENIDAS POR EL GRUPO A

EN UN EXAMEN DE ESTADÍSTICA CALIFICACIONES

x NÚMERO DE

ALUMNOS f

6 1 7 2 8 4 9 2 10 1 TOTAL 10

En una tabla de distribución de frecuencia simple la DM se encuentra

con la siguiente expresión: _ ∑f⏐xi - X⏐ _ DM = -------------------- en donde se puede sustituir ⏐d⏐=⏐xi - X⏐ n _ Encontremos la DM en la siguiente tabla con X=8:

este total es _ f ⏐xi - X⏐

CALIFICACIONES x

NÚMERO DE ALUMNOS

f

_ xi - X

_ ⏐xi - X⏐

_ f⏐xi - X⏐

6 1 -2 2 2 7 2 -1 1 2 8 4 0 0 0 9 2 1 1 2 10 1 2 2 2

TOTAL 10 8

∑f⏐xi - X⏐ 8 DMA = -------------------- = ------- = .8 n 10 Como te habrás dado cuenta, el resultado obtenido para el grupo A en

la lista de calificaciones y en la tabla de distribución de frecuencia simple es el mismo.

Como DMA = .8 podemos asegurar que la dispersión de los valores es

relativamente pequeña.

135

¿ QUÉ HE APRENDIDO? Para reforzar tu aprendizaje resuelve lo que se te solicita considerando

los datos del Grupo B:

GRUPO B

6 7 7 7 7 8 9 9 10 10

1) Calcula la desviación media para datos en forma de lista. DMB=

CALIFICACIONES x

NÚMERO DE ALUMNOS

f

_ xi - X

_ ⏐xi - X⏐

_ f⏐xi - X⏐

6 7 8 9 10

TOTAL DMB= 3) Verifica que los resultados obtenidos en los dos incisos anteriores

sean los mismos. 4) ¿Cuál de los dos grupos (A o B) presenta mayor desviación media y

por lo tanto tiene mayor dispersión o variabilidad en sus calificaciones? ____________________________________________________________________

136


CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS

Con el propósito de encontrar la desviación media en una tabla de

distribución de frecuencias para datos agrupados, supongamos que en un Archivo se desea conocer el número promedio de expedientes que son revisados diariamente y la desviación media correspondiente, si se tiene una muestra de 40 días:

CLASES f Mc fMc ⏐Mc-X⏐ f⏐ Mc-X ⏐ 13 17 3 15 45 17 51 18 22 1 20 20 12 12 23 27 4 25 100 7 28 28 32 11 30 330 2 22 33 37 8 35 280 3 24 38 42 13 40 520 8 104

40 1295 241 _ 1295 El número promedio de expedientes revisados durante 40 días es: X = --------- = 32.3 aproximadamente 32 40

La fórmula para calcular la desviación media en datos agrupados en

una distribución con intervalos es: ∑f⏐Mc-X⏐ DM = ---------------- n 241 por lo que sustituyendo : DM = --------- = 6.02 redondeando

es 6 40 CONCLUSIÓN: En promedio se revisan 32 expedientes diariamente

con una desviación promedio de más o de menos 6 expedientes diarios.

137

¿QUÉ HE APRENDIDO? La siguiente tabla muestra el tiempo en minutos que tarda una persona

en realizar los trámites necesarios para recibir un libro para préstamo a domicilio:

CLASES f 7-9 5 10-12 15 13-15 12 16-18 8 19-21 5 TOTAL 45

1) Calcula el promedio y la desviación media e interprétala.

138


4.2.4 VARIANZA 4.2.5 DESVIACIÓN ESTÁNDAR CÁLCULO DE LA VARIANZA O VARIANCIA (Var(X)) PARA DATOS

NO AGRUPADOS Es una medida de dispersión en donde se calculan los cuadrados de

las desviaciones entre los valores de la variable y la media (xi - X)2 y su suma se divide entre n-1 si se trata de una muestra de tamaño n y entre N si se trata de una población:

Muestra tamaño n: n _ ∑(xi - X)2

i=1 VAR(X) = S2 = ---------------------- VARIANZA MUESTRAL n -1 Población tamaño N: n _ ∑(xi - X)2

i=1 VAR(X) = σ2 = ---------------------- VARIANZA POBLACIONAL N En una biblioteca se ha reportando la pérdida de 36 libros distribuidos

de la siguiente manera: enero 4, febrero 5, marzo 9, abril 10, mayo 5 y junio 3.

En este ejercicio podemos trabajar con la lista o con la tabla, para

agilizar los cálculos utilicemos la tabla:

NÚMERO DE LIBROS EXTRAVIADOS EN LA BIBLIOTECA DURANTE EL PERÍODO ENERO-JUNIO

-- -- Al elevar al cuadrado las desviaciones reales de la variable con respecto a la media se evita el manejo de números negativos, ya que todo número elevado al cuadrado es positivo.

La suma de los desvíos es cero

MESES xi xi -X (xi - X)2

ENERO 4 4-6=-2 4 FEBRERO 5 5-6=-1 1 MARZO 9 9-6=3 9 ABRIL 10 10-6=4 16 MAYO 5 5-6=-1 1 JUNIO 3 3-6=-3 9 36 0 40

_ 36

139

El promedio de libros extraviados es X = ------- = 6 6 Usemos la fórmula para calcular la varianza respectiva: _ ∑(xi - X)2 40 40 VAR(X) = S2 = ---------------------- = ---------------- = -------- = 1.14 n -1 36-1 35 Un ejemplo más lo realizaremos con la tabla de calificaciones del

grupo A, tomando en cuenta que su media es 8.

CALIFICACIONES DEL GRUPO A CALIFICACIÓN f xi-X (xi - X)2 f(xi - X)2

6 1 -2 4 4 7 2 -1 1 2 8 4 0 0 0 9 2 1 1 2 10 1 2 4 4 10 12

12 S2

A = -------- = 1.2 10 De igual manera que se hicieron los cálculos de la varianza para el

grupo A, encuentra la misma medida de dispersión para el grupo B completando la tabla que aparece a continuación:

GRUPO

B 6 7 7 7 7 8 9 9 10 10

CALIFICACIONES DEL GRUPO B

CALIFICACIÓN f xi-X (xi - X)2 f(xi - X)2 6 7 8 9 10

S2

B = -------- = Como te habrás dado cuenta mientras mayor es la dispersión, mayor

es la varianza, por ello es que en este caso la varianza mayor es del grupo ___________

140


La varianza es una excelente medida que indica la dispersión de los

datos, el único inconveniente es que sus unidades son cuadradas lo cual no tiene ningún sentido, con el propósito de superar este problema se utiliza la DESVIACIÓN ESTÁNDAR, que se define como la raíz cuadrada de la varianza y es la medida de variabilidad que veremos a continuación.

CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR PARA

DATOS NO AGRUPADOS Esta medida de dispersión es muy parecida a la desviación media,

tiene como base la media y sus unidades de medida son iguales a las unidades de los datos, por ejemplo si los datos son libros o expedientes, la desviación estándar también son libros o expedientes según corresponda.

En términos generales podemos decir que la desviación estándar

representa la “variabilidad promedio” de los datos de una distribución con respecto a la media, de tal manera que, mientras mayor sea la dispersión alrededor de la media, mayor será la desviación estándar.

Al calcular la varianza de las calificaciones del grupo A obtuvimos: 12 S2 A= -------- = 1.2 10 Es claro entonces que la desviación estándar para una muestra de 10

calificaciones es: SA = √1.2 = 1.09 Calcula la desviación estándar para el grupo B: SB =

141

CÁLCULO DE LA VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA DATOS AGRUPADOS

Consideremos nuevamente la información de la tabla que muestra el

número de expedientes que son revisados durante 40 días en un Archivo:

CLASES f Mc fMc 13 17 3 15 45 18 22 1 20 20 23 27 4 25 100 28 32 11 30 330 33 37 8 35 280 38 42 13 40 520 40 1295

La fórmula que se utiliza es:

n n 2 ∑fMc2 ∑ fMc i=1 i=1 VAR(X) = S2 = --------------- - ---------------- n n ∑f ∑f i=1 i=1 A la tabla anterior le agregamos las columnas Mc2 y fMc2

CLASES f Mc Mc2 fMc fMc2

13 17 3 15 225 45 675 18 22 1 20 400 20 400 23 27 4 25 625 100 2500 28 32 11 30 900 330 9900 33 37 8 35 1225 280 9800 38 42 13 40 1600 520 20800 40 1295 44075 1677025

Sustituyendo los valores: 44075 (1295)2

1677025 VAR(X) = S2 = --------------- - ---------------- = 1101.875 - --------------- 40 (40)2 1600

142


S2 = 1101.875 - 1048.1406 = 53.73 S2 = 53.73 sacando raíz encontramos el valor de la desviación

estándar S = 7.3 Ray I. Carpenter en su libro Métodos Estadísticos para Bibliotecarios

dice: “Por ser una medida de dispersión estandarizada, la desviación estándar se puede emplear para comparar la igualdad o la desigualdad de dos o más grupos. Si los grupos son comparables, cuanto mayor sea la diferencia en las desviaciones estándar, mayor será la desigualdad. Con frecuencia, la sola comparación de las desviaciones estándar puede conducir a interpretaciones incorrectas. Un método para evitar lo anterior es el coeficiente de variación”.

143

4.2.6 COEFICIENTE DE VARIACIÓN También conocido como DISPERSIÓN RELATIVA (CV) es un

indicador expresado en porcentaje de la dispersión de dos o más conjuntos que se comparan entre sí, considerando la desviación estándar y la media de los datos observados.

Coeficiente de variación muestral S CV= ---------(100) X _ donde S es la desviación estándar de la muestra y X la media. Coeficiente de variación poblacional σ CV= ---------(100) µ σ es la desviación estándar de la población y µ la media. Un ejemplo que muestra claramente la utilidad del coeficiente de

variación es cuando se desean comparar los presupuestos de una biblioteca o de un archivo durante 2 años, a fin de averiguar en cuál de los dos períodos (1995 ó 1996) las cantidades asignadas a las diferentes áreas fue más homogénea, entendiéndose ésta como aquella distribución en que las cantidades bajas, intermedias y altas son muy parecidas.

AÑO PRESUPUESTO

PROMEDIO X

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

S

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

V 1995 $14,400 $1,200 1,200/14,400=

12/144=2/24=1/12 1996 $21,000 $1,500 1,500/21,000=

15/210=3/42=1/14 1 1 CV1995 = ------ (100) = 8.33% > CV1996 = ------ (100) = 7.14% 12 14 En términos absolutos se tiene que la desviación estándar es mayor en

1996, sin embargo, desde un punto de vista relativo existe menos dispersión en ese mismo período, según podemos observar en los dos coeficientes de variación, ya que el menor de ellos pertenece a la distribución más homogénea.

144


El porcentaje de disminución de la variabilidad o dispersión se

encuentra a través de la tasa de cambio en donde se deben considerar los coeficientes de variación al inicio del período (.0833) y al final del período (.0714):

.071-.083 .-012 Tasa de cambio = ------------------- = ----------- = -0.144 .083 .083 Esto significa que en 1996 se tuvo una disminución del 14% de

dispersión con respecto a 1995.

145

4.2.7 TEOREMA DE CHEBYSHEV La desviación estándar permite medir las variaciones con respecto a la

media de los valores de las observaciones, ya que mientras más pequeña sea es más probable obtener un valor cercano a la media y viceversa, se tiene mayor probabilidad de obtener un valor más alejado a la media a medida que ésta es mayor, para encontrar estas variaciones en cualquier distribución, se utiliza el Teorema de Chebyshev que dice:

La proporción de cualquier conjunto de valores que caen dentro de k

desviaciones típicas medidas a partir de la media es al menos 1 - 1/k2, en donde k es cualquier número mayor de 1.

Si consideramos k=2 (2 desviaciones típicas o estándar), tendremos

que los valores dentro del intervalo formado por las dos desviaciones estándar medidas a partir de la media es 1-1/22 = 1 - ¼ = ¾, esto indica que dentro de 2 desviaciones estándar de la media, siempre se encuentra al menos el 75% ( 75% como mínimo) de los datos.

De igual forma si k=3 al menos 8/9 (88% o más) de los datos caen

dentro del intervalo (X-3S, X+3S). Retomando el ejercicio en donde se conoce el número de libros o

expedientes prestados durante 50 días, verifiquemos el Teorema que nos ocupa:

43 54 58 62 67 44 54 59 62 67 45 55 60 63 68 47 56 60 64 69 48 56 60 64 70 48 56 60 65 70 50 56 61 65 72 51 57 61 65 75 53 57 61 65 79 53 58 62 65 80

146


Calculando las columnas necesarias para encontrar la desviación estándar:

_ CLASES f Mc Mc2 fMc fMc2

73-77 3 75 5625 225 16875 68-72 5 70 4900 350 24500 63-67 10 65 4225 650 42250 58-62 13 60 3600 780 46800 53-57 11 55 3025 605 33275 48-52 4 50 2500 200 10000 43-47 4 45 2025 180 8100

50 2990 181800

X ≅ 60

181800 (2990)2

S 2 = ------------- - --------------- 30 (50)2

8940100 S2 = 3636 - ------------- 2500 S2 = 3636 - 3576.04 = 59.96 entonces S = 7.74 Al tomar 2 desviaciones estándar se tiene el intervalo: (X - 2s, X + 2s) = (60 - 2(7.74), 17 + 2(7.74)) = (44.52, 75.48) Si consideramos al intervalo (45, 75) sin tomar los extremos, por el

Teorema de Chebyshev dentro de él cae al menos el 75% del total de datos, esto quiere decir que pueden caer 75% o más.

Al calcular el 75% de 50 que es el total de datos, se encuentra que en

dicho intervalo deben caer aproximadamente 38 datos o más, para verificar este porcentaje contemos los datos en la lista ordenada:

Los 44 valores en negrita son los que se

encuentran dentro del intervalo (45, 75) y son más del 75% del total.

43 54 58 62 67 44 54 59 62 67 45 55 60 63 68 47 56 60 64 69 48 56 60 64 70 48 56 60 65 70 50 56 61 65 72 51 57 61 65 75 53 57 61 65 79 53 58 62 65 80

147

_ Conociendo la media X = 60 y la desviación estándar S=7.74,

considera 3 desviaciones estándar y encuentra: a) Intervalo que contiene al menos el 88% del total de datos ________________________________________________ b) El 88% de 50 ________________________________________________ c) En la lista ordenada destaca subrayando en color los datos que

caen en el intervalo:

43 54 58 62 67 44 54 59 62 67 45 55 60 63 68 47 56 60 64 69 48 56 60 64 70 48 56 60 65 70 50 56 61 65 72 51 57 61 65 75 53 57 61 65 79 53 58 62 65 80

Después de calcular lo que se te pide, indica si se cumple o no el

Teorema de Chebyshev. ________________________________________________

LECTURA 4 Como un refuerzo a lo que acabas de aprender, te recomiendo leer el

libro Fundamentos de la Estadística en la Investigación Social escrito por Jack Levin de la página 55 a la 70, incluido al final de esta guía, después de la lectura escribe el resumen correspondiente.

148


Elabora el Resumen de la Unidad 4 identificando y completando el siguiente mapa conceptual, al final de la guía lo encontrarás resuelto, de ser posible, confronta tus respuestas y corrígelas en caso de ser erróneas.

DESCRIPCIÓN DE LOS DATOS A TRAVÉS DE LAS MEDIDAS DE:

__________________________________ Valores centrales de una distribución que representan a todos los datos.

__________________________________ Evalúan la variabilidad o dispersión de los datos.

RANGO___________________________

____________________________ R = Valor máximo - Valor mínimo RANGO ______________ diferencia entre los valores del primero y tercer cuartil: Q = Q3 - Q1 ______________________: n/4 - F1 Q1= Li + ( --------------- ) A f1 Para Q2 se toma 2n/4 y para Q2, 3n/4

__________________.-Suma de valores de todas las observaciones divida entre el número de observaciones realizadas DATOS NO AGRUPADOS: Muestra Población _ ∑X ∑X X =--------- µ = ----------- n N DATOS AGRUPADOS: _ ∑ _______ ∑_______ X =---------------- µ = ----------- n N

___________________es el promedio de las desviaciones a partir de la media: DATOS NO AGRUPADOS: _ ∑⏐xi -X⏐ DM = ------------ n DATOS AGRUPADOS: _ ∑f⏐Mc-X⏐ DM=-------------- n

___________ es el valor (o valores) de la(s) variable(s) que ocupa (n) el (los) lugar(es) central(es) de los datos ordenados por magnitud: DATOS NO AGRUPADOS: a) Número par de datos es el promedio de valores centrales b) Número impar de datos es ___________ ______________________________ DATOS AGRUPADOS: n/2 -F Md = Li + ( ---------- ) A f

Continúa Resumen de la Unidad 4:

__________________ es la raíz cuadrada del promedio de las desviaciones con respecto a la media elevadas al cuadrado. DATOS NO AGRUPADOS: _ √∑(xi - X)2

S = ----------------- muestral n - 1 √∑fMc2

S = ----------------- muestral n-1

__________valor (o valores) de la variable que se presenta(n) con mayor frecuencia. DATOS NO AGRUPADOS: a) Ordenar en forma ascendente y realizar conteo DATOS AGRUPADOS: d1 Md = Li + ( ---------- ) A d1+d1

149


__________________________________ Valores centrales de una distribución que representan a todos los datos.

__________________________________ Evalúan la variabilidad o dispersión de los datos.

______________________es el promedio de las desviaciones con respecto a la media elevadas al cuadrado. DATOS NO AGRUPADOS: _ ∑(xi - X)2

S2 = ----------------- muestral n - 1 ∑fMc2

S2 = ----------------- muestral n-1

___________________________________________________, si X es la media y S la desviación estándar de una muestra, su fórmula es: CV = --------(100) Permite comparar la homogeneidad de los datos en dos conjuntos.

______________________ utiliza la desviación típica de un conjunto de observaciones para medir las variaciones de los datos con respecto a la media de tal forma que mientras más pequeña sea la desviación, es más probable obtener un valor cercano a la media y por el contrario, mientras mayor sea la desviación es más probable obtener un valor alejado de la media. Si se consideran 2 desviaciones estándar: en el intervalo (X - 2S, X + 2S) cae al menos el _____% de los datos. Si se consideran 3 desviaciones estándar: en el intervalo (X -3S, X + 3S) cae como mínimo el _____% de los datos.

150


EVALUACIÓN 1) Completa la siguiente tabla, calcula las Medidas de Tendencia

Central de la distribución obtenida al evaluar a 50 alumnos en la asignatura de Investigación de Campo I y contesta lo que se te pregunta en los incisos:

CALIFICACIÓN X

NÚMERO DE ALUMNOS

f

fX fa

5 6 6 5 7 11 8 12 9 14

10 2 50

a) Como la media es ________ entonces los 50 alumnos tienen esta

calificación como representativa del grupo. b)La _________ indica que el número más numeroso de estudiantes

tiene calificación de _______ c) El valor central de la distribución es la ____________ que tiene el

valor de __________ e indica que el 50% de los alumnos (25 alumnos) obtuvieron calificaciones entre ________ y _____________.

151

2) En un Archivo Histórico, al tomar una muestra representativa de 142 expedientes en forma arbitraria y contar el número de hojas se obtuvo la siguiente información:

CLASES (HOJAS)

X

NÚMERO DE EXPEDIENTES

f

5 -19 26 20-34 18 35-49 14 50-64 36 65-79 48

142 Calcula las medidas de tendencia central y escríbelas anotando una

conclusión en cada caso: a) Media:

_______________________________________________________ Conclusión:

_____________________________________________________ b) Moda:

________________________________________________________ Conclusión:

_____________________________________________________ c) Mediana:

______________________________________________________ Conclusión:

_____________________________________________________ d) Calcula la desviación media e interprétala: El Jefe del Archivo desea modificar la cubierta de cada expediente y

tiene la opción de comprar carpetas de un sólo tipo que puede ser: - Con capacidad para 50 hojas - Con capacidad para 70 hojas Tomando en consideración los resultados de las medidas de tendencia

central que obtuviste ¿cuál de los dos tipos de carpetas le sugerirías a tu jefe que comprara y por qué?___________________________________________________________

152


153

3) La siguiente gráfica simétrica tiene un nombre especial por su forma, se le denomina “normal”, une con una recta el lugar en donde consideras que se encuentran las medidas de tendencia central:

CURVA SIMÉTRICA MESOCÚRTICA

(NORMAL)

0

2

4

6

8

10

0 3 6 9

C A LIF IC A C IÓN

Media Moda Mediana a) ¿Qué valor crees que tenga la Media?

_____ __________________________________

____

ENVÍA A TU ASESOR

¡FELICIDADES! Ahora que has finalizado la materia, espero que continúes

con ímpetu el resto de la carrera. Bien por tí

154


RESUMEN DE LA UNIDAD I

SE CLASIFICA EN

ESTADÍSTICA Ciencia de la recopilación, clasificación, presentación e interpretación de datos.

OBJETO Inferir el comportamiento de una población a través del análisis de una muestra.

TIENEN COMO BASE UNA

O UNA PARTE PUEDE SER: SUS CARACTERÍSTICAS SE DENOMINAN CLASIFICÁNDOSE SEGÚN LAS SIGUIENTES

DESCRIPTIVA Incluye obtención, organización y presentación de datos, así como la descripción numérica que muestra el comportamiento de una población o muestra.

INFERENCIAL Está integrada por métodos descriptivos que permiten la generalización del comportamiento de una población a partir de los resultados obtenidos de una muestra que la represente.

POBLACIÓN QUE ES: Un conjunto de individuos u objetos de interés bien definidos. Su tamaño es N y sus características son descritas por parámetros como el porcentaje.

2) INFINITA Tiene primer elemento pero no último

VARIABLES Y SON: NOMINAL CUALITATIVA ORDINAL DISCRETA CUANTITATIVA CONTINUA

MUESTRA REPRESENTATIVA Parte de la población que la representa, su tamaño se indica con n. Los estadísticos o estadígrafos son números que describen sus características, un ejemplo es el promedio.

1) FINITA Tiene primer y último elemento

ESCALAS DE MEDICIÓN:* - NOMINAL - ORDINAL - INTERVALO - ABSOLUTA

*Escalas de medición: a) Nominal.- Se utiliza como medida de identificación con variables nominales. b) Ordinal.- Permite la manipulación de variables ordinales. c) Intervalo o Absoluta:- Maneja variables cuantitativas.

155

RESUMEN DE LA UNIDAD 2 TIPO DE VARIABLES QUE UTILIZAN

CATEGÓRICOS Permiten agrupar por categorías

ORDENADOS POR RANGO Establecen un orden entre

categorías para compararlas

MÉTRICOS Introducen medidas que facilitan la comparación

SIMPLE CUYA ESTRUCTURA ES: a) TITULO

b) PERÍODO DE TIEMPO c) CATEGORÍAS FRECUENCIA d) A f B f

e) TO T A L SUMA DE f f) FUENTE g) PIE donde: a) Título que explique brevemente el contenido de la tabla b) Fecha o período de tiempo en que se efectuó la investigación c) Encabezados de cada columna d) Cuerpo que contiene la información de las categorías e) Final o total de las columnas f) Fuente de la información g) Observaciones importantes

POBLACIÓN O MUESTRA PEQUEÑA

PARA DATOS AGRUPADOS CUYA ESTRUCTURA ES:

CLASES f Mc fr fa far a) b) c) d) e) f)

donde: a)Clases o intervalos formados por límite inferior y límite superior b) Frecuencia absoluta de cada clase c) Marca de clase o punto medio del intervalo d) Frecuencia relativa proporción de la frecuencia de cada intervalo con respecto a la suma de frecuencias absolutas e)Frecuencia acumulada que indica el intervalo donde se encuentra un dato específico f)Frecuencia acumulada relativa proporción de la frecuencia acumulada de cada intervalo con respecto a la suma de frecuencias absolutas.

POBLACIÓN O MUESTRA GRANDE

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA

TIPOS DE DATOS

D a) ORDINALES b) NOMINALES c) CONTINUAS d) DISCRETAS

a) CONTINUAS b) DISCRETAS

156


RESUMEN DE LA UNIDAD 3


DIAGRAMA DE BARRAS Características: a) Son barras del mismo ancho trazadas en el primer cuadrante del plano cartesiano b) Las barras deben estar separadas por espacios en blanco d) Representación gráfica de una tabla de distribución de frecuencias simple e) Pocas categorías

TIPOS DE GRÁFICAS




OJIVA PORCENTUAL: Características: a) Gráfica lineal trazada en el primer cuadrante del plano cartesiano que tiene forma de “S” b) Representación gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas para datos agrupados c) En el eje de las “X” se marcan los límites reales superiores de cada intervalo d) En el eje de las “Y” se marcan las frecuencias acumuladas correspondientes a cada intervalo e) Permite hacer estimaciones del comportamiento de los datos considerando uno en particular

HISTOGRAMA Características: a) Son barras unidas que se trazan en el primer cuadrante del plano cartesiano b) Representación gráfica de una distribución de frecuencias para datos agrupados c) En el eje de las “X” se marcan los puntos medios de cada intervalo d) En el eje de las “Y” se consideran las frecuencias correspondientes a cada intervalo

GRÁFICA DE SECTORES: Características: a)Es una circunferencia en el primer cuadrante del plano cartesiano donde a la frecuencia de cada categoría le corresponde un sector b) Representación gráfica de una tabla de distribución de frecuencias simple c) El número de categorías a considerar debe ser menor que en el de barras

157

RESUMEN DE LA UNIDAD 3 TIPOS DE GRÁFICAS

POLÍGONO DE FRECUENCIAS: Características: a) Gráfica lineal trazada en el primer cuadrante del plano cartesiano que une los puntos medios de cada clase a la altura de su frecuencia correspondiente b) Representación gráfica de una distribución de frecuencias para datos agrupados c) En el eje de las “X” se marcan los puntos medios de cada intervalo, agregándose uno al inicio y otro al final de los que se están considerando d) En el eje de las “Y” las frecuencias correspondientes a cada intervalo, agregándose dos en cero que corresponden a las marcas de clase indicadas en el inciso anterior.


NOTA: Es recomendable que todas las gráficas tengan un título que describa brevemente la información que está siendo representada, así como la fuente de información, ya que éstas deben ser autoexplicativas; con excepción de la gráfica de sectores, todas deben contener un título en cada uno de los ejes que indique el tipo de datos que se están representando.

158




TENDENCIA CENTRAL Valores centrales de una distribución que representan a todos los datos.

DISPERSIÓN Evalúan la variabilidad o dispersión de los datos.

MEDIA ARITMÉTICA.-Suma de valores de todas las observaciones divida entre el número de observaciones realizadas DATOS NO AGRUPADOS: Muestra Población _ ∑X ∑X X =--------- µ = ----------- n N DATOS AGRUPADOS: _ ∑fMc ∑fMc X =----------- µ = ----------- n N

RANGO o amplitud total considera valores extremos: R = Valor máximo - Valor mínimo RANGO INTERCUARTIL diferencia entre los valores del primero y tercer cuartil: Q = Q3 - Q1 CUARTILES: n/4 - F1 Q1= Li + ( --------------- ) A f1 Para Q2 se toma 2n/4 y para Q2, 3n/4

DESVIACIÓN MEDIA es el promedio de las desviaciones a partir de la media: DATOS NO AGRUPADOS: _ ∑⏐xi -X⏐ DM = ------------ n DATOS AGRUPADOS: _ ∑f⏐Mc-X⏐ DM=-------------- n

MEDIANA es el valor (o valores) de la(s) variable(s) que ocupa (n) el (los) lugar(es) central(es) de los datos ordenados por magnitud: DATOS NO AGRUPADOS: a) Número par de datos es el promedio de valores centrales b) Número impar de datos es el dato centralDATOS AGRUPADOS: n/2 -F Md = Li + ( ---------- ) A f



DESVIACIÓN TÍPICA O ESTÁNDAR es la raíz cuadrada del promedio de las desviaciones con respecto a la media elevadas al cuadrado. DATOS NO AGRUPADOS: _ √∑(xi - X)2

S = ----------------- muestral n - 1 √∑fMc2

S = ----------------- muestral n-1

MODA valor (o valores) de la variable que se presenta(n) con mayor frecuencia. DATOS NO AGRUPADOS: a) Ordenar en forma ascendente y realizar conteo DATOS AGRUPADOS: d1 Md = Li + ( ---------- ) A d1+d1

159

TENDENCIA CENTRAL Valores centrales de una distribución que representan a todos los datos.

VARIANZA O VARIANCIA es el promedio de las desviaciones con respecto a la media elevadas al cuadrado. DATOS NO AGRUPADOS: _ ∑(xi - X)2

S2 = ----------------- muestral n - 1 ∑fMc2

S2 = ----------------- muestral n-1 :

DISPERSIÓN Evalúan la variabilidad o dispersión de los datos

COEFICIENTE DE VARIACIÓN O

DISPERSIÓN RELATIVA, si X es la media y S la desviación estándar de una muestra, su fórmula es: S CV = --------(100) X Permite comparar la homogeneidad de los datos en dos conjuntos.

TEOREMA DE CHEBYSHEV utiliza la desviación típica de un conjunto de observaciones para medir las variaciones de los datos con respecto a la media de tal forma que mientras más pequeña sea la desviación, es más probable obtener un valor cercano a la media y por el contrario, mientras mayor sea la desviación es más probable obtener un valor alejado de la media. Si se consideran 2 desviaciones estándar: en el intervalo (X - 2S, X + 2S) cae al menos el 75% de los datos Si se consideran 3 desviaciones estándar: en el intervalo (X -3S, X + 3S) cae como mínimo el 88% de los datos

160

Estadística Descriptiva Lecturas

LECTURAS

LECTURA 1 Métodos Estadísticos para Bibliotecarios. Carpenter, Ray L. Estadísticas Resumidas.............................................................................................161 Fundamentos de Estadística en la Investigación Social. Jack Levin. LECTURA 2 Gráficas.....................................................................................................................169 LECTURA 4 Medidas de Dispersión o Variabilidad......................................................................177 LECTURA 3 Estadística Paso a Paso. Christensen, Howard B. Medidas de Posición: media, mediana y moda.........................................................193

159


CARPENTER, Ray L. Métodos Estadísticos para Bibliotecarios. México, UNAM, 1980, p. 25-30

161


163


165


167

estadistica descriptiva.pdf

Documents